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ESTADO DEL ARTE “Distribuciones de Probabilidad Continua” Continua” “Distribución Normal” Universidad Politécnica Salesiana Cuenca-Ecuador

-- En el siguiente documento se realizara el análisis sobre la distribución continua de probabilidad, específicamente sobre la distribución normal, características, análisis sobre el área bajo la curva, etc. Se verá los conceptos principales sobre la distribución, como lo es; La distribución normal general, la distribución normal reducida y unos breves conceptos sobre la función de densidad así como su media y varianza de la distribución normal

autores han señalado que el comportamiento de muchos  parámetros en el campo de la salud puede ser descrito mediante una distribución normal, puede resultar incluso poco frecuente encontrar variables que se ajusten a este tipo de comportamiento. [2] [3] [4] [5]

Todos los conceptos que se revisara en este documento trataran de ser lo más especifico y concreto sobre el tema de la distribución normal, no se buscara profundizar mucho estos temas, lo suficiente para poder resolver y razonar los problemas y ejercicios planteados sobre este tema.

El uso extendido de la distribución normal en las aplicaciones estadísticas puede explicarse, además, por otras razones. Muchos de los procedimientos estadísticos habitualmente utilizados asumen la normalidad de los datos observados. Aunque muchas de estas técnicas no son demasiado sensibles a desviaciones de la normal y, en general, esta hipótesis puede obviarse cuando se dispone de un número suficiente de datos, resulta recomendable contrastar siempre si se puede asumir o no una distribución normal. La simple exploración visual de los datos puede puede sugerir la forma de su distribución. No obstante, existen otras medidas, gráficos de normalidad y contrastes de hipótesis que pueden ayudarnos a decidir, de un modo más riguroso, si la muestra de la que se dispone procede o no de una distribución normal. Cuando los datos no sean normales, podremos o bien transformarlos o emplear otros métodos estadísticos que no exijan este tipo de restricciones (los llamados métodos no paramétricos). [2] [3] [4] [5]

Abstract 

También se realizara el análisis de la distribución normal por medio del software matlab, el cual nos servirá para la comprobación de ejercicios y el análisis de los mismos, se analizara a más de estos, las graficas resultantes de la distribución normal (área bajo la curva).

I.

INTRODUCCIÓN.

Variables aleatorias continuas. Por medio del estudio de las variables aleatorias continuas las cuales nos permiten establecer correspondencia de los resultados obtenidos en experimentos cuyos valores deben medirse en una escala continua y los números reales. Estos resultados pueden  provenir de la medición de la duración de alguna actividad. Debido a que los experimentos se realizan de una manera continua debemos utilizar este tipo de distribución como lo es la normal. [10] La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss ". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por μ y σ. [1] [2] [3] Una de las distribuciones teóricas mejor estudiadas en los textos de estadística y más utilizada en la práctica es la distribución normal, también llamada distribución “gaussiana” gaussiana”. Su importancia se debe fundamentalmente a la frecuencia con la que distintas variables asociadas a fenómenos naturales y cotidianos siguen, aproximadamente, esta distribución. Caracteres morfológicos (como la talla o el peso), o psicológicos (como el cociente intelectual) son ejemplos de variables de las que frecuentemente se asume que siguen una distribución normal. No obstante, y aunque algunos

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana. [10]

II.

DESARROLLO.

La distribución normal. La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal. Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se  puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones. [6] Al igual que ocurría con un histograma, en el que el área de cada rectángulo es proporcional al número de datos en el rango de valores correspondiente si, tal y como se muestra en la figura 1, en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y b, el área bajo la curva delimitada por esas líneas indica la probabilidad de que la variable de interés, X  interés,  X , tome un valor cualquiera en ese intervalo.

Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de éste. [1] [2] [10]

Cuando nos encontramos con una población de observaciones, si podemos afirmar que la distribución correspondiente es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación standard para tener toda la información necesaria acerca de dicha población. [8] [9]

Fig. 2 Grafica de una distribución normal y significado del área  bajo la curva. Fig. 3 Parámetros para graficar la distribución normal. “Una variable aleatoria continua x que tiene la distribución con  forma de campana de la figura 2 se denomina variable aleatoria normal. La ecuación matemática para la distribución de  probabilidad de la variable normal depende de los dos  parámetros μ y σ, su media y su desviación estándar respectivamente. De aquí, denotamos los valores de densidad de  x con n(x; μ, σ)”. [7] La densidad de la variable aleatoria normal x, con media μ y su varianza σ2, es:

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 Donde π=3.14159….. y e=2.71828…. Como graficar la distribucion normal. Para poder realizar la grafica de la distribucion normal nos tenemos que bazar en dos parametros importantes de la distribucion como lo son; μ y σ, su media y su desviación estándar respectivamente. Con estos dos factores se puede realizar la grafica de la distribucion normal como podemos observar en la figura 3. La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo μ. La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a σ, la desviación standard de la población. [8] [9]

Una vez especificado μ y σ, la curva normal queda determinada  por completo. Por ejemplo. Si  μ=50 y σ=5, entonces se puede calcular las ordenadas n(x; 50, 5)  para diferentes valores de x y dibujar la curva. En la figura 4 podemos observar curvas normales que tienen la misma desviación estándar pero diferentes medias. Las dos curvas son idénticas en forma, pero están centradas en diferentes posiciones a lo largo del eje horizontal. [8] [9] En la figura 5 podemos observar dos curvas normales con la misma media pero con diferentes desviaciones estándar. Esta vez observamos que las dos curvas están centradas exactamente en la misma posición sobre el eje horizontal; pero la curva con la mayor desviación estándar es más baja y se extiende más lejos. Recuerde que el área bajo una curva de  probabilidad debe ser igual a 1 y por lo tanto cuando mas variable sea el conjunto de observaciones más bajo y más ancho será la curva correspondiente. [8] [9] La figura 6 muestra el resultado de trazar dos curvas normales que tienen diferentes medias y diferentes desviaciones estándar. Evidentemente, están centradas en posiciones diferentes sobre el eje horizontal y sus formas relejan los dos valores diferentes de σ. [8] [9]

El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida entre μ - σ y μ + σ es aproximadamente igual a 0,68 del área total; entre μ - 2σ y μ + 2σ es aproximadamente igual a 0,95 del área total. [8] [9] Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son y (Media y desviación standard de la población). Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por la desviación standard). [8] [9]

Fig. 4 Curvas normales con  μ1