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1. A una peña criolla asistieron 150 personas de las cuales: 80 cantan, 60 bailan; 30 no cantan no bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan? Realizando la interpretación del problema con la ayuda de los diagramas de Venn. Enunciando la incognita con X. Realizo la interpretación de la cardinalidad de cada área de los conjuntos con base en ésta variable.
150
Cantan:80
B a i l a n :6 0
Cant Ca ntan an y Bailan Bailan 80-X
X
60-X 1
No Canta ntan ni Bail Baila an:3 n:30 Realizando un balance de cardinalidad del universo con base en los conjuntos que lo integran:
n ( C ) = 80 − x n ( C ) + x + n ( B ) + 30 = 150 n ( B ) = 60 − x 80 − x + x + 60 − x + 30 = 150
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170 − x = 150 x = 170 − 150 = 20 El número de personas que cantan y bailan son 20.
2. Alan
y Fabricio tienen cierto número de pollos. Si 31 son de Alan, 40 de Fabricio y 14 de ambos, ¿Cuántos pollos tienen en total? Realizando la interpretación del problema con la ayuda de los diagramas de Venn.
Alan:31
31-14=17
Fabricio:40
Ambos:14
40-14=26 1
Realizando un balance de cardinalidad del universo con base en los conjuntos que lo integran:
n ( A) = 31 − 14 = 17 n ( A) + 14 + n ( F ) = x n ( F ) = 40 − 14 = 26
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17 + 14 + 26 = x x = 57 El número total de pollos es de 57.
3. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado: 28 estudian Español. 8 estudian Español y Aleman. • • • • 42 estudian Francés. 5 estudian Alemán y Francés. • • 10 estudian Español y Francés. 3 estudian los tres idiomas. 30 estudian Alemán. • ¿Cuántos estudiantes toman el Francés como único idioma de estudio? Realizando la interpretación del problema con la ayuda de los diagramas de Venn.
100 Español:28
Francés:42
10
3 8
5
Alemán:30
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n ( F ) = 42 − (3 + 5 + 10) n ( F ) = 24 El número de alumnos que toman Francés como único idioma son 24.
4. En una reunión de deportistas: • 8 practican fúltbol y natación. 6 no practican éstos deportes. • • 32 practican solamente natación. 23 practican fútbol. ¿Cuántos deportistas habían en la reunión? Realizando la interpretación del problema con la ayuda de los diagramas de Venn. •
Fútbol
23-8=15
Natación
8
32 1
6 Realizando un balance de cardinalidad del universo con base en los conjuntos que lo integran:
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n ( F ) + 8 + n ( N ) + 6 = 15 + 8 + 32 + 6 = 61 El número de deportistas asistentes a la reunión fue de 61.
5. En una encuesta de 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos Aritmética y Biología, se obtuvieron los siguientes resultados: • • 60 prefieren Aritmética. 20 no prefieren ninguno de éstos cursos. 50 prefieren Biología. • ¿Cuántos prefieren sólo uno de éstos cursos? Realizando la interpretación del problema con la ayuda de los diagramas de Venn. Enunciando la incognita con X. Realizo la interpretación de la cardinalidad de cada área de los conjuntos con base en ésta variable.
110 Aritmética:60
60-X
Biología:50
X
50-X 1
20 Realizando un balance de cardinalidad del universo con base en los conjuntos que lo integran:
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n ( A) = 60 − x n ( A) + x + n ( B ) + 20 = 110 n ( B ) = 50 − x 60 − x + x + 50 − x + 20 = 110 130 − x = 110 x = 20
n ( A) = 60 − 20 = 40 n ( B ) = 50 − 20 = 30 El número de personas que prefieren únicamente uno de éstos cursos son 70.
6. Se encuestaron a 180 amas de casa sobre sus preferencias por los canales de televisión A, B y C, obteniendo los siguientes resultados: 110 ven el canal A. 120 ven el canal B. • • • • 130 ven el canal C. 26 ven los canales A y B. • • 14 ven los canales A y C. 38 ven los canales B y C. 52 ven los tres canales. 2 no ven ninguno de los canales. • • ¿Cuántas amas de casa ven únicamente un solo canal? Realizando la interpretación del problema con la ayuda de los diagramas de Venn.
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180 A:110
B:120
26
52 38
14
C:130
2
Realizando un balance de cardinalidad del universo con base en cada conjunto inidividualmente:
n ( A) = 110 − 26 − 52 − 14 n ( A) = 18
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n ( B ) = 120 − 26 − 52 − 38 n ( B) = 4 n ( C ) = 130 − 14 − 52 − 38 n ( C ) = 26 El número de amas de casa que ven únicamente un solo canal son 48.
7. De
un grupo de 100 personas, 63 consumen pollo, 42 res, 27 pollo y res. ¿Cuántos no consumen ninguna de éstas dos clases de carne? Realizando la interpretación del problema con la ayuda de los diagramas de Venn.
100 Pollo:63
Res:42
27
X
1
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n ( P ) = 63 − 27 = 36 n ( P ) + 27 + n ( R ) + x = 100 n ( F ) = 42 − 27 = 15 36 + 27 + 15 + x = 100 78 + x = 100 x = 22 El número total de personas no consumen ninguna de éstas dos clases de carne es de 22.
8. Según
las preferencias de 420 personas que ven los canales A, B o C se observa que 180 ven el canal A, 240 ven el canal B y 150 no ven el canal C, los que ven por lo menos dos canales son 230. ¿Cuántos ven los tres canales? Realizando la interpretación del problema con la ayuda de los diagramas de Venn.
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420
e
a
b x f
d
c
Realizando un balance de cardinalidad individual:
n ( A) = a + e + d + x = 180 n ( B) = b + e + f
+
x = 240
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n (C ) = d + c + f
+
x = 270
Ven por lo menos dos canales, entonces:
d +e+ f
+
x = 230
Sabemos que:
a+b+c+ d +e+ f
+
x = 420
a + b + c + (d + e + f
+
x ) = 420
a + b + c + 230 = 420 a + b + c = 190 Sumando las primeras tres ecuaciones:
n ( A) + n ( B ) + n ( C ) a + b + c + 2(d + e + f
+
x ) + x = 690
Reemplazando con base en los datos encontrados anteriormente:
( a + b + c ) + 2 ( d + e + f + x ) + x = 690 190 + 2 ( 230 ) + x = 690 190 + 460 + x = 690 x = 40 El número de personas que ven los tres canales son 40.
9. En
una oficina de colocación se ofrecen 29 puestos de trabajo del ramo de la construcción: 13 deben ser albañiles, 13 fontaneros y 15 carpinteros. De éstos 6 tienen que ser albañiles y fontaneros, 4 fontaneros y carpinteros y 5 albañiles y carpinteros. ¿Cuántos tienen que ser las tres cosas a la vez?.
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