Pamer geometria Completo

Geometría - Tema 1

TRIÁNGULO EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

En el gráfico AB=BC, calcule x B

5.

C A

α α

2.

x

6.

A) 60°

B) 75°

D) 90°

E) 74°

C) 76°

En un triángulo ABC cuyo perímetro es 20 cm, calcular el máximo valor entero de AC A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E) 5 Del gráfico los triángulos ABC y CDE son isósceles de bases AC y CE respectivamente. Calcule x B D

Según el gráfico AC=BC. Calcule x B

A

x 70°

A

θ

A) 50

B) 60°

D) 30°

E) 40°

C C) 70°

7.

y

x

8.

θ

B) 200°

D) 300°

E) 220°

C) 150°

θ

A

20°

M

A) 40°

B) 50°

D) 45°

E) 37°

UNI 2015-II

A) 10° D) 25° 9.

N x

C

C) 30°

10. En un triángulo ABC los ángulos A y B se diferencian en 40°, se traza la bisectriz CD (“D” en AB), del vértice “A” se traza la perpendicular AG a la bisectriz CD. Calcular m∠DAG. A) 10° B) 18° C) 15° D) 20° E) 25°

4° N

C) 115° A A) 1° D) 4°

M B) 2° E) 10°

x

C C) 5°

12. En un triángulo isósceles ABC se ubican los puntos “M” y “N” sobre AB y BC respectivamente de modo que AM = MN = BN si m∠C = 70°. Calcular m∠NAC. A) 35° B) 45° C) 40° D) 20° E) 50° 13. Determinar el número de valores enteros que puede tomar AC en el gráfico. B

α α

5x

x

2x

C) 135°

x

Según el gráfico MN // AB. Calcule x B

B) 60° E) 155°

E

Calcular x

θ

A) 240°

θ θ

Calcular el perímetro del triángulo ABC si AB = (2x–1)m, BC = (6–x)m y AC = (3x–1)m. Siendo “x” un número entero. A) 24 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21

10°

50°

4.

C B) 120° E) 135°

A) 125° D) 127°

Según el gráfico calcule x+y

θ

70°

α α

A) 75° D) 140°

11. Hallar x si: AB = BC y BM = BN B

x

θ

3.

UOII2G1T

B) 15° E) 30°

4 C) 20°

En un triángulo rectángulo ABC recto en B sobre AB, BC y AC se toman los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente de modo que m∠BCA = 5m∠PRA, QR = RC además PR = AP. Calcular m∠PRQ.

1

3 A A) 2 D) 5

13

I

9 C B) 3 E) 6

C) 4

14. Los ángulos A y B de un triángulo ABC miden 60° y 100° respectivamente en los lados BC y AC se ubican los puntos “M” y “N” respectivamente tal que AB = BM = AN. Calcular m∠MNC.

GEOMETRÍA | TEMA 1

TRIÁNGULO

A) 20° D) 45°

B) 30° E) 50°

C) 40°

A) 5° D) 12°

15. En un triángulo ABC sobre los lados AC y BC se ubican los puntos “D” y “E” de modo que AB = BD = DE = EC, además el ángulo exterior en B mide 108°. Calcular m∠A. A) 27° B) 54° C) 72° D) 36° E) 81°

E A

C) 10°

17. En un ∆ isósceles (AB = BC = 8m) en el lado AC se toma un punto “D” de modo que AD = 2(CD). Calcular BD si toma el menor valor entero posible. A) 1 m B) 5 m C) 7 m D) 2 m E) 3 m 18. En un triángulo rectángulo ABC se prolonga CA hasta “D” y en AC se ubica el punto “F” de modo que BD = BF si m∠ABD + m∠CBF = 22°. Calcular m∠C. A) 11° B) 22° C) 44° D) 34° E) 30°

16. Hallar α si AB = AE = CE. B 8α

α

B) 8° E) 15°

2α C

19. En un triángulo ABC se prolonga la bisectriz AE hasta “F” de modo que EC = CF si m∠B = 70°. Calcular m∠ACF. A) 70°

B) 20°

D) 50°

E) 40°

C) 35°

20. Hallar EF si AB = 8m y BC = 15m. B αα β

A

E

H

β

F

C

A) 5 m

B) 4 m

C) 3 m

D) 7 m

E) 6 m

Respuestas

UNI 2015-II

1.

D

5.

D

9.

D

13. A

17. E

2.

E

6.

A

10. D

14. E

18. D

3.

A

7.

B

11. B

15. E

19. A

4.

A

8.

E

12. D

16. C

20. E

2

GEOMETRÍA | TEMA 1

Geometría - Tema 2

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Calcular θ; AB // DE; AC=DE

5.

UOII2G3T

Si, AB = BD y BC = BE, calcular α

D

B

B 70°

2.

C

E B) 70

D) 80

E) 35

C) 50

iABC y iDEC son equilátero. Calcular θ

θ

D

6.

A) 20º

B) 30º

D) 45º

E) 37º

B

B) 45

D) 20

E) 30

C) 60

7.

En la figura: Calcular “α”

B) 4

D) 12

E) 13

4.

A) 10

B) 15

D) 20

E) 25

40°

C

Calcular; la m∠PBQ. Si AP = PQ = QC

8.

A) 30

B) 40

D) 50

E) 80

P

Q

A) 45º

B) 30º

D) 37º

E) 53º

UNI 2015-II

C

B

α x β β

α

C

C) 60º

C) 75

Calcular θ, si: AB = ED; AE = CD

B

A

10°

C) 18

A

70°

θ

E

A) 70

B) 55

D) 80

E) 45

1

D

C) 6

A) α D) α/2

x B) 2α E) α+θ

C) 3α

11. Se tiene un triángulo rectángulo ABC Recto en “B”, en el cual se traza la ceviana BE (AB = BE), Luego CD ⊥ BE y AH ⊥ BE. Calcular AB si: AH = 6 y ED=8 A) 3 B) 4 C) 7 D) 10 E) 14

80° 80° α

2α

C) 5

θ

E

A

E

Calcular θ

F

B

B) 10 E) 5

α+θ θ

C

A) 6

A) 8 D) 4

α

53°

A

α

A

10. Calcular “x” D

E

C

A) 35

C) 15º

Calcular DE, si AC = 5

53°

A

α

D

C

A) 40

2θ+α

C

A

B

3.

θ

3α θ

A

Calcular AD, si AC = 3 B

E

α

α

9.

70°

D

C) 60

12. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B; en AC se ubica el punto P tal que AB = PC, las mediatrices de AP y BC concurren en E. Calcular la m∠ECA, si: m∠ACB = 25 A) 25 B) 30 C) 32,5 D) 35 E) 40 13. En un triángulo ABC (AB = BC) se traza la bisectriz interior AD (“D”) y en la prolongación de AC se ubica punto “M”, tal que m∠ADM = 90°, AC = a y DC = b calcular CM A) 2a + b B) 2b – a C) b – 3a D) b – 2a E) 2a – b

GEOMETRÍA | TEMA 2

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

14. En un triángulo rectángulo ABC Recto en “B” se traza la bisectriz interior BD y por el punto medio “M” de CD se traza una paralela a AB que corta en “F” a la prolongación de BD. Hallar BC si FM = 1 m A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 5 m

Si AB=MC, NC=BM y m∠MBN=α, calcular la m∠BNA en función de α A) 2α B) α/2 C) 90–α/2 D) α E) 90–α

15. En un triángulo ABC se traza la bisectriz AM y la ceviana BN, tal que MN = 4 m y además m∠AMN = 22°, m∠AMB = 37° y m∠BAC = 16° calcular MB. A) 2m B) 2 2 m C) 3m D) 3 2 m E) 4m. 16. En un triángulo ABC se trazan las cevianas AN y BM tal que la mediatriz de AN contiene al punto M.

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

17. Se tiene un triángulo ABC donde: m∠A = 2m∠C. Por B se traza BF perpendicular a BC y BH perpendicular a AC (F y H en AC). Si AC=19 y FH=1. Calcular AB A) 5 B) 4 C) 7 D) 10 E) 3

19. En un triángulo ABC Recto en “B”. La altura BH y la bisectriz AS se intersectan en el punto “M”, si MH = 3 .Calcular la longitud del segmento perpendicular trazado del punto “S” a Recta Paralela a AC que pasa por B. A) 1cm B) 2cm C) 3cm D) 5cm E) 6cm

18. En el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en “B” (AB = BC) se traza la altura BH y la ceviana exterior AE (“E” en la Prolongación de CB), se traza AP perpendicular a la bisectriz del ∠AEB. Hallar PH si AE = 7 , AB = 6 y EB = 9 .

20. En un triángulo ABC la bisectriz exterior en B y la mediatriz de AC se intersecan en P se traza PE ⊥ BC. Si BE = 2 y EC = 8. Calcular AB. A) 10 B) 6 C) 5 D) 8,5 E) 4

Respuestas

UNI 2015-II

1.

A

5.

D

9.

C

13. B

17. C

2.

E

6.

B

10. A

14. B

18. D

3.

D

7.

D

11. D

15. B

19. C

4.

C

8.

B

12. C

16. C

20. B

2

GEOMETRÍA | TEMA 2

Geometría - Tema 3

CUADRILÁTERO EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

En el rectángulo ABCD (AB > BC) se toma un punto P de AB y se trazan las perpendiculares PM y PN a las diagonales (“N” en AC, “M” en BD) luego se traza BH perpendicular a AC. Si PM = a, PN = b. Hallar la mediana del trapecio HBPN. a–b a+b A) B) 2 2 a + 2b C) a + 3b D) 2 2 E)

2.

3.

2a + b 2

A) 1 : 2 C) 1 : 3 E) 1 : 1 6.

7.

Las diagonales de un trapecio ABCD cuyo perímetro es “k” metros, son perpendiculares y se cortan en el punto “O”. Hallar el perímetro del triángulo MON, si MN es mediana del trapecio. A) k/2 B) k/3 C) 3k/4 D) 3k/5 E) 2k/3 En un trapecio ABCD (BC // AD), se trazan las bisectrices interiores de los ángulos C y D que se cortan en el punto S, si la distancia de S al lado CD es “a”. Hallar la altura del trapecio. A) 2a B) a C) 3/2a D) 4/3a E) 5/4a

4.

Hallar el menor ángulo, que forman las diagonales de un trapecio isósceles, cuya base mayor es el doble de la base menor o igual a la suma de los lados no paralelos. A) 50º B) 45º C) 60º D) 30º E) 40º

5.

En un trapecio ABCD (BC // AD) en que relación están el ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos B y C; y el ángulo formado por las bisectrices exteriores de los mismos ángulos. Si: AD = 2(AB) = 2(BC) = 2(CD)

UNI 2015-II

UOII2G3T

8.

9.

B) 2 : 1 D) 3 : 1

En un trapecio ABCD los lados AB, BC y CD son de la misma longitud. Si el lado AD, paralelo de BC es el doble de este lado (BC). ¿Cuánto mide el ángulo interno en B?. A) 135º B) 120º C) 110º D) 108º E) 105º Si el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio mide 6 metros y el segmento paralelo a las bases que pasa por el punto de intercepción de las diagonales mide 9 metros ¿Cuánto mide la base mayor?. A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 En un trapecio ABCD, AB // CD (AB < CD). Si P y Q son puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente. Hallar el segmento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma de las bases es de 24 metros. A) 12 B) 6 C) 8 D) 3 E) 10 De – – –

lo contrario se puede afirmar. Un paralelogramo es un romboide. El losange es un paralelogramo. El cuadrilongo es un losange con un ángulo recto. A) FVF B) VFV C) VVF D) VVV E) FVV

10. Dado un triángulo escaleno ABC, sobre los lados AB y BC se construyen los cuadrados de centro O1 y O2 . Diga Ud. que tipo de triángulo es O1EO2 , siendo “E” punto medio de AC.

1

A) B) C) D) E)

Equilátero. Isósceles. Triángulo rectángulo. Triángulo rectángulo isósceles. Escaleno.

11. En un triángulo ABC, se tiene que: AC – AB = 6 m, luego del vértice “B” se traza BF perpendicular a la bisectriz interior de “A”, de “F” se traza una paralela de AC se intercepta a BC en “N”. Calcular la mediana del trapecio QFNC, siendo “Q” el punto de intercepción de la prolongación de BF con AC. A) 1.5 m B) 2.5 m C) 3.5 m D) 4.5 m E) 5.5 m 12. Se tiene un cuadrilátero ABCD. Hallar la medida del ángulo DBC. Si AB = BC ,m∠BCD = 90º, m∠CAD = 30º, m∠CDA = 75º. A) 20º B) 30º C) 45º D) 50º E) 60º 13. En un paralelogramo ABCD, la mediana AP del triángulo ABC corta a BD en R. Si BR = 2. Hallar BD. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 14. El ángulo A de un paralelogramo ABCD mide 30º se trazan las bisectrices interiores de los ángulos B y C que se cortan en el punto “O”. Si el triángulo BOC, la mediana OM mide 2 m. ¿Cuál es la medida AD? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5 15. En un paralelogramo ABCD la diagonal BD mide 6m. Hallar el segmento RO si AP es mediana del triángulo ABC que corta a BD en R, siendo “O” punto de intercepción de las diagonales. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1.5

GEOMETRÍA | TEMA 3

CUADRILÁTERO

16. En un cuadrilátero ABCD se sabe que: BC = CD, m∠(ADB) = 30º m∠(ABC) = 90º; m∠(CBD) = 15º Hallar la m∠ACB. A) 5º B) 20º C)30º D) 22.5º E) 45º 17. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la mediatriz del segmento BA intercepta en un punto “E” al lado BC y en el punto “D” a la bisectriz exterior del ángulo B, si m∠BDE = 25º. Hallar la medida del ángulo CED.

A) 100º D) 130º

B) 110º E) 140º

C) 120º

18. En un cuadrilátero ABCD: AB = BC = CD, m∠ACB = 36º, m∠ACD = 96º. Hallar m∠ADC. A) 27º B) 57º C) 49º D) 54º E) 60º 19. En un trapecio escaleno ABCD ( BC // AD ) se traza DH perpendicular a AB; SI: m∠ADH = m∠CDH = m∠BHC. Calcular AH si BC = 6 y HC = 8.

A) 14 D) 9

B) 12 E) 7

C) 10

20. Las mediatrices de los lados AD y CD se interceptan en un punto “M” que pertenece al lado BC de un romboide ABCD. Calcular el menor ángulo de dicho cuadrilátero si AM es bisectriz del ángulo BAD. A) 36º B) 54º C) 60º D) 72º E) 45°

RESPUESTAS

UNI 2015-II

1.

D

5.

A

9.

B

13. C

17. E

2.

D

6.

B

10. D

14. B

18. C

3.

A

7.

D

11. D

15. A

19. C

4.

C

8.

B

12. C

16. E

20. D

2

GEOMETRÍA | TEMA 3

Geometría - Tema 4

CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS PROPUESTOS

C

5.

x

A P

Q

A) 90º C) 120º E) 150º

3.

E

θ θ E

Un triángulo ABC esta inscrito en una circunferencia de diámetro MN, que es perpendicular a BC y corta a AC es D. Si DC = AB  = 80º, calcule m∠ABC. y mAN (M∈BC). A) 140º B) 150º C) 165º D) 170º E) 105º

x

A

C B) 32º D) 44º

Dado un triángulo ABC inscrito en una circunferencia en AC se ubica el punto D y en el arco AC, el punto E. Si, m∠ABD = m∠CBE, AD = CE y BD // CE, calcule m∠BDC. A) 40º B) 50º C) 60º D) 70º E) 80º

10. En la figura calcule la razón entre AB y BC. (C, D: puntos de tangencia)

C

B) 36º D) 54º

Calcular “x”.  + mQB  = 130º Si mPB

x

C

A) 100º C) 130º E) 150º 8.

B) 120º D)140º

En la figura mostrada BE // AC y FD = FE. Calcule x.

1

A

B

A)

2 –1

B)

2 2

C)

2 +1 2

D)

2 +1 4

E)

Q

B

A

D

UNI 2015-II

D

D

P x

 = 140°. En la figura calcule x, si mDE (A, B, C: puntos de tangencia)

B

B

3x

A) 30º C) 45º E) 60º

C

E

x

N

B) 45º D) 60º

A

B) 24º D) 32º

M

7.

C

B

 = mMB  En la figura calcule x, si mAM (N: punto de tangencia)

D

A A) 40º C) 50º E) 65º

F E

A

9.

2x

A) 18º C) 30º E) 36º

En la figura, indique el valor de x (B, D: puntos de tangencia) B

x θ

C

A

6.

B

A) 28º C) 40º E) 48º

D

B) 105º D) 135º

θ

4.

B) 25° D) 40°

En la figura mostrada calcule x (A, B, C: puntos de tangencia)

D

B

2.

A) 20° C) 35° E) 50°

°

De acuerdo al gráfico PQ es diámetro de la semicircunferencia. Si PQ = 2AB = 2DE, calcule x.

24

1

UOII2G4

C

1 2

11. Dado un cuadrado ABCD, se traza una circunferencia de centro O, que es tangente a CD y a la prolongación de AD. Si la tangente trazada desde C a la circunferencia mencionada mide 6cm, entonces la distancia entre los puntos medios de AO y CD es: A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 2 2 cm E) 3 2 cm

GEOMETRÍA | TEMA 4

CIRCUNFERENCIA

15. En un paralelogramo ABCD se traza la altura BH (H en ). Si el inradio del triángulo ABH es igual a r y el cuadriatero HBCD es circunscriptible a una circunferencia de radio R, calcule HD. A) R – 2r B) 2R – 3r C) R + r D) 2R – r E) 2(R – r)

12. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la perpendicular PH al diámetro AB y luego se traza la tangente PQ. Calcule m∠PHQ, si AB = 6u y PQ = 4u. A) 23° B) 37° C) 53° D) 67° E) 74° 13. En una semicircunferencia de diámetro AD se ubican los puntos B y C, tal que la bisectriz del ángulo ABC es perpendicular a AD en H. Calcule CD, si AH = 9u y HD = 4u. A) 2 u B) 3 u C) 4 u D) 5 u E) 6 u

16. Desde un punto A, exterior a una circunferencia se trazan las tangentes AB y AC. La cuerda BD, es paralela a AC. Se traza BP ⊥ AC, tal que BP = BD. La razón entre CP y AP es: A) 1/2 C) 2/3 E) 3/5

14. En la figura mostrada AB = 13 cm, BC = 15 cm y AC = 14 cm. Calcule PQ (P, Q: puntos de tangencia) B

B) 1/3 D) 2/5

θ A

θ C

D

E A) 100°

B) 120°

C) 130°

D) 140°

E) 160°

circunferencia se trazan las tangentes BA y BC y la secante BPQ.  = mCQ  = x. Calcule x Si: mAP

 = 50º. 17. Si: PQ = 2QH y mQB  Calcule: mAP Q

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 75°

E) 36°

Q 20. En un cuadrilátero ABCD: A

A A) 2 cm C) 4 cm E) 6 cm

B

19. Desde un punto B exterior a una

P P

18. En la figura mostrada AD = CE y el  arco AB mide 100°. Calcule m AE

H

m∠BAC = m∠CAD, m∠ADC = 90°

B

y m∠BCA = 40°. Se traza la per-

C

pendicular BH a AC. Calcule m∠HDC.

B) 3 cm D) 5 cm

A) 25º C) 40º E) 50º

B) 30º D) 35º

A) 20°

B) 40°

C) 50°

D) 70°

E) 80°

RESPUESTAS

UNI 2015-II

1.

C

5.

E

9.

C

13. D

17. B

2.

E

6.

B

10. A

14. D

18. E

3.

D

7.

C

11. E

15. D

19. C

4.

C

8.

D

12. B

16. B

20. C

2

GEOMETRÍA | TEMA 4

Geometría - Tema 5

PUNTOS NOTABLES PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

2.

B

En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AD y CQ, que se interceptan en P, calcula la medida del ángulo QPD, si la medida del ángulo ABC = 60°. A) 90° B) 100° C) 120° D) 150° E) 160°

E

6.

A) 10° D) 15° 3.

B) 18° E) 14°

Calcula “x”

C

x

M

A

°

D B) 30° E) 50°

7. C C) 20°

A

° 20

x°

A) 70 D) 100

30° 8.

O

5.

B) 45° E) 90°

G

A A) 4 D) 1,5

B) 5 E) 2

C) 80°

12. Del gráfico: M, Q y N son puntos de tangencia. ¿Qué punto notable es O del triangulo PQF?

M P

O

7x° A

C

1

F L

l

C C) 3

11. En un triángulo ABC de excentros E1, E2 y E3 relativos a los lados AB, BC y AC respectivamente, si E1E3 = E1E2, mACB = 74º y AB = 6μ; calcular BC. A) 2μ B) 3μ C) 4μ D) 5μ E) 6μ

Q

x°

4

10. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica su circuncentro “O”, tal que la m∠OCA = 10°, m∠OCB = 20° y OC = 12, Halla la distancia del punto “O” hacia AB. A) 6 B) 8 C) 9 D) 6 3 E) 4 3

B

En la figura calcula “x” si “I” es incentro del triángulo ABC.

UNI 2015-II

C) 90

En la figura calcula “x” si “I” es incentro del triángulo ABC.

C

A

C) 7

C B) 40 E) 120

x° A) 30° D) 75°

N

Del gráfico calcula “x” si “E” es excentro del triángulo ABC. B E 20° 30°

En el triángulo ABC, O es el circuncentro. Halla “x”. B

B) 8 E) 11

x 3

C

A) 9 D) 10 30

C) 15

Del gráfico calcula “x” si “G” es baricentro de la región triángular ABC. B

C) 30°

G

40°

4.

B) 20° E) 50°

B

E

A A) 40° D) 10°

50°

Calcula el máximo valor entero que puede tomar “x”, si “G” es baricentro de la región triángular ABC; AG = 8 y GC = 10 B

C) 13°

x

40°

9.

B) 20 E) 26

C

A) 10° D) 40°

2θ θ

D

A

Q

A

I

70°

B θ

A) 10 D) 20

x°

Del grafico, calcula “θ”.

2θ

UOII2G5

N

A) Ortocentro

B) Baricentro

C) Ex–centro

D) Circuncentro

E) Incentro

GEOMETRÍA | TEMA 5

PUNTOS NOTABLES

16. En el lado AC de un triángulo acutángulo ABC se ubica el punto P y se traza la semicircunferencia de diámetro PC para la cual se traza la tangente AO, O es punto de tangencia y circuncentro del triángulo ABC. Calcular la mABC. A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 90º

13. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en C; se traza la semicircunferencia de diámetro MC (M: punto medio de AC) y la tangente AG a dicha semicircunferencia (G: punto de tangencia y baricentro de la región triangular ABC). Si BC = 8μ, calcular BM. A) 2 3 µ B) 3 2 µ C) 4 6 µ D) 6 6 µ E) 2 6 µ

17. En un triángulo ABC, mABC = 60º, calcular el menor ángulo que determina la recta de Euler con BC. A) 20º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º

14. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior CM en el triángulo MBC se ubica el incentro (I) y excentro (E) relativo a MC. Si mBIC – mIAC = 90º y mBCA = 50º. Calcular mMEC. A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º

19. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12cm. Calcular EJ. C

B

J F E D B) 4 cm E) 2 cm

A A) 7 cm D) 8 cm

C) 5 cm

20. Calcular la mNB si mTMB = 45º, O es centro y T punto de tangencia. M

18. Se tiene un rombo ABCD, en la región exterior relativa a BC se traza el cuadrado BCEF de centro O, si M y N son puntos medios de BD y DE respectivamente, que punto notable es C para la región triangular MON. A) Baricentro B) Ortocentro C) Incentro D) Ex–centro E) Circuncentro

15. Dado un triángulo isósceles ABC (AC = AB) se ubica el punto interior P tal que mPAB = 3mPAC y mPBA = 2mPCA. Calcular la mCBP. A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º

N P

A

T

O A) 60º D) 40º

B) 90º E) 50º

B C) 30º

RESPUESTAS

UNI 2015-II

1.

C

5.

B

9.

B

13. C

17. E

2.

B

6.

B

10. D

14. E

18. E

3.

C

7.

B

11. D

15. B

19. C

4.

C

8.

C

12. C

16. C

20. B

2

GEOMETRÍA | TEMA 5

Geometría - Tema 6

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

En un triángulo ABC la altura BH mide 15. Calcular la distancia del baricentro del triángulo ABC al lado AC. A) 4 B) 5 C) 7,5 D) 8 E) 10 Las bases de un trapecio miden 6 y 12. Si la altura mide 9. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base mayor A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7,2 En un triángulo PQR se trazan las alturas si PA y QB si QA = 8; AR = 4 y BR = 6. Calcular PB A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 3 E) 2 Las bases de un trapecio rectángulo ABCD son: BC = 9; AD = 25. Calcular AB si las diagonales son perpendiculares. A) 12,5 B) 15 C) 16,5 D) 18 E) 20 La bisectriz interior del ángulo B de un triángulo ABC intersecta a la circunferencia circunscrita en E y al lado AC en D. Calcular AE. Si DE = 4; BE = 9. A) 4,5 B) 5 C) 6 D) 7,5 E) 8 En un triángulo ABC: AB = 8; AC = 10. Si la distancia del incentro al vértice A mide 5. Calcular la medida de la distancia del incentro al excentro relativo al lado BC A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

UNI 2015-II

7.

8.

9.

UOII2G6

En un romboide ABCD en la prolongación de DC se ubica el punto N y se traza AN que intersecta a BC en M y a BD en P. Si PM=2; MN=16; calcular AP A) 5,5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12

potenusa. Calcular la medida del lado del cuadrado A) 4 B) 4,8 C) 4,5 D) 6 E) 4,2 14. Según el gráfico HP = 2, PG = 5, AD = 7, calcular BC. B

En un cuadrilátero ABCD, el ángulo exterior de D mide la mitad del ángulo interior de B y la diagonal BD biseca al ABC. Calcular BD; si AB = 16 y BC = 9 A) 11 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 Dado el romboide ABCD : AB = 9 y AD = 12 sobre AC se ubica el punto P cuya distancia a AB es 6. AD. Calcular la distancia de P a AD A) 4,5 B) 5 C) 3 D) 8 E) 7,5

10. En un triángulo ABC; m mA A = 2m 2mC. AB = 4; AC = 5. Calcular BC A) 6 B) 7 C) 5,5 D) 6,5 E) 8 11. En un triángulo ABC; AC = 27 por el baricentro G se traza EF paralelo a AC(E en AB y F en BC). Calcular EF. A) 13,5 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 12. En un triángulo ABC; AB = 3; BC = 6 se traza la bisectriz interior BD; (D en AC) si: mABC=120. Calcular BD. A) 2,2 B) 2,4 C) 2,7 D) 2 E) 1,8 13. En un triángulo ABC; (recto en B); AB = 12; BC = 8. Se inscribe un cuadrado con uno de sus vértices en B y el vértice opuesto en la hi-

1

C H P

D

A A) 8 D) 6

G

B) 9 E) 5

C) 7

15. En un rectángulo ABCD, se prolongan BC hasta P; y BA hasta Q; PC = AB; AQ = BC; AP y CQ cortan a CD y AD en M y N respectivamente. calcular mMND A) 60

B) 53

D) 75

E) 45

C) 37

16. En un triángulo ABC; se traza la altura BH y las cevianas AN y CM que concurren en un punto de la altura, Calcular mBMN si: mBAC = 60; mBHN = 14; mMNH = 104. A) 45

B) 60

D) 84

E) 88

C) 75

17. Se tiene un rectángulo ABCD y AD=CD, se construye una semicircunferencia exteriormente de diámetro BC, desde un punto del arco se une con A y D cortando a BC en M y N; BM = 4, NC = 9. Calcular MN A) 6 B) 3 C) 3 2 D) 6 2

E) 6 3

GEOMETRÍA | TEMA 6

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

18. En un triángulo escaleno ABC, se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABP, BCQ y ACM de baricentros D , E y F respectivamente. Calcular mFDE A) 90 B) 45 C) 30 D) 60 E) 76

a la prolongación de AB y AD en P y S y a BC y CD en Q y R, QR=a; RS= b. Calcular PQ

tivamente tal MN que corta en P a la simediana BD; MP = 3; mBMN = mACB. Cuánto mide PN (simediana: isogonal de una mediana). A) 3 B) 3 C) 4 D) 4 E) 3

A) (a + b)

20. Se tiene un cuadrado ABCD circunscrito a una circunferencia, se traza la recta tangente que corta

19. En un triángulo ABC, se ubica los puntos M y N en AB y BC respec-

C)

a(a + b) (b – a)

E)

b(a + b) (b – a)

B) (b – a) D)

ab

RESPUESTAS

UNI 2015-II

1.

B

5.

C

9.

A

13. B

17. D

2.

D

6.

D

10. A

14. C

18. D

3.

E

7.

B

11. C

15. E

19. E

4.

B

8.

B

12. D

16. E

20.

2

C

GEOMETRÍA | TEMA 6

GEOMETRÍA TEMA 7

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G7T

1. Se tiene un rectángulo ABCD, en BC se ubi-

5. Calcular OM, si PB = 5 y TM = MP = 1.

ca el punto P y en AD el punto Q tal que PQ

P

contiene al centro del rectángulo, si AQ = 3 y QD = 2; calcular (PD)2 – (PQ)2. A) 10

B) 9

D) 6

E) 4

M

C) 8

T

2. En un triángulo acutángulo ABC se traza la

A

altura BH y en las regiones exteriores relativas a AB y BC se ubican los puntos M y N

O

tal que: MB = BN y mmAB  mNCB  90

A) 2 10

B) 2 5

y (NC)2 – (AM)2 = 20 calcular: (AH)2 – (HC)2

D) 3

E)

A) 15

B) 10

D) 20

E) 30

C) 25

tices C y D se cortan en M, tal que BC = 4, CD = 10 y AM = 12, calcular BM. A)

B

B)

15

D) 2 13

A B) 24

D) 12,5

E) 25

46 / 2

bisectrices exteriores de los ángulos de vér-

diámetro MC.

A) 38

C

13

do AP = 9 y AR = 5.

C) 32

B P R

dicular a CP ( Q  CP ), calcular QC, si: (AP)(PB) = 5 y PQ = 2. B) 2,5 E) 3

TEMA 7

17

7. Según el gráfico: calcular (BO)  (HO) , sien-

traza la ceviana interior CP y a partir del punto medio M de AC se traza MQ perpen-

D) 4,5

C)

E) 2 17

4. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se

A) 1,5

C) 4

6. Se tiene un paralelogramo ABCD; las

3. Si AB = 13, BC = 15 y AC = 14; calcular el

M

B

A

C) 4

1

H

A) 28

B) 24

D) 50

E) 80

O C) 27

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A



8. Calcular (OA)2 – (OB)2 – (BA)2. Si BH = 3 y T



11. Si AO = 2 y mOM  mCM.

es punto de tangencia.

Calcular AM.

A) 6

C

B) 9

M O

C) 18

A

D) 5 3

T

E) 27

A) 2 5  2 3

H

9. En la figura, AM = MB; AB = 4 y BD = 5. Calcule CM.

A)

33 / 3

B)

66 / 2

C)

55 / 2

O

B

A

B

C)

62 2

E)

92 2

B)

3

D)

7 3

D

12. Se tiene un triángulo ABC, AB = 6, BC = 5 y C

AC = 7; la circunferencia ex-inscrita relativa

D) 5 6 / 2

a BC es tangente a este lado en R y a las 

E) 3 6 / 2

A

M

prolongaciones de AB y AC en T y Q res-

B

pectivamente, calcular TR.

10. Si ABPM y CNQB son cuadrados, BC = a, AC = b y AB = c; calcular PQ.

A)

108 5

B)

21

C)

29 3

D)

115 3

P Q B

M

N

E) 4 A

A)

C

2c 2  2a2  2b2

13. Si DM = DB; BC = CN = 6; AB = 8 y AC = 7, calcular BP.

B) c + a – b

A) 7

C)

a2  b2  c2

B) 2 5

D)

2c2  2a2  b2

C) 3 2

E)

TEMA 7

B M

D

D) 6

a2  c 2  b2

E) 5 3

2

C P

N

A

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

14. ABCD es un trapecio isósceles de bases BC

A) 80

B) 86

y AD, en CD se ubica el punto medio M y se

D) 93

E) 120

C) 90

traza la altura BH; si HD2 + MD2 = 6. Calcule:

BM2 + MA2 A) 6

B) 3

D) 18

E) 24

19. En un triángulo rectángulo la hipo-tenusa y C) 12

la altura relativa a ella miden 25 u y 12 u respectivamente. Calcule la suma de las distancias del pie de la altura mencionada a los

15. En la figura, OA = O1B = 1 y PH = 12, calcule

catetos.

R.

A) 15,6

B) 15,8

A) 14

D) 16,4

E) 16,8

C) 16,2

P

B) 15

R

C) 13 D) 16 OA

E) 17

H O1

20. Un cuadrilátero ABCD esta inscrito en una circunferencia de centro O, AC  BD ; si la

B

16. Halle la distancia del ortocentro

a AB miden 10 u y CD  24 u . Calcule el radio de la circunfe-

distancia de O al

rencia (en u).

circuncentro de un triángulo acu-tángulo,

A) 12

B) 10

sabiendo que el circunradio mide 17 u y que

D) 15

E) 26

C) 14

el producto de los segmentos determinados por el ortocentro sobre una altura es igual a 120 u2. A) 6

B) 7

D) 9

E) 10

C) 8

17. En un triángulo ABC, recto en B se traza la

1. C 2. D 3. E 4. E 5. E 6. D 7. A 8. C 9. B 10. D

dios, M de BC y N de BH tal que AM = 2AN.

Halle la mC . A) 15

B) 20

D) 30

E) 35

C) 25

18. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se ubica H punto medio de AC . Luego se traza

HT  BC . Si M es punto medio de HT entonces la medida del ángulo que forman AT y BM es:

TEMA 7

3

11. A 12. A 13. D 14. D 15. C 16. B 17. D 18. C 19. E 20. E

CLAVES

altura BH, luego se ubican los puntos me-

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 8

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G8T

1. Los radios de dos circunferencias miden 7 y 5 y la distancia entre sus centros es 14. Si un punto exterior dista de las dos circunferencias ocho, calcular la distancia de dicho punto a la línea que une los centros. A ) 10

B)

D)

E) 13,2

132

106

4. En la figura BM es mediana BC2 – AB 2 = 36 m2. Hallar BM.

C) 12

2. En el cuadrante AOB EF = 6 m y FB = 4 m. Calcular OF.

A) 3 2 m

B) 2 2 m

C) 6 m

D) 4 2 m

E) 3 3 m

A) 7 m

B) 8 m

C) 9 m

D) 10 m

5. En una circunferencia se traza las cuerdas AB y CD , las cuales se intersecan en P. Si los arcos AC y CB son congruentes, AP = 2, PC = 5 y mCPB  53 , calcular "PD". A ) 2,8 B) 4,2 C) 3,6 D) 3,2 E) 2,6

E) 12 m

6. En la figura adjunta: A, P y T son puntos de tangencia y AB = 10. Calcular "PT".

3. En un un trapecio isósceles circu nscriptible AB CD, (BC / /AD) se

P

2

verifica la siguiente expresión: (AD)

T

+ (BC)2 + 6 AD. BC = 36 u2. Entonces, la longitud (en u) de la diagonal AC es: A) 1 D) 6

TEMA 8

B) 2 E) 9

37°

A

C) 3

1

A) 2 6

B) 4

D) 3 m

E) 2 5

B

C) 2,5

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

7.

En la figura mostrada: O es centro, OPQR es un cuadrado, AP. PB = 144. Calcular el perímetro del cuadrado.

10. Se tiene un triángulo equilátero ABC; AB = 4; en la prolongación de CA se ubica el punto P; calcular la distancia de P al punto de AB , si PC = 8. A) 2 7 B) 5 C) 2 6 D) 2 5 E) 4

B

A

A ) 44 D) 40

P

Q

O

R

B) 48 E) 56

11. Si los arcos AP y PC tienen igual medida; AC = 8 y AB = 17, calcule PC.

C

C) 52

C P

8. Se tiene un rectángulo ABCD de centro O; en la prolongación de DA se ubica el punto P, con diámetro PD se traza una semicircunferencia que contiene al punto O; si AD = 5 y CD = 12; calcular la longitud del segmento BT siendo T punto de tangencia. A) 6 B) 9 C) 13 2 /2

A) 4 D) 15

B) 6 E) 17

C) 5

12. Desde un punto A, exterior a una circunferencia, se trazan las secantes ABC y ADE, tal que mACE  90, la medida del arco BD es el doble de la mBAD y AE = 8. Calcule la longitud del segmento tangente trazado de "A". A) 4 B) 6 C) 4 2 D) 8 E) 6 2

D) 5 3 /3

E) 2 2 9. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD si: AB = 2, BC / /AD y BD = AD; A y C son puntos de tangencia. B

B

A

13. En la figura ABCD es un cuadrado "A"

C

y "D" son centros. Si AE = 3 y EF = 2, calcule "FD". B

A

C

D E

A) 2

B) 1

C) 3 2

D) 2 2

E)

TEMA 8

F

6

A

2

D

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A) 1

B)

C)

3 /2

E)

2 2

2

D) 1,5

B) 2 3

C) 2 6

D) 3 2

C) 13

D) 17

59

C)

69

D)

57

E)

55

A ) 2,5

B) 4

C) 2 3

D) 3 2 /2

E)

6

18. En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y la mediana BD , tal que BD=DM. Si (AB)(BC)=16, calcular AC.

15. Dado un triángulo ABC, si AB = 10; AC = 9 y BC = 17, calcule la medida de la proyección de BC sobre AC . B) 15

B)

Si AB=AC=6 y EC=1, calcular "CD".

E) 4

A ) 14

79

17. En el cuadrilátero ABCD: mABC  2 (mBDC), mADC  90 y las diago-nales se intersecan en "E".

14. En el cuadrado ABCD con centros en "D" y radio el lado del cuadrado, se traza el arco AC que interseca a la circunferencia inscrita en los puntos "P" y "Q". Si el lado del cuadrado mide 2 6 , calcular "BP". A) 2 2

A)

A) 4 2

B) 6

C) 8 2

D) 8

E) 16

E) 18

19. En la figura mostrada, calcular AP, si: AB=5 cm, BC=6 cm y AC=7 cm (en cm).

16. En la figura si: AB = 5; ED = 1; FE = 2; L1 / /L2 ; E, C y A son puntos de tangencia. Calcule BF. A

B

B

L1

P A

C

A)

30

B)

32

C)

33

D)

34

E)

37

C

F

TEMA 8

E

D

L2

3

UNI 2015-II

20. En la figura mostrada las circunferencias se encuentran inscritas; AB = 13; BC = 15 y AC = 14, P y Q son puntos de tangencia. Calcule PQ. B Q P

A

A) 6 D) 5

TEMA 8

H

B) 4 2 E) 2,5

1. C 2. D

11. E

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

13. 14. 15. 16. 17. 18.

C A D E B C C

10. A

C

12. C A B B C D D

CLAVES

G EO MET RÍ A

19. C 20. D

C) 5 2

4

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 9

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G9T

1. En la figura AB = 4, BC = 3 2 , mABC  45.

5. La apotema de un hexágono regular inscrito

Calcule el radio de la circunferencia.

en una circunferencia mide 3 m. Calcular la apotema del cuadrado inscrito en la misma

B

circunferencia.

A

C

B)

C) 3

D) 2 2

E)

B) 2 6

C) 4

D)

E)

2

A) 2

A) 3 6

3

6. PQRS es un cuadrilátero en el cuál los ángulos Q y S son ángulos rectos. Si mP  45.

5

Calcular: PR/QS. A) 2

2. Calcular el circunradio de un triángulo ABC sabiendo que AB = 4 m; BC = 3 3 m y la

C)

mB  30 . A) 3

E) 1 B)

D)

E) 3 2

7

6

5

2

B)

2 /2

D)

3

C) 2 2 7. Calcular el circunradio de un triángulo ABC si: AB = 4, BC = 6 2 y mABC  45.

3. En un triángulo ABC, se traza la altura

A) 2 7

BH = 6 cm si: mHBC  2(mABH) y AH = 3 cm Halle: BC. A) 8 cm

B) 9 cm

D) 11 cm

E) 12 cm

C)

5

E)

7

B) 3 5 D) 2 5

C) 10 cm 8. ABCDEFG es un heptágono regular. Se sabe que: (1/AE) + (1/DF) = 1/2. Calcule AB.

4. En un triángulo ABC: AB = R y BC = R 3 .

A) 1

B) 2

Calcular la medida del ángulo ABC, siendo R

D) 4

E) 3

C) 5

el circunradio. A) 45º

B) 53º

9. Sea P un punto del arco AB de la circunfe-

C) 60º

D) 90º

rencia circunscrita a un triángulo equilátero

E) 120º

TEMA 9

ABC. Si PA = 6 y PB = 9, calcule PC.

1

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A) 5

B) 10

14. En la figura: se tiene una circunferencia de

C) 25

D) 18

radio R. Calcular el menor ángulo que forman al cortarse BD y AC, si: CD = R 2 y

E) 15

AB = R 3 . 10. ABCD es un cuadrado inscrito en una circunferencia, sea P un punto del arco AB, si PA = 2 y PB = 2 . Halle: PC. A) 2 2

B) 3 2

C) 4

D) 6

E) 8

11. Las bases de un trapecio isósceles circunsdiagonal.

5

C) 2 7 E)

B) 90°

C) 65°

D) 75°

E) 45°

criptible miden 2 y 6. Calcule la longitud de su

A)

A) 80°

15. Se tiene un hexágono regular el cual está B) 3 2

inscrito en una circunferencia de radio 2.

D)

Calcular la longitud del lado del triángulo que

11

se forma al unir los puntos medios de tres

13

lados no consecutivos del hexágono.

12. Un segmento de longitud ( 5  3) cm es dividido en media y extrema razón, calcule la

A) 3

B) 4

C) 6

D) 2 3

E)

3

longitud de la parte menor. A) 1 cm

B) 2 cm

16. En una circunferencia está inscrito el trián-

C) 3 cm

D) 4 cm

gulo ABC tal que AB = L6 y BC = L5. Calcular la medida del ángulo ABC.

E) 0,5 cm

13. En un triángulo isósceles ABC; AB = BC y

3

C) 1 E)

TEMA 9

B) 114º

C) 105º

D) 120º

E) 90º

AC = 2 3 m. Si mA  75. Calcule el circunradio del triángulo. A)

A) 100º

17. En una circunferencia cuyo radio mide 2 3 m,

B) 2 3

se inscribe un triángulo equilátero ABC. Cal-

D) 2

cular la distancia entre el punto medio de la

3 /3

cuerda AC y el punto medio del arco BC.

2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

13 m

A)

C) 6 3 m E)

19. En una circunferencia, se traza una cuerda

B) 6 5 m D)

AB de longitud 2a 3 y la flecha respectiva

21 m

mide "a". Halle la longitud del radio de la cir-

3 7m

cunferencia. 18. En un sector circular AOB, con ángulo central de 60°, se inscribe una circunferencia. Si

A) a

B) 2a

D) 4a

E) 2a 3

C) 3a

AB = 18, entonces la longitud del radio de la circunferencia inscrita es: B) 8

D) 12

E) 15

20. Calcule el perímetro de un pentágono reguC) 6

lar sabiendo que su diagonal mide 5 1.

1. E 2. D 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

TEMA 9

C D D C D B E C

A) 5

B) 7,5

D) 15

E) 20

C) 10

11. C 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

3

B B D A B D C B C

CLAVES

A) 4

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 10

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G10T

1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior AD. La recta mediatriz de AC interseca en P a AD. Halle el área de la región triangular APC, si AC = 30 y DC = 12. A ) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100

5. El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a 56 cm, si su hipotenusa mide 25 cm, calcular el área de su región. A ) 56 cm2 B) 112 cm2 2 C) 84 cm D) 114 cm2 2 E) 81 cm

2. Se considera el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, donde M es punto medio de AC. Si H es la proyección de M sobre BC, BH = 2, HC = 7 y AB = 13. Calcule el área de la región ABC. A ) 40 B) 45 C) 50 D) 54 E) 60

6. En la figura: O es cento, PB = 3 y FB = 4. Halle el área de la región triangular ABC.

A) 9 C) 12 E) 18

3. AOB es un cuadrante de centro O, P y Q son puntos del radio OA y del arco AB, respectivamente. Si el ángulo PBQ mide 45° y (OA)(AP)=18m2. Calcule el área de la región triangular PQB. A ) 18 m2 B) 8 m2 C) 9 m2 D) 10 m2 2 E) 12 m

7.

4. Se tiene un triángulo ABC en el cual se ha trazado la ceviana AP. Calcule el área de la región PAB es 72 m2 (M es punto medio de AC). A ) 18 m2 B) 24 m2 C) 30 m2 D) 40 m2 2 E) 36 m

TEMA 10

B) 6 D) 15

En un triángulo ABC, el ángulo B mide 60° y la circunferencia inscrita es tangente en F a AC tal que AF = 4 y FC = 9. Calcule el área de la región triangular ABC. A ) 36

B) 24

C) 32 3

D) 36 3

E) 24 3 8. En un triángulo sus alturas miden 12 u, 15 u y 20 u, entonces el área (en u2) de la región triangular es:

1

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A ) 120 D) 150

B) 130 E) 160

C) 140

miden 7, 3 y 2 m, calcular el área de la región triangular formada al unir sus centros.

9. Sea ABCD un cuadrado de lado L, sobre los lados AB y AD se construyen triángulos equiláteros EAD y FAB respectivamente. Calcule el área de la región triangular FEA. A ) L2/10 2

D) L /4

B) L2/8

C) L2/6

A ) 5 21 m2 B)

2

E) L /2

C)

13. En el interior a un cuadrado ABCD se construye una semicircunferencia de diámetro AB, siendo Q un punto del lado BC tal que DQ es tangente a la semicircunferencia en T. Calcule el área de la región triangular TQC si AB = 4 m. A ) 1,8 m2 B) 2,4 m2 2 C) 1,6 m D) 1,4 m2 2 E) 1,2 m

alturas PD (del CPB ), PE (del APB ) y PF (del APC ) miden 1, 2 y 3 respectivamente. Calcule el área de la región limitada por el triángulo equilátero. B) 27

D) 12 3

E) 15 3

C) 36 3

11. El área de la región limitada por un triángulo rectángulo ABC, recto en B, es 32 u2. Exteriormente se construyen los triángulos equiláteros AEB y BFC. Si el área de la región triangular EBF es K veces el área de la región triangular ABC, calcule el valor de K. A ) 5/6 D) 2/3

B) 4/5 E) 1/2

14. En la figura los triángulos ABC y CFG son equiláteros. Calcular el área de la región triangular CMF si AC = 2 3 y CG = 4. M F B

C) 3/4

A

12. En la figura: O, O1 y O2 son centros de las circunferencias M, N y P son puntos de tangencia. Si los radios

TEMA 10

D) 3 21 m2

E) 21 m2

10. Tres puntos A, B y C forman un triángulo equilátero. Considerando P un punto interior a dicho triángulo, tal que las

A ) 36

21 m2

2 21 m2

A) 6

C

B) 2 3

G

C) 3

D) 2 3 / 3 E) 3 3

2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

15. Se considera el triángulo rectángulo ABC, recto en B, la circunferencia exinscrita relativa a la hipotenusa, de centro O, es tangente en T a AC. Si AT = 2 y TC = 3, calcule el área de la región triangular AOC. B) 15

D) 15

E) 10

B) 16

D) 21

E) 22

20. En un triángulo escaleno ABC, sobre los lados AB y BC se ubican los puntos M y N, respectivamente, tales que: 4MB = 3AB = 3BN = BC. ¿Qué tanto por ciento del área del triángulo ABC, es el área del triángulo MBN? A ) 15% B) 20% C) 10% D) 30% E) 25%

C) 20

17. El área de una región triangular es 84 u2. Si las medidas de sus lados son tres números enteros consecutivos, calcule el mayor de dichos lados. B) 16 u

C) 18 u

D) 15 u

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

E) 12 u 18. Las medidas de los lados de un triángulo ABC son AB = 6, BC = 7 y AC = 11. Calcule la medida del radio de la semicircunferencia inscrita en dicho triángulo tal que su diámetro esté contenido en el lado AB.

TEMA 10

D) 2 10/5

19. Dado el triángulo ABC, cuya área es 36, se consideran los puntos medios M de AB y N de BC, tal que por dichos puntos se trazan paralelas entre sí que intersecan al lado AC en los puntos P y Q respectivamente. Si el área triangular APM es 5, calcule el área de la región triangular QNC. A) 6 B) 5 C) 8 D) 4 E) 3

C) 12

A ) 14 u

C) 2 21/3

10 /3

E) 2 10

16. La circunferencia exinscrita a un triángulo ABC y relativa a AB es tangente en P y T a las prolongaciones de CB y CA respectivamente, calcule el área de la región ABC, si AB = 5, la medida del mayor arco PT es de 217° y la suma de las longitudes de los lados BC y AC es 17. A ) 18

B)

3

C D C E C B D D D D

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

E B E A D E D A D E

CLAVES

A ) 18

A ) 2 10 /3

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 11

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G11T

1. Si AQ = 8; calcular el área de la región sombreada (T: punto de tan-gencia). C  Q T

A ) 24 D) 12

 A

A ) 16 D) 22

O

B) 8 E) 24

C) 20

B

C) 4

4. En un triángulo equilátero ABC se ubican los puntos P, Q y R en AB , BC y AC respectivamente, tal que PR  AC y PQ = QR; si AR = 2 y RC = 3; calcular el área de la región triangular PQR.

2. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8; las circunferencias tienen igual radio, son tangentes y están en contacto con dos lados del cuadrado; calcular el área de la región sombreada. B

C

r

r

B) 18 E) 10

A) 2 3

B) 3 3

C) 4 3

D) 6

E) 4

  90 y PH = a. 5. Según el gráfico, mBM Calcule el área de la región som-breada. A

A ) 18 C) 32 E) 48

D

B) 24 D) 36

60° M P

3. En el gráfico se muestra un cuadrado ABCD y a dos regiones para-lelográmicas cuyas áreas son S1 y S2; si S1 = 12; calcular S2.

TEMA 11

A H 2

A) a C) 4a2 E) 5a2

1

B 2

B) 3a D) 2a2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A) 1 D) 1/8

6. Si ABCDEF es un hexágono regular DT  6 2 y T es punto de tangencia,

calcular el área de la región sombreada. C

A ) 9

B

E) 18 7.

E

T

D) 14

A

B O

A

D

B) (2 – 1) D) ( 2 – 1)

E) (3 – 2) 10. Si AC = 4, CD = 12 y T es punto de tangencia, calcular el área de la región sombreada.

N

Q

C

A ) (  1) C) (  2)

C

A

B

F

Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo de alturas 8 y 6, además M; N y Q son puntos de tangencia. Calcule el área de la región sombreada.

M

C) 1/3

9. De la figura, calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 4.

D

B) 10 C) 12

B) 1/4 E) 1/2

D

D A ) 4 / 3 (4 – 3 3)

T

B) 2 / 3 (2 – 3) C)  – 3

C

D) 3 – 3

A

E) 4  – 3

A ) 30  D) 45 

8. Del gráfico, calcule S1/S 2 (S 1 y S2 son las áreas de las regiones som-breadas). A S1

B

TEMA 11

O1

B) 35  C) 40  E) 169/8 

11. Se tiene un pentágono ABCDE inscrito en una circunferencia, la recta tangente trazada por D corta a la prolongación de AE en P, si el área de la región limitada por el pentágono es 100 y ED = DC; calcular el área de la región cuadrangular PABC.

S2 O

B

C

2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A ) 100 D) 120

B) 50 E) 140

C) 80

A ) 24 cm2

B

C

2

B) 36 cm 12. Si O es el centro del arco AB, T; P y Q son puntos de tangencia y OB = 6, calcular el área de la región som-breada.

D) 40 cm2 2

E) 64 cm

A

O

A ) 12 C) 8 3 E) 18

P

T D

A

15. Según la figura, ABCD es un paralelogramo. Si AM = MB y AN = ND, calcule la razón de áreas de la región sombreada y ABCD.

T

Q

P

C) 32 cm2

B

B

B) 15 D) 6 3

C

M

  60. Cal-cule 13. Según el gráfico, mMN el área de la región sombreada.

A

A ) 7/60 D) 2/20

N

B) 4/15 E) 1/12

D

C) 5/16

N R

16. Según el gráfico, las circunferencias AB son ortogonales. Calcule . ED

R M

A ) R 2 ( 3)

B) R( 3)

C) R 2 (2 3)

2 D) R (2 3) 4

E)

R 2 (2 3) 2

14. En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, mPCT  90. Calcule el área de la región cuadrangular PCTD (P y T son puntos de tangencia), si AB = 8 m.

TEMA 11

A)

2 2

B)

2 1 4

C)

2 2

D)

2 1

E)

3

1 4

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

inscrita en el cuadrado. Si AB = 2, calcule el área de la región APQ.

17. En un pentágono regular ABCD, M es el punto medio AE . Si AD  CM  L, calcule AL . LD 5 1 A) 5 1 B) 2 C)

5 1

E)

5 1 2

D)

A) 2

B) 0,5

C) 1

D) 1,5

E) 1,25 20. Según el gráfico, BM / /DQ , MN = NQ, DP = 2(PQ) y ABCD es un paralelogramo. Calcule la razón de áreas de las regiones sombreadas.

10  2 5

18. Según el gráfico, BM = a y MC = b. Calcule el área de la región som-breada (T es punto de tangencia). B M

T

A)

(a  b) 2 a(b  a) 2b

B)

(a2  b2 ) ab 2a

C)

(a  b)2 a(a  b) 2b

D)

(a2  b2 ) a(a  b) 2a

E)

ab ab ab

A) 1

C

D)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

19. Dado un cuadrado ABCD, en BC y CD se ubican los puntos P y Q tal que PQ es tangente a la circunferencia

TEMA 11

4 3

4

A D D A A C A E C E

B)

5 4

E)

6 5

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

C)

A C D C A D E C C A

3 4

CLAVES

A

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 12

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G12T

1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Tres puntos, no alineados, determinan un plano. II. Dos rectas cruzadas están contenidos en un plano. III. La intersección de tres planos puede ser un punto. A) FFV B) FVV C) VFV D) VVF E) FFF

D) Por las tres rectas no pueden pasar planos paralelos entre sí. E) Las tres rectas son perpendiculares entre sí. 4. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si una recta no es perpendicular a un plano, entonces no es perpendicular a ninguna recta contenida en el plano.

2. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas. II. Dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas. III. La intersección de tres planos es un punto. A ) VFF B) FFF C) VV V D) FVV E) FVF

II. Una recta y un punto, siempre determinan un plano. III. Tres puntos siempre determinan un plano. A ) FVF B) FFV C) VFF D) FFF E) VVF 5. Se tiene los segmentos AB y CD cruzados y perpendiculares, tal que: AB = 12 y CD = 16. Calcule la medida del segmento que une los puntos medios AC y BD . A) 5 5 B) 12 C) 15 D) 10 E) 13

3. Si una recta es perpendicular a tres rectas dadas, entonces: A ) Las tres rectas tienen que ser paralelas. B) Las tres rectas tienen que estar en un mismo plano que con-tenga a la perpendicular.

6. Se tiene el triángulo equilátero ABC de baricentro G y lado 3 3 , por G se levanta la perpendicular GD al plano del triángulo de modo que AB = GD. Calcular AD.

C) Por las tres rectas pueden pasar planos paralelos entre sí.

TEMA 12

1

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A ) 1,5 C) 6 E) 6 3 7.

B) 4 2 D) 4,5

10. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Toda recta paralela a un plano es paralela a la intersección de otro plano que contiene a la recta y que es secante al plano dado. II. Toda recta paralela a un plano es paralela a todas las rectas del plano dado. III. Si una recta es paralela a dos rectas de un plano, dicha recta es paralelo al plano dado. A ) VVF B) VFF C) FFF D) VFV E) FVF

Los catetos de un triángulo ABC, recto en B, miden AB = 3 cm, y BC = 4 cm respectivamente. Por el vértice B se traza BF perpendicular al plano del triángulo. Calcule el área del triángulo AFC (en cm2) si BF  5 cm. A ) 6,0 B) 8,2 C) 9,8 D) 11,3 E) 12,0

8. Por el vértice B de un triángulo rectángulo ABC, recta en B, se traza BP perpendicular al plano de dicho triángulo. Calcule la distancia de P al punto medio de AC , si PB = 8 y AC = 12. A ) 15 B) 14 C) 9 D) 10 E) 5 2

11. Dos cuadrados congruentes ABCD y ABEF forman un diedro de 106°. Calcular la longitud de DE si los lados de los cuadrados miden 10 m.

89 m

B) 2 89 m

C)

91 m

D) 2 91 m

E) 3 91 m

9. Indique las proposiciones verdaderas y falsas respectivamente. I. Si una recta L y un plano P son perpendiculares a un plano dado Q, entonces L es paralelo a P. II. Dos segmentos congruentes y paralelos que intersecan a un plano forman con dicho plano ángulos congruentes. III. Si dos rectas forman ángulos congruentes con un plano, entonces las rectas son paralelas. A ) FVF B) FFF C) VFV D) VV V E) VFF

TEMA 12

A)

12. En la figura se tiene un cubo de arista igual a 2 cm, BM = MC. Calcule AH.

F C M

A

B

5 cm

B)

5 / 2 cm

C) 3 5 / 5 cm

D)

5 / 3 cm

A)

E) 2 5 / 3 cm

2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

13. Se tiene un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos mide 15 m y 20 m, por el vértice B, del ángulo recto, se levanta una perpendicular al plano que contiene el triángulo, y en ella se toma un punto E. Calcular la longitud de BE para que el diedro formado por los triángulo ABC y AEC mide 60°. A ) 12 3 m

B) 12 m

C) 12,5 m

D) 12 2 m

sobre la cual se toma: OM  a 2 / 2 . Se une el punto M con los vértices A y B. Determine el valor del ángulo diedro de arista AB. A ) 60° C) 30° E) 53° 17. Un triángulo equilátero ABC ésta en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE, siendo AB el lado común de ambos polígonos. El segmento de recta que une el punto medio del lado AC del triángulo con el punto medio del lado BD del cuadrado mide 1 m. ¿Cuál es la longitud del lado del triángulo o del cuadrado?

E) 12, 5 3 m 14. El cuadrado ABCD y un triángulo equilátero BFC están contenidos en planos perpendiculares. Si AB = a, halle la distancia del punto D al segmento que une los puntos me-dios de AB y FC . A ) 2a/3 B) a 2 / 2 C) a 3 / 2

B) 45° D) 37°

A) 1 m D) 2,5 m

D) a

B) 1,5 m E) 0,5 m

C) 2 m

E) 4a/3 18. Sea KLM un triángulo rectángulo isósceles, tal que: LK  LM  8 2 . En L se traza una perpendicular al plano del triángulo y se construye LN = 6. Calcule el valor del diedro cuya arista es KM.

15. Sea:  la medida del ángulo diedro (A – BC – D), entonces, cos  es igual a: B C

A ) 37° D) 45°

D

B) 75° E) 60°

C) 30°

A

A ) 1/3 D) 1/6

B) 1/2 E) 1/4

19. En un triángulo isósceles

C) 1/5

ABC (AB = BC = 17 m), AC = 16 m se traza la altura BE y se construye el cuadrado BEFG perpendicular al plano del triángulo. Calcular el área del triángulo CEG.

16. Sea AOB un triángulo rectángulo isósceles tal que OA = OB = a, en O se eleva la perpendicular al plano OAB

TEMA 12

3

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A ) 30 m2 B) 60 m2

B

C) 30 2 m2 C

A

E) 45 2 m2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

C E C D D C B D A B

29 cm

B)

31 cm

C) 3 3 cm

D)

35 cm

E)

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

4

B E A D A B A A D A

E

37 cm

CLAVES

A) 20. En el cubo mostrado de arista 4 cm, M y C son puntos medios de AC y EF, respectivamente calcule BM.

TEMA 12

F

M

D) 60 2 m2

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 13

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G13T

A ) 23 D) 15

1. Dadas las rectas cruzadas L1 y L2, En L1 se ubican los puntos M y P, en L2 los puntos N y Q. Si: = 3 u y MP = PQ = 5 u, entonces la medida del ángulo agudo entre L1 y L2 es: B) 60 E) 45

C) 53

2. En un triángulo isósceles O-ABC, por el vértices O se traza el rayo OF perpendicular a la cara AOB. Si AOB  BOC  45 y AOC  60 entonces la medida del ángulo entre los rayos OF y OC es: A ) 15

A ) 10 C)

D) 60

E) tan ( 5)

A ) 30 C) 60 E) 90

3. En un triedro O-ABC, el diedro OA mide 90°, las caras b y c miden 45°. Determine la medida de la cara "a". B) 60° E) 90°

7.

C) 70°

D) 5 6

B) 45 D) 75

Sea AOB un triángulo rectángulo isósceles, tal que OA = OB = a, por O se eleva la perpendicular al plano OAB sobre la cual se toma: OM  a 2 . Se 2 junta el punto M a los vértices A y B. Determine el valor del ángulo diedro de arista AB.

4. Las proyecciones de un segmento sobre un plano y sobre una recta perpendicular al plano miden 15 y 8 respectivamente. Calcule la me-dida de dicho segmento.

TEMA 13

B) 10,6

6. Se tiene el triedro P-ABC, las caras b y c miden 45 cada uno y la cara a mide 60. ¿Cuánto mide el diedro PA de dicho triedro?

1

A ) 50° D) 80°

127

E) 6 5

B) 30

C) 45

C) 20

5. En un triángulo ABC en el espacio, la altura relativa a AC es 5 3 cm. Sus vértices A y C están en un plano horizontal P y el vértice B es exterior a P de modo que el diedro B-AC-B' (B' es la proyección de B sobre P) mide 37°. Si AB'=10 cm, entonces la longitud de AB (en cm) es:

mPMN  mMNQ  mPQN  90, MN

A ) 30 D) 37

B) 17 E) 25

1

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A ) 60° D) 37°

B) 45° E) 53°

C) 30°

10. En un triángulo ABC, la mB  90, AB = 6 u y BC = 8 u. Por su in-centro I se traza IH perpendicular al plano ABC. IH = 3. Calcular HC (en u). A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12

8. En la figura, los planos P y Q son perpendiculares; en P está contenida una semicircunferencia y en Q, un rectángulo, si AE = 8, EB = 6 y BC = 6 entonces la distancia de E a DC es:

11. En un ángulo triedro, los ángulos de dos de sus caras miden 130° y 78° respectivamente. Entre ¿qué límites varía el ángulo en la tercera cara? A ) Entre 52° y 188° B) Entre 52° y 152° C) Entre 46° y 188° D) Entre 46° y 172° E) Entre 32° y 188°

F E B C

A

Q

D

A ) 1 41 5

B)

3 41 5

C)

5 41 3

D)

5 41 6

E)

6 41 5

12. En un triedro, dos de sus caras miden 120° y 140°, entonces, el mayor valor entero de la medida de la tercera cara es: A ) 54° B) 60° C) 72° D) 90° E) 99°

9. En una circunferencia de centro O y radio 4 se tiene el arco AB cuya medida es 60, se traza OE perpendicular al plano de la circunferencia tal que OE = 4. Calcule la distancia entre AE y OB . A)

4 21 7

B)

C)

3 21 7

D) 3 7 7

E)

TEMA 13

13. Dado un ángulo poliedro O-ABCDE, la medida de cada una de las caras es 60. Halle la medida del diedro OA. A ) 45 B) 53

2 7 7

C) 60  5 D) Arc cos    3   6 E) Arc cos    3 

7

2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

14. Las caras COA y BOC del triedro OABC miden 60° cada uno y la cara AOB mide 90°. Halle el coseno del diedro OC. A ) 1/4 B) 1/5 C) –1/3 D) 2/3 E) 3/5

diedro formado por los planos AFC y ABCD.

15. Dado un triángulo rectángulo isós-celes AOB, siendo AO  OB  6 , en el vértice O se eleva una perpendicular del plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular luego se une M con los vértices A y B. Calcule el valor de OM para que el diedro AB mida 60°. A) 2 B) 3 C) 2,5 D) 4 E) 1

D) arc tg

2 3

E) arc tg

6 2

A ) arc tg

6 3

B) arc tg 6 C) arc tg 3

18. Se tiene un cuadrado ABCD, se ubica un punto exterior P al plano del cuadrado de manera que equi-diste de los vértices del cuadrado, si PA = AB. Calcular la medida del ángulo diedro PB.

 14  B) arc cos   1  4 A ) arc cos

16. Uno de los catetos de un triángulo isósceles está contenido en un plano P y el otro forma con dicho plano un ángulo de 45°. Calcular la medida del ángulo que forma la hipotenusa con el plano P. A ) 45° B) 30° C) 60° D) arc sen1/5 E) arc cos 2 /4

1  C) arc cos   6

D) arc cos   1   6 1 E) arc cos   3

17. El plano de una semicircunferencia de diámetro AB , es perpendicular al plano del cu adrado AB CD. En la semicircunferencia se ubica el punto F, de modo que la medida del arco FB es 60. Calcule la medida del ángulo

TEMA 13

19. Dos cuadrados ABCD y ABC'D' están contenidos en dos planos que forman un diedro de 60°. Calcular la medida del menor ángulo determinado por los segmentos cruzados AC y BD ' .

3

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

20. Se tiene un plano P y un punto exterior S desde el cual se traza las oblicuas SA , SB y SC que forman con P ángulos que miden 30, 45 y 53 respectivamente. Si A, B y C se encuentran en el plano y SB = 8. Calcular SA + SC.

1 A ) arc cos   3

B) arc cos   1   3

 14  D) arc cos   1  4 C) arc cos

 3 E) arc cos     3 

B) 12 2

C) 11 2

D) 10 2

C C B B C E B E A B

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

4

B E D C B B A E C E

CLAVES

E) 13 2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

TEMA 13

A) 8 2

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 14

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G13T

1. Un poliedro está limitado por 8 regiones trian gulares y 12 region es pentagonales. Calcule el número de vértices. A ) 30 D) 18

B) 14 E) 28

5. Un poliedro convexo está conformado por 8 caras que son regiones triangulares, 9 caras que son regiones cuadrangulares y 6 caras que son regiones pentagonales. Calcule el número de diagonales del poliedro.

C) 24

2. La longitud de la arista de un octaedro regular es el triple de la longitud de la arista de un tetraedro regular. Halle la relación entre las áreas de las superficies de tales poliedros. A ) 16

B) 17

D) 19

E) 21

C) 18

7.

I. El tetraedro regular tiene centro de simetría II. El tetraedro regular tiene 3 planos de simetría

D) FVF

E) FVV

D)

TEMA 14

B) 4 3

E)

A ) 19

B) 15

D) 14

E) 16

C) 12

Si se unen los centros de las caras de un hexaedro regular se forma un:

D) Paralelepípedo cualquiera E) Prisma oblicuo

C) FVV

C)

E) 160

B) Octaedro regular C) Cubo

8. La proyección de un octaedro regular de arista 2 sobre un plano perpendicular a una de sus aristas tiene un área igual a:

4. Halle el área de la sección determinada por un plano de simetría de un tetraedro regular de arista 2. A) 2

D) 128

C) 183

A ) Tetraedro regular

III. El hexaedro regular tiene centro de simetría B) FFV

B) 190

6. Un poliedro convexo tiene 37 vértices y está conformado por 6 caras triangulares, 8 caras cuadrangulares y m caras pentagonales. Halle m.

3. Indique el valor de verdad de las proposiciones:

A ) VV V

A ) 150

A)

2

D) 4

5

1

2

B) 2

C) 2 2

E) 4 2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

B

9. En un tetraedro regular, calcule la medida del ángulo diedro que determinan dos caras cualesquiera.

 13  B) Arc Cos – 13  C) Arc Cos 1  D) Arc Cos – 1  2 2 E) Arc Cos – 1  5 A ) Arc Cos

F M A A)

10. Al unir los puntos medios de las aristas de un hexaedro regular se obtiene un poliedro. ¿Cuántas diagonales tiene el poliedro formado? A ) 28

B) 33

D) 40

E) 30

M

5 cm

B

C) 3 3 cm E)

B)

31 cm

D)

35 cm

37 cm

C) 3 3 cm

D)

35 cm

37 cm

A) 2 3

B) 3 3

D) 6 3

E) 9 3

C) 4 3

15. Calcule la longitud de la arista del poliedro conjugado a un cubo si la arista de este mide 2.

12. En el cubo mostrado de arista 4 cm, M y C son puntos medios de AC y EF respectivamente, calcular BM.

TEMA 14

31 cm

14. Determine el área de la proyección de un hexaédro regular de arista 2, sobre un plano perpendicular a una de sus diagonales.

C

A)

B)

13. Si se unen los centros de las caras de un octaedro regular se forma un: A ) tetraedro regular B) octaedro regular C) cubo D) paralelepípedo cualquiera E) prisma oblicuo

C) 39

H

A

29 cm

E)

11. En la figura se tiene un cubo de arista igual a 2 cm, BM = MC. Calcular AH.

F

C E

2

A) 2

B)

2

D) 1

E)

3

C) 4

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A ) 3/1 D) 6/1

16. En un hexaedro regular ABCD – EFGH halle la medida del ángulo diedro que forman los planos EBC y EDG. A ) 45 B) 60 C) 53 D) 75 E) 90

TEMA 14

A ) 3 cm

B)

3 cm

C) 3 3 cm

D) 9 3 cm

E) 6 3 cm 20. Calcular la diagonal de un octaedro regular que es equivalente a un tetraedro regular de 2 cm de arista.

18. El volumen de un tetraedro regular es 16 vec es el volu men de un Octaedro regular. Calcular la relación entre las aristas del tetraedro y el octaedro.

A ) 25/8 D) 25/6

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

3

E A C C B A D C C D

B) 25/9 E) 25/7

C) 25/3

CLAVES

C C B C C E B A A E

C) 4/1

19. Encontrar la longitud que debe tener la diagonal de un cubo para que su volumen sea 9 veces el de otro cubo cuya arista es 3 3 cm.

17. Halle la suma de las medidas de los diedros determinados por dos caras contiguas de un tetraedro regular y de un octaedro regular. A ) 90º B) 120º C) 135º D) 180º E) 270º

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

B) 5/2 E) 8/1

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 15

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G15T

1. Si un prisma tiene 3n aristas. Halle el número de caras. A ) 3n –1 – 2 n –1

C) 3

+2

5. En un prisma triangular recto ABC-DEF se cumple AB = 4 cm, BE = 6 cm y DC = 10 cm, O es punto medio de BE y la longitud del segmento que une el punto O con el centro de la cara ACFD es 5 cm. Entonces el área de la región triangular OFA (en cm2) es:

B) 3n + 5 D) 3n –2 + 2

E) 3n + 2 2. La suma de todos los ángulos die-dros de un prisma oblicuo es 2160°. Halle el número de caras del prisma. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

A ) 10 3

B) 11 3

C) 25 3 2

D) 14 3

E) 16 3

3. Calcule el área lateral de un prisma oblicuo (en cm2), cuya sección recta es un hexágono regular de 12 3 cm2 de área. La altura del prisma mide 6 3 cm y además se sabe que las aristas forman ángulos de 60° con la base.

6. En un prisma triangular regular ABCA'B'C' en el cual todas sus aristas son congruentes, se ubica D en la prolongación de AB de modo que AD  2 . BD 1 Halle la medida del ángulo diedro de-

A ) 130 2

B) 136 2

terminado por la base ABC y el plano

C) 144 2

D) 145 2

que pasa por D, B' y el punto medio de AC .

E) 150 2

 39  A ) Arc tan    26  B) 30   C) Arc cos  3   55 

4. En un prisma triangular regular el volumen es 36 m3. Calcule el área de la sección paralela (en cm2) a una de las caras laterales que distan 1 cm de la arista opuesta, si el lado de la base mide 4 cm. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

TEMA 15

2  D) Arc cos    41   7  E) Arc cos    19 

1

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

7.

En el rectoedro ABCD-EFGH dos caras adyacentes son regiones cuadradas,

mide 58 cm y las tres dimensiones suman 15 cm, calcule el volumen del paralelepípedo en cm3.

se ubica Q punto medio de BF , P  CG

A ) 90 C) 105

CP 1  . Se traza un plano que PG 3 pasa por los puntos P, Q y E. Halle el área de la sección producida en el rectoedro si la arista mide K. tal que

K2 A) 2

E) 110 11. En un paralelepípedo rectangular la arista lateral mide (4 – x) y las aristas de la base miden x y 3x. Halle el área lateral del prisma, si el volumen es máximo (en cm2).

2

B) K

C)

3 K2 2

E)

K 2 22 5

D)

K 2 21 4

A)

232 7

B)

C)

256 9

D) 27

8. Las diagonales de tres caras diferentes

74 cm y

85 cm. Calcule su

3

12. En el rectoedro ABCD-EFGH ( FG en la

volumen (en cm ). A ) 200 B) 210 C) 215 D) 230 E) 250

base inferior), FG = 12, EF  2 3 y AE = 8. Sobre el plano que contiene a FG se construye el triángulo equilátero FGN cuyos lados FN y GN intersecan a

9. Por cada una de las aristas de un tetraedro regular se ha trazado un plano paralelo a la arista opuesta. Calcule la relación entre el volumen del sólido obtenido y el volumen del tetraedro. A ) 2:1 B) 3:1 C) 4:1 D) 5:2 E) 7:2

EH en P y Q respectivamente. Halle el volumen de BMNFG si M  AH y MP  EH .

A ) 112 3

10. El área total de un paralelepípedo rectangular es 142 cm2. La diagonal de la base

TEMA 15

241 11

E) 30

de un paralelepípedo rectangular miden

61 cm,

B) 100 D) 10

2

C)

242 3 4

E)

121 2 3

B)

121 3 3

D) 112 2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A ) 1 V 3 C) 3 V 2 2 E) V 5

13. En un tronco de prisma recto ABCD EFGH (ABCD es un rectángulo) cuya diagonal mide 5, y AE y CG miden 4 y 1. Halle AB para que el volumen sea máximo. A) 3 B) 4 C) 2 D)

5

E)

17. Un tetraedro regular de arista a esta inscrito en un cilindro de modo que una de sus aristas es generatriz del cilindro. Halle el volumen del cilindro. 3 3 5 3 a a A) B) 25 36

5 2 2

14. Al desarrollar la superficie lateral de un cilindro de revolución, se obtiene una región cuadrada, de área A. Halle el volumen del cilindro. A) 3 A A B) A A 8 8

A A C) 6

A A D) 4

15. Un tetraedro regular de arista a, se encuentra inscrito en un cilindro de revolución, de modo que una de sus caras esta inscrita en una base del cilindro. Halle el área lateral del cilindro. 2 a2 2

C) 3 3 a2 2 E)

B)

7 3 a 30

E)

9 3 a 32

D)

8 3 a 35

A ) R 3 ( 2  1) B) R 3 ( 2  1) C) R 3 ( 3  1)

a2 6

D) R 3 2

D) 2 2 a2 3

E) R 3 3

6 a2

19. En un cilindro de revolución AB y CD son generatrices opuestas. O es el centro de la base de diámetro BD y el plano mediatriz de AO determina en CD segmentos que miden 2 cm y 4 cm. Halle el volumen del tronco de cilindro recto formado de mayor eje.

16. Un tetraedro regular de volumen V está inscrito en un cilindro de revolución de modo que una arista es diámetro de una base del cilindro. Halle el volumen del cilindro.

TEMA 15

C)

18. Si los planos de las bases de un tronco de cilindro recto circunscrito a una esfera de radio R forman 45°, entonces el volumen del tronco de cilindro (en función de R) es:

E) A A

A)

B) 2 V 3 D) 3 V 4

3

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

tronco son a y b. Halle el volumen del tronco.

40 3 80 D) 3

B)

20. En un tronco de cilindro recto se inscribe una esfera, si las longitudes de las generatrices menor y mayor del

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

TEMA 15

A)

a2b2 2(a  b)

B)

a2b2 ab

C)

a2b2 3(a  b)

D)

a2b2 (a  b)

E)

C C C D C A C B B C

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

4

C B E D D C E A B A

a2b2 2(a  b)

CLAVES

20 3 70 C) 3 100 E) 3

A)

UNI 2015-II

GEOMETRÍA TEMA 16

EJERCICIOS PROPUESTOS

UOII2G16T

1. En una pirámide regular triangular los inradios de la base y de una cara lateral miden a y b. Calcule el área lateral. 3

A)

C)

E)

18ab

SABC=27u2. Halle el área total de la pirámide O–ABC.

3

3

B)

3b2  a2 18a2b2 3 2

4. En la figu ra, S AOB =S BOC =S AOC y

D)

2

a b

18a b 3 3a2  b2 18a3b 3 2a2  b2

18a2b2 3 2a2  b2

2. En el interior de un tetraedro regular se ubica un punto P. Si la suma de las distancias P a las 4 caras es 20, calcule la longitud de la arista del tetraedro. A) 6 6

B) 8 6

C) 10 6

D) 12 6

A ) 30  3  1 B) 27  3  1 C) 24  3  1 E) 18  3  1 5. Halle el volumen de una pirámide regular cuadrangular cuya base está inscrita en una circunferencia de radio R y en cuyos diedros básicos miden 45°. 1 3 1 3 R 3 R 2 A) B) 3 2 C) 1 R 3 2 D) 2 R 3 2 3 3

E) 15 6 3. Se traza desde A (punto exterior a un plano P) una perpendicular AB a dicho plano tal que con los puntos B, C y D que pertenecen al plano se determina el triedro equilátero A–BCD con caras de

E)

60°. Si BC  6 , halle el volumen de la pirámide ABCD. 2 A) B) 1 3 D)

5 3

TEMA 16

E)

D) 18  3  1

2 3 R 3 3

6. En el tetraedro regular O–ABC se ubican 4 C) 3

sobre OA, OB y OC los puntos M, N y P tales que

3 4

OM 

1

ON OP OA   2 3 4 UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

Calcule la relación entre los volúmenes de

A)

6V 17

B)

7V 16

D)

5V 16

E)

3V 7

los sólidos O–MNP y MNP–ABC. 1 A) 9

7.

C)

3 29

E)

5 34

2 B) 29

D)

4 31

A)

3 3 2

B)

13 3

33 4

D)

33 2

A) 2 

B) 3 

C)

C)  2

D) 2 3

E)

E)  3

D) 4,8

E) 5

C) 5,2

A)

H R , 2 3

B)

H R , 3 2

C)

H R , 4 4

D)

2H 2R , 3 3

E) H , R 2 2

9. Se traza un plano secante paralelo a la cara ABE y secante a las aristas

12. En un tetraedro O-MNP, trirectán-gulo en O, si las aristas OM , ON y OP miden 16, 8 y 16 respectivamente, entonces el área de la superficie esférica circunscrita es:

AC, AD, ED y BC de una pirámide re-

gular A–BCDE de volumen V en los puntos P, Q, R y T respectivamente. Si AP = PC calcule el volumen del sólido QDR–PCT.

TEMA 16

2 3

11. El radio de la base de un cono de revolución es R y su altura es H, se inscribe un cilindro recto de área lateral máxima. Calcule la altura y el radio del cilindro.

8. Halle la distancia del vértice A al plano VCD en una pirámide regular V–ABCD de altura 4 u y área de su base 36u2 (en u). B) 4

4V 7

10. Un sólido piramidal cuyas aristas laterales de longitudes 2  , forman con la base trapecial isósceles ángulos de 60°. Si los tres lados de menor longitud en la base miden  cada uno, en ton ces el volumen del s ólido piramidal es:

Halle el recorrido mínimo que debe hacer una hormiga en ir y regresar al punto A pasando por el punto C y no por la base de una pirámide regular V–ABCD de arista de longitud .

A) 2

C)

2

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

A ) 597  C) 547  E) 576 

B) 507  D) 567 

16. El lado de un cuadrado ABCD, mide 10 cm. Halle el volumen del sólido engendrado al girar el cuadrado, una vuelta, alrededor de un eje coplanar que pasa por el punto D, haciendo un ángulo de 8° con CD exteriormente al cuadrilátero (en cm3).

13. Un cono de revolución esta inscrito en una esfera de radio 3u. Halle el volumen máximo del cono (en u3). A)

25  3

31  C) 3

28  3

A ) 800 2 

B) 700 2 

32  D) 3

C) 800 3 

D) 500 3 

E) 600 2 

B)

E) 34  3

17. En el gráfico, halle el área de la superficie generada por el cuadrado ABCD de 6 cm de lado, cuando gira alrededor de la recta L (en cm2).

14. Una esfera esta inscrita en un cono recto de revolución de altura 12 u y radio 5 u. Calcule el radio de la sección circular determinada por un plano tangente a la esfera y paralelo a la base del cono. A)

10 3

B)

20 3

C)

10 9

D)

20 9

E)

14 3

B C A 15° A ) 324  C) 108  E) 162 

L

B) 216  D) 270 

18. Los lados de un triángulo miden 11, 13 y 20. La región triangular gira alrededor de uno de sus lados obteniéndose un sólido de máximo volumen. Halle dicho volumen. A ) 528 B) 582 C) 825 D) 852 E) 285

15. Una región triangular de área 60 u2 gira alrededor de un eje coplanar siendo la distancia de sus vértices al eje de giro 10 u, 11 u y 42 u. Calcule el volumen generado (en u3). A ) 1250  B) 2520  C) 2780  D) 3250  E) 4270 

TEMA 16

D

3

UNI 2015-II

G EO MET RÍ A

19. Halle la relación de los volúmenes generados al rotar las siguientes regiones sombreadas alrededor de los ejes indicados.

A)

5 3

B)

3 5

D)

3 2

E) 3

C)

3 4

20. Halle la relación de volúmenes de los sólidos generados a girar las regiones MBN y AMNC, alrededor del eje MN, si AM = MB y BN = NC. O3

O2

B

O1

R

M

N

O2 O1 O3

A

R

A ) 1/2 C) 1/4 E) 1/6

TEMA 16

4

C B) 1/3 D) 1/5

UNI 2015-II