P1.2+SEP.docx

P1.2 Dado el sistema eléctrico de la figura, en el que las condiciones de operación son: NUDO TENSIÓN (kV) PG (M  (MW) QG (M  (MVAr) PD (M  (MW) QD (MVAr) 1 2 3

231 -- -- -

- -0 0

- -0 0

60 115 10

32 67 123

!e sa"e que en #alores p$u$ las impedancias % admitancias de las l&neas son:

Línea

Impean!"a Ser"e

Am"#an!"a para$e$%&2

1-2 2-3 3-1

0,01'50 ( ) 0,0*07 0,00*3 ( ) 0,0557 0,01302 ( ) 0,07'1*

0 ( ) 0,1052* 0 ( ) 0,06'7* 0 ( ) 0,02'0

+mpleando el método de eton-.ap/son con un error mimo de 0,0001 4 lo que equi#ale equi#ale a que el #alor mimo de cualquier cualquier componente componente del #ector de residuos sea 10 -6 con #alores en p$u % tomando como #alores #alores "ase para la potencia % la tensión 100 4 4 % 220  respecti#amente$ Determinar: 18 9a matri de admitancias$ 28 9as tensiones en los nudos 2 % 3$ 38 +l flu)o de potencia que circular por todas las l&neas$ '8 9a potencia acti#a % reacti#a que tiene que generar el generador conectado al nudo 1$ 58 +l rendimiento de la red$

'ESOLUIÓN 18 ;nicialmente se epresan los #alores del pro"lema en #alores p$u$ 4 continuación se determinar la matri de admitancias de nudos de la red$ 4 partir de aqu& empleando método de eton-.ap eton-.ap/son /son se calcularn las tensiones tensiones en los nudos incógnita, incógnita, a partir  de estos #alores las potencias en todas las l&neas % por 1 ? 1,05 @1 ? 0A B2 ? - 1,15 C2 ? - 0,67 B3 ? - 1,0 C3 ? - 1,23

B 1 C1 > 2 @2 > 3 @3

4/ora podemos definir la matri de admitancias de nudo, recordando que en general: Y 11 =  y 12, 0 +  y 13, 0 +  y 12 + y 13 Y 12 = Y 21 = − y12

4 t&tulo de e)emplo: Y 11 = 0 +  j 0,1052* + 0 +  j 0,02'0 +

1 1 + = 0,01'50 +  j 0,0*07 0,01302 +  j 0,07'1*

= ',0105 −  j 23,6301 



Y 12 = Y 21 = −  y12 = −

1



0,01'50 +  j 0,0*07

= −  1,7157 − j 10,7'16 

on la misma teor&a se determinan todos los coeficientes de la matri de admitancias que es de la forma: ',0105 −  j 23,6301 − 1,7157 +  j 10,7'16 − 2,2*' +  j 13,0762

− 1,7157 +  j 10,7'16 − 2,2*' +  j 13,0762

',5053 −  j 2,02'3

− 2,7*6 +  j 17,'52

− 2,7*6 +  j 17,'52 5,0'' −  j 30,31

28  =eniendo en cuenta los componentes de cada #ector % cada su"matri la epresión del algoritmo de eton-.ap/son se puede detallar como sigue:

     

∆  P 2    H 22  ∆  P 3    H 32 = ∆ Q2    M  22   ∆ Q3    M 32

 H 23  N 22  N 23    H 33  N 32  M  23  L 22  M 33  L 32

  N 33   L23    L33 

∆ δ 2     ∆ δ 3  ∆ U  E U    2 2 ∆ U 3 E U 3 

Bor tanto /a% que determinar todos los elementos de las matrices$ Baso 18: 9os #alores de partida son: U 10  = 1,05 +  j 0  p$u$ U 2 0 = 1 +  j 0  p$u$ U 3 0  = 1 +  j 0  p$u$ Baso 28: alor de la matri para el #alor inicial: 9as epresiones de los #ectores de residuos de potencias acti#as % reacti#as son los siguientes:

     

∆  P 2 ∆  P 3 ∆ Q2 ∆ Q3

     

 X  = 0 

∆ P 2 =  P 2 − U 2 [ U 1 G 21 cos δ 21 +  B 21  sen δ 21  + U 2 G 22 + U 3 G 23 cos δ 23 +  B23 sen ∆  P 3 =  P 3 − U 3 [ U 1 G31 cos δ 31 +  B31  sen ∆ Q2 = Q2 − U 2 [ U 1 G21  sen

δ 21

δ 31

δ 23



 + U 3 G33 + U 2 G32 cos δ 32 +  B32 sen δ 32 

]

−  B21 cos δ 21  − U 2  B22 + U 3 G23  sen

δ 23

]

− B23 cos δ 23  ]

∆ Q3 = Q3 − U 3 [ U 1 G31  sen δ 31 −  B31 cos δ 31  − U 3  B33 + U 2 G32  sen δ 32 − B32 cos δ 32  ] 4 tener en cuenta que las potencias in%ectadas a los nudos se consideran positi#as, mientras que las consumidas se consideran negati#as$ Bor lo que sustitu%endo los #alores en p$u$ conocidos queda:  1,05  − 1,7157 cos 0 + 10,7'16  sen 0  + 1 $ ',5053 +  ∆ P 2 = − 1,15 −1   = − 1,15 + 0,05 = − 1,06'2 1  2 , 7*6 cos 0 17 , '52  sen 0  + − +  

 1,05  − 2,2*' cos 0 + 13,0762  sen 0  + 1 $ 5,0'' +  ∆ P 3 = − 1,0 − 1   = − 1,0 + 0,11'7' = − 1,652  sen 1  2 , 7*6 cos 0 17 , '52 0  + − −    1,05  − 1,7157 sen 0 − 10,7'16 cos 0 − 1 $  −2,02'3 +  ∆ Q2 = − 0,67 − 1   = − 0,67 + 0,7071 = 0,0371 + 1  − 2,7*6  sen 0 − 17,'52 cos 0   1,05  − 2,2*' sen 0 − 13,0762 cos 0 − 1 $  − 30,31 +  ∆ Q3 = − 1,23 − 1   = − 1,23 + 0,0101 = −0,'2*0 + 1  − 2,7*6  sen 0 − 17,'52 cos 0       

∆  P 2  ∆  P 3  ∆ Q2   ∆ Q3 

 X  = 0 

  =   

− 1,06'2 − 1,652 − 0,0372 − 0,'2*

     

Baso 38: Determinación del )aco"iano$ Bara determinar los términos del )aco"iano tenemos: 4=.;F G: ∂  P 2  H 22 = = − U 2 [ U 1 G21  sen δ 21 −  B21 cos δ 21  + U 3 G23  sen

∂ δ 2

δ 23

−  B23 cos δ 23  ]

 H 23 =

∂  P 2 = U 2 U 3 [ G23  sen δ 23 −  B23 cos δ 23 ] ∂ δ 3

 H 32 =

∂  P 3 = U 2 U 3 [ G32  sen δ 32 −  B32 cos δ 32 ] ∂ δ 2

 H 33 =

∂  P 3 = − U 3 [ U 1 G31  sen δ 31 −  B31 cos δ 31  + U 2 G32  sen δ 32 −  B32 cos δ 32  ] ∂ δ 3

4=.;F :  N 22 = U 2

∂  P 2 = U 2 [ U 1 G21 cos δ 21 +  B21  sen δ 21  + 2 G22 U 2 + U 3 G23 cos δ 23 +  B23 sen δ 23  ] ∂ U 2

 N 23 = U 3

∂  P 2 = U 2 U 3 [ G23 cos δ 23 +  B23 sen δ 23 ] ∂ U 3

 N 32 = U 2

∂  P 3 = U 2 U 3 [ G32 cos δ 32 +  B32 sen δ 32 ] ∂ U 2

 N 33 = U 3

∂  P 3 = U 3 [ U 1 G31 cos δ 31 +  B31  sen δ 31  + 2 G33 U 3 + U 2 G32 cos δ 32 +  B32 sen δ 32  ] ∂ U 3

4=.;F : ∂ Q2  M 22 = = U 2 [ U 1 G21 cos

∂ δ 2

δ 21

+  B21  sen δ 21  + U 3 G23 cos δ 23 +  B23  sen δ 23  ]

 M 23 =

∂ Q2 = − U 2 U 3 [ G23 cos δ 23 +  B23  sen δ 23 ] ∂ δ 3

 M 32 =

∂ Q3 = − U 2 U 3 [ G32 cos δ 32 +  B32  sen δ 32 ] ∂ δ 2

 M 33 =

∂ Q3 = U 3 [ U 1 G31 cos δ 31 +  B31  sen δ 31  + U 2 G32 cos δ 32 +  B32 sen δ 32  ] ∂ U 3

4=.;F 9:  L22 = U 2

∂ Q2 = U 2 [ U 1 G21  sen δ 21 −  B21 cos δ 21  − 2 B22 U 2 + U 3 G23  sen δ 23 − B23 cos δ 23  ] ∂ U 2

 L23 = U 3

∂ Q2 = U 2 U 3 [ G23  sen δ 23 − B23 cos δ 23 ] ∂ U 3

 L32 = U 2

∂ Q3 = U 2 U 3 [ G32  sen δ 32 − B32 cos δ 32 ] ∂ U 2

 L33 = U 3

∂ Q3 = U 3 [ U 1 G31  sen δ 31 −  B31 cos δ 31  − 2 B33 U 3 + U 2 G32  sen δ 32 − B32 cos δ 32  ] ∂ U 3

Bodemos o"tener los #alores del )aco"iano partiendo de los #alores iniciales, estos son: 4=.;F G:  H 22 = − 1 [ 1,05  − 1,7157  sen 0 − 10,7'16 cos 0  + 1  − 2,7*6 sen 0 + 17,'52 cos 0  ] = 2,7315  H 23 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = − 17,'53  H 32 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = − 17,'53  H 33 = − 1 [ 1,05 − 2, 2*'  sen 0 − 13,0762 cos 0  + 1  − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0  ] = 31,12

4=.;F :

 N 22 = 1 [ 1,05  −1,7157 cos 0 + 10,7'16  sen 0  + 2 $ ',5053 $ 1 + 1 − 2,7*6 cos 0 + 17,'52 sen 0  ] =

= ','1*5  N 23 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 cos 0 − 17,'52 sen 0 ] = − 2,7*6  N 32 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 cos 0 − 17, '52 sen 0] = − 2,7*6

 N 33 = 1 [ 1,05 − 2,2*' cos 0 + 13,0762  sen 0  + 2 $ 5,0'' $1 + 1  − 2,7*6 cos 0 + 17,'52 sen 0 ] =

= ',*6*66 4=.;F :  M 22 = 1 [ 1,05  − 1,7157 cos 0 + 10,7'16  sen 0  + 1 − 2,7*6 cos 0 + 17,'52 sen 0  ] = − ',5*11  M 23 = − 1 $ 1 [ − 2,7*6 cos 0 + 17, '52 sen 0 ] = 2,7*6  M 32 = − 1 $ 1 [ − 2,7*6 cos 0 + 17, '52 sen 0 ] = 2,7*6  M 33 = 1 [ 1,05 − 2, 2*' cos 0 + 13,0762  sen 0  + 1  − 2,7*6 cos 0 + 17,'52 sen 0 

] = − 5,1**1'

4=.;F 9:  L22 =1 [ 1,05  −1,7157 sen 0 − 10,7'16 cos 0  − 2 $  −2,02'3  $ 1 + 1  − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0  ] =

= − 27,3171  L23 = 1 $ 1 [ − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = − 17,'52  L32 = 1$ 1 [ − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] = − 17,'52

 L33 = 1 [1,05 − 2,2*'  sen 0 − 13,0762 cos 0  − 2 $  −30,31 $ 1 + 1 − 2,7*6 sen 0 − 17,'52 cos 0 ] =

= 2*,507* Bodemos sustituir los #alores en la matri, de donde:  2,731' - 17,'52 ','1*5

- 2,7*6 

- 17,'52 31,12 - 2,7*6  ',*6*6    - ',5*11 2,7*6 27,3171 - 17,'52     2,7*6 - 5,1**1 - 17,'52 2*,507 

Baso '8: Bodemos calcular %a los nue#os #alores de #ariaciones de ngulos % de tensiones, para esto multiplicaremos la primera matri por la matri in#ersa de la segunda matri$

 2,731' - 17,'52 ','1*5 - 2,7*6  - 17,'52 31,12 - 2,7*6 ',*6*6     - ',5*11 2,7*6 27,3171 - 17,'52     2,7*6 - 5,1**1 - 17,'52 2*,507  Bor tanto resulta la siguiente matri:

−1

 ∆ δ  2   − 1,06'2     − 1,652  ∆ δ  3    =    0,0372  ∆ U 2 E U 2      − 0 , '2*0  ∆ U 3 E U 3   

 − 0,101066  − 0,1066'   − 0,031*17   − 0,0'255'

     

Bor tanto para la 1H iteración resulta: ∆  δ  2 = − 0,101066 radianes

∆  δ 3 = − 0,1066' radianes ∆ U 2 E U 2 = − 0,031*17 ⇒ U I2 = 0,*603  p$u$

∆ U 3 E U 3 = − 0,0'255' ⇒ U I3 = 0,*57''6  p$u$ 4 partir de estos #alores #ol#er&amos a iterar % as& sucesi#amente /asta conseguir que el error cometido sea inferior al error mimo fi)ado, esto ocurre en la cuarta iteración, siendo los resultados:

+presados estos #alores en notación polar son: U 1 = 1,05

0°

 p$u$

U 2 = 0,*5*5

− 6 , 07 °

 p$u$

U 3 = 0,*'1

− 6 , '' °

 p$u$

+#identemente son los mismos resultados que el pro"lema B1$1 !+B puesto que es el mismo circuito$ 38 onocidos los #alores de tensiones % argumento de cada uno de los nudos %a podemos calcular los flu)os de potencia por las l&neas$ +n general la potencia aparente que circula por una l&nea est definida por la epresión: U  i − U  k  S ik  = U  i  I ik J = U  i  + U  i Y ik   J  Z ik  













alcularemos la potencia en las tres l&neas pero para am"os sentidos, es decir desde KiL o "ien KiL$ =enemos:



S 12 = 1,05

0°

 1,05 0 ° − 0,*5*6 − 6, 07 °   + 1,05  j + 0 , 01'50 0 , 0*07  

J

0°

  0 +  j 0,1052*   = 1,317 +  j 0,71'  p$u$   J



S  21 = 0,*5*6

− 6 , 07 °

 0,*5*6 − 6,07 ° − 1,05 0 °   + 0,*5*6 − 6,07 °  0 +  j 0,1052*  =  0,01'50 +  j 0,0*07  = − 1,236 −  j 0,752  p$u$

on la misma teor&a, para el resto de l&neas se o"tiene: S 23 = 0,1333 +  j 0,115*  p$u$

S 32 = − 0,132*3 −  j 0,230*  p$u

S 13 = 1,71* +  j 1,13'2  p$u$

S 31 = − 1,6671 −  j 0,2***1  p$u

!e puede compro"ar que el sentido de circulación de flu)o de potencia acti#a es distinto en cada etremo de una l&nea puesto que una es aportada % otra consumida % que la suma alge"raica es siempre positi#a, esta suma corresponde a la potencia pérdida en la l&nea$ +n relación con el flu)o de potencia reacti#a, dado que cualquiera de las l&neas genera potencia reacti#a, los #alores o"tenidos dependen de la longitud de la l&nea % de las tensiones eistentes en am"os etremos$ '8 9a potencia que de"e producir el generador conectado al nudo 1 ser la suma de la  potencia que de"e in%ectar a la red ms la potencia local en el nudo 1, es decir: S G1 = S 1 + S D1

!e puede calcular por tanto, como la suma de las potencias aportadas a las l&neas ms la  potencia consumida en el nudo: S G1 = 1,317 +  j 0,71' + 1,71* +  j 1,13'2 + 0,60 +  j 0,32 = 3,636 + 2,2356

 p$u$

+n #alor a"soluto la potencia comple)a a general por el alternador conectado al nudo 1 es de: 363,6 ( ) 223,56 4$ =am"ién se podr&a determinar esta potencia por medio de la epresión: S 1 = U 1  I 1J = U 1  U 1 Y 11 + U  2 Y 12 + U  3 Y 13  J !umando posteriormente la potencia conectada al citado nudo, llegando al mismo #alor$ 58 +l rendimiento del sistema, por tanto de las l&neas ,se o"tiene teniendo en cuenta la relación entre la potencia acti#a generadas en las cargas o receptores interconectados por  medio de dic/as l&neas, di#idida por la potencia acti#a in%ectada a las l&neas, es decir ! 1, de donde: 1,15 + 1,0 ∑ Ptencias cnsu#idas a tra!"s de líneas η  M = 100 = 100 = *7,15 M 3,0365  Ptencia inyectada a las líneas