P3_PS_FMM_009_2011-1

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD ANDRES BELLO DEPARTAMENTO DE MA MATEMATICAS TEMATICAS

TERCERA PRUEBA SOLEMNE Algebra - FMM 009 PRIMER SEMESTRE 2011 DEBE CONTESTAR 4 DE LAS SIGUIENTES 5 PREGUNTAS. EN CASO DE QUE CONTESTE LAS 5 PREGUNTAS EL PROFESOR REVISARA LAS 4 PRIMERAS CONTESTADAS, ´ ELIMINANDO AUTOMATICAMENTE LA ULTIMA EN APARECER , AUNQUE ESTE DESARROLLO SEA CORRECTO.  p

1. Encuentr Encuentree el valor valor de  p

2    que cumple con: =8 i −  p

2

i=1

 p

 p

 2  =  2 i −  p

i=1

2

i=1

i

2

−

 p

2

 p

 =

i−

 p

 p

i=1

i−

2

por lo tanto

 p

  = i=1

 p

2

i=1

 p

2

p( p + 1)

=

2

− p ·

 p

2

=

p2 + p

2

−

 p2

2

=

p

2

= 8  ⇒  p  = 16

2. Considere Considere la sucesi´ sucesi´on on 3, 7, 11, ... ... a )

Determine el t´ermino ermino general  a n .

an  =  a 1  + ( n − 1)d an  = 3 + ( n − 1) · 4 an  = 4n − 1 b)

Calcule Calcule  a 50 .

a50  = 3 + 49 · 4 = 199 20

 ) Encuentr Encuentree el valor de

c 

ai .

i=1

20

4 i=1

3.

a )

20

i−

20

 4  1 = 4  20 1= i−

i=1

·

i=1

·

2

21

− 20 ·

1 = 820

En una sala de cine cine la primera primera fila de butacas butacas dista dista de la pantal pantalla la 860 cm, y la sexta sexta 1340 cm. Si las distancias desde las filas a la pantalla forman una P.A, determine en qu´e fila estar´ esta r´a una persona que dista de la pantalla 2300 cm. Se sabe que: a1  = 860 a6  = 1340

Se pide el valor de  n  tal que  a n  = 2300 Considerando que a6  =  a 1  + 5 · d 1340 = 860 + 5 d entonces  d  = 96 reemplazando en: 2300 = 860 + ( n − 1) · 96 2300 = 96 · n n  = 16

por lo tanto se encuentra en la fila 16 50

b

 ) Determine el valor de:

h(h − 3).

h=5 50

50



h(h − 3) =

h=5 50

4 2

h

−

3h −

h=1

−

h2 − 3h

h=5



50 · 51 · 101 6



3·

 50 · 51 2



h 2 − 3h

h=1

−

 4 · 5 · 9  4 · 5 +3· = 39100 6 2

4. A Don Milton le ofrecen un trabajo que es cada mes mas riesgoso, por lo que la remuneraci´on aumenta seg´ un dos opciones  A  y  B  a saber:

A B

Enero 100.000 100.000

Febrero 120.000 115.000

Marzo 140.000 132.250

Abril 160.000 152.087,5

Mayo 180.000 174.900,625

... ... ...

¿Qu´e alternativa le conviene elegir para obtener mayor remuneraci´on anual? Calculamos lo que ganar´ıa durante todo el a˜no: Opci´on A Progresi´ on Aritm´etica con  a 1  = 100000 y  d  = 20000 Calculamos 12 (2 · 100000 + 11 · 20000) = 252000 S 12  = 2 Opci´on B Progresi´ on Geom´etrica con  a 1  = 100000 y  r  = 1, 15 Calculamos: S 12  =

 100000(1 − 1, 1512 ) = 2900167 1 − 1, 15

Por lo tanto, es m´as conveniente la opci´on B. 5. Utilizando inducci´on, demuestre que ∀n  ∈  N : n

(4  + 3) = i

i=1

 n · (2n + 5)

n

(4  + 3) = 7 + 11 + 15 + i

 .....  =  n · (2n + 5)

i=1

i) Demostramos que la proppsici´on se cumple para  n  = 1 1

(4  + 3) = 4 i

·

1 + 3 = 1 · (2 · 1 + 5)

i=1

7= 7 por lo tanto se cumple ii) Asumimos que la proposici´on es cierta para  n  =  k  por lo tanto: k

(4  + 3) = 7 + 11 + 15 + i

 .... (4 · k + 3) =  k · (2k + 5)

i=1

Se debe demostrar que la proposici´on es cierta para  n  =  k  + 1 k +1

(4  + 3) = 7 + 11 + 15 + i

 .... (4 · k + 3) + (4 · (k + 1) + 3) = ( k + 1) · (2k + 7)

i=1

k

(4  + 3) + (4 i

·

(k  + 1) + 3)

i=1

k · (2k + 5) + 4 · (k + 1) + 3)

2k 2 + 5k + 4 k + 7 2k2 + 9k  + 7 (k + 1)(2 k + 7) Por lo tanto de i) y ii) se demuestra que la proposici´on es cierta para todo  n  ∈  N  ´ TIEMPO MAXIMO: 90 MINUTOS NO SE ACEPTAN CONSULTAS SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA ´ DE LOS ENUNCIADOS ES PARTE DE LA EVALUACION ´ LA COMPRENSION