PAMER -- R.MATEMÁTICO - SUCESIONES

RAZONAMIEN TO MA RAZONAMIENTO MATEMÁ TEMÁTICO TICO TEMA 6

SUCESIONES SNII2RM6

DESARROLLO DEL TEMA

NOCIÓN DE SUCESIÓN

II. SUCESIÓN LITERAL

Se entiende por sucesión a un conjunto ordenado de elementos de acuerdo a una ley de formación o también una característica común.

Una sucesión de letras se puede construir a partir de 3 criterios generales 1. Según el el alfabeto

Ejemplos: Sucesión gráca:

,

,

,

 A G M R X

, ...

Sucesión Literal:

 A, C, E, ....

B H N S Y

C I Ñ T Z

D J O U

E K P V

F L Q W

Ejemplo:

Sucesión Numérica:

1, 5, 13, 29, ....

¿Qué letra continúa?

 A, D, I, O, ....

I. SUCESIÓN GRÁFICA Una sucesión de guras se forma de acuerdo a un "criterio de movimiento" de sus elementos. Se debe percibir el

Solución:

desplazamiento ó giro.

un número:

De acuerdo al alfabeto a cada letra le corresponde  A, D, I, O, . . . . 1 4 9 16 12 22 32 42 ⇒ Son los cuadrados perfectos Continúa 52 = 25 y en el alfabeto es la letra "X".

Ejemplo: ¿Qué gura continúa?

,

,

, ...

2. Son iniciales de nombres nombres con un orden dado.

Solución: • Se observa que cada cada gura es una vista del del siguiente siguiente

Ejemplos:

U , D , T , C ,.,... u d t c n o r u o s e a s t r o

sólido. giro

L , M, l m u a n r e t s e s

Por lo tanto la siguiente vista será:

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

   1 1

RAZ. MATEMÁTICO

M, m i e r c o l e s

J ,...  j u e v e s

TEMA 6

SUCESIONES

3. Completan una palabra o frase Ejemplos: S, A, N, M, A, R, C, O, . . . → La "S" completaría

Ejemplo: ¿Qué número continúa?

0, 1, 5, 23, . . .

SAN MARCOS O, N, M, U, L, . . .

→

Solución:

Recordamos la sucesión de los factoriales. 1 , 2 , 6 , 24 , 120 , ...

la "A" completaría ALUMNO

en orden inverso.

III. SUCESIÓN NUMÉRICA

1

Consideremos al conjunto numérico:

1×2 1×2×3 1×2×3×4 1×2×3×4×5

1, 2, 3, 4, 5, . . . , n Como los números "ordinales" es decir aquellos que

indican el lugar del término de una sucesión. a1, a2, a3, a4 , a5, . . . , a n Cada uno de los términos de la sucesión posee un número ordinal que indica su posición y el número de términos hasta dicho término.  

Nota:

Es importante considerar siempre a las sucesiones notables porque a partir de ellas se forman nuevas sucesiones.

Ejemplo: ¿Qué número continúa?

Entonces:

1, 4, 27, 256, . . .

0,

Solución:

1,

5,

 –1 1! –

Se puede reemplazar cada número por una expresión que esta en función de su ordinal.

 –1 2! –  –1 3! –

1 , 4 , 27 , 256 , ... ↓

↓

↓

 –1 4! –

↓

11 22 33

23 , ...

Por lo tanto el número que continúa es:

44 ...

5! – 1 = 119.

Por lo tanto continúa 5 = 3 125 5

B. Sucesión Lineal

Se le llama también sucesión de 1º orden o Progresión  Aritmétic  Arit mética, a, se forma cuan cuando do a parti partirr del prime primerr término siempre agregamos una misma cantidad llamada Razón Aritmética.

 A. Sucesiones Notables

Ordinal

1

2

3

4

5

...

n

Sucesión

a1

a2

a3

a4

a5 ...

an

Naturales

1

2

3

4

5

...

n

Pares

2

4

6

8

10 ...

2n

Impares

1

3

5

7

9

Cuadrados

1

4

9

16 25 ...

Rectangulares

2

6

12 20 30 ...

n(n +1)

Triangulares

1

3

6

n(n+1) 2

Cubos

1

8

27 64 12 125 ...

Fibonacci

1

1

2

Primos Polinomial

2

3

 –1  –1

1

...

15 ...

+4 +4

+5 +5

5

7

1

5

11 ...

 –2

15 45 135 405 ...

Factorial

1

2

24 120 .. ...

+r

...

 –2  –2

...

+r

+r

+r ...

Por inducción: a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a2 + 3r

n2 – 3n +1 5 × 3(n –1) n!

RAZ. MATEMÁTICO

+5

¿Como podríamos hallar an? a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an

... a n=an-1+an-2

5

...

100, 98, 96, 94, . . . , ( –2n + 102)

n3

Solo poseen 2 11 ... divisores

+4

6, 11, 16, 21, . . . , (5n + 1)

n2

5

Geométrica

TEMA 6

5, 9, 13, 17, . . . , (4n + 1)

2n –1

3

6

Ejemplos:

h

2     2

SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 14 – II

SUCESIONES

Sea la sucesión a0 a1, a2, a3, a4, a5, . . .

Entonces:

an = a1 + (n – 1)r  

b0 r

También:

a1, a2, a3, a4, a5, . . . , a n

a0

+b1 +b2 +b3

+r

+r

+r

+r

+r

...

r 2 b = b0 – a c = a0

Entonces:

a=

+r ...

Ejemplo:

an = rn + a0

Calcular el vigésimo término de la sucesión siguiente:

9, 13, 19, 27, 37, . . .

Ejemplo:

 

Calcula el vigésimo término de la sucesión. 2, 11, 20, 29, . . .

Solución:

Buscamos las diferencias sucesivas y hallamos los términos que estarían antes que los primeros.

Solución:

c=7 2, 11, 20, 29, . . . an = 9n – 7

–7

 –9

 –9

9, 13, 19, 27, 27, 37, 37, . . .

a+b=2

 –9

+4 +6 +8 +10

2a = 2

Nos piden:

a20 = 9(20) – 7 = 173

+2 +2 +2

Entonces: a = 1; b = 1; c = 7

IV. SUCESIÓN POLINOMIAL Es aquella sucesión en donde "a n" tiene forma de

Reemplazando en an = an2 + bn + c an = n2 + n + 7

polinomio: P(n).

Nos piden:

El grado del polinomio determina el orden de la sucesión.

a20 = 202 + 20 + 7 = 427

Ejemplos:

VI. SUCESIÓN GEOMÉTRICA

1.er Orden: 5, 7, 9, 11, . . . , (2n + 3)

También se le llama progresión geométrica y es aquella en donde a partir del primer término siempre se multiplica por una misma cantidad llamada razón geométrica.

 –2  –2  –2

Ejemplos: •

2.° Orden:

3, 3, 5, 9, . . . , (n 2 – 3n + 5)  –0  –2  –4 +2

+2

×2

•

...

19 12

35 18

6

×2

•

×2

...

9, 27, 81, 243, . . . ×3

...

3.er Orden: 0, 7, 26, 63, 124, . . . , (n 3 – 1) 7

7, 14, 28, 56, . . .

×3

×3

...

120, 60, 30, 15, . . . ×

1 2

×

1 2

×

1 2

En general:

61

a1, a2, a3, a4, . . . , a n

24

×q ×q

×q

Por inducción: a1 = a1 a2 = a1 × q a3 = a2 × q2 a4 = a3 × q3

6

V. SUCESI SUCESIÓN ÓN DE 2.° ORDEN Es toda sucesión polinomial en donde:

an = an2 + bn + c

Entonces:

¿Como hallar an en forma práctica?

SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2014 – II

...

    3 3

an = a1 × qn–1

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 6

SUCESIONES

Ejemplo:

Propiedades

Calcule el vigésimo término de la P.G. P.G. siguiente:

Sea la P.G. a 1, a2, a3, a4, a5, . . .

5, 10, 20, 40, . . . .

1. Si tomamos 3 términos consecutivos consecutivos cualquiera

a2 = a1 × a3 a3 = a2 × a4 a4 = a3 × a5

Solución:

5, 10, 20, 40, . . . ×2

×2

×2

h

...

2. Si "n" es impar: acentral = a1 × an

Sabemos que: an = a1 × q

n–1

3.  El producto de términos extremos es siempre el mismo: a1 × an = a2 × an–1 = a3 × an–2 = ...

Entonces: a20 = 5 × 219

PROBLEMAS RESUEL RESUELTOS TOS

Problema 1

Problema 2

Los primeros términos de dos progresiones aritméticas que tienen igual número de términos son 26 y  –10 respectivamente y sus razones respectivas son 7 y 5. ¿Cuántos términos tiene cada una, si el último término de la primera progresión es el triple del último

Un obrero ahorra cada día S/. 5 más de lo que ahorra el día anterior, el último día se da cuenta que el número de días que estuvo ahorrando hasta ese día era la séptima parte de lo que ahorro ese día; sabiendo que lo que ahorró el quinto día y lo que ahorró el penúltimo día, totalizan S/. 290. ¿Cuánto ahorró

termino de la segunda progresión?

 A) 7 C) 9 E) 8

B) 12 D) 15

Problema 3

el primer día?

 A) 60 D) 52

B) 55 E) 78

NIVEL INTERMEDIO 

Resolución:  Sean las progresiones:

26, 33, 40, . . .

7n + 19 5n – 15

3, 5, 9, 15, .............. 144444424444443 

50 términos  A) 145 D) 133

#días 1° 2° 3° ... n° ahorro x+5 x+10 x+15 x+5n 1 n = (x + 5n) ⇒ x = 2n 7

Hallamos "an"

c=3 a+b=0

3, 5, 15, . . . +2 +4 +6

2a = 2

Reemplazando: x = 2n

7n + 19 = 3 (5n  – 15) 7n + 19 = 15n – 45 64 = 8n \ n = 8

C) 154

Resolución: 

(2n  + 25) + ( 2n + 5n – 5) = 290

Del dato:

B) 194 E) 117

NIVEL INTERMEDIO 

Del dato:

+5 +5

+2 +2

an = n2 – n + 3 3,5,9,15,...,93,113,...,995,1059,...

(2n + 25) + (2n + 5n – 5) = 290

1 2 3  3 1 1442443 14  14 42 44 3 1442443 

 3×1

8×2

21×3

18×4

9n + 20 = 290 # de cifras = 154

n = 30 Respuesta: 8 

TEMA 6

sucesión:

NIVEL INTERMEDIO 

Resolución: 

+7 +7

 –10, –5, 0, . . .

C) 65

Cuántas cifras se ha utilizado en la

RAZ. MATEMÁTICO

Respuesta: 65 

4     4

Respuesta: 154 

SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 14 – II

SUCESIONES

PROBLEMAS DE CLASE

 EJERCITACIÓN 1.

PROFUNDIZACIÓN

Halle “x – y” en la siguiente sucesión:

6.

En la sucesión:

4, 10, 16, 22, ..., 178 Calcule el número de términos  A) 31 B) 28 C) 30 D) 35 E) 32 3.

tienen en el décimo segundo día?

Halle el segundo término negativo de la siguiente sucesión:

 –12, –1, x, –10, –14, –14, –19, –15, y  A) 12 B) –2 C) 13 D) 14 E) 15 2.

¿Cuántas unidades producidas se

213; 207; 201; 195; ...  A) –11 B) –3 C) –9 D) –12 E) –8 7.

Hallar la cantidad de términos de

En una sucesión lineal creciente de 5 términos el producto del primer término y el quinto término es 325 y la suma de ellos es 38. Halla la suma del tercer y cuarto término.  A) 37 B) 38 C) 39 D) 41 E) 42

la sucesión:

3, 6, 12, 24, ..., 12288  A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 4.

8.

los números 3, 7 y 1 en forma ascendente, y a cada uno le sumo una misma cantidad obtengo una

Hallar el valor de "n" en la siguiente sucesión:

(a+3);

(a+7)3;

 A) 29 D) 25

(a+11)5;

(a+15)7;

progresión geométrica". Hallar la

suma de cifras del cuarto término de dicha progresión.  A) 9 B) 7 C) 5 D) 6 E) 4

...;

(a+118–n)n B) 19 C) 39 E) 45 9.

5.

¿Cuál es el octavo término de la sucesión?

2, 6, 12, 20, 30, ...  A) 56 B) 70 C) 72 D) 54 E) 74

Juan le dice a Robert: “Si ordeno

Un obrero que entra a laborar en un fábrica se le pide aumentar diariamente su productividad en 4 unidades. Si lo producido el último día es igual al cuádruplo del número de días que ha estado trabajando.

SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2014 – II

    5 5

 A) 44 D) 36

B) 48 E) 40

C) 32

SISTEMATIZACIÓN 10. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión termina en cifra 5?

13; 22; 31; 40; ...; 904  A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 11. En la sucesión:

2 5 10 17 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ... Calcula la suma de los términos de la fracción que ocupa el lugar veinte  A) 301 B) 310 C) 240 D) 217 E) 480 12. De un libro de 300 páginas se

han arrancado cierto número de páginas del principio observándose que en las páginas que quedan se utilizaron 641 cifras para su numeración. ¿Cuántas hojas se arrancaron?

 A) 40 D) 38

B) 42 E) 36

RAZ. MATEMÁTICO

C) 44

TEMA 6