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7.5 MÉTODO DE BAIRSTOW

181

El seudocódigo del método de Müller para raíces fig ura 7.4. 7.4. ra íces reales se presenta en la figura Observe que esta rutina toma un valor inicial único diferente de cero, que después se altera por el factor h para generar los otros dos valores iniciales. Por supuesto, el algoritmo puede programarse para considerarse tres valores iniciales. Con lenguajes parecidos a Fortran, el programa encontrará raíces complejas si las variables adecuadas se declaran como complejas.

 

7.5 MÉTODO DE BAIRSTOW  El método de Bairstow es un método iterativo relacionado de alguna manera con los métodos de Müller y de Newton-Raphson. Antes de hacer la descripción matemática de éste, recuerde la forma factorizada de un polinomio, por ejemplo ƒ 5( x   x ) = ( x  x + l)( x   x  –  – 4)( x  x –  5)(  5)( x   x  +  + 3)( x  x – 2) 

FIGURA 7.4 Seudocódigo para el método de Müller. Müller. SUB Muller(xr, h, eps, maxit) x2 = xr x1 = xr + h*xr x0 = xr – h*xr DO  iter = iter + 1 h0 = x1 – x0 h1 = x2  – x1 d  0 = (f(x1) – f(x0)) / h0 d  ) – f(x1)) / h1 1 = (f(x2  a = (d  – d ) /(h  + h ) 1 0 1 0 b = a*h 1 + d  1 c = f(x2 ) rad = SQRT(b*b – 4*a*c) If |b+rad| > |b–rad| THEN    den = b + rad  ELSE    den = b – rad  END IF  dxr = –2*c /den xr = x2  + dxr PRINT iter, xr IF (|dxr| < eps*xr OR iter > maxit) EXIT  x0 = x1 x1 = x2  x2 = xr END DO  END Muller

(7.28)

 

182 

RAÍCES DE POLINOMIOS

Si se divide entre un factor que no es una raíz (por ejemplo,  x + 6), el cociente es un polinomio de cuarto grado. Aunque, en este caso, habrá un residuo diferente de cero. Con estas consideraciones se puede elaborar un algoritmo para determinar la raíz de un polinomio: 1. dé un valor inicial para la raíz x = t ; 2. divida el polinomio entre el factor x – t , y 3. determine si hay un residuo diferente de cero. Si no, el valor inicial es perfecto y la raíz es igual a t. Si existe un residuo, se ajusta el valor inicial en forma sistemática se hecho repite esto, el procedimiento hasta que el residuo desaparezca y se localice la raíz. Una yvez se repite el procedimiento total mente, totalmente, ahora con el cociente para localizar otra raíz. Por lo general, el método de Bairstow se basa en esta manera de proceder. pro ceder. Por consiguiente, depende del proceso matemático de dividir un polinomio entre un factor. Recuerde (sección 7.2.2) 7.2.2) de nuestro estudio de la deflación def lación de polinomios que la división sintética implica la división d ivisión del polinomio entre un factor x – t. Por ejemplo, el polinomio general [ecuación (7.1)] ƒ n ( x   x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 +···+ an x n 

(7.29)

se divide entre el factor x – t para dar un segundo polinomio que es de un grado menor: ƒn–1 ( x   x ) = b1 + b2 x + b3 x 2 + ··· + bn x n–1 

(7.30)

con un residuo R = b 0 , donde los coeficientes se calculan por la relación de recurrencia bn = an bi = ai + bi+1t  

para i = n – 1 a 0

Observe que si t es una raíz del polinomio original, el residuo b0 sería igual a cero. Para permitir la evaluación de raíces complejas, el método de Bairstow divide el polinomio entre un factor cuadrático x 2 – rx – s. Si esto se hace hac e con la ecuación (7.29), el resultado es un nuevo polinomio ƒ n–2( x   x ) = b2 + b3 x +···+ bn–1 x n–3 + bn x n–2

con un residuo  R = b1( x  x – r ) + b0 

(7.31)

Como con la división sintética normal, se utiliza utili za una relación de recurrencia simple para par a realizar la división entre el factor cuadrático: bn = an 

(7.32a)

bn–1 = an–1 + rbn 

(7.32b)

bi = ai + rbi+1 + sbi+2  para i = n – 2 a 0 

(7.32c)

El factor cuadrático se introduce para permitir la determinación de las raíces complejas. Esto se relaciona con el hecho de que, si los coeficientes del polinomio original son reales, las raíces complejas se presentan en pares conjugados. Si  x 2 – rx – s es un divisor exacto del polinomio, las raíces complejas pueden determinarse con la fórmula cuadrática. Así, el método se reduce a determinar los valores de r y s que hacen que el factor cuadrático sea un divisor exacto. En otras palabras, se buscan los valores que hacen que el residuo sea igual a cero.

 

 

183

7.5 MÉTODO DE BAIRSTOW

La inspección (7.31) nos lleva lleva a concluir que para que el residuo sea inspec ción de la ecuación (7.31) cero, b 0 y b1 deben ser cero. Como es improbable que los valores iniciales para evaluar r y s conduzcan a este resultado, debemos determinar una forma sistemática para modificar los valores iniciales, de tal forma que b 0  y b1 tiendan a cero. Para lograrlo, el método de Bairstow usa una estrategia similar a la del método de Newton-Raphson. Como tanto b0 como b1 son funciones de r y s, se pueden expandir usando una serie de Taylor Ta ylor,, así [recuerde la ecuación (4.26)]: b1(r + ∆r , s + ∆s) = b1 +

b0(r + ∆r , s + ∆s) = b0 + 

∂b1 ∂r  ∂b0 ∂r 

∆r +

  ∂b1

∆r +

∂s   ∂b0 ∂s

∆s

∆s  

(7.33)

donde los valores del lado derecho se evalúan en r y s. Observe que se han despreciado los términos de segundo orden y de orden superior. Esto representa una suposición implícita de que  –r y  –s  son suficientemente pequeños para que los términos de orden superior puedan despreciarse. Otra manera de expresar esta suposición es que los valores iniciales son adecuadamente cercanos a los valores de r y s en las raíces. Los incrementos, ∆r y ∆s, necesarios para mejorar nuestros valores iniciales, se estiman igualando a cero la ecuación (7.33) para dar ∂b1 ∂r  ∂b0 ∂r 

∆r +

 ∂ b1

∆r +

∂s   ∂b0 ∂s

∆s = − b1  

(7.34)

∆s = − b0  

(7.35)

Si las derivadas parciales de las b, pueden determinarse, determ inarse, hay un sistema de dos ecuaciones que se resuelve simultáneamente para las dos incógnitas, ∆r y ∆s. Bairstow demostró que las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b en forma similar a como las b mismas fueron obtenidas:   cn = bn 

(7.36a)

cn–1 = bn–1 + rcn 

(7.36b)

  ci = bi + rci+1 + sci+2 

para i = n – 2 a 1 

(7.36c)

donde ∂b 0 / ∂r = cl, ∂b 0 / ∂s = ∂b1 / ∂r = c2  y ∂b1 / ∂s = c3.  Así, las derivadas parciales se obtienen por la división sintética de las b. Entonces, las derivadas parciales se sustituyen en las ecuaciones (7.34) y (7.35) (7.35) junto con las l as b para dar c2∆r + c3∆s = –b1 c1∆r + c2∆s = –b0

Estas ecuaciones se resuelven para ∆r  y  y ∆s, las cuales, a su vez, se emplean para mejorar mejora r los valores iniciales de r y s. En cada paso, se estima un error aproximado en r y s: |ea,r | =

∆r 

r 

 100% 

(7.37)

 

184 

RAÍCES DE POLINOMIOS

y ∆s

|ea,s| =

s

 100%

(7.38)

Cuando ambos errores estimados caen por debajo de un criterio especificado de terminación es, los valores de las raíces se determinan mediante  x =

2 r  ± r + 4 s

2

 

(7.39)

En este punto, existen tres posibilidades: 1.

2.

 El cociente es un polinomio de tercer grado o mayor .  En tal caso, el método de Bairstow se aplica al cociente para evaluar un nuevo valor de r y s. Los valores anteriores de r y s pueden servir como valores iniciales en esta aplicación.  El cociente es cuadrático. Aquí es posible evaluar directamente las dos raíces res-

tantes con la ecuación (7.39). 3.

 El cociente es un polinomio de primer grado. grado. En este caso, la raíz restante se evalúa

simplemente como s  x  =

−

 

(7.40)

r 

EJEMPLO 7.3

Método de Bairstow Planteamiento del problema. Emplee el método de Bairstow para determinar las raíces del polinomio ƒ 5( x   x ) = x 5 – 3.5 x 4 + 2.75 x 3 + 2.125 x 2 – 3.875 x  +  + 1.25

Utilice como valores iniciales r = s = –1 e itere hasta un nivel de es = 1%.

Solución. Se aplican las la s ecuaciones (7.32) y (7.36) (7.36) para calcular c alcular b5 = 1

b4 = –4.5

b3 = 6.25

b2 = 0.375

b1 = –10.5

c3 = 10.75

c2 = –4.875

c1 = –16.375

b0 = 11.375 c5 = 1

c4 = –5.5

Así, las ecuaciones simultáneas para encontrar ∆r y ∆s son –4.875∆r + 10.75∆s = 10.5 –16.375∆r  –  – 4.875∆s = –11.375 al ser resueltas se encuentra que ∆r = 0.3558 y ∆s = 1.1381. Por lo tanto, nuestros valores iniciales se corrigen a r  =  = –1 + 0.3558 = –0.6442 s = –1 + 1.1381 = 0.1381

y se evalúa el error e rror aproximado aproxima do con las ecuaciones (7.37) (7.37) y (7.38),

 

 

185

7.5 MÉTODO DE BAIRSTOW

|ea,r | =

0.35 3558 58  100% = 55.23% −0.64 6442 42

|ea,s| =

1.13 1381 81  100% = 824.1% 0.13 1381 81

A continuación, se repiten los cálculos usando los valores revisados para r  y  y s. Aplicando las ecuaciones (7.32) (7.32) y (7 (7.36) .36) se obtiene obt iene b  = 1

b  = –4.1442 b  = 5.5578

5 b0 =

4

3

2.1304 c5 = 1 c4 = –4.7884 c3 = 8.7806

b  = –2.0276 b  = –1.8013 2

c2 = –8.3454

1

c1 = 4.7874

Por lo tanto, se debe resolver el sistema de ecuación

 –8.3454∆r  + 8.7806∆s  = 1.8013   4.7874∆r  –   –  8.3454  8.3454∆s  = –2.1304 al tener la solución ∆r  = 0.1331 y ∆s = 0.3316, ésta se utiliza para corregir la raíz esti-

mada: r  = –0.6442 + 0.1331 = –0.511 –0.5111 1

|ea,r | = 26.0%

s = 0.1381 + 0.3316 = 0.4697

|ea,s| = 70.6%

El cálculo continúa, continúa , resultando que después de cuatro cuat ro iteraciones el método converconverge a los valores r  =  = –0.5 (| ea,r | = 0.063%) y s = 0.5 (| ea,s| = 0.040%). La ecuación (7.39)

puede emplearse para evaluar las raíces: ( −0.5)2 + 4(0.5)  = = 0.5, − 1.0  x  = 2 Entonces, se tiene que, el cociente es la ecuación cúbica   −0.5 ±

ƒ ( x   x ) = x 3 – 4 x 2 + 5.25 x  –  – 2.5

El método de Bairstow puede aplicarse a este polinomio usando los resultados del paso anterior, r  =  = –0.5 y s = 0.5, como valores iniciales. Cinco iteraciones dan las aproximaciones r  =  = 2 y s = –1.249, las cuales se usan para calcular  x =

2  ± 2 2 + 4( −1.249) 2

= 1 ± 0.49 499i

Ahora, el cociente es un polinomio de primer grado que puede ser directamente evaluado mediante la ecuación (7.40) para determinar la quinta raíz: 2.

Observe que la esencia del método de Bairstow es la evaluación de las b y de las c por medio de las la s ecuaciones (7.32) (7.32) y (7.36). (7.36). Una de las ventajas principales pri ncipales de este método méto do radica en la forma concisa en la cual tales fórmulas de recurrencia recur rencia pueden programarse. En la figura 7.5 se muestra el seudocódigo que ejecuta el método de Bairstow. La parte principal de este algoritmo es el ciclo que evalúa las b y c. También observe que el seudocódigo para resolver las ecuaciones simultáneas revisa para evitar la división entre cero. Si éste es el caso, c aso, los valores de r  y  y s se alteran ligeramente y el procedimien-