P3.11Transformadas de Laplace de Una Funcion Periodica

Matemáticas V

Unidad III TRANSFORMADA DE LAPLACE

3.11 Transformadas de Laplace de una función periódica

*Problemario*

EJERCICIO 1.-

Se la función y(t) =

con periodo 2.

Hallar la transformada de Laplace.

L * ( )+

( )

∫ ( (

) ) )

1

)(

1

∫

(

(

(

1

1

(

0∫ )

)

(

(

)

*Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992),

)

EJERCICIO 2 .-Encontrar la transformada de la siguiente función periódica. ∫

∫ (

)

Multiplicamos por e

. Veamos esta expresión:

(

√(

) )

√

√

2

√

√

por identidades hiperbólicas del ángulo mitad2.

2

Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992),

EJERCICIO 3.- Sea ( ) que se extiende como una función periódica. Esta es una onda de dientes de sierra y se muestra en la fig. De arriba. Su primer periodo es:

2

De esto obtenemos ( ) ( Y entonces por el teorema 6.8

( )

( ))

( )

( )

, ( )-

, (

)

Por el último teorema 6.9

3

Proporciona el resultado:

, ( )-

3

3

.

/

( (

) )

Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992),

EJERCICIO 4.-La figura 4.23 muestra la grafica de la función de onda cuadrada ( ) , -representa el máximo entero que no excede a x. Por ( ), - cuyo periodo es el teorema 2, la transformada de Laplace de ( ) es:

( )

∫

( )

∫ (

(∫ ([

4

( (

)

[

] )

) )

(

)

Por tanto: ( )

(

4

]

)

(

)

)

Ecuaciones Diferenciales Elementales y problemas con condiciones en la frontera. C.H. Edwards, Jr. Tercera edición

EJERCICIO 5.- 5Determine la transformada de Laplace de la función periódica que muestra la fig. 7.29 Solución: la función se puede definir en el intervalo ( ) Y fuera del intervalo mediante (

como sigue:

2

)

( ) con

* ( )+

aplicamos la ecuación 9: ( )

∫

Y la integración por partes: * ( )+

∫

( )

*∫ [ ( (

5

∫ ]

) )

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición, pag. 325.

+

EJERCICIO 6.-6 Determine la transformada de Laplace de la función onda cuadrada del ejemplo 4.47 Solución: se tiene que ( )

( ) *

( ( )+

*

) (

)+

Por lo tanto * ( )+

6

( ) (

)

(

)

*Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a

EJERCICIO 7.-7Halle * ( )+para ( ) Solución: en este caso se tiene *

( )+

2

(

( )

(

*

(

)

( )

) y el periodo es

)+

*

+

*

(

)+

*

(

. Luego )+

( ) Por lo tanto * ( )+

7

( ) (

)(

)

(

)(

)

*Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a

EJERCICIO 8.- Resolver

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

2

Solución: * ( )+

En el ejemplo 4.49 se encontró que ( ) Luego,

*

( )

( )+

* ( )+. Así ( )

( ) (

( )

( )

) ( ) ( )

(

)

donde

(

)

(

)

De donde, * ( )+

( )

{

}

{

(

)

}

{

| (

)

,

(

)

(

( )

(

(

)

}

) )- (

)

8

Equivalente

( )

8

{

Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a

EJERCICIO 9.- Resuelva la ecuación integro-diferencial ( )

( )

∫

Solución: La ecuación se pude escribir como ( ) transformada de Laplace y despejar ( ) se tiene

( )

( ) sea * ( )+ entonces al aplicar

( )

( ) ] ( )

[

( ) Al despejar y usar fracciones parciales, se tiene ( )

( (

)( )(

) )

9

De donde, ( )

9

* ( )+

Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a

EJERCICIO 10.- 10Determine la transformada de la función cuya grafica es:

Solución: Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos * ( )+ ( ) utilizar la formula: ∫ Puesto que la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones: ∫

( )

∫

(∫

)

Así: ∫

( )

(

)

Por tanto * ( )+

10

(

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm

)

EJERCICIO 11.- 11Sea ( )una función continua por partes en el intervalo [0,∞), y de orden exponencial, con periodo T entonces : * +

∫

( )

Aplicamos entonces la definición que tenemos anteriormente: * +

∫

( )

Y sustituimos los valores correspondientes, quedándonos la transformada de laplace de la siguiente manera. * +

∫

( )

Resolviendo la integral anterior tenemos: * +

(

. (

11

)(

/

(

))

)

)

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_de_laplace_de_funciones_peri%C3%B3dicas

EJERCICIO 12.- 12Para esta función tenemos que el periodo es 2. También debemos saber cuál es la función que estamos evaluando, para esto tenemos que: ( ) Ya sabiendo esto podemos aplicar la integral anteriormente enunciada * +

∫

( )

∫

( )

Es decir nuestra integral a evaluar es la siguiente: * +

Entonces nuestro resultado queda de la siguiente manera:

(

12

)

(

))

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_de_laplace_de_funciones_peri%C3%B3dicas

EJERCICIO 13.- 13Determine la trasformada de Laplace de la función periódica definida como: ( )

2

Solución: aplicando la ecuación: * ( )+

( )

∫

Resulta: ( )

∫

∫

Evaluando las integrales se tiene: ( )

( ) Ya que el denominador de la expresión anterior es una diferencia de cuadrados perfectos, nos queda: ( )

13

(

)

http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf. Pag.268

EJERCICIO 14.- 14Determine la transformada de Laplace de la función ( )

|

( )|

Solución: La función dada es periódica con periodo T= y se conoce como la onda seno rectificada de onda completa. Su representación grafica se ilustra en la fig. 2.3, aplicando la transformada, resulta: *|

( )|+

∫

( )

( )

* (

Con base a la ecuación: ( )

∫

)+

Se tiene: ( )

∫

*

( )+

*

*

( )+

(

)+

Entonces, la transformada de la función periódica seno rectificada de onda completa es:

*|

14

( )|+

(

)(

)

http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf, pag 269

EJERCICIO 15.- 15Determine la transformada de Laplace de la función periódica, definida como: ( )

2

Solución: la función ( )corresponde a la señal triangular con periodo , ilustrada en la figura 4.4, aplicando la transformada de Laplace para una señal periódica, resulta: ( )

∫

(

∫

)

Efectuando las integrales, tenemos: (

( )

)

( ) ( ) En el denominador teneos una diferencia de cuadrados entonces simplificando nos queda: ( )

15

( ) (

)

http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf pag. 270