Otvoreni Tok

Marko V. Iveti

Raqunska hidraulika Otvoreni tokovi

Beograd, 2000.

2

Sadraj 1

2

3

Opxte o neustaljenom teqenju u kanalima 1.1 Osnovne pretpostavke . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hidrauliqki skok - diskontinuitet u fluidnoj 1.2.1 Stabilan hidrauliqki skok . . . . . . . 1.2.2 Pokretan hidrauliqki skok . . . . . . . 1.3 Matematiqki model neustaljenog teqenja . . . . 1.3.1 Brzina prostiranja poremeaja . . . . . 1.3.2 Karakteristike i invarijante . . . . . . 1.3.3 Gubitak energije . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . struji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Osnovne jednaqine 2.1 Jednaqina odranja mase . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Zakon odranja koliqine kretanja u pravcu toka 2.3 Razliqiti oblici Sen-Venanovih jednaqina . . . 2.4 Jednaqine za ustaljeno teqenje . . . . . . . . . . . 2.4.1 Diferencijalni oblik . . . . . . . . . . . 2.4.2 Integralni oblik . . . . . . . . . . . . . . Kinematiqki talas 3.1 Pojednostavljeni oblici jednaqina . . . . . . . 3.2 Transformacija talasa u akumulaciji . . . . . 3.3 Osnovne jednaqine modela kinematiqkog talasa 3.3.1 Analitiqko rexenje . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Numeriqki model kinematiqkog talasa 3.4 Maskingam-Kan metoda . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 7 10 10 12 15 15 18 19 21

. . . . . .

27 27 30 35 36 36 37

. . . . . .

41 41 42 43 47 49 55

3.5

4

5

Difuziona jednaqina kao model neustaljenog teqenja u otvorenim tokovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.1 Numeriqki model . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Metoda karakteristika 4.1 Numeriqki model . . . . . . 4.2 Metoda karakteristika tri 4.3 Poqetni i graniqni uslovi 4.4 Primer 1 . . . . . . . . . . . 4.5 Primer 2 . . . . . . . . . . .

. . . . taqke . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Matematiqki modeli dinamiqkog talasa 5.1 Praismanova metoda qetiri taqke . . . 5.1.1 Numeriqki model . . . . . . . . 5.2 Eksplicitne metode . . . . . . . . . . . 5.2.1 Laksova metoda . . . . . . . . . . 5.3 Metoda razdvajanja operatora . . . . . 5.3.1 Graniqni uslovi . . . . . . . . . 5.3.2 Primer . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

65 67 68 70 75 76

. . . . . . .

81 81 82 85 85 86 89 90

A Proraqun linije nivoa u otvorenim tokovima 93 A.1 Belexka o autoru (i slika mu) . . . . . . . . . . . . . 100

4

Predgovor Ova monografija je jox jednom ponovljeno izdanje Beleaka, ovog puta dostupno preko Interneta u PDF formatu. U odnosu na prethodno, koje je izaxlo 1997. godine, a obnovljeno 2000. godine, nema bitnijih izmena. Neke grexke su ispravljene a korixen je i iriliqni slog. Po tehniqkoj obradi odgovara pravoj knjizi, ali po sadraju i kompletnosti obraenog materijala jox uvek je daleko od toga. Osnovna namera, koja je dovela do xtampanja prvog izdanja, a to je da se studentima obezbedi materijal koji u potpunosti pokriva gradivo koje se predaje, nije ni ovoga puta izneverena. Obraeno je sve xto se predaje, pa i malo vixe od toga, i to upravo na naqin na koji se to predaje studentima hidrotehnike. Da bi materijal obraen u ovoj monografiji bio jox interesantniji inenjerima, koji nisu imali prilike da sluxaju ovaj predmet, nedostaje jox toga. U prvom redu to je deo o ustaljenom teqenju u otvorenim tokovima (xto predajem studentima Arhitektonskograevinskog fakulteta u Banjoj Luci) i o regulacionim karakteristikama ustava i preliva. O tome razmixljam i namera mi je da se ve za sledeu generaciju studenata pojavi kompletnije izdanje ove monografije, koje e doprineti da se cela linija od Mehanike fluida do Hidraulike 2, moe prouqavati na jedinstven naqin, i zasluiti naziv knjige. I ovo xto definitivno nije knjiga izgleda korektno najvixe zahvaljujui Donaldu Knutu i njegovom TEX-u.

Marko V. Iveti Beograd, jun 1997. (mart 2000.)

5

6

1 Opxte o neustaljenom teqenju u kanalima 1.1

Osnovne pretpostavke

Teqenje u otvorenim tokovima karakterixe neodreenost konture fluidne struje. Jedan deo konture je slobodna povrxina na kojoj je pritisak jednak okolnom (slika 1.1). Ustaljeno teqenje razmatrano je u okviru predmeta Mehanika fluida a delom u okviru Hidraulike 1. Neustaljeno teqenje u otvorenim tokovima prouqava se u okviru ovog kursa uz sledee pretpostavke: • Teqenje je linijsko (jednodimenzionalno). Koriste se veliqine reprezentativne za popreqni presek. Umesto komponenti brzine ui u svakoj taqki preseka, koriste se proticaj, odnosno, srednja brzina, kao reprezentativne veliqine za ceo popreqni

Slika 1.1: Osnovni pojmovi 7

presek:

Q 1 vk = = Ak Ak

Z

ui ni dA, Ak

gde je Ak povrxina popreqnog preseka kanala, Q, proticaj zapremine kroz povrxinu Ak . Na sliqan naqin definixu se i ostale veliqine kao, pijezometarska kota, kinetiqka energija, ukupna energija, sila pritiska itd. Takoe, pretpostavlja se da je nivo u popreqnom preseku kanala horizontalan. • Sve veliqine vezane za popreqni presek blago se menjaju du toka. Vertikalno ubrzanje u popreqnom preseku kanala je zanemarljivo. Strujnice su meusobno priblino paralelne. Odavde sledi hidrostatiqka raspodela pritisaka u popreqnom preseku kanala, kao i to da se pijezometarska kota za presek poklapa sa kotom nivoa. • Fluid je homogen i nestixljiv. • Trenje se uzima kao kod ustaljenog teqenja. • Poduni nagib dna vodotoka je mali, cos2 α ≈ 1, tako da je svejedno da li se dubina meri vertikalno na dole, ili upravno na popreqni presek fluidne struje. Osnovni zadatak u prouqavanju linijskog teqenja u otvorenim tokovima je odreivanje promena veliqina reprezentativnih za popreqni presek fluidne struje du toka u svakom vremenskom trenutku. Postoje dve (meusobno nezavisne) promenljive veliqine koje definixu stanje u svakom popreqnom preseku otvorenog toka. Za njihovo odreivanje potrebne su dve jednaqine, koje predstavljaju dva fiziqka zakona. Na raspolaganju su tri zakona odranja od kojih treba definisati dva uslova. U upotrebi su dva pristupa, koji su na prvi pogled ekvivalentni: 1. zakon odranja mase i zakon odranja koliqine kretanja, i 2. zakon odranja mase i zakon odranja energije. Kod ustaljenog teqenja dobijaju se identiqni rezultati sve dok su sve promenljive kontinualne du kanala. Meutim, u otvorenim tokovima postoje diskontinuiteti (hidrauliqki skok, naprimer) koji se ne mogu ignorisati. Kao xto je poznato, na konaqnu masu 8

fluida koji se u posmatranom trenutku nalazi izmeu dva preseka, ispred i iza stabilnog hidrauliqkog skoka, inercijalne sile i sile pritiska su u ravnotei, odakle se moe odrediti gubitak energije. Energetska jednaqina se ne moe direktno primeniti upravo zbog nepoznatog gubitka energije. Dalje, kod primene osnovnih zakona Mehanike fluida na kontrolnu zapreminu karakteristiqnu za teqenje u otvorenim tokovima, postoje dva pristupa: • integralni, kod koga se osnovni zakoni odranja primenjuju na konaqnu zapreminu fluida izmeu dva popreqna preseka na konaqnom rastojanju (unutar kontrolne zapremine mogui su diskontinuiteti), • diferencijalni, kod koga se, uz pretpostavku linearne promene svih veliqina izmeu dva bliska preseka, i primenom operatora limes, dolazi do jednaqina koje vae u okolini taqke. Diferencijalni pristup dovodi do matematiqkih modela sledeeg oblika (Streeter & Wylie, 1975): dh Id − Ie = dx 1 − Fr odnosno: d v2 Zd + h + dx 2g

!

= −Ie

Ie = Cτ

1 v2 R 2g

koji vae za ustaljeno i blago promenljivo teqenje u prizmatiqnim kanalima. Diskontinuiteti u fluidnoj struji moraju se posebno identifikovati i razmatrati na drugi naqin. Ukoliko su matematiqki (i numeriqki) modeli spremni da bez velikih problema uzmu u obzir i diskontinuitet, to im je znaqajan kvalitet. U nastavku e se relacije izvedene za hidrauliqki skok iskoristiti za definisanje generalnog modela neustaljenog teqenja, za priblino horizontalno dno i zanemarljiv uticaj trenja. Tako definisan model neustaljenog teqenja moe se primeniti za rexavanje problema neustaljenog teqenja na kraim deonicama plovnih i melioracionih kanala kod kojih se nivo regulixe ustavama, i upoxte kanala kod kojih su mogue nagle promene nivoa ili proticaja. 9

1.2 1.2.1

Hidrauliqki skok - diskontinuitet u fluidnoj struji Stabilan hidrauliqki skok

Posmatra se kontrolna zapremina izmeu preseka 1-1 i 2-2 (slika 1.2), koja obuhvata deonicu za koju, zbog velikog vertikalnog ubrzanja, nisu zadovoljene pretpostavke o prouqavanju fluidnih struja. Dno kanala je priblino horizontalno i zanemaruje se trenje.

Slika 1.2: Hidrauliqki skok Uzvodno i nizvodno od hidrauliqkog skoka teqenje je priblino horizontalno. Zakon odranja mase primenjen na kontrolnu zapreminu izmeu preseka 1-1 i 2-2, pravougaonog kanala, xirine b, daje ρv1 h1 b = ρv2 h2 b

(1.1)

Sile koje deluju na stabilan hidrauliqki skok u presecima 1-1 i 2-2 su u ravnotei, pa zakon odranja koliqine kretanja glasi: 1 1 ρgh21 b + ρh1 bv12 = ρgh22 b + ρh2 bv22 (1.2) 2 2 Zamenom jednaqine kontinuiteta (1.1) u dinamiqku jednaqinu (1.2), dobijaju se dve ekvivalentne jednaqine: v12 = gh2

(h1 + h2 ) 2h1

10

(1.3)

v22 = gh1

(h1 + h2 ) 2h2

(1.4)

Zbog nepoznavanja naqina prelaza fluida iz stanja u preseku 1-1 u stanje u preseku 2-2, u kojima je teqenje priblino horizontalno, zakon odranja energije se pixe: v12 v2 + h1 = 2 + h2 + ∆E 2g 2g

(·ρg(vh)1 b)

(1.5)

gde ∆E predstavlja razliku energije izmeu dva preseka. Jednakost je napisana za energiju po jedinici teine, kako je to uobiqajeno u hidrotehniqkoj praksi. Mnoenjem sa izrazom u zagradi dobijaju se proticaji energije kroz preseke 1-1 i 2-2. Na osnovu jednaqina (1.3) i (1.4) moe se pokazati da je veliqina ∆E razliqita od nule za svaki, konaqno veliki, hidrauliqki skok i da je jednaka: (h2 − h1 )3 ∆E = (1.6) 4h1 h2 Ako je h1 < h2 radi se o smanjenju (gubitku) energije, dok bi se, za h1 > h2 , radilo o poveanju energije u nizvodnom smeru. Prema prvom zakonu termodinamike1 i jedno i drugo je mogue (primer za to su hidrauliqke maxine). Meutim, ovde nema pokretne konture i sve se dexava u fluidu unutar kontrolne zapremine. Drugi zakon termodinamike govori o tenji prirodnih sistema da zauzmu stanje vee neodreenosti (entropije). Linijsko, priblino paralelno teqenje, predstavlja najureeniji oblik teqenja (Abbott, 1979), pa je svaki prelazak u manje ureen oblik teqenja u potpunosti mogu. Meutim, pretvaranje neureenog kretanja u ureeno, odnosno paralelno, kakvo je iza skoka, ne moe se ostvariti u potpunosti (Muxicki, 1975), pa jedan deo energije ostaje u neureenom kretanju. Vixak energije u ulaznom preseku prelazi, delom u oscilatorno kretanje sa malom periodom, a delom u energiju turbulentnog teqenja. Za vee razlike (h2 − h1 ), poveava se i deo energije koji prelazi u turbulentno teqenje. Nijedan od ovih oblika energije se ne moe prikazati veliqinama linijskog modela, pa se taj deo 1

U izolovanom sistemu, rad kojim se sistem prevodi iz stanja A u stanje B, odnosno, iz stanja B u stanje A, jednak je razlici unutraxnjih energija sistema u stanju A i stanju B.

11

energije smatra gubitkom. Hidrauliqki skok je, dakle, primer ireverzibilnog procesa. Iako to kod ustaljenog teqenja nema mnogo smisla, stabilan skok, kod koga je h1 < h2 , zove se pozitivan hidrauliqki skok. Za prelazak toka iz stanja 1 u stanje 2 pri h1 > h2 , trebalo bi dodati energiju linijskom toku, xto se ne moe desiti na horizontalnom dnu kanala. Postojanje stabilnog negativnog hidrauliqkog skoka je fiziqki nemogue. U stvari, negativni hidrauliqki skok se moe pojaviti samo trenutno u neustaljenom teqenju, ali se brzo gubi i prelazi u blago promenljivo teqenje.

1.2.2

Pokretan hidrauliqki skok

Kada sile u presecima 1-1 i 2-2, koje deluju na kontrolnu zapreminu, nisu u ravnotei, diskontinuitet se pomera du kanala. Korixenjem Galilejevog pokretnog koordinatnog sistema (slika 1.3), koji se kree zajedno sa diskontinuitetom, moe se doi do relacija za pokretni hidrauliqki skok analognih jednaqinama (1.1), (1.2) i (1.5).

Slika 1.3: Galilejev koordinatni sistem Na slici 1.3 prikazano je jednoliko pravolinijsko kretanje taqke (I), posmatrano u odnosu na koordinatni sistem A (referentni, uslovno reqeno, apsolutni), kao i njeno kretanje u odnosu na koordinatni sistem B, koji se ravnomerno kree brzinom v u odnosu na sistem A. Veza izmeu poloaja taqke u ova dva sistema glasi: (XI )A = (XI )B + v · t

(1.7)

gde je t vreme, a (XI )A i (XI )B , poloaji taqke u koordinatnom sistemu A, odnosno, B. Odatle se lako dobija i veza brzina u dva 12

Slika 1.4: Pokretni hidrauliqki skok koordinatna sistema: (vI )A = (vI )B + v

(1.8)

Svi zakoni odranja se mogu primeniti i na kontrolnu zapreminu u pokretnom koordinatnom sistemu, pod uslovom da se radi sa relativnim brzinama. Uostalom, i to xto smatramo apsolutnom brzinom (brzina u odnosu na dno), je relativna brzina ako se posmatra kretanje Zemlje. Kod pokretnog hidrauliqkog skoka se uzima da se koordinatni sistem kree zajedno sa skokom, brzinom c (slika 1.4). Posmatrajui relativne brzine u pokretnom koordinatnom sistemu smer teqenja mora biti od manje dubine ka veoj, da bi bio zadovoljen energetski uslov, E1 > E2 , ili, drugim reqima, da bi hidrauliqki skok bio stalan. Ako se uzme da je ∆h = h2 − h1 , uvek pozitivno, iz jednaqina (1.3) i (1.4) sledi: (h1 + (h1 + ∆h)) > gh1 2h1 ((h2 − ∆h) + h2 ) = g(h2 − ∆h) < gh2 2h2

(v1 − c)2 = g(h1 + ∆h) (v2 − c)2

(1.9) (1.10)

Za posmatraqa, koji se kree zajedno sa diskontinuitetom, izgleda kao da tok prelazi iz burnog u mirno teqenje jer su odgovarajui Frudovi (Froude) brojevi jednaki: (v2 − c)2 1, gh1

Za (h1 > h2 ) izgleda da tok prelazi sa vee dubine na manju. Tada se radi o negativnom hidrauliqkom skoku, koji se vrlo brzo 13

Slika 1.5: Zakon odranja mase u nepokretnom koordinatnom sistemu gubi jer zbog prvog i drugog zakona termodinamike zahteva spoljnu energiju da bi se odrao. Zakoni odranja mase i koliqine kretanja za pokretan pozitivan hidrauliqki skok glase: (v1 − c)h1 = (v2 − c)h2

(1.11)

h21 h2 = (v2 − c)2 h2 + g 2 (1.12) 2 2 Posle sreivanja dolazi se do izraza u kojima figurixu proticaji mase i koliqine kretanja u odnosu na dno: (v1 − c)2 h1 + g

c(h2 − h1 ) = (v2 h2 − v1 h1 ) "

c(v2 h2 − v1 h1 ) =

v22 h2

h2 +g 2 2

!

−

v12 h1

/ · ρb , h2 +g 1 2

(1.13)

!#

/ · ρb ,

(1.14)

Prethodni izrazi se mogu napisati skraeno c[h]21 = [vh]21 "

c[vh]21

h2 = v h+g 2

(1.15) #2

2

(1.16) 1

gde uglaste zagrade predstavljaju razlike veliqina u dva popreqna preseka. Iz prve jednaqine se vidi da je proizvod brzine pomeranja skoka i promene dubine u skoku (odnosno, poveanje zapremine izmeu fiksnih preseka 1-1 i 2-2), jednak razlici proticaja kroz preseke 1-1 i 2-2. Isto to je prikazano na slici (1.5). 14

Ovo je diskontinualni oblik zakona odranja, koji predstavlja matematiqki, ali ujedno i numeriqki, model pokretnog hidrauliqkog skoka. Zakoni odranja (1.15) i (1.16) mogu se napisati i u matriqnoj formi: "

c

ρh ρvh

#2

"

= 1

ρvh  2 2 ρ v h + g h2

#2



(1.17) 1

Veliqine na levoj strani jednaqine (1.17) se zovu ”nivoi” mase i koliqine kretanja (neuobiqajen termin u srpskom jeziku), dok su veliqine na desnoj strani proticaji mase i koliqine kretanja. Uz pretpostavku da se radi o proizvoljno malim promenama dubine i brzine, dolazi se do diferencijalnog oblika zakona odranja: c dh = d(vh) (1.18) h2 c d(vh) = d v h + g 2

!

2

1.3

(1.19)

Matematiqki model neustaljenog teqenja

Prethodna razmatranja o pokretnom hidrauliqkom skoku se mogu dalje uopxtiti, takoe, uz zanemarenje trenja i za horizontalno dno. Ono xto dokazano vai za diskontinuitet u otvorenom toku, kao xto je pokretni hidrauliqki skok, vaie i za jako male poremeaje, na koje se moe razloiti nekakva kontinualna promena dubine ili proticaja na granici, koja putuje kao poremeaj du kanala, qime e se doi do modela neustaljenog teqenja u otvorenim tokovima.

1.3.1

Brzina prostiranja poremeaja

Za razliqite kombinacije dubina i brzina mogue je razlikovati qetiri oblika pokretnog hidrauliqkog skoka (slika 1.6) meu kojima moe biti onih koji su stalnog (a. i g.) i koji su privremenog tipa (b. i v.). Problem stalnosti skoka e se ostaviti na stranu, a posmatrae se sva qetiri sluqaja kretanja beskonaqno malog poremeaja u pozitivnom i negativnom smeru x ose, kao xto je to prikazano na 15

Slika 1.6: Oblici pokretnog hidrauliqkog skoka slici (1.7). Poremeaj, promena dubine ±dh, izazvan je konstantnim beskonaqno malim izvorom (sluqajevi (a) i (b)) ili ponorom (sluqajevi (v) i (g)), smextenim u koordinatnom poqetku x = 0. Uz pretpostavku da se kao zavisno promenljive javljaju v i h, jer se moe napisati v1 , v2 → v i h1 , h2 → h, jednaqine (1.3) i (1.4) se svode na: (c − v1 )2 → (c − v)2 =

gh2 (h1 + h2 ) → gh 2h1

(1.20)

(c − v2 )2 → (c − v)2 =

gh1 (h1 + h2 ) → gh 2h2

(1.21)

Brzine prostiranja beskonaqno malih poremeaja su jednake: c± = v ±

p

gh

(1.22)

Prethodni rezultat se moe prikazati i shematski na slici (1.8), relativno u odnosu na brzinu fluida. Tragovi koje ostavljaju poremeaji (beskonaqno mali hidrauliqki skokovi) u ravni (x, t) zovu se karakteristike (slika 1.7). U svakoj taqki ravni (x, t) seku se dve karakteristike, pozitivna i negativna, u zavisnosti od znaka u jednaqini (1.22). 16

Slika 1.7: Trodimenzionalni prikaz qetiri oblika elementarnih poremeaja

Slika 1.8: Brzine propagacije poremeaja u otvorenim tokovima

17

1.3.2

Karakteristike i invarijante

Na osnovu zakona odranja koliqine kretanja doxlo se do brzine propagacije poremeaja c, a veza izmeu promene dubine dh i brzine dv u elementarnom poremeaju, moe se dobiti iz zakona o odranju mase: d(vh) = cdh. Iz jednaqine (1.22) sledi d(vh) = (v ±

p

gh)dh

(1.23)

d(vh) = v dh + h dv

(1.24)

Posmatraju se promene, posebno za svaki pravac karakteristika: 1. preko beskonaqno malog √ poremeaja, koji putuje u pozitivnom smeru brzinom, v + gh: h dv =

p

ghdh

odakle se dobije: r

dv =

g dh h

p

dv − d(2 gh) = 0

odnosno,

(1.25)

2. preko beskonaqno malog √ poremeaja, koji putuje u negativnom smeru brzinom, v − gh: p

hdv = − gh dh odakle se dobije: r

dv = −

g dh h

odnosno,

p

dv + d(2 gh) = 0

(1.26)

Izrazi (1.25) i (1.26) predstavljaju osnovna rexenja u diferencijalnom obliku za blago promenljivo, odnosno, priblino horizontalno teqenje. Promena brzine usled konaqno velikog poremeaja moe se dobiti sabiranjem (odnosno, integracijom) elementarnih promena. U ravni (x, t) postoji proizvoljno mnogo linija du kojih se mogu integrisati promene brzine i dubine. Pogodno je da te linije budu karakteristike, zato xto posmatraq koji se kree du jedne 18

Slika 1.9: Ukupna promena dubine i brzine du pozitivne karakteristike izazvana je elementarnim poremeajima (hidrauliqkim skokovima) koji putuju u negativnom smeru karakteristike ”susree” samo poremeaje koji mu dolaze u susret du karakteristika iz suprotne familije (slika 1.9). Du pozitivne karakterisitke integrixe se (1.26) i dobije se da je: p v + 2 gh = const = I+ (1.27) a du negativne karakterisitke integrixe se (1.25) i dobije se: p

v − 2 gh = const = I−

(1.28)

Veliqine I+ i I− su nepromenljive du pozitivne i negativne karakteristike, i zovu se Rimanove (Riemann) invarijante. Zajedno sa pravcima prostiranja poremeaja dx/dt = c± , Rimanove invarijante predstavljaju osnovu Metode karakteristika o kojoj e biti reqi u narednim poglavljima.

1.3.3

Gubitak energije

Postoji jedna nedoumica koju treba raxqistiti. Poxlo se od pokretnog hidrauliqkog skoka u kome je postojao odreeni gubitak energije ∆E. Prelaskom na beskonaqno male promene, od kojih se sastoje konaqne kontinualne promene, i formulisanjem Rimanovih invarijanti, koje postoje i kod diferencijalnih jednaqina, xta se dexava sa gubitkom energije? Da li postoji ili i on tei nuli? Posmatra se promena dubine du jedne karakteristike (slika 1.10). Izvrxena je podela du x na podintervale u kojima se du19

Slika 1.10: Promena dubine du jedne karakteristike bina h menja monotono. Ako se pretpostavi da je teqenje blago promenljivo broj ovih intervala mora da bude konaqan. Teqenje se dalje aproksimira u svakom podintervalu kao niz hidrauliqkih skokova i horizontalnih teqenja, za koje su zanemareni gubici energije usled trenja. Uzima se da je ukupna promena dubine na podintervalu jednaka celom broju jednakih priraxtaja ∆k h. Ako je Jk broj elementarnih hidrauliqkih skokova u k-tom podintervalu, ukupan gubitak energije (ustvari, ukupna promena energije u jedinici vremena du jedne karakteristike), je uvek manji od Jk K X X k=1 j=1

ρg|Vj | 4hj

!

|∆k h|3 ,

(1.29)

k

jer su svi gubici raqunati kao pozitivni. Dalje je K X dE ρg|vj | ≤ max j dt 4hj k=1

"

!#

Jk |∆k h|3 .

(1.30)

k

Moe se iskoristiti jednakost Jk |∆k h| = |h(ak ) − h(bk )|

(1.31)

gde su h(ak ) i h(bk ) dubine na poqetku i na kraju podintervala k. Na celom intervalu du karakteristike, od preseka a1 do preseka  ρg|v(x)| bK , trai se najvea vrednost qlana 4h(x) dE ≤ max a1 hkr , odnosno, I0 < Ikr , gde je Ikr nagib dna pri kome je normalna dubina jednaka kritiqnoj. Za sluqaj mirnog teqenja, kada je I0 > Ikr , 96

Slika A.2: Sluqaj za koji je svaka metoda proraquna nestabilna metoda je nestabilna bez obzira na duinu priraxtaja ∆x. Medjutim, to nije od velikog praktiqnog znaqaja, jer se radi o relativno kratkim deonicama, na kojima su linije nivoa, na jednom delu, priblino horizontalne (slika A.2). Za dva sluqaja raqunanja u uzvodnom smeru, linija uspora (h > hn ) i linija depresije (hkr < h < hn ), metoda je uslovno stabilna. Kod raqunanja linije nivoa u burnom teqenju metoda je uslovno stabilna za sluqajeve kada je h < hn i hn < h < hkr , a bezuslovno nestabilna za sluqaj kada je h < hkr < hn , odnosno, za burno teqenje u kanalu u kome je I0 < Ikr . Sliqno napred reqenom, i prikazanom na slici (A.2), radi se o relativno ”kratkim” linijama gde se dubina brzo menja zbog intenzivnog gubitka energije, pa su posledice takve grexke male. Kod prediktor-korektor metode primenie se isti postupak ispitivanja stabilnosti: hi+1 + i+1 − hi − i 1 = [f (hi+1 + i+1 , xi+1 ) + f (hi + i , xi )] ∆x 2

(A.17)

1 hi+1 + i+1 − hi − i ≈ [f (hi+1 , xi+1 ) + i+1 fh (hi+1 , xi+1 ) + fi + i fh,i ] ∆x 2 (A.18) 1 1 i+1 − i = i+1 fh,i+1 + k fh,i . (A.19) ∆x 2 2 97

Uz pretpostavku fh,i+1 ≈ fh,i dolazi se do izraza: i = i+1

1 − 21 fh ∆x . 1 + 12 fh ∆x

(A.20)

Poxto je fh > 0, za hn > hkr , metoda je bezuslovno stabilna, jer je: 1 − 1 f ∆x 2 h ≤ 1, 1 + 1 fh ∆x 2

odnosno, |i | ≤ |i+1 | .

(A.21)

Za mirno teqenje i Id > Ikr , i ova metoda je nestabilna. Moe se nai i oqiglednije objaxnjenje za ponaxanje priblinog rexenja obiqne diferencijalne jednaqine i za smer proraquna, koji nas jednom vodi sve blie taqnom rexenju a drugi put ne. Na slici (A.3) prikazana su dva dijagrama sa familijama integralnih linija, koja predstavljaju rexenja diferencijalne jednaqine. Na oba dijagrama isprekidanom linijom obeleena je kriva koja za date poqetne uslove odgovara taqnom rexenju. Na oba dijagrama krive se udaljavaju jedna od druge u smeru porasta x, a razlikuju se smerovi proraquna. Ako se pretpostavi da prva taqka odstupa od taqnog rexenja, taqke priblinog rexenja dobijene Ojlerovom metodom zauzee poloaje kao na skici. U prvom sluqaju, ako je poqetna vrednost ispod taqnog rexenja, procenjena vrednost prvog izvoda bie manja od stvarne i sledea taqka e se jox vixe udaljiti od taqnog rexenja. U drugom sluqaju, sa promenjenim smerom raqunanja, priblino rexenje se za razumno veliki korak integracije vraa taqnom rexenju. Izbor smera raqunanja kod otvorenih tokova, pored fiziqkog smisla koji ima, uvek nas stavlja u poziciju kao na slici (A.3), dijagram desno. To su sluqajevi gde se linije nivoa bez obzira na vrednost nametnutu tzv. kontrolnim presekom, u beskonaqnosti pribliavaju normalnoj dubini.

Literatura [1] Iveti M., 1996, Raqunska hidraulika - Teqenje u cevima, Graevinski fakultet, Beograd. [2] Jensen P., 1979, Principles of river engineering, Pitman. [3] Streeter V.L. & Wylie E.B., 1975, Fluid Mechanics, 6th edition, McGraw-Hill.

98

Slika A.3: Uticaj smera proraquna na odstupanje od taqnog rexenja (stabilnost)

99

A.1

Belexka o autoru (i slika mu)

Ovo je autor. Roen je 1952. godine u Krupnju. Diplomirao je na Graevinskom fakultetu u Beogradu 1975., gde je i magistrirao 1979. Doktorsku disertaciju odbranio je na Kyoto Univerzitetu 1989. Qlan je IAHR (meunarodno udruenje za hidrauliqka istraivanja), sekretar JDHI (Jugoslovenko udruenje zaz hidrauliqka istraivanja). Predaje hidrauliku i raqunsku hidrauliku na Graevinskom fakultetu u Beogradu i mehaniku fluida i hidrauliku na Arhitektonsko graevinskom fakultetu u Banjoj Luci.

100