Pamer Trigonometria Sm Completo

TRIGONOMETRÍA tema 1

Soii1T1T

tarea 4. Calcular el área de la región sombreada. A

ejercitación 1. Hallar "x". x

2 2

S

O

1

10

D

3

B x

a) 6 c) 4 e) 2

C

4

2

a) 30 u d) 15 u2

b) 5 d) 3

2

c) 16 u2

b) 12 u e) 10 u2

5. Calcular el área del sector circular AOB. A

2. Calcular el área sombreada si q = 1 rad. 3

q

a) 20 u2 c) 25 u2 e) 40 u2

8

x–1

O

12

a) 3,5 u2 d) 6,5 u2

b) 30 u2 d) 15 u2

6. Calcular

b) 4,5 u2 e) 7,5 u2

C

triplicamos el radio y cuadruplicamos el

E

arco, se genera un nuevo sector circular cuya área es: b) 12S

c) 5S

d) 7S

O a) 1 d) 4

e) 8S

san marcos regular 2015 – Ii

c) 5,5 u2

A+C donde A; B y C: áreas. B A

3. El área de un sector circular es "S". Si

a) 3S

B

x+1

1 1

C

B

A F

b) 2 e) 5

TRIGONOMETRÍA

D

B c) 3

Tema 1

sector circular - número de vueltas

a) 7 u2

7. Determinar el área de la región sombreada. A C E 2m 6m O 2m F D B a) 2 m2 d) 8 m2

b) 4 m2 e) 10 m2

d) 50 u

16

45° 12

a) 15p u2 d) 10p u2

B

50°

O

11

8

c) 2/5 9 2

a) 36 u d) 99 u2

profundización 9. Calcular el área sombreada:

2

b) 54 u e) 49 u2

c) 48 u2

13. Hallar el área sombreada si BAM es un sector circular y además: AC = 2 6

3q 4q

c) 14p u2

S2 D

b) 3/5 e) 5/4

b) 16p u2 e) 28p u2

12. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada. 9

C

O a) 4/5 d) 1/5

e) 64 u

c) 6 m2

1

S1

c) 51 u2

2

11. De la figura, calcular el área sombreada:

8. Del gráfico, calcular S1/S2 A

4

b) 49 u2

2

B 4q

14 2

a) 21p/2 u b) p u2 d) 5p u2 e) 6p u2

c) 3p u2 A

10. De la figura, calcular el área sombreada. 8 7

11

TRIGONOMETRÍA

M

C

a) 2 3 +p

b) 2 3 +4p c) 3 3 +p

d) 2 3 –p

e) 3 3 –p

14. En la figura: si el perímetro de la parte sombreada es igual al de la parte no sombreada. Calcular q.

8

Tema 1

60°

2 2

san marcos regular 2015 – Ii

sector circular - número de vueltas

a) 45/4 d) 25/2

1m

2m

b) 45/2 e) 50/3

c) 25/4

qrad 18. A partir de la figura, calcular "x".

a) 2/3 d) 1/5

b) 1/3 e) 1/9

a

c) 2/5

a) 2 d) 8

2

b) 4 e) 10

c) 6

19. Hallar q si el área de la región sombreada es 16 m2.

O 2

2

4

p 4 a) 12 p d) 18 p

6

b) 14 p e) 20 p

q

c) 16 p

3

16. Calcular el área de la región sombreada.

a) 1 rad c) 2 rad e) 3 rad

A C 3

40° D

20. Determine el área de la región sombreada (p = 3 + 2 ), BP arco con centro en "C".

B

b) p/2 e) 5p

b) 1,5 rad d) 2,5 rad

B

c) p

4m

a) 2p d) 3p

24 x A

15. Calcular el área de la región sombreada. 6 4

O

2A

17. Calcular el área de la región sombreada. A

P

D

b) 4( 2 – 3 ) m2 8

5

C

a) 4( 3 + 2 ) m2

5 O

30°

10

c) 4( 3 – 2 ) m2 d) 4 m2

B

e) ( 3 + 2 ) m2

C

san marcos regular 2015 – Ii

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 1

sector circular - número de vueltas

a) p + 1 d) p + 4

sistematización

b) p + 2 e) p + 5

c) p + 3

21. De la figura, halle "x". 6 2S

S

a)

3m

3S

b) 2 3m

d) 2 6m

24. Dados los sectores circulares AOB y COD de la figura, calcule el área de la región sombreada. B 3u D 1u O

x

c) 3 3m

e) 8 3m

p rad 3

22. De la figura AOB y COD son sectores cir3b culares. Calcule . a B C

b)

acm

c)

S 3S D

A

a)

O

d)

bcm 2 3 3

a) 2 3–1

b)

d) 2 3–3

e) 2 3+1

e)

c) 2 3+3

J K4 L J K4 L J K4 L J K3 L J K3 L

A

pN 2 Ou 6P p N 2 – Ou 12 P pN + O u2 6P pN 2 – Ou 6P pN 2 – Ou 3P

3– 3 3 3 3

25. Calcular el área de la región sombreada, si R = 6 2m EF//CD//AB.

23. En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de lado 4u. Calcule el área de la región sombreada. B A

E

F

C A

D

C

a) 3p cm2 d) 7p cm2

C

D 50° O b) 4p cm2 e) 9p cm2

B c) 5p cm2

respuesta 1. C 2. E 3. B 4. A 5. B 6. B 7. E 8. A 9. A 10. B 11. C 12. B 13. E 14. A 15. B 16. C 17. B 18. C 19. C 20. C 21. B 22. D 23. D 24. A 25. B

Tema 1

TRIGONOMETRÍA

4 4

san marcos regular 2015 – Ii

TRIGONOMETRÍA TEMA 2

SOII1T2T

TAREA 4. Calcula el área de un trapecio rectángulo sabiendo que su altura mide 6m, su perímetro es 34m, y el coseno de su ángulo agudo es 0,8.

EJERCITACIÓN 1. Calcular R si Cosa = 5/18 C 10



B) 36 m2

C) 40 m2

D) 54 m2

2

a R

A

A) 24 m2 E) 60 m

B

R

O

O: centro; AB: diámetro A) 2 B) 9 D) 36 E) 3

5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que: SenA . SenB = 12/25, calcular: TanA + TanB + 11/12

C) 18

2. Calcular Cotq q

2

A) 2

B) 3

D) 4

E) 2,5

C) 3,5

6. Del gráfico, calcular:

28



M = 6Cosa + 5Cosq

5

A)

2

B)

3

D)

6

E)

5

C)

4

q

D

A) 1/2 D) 1/5

12 B) 1/3 E) 1/6

A C) 1/4

SAN MARCOS REGULAR 2015 – II

A) 6

B) 7

D) 9

E) 10

C) 8

7. Si Tan2f = Cota, calcule: Ja N CotK +fO + Csc(4f + 2a – 150°) L2 P A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) 1/3

8

B

a 8

3. Del gráfico BC = DC, calcule: Seca – Tana C a

6

5

3

1 1

TRIGONOMETRÍA

TEMA 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

8. En un triángulo ABC recto en C se sabe que la diferencia de catetos es k veces la hipotenusa. Calcule la diferencia de los senos de los ángulos agudos. A) k B) 2k C) 3k D) k/2 E) k/3

9. Si Sen(x + y – 20°) . Csc(70° – z) = 1, calcular:



Tan(x+z) Sec(y+z) M= + Coty Cscx A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

4 3 7

B)

5 3 7

C)

6 3 7

D)

3

E)

8 3 7

13. Si x + y = 9° z + w = 6° calcular:

PROFUNDIZACIÓN



A)

Sen(10y) Sen(15z) Cot(6w+6w) + + Cos(10x) Cos(15w) Tan(6y+6z) A) 1 D) 4

C) 3

B) 2 E) 5

C) 3

14. Del gráfico, calcule: M = 7Cosq – 3Cotq Cota

10. Si Tanq = 5/8; determinar Tana a

7

q A) 0,4 D) 0,6

B) 0,5 E) 1

q C) 0,8

a A) 4 D) 1

11. En un triángulo rectángulo ABC recto en A, se verifica la relación:



Calcule TanC + TanB A) 5/2 B) 5/3 D) 17/4 E) 3/2



C) 10/3

TEMA 2

TRIGONOMETRÍA

B) 3/5 E) 5/4

C) 4/3

p 〉 calcule: 16 Jp N CotK – 4qO 4 L P B) 2 D) 1

16. Si Csc8q = 2,6; q ∈ 〈0;

N

M

Tan(90° – a).Seca A) 4/5 D) 3/4

12. Del gráfico, L es mediatriz Tanq = 4 3, calcule BC. B L

A

C) 2

15. Para el ángulo agudo a se cumple a Cot = 2, calcular: 2

CscB – SenB =3 CscC – SenC



B) 3 E) 0

A) 5/2 C) 3/2 E) 1/2

C

2 2

SAN MARCOS REGULAR 2015 – II

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

17. Del gráfico, Senq = A H

20 , calcule NH. 29

SISTEMATIZACIÓN 21. Siendo "x" un ángulo agudo que cumple:

40

M



N q

C A) 58 u D) 52 u

B

B) 42 u E) 45 u



C) 41 u

18. En el gráfico Tana = 2 2, calcular: Cotq B

3. 2 2

calcule: J xN J xN TanK O + CotK O + Tanx + Cotx 2 L P L 2P 3 2

A) 2

B)

D) 8 3 3

E) 7 3 3

C)

3 3

q

a

C

A) 2 2

5u

B) 3 2

C) 4 2

M

D) 5 2

A

E) 6 2

A) 1,25 D) 2,5

19. Siendo:

Tan(x – 5°) = Cos(80°+y).Csc(10°–y)



calcular:

A

B) 2 E) 5

M

Jp N Jp N 20. Si TanK qO – CotK qO = 0, calcule: 4 L L5 P P

O

C) 3

A)

M = Sen(27q)° . Sen(54q)° B)

D)

3 2

E) 1

3

C)

C) 2

SAN MARCOS REGULAR 2015 – II

C) 1,5

P q

D) 4

3 2

3u C

B) 1,3 E) 3,5

A) 1

A)

a a

23. Del gráfico, calcular Cotq

H = Tanx Tan(x–10°)+Sen(x+y)Sec(x – y–10°)



4

Senx =

22. Con la información que se da en el gráfico, calcular Tana + Cot2a B

M A

Secx



E)

3 3

3 3–1 2



N

B

B)

3–1

D)

3+1

3+1 2

TRIGONOMETRÍA

TEMA 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

24. Si ON = 3u, calcule: Seca . Csca

25. En un triángulo ABC recto en C, se cumple: CotB . SenA = 2

B P R



A) 9/5 C) 9/2 E) 8/3

a



5u

calcule: CosA + CscB A)

N

O

Q

5

B) – 5 C) 1

B) 5/3 D) 10/3

D) –1 E) 2 2

RESPUESTA 1. C 2. D 3. D 4. D 5. B 6. C 7. C 8. A 9. B 10. C 11. A 12. E 13. C 14. B 15. E 16. C 17. B 18. C 19. B 20. D 21. D 22. A 23. B 24. D 25. E

TEMA 2

TRIGONOMETRÍA

4 4

SAN MARCOS REGULAR 2015 – II

trigonometría tema 3

Soii1t3T

tarea de un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de elevación es "a". calcular "Tga".

ejercitación 1. Calcule el valor de: M = (8Tg10° – 3Ctg80°)(Ctg10° + Tg80°) a) 8 b) 9 c) 10 d) 15 e) 20 2. Desde un muro de 6m de altura se observa la parte mas alta y baja de un poste con ángulos de elevación y depresión 60° y 30° respectivamente. Determine la altura del poste. a) 15 b) 24 c) 30 d) 36

a) 1

b) 2

d) 4

e) 6

6. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "a" (Tga = 1/4). determinar a que distancia de la torre se halla el punto de observación, si la altura de la torre es 7m.

e) 48

3. Del gráfico obtener Tgq B

a) 14

b) 28

d) 21

e) 35

A a) 5/17 d) 2/5

Cscq 37°

b) 2/3 e) 3/4

calcular: E= a) 1 c) 3 e) 3/2

5 2 10 d) 3

a) 5 4

Cos2a Tga + Sen5a Ctg6a b) 2

8. Si: Tgq = A=

d) 2/3

1 1

q b)

2 3 3

e)

26 5

c)

17 4

2 , Calcular:

Cosq Ctg60° + Csc2q Sen245° Ctgq Sec45° + Secq Sec30° a) 13/8 d) 9/4

5. Desde un punto en tierra se divisa lo alto

san marcos regular 2015 – Ii

Cscq

30°

C c) 7/17

4. Si: Sen(4a – 35°) Csc(55° – 3a) = Tg

c) 56

7. Del gráfico, calcule Senq + Cscq

M q

c) 3

b) 7/4 e) 15/8

trigonometría

Csc2q Tg230°

c) 5/8

Tema 3

razones trigonométricas de ángulos notables ángulos de elevación y depresión

13. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación 37°. Si la altura del poste es de 30m, determinar la distancia entre el poste y el observador. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

profundización 9. Desde dos puntos separados 42m se observa la parte alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos de elevación 37° y 45°. Determinar la altura del farol. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 18

14. ABCD es un cuadrado, calcular "Tgq"; Tga = 1/5

10. En la figura, calcular M = 2Ctgq – Ctga B

A

B

q

A a

D 53°

A

a

q

a) 0 d) –3/4

b) 3/4 e) –4/3

a) 1/2 d) 1,4

C

M

M

C

b) 1,3 e) 1,8

c) 1,6

c) 4/3 15. Calcular Tgq B

11. Del gráfico calcular Tgq B

C

45°

A

45°

D

a) 11/5 d) 4/5

b) 2/5 e) 6/5

D

c) 3/5 a)

12. Del gráfico calcular Tgq B

d)

53° 45°

a) 1/2 d) 4/11

Tema 3

q

D b) 2/11 e) 7/11

c) 3/11

trigonometría

3 2



2 3 4

b) e)

3 3



c)

3 4

4 3 3

16. Una persona observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación a; después de caminar 30m hacia el edificio, el nuevo ángulo de elevación es q. Si la altura del edificio es de 20m entonces el valor de la expresión:

C

A

C

q

53°

q

60°

37°

A

2 2

san marcos regular 2015 – Ii

razones trigonométricas de ángulos notables ángulos de elevación y depresión

Tga . Tgq Tga – Tgq a) –1/2 c) –3/4 e) –5/3

20. Calcula Tgq; AB = BC C

b) –2/3 d) –1

17. En el paralelogramo ABCD. Calcular:

S=

q

9Ctgq – 13Tgq

B

C

53°

A

45°

q

A a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 1 +

2

2 – 1

d) 2 –

2

e) 2 2 – 1 D

sistematización

c) 3

21. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación "a" (Tga = 1/6); y si nos acercamos 30m el ángulo de elevación es de 45°. Calcular la altura del poste. a) 5m b) 6m c) 4m d) 8m e) 12m

18. Desde dos puntos ubicados al sur y oeste de un poste se divisa su parte más alta con ángulos de elevación "a" y "(90 – a)", respectivamente. Si la distancia entre los puntos de observación es el doble de la altura del poste, calcular: P = Tga + Ctga a) 3 b) 2 3 c)

6

B

D 3

a) 2 + c)

E

d) 2 6

22. En la figura, calcule Senq (O y O2: centros)

e) 3 2

B

19. En la figura calcular Ctgq B

L q O2

M

O

q A a) 1 c) 3 e) 5

C

P b) 2 d) 4

san marcos regular 2015 – Ii

3 3

A

P

a)

2 – 1

b)

2/2

c)

2 – 1/2

d)

2 + 1/4

e)

2 – 1/4

trigonometría

Tema 3

razones trigonométricas de ángulos notables ángulos de elevación y depresión

23. Si: M es punto medio del arco AB, calcular Tgq

a)

A

b) 3 7/2 M

30°

c) 2 d)

b)

c) 3 6 + 2 e)

B

N

6 + 3

25. En la figura calcular Ctgq

6+2

d) 2 6 + 3 P

6+6

24. Del gráfico calcular Secq A

A

60° N

7

e) 2 3

q

O a)

7/2

M

B

74°

a) 25/24 c) 32/25

q

q

Q

C

B

b) 24/25 d) 25/32

e) 25/96

C

respuesta 1. c 2. b 3. b 4. b 5. c 6. b 7. c 8. a 9. e 10. d 11. b 12. c 13. d 14. e 15. c 16. b 17. b 18. c 19. c 20. c 21. b 22. a 23. a 24. a 25. d

Tema 3

trigonometría

4 4

san marcos regular 2015 – Ii

trigonometría tema 4

Soii1t4T

tarea 4. Reducir la siguiente expresión: aCosB + bCosA M= aCosA + acosC

ejercitación 1. Determine el área "S" de:

m Tgq 2 m d) Tgq 2

a)

Sea un triángulo ABC donde AB = Cu; AC = bu; BC = au a) a/c b) c/b d) 2a/c e) 2c/b

m

S 2



q

b) 2m2Tgq c)

5. De la figura determinar PQ en términos de

m2 Ctgq 2

AB = 10 cm. P

2

e) m Tgq Q

2. Determine PQ según los datos del gráfico. R a) 2aCosqCosa b) c) d) e)

a CosqSena S 2aCosqTga 2aSenqCtga aSenqTga

a

q Q

P

q

53°

A

a

2

a) 8Senq

b) 6Tgq

d) 8Ctgq

e) 8Tgq

B

A

4a

C

a

6

2a

P

q 30°

c) 6Ctgq

(BC//AD).

ABC.

B

B

O

6. Determinar el perímetro del cuadrilátero

3. Determinar el área de la región triangular 2 3

c) b/c

37°

A

C

a) 2Cosq

b) 2 3 Tgq

c) 30 3 Sen

d) 20 3 Senq

D

a) 2a(7 + Sena + 2Cosq) b) c) d) e)

e) 10 3 Senq

san marcos regular 2015 – Ii

q

1 1

2a(7 + 2Sena + Cosq) a(3 + Cosa + Senq) 3a(1 + Cosq) 2a(6 + Sena + Tgq)

trigonometría

Tema 4

resolución de triángulos rectángulos

7. Reducir la siguiente expresión para un trián

gulo ABC donde AB = cu BC = au CA = bu k = b – aCosC a – bCosC SenA SenB a) b) c) TgA CosB CosA d)

CosB SenA

A n mn a) Senq 2 c) mnCosq

A B

d) 5Senq

53°

cuadrado. B

9. Según los datos de la figura, calcular Cscq 4 2

d) 2mnSenq

C

n

x

A

5

D

a) nSenq c) nTgqCscq e) nCtgq

a)

1189 /30

b)

123/30

c)

63 /25

d)

1234 /3

e)

341/5

b) nCosq d) nCscq

13. Según el gráfico determinar: Senq M= Sena

10. Determine la longitud de la cuerda AB, (PQ: diámetro) B

q a a

b 2

4m 37°

2a

Tema 4

b) mnSenq

q

q

P

D

12. Del gráfico determinar "x" si ABCD es un

profundización

A

C

q

mn Cosq e) 2

N b) 5Sen2q c) 4Cosq e) 2Senq

a) 10Senq

c) 2Sena

m

8

M

e) 5Sena

(ABCD: paralelogramo) E B

8. Determine AB. q

b) 8Sena

d) 4Sena

11. Determinar el área de la región sombreada

CosA CosB

e)

a) 10Sena

O

trigonometría

Q

2 2

S

S

a) b/a

b) c/b

d) 2b/a

e) 2a/c

c

c) 2c/a

san marcos regular 2015 – Ii

resolución de triángulos rectángulos

14. Del gráfico determine ED. C q m

E q

A

n Tgx m

b)

m Ctgx n

d)

m Tgx n

e) mTgx

c)

n Ctgx m

18. En la figura determinar h en términos de "a", "q" y "m". C

B

D

a) mCtgq

a)

b) mSecq d) mCtg2q

c) mSec2q e) mTg2q

h

15. Con los datos del gráfico, determine "OP".

A

–q) (90°

a

q H

B

m

a) m(Ctgq + Ctga)–1

2a

b) mCtgqTga

P

c) m(Tgq + Tga)–1 A

O

d) mSenqSena

B

a) aCosq

b) 2aSenq

d) a/2Ctgq

e) aTgq

e) 2mCosqSena

c) aCtgq

19. Determine la distancia mínima del punto "P" a la circunferencia.

16. Si ABCD es un cuadrado, calcular Tgq 2

B

E

1

A

C

R

q 90°–q

P A a) 7/3 d) 1

D b) 3/7 e) 9/7

c) 5/7

B

a) RCscq

b) R(Cscq – 1)

c) R(Tgq + 1)

d) R(Ctgq – 1)

e) R(Cscq + 1)

17. En la figura determinar Tgq

20. Del gráfico determine "x".

B q

A

45°

x m

D

n

san marcos regular 2015 – Ii

a

C

3 3

m

trigonometría

x

Tema 4

resolución de triángulos rectángulos

a)

m Tga – 1

b)

m Ctga – 1

c)

m 1 – Tga

d)

m 1+ Tga

23. Del gráfico calcular: S1/S2 (S: área) B

S2

S1

e) m(1 + Tga)

A a) Tgq d) Ctg2q

sistematización

q

C

H

c) Tg2q

b) Ctgq e) Sen2q

21. En la figura mostrada, calcular:

24. Del gráfico hallar: S1/S2 en función de "q".

E = Tgx . Ctgy Si: AB = AD = 1, DC = 2 B x

2q q

y

A a) 1/2 d) 1/4

Sen2q 2Sen2q . Sec3q b) Senq Sen3q Sen2q d) c) SenqCos3q Cosq e) Sen3qCosq

C

D b) 1/3 e) 1

a)

c) 2

22. Del gráfico determine "Ctgx" 25. O y O1 son centro, calcula el valor de: Cosq + Cosx Senq A



q

x a)

2Secq – Cosq 2Senq + Cosq b) Senq Senq

c)

Secq + Cosq Cscq + Senq d) Senq Cosq

e)

Secq – Cosq Senq

O1

2x q

O a) 1

b)

d) 1/2

e) 2

2/2

B c)

2

respuesta 1. a 2. c 3. d 4. b 5. d 6. a 7. e 8. d 9. a 10. a 11. a 12. c 13. c 14. d 15. a 16. e 17. c 18. a 19. b 20. b 21. a 22. a 23. c 24. a 25. c

Tema 4

trigonometría

4 4

san marcos regular 2015 – Ii

trigonometría tema 5

Soii1t5T

tarea ejercitación

a) 1 d)

1. Indique las coordenadas del baricentro de un triángulo ABC, donde A(1, 2), B(3, 7) y C(5, 6). a) (2, 6) b) (3, 4) c) (7, 2) d) (4, 6) e) (3, 5)

3

b) 2

c)

2

e) 2 2

6. Indique el valor de (a) si la distancia del punto A(m + 3, 3a + 1) al punto B(m – 1, 2a) es 5u. a) 1 b) 2 c) 4 d) –4 e) Hay 2 respuestas

2. Se tiene los puntos A(1, 3), B(5, 6) y C(7, 1). Calcule el área de la región triangular ABC. b) 13 u2 c) 14 u2 a) 12 u2 2 2 d) 15 u e) 16 u

7. Indique la suma de las abscisas de los puntos que trisecan al segmento AB. Si A(–3, –3) y B(3, 12).

3. Uno de los extremos de un segmento es (5, 7) y su punto medio es (2, 0). Calcule la suma de las coordenadas del otro extremo. a) –8 b) 8 c) 6 d) –6 e) –7

a) 1/2 c) 3/2 e) 0

b) –1/2 d) –3/2

8. Del gráfico mostrado determine las coordenadas del punto F.

4. Se tiene el paralelogramo ABCD, donde A(2, 1), B(5, 7) y C(10, 13) respectivamente. Indique las coordenadas del vértice (D). a) (7, 3) b) (5, 7) c) (7, 5) d) (3, 7) e) (7, 7)

D(5, 3) B(–2, 4) k

F 2k

5. En base a los datos de la figura indique el valor de (a). y

A(–3, –1)

a

E

Q(0, 2) P(– 7 , 1)

b) (3, –2)

c) (6, –3)

d) (6, –1)

e) (–3, 5)

x

san marcos regular 2015 – Ii

a) (1, 2)

1 1

trigonometría

Tema 5

geometría analítica - ecuación de la recta i

BC = 2AB. Indique las coordenadas del

profundización

punto C. 9. Se tiene un triángulo ABC, tal que A(4, 7) B(–1, – 8) y C(8; –5). Indique qué tipo de

a) (11, 14)

b) (14, 11) c) (10,8)

d) (8, 6)

e) (14, 8)

triángulo es: 14. Calcule la longitud de la mediana relativa

a) Isósceles b) Equilátero

al lado mayor del triángulo ABC, cuyas

c) Rectángulo

coordenadas de los vértices son A(3; 1),

d) Rectángulo isósceles

B(–3, –1) y C(1; 6)

e) Oblicuángulo a)

73 2

b)

181 2

d)

21 2

e)

79 2

10. De la figura calcule a + b. q q

4

triángulo ABC, son P(3, 5), Q(6, –1) y R(1; –2).

B(15, 17)

Determine las coordenadas de uno de los

P(a, b)

vértices.

A(1, 3) b) 14

d) 12

e) 10

c) 18

E(3, –3). d) 38 u

b) (–2; 3)

c) (8, 4)

d) (4, –8)

16. De la figura ABCD: Cuadrado DP = PQ = QC. Calcule Cscq.

do A(1, 5); B(–3, –1), C(–2, 4), D(5, 1),

2

a) (8; 7) e) (0, 0)

11. Calcule el área del polígono ABCDE sabien-

a) 35 u2

37

15. Los puntos medios de los lados de un

3

a) 16

c)

b) 40 u2

c) 45 u2

A

B

2

e) 41 u

q

12. En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) si se cumple SecA – SenC = 2SenA.

Calcule K =

5CscA – TanC

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

D

13. Se tiene el segmento AB, donde A(–2, –1) B(2, 2), por el punto B se prolonga el segmento hasta el punto C, sabiendo que

Tema 5

trigonometría

2 2

P

Q

a)

130 3

b)

140 3

d)

130 5

e)

140 5

C c)

110 3

san marcos regular 2015 – Ii

geometría analítica - ecuación de la recta i

17. De la figura AOB, COD, EOF son sectores circulares. Calcule el área de la región sombreada. A

sistematización 21. De la figura mostrada Tanq = Sen30° Calcule x + 1 y B(3, 10)

D

E O

10 F

5

C

A

B 2

a) 25 u d) 10 u2

2

b) 20 u e) 5 u2

2

c) 15 u

c) 13

D q

q B(1, 1)

A (–2, –3)

B

x

a)

10 3

b)

2 10 3

d)

5 10 7

e)

3 10 5

c)

2 10 7

23. De la figura ABCD y DEFG son cuadrados. Calcule la distancia entre los centro de los cuadrados. A(0, 14), B(2, 0). y B

b) (25, 30) c) (40, 30) e) (24, 18)

20. Las vértices de un triángulo son A(–2, 5), B(1, 2) y C(5, a). Si el área de la región triangular es 12 u2. Calcule la suma de los posibles valores de (a). a) –2 b) –4 c) 6 d) 10 e) 12

san marcos regular 2015 – Ii

b) 11 e) 15

22. De la figura, calcule la longitud del segmento DB. C(1, 3)

19. Indique las coordenadas del punto B. y A(8, 31)

a) (10, 25) d) (20, 15)

x

(x, 0)

a) 12 d) 14

18. Los vértices de un triángulo son A(3, 6), B(–1, 3), C(2; –1). Determine la longitud de la altura del triángulo que parte del vértice C. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

37°

q

(1, 0)

A

D

3 3

C

E

G

F

trigonometría

x

Tema 5

geometría analítica - ecuación de la recta i

a)

110

b)

120

d)

140

e)

150

c)

130

24. De la figura P, Q, T, S, M, N son puntos de tangencia. R, r (radios).

a)

1 – Cotq 1 – Cota

b)

1 – Tanq 1 – Tana

c)

1 + Cotq 1 + Cota

d)

1 + Tanq 1 + Tana

e)

1 + Cota 1 + Cotq

25. De la figura S(área). Indique las coordenadas del punto P, sabiendo que el trayecto APB es el menor posible. y

Calcule R/r en términos de a y q.

2q 2a

C

S

2S

M N

P

3S

r

B(12;3)

45° T

R

A

P

Q

a) (4, 0) d) (7, 0)

b) (6, 0) e) (9, 0)

c) (8, 0)

respuesta 1. E 2. B 3. A 4. E 5. B 6. E 7. E 8. D 9. C 10. A 11. E 12. B 13. C 14. A 15. D 16. A 17. A 18. B 19. D 20. B 21. C 22. C 23. C 24. C 25. C

Tema 5

trigonometría

4 4

san marcos regular 2015 – Ii

trigonometría tema 6

Soii1t6T

tarea a) b) c) d) e)

ejercitación 1. Calcule la longitud de una circunferencia cuya ecuación es x2+y2–4x=0. a) π b) 2 π c) 3 π e) 5 π d) 4 π

6. Determine la ecuación de la recta que dista 6m del origen, pasa por el punto (12;0) y corta al eje (y) en la parte positiva.

2. Determine las coordenadas del centro de una circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 – 4x + 4y = –7 a) (2;–2) b) (–2;2) c) (–2;–2) d) (2;–1) e) (–1;2)

a) x+3y+12=0 b) x+ 3y+12=0 c) x2– 3y–12=0 d) x+ 3y–12=0

3. Los vértices de un triángulo son A(–2;1) B(4;7) y C(6;–3), halle la ecuación de la recta que contiene a la altura BH. a) 2x–y–1=0 b) x+y+7=0 c) x–y+2=0 d) 3x+y–1=0 e) 2x+y+10=0



e) x+ 3y+12=0 7. Si: A(–8;4) B(–2;0), calcule la distancia del punto medio de AB a la recta: L: x – y =1 3 2 22 13 a) b) 12 13

4. Indique la ecuación de una circunferencia cuyo centro es el punto (–3; 5) sabiendo que el radio mide 2 2 m. a) x2+y2– 6x+2y+7=0 b) x2+y2+6x–10y+26=0 c) x2+y2– 3x+5y–11=0 d) x2+y2– 3x+5y–28=0 e) x2+y2– 2x+6y+30=0

c) 11 13 10

d) 14 3 3

e) 24 8. Determine la ecuación de la recta que pasa por los centros de las circunferencias cuyas ecuaciones son x 2+y 2–8x+1=0, x2+y2–2x+6y+1=0 a) x+y–2=0 b) x–y+2=0 c) x–y–4=0

5. Dado un triangulo ABC A(2;0) B(0;–6) C(–4;4). Hallar la ecuación de la altura que parte del vértice B.

san marcos regular 2015 – Ii

x–y–1=0 3x = y 3x – 2y – 12 = 0 2x – y = 3 3x – y – 12 = 0

1 1

trigonometría

Tema 6

Ecuación de la recta II – Ecuación de la circunferencia

d) x+y–4=0

b) x2+y2=4

e) x–y+6=0

c) (x–2)2+(y+2)2=4 d) x2–y2=9



e) (x+2)2+(y–2)2=4

profundización

9. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (–1;4) y es tangente a la recta que pasa por los puntos (3;–2);

13. Determinar el área de la región limitada por las rectas L1: y–x–6=0 y L2: y+x–12=0 y el eje de las abscisas

(–9;3).

a) 80 u2

a) x2+y2+2x+8y+9=0

b) 81 u2

2

c) 82 u2

2

d) 83 u

e) 84 u

b) x2+y2–2x+8y+1=0 c) x2+y2–2x–8y+9=0

14. Calcular la ecuación de la circunferencia de

d) x2+y2+2x–8y+1=0

centro (–1;1) que es tangente a la recta

e) x2+y2–2x+8y+9=0

que pasa por (4;0) y (0;–4) a) x2+3y2=9

10. Determine el área de la región sombreada C:(x–10)2+(y–8)2=4; O: centro.

b) x2+y2=18 c) (x+1)2+(y–1)2=18 d) (x–1)2+y2=9

y O

e) (x–1)2+(y+1)2=18 15. En la figura se tiene A=(–2;3), B(7;6). Si

x a) 80–2π

b) 40–2π

d) 80–4π

e) 30–2π

QB=3AQ, halle la ecuación general de la recta L.

c) 80–π

L B

11. Se tiene la circunferencia:

Q

x2+y2+4x–6y–12=0, calcular el perímetro

A

del cuadrado circunscrito a dicha circuna) B) c) d) e)

ferencia. a) 80

b) 20

D) 22

e) 30

c) 40

12. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro C(2;–2) y es tangente a la recta

16. En la figura T es punto de tangencia

L: 3x+4y–8=0

A=(0;8) y B=(0;2). Determine la ecuación

a) 3x2+y2=4

Tema 6

trigonometría

4x–9y–7=0 3x–9y+4=0 2x–6y–9=0 3x–5y+10=0 6x+2y–9=0

de la circunferencia C.

2 2

san marcos regular 2015 – Ii

Ecuación de la recta II – Ecuación de la circunferencia

y

c) 6x–5y–18=0

C

A

d) 5x+9y–2=0 e) 5x–6y+9=0 20. Indicar la distancia del punto P(6;4) a la recta L que pasa por los puntos A(–2;0) B(4;6). a) 4 b) 2 c) 2 2 d) 4 2 e) 2

B

x

T



a) (x–2)2+(y–3)2=9 b) (x–4)2+(y–5)2=25

sistematización

c) (x–6)2+(y–4)2=16 d) (x–5)2+(y–4)2=16

21. Calcular la ecuación de la circunferencia

e) (x–1)2+(y–2)2=4

que pasa por el punto A(0;2) y es tangente en el origen a la recta L: y=–2x

17. Indicar la ecuación de la recta que es perpendicular al segmento AB tal que A(–1;3) y B(4;8) y además pasa por el punto medio de dicho segmento.

a) (x–3)2+(y–1)2=1 b) x2+(y–1)2=9 c) (x–1)2+(y–2)2=4 d) (x–2)2+y2=16

a) x–y+7=0

e) (x–2)2+(y–1)2=5

b) x+2y+5=0 c) 2x–y+1=0

22. Indique la ecuación de la circunferencia

d) x+y–1=0

cuyo diámetro es el segmento de recta

e) x+y–7=0

que forma la recta 2x–y–20=0 con los ejes cartesianos.

18. Dadas las ecuaciones de recta: L1: 9y+kx+(k–3)=0 L2: ky+4x+S=0 Calcular (k.S) de manera que L1 y L2 representen la misma recta si se sabe que k>0 a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 36

A) (x+1)2+(y–10)2=100 B) (x–5)2+(y–6)2=110 C) (x–3)2+(y+10)2=115 d) (x–3)2+(y+10)2=120 e) (x–5)2+(y+10)2=125 23. Hallar la ecuación de la recta que es per-

2

2

19. Se tiene la C: x –12x+y –16y+75=0 calcule la ecuación de la recta que pasa por el centro de C y el punto P(0;3).

pendicular a la recta L1: 3x–4y+11=0 y que pasa por el punto P(–1;–3). a) 4x+3y+13=0

a) 5x–6y+18=0

b) 4x+3y+12=0

b) 6x+3y–8=0

san marcos regular 2015 – Ii

c) 4x+3y+11=0

3 3

trigonometría

Tema 6

Ecuación de la recta II – Ecuación de la circunferencia

25. Determinar el valor de K para que la ecua-

d) 4x+34+10=0 e) 4x+3y+9=0

ción 2x2+2y2–5kx+8y+10=0 represente a una circunferencia.

24. Calcular el radio de la circunferencia x2+y2+(n–4)x+ny+9 = 0, cuyo centro pertenece a la recta de la ecuación x–3y+4=0 a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3

a) K=–4

b) K=3

c) K=1

d) K=2

e) K=4

respuesta 1. D 2. A 3. A 4. B 5. C 6. D 7. A 8. C 9. D 10. C 11. C 12. C 13. B 14. C 15. E 16. B 17. E 18. A 19. A 20. C 21. E 22. E 23. A 24. C 25. E

Tema 6

trigonometría

4 4

san marcos regular 2015 – Ii

trigonometría tema 7

Soii1t7T

tarea a) IC c) IVC y IIC e) IIC

ejercitación 1. De la figura, calcule:

K = 40 Cosa + Tana + Sen90°

5. En base a los datos de la figura, calcule: K = 6Tanq

y a

x

y x

(–1,–3) a) 1

b) 2

d) –2

e) 3

(–1,–3)

c) –1

a) –1 d) –4

2. Del gráfico mostrado indique el valor de:

K = 29 Cscq + Sen53°



x

q

(2,–5) a) –1

b) –2

d) –4

e) –5

b) –2 e) –5

c) –3



a) IC

b) IIC

c) IIIC

d) IVC

A = 2Sen90°+7Tan180°–10Sec180° a) 2

b) 3 3

d)

e) 2 3

3

calcule K =

c)

b) –

10 10

d)

e) – n ; Secq = –n

3(Cosa + 5Sena) 2Cota

10

a)

e) IIIC y IIC

10 10

2 10 5

2 10 5

8. Si a∈IIIC y q∈IVC, además:

Indique el cuadrante de (q)

san marcos regular 2015 – Ii

c) 4

7. Si 3Tana + 1 = 0 ; a∈IIC,

c) –3

3. S a b i e n d o | S e n q| + S e n q = 0 ∧ Secq < Cot90°. Indique el cuadrante de (q)

4. Sabiendo Cscq = m2 +

q

6. Calcule:

y



b) IIC y IIIC d) IVC



1 1

(2)2Seca+3 = (5)3Tanq+2

trigonometría

Tema 7

Razones trigonométricas de ángulos en posición normal





Calcule K = 2 5 Tana + 3 13Secq a) 15 d) 30

b) 18 e) 36

c) 21

profundización

(Sena)Cscq+2 = (Cosb)2Cscq–1 Calcule K = Senq – Cos45°Cosq a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Del gráfico M punto medio de AB.

9. En base a los datos de la figura AB = 26. Determine el valor de K = 6SenaCscb

Calcule: K = 40 Senq + Cota y

y

A (–2b,2)

M A (–6;1)

a x

a)

5

d) 5

b) – 5

q a) –5 d) –2

c) –2 5

e) –5

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

q

15. Si 2Cotq–2 = x



c) 3

c) –3

2 Cotq; q∈IIIC 17(Senq – Cosq) B) 4 e) 7

c) 5

16. Sabiendo: Tan2a + Tan2b – 4Tana + 6Tanb + 13 = 0 Csca < Tan180° y Secb > Sen360° Calcule: K = Seca + Sen45°Secb a) 0

b) 1

c) 2 5

d)

5

e) –2 5

12. Si (a) y (b) son complementos, además (q) es un ángulo en posición normal del segundo cuadrante, además:

trigonometría

Calcule K = a) 3 d) 6

11. Si (a) y (b) son las medidas de 2 ángulos cuadrantales y se cumple: Tana + Senb – 1 = 0 Calcule K = 2Seca + Cos2b Si a y b positivos y menores de una vuelta. a) –3 b) –2 c) –1 D) 2 e) 3

Tema 7

b) –4 e) –1

14. Resolver la ecuación: 2xCos0° + Tan260° = xCos180° – 5Sen37° a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3

10. Del gráfico indique el valor de K = Tanq + Sec2q, si MN = 2NP y

45°

a x

b

B (–b,–3)

B (4;5)

17. De la figura: AP = PB = BC, indique el valor de K = Tanq + 3Sen(–30°)

2 2

san marcos regular 2015 – Ii

Razones trigonométricas de ángulos en posición normal

segmento que determina 2x–3y+12=0 con los ejes Calcule K = Tan260°Tana + a) 1 b) 2 d) –2 e) 0

y

C

B

P(4,3) x

A

q a) –1 d) 3

b) –3 e) 1

la recta L. cartesianos. 52 Sena c) –1

sistematización

c) 5

21. De la figura indique el valor de: 18. De la figura: ABCD: Rombo Calcule K = Tana + Cota y C B



K = Csc2q + Sen2q – Sec4q 2ab

a

30°

A a) – c)

26 3 15

e)

24 3 15

x

D a

22 3 15

q b

b)

23 3 15

d)

25 3 15

a) 1 c) 3 e) 5

22. Si Cscq = Tana = Cos245° + Cos360°, a∈IIIC ∧ q∈IIC calcule K = 5 Tanq – 13 Cosa A) 1 B) –1 C) 0 d) 2 e) –2

19. Del gráfico calcule:

b) 2 d) 4

3Sen(a + 100) K = Tan2aCot2b + Cos(b – 260°)

23. Si: AC = BC, calcule: K = 13 Sena + 6Tana

y

y

a A (–1,6)

x

C

b q a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20. El lado final de un ángulo en posición normal (q) pasa por el punto medio del

san marcos regular 2015 – Ii

q

a) 2 d) 5

3 3

(5,0) B

a b) 3 e) 7

trigonometría

c) 4

Tema 7

Razones trigonométricas de ángulos en posición normal

24. El ángulo en posición normal (q) pasa por el punto de intersección de las rectas. L1: 3x – y + 12 = 0; L2: 2x + y + 13 = 0

Calcule K = a) –4 c) –2 e) 0

25. Si: Senq > Tanq y Cosq < 0

Simplifique: E=

34 Cosq + Sen37°Cotq b) –3 d) –1

4Cotq 3Tanq 2Senq + + |Senq| |Tanq| |Cotq|

a) –1

b) –2

c) –3 e) –5

d) –4

respuesta 1. B 2. E 3. C 4. E 5. B 6. E 7. B 8. B 9. C 10. C 11. A 12. A 13. C 14. D 15. A 16. A 17. B 18. D 19. D 20. B 21. D 22. C 23. A 24. A 25. E

Tema 7

trigonometría

4 4

san marcos regular 2015 – Ii

TRIGONOMETRÍA tema 8

Soii1T8T

tarea ejercitación 1. Simplifique: M = Cos(200g + q) . Cot(300g + q) a) Senq b) –Senq c) Tanq d) Cscq e) –Cscq

d)

1 2

e)

2 2

c) –

M=



R=

b) 2 e) –2

c) 3

Sen(a+b) Cos(a+f) Tan(b+f) + + Senf Cosb Tana

a) 0 d) 1

b) 3 e) 2

c) –1

8. Calcule el valor de E si: 1 2

3 2

E=

Sen200° Cos300° Tan400° + + Sen20° Cos30° Tan40°

a)

3 3

b)

2 2

d)

3 2

e)

6 6

c) 1

profundización

C

9. Simplifique:

2q

2a

Sen(–q) Cos(–q) Tan(–q) + + Sen(q–180°) Cos(q–180°) Tan(360°–q)

7. Si a + b + f = 180°, simplifique:

5. Con los datos del gráfico:

A

Tan(a+q) Sec2a Csc(a+b) + + Cotb Sec(2q+2b) Secq a) 1 b) 2 c) 3 d) –3 e) –1

a) 1 d) 4

4. Calcule el valor de: Sen150° + Cos300° M= Tan120° + Cot240° b) –



A=

Tan200° – Tan160° 3. Reducir: Q = Tan340° a) –1 b) –2 c) 1 d) 2 e) 0

3 2

calcular:

6. Simplifique:

2. Simplifique: M = Sen(180°–q) Csc(180°+q) + J 3p N +aO Sec(–a) SenK 2 L P a) 0 b) 1 c) 2 d) –1 e) –2

a) –



2b

B

san marcos regular 2015 – Ii

1 1

2p 5p 6p 9p + Tan3 + Tan3 + Tan3 11 11 11 11 a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 0

M = Tan3

TRIGONOMETRÍA

Tema 8

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

16. Si a es un ángulo agudo; tal que: Cos(4960°) = Sena, calcular: Sen(9a) + Cos(6a)

10. Si a – b = 90°, calcule: Csca. Cosb – Senb. Seca A= Tana.Tanb + Cotb.Cota a) 2 d) –1

b) –2 e) 0



c) 1

a) 1,5 d) 2,5

11. Calcular el valor de: Sen(210°) Tan(135°) Csc(300°) Sec(225°) Cot(150°) Cos(330°) a)

3 4

b)

d)

6 8

e) –

6 2

c)



3 2

a) – 2

6 9

d)

c) –1

3

10u

a)

4 7 7

b)

7

d)

5 7 7

e)

2 7 3

c)

7 2



P = Sen(360°–q) Tan(180°+q)



Q = Cscq . Sen(90°+q)



R = Cot(270°–q) . Sec(180°–q) a) +; +; +

b) –; +; + c) –; +; –

d) –; –; –

e) –; –; +

20. Calcule: Tan100°×Tan120°×Tan160°×Tan250°×Tan350°

Tan(180°+q) Cos(90°+q)+Sen(270°–q) Tan(90°–q) – Cot(270°+q)

Tema 8

2

19. Si q es un ángulo agudo determine los signos de P, Q y R.

Tan(– 7p ) Cos(– 5p ) 4 3 E= Sen(– 3p ) – Senp 2 a) 1 b) –1/2 c) –1/4 d) 1/2 e) 1/4

a) –Tanq d) Senq

c)

6u

6u

15. Reducir:

e)

a

14. Reducir:

5

b) – 6

18. A partir del gráfico mostrado, calcular el valor de Cota – Csca

13. Simplificar: Tan(p+x) Cos( 3p –x) Sec(2p–x) 2 R= 3p Cot( +x) Sen(2p–x) Csc( p +x) 2 2 b) 2 e) –2

2

Sen( 5p ) Tan( 2p ) Csc( 7p ) 4 3 6 Cos( 5p ) Cot( 5p ) Sec( 11p ) 3 4 6



p L = Cos(p+a) Sen( +a) 2 3p p +Tan(p+a) Sen( +a). Cos( –a) 2 2 a) –1 b) 1 c) 2 d) 0 e) –2

a) 3 d) 1

c)

17. Calcular el valor de:

12. Reducir:

b) 2 e) 3 2

b) –Senq e) 2Senq

c) Tanq

TRIGONOMETRÍA

2 2

a) 1

b) –1

d) – 3

e) – 3 3

c)

3

san marcos regular 2015 – Ii

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

23. Si Senq = Cos1340°, halle q positivo en el

sistematización

IVC y menor que una vuelta. a) 330° b) 350° c) 320° d) 310° e) Tan80°

21. Calcular el valor de:

R = (Sec1305°)(Cos960°)(Cos(–1485°)) a) 3/2

b) 5/4

d) 1/2

e) –1

c) 1

24. Reduce al tercer cuadrante Tan2480° a) Tan220° b) –Tan240° c) –Tan220° d) Tan200° e) Tan240°

22. Reducir al primer cuadrante Csc(–3139°) y relacione con Tan(191°) = a. a) –

1+a2 a

c)

1+a2

e)

1+a2 a

25. Si n: número entero, tal que: Sen(2np+q).Sec(2np+q) = 0,2 Tan(2pn+q) + nTanq calcule "n". a) 2 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10

b) – 1+a2 d) a

respuesta 1. A 2. E 3. B 4. A 5. C 6. A 7. C 8. A 9. E 10. D 11. E 12. A 13. C 14. D 15. B 16. A 17. B 18. B 19. C 20. C 21. D 22. A 23. B 24. B 25. B

san marcos regular 2015 – Ii

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 8

TRIGONOMETRÍA tema 9

SoiI1T9T

tarea 5. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Sen70° > Sen20° II. Sen216° > Sen254° III. |Sen300°| > |Sen320°| A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) VFF

Ejercitación 1. Si: ∅ ∈ IIIC, determinar los valores que admite "a". a–3 Sen∅ = 5 a) 〈–2; 3〉

b) [–2; 3〉 c) [–1; 1〉

d) 〈–2; 3]

e) [–2; 3]

6. Determine el cuadrante(s) en el que tanto el seno como coseno son crecientes. A) I B) IV C) I ∧ II

2. Determine el máximo valor de: E = 4 – 3Sen2θ



para ∀θ∈R

D) I ∧ III

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

7. Señale la variación de: A = 7 + Senx – 2Cosy A) [2; 5] B) [2; 10] C) [3; 10] D) [8; 10] E) [4; 10]

3. Determine el máximo valor de:

M = Csc30° – 3Senθ siendo θ∈R A) 3

B) 4

D) 6

E) 2

E) I ∧ IV

C) 3

8. Determinar el área de la región sombreada.

C) 5

C.T.

y θ

4. En la C.T. determinar la longitud de A'P. x

y B A'

α

P

M

θ

A

A) Senθ – Senα C) –Senθ Senα E) 2Cosθ – Senα

x

B'

B) Senθ Cosα D) 2Senθ

Profundización

A) –Cosθ

B) 1 – Cosθ C) 1 + Cosθ D) 1 – Senθ E) 1 + Senθ

san marcos REGULAR 2015 – iI

9. Determinar el área de la región sombreada.

1 1

TRIGONOMETRÍA

Tema 9

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

y

y P

P

θ

S

θ

x Q A) B) C) D) E)

Senθ(1 – Cosθ) –Senθ(1 – Cosθ) 2Senθ(1 + Cosθ) Cosθ(1 – Senθ) –Cosθ(1 – Senθ)

A) 2(2 + B) –2(1 + C) –2(2 +

10. Determine el área de la región sombreada. y

P

Ax

D) [3; 6〉

3 )Senθ

E) 2(2 +

3 )Senθ

B)

 4 ;2 3 

C)

 2 ;6 3 

E) [1; 4]

TRIGONOMETRÍA

a) 2Cosθ

B) –3Cos θ 2

C) 2Sen θ 3 e) –Senθ Cosθ 2

d) 3SenθCos θ 2

16. En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcular el valor de OM si: mABP = θ y B P θ M A x O

13. Determinar el perímetro del cuadrilátero PQRS.

Tema 9

3 )Senθ

D) 2(2 –

x

12. Señale la variación de: 3 + Cosθ M= 2 + Cosθ 1 ;8 3

3 )Cosθ

B) –(Tgθ)/2 C) –Tgθ E) (Ctgθ)/3

11. Señale la variación de: M = (2 + Senx)(2 – Senx) A) [3; 4] B) [4; 6] C) [–2; 6] D) [2; 4] E) [–1; 4]

〈 〉

3 )Cosθ

15. Determinar el área de la región sombreada. y C.T. θ

θ

A)

R

14. Señale la variación de: L = 5 – 2Cos2θ; θ∈IIC A) 〈3; 4〉 B) 〈2; 3〉 C) 〈2; 5〉 D) 〈3; 7〉 E) 〈3; 5〉

Q

A) –2Tgθ D) (Tgθ)/2

30°

Q

C.T.

2 2

san marcos REGULAR 2015 – iI

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Cosθ 1 – Senθ 2Cosθ c) 1 + Senθ a)

E)

b) –(1 + Tgθ)Cosθ 2 (1 – Cosθ)Tgθ c) 2 (1 + Cosθ)Tgθ d) 2

Cosθ 1 – Cosθ 2Cosθ d) 1 – 3Cosθ

b)

Senθ 1 – Cosθ

e) (1 – Senθ)Tgθ 2

17. Analice la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Cos25° < Sen25° II. Csc40° < Sec40° III. Tg27° > Ctg27° a) FVV b) VVF c) VVV d) FFF e) FVF

20. En la C.T. mostrada, calcular las coordenadas del punto "M" (siendo M punto medio de AP). y x2+y2=1

18. Determinar el área de la región sombreada en términos de "α" y

θ

–Ctgθ 1 ;– 2 2 1–Ctgθ 1 c) ;– 2 2 Ctgθ 1 e) ;– 2 2

x θ

e)

1+Ctgθ 1 ;– 2 2 1+Tgθ 1 d) ;– 2 2 b)

Sistematización

1 Ctgα(1 + Senα) 2 –Ctgα(1 + Senα) Ctgα(1 – Senα) Tgα(1 + Senα) 1 – Ctgα(1 – Senα) 2

a) – b) c) d)

M

P a)

C.T.

x

21. En la C.T. determinar el área de la región sombreada si mABP = θ y B P A

19. En la C.T. mostrada hallar el área de la región sombreada. y C.T. T a) –Sen2θ c) –SenθCosθ e) Sen2θCosθ

x θ

a)

b) Senθ.Cosθ d) –Cos2θ

22. En la circunferencia trigonométrica se cumple mABP = θ, calcular la variación del

(1 + Tgθ)Cosθ 2

san marcos REGULAR 2015 – iI

x

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 9

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

área de la región sombreada θ∈ B



y

5π 4π ;  4 3

y

α P M

A

x

x2+y2=1

P a) [1/2; 3]

b) [1; 2]

2 3 ; 2 2 e) [2; 4]

d) [1; 3]

c)

sabiendo que:

2 ≤θ≤

a)

16 13

b)

18 13

25. En la circunferenca trigonométrica mostrada se sabe que mAP = α además se verifica que: OQ = QA. Se pide calcular W = Secα – Tgα

d)

7 3

e)

10 3

B

4π 3 c)

b) 2 + Cosα d) 1 – Cosα

a) 2 – Cosα c) 1 + Cosα e) 1 + Senα

23. Determine la suma de sus valores máximos y mínimos de la expresión: 1 1 + P= 2 + Senθ 2 – Senθ

x

y

Q

o

5 3

A

x

P B' a) 6 d) 3

24. Del gráfico mostrado, hallar PM, en términos de "α".

b) 5 e) 2

c) 4

respuesta 1. A 2. D 3. C 4. C 5. A 6. B 7. E 8. A 9. A 10. D 11. A 12. B 13. E 14. E 15. E 16. E 17. D 18. E 19. C 20. C 21. C 22. C 23. D 24. C 25. E

Tema 9

TRIGONOMETRÍA

4 4

san marcos REGULAR 2015 – iI

TRIGONOMETRÍA tema10

SOiI1T10T

tarea B) 2(a2+b2)=1

A) 4ab=1

Ejercitación

–1

1. Simplifique:

P= a) Tan3x d) Secx

Tanx.Senx Cotx.Cosx

b) Cot3x e) 1

6. Determine qué expresión debe asumir "A", para que Cosx Cosx 2 + = 1+Senx 1–Senx A se convierta en una identidad. A) Cscx B) Senx C) Cosx D) Tanx E) Senx.Cosx

c) Cscx

2. Reduzca la expresión 1 1 r= + 1+Cosx 1+Secx A) Cosx

B) Secx

D) –1

E) 2

C) 1 7. Si

A) 1/2 D) 1/4

(Senx–Cosx)2–1 . Tanx E= Senx A) B) C) D) E)

2Cosx –2Cosx –2Senx 2Senx 2



M = Senx.Cosx B) 3/8 C) 1/8 E) 3/4

8. Dada la condición: 3Senx+4Cosx=4Csc53°

Calcule P=5 Senx.Cosx A) 3 D)

4. Dada la igualdad

1–2Cos2x 1 = ; calcule el valor de Senx+Cosx 2



3. Simplifique la expresión

D) 2(a2+b2)–1=1

C) 4(ab) =1 d) a+b=1

Secx = Tanx+3 calcule: P = 3Tanx+4 A) 5 B) 4 D) 1 E) 0

B) 4

12

C)

13 E) 65

Profundización C) 3

9. Dada la condición Cscx+Cotx=4 Calcule M

5. De las condiciones elimine la variable angular: I. Secx = (a+b)–1



17 Cscx

+

A) 2 B) 3 D) 5 E) 6

II. Cscx = (a–b)–1

san marcos REGULAR 2015 – iI

M=

1 1

TRIGONOMETRÍA

15 Cotx C) 4

Tema 10

identidades trigonométricas simples

15. Si Sen2x+Senx=1 Calcule: P P = Sec2x – Cscx A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 0

10. Reduzca la expresión P = Secx.Cscx+(Secx+Tanx)–1–Cotx A) Cscx B) Secx C) Cotx D) Tanx E) Cosx

〈

〈

3π ;2π 11. Sea x∈ 2 Simplifique: R= A) B) C) D) E)

1–

16. Reduzca 2

Tanx+Cotx

Sen4x–Cos4x+1

+ Senx A) –Sen20x

Cosx–2Senx –Cosx Cosx Senx 2Senx–Cosx

B) C) D) E)

M= 300(Sen4x+Cos4c)–200(Sen6x+Cos6x)

a) 1

10 6SenxCosx 10 0 1 10 5Senx.Cosx

13. Del A) B) C) D) E)

gráfico, calcule M M = AH4+HD2+2(BD)2 B Senx Cosx Tanx 1 1 2 x A H 14. Elimine la variable angular "x". I. Tanx+Cotx=m II. Secx + Cscx = n

TRIGONOMETRÍA

b) 2 1 e) 2

d) –2

c) –1

18. Si: Sen2θ=Sen2x+Cos4x Calcule E = Sec2x+Csc2x en términos de "θ" a) Sec2θ

b) Csc2θ

2

c) Tan2θ

2

d) Cot θ

e) Cos θ

19. Reduzca D



M=

Tan2x–Sen2x

a) Tanx d) Cot2x

Cot2x–Csc2x b) Tan2x e) Cot3x

c) Tan3x

20. Simplifique:

A) m2+n2=2mn B) m2–n2=2mn C) m2+2n=m2 D) m2+n2=m+n E) m2+2m=n2

Tema 10

–Cos2x –Tan2x –Cot2x –Sec2x

17. 1+Cos2x = 2Senx Calcule E = Senx – 2Cscx

12. Simplifique la expresión A) B) C) D) E)

Sen4x – Cos4x–1



P= 2

(Csc3x–Sen3x)(Cscx–Senx)

a) Cos x d) –Sen2x

2 2

Csc4x–Sen2x b) –Cos2x e) Tan2x

c) Sen2x

san marcos REGULAR 2015 – iI

identidades trigonométricas simples



Sistematización 21. Si Tanx + Cotx = 3 Calcule J=Senx+Cosx; x∈IC A)

5 5 15 B) C) 3 2 3

D)

5 15 E) 6 6



M= a) 1/2 d) 2



Tanx=

b) +1

c) + 2

d) +3 2

24. Calcule n, para que la expresión: 2

Csc x – Cos x Sen4x+Sen2x b) 3/4 c) 1 e) 3

23. Sabiendo que:

a) + 5

e) +2 2

22. Si Tanx–Cot2x=1, calcule: 2

Calcule: M = Cscx(Senθ – Cosθ)

n(Sen4θ+Cos4θ)+2(Sen6θ+Cos6θ) sea independiente de θ a) –3 b) –2 d) 1 e) 2

c) –1

25. Simplifique:

Senθ – Cosθ Senθ + Cosθ

E = (1+2Cot2x)(1+2Csc2x.Cot2x)+Cot8x a) Csc8x

b) Cot8x

c) Sec8x

d) Cos8x

e) Tan8x

respuesta 1. A 2. C 3. D 4. E 5. B 6. C 7. B 8. C 9. C 10. B 11. C 12. B 13. D 14. E 15. E 16. D 17. B 18. A 19. C 20. A 21. C 22. D 23. C 24. A 25. A

san marcos REGULAR 2015 – iI

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 10

TRIGONOMETRÍA tema 11

SoiI1T11T

tarea A) 1 D) –2

Ejercitación 1. Reducir: K = 2Sen(45° + x) – Cosx a) Senx b) 2Cosx c) –Senx d) Senx – 2Cosx e) 1 2. Reducir:

A=

7. Si: Tg(37° – α) = m Calcular: Tg(53° + α) m A) m B) 2 3 D) m E) m–1 5

Sen(a + b) + Sen(a – b) Cos(a – b) – Cos(a + b)

A) Tga D) Ctga

B) Ctgb E) 1

8. Calcular Tgθ 2m B

C) Tgb

C)

m 5

C

θ

2 Cos(45° + θ) – Cosθ 3Senθ + 2Sen(30° – θ) B) Cosθ E) 6Cosθ

A

C) Tgθ

A) 21 D) 1/21

4. Calcule el valor de:

B) 4/3 E) 1/7

5m

D

B) 2 E) 20

C) 10

Profundización

Tg20° + Tg17° 1 – Tg20°Tg17° A) 3/4 D) 5/2

C) –1

3m

3. Simplificar:

A) Senθ D) 6Senθ

B) 2 E) 1/2

9. Si: 4Sen(37° + θ) – 3Cos(37° + θ) = L Calcular: Senθ L L L A) B) C) 5 4 3 L L D) E) 2 8

C) 2/5

5. Si: Tg(2α – β) = 3 ∧ Tg(2β – α) = –2 Calcule: Tg(α + β) A) 1 B) –1 C) 1/7 D) –1/7 E) –7

10. Si: α + β + θ = 180° deducir la siguiente expresión:

6. Calcular el valor de "K" Tg50° – Tg40° = KTg10°

san marcos REGULAR 2015 – iI



1 1

M=

Cos(α+θ) Tg(β+θ) Sen(α+β) + + Cosβ Senθ Tgα

TRIGONOMETRÍA

Tema 11

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS COMPUESTOS

A) 0 D) 1

B) 3 E) 2

C) –1

A) 12 D) 32

11. Calcular el valor de: M = (1 + Tg17°)(1 + Tg28°) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 12. Calcular: M = Tg5° +

3 2

3

B)

D)

3 – 1

E) 1

Cos1° – 2Sen31° = 3Senθ –90 < θ < 0 A) –2° B) –1° C) –3° D) –5° E) –7°

17. Del gráfico mostrado MP = 1,5 u Calcule Cos(α – θ)

C) 3

y

C.T.

M

M 13. Determinar " " tal que: N

a

M ≤ 8Senx – 2Cosx ≤ N

a)

P B) 4/3 E) 3

1 4

d) –

b) –

1 8

e)

1 4

1 8

c)

1 16

18. Si: aCtgx + bCtgy = (a + b)Ctg x + y 2 Calcular: K = aSeny – bSenx + a a) a – b b) a + b c) a d) b e) 1

θ

A) 3/4 D) 7

x

C) –3

14. Si ABCD cuadrado, calcule Tgθ. B C

A

θ

P

Siendo x ∈ R A) 2 B) 1 D) –2 E) –1

C) 24

16. Calcular "θ"

3Ctg85°Ctg35° + Ctg35°

A)

B) –16 E) –32

D C) 1/2

19. De la figura, calcule "x"

15. De la figura, calcular Tgθ.

A 4 P

θ

6 a

37° C

Tema 11

TRIGONOMETRÍA

2 2

a

Q b

2 B

san marcos REGULAR 2015 – iI

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS COMPUESTOS

a) 4 6

b) 4 23

d) 3 17

e) 3 6

23. Calcular TgθCtgα en:

c) 4 13

B a

20. Si ABCD es un cuadrado, calcule el máximo valor de Tgθ.

a

Q

q

A a) 2 d) –1

B

A

C

2a

M

a

b) –2 e) 3

c) 1

θ 24. Del gráfico determinar: P

D A)

3 4

4 D) 5

R

C B)

4 3

C)



M=

5 4

B

E) 1

q q

Sistematización

E= a) 1 d) 4

a) 1 d) 4

3Cos22θ – Sen22θ Sen(60° + 2θ)Sen(60° – 2θ) b) 2 e) 5

c) 3

e)

C

P b) 2 e) 5

c) 3

25. Si: aTgα = b–1Cosα = c–1Senα indicar una relación entre a; b y c. a) a2b2(b2 + c2) = c2

22. Calcule: E = (Tg3a – Tg3θ)/Tg3θTga siendo: Tg2θ + Tg2a = 3Tg2θTg2a + 8TgθTga + 3 a) –1 b) 0 c) 1 d) 2

3q

A

21. Simplifique la expresión:

Tg2θ.Tg5θ + Tgθ.Tg2θ TgθTg5θ

b) b2c2(a2 + c2) = a2 c) a2c2(b2 + c2) = b2 d) c2(a2 + b2) = a2b2 e) ab(a2 + b2) = c2

2

respuesta 1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. B 7. E 8. A 9. A 10. C 11. B 12. A 13. E 14. E 15. D 16. B 17. D 18. C 19. A 20. B 21. D 22. B 23. A 24. B 25. C

san marcos REGULAR 2015 – iI

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 11

TRIGONOMETRÍA tema 12

SoiI1T12T

tarea 6. Simplifique: Sen4Csc2x – Cos2x+Sen2x para: 1+ 2 Senx + Cosx = 3

Ejercitación 1. Si: 1 ; θ∈IIIC calcule Cos2θ Cosθ = – 5 A) –0,6 B) –0,69 C) 0,65 D) –0,92 E) 0,59

A) 2

3. Reduzca: M = Cos210° – Sen210° A) Cos10° B) Cos20° C) Cos40° D) Cos5° E) Sen20°

M=

A) Tgθ



M=

32Cosθ Cos2θ Cos4θ Cos8θ Cos16θ Cscθ

A) 2Sen16θ

B) 2Sen32θ D) Cos32θ

C) Sen32θ E) Sen16θ

1+Cos2θ+Sen2θ 1+Sen2θ–Cos2θ

Profundización

B) Ctgθ

C) Secθ D) Cosθ

9. Del gráfico calcule: E = si AD = 1 y DC = 2

E) Senθ 5. Simplifique: Cos3x–Sen3x A= –1 Cosx–Senx 1 1 B) Sen2x A) Sen2x 2 3 1 C) Sen3x D) Cos2x 2 E) Cos2x

san marcos REGULAR 2015 – iI

E) 4

8. Simplifique:

4. Reduzca:

C) 3

7. Si: Tg2θ+Tg2f = 5 Tgθ Tgf Calcule: M = + Sen2θ Sen2φ A) 2,5 B) 3 C) 4 D) 2 E) 3,5

2. Si: Tg2θ =



3

D)

7 ; θ∈IC calcule Tg4θ. 24 A) 326/527 B) 336/517 C) 326/507 D) 336/527 E) 507

B) 1

7Tgq

B θ A

A) 2 D) 1

1 1

2θ

C

D B) 7

C)

7

E) 1/7

TRIGONOMETRÍA

Tema 12

Identidades trigonométricas para arco múltiple I

10. Si: 5AD = 2CD. Hallar ctgθ A)

2

B)

2/2

15. Halle "M" en la identidad:



C

E) 3/ 2 11. Reducir:

h=



2θ

B

4Tgx(1–Tg2x)2 2Sec4x–Sec6x

A) Sen4x C) 2Sen4x E) 2Cos4x

Sen(mx) π –x π +x Sen = m 4 4

12. Reducir: M=Sen2(a+b)–2Sen(a+b)CosaSenb+Sen2b B) Senb

C) Sen2a

D) Sen2b

C) 8

A) Tg2x

B) Ctg2x

D) 2Ctg2x

E) 2

C) 2Tg2x

17. Simplificar la siguiente expresión A = Tg(405°+x) + Tg(765° – x) A) 2Sec2x B) 2Csc2x C) 2Sen2x D) 2Cos2x E) 2

B) Cos4x D) Tg4x

A) Sena

B) 4 E) 3

16. Simplificar Cosx+Senx Cosx–Senx K= – Cosx–Senx Cosx+Senx

θ

2/3

Sen2xSen A) 2 D) 6

D

C) 2 2 D)



A

5 4 Calcule: K = Sen2x+Sen2y+Sen2z A) 7/9 B) 5/8 C) 7/8 D) 5/9 E) 3/16

18. Si Cos2x+Cos2y+Cos2z =

E) 1 19. Dado un triángulo ABC; TgA=1, TgB=2. Calcule el valor de Ctg2C A) –4/3 B) 3/4 C) –3/4 D) –7/3 E) 4/3

13. Si Sen2x = 1 – M a qué es igual:

K= A)

M–1

D) 2M

2 Cos x + 9π 4 B)

M

C)

20. Sabiendo Sen2x–(Tgx+Ctgx)–1–2Cos2x = Cos240° Calcule el valor de Ctg2x A) –3 B) –1/3 C) 1/3 D) 1 E) 3

M+1

E) 3M

14. Siendo (θ) la medida de un ángulo de inclinación de la recta: L = 3x – 2y + 11 = 0 Calcular: Cos2θ 5 A) 13 D) –

Tema 12

7 25

12 B) 13 E) –

Sistematización 21. Simplificar K=6Sen150°–8Cos300°.Cos2x–Cos180°.Cos4x A) 8Sen2x B) 8Cos2x 2 C) 4Cos x D) 4Sen2x 4 E) 8Sen x

7 C) 25

5 13

TRIGONOMETRÍA

2 2

san marcos REGULAR 2015 – iI

Identidades trigonométricas para arco múltiple I

22. Simplifique:

24. Indique el rango de la función

A= 1+Cos2θ.Csc 9π + θ –Tg 41π – θ 4 4 A) Senθ θ D) –Sen 2

θ B) Cos 2



C) –Cosθ

A) [4;12]

B) [6;16]

C) [7;17]

D) [5;14]

E) [8;15]

E) 1

3–vers2x–cov2x 23. Simplificar: K = vers2x+sen2x A) Tg2x B) Cot2x C) Cos2x D) Sen2x E) Csc2x

F(θ) = 8(Sen4θ +Sen6θ +Cos4θ +Cos6θ)

25. Eliminar (θ) x–y x+y 2xy = = Senθ Cosθ Cos2θ

2

A) x2–y2=2 3

3

C) x –y =3

B) x3+y3=3 D) x2+y2=2

E) x4+y4=4

respuesta 1. D 2. D 3. B 4. B 5. A 6. C 7. E 8. C 9. D 10. C 11. A 12. C 13. B 14. E 15. B 16. C 17. A 18. C 19. A 20. C 21. E 22. E 23. B 24. B 25. D

san marcos REGULAR 2015 – iI

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 12

TRIGONOMETRÍA tema 13

SoiI1T13T

tarea 6. Si: Cosθ = –0,75; 180° < θ < 270°,

Ejercitación



1. Si: Senx = 1/3, calcular: Sen3x A) 1/27 C) 13/27 E) 5/27

A) B) 23/27 D) 2/9





9 13

B)

–8 13

D)

6 13

E)

–9 13

E)

4. Reduce:

A= A) 1 D) –3

B) – 2

C)

–6 13

8. Si:

1 6

3Senx – Sen3x 3Cosx + Cos3x B) Tg2x E) Ctg3x

C) Tg3x

Sen3x 5 = . Calcular Cos2x Senx 3

A) 1/2 D) 2/3

B) 4/5 E) 1/3

C) 3/4

Profundización C)

9. Señale un valor de "x" que cumpla:

2 3

Sen3x = Senx



3 5

A) 20° D) 15°

4Cos3x – Cos3x Cosx B) 2 E) –2

C) 2 2

E) ±2 2

E= A) Tgx D) Ctg2x

3p 5 ;θ∈ ; 2p 2 2

calcular: Sen θ 2 1 B) A) 3 D)

2

7. Simplificar:

A)

2 5

θ 2

D) –2 2

2. Si: Tg x= 3, calcular: Tg3x

3. Si: Tgθ = –

hallar: Sec

10. Si:

11. Reducir:

5. Si: Tanx = 1/4, calcula: Tan3x A) 13/2 B) 47/52 C) 52/57 D) 47/26 E) 47/13

san marcos REGULAR 2015 – iI



1 1

B) 30° E) 45°

C) 18°

Sen3x Cos3x = n. Calcular R = Senx Cosx

A) n + 1 D) n – 2

C) 3

3 +1

B) n – 1 E) n + 2

C) n

x –1 2 R= x Cscx.Tg – 1 2 Cscx.Ctg

TRIGONOMETRÍA

Tema 13

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULO MÚLTIPLE II

x A) Tg2 2

x B) –Tg2 2

x D) –Tg 2

E) –Ctg2

C) Ctg2



P=2

K2 – K–2 B) K + K–1 C) K – K–1

D)

K + K–1 E)

E) Tg

p 4

D) Tg

A) Cotx D) 2

p 4

a p + 2 4

D) –Cos

x 2

E) 2Sen

16. Simplificar: Tan A) Cosx D) Secx

Tema 13

x 2

C) –Sen



B) Cot

x – Cot8x 2

C) Cotx + Cot8x

D) Cot

x + Cot8x 2

p x y además Cot = 2 + Secy 2 2

Calcular: K = 6Tanx + A) 1 D) 4

5Cosx

B) 2 E) 5

C) 3

Sistematización x 2

21. El valor de:

x 2

x x + 2Sen2 . Cotx 2 2 B) Senx C) Tanx E) Cscx

TRIGONOMETRÍA

A) Cotx – Cot8x

20. Si: x + y =

5p 15. Sabiendo que: 2p < x < 2 simplificar: 1 2 1 – Senx – 1 + Senx B) Cos

C) Tanx

E) Cot8x

14. Si: Sen3xCscx + Cos3xSecx = KCos(px) Calcular: K + P A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

x 2

B) 1 E) Secx

19. Reduce: Cscx + Csc2x + Csc4x + Csc8x

a p – 2 4

A) Sen

C) Senx

x x – Tan 2 2 Csc2x + Cot2x

K – K–1

B) Tg a +

B) Secx E) Tanx

Cot

Cosα es equivalente a: 1 – Senα

p 4

x x Sen 2 + 2 1+ Senx 1– Senx

18. Simplificar:

A)

13. La expresión:

Simplificar:

A) Cosx D) Cscx

1 + Senθ – Cscθ Sen2θ

será:

C) 2Tg a +



p > 2

Cos

θ θ = Cos , siendo: Senθ > 0 2 2

A) Tg a –

17. Si: x ∈ < 0;

x 2

12. Si KSen



x 2

G = Cot24ºCot57º – Cot24ºCot33º a) 2

b)

d) –1

e) 1

3

22. Sen2a = Cos3a, 0 < a <

2 2

Calcular el valor de: Sena

c) –2

p 2

san marcos REGULAR 2015 – iI

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULO MÚLTIPLE II

a)

1+ 5 b) 5

5 –1 c) 4

5 –1 3

5 +1 e) N.A. 4

d)

obtenemos: a) 1 d) 5

b) 2 e) 4

c) 3



x

1 2

3 4 SenαSenβ Cosα + Cosβ

a qué es igual: Tan

θ 2

a b B) Cos Cos 2 2

a

a b D) Cot Cot 2 2

b y

d) ArcCos

a b C) Tan Tan 2 2

α α

b

1 c) ArcCos 4

θ θ A) Sen Sen 2 2

α, para que a sea doble de b.

a

2 3

25. Si: Tanθ =

24. En el triángulo de la figura, hallar el ángulo

α

b) ArcCos

e) ArcCos

23. Al calcular el valor de: 1 3 F= – Sen10° Cos10°

3 a) ArcCos 2

a b E) Sec Sec 2 2

z

respuesta 1. B 2. A 3. B 4. C 5. B 6. D 7. C 8. E 9. D 10. D 11. E 12. B 13. D 14. D 15. A 16. B 17. B 18. D 19. B 20. E 21. D 22. B 23. E 24. A 25. B

san marcos REGULAR 2015 – iI

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 13

TRIGONOMETRÍA tema 14

SoiI1T14T

tarea Ejercitación

A) 1

1. Calcule el valor de Sen70°+Sen50° M= Cos70°+Cos50° A) Tan10°

B) Cot10°

D) 3 3

E) 1

C)

D)

R=

3

A) –Tanx D) Cotx

Sen50°–Sen10° Cos10°–Cos50°

A) Tan20°

B) –Cot20° C)

D) – 3 3

E) –Tan20°

3 3

A)

B) 2Senθ E) Cotθ

3 2

D) –

1 2

5. Calcule:





B)

1 2

B) Tanx E) 1

C) –Cotx

3 6

3 2

B)

C) 2 3

E) 2+ 3

8. Reduzca

C) 2Tanθ



2Sen7θ Cos3θ – Sen4θ

A) Sen3θ

B) Sen7θ

D) Sen10θ

E) Cos10θ

C) Sen4θ

Profundización

C) – 3

9. Transforme a producto A = Sen5xSenx+Cos7x.Cosx

E) – 3 2

A) 2Cos6x.Cosx B) 2Sen6x.Sen2x

3π π Sen +Sen 8 8 3π π Sen – Sen 8 8

san marcos REGULAR 2015 – iI

2 –1

1 2

Cos10°+Cos15°+Cos20° Sen10°+Sen15°+Sen20°

D) 2– 3

4. Si: x=10°; calcule R= 2Sen5(Sen10x+0.5) A)

N=



2Sen5θ Cos3θ –Sen8θ M= 2Cos3θ Cos2θ – Cos5θ A) 2Cosθ D) Tanθ

E)

C)

7. Calcule:

3. Simplifique:

2 2

6. Simplificar Cos(150°+x)+Cos(150°–x) Q= Cos(120°–x)–Cos(120+x)

2. Calcule el valor de

2+1

B)

C) 2Sen2x.Cos6x D) Cos2xCos6x



E) Sen2xSen6x

1 1

TRIGONOMETRÍA

Tema 14

Transformaciones trigonométricas

10. Calcule:

P=

16. Si:

Sen40°Cos10° –Cos20°Sen10° Cos20°Cos10° – Sen40°Sen10°

A)

3 3

B) – 3

D)

3

E)

C) –



Tanθ=

A) 15° D) 45°

Senx+Seny=a



Cosx+Cosy=b Calcule Cot ON x+y NO P 2 P



3 3

3 2

11. Calcule el menor ángulo que cumple



C) 30°



M=

Senθ +Cos(2x–θ) Cosθ –Sen(2x–θ)

A) Cot(45°–x)

B) Tan(45°–x)

C) Tan(22,5+x)

D) Cot(45°+x)

3 4

C) b/a

e) 1

Sen20°

S=



3 –2Sen20°

A) 1/2Cos20° B) 1/2Sec20° C) 1/4Cos40°

13. Simplifique la expresión K = 3+5Sen23° A) 3Cos7° B) 4Cos7° C) 5Cos7° D) 3Sen7° E) 5Sen7°

d) 1/4Sec40° E) 1/8Sec80° 19. Siendo 7SenθCosθ = 5Senα Cosα Calcule Tan(θ+a) = Cot(θ – α)

14. Expresar como producto M = Sen23θ – Sen2θ A) Sen2θ Sen4θ B) Cos2θ Cos4θ c) Sen2θ Cos4θ D) Cos2θ Sen4θ E) Senθ Cos3θ

a) 1

b) 6

d) 1/6

1 e) – 6

c) –6

20. Reduzca N = 2Cos4θ. Csc6θ – Csc2θ A) –Sec3θ B) –Csc3θ C) –Sec6θ D) Csc6θ E) Tan6θ

15. Simplifique E = Cos20°+Cos100°+Cos140° A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1

TRIGONOMETRÍA

E) 6/2a

18. Simplifique:

E) Tan(22,5°–x)

Tema 14

D) 1/ab

d)

12. Determine el equivalente:

B) a/b

17. Calcule el valor de: π 3π 5π +Cos + Cos M = Cos 7 7 7 1 1 a) – b) 0 c) 2 2

2Cos20° –Sen50° Sen40° B) 20° E) 60°

A) ab

2 2

san marcos REGULAR 2015 – iI

Transformaciones trigonométricas

Sistematización

24. T =

21. Transforme a producto A) B) C) D) E)

a) Cos10°

M = 3Sen3θ+2Senθ+Sen5θ 8Sen.Cos3θ 16Senθ.Cos4θ 12Cosθ.Sen4θ 16Cosθ.Sen3θ 32Senθ.Cos5θ

22. Si: 2Sen5∅=3Sen3∅ Calcule: 5Cot4∅ – Cot∅ a) –2 b) –1 d) 1 e) 2

3 Sen20°+2Sen220° +Cos60° 2Sen70°

b) Cos20° c) Sen10° d) Sen20° e) Cos40° 25. Simplifique:

c) 0

A=



2(Sen(2α)+Sen(2b) 1+Cos2α+Cos2b+Cos2(α–b)

a) Tanα –Tanb 23. Simplifique (2Cos2α+1)Cosα – Cos3α Sen4α+Sen2α a) Secα d) Sen2α

b) Csc3α e) Cscα

b) Tanα +Tanb c) Tanb –Tana d) Tanα .Tanb

c) Tg2α

e) 1

respuesta 1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 6. C 7. E 8. D 9. D 10. A 11. E 12. A 13. C 14. A 15. D 16. C 17. C 18. D 19. E 20. D 21. B 22. C 23. B 24. B 25. A

san marcos REGULAR 2015 – iI

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 14

TRIGONOMETRÍA tema 15

SoiI1T15T

tarea Ejercitación

A) 0

1. Resolver: 3Tanx – 4 = 0, x ∈ 〈0; 360°〉 A) 53°; 127° B) 53°; 233° C) 75°; 105° D) 75°; 225° E) 45°; 135°

D)

2. Resolver: Sen2x = A)

π rad 4

D)

π rad 12

E)

C)

π rad 15

π rad 3

π B) rad 5

π D) rad 3

π E) rad 12

D) kπ ±

π 4

B)

kπ 4

E)

kπ 2

π C) rad 2

positivas de la ecuación: 3Tanx + 2SecxCscx = 2Cotx + 5 3 A) 360°

B) 540°

D) 720°

E) 450°

C) 270°

3Tanx + 2Secx Cscx = 5Tanx + 2 A) 420°

B) 675°

D) 270°

E) 720°

C) 325°

Profundización C) kπ+

9. Señalar el número de soluciones positivas

π 4

y menores que una vuelta, de la ecuación: Tan2x = Secx + 1



5. Resolver. 2Tan2x + Secx + 1 = 0 A) 2π B) π C) 0,2π 3π D) 0 E) 2 6. Resolver: 3Tan2x + 1 =

π 6

nes positivas de la E.T.:

4. Calcular: 2Sen2x = 1 A) kπ

E)

π 4

8. Señalar la suma de las 3 primeras solucio-

3. Resolver: 3Cscx – 2Senx = 5 π A) rad 6

π 3

C)

7. Señale la suma de las 3 primeras soluciones

1 2 π B) rad 6

B) π

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

10. Resolver e indicar el número de soluciones en: x ∈ 〈0; 2π〉 4Sen4x – 5Sen2x + 1 = 0

5 Cosx

san marcos REGULAR 2015 – iI

C) 3

1 1

A) 2

B) 4

D) 8

E) 5

TRIGONOMETRÍA

C) 6

Tema 15

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

11. Señale el menor valor positivo de "x" que cumple: 3 2Sen(x + 30°) = Cosx + Tanx 2 A) 30° B) 60° C) 90° D) 45° E) 37°

A) 360° D) 120°

p 3 p D) np ± 12

12. Calcular el menor valor positivo de "x" en: Sen5x + Senx 3 = Cos5x + Cosx 3 A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

20. Al resolver el sistema: 2Senx + 3Tgy = 4 3 6Senx – Tgy = 2 3

14. Resolver: Sen2x = Cosx e indicar una de las soluciones. p A) 2kπ B) kπ C) 2kπ ± 6 p p D) (2k+1) E) kπ ± 2 6



se obtiene que la solución en el primer cuadrante es: A) x = 45°, y = 45° B) x = 60°, y = 30° C) x = 30°, y = 60°

15. Resolver: 5 Sen6x + Cos6x = 8 π 5π 7π A) B) C) 2 8 8 9π 3π D) E) 8 4

D) x = 60°, y = 45° E) x = 60°, y = 60°

Sistematización 21. Resuelve:

16. Resuelve: Senx – 2 = 3 .Cosx, si 0° ≤ x < 360° A) 120° B) 130° C) 150° D) 160° E) 210°



π π + x – Sen2 – x = 0, y calcula 8 8 las dos primeras soluciones positivas.

Sen2

π 2π ; 3 3 π d) ; π 2 a)

2

17. Resolver: 1 + Cosx – 2Sen x = 0 indicando la suma de sus 2 primeras soluciones positivas.

TRIGONOMETRÍA

p p B) 2np ± C) np ± 3 6 p E) np ± 4

19. Resuelve: Cos3x . Secx = 1 señalando un conjunto solución / n ∈ Z p A) np B) np ± 6 p C) n D) 2np 3 2n E) p–p 3

1 13. Resolver: Cos2(2x) = e indicar la solución 2 general. p p B) (2k + 1) A) (2k + 1) 4 6 p p C) (2k + 1) D) (2k + 1) 8 12 p E) (2k + 1) 24

Tema 15

C) 200°

18. Resolver: Sen3x.Cscx = 2 / n ∈ Z A) np +



B) 240° E) 180°

2 2

b)

π π ; 4 3

e)

π 3π ; 8 8

c)

π π ; 8 4

san marcos REGULAR 2015 – iI

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

22. Resuelva el siguiente sistema: 2Senx = 1 – Seny 2Cosx = 1 + Seny De una respuesta que sea solución de y donde k ∈ Z. π π π b) 2kπ + c) kπ + a) kπ + 3 4 2 π d) 4kπ + 4

e) 4kπ +



25. Resolver:

π 6



23. Dado el siguiente sistema: x + y =

Calcular la diferencia de las dos menores soluciones positivas. a) 81° b) 72° c) 60° d) 54° e) 36°

Tgx – 3 Ctgx + 1 = Indicar un conjunto solución.

3

π ;n∈Z 6 π πn + ; n ∈ Z 4 π πn + ; n ∈ Z 3 π (4n – 1) ; n ∈ Z 4 π (3n – 1) ; n ∈ Z 6

A) πn +

π , 2

determine la solución general para x. πk π π π + a) πk + b) πk – c) 2 4 4 4 πk π d) e) πk si k ∈ Z – 2 4

B) C) D)

24. Resolver la ecuación: E)

Senx Sen12° = Sen48° Cosx

respuesta 1. B 2. D 3. A 4. D 5. B 6. D 7. D 8. B 9. C 10. C 11. B 12. A 13. C 14. D 15. B 16. C 17. B 18. C 19. A 20. E 21. D 22. B 23. C 24. B 25. B

san marcos REGULAR 2015 – iI

3 3

TRIGONOMETRÍA

Tema 15

TRIGONOMETRíA tema 16

SniII2T16T

tarea A) 1/3 D) 1/5

Ejercitación 1. En un triángulo ABC; b=2m, mBA=30°, 1 SenB= . Calcular (a) 7 A) 7/2 B) 7 C) 14 D) 5 E) 5/2

7. Dado un triangulo ABC, b2=a2+c2–



A)

B) E)

27

E) 8

8

2θ

θ B) 37° E) 76°

C) 53°

asenA+bsenB=nR; R: circunrario

Calcule K=cos2A+cos2B A) n+2

B) n –2

b) 2–n

D) 1–n

E) n–1 10. Se tiene un triangulo ABC donde se cumple

a b 6. Se tiene un triángulo ABC donde = = 4 5 c . Calcular cosB 6

san marcos REGULAR 2015 – iI

D) 6

C) 4

9. Dado un triángulo ABC donde se cumple

5. Dado un triángulo ABC donde a=4, c=5, mBB=60°. Calcular b D) 7

B) 3

A) 16° D) 74°

C) 4

21 C) 24

A) 2

5

4. Dado un triángulo ABC, simplifique la siguiente expresión: senB–senC a+b K= b–c senA+senB

14

Calcule secB

1 ac 2

8. De la figura calcule

3. En un triángulo ABC, si 5senB–2senC=0 y b=1. Calcular la longitud del lado «c» A) 1 B) 2 C) 0,2 D) 2,5 E) 1,5

B) 2 E) 1/4

C) 3/4

Profundización

2. En un triángulo ABC se tiene que a=5; m∠A = 37° y C = 30°. Calcular la longitud del lado AB. A) 12/5 B) 5/2 C) 12/7 D) 7/12 E) 5/12

A) 1 D) 1/2

B) 2/3 E) 2/5

1 1

(a+b)2=3ab+c2 Calcule mBC A) 30° B) 150° D) 120° E) 45°

TRIGONOMETRíA

C) 60°

Tema 16

resolución de triángulos oblicuángulos

11. Dado un triángulo ABC, simplifique: ab cosC+bc cosA+ac cosB K= a2+b2+c2 A) 1 D) 4

B) 2 E) 1/4

C) 1/2





3

2α



B)

3ab c

D)

2ab c

E)

2ac b

C)

3bc a

a)

7 9

B)

3 7 C) 7 3

D)

2 3

E)

14 3

A) 30°

B) 45°

D) 75°

E) 90°

C) 60°



Simplifique:



M = abcsenA[ctg(A + C) + ctg(A + B)] A) a3 B) b3 C) c3 3 3 D) –b E) –a

18. Si el coseno del angulo mayor de un triangulo de lados enteros consecutivos es 1/5. Calcule el perímetro de dicho triangulo A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

siguiente expresión: (b+c)cosA+(a+b)cosC+(a+c)cosB K= senA+senB+senC R: circunradio A) R B) 2R D) 4R E) R/2

b= 5–2 5 , c=1. Calcule mBA

17. Se tiene un triángulo ABC

α

13. Dado un triángulo ABC, simplifique la



3ac b

16. Se tiene un triángulo ABC, a= 5 –1,

12. Del gráfico calcule tg a

2

A)

19. Dado un triángulo ABC, mBC = 30° y

C) 3R



B–A a 5 = . Calcule tg b 2 2

14. Dado un triángulo ABC se cumple mBC=90°; b+c=a

2

A)

Calcule la medida del angulo C. A) 10°

B) 12°

D) 18°

E) 30°

3 B) – (2+ 3 ) 7

C) 15°

C)

15. Dado un triángulo ABC, simplifique la





Tema 16

24R3senAsenCsen(A–C)

E)

a2–c2

TRIGONOMETRíA

2 (2+ 3 ) 7

2 D) – (2+ 3 ) 7

expresión: K=

3 (2+ 3 ) 7

2 2

4 (2– 3 ) 7

san marcos REGULAR 2015 – iI

resolución de triángulos oblicuángulos

23. En el triángulo equilátero ABC inscrito en un círculo, "F" está en el arco BC. Si además: BF = 2 m y FC = 3 m, determina (en m) el lado del triángulo. A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 e) 19

Sistematización 20. De la figura BC= 3 AD. Calcule (x) B x D

A

40°

A) 30° D) 60°

20° B) 50° E) 75°

24. En un triángulo ABC: Cos2A + Cos2B + Cos2C = –n Las distancias del ortocentro a los lados del triángulo son x; y; z. Hallar: J= xyz , si el circunradio mide 2 A) 2n – 1 B) 2(n – 1) C) 2(1– n) D) n – 1 E) 4 2(n–1)

C C) 70°

21. Dado un triángulo ABC, donde:

a2 b2 c2 + =12ab + sen2A sen2B sen2C C B Calcule K=sen A cos sen 2 2 2 A) D)

1 8

B)

6 – 2 E) 8

3 8

C)

25. En la figura mostrada AB = m, BD = n, AC = CD = b, BC = a; entonces el valor de "mn" puede expresarse como: C

3 8

6+ 2 8

22. En un ∆ABC, sus lados verifican: a= 3 , b2+c2=5 ∧ mBA=60° Calcula: (b+c)2 P= (1+bc) A) 4 B) 6 C) 7 D) 3 E) 5



A

B

A) a2 – b2 ab C) 2 2 E) 2b – a2

D

B) b2 – a2 D) 2a2 – b2

respuesta 1. b 2. b 3. d 4. a 5. b 6. c 7. c 8. b 9. b 10. c 11. c 12. c 13. b 14. c 15. a 16. e 17. e 18. b 19. b 20. c 21. e 22. d 23. d 24. b 25. b

san marcos REGULAR 2015 – iI

3 3

TRIGONOMETRíA

Tema 16