P3-2009
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MECÂNI CA DOS SÓLIDOS SÓLIDOS II P3 – 11/12/2009 L
Problema 1. Considere o pórtico mostrado na figura ao lado. A seção transversal das barras, todas de L, possui rigidez a flexão representada comprimento L, por EI por EI . Utilizando o teorema de Castigliano, determine
EI L
o deslocamento horizontal (2,0 pontos) e a rotação (1,0 ponto) do ponto A em função da carga concentrada P
P
(3,0 pontos).
Problema 2. O vaso de pressão cilíndrico esquematicamente mostrado na figura ao lado, cujo material tem limite de escoamento de 350 MPa, foi dimensionado para operar a uma pressão interna máxima de 5.000 psi (34,5 MPa). Seu raio externo, b, mede 90,5 mm e seu raio interno, a, mede 41,3 mm. Calcule as tensões normais radial, circunferencial e axial máximas quando o vaso está sob a pressão máxima de operação. Considerando Considerando os critérios de escoamento de von Mises e Tresca,
a b
determine os respectivos fatores de segurança de operação (3,0 pontos).
Problema 3. Considere a estrutura mostrada na figura ao lado, onde L = 200 mm. Os apoios nos pontos O, B e D não transmitem momentos. A barra OC e OC e a barra BD barra BD são fabricadas de materiais cujos módulos de elasticidade são idênticos e iguais a 200 GPa, e cujos limites de escoamento são respectivamente Y V V = 480 MPa e Y B = 180 MPa. A
L 2
L 2
P
O
C
B
3 L 2
seção transversal dos dois componentes é quadrada de lado a = 5 mm. Determine o valor da
D
carga que leva a estrutura ao colapso (2,0 pontos).
Problema 4. Considere o conjunto formado por duas barras mostrado na figura abaixo. As barras de comprimentos idênticos são fabricadas do mesmo material, que pode ser considerado elástico/perfeitamente-plástico (ver o diagrama tensão vs . deformação esquematicamente apresentado). A área da seção transversal da barra da direita é o dobro da outra. O conjunto é submetido a um ciclo de carregamento e descarregamento de tal forma que o deslocamento máximo atingido chegue a um valor max 3YL / E . Determine o deslocamento deslocamento residual do conjunto, R , após a remoção da carga P. Verifique também se o conjunto permanece com alguma tensão residual quando o carregamento é removido. (2,0 pontos).
2 EA
EA P
Y
Y
L
L 1
Tipo de Apoio
Carga Crítica de Flam bagem Pcr c
Engastada-Livre
2 2 /4
Engastada-Simples
20.2
Engastada-Engastada
2
Simples-Simples
EI 2
L
Moment o de Inéricia para seção
Tensão de Flexão
Retangular
Circular
M ( x) xx ( x, y ) y I
D
I
4
I
64
P
( x)
max max
L
( x)
M max max
max
L
Px
Tubular (D>>t )
b h3
I
12
P max max
D
3
t
8
2
6 EI
3 L x
3
max
L 2
c
PL
max
3 EI
PL2 2 EI
Mx 2 2 EI
ML2 2 EI
max
ML EI
P 2 3 48 EI 3 L x 4 x , x L 2 ( x) L 3 2 3 P 3 L x 4 x 8( x ) , x L 2 6 EI 2 3
L 2 max
PL
48 EI
max
PL2 16 EI
Comportamento Elastoplástico de Vigas de Seção Retangular 2 3 bh SY M L M Y M Y 2 6
Energia de Deformação
Teorema de Castigliano 2
Vigas em Flexão
M
U
2 EI
U
T
2GJ
U
N
2
Eixos em Torção Barras sob Esforço Axial
ds
2
2 EA
Vigas em Flexão
ds
ds
U P
Eixos em Torção Barras sob Esforço Axial
M Mds EI P 1 T Tds GJ P 1 N Nds EA P
1
2
Estado Plano de Tensões av
xx
Tensão Cisalhante Máxim a 1
yy
2
xx R 2 I av R II av R
max
2
yy
2 xy
2
1
3
3
2
Tensão de von Mises VM
Crit ério de Tresca: max S y 2
1 2
2
1
2
1 3 2 3 2
2
Critério de von Mises: VM S y
Vasos de Pressão Cilíndric os (Pared e Grossa) 0
b b b 2 1 2 2 r r p a po rr ( r ) i b 2 b 2 2 1 2 1 a a 2
2
b
2
b 2 b 2 b 2 2 1 2 2 r a r ( r ) pi po 2 2 b b 2 1 2 1 a a
pi
a po
0
zz
o
3
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