UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA Rómulo Mauricio Navarrete Villafuerte Ingeniería Electrónica e Instrumentación, Quinto, Escuela Politécnica del Ejército Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador. e-mail:
[email protected] [email protected] Fecha de presentación: 10 de febrero del 2015 REPRESENTACIÓN DE SI STEMAS DISCRETOS EN CELOSÍA RESUMEN
En el procesamiento digital de señales es común utilizar un tipo de estructura de filtro en el cual se pueda analizar y modelar la señal en base a sus características, estas prestaciones nos brinda la representación celosía, este filtro analiza los coeficientes de reflexión y el análisis hacia adelante y hacia atrás para analizar la señal través de él. Estas estructuras son muy complejas entenderlas debido a su extenso uso y propiedades que la conforman es por ellos que en el presente documento presentamos otra estructura de filtro FIR denominada realización en celosía. El uso de los filtros en celosía está muy extendido en las aplicaciones de tratamiento de voz y en la implementación de filtros adaptativos. ABSTRACT In digital signal processing is common to use a type of filter structure in which to analyze and model the signal based on their characteristics, these benefits gives us the lattice representation, this filter analyzes the reflection coefficients and analysis to and forth to analyze the signal through it. These structures are very complex to understand due to their widespread use and properties that comprise it is for them that in this paper we present another FIR filter structure called lattice realization. Using lattice filters are widely used in the treatment of voice applications and implementation of adaptive filters. PALABRAS CLAVE
Filtro Lattice Sistema
INTRODUCCIÓN
Se puede definir un conjunto de filtros: 𝑚
La estructura en celosía, ampliamente
𝐴𝑚 (𝑧) = ∑ 𝑎𝑚 (𝑘)𝑧 −𝑘
utilizada en el procesamiento de voz, se caracteriza por su robustez numérica y modularidad para su implementación, lo que la hace muy adecuada para la implementación de filtros. Se analizarán 3 casos: sistema todo-ceros (MA), sistema todo-polos (AR), y sistema con ceros y polos (ARMA).
𝑘=0
para 𝑚 ≥ 1 y 𝑎𝑚 (0) = 1. Entonces 𝐻(𝑧) = 𝐴𝑀 (𝑧). La respuesta impulsional es: ℎ𝑚 (0) = 1, … , ℎ𝑚 (𝑘 ) = 𝑎𝑚 (𝑘) Para este conjunto de filtros en el dominio
DESARROLLO
temporal será:
1. GENERALIDAD DE CELOSÍA
𝐴𝑚 ( 𝑧 ) = VENTAJAS
𝑌 (𝑧 ) 𝑋 (𝑧 )
𝑚
Número reducido de coeficientes permite que grandes bloques de datos puedan ser modelados en tiempo real.
𝑦(𝑛) = 𝑥 (𝑛) + ∑ 𝑎𝑚 (𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=1
Para un filtro de orden 1: m=1 USOS COMUNES • voz.
Procesamiento digital de señales de
•
Filtros adaptativos.
•
Tratamiento de señales geofísicas
𝑦(𝑛) = 𝑥 (𝑛) + 𝑎1 (1)𝑥(𝑛 − 1) Se considera la siguiente estructura:
2. CELOSÍA FIR
Dado un filtro FIR con función de transferencia:
La ecuación es la siguiente: 𝑦(𝑛) = 𝑥 (𝑛) + 𝑘1 𝑥(𝑛 − 1)
𝑀
𝐻 (𝑧) = ∑ ℎ(𝑘)𝑧 −𝑘 𝑘=0
Si 𝑘1 = 𝑎1 (1) esta estructura representa al filtro de orden 1.
Si se consideran dos etapas en cascada: 𝑦(𝑛) = 𝑥 (𝑛) + 𝑘1 (1 + 𝑘2 )𝑥 (𝑛 − 1) + 𝑘2 (𝑥
𝐵𝑚 (𝑧) = 𝑧 −𝑚 𝐴𝑚 (𝑧 −1 ) 𝐵0 (𝑧) = 𝐴0 (𝑧) = 1
− 2) Luego: 𝑎2 (2) = 𝑘2 , Al
calcular
𝑎2 (1) = 𝑘1 (1 + 𝑘2 )
𝑔2 (𝑛) = 𝑘2 𝑥 (𝑛) + 𝑘1 (1 +
𝑘2 )𝑥 (𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛 − 2). Los valores 𝑘𝑖 se denominan coeficientes de reflexión. En general para un sistema de M bloques:
3. CELOSÍA IIR
Dada la función de transferencia de un sistema todo polos: 𝐻 (𝑧 ) =
1 𝐴𝑁 (𝑧)
La ecuación en diferencias será: 𝑁
𝑦(𝑛) = 𝑥 (𝑛) + ∑ 𝑎𝑁 (𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑘=1
que es un sistema FIR del que ya se conoce la relación entre la función de transferencia y los coeficientes de reflexión. Dado que 𝐹𝑚 (𝑧) = 𝐴𝑚 (𝑧)𝑋(𝑧) y 𝐺𝑚 (𝑧) = 𝐵𝑚 (𝑧)𝑋(𝑧) se puede obtener la relación: 𝐴𝑚−1 (𝑧) =
𝐴𝑚 (𝑧) − 𝑘𝑚 𝐵𝑚 (𝑧) 2 1 − 𝑘𝑚
𝐵𝑚 (𝑧) = 𝑧 −𝑚 𝐴𝑚 (𝑧 −1 ), 𝑎𝑚 (𝑚) = 𝑘𝑚 , 𝑎𝑚 (0) = 1 Que permiten obtener los coeficientes de reflexión a partir de H(z).
Si se utilizan las ecuaciones de la celosía FIR y se intercambian entrada y salida se obtienen las ecuaciones siguientes para la celosía IIR todo polos: 𝑥 (𝑛) = 𝑓𝑁 (𝑛) 𝑓𝑚−1 (𝑛) = 𝑓𝑚 − 𝑘𝑚 𝑔𝑚−1 (𝑛 − 1) 𝑔𝑚 (𝑛) = 𝑘𝑚 𝑓𝑚−1 (𝑛) + 𝑔𝑚−1 (𝑛 − 1) 𝑦(𝑛) = 𝑓0 (𝑛) = 𝑔0 (𝑛)
Para obtener la expresión de H(z) conocidos
Si se tienen en cuenta estos cambios en la
los coeficientes de reflexión utilizaremos las
estructura, se obtiene el diagrama de
expresiones:
bloques que se muestra a continuación:
𝐴𝑚 (𝑧) = 𝐴𝑚−1 (𝑧) + 𝑘𝑚 𝑧 −1 𝐵𝑚−1 (𝑧)
Si se utiliza una variable intermedia: 𝐻 (𝑧 ) =
En el diagrama se observa claramente la
𝑌(𝑧)𝑊(𝑧) 𝐶𝑀 (𝑧) = 𝑊(𝑧)𝑋(𝑧) 𝐴𝑁 (𝑧)
1 𝑊 (𝑧 ) = 𝐴𝑁 (𝑧) 𝑋(𝑧)
realimentación del sistema a través de las señales 𝑔𝑖 (𝑛) propia de los sistemas recursivos.
𝐶𝑀 (𝑧) =
𝑌 (𝑧 ) 𝑊(𝑧)
Las ecuaciones en diferencias serán:
Los coeficientes de reflexión son idénticos a los obtenidos para el filtro FIR, si bien en el
𝑁
𝑤(𝑛) = − ∑ 𝑎𝑁 (𝑘 )𝑤(𝑛 − 𝑘 ) + 𝑥(𝑛) 𝑘=1
diagrama se ordenan en orden inverso.
𝑀
La estabilidad de filtro IIR solo polos está
𝑦(𝑛) = ∑ 𝐶𝑀 (𝑘 )𝑤(𝑛 − 𝑘 ) 𝑘=1
garantizada si |𝑘𝑚 | < 1 (test de estabilidad
En un filtro IIR todo polos se ha visto que
de Schur-Cöhn). Este tipo de filtros se ha utilizado para modelar el tracto vocal, en este sentido, 𝑘𝑚 representa la reflexión del sonido en cada una de las diferentes cavidades que lo
𝑔𝑚 (𝑛) es una combinación lineal de las salidas actual y anteriores, además 𝐺𝑚 (𝑧) = 𝐵𝑚 (𝑧) 𝑌(𝑧) Cualquier otra combinación de 𝑔𝑚 (𝑛)
forman.
seguirá siendo un sistema todo ceros. Considerando: 4. CELOSÍA ESCALONADA
𝑀
La estructura en celosía escalonada, celosía en escalera o lattice-ladder proporciona una estructura para la representación sistemas que tienen ceros y polos. Se considera un sistema general ARMA: 𝐻 (𝑧 ) =
𝐶𝑀 (𝑧) 𝐴𝑁 (𝑧)
𝑀
