Para Acompanhar

Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos

Nam-Ho Kim e Bhavani V. Sankar Departamento de Engenharia Mecânica e Aeroespacial College of Engineering, University of Florida

Tradução e Revisão Técnica Gen. Bda. Amir Elias Abdalla Kurban, D.Sc. Engenharia Civil – Estruturas Comandante do Instituto Militar de Engenharia

Este Material Suplementar contém o Manual de Soluções referentes aos capítulos do livro-texto e que pode ser usado como apoio para o livro Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos, de Nam-Ho Kim e Bhavani V. Sankar – ISBN 978-85-216-1788-4

Material Suplementar. Manual de Soluções traduzido do material srcinal: Introduction to Finite Element Analysis and Design, First Edition, ISBN: 978-0-470-12539-7 Portuguese translation copyright © 2011 by LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Translated by permission of John Wiley & Sons, Inc. Copyright © 2009 by John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. Obra publicada pela LTC:

Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos

Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright © 2011 by

LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional

Editoração Eletrônica do material suplementar:

Sumário

Capítulo 0.

Fundamentos Matemáticos 1

Capítulo 1.

Análise de Tensões e Deformações 10

Capítulo 2. Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 49 Capítulo 3. Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 105 Capítulo 4. Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 136 Capítulo 5. Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor 182 Capítulo 6.

Elementos Finitos para Sólidos Planos 198

Capítulo 7.

Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos 226

Capítulo 8.

Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos 249

Capítulo 0

Fundamentos Matemáticos 1. Seja a seguinte matriz [T] 3 3 3:

(a) Escreva a transposta TT. (b) Mostre que a matriz [S] 5 [T] 1 [T]T é uma matriz simétrica. (c) Mostre que a matriz [A] 5 [T] 2 [T]T é uma matriz antissimétrica. Quais são os componentes da diagonal da matriz [A]? Solução:

(a) A transposta de uma matriz [A] é definida como portanto:

5

Aji onde i e j indicam a linha e a coluna da matriz [A];

(b) definição Uma matriz simétrica [A] é definida como Aij 5 Aji onde i e j indicam a linha e a coluna da matriz [A]; usando a anterior de transposta, tem-se:

(c) Uma matriz antissimétrica [A] é definida como uma matriz que obedece à relação Aij 5 2Aji; usando a definição anterior de transposta, tem-se:

Observe que os componentes da diagonal são iguais a zero.

2. Sejam as duas matrizes 3 3 3 [A] e [B] seguintes:

2

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos

(a) Calcule [C] 5 [A] 1 [B]. (b) Calcule [D] 5 [A] 2 [B]. (c) Calcule o múltiplo escalar [D] 5 3[A]. Solução:

3.

Dados os dois vetores tridimensionais a e b a seguir:

(a) Calcule o produto escalar c 5 a ? b. (b) Calcule o módulo do vetor a. (c) Calcule o produto vetorial de a e b. Solução:

4. Para a matriz [T] do Problema 1 e os dois vetoresa e b do Problema 3, resolva as questões seguintes. (a) Calcule o resultado da multiplicação de matriz por vetor [ T] ? a. (b) Calcule b ? [T] ? a. Solução:

A multiplicação [T] ? a de matriz por vetor é

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos b ? [T] ? a pode ser obtida pelo produto escalar de dois vetores b e [T] ? a

5. Para as duas matrizes [A] e [B] do Problema 2, resolva as questões seguintes. (a) Calcule o resultado da multiplicação de matriz por matriz [C] 5 [A][B]. (b) Calcule o resultado da multiplicação [D] 5 [B][A]. Solução:

(a)

(b)

Observe que, em geral, [ A][B]  [B][A].

6. Calcule o determinante das seguintes matrizes:

Solução:

O determinante de [A] é

O determinante de [B] é

3

4

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos

7. Calcule a inversa da matriz [A] do Problema 6. Solução:

8. As matrizes [A] e [B] são definidas a seguir. SeB 5 A 1, determine os valores dep, q, r e s. 2

Solução:

Se B 5 A 1, então AB 5 I. 2

9. Resolva o sistema de equações simultâneas a seguir utilizando o método matricial:

Solução:

O sistema fornecido pode ser representado pela forma matricial a seguir

10. Considere os vetores linha e as matrizes a seguir

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos

5

Usando o MATLAB, calcule AT, aT, A 1 B, A 2 B, abT, aTb, ATB, C 5 BAT, AB, C 1, det(C). Teste os seguintes comandos: a * b, A * B e explique a diferença entre eles ea * b e A * B, respectivamente. 2

Solução:

Observe que o comando A * B resulta em um erro, uma vez que o tamanho da multiplicação não é adequado. O MATLAB possui dois tipos diferentes de operações aritméticas. As operações aritméticas matriciais são definidas pelas regras da álgebra linear. As operações com aritméticas com arrays são realizadas elemento por elemento e podem ser usadas com arrays multidimensionais. O caractere ponto (.) faz a distinção entre as operações de arrays e as operações com matrizes. Entretanto, como as operações de matrizes e arrays são as mesmas para a soma e a subtração,

não são usados os pares de caracteres . 1 e . 2. Para obter mais informações e exemplos, use a ajuda do MATLAB (vá para o índice e faça uma pesquisa para “array”). 11. Encontre os autovalores eos autovetores das matrizes dadasa seguir: (a)

(b)

Solução:

(a) O problema de autovalor é definido como:

Da condição de determinante nulo, a equação característica se torna:

As raízes da equação são encontradas como:

Substituindo l1 na equação característica, obtém-se

Resolvendo o sistema de equações e obtendo x(1), tem-se:

Substituindo l2 na equação característica, obtém-se

6

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos

Resolvendo o sistema de equações e obtendo x(2), tem-se:

Substituindo l3 na equação característica, obtém-se:

Resolvendo o sistema de equações e obtendo x(3), tem-se:

(b) O problema de autovalor é definido como:

Da condição de determinante nulo, a equação característica se torna:

As raízes da equação são encontradas como:

Substituindo l1 na equação característica, obtém-se:

Resolvendo o sistema de equações e obtendo x(1), tem-se:

Substituindo l2 (ou l3) na equação característica, obtém-se:

Observamos que a segunda equação é trivial (0 x110x210x350!), e que a primeira e a terceira equações são iguais. A única informação que obtemos dessas equações é x15 22x3, e o valor de x2 é arbitrário, o que significa que x(2) 5 [ 22, a, 1]T. Se for desejado ele pode assumir qualquer valor. Por isso, o autovetor pode ser escrito como

normalizar o vetor, obtemos

Assim, vemos que existem infinitos autovetores. Alguns exemplos são:

Observe que todos os vetores x(2) são ortogonais a x(1), uma vez que x(2) · x(1) 5 0 para qualquer valor de a.

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos

7

12. Construa a forma quadrática para a matriz [A] do Problema 2,i.e., {x}T[A]{x}, e compare com a forma quadrática calculada usando a parte simétrica [ AS]. Solução:

A forma quadrática da matriz [ A] é:

A forma simétrica de [A] pode ser encontrada usando a seguinte equação:

A forma quadrática da matriz [ As] é:

As duas formas quadráticas são idênticas. 13. Dada a equação matricial [A]{x} 5 {b}, definida por

(a) Construa a forma quadrática F(x) 5 {x}T[A]{x} 2 2{x}T[b]. (b) Encontre { x} 5 {x*} minimizando F(x). (c) Verifique se o vetor { x*} satisfaz [A]{x} 5 {b}. Solução:

(a) A forma quadrática F(x) é:

(b) Encontre {x} 5 {x*} que minimize F(x).

5

as três equações imediatamente anteriores em relação às três incógnitas, podemos obter: x1 eResolvendo x3 5 4. (c) Verifique se a solução {x*} satisfaz [A]{x*} 5 {b}.

A solução está confirmada.

5

4, x2

0

8

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos

14. A função f(x1, x2) de duas variáveisx1 e x2 é dada por

(a) Multiplique as matrizes e exprima f como um polinômio emx1 e x2. (b) Determine o valor extremo (máximo ou mínimo) da função e os valores correspondentes de x1 e x2. (c) Esse valor é máximo ou mínimo? Solução:

(a) (b) Diferenciando f em relação a x1 e x2,

Resolvendo essa equação, temos x1 5 2, x2 5 2. (c) Esse ponto é um máximo porque a matriz hessiana é positiva definida.

15. A função f(x, y, z) de x, y e z é definida como

onde

(a) Multiplique as matrizes e exprima f como um polinômio emx, y e z. (b) Escreva as três equações necessáriaspara encontrar o valor extremo da função na forma

(c) Resolva as equações em (b) a fim de determinar os valores de x , y e z correspondentes ao valor extremo de f . (d) Calcule o valor extremo de f. (e) Esse valor é um máximo ou um mínimo? (f) Calcule o determinante de [ K]. Solução:

(a)

(b)

Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos

9

(c) (d) (e) Matriz hessiana:

Autovalores de [H] : l1 5 20,5157 , 0; l2 5 0,1709; l3 5 11,3448. Esse ponto não é máximo nem mínimo, é um ponto de inflexão. (f)

Capítulo 1

Análise de Tensões e Deformações 1. Uma força vertical F é aplicada a uma treliça de duas barras conforme a figura. Suponha que as áreas das seções A1 e A2, respectivamente. Determine a relação entre as áreas A1/A2 a fim de transversais dos elementos e 2 sejam que haja o mesmo valor de 1tensão em ambos os elementos.

Solução:

Do equilíbrio de forças em B,

Como a treliça é uma barra sujeita à aplicação de duas forças, f1 5 A1s1 e f2 5 A2s2. Desta forma,

2. A tensão em um ponto P é dada a seguir. Os cossenos diretores da normaln ao plano que passa por P guardam entre si a relação nx:ny:nz 5 3:4:12. Determine (a) o vetor da força T(n); (b) o módulo T de T(n); (c) a tensão normal (n) e n. sn; (d) a tensão cisalhante tn; e (e) o ângulo entre T Sugestão:

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

11

Solução:

(a) Em primeiro lugar,precisamos do vetor unitário normaln:

A seguir, o vetor de força de superfície nesse plano se torna

(b) Como T(n) é um vetor, seu módulo pode ser obtido usando a norma como

(c)

(d) (e)

3. Em um ponto P de um corpo, os componentes cartesianos da tensão são dados por sxx 5 80 MPa, syy 5 240 MPa, 5 240 MPa e txy 5 tyz 5 tzx 5 80 MPa. Determinar o vetor da força de superfície, seu componente normal e seu componente de cisalhamento em um plano que esteja igualmente inclinado em relação aos três eixos coordenados. Sugestão: Quando um plano está igualmente inclinado em relação aos três eixos coordenados, os cossenos diretores da normal são iguais. szz

Solução:

O vetor normal unitário neste caso é

O vetor da força de superfície nesta direção se torna

12

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

O componente normal do vetor da força de superfície é

O componente cisalhante do vetor da força de superfície é

4. Se sxx 5 90 MPa, syy 5 245 MPa, txy 5 30 MPa e szz 5 txz 5 tyz 5 0, calcule a força de superfície T(n) no plano mostrado na figura, que faz um ângulo q 5 40º com o eixo vertical. Qual o componente normal e qual o de cisalhamento da tensão nesse plano?

Solução:

Vetor unitário normal:

Vetor da força de superfície:

Tensão normal: Tensão cisalhante:

5. Encontre as tensões principais e as direções principais correspondentes para os seguintes casos de estado plano de tensões: (a) sxx 5 40 MPa, syy 5 0 MPa, txy 5 80 MPa (b) sxx 5 140 MPa, syy 5 20 MPa, txy 5 260 MPa (c) sxx 5 2120 MPa, syy 5 50 MPa, txy 5 100 MPa Solução:

(a) A matriz das tensões se torna

Para encontrar as tensões principais, o problema padrão pode ser escrito como

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

13

O problema anterior terá solução não trivial quando o determinante da matriz dos coeficientes se tornar nulo:

A equação do determinante se torna:

A equação quadrática anterior leva a duas tensões principais, como

Para determinar a orientação da primeira tensão principal, substitua s1 no problema srcinal de autovalor para obter

Como o determinante é nulo, as duas equações não são independentes.

Desta forma, só podemos obter a relação entre nx e ny. Assim, usando a condição |n| 5 1, obtemos

Para determinar a orientação da segunda tensão principal, substitua s2 no problema srcinal de autovalor para obter

Usando procedimentos similares aos anteriores, o autovetor de s2 pode ser obtido como

Observe que, se n é uma direção principal, 2n também é uma direção principal. (b) Repita o procedimento em (a) para obter

(c) Repita o procedimento em (a) para obter

14

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

Observe que, para o caso de estado plano de tensões, s3 5 0 também é uma tensão principal, e a direção da tensão principal correspondente é dada por n(3) 5 (0, 0, 1).

6. Se a tensão principal mínima é 27 MPa, encontre sxx e o ângulo que os eixos das tensões principais fazem com os eixos xy para o caso de estado plano de tensões ilustrado.

Solução:

Com o componente x desconhecido, o problema de autovalor pode ser escrito como

As tensões principais podem ser determinadas fazendo com que o determinante seja igual a zero.

Como 27MPa é uma das raízes da equação anterior, podemos encontrarsxx substituindo esse valor na equação anterior como

Resolvendo a equação anterior, podemos obtersxx 5 105 MPa. Assim, a outra tensão principal pode ser encontrada a partir do determinante srcinal como

Direção principal para a primeira tensão principal: Do problema srcinal de autovalor,

A solução da equação anterior não é única. Estabelecendo |n1| 5 1, temos n1 5 {60,8944, 70,4472}, que é a direção principal correspondente a s1. Direção principal para a segunda tensão principal: Do problema srcinal de autovalor,

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

15

A solução das equações anteriores é n2 5 { 60,4472, 60,8944}, que é a direção principal correspondente a s2. As duas direções principais estão representadas no gráfico a seguir. Observe que as duas direções principais são perpendiculares entre si.

7. Determine as tensões principais e suas direç ões associadas quando a matriz de tensões em um ponto for dada por

Solução:

Use a Eq. (0.46) do Capítulo 0 com os coeficientes de I1 5 3, I2 5 23 e I3 5 21,

Resolvendo a equação cúbica anterior usando o método descrito na Seção 0.4,

(a) Direção principal correspondente a s1:

Resolvendo as equações anteriores com | n1| 5 1, tem-se

(b) Direção principal correspondente a s2:

Resolvendo as equações anteriores com | n2| 5 1, tem-se

(c) Direção principal correspondente a s3:

16

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

Resolvendo as equações anteriores comn| 2| 5 1, tem-se

8. Suponha que o sistema de coordenadas x9y9z9 seja definido usando as três direções principais obtidas do Problema 7. Determine a matriz transformada de tensões [s]x y z no novo sistema de coordenadas. 9 9 9

Solução:

As três direções principais do Problema 6 podem ser usadas para a matriz de transformação de coordenadas:

Para determinar os componentes de tensão nas novas coordenadas, usamos a Eq. (1.30):

Observe que a matriz de transformação de coordenadas é uma matriz diagonal que apresenta as tensões principais srcinais na diagonal.

9. Para a matriz de tensões a seguir, as duas tensões principais são dadas por s3 5 23 e s1 5 2, respectivamente. Além disso, as duas direções das tensões principais correspondentes às duas tensões principais também são dadas a seguir.

(a) Qual a tensão normal e qual a cisalhante em um plano cujo vetor normal é paralelo a (2, 1, 2)? (b) Calcule a tensão principal restante s2 e a direção principal n2. n1, n2 e n3. (c) Escreva a matriz de tensões em umnovo sistema de coordenadas que esteja alinhado com Solução:

(a) Vetor normal:

Vetor da força de superfície: O componente normal do vetor das tensões no plano pode ser calculado como

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

17

(b) Usando a Eq. (0.46) do Capítulo 0, os autovalores são governados por

Podemos encontrar os coeficientes da equação cúbica anterior a partir da Eq. (0.47) por I1 5 0, I2 5 27 e I3 5 26. Desta forma temos:

Assim, a tensão principal restante é s2 5 1. Como as três tensões principais são mutuamente ortogonais, a terceira direção principal pode ser calculada usando o produto vetorial. Para estabelecer uma clara convenção de sinais para os eixos principais, exigimos que eles formem 1

3

uma tríade que respeite a regra daentão mão odireita. Se n e nn2forem unitários que definem as direções do regra primeiro e do terceiro eixos principais, vetor unitário para ovetores segundo eixo principal é determinado pela da mão direita da multiplicação de vetores. Desta forma temos

(c) A matriz de transformação de coordenadas pode ser obtida a partir das direções principais, da seguinte forma:

A matriz das tensões nas coordenadas transformadas se torna

10. Com relação ao sistema de coordenadas xyz, o estado de tensões em um ponto P de um sólido é

(a) m1, m2 e m3 são três vetores mutuamente ortogonais tais que m1 faz 45º com os eixos x e y e m3 está alinhado com o eixo z. Calcule as tensões normais nos planos normais a m1, m2 e m3. (b) Calcule os dois componentes da tensão cisalhante no plano normal a m1 nas direções de m2 e m3. (c) O vetor n 5 {0, 1, 1} T está na direção de uma tensão principal? Explique. Qual é a tensão normal na direção n?

18

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

(d) Desenhe um cubo infinitesimal com as faces normais a m1, m2 e m3 e mostre as tensões nas faces positivas do cubo. (e) Exprima o estado de tensões em um ponto P em relação ao sistema de coordenadas x9y9z9 que esteja alinhado com os vetores m1, m2 e m3. (f) Qual a tensão principal e quais as direções principais de tensões no ponto P em relação ao sistema de coordenadas x9y9z9? Explique. (g) Calcule a tensão cisalhante máxima no ponto P. Em que plano(s) essa tensão cisalhante máxima atua? Solução:

(a)

(b)

(c) Sim,

Como T(n) // n, n é uma direção principal com tensão principal 5 50 MPa. (d)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

19

(e)

(f) Tensões principais 5 50, 50 e 220 MPa

n1 e n2 são dois vetores unitários quaisquer que se situam em um plano perpendicular a n3.

(g) A tensão cisalhante máxima ocorre em um plano cuja normal faz 45º com a direção da tensão principal. Como x (eixo de s3) conterão a tensão cisalhante máxima cujo valor é s1 5 s2, todas as direções que fazem 45º com o eixo

Os planos das tensões cisalhantes máximas estão no formato de um cone cujo eixo é paralelo ao eixo x e tem um ângulo de 45º. 11. Um eixo sólido com d 5 5 cm, conforme a figura, está sujeito a uma força de tração P 5 13.000 N e um torque de 6.000 N◊cm. No ponto A da superfície, qual é o estado de tensões (escreva na forma matricial), quais as tensões principais e qual a máxima tensão cisalhante? Mostre o sistema de coordenadas utilizado.

Solução:

Vamos estabelecer um sistema de coordenadas como o mostrado na figura. A força axial srcinará a tensão normal sxx enquanto o torque srcinará a tensão cisalhante txy. Seus valores são

Assim, a matriz das tensões se torna

20

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

Resolvendo o problema de autovalor e autovetor, a tensão principal pode ser obtida da seguinte maneira:

A tensão cisalhante máxima é

12. Se o campo de deslocamentos for dado por

(a) Escreva a matriz 3 3 3 das deformações. (b) Qual é o componente da deformação específica normal (linear) na direção (1, 1, 1) no ponto (1, 23, 1)? Solução:

(a) A matriz de deformações simétrica 3 3 3 pode ser calculada, a partir de sua definição, como

Além disso, o vetor normal unitário na direção de (1, 1, 1) é

(b) Desta forma, o componente normal da deformação é

Assim, o componente normal da deformação diminui, à medida que a coordenada y de um ponto aumenta. No ponto (1, 23, 1), y 5 23

13. Considere o seguinte campo de deslocamentos em um sólido plano:

(a) Calcule os componentes de deformação exx, eyy e gxy. Esse é um caso de estado plano de deformações? (b) Determine as deformações principais e suas direções correspondentes. Exprima as direções das deformações principais em termos dos ângulos que as direções fazem com o eixo x. (c) Qual o valor da deformação específica normal no ponto O em uma direção que faz 45º com o eixo x?

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

21

Solução:

(a) Componentes de deformação:

Sim, esse é um estado de deformações uniformes porque as deformações não dependem da posição x, y, z. (b) Deformações principais e direções principais.

Encontre os autovalores (deformações principais) e autovetores (direção principal) resolvendo o problema de autovalor:

A equação anterior leva a duas deformações principais,e1 5 l1 5 20,01231 e e2 5 l2 5 20,01431. A direção principal que corresponde à primeira deformação principal é

O ângulo que a direção faz com o eixo x pode ser encontrado a partir da relação cos q 5 20,9556, sen q 5 10,2948. Isso leva a q 163º. A direção principal correspondente à segunda deformação principal é 

e o ângulo é encontrado com o valor deq (c) Deformação no ponto O

vetor da direção



73º.

22

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

Desta forma, a deformação normal na direção de n se torna

14. O campo de deslocamentos em um sólido é dado por

onde k é uma constante. (a) Escreva a matriz de deformações. (b) Qual a deformação específica normal na direção de n 5 {1, 1, 1}T? Solução:

(a) Da definição de deformação

Desta forma, a matriz das deformações é

(b) O vetor unitário normal

Assim sendo, a deformação normal na direção de n é

15. Desenhe um quadrado OABC, com 2 3 2 polegadas, em um papel quadriculado. As coordenadas de O são (0, 0) e de B são (2, 2). Usando o campo de deslocamentos do Problema 13, determine os deslocamentos u e v dos vértices do quadrado. Admita que o quadrado deformado seja indicado por O9A9B9C9. (a) Determine as variações de comprimento de AO e OC. Relacione as variações aos componentes de deformação.

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

23

(b) Determine a variação em –AOC. Relacione a variação com a deformação por cisalhamento. (c) Determine a variação de comprimento da diagonal OB. Como ela se relaciona com a(s) deformação(ões)? (d) Mostre que a variação relativa da área do quadrado (variação da área/área srcinal) é dada por DA/A 5 exx 1 eyy 5 e1 1 e2. Sugestão: Pode-se empregar o método antigo de usar esquadros e compasso ou usar planilhas para fazer os cálcu-

los. Coloque a srcem em algum local na metade inferior do papel de forma que haja bastante espaço à esquerda da srcem. Solução:

(a) Suponha que O Æ O9, A Æ A9, B Æ B9, C Æ C9 depois da deformação; suponha ainda que as coordenadas de cada ponto sejam O(0, 0), A(0, 2), B(2, 2) C(2, 0). A partir do campo de deslocamentos, podemos obter o deslocamento de cada ponto:

24

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

(b)

(c)

(d)

Observe que o valor da variação de área é próximo ao valor da soma das duas deformações normais:

16. Desenhe um quadrado OPQR com 2 3 2 polegadas (5,08 3 5,08 cm) de forma que OP faça 173º com o eixo x. Repita as perguntas (a) a (d) do Problema 15 para OPQR. Forneça uma interpretação física para seus resultados. Nota: As deformações principais e as direções das deformações principais são dadas por

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

25

Solução:

(a) Suponha que O Æ O9, P Æ P9, Q Æ Q9, R Æ R9 depois da deformação. As coordenadas de cada ponto sãoO(0, 0), P(0,585, 1,913), Q(2,497, 1,328), R(1,913, 20,585). A partir do campo de deslocamentos, podemos obter o des-

locamento de cada ponto:

As variações dos comprimentos de OP e OR são iguais às deformações principais, uma vez que 73º é a direção principal. (b)

26

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

Na direção principal, não há distorção. (c) O Ponto Q é deslocado para:

Desta forma, o significado da variação do comprimento da diagonal é o mesmo que em (c) do Problema 15. (d)

17. Para o aço, são válidos os seguintes dados para o material: Módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E 5 207 GPa e módulo de elasticidade transversal G 5 80 GPa. Para a matriz de deformações em um ponto, mostrada a seguir, determine a matriz 33 3 simétrica das tensões.

Solução:

A partir da Eq. (1.58) a matriz de elasticidade se torna:

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

27

A partir da relação G 5 E / 2(1 1 n), calculamos n 5 (E / 2G) 2 1 5 0,294.

Na notação matricial

18. A deformação em um ponto é tal que exx 5 eyy 5 0, ezz 5 20,001, exy 5 0,006, exz 5 eyz 5 0. Nota: Não é necessário resolver um problema de autovalor para essa questão. (a) Mostre que n1 5 i 1 j e n2 5 2i 1 j são as direções principais das deformações nesse ponto. (b) Qual a terceira direção principal? (c) Calcule as três tensões principais. Solução:

(a) A matriz das deformações é

Para mostrar que a direção n é uma direção principal, é suficiente mostrar que [e] ? n || n. Depois de normalizar n1 e n2,

Em consequência, n1 e n2 são direções principais. (b) A partir da propriedade de ortogonalidade das direções principais, a terceira direção principal pode ser encontrada

usando o produto vetorial como

Observe que n3 na equação anterior está normalizado.

28

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações (c) Como a terceira direçãoprincipal é paralela aoeixo z, ezz é a terceira deformação principal; i.e., e3 5 ezz 5 20,001. Com base na Parte (a), a deformação principal e1 e e2 pode ser obtida porque [ e] ? n 5 ln. Assim, as três defor-

mações principais são

Observe que as três deformações principais estão reordenadas. 19. Encontre a relação entre tensões e deformações na Eq. (1.60) a partir da Eq. (1.55) e das condições para o estado plano de tensões. Solução:

A relação tridimensional tensão-deformação é dada pela Eq. (1.57). Da terceira equação da Eq. (1.57),

Então, da primeira equação da Eq. (1.57),

De modo idêntico,

Em consequência, se combinarmos essas equações, podemos obter a Eq. (1.60):

20. Uma placa fina, com largura b, espessura t e comprimento L, está colocada entre duas paredes rígidas e lisas (sem atrito) separadas por uma distância b e está submetida a uma força axial P. As propriedades do material são módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young)E e coeficiente de Poissonn. (a) Encontre Encontre ooscampo componentes de tensão e deformação no sistema de coordenadas xyz. (b) de deslocamentos.

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

29

Solução:

(a) A partir das condições de força dadas, podemos calcular os componentes de tensão e encontramos (1) Ainda não conhecemos s0, mas fica evidente que deve ser uma tensão de compressão na direção y devida ao efeito de Poisson. Por todas as tensões cisalhantes serem nulas, todas as deformações de cisalhamento também são nulas:

Da geometria, podemos calcular os seguintes componentes de tensão: (2) Ainda não conhecemos d.

Vamos calcular os parâmetros desconhecidoss e d usando a relação tensão-deformação. 0

Substituindo as relações da Eq. (1) na segunda equação anterior, obtemos

E, da primeira relação, pode-se calcular o parâmetro desconhecido d com o valor de

Desta forma, os componentes de tensão são

E a deformação normal na direção z é

30

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

(b) Os componentes de deslocamento podem ser calculados por meio de integração e valem

21. Um sólido com módulo de elasticidade transversalE 5 70 GPa e coeficiente de Poisson5 0,3 está em um estado plano de deformaçõesparalelo ao plano xy. Os componentes da deformação no plano têm os seguintes valores:

exx 5 0,007, eyy 5 20,008 e gxy 5 0,02. (a) Calcule as deformações principais e as direções correspondentes. (b) Calcule as tensões, incluindo szz, correspondentes às deformações do item anterior. (c) Determine as tensões principais e as direções correspondentes. As direções das tensões principais são iguais às direções das deformações principais?

(d) Mostre que as tensões principais poderiamter sido obtidas a partir das deformações principaispor intermédio

das relações entre tensões e deformações. (e) Calcule a energia específica de deformação usando os componentes de tensão e deformação no sistema de coordenadas xy. (f) Calcule a energia específica de deformação usando as tensões principais e as deformações principais. Solução:

(a) O problema de autovalor paraa matriz das deformações é

Os autovalores podem ser calculados fazendo com que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero, da seguinte forma

Em consequência, as deformações principais são: e1 5 0,012, e3 5 20,013 (observe: e2 5 0 na direção z). Para encontrar as direções principais, substitua as deformações principais na equação característica e encontre o valor de {n} com

(Observe: {0, 0, 1}T é a direção principal que corresponde a e2 5 0.) (b) A partir da relação constitutiva para um sólido em estado plano de deformações na Eq. (1.62),

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

31

onde {e}T 5 {exx eyy gxy} e

O componente szz pode ser calculado por meio da condição de deformação zero:

Observe que txz 5 Ggxz 5 0 e tyz 5 Ggyz 5 0. (c) Da Parte (b),

Resolvendo o problema de autovalor, obtemos as seguintes tensões principais:

E as seguintes direções principais:

Assim sendo, as direções das deformações principais são idênticas às das tensões principais. (d) Se a relação tensão-deformação para o estado plano de deformações da Eq. (1.57) for aplicada às deformações principais,

Observe que as tensões cisalhantes são nulas porque o sólido está orientado de acordo com as direções principais. Observe também que é usada a relação constitutiva tridimensional em vez da relação bidimensional. Entretanto, são esperados os mesmos resultados se for usada a relação de estado plano de deformações. (e)

(f)

32

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

22. Admita que o sólido no Problema 21 esteja submetido a um estado plano de tensões. Repita os pedidos de (b) a (f). Solução:

(b)

onde

Observe que, para o estado plano de tensões, szz 5 txz 5 tyz 5 0. (c)

Resolvendo o problema de autovalor, obtemos:

As direções das tensões principais são

(d) Substitua as tensões principais na Eq. (1.60) no livro-texto para obter as deformações. Observe que ezz 5 e2 5 0,0004  0. (e)

(f)

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

33

23. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um ponto de uma placa fina. As deformações medidas nos extensômetros sãoeA 5 0,001, eB 5 20,0006 e eC 5 0,0007. Observe que o Extensômetro C faz 45º com o eixox. Admita a existência de um estado plano de tensões. (a) Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto. Admita E 5 70 GPa e n 5 0,3. (b) Quais são as deformações principais e suas direções? (c) Quais são as tensões principais e suas direções? (d) Mostre que as deformações principais e as tensões principais satisfazem as relações entre tensões e deformações.

Solução:

(a) Com base na figura, fica óbvioque exx 5 eA 5 0,001 e eyy 5 eB 5 20,0006. A deformação de cisalhamento pode ser encontrada usando a relação de transformação mostrada na Eq. (1.50). A versão 2-D da Eq. (1.50) se torna

onde nx 5 cos (45º) e ny 5 sen (45º). Desta forma,

Resolvendo a equação anterior, obtemos gxy 5 0,003. Como a roseta de deformações mede apenas o estado plano de tensões, ezz é desconhecido. Porém, não há deformação de cisalhamento na direção z, gxz 5 gyz 5 0. A fim de calcular a tensão desconhecida ezz, usamos a relação constitutiva de estado plano de tensões. Como a placa está em um estado plano de tensões, szz 5 txz 5 tyz 5 0. As outras tensões podem ser obtidas a partir das relações de tensão-deformação para as condições de estado plano de tensões mostradas a seguir:

Para a condição de estado plano de tensões a deformação ao longo da espessura é obtida a partir da Eq. (1.59) e apresenta o valor de

(b) Para um estado plano de tensões, ezz 5 20,000171 é uma deformação principal e o eixo z (0, 0, 1) é a direção da deformação correspondente. outras duas 2D: deformações principais podem ser encontradas por meio do problemaprincipal de autovalor no estado deAsdeformações

As duas deformações principais são calculadas a partir da condição de que o determinante da matriz de coeficientes é nulo: ( exx 2 l)( eyy 2 l) 2 5 0. A solução da equação quadrática se torna l 1 5 0,0011 e l 2 5 20,0007. Desta forma, as três deformações principais são e1 5 0,0011, e2 5 20,000171 e e3 5 20,0007.

34

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

Duas direções principais podem ser obtidas a partir do problema de autovalor srcinal. Adicionando o eixo as três direções principais são

z,

(c) Tensões principais Para uma condição de estado plano de tensões, sz 5 0 é uma tensão principal e o eixo z (0, 0, 1) é a direção principal correspondente. As outras tensões principais e suas direções podem ser encontradas resolvendo o problema de autovalor a seguir:

As duas tensões principais são calculadas a partir da condição de que o determinante da matriz dos coeficientes é zero:

(sxx 2 l)(syy 2 l) 2 5 0. A solução da equação quadrática se torna l1 5 70,8 e l2 5 230,8. Desta forma, as três tensões principais são s1 5 70,8 MPa, s2 5 0,0 MPa e s3 5 230,8 MPa. Duas direções principais podem ser obtidas a partir do problema de autovalor srcinal. Adicionando o eixo z, as três direções principais são

Para materiais isotrópicos, as direções das tensões principais e as direções das deformações principais são as mesmas. (d) Relações principais de tensão-deformação Da Eq. (1.55), a relação tensão-deformação pode ser escrita como

Além disso, todas as deformações e tensões de cisalhamento são nulas porque estão nas direções principais. Desta forma, a relação tensão-deformação satisfaz as tensões e deformações principais.

24. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um ponto em uma placa fina. As deformações medidas nos três extensômetros são eA 5 0,016, eB 5 0,004 e eC 5 0,016. Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto. Admita E 5 100 GPa e n 5 0,3.

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

35

Solução:

(a) O ângulo e os cossenos diretores de cada roseta estão listados na tabela a seguir.

Então, podemos usar a seguinte equação de transformação para relacionar os componentes cartesianos com as deformações nas rosetas:

As três equações das rosetas se tornam

As duas últimas equações podem ser resolvidas, para fornecerem o valor da deformação de cisalhamento, como

Então, da segunda equação, temos

Como é uma condição de estado plano de tensões, sz 5 tyz 5 tzx 5 0. Da relação tensão-deformação para o problema de estado plano de tensões temos

36

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

25. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um ponto em uma placa fina. As deformações medidas nos três extensômetros são eA 5 0,008, eB 5 0,002 e eC 5 0,008. Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto. Admita E 5 100 GPa e n 5 0,3.

Solução:

(a) O ângulo e os cossenos diretores de cada roseta estão listados na tabela a seguir.

Então, podemos usar a seguinte equação de transformação para relacionar as deformações medidas pelos extensômetros com os componentes de deformações:

As três equações das rosetas se tornam

As duas últimas equações podem ser resolvidas para fornecerem o valor da deformação de cisalhamento, como

Então, da segunda equação, temos

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

37

Como é uma condição de estado plano de tensões, sz 5 tyz 5 tzx 5 0. Da relação tensão-deformação para o problema de estado plano de tensões temos

26. A figura a seguir mostra uma placa fina com espessura t. Um campo de deslocamento aproximado que leva em conta os deslocamentos devidos ao peso da placa é dado por

(a) Determine o campo do estado plano de tensões correspondente. (b) Desenhe qualitativamente a configuração deformada da placa.

Solução:

(a) Da definição de deformação,

38

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

Além disso, da relação tensão deformação para o problema de estado plano de tensões,

Desta forma, sxx 5 r(b 2 x) é o único componente de tensão diferente de zero. (b) A geometria deformada está esquematizada a seguir:

27. A matriz de tensões de um determinado ponto em um corpo é

Determine a deformação correspondente, se E 5 20 3 1010 Pa e n 5 0,3. Solução:

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

39

28. Para um problema de estado plano de tensões , os componentes de tensão no plano xy em um ponto P possuem os seguintes valores:

(a) Calcule o estado de tensões nesse ponto, se o módulo de elasticidade longitudinal (módulo deYoung) E 5 2 3 1011 Pa e o coeficiente e Poissonn 5 0,3. (b) Qual a deformação específica normal (linear) na direção z? (c) Calcule a deformação específica normal (linear) na direção de n 5 {1, 1, 1}T. Solução:

(a) Calcule o estado de tensões nesse ponto, se o módulo de elasticidade longitudi nal (módulo de Young)E 5 2 3 1011 Pa e o coeficiente de Poisson n 5 0,3.

(b) Qual a deformação específica normal (linear) na direção z?

(c) Calcule a deformação específica normal (linear) na direção de n 5 {1, 1, 1}T.

29. O estado de tensões em um ponto é dado por

(a) Determine as deformações usando um módulo de elasticidade longitudinal de 100 GPa e um coeficiente de Poisson de 0,25. (b) Calcule a energia de deformação usando as tensões e deformações. (c) Calcule as tensões principais. (d) Calcule as deformações principais a partir das deformações calculadas em (a). (e) Mostre que as tensões principais e as deformações principais satisfazem as relações constitutivas. (f) Calcule a energia específica de deformação usando as tensões principais e as deformações principais.

40

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações Solução:

(a) Da Eq. (1.53),

(b) Energia específica de deformação:

(c) Tensões principais:s1 5 110, s2 5 50, s3 5 0 Mpa. (d)

Matriz de deformação

Deformações principais: e1 5 0,975 3 10 3, e2 5 0,225 3 10 3, e3 5 20,4 3 10 (e) Da Eq. (1.55) 2

2

23

Desta forma, as tensões principais e as deformações principais satisfazem as relações constitutivas. (f) Energia específica de deformação

30. Adote o estado de tensões do Problema 29, já mencionado. A resistência ao escoamento do material é de 100 MPa. Determine os coeficientes de segurança de acordo com os seguintes critérios: (a) critério da máxima tensão principal, (b) critério de Tresca e (c) critério de von Mises. Solução:

(a) Critério da máxima tensão principal

(b) Critério de Tresca

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

41

(c) Critério de Von Mises

31. Um tubo de paredes finas está sujeito a um torque T. O único componente diferente de zero é a tensão cisalhante txy, que é dada por txy 5 10.000 T (Pa), onde T é o torque em N◊m. Se o limite de escoamento forsY 5 300 MPa e o coeficiente de segurança forN 5 2, calcule o torque máximo que pode ser aplicado usando: (a) O critério da máxima tensão principal (Rankine) (b) O critério da máxima tensão cisalhante (Tresca) (c) O critério da energia de distorção (Von Mises) Solução:

Como é um estado de cisalhamento puro, as três tensões principais são

(a) O critério da máxima tensão principal (Rankine)

(b) O critério da máxima tensão cisalhante (Tresca)

(c) O critério da energia dedistorção (Von Mises)

32. Um vaso de pressão de paredes finas com extremidades fechadas está sujeito a uma pressão interna p 5 100 psi (689,5 kPa) e ainda a um torque T em torno de seu eixo de simetria. Determine o valor de T que causará o escoamento, de acordo com o critério de Von Mises. O projeto exige um coeficiente de segurança de 2. O diâmetro nominal do vaso de pressão éD 5 20 polegadas (50,8 cm), a espessura da parede é t 5 0,1 polegada (0,25 cm) e o limite de escoamento do material é igual a 30 ksi (1 ksi 5 1000 psi 5 6,895 MPa). As tensões em um cilindro de paredes finas são a tensão longitudinal, sl, a tensão radial, sh, e a tensão cisalhante devida à torção, t. Elas são dadas por

42

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações Solução:

33. Um eixo de aço prensado a frio é usado para transmitir 60 kW a 500 rpm de ummotor. Qual deve ser o diâmetro do eixo se ele tem 6 m de comprimento e é simplesmente apoiado em sua extremidade? O eixo também está sujeito à flexão em consequência da atuação de uma carga distribuída transversal de 200 N/m. Ignore a flexão devida ao peso do eixo. Use um coeficiente de segurança igual a 2. O limite de escoamento à tração é 280 MPa. Encontre o diâmetro usando tanto a teoria da máxima tensão cisalhante como o critério de von Mises para o escoamento. Solução:

Observe que, na solução a seguir, a falha será ocasionada pelas tensões cisalhantes devidas à torção e pelas tensões de flexão da carga distribuída. Ignoraremos os efeitos das tensões cisalhantes transversais devidas à carga distribuída, uma vez que elas serão muito pequenas em comparação com as tensões de flexão e com as tensões cisalhantes devidas à torção.

O momento fletor máximo ocorrerá no centro do eixo, cujo valor é

Além disso, o torque aplicado pode ser calculado a partir da potência, com o valor de

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

43

Os dois componentes de tensão, sxx e txy, podem ser calculados usando o momento fletor e o torque, como

(a) Teoria da máxima energia de distorção: Como há apenas dois componentes de tensão diferentes de zero, a tensão de Von Mises pode ser calculada por

Substituindo os componentes de tensão na expressão anterior, podemos resolvê-la a fim de encontrar o diâmetro D 5 46,02 mm. (b) Critério da máxima tensão cisalhante: Para calcular a tensão cisalhante máxima, em primeiro lugar são calculadas

as tensões principais

Então, a tensão cisalhante máxima se torna

Substituindo os componentes de tensão na expressão anterior, podemos resolvê-la e encontrar o diâmetro desconhecido, D 5 47,33 mm.

34. Para a matriz de tensões apresentada a seguir, as duas tensões principais são dadas por s1 5 2 e s3 5 23, respectivamente. Além disso, as duas direções principais correspondentes às tensões principais também são dadas a seguir. O limite (tensão) de escoamento de uma estrutura é dado por sY 5 4,5.

(a) Calcule o coeficiente de segurança baseado na teoria da máxima tensão cisalhante e determine se a estrutura está em segurança. (b) Calcule o coeficiente de segurança baseado na teoria da energia de distorção e determine se a estrutura encontra-se dentro dos limites de segurança. Solução: Continuação do Problema 9.

Do Problema 9,

s1

5

2,

s2

5

1,

s3

5 2

3. Desta forma, a tensão de Von Mises se torna sVM 5 Além disso, a tensão de cisalhamento máxima se torna

tmáx 5 (s1 2 s3)/2 5 2,5.

(1)

Portanto, a estrutura não está segura.

44

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

(2)

. Portanto, a estrutura não está segura.

35. A figura a seguir mostra um eixo com diâmetro de 1,5 polegada (3,81 cm) sujeito a um carregamento de um momento fletor Mz 5 5.000 lb?in (564,9 N?m), um torque T 5 8.000 lb?in (903,9 N?m) e uma força axial (normal) de tração N 5 6.000 lb (26,69 kN). Se o material for dúctil com a tensão de escoamento sY 5 40.000 psi (275,8 MPa), determine o coeficiente de segurança usando (a) a teoria da máxima tensão de cisalhamento e (b) a teoria da máxima energia de distorção.

Solução:

Com base nas condições de carregamento dadas, o valor do cisalhamento será o mesmo em todas as superfícies externas, ao passo que a superfície inferior terá a máxima tensão de tração devida ao momento fletor e à tração. Desta forma, se o material entrar em colapso, começará pela superfície inferior. Vamos considerar um retângulo infinitesimal na superfície inferior. Então, os componentes de tensão diferentes de zero serão sxx e txz.

Cada componente de tensão pode ser calculado, utilizando a mecânica (ou resistência) dos materiais, por

Tensões principais

(a) Teoria da máxima tensão decisalhamento

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

45

(b) Teoria da máxima energia de distorção

36. Uma barra de material dúctil com diâmetro de 20 mm e com tensão de escoamento de 350 MPa está sujeita a um torque T 5 100 N?m e a um momento fletor M 5 150 N?m. A seguir, uma força normal de traçãoP é aplicada gradualmente. Qual o valor da força axial quando ocorrer o escoamento da barra? Resolva o problema de duas maneiras, usando (a) a teoria da máxima tensão de cisalhamento e (b) a teoria da máxima energia de distorção.

Solução:

(a) O escoamento ocorre na superfície inferior na qual tanto M como P produzem tensão de tração. Nessa superfície inferior, os componentes de tensão são

E todos os outros componentes são iguais a zero. Agora, a tensão de cisalhamento máxima é expressa em termos de componentes de tensão:

Na equação anterior, são usadas as seguintes relações:

Então, A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer o valor da força axial P 5 41,413 N. (b) A tensão de Von Mises pode ser escrita, em termos dos componentes de tensão, como

Depois de resolver a equação e encontrar o valor da força axial, temos P 5 44,353 N. A teoria da energia de distorção permite uma força axial maior.

37. Um eixo circular de raio r, como o representado na figura, tem um momento de inércia I e um momento de inércia polar J. O eixo está submetido a uma torção Tz no eixo positivo z e a um momento fletor Mx no eixo positivo x. O material é aço doce com tensão de escoamento de 2,8 MPa. Para os cálculos, use apenas o sistema de coordenadas indicado.

46

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

(a) Se Tz e Mx forem aumentados gradualmente, que ponto (ou pontos) atingirá a ruptura antes dos outros, entre os quatro pontos (A, B, C e D)? Identifique todos. (b) Construa a matriz de tensões [ s]A no ponto A em coordenadas xyz e em termos dos parâmetros fornecidos (i.e., Tz, Mx, I, J e r). (c) Calcule as tensões principais no ponto B em termos dos parâmetros fornecidos. (d) Quando as tensões principais em um ponto C forem s1 5 1, s2 5 0 e s3 5 22 MPa, calcule os coeficientes de segurança (1) com base na teoria da máxima tensão cisalhante e (2) com base na teoria da energia de distorção.

Solução:

(a) O momento fletor produzirá a tensão máxima nos pontos A e C. Desta forma, A e C entrarão em colapso em primeiro lugar. (b) No ponto A, os componentes de tensão diferentes de zero são

Desta forma, a matriz das tensões se torna

(c) No ponto B, o único componente diferente de zero é

Desta forma, as três tensões principais são

(d) De acordo com o critério de máxima tensão de cisalhamento,

Pelo critério de Von Mises,

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

47

38. Um corpo de prova plástico e retangular de tamanho 100 3 100 3 10 mm3 é colocado em um molde metálico retangular. As dimensões do molde são 1013 101 3 9 mm 3. O plástico é comprimido por uma prensa rígida até ficar completamente dentro do molde. Devido ao coeficiente de Poisson, o plástico também se expande nas direções x e y e preenche todos os espaços. Calcule todos os componentes de tensões e deformações e a força exercida pela prensa. Admita que não haja atrito entre todas as superfícies de contato. O molde de metal é rígido. As constantes elásticas do plástico são E 5 10 GPa, n 5 0,3.

Solução:

As deformações no corpo de prova são calculadas como a taxa de variação de comprimento em relação ao comprimento srcinal.

Admitimos que o plástico se dilata lateralmente e preenche completamente os espaços. Se não preencher, teremos valores positivos parasxx e/ou syy, que indicarão que nossa hipótese estava errada. Então podemos admitir sxx e/ou syy 5 0 e refazer o problema e obter as deformações correspondentes exx e/ou eyy que serão menores do que as calculadas anteriormente. Como não há atrito entre as superfícies em contato, todas as tensões de cisalhamento e em consequência todas as deformações de cisalhamento serão identicamente iguais a zero. As tensões normais podem ser obtidas a partir das relações tridimensionais tensão-deformação:

Substituindo as deformações e as constantes elásticas E e n obtemos as seguintes tensões

Como sxx e syy são negativos (compressão), nossa hipótese inicial sobre as deformações está correta. A força na prensa

é obtida utilizando o valor desz e da área da seção transversal:

48

Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações

39. Repita o Problema 38 com constantes elásticas do plástico iguais a E 5 10 GPa, n 5 0,485. Solução:

As deformações no corpo de prova plástico são calculadas como a taxa de variação de comprimento em relação ao comprimento srcinal.

Admitimos que o plástico se dilata lateralmente e preenche completamente os espaços. Se não preencher, teremos valores positivos parasxx e/ou syy, que indicarão que nossa hipótese estava errada. Então podemos admitir sxx e/ou syy 5 0 e refazer o problema e obter as deformações correspondentes exx e/ou eyy que serão menores do que as calculadas anteriormente. Como não há atrito entre as superfícies em contato, todas as tensões de cisalhamento e em consequência todas as deformações de cisalhamento serão identicamente iguais a zero. As tensões normais podem ser obtidas a partir das relações tridimensionais tensão-deformação:

Substituindo as deformações e as constantes elásticas E e n, obtemos as seguintes tensões:

Como sxx e syy são negativos (compressão), nossa hipótese inicial sobre as deformações está correta. A força na prensa

é obtida utilizando o valor de szz e da área da seção transversal:

Nota: A força da prensa para este problema é quase 8 vezes a do Problema 38. O aumento se deve ao coeficiente de Poisson. À medida que a compressibilidade do material diminui, o coeficiente de Poisson aumenta. Por exemplo, quando n Æ 0,5 o material se torna incompressível, i.e., seu volume não pode ser alterado e as tensões se tornam infinitas. Observe a existência do termo (1 2 2n) no denominador da relação constitutiva anterior. 40. Repita o Problema 38 com um corpo de prova de dimensões 100 3 100 3 10 mm3 e com um molde de dimensões 104 3 104 3 9 mm3. As constantes elásticas do plástico são E 5 10 GPa, n 5 0,3. Solução:

A deformação na direção z permanece a mesma, uma vez queez 5 (9 2 10)/10 5 20,1. Da mesma forma que antes, se admitirmos que o corpo de prova preenche completamente a cavidade, as deformações serão

As tensões são calculadas usando

Obtemos {sxx syy szz} 5 {1192 1192 2885} MPa. Essas tensões não são possíveis fisicamente, uma vez que as paredes da cavidade não pode m exercer tensões de tra-

ção no corpo de prova. Repetiremos o cálculo comsx 5 sy 5 0. Na realidade isso é o estado uniaxial de tensões, e as deformações são obtidas com os valores de ex 5 ey 5 2nez 5 0,03. A extensão da placa nas direções x e y é dada por Dx 5 Dx 5 104 3 0,03 5 3,12 mm. Observe que a expansão do corpo de prova é menor do que a folga de 4 mm.

Capítulo 2

Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 1. Três corpos rígidos, 2, 3 e 4, estão unidos por quatro molas, conforme mostra a figura. Uma força horizontal de 1.000 N é aplicada ao Corpo 4 conforme a figura. Encontre os deslocamentos dos três corpos e as forças (tração/ compressão) nas molas. Qual é a reação na parede? Admita que os corpos só possam sofrer translação na direção horizontal. As constantes de mola (N/mm) são r1 5 400, r2 5 500, r3 5 500, r4 5 300.

Solução:

Equações de equilíbrio do elemento:

Equações de equilíbrio nodais:

Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação matricial da estrutura:

50

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Aplicando a condição de contorno u1 5 0 (parede rígida), obtemos

A força de reação R1, pode ser obtida a partir da primeira linha das equações estruturais, e vale

2. Três corpos rígidos, 2, 3 e 4, estão unidos por seis molas, conforme mostra a figura. As paredes rígidas são representadas por 1 e 5. Uma força horizontal F3 5 1.000 N é aplicada ao Corpo 3 no sentido mostrado na figura. Encontre os deslocamentos dos três corpos e as forças (tração/compressão) nas molas. Quais são as reações nas paredes? Admita que os corpos só possam sofrer translação na direção horizontal. As constantes de mola (N/mm) são r1 5 500, r2 5 400, r3 5 600, r4 5 200, r5 5 400 e r6 5 300.

Solução:

Equações de equilíbrio do elemento:

Equações de equilíbrio nodais:

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

51

Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação matricial da estrutura:

Aplicando a condição de contorno u1 5 u5 5 0 (parede rígida) e apagando a primeira e a quinta linhas e colunas, pode-se obter a seguinte equação matricial global:

As forças nas molas são calculadas usando P 5 k(uj 2 ui):

As forças de reação R1 e R5 podem ser obtidas a partir da primeira linha e da última linha das equações estruturais, e valem

3. Veja o sistema massa-mola descrito no Problema 2.Que forçaF2 deve ser aplicada à Massa 2 para evitar que ela se mova? Como isso influirá nas reações de apoio? Sugestão: Imponha a condição de contorno u2 5 0 no modelo de elementos finitos (MEF) e encontre os deslocamentos u3 e u4. A seguir, a forçaF2 será a reação no Nó 2.

Solução:

Colocando a força desconhecida F2 no Nó 2, a equação estrutural se torna

Neste caso, u1, u2 e u5 são nulos e, portanto, suas linhas e colunas podem ser apagadas. Depois de aplicar as condições de contorno, a equação global se torna

Resolvendo a equação de modo a encontrar o valor deu3 e de u4, chega-se a

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Resolvendo de modo a encontrar as reações, chega-se a

A força F2 exigida é de 706,9 N e as forças nas reações de apoio são reduzidas para F1 5 737 N; F5 5 263 N para F1 5 189,7 N; F5 5 103,4 N.

4. Quatro corpos rígidos, 1, 2, 3 e 4, estão unidos a quatro molas conforme mostra a figura. Uma força horizontal de 1.000 N é aplicada ao Corpo 1, conforme a figura. Usando a análise de EF, (a) encontre os deslocamentos dos dois corpos (1 e 3), (b) encontre a força nos elementos (tração/compressão) da mola 1, e (c) as forças de reação na parede da direita (Corpo 2). Admita que os corpos só possam apresentar translação na direção horizontal. As constantes de mola (N/mm) são k1 5 400, k2 5 500, k3 5 500 e k4 5 300. Não altere os números dos nós e dos elementos.

Solução:

Equações de equilíbrio do elemento:

Equações de equilíbrio nodais:

Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação matricial estrutural:

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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Aplicando a condição de contorno u2 5 u4 5 0 (parede rígida) e apagando a segunda e a quarta linhas e colunas, pode-

se obter a seguinte equação matricial global:

Calculam-se as forças nas molas usando P 5 k(uj 2 ui):

As forças de reação R2 e R4 podem ser obtidas a partir da segunda e da última linhas da equação estrutural, e valem

5. Determine os deslocamentos nodais e as forças de reação usando o método direto de rigidez. Calcule os deslocamentos nodais e das forças nos elementos usando o programa de EF.

Solução:

Os elementos e os nós são indicados por E e N, respectivamente, da seguinte maneira:

Do esquema de numeração anterior, a tabela de conectividade é

A equação matricial para cada elemento pode ser escrita como Elemento (1):

Elemento (2): Combinando as duas matrizes de rigidez elementares usando o equilíbrio em cada nó, a matriz de rigidez global pode ser obtida como (1)

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Impondo a condição de contorno ( u3 5 0, porque o Nó 3 está fixo na parede), a equação anterior é simplificada para

Resolvendo as equações lineares anteriores, obtemos os seguintes deslocamentos nodais:

E a força de reação no Nó 3 pode ser calculada por meio da Eq. (1), da seguinte maneira:

6. Na estrutura mostrada, os blocos rígidos estão unidos a molas lineares. Imagine que só são permitidos deslocamentos horizontais. Escreva as equações de equilíbrio global [K]{Q} 5 { F} depois de aplicar as condições de contorno em deslocamentos em termos das rigidezes das molas, ki, dos graus de liberdade (GLs) ui e das cargas aplicadas Fi.

Solução:

Suponha que os dois pontos fixos sejam os Nós 4 e 5. A equação matricial de cada elemento pode ser escrita como

Montagem:

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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Eliminando a quarta e a quinta linhas e colunas pela aplicação das condições de contorno,

7. Uma estrutura é composta de dois elementos unidimensionais de barra. Quando uma força de 10 N for aplicada ao nó 2, calcule o vetor dos deslocamentos Q { }T 5 {u1, u2, u3} usando o método dos elementos finitos.

Solução:

Equações do elemento:

Montagem:

Aplicando as condições de contorno de uma parede rígida: u1 5 u3 5 0

Desta forma, {Q}T 5 {ui, u2, u3} 5 {0, 0,02, 0} m. 8. Use o MEF para determinar a força axial P em cada parte, AB e BC, da barra uniaxial. Quais são as reações de apoio? Admita E 5 100 GPa; as áreas da seção transversal das duas partes AB e BC são, respectivamente, 10 4 m² e 2 3 10 4 m² e F 5 10.000 N. A força F é aplicada na seção transversal em B. 2

2

Solução:

Equações do elemento:

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Montagem:

Aplicação das condições de contorno (u1 5 u3 5 0) eliminando linhas e colunas:

Resolvendo a equação anterior, chega-se a:u2 5 0,111 mm. Reações de apoio:

A força axial P(1) na parte AB:

A força axial P(2) na parte BC:

9. Considere uma barra biengastada de seção transversal circular. O comprimento da barra de 1é m, e o raio varia se gundo a fórmular(x) 5 0,050 2 0,040x, onde r e x estão em metros. Admita o módulo de elasticidade longitudinal 5 100 MPa. Ambas as extremidades da barra estão fixasF e5 10.000 N está aplicada no centro. Determine os deslocamentos, a distribuição das forças axiais e as reações nas paredes usando quatro elementos de comprimentos iguais.

Sugestão: Para aproximar a área da seção transversal de um elemento de barra, use a média geométrica das áreas (e)

das extremidades do elemento, i.e., A Solução:

5

5

p rirj.

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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Raio em cada posição nodal: r1 5 0,05, r2 5 0,04, r3 5 0,03, r4 5 0,02, r5 5 0,01 m. Então, a área e a rigidez de cada elemento podem ser aproximadas de acordo com a tabela a seguir.

Equação matricial do sistema:

Como os Nós 1 e 5 estão fixos, as linhas e colunas são eliminadas para que seja obtida a equação matricial global, da seguinte forma:

Resolvendo a equação anterior, são obtidos os seguintes deslocamentos nodais:

Por meio da primeira eda última linhas da equação matricial srcinal, podem ser obtidas as seguintes forças de reação:

O sinal negativo significa que as forças agem na estrutura, da direita para a esquerda. As forças nos elementos podem ser encontradas usando a Eq. (2.22):

10. A barra com trechos diferentes de seções transversais constantes mostrada na figura está sujeita a uma força no centro. Use o MEF para determinar o deslocamento no centro e as reações RESQ e RDIR. Admita: E 5 100 GPa; as áreas das seções transversais das três partes mostradas são, respectivamente, 10 4 m², 2 3 10-4 m² e 10 4 m² e F 5 10.000 N. 2

2

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução:

Resolvemos o problema usando quatro elementos. Como a força só pode ser aplicada nos nós, a seção média é dividida em dois elementos. As propriedades de cada elemento são dadas na tabela a seguir:

Equação matricial do sistema:

Como os Nós 1 e 5 estão fixos, as linhas e colunas correspondentes são eliminadas para que seja obtida a seguinte equação matricial global:

Resolvendo as equações anteriores, os deslocamentos nodais desconhecidos podem ser obtidos como

Desta forma, o deslocamento no centro é 0,2 mm. Por meio da primeira e da última linhas da equação matricial original, podem-se obter as forças de reação como

O sinal negativo significa que as forças agem na estrutura, da direita para a esquerda. 11. Usando o método direto da rigide z, encontre os deslocamentos nod ais, as forças em cada elemento es areações.

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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Solução:

Equações do elemento:

Montagem:

Aplicação das condições de contorno (u1 5 u3 5 u4 5 0) eliminando linhas e colunas:

Resolvendo a equação anterior, chega-se a:u2 5 20,133 in. Reações de apoio:

As forças do elemento podem ser calculadas da seguinte forma:

12. Uma barra com duas partes de seções transv ersais constantes e de áreas diferentes está ixaf em uma extremidade e está sujeita a forças concentradas conforme ilustrado. Observação: Os números dos nós não estão na ordem usual!

Admita: E 5 100 GPa, menor área de seção transversal 5 1 cm²; e maior área de seção transversal 5 2 cm². (a) Escreva as matrizes de rigidez dos Elementos 1 e 2, mostrando os endereços das linhas. (b) Combine as matrizes de rigidez do item anterior de modo a obter as equações correspondentes no nível estrutural na forma [KS]{QS} 5 {FS}. (c) Elimine as linhas e colunas que correspondam a graus de liberdade nulos para obter as equações globais na forma [K]{Q} 5 {F}. (d) Determine os deslocamentos e as forças nos elementos.

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução:

(a) Matrizes de rigidez dos elementos Elemento 1:

Elemento 2: (b) Montagem

(c) Aplicação das condições de contorno eliminando a terceira linha e coluna:

(d) Resolvendo a equação anterior, u1 5 0,15 mm, u2 5 20,05 mm. As forças nos elementos podem ser obtidas por

13. A equação de elementos finitos de barra uniaxial pode ser usada para outros tipos de problemas de engenharia, se a analogia adequada for aplicada. Por exemplo, considere a rede de tubos mostrada na figura. Cada seção da rede pode ser modelada usando um elemento finito. Se o fluxo for laminar e permanente, podemos escrever as equações para um único elemento de tubo, da seguinte forma:

onde qi e qj são os fluxos de fluido nos nós i e j, respectivamente;Pi e Pj são as pressões nos fluidos nos nós i e j, respectivamente; eK é

onde D é o diâmetro do tubo, m é a viscosidade, e L é o comprimento do tubo. O fluxo de fluido é considerado positivo quando se afasta do nó. A viscosidade do fluido é 93 10 4 Pa?s. 2

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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(a) Escreva a equação matricial do elemento para o fluxo no elemento de tubo. (b) Os valores dos fluxos que entram nos nós 1 e 2 são de 10 e 15 m³/s, respectivamente. As pressões nos nós 6, 7 e 8 são iguais a zero. O valor do fluxo de entrada nos nós 3, 4 e 5 é zero. Qual é o fluxo de saída dos elementos 4, 6 e 7?

Solução:

(a) A equação matricial do elemento se torna:

Comparando com elementos uniaxiais de barra, a pressão nodal corresponde ao deslocamento nodal, ao passo que o fluxo corresponde à força nodal. (b) Usando a tabela anterior, K pode ser calculado para cada elemento, como

Então, os sete elementos são combinados para formar a seguinte matriz global:

62

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Como as pressões nos Nós 6, 7 e 8 são iguais a zero, podemos eliminar as linhas e as colunas correspondentes a esses nós. Então a equação matricial global se torna

A equação anterior pode ser resolvida e fornecer as seguintes pressões nodais desconhecidas:

Desta forma, o fluxo de saída pode ser calculado como

14. Para a estrutura de treliça bidimensional mostrada na figura, determine os deslocamentos dos nós e as tensões E 5 30 3 106 N/cm² e o diâmetro da normais desenvolvidas nas barras usando o método direto de rigidez. Use seção transversal circular de 0,25 cm.

Solução:

Os números dos elementos, os números dos nós e o sistema de coordenadas usados aqui estão de acordo com a figura abaixo.

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Tabela de conectividade

Matriz de rigidez do elemento após a aplicação da transformação nas coordenadas globais:

Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

As três matrizes de rigidez dos elementos são reunidas na matriz de rigidez global:

63

64

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

O Nó 1 está fixo (u1 5 v1 5 0) e o Nó 2 está fixo na direção vertical (v2 5 0). As condições de contorno conhecidas estão indicadas na seguinte equação matricial:

Eliminando as linhas e colunas que correspondem aos deslocamentos nulos, temos

A equação anterior pode ser resolvida, para fornecer os deslocamentos desconhecidos, da seguinte forma:

Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando a Eq. (2.45):

15. Para uma estrutura de treliça bidimensional, conforme a figura, determine os deslocamentos dos nós e as tensões E 5 30 ¥ 106 N/cm² e o diâmetro da senormais desenvolvidas usando um programa de EF dos Apêndices. Use ção transversal circular de 0,25 cm.

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução:

Tabela de conectividade

Matriz de Rigidez dos Elementos Isolados após a aplicação da transformação

Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

Elemento 4:

Matriz de rigidez global após a montagem

65

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Os Nós 1 e 4 são fixos (u1 5 v1 5 u4 5 v4 5 0). As condições de contorno conhecidas estão indicadas na seguinte equação matricial:

Eliminando as linhas e as colunas que correspondem aos deslocamentos nulos, temos:

Encontrando os deslocamentos, temos:

Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando a Eq. (2.45):

16. A estrutura de treliça mostrada na figura suporta uma força F no Nó 2. O MEF é usado para analisar essa estrutura por meio de dois elementos de treliça, conforme a ilustração.

(a) Calcule a matriz de transformação para os Elementos 1 e 2. (b) Calcule as matrizes de rigidez dos elementos para ambos os elementos no sistema de coordenadas globais. (c) Combine as matrizes de rigidez e os vetores de forças para a equação matricial da estrutura [KS]{QS} 5 {FS} antes de aplicar as condições de contorno. (d) Resolva a equação de EF após aplicar as condições de contorno. Escreva os deslocamentos nodais em coordenadas globais. (e) Calcule a tensão no Elemento 1. Ela é de tração ou de compressão?

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução:

(a) Para o Elemento 1, q 5 0º. A matriz de transformação é

Para o Elemento 2, q 5 245º. A matriz de transformação é

(b) Para o Elemento 1

Para o Elemento 2

(c) Após a montagem, a equação matricial estrutural se torna

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

(d) Como os Nós 1 e 3 estão fixos, as variáveis conhecidas estão indicadas na seguinte equação:

As seguintes linhas e colunas são eliminadas: 1, 2, 5 e 6. Depois de eliminar essas linhas e colunas, a equação matricial global se torna

A equação anterior pode ser resolvida, de modo a serem encontrados os deslocamentos desconhecidos, da seguinte maneira:

As reações de apoio podem ser calculadas utilizando as linhas eliminadas, da seguinte forma

(e) Para o Elemento 1, calculamos os seguintes deslocamentos locais:

A seguir, podem ser calculadas as forças nodais para o elemento usando a equação matricial do elemento, da seguinte maneira:

A tensão no elemento pode ser encontrada dividindo a força no elemento pela área, uma tensão de tração.

Observe que ela é

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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17. A estrutura de treliça mostrada na figura suporta a força F. Usa-se o MEF para analisar essa estrutura por meio de dois elementos de treliça, conforme a ilustração. Área da seção transversal (para todas as barras) 5 A 5 2 in² (12,9 cm2). Módulo de elasticidade longitudinal 5 E 5 30 3 106 psi (2,07 3 10 6 MPa). Ambos os elementos possuem o mesmo comprimento L 5 10 ft (3,05 m). (a) Calcule a matriz de transformação para os Elementos 1 e 2 para transformações entre o sistema de coordenadas globais e locais de cada elemento. (b) Calcule as matrizes de rigidez dos Elementos 1 e 2. (c) Faça a montagem da equação matricial da estrutura [ KS]{QS} 5 {FS} (sem aplicar as condições de contorno). (d) Após resolver as equações finais, determina-se que os componentes de deslocamentos do nó 1 são u1x 5 1,5 3 10 2 in (3,81 3 10 2 cm), u1y 5 20,5 3 10 2 in (21,27 3 10 2 cm). Calcule a carga aplicadaF. (e) Calcule a tensão e a deformação no Elemento 1. 2

2

2

Solução:

Tabela de conectividade

(a) Para o Elemento 1, q 5 0º. A matriz de transformação é

Para o Elemento 2, q 5 90º. A matriz de transformação é

(b) Para o Elemento 1

2

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Para o Elemento 2

(c) Após a montagem, a equação matricial estrutural se torna

(d) Como os Nós 2 e 3 estão fixos, as linhas e colunas que correspondem aos graus de liberdade restritos são eliminadas, para que seja obtida a equação matricial global, da seguinte forma:

Para os deslocamentos nodais dados u1 5 1,5 3 10 2 in e v1 5 20,5 3 10 2 in, a equação matricial anterior leva a 2

2

(e) Para o Elemento 1, utilizando a Eq. (2.45), a força no elemento é

A tensão no elemento é de tração.

18. Use o MEF para resolver a treliça plana mostrada a seguir . Admita AE 5 106 N, L 5 1 m. Determine os deslocamentos nodais, as forças em cada elemento e as reações de apoio.

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução:

Tabela de conectividade

Matriz de rigidez dos elementos isolados após a transformação

Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

Matriz de rigidez global depois da montagem

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Aplicação das condições de contorno

A eliminação das linhas e colunas leva à seguinte equação matricial:

Encontrando os deslocamentos, temos:

Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra por meio de

As reações de apoio são

19. A treliça plana mostrada na figura tem dois elementos e três nós. Calcule as matrizes de rigidez 4 3 4 dos elementos. Mostre claramente os endereços das linhas. Desenvolva as equações finais (depois de aplicar as condições de contorno) para a treliça na forma de [ K]{Q} 5 {F}. Quais são os deslocamentos nodais e as forças nos elementos? Admita: E 5 1011 Pa, A 5 10 4 m², L 5 1 m, F 5 14.142 N. 2

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução:

Tabela de conectividade

Matriz de rigidez do elemento isolado após a aplicação da transformação

Elemento 1:

Elemento 2:

Matriz de rigidez global após a montagem

Aplicação das condições de contorno

73

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Eliminando as linhas e colunas obtém-se a seguinte equação matricial:

Encontrando os deslocamentos, obtém-se

Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando

20. Use o MEF para resolver os dois problemas de treliças planas mostrados na figura a seguir. Admita AE 5 106 N, L 5 1 m. Antes de resolver as equações globais [K]{Q} 5 {F}, encontre o determinante de [K]. A matriz [K] possui uma inversa? Explique sua resposta.

Solução:

Depois de eliminar as linhas e colunas que correspondem aos graus de liberdade restritos, as duas treliças anteriores apresentam as seguintes equações matriciais globais:

Treliça 1:

Treliça 2:

Depois de encontrar o determinante das duas matrizes de rigidez, o primeiro conjunto de condições de contorno não é válido para um problema estático porque o determinante de [ K] é nulo e, portanto, a matriz não pode ser invertida. A condição de apoio de primeiro gênero (em rolete) da Treliça 1 permite a rotação da treliça inteira como um corpo rígido. Desta forma, não pode ser encontrada uma solução única para os deslocamentos.

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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21. Determine as forças e as tensões axiais em cada barra da treliça mostrada na figura usando um dos programas de elementos finitos do Apêndice. Admita que o módulo de elasticidade transversal é 104 psi (689,5 MPa) e que todas as seções transversais são circulares, com um diâmetro de 2 in (5,1 cm). Compare os resultados com as soluções exatas obtidas do diagrama de corpo livre.

Solução:

(a) Solução exata: O Diagrama de Corpo Livre da estrutura se torna:

A barra BC é um elemento que não está submetido a força alguma (barra de força nula). Desta forma, a força e a tensão em BC serão iguais a zero. Equilíbrio de momentos:

A seguir, usando o método dos nós, encontre as forças internas nas barras DF e EF.

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Portanto, (b) Solução de elementos finitos: Usaremos a caixa de ferramentas TLAB MA no Apêndice D para a análise de elementos finitos. A listagem de programa a seguir mostra os comandos exigidos para realizar análise a de elementos finitos.

A tabela a seguir mostra a força e a tensão normal (axial) em cada barra.

A figura a seguir mostra a geometria deformada.

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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22. Determine a tensão normal em cada barra da estrutura de treliça. Todos os nós são juntas esféricas e o material é aço, cujo módulo de elasticidade longitudinal é E 5 210 GPa.

Solução:

Tabela de conectividade

A fim de economizar espaço, escrevemos as matrizes de rigidez apenas para os graus de liberdade ativos. Isso é equivalente a aplicar asescrevemos condições adematriz contorno no nível elemento. em consequência, de rigidez 33do 3 para u2, v2 ePor w2. exemplo, no Elemento 1, o Nó 1 está fixo, e,

Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

Neste caso, reunimos apenas os três graus de liberdade (u2, v2 e w2), para obter a equação matricial global, da seguinte forma:

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Como já aplicamos as condições de contorno, a matriz de rigidez global na equação anterior é positiva definida. Depois de resolvê-la, a fim de fornecer os deslocamentos desconhecidos, temos

Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando a Eq. (2.53), vem

23. A treliça espacial mostrada tem quatro barras. Determine os componentes de deslocamentos do Nó 5 e a força em cada barra. Os números dos nós são os números no interior dos círculos na figura. As dimensões da caixa imaginária que encerra a treliça são: 1 m 3 1 m 3 2 m. Admita AE 5 106 N. As coordenadas dos nós são dadas na tabela a seguir.

Solução:

Tabela de conectividade

A fim de economizar espaço, eliminaremos os graus de liberdade fixos no nível do elemento, isto é, aplicamos as condições de contorno no nível do elemento. Elemento 1:

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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Elemento 2:

Elemento 3:

Elemento 4:

Combinando todas as quatro matrizes dos elementos, obtemos a seguinte equação matricial:

Encontrando os deslocamentos desconhecidos ao resolver as equações anteriores, temos

Calculando as forças nas barras usando a Eq. (2.53), vem

24. A barra uniaxial mostrada a seguir pode ser modelada como uma treliça unidimensional. A barra tem as seguintes propriedades: L 5 1 m, A 5 10 4 m², E 5 100 GPa e a 5 10 4/ºC. A partir do estado inicial, livre de tensões, é aplicada uma força de 5.000 N no Nó 2, e a temperatura é levada para 100ºC abaixo da temperatura de referência. (a) Calcule a equação matricial global após a aplicação das condições de contorno. (b) Resolva a equação e encontre o deslocamento u2. (c) Qual é a força P que atua na barra? 2

2

80

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução:

(a)

Como o Nó 1 está fixo, a primeira linha e coluna são eliminadas. A seguir, temos

(b) Resolvendo a equação anterior: u2 5 0,4 3 10 3 m (c) A força no elemento pode ser calculada como 2

25. Na estrutura mostrada a seguir, a temperatura do Elemento 2 está 100ºC acima da temperatura de referência. É aplicada uma força externa de 20.000 N na direção x (direção horizontal) no Nó 2. Admita E 5 1011 Pa, A 5 10-4 m².

(a) Escreva as matrizes de rigidez e os vetores das forças térmicas de todos os elementos. (b) Escreva a equação matricial global. (c) Resolva as equações globais para determinar o deslocamento do Nó 2. (d) Determine a força em cada elemento. Diga se ela é de tração ou de compressão. (e) Mostre que o equilíbrio de forças é satisfeito no Nó 2. Solução:

(a) Por ser permitido que as conexões (nós) da treliça se movam apenas na direção horizontal, podemos considerar as duas barras como elementos de barra uniaxial, que possuem dois graus de liberdade. As matrizes de rigidez dos elementos e o vetor de cargas térmicas se tornam

(b) A matriz de rigidez estrutural global é

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

81

A seguir, as equações de Elementos Finitos são

(c) Eliminando a primeira e a última linhas e colunas, temos a seguinte equação escalar para u2:

A solução da equação anterior é u2 5 0,5 mm. (1)

(2)

5 0,5 mm, DL DL como (d) Modificações no comprimento as forças nos elementos podemdo serelemento: encontradas

5 20,5 mm. Usando P 5 EA

(DL / L 2 aDT),

(e) No Nó 2:

26. Use a análise de elementos finitos para determinar os deslocamentos nodais na treliça plana mostrada na Figura (a). A temperatura do Elemento 2 está 100ºC acima da temperatura de referência, i.e., DT(2) 5 100ºC. Calcule a força em cada elemento. Mostre que o equilíbrio de forças é satisfeito no Nó 3. Admita L 5 1 m, AE 5 107 N, a 5 5 3 10 6/ºC. 2

Solução:

Tabela de conectividade:

82

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Matrizes de rigidez dos elementos: Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

Elemento 4:

A matriz de rigidez estrutural pode ser obtida, após a montagem das matrizes de rigidez dos elementos, da seguinte forma:

Eliminando os graus de liberdade correspondentes às linhas e colunas fixas, é obtida a seguinte matriz de rigidez global:

Forças nos elementos devidas à variação de temperatura: Elemento 1 Elemento 2:

Elemento 3:

Elemento 4:

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

83

Depois de considerar as forças térmicas e eliminar os graus de liberdade fixos, podemos obter a seguinte equação matricial global:

ou

A equação anterior pode ser resolvida, de modo a fornecer os seguintes deslocamentos nodais, como

Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando

Somando as forças no nó 3, resulta em

27. Repita o Problema 26 com a nova configuração onde foi adicionado o Elemento 5, conforme ilustra a Figura (b). Solução:

Tabela de conectividade

As matrizes de rigidez para os Elementos 1-4 são as mesmas que as do Problema 24. A matriz de rigidez do Elemento 5 se torna

84

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

A matriz de rigidez estrutural pode ser obtida, após serem reunidas as matrizes de rigidez dos elementos, da seguinte forma:

Eliminando os graus de liberdade que correspondem às linhas e colunas fixas, a fim de obter a matriz de rigidez global, vem

As forças nos elementos devidas às variações de temperatura são as mesmas do Problema 24 para os Elementos 1-4. A contribuição do Elemento 5 é igual a zero porque ele permanece a uma temperatura constante.

Depois de reunir as forças térmicas e eliminar os graus de liberdade fixos, podemos obter a seguinte equação matricial global:

ou

A equação anterior pode ser resolvida, de modo a fornecer os seguintes deslocamentos nodais desconhecidos, como

Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

85

Somando as forças no Nó 3, obtém-se:

28. Repita o Problema 26 com uma força externa adicionada no Nó 3, conforme ilustra a Figura (c). Solução:

A tabela as ématrizes rigidez dos3.elementos e a matriz são as mesmas do Problema 25.deAconectividade, única diferença a força de nodal no Nó Desta forma, depoisdederigidez aplicarglobal as condições de contorno, a equação matricial global se torna

ou

A equação anterior pode ser resolvida, de modo a fornecer os seguintes deslocamentos nodais, como

Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando

Somando as forças no Nó 3, vem

29. As propriedades das barras da treliça mostrada na figura do lado esquerdo são dadas na tabela. Calcule os deslocamentos nodais e as forças nos elementos. Mostre que o equilíbrio de forças é satisfeito no Nó 3.

86

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Solução:

Matrizes de rigidez dos elementos

Para o Elemento 5,l 5 cos(45) e m 5 sen(45). Desta forma,

Força térmica no Elemento 5:

Todos os outros elementos não possuem forças térmicas. Depois da montagem, a matriz de rigidez global se torna

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

87

Condição de contorno: u1 5 v1 5 v2 5 0. Equação reduzida:

Solução da equação reduzida:

Usando a fórmula DL 5 l (u2 2 u1) 1 m (v2 2 v1), podemos obter as variações de comprimento como DL(1) 5 DL(2) 5 DL(3) 5 DL(4) 5 0 e DL(5) 5 20,0057. Desta forma, utilizando P 5 EA(DL / L 2 aDT), obtemos:

No Nó 3: ÂFi 5 0 30. Repita o Problema 29 para a treliça mostrada na figura do lado direito. As propriedades do Elemento 6 são idênticas às do Elemento 5, mas DT 5 0ºC. Solução:

As matrizes de rigidez dos elementos 1 a 5 são as mesmas do Problema 27. Para o Elemento 5, l 5 cos (135) e m 5 sen (135). Desta forma,

As forças térmicas para os elementos 1 a 5 são as mesmas do Problema 27 e triz de rigidez global se torna

Condição de contorno: u1 5 v1 5 v2 5 0. Equação reduzida:

5

0. Depois da montagem, a ma-

88

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Solução da equação reduzida:

Usando a fórmula DL 5 l (u2 2 u1) 1 m (v2 2 v1), podemos obter as variações de comprimento como DL(1) 5 DL(2) 5 DL(3) 5 DL(4) 5 20,828 mm, DL(5) 5 24 mm e DL(6) 5 1,657 mm. Utilizando P 5 EA(DL / L 2 aDT), obtemos:

No Nó 3:

Uma vez que

31. A treliça mostrada na figura suporta a força F 5 2.000 N. Ambos os elementos possuem a mesma rigidez axial de AE 5 107 N, o mesmo coeficiente de dilatação térmica a 5 10 6/ºC e o mesmo comprimento L 5 1 m. Enquanto a temperatura no Elemento 1 permanece constante, a temperatura do Elemento 2 é abaixada de 100ºC. (a) Escreva as matrizes de rigidez 4 3 4 [k] dos elementos e os vetores de forças térmicas 4 3 1 {fT} para o Elemento 1 e o Elemento 2. Mostre claramente os endereços das colunas. (b) Combine os dois elementos e aplique as condições de contorno para obter a equação matricial global [ K] {Q} 5 {F} 1 {FT}. (c) Resolva a equação e encontre os deslocamentos nodais. 2

Solução:

(a) As propriedades dos elementos da treliça são dadas na seguinte tabela:

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

89

Elemento 1:

Elemento 2:

(b) Depois de combinar as duas matrizes de rigidez dos elementos, pode-se obter a seguinte equação estrutural:

Depois de eliminar os graus de liberdade correspondentes aos Nós 1 e 3, pode-se obter a seguinte equação matricial global:

(c) A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer u2 5 0,2 mm, v2 5 20,1 mm.

32. A análise por elementos finitos foi usada para resolver o problema de treliça mostrado a seguir. Os deslocamentos que fazem parte da solução foram obtidos como u2 5 1 mm, v2 5 21 mm e u3 5 2 mm e v3 5 21 mm. Nota: Os deslocamentos são dados em mm. (a) Determine as forças axiais P nos Elementos 2 e 4. (b) As forças nos Elementos 3 e 5 foram encontradas com os valores de P(3) 5 22.000 N, P(5) 5 7.070 N. Determine a reação de apoio Ry4 no Nó 4 usando as equações de equilíbrio nodais. As propriedades das barras são listadas na tabela seguinte.

90

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução:

(a) Determine as forças normais (axiais) P no Elemento 2.

Determine as forças normais (axiais) no Elemento 4.

(b) As forças nos Elementos 3 e 5 são encontradas com os seguintes valores: P(3) 5 22.000 N, P(5) 5 17.070 N. Determine as reações de apoio Fy4 no Nó 4 usando as equações de equilíbrio.

33. Use o MEF para resolver a treliça plana mostrada aseguir. Admita AE 5 106 N, L 5 1 m, a 5 20 3 10 6/ºC. A temperatura do Elemento 1 é 100ºC abaixo da temperatura de referência, ao passo que os Elementos 2 e 3 estão na temperatura de referência. Determine os deslocamentos nodais, a força em cada elemento e as reações de apoio. Mostre que o equilíbrio nodal é satisfeito no Nó 4. 2

Solução:

Tabela de conectividade

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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Matrizes de rigidez dos elementos e vetores correspondentes de carga térmica:

Observe que são usados os mesmos endereços para o vetor de carga térmica. Depois de eliminar os nós fixos (1, 2 e 3), a matriz de rigidez total e o vetor de cargas térmicas se tornam

Além disso, o vetor de forças externas se torna

A matriz de rigidez global pode ser obtida usando [K], {FT} e {F}, da seguinte maneira:

A equação matricial acima pode ser resolvida, a fim de fornecer os seguintes deslocamentos nodais, como

As forças nos elementos podem ser obtidas usando o conjunto de fórmulas seguinte:

Elemento 1: Elemento 2: Elemento 3:

92

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Observe que o equilíbrio é satisfeito no Nó 4.

Projeto 2.1. Análise e Dimensionamento de uma Treliça Espacial Uma treliça espacial, como a ilustrada na Figura 2.26, consiste em 25 barras. Inicialmente, todas as barras possuem a mesma seção transversal circular com diâmetro d 5 2,0 in (5,1 cm). Nos nós 1 e 2, é aplicada uma força constante F 5 60.000 lb (266,9 kN) na direção y. Quatro nós (7, 8, 9 e 10) estão fixos no solo. A estrutura reticulada é feita de um material metálico cujas propriedades são módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E 5 3 3 10 7 psi (2,07 3 10 5 MPa), coeficiente de Poisson n 5 0,3, tensão de escoamento sY 5 37.000 psi (255,1 MPa) e massa específica r 5 7,3 3 10 4 lb ?sec²/in 4 (7,8 3 103 kg/m3). Utiliza-se o coeficiente de segurança N 5 1,5. Em consequência das restrições de fabricação, o diâmetro das barras da treliça deve variar entre 0,1 in (2,54 mm) e 2,5 in (6,35 cm). 2

1. Resolva a estrutura de treliça inicial usando os elementos finitos de treliça. Faça um gráfico que mostre a identificação dos elementos e dos nós, além de mostrar as condições de contorno. Mostre a geometria deformada da estrutura e uma tabela que apresente as tensões de cada elemento. 2. Minimize o peso estrutural alterando o diâmetro da seção transversal de cada elemento da treliça, de modo que todas as barras estejam trabalhando dentro dos limites dados pela tensão de escoamento e pelo coeficiente de segurança. Pode-se usar a geometria simétrica da estrutura. Identifique as barras com força zero (ou seja, que não estão sujeitas à ação de qualquer força). Para as barras de força zero, use o limite inferior de diâmetro de seção transversal. ForneçaForneça a geometria deformada paradoo dimensionamento melhor dimensionamento a umadimensionamento tabela com as tensões de cada elemento. os pesos estruturais inicial ejunto do melhor (dimensionamento ótimo).

Figura 2.26 Treliça plana com 25 barras

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

93

Demonstraremos o projeto da estrutura do quadro espacial usando a caixa de ferramentas MATLAB. (a) Análise inicial Com o diâmetro inicial5 2 in, o modelo de elementos finitos e a geometria deformada são mostrados na figura a seguir.

Os deslocamentos nodais de cada nó são mostrados na tabela a seguir:

As tensões nos elementos são mostradas na tabela a seguir.

A seguir, está a listagem do programa MATLAB usado para a Parte (a)

94

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

(b) Otimização da treliça espacial Usamos a função “fmincon” do MATLAB para a otimização. Na situação ótima, as tensões nos elementos são mostradas na tabela a seguir.

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

O diâmetro de cada elemento é mostrado na tabela a seguir.

A seguir, está a listagem dos programas que foram usados na otimização. Função principal (main)

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Função OBJPRJ.m

Função CONPRJ.m

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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Projeto 2.2. Análise e Dimensionamento de umaTreliça Plana 1

A treliça mostrada na Figura 2.27 tem dois elementos. As barras são feitas de uma seção transversal quadrada e vazada, de alumínio. A dimensão externa do quadrado é 12 mm e a dimensão interna é 9 mm. (A espessura de parede é 1,5 mm em todos os quatro lados.) Admita o módulo de elasticidade longitudinal E 5 70 GPa e a tensão de escoamento sY 5 70 MPa. O módulo da força no Nó 1 F( ) é igual a 1.000 N.

Figura 2.27 Treliça plana e domínio do problema para o Projeto 2.2

1. Use o MEF para determinar os deslocamentos do Nó 1 e as forças axiais dos Elementos 1 e 2. Use a teoria de escoamento de Von Mises para determinar se os elementos escoarão ou não. Use a carga de flambagem de Euler (Pcr 5 p²EI/L²) para determinar se os elementos submetidos a tensões compressivas irão flambar. Nas expressões anteriores, Pcr é a força axial de compressão,E é o módulo de elasticidade longitudinal, I é o momento de inércia da seção transversal dado por onde ae e ai, respectivamente, são a dimensão externa e a dimensão interna da seção transversal quadrada, vazada, e L é o comprimento do elemento. 2. Dimensione novamente a treliça, de forma que tanto a restrição de tensão como a de flambagem estejam satisfeitas respeitando um Coeficiente de Segurança de N não menor do que 2 para tensões, e N não menor do que 1,2 para

flambagem. O objetivo de seu dimensionamento deve ser reduzir ao máximo o peso da treliça. A treliça deve estar contida dentro do retângulo virtual mostrado pelas linhas tracejadas. O Nó 1 deve receber uma carga vertical de cima para baixo F 5 1.000 N. Os nós na parede da esquerda estão totalmente fixos. Os nós que não estão presos à parede estão completamente livres para se moverem nas direções x e y. Use a mesma seção transversal para todos os elementos. Calcule a massa da treliça que foi dimensionada. Admita a massa específica do alumínio como 2.800 kg/m³. Desenhe a treliça que foi dimensionada e forneça as coordenadas dos nós e a conectividade dos elementos na forma de uma tabela. Os resultados também os deslocamentos nodais,na as forma forças de emtabela. cada elemento e os coeficientes de segurança para as tensõesdevem e paraincluir a flambagem de cada elemento

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Solução: Tabela 1 Coordenadas Nodais (NODES = Número Total de Nós do Modelo)

Tabela 2 Informações dos Elementos (NELMS = Número de Elementos do Modelo)

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

99

100

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Figura 1 Configuração do modelo (tamanho da quadrícula 0,4 m)

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

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Figura 2 Configuração deformada

Figura 3 Forças axiais (N)

Figura 4 Forças de reação (N)

Projeto 2.3. Análise e Dimensionamento de umaTreliça Plana 2 Seja a treliça plana da Figura 2.28. As barras horizontais e verticais possuem comprimento L, ao passo que as barras inclinadas possuem comprimento Admita o módulo de elasticidade longitudinal E 5 100 GPa, a área da seção transversal A 5 1,0 cm2 e L 5 0,3 m.

Figura 2.28 Treliça plana e domínio para o Projeto 2.3

1. Use um programa de EF para determinar as deflexões e as forças nos elementos para os três casos seguintes de carregamento. Apresente seus resultados na forma de uma tabela. Caso de Carregamento A: Fx13 5 Fx14 5 10.000 N Caso de Carregamento B: Fy13 5 Fy14 5 10.000 N Caso de Carregamento C: Fx13 5 10.000 N e Fx14 5 210.000 N 2. Admitindo que a treliça se comporte como uma viga engastada e livre, podem ser determinadas as propriedades da seção transversal equivalente da viga, a partir dos resultados para os Casos A, B e C anteriores. As três propriedades das vigas são rigidez axial (EA)eq (essa é diferente da AE das barras da treliça), rigidez à flexão (EI)eq e rigidez ao cisalhamento (GA)eq. Admita que o comprimento da viga seja igual a l (l 5 6 ¥ 0,3 5 1,8 m).

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

A deflexão axial de uma viga devida a uma força axial F é dada por (2.77) A deflexão transversal devida a uma força transversal F na extremidade é (2.78) Na Eq. (2.78), o primeiro termo no lado direito da equação representa a deflexão devida à flexão, e o segundo termo representa a deflexão devida à deformação de cisalhamento. Na teoria elementar das vigas (teoria das vigas de Euler-Bernoulli), ignoramos a deformação por cisalhamento, uma vez que normalmente ela é muito menor do que a deflexão devida à flexão. A deflexão transversal devida a um momento C na extremidade é dada por (2.79) Substitua as deflexões médias da extremidade obtidas na Parte 1 nas Eqs. (2.77) a (2.79) para calcular as propriedades da seção equivalente: EA ( )eq, (EI)eq e (GA)eq. Pode-se usar a média das deflexões nos Nós 13 e 14 para determinar as deflexões na viga equivalente. 3. Verifique o modelo da viga, adicionando dois painéis à treliçal 5 ( 8 3 0,3 5 2,4 m). Calcule as deflexões da extremidade da treliça estendida para os três casos de carregamento A-C usando o programa de EF. Compare os resultados de EF com as deflexões obtidas do modelo de viga equivalente [Eqs. (2.77)-(2.79)]. Solução: São usadas grandes estruturas de treliças em Estações Espaciais, estrut uras de satélites e também em pontes e edifícios.

Se uma treliça tiver um grande número de unidades repetidas, então ela tende a se comportar como um contínuo. Afinal, os sólidos consistem em estruturas como treliças com ligações atômicas, e na realidade nada é um contínuo; tudo é discreto – elétrons, prótons e nêutrons! Nosso objetivo aqui é ver se uma treliça espacial pode ser modelada aproximadamente como uma viga de mesmo comprimento. Desejamos encontrar as propriedades da seção transversal de uma viga ideal que imitará o comportamento da treliça. Se pudermos, usaremos cálculos simples de vigas para estimar

os deslocamentos transversais (deflexões), a frequência natural etc., da treliça, sem realizar sua análise detalhada. Neste projeto, usamos uma treliça com seis módulos (quadros) para estimar as propriedades da seção transversal como rigidez axial, EA, rigidez à flexão, EI e rigidez ao cisalhamento (à torção) GA de uma viga equivalente. A seguir, verificamos sua utilidade analisando uma treliça com oito módulos repetindo as mesmas unidades. Caso de 6 Módulos

Caso de Carregamento A

Caso de Carregamento B

Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto

Caso de Carregamento C

Encontrando as propriedades equivalentes da viga:

Do Caso de Carregamento A

Do Caso de Carregamento C

Do Caso de Carregamento B

Caso de 8 Módulos

Caso de Carregamento A

Caso de Carregamento B

Caso de Carregamento C

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Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto Encontrando as propriedades equivalentes da viga:

Do Caso de Carregamento A

Do Caso de Carregamento C

Do Caso de Carregamento B

As propriedades da viga equivalente não se modificam com a mudança de comprimento de um sistema de treliça espacial. Esse é o resultado esperado, uma vez que as propriedades do material da viga não se modificam com o comprimento.

Capítulo 3

Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais 1. Use o método de Galerkin para resolver o problema de valor de contorno a seguir, empregando (a) aproximação com um termo e (b) aproximação com dois termos. Compare seus resultados com a solução exata, plotando-os no mesmo gráfico.

Sugestão: Use as seguintes aproximações com um termo e com dois termos:

Aproximação com um termo:

Aproximação com dois termos:

A solução exata é u(x) 5 1 2 x(x³ 1 11)/12 A solução aproximada édividida emduas partes.O primeiro termo satisfazexatamente ascondições decontorno dadas; i.e., u(0) 5 1 e u(1) 5 0. O resto da solução que contém os coeficientes desconhecidos se anula nos contornos. Solução:

(a) Aproximação de um termo A solução aproximada, a função de peso (ponderação) e suas derivadas são dadas por

Da Eq. (3.9), a equação de Galerkin se torna

Observe que os termos do contorno se anulam porque a função de peso é nula no contorno. Depois de substituir as mencionadas funções e suas derivadas na equação anterior, temos

106

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

O coeficiente desconhecido c1 pode ser encontrado após a integração; c1 5 3/20. Desta forma, a solução aproximada se torna

(b) Aproximação de dois termos A solução aproximada, a função de peso (ponderação) e suas derivadas são dadas por

Da Equação (3.9), a equação de Galerkin se torna

Observe que os termos do contorno se anulam porque as funções de peso são nulas no contorno. Depois de substituir as mencionadas funções e suas derivadas na equação anterior, temos

1 2 coeficientes desconhecidos aOssolução aproximada se torna podem ser encontrados após a integração; c 5 0,1876 e c 5 20,0044. Desta forma,

A figura a seguir compara a solução aproximada com a solução exata. A solução exata é um polinômio de quarta ordem. As soluções de um e de dois termos estão próximas à solução exata.

2. Resolva a equação diferencial do Problema 1 usando (a) dois e (b) três elementos finitos. Use o método de Galerkin local descrito na Seção 3.4. Plote a solução exata e as soluções de dois ou três elementos finitos no mesmo gráfico. Similarmente, plote a derivadadu/dx. Comente os resultados. Nota: as condições de contorno não são homogêneas. A condição de contorno u(0) 5 1 deve ser usada na solução das equações finais.

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais Solução:

(a) Solução de dois elementos: No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de

onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas como

Assim, a matriz dos coeficientes é calculada usando a Eq. (3.13) e obtém-se

Desta forma, a matriz dos coeficientes se torna

Usando a Eq. (3.14), o vetor no lado direito da equação pode ser calculado da seguinte maneira:

Portanto, a equação matricial global se torna

107

108

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Observe que a primeira e a última linhas podem ser eliminadas, uma vez que elas contêm incógnitas no lado direito da equação. Entretanto, a primeira coluna não pode ser eliminada porque u1 tem um valor diferente de zero. Se escrevermos a equação da segunda linha, temos

A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer o valor de u2 porque u1 e u3 são conhecidos. Desta forma, obtemos u2 5 0,5469. Portanto, a solução aproximada se torna

(b) Solução de três elementos: No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de

onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas como

Assim, a matriz dos coeficientes é calculada usando a Eq. (3.13) e obtém-se

Desta forma, a matriz dos coeficientes se torna

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

109

Usando a Eq. (3.14), o vetor no lado direito da equação pode ser calculado da seguinte maneira:

Portanto, a equação matricial global se torna

Observe que a primeira e a última linhas podem ser eliminadas, uma vez que elas contêm incógnitas no lado direito da equação. Entretanto, a primeira coluna não pode ser eliminada porque u1 tem um valor diferente de zero. Assim, a primeira coluna pode ser movida para o lado direito depois de multiplicada por u1. Em consequência, temos a seguinte forma da equação matricial:

Como se vê, a equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer os valores desconhecidos de u2 e u3. Portanto, podemos obter u2 5 0,5469. Então, a solução aproximada se torna

A figura a seguir compara as soluções aproximadas com a solução exata. A solução exata é um polinômio de quarta ordem. As soluções de dois e três elementos estão próximas à solução exata.

110

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

3. Usando o método de Galerkin, resolva a equação diferencial a seguir com a solução aproximada na forma u(x) 5 c1x 1 c2x2. Compare a solução aproximada com a solução exata plotando-as em um gráfico. Também compare as derivadas du/dx e du/dx.

Solução:

(a) Solução exata: Integrando a equação de governo duas vezes e aplicando as duas condições de contorno, a solução exata se torna

(b) Método de Galerkin: Para a forma estabelecida de aproximação, as tentativas de funções arbitrárias são

Das Eqs. (3.13) e (3.14), a matriz dos coeficientes e o vetor no lado direito da equação se tornam

Desta forma, a matriz fica:

Portanto, a solução aproximada se torna

A figura a seguir mostra a solução aproximada junto com a solução exata. Pode-se notar que a comparação não é boa em todo o domínio. O motivo é que a solução exata é de quarto grau emx, mas a aproximação é de segundo grau em x. Espera-se que a diferença em du/dx seja maior, uma vez que a aproximação será linear emx, ao passo que a derivada exata será cúbica emx.

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

111

4. O problema de condução de calor unidimensional pode ser expresso pela seguinte equação diferencial:

onde k é a condutividade térmica,T(x) é a temperatura e Q é o calor gerado pelo comprimento unitário. Admite-se que Q, o calor gerado pelo comprimento unitário, é constante. Duas condições de contorno essenciais são dadas em ambas as extremidades: T(0) 5 T(L) 5 0. Calcule a temperatura aproximada T(x) usando o método de Galerkin.

Compare a solução aproximada com a solução exata. Sugestão: Comece com a solução admitida da seguinte forma: T(x)

satisfaça as duas condições de contorno essenciais.

5 c0 1 c1x 1 c2x2,

e então faça com que ela

Solução:

(a) exata Solução se exata: torna Integrando duas vezes a equação de governo e aplicando as duas condições de contorno, a solução

(b) Método de Galerkin: A forma admitida da solução aproximada deve, em primeiro lugar, satisfazer as condições de contorno essenciais.

Desta forma, a solução aproximada que satisfaz as condições de contorno essenciais se torna

Das Eqs. (3.13) e (3.14), a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito se tornam

Portanto, a equação matricial se torna

Assim, a solução aproximada do método de Galerkin se torna

112

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Observe que a solução obtida usando o método de Galerkin é exata.

5. Resolva o Problema 4, de condução de calor,usando o método de Rayleigh-Ritz. Para o problema de condução de calor, o potencial total pode ser definido como

Use a solução aproximada T 5 T1f1(x) 1 T2f2(x) 1 T3f3(x), onde as funções de aproximação são dadas na Eq. (3.37) com ND 5 3 e x1 5 0, x2 5 L/2 e x3 5 L. Compare as temperaturas aproximadas com a temperatura exata plotando-as em um gráfico. Solução:

As funções de aproximação e suas derivadas se tornam

A solução aproximada e sua derivada se tornam

O método de Rayleigh-Ritz usa as derivadas do potencial em relação aos coeficientes T1, T2 e T3.

A equação anterior pode ser expandida da seguinte forma:

Usando as funções de aproximação dadas e suas derivadas, as integrais anteriores podem ser calculadas para fornecerem a seguinte equação matricial:

Como as temperaturas T1 e T3 são iguais a zero, podemos eliminar a primeira e a terceira linhas e colunas para obter

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

113

Desta forma, a solução aproximada se torna

A figura a seguir compara as soluções de elementos finitos com a solução exata. Observe que as soluções de elementos finitos são exatas nos nós, mas apresentam erros dentro do elemento, porque as funções de aproximação variam linearmente no interior do elemento.

6. Seja a seguinte equação diferencial:

Admita a solução na forma:

Calcule os coeficientes desconhecidosusando o método de Galerkin. Compareu(x) e du(x)/dx com a solução exata u(x) 5 3,7 senx 2 x plotando a solução.

Solução:

Substitua a solução aproximada e torne os resíduos ponderados iguais a zero.

Use a integração por partes para o primeiro termo:

Do termo do contorno, podemos reconhecer as condições de contorno essenciais e naturais. A condição natural especifica u ou fi, ao passo que a condição natural especifica u,x. Implementando as condições de contorno e ainda substituindo a solução aproximada, obtemos as equações de Galerkin:

114

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Observe que as funções ponderadas são: f1 5 x e f2 5 x². Substituindo f1 e f2 na equação anterior, obtemos duas equações para c1 e c2:

Resolvendo as equações anteriores e encontrando os coeficientes desconhecidos, temos

A figura a seguir compara a solução exata com a solução aproximada.

7. Resolva a equação diferencial do Problema 6 paraas seguintes condições de contorno, usando o método deGalerkin:

Admita a solução aproximada da forma:

onde f0(x) é uma função que satisfaz as condições de contorno essenciais, e f1(x) é a função de ponderação (função peso) que satisfaz a parte homogênea das condições de contorno essenciais; i.e., f1(0) 5 f1(1) 5 0. Em consequência, admita as funções da seguinte forma:

Compare a solução aproximada com a solução exata plotando seus gráficos. A solução exata pode ser obtida como

Solução:

Observe que há apenas uma função de ponderação (peso). Após a integração por partes, temos

Como f1 (0) 5 f1 (1) 5 0, a integração do contorno na equação anterior se anula, restando a seguinte equação de resíduos ponderados:

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

115

Substituindo f0(x) 5 1 1 x e f1(x) 5 x(1 2 x), obtemos uma equação para c1. Depois de resolver a equação para encontrar o valor de c1, temos c1 5 10/9. Desta forma, a solução aproximada se torna

A figura a seguir compara a solução aproximada com a solução exata.

8. Seja o seguinte problema de valor de contorno:

ux Usando igual comprimento, a soluçãodois emelementos elementosfinitos finitosdecom a solução exata. calcule a função ( ) desconhecida e sua derivada. Compare

Solução:

(a) Solução exata:

A solução para essa equação homogênea pode ser escrita como

Como u(0) 5 1, c1 5 1. Além disso,

Desta forma, a solução aproximada se torna No local de cada nó,

(b) Observe que o segundo termo da equação diferencial de governo contém a incógnita u. Assim, a formulação padrão de elementos finitos da Eq. (3.54) não pode ser usada. Nesses casos, usamos o método de Galerkin. No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de

116

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas por

Então, a equação integral pode ser obtida multiplicando a equação diferencial pela função de interpolação fi e integrando ao longo do domínio. Depois da integração por partes, temos

Após a reorganização,

Substituindo as três funções de interpolação, podemos obter três equações:

Desta forma, a equação matricial combinada se torna

Depois de eliminar a primeira linha e movendo a primeira coluna para o lado direito da equação depois de multiplicar por u1 5 1, temos

Resolvendo as equações anteriores, podemos calcular as soluções nodais desconhecidas e encontrar

Portanto, a solução da análise de elementos finitos se torna

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

117

As derivadas da aproximação anterior são constantes em cada elemento e valem

A solução da análise de elementos finitos é comparada com a solução exata na figura a seguir.

9. Seja o seguinte problema de valor de contorno:

(a) Ao serem usados dois elementos finitos de igual comprimento para fornecer uma aproximação do problema, escreva as funções de interpolação e suas derivadas. (b) Calcule a solução aproximada usando o método de Galerkin. Solução:

(a) No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de

onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas por

(b) Multiplicando os resíduos pelas funções de ponderação (peso) e integrando ao longo do domínio, temos

118

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Depois da integração por partes para o termo da derivada de segunda ordem, temos

A matriz dos coeficientes é calculada usando a Eq. (3.13), da seguinte forma:

Assim, a matriz dos coeficientes se torna

Usando a Eq. (3.14), o vetor do lado direito da equação pode ser calculado:

Desta forma, a equação matricial global se torna

Como o lado direito da primeira equação tem uma incógnita, eliminamos a primeira linha. Como u1 5 2, este valor étricial multiplicado global: pela primeira coluna e movido para o lado direito da equação. Então, temos a seguinte equação ma-

A equação anterior é resolvida e são encontradas as soluções nodais desconhecidas como

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

119

Portanto, a solução aproximada se torna

10. O problema de valor de contorno para uma viga biengastada pode ser escrito como

Quando for aplicada uma carga uniformemente distribuída, i.e., p(x) 5 p0, calcule o abaixamento (deflexão) aproximado da viga w(x), usando o método de Galerkin. Sugestão : Admita o abaixamento (deflexão) aproximado como (x) 5 cf (x) 5 cx2(1 2 x)2. Solução:

Há apenas uma função de aproximação cuja segunda derivada se torna

Então, a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito da equação se tornam

Assim, a equação matricial se torna

Portanto, a solução aproximada fica sendo

11. O problema de valor de contorno para uma viga engastada e livre pode ser escrito como

Admita p(x) 5 x. Admitindo o abaixamento aproximado na forma w(x), 5 c1f1(x) 1 c2f2(x) 5 c1x2 1 c2x3, resolva

o problema de valor de contorno usando o método de Galerkin. Compare a solução aproximada com a solução exata plotando ambas as soluções em um gráfico.

120

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais Solução:

(a) Solução exata: Integrando quatro vezes a equação diferencial de governo e aplicando as quatro condições de contorno, podemos obter a solução exata como

(b) Método de Galerkin Usando as segundas derivadas das duas funções de aproximação, 5 2, coeficientes e o vetor no lado direito da equação, da seguinte forma:

5

6x, podemos calcular a matriz dos

Assim, a equação matricial se torna

Portanto, a solução aproximada fica sendo

A solução exata e a solução aproximada são mostradas na figura a seguir.

12. Repita o Problema 11 admitindo (x) 5

5 c1x2 1 c2x3 1 c3x4.

Solução:

Usando as segundas derivadas das duas funções de aproximação, matriz dos coeficientes e o vetor no lado direito da equação como

5

2,

5

6x,

5

12x², podemos calcular a

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

121

Desta forma, a matriz dos coeficientes se torna

Portanto, a solução aproximada fica

A solução aproximada é comparada com a solução exata na figura a seguir. Observe que a aproximação está muito próxima à solução exata, embora essa última seja de quinta ordem.

13. Considere o elemento finito com três nós, conforme a figura. Quando a solução é aproximada usando u(x) 5 N1(x)u1 1 N2(x)u2 1 N3(x)u3, calcule as funções de interpolação N1(x), N2(x) e N3(x). Sugestão : Comece com a solução admitida, da seguinte forma: u(x) 5 c0 1 c1x 1 c2x2.

122

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais Solução:

Como existem três nós disponíveis, podemos usar aproximação de segunda ordem da solução:

Impondo três soluções nodais, temos

Resolvendo a1, a2 e a3 em relação à solução nodal, temos

Desta forma, da relação de interpolação, temos

onde

14. Uma barra vertical de material elástico está fixa em ambas as extremidades com área de seção transversal constante A, módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young)E, e altura L sob a carga distribuída f por unidade de comprimento. O abaixamento vertical u(x) da barra é determinado pela seguinte equação diferencial:

Usando três elementos de igual comprimento, encontre o valor de u(x) e compare com a solução exata. Use os seguintes valores numéricos: A 5 10 4 m2, E 5 10 GPa, L 5 0,3 m, f 5 106 N/m. 2

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

123

Solução:

(a) Solução exata: Daequação diferencial de governo,

com condições de contorno de u(0) 5 u(L) 5 0. Integrando duas vezes a equação diferencial anterior e aplicando as condições de contorno para determinar as constantes de integração, temos

e a força axial (normal) se torna

Desta forma, as reações em ambas as extremidades podem ser encontradas com os valores de

(b) Solução com três elementos:

124

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Como todos os elementos possuem as mesmas propriedades, pode ser usada a mesma matriz de rigidez do elemento. O mesmo é verdade para as cargas distribuídas. A matriz de rigidez do elemento e as forças nodais equivalentes correspondentes à gravidade são

Então, a equação matricial combinada (montada) se torna

Como os Nós 1 e 4 estão fixos (u 5 0), eliminamos a primeira e a última linhas e as colunas correspondentes da equação anterior para obter a seguinte equação matricial global:

A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer os seguintes deslocamentos desconhecidos:

As forças nos elementos podem ser calculadas por

Reações: As reações R1 e R4 podem ser encontradas a partir da primeira e da última linhas da equação matricial combinada, da seguinte maneira:

A tabela a seguir compara as soluções de elementos finitos com as soluções exatas.

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

125

15. Um componente de barra mostrado na figura está submetido a uma carga distribuída q devida à gravidade. Para o material linearmente elástico com módulo de elasticidade longitudinal E e área de seção transversal uniforme A, a equação diferencial de governo pode ser escrita como

onde u(x) é o deslocamento vertical para baixo. A barra é fixa no topo e livre na base. Usando o método de Galerkin e dois elementos finitos de igual comprimento, responda às seguintes questões: (a) Começando com a equação diferencial anterior, obtenha uma equação integral usando o método de Galerkin. (b) Escreva a expressão para as condições de contorno em x 5 0 e x 5 L. Identifique se elas são condições de contorno essenciais ou naturais. (c) Obtenha a equação matricial de elementos finitos. Não resolva o problema.

Solução:

(a) Sejam os dois elementos definidos conforme a figura.

No método local de Galerkin, a solução aproximada é dada na forma de

onde as funções de interpolação e suas derivadas são definidas como

126

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Multiplicando a função de interpolação e integrando ao longo do domínio, temos

Após a integração por partes para o termo da segunda derivada, temos

(b) Como a barra está fixa emx 5 0, u(0) 5 0 e é uma condição de contorno essencial. Em x 5 L, a deformação é zero porque

Como a deformação é a derivada do deslocamento, a segunda condição de contorno é

e é uma condição de contorno natural. (c) A matriz dos coeficientes é calculada usando a Eq. (3.13), como

Desta forma, a matriz dos coeficientes se torna

Usando a Eq. (3.14), o vetor no lado direito pode ser calculado como

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

127

Portanto, a equação matricial global se torna

16. Considere uma barra de seção circular variável. O comprimento da barra é de 1 m, e o raio varia conforme a função r(x) 5 0,050 2 0,040x, onde r e x estão em metros. Admita o módulo de elasticidade longitudinal 5 100 MPa. Ambas as extremidades da barra são fixas e uma carga uniformemente distribuída, de 10.000 N/m, é aplicada ao longo de todo o comprimento da barra. Determine os deslocamentos, a distribuição da força axial e as reações nas paredes usando: (a) Três elementos de igual comprimento; (b) Quatro elementos de igual comprimento. Compare seus resultados com a solução exata plotando as curvas u(x) e P(x) para os casos (a) e (b) e para a solução exata. Como os resultados dos elementos finitos para as reações RE e RD diferem da solução exata?

Sugestão: Para fazer a aproximação da área da seção transversal de um elemento de barra, use a média geométrica das áreas das extremidades do elemento, i.e., A(e) 5 5 prirj. A solução exata é obtida pela resolução da seguinte equação diferencial com as condições de contorno u(0) 5 0 e u(1) 5 0:

A distribuição da força axial é encontrada com base em P(x) 5 A(x)Edu/dx. As reações nas paredes são RE 5 2P(0) e RD 5 P(1). Solução:

(a) Solução com três elementos

Raios nos nós: r1 5 0,0500, r2 5 0,0367, r3 5 0,0233, r4 5 0,0100 Área dos elementos: A1 5 5,760E-3, A2 5 2,688E-3, A3 5 7,330E-4 Rigidez dos elementos: k1 5 1,728E6, k2 5 8,063E5, k3 5 2,2E5

128

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Forças nodais equivalentes: {F1 F2 F3 F4} 51.667{1 2 2 1}N Montagem:

Como os Nós 1 e 4 são fixos, podemos eliminar as linhas e colunas correspondentes para chegar à seguinte equação matricial global:

Resolvendo a equação anterior a fim de encontrar as soluções nodais desconhecidas, vem

Da primeira e da última equações, as forças de reação podem ser encontradas usando os deslocamentos nodais calculados, como

As forças nos elementos podem ser calculadas por

(b) Solução de quatro elementos Área dos elementos: A1 5 6,283e-3, A2 5 3,770e-3, A3 5 1,885e-3, A4 5 6,283e-4 Rigidez dos elementos: k1 5 2,513e6, k2 5 1,508e6, k3 5 7,540e5, k4 5 2,513e5 Forças nodais equivalentes: {F1 F2 F3 F4 F5} 51.250{1 2 2 2 1}N Montagem:

Como os Nós 1 e 5 são fixos, podemos eliminar as linhas e colunas correspondentes para chegar à seguinte equação matricial global:

Resolvendo a equação anterior a fim de encontrar as soluções nodais desconhecidas, vem

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

129

Da primeira e da última equações, as forças de reação podem ser encontradas, usando os deslocamentos nodais calculados, como

As forças nos elementos podem ser calculadas por

17. Uma barra com seção circular variável está fixa em x 5 0, e uma força axial com o valor de 0,3 3 106 N é aplicada na outra extremidade. O comprimento da barra (L) é de 0,3 m e o raio varia conforme a função r(x) 5 0,03 2 0,07x, onde r e x estão em metros. Use três elementos finitos de igual comprimento para determinar os deslocamentos, as resultantes de forças axiais e as reações de apoio. Compare suas soluções de EF com a solução exata plotando um gráfico com eixos u e x e um gráfico com eixos P (força no elemento) e x. Use E 5 1010 Pa.

Solução:

(a) Solução exata: A equação diferencial srcinal é dada por

Integrando duas vezes a equação diferencial e aplicando as condições de contorno, obtém-se a seguinte solução exata:

(b) Solução com três elementos: A tabela a seguir mostra o raio no local de cada nó:

Aproximamos a área da seção transversal de um elemento pela média geométrica das áreas das extremidades; i.e., A5 5 pr1r2. Desta forma, a área de cada elemento se torna: A(1) 5 0,0022 m², A(2) 5 0,0012 m², A(3) 5 0,000452 Além disso, o comprimento de cada elemento é 0,1 m. Assim sendo, as matrizes de rigidez dos elementos se m². tornam Elemento 1:

Elemento 2:

130

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Elemento 3: Essas três matrizes de rigidez são reunidas para fornecerem a matriz de rigidez global. Como o Nó 1 está fixo, combinamos apenas os graus de liberdade não restritos. Depois da montagem, são obtidas as seguintes equações matriciais globais:

A solução da equação anterior é dada por {Q}T 5 {u1, u2, u3, u4} 5 {0, 0,0014, 0,0040, 0,0106} m O deslocamento do MEF é comparado com o da solução exata. Observe que a solução de elementos finitos é exata nos nós, mas devido à interpolação linear, há diferenças dentro de cada elemento.

As forças nos elementos podem ser calculadas como

A força exata na barra P(x) 5 0,3 3 106 N; i.e., constante. A solução de elementos finitos estima precisamente a força na barra. A reação na parede se torna

18. A barra com três trechos com áreas de seções transversais constantes está sujeita a uma força no centro. Use o MEF para determinar o campo de deslocamentos u(x), a distribuição das forças axiais P(x) e as reações R e E RD. Admita que E 5 100 GPa e que as áreas das seções transversais das três partes mostradas são, respectivamente, 10 4 m2, 2 3 10 4 m2 e 10 4 m2 e F 5 10.000 N. 2

2

2

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

131

Solução:

Defina os elementos da esquerda para a direita: Elemento 1: 0 (lado esquerdo) 2 0,3 m Elemento 2: 0,3-0,5 m (posição central) Elemento 3: 0,5-0,7 m Elemento 4: 0,7-1 m (lado direito)

Montagem:

Aplicando as condições de contorno,

Resolvendo as equações anteriores, podem-se obter os seguintes valores para os deslocamentos nodais desconhecidos:

Força de reação:

O sinal negativo significa que as forças agem na estrutura da direita para a esquerda. Força axial: Elemento 1: P(1) 5 k(1)(u2 2 u1) 5 5000 (N) (tração) Elemento 2: P(2) 5 k(2)(u3 2 u2) 5 5000 (N) (tração) Elemento 3: P(3) 5 k(3)(u4 2 u3) 5 25000 (N) (compressão) Elemento 4: P(4) 5 k(4)(u5 2 u4) 5 25000 (N) (compressão) Campo de deslocamentos: Elemento 1:

132

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

Elemento 2: Elemento 3: Elemento 4:

19. Uma barra mostrada modelada usando três elementos comprimento. total da barra é L na 1,5figura m, e oé raio da seção transversal circularde é rbarra 0,1dem.igual Quando o móduloOdecomprimento elasticidade T

5

5

longitudinal for E 5 207 GPa e a carga distribuídaq 5 1.000 N/m, calcule os deslocamentos e as tensões usando o programa de análise de elementos finitos do Apêndice. Compare sua solução de elementos finitos com a solução exata. Forneça os gráficos de deslocamentos e de tensões em relação ao comprimento da barra. Explique por que as soluções de elementos finitos são diferentes da solução exata.

Solução:

Solução Analítica:

Condições de Contorno:

Solução:

Solução de Elementos Finitos:

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

5

deslocamentos

3

{0, 0,0961, 0,1538, 0,1730}

133

26

10

20. Considere a barra com seção transversal variável mostrada na figura do Problema 17. Use o método de RayleighRitz para resolver o mesmo problema. Admita o deslocamento na forma de u(x) 5 a0 1 a1x 1 a2x2. Compare as soluções para u(x) e P(x) com a solução exata dada a seguir pela plotagem.

Solução:

Os deslocamentos admitidos devem satisfazer a condição de contorno essencial u(0) 5 0. Em consequência, a0 5 0. Os deslocamentos admitidos assumem a seguinte forma:

Assim, a deformação é dada por

A energia de deformação na barra se torna

onde A(x) é a área da seção transversal definida por

A energia potencial da força externa F é

134

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

A energia potencial total P(a1, a2) 5 U(a1, a2) 1 V(a1, a2). O princípio da mínima energia potencial exige que

Isso resulta no seguinte conjunto de equações em a1 e a2:

A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer os seguintes valores dos coeficientes desconhecidos:

Desta forma, os deslocamentos aproximados se tornam

A força axial na barra se torna

A figura a seguir compara o deslocamento obtido pelo método de Rayleigh-Ritz com o deslocamento exato.

A figura a seguir compara a força na barra obtida pelo método de Rayleigh-Ritz com a força exata na barra.

21. Considere a viga com seção transversal variável mostrada no Problema 16. Use o método de Rayleigh-Ritz para resolver o mesmo problema. Admita o campo de deslocamentos na forma de u(x) 5 (x 2 1)(c1x 1 c2x2).

Capítulo 3 Método dos Resíduos Ponderados e Método de Energia para Problemas Unidimensionais

135

Solução:

Os deslocamentos admitidos satisfazem às condições de contorno essenciais u(0) 5 u(1) 5 0. Os deslocamentos admitidos assumem a forma:

Assim, a deformação é dada por

A energia de deformação na barra se torna

onde A(x) é a área da seção transversal definida por

A energia potencial da carga distribuídaf 5 10.000 N/m é

A energia potencial total P(c1, c2) 5 U(c1, c2) 1 V(c1, c2). O princípio da mínima energia potencial exige que

Isso resulta no seguinte conjunto de equações em c1 e c2:

A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer os seguintes valores dos coeficientes desconhecidos:

Desta forma, os deslocamentos aproximados se tornam

A força axial na barra se torna

Capítulo 4

Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros 1. Repita o Exemplo 4.2com a deflexão aproximada, na seguinte forma:v(x) 5 c1x2 1 c2x3 1 c3x4. Compare a curva das deflexões com a solução exata. Solução:

A forma dada de deflexão aproximada satisfaz as condições de contorno essenciais. A segunda derivada da deflexão se torna: v 5 2 c1 1 6 c2x 1 12 c3x2. Usando a expressão para energia de deformação em uma viga, dada pela Eq. (4.17), obtemos

A energia de deformação anterior é diferenciada em relação aos coeficientes desconhecidos c1 e c2:

A energia potencial das forças externas pode ser encontrada da seguinte maneira:

Então, a condição estacionária da energia potencial total se torna a seguinte equação matricial:

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

137

Substituindo os valores numéricos para as propriedades da viga e das cargas, obtemos

A solução é: c1 5 2,25 3 10 2, c2 5 23,33 3 10 3, c3 5 21,25 3 10 3. Substituindo ci na forma srcinal da deflexão, obtemos a deflexão v(x) da viga como 2

2

2

A solução exata para a deflexão é dada por

Observe que a solução obtida pelo método de Rayleigh-Ritz é exata porque usamos polinômio de quarta ordem para a deflexão.

2. Admite-se que deflexão da viga biapoiada mostrada na figura vé(x) 5 cx(x 2 1), onde c é uma constante. Uma força é aplicada no centro da viga. Use as seguintes propriedades: EI 5 1000 N-m2. Primeiramente, (a) mostre que a solução aproximada anterior satisfaz as condições de contorno de deslocamentos, e (b) use o método de Rayleigh-Ritz para determinar c.

Solução:

(a) Em x 5 0 e 1, v(0) 5 v(1) 5 0. Desta forma, a solução aproximada satisfaz as condições de contorno em deslocamentos. (b) A segunda derivada se torna: 2c. Usando a expressão da Eq. (4.17) para a energia de deformação em uma viga, obtemos

A energia de deformação anterior é diferenciada em relação aos coeficientes desconhecidos.

A energia potencial das forças externas pode ser encontrada da seguinte forma:

Assim, a condição estacionária da energia potencial total se torna a seguinte equação matricial:

Em consequência, a solução aproximada se torna

138

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

Observe que a solução aproximada torna a viga mais rígida do que o valor real. Por exemplo, no centro ( x 5 0,5), a solução exata é 0,02083, ao passo que a deflexão aproximada é 0,0156.

3. Use o método de Rayleigh-Ritz para determinar a deflexão v(x), o momento fletor M(x) e o esforço cortante Vy(x) da viga mostrada na figura. O momento fletor e o esforço cortante são calculados, a partir da deflexão, como M(x) 5 EId2v/dx2 e Vy(x) 5 2EId3/dx3. Admita os deslocamentos como v(x) 5 c0 1 c1x 1 c2x2 1 c3x3 e EI 5 1.000 N-m2, L 5 1 m e p0 5 100 N/m e C 5 100 N-m. Certifique-se de que as condições de contorno estejam satisfeitas a priori . Sugestão: A energia potencial de um binário é calculada como V 5 2Cdv/dx, onde a rotação é calculada no ponto de aplicação do binário.

Solução:

Condição de contorno em deslocamento: v(0) 5 0, v9(0) 5 0, fi c0 5 c1 5 0

Agora precisamos determinar somente c2 e c3.

Energia potencial:

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

139

Resultados finais:

4. A extremidade direita de uma viga em balanço repousa sobre uma base elástica que pode ser representada por uma mola com constante de mola k 5 1.000 N/m. Uma força de 1.000 N age no centro da viga, conforme ilustrado. Use o método de Rayleigh-Ritz para determinar a deflexão v(x) e a força na mola. Admita EI 5 1.000 N-m2 e v(x) 5 c0 1 c1x 1 c2x2 1 c3x3.

Solução:

Condição de contorno em deslocamento: v(0) 5 0, v9(0) 5 0, fi c0 5 c1 5 0

140

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

Agora precisamos determinar somente c2 e c3.

Energia potencial:

Resultados finais:

A força na mola pode ser calculada como

O sinal negativo indica que a mola está comprimida.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

141

5. Uma viga em balanço é modelada usando um elemento finito. Os valores nodais do elemento de viga são dados por

Plote a curva das deflexões (a elástica), o momento fletor e o esforço cortante. Solução:

Do esquema de interpolação, a curva de deflexão pode ser aproximada por

Momento fletor:

Esforço cortante:

A figura a seguir mostra a curva de deflexão (elástica) normalizada, o momento fletor e o esforço cortante normalizados.

6. Uma viga biapoiada com comprimento L está submetida a uma força vertical concentrada 2F no centro. Quando são usados dois elementos de viga de comprimentos iguais, a análise de elementos finitos leva aos seguintes graus de liberdade nodais:

Encontre a curva das deflexões (elástica) v(x) e a compare com a solução exata em um gráfico. Nota: A elástica exata da viga é, para x  ½L, vexato (x) 5 Fx(3L2 2 4x2)/48EI e é simétrica para x  ½L.

142

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros Solução:

Como os valores nodais são simétricos, é suficiente mostrar a curva elástica (deflexões) para o Elemento 1. Do esquema de interpolação, a curva elástica pode ser aproximada por

Observe que a solução de Elementos Finitos é exata.

7. Uma viga biapoiada com comprimento L está submetida a uma carga uniformemente distribuída 2p. Quando são usados dois elementos de viga de comprimentos iguais, a análise de elementos finitos leva aos seguintes graus de liberdade nodais:

Encontre a curva das deflexões (elástica) v(x) e a compare com a solução exata em um gráfico. Nota: A curva elástica exata da viga é, para x  ½L, vexato (x) 5 2p(x4 2 2Lx3 1 L3x)/24EI. Solução:

Como os valores nodais são simétricos, é suficiente mostrar a curva elástica (deflexões) para o Elemento 1. Do esquema de interpolação, a curva elástica pode ser aproximada por

Observe que a solução de elementos finitos é idêntica à solução exata.

8. Considere uma viga em balanço com módulo de elasticidade longitudinal E, momento de inércia I, altura 2h e comprimento L. Um binário (momento) M0 é aplicado à extremidade da viga. Usa-se um elemento finito para fazer a aproximação da estrutura.

(a) Calcule o deslocamento da extremidade v e sua rotação q usando a equação de elementos finitos. (b) Calcule o momento fletor e o esforço cortante na parede usando a equação de elementos finitos. (c) Calcule a tensão sxx nos pontos A e B, que estão em L/2.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros Solução:

(a)

(b)

Na parede s 5 0

143

144

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

(c)

9. A viga em balanço mostrada é modelada usando um elemento finito. Se os deslocamentos dos nós do elemento de viga forem v1 5 q1 5 0 e v2 5 0,01 m e rotação q2 5 0, escreva a equação da viga deformadav(s). Além disso, calcule as forças F2 e M2 que agem na viga para produzir as deformações anteriores em termos de E, I e L. Sugestão: Use as equações [k] {q} 5 {f} para o elemento de viga.

Solução:

Usando o esquema de interpolação, a curva de deflexão pode ser escrita como

A equação do elemento de viga é dada por

Da terceira e quarta linhas, podemos calcular a força e o momento na extremidade, da seguinte maneira:

10. Considere que uma viga uniforme engastada em uma extremidade tenha comprimento L e esteja apoiada de tal forma que sua outra extremidade não possa girar, conforme mostra a figura. Para valores conhecidos de momento de inércia I, módulo de elasticidade longitudinal E e carga P aplicada na extremidade apoiada, calcule a curva de deflexão (linha elástica) v(x) usando um elemento de viga.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

145

Solução:

Da equação matricial do elemento,

Depois de aplicar a condição de contorno, permanece apenas uma equação escalar:

Observe que o deslocamento da extremidade v2 é exato.

11. Uma viga em balanço, conforme a mostrada na figura, está submetida a uma carga distribuída. Quando q 5 1.000 N/m, LT 5 1,5 m, E 5 207 GPa, e raio da seção transversal circular r 5 0,1 m, encontre o valor dos deslocamentos do eixo neutro do material e a tensão na superfície superior. Use três elementos finitos de viga com igual comprimento e o programa MATLAB no Apêndice. Compare a solução de elementos finitos com a solução exata. Forneça o diagrama de momentos fletores e de esforços cortantes do método de elementos finitos e compare-os com a solução exata. Explique por que as soluções de elementos finitos são diferentes das soluções exatas.

Solução:

146

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

147

12. Modele a viga mostrada na figura usando um elemento finito de viga com dois nós.

(a) Usando uma matriz de rigidez de viga, estabeleça a equação para essa viga ([ K]{Q} 5 {F}). (b) Calcule o ângulo de rotação do nó 1 e escreva a equação da configuração deformada da viga usando as funções de forma.

(c) Explique por que provavelmente a resposta obtida no item anterior não é muito precisa. Se você desejar obter

uma resposta melhor para esse problema usando o método de elementos finitos, o que você faria? Solução:

(a) Seja F1 a força de reação na extremidade esquerda, F2 a força de reação na extremidade direita e M1 a reação momento na extremidade direita. Então, a equação matricial do sistema se torna

(b) Como v1 5 v2 5 q2 5 0, podemos remover a 1.ª, a 3.ª e a 4.ª linhas e colunas, que levam apenas à seguinte equação escalar:

da qual podemos calcular o ângulo de rotação desconhecido q1 5 20,1389 rad. Usando o esquema de interpolação, a configuração deformada da viga é

(c) A resposta não é precisa porque a deformação vertical é um polinômio de quarta ordem, ao passo que, devido à aproximação de elementos finitos, v(x) é uma função cúbica. A fim de melhorar a precisão da solução, precisamos modelar a viga com um número maior de elementos. 13. Neste capítulo, obtivemos a equação de elementos finitos usando o princípio da energia potencial mínima. Entretanto, a mesma equação de elementos finitos pode ser obtida pelo método de Galerkin, conforme a Seção 3.3. A equação diferencial de governo da viga é

148

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

onde f(x) é a carga distribuída. No caso de uma viga biengastada, as condições de contorno são dadas por

Usando o método de Galerkin e o esquema de interpolação da Eq. (4.44), obtenha as equações matriciais de elementos finitos quando uma carga distribuída constantef(x) 5 q for aplicada ao longo da viga. Solução:

Na interpolação da viga, o deslocamento vertical (deflexão) pode ser aproximado por

E as funções de forma podem ser usadas para funções de aproximação. Se multiplicarmos a equação diferencial de governo pelas funções de aproximação e integrarmos ao longo do domínio,

Depois de aplicar a integração por parte duas vezes, temos

A segunda derivada da curva elástica pode ser obtida usando o esquema de interpolação e a regra da cadeia da diferenciação,

Substituindo a derivada de segunda ordem na equação de Galerkin anterior, temos

Se usarmos as seguintes relações:

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

149

a equação anterior pode ser escrita na forma matricial.

14. Repita o procedimento de obtenção das equações do problema anterior para o caso de uma viga em balanço cujas

condições de contorno são dadas por

Solução:

Na interpolação da viga, o deslocamento vertical (deflexão) pode ser aproximado por

E as funções de forma podem ser usadas como funções de aproximação. Se multiplicarmos a equação diferencial de governo pelas funções de aproximação e integrarmos ao longo do domínio,

Depois de aplicar duas vezes a integração por partes, temos

A segunda derivada da curva elástica pode ser obtida usando o esquema de interpolação e a regra da cadeia da diferenciação.

Substituindo a derivada de segunda ordem na equação de Galerkin anterior, temos

Se usarmos as seguintes relações:

150

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

a equação anterior pode ser escrita na forma matricial.

15. Resolva o problema de viga biapoiada do Exemplo 4.9 usando o programa MATLAB no Apêndice. Você pode usar o recurso do programa que a opção carga distribuída, a carga nodal equivalente. Plote o deslocamento vertical e a rotação aooferece longo do vão dade viga. Compare essesou valores com a solução analítica. Além disso, plote o momento fletor e o esforço cortante ao longo do vão da viga. Compare esses valores com a solução analítica. Solução:

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

151

16. Examine a viga engastada em uma extremidade e com um apoio elástico na outra, conforme a figura. Admita E 5 100 ksi (689,48 MPa),I 5 1,0 in4 (41,62 cm4), k 5 200 lb/in (350,25 N/cm), altura da vigah 5 10 in (25,4 cm) e não considere os efeitos da gravidade. A viga está sujeita a uma força concentrada F 5 100 lb (444,82 N) na

extremidade apoiada. (a) Usando um elemento de viga e um elemento de mola, construa a equação da matriz estrutural antes de aplicar as condições de contorno. Identifique claramente os elementos e os nós. Identifique as direções positivas de todos os graus de liberdade (GLs). (b) Construa a equação da matriz global depois de aplicar todas as condições de contorno. (c) Resolva a equação matricial e calcule o deslocamento vertical da extremidade apoiada. (d) Calcule o momento fletor e o esforço cortante na parede.

Solução:

Para o elemento de viga,

Para o elemento de mola,

152

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

Montagem: Seja a 5 EI/L3:

(b) Como v1 5 q1 5 v3 5 0, aplique as condições de contorno eliminando essas linhas e colunas.

(c) Substituindo os dados numéricos, temos

Resolvendo a equação anterior e encontrando o valor dos graus de liberdade (GLs, ou DOFs) desconhecidos, vem

Desta forma, o abaixamento (deflexão) da extremidade é igual a 20,2 in (0,51 cm). (d) Utilizando as duas primeiras linhas da equação matricial montada, temos

17. Uma viga está engastada na extremidade esquerda e apoiada em uma mola na extremidade direita. O apoio da direita é tal que não permite que a viga gire nessa extremidade. Desta forma, o único grau de liberdade ativo é v2. Uma força de 3.000 N age de cima para baixo na extremidade direita, conforme ilustrado. A estrutura é modelada usando dois elementos: um elemento de viga e um elemento de mola. A rigidez da mola é k 5 3.000 N/m. As propriedades da viga são L 5 1 m, EI 5 1.000 Nm2. (a) Escreva as matrizes de rigidez do elemento de ambos os elementos. Mostre claramente os graus de liberdade (GLs). (b) Monte as duas equações matriciais dos elementos e aplique as condições de contorno para obter a equação da matriz global. (c) Encontre o valor do deslocamento desconhecido v2. (d) Calcule o deslocamento vertical (deflexão) v e o momento fletor M em x 5 0,8 m.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

153

Solução:

(a) Seja o vetor de graus de liberdade igual a {Q}T 5 {v1 q1 v2 q2 v3}.

(b)

Como o único grau de liberdade não restrito é v2, elimine a 1.a, a 2.a, a 4.a e a 5.a linhas e colunas para obter a equação matricial como

(c) Resolvendo a equação anterior: v2 5 20,2 m. (d) Usando a interpolação,

18. Uma carga distribuída que varia linearmente é aplicada ao elemento finito de viga de comprimento L. O valor máximo da carga na extremidade direita éq0. Calcule as forças nodais e os momentos “equivalentes”.

Solução:

A carga distribuída é uma função linear.

154

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

Desta forma, a expressão da carga distribuída pode ser escrita como

19. Em geral, uma força concentrada só pode ser aplicada ao nó. Entretanto, se usarmos o conceito de carga “equivalente” podemos converter a carga concentrada dentro de um elemento em forças nodais correspondentes. Uma carga concentrada P é aplicada ao centro de um elemento de viga de comprimento L. Calcule as forças nodais e os momentos “equivalentes” {F1, M1, F2, M2} em termos de P e L. Sugestão: O trabalho feito por uma força concentrada pode ser obtido multiplicando a força pelo deslocamento naquele ponto.

Solução:

Para o esquema de interpolação fornecido,

A energia potencial da carga aplicadaP pode ser calculada por

Desta forma, as forças nodais equivalentes são

20. Use dois elementos de viga de igual comprimento para determinar a deflexão da viga mostrada a seguir. Estime 2

a deflexão no ponto B, que está a 0,5 m do apoio esquerdo. EI 5 1000 N-m .

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

155

Solução:

A fim de economizar espaço, aplicaremos as condições de contorno no nível do elemento. Desta forma, apenas os graus de liberdade não restritos serão escritos. Elemento 1:

Elemento 2: Depois da montagem, obtemos a seguinte equação matricial global:

Em consequência, todos os graus de liberdade são iguais a zero, exceto v2 5 0,0417. Portanto, a curva elástica se torna Elemento 1: Elemento 2: No ponto B, podemos usar v1(s) com s 5 0,5. Por isso, vB 5 0,02085. 21. Um binário (momento) externo C2 é aplicado ao Nó 2 da viga mostrada a seguir. Quando EI 5 105 N?m2, as rotações em radianos dos três nós são determinadas como q1 5 20,025, q2 5 10,05 e q3 5 20,025. (a) Desenhe os diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores de toda a viga. (b) Qual o módulo do momento (binário) C2 aplicado ao Nó 2? (c) Qual a reação de apoio Fy1 no Nó 1?

Solução:

Os dois elementos são idênticos. Desta forma, a equação matricial completa se torna

156

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

A equação anterior pode levar ao valor deC2 e das forças de reação F1 e F3:

22. Dois elementos de viga são usados para modelar a estrutura mostrada na figura. A viga está engastada na parede na extremidade esquerda (Nó 1), suporta uma carga P 5 100 N no centro (Nó 2) e está sobre um apoio de primeiro gênero na extremidade direita (Nó 3). Os elementos 1 e 2 são elementos de viga com dois nós e cada um possui comprimento de 0,05 m e rigidez à flexão EI 5 0,15 N-m2.

(a) Usando a matriz de rigidez da viga, monte as equações para o modelo anterior, aplique as condições de contorno e encontre o valor das deflexões nos Nós 2 e 3. (b) Escreva as equações e plote a configuração deformadade cada elemento de viga mostrando a deflexão e os ângulos em todos os nós. (c) Qual é a deflexão v e qual a rotação q nos pontos médios do Elemento 1 e do Elemento 2. (d) Qual o momento fletor no ponto de aplicação da carga P? (e) Quais as reações de apoio (momento fletor e esforço cortante) na parede? Solução:

(a) A fim de economizar espaço, aplicaremos as condições de contorno no nível do elemento. Elemento 1:

Elemento 2:

As equações dos elementos anteriores são reunidas para formar a seguinte equação matricial global:

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

A equação anterior é resolvida e fornece os seguintes valores para os graus de liberdade desconhecidos:

(b) Curvas elásticas

A curva elástica é representada no gráfico a seguir.

(c) Em x 5 0,025, usa-se a curva elástica do Elemento 1 com s 5 0,5 para obter

Em x 5 0,075, usa-se a curva elástica do Elemento 2 com s 5 0,5 para obter

(d) Da fórmula de momento fletor na Eq. (4.65), com s 5 1,

(e) As reações na parede podem ser calculadas utilizando as Eqs. (4.65) e (4.66) com s 5 0.

157

158

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

23. Considere a viga biengastada mostrada a seguir. Admita que não há forças axiais agindo na viga. Use dois elementos para resolver o problema. (a) Determine a deflexão e a rotação em x 5 0,5, 1 e 1,5 m. (b) Desenhe os diagramas de momentos fletores e de esforços cortantes para toda a viga. (c) Quais são as reações de apoio? (d) Use as funções de forma do elemento de viga para plotar a configuração deformada da viga. Use EI 5 1.000 N?m, L 5 1 m e F 5 1.000 N.

Solução:

(a) Usando a matriz de rigidez da Eq. (4.52), os dois elementos podem ser reunidos de modo a obter a seguinte equação matricial:

Devido às condições de contorno, a 1.ª, a 2.ª, a 5.ª e a 6.ª linhas e colunas são eliminadas, e a seguinte equação matricial é obtida:

Resolvendo a equação anterior e obtendo os valores dos graus de liberdade desconhecidos, temos v2 5 0,0417 e q2 5 0. Usando o esquema de interpolação, podemos encontrar o abaixamento e a rotação.

(b) Diagrama de esforços cortantes e de momentos fletores:

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

159

(c) As reações de apoio podem ser encontradas utilizando a equação matricial combinada srcinal com os graus de liberdade nodais conhecidos,

(d) Usando o esquema de interpolação,

24. A estrutura mostrada na figura está engastada na extremidade esquerda e está apoiada em um rolete articulado na extremidade direita. O raio da seção transversal circular é r 5 0,05 m. Uma força axial P e um binário (momenL 5 1 m, E 5 80 GPa, P 5 15.000 to) C agem na extremidade direita. Admita os seguintes valores numéricos: N, C 5 1.000 Nm. (a) Use um único elemento para determinar a rotação q no apoio direito. (b) Qual o deslocamento vertical (deflexão) da viga em x 5 L/2? (c) Qual a máxima tensão de tração? Onde ela ocorre?

Solução:

(a) O elemento de quadro tem 6 graus de liberdade. {Q}T 5 {u1, v1, q1, u2, v2, q2}. Como u1, v1, q1 e v2 estão fixos, podemos construir as equações matriciais dos elementos para apenas os graus de liberdade não restritos: u2 e q2. Da Eq. (5.80) temos

Resolvendo a equação anterior, são obtidos dois graus de liberdade desconhecidos com os seguintes valores:

160

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

(b) O abaixamento no centro pode ser obtido usando interpolação. Observe que o deslocamento axial e os deslocamentos transversais devidos ao momento fletor possuem esquemas de interpolação diferentes.

(c) A tensão máxima de tração ocorre na superfície inferior da estrutura.

25. Uma estrutura está engastada na extremidade esquerda e apoiada em um rolete sobre um plano inclinado na extremidade direita, conforme a figura. Uma carga uniformemente distribuída q é aplicada, e admite-se que a superfície de contato do rolete não oferece atrito. Quando uma malha de elementos finitos é usada como aproximação da estrutura, o vetor de deslocamentos pode ser definido como { d} 5 {u1, v1, q1, u2, v2, q2}T, onde u e v são os deslocamentos na direção x e y, respectivamente, eq é a rotação em relação à direção z. (a) Construa a equação da matriz de elementos finitos 6 3 6 antes de aplicar as condições de contorno. (b) Reduza a dimensão da equação matricial de elementos finitos para 2 3 2 aplicando as condições de contorno. Você pode precisar usar a transformação apropriada. (c) Resolva a equação matricial de elementos finitos e calcule o vetor de deslocamentos nodais { d}. (d) Escreva a expressão do deslocamento vertical de elementos finitos v(x), 0 , x , L e faça um esquema do deslocamento v(x) da estrutura.

Solução:

(a) Equação matricial de elementos finitos antes de aplicar as condições de contorno:

(b) Aplicação das condições de contorno: 5

Emremovidas, primeiro lugar, usando as condições de contorno deu1 ser e obtém-se

5

v1

5

q1

0, as três primeiras linhas e colunas podem

Além disso, devido ao suporte inclinado de primeiro gênero (rolete), os deslocamentos u2 e v2 estão relacionados entre si. Entretanto, não é conveniente aplicar a condição de contorno inclinada. Vamos usar o sistema de coordenadas

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

161

locais no nó 2 de tal forma que a nova coordenadax9 seja paralela à superfície inclinada. De forma coerente a isso, podemos definir a matriz de transformação como

Então, temos a seguinte relação:

Desta forma, a equação matricial reduzida relacionada ao novo sistema de coordenadas será

Como a superfície inclinada não oferece atrito, as forças de reação satisfazem a relação

Em consequência, a matriz de elementos finitos, após a rotação, se torna

Nesse estágio, é fácil impor a condição de contorno

5

0, que levará à seguinte equação matricial 23 2:

(c) A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer os seguintes valores para os graus de liberdade desconhecidos:

que levam à solução no sistema de coordenadas local. Desta forma, usando a transformação na Eq. (4.77), os deslocamentos no sistema de coordenadas global podem ser obtidos da seguinte maneira:

e u1 5 v1 5 q1 5 0. (d) Expressão do deslocamento vertical v(x), 0 , x , L. Em coordenadas globais,

162

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

O deslocamento vertical da viga pode ser obtido usando a função de forma, da seguinte maneira:

A configuração deformada é representada na figura a seguir.

26. Um anel circular de seção transversal quadrada está sujeito a um par de forças F 5 10.000 N, conforme a figura. Use o programa de análise de elementos finitos para determinar a compressão do anel, i.e., os deslocamentos relativos dos pontos onde as forças são aplicadas. Admita E 5 70 GPa. Determine os valores máximos da força axial P, do momento fletor M e do esforço cortante V e seus respectivos locais. r Sugestão: Divida o anel em 40 elementos. Use x 5 R cos q e y 5 R sen q para determinar as coordenadas. Fixe todos os graus de liberdade ao ponto inferior do anel para restringir a rotação e a translação de corpo rígido. Caso contrário, a matriz de rigidez global será singular.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

163

Solução:

Usamos o programa MATLAB (Toolbox), no Apêndice, para resolver o problema anterior. A listagem do programa é mostrada a seguir:

A geometria inicial e a geometria deformada do anel são mostradas na figura a seguir.

164

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

As forças axiais, as forças cortantes e os momentos fletores são listados abaixo. Os valores máximos estão destacados.

27. O anel do Problema 26 pode ser resolvido usando um modelo menor, levando em consideração a simetria. Use um quadrante do anel para determinar a deflexão e as resultantes máximas das forças. Quais são as condições de contorno apropriadas para esse modelo? Mostre que ambos os modelos conduzem aos mesmos resultados.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

165

Solução:

Os nós são gerados usando x 5 R cosq e y 5 R senq, onde 0 , q , p/2 e R 5 0,1 m. Haverá 10 elementos e 11 nós. Admitamos que o Nó 1 corresponda a q 5 0 e o Nó 11 esteja em q 5 p/2. A força externa de 500 N (metade da carga total de 1.000 N) é aplicada verticalmente de cima para baixo no Nó 11. As condições de contorno devidas à simetria são: No Nó 1, u  0, v 5 q 5 0 No Nó 11, u 5 0, v  0, q 5 0 Usamos o programa MATLAB Toolbox, no Apêndice, para resolver o problema anterior. A listagem do programa está apresentada a seguir.

166

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

A geometria inicial e a geometria deformada do anel são mostradas na figura a seguir.

Os esforços normais (axiais), os esforços cortantes e os momentos fletores são listados abaixo. Os valores máximos estão destacados.

28. A estrutura mostrada na figura está sujeita a algumas forças nos Nós 2 e 3. Os deslocamentos resultantes estão apresentados na tabela a seguir. Faça um esquema dos diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores do Elemento 3. Quais são as reações de apoio no Nó 4? Admita EI 5 1000 N-m2 e EA 5 107 m2. Comprimento de todos os elementos 5 1 m.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

167

Solução:

Para o Elemento 3, escolhemos as coordenadas locais x 2 y conforme a figura. ˉ

ˉ

Isso significa que o primeiro Nó é 4 e o segundo Nó é 3. Então o ângulo f 5 90º. Os deslocamentos para esse elemento podem ser transformados em coordenadas locais, da seguinte maneira:

O esforço axial pode ser obtido de

Em consequência, P(3) 5 210.000 N (compressão).

168

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

O esforço cortante e o momento fletor podem ser obtidos multiplicando a matriz de rigidez 4 3 4 da viga [ k] pelos deslocamentos transversais e rotações, da seguinte maneira:

Desta forma, o esforço cortante5 2732 N. O momento fletor varia linearmente entre os Nós 4 e 3.M 5 2266 N-m e M3 5 1466 N-m. As reações podem ser interpretadas dasresultantes das forças noNó 4, conforme a4 figura a seguir.

Então, as reações podem ser interpretadas como

29. Resolva o seguinte quadro estrutural usando um programa de elementos finitos no Apêndice. O quadro está sujeito a uma carga uniformemente distribuída de q 5 1000 N/m e tem uma seção transversal circular com raio r 5 0,1 m. Como propriedade do material, o módulo de elasticidade longitudinal é E 5 207 GPa. Faça um gráfico da geometria deformada com um fator de ampliação adequado e desenhe os diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros Solução:

169

170

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

30. Uma barra engastada (Elemento 1) e uma barra sujeita apenas a esforços uniaxiais (Elemento 2) estão unidas no Nó 2 por meio de uma ligação aparafusada, conforme a figura. Admita que não exista atrito na conexão. A temperatura do Elemento 2 é elevada em 200oC acima da temperatura de referência. Ambos os elementos possuem o mesmo comprimento, L 5 1 m, módulo de elasticidade longitudinal, E 5 1011 Pa, área de seção transversalA 5 10 4 m2. A barra engastada tem momento de inércia I 5 10 9 m4, enquanto a barra uniaxial tem coeficiente de expansão térmica a 5 20 3 10 6/oC. Usando o método dos elementos finitos, (a) determine os deslocamentos e a rotação do Nó 2; (b) determine a força axial em ambos os elementos; (c) determine os esforços cortantes e os momentos fletores nos Nós 1 e 2 do Elemento 1; e (d) desenhe os diagramas de corpo livre do Nó 2 e mostre que o equilíbrio de forças está sendo atendido. Sugestão: Trate o Elemento 1 como um elemento de quadro plano. 2

2

2

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

171

Solução:

(a) O Elemento 1 é um elemento de quadro, e o Elemento 2 é um elemento de treliça. Como o Elemento 1 tem orientação paralela ao eixo x, as matrizes de rigidez nos sistemas de coordenadas globais e locais serão as mesmas. Como o Nó 1 está fixo, construímos apenas a matriz de rigidez no Nó 2.

5

Para o Elemento 2, admita Nói do elemento se torna

5

3 e Nó j

2. Então, o ângulo de orientação f é de 135 graus. A matriz de rigidez

O vetor de forças térmicas se torna

Depois da montagem, as equações globais se tornam

Como não há binário aplicado ao Nó 2, a força correspondente a q2 é igual a zero. Resolvendo as equações anteriores e encontrando os valores dos graus de liberdade nodais desconhecidos, temos

(b) Esforços normais (axiais):

(c) Esforços cortantes e momentos fletores para o Elemento 1:

Observe que M2 5 0, uma vez que não há binário externamente aplicado ao Nó 2 e que também a união rotulada no Nó 2 não permite o aparecimento de momento fletor.

172

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

(d) Diagrama de corpo livre no Nó 2:

Da figura anterior pode-se observar que o equilíbrio do Nó 2 está satisfeito:

31. A figura mostrada aseguir ilustra uma célula de cargafeita de alumínio. O anele a haste possuem seção transversal quadrada: 0,1 3 0,1 m2. Admita que o módulo de elasticidade longitudinal é de 72 GPa. O raio médio do anel é de 0,05 m. Em uma célula de carga, a carga axial é medida pela média de deformações nos pontos P, Q, R e S, conforme mostra a figura. Os pontos P e S estão na superfície externa, e Q e R estão na superfície interna do anel. Modele a célula de carga usando elementos de quadro plano. Cada uma das partes retas pode ser modelada usando um elemento. Use cerca de 20 elementos para modelar todo o anel. Calcule a deformação axial exx nos locais P, Q, R e S para uma carga de 1.000 N. Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores para um quadrante do anel. A deformação pode ser calculada usando a fórmula da viga:

onde P é a força axial, M é o momento fletor, A é a área da seção transversal,I é o momento de inércia e c é a distância ao plano médio.

Solução:

Resolvemos o problema usando o programa MATLAB Toolbox (caixa de ferramentas) com 22 elementos de quadro. O modelo de elementos finitos e os números dos elementos são mostrados na figura a seguir.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

173

O esforço normal (axial) e o momento fletor nos pontos P, Q, R e S são os mesmos dados por

Os pontos P e S possuem o mesmo valor de deformação e podem ser calculados, usando a equação anterior, como

Por outro lado, as deformações nos pontos Q e R são

Há uma grande diferença nas deformações entre o interior e o exterior da célula. A geometria deformada e amplificada é mostrada na figura a seguir.

174

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

Lista do programa MATLAB:

32. No Problema 31, admita que a carga é aplicada excentricamente; i.e., a distância entre a linha de ação da força aplicada e a linha central da célula de carga, e, não é igual a zero. Calcule a deformação nos pontos P, Q, R e S para e 5 0,002 m. Qual é a média dessas deformações? Faça um comentário sobre os resultados. Nota: A carga excêntrica pode ser substituída por uma carga centrada e um momento de 1000 ¥ e N?m. Solução:

Pode ser usado o mesmo programa do Problema 31 para este problema. A única diferença é aplicar um momento adicional causado pela carga excêntrica. Desta forma, adicione o seguinte comando: F(66) 5 2,0. Devido à excentricidade, a força normal e o momento são diferentes nos dois locais. Eles são dados por

Agora, todos os componentes de deformação são diferentes.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

175

Embora as deformações internas mudem significativamente, seu valor médio é muito próximo ao da deformação inter-

na no Problema 31. As deformações externas variam menos do que 3%. Além disso, o valor médio das deformações externas é muito próximo ao do Problema 31.

Exemplo do projeto de desenvolvimento de uma bicicleta 1. Unidade

ton (10³ kg), mm, s 2. Análise Preliminar (teste de flexão vertical)

Se admitirmos que o quadro da bicicleta é uma estrutura de viga reta, então a configuração do problema pode ser representada como na figura.

Da teoria elementar de viga, o momento fletor pode ser obtido como

Se admitirmos que o quadro da bicicleta consiste em um único tubo oco (é muita simplificação), então a máxima tensão pode ser recalculada por

que deve ser uma estimativa muito alta, tendo em vista a hipótese de um único tubo. A seguir, vamos admitir que a bicicleta consiste em dois tubos ocos paralelos e separados de 400 mm. Essa hipótese tornará a bicicleta mais rígida do que aestrutura real, porque ambas as extremidades se encontram em um ponto. O momento de inércia equivalente dos dois tubos pode ser obtido do teorema dos eixos paralelos, da seguinte maneira:

Neste caso, a tensão máxima será

A tensão real deve ser maior do que esse valor.

176

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

3. Análise de Elementos Finitos

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

177

178

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

179

180

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

4. Otimização do Projeto

A otimização foi realizada usando a função “Mathematical Programming” (Programação Matemática) em I-DEAS. Todos os quadros são divididos em cinco grupos, que são definidos como parâmetros de projeto.

Capítulo 4 Análise de Elementos Finitos de Vigas e Quadros

181

O objetivo do projeto é minimizar a massa do quadro, ao mesmo tempo em que a tensão máxima seja menor do que 70 Mpa, e os deslocamentos máximos nas direções x e y sejam menores do que 0,6 mm. O problema de otimização convergiu em seis iterações. A história do projeto está resumida na tabela.

Capítulo 5

Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor 1. Considere a condução de calor em uma haste uniaxial cercada por um fluido. A extremidade esquerda da haste está em T0. A temperatura do fluido em condição de escoamento livre é T . Há transferência convectiva de calor através da superfície da haste assim como ao longo da extremidade direita. A equação de governo e as condições de contorno são as seguintes: •

onde k é a condutividade térmica,h é o coeficiente de convecção eA e P são a área e o perímetro da seção transversal circular, respectivamente. Valores numéricos (unidades SI): L 5 0,3, k 5 180, h 5 12, T0 5 700, T 5 400, A 5 10 4, P 5 4 ¥ 10 2. Use três elementos finitos para resolver o problema. Use elementos com comprimentos de 0,05, 0,1 e 0,15, respectivamente. •

2

2

Solução:

Podemos usar três elementos para chegar a uma solução aproximada.

A matriz de condutividade global tem as três partes seguintes: Parte 1 devido à condutividade térmica:

Parte 2 devido à convecção ao longo das superfícies laterais:

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

183

Parte 3 devido à convecção ao longo da superfície da extremidade direita:

O vetor de entrada de calor externo tem duas partes. Devida à convecção da superfície lateral:

Observe que o vetor de calor foi escrito na forma de linha para economizar espaço. Entrada de calor devido à convecção na superfície da extremidade direita:

Adicionando as três matrizes de condutividade e o vetor de entrada de calor, obtemos

onde Q1 é o fluxo de calor desconhecido através da superfície da extremidade esquerda. A equação reduzida é

O fluxo de calor em x 5 0 é Q1 5 0,3680T1 2 0,3560T2 5 25,92 W.

2. Considere o problema de condução de calor descrito na figura. Dentro da barra, é gerado calor de uma fonte de calor uniforme Qg 5 10 W/m³, e a condutividade térmica do material é k 5 0,1 W/m/ºC. A área da seção transversal A 5 1 m². Quando as temperaturas em ambas as extremidades estão fixas em 0ºC, calcule a distribuição de temperatura usando: (a) dois elementos de mesmo comprimento e (b) três elementos de mesmo comprimento. Faça um gráfico da distribuição de temperatura ao longo da barra e compare com a solução exata.

184

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor Solução:

(a) Solução com dois elementos: Neste caso, cada elemento tem comprimento de L(e) 5 0,5 m. Desta forma, a equação matricial do elemento se torna Elemento 1:

Elemento 2:

Observe que o calor gerado é dividido igualmente entre os dois nós das extremidades. Depois da montagem, temos

Como a temperatura nos Nós 1 e 3 são conhecidas e iguais a zero, a primeira e a última linhas e as colunas correspondentes são eliminadas para que seja obtido A temperatura entre os nós varia linearmente. (b) Solução com três elementos: Neste caso, cada elemento tem comprimento de L(e) 5 1/3 m. Desta forma, a equação matricial do elemento se torna Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3: Depois da montagem, temos

Como as temperaturas nos Nós 1 e 4 são conhecidas e são iguais a zero, a primeira e a última linhas e colunas são retiradas para que seja obtido

A temperatura entre os nós varia linearmente. (c) Solução analítica: Por integração da equação diferencial de governo, kT 5 2QgA, temos

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

185

As duas constantes de integração podem ser determinadas aplicando as duas condições de contorno: T(0) 5 0 e T(1) 5 0. A expressão final da temperatura se torna

A figura a seguir mostra as distribuições de temperatura para os três casos. Observe que as temperaturas nodais são exatas, mas dentro do elemento elas são diferentes porque a temperatura exata é uma função quadrática, ao passo que as soluções de elementos finitos são lineares por partes.

3. Repita o Problema 2 com Qg 5 20x. Solução:

(a) Solução com dois elementos: A fim de calcular as cargas térmicas equivalentes para a fonte de calor crescentee da Eq. (5.15) como mente linear, em primeiro lugar definimos as funções de forma do elemento

Então, as cargas térmicas equivalentes podem ser obtidas a partir da seguinte integral:

Elemento 1:

Elemento 2: Desta forma, a equação matricial dos elementos se torna Elemento 1:

Elemento 2:

186

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

Depois da montagem, temos

Como a temperatura nos Nós 1 e 3 são conhecidas e iguais a zero, a primeira e a última linhas e colunas são eliminadas para que seja obtido

Observe que T2 é a mesma que no caso da geração uniforme de calor. Assim, os dois elementos levam a uma distribuição simétrica de temperatura. (b) Solução com três elementos: As cargas térmicas equivalentes se tornam Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3: Desta forma, as equações matriciais dos elementos se tornam Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3: Depois da montagem, temos

Como as temperaturas nos Nós 1 e 4 são conhecidas e são iguais a zero, a primeira e a última linhas e colunas são retiradas para que seja obtido

A temperatura entre os nós varia linearmente. (c) Solução analítica: Por integração da equação diferencial de governo, kT 5 220x, temos

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

187

As duas constantes de integração podem ser determinadas aplicando as duas condições de contorno T(0) 5 0 e T(1) 5 0. A expressão final da temperatura se torna

A figura a seguir mostra as distribuições de temperatura para os três casos. Observe que a distribuição de temperatura exata é inclinada para a direita. A solução com dois elementos mostra resultados simétricos, mas a solução com três elementos capturou a distribuição inclinada.

4. Determine a distribuição de temperatura (temperaturas nodais) da barra mostrada na figura usando dois elementos finitos de mesmo comprimento com área de seção transversal de 1 m². A condutividade térmica é 10 W/m ◊ºC. O 5

esquerdo é mantido a 300ºC. lado direito está sujeito a perda de calor por convecção com h elado Tf 5 30ºC. Todos os outros ladosO estão isolados.

Solução:

Elemento 1:

Elemento 2:

◊

1 W/m² ºC

188

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

Montagem:

Como T1 5 300, a equação reduzida é

5. As temperaturas nodais do problema de condução de calor são dadas na figura unidimensional. Calcule a temperatura em x 5 0,2 usando: (a) dois elementos com dois nós e (b) um elemento com três nós.

Solução:

(a) Usando elementos de dois nós, x 5 0,2 pertence ao primeiro elemento. Desta forma, é suficiente interpolar no primeiro elemento. Iniciando com a forma linear de aproximação da temperatura,

(b) Usando um elemento de três nós, a temperatura é aproximada usando a forma quadrática:

Substituindo x 5 0,2 na expressão anterior,T(0,2) 5 58ºC.

6. A fim de resolver um problema unidimensional de transferência de calor em regime permanente, é usado um elemento com três nós. As funções de forma e a matriz de condutividade antes da aplicação das condições de contorno são dadas.

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

189

(a) Quando a temperatura no Nó 1 for igual a 40ºC e for admitido um fluxo de calor de 80 W no Nó 3, calcule a temperatura em x 5 ¼ m. (b) Quando a temperatura no Nó 1 for igual a 40ºC e a condição de convecção no contorno for aplicada ao Nó 3 com h 5 4 W/m²/ºC, T 5 100ºC, calcule a temperatura em x 5 ¼ m. (c) Em vez das condições de contorno anteriores, os fluxos nos Nós 1 e 3 são dados como Q1 e Q3, respectivamente. Este problema pode ser resolvido e podem ser encontrados os valores das temperaturas nodais? Explique sua resposta. •

Solução:

(a) Devido à temperatura fixa no Nó 1, o fluxo de calor nesse nó é desconhecido. Além disso, devido ao fluxo de calor conhecido no Nó 3, a temperatura nesse nó é desconhecida. Desta forma a equação matricial se torna

Eliminando a primeira linha e movendo a primeira coluna para o lado direito após a multiplicação por T1, temos

Resolvendo a equação anterior a fim de encontrar as temperaturas nodais desconhecidas, temos

A temperatura em x 5 0,25 pode ser calculada usando as funções de forma

Assim, a temperatura em x 5 0,25 se torna

(b) A convecção no Nó3 pode ser modelada utilizando a Equação (5.29).

Agora, o termo desconhecido 4T3 é movido para o lado esquerdo a fim de que a equação matricial global seja expressa por

Eliminando a primeira linha e movendo a primeira coluna para o lado direito da equação após a multiplicação por T1, temos

190

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

Resolvendo a equação matricial anterior a fim de encontrar as temperaturas nodais desconhecidas, temos

A temperatura em x 5 0,25 se torna

(c) Quando Q1 e Q2 forem dados, não podemos encontrar as temperaturas nodais porque a solução para as temperaturas não é única. Por exemplo, se {T1, T2, T3} for uma solução, então { T1 1 a, T2 1 a, T3 1 a} também será uma solução. Isso é similar a adicionar um movimento de corpo rígido a uma solução de treliça.

7. A câmara de calor unidimensional da figura é modelada usando um elemento com três nós. Há uma fonte de calor uniforme dentro das paredes gerando Q 5 300 W/m³. A condutividade térmica da parede é k 5 3 W/m◊ºC. Admita que A 5 1 m² e l 5 1 m. A extremidade esquerda tem uma temperatura fixa de T 5 20ºC, enquanto a extremidade direita tem fluxo de calor nulo. (a) Calcule a função de forma [N] 5 [N1, N2, N3] como uma função de x. (b) Encontre os valores das temperaturas nodais T{ } 5 {T1, T2, T3}T usando as condições de contorno. Faça um gráfico x-T da distribuição de temperatura. (c) Calcule os fluxos de calor em x 5 0 e x 5 1 quando a solução for { T} 5 {20, 58,25, 71}.

Solução:

(a) Função de forma:

(b) Fonte de calor:

Equação matricial:

Condições de contorno: Solução {T} 5 {20, 57,5, 70}T.

(c) Derivadas das funções de forma:

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

8.

191

Considere a condução de calor em uma haste uniaxial cercada por um fluido. A extremidade direita da haste está ligada a uma parede e está a uma temperatura TR. Uma metade da barra está isolada, conforme indicado. A temperatura em condição de escoamento livre é Tf. Há transferência convectiva de calor através da superfície não isolada da haste, assim como sobre a face da extremidade esquerda. Use dois elementos de comprimentos iguais para determinar a distribuição de temperatura na haste. Use os seguintes valores numéricos: L 5 0,2 m, k 5 200 W/m/ºC, h 5 36 W/m²/ºC, TR 5 600ºC, Tf 5 300ºC, A 5 10 4 m² e P 5 0,04 m. 2

Solução:

Escreva as matrizes de condução, a matriz de convecção e as cargas térmicas devido à convecção:

192

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

Depois de adicionar o fluxo de calor devido à convecção na extremidade da barra, dois elementos são reunidos para que seja obtida a seguinte equação global de condução:

Como o lado direito da equação contém a temperatura desconhecida T1, esta é movida para o lado esquerdo da equação. A última linha é eliminada, já que contém o calor desconhecido Q3. Além disso, a última coluna é movida para o lado direito da equação depois de ser multiplicada por T3 5 600, e obtém-se

Resolvendo a equação anterior a fim de encontrar as temperaturas desconhecidas, vem

9. Um fluido bem misturado é aquecido por uma placa longa, de ferro, de condutividade k 5 12 W/m/ºC e espessura t 5 0,12 m. O calor é gerado uniformemente na placa a uma taxa Qg 5 5.000 W/m3. Se o coeficiente de convecção da superfície for h 5 7 W/m2/ºC e a temperatura do fluido for Tf 5 45ºC, determine a temperatura no centro da placa Tc e a taxa do fluxo de calor para o fluido q usando três elementos unidimensionais.

Solução:

Admitindo que a placa seja suficientemente larga, modelamos o problema com elementos unidimensionais (1D) de área unitária. Usando L(e) 5 0,04 m para todos os três elementos, as equações matriciais dos elementos se tornam Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3: O fluxo de calor em ambas as extremidades se dá por convecção e pode ser modelado como Nó 1: Nó 2:

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

193

Depois da montagem, temos

A equação anterior é resolvida a fim de serem encontradas as seguintes temperaturas nodais desconhecidas:

5

No centro, a temperatura Tc

o

87,86 C. A taxa de dissipação de calor através da parede é

O sinal negativo indica que o calor sai do sistema.

10. Uma aleta de resfriamento de área de seção transversal quadrada A 5 0,25 ¥ 0,25 m2, comprimento L 5 2 m e condutividade k 5 10 W/m/ºC se estende de uma parede mantida a uma temperatura Tw 5 100ºC. O coeficiente de convecção da superfície entre a aleta e o ar que a cerca hé 5 0,5 W/m2/ºC e a temperatura do ar é Ta 5 20ºC. Determine o calor conduzido pela aleta e a temperatura da extremidade, usando cinco elementos finitos unidimensionais.

Solução:

A matriz de condutância e o vetor de cargas térmicas para todos os elementos são idênticos e podem ser calculados da seguinte maneira:

e

194

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

Desta forma, a matriz de condução do elemento se torna Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

Elemento 4:

Elemento 5:

O equilíbrio do fluxo de calor na Eq. (5.12) pode ser aplicado para todos os nós em conjunto com o fluxo de calor da convecção na Eq. (5.29), da seguinte maneira: Nó 1: Nó 2: Nó 3: Nó 4: Nó 5: Nó 6: Depois de substituir as equações de condução dos elementos, obtemos a seguinte equação matricial global:

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

195

Observe que o termo que inclui a temperatura desconhecida T6 na última equação precisa ser movido para o lado esquerdo da equação. Além disso, a temperatura conhecida T1 é movida para o lado direito depois de ser multiplicada pela primeira coluna. Assim, temos a seguinte equação matricial global:

A solução dessa equação matricial fornece as cinco temperaturas nodais. Combinando a temperatura prescrita, a temperatura de toda a aleta pode ser determinada por

A fim de calcular o calor conduzido pela spine, usamos a primeira equação da matriz obtida após a montagem:

11. Encontre a transferência de calor por nuidade de área através daparede composta na figura.Admita fluxo de calor unidimensional e que não existe fluxo de calor entre B e C. As condutividades térmicas são kA 5 0,04 W/m/ºC, kB 5 0,1 W/m/ºC, kC 5 0,03 W/m/ºC e kD 5 0,06 W/m/ºC.

Solução:

Baseado na hipótese de fluxo de calor unidimensional, o problema pode ser modelado como um sistema discreto da figura.

Elemento A:

196

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

Elemento B:

Elemento C:

Elemento D:

Todas as equações dos elementos são reunidas em

Como T1 e T4 são conhecidas, a primeira e a última linhas são eliminadas e a primeira e a última colunas são movidas para o lado direito da equação depois de serem multiplicadas por T1 e T4. Desta forma, temos

A solução dessa equação matricial leva às duas temperaturas nodais. Combinando as temperaturas prescritas, a temperatura de toda a parede pode ser determinada como

A fim de calcular o calor conduzido pela parede, usamos a primeira equação da matriz obtida após a montagem:

12. Considere uma parede construída de concreto, com isolamento térmico. A temperatura externa é To 5 217ºC e a temperatura no interior é Ti 5 20ºC. A parede é subdividida em três elementos. A condutividade térmica do concreto é kc 5 1,7 W/m/ºC e a condutividade térmica do isolante é ki 5 0,04 W/m/ºC. A transferência de calor de convecção ocorre em ambas as superfícies com coeficientes de convecção de h0 5 14 W/m2/ºC e hi 5 5,5 W/m2/ºC. Calcule a distribuição de temperatura da parede. Além disso, calcule a quantidade do fluxo de calor através da superfície externa.

Capítulo 5 Elementos Finitos para Problemas de Transferência de Calor

197

Solução:

Admitindo que a parede é suficientemente larga, modelamos o problema da área unitária da parede, i.e., A 5 1 m 2. As equações matriciais dos elementos se tornam Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3: O fluxo de calor em ambas as extremidades se dá por convecção e pode ser modelado da seguinte maneira: Nó 1: Nó 2: Depois da montagem, temos

A equação anterior é resolvida a fim de fornecer as seguintes temperaturas nodais desconhecidas:

A taxa de dissipação de calor através da parede é calculada da seguinte maneira:

Capítulo 6

Elementos Finitos para Sólidos Planos 1. Repita o Exemplo 6.2 com a seguinte conectividade de elementos: Elemento 1: 1-2-4 Elemento 2: 2-3-4 A conectividade diferente dos elementos modifica os resultados? Solução:

(1) Elemento 1: Nós 1-2-4 Usando coordenadas nodais diferentes, podemos calcular as constantes da Eq. (6.18) e encontramos

Além disso, da geometria do elemento, a área do triângulo A1 5 0,5 3 20 3 10 5 100. As matrizes [B] e [C ] podem ser escritas da seguinte forma: s

e

Usando as duas matrizes anteriores, a matriz de rigidez do elemento pode ser obtida assim:

(2) Elemento 2: Nós 2-3-4 Adotando um procedimento similar ao do Elemento 1, as constantes parao Elemento 2 podem ser escritas como

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

199

A área do Elemento 2 é o dobro da do Elemento 1: A2 5 0,5 3 10 3 10 5 50. A matriz deformação-deslocamento [B] pode ser obtida da seguinte forma:

Adotando o mesmo procedimento, a matriz de rigidez do Elemento 2 pode ser escrita como

(3) Equação matricial global de elementos finitos As matrizes de rigidez dos dois elementos são reunidas para formar a matriz de rigidez global. Como há quatro nós, o modelo tem oito graus de liberdade: cada nó tem dois graus de liberdade. Desta forma, a matriz global tem uma dimensão 8 3 8. Depois da montagem, a equação matricial global pode ser escrita da seguinte forma:

onde Rx1, Ry1, Rx4 e Ry4 são as forças de reação desconhecidas nos nós 1 e 4. (4) Aplicação das condições de contorno Na equação matricial global, a condição de contorn o de deslocamento é dada de tal maneira que u1 5 v1 5 u4 5 v4 5 0.

Desta forma, podemos remover a primeira, a segunda, a sétima e a oitava linhas e colunas. Depois de remover essas linhas e colunas, podemos obter a seguinte equação matricial reduzida:

Observe que a matriz de rigidez da equação anterior é não singular e, portanto, pode ser obtida a única solução. (5) Solução A equação matricial anterior pode ser resolvida de modo a serem encontrados os seguintes deslocamentos nodais desconhecidos:

200

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

(6) Deformação e tensão no Elemento 1: Depois de calcular os deslocamentos nodais, a deformação e a tensão podem ser calculadas no nível do elemento. Em primeiro lugar, os deslocamentos daqueles nós que pertencem ao elemento precisam ser extraídos do vetor global de deslocamentos nodais. Como os nós 1, 2 e 4 fazem parte do Elemento 1, os deslocamentos nodais serão {q} 5 {u1, v1, u2, v2, u4, v4}T 5 {0, 0, 3,005 3 10 3, 23,455 3 10 2, 0, 0}T. Então, a deformação pode ser calculada por 2

2

Além disso, a tensão no elemento pode ser obtida, usando a Eq. (6.5), da seguinte forma:

(7) Tensão e deformação no Elemento 2: Para o Elemento 2, são utilizados os nós 2, 3 e 4. Desta forma, os deslocamentos nodais serão {q} 5 {u2, v2, u3, 2

2

2

2

v3, u4, v4}T 5 {3,005

3 10 3, 23,455 3 10 2, 1,679 3 10 2, 23,242 3 10 2, 0, 0}T. Usando os deslocamentos do elemento, a deformação e a tensão no elemento podem ser obtidas assim:

e

Observe que as tensões são muito diferentes das tensões no Exemplo 6.2. Tal diferença é um indicador de que os resultados da análise de elementos finitos não são precisos e se torna necessário um refinamento adicional da malha.

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

201

2. Resolva o Exemplo 6.2usando um dos programas de elementos finitos dados noApêndice. Solução:

Resolveremos o problema usandoo MATLAB Toolbox no Apêndice D. A listagemdo programa é mostrada a seguir:

Deslocamentos nodais: Deformações no elemento:

Tensões no elemento:

A figura a seguir mostra a configuração indeformada e a configuração deformada dos elementos. A deformação é ampliada em 50 vezes.

202

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

3. Usando dois elementos CST, resolvao problema de cisalhamento puro ilustrado na figura e determine se os elementos CST podem representar precisamente a condição de cisalhamento simples. As propriedades do material são dadas como E 5 10 GPa, n 5 0,25, e a espessura é h 5 0,1 m. A força distribuída f 5 100 kN/m² é aplicada na borda superior.

Solução:

Usando a Eq. (6.28), a matriz de rigidez do elemento pode ser calculada. Para o Elemento 1,

Para o Elemento 2,

De acordo com as condições de contorno de deslocamentos fornecidas, apenas u3 e u4 são os graus de liberdade desconhecidos. Desta forma, obtemos a matriz de rigidez apenas para os graus de liberdade que não estão restringidos. Assim, temos

Observe que a força distribuída é dividida igualmente os Nós 3 enulos, 4. A solução daseguintes equação anterior fornecenoos deslocamentos diferentes de zero. Combinando com osentre deslocamentos temos os deslocamentos dais:

As deformações no elemento podem ser calculadas, usando a Eq. (6.25), da seguinte forma:

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

203

Assim sendo, não há deformações normais e as deformações de cisalhamento (distorções) são as mesmas para ambos os elementos. As tensões no elemento podem ser calculadas, usando a relação tensão-deformação do estado plano de tensões, da seguinte forma:

Observe que existe apenas tensão cisalhante, que satisfaz a condição de cisalhamento puro. Como a força distribuída f 5 10 kN/m² é aplicada na borda superior, a tensão cisalhante mencionada é exata. Consequentemente, o elemento

CST pode representar precisamente a condição de cisalhamento puro. A figura a seguir mostra a configuração deformada e a configuração indeformada dos elementos.

4. Resolva o Exemplo 6.4usando um dos programas de elementos finitos doApêndice. Solução:

Resolveremos o problema usando o MATLAB Toolbox do Apêndice D. A listagem do programa é mostrada a seguir:

Deslocamentos nodais: Tensão no elemento:

204

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

Deformação no elemento:

5. A estrutura mostrada na figura é modelada usando um elemento triangular. É utilizada a hipótese de estado plano de deformações. (a) Calcule a matriz deformação-deslocamento [B]. (b) Quando os deslocamentos nodais forem dados por {u1, v1, u2, v2, u3, v3} 5 {0, 0, 2, 0, 0, 1}, calcule as deformações do elemento.

Solução:

(a) Com base nas coordenadas nodais: x1 5 0, y1 5 0, x2 5 10, y2 5 10, x3 5 0, y3 5 20, são calculados os seguintes coeficientes:

Além disso, a área é A 5 20 3 10/2 5 100. Desta forma, a matriz deformação-deslocamento se torna

(b) Para os deslocamentos nodais dados, as deformações podem ser calculadas da seguinte maneira:

Assim sendo, exx 5 0,2, eyy 5 0,05 e gxy 5 20,05.

6. Calcule a matriz das funções de forma [N] e a matriz deformação-deslocamento [ B] do elemento triangular mostrado na figura.

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

205

Solução:

Como o elemento tem três nós, vamos iniciar comu(x, y) 5 a1 1 a2x 1 a3x. Substituindo os valores nodais, temos

Desta forma, a solução aproximada se torna

Do esquema de aproximação anterior, podemos obter três funções de forma, da seguinte maneira:

Assim, a matriz das funções de forma pode ser escrita como

A matriz deformação-deslocamento pode ser obtida a partir da definição da deformação como

7. A coordenada dos nós e os deslocamentos correspondentes de um elemento triangular são dados na tabela. Calcule o deslocamento u e v e as deformações exx, eyy e gxy no centroide do elemento, dado pelas coordenadas (1/3, 1/3).

206

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos Solução:

Usando as coordenadas nodais, podemos calcular as funções de forma como

Desta forma, a interpolação dos deslocamentos se torna

Em (x, y) 5 (1/3, 1/3), temos

Da definição de deformação, temos

Observe que as deformações são constantes dentro do elemento. 8. Para o elemento retangular mostrado na figura, os deslocamentos nos quatro nós são dados por {u , v , u , v , 1 2 2 u3, v3, u4, v4} 5 {0,0, 0,0, 1,0, 0,0, 2,0, 1,0, 0,0, 2,0}. Calcule o deslocamento (u, v) e a deformação e1xx no ponto (x, y) 5 (2, 1).

Solução:

Da Eq. (6.54), as funções de interpolação em (x, y) 5 (2, 1) são

Desta forma, os deslocamentos são aproximados por

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

207

A fim de calcular a deformação, inicialmente são calculadas as derivadas das funções de interpolação.

Então, exx pode ser calculado por

9. O elemento quadrilátero mostrado na figura tem deslocamento nodal de {u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4} 5 {21, 0, 21, 0, 0, 1, 0, 1}. (a) Encontre as coordenadas de referência (s, t) no ponto A (0,5, 0) usando o método de mapeamento isoparamétrico. (b) Calcule o deslocamento no ponto B cuja coordenada de referência é ( s, t) 5 (0, 20,5). (c) Calcule a matriz jacobiana [J] no ponto B.

Solução:

(a) Da interpolação:

Das duas relações anteriores, temos s 5 t 5 0,5. (b) Em (s, t) 5 (0, 20,5), as funções de forma se tornam

208

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

Desta forma, os deslocamentos neste ponto se tornam

(c) A fim de calcular o jacobiano, inicialmente são calculadas as derivadas das funções de forma:

10. Um elemento quadrilátero de quatro nós é definido conforme está ilustrado na figura. (a) Encontre as coordenadas no elemento de referência que correspondam a ( x, y) 5 (0, 0,5). (b) Calcule a matriz jacobiana como uma função de s e t. (c) O mapeamento é válido? Explique sua resposta.

Solução:

(a) Da relação isoparamétrica,

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

209

(b) Matriz jacobiana

(c) O determinante da matriz jacobiana se torna

Quando s 5 1 e t 5 21, |J| 5 0. Desta forma, o mapeamento não é válido no nó 2. 11. Uma placa quadrada, de 2 m 3 2 m 3 1 mm com E 5 70 GPa e n 5 0,3, está sujeita a uma carga uniformemente distribuída conforme mostra a Figura (a). Devido à simetria, é suficiente modelar um quarto da placa com condições de contorno artificiais, conforme mostra a Figura (b). Use dois elementos triangulares para encontrar os deslocamentos, as deformações e as tensões na placa. Verifique as respostas usando cálculos simples da resistência (ou mecânica) dos materiais.

Solução:

Este problema pode ser modelado como estado plano de tensões porque a espessura da placa é pequena, comparada com as outras dimensões. (1) Elemento 1: Nós 1-2-3 Usando as coordenadas nodais, podemos calcular as constantes bi e ci como

Além disso, da geometria do elemento, a área do triângulo A1 5 0,5 3 1 3 1 5 0,5 m². As matrizes [B(1)] e [C ] podem ser escritas como s

210

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

e

Usando as duas matrizes anteriores, a matriz de rigidez do elemento pode ser obtida como

(2) Elemento 2: Nós 1-3-4 Usando as coordenadas nodais, podemos calcular bi e ci como

Além disso, da geometria do elemento, a área do triângulo A2 5 0,5 3 1 3 1 5 0,5 m2. A matriz [B(2)] pode ser escrita como

Usando as duas matrizes anteriores, a matriz de rigidez do elemento pode ser obtida como

As matrizes de rigidez dos dois elementos são reunidas e então as linhas e colunas que correspondem aos graus de liberdade restritos são eliminadas, de modo que se obtém

A carga é uniformemente distribuída ao longo do elemento superior entre os nós 3 e 4. Portanto, as forças nodais equivalentes são divididas igualmente entre os dois nós.

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

211

As forças nodais equivalentes são metade da carga total ou 50.000 N. Assim sendo, o vetor das forças depois da aplicação das condições de contorno se torna

Desta forma, a equação matricial global se torna

A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer os seguintes valores para os deslocamentos desconhecidos:

A geometria deformada é mostrada na figura a seguir.

212

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

A estrutura está submetida a um campo de tensões uniforme (sx 5 0 e sy 5 100 MPa) e a solução de elementos finitos leva ao campo de tensões exato. Isso é possível porque os elementos triangulares podem representar com exatidão o estado de tensão constante.

12. Seis elementos retangulares são usados para modelar a viga em balanço (engastada e livre) mostrada na figura. Faça um esboço do gráfico desxx, ao longo da superfície superior, similar ao da figura. Não há necessidade de fornecer os valores exatos das tensões.

Solução:

Como o deslocamento é linear na superfície superior, a tensão e a deformação são constantes ao longo da superfície superior dentro do elemento. Além disso, a tensão não é contínua no contorno do elemento. A tensão real varia linearmente ao longo da direção x porque o momento fletor varia linearmente. Entretanto, a tensão obtida por elementos finitos mostrará a aproximação dessa variação linear da tensão usando tensões constantes por partes, conforme está ilustrado na figura a seguir.

13. Um elemento retangular como o mostrado na figura é usado para representar um problema de flexão pura. Devido ao momento fletorM, o elemento é deformado conforme a figura com deslocamento {d} 5 { u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4}T 5 {21, 0, 1, 0, 21, 0, 1, 0}T. (a) Escreva as expressões matemáticas para os componentes de tensão exx, eyy e gxy, como funções de x e y. (b) O elemento satisfaz a condição de flexão pura? Explique sua resposta. (c) Se fossem usados dois elementos triangulares (CST) conectando os nós 1-2-4 e 4-2-3, qual seria o valor de exx ao longo da linha A-B?

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

213

Solução:

(a) Da geometria, as funções de forma são calculadas como

A partir dos deslocamentos nodais dados, os deslocamentos podem ser calculados como uma função de x e y:

A partir da definição de deformação, temos

(b) Como exx é uma função linear de y, ela é consistente com o problema de flexão pura. Entretanto, gxy é uma função linear de x, que é supostamente igual a zero para o problema de flexão pura. Desta forma, o elemento retangular não pode satisfazer a condição de flexão pura. (c) Para o elemento triangular, adeformação exx é dada por

Para o elemento 1: b1 5 y2 2 y3 5 22, b2 5 y3 2 y1 5 2, b3 5 y1 2 y2 5 0. Desta forma,

Para o elemento 2: b1 5 22, b2 5 0, b3 5 2. Desta forma, temos

A figura a seguir ilustra a distribuição de exx ao longo da linha B-A.

214

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

14. São usados cinco elementos retangulares para modelar uma viga plana sob flexão pura. Movimento de corpo rígido é ignorado. O elemento do meio tem deslocamentos nodais conforme está ilustrado na figura. Usando um esquema de interpolação bilinear, calcule a deformação por cisalhamento ao longo da borda AB e compare-a com o valor exato da deformação por cisalhamento.

Solução:

Como os quatro nós se movem apenas na direçãox, v(x, y) 5 0. Estabelecendo o Nó A como a srcem das coordenadas locais x-y, os coeficientes deu(x, y) podem ser calculados a partir de

Desta forma,

A distorção (deformação por cisalhamento) ao longo da borda AB se torna

A distorção diminui linearmente ao longo da borda AB. Observe que a distorção exata é igual a zero para o problema de flexão pura.

15. Uma viga uniforme é modelada por dois elementos retangulares com espessura b. Qualitativamente e sem realizar cálculos, faça um gráfico desxx e txy ao longo da borda superior de A a C conforme previsto pela análise de elementos finitos. Além disso, faça um gráfico das tensões exatas de acordo com a teoria de vigas.

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

215

Solução:

Solução exata: M 5 2Fc.

16. Um problema de vigasubmetida à flexãopura é resolvido usando elementos finitos triangulares (CST), conforme mostra a figura. Admita E 5 200 GPa e n 5 0,3. A espessura da viga é de 0,01 m. Para simular o momento de flexão pura, duas forças opostas F 5 6 100.000 N são aplicadas na extremidade da viga. Usando qualquer pro-

grama de elementos finitos disponível, calcule as tensões na viga ao longo do eixo neutro e nas superfícies superior e inferior. Compare os resultados numéricos com a teoria elementar de vigas. Forneça um gráfico de sxx para as tensões nos elementos no contorno.

Solução:

A análise de elementos finitos usando elementos CST leva à tensão constante em cada elemento. Em consequência, a tensão normal, conforme mostra a tabela, tem um erro significativo porque a tensão varia linearmente ao longo da coordenada y. A teoria elementar de viga estabelece que a tensão normal ao longo do eixo neutro deve ser igual a zero, e a tensão máxima na superfície inferior é 60 MPa, ao passo que a tensão mínima na superfície superior é 260 MPa. Os resultados da análise de elementos finitos mostrados na tabela e na figura são muito diferentes da solução analítica, porque o elemento CST não é capaz de representar o campo de tensão linear. Além disso, de acordo com a análise de elementos finitos, surgem tensão cisalhante txy diferente de zero e tensão normal syy que não estão realmente presentes.

216

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

17. O problema de viga submetida a flexão pura é resolvido usando cinco elementos finitos retangulares, conforme mostra a figura. Admita E 5 200 GPa e n 5 0,3. A espessura da viga é de 0,01 m. Para simular o momento de flexão pura, são aplicadas duas forças opostas F 5 6100.000 N na extremidade da viga. Usando um programa comercial de elementos finitos, calcule as deformações na viga ao longo da superfície inferior. Desenhe os gráficos de exx e gxy, tendo o eixo x a direção do comprimento da viga. Compare os resultados numéricos com a teoria elementar de vigas. Forneça uma explicação para as diferenças, se houver alguma. O elemento é rígido ou flexível, comparado ao elemento triangular (CST)? Normalmente, um programa comercial de elementos finitos fornece as tensões e as deformações nos cantos do elemento realizando a média com as tensões dos elementos adjacentes. Desta forma, podem ser utilizados os dados dos deslocamentos nodais do código de elementos finitos para calcular as deformações ao longo da superfície inferior do elemento. Calcule as deformações em aproximadamente 10 pontos em cada elemento com a finalidade de fazer um gráfico. Certifique-se de que o programa comercial usa a função de forma padrão de Lagrange.

Repita o procedimento anterior quando uma força vertical de 200.000 N, apontando para cima, for aplicada na ponta da viga. Use condições de contorno similares às condições de contorno de engaste de uma viga em balanço. Solução:

No caso do problema de flexão pura, a tensão/deformação normal (axial) é constante ao longo da mesma coordenada y. A teoria de flexão de vigas leva a uma deformação de 33 1024 ao longo da superfície inferior da viga, que está

tracionada. Entretanto, a análise de elementos finitos fornece deformação de 2,02 3 10 4, que é muito menor do que a solução exata [ver Figura (a)]. Esse resultado mostra que o resultado da análise de elementos finitos é mais rígido do que a solução exata. Além disso, de acordo com a teoria de vigas, a distorção para o problema de flexão pura é igual a zero. Entretanto, a análise de elementos finitos leva a uma distorção que varia linearmente entre 22 3 10 4 e 2 3 10 4 [ver Figura (b)]. O canto inicialmente perpendicular será distorcido devido à deformação da flexão. Tal deformação superficial contribui para o resultado rígido do problema de flexão. Entretanto, o elemento retangular é menos rígido do que o elemento triangular. 2

2

2

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

217

Como segundo exemplo, o problema de viga engastada e livre é resolvido usando os mesmos elementos finitos. Diferentemente do problema de flexão pura, a tensão/deformação normal (axial) varia linearmente ao longo do vão. Entretanto, conforme mostra a Figura (c), a deformação normal varia de maneira constante por partes. Isso se deve ao fato de que exx não é uma função da coordenada x, mas uma função linear da coordenada y. Desta forma, a deformação normal é descontínua através do contorno do elemento. Além disso, a tensão normal média tem na realidade um valor diferente daquele da solução analítica. Isso se deve à deformação superficial de cisalhamento, conforme mostra a Figura (d). Dentro de um elemento, a distorção é uma função linear, mas é descontínua através do contorno do elemento.

218

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

18. O elemento quadrilátero da figura é mapeado no elemento de referência. (a) Um ponto P tem uma coordenada ( x, y) 5 (1/2, y) no elemento físico e ( s, t) 5 (21/2, t) no elemento de referência. Encontre as coordenadas y e t do ponto usando o mapeamento isoparamétrico. (b) Calcule a matriz jacobiana no centro do elemento. (c) O mapeamento é válido? Explique sua resposta.

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

219

Solução:

(a) Usando interpolação isoparamétrica do ponto P, vem (1) Substituindo s 5 21/2 na primeira equação, obtém-se

A equação anterior pode ser resolvida para t 5 0. Agora substitua s 5 21/2 e t 5 0 na segunda equação.

(b) Da Eq. (1) com as incógnitas s e t,

Em consequência, o jacobiano pode ser calculado diferenciando x e y anteriores em relação a s e t. Depois de substituir os valores de s e t, temos

(c) O mapeamento é válido porque o jacobiano é sempre positivo.

19. Considere o elemento de quatro nós a seguir, submetido a um estado plano de tensões. Ele é o 27.º elemento da malha e seus nós possuem a numeração mostrada a seguir. As coordenadas dos nós no sistema de coordenadas globais x-y estão mostradas próximo a cada nó.

A conectividade do elemento é a seguinte: 27

Número do elemento 51

Nó local 1 52

Nó local 2 63

Nó local 3 64

Nó local 4

Vetor dos deslocamentos nodais 5 {X}T 5 { u51, v51, u52, v52, u63, v63, u64, v64} 5 {0, 0, 0,1, 0, 0,1, 0,1, 0, 0}. (a) Determine o deslocamento no ponto ( x, y) 5 (0,75, 0,75) interpolando os deslocamentos nodais. (b) Calcule a matriz jacobiana no ponto em (a). (c) Calcule a deformação eyy no centro do elemento.

220

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos Solução:

(a) O ponto (x, y) 5 (0,75, 0,75) corresponde a (s, t) 5 (0,5, 0,5). Neste ponto, os valores das funções de forma são

Desta forma, os deslocamentos se tornam

(b) Jacobiano: A relação entre (x, y) e (s, t) é

Assim sendo, se diferenciarmos x e y em relação a s e t, obtemos

(c)

Então, as derivadas das funções de forma podem ser obtidas como

Em consequência,

20. Para o elemento de 4 nós mostrado na figura, é aplicada uma pressão p que varia linearmente ao longo de sua borda. O método de elementos finitos converte a força distribuída em um conjunto de forças nodais equivalentes (e)

{F } tal que

onde T é a força de superfície aplicada (força por unidade de área) e u é o vetor dos deslocamentos. Como a pressão aplicada é normal à superfície (na direção x), a força de superfície pode ser expressa como T 5 {p, 0}T onde p pode ser expresso como p 5 p0(t 1 1)/2, t 5 21 no Nó 1 e t 5 11 no Nó 4. O comprimento da borda é Le. Integre o lado esquerdo da equação anterior para calcular as forças nodais equivalentes { F(e)} quando {q(e)} T 5 {u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4}.

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

221

Solução:

Ao longo da borda 1-2, apenas N1 e N4 são diferentes de zero, e N2 e N3 são iguais a zero. Além disso, ao longo da borda, s 5 21. Em consequência, o deslocamento u(x) pode ser aproximado por

Então, o potencial para a carga distribuída se torna

21. Determine a matriz jacobiana dos elementos isoparamétricos seguintes. Se a temperatura nos nós de ambos os elementos forem {T1, T2, T3, T4} 5 {100, 90, 80, 90}, calcule as temperaturas no ponto médio do elemento e no ponto médio da borda que conecta os Nós 1 e 4.

Solução:

(a) Jacobiano: Usando as funções de interpolação,

222

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

Desta forma, o jacobiano pode ser obtido como

(b) No ponto médio do elemento (s, t) 5 (0, 0). Nesse ponto, N1 5 N2 5 N3 5 N4 5 0,25. Em consequência, a temperatura nesse ponto se torna

No ponto médio da borda entre os Nós 1 e 4, ( s, t)

5 2

( 1, 0). Nesse ponto,

Assim, a temperatura nesse ponto se torna

Embora este capítulo não esteja dedicado a problemas térmicos, é importante observar que as mesmas funções de forma podem ser usadas para interpolar os deslocamentos ou a temperatura dentro de um elemento.

22. Integre a função a seguir usando integração numérica com um ponto e com dois pontos (quadratura de Gauss). Explique como intregá-la. A integral exata é igual a 2. Compare a precisão (acurácia) da integração numérica com a solução exata.

Solução:

Como a integração numérica deve estar entre os limites [21, 1], torna-se necessária uma mudança de variáveis.

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

223

Um Ponto de Integração:s 5 0, w 5 2

Erro 5 p-2 5 1,1415 Dois Pontos de Integração: s 5 60,57735, w 5 1

Erro: 2 2 1,9358 5 0,0642

23. O elemento de seis nós mostrado na figura é usado como uma aproximação para o problema de viga. (a) Escreva as expressões para os deslocamentos u(x, y) e v(x, y) em termos de polinômios com coeficientes desconhecidos. Por exemplo, u(x, y) 5 a0 1 a1x 1…. (b) Esse elemento pode representar o problema de flexão pura satisfatoriamente? Explique sua resposta. (O momento fletor M é aplicado na borda 2-3.) (c) Esse elemento pode representar um problema de carga uniformemente distribuída satisfatoriamente? Explique sua resposta. (A carga distribuída q é aplicada ao longo da borda 4-6-3.)

Solução:

(a)

(b)

Sim; esse elemento é exato para a flexão pura, uma vez que a deformação pode variar linearmente na direção y. Além disso, como há três nós no topo e na base, o cisalhamento espúrio pode ser removido. (c) Não; esse elemento não pode representar precisamente a carga distribuída uniformemente. Isso se deve ao fato de que a deformação precisa ser uma função quadrática de x.

24. Considere o elemento quadrilátero mostrado na figura a seguir. As temperaturas nodais do elemento são dadas por {T1, T2, T3, T4} 5 {80, 40, 40, 80}. (a) Determinea expressãopara a temperaturaT ao longo da linhax que conecta os Nós 3 e 1. Por exemplo, T531 5x 1 3x² 1 … Pode-se admitir quex 5 0 no Nó 3 ex 5 1 no Nó 1. Faça um gráfico de T(x) em relação ax.

224

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

(b) Calcule o gradiente de temperatura ∂T/∂x no centro do elemento.

Solução:

(a) No elemento de referência, a linha que conecta os nós 1 e 3 pode ser escrita como s 5 t. Ao longo dessa linha:

Essa expressão é a mesma para todos os quatro casos diferentes.

Capítulo 6 Elementos Finitos para Sólidos Planos

(b)

No centro do elemento ( s, t) 5 (0, 0)

225

Capítulo 7

Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos 1. Resolva o quadro do Exemplo 7.1 usando um dos programas de elementos finitos dados no Apêndice. Desenhe a força axial, o diagrama de momentos fletores e o diagrama de esforços cortantes. Compare o valor da tensão máxima e seu local com os resultados da análise preliminar. Solução: Este problema exige um programa que possa suportar o sistema de coordenadas locais, em face das condições de con-

torno na superfície inclinada. É utilizado um programa comercial de Análise de Elementos Finitos (AEF), o ANSYS, para resolver este problema. No ponto C, o momento fletor e a força normal são

Esforço Normal:A tensão normal causada por N e C é uma tensão uniforme de compressão.

Esforço Cortante:Como o ponto C está localizado no topo da viga, não existe tensão cisalhante no ponto C. Momento Fletor: Como o ponto C está localizado a 1,5 m do ponto A e a 125 mm do eixo neutro, a tensão normal

causada pelo momento fletor é compressiva.

Superposição:

Desta forma, a tensão no ponto C é obtida, usando superposição, como

No ponto D, o momento fletor e o esforço normal são

Como o momento fletor aumentará ao longo do segmento horizontal da peça, a tensão normal máxima para o segmento horizontal ocorrerá no ponto D, onde x 5 4 m.

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

A seguir, a listagem do programa ANSYS.

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228

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

2. Considere a viga em balanço mostrada na figura. Resolva o problema usando: (a) cinco elementos de viga, (b) 4 3 20 elementos sólidos de estado plano de tensões e (c) 4 3 4 3 20 elementos hexaédricos. Compare a tensão máxima e a deflexão (deslocamento vertical) da extremidade livre. Admita E 5 72 GPa e n 5 0,3.

Solução:

Usamos o programa ANSYS para calcular a deflexão da extremidade e a tensão máxima. A tabela a seguir compara os resultados com a solução analítica. Observe que o elemento de viga apresenta a solução mais precisa, embora seja usado um número menor de elementos.

A seguir são apresentados os gráficos das deformações correspondentes aos três modelos.

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

A seguir, a listagem do programa para o ANSYS.

229

230

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

231

3. Considere a viga biapoiada mostrada na figura. Resolva o problema usando sólidos de estado plano de tensões. Realize o estudo da convergência para o deslocamento no centro e a tensão máxima de tração. Aumente o tamanho da malha segundo um fator igual a dois a partir do tamanho inicial de malha de 2 3 10. Compare os resultados com a solução exata. Admita E 5 72 GPa e n 5 0,3.

232

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos Solução:

O programa ANSYS é usado para calcular a deflexão da extremidade e a tensão máxima de tração para vários tamanhos de malha (ver tabela a seguir).

A figura seguinte mostra o comportamento de convergência da deflexão e da tensão. Verifica-se que a deflexão converge lentamente, mas a tensão converge rapidamente. Note também que a amplitude da deflexão aumenta quando a malha é refinada, o que significa que as soluções de elementos finitos são mais rígidas do que a solução exata.

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

Os gráficos das deformações para malhas 2 3 10 e 8 3 40 são mostrados nas figuras a seguir.

A seguir, a listagem do ANSYS.

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Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

4. Considere a viga em balanço mostrada na figura. Resolva o problema usando sólidos de estado plano de tensões. Realize da da convergência paraum os fator deslocamentos extremidade livreinicial e paradeamalha tensãodemáxima tração. Aumenteo oestudo tamanho malha segundo igual a doisna a partir do tamanho 2 3 10.de Compare os resultados com a solução exata. AdmitaE 5 72 GPa e n 5 0,3.

Solução:

É usado o programa ANSYS para calcular a deflexão na extremidade e a tensão máxima de tração para vários tamanhos de malha (ver tabela a seguir).

A figura a seguir mostra o comportamento de convergência da deflexão e da tensão. Verifica-se que a deflexão parece convergir com o tamanho da malha de 18, mas a tensão máxima ainda está aumentada para aquele tamanho. Em geral, os deslocamentos convergem mais rapidamente do que as tensões.

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

Os gráficos da configuração deformada para malhas 23 10 e 8 3 40 são mostrados nas figuras a seguir.

A seguir, a listagem do programa para o ANSYS.

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Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

5. Uma viga em balanço é modelada usando: (a) dois elementos retangulares e (b) dois elementos quadrilaterais. Compare a precisão dos resultados da análise com a tensão e o deslocamento vertical da extremidade. Admita E 5 72 GPa e n 5 0,3.

Solução:

Apresentamos os resultados quando a largura 5 0,1 m. O problema é resolvido usando o programa ANSYS. A tabela a seguir compara a deflexão da extremidade e a tensão máxima de tração. Por ser um problema de flexão pura, ambos os elementos se comportam de uma maneira muito ruim. Entretanto, os resultados dos elementos retangulares são mais precisos do que aqueles dos elementos quadriláteros.

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

A seguir, a listagem do programa para o ANSYS.

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Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

6. Usando as propriedades de simetria, desenhe uma geometria equivalente e simplificada da estrutura mostrada na figura com as condições de contorno adequadas. A geometria srcinal pode ser resolvida utilizando o MEF? A geometria simplificada pode ser resolvida usando o MEF? Explique sua resposta.

Solução:

A geometria srcinal não pode ser resolvida usando o MEF porque existem movimentos de corpo rígido. A matriz de rigidez será singular. Como a deformação será simétrica em relação aos eixos x e y, podemos definir uma geometria simplificada conforme ilustrado a seguir:

Observe que a geometria simplificada remove os movimentos de corpo rígido e, portanto, o MEF pode ser utilizado para resolver o problema.

7. Usando as propriedades de simetria, desenhe uma geometria equivalente e simplificada da viga mostrada na figura com as condições de contorno e as cargas aplicadas adequadas.

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

239

Solução:

8. Usando a simetria, encontre o deslocamento vertical, o momento fletor e o esforço cortante na viga contínua mostrada na figura quandoF 5 8 kN for aplicada no centro. Admita E 5 200 GPa e I 5 105 mm4.

Solução:

9. Usando a simetria, encontre o deslocamento vertical, o momento fletor e o esforço cortante na viga contínua mostrada na figura. Admita E 5 200 GPa e I 5 105 mm4.

Solução:

240

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

Usando a simetria, apenas metade da viga pode ser modelada conforme mostra a figura acima. A única diferença entre este problema e o Problema 8 reside no carregamento. Assim sendo, a matriz de rigidez global para este problema será idêntica à anterior. Precisamos apenas determinar o vetor de forças nodais equivalentes para as cargas uniformes. A carga distribuída existe apenas no Elemento 2, e vale

Desta forma, o vetor global de cargas se torna

onde R1, R2 e M3 são as reações desconhecidas. O conjunto completo de equações globais se torna

Eliminando as linhas e colunas que correspondem aos graus de liberdade restritos, obtém-se a seguinte equação matricial global:

As equações anteriores podem ser resolvidas de modo a fornecerem os seguintes valores para os graus de liberdade desconhecidos:

Momento fletor e esforço cortante: Elemento 1:

Na extremidade esquerda (s 5 0), M 5 0 e na extremidade direita (s 5 1), M 5 2160 kN?mm

Elemento 2:

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

241

Na extremidade esquerda (s 5 0), M 5 0 e na extremidade direita (s 5 1), M 5 2160 kN?mm

10. Considere a estrutura plana mostrada na figura. Usando a modelagem simétrica, desenhe a menor geometria e as forças esrcinal. condições de contorno correspondentes que possam fornecer os mesmos resultados de análise que o problema Considere dois casos: (a) Quando Px e Py forem diferentes (b) Quando Px 5 Py 5 P.

Solução:

(a) Quando Px e Py forem diferentes, existem dois planos de simetria; um deles é paralelo ao eixo x e o outro é paralelo ao eixo y. Como as cargas aplicadasPx e Py estão na linha de simetria, precisam ser divididas pela metade.

(b) Quando Px 5 Py 5 P, o modelo da Parte (a) pode ser ainda mais simplificado porque a geometria e as forças são simétricas em relação à linha de 45º.

242

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

11. Em elementos de barra unidimensionais, há apenas um teste de movimento de corpo rígido (translação x) e um teste de deformação constante (exx 5 constante). Considere uma malha de dois elementos de barra mostrada na figura com E 5 10 GPa, A 5 10 6 m². Verifique se o elemento é aprovado nos dois testes de convergência usando as seguintes funções de forma para o Elemento (i): 2

Solução: Como as funções de forma fornecidas não estão de acordo com o modelo padrão, usaremos o método de Galerkin apre-

sentado no Capítulo 3 para obter as funções de rigidez do elemento. As derivadas das funções de forma se tornam

A seguir, usando o procedimento formal da Seção 3.5, a matriz de rigidez do elemento pode ser escrita como

Elemento 1:

Elemento 2: Depois da montagem, a equação matricial global se torna

(a) Teste de movimento de corpo rígido: No movimento de corpo rígido, os deslocamentos nos nós do contorno são prescritos. Nesse caso, podemos especificar u1 5 u3 5 1 e precisamos verificar se u2 5 1. Aplicando as condições de contorno em deslocamentos, temos

onde R1 e R3 são forças de reação desconhecidas a fim de que sejam impostas as condições de contorno de deslocamentos. Com base na segunda equação, temos

Desta forma, o elemento passa no teste de convergência para os movimentos de corpo rígido. (b) Teste de deformação constante: A fim de produzir uma deformação constante, os deslocamentos lineares são admitidos. Prescrevemosu(x) 5 x para os nós nos contornos; i.e., u1 5 0 e u3 5 1,5. Esperamos obter u2 5 0,5 a fim de que o elemento passe no teste. Assim, a equação matricial se torna

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

243

Com base na segunda equação, temos

Desta forma, o elemento não pode representar uma condição de deformação constante e, portanto, falha no teste de convergência. Isso acontece porque não há termo linear na função de forma.  12. Frequentemente o teste de convergência (ou teste de malha) é usado para assegurar que a solução de elementos finitos converge para a solução exata à medida que a malha de elementos finitos é refinada. Na forma generalizada do teste de convergência, a malha de elementos é suportada por um número mínimo de condições de contorno para evitar os movimentos de corpo rígido. Para os nós restantes do contorno, é aplicado um conjunto de cargas consistente com o estado de tensões constantes no elemento. O estado de tensões calculado deve ser coerente com o estado de tensões admitido. Seja uma estrutura aproximada pelos quatro elementos finitos de estado plano de tensões com espessura 5 0,1, conforme mostra a figura, com E 5 1000 e n 5 0,3.

(a) Para todos os nós do contorno (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9) aplique as condições de contorno em deslocamentos de u 5 0,2x e v 5 20,06y. Usando um software comercial de elementos finitos, verifique os resultados da análise com a solução analítica de um campo de tensões constantes: sxx 5 200, syy 5 0 e txy 5 0. É preciso certificar-se de que as funções de forma incompatíveis foram removidas da análise. Forneça uma análise dos resultados do teste de malha. (b) Em vez de aplicar a condição de contorno em deslocamento, aplique forças de superfície que representem um campo constante de tensões sxx 5 200. Converta as forças de superfície distribuídas em forças nodais equivalentes. Na figura mostrada a seguir, desenhe os vetores de forças nodais mostrando suas direções e seus módulos. Realize a análise de elementos finitos com as forças nodais e verifique se todos os elementos possuem um campo de tensões constante.

244

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos Solução:

(a) Resultados de deslocamentos

Resultados de tensões

Observe que os valores pequenos desyy e txy são causados por erros numéricos. Desta forma, os elementos passam no teste de convergência para tensão constante. (b) As cargas distribuídas são repartidas igualmente entre os dois nós na borda do elemento. Assim, as forças nodais equivalentes são mostradas na figura a seguir.

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

245

Resultados de deslocamentos

Resultados de tensões

Observe que os valores pequenos desyy e txy são causados por erros numéricos. Desta forma, os elementos passam no teste de convergência para tensão constante.

13. Um sólido retangular submetido a condições de estado plano de tensões é modelado usando quatro elementos finitos, conforme mostra a figura. Foi provado que os elementos finitos são aprovados no teste de convergência (teste de malha). (a) Quando for aplicado um deslocamento constante u 5 20,01 m aos nós 3, 6 e 9, calcule o deslocamento {u, v} no nó 5, cujas condições iniciais são (0,4, 0,4). (b) Explique o motivo pelo qual ter resultado satisfatório no teste é importante para o desempenho do elemento.

Solução:

(a) Como os elementos passam no teste de convergência, eles satisfarão a condição de tensão constante. Desta forma, o deslocamento na direçãox será u(x) 5 0,01x. Além disso, de acordo com o coeficiente de Poisson,o deslocamento na direção y será v(y) 5 20,0025y. Usando as coordenadas nodais do nó 5, o deslocamento pode ser obtido por

246

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

(b) O teste de convergência é importante para garantir o comportamento convergente dos elementos. Se os elementos passarem no teste de convergência, a solução convergirá para a solução exata, à medida que o tamanho dos elementos diminuir.

14. Uma viga em balanço pode ser analisada usando os três modelos de elementos finitos mostrados na figura. (a) Ordene esses três modelos de acordo com sua expectativa de aproximação dos resultados fornecidos à solução analítica para o deslocamento na extremidade livre da viga (ponto de aplicação da carga). Forneça uma breve explicação para a ordem atribuída. (b) Faça um gráfico da distribuição estimada para a tensão normal calculada em uma seção próxima ao centro da viga em cada modelo. Explique o motivo dos gráficos estimados.

Solução:

(a) O verdadeiro estado de tensões sxx variará linearmente ao longo da seção transversal (direção vertical) e linearmente ao longo da direção x. O elemento de viga fornecerá o deslocamento exato da extremidade porque a curva de deflexões (curva elástica) é um polinômio cúbico, e o elemento de viga usa polinômios cúbicos de Hermite como funções de interpolação. A próxima solução precisa será obtida usando elementos de 4 nós porque esse elemento pode ter tensão com variação linear na direção transversal. Entretanto, a deflexão da extremidade será menor do que a exata porque o elemento quadrilátero não é capaz de representar a tensão com variação linear na direção x. O elemento triangular de 3 nós terá a menor deflexão de extremidade porque esse elemento não é capaz de representar a tensão que varie linearmente, tanto na direção x como na direção transversal. (b) Na seção transversal próxima ao meio da viga, a distribuição de tensões será a seguinte:

15. Um cilindro espesso está submetido a uma pressão interna p 5 1.000 psi (6.895 kPa), conforme ilustra a figura. O módulo de elasticidade longitudinal é 10 6 psi (6.895 MPa) e o coeficiente de Poisson é 0,2. Admitindo condições de estado plano de deformações, calcule os deslocamentos nodais, os componentes de tensão do elemento,

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos

247

as tensões principais e a tensão de Von Mises. Resolva ¼ do modelo usando as condições de contorno de simetria. As coordenadas nodais e a conectividade do elemento são dadas na tabela seguinte.

248

Capítulo 7 Procedimentos e Modelagem em Elementos Finitos Solução:

Deslocamentos nodais

Tensões nos elementos

Capítulo 8

Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos 1. Determine a altura da viga do Exemplo 8.1 quando for usado o fator de carga l 5 2,0 com a tensão crítica (de colapso estrutural) de 40 ksi (275,79 MPa). Solução:

Como há apenas uma carga isolada aplicada, a relação entre a capacidade e a resposta se torna

Então, da relação entre tensões e momentos de uma viga, temos

Desta forma, a altura mínima pode ser obtida a partir da equação anterior, e vale

2. Determine a altura da viga do Exemplo 8.1 de forma que a margem de segurança seja de 10 ksi (68,95 MPa), com a tensão crítica (de colapso estrutural) de 40 ksi (275,79 MPa). Solução:

Da definição de margem de segurança na Eq. (8.5), a máxima tensão admissível pode ser calculada por

Então, da relação entre tensões e momentos de uma viga, temos

Desta forma, a altura mínima pode ser obtida da equação anterior, e vale

3. A treliça bidimensional mostrada na figura é feita de alumínio com o módulo de elasticidade longitudinal E 5 80 GPa e tensão crítica (de colapso estrutural) sY 5 150 MPa. Determine a área mínima de seção transversal de cada barra, de forma que a treliça esteja segura, com um coeficiente de segurança de 1,5.

250

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

Solução:

Vamos admitir que as áreas das seções transversais sejam iguais a 0,05 cm². Elas serão modificadas mais tarde, caso necessário. Os números dos elementos, os números dos nós e o sistema de coordenadas utilizados aqui correspondem à figura abaixo.

Tabela de conectividades

Matriz de rigidez do elemento após a aplicação da transformação às coordenadas globais:

Elemento 1:

Elemento 2:

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

251

Elemento 3:

As três matrizes de rigidez dos elementos são reunidas para formar a matriz de rigidez global:

O Nó 1 está fixo (u1 5 v1 5 0) e o Nó 2 está fixo na direção vertical (v2 5 0). As condições de contorno conhecidas estão indicadas na seguinte equação matricial:

Eliminando as linhas e as colunas que correspondem aos deslocamentos nulos, temos

A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer o valor dos deslocamentos desconhecidos, e obtém-se

Usando os deslocamentos e calculando o valor das forças em cada barra usando a Eq. (2.45):

Agora, as forças nos elementos permanecem constantes, mesmo que as áreas das seções transversais sejam modificadas porque o sistema é estaticamente determinado. Destadeforma, asdos áreas de seções transversais mínimas podem ser obtidas a partir do coeficiente de segurança e da tensão ruptura dados.

Elemento 1:

252

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

Elemento 2:

Elemento 3: Observe que o Elemento 2 é uma barra de força nula. Assim sendo, teoricamente ela pode ser removida. Entretanto, a treliça ficará instável se a barra 2 for removida. Em muitos projetos, exige-se uma área de seção transversal mínima.

4. Considere a viga com trechos diferentes de seção transversal constante, modelada, utilizando dois elementos finitos. As seções transversais são circulares. Use o módulo de elasticidade longitudinal E 5 80 GPa, tensão de escoamento sY 5 250 MPa e L 5 1 m. Quando F2 5 F3 5 1.000 N, calcule os diâmetros mínimos das duas seções, de forma que a viga não atinja o colapso estrutural, com uma margem de segurança de 100 MPa.

Solução:

Para a tensão de escoamento e a margem de segurança dadas, a tensão máxima admissível será

Como o problema é estaticamente determinado, o momento fletor permanece constante, mesmo que a seção transversal varie. O momento fletor máximo no Elemento 1 ocorrerá no Nó 1, ao passo que no Elemento 2 ocorrerá no Nó 2. Seus valores são

Para a tensão máxima admissível, os raios das duas seções transversais podem ser calculados como

5. Uma viga em balanço com comprimento de 1 m está submetida a uma carga uniformemente distribuídap(x) 5 p0 5 12.000 N/m e um momento, no sentido dos ponteiros do relógio, de 5.000 N?m na extremidade. Os fatores

de carga para a carga distribuída e o momento são, respectivamente, 1,5 e 2,0. Quando a seção transversal for circular, calcule o diâmetro mínimo. Use o módulo de elasticidade longitudinal de 80 GPa e o limite de escoamento de 250 MPa.

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

253

Solução:

Como as duas cargas são aplicadas simultaneamente, a relação entre a resposta e a capacidade se torna (1) Consideramos a tensão máxima como uma resposta. A tensão máxima ocorre no local do momento fletor máximo. Como o momento fletor causado pela carga distribuída varia como uma função quadrática (máximo na parede e zero na extremidade livre) e como seu sinal é diferente daquele causado pela carga momento, precisamos verificar ambos os locais (parede e extremidade livre). (a) Na parede ?

Na parede, o momento fletor carga é de 6.000 N m, ao passo que o momento causado pela carga momento é de 5.000 N ?causado m. Destapela forma, da distribuída equação anterior, temos (2) A resposta (isto é, a tensão) pode ser calculada como

(3)

Substituindo (3) em (2), podemos calcular o diâmetro mínimo por

(b) Na oextremidade livrecausado pela carga distribuída é zero na extremidade livre, precisamos apenas levar em conComo momento fletor sideração o efeito da carga momento. Adotando um procedimento similar ao anterior, temos

Desta forma, o diâmetro mínimo deve serd 5 0,0741 in.

6. A estrutura mostrada na figura está engastada na extremidade esquerda e é suportada por um apoio de primeiro gênero (apoio em rolete) na extremidade direita. Uma força axial P e um momento C atuam na extremidade direita. O fator de carga para a força axial é 1,5 e para o momento é 2,0. Determine o raio da seção transversal circular. Admita os seguintes valores numéricos: L 5 1 m, E 5 80 GPa, P 5 15.000 N, C 5 1.000 Nm, sY 5 250 MPa.

Solução:

Como as duas cargas são aplicadas simultaneamente, a relação entre a resposta e a capacidade se torna (1)

254

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

Consideramos a tensão máxima como uma resposta. A força axial e a carga momento são constantes na estrutura. As tensões máximas de tração causadas pela força axial e a carga momento se tornam

(2)

Substituindo (2) em (1), temos

7. Todas as barras da treliça mostrada na igura f possuem inicialmente uma seção transversal circular, com diâmetro de 2 polegadas (5,08 cm). Usando um dos programas de análise de elementos finitos do Apêndice, calcule o diâmetro mínimo de cada barra usando o projeto de tensões máximas simultâneas (FSD, ou Fully Stressed Design ). Admita o módulo de elasticidade longitudinal E 5 104 psi (68,95 MPa), tensão de escoamento sY 5 500 psi (3,45 MPa) e coeficiente de segurançaSF 5 1,5. Para as barras não submetidas a força alguma (força nula), use o diâmetro mínimo d 5 0,1 polegada (0,25 cm).

Solução:

Como a treliça é estaticamente determinada, esperamos obter o projeto ótimo em uma única iteração. Com o diâmetro inicial de d 5 2 in, as tensões nas barras são mostradas na segunda coluna da tabela a seguir. Usando a fórmula de atualização de áreas da Eq. (8.11), os novos diâmetros são mostrados na terceira coluna. Finalmente, o problema da treliça é resolvido novamente com as novas áreas, e as tensões ótimas são mostradas na quarta coluna. Observe que todas as barras possuem o valor da tensão máxima admissível, exceto para o elemento 5, que é uma barra com força nula.

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

255

A seguir, o programa MATLAB que realiza o projeto de tensões máximas simultâneas.

8. Considere a estrutura com duas barras da figura com módulo de elasticidade longitudinal E 5 100 GPa, tensão de escoamento sY 5 250 MPa e F 5 10.000 N. As variáveis de projeto sãob1 5 área da seção AB e b2 5 área da seção BC. Partindo do projeto inicial de b1 5 1 3 10 4 m2 e b2 5 2 3 10 4 m2, realize o projeto de tensões máximas simultâneas nas barras para obter as áreas de seção transversal mínimas. 2

2

256

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos Solução:

Como o problema é estaticamente indeterminado, normalmente não esperamos que o projeto de tensões máximas simultâneas leve ao projeto ótimo em apenas uma única iteração. Entretanto, nesse caso, o projeto converge para o projeto ótimo em uma única iteração, e seus resultados são mostrados na tabela abaixo.

A seguir, a listagem do programa MATLAB para o projeto de tensões máximas simultâneas.

9. Repita o Problema 8com a variável de projeto inicialb1 5 2 3 10 4 m2 e b2 5 1 3 10 4 m2. Compare os resultados com os do Problema 8. 2

2

Solução:

Como o problema é estaticamente indeterminado, normalmente não esperamos que o projeto de tensões máximas simultâneas leve ao projeto ótimo em apenas uma única iteração. Entretanto, nesse caso, o projeto converge para o projeto ótimo em uma única iteração, e seus resultados são mostrados na tabela a seguir. Observe que as áreas ótimas estão invertidas quando comparadas com as apresentadas na solução do Problema 8. Ambas correspondem a projetos ótimos. Na realidade, qualquer projeto com a soma das áreas de seções transversais igual a 0,4 3 10 4 m2 será o projeto ótimo. 2

A seguir, a listagem do programa MATLAB para o projeto de tensões máximas simultâneas.

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

257

10. Para a viga biengastada mostrada na figura, são definidas duas variáveis de projeto, I1 5 b1 e I2 5 b2. Usando o método dos elementos finitos e a análise de sensibilidade, calcule a sensibilidade do deslocamento vertical v2 em relação a b1 e b2. Use os seguintes valores para o projeto atual: E 5 30 3 106 psi (2 3 105 MPa), b1 5 0,1 in4 (4,2 cm4) e b2 5 0,05 in4 (2,1 cm4). Compare os resultados com a sensibilidade exata.

Solução:

Modelamos a estrutura usando dois elementos de viga. Como os Nós 1 e 3 estão fixos, reunimos apenas os graus de liberdade ativos: (v2, q2). A matriz de rigidez global se torna (1) Substituindo os valores atuais das variáveis de projeto, b1 5 0,1 in4 e b2 5 0,05 in4, a equação matricial global se torna

Resolvendo a equação anterior, temos os graus de liberdade (GLs, ou DOFs) nodais:

Como a força aplicada é fixa, a matriz de rigidez depende apenas da variável de projeto. Da Eq. (1), as derivadas da matriz de rigidez se tornam

258

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

Desta forma, as equações de sensibilidade se tornam

Resolvendo as duas equações de sensibilidade, temos

11. Calcule a sensibilidade do deslocamento vertical v2 do Problema 10 usando o método da diferença finita, adiante,

com tamanho de perturbação de 1%. Compare os resultados com a sensibilidade exata.

Solução:

Perturbando b1 em 1%, temos b1 5 0,101 in4 e b2 5 0,05 in4; a equação matricial global perturbada pode ser obtida como

A solução do problema perturbado é

Desta forma, usando a diferença finita adiante, a sensibilidade do deslocamento transversal (deflexão) se torna

A sensibilidade de diferenças finitas é ligeiramente diferente daquela do Problema 10, em consequência do tamanho da perturbação finita. Se for usada uma perturbação de 0,1%, então a sensibilidade de diferenças finitas se torna 1,1665, que é mais próximo do que a de 1%. Perturbando b2 em 1%, temos b1 5 0,1 in4 e b2 5 0,0505 in4; a equação matricial global perturbada pode ser obtida como

A solução do problema perturbado é

Desta forma, usando a diferença finita adiante, a sensibilidade do deslocamento transversal (deflexão) se torna

A sensibilidade das diferenças finitas é ligeiramente diferente daquela do Problema 10 em consequência do tamanho da perturbação finita.

12. Considere a viga biapoiada de comprimento L 5 1 m sujeita a uma carga transversal uniformemente distribuída p0 5 100 N/m. A seção transversal é retangular, com largura w 5 0,01 m e altura h 5 0,02 m. Calcule a sensi-

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

259

bilidade do deslocamento vertical no centro em relação a h. Use um elemento finito com módulo de elasticidade longitudinal 5 80 GPa. Compare a sensibilidade com o método das diferenças finitas com tamanho de perturbação de 1%.

Solução:

Usaremos um elemento de viga para modelar o problema, embora a precisão não seja boa.

R1 e R2 são as reações de apoio. Como os deslocamentos transversais para ambos os nós estão fixos, escrevemos a

equação matricial global eliminando a primeira e a terceira linhas e colunas.

(1) Resolvendo essa equação matricial, obtém-se a solução:

A deflexão no centro pode ser obtida com o esquema de interpolação da Eq. (4.44) em s 5 0,5.

A equação de sensibilidade pode ser obtida diferenciando a Eq. (1). Como a carga distribuída não depende da variável de projeto, sua derivada será igual a zero. Para a matriz de rigidez, apenas o momento de inércia depende da variável de projeto.

Assim, a derivada da matriz de rigidez se torna

E a equação de sensibilidade se torna

Resolvendo a equação de sensibilidade anterior, temos

260

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

Agora, usando o mesmo esquema de interpolação, a sensibilidade do deslocamento transversal no centro da viga pode ser obtida como

Os valores negativos de sensibilidade significam que, se a altura da viga aumentar, o deslocamento transversal máximo diminuirá. Usando um tamanho de perturbação de 1% da altura, a sensibilidade de diferenças finitas pode ser obtida como

Observe que o erro na sensibilidade de diferenças finitas é causado pelo tamanho da perturbação finita. Se for usado um tamanho de perturbação de 0,1%, a sensibilidade de diferenças finitas se torna 20,2924.

13. Repita o Problema 12 para calcular a sensibilidade da tensão máxima de tração em relação a h. Solução:

Usaremos um elemento de viga para modelar o problema, embora a precisão não seja boa.

R1 e R2 são as reações de apoio. Como os deslocamentos transversais para ambos os nós estão fixos, escrevemos a

equação matricial global eliminando a primeira e a terceira linhas e colunas. (1) Resolvendo essa equação matricial, obtemos a solução:

Como a tensão é proporcional ao momento fletor, calculamos inicialmente o momento fletor máximo que ocorre no centro da viga. Usando o esquema de interpolação da Eq. (4.47), temos

A tensão máxima de tração ocorre na superfície inferior da viga.

A equação de sensibilidade pode ser obtida diferenciando a Eq. (1). Como a carga distribuída não depende da variável de projeto, sua derivada será igual a zero. Para a matriz de rigidez, apenas o momento de inércia depende da variável de projeto.

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

261

Assim, a derivada da matriz de rigidez se torna

E a equação de sensibilidade se torna

Resolvendo a equação de sensibilidade anterior, temos

A tensão tem termos dependentes explicita e implicitamente. A fórmula de sensibilidade para a tensão se torna

O primeiro termo é um termo dependente explicitamente e o segundo é um termo dependente implicitamente através da sensibilidade dos graus de liberdade (DOFs). Aplicando a fórmula do momento fletor na Eq. (4.47), a tensão máxima pode ser escrita como

Então, a sensibilidade da tensão máxima pode ser obtida como

Os valores negativos de sensibilidade significam que, se a altura da viga aumentar, a tensão máxima diminuirá. Usando um tamanho de perturbação de 1% da altura, a sensibilidade de diferenças finitas pode ser obtida como

Observe que o erro na sensibilidade de diferenças finitas é causado pelo tamanho da perturbação finita. Se for usado um tamanho de perturbação de 0,1%, a sensibilidade de diferenças finitas se torna 21,2481 3 109.

14. A viga em balanço mostrada na figura está submetida a um momento de 500 lb?in (56,49 N?m) na extremidade livre. O problema de otimização é encontrar um projeto que minimize a área da seção transversal sem que a tensão máxima seja maior do que 2.000 psi (13,79 MPa). As espessuras da mesa e da alma da seção transversal são fixadas como t 5 0,1 in (2,5 mm). As variáveis de projeto são a largura w e a altura h da seção transversal. Determine graficamente o projeto ótimo. A largura e a altura possuem as restrições de estarem nos intervalos 0,1 in (2,5 mm)  w  10 in (254 mm) e 0,2 in (5 mm)  h  10 in (254 mm).

262

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

Solução:

Em termos das variáveis de projeto w( e h), o momento de inércia pode ser expresso como

A tensão máxima,

A função objetivo,

Observe que a função objetivo é linear, ao passo que a tensão máxima é uma função não linear da variável de projeto. A figura a seguir mostra um gráfico da função de restrição emg 5 0. A região superior esquerda é viável. A figura também mostra as linhas deda contorno funçãowobjetivo. À medida que a função objetivo aumenta gradualmente de 0,2, ela encontra o contorno restriçãodaquando 5 0,4912 e t 5 2,9297, que são as variáveis ótimas de projeto. O valor ótimo da função objetivo é 0,4112.

Capítulo 8

Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos 263

Projeto 8.1 – Otimização das dimensões de uma chapa de ligação

Tabela 1.Contorno inferior e superior dos parâmetros do projeto (unidade mm)

264

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

Estudo Paramétrico

Histórico da Otimização

Capítulo 8 Projeto Estrutural Usando Elementos Finitos

Projeto Ótimo

265