Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti 1 - Predavanja

Prof. dr. sc. Pavao Marović

Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009

Otpornost materijala I

1

Nastavnici Prof.dr.sc. Pavao Marović, dipl.ing.građ. Doc.dr.sc. Mirela Galić, dipl.ing.građ. Marko Bertolino, dipl.ing.građ.

Otpornost materijala I

Opći uvod

2

Opće uvodne napomene

(vidi posebni list s pravilima i obavijestima)

Otpornost materijala I

Opći uvod

3

Sadržaj predmeta: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Uvod Analiza naprezanja Analiza deformacija Deformabilne karakteristike čvrstih tijela Linijske konstrukcije – Djelovanje uzdužne sile Posmik – Djelovanje poprečne sile (Odrez) Torzija (uvrtanje) Savijanje ravnih štapova

Otpornost materijala I

Opći uvod

4

Literatura: [1] V. Šimić, Otpornost materijala I, Školska knjiga, Zagreb, 1. izdanje – 1992., 2. izdanje – 2001., 3. izdanje – 2007. [2] S.P. Timošenko, Otpornost materijala I, Građevinska knjiga, Beograd, 1964. [3] I. Alfirević, Nauka o čvrstoći, Tehnička knjiga, Zagreb, 1989. [4] D. Bazjanac, Nauka o čvrstoći, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973. [5] Z. Kostrenčić, Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb, 1982. [1] Z. Kostrenčić, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala, Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 1971. [2] P. Marović, Zbirka riješenih zadataka iz Otpornosti materijala I, Građevinski fakultet Sveučilišta u Splitu, Split, xxxx

Otpornost materijala I

Opći uvod

5

1. UVOD ♦

OM – Definicija i praktična svrha:

Definicija: Otpornost materijala je skup analitičkih metoda za analiziranje mehaničkog ponašanja čvrstih tijela uslijed djelovanja raznih utjecaja.  promjena stanja naprezanja i deformacija

ili:

Otpornost materijala je znanost o čvrstoći i krutosti elemenata inženjerskih konstrukcija.

čvrstoća: najveće naprezanje kod kojeg dolazi do razaranja materijala krutost: otpor materijala prema deformacijama (promjene oblika i volumena) Otpornost materijala I

1. Uvod

6

G. Galilei (1638) → → S.P. Timošenko (~1920) “znanost o otpornosti materijala”

Praktična svrha: Određivanje naprezanja i deformacija u bilo kojoj točki konstrukcije koji nastaju uslijed djelovanja raznih utjecaja, radi dimenzioniranja elemenata konstrukcije. → sigurnost i ekonomičnost Razni utjecaji: statički - dinamički

Otpornost materijala I

1. Uvod

7

♦ Osnovna ideja: Tijela nisu apsolutno kruta; tijela su deformabilna tj. udaljenost između pojedinih točaka tijela se mijenja pod djelovanjem raznih utjecaja, ali uvijek ovisno o fizikalnim karakteristikama materijala. F A

A1

L0

ΔL=L0-L1

L1

DEFORMACIJA (DL) je promjena udaljenosti između dviju točaka (dužina AB u dužinu A1B)

d1d0 B B

Otpornost materijala I

POMAK (dA) je promjena položaja jedne točke u prostoru (A u A1)

1. Uvod

8

Osnovne pretpostavke u Otpornosti materijala 1.

Pretpostavka o neprekinutosti materijala Materijal ispunjava cijeli oblik tijela → ako je tijelo u ravnoteži, onda je i svaki njegov dio u ravnoteži → možemo koristiti Metodu presjeka

2.

Pretpostavka o elastičnom ponašanju materijala po uklanjanju vanjskih uzroka, materijal se vraća u prvobitno stanje/položaj – uzima se da je veza između elastičnih deformacija čvrstog tijela i utjecaja koji uzrokuju te deformacije LINEARNA elastičnost – elastična def. – granica elastičnosti

Otpornost materijala I

1. Uvod

9

3.

Materijal je homogen i izotropan HOMOGEN – materijal ima jednaka svojstva u svim točkama tijela u suprotnom je materijal NEHOMOGEN IZOTROPAN – materijal ima ista svojstva u svim smjerovima u suprotnom je materijal ANIZOTROPAN Ortotropan – ima jednaka, ali različita, svojstva u dva međusobno okomita smjera

4.

Pretpostavka o malim deformacijama Deformacije su relativno male u odnosu na dimenzije tijela → jednadžbe ravnoteže postavljaju se na “kruto” – nedeformirano tijelo

Otpornost materijala I

1. Uvod

10

Tipovi problema F

Linijski – štapni F F1

Ravninski F2 Fn

Prostorni

Otpornost materijala I

1. Uvod

11

Uzroci promjena stanja naprezanja i deformacija A. Zapreminski uzroci -

Gravitacijske sile (vlastita težina) Inercijalne sile Promjena temperature Skupljanje

B. Površinski uzroci -

Otpornost materijala I

VANJSKE SILE

Koncentrirane sile Kontinuirane sile

1. Uvod

12

Pojam unutarnjih sila Unutarnje sile se javljaju između pojedinih dijelova tijela na zamišljenim prerezima čvrstog tijela u napregnutom stanju. Fi

Vanjske sile su u ravnoteži.

Fn II I F2 F1

Otpornost materijala I

1. Uvod

13

y Ty R Fn My

M Nx

x

n

unutarnje sile se reduciraju u težište poprečnog presjeka

Mx

R – glavni vektor sila I Mz F1

Tz z

Otpornost materijala I

M – glavni moment

Unutarnje sile Način određivanja Nx - uzdužna sila Sx=0 Ty - poprečna sila Sy=0 Tz - poprečna sila Sz=0 Mx - moment torzije SM(x)=0 My - moment savijanja SM(y)=0 Mz - moment savijanja SM(z)=0 1. Uvod

6 uvjeta ravnoteže 14

Pojam naprezanja n

y Fn

sn I

II

v

- ravnoteža vanjskih sila - isječeni dio tijela je u ravnoteži zbog unutarnjih sila

M

u

F1 w

x

x-y-z globalni koordinatni sustav u-v-w lokalni koordinatni sustav Koordinatnu os v postavljamo u smjeru normale n

z

Otpornost materijala I

1. Uvod

15

Naprezanje možemo shvatiti kao da je to srednja vrijednost sile na nekoj površini Ako je

 s n vektor totalnog ili punog naprezanja   F dF  sn  lim  dA 0 A dA

 F   sn A

Komponente vektora totalnog naprezanja:

s s 2 n

2 nv

s  s 2 n

Dimenzije:

Otpornost materijala I

s 2 nk

2 nu

s

2 nw

prvi indeks – smjer normale drugi indeks – smjer komponente

, k  u, v, w N Pa   2 , m 

 N // kN // MN  mm 2 // cm2 // m2  1. Uvod

16

Ostale teorije i metode Imaju isti cilj kao i Otpornost materijala - Teorija elastičnosti - Teorija plastičnosti (razni specifični modeli materijala)

- Analitičke metode – Numeričke metode (MKD, MKE, RI, itd.) Analiza naprezanja i deformacija: Dimenzioniranje < = > Projektiranje

Otpornost materijala I

1. Uvod

17

Metode – postupci dimenzioniranja 1.

Klasična metoda – koeficijent sigurnosti (dopuštena naprezanja) - preko kritičnog naprezanja

s kr ks  1  s max

s max

s kr   s dop ks

- preko kritičnog opterećenja

Qkr Qkr kQ   1  Qmax   Qdop Qmax kQ Otpornost materijala I

1. Uvod

18

Metode – postupci dimenzioniranja 2.

Metoda loma – metoda graničnih stanja

s max   s  s L Rmax   R  RL 3.

Numeričke metode

Otpornost materijala I

1. Uvod

19

2. ANALIZA NAPREZANJA 2.1 - Komponente naprezanja n

y Fn T I

sn

II

x-y-z globalni k. sustav u-v-w lokalni k. sustav

v

M

u

F1 w

x

Slijedeća zadaća: Vektor punog naprezanja rastaviti u komponente u smjeru lokalnih i globalnih koordinatnih osi.

z Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

20

Komponente vektora punog naprezanja u smjeru lokalnih koordinatnih osi

    s n  s nu  s nv  s nw 2 2 2 s n2  s nv  s nu  s nw

y

snu M

sn

v

snv

2 s n2   s nk , k  u, v, w

prvi indeks – smjer normale drugi indeks – smjer komponente

snw u

w

x

z Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

Predznaci komponenti naprezanja + , smjer komponente naprezanja poklapa se sa smjerom koordinatne osi

21

Komponente vektora punog naprezanja za presjeke u smjeru globalnih koord. osi

Npr. za

s nv  s nx  s xx s nu  s ny  s xy

sn

y

snu Fn

T

F1

s nw  s nz  s xz

M

snw

w

snv n

v

x u

z Otpornost materijala I

n = x ; k = x, y, z

1. indeks – smjer normale naprezanja 2. indeks – smjer komponente vektora naprezanja Jednaki indeksi – normalna n. Različiti indeksi – posmična n.

s n2   s ij2

i, j  x, y, z

sij uz i, j  x, y, z  9 komponenti 2. Analiza naprezanja

22

sij uz i, j  x, y, z  9 komponenti

s xx

s xy

s xz

s ij  s  s yx s zx

s yy s zy

s yz s zz

Tenzor naprezanja

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

23

2.2 – Homogeno stanje naprezanja s yy

s yx s yz

s xy s xx

s zy

s zx

dy s zz

y

s xz

dz dx

x

z Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

Diferencijalni element je u ravnoteži s 18 komponenti naprezanja (9 na vidljivim plohama i 9 na nevidljivim plohama) 24

Homogeno stanje naprezanja za ravninske probleme s yy

s yx s xy

s xx

s xx s xy

dy Ovaj prikaz je pozitivna (+) tenzorska notacija

dx

y

s yx x

Otpornost materijala I

(smjer normale odnosno smjer komponente naprezanja poklapa se sa smjerom odgovarajuće koordinatne osi)

s yy

2. Analiza naprezanja

25

2.3 – Nehomogeno stanje naprezanja

dy

s yy s yy  dy Diferencijalni prirast y naprezanja na dif. s yx s yx  dy razmacima dx, dy, dz. y s yz Imamo komponente s xy s yz  dy s xy  dx zaprem. sila (Fx, Fy, Fz) y x s zy s zy  dz s xx s  dx z xx x  s y s xz s zx  zx dz s  dx z xz x Možemo postati 6 jedn. ili z uvjeta ravnoteže: s zz x s zz  dz z dz

Sx=0 Sy=0 Sz=0

dx Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

SM(x)=0 SM(y)=0 SM(z)=0

26

• Npr. za Sx=0

(napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE)

s xx   dx   dy  dz  s xx  dy  dz   s xx  x   s yx     s yx  dy   dz  dx  s yx  dz  dx  y   s zx     s zx  dz   dx  dy  s zx  dx  dy  z   1 dx  dy  dz  Fx  dx  dy  dz  0 Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

27

s xx s yx s zx    Fx  0 x y z s xy s yy s zy    Fy  0 x y z s xz s yz s zz    Fz  0 x y z s ij  Fj  0  i Otpornost materijala I

i, j  x, y, z 2. Analiza naprezanja

Cauchy-jeva jednadžba ravnoteže ili diferencijalna jednadžba ravnoteže 28

• Npr. za SM(y)=0

(napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE)

s xx dz dz  s xz    s  dx  dy  dz   s  dy  dz   s  dx   dy  dz  dx   xx   xz xx x 2 2  x    s yx   dz dz   s yx  dy   dx  dz   s yx  dx  dz   y 2 2   s yz   dx dx   s yz  dy   dx  dz   s yz  dx  dz   y 2 2   s zz  dx dx  s zx     s zz  dz   dx  dy   s zz  dx  dy    s zx  dz   dx  dy  dz  z 2 2  z    1 dz dx dx  dy  dz  Fx  dx  dy  dz   Fz  dx  dy  dz  0 2 2

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

29

Nakon svih skraćivanja i zanemarivanja diferencijalnih prirasta (mali su u odnosu na σzx i – σxz) dobiva se: σzx = σxz te analogno σxy = σyx i σyz = σzy Zakon recipročnosti ili zakon uzajamnosti posmičnih naprezanja na međusobno okomitim plohama: σij = σji

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

30

• Posljedica: 3 i 3 komponente naprezanja u tenzoru naprezanja su jednake.

s xx

s xy

s xz

s ij  s  s xy s xz

s yy s yz

s yz s zz

Tenzor naprezanja je simetričan i ima samo 6 komponenti.

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

31

2.4 – Jednadžbe transformacija Uz poznatih 6 komponenti naprezanja (tenzor naprezanja) u tri ortogonalne ravnine može se izračunati naprezanje za presjek – ravninu pod bilo kojim kutem. Slijedeća zadaća: Prikazati komponente vektora punog naprezanja u smjerovima lokalnih osi u-v-w kao i globalnih osi x-y-z.

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

32

Vektor punog naprezanja i njegove komponente

s n2  s 2vv  s 2vt

s s s s

2 vw

s s s s

2 nz

2 n

2 n

A)

2 vv

2 nx

2 vu

2 ny

3 jedn. tipa SM(i)=0 su zadovoljene zbog infinitezimalnih veličina krakova sila

B)

3 jedn. tipa SFi=0 daju komponente σnx, σny, i σnz

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

33

• Npr. za Sx=0

(napomena: Uvjeti ravnoteže se postavljaju za SILE)

s nx  dF  s xx  dF  cosxn   s yx  dF  cosyn  1  s zx  dF  coszn  Fx   dh  dF 3

1 dF

snx  s xx  cosxn  s yx  cosyn  s zx  coszn

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

34

snx  s xx  cosxn  s yx  cosyn  s zx  coszn Slijedi: Opći oblik komponenata vektora punog naprezanja u smjerovima glavnih osi

snj   sij  cosin i, j  x, y, z uz uvjet kompatibilnosti: 2 in  1 i  x, y, z cos 

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

35

Slijedi: Određivanje komponenata vektora punog naprezanja u smjerovima lokalnih koordinatnih osi u-v-w Komponenta u smjeru osi v, n≡v

s vv  s nx  cosxv   s ny  cosyv   s nz  coszv     s nj  cos jv 

j  x, y, z

Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru normale n (uz n≡v)

s vv   sij  cosiv   cos jv  i, j  x, y, z

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

36

s vv   sij  cosiv   cos jv  i, j  x, y, z Razvijen i sređen, ovaj izraz glasi:

s vv  s xx  cos 2 xv   s yy  cos 2 yv   s zz  cos 2 zv    2s xy  cosxv   cosyv  

 s yz  cosyv   coszv    s zx  coszv   cosxv 

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja



37

Komponenta vektora punog naprezanja u smjeru osi u Pravac (os) u┴v Uvjet kompatibilnosti Uvjet ortogonalnosti

Scos2(iu)=1 Scos(iv)cos(iu)=0

s vu  s nx  cosxu   s ny  cosyu  s nz  coszu    s nj  cos ju

j  x, y, z

Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru osi u

s vu   sij  cosiv   cos ju i, j  x, y, z Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

38

s vu   sij  cosiv   cos ju i, j  x, y, z Razvijen i sređen, ovaj izraz glasi: s vu  s xx  cosxv   cosxu   s yy  cosyv   cosyu  s zz  coszv   coszu   s xy cosxv   cosyu  cosyv   cosxu    s yz cosyv   coszu  coszv   cosyu   s zx coszv   cosxu   cosxv   coszu

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

39

Komponenta vektora punog naprezanja u smjeru osi w Pravac (os) w┴v i pravac (os) w┴u Uvjet kompatibilnosti Uvjeti ortogonalnosti

Scos2(iw)=1 Scos(iv)cos(iw)=0 Scos(iu)cos(iw)=0

s vw  s nx  cosxw   s ny  cosyw   s nz  coszw     s nj  cos jw 

j  x, y, z

Uz zamjenu prethodno određenog σnj dobivamo opći oblik komponente naprezanja u smjeru osi u

s vw   sij  cosiv   cos jw  i, j  x, y, z Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

40

Ako se pogledaju prethodna 3 razvijena izraza

s vv   sij  cosiv   cos jv  i, j  x, y, z s vu   sij  cosiv   cos ju i, j  x, y, z s vw   sij  cosiv   cos jw  i, j  x, y, z Vidimo da su slični, pa iz toga možemo izvući opću jednadžbu transformacija komponenata vektora punog naprezanja:

s kl   s ij  cosik   cos jl i, j  x, y, z k, l  u, v, w Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

41

• Tenzor vektora punog naprezanja:

s uu

s uv

s uw

s kl  s  s uv

s vv

s vw

s uw

s vw

s ww

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

42

2.5 – Jednadžbe transformacija u ravnini Pomoću opće jednadžbe transformacija

s kl   s ij  cosik   cos jl i, j  x, y, z k, l  u, v, w uz ograničenja: 1) σzz = σzx = σzy = 0 2) i,j = x,y 3) k,l = n,t

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

43

ili možemo uzeti diferencijalni element sa svim komponentama naprezanja i postavljati jednadžbe / uvjete ravnoteže n’ y

n

Uz oznake: σnn

ds cos σxx t

kut (xn) ≡ kut  kut (yn) ≡ kut (90°-)

σnt

σxy

ds 

x σyx

ds sin σyy

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

44

Postavljajući jednadžbe ravnoteže (ne za naprezanja, nego za sile), dobivamo za komponentu u smjeru normale:

s nn  s xx  cosxn   cosxn   s xy  cosxn   cosyn   s yx  cosyn  cosxn   s yy  cosyn  cosyn 

 s xx  cos 2   s yy  sin2   2s xy  sin   cos  odnosno, nakon sređivanja:

s nn  s xx  cos   s yy  sin   s xy  sin 2 2

Otpornost materijala I

2

2. Analiza naprezanja

45

Postavljajući jednadžbe ravnoteže (ne za naprezanja, nego za sile), dobivamo za komponentu u smjeru tangente:

s nt  s xx  cosxn   cosxt   s xy  cosxn   cosyt  

 s yx  cosyn  cosxt   s yy  cosyn  cosyt  

 s xx  cos    sin    s yy  sin   cos    s xy  cos 2   s yx  sin    sin   

 s yy  s xx   sin   cos   s xy  cos 2   sin 2   odnosno, nakon sređivanja:

s yy  s xx s nt  sin 2  s xy  cos 2 2 Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

46

2.6 – Cauchy-jeva ploha naprezanja Promjenom položaja presječne ravnine mijenja se položaj normale a njime i veličine kosinusa kutova cos(in) i=x,y,z uz uvjet kompatibilnosti Scos2(in)=1. → tada se mijenjaju i komponente naprezanja σvv, σvu i σvw .

C2  s xx X2  s yy Y 2  s zz Z 2  2s xy XY  s yz YZ  s zx ZX Ovo je Cauchy-jeva ploha naprezanja – jednadžba plohe drugog reda sa središte u ishodištu koordinatnog sustava x-y-z.

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

47

2.7 – Smjerovi i veličine glavnih naprezanja Ako u nekom presjeku nema posmičnih naprezanja (σij=0), onda za postojeća normalna naprezanja kažemo da su to glavna naprezanja. Položaj normale na takav presjek definira smjerove glavnih naprezanja. Glavna naprezanja imaju ekstremne vrijednosti – najveće i najmanje. σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 σk0l0 → glavna naprezanja za k0 = l0 uz k0,l0 = u0, v0, w0 čime je definiran lokalni koordinatni sustav koji određuje smjerove glavnih naprezanja Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

48

Za odrediti smjerove i veličine glavnih naprezanja može se koristiti 9 uvjeta:

Scos2(ik0) = 1 3 uvjeta kompatibilnosti Scos(ik0) cos(il0) = 0 3 uvjeta ortogonalnosti σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 3 uvjeta iz analize naprezanja ( σu0v0 = σv0w0 = σw0u0 = 0 ) Ovo je dovoljno za odrediti 9 nepoznanica – 9 kosinusa kutova cos(ik0) uz i=x,y,z, k0=u0,v0,w0 glavnih naprezanja. Ovaj postupak je veoma složen, te se koristi slijedeći:

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

49

y

σn = n σ m

n σm

v0

Pretpostavimo da se jedan od smjerova glavnih naprezanja poklapa sa smjerom normale na presjek.

Komponente vektora punog naprezanja su: σnj=Sσijcos(in) x

Za n = v0 imamo z

snj  sm  cos jv0    sij  cosiv 0  i, j  x, y, z

3 jednadžbe Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

50

s nx  1 s xx  cosxv 0   s xy  cosyv 0   s xz  coszv 0   s m  cosxv 0   0

s ny  2 s xy  cosxv 0   s yy  cosyv 0   s yz  coszv 0   s m  cosyv 0   0 s nz  3  s xz  cosxv 0   s yz  cosyv 0   s zz  coszv 0   s m  coszv 0   0

Za 4 nepoznanice (σm, cos(xv0), cos(yv0) i cos(zv0)) potrebna je još jedna jednadžba, a ta se uzima iz uvjeta kompatibilnosti Scos2(iv0)=1 → (4) cos2(xv0)+cos2(yv0)+cos2(zv0)=1

cosxv 0  cosyv 0  coszv 0  N jx

s xx  s m

s xy

s xz

0

jy

s xy

s yy  s m

s yz

0

jz

s xz

s yz

s zz  s m

0

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

51

Kako su članovi na desnoj strani jednadžbe jednaki nuli, to je jedino moguće rješenje ako je determinanta sustava 3x3 jednaka nuli, iz čega se dobiva: σm3 - I1σm2 + I2σm - I3 = 0

Tri korijena (rješenja) ove jednadžbe trećeg reda uvijek su realna i predstavljaju veličine glavnih naprezanja u tri međusobno okomita smjera: σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3

Kako veličine glavnih naprezanja ne ovise o izboru koordinatnog sustava, to su veličine I1, I2 i I3 nepromjenjive odnosno invarijantne veličine koje se, u ovom slučaju, nazivaju invarijante naprezanja.

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

52

Invarijante naprezanja

I1  s xx  s yy  s zz  s 1  s 2  s 3   s ii I2  s xx s yy  s yy s zz  s zz s xx  s  s  s 2 xy

2 yz

2 zx

1 2 I2   s ii  s jj  s ij  2 s xx s xy s xz I3  Det s xy

s yy

s yz

s xz

s yz

s zz

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

53

2.8 – Glavna naprezanja u ravnini Pomoću opće jednadžbe transformacija

skl   sij  cosik   cos jl uz ograničenja: i,j = x,y i k,l = n,t i uvodeći oznake za: kut (xn) ≡ kut  i kut (yn) ≡ kut (90°-) dobivamo izraze:

1

s nn  s xx  cos 2   s yy  sin2   s xy  sin 2

2

s yy  s xx s nt   sin 2  s xy  cos 2 2

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

54

Za 0 → σn0t0 = 0 te iz (2) dobivamo izraz za smjerove glavnih naprezanja:

2s xy tg2 0   0 s xx  s yy 0=1 i 0 = 2 = 90+1

y n

0=2 =90+1 t

Za određene 0=1, 2 iz (1) dobivamo: σnn=σ1, σ2 pri čemu je σ1 ≥ σ2

Otpornost materijala I

0=1

x

2. Analiza naprezanja

55

s nn  s xx  cos 2   s yy  sin 2   s xy  sin 2 sin 2   cos 2   1 cos 2   sin 2   cos 2 1  cos 2 cos   2 1  cos 2 2 sin   2 2

1  cos 2 1  cos 2 s nn  s xx  s yy  s xy sin 2 2 2 s xx  s yy s xx  s yy s nn   cos 2  s xy sin 2 2 2 Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

56

s xx  s yy s xx  s yy s nn   cos 2  s xy sin 2 2 2 sin 2 

s

2s xy

2

xx

2σxy

cos 2  20

·

 s yy   4s 2xy

s

s xx  s yy

 s yy   4s 2xy 2

xx

σxx-σyy

s xx  s yy s xx  s yy s1    2 2

Otpornost materijala I

s

s xx  s yy

 s yy   4s 2

xx

2. Analiza naprezanja

2 xy

 s xy 

s

2s xy

 s yy   4s 2xy 2

xx

57

Kad prethodni izraz sredimo, dobivamo izraze za veličine glavnih naprezanja u ravnini:

s xx  s yy 1 2 s xx  s yy   4s 2xy s1   2 2 s xx  s yy 1 2 2   s2   s xx  s yy  4s xy 2 2 što pojednostavljeno pišemo u obliku:

s1,2

Otpornost materijala I

s xx  s yy 1   2 2

s

 s yy   4s 2xy 2

xx

2. Analiza naprezanja

58

Zadano stanje naprezanja

y

Glavna naprezanja

σyy σxy σ2

σ1 2

σxx

1

σxy σ2 σxy

Otpornost materijala I

x

s xx  s yy

σ1 2s xy tg2 0  s xx  s yy

σxy σxx

σyy

2. Analiza naprezanja

 0  45  s yy  s xx  0  45 

59

2.9 – Lame-ov elipsoid naprezanja Postavimo koordinatni sustav x-y-z da bude u smjerovima glavnih osi (uvjet: σk0l0 = 0 za k0 ≠ l0 ). Komponente vektora punog naprezanja su: s nj 

s nj   s ij  cosin

cosin  

sm



s nj  s m  cosin uz m  1,2,3 Iz uvjeta kompatibilnosti Scos2(in)=1 dobiva se: 2 s  s nj  s s nz    2  2 1   s s2 s3  sm  2

Otpornost materijala I

2 nx 2 1

2 ny

2. Analiza naprezanja

Jednadžba elipsoida s poluosima σm 60

y

σ2 σny

σ1

n σ3 σn σnx σ1

σnz

x

σ3 z

2 2 s ny s nx  1 s12 s 22

σ2

U ravnini elipsoid naprezanja degenerira u elipsu naprezanja (σ3=0, i=x,y):

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

61

y

n σ2 σny σ1

A’’ 

O

A’ A

σnn

σnt

s nn  s nx cos   s ny sin  s nn  s1 cos 2   s 2 sin2 

σn σnx

σ1

x

s nx  s1  cos  s ny  s 2  sin 

σ2 s nt  s nx sin   s ny cos  s nn  s 1 cos   sin   s 2 sin   cos  s nt  s 2  s 1  sin   cos  

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

s 2  s1 sin 2 2 62

2.10 – Mohr-ova kružnica naprezanja Grafički postupak određivanja veličine i smjera glavnih naprezanja. 2s xy tg2 0  s xx  s yy s1,2

s xx  s yy 1   2 2

s

σxy

 s yy   4s 2xy 2

xx

σyy σxx

σxx

Ovaj prikaz je pozitivna (+) Mohr-ova notacija

σxy

σxy

y x

Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

σyy

σxy 63

σxy

σ1

σxx (σxx+ σyy )/2

σxy

σ2 x

σxy

20 

σyy σ2

σxx

σ2 0

σxy

S

x

σ σxy xx σxy σ1 σyy σxx σyy

σxy σyy σ1

Otpornost materijala I

σxx-σyy

2. Analiza naprezanja

Moguća je i obrnuta zadaća da su zadana glavna naprezanja (σ1,σ2) te da se traže komponente naprezanja pod zadanim kutom . 64

3. ANALIZA DEFORMACIJA 3.1 – Pomak i deformacija y

Fi Fn

M1(x1,y1,z1)

p

r1

M(x,y,z)

Pomak definira veličinu promjene položaja jedne točke. Deformacija definira promjenu veličine međusobne udaljenosti dviju točaka.     r  x  i  y  j  z k

r j

i k z Otpornost materijala I

F1

x

Vektor pomaka točke M   p  px, y, z 

Novi položaj točke M1 3. Analiza deformacija

   r1  r  p 65

Komponente vektora pomaka p u u-v-w koordinatnom sustavu:

    p  u i  v  j  w k

imajući na umu da je u=u(x,y,z) , v=v(x,y,z) i w=w(x,y,z) -----Pomak točke M je nastao uslijed: 1) Translacije - p  p 2) Rotacije -  p 3) Deformacije 0

ROT

DEF

Dakle:

Otpornost materijala I

    p  p0  pROT  pDEF 3. Analiza deformacija

66

Translacija:

 Rotacija: pROT

    p0  u0  i  v 0  j  w 0  k    i j k      r  x y z 

x

y

z

     y  z   z  y   i   z  x   x  z   j   x  y   y  x   k Npr. ωz

y

+ωz·x

P1

rxy·tgωz≈rxy· ωz P

z Deformacija: Otpornost materijala I

ωz rxy y  x

- ωz· rxy·sin=-ωz ·y

    pDEF  uDEF  i  v DEF  j  w DEF  k 3. Analiza deformacija

67



Ukupne komponente vektora pomaka p

u = uo + (ωy·z - ωz·y) + uDEF v = vo + (ωz·x - ωx·z) + vDEF w = wo + (ωx·y - ωy·x) + wDEF POMACI KRUTOG TIJELA

DEFORMACIJE

Pomaci krutog tijela ne utječu na stanje naprezanja !!! Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

68

3.2 – Komponente deformacija B1

w dx x

y B P1(x1,y1,z1)

dy

dx

p

A1  u A dx x

v dx x

A P(x,y,z) C O

dz

dx C1 x

z Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

Nedefor. dužine dx=PA dy=PB dz=PC

Deform. dužine P1A1 P1B1 P1C1 69

Točka Koordinte prije def. P

x, y, z

A

x  dx y z

B

x y  dy z

C

x y z  dz

Otpornost materijala I

Koordinate poslije deform. x  u, y  v, z  w u x  dx  u  dx x v y  v  dx x w zw dx x u x  u  dy y v y  dy  v  dy y w zw dy y u x  u  dz z v y  v  dz z w z  dz  w  dz z 3. Analiza deformacija

70

Razmak PA se promijenio u P1A1 , pa se relativna promjena dužine PA može izraziti kao: u   v   w   dx   dx  dx  dx    dx    P1A 1  PA x   x   x    xx    PA dx 2

2

2

u  u   v   w   1 2          1 x  x   x   x  2

2

2

εxx - normalna relativna deformacija

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

71

Nakon što prethodni izraz razvijemo u binomni red, možemo pisati:

u 1  u   v   w    xx  1              1 x 2  x   x   x   2

 xx 

u x

2

Zanemarujemo članove viših redova, jer u teoriji linearnih deformacija možemo imati samo linearne članove! →

 yy 

v y

ui  ii  i Otpornost materijala I

2

 zz 

w z

i  x, y, z 3. Analiza deformacija

Opći izraz za normalne relativne deformacije 72

Osim promjena dužina PA u P1A1, PB u P1B1 i PC u P1C1 dolazi i do promjene kutova: y

Veličina kuta:

B1

B

b 

β

a

  a  b  a  b cos   ab cos   ab

 x P≡P1

A≡A1

P1A 1  P1B1 cos    cos90     sin     2 xy P1A 1  P1B1 εxy - posmična relativna deformacija Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

73

 w  u   v  P1A 1   dx  dx   i  dx  j  dx  k x  x x     u v   w P1B1  dy  i   dy  dy   j  dy  k y y  y 

Uvrstimo li ovo u prethodni izraz, dobivamo: 2 xy 

u  u v  v  w w  dx  dx dy  dx dy  dy   dx dy    x  y x  y  x y  2

2

u   v   w  v   w   u    dx    dy    dy  dy    dy   dx  dx    dx    x   x   x  y   y    y   2

2

2

Zanemarujući sve članove u nazivniku osim jedinica, dobiva se:

u v  u u v v w w  2 xy          y x  x y x y x y  Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

74

2

Prethodni izraz sređujemo po teoriji linearne deformacije na:

u v 2 xy   y x v w 2 yz   z y w u 2 zx   x z 1  ui u j   ij     2  j i  Otpornost materijala I

i, j  x, y, z

3. Analiza deformacija

posmična relativna deformacija 75

Imamo ukupno 6 komponenti deformacija

 xx  yy  zz  xy  yz  zx

u  x v  y w  z 1  u v      2  y x  1  v w      2  z y  1  w u      2  x z 

Otpornost materijala I

3 normalne komponente relativne deformacije

3 posmične komponente relativne deformacije

3. Analiza deformacija

76

   x   xx   0     yy   0  zz      1   xy    yz   2 y     zx   0  1   2 z Otpornost materijala I

0  y 0 1  2 x 1  2 z 0

 0   0     u  z    v     0  w     ε  L  p 1  2 y   1  2 x  3. Analiza deformacija

77

3.3 – Tenzor deformacija 6 komponenti deformacija mogu se prikazati s 9 parcijalnih derivacija pomaka

u x v x w x

u y v y w y

u z v z w z

Izvan dijagonale: Kutovi zaokreta u pojedinim ravninama

Na dijagonali: Normalne komponente relativnih deformacija Asimetrični tenzor deformacija

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

78

u 1  u v     x 2  y x  1  v u  v    2  x y  y 1  w u  1  w v        2  x z  2  y z 

1  u w  1  u v  0       2  z x  2  y x  1  v w  1  v u  0       2  z y  2  x y  w 1  w u  1  w v        z 2  x z  2  y z 

Simetrični tenzor deformacija

Otpornost materijala I

0

Antimetrični tenzor deformacija

 xx

 xy

 xz

 yx  zx

 yy  zy

 yz   z  zz   y

Simetrični: normalne i posmične komponente deformacija

1  u w     2  z x  1  v w     2  z y 

0

 z

y

0 x

 x 0

Antimetrični: rotacije elastičnog tijela

3. Analiza deformacija

79

Dokaz za komponente rotacije elastičnog tijela u dy y y v v x dx x 1 v dy 2 x

O

1  v u  z       yx 2  x y 

ωz 1 u 2 y dx

u y x

z

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

80

Predznak rotacija

1  v u   z       yx 2  x y 

y

1  u v    z       xy 2  y x 

+ +

x

O

+ z

 xy   yx  yx   xy Otpornost materijala I

 yz   zy  xz  zx

3. Analiza deformacija

 zx   xz zy   yz 81

Predznaci naprezanja odgovaraju predznacima deformacija.

σxx

σxx  xx 

u x

y + σxy → + εxy x

Otpornost materijala I

2εxy = β

3. Analiza deformacija

82

3.4 – Jednadžbe kompatibilnosti (neprekinutosti) Stanje deformacija određeno je sa 6 komponenti. Ako se traže komponente pomaka, pitamo se koji uvjeti moraju biti zadovoljeni. Matematički smisao: pomaci su određeni jednoznačno. Fizikalni smisao: susjedni dijelovi se zajedno deformiraju.

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

83

1  ui u j   ij     2  j i 

2 2  ij

  ij 1   2  ui   2  u j    2   2 2  ij 2   j  i   i  j  2

 2  ij 1   2  ii  2  jj    2  2  2  ij 2  j i 

i, j  x, y, z

Ova jednadžba povezuje normalne i posmične deformacije u ravnini. Imamo ih 3. To su jednadžbe neprekinutosti u ravnini. Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

84

1  u v   xy     2  y x  1  v w   yz    2  z y  1  w u   zx     2  x z 

 z  x  y

 xy  yz  zx  2u    z x y yz Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

       x 85

2       xy  zx    xx yz     x  z x y  yz

Dobivamo 3 ovakve jednadžbe čiji opći oblik glasi: 2       ij  ki    ii jk     i  k i j  jk

i, j,k  x, y, z

Ova jednadžba povezuje normalne i posmične komponente deformacija u prostoru. To su jednadžbe neprekinutosti u prostoru. Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

86

3.5 – Deformacije u zadanom smjeru – jednadžbe transformacija Slijedeća zadaća: Odrediti deformacije neke dužine definirane diferencijalnim radius vektorom (ne u smjeru ortog. osi).

y

dp du dr j

z

Otpornost materijala I

dw     d r  dx  i  dy  j  dz  k

dy

i k

dv

x

dx

dz     dp  du  i  dv  j  dw  k

3. Analiza deformacija

87

Relativna deformacija dužine |dr|

     dp e    ex  i  ey  j  ez  k  dr du  dv  dw   i j k dr dr dr dui ei  i  x, y, z ili dr

Pošto je u=u(x,y,z), totalni diferencijal du određen je s: u u u du  dx  dy  dz x y z ui  dj i, j  x, y, z ili dui   j Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

88

Komponente relativne deformacije u smjeru globalnih koord. osi:

dui ui dj ei    dr j dr odnosno uz: b 

a dj cos jr   dr

Otpornost materijala I

ui ei    cos jr  j

3. Analiza deformacija

89

Sada transformiramo (projiciramo) relativnu deformaciju u željenom smjeru (zadanom smjeru r i t, pri čemu je t ┴ r)

 rr  e x  cosxr   e y  cosyr   e z  coszr  .....  rr   ei  cos jr  ..... ui  rr    cos jr   cosir  j Vidimo sličnost s jednadžbom transformacija naprezanja

skl   sij  cosik   cos jl

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

90

Opći oblik jednadžbi transformacija komponenata deformacija

ui  kl    cos jk   cosil j i, j  x, y, z k, l  r, t

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

91

Raspisano, za komponentu deformacija u smjeru r: u u u 2  rr   cos xr    cosyr   cosxr    coszr   cosxr   x y z v v v 2   cosxr   cosyr    cos yr    coszr   cosyr   x y z w w w   cosxr   coszr    cosyr   coszr    cos 2 zr  x y z

Odnosno, ako umjesto parcijalnih derivacija pomaka uvrstimo komponente deformacija:  rr   xx  cos 2 xr    yy  cos 2 yr    zz  cos 2 zr  

 2 xy  cosxr   cosyr   2 yz  cosyr   coszr   2 zx  coszr   cosxr 

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

92

Raspisano, za komponentu deformacija u smjeru t:  rt   xx  cosxr   cosxt    yy  cosyr   cosyt    zz  coszr   coszt     xy cosyr   cosxt   cosxr   cosyt     yz coszr   cosyt   cosyr   coszt     zx cosxr   coszt   coszr   cosxt 

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

93

U ravnini imamo:

y r

uz:

εzz= εzx= εzy=0 

t

x

 rr   xx  cos 2    yy  sin2    xy  sin 2

 rt   xx  cos   sin    yy  sin   cos    xy   sin2   cos 2    rt 

 yy   xx  sin 2   xy  cos 2 2

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

94

3.6 – Smjer i veličina glavnih deformacija dp

y

dr

j i k z

du dy dz

dx

di dui ei   dr dp em

i  x, y, z

dv dw x

Kada se smjer vektora pomaka (dp) poklapa sa smjerom radijus vektora (dr) dobivaju se glavne deformacije. Tada postoji samo promjena dužine pri deformaciji, dok se kut ne mijenja.

m  1,2,3

Uvjet kolinearnosti:

ui i    cos jr    m  cosir  j Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

95

u u u  cosxr    cosyr    coszr    m  cosxr  x y z v v v  cosxr    cosyr    coszr    m  cosyr  x y z w w w  cosxr    cosyr    coszr    m  coszr  x y z Dobili smo sustav od 3 jednadžbe s 4 nepoznanice, te nam je potrebna još 1 jednadžba, a to je uvjet ortogonalnosti: 2 ir   1 i  x, y, z cos 

Otpornost materijala I

3. Analiza deformacija

96

cosxr  cosyr  coszr  N  xy  xz i  x  xx   m 0  xy  yy   m  yz iy 0  xz  yz  zz   m 0 iz

  G1    G2   m  G3  0 3 m

2 m

1   2   3 ε1, ε2 i ε3 su glavne deformacije, a G1, G2 i G3 su invarijante deformacija. Otpornost materijala I

2. Analiza naprezanja

97

Prva invarijanta deformacija (volumenska deformacija)

G1   xx   yy   zz  1   2  3   ii

i  x, y, z

Kod homogenog i izotropnog materijala smjerovi glavnih deformacija poklapaju se sa smjerovima glavnih naprezanja.

Glavne deformacije i njihovi smjerovi za ravninsko stanje:

 xx   yy 1 1,2   2 2 2 xy tg2   xx   yy Otpornost materijala I



  yy   4 2xy 2

xx

Nadalje, za deformacije vrijedi sve što smo prije kazali ili radili za naprezanja. 3. Analiza deformacija

98

4. DEFORMABILNE KARAKTERISTIKE ČVRSTIH TIJELA – FIZIKALNE JEDNADŽBE Ako na tijelo djeluju vanjske sile, unutar tijela se javljaju unutarnje sile odnosno naprezanja. Treba utvrditi vezu između deformacija i naprezanja, ali za to trebamo poznavati mehanička svojstva materijala. Teorija elastičnosti ne unosi nikakve pretpostavke o materijalu, ali se služi matematičkim metoda koje nisu svakodnevno pristupačne. Otpornost materijala unosi pretpostavke o strukturi i ponašanju materijala, kao i o karakteru deformacija. Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

99

4.1 – Opće pretpostavke u Otpornosti materijala 1.

Pretpostavka o neprekinutosti materijala Materijal potpuno ispunjava (tj. neprekinuto) cijelu formu ili oblik tijela → ako je tijelo u ravnoteži, onda je i svaki njegov dio u ravnoteži (vrijedi i obrnuto)→ možemo koristiti Metodu presjeka. Fi

Fn

F2 F1 Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

100

2.

Materijal je homogen i izotropan HOMOGEN – materijal ima jednaka svojstva u svim točkama tijela (u suprotnom je materijal NEHOMOGEN) IZOTROPAN – materijal ima ista svojstva u svim smjerovima

(u suprotnom je materijal ANIZOTROPAN) Ortotropan – ima jednaka, ali različita, svojstva u dva međusobno okomita smjera

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

101

3.

Pretpostavka o elastičnom ponašanju materijala Pod djelovanjem vanjskih sila materijal se deformira. Kad uklonimo vanjske sile, materijal se vraća u prvobitno stanje/položaj odnosno deformacije iščeznu. To svojstvo materijala se naziva elastičnost, a takve deformacije – elastične deformacije (povratne). Sva tijela se ponašaju elastično samo do neke granice – granica elastičnosti. Uzima se da je veza između elastičnih deformacija čvrstog tijela i utjecaja koji uzrokuju te deformacije LINEARNA.

Suprotnosti: neelastičnost – neelastične deformacije (nepovratne, trajne, plastične) Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

102

4.

Pretpostavka o malim deformacijama Deformacije su relativno male u odnosu na dimenzije tijela tako da se može zanemariti promjena u raspodjeli vanjskog opterećenja uslijed deformacija samog tijela.

→ jednadžbe ravnoteže postavljaju se na “kruto” – nedeformirano tijelo Teorija I reda (linearna teorija): jedn. ravnoteže postavljamo na nedeformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo samo linearne članove. Teorija II reda: jedn. ravnoteže postavljamo na deformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo samo linearne članove. Teorija III reda: jedn. ravnoteže postavljamo na deformirano tijelo, a u izrazu za deformacije uzimamo i nelinearne članove. Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

103

5.

Pretpostavka o ravnim presjecima Tijekom djelovanja vanjskih sila (deformiranja tijela) poprečni presjek štapa ostaje ravan i okomit na uzdužnu os štapa. Fi

F

Fn II

F

I F2 F1

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

104

4.2 – Fizikalne jednadžbe – Hooke-ov zakon vanjska djelovanja → deformacije (εij) → naprezanja (σij) Deformacije će biti neka funkcija od naprezanja, a kakva je to funkcija ovisi o mehaničkim svojstvima materijala.

ij  f1  sij Funkcionalnu vezu između deformacija i naprezanja odrediti ćemo eksperimentalnim ispitivanjem uzoraka, izrađenih od određenih materijala, u obliku dijagrama pri određenim uvjetima. Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

105

F – ΔL dijagram Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

106

s xx 

F A0

F    s xx   A 

 xx 

DL L1  L 0  L0 L0

σ – ε dijagram Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

107

s xx  tg   xx

tg  E

s xx  xx  E

Young-ov modul elastičnosti

Hooke-ov zakon za jedno-osno (1D) stanje naprezanja (1676.)

Vidimo da je veza između deformacija i naprezanja linearna. Modul elastičnosti, E, je karakteristika materijala koja se određuje eksperimentalnim putem. Pošto je relativna deformacija, ε, bezdimenzionalna veličina, to modul elastičnosti, E, ima dimenziju naprezanja, σ. Pa  

N  , 2 mm  

Otpornost materijala I

 N // kN // MN   mm 2 // cm2 // m2 

Ečelik = 210.000 MPa Ebeton = 30.000 MPa

4. Deformabilne karakteristike

108

Prilikom prethodnog eksperimenta možemo mjeriti i promjenu promjera štapa → suženje poprečnog presjeka štapa. Naime, promjer se od d0 smanjio na d1.

Poprečna deformacija:

d1  d0 Dd p   0 d0 d0

Nakon serije mjerenja možemo uspostaviti odnos između poprečne i uzdužne relativne deformacije: ν – Poisson-ov koeficijent

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

p  xx



109

 p      xx s xx  p    E Vidimo da imamo zadano naprezanje u jednom smjeru, a da se istovremeno javlja deformacija u drugom smjeru (okomitom). Poisson-ov koeficijent – 0 ≤ ν ≤ 0,5 Pluto ν = 0 Beton ν = 0,14 – 0,20 Čelik ν = 0,27 – 0,33 Parafin ν = 0,50 U plastičnom području je za sve materijale ν = 0,50 Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

110

4.3 – Princip superpozicije Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, vrijedi Hooke-ov zakon, deformacije su male. Definicija: Princip superpozicije kaže da je zbroj dvaju ili više stanja naprezanja (deformacija)(pomaka) uslijed dvaju ili više stanja opterećenja jednak stanju naprezanja (deformacija) (pomaka) uslijed zbroja stanja opterećenja. σ2

σ2

σ1

+ O1

Otpornost materijala I

O=O1+O2

=

σ1

O2 4. Deformabilne karakteristike

σ=σ1+σ2 O 1 O2 111

Izuzetak: Princip superpozicije ne vrijedi kada jedno opterećenje utječe na stanje naprezanja i deformacija od drugog opterećenja.

H

H

+

F

≠

F

H

H

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

112

4.4 – St. Venant-ov princip Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male.

Definicija: St. Venant-ov princip nam kaže da se stanje naprezanja (deformacija) (pomaka) razlikuje samo na relativno malom dijelu elastičnog tijela, u pravilu oko mjesta djelovanja vanjskog opterećenja, ako zadano opterećenje zamijenimo sa statički ekvivalentnim, dok će na dovoljno udaljenim dijelovima tijela od mjesta djelovanja vanjskog opterećenja, stanje naprezanja (deformacija) (pomaka) biti praktički jednako.

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

113

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

114

4.5 – Hooke-ov zakon u ravnini Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male.

s xx   E l xx

σyy =σ2 σxx =σ1

σxx =σ1

σyy =σ2

Otpornost materijala I

 lxx.l  

s yy E

s yy s xx  xx       E E l xx

l.l xx

1  xx  s xx    s yy  E 1  yy  s yy    s xx  E 4. Deformabilne karakteristike

115

Obrnuta zadaća/veza:

E  xx     yy  s xx  2 1  E  yy     xx  s yy  2 1  Jednadžbe koje povezuju deformacije i naprezanja i obrnuto nazivamo fizikalne jednadžbe.

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

116

4.6 – Hooke-ov zakon u prostoru Pretpostavke: materijal je homogen, izotropan, elastičan, deformacije su male. s yy lll s xx s zz l ll s yy  s 2  xx    xx   xx   E E E s yy s xx s zz l ll lll  xx   xx   xx   xx    E E E

s xx  s1 s zz  s 3

Otpornost materijala I

1  xx  s xx    s yy    s zz   E 1  xx  s xx   s yy  s zz  E

4. Deformabilne karakteristike

117

1  xx  s xx   s yy  s zz  E 1  yy  s yy   s zz  s xx  E 1  zz  s zz   s xx  s yy  E E 1    xx   yy   zz  1   1  2  E 1    yy   zz   xx  s yy  1   1  2  E 1    zz   xx   yy  s zz  1   1  2  s xx 

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

118

4.7 – Volumenska deformacija s yy  s 2

Volumen prije deformiranja: V0=1·1·1=1

s xx  s1

1 1+εyy

s zz  s 3

1

1 1+ε zz

Volumen nakon deformiranja: V1=(1+εxx)·(1+εyy)·(1+εzz) = V1=1+εxx+εyy+εxx εyy+εzz+ εxx εzz+ εyy εzz+ εxx εyy εzz

1+εxx

V1=1+εxx+εyy+εzz Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

119

V1  V0 1   xx   yy   zz  1 V     xx   yy   zz  G1 V0 1 1  2 1  2 s xx  s yy  s zz   V   I1 E E

Veza između G1 i I1:

Otpornost materijala I

1  2 G1   I1 E

4. Deformabilne karakteristike

E odnosno I1   G1 1  2

120

Promatrajmo izraz:

1  2 1  2 s xx  s yy  s zz   V   I1 E E Ako je ( σxx, σyy, σzz ) > 0 imamo povećanje volumena, εv>0. Slijedi da je (1-2ν) > 0 odnosno da je ν ≤ 0,5. Prema tome, imamo granične vrijednosti Poisson-ovog koeficijenta 0 ≤ ν ≤ 0,5. Ako je εV = 0 (nema promjene volumena), onda je ν = 0,5 što vrijedi za plastično područje.

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

121

Specijalni slučaj: Na svim stranicama elementa djeluje jednaki pritisak p (hidrostatski pritisak): σxx = σyy = σzz = -p

1  2 31  2   3p   V  p E E Uvodimo modul kompresije ili zapreminski modul elastičnosti te imamo:

p V   k

Otpornost materijala I

E k 31  2 

4. Deformabilne karakteristike

122

4.8 – Postupak rješavanja zadaća u OM 1) 2)

3)

4)

5)

Problem promatramo sa statičkog gledišta: postavljamo jednadžbe ravnoteže (rabimo metodu presjeka); Problem promatramo s geometrijskog gledišta: uvodeći određene pretpostavke (ravni presjeci) postavljamo geometrijske jednadžbe tražeći što jednostavniju vezu između deformacija i pomaka; Problem promatramo s fizikalnog gledišta: postavljamo odgovarajuće fizikalne jednadžbe utvrđujući vezu između deformacija i naprezanja; Rješavamo postavljeni sustav jednadžbi te dobivamo odnos između opterećenja i deformacija kao i opterećenja i naprezanja (zadaća je riješena u matematičkom smislu); Provodimo odgovarajuće kontrole: (1) matematička (ispravno rješavanje); (2) fizikalna (dobivene deformacije i naprezanja su u granicama dozvoljenih).

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

123

Nastavak slijedi u idućem file-u.

Otpornost materijala I

4. Deformabilne karakteristike

124

Prof. dr. sc. Pavao Marović

Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009

Otpornost materijala I

0, 1, 2, 3, 4, nastavak 5 i 6.

1

5. LINIJSKE KONSTRUKCIJE – DJELOVANJE UZDUŽNE SILE Sila usmjerena u smjeru normale (izlazi iz poprečnog presjeka) → vlačna sila → vlačno naprezanje → rastezanje - produljenje

Sila usmjerena suprotna od smjera normale (ulazi u poprečni presjek) → tlačna sila → tlačno naprezanje → stlačivanje - skraćenje

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

2

A

L0 – početna dužina štapa A – površina poprečnog presjeka γ = 0 (zanemarujemo vlast. težinu) 1) Statička analiza Zadaća: Pronaći zakon N dN=σxx·dA raspodjele naprezanja

L0

dA

po površini poprečnog presjeka.

N   dN    xx  dA A

F

Otpornost materijala I

F

5. Uzdužna sila

A

Σx=0 → F-N=0 → F=N

3

2) Geometrijska analiza Uzdužna sila je konstantna duž osi štapa (imamo 1-D stanje naprezanja), a zahvaljujući pretpostavci o ravnim presjecima, deformacije u svim točkama presjeka su jednake.

A

L0 L1

L  L1  L 0 L  xx  L0

dx  xx  dx L

ΔL

L    xx  dx 0

F

n

L    xx  L i i 1

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

i

4

3) Fizikalna analiza Pošto se naš štap nalazi u 1-D stanju naprezanja, to ćemo za fizikalnu jednadžbu uzeti Hooke-ov zakon za 1-D:

 xx  xx  E

 xx   xx  E

4) Rješavanje sustava jednadžbi

F  N    xx  dA    xx  E  dA A

A

F   xx  E   dA   xx  E  A A

F   xx  A Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

5

σxx

Iz prethodnoga slijedi:

F  xx  A F  xx  EA

F  L0 L  EA

Otpornost materijala I

(naprezanje je jednoliko raspodijeljeno po površini poprečnog presjeka)

L  xx  L0

σxx F (raspodjela normalnih naprezanja uzduž uzdužne osi štapa)

2. oblik Hooke-ovog zakona – izraz za produljenje štapa uslijed djelovanja uzdužne sile E·A – krutost štapa na rastezanje/pritisak 5. Uzdužna sila

6

5) Kontrole O matematičkoj kontroli nećemo govoriti pretpostavljajući da smo sve računske operacije izveli korektno i točno.

a) Kontrola naprezanja / kontrola čvrstoće štapa

 xx ,max

F    dop A

 dop

 kr  ks

b) Kontrola krutosti štapa

F  L0 L   L dop EA

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

7

Troznačnost jednadžbe naprezanja 1) Kontrola naprezanja / kontrola čvrstoće štapa

F  xx    dop A

 dop

 kr  ks

2) Dimenzioniranje (određivanje potrebne površine popr.pr.)

A potrebno

F   dop

3) Nosivost (određivanje sile koju štap može preuzeti)

F  A   dop Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

8

5.1 – Utjecaj vlastite težine γ ≠ 0 (imamo vlastitu težinu)

A 1) Statička analiza

L0

x

N N dN=σxx·dA  xx     x AdA Gx Σx=0 → Gx = N = A·x·γ

Gx=A·x·γ Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

9

Vidimo da se uzdužna sila i naprezanje uzduž štapa mijenjaju po linearnom zakonu. Najveće naprezanje će biti na mjestu uklještenja: σxx N

 xx ,max    L   dop  dop L dop    kr L kr  

Otpornost materijala I

Dopuštena dužina štapa

Kritična dužina štapa

5. Uzdužna sila

10

2) Geometrijska analiza

A

L0

Kako smo vidjeli, naprezanje se mijenja duž osi štapa, pa prema tome duž osi nemamo homogeno stanje naprezanja. Zato promatramo diferencijalni dio štapa (dx). dx  xx   dx  x dx   xx  dx  xx  dx   dx E E

dx L L  x   L2 A Δdx L  0 dx 0 E dx  2  E  A  A L  L GL x L   2 E  A

Gx=A·x·γ Otpornost materijala I

GL L  2E  A 5. Uzdužna sila

2 E  A

Produljenje štapa uslijed vlastite težine jednako je produljenju koje bi nastalo kada bi na kraju štapa 11 djelovala sila G/2

5.2 – Zajedničko djelovanje sile i vlast. težine γ≠0

A Primijenit ćemo princip superpozicije. Stanje naprezanja bit će jednako zbroju stanja naprezanja od sile i vlastite težine.

L0

 xx 

F  x A

F  L0 G  L0  E  A 2 E  A G  F    L0 2 L   EA L 

F Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

12

σmax = σdop

 xx ,max

A potrebno

F     L   dop A

F   dop    L

Komentar: Štapovi s konstantnom površinom poprečnog presjeka duž osi su neracionalni jer imamo veliki dio materijala koji je neiskorišten.

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

13

5.3 – Štap jednake čvrstoće σxx

Ideja: Napraviti štap kojemu će u svakom poprečnom presjeku biti naprezanje u potpunosti iskorišteno (svugdje je σdop).

Ax

A x  A0  e

L0

 x  dop

F  e  dop

 x  dop

  L  G   dop  A max  F  F   e  1    dop L   L0 E dop

A0 γ≠0 Otpornost materijala I

F

Problem: komplicirana i skupa izrada. 5. Uzdužna sila

14

5.4 – Sastavljeni štap σxx

Ln An L3 L2

A1 

AF3  dop    L1

Ideja: Napraviti štap što jednostavniji za izradu ali sa što većom iskoristivosti naprezanja.

N  F  G1 F  xx ,max     L1   dop A1

A2

L1 A1 γ≠0 Otpornost materijala I

F 5. Uzdužna sila

15

A 1   dop F   dop A2    dop    L 2  dop    L1  dop    L 2 

A 2   dop F   2dop A3    dop    L 3  dop    L1  dop    L 2  dop    L 3  n

L   L i i 1

G1    F    L1 2 L1   E  A1 G2     L2  F  G1  2   L 2  E  A2 Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

16

5.5 – Plan pomaka Plan pomaka je grafička konstrukcija kojom utvrđujemo analitičku ovisnost (vezu) između pomaka točaka i deformacije štapova. (slika 9.12, str. 139)

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

17

Statička analiza

A

B

S1

(1) E1,A1,L1 (2) E2,A2,L2

1 2

1 2 L1 

S1  L1 E1  A1

L2 

S 2  L2 E2  A2

C ΔL2

F

ΔL1

Σy=0 S1·cos1+S2·cos2=F

Izračunamo deformacije: C1

(δC= δCH +δCV )

C’ Otpornost materijala I

F

Σx=0 S1·sin1S2·sin2=0

→ S1 i S2

δC C2

C

S2

5. Uzdužna sila

18

 CV  L1  cos 1  s1  sin 1  L  L1  cos1   2   L1  cos 1  2  sin 1 sin1   2 

1 2

 HC  L1  sin 1  s1  cos 1  L 2  L1  cos1   2   L1  sin 1   cos 1 sin1   2 

C F

ΔL2 δCV

ΔL1 δC

C2

C 

δCHC’ 90-(1+2) Otpornost materijala I

s1=C’C1

V 2 C

(pomak smo izrazili pomoću deformacija)

90-(1+2) 1 C1

     H 2 C

s1 

L 2  L1  cos1   2  sin1   2 

ΔL2= ΔL1·cos(1+2 )+s1 ·sin(1+2 ) 5. Uzdužna sila

19

5.6 – Statički neodređeni sustavi To su takvi sustavi kod kojih sile u pojedinim elementima sustava ne mogu biti određene samo pomoću jednadžbi ravnoteže već je potrebno promatrati i deformacije elemenata sustava. Razlika između broja statičkih nepoznatih veličina i jednadžbi ravnoteže daje nam stupanj statičke neodređenosti sustava. Da bi smo mogli odrediti sile u pojedinim elementima sustava potrebno je postaviti dopunske jednadžbe deformacija elemenata sustava. Broj dopunskih jednadžbi deformacija jednak je stupnju statičke neodređenosti sustava.

Postupak proračuna je slijedeći (slično kao u 4.8 uz dopune): Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

20

1)

2)

3)

4)

5)

Statička strana zadaće: za prerezane elemente sustava, koji sadržavaju nepoznate sile, postavimo jednadžbe ravnoteže te utvrđujemo stupanj statičke neodređenosti; Geometrijska strana zadaće: utvrđujemo vezu između deformacija pojedinih elemenata sustava temeljem uvjeta kompatibilnosti deformacija (koristimo plan pomaka). Postavljamo onoliko dodatnih geometrijskih jednadžbi koliko je puta sustav statički neodređen; Fizikalna strana zadaće: Pomoću Hooke-ovog zakona, deformacije pojedinih elemenata sustava izražavamo unutarnjim silama u pojedinim elementima sustava (+ temperatura); Rješavamo postavljeni sustav jednadžbi iz čega slijede veličine unutarnjih sila u pojedinim elementima sustava (dobivamo veze između opterećenja i deformacija kao i opterećenja i naprezanja); Provodimo odgovarajuće kontrole: (1) matematička (ispravno rješavanje); (2) fizikalna (dobivene deformacije i naprezanja su u granicama dozvoljenih).

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

21

Primjer:

1) Statička analiza

Zadan je okrugli aluminijski štap (a) koji se nalazi unutar čelične cijevi (č).

Fč

F E=∞

Fa

L Če

Al

F Σy=0 → Fa + Fč = F 2 – 1 = 1x

F Trebamo odrediti naprezanja u cijevi i u štapu. Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

22

2) Geometrijska analiza Kako je sila centrična, to će ploče i dalje ostati međusobno paralelne.

Uvjet deformacije:

F

Δa = Δč Δa

Δč

3) Fizikalna analiza Imamo 1-D stanje naprezanja, te deformacije sustava izražavamo unutarnjim silama, tj. Hooke-ovim zakonom:

L Če

Al

a 

Fa  L Ea  A a

č 

Fč  L Eč  A č

F Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

23

4) Rješavanje sustava jednadžbi

Fa + Fč = F

Fa  L Fč  L  Ea  A a Eč  A č F Fč  Ea  A a 1 Eč  A č

Otpornost materijala I

a 

Δa = Δč

Fa  L Ea  A a

č 

Fč  L Eč  A č

Ea  A a  Fa  Fč  Eč  A č Komentari: - Dobro je izvršiti kontrolu dobivenog izraza prema dimenzijama veličina. - E·A – krutost elementa - Što je veća krutost elementa, materijal na sebe preuzima veće opterećenje (sila Fč je veća što je nazivnik manji).

5. Uzdužna sila

24

Primjer: Apsolutno kruta greda pridržana s dva štapa. a1 E

S1

4 nepoz.lež.reak. – 3 jedn.rav. = 1x stat.neodređen

(1) E1,A1,L1 S1

AH

A E=∞

F 1

B

C D

2 AV S2

Primjenjujemo metodu presjeka

(2) E2,A2,L2 S2

F

1) Statička analiza

ΣM(A)=0 S2·sin2·a2+S1·sin1·a1=F·L

a2 L

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

25

Pošto je sustav 1x statički neodređen to je potrebno postaviti 1 dodatnu jednadžbu – geometrijska jednadžba. a1 2) Geometrijska analiza

E

Uvjet deformacije - ???

S1 A E=∞

F

ΔL2 2

S2 F

1

B 2

C ΔL1

D 1

B’

C’

Sličnost trokuta ACC’=ABB’ CC' BB'  a1 a2

L1 sin 1 L 2 BB '  sin  2 CC' 

a2 L

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

26

L1 a L 2  1 sin 1 a2 sin  2

Geometrijska jednadžba – veza između deformacija

3) Fizikalne jednadžbe

L1 

S1  L1 E1  A1

L 2 

S2  L 2 E2  A 2

(Hooke-ov zakon za 1-D)

4) Rješavanje sustava jednadžbi

S1  L1 a1 sin 1 S2  L 2    E1  A1 a2 sin  2 E2  A 2 S1 

S2 

(jednadžbe 3 grupe ubaciti ćemo u jednadžbu 2 grupe)

a1 sin 1 L 2 E1  A1     S2 a2 sin  2 L1 E2  A 2

F L a12 sin2 1 L 2 E1  A 1 a 2  sin  2     a 2 sin  2 L1 E 2  A 2

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

Ovo je bila metoda sila, jer smo zadani sustav rješavali po silama. 27

Zadani sustav možemo rješavati i po pomacima – metoda pomaka.

(i) Ei,Ai,Li,i,Si

(i) i u

A

ΔLi

Fx

x

Li  v  sin i  u  cos i S L E A Li  i i  Si  i i  Li Ei  A i Li Si 

v A’

Fy y

Ei  A i  v  sin i  u  cos i  Li

 XA   0  Si  cos  i  Fx  0 n

i1 n

 YA   0  Si  sin  i  Fy  0 i1

n Ai A F  sin  i  cos  i  u   i  cos 2  i   x i1 L i1 L E i i n n F Ai A 2 v    sin  i  u   i  sin  i  cos  i  y i1 L i1 L E i i n

v

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

→ u, v

28

5.7 – Temperaturna naprezanja Promatramo slobodno, homogeno i izotropno tijelo koje zagrijavamo. U svakoj točki i u svim smjerovima relativna deformacija (εt ) je konstantna:

εt = t · Δt

t – temperaturni koeficijent linearnog rastezanja Δt – promjena temperature t čelik = 125·10-7 /º C t bakar = 167·10-7 /º C t aluminij = 255·10-7 /º C

Temperaturna naprezanja se javljaju kada su deformacije podvrgnute nekim ograničenjima. Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

29

1)

Kod statički određenih sustava nemamo temperaturnih naprezanja jer deformacije (deformiranje) nije ograničeno.

+Δt 2)

Kod statički neodređenih sustava deformacije su podvrgnute određenim ograničenjima tako da se sada pojavljuju temperaturna naprezanja (ovo se događa bilo da se zagrijavaju pojedinih elementi ili čak i da se cijeli sustav jednoliko zagrijava).

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

30

+Δt

S1

S2

L L1 ΔLt = L1 - L

→ ΔLt = t · Δt · L

1) Statička analiza

S1 = S2 = S

2) Geometrijska analiza

ΔLt - ΔLS = 0 → ΔLt = ΔLS

3) Fizikalna analiza

ΔLt = t · Δt · L i ΔLS = S·L / E·A

4) Rješenje Otpornost materijala I

S = t·Δt·E·A i σxx = S / A = t·Δt·E 5. Uzdužna sila

31

Primjer: 3 štapa spojena u 1 točki a zagrijava se samo srednji štap.

A

B

C

ΣV=0 → S2 + 2 · S1 · cos = 0

(2) E2,A2,L2

+Δt S2

S1 



1) Statička analiza

S2 = - 2 · S1 · cos

(1) E1,A1,L1

S1

2 – 1 = 1x

2) Geometrijska analiza

ΔL1 = ΔL2 · cos 3) Fizikalna analiza

D ΔL1 ΔL  2

ΔL1 = S1·L1 / E1·A1

ΔL2 = (S2·L2 / E2·A2) + t·Δt·L2 4) Rješenje

Pitanje: koja je sila vlačna a koja tlačna? Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

 t   t  cos 2   E1  A 1 S1  E A 1  2  1 1  cos 3  E2  A 2 32

5.8 – Montažna (početna) naprezanja U sustavu se mogu pojaviti unutarnje sile iako nemamo nikakvih vanjskih djelovanja. Do toga dolazi zbog netočnosti pri izvedbi elemenata sustava. Kako se te unutarnje sile javljaju pri montaži elemenata sustava odnosno prije nego li na sustav počnu djelovati neki vanjski utjecaji, to se naprezanja uslijed tih unutarnjih sila nazivaju montažna naprezanja odnosno početna naprezanja.

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

33

Primjer: 3 štapa spojena u 1 točki pri čemu je srednji štap izveden nešto kraći.

A

B

C

1) Statička analiza

ΣV=0 → S2 - 2 · S1 · cos = 0

(2) E2,A2,L2

S2 = 2 · S1 · cos

(1) E1,A1,L1

S1



S2  ΔL2

ΔL1 D

S1

2 – 1 = 1x

2) Geometrijska analiza

δ = ΔL2 + (ΔL1 / cos) δ

Komentar 1.: Sila S2 je zategnuta, a sila S1 je pritisnuta!

3) Fizikalna analiza

ΔL1 = S1·L1 / E1·A1 ΔL2 = S2·L2 / E2·A2 4) Rješenje S2 

Komentar 2.: Greška δ može biti slučajna, ali i namjerna! Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

  E2  A 2  E A 1  L 2  1  2 2   3  2  E1  A 1 cos   34

5.9 – Potencijalna energija pri rastezanju/pritisku

Pod djelovanjem sile F štap se deformira. Pri tome sila F vrši rad na putu ΔL. Dok smo u elastičnom području, taj vanjski rad se pretvara u potencijalnu energiju, a ako smo u plastičnom području onda se samo dio vanjskog rada pretvara u potencijalnu energiju dok se ostatak troši na deformiranje odnosno na zagrijavanje štapa. Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

35

Nas zanima situacija u elastičnom području.

Koliko je prirasla potencijalna energija?

F F

A

dW=F1·dλ

dF F1

L

L

0

0

W   dW   F1  d

(površina trokuta 0AB) ΔL 0

λ

dλ ΔL

B

W

F  L 2

Slijedi:

U=W

(u elastičnom području, potencijalna energija je jednaka radu vanjskih sila) Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

36

F  L 2 Kako je po Hooke-ovom zakonu: F  L0 L  E  A 0 L  odnosno F E  A0 L0 U W 

slijedi da je potencijalna energija jednaka: F2  L 0 L2  E  A 0 U ili U 2  E  A0 2  L0

Vidimo da je potencijalna energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od F ili ΔL. To je površina ispod F-ΔL dijagrama. Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

37

Ako potencijalnu energiju podijelimo s volumenom tijela dobit ćemo jediničnu ili specifičnu potencijalnu energiju:

U F  L  u   V 2  A 0  L0 2 Kako je po Hooke-ovom zakonu σ = ε · E odnosno ε = σ / E slijedi da je specifična potencijalna energija jednaka:

2 u 2 E

ili

2  E u 2

Vidimo da je specifična potencijalna energija deformiranja uvijek pozitivna, u>0, jer je kvadratna funkcija od σ ili ε. To je površina ispod σ - ε dijagrama.

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

38

5.10 – Udarno opterećenje štapa A

Masa štapa i zadržača je zanemariva prema masi tereta (G).

A G

L

L h G

E=∞

G δst

δst < δDIN

E=∞

δDIN Rad vanjskih sila G

Otpornost materijala I

Između štapa i tereta nema trenja → sve se pretvara u energiju (nema gubitka energije, sustav je zatvoren).

5. Uzdužna sila

(W) jednak je potencijalnoj energiji (U). 39

W  G  h   DIN 

Rad vanjskih sila

2 G   DIN  DIN E  A U  2 2 L

Unutarnja potencijalna energija ili potencijalna energija deformiranja

W U

Rad vanjskih sila jednak je unutarnjoj potencijalnoj energiji odnosno potencijalnoj energiji deformiranja

2L EA

2  DIN E  A G  h   DIN   2 L



2 DIN

GL  2  h   DIN   0 EA

te dobivamo jednadžbu Otpornost materijala I

pri čemu je

GL   st EA

2  DIN  2   st   DIN  2   st  h  0

5. Uzdužna sila

40

2  DIN  2   st   DIN  2   st  h  0

 DIN 1,2   st   2st  2   st  h

Opće rješenje je:

Fizikalno jedino moguće rješenje je: odnosno:

 DIN

(kvadratna jedn. po δdin )

 DIN   st   2st  2   st  h

 2h     st  1  1   st  

 DIN  k DIN   st pri čemu je:

Otpornost materijala I

k DIN

 2h    1  1   st  

5. Uzdužna sila

dinamički koeficijent

41

Koliki je dinamički koeficijent? v2 h 2g

Kod pada tereta s neke visine postoji veza između visine padanja h i brzine padanja v: Uvrstimo li to u izraz za δDIN s prethodne stranice, dobivamo:

Pri čemu dinamički koeficijent možemo izraziti kao:

 DIN

 v2     st  1  1   st  g  

k DIN

 v2    1  1   st  g  

Za slučaj da je visina padanja h=0 i brzina padanja v=0 dobivamo da je dinamički koeficijent kDIN = 2 Pošto je visina padanja h>0 i brzina padanja v>0 to je dinamički koeficijent:

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

k DIN  2 42

Kolika su naprezanja u štapu kad na njega djeluje naglo opterećenje?  DIN  k DIN   st

pri čemu je σst:

Dinamičko opterećenje koje djeluje na donjem presjeku štapa je:

 DIN

G  st  A FDIN  k DIN  G

G  2 h E  A  G G2 2  h  G  E      1  1   2 A  GL  A A LA

 DIN  2   st

Vidimo da je dinamičko opterećenje uvijek nepovoljnije od statičkog opterećenja.

Zaključak: Između statičkog i dinamičkog djelovanja postoji bitna razlika. Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

43

5.11 – Gipke žice (lančanica)

(Koga zanima može pogledati u knjizi poglavlje 9.12, str. 172-180)

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

44

5.12 – Membransko stanje naprezanja Primjeri membrana su: rezervoari, cisterne, kotlovi, mjehur od sapunice, itd. Prema tome za membranu možemo kazati: (1) debljina membrane znatno je manja od ostalih dimenzija; (2) membrana je gipka; (3) membrana ne može preuzeti moment savijanja nego samo normalna naprezanja koja su jednoliko raspodijeljena po debljini stjenke membrane u smjeru okomitom na poprečni presjek.

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

45

Promatrajmo diferencijalni element membrane:

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

46

ΣV=0

O1

d 1  2 d 2  2   yy  t  ds1  sin  2  p  ds1  ds2  0

2   xx  t  ds2  sin

dφ1

ρ1 σxx·t·ds2

dφ1 dφ1 2 2

p

ρ1 σxx·t·ds2 t

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

47

d1 d 2 2   xx  t  ds2  sin  2   yy  t  ds1  sin  p  ds1  ds2  0 2 2 Za male kutove imamo da je:

sin

d1 d1  2 2

sin

d 2 d 2  2 2

d1 d 2 2   xx  t  ds2   2   yy  t  ds1   p  ds1  ds2  0 2 2 1 d d p ds1  ds2  t  xx  1   yy  2   0 ds1 ds2 t Kako je:

Dobivamo:

d1 1  ds1 1

d 2 1  ds2  2

 xx  yy p   1 2 t

Laplace-ova jednadžba membranskog stanja naprezanja

Uz Laplace-ovu jednadžbu membranskog stanja naprezanja potrebno je postaviti još jednu dodatnu jednadžbu – ona ovisi o problemu kojeg rješavamo. Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

48

Primjer: Kotao pod unutarnjim pritiskom (Slika 10.3, str. 184). ρ1 = R ρ2 = ∞

t

1  2 p   R  t

R

Rp 1  t R2·π·p = σ2·2·R·π·t

R  p 1 2   2t 2

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

49

t

Primjer: Kotao pod unutarnjim pritiskom između krutih površina (Slika 10.6, str. 188). ρ1 = R ρ2 = ∞ D=2·R

1  2 p   R  t

t

Rp 1  t

Za postaviti drugu jednadžbu, moramo promatrati deformacije kotla u uzdužnom smjeru (2). Pitanje: ε2=?

1  2    2    1   0 E

Otpornost materijala I

→  2    1   

5. Uzdužna sila

Rp t

50

Ako su nam zadane komponente naprezanja može se tražiti da odredimo koliki je radijus kotla. Pitanje: Kolika je relativna deformacija opsega? O O  O0 2R  R   2R R D  opsega      O0 O0 2R R D →

 opsega  radijusa  promjera

t

D=2·R

t

Ovo nam je jako važno kad imamo problem cijevi.

ρ1 = R ρ2 = ∞

Rp 1  t

2  0

Iz ovog možemo doći do cijevi jedinične dužine, a to je: prsten. Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

51

5.13 – Koncentracija naprezanja

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

52

Koncentracija naprezanja je pojava nejednolike raspodjele normalnih naprezanja u presjecima nagle promjene veličine i oblika poprečnog presjeka iako djeluje centrična uzdužna sila.

(Slika 9.35, str. 169) Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

53

σyy σyx

σxx σxy (šupljina)

Zaključak: Iako je vanjsko djelovanje jednoosno, na mjestu oslabljenja poprečnog presjeka javlja se višeosno stanje naprezanja, te ono uzrokuje pojavu koncentracije naprezanja.

F

F  sr  An  max k   sr

(Ovo bi bilo kad bi imali jednoliku raspodjelu naprezanja u oslabljenom poprečnom presjeku) k – koeficijent koncentracije naprezanja

An Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

54

Kod statičkog djelovanja vanjskog opterećenja, do granice proporcionalnosti (σP) karakter koncentracije naprezanja je jednak za sve materijale. Plastični materijali – kad maksimalno naprezanje dosegne granicu tečenja dolazi do tečenja materijala na mjestu maksimalnih naprezanja. Daljnji porast opterećenja štapa preuzimaju vlakna u poprečnom presjeku koja su napregnuta ispod granice tečenja, tako da se raspodjela naprezanja sve više približava jednolikoj – u trenutku loma izgubljen je karakter koncentracije naprezanja. Krti materijali – kad maksimalno naprezanje dosegne čvrstoću materijala, na mjestu maksimalnih naprezanja javljaju se pukotine koje uzrokuju još veću koncentraciju naprezanja, što pak dovodi do širenja pukotina i naglog loma štapa – u trenutku loma sačuvan je karakter koncentracije naprezanja.

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

55

Temeljem prethodno iznesenog, pri statičkom djelovanju vanjskog opterećenja, utjecaj koncentracije naprezanja kod plastičnih materijala može se zanemariti, dok se kod krtih materijala uvijek mora uzeti u obzir. Kod dinamičkog djelovanja vanjskog opterećenja, plastični materijali se ponašaju kao krti kod statičkog djelovanja, dok uporabu krtih materijala treba izbjegavati. Veličina koncentracije naprezanja može se smanjiti tako da se na neki način ublaži promjena oblika poprečnog presjeka.

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

56

Dokaz čvrstoće kod koncentracije naprezanja

1) Krti materijal

 max  k   sr  k 

F    dop  M An ks

F M M      dop A n k s  k k s

Uslijed koncentracije naprezanja kod krtih materijala moramo raditi sa smanjenim dopuštenim naprezanjem.

2) Plastični materijal

Fgran  A n  R Fdop

Fgran R   An   A n   dop ks ks

Otpornost materijala I

5. Uzdužna sila

Kod plastičnog materijala zanemarujemo koncentraciju naprezanja.

57

6. DJELOVANJE POPREČNE SILE – SMICANJE (ODREZ) Za podsjetiti se: σyy

σxx

n

 nn   xx  cos 2 ik    yy  sin2  jl  yy   xx  nt   sin 2 σxx  2

Opća jednadžba transformacija:

kl   ij  cosik   cos jl Za naše zadano stanje imamo:

σyy Otpornost materijala I

6. Posmik

58

σxx=-σyy=σ

Promatrajmo specijalni slučaj: σyy

σxx

Kolika su naprezanja σnn i σnt pod kutem =45º ?

τ

τ

τ

τ

 nn   xx  cos 2 ik    yy  sin2  jl    xx  nt  yy  sin 2 2

σxx

σnn = 0 σnt = -σ

σyy

Čisti posmik: σ = 0, τ ≠ 0 Kakva će biti deformacija? Otpornost materijala I

6. Posmik

Uvodimo oznake: σii = σ (za i=i) - normalna napr. σij = τ (za i≠j) - posmična napr. 59

Vidimo da je došlo do promjene kutova između stranica, te se možemo zapitati da li dolazi do promjene dužina stranica. Da bi odgovorili na pitanje, promatrati ćemo promjenu volumena:

V 

V 1  2      xx   yy   zz  V E

U našem slučaju imamo da je: σzz = 0 te konačno dobivamo: V V  0 V

i

σxx = -σyy = σ

Zaključak: (1) Kod čistog posmika na stranicama elementa djeluju samo posmična (tangencijalna) naprezanja; (2) Kod čistog posmika relativna promjena volumena je jednaka nuli odnosno nemamo promjena dužina stranica već imamo samo promjenu pravih kutova (4) koji postaju tupi (2) odnosno oštri (2). Otpornost materijala I

6. Posmik

60

c’ τ

c

aτ

d

d’

τ

β – kut smicanja ili relativno smicanje i služi kao mjera deformacije tgβ ≈ β = Δs / a

b a

Po definiciji uzimamo da je:

Uslijed tangencijalnih naprezanja došlo je do smicanja. Δs – apsolutno smicanje

τ β

β

a

Δs

β = 2 · εxy

Kako Hooke-ov zakon za posmik glasi:

β=τ/G

(ε=σ/E)

Dobivamo da je relativna posmična deformacija: εxy = τ / 2 · G G – modul posmika Otpornost materijala I

6. Posmik

61

6.1 – Veza između aps. posmika i sile posmika Promatrati ćemo jedan kratki štap:

F

a

Δs

Δs = a · β a s  G



 G

F A

A

Kako je naprezanje:

β

Dobivamo da je veličina apsolutnog posmika jednaka:

Fa s  G A



drugi oblik Hookeovog zakona za posmik

G·A – posmična krutost Otpornost materijala I

6. Posmik

62

6.2 – Potencijalna energija pri čistom posmiku Nas zanima situacija u elastičnom području. F F  s F W  A 2

F  s U W  2 Δs 0

Δs

Specifična pot. energija 2 u 2G Otpornost materijala I

rad vanjskih sila (u elastičnom području, pot. energija je jednaka radu vanjskih sila)

Potencijalna energija F2  a s2  G  A U ili U  2G A 2a Vidimo da je pot. energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od F ili Δs. To je površina ispod F-Δs dijagrama. 6. Posmik

63

6.3 – Veza E-G-ν E (modul elastičnosti), G (modul posmika) i ν (Poison-ov koeficijent) su tri konstante kojima se opisuje mehaničko ponašanje nekog homogenog i izotropnog materijala. Pitanje: da li su one međusobno zavisne veličine? Promatrati ćemo diferencijalni element opterećen samo posmičnim naprezanjima, te ćemo na njemu odrediti relativnu deformaciju dijagonale na dva načina: (1) iz deformacija uslijed posmika; (2) iz deformacija u ravninskom stanju naprezanja.

Otpornost materijala I

6. Posmik

64

Δs

τ

d

d1

d σ2

σ1

a β

σ1

σ2

τ β

π/4 b

π/4-β/2 β/2 za α=45º 1    1     2  σ1=-σ2=τ 1 E  1 1   d  1           E E Otpornost materijala I

6. Posmik

π/4-β/2

Δd = Δs · cos(π/4β/2) Δd ≈ Δs · cosπ/4 Δd s d  a 2 d  2 d 

d s 1 s    d 2 a 2 2a

s   d    2a 2 2G 1     E 2G E G 2  1   

65

6.4 – Hooke-ov zakon za opće stanje naprezanja Djelovanje normalnih i tangencijalnih deformacija je međusobno nezavisno.  1     xy 

 yy  yx

 zz

 zx

Otpornost materijala I



  xy

2G E  yz  1   yz     yz 2G E   zx 1   zx     zx 2G E

U prostoru (3-D):

 yz  zy

xy

 xy

 xx

1   xx    yy   zz  E 1  yy    yy    zz   xx  E 1  zz    zz    xx   yy  E  xx 

 xz

6. Posmik

66

ili obrnuto: E  xx   1      xx     yy   zz  1     1  2  E  yy   1      yy     zz   xx  1     1  2  E  zz   1      zz     xx   yy  1     1  2  E   xy 1    E  yz    yz 1    E  zx    zx 1     xy 

Otpornost materijala I

6. Posmik

67

Prethodne jednadžbe možemo izraziti u matričnom obliku:   0 0 0   xx   xx  1          1    0 0 0  yy     yy   zz   1  0 0 0   zz    E         0 0 1  2 0 0   xy   xy  1     1  2     0  yz   0 0 0 0 1  2 0   yz         0 0 0 0 0 1  2     zx   zx 

{σ} vektor naprezanja

Ukratko:

[D] matrica elastičnosti

{ε} vektor deformacija

{σ} = [D] {ε} - Hooke-ov zakon u matričnom obliku

(Uoči sličnost s izrazom σ = E · ε , Hooke-ov zakon za 1-D) Otpornost materijala I

6. Posmik

68

E   xx     yy  2 1  E  yy    yy     xx  2 1   xx 

U ravnini (2-D):  yy

 yx  xy

 xx

 xx

 xy

 yx  yy

Ukratko:

 xy 

E   xy 1   

Odnosno matrično:  xx  E      yy  2 1      xy 

0   xx  1      1 0    yy    0 0 1     xy 

{σ} = [D] {ε} - Hooke-ov zakon u matričnom obliku

(Uoči sličnost s izrazom σ = E · ε , Hooke-ov zakon za 1-D) Otpornost materijala I

6. Posmik

69

6.5 – Odrez Odrez je poseban slučaj čistog posmika. Promatrajmo jedan kratki štap.

F τ τ

F

Otpornost materijala I

Moment savijanja zanemarujemo. Duž crtkane linije se javljaju posmična naprezanja, τ, a kad ona pređu kritičnu vrijednost, dolazi do odreza štapa.

6. Posmik

70

T     dA

τ·dA

A

F  T     dA  A  

T

A

Ovo smo dobili uz pretpostavku da je raspodjela tangencijalnih naprezanja po površini poprečnog presjeka od poprečne sile jednolika. Stvarna raspodjela je nejednolika.

F

Stvarni dijagram Izraz za posmična (tangencijalna) naprezanja od poprečne sile:

τsr

Računski dijagram

T  A

Otpornost materijala I

6. Posmik

71

Troznačnost jednadžbe naprezanja 1) Kontrola naprezanja

 max

T    dop A

 dop

 kr  ks

2) Dimenzioniranje (određivanje potrebne površine popr.pr.)

A potrebno

T   dop

3) Nosivost (određivanje poprečne sile koju štap može preuzeti)

T  A   dop

Otpornost materijala I

6. Posmik

72

6.6 – Spojevi i spojna sredstva Primjer 1: Spoj dvije motke sa svornjakom.

2·t1 > t F

Odrezne ravnine t1 F

t t1 d

F

Otpornost materijala I

F

6. Posmik

73

Da ne dođe do odreza duž odreznih ravnina kontroliramo naprezanja odnosno imamo uvjet: F F F 2     dop d2  d2  A 2 4 4 Na tijelo svornjaka djeluje i bočni površinski pritisak. Prema tome, moramo izvršiti i kontrolu tzv. obodnog pritiska ili gnječenja. Stvarna raspodjela bočnog pritiska koja je nepoznata

d

 Ob

F F     Ob dop A Ob d  t

Zamjenska, računska, raspodjela bočnog pritiska Otpornost materijala I

6. Posmik

74

Primjer 2: Spoj (na preklop) dva lima sa zakovicama. F

F

t t Računska raspodjela nosivosti zakovica

n F n

Stvarna raspodjela nosivosti zakovica

Da bi se osigurala ova pretpostavka uvedena su tzv. konstruktivna pravila o broju i rasporedu zakovica u nekom spoju.

Kontrola odreza:



F   dop 2 d n 4

Kontrola obodnog pritiska: Otpornost materijala I

 Ob  6. Posmik

F   Ob dop nd t

Ovo su jednorezne zakovice.

75

Nedostatak jednoreznih zakovica je što sile F ne leže na istom pravcu, pa ako su limovi debeli ili je sila F vrlo velika, na mjestu spoja dolazi do zaokretanja odnosno krivljenja limova. Primjer 3: Spoj (s vezicama) dva lima sa zakovicama. 2·t1 > t F

t1 t t1

F

n

Kontrola odreza:



n F n2

Kontrola obodnog pritiska: Otpornost materijala I

d 4 2

  dop

 Ob 

6. Posmik

Ovo su sada dvorezne zakovice.

F   Ob dop nd t 76

Primjer 4: Zavareni spoj dva lima. L=L’-10 mm

tt

Var F

F

L’ a - jačina vara Kontrola odreza:



a

F   var a dop 2  a L

Otpornost materijala I

a = t · cos 45º

t

6. Posmik

a = 0,7 · t

77

Primjer 5: Drveni spoj (spoj drvenog kosnika i drvene grede). FH = F · cosα

F x

FH

y 

Kontrola odreza: FH    dop bx

α

y

F FH   dopV by

Kontrola gnječenja:

b

Otpornost materijala I

6. Posmik

(Napomena: u ovom slučaju je i odrez i gnječenje u smjeru pružanja vlakanaca) 78

Nastavak slijedi u idućem file-u.

Otpornost materijala I

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

79

Prof. dr. sc. Pavao Marović

Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009

Otpornost materijala I

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, nastavak 7.

1

7. TORZIJA (UVRTANJE)

Mt1

Odgovarajuća jednadžba ravnoteže:

Mt2

Mt3

 Mti  0  Mt

(Moment torzije djeluje u ravnini okomitoj na uzdužnu os štapa)

Predznak: n +Mt (Moment torzije je + ako mu se vektor vrtnje poklapa sa smjerom vanjske normale – pravilo desnog palca) Otpornost materijala I

7. Torzija

2

Dijagram momenata torzije crtamo po istom načelu kao i dijagram poprečnih sila:

Mt1

Mt2

Mt

+ Mt1

Otpornost materijala I

Mt3

-

Mt3

Mt2

7. Torzija

3

Moment torzije djeluje i na osovinu. Ako znamo snagu N i broj okretaja osovine po minuti n, uz oznake prema crtežu: F rφ Mt

uz napomenu da moment torzije vrši rad na putu zaokreta, možemo pisati:

F W  F  r     2  2  r  F    Mt  

2  n t 60 30 N Mt    n

W  Mt    Mt    t  Mt 

 n N  Mt  30 Otpornost materijala I

odnosno

7. Torzija



W  Mt 

 n t 30

4

7.1 – Analiza naprezanja i deformacija pri torziji štapa kružnog poprečnog presjeka opterećenog momentom torzije Pretpostavke: 1) Štap je u pravcu, kružnog poprečnog presjeka; 2) Štap je napravljen od Hooke-ovog homogenog, izotropnog materijala; 3) Deformacije štapa su male → uzdužna vlakanca ne djeluju jedna na druge; 4) Presjeci štapa ostaju ravni (vrijedi Navier-ova pretpostavka o ravnim presjecima).

Otpornost materijala I

7. Torzija

Mt

P φ

5

Mt

φ’ φ’+dφ

x

φ

x

dx L

Otpornost materijala I

7. Torzija

6

Možemo kazati da je moment torzije u promatranom presjeku rezultat djelovanja tangencijalnih naprezanja. Pošto ne znamo njihovu raspodjelu, naš je slijedeći zadatak odrediti raspodjelu tangencijalnih naprezanja u poprečnom presjeku uslijed djelovanja momenta torzije. =0 τ =0

Zaključak: Postoji samo komponenta naprezanja koja je okomita na radijus vektor u promatranoj točki. Otpornost materijala I

7. Torzija

7

1) Statička jednadžba: τ

dA

ρ

T

A

C Pošto ne znamo zakon raspodjele posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka, trebamo problem promatrati s geometrijskog gledišta.

A

Otpornost materijala I

Mt       dA

7. Torzija

8

Na promatranom štapu postaviti ćemo dva nezavisna, međusobno okomita, sustava linija: (1) sustav međusobno paralelnih izvodnica, i (2) sustav paralelnih kontura poprečnog presjeka (Slika 13.6, str. 250).

Poprečni presjeci ostaju ravni i zaokrenuti; razmak između njih se nije promijenio jer u smjeru osi štapa nema nikakvih naprezanja. Izvodnice ostaju pravci ali imaju karakter zavojnice. Vidimo da se promatrani diferencijalni element nalazi u stanju čistog posmika. Otpornost materijala I

7. Torzija

9

Izvucimo promatrani diferencijalni dio štapa i pogledajmo što se na njemu događa: Promatrani presjek se zaokrenuo za kut dφ a dφ element na plaštu se nalazi Mt u stanju čistog posmika. a’ a b’ b τ aa' r  d   dx dx dx   r  d β  dx Θ – kut zaokreta na jedinicu r dužine štapa – jedinični c

Otpornost materijala I

kut zaokreta

d Mt 7. Torzija

10

Dobili smo odnos između posmične deformacije i torzije, te dalje možemo srediti:  za čisti posmik je:   - Hooke-ov zakon za posmik G

što uvrstimo u prethodni izraz   r  

te dobivamo:   G  r  

Dobili smo izraz za naprezanja na plaštu. Negdje unutar štapa na udaljenosti ρ (pri čemu je 0 ≤ ρ ≤ r ) imamo naprezanja:   G     Prema tome, možemo zaključiti da je raspodjela posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka nekog okruglog štapa uslijed djelovanja momenta torzije linearna.

Otpornost materijala I

7. Torzija

11

Raspodjela posmičnih naprezanja po površini poprečnog presjeka nekog okruglog štapa uslijed djelovanja momenta torzije

Uvrstimo li izraz:

  G   u statičku jednadžbu:

τ

T

 max

Mt       dA A

dobivamo: Mt   G     2  dA

ρ

A



Mt  G     2  dA

  G  

pri čemu je:

 max  G  max    G  r  

A

Ip    2  dA m4  A

polarni moment tromosti Otpornost materijala I

7. Torzija

12

Sada možemo napisati:

Mt  G    Ip

odakle slijedi da je jedinični kut zaokreta: Ako umjesto Θ, uvrstimo:  

Mt  G  Ip

d dx

dobivamo izraz za promjenu kuta zaokreta uslijed momenta torzije: M d 

t

G  Ip

pri čemu je G  Ip

Otpornost materijala I

 dx

torzijska krutost.

7. Torzija

13

Ako tražimo kut zaokreta između dva presjeka koja se nalaze na udaljenosti L, imamo: Mt  dx G  Ip 0

L





Mt odakle slijedi, pošto je:  konst. , izraz za kut zaokreta: G  Ip M L drugi oblik Hooke(Napomena: kut zaokreta φ je  t ovog zakona za deformacija kod torzije) G  Ip torziju

Ako imamo štap sastavljen iz više odnosno n dijelova: 

n

 i 1

Otpornost materijala I

Mti  L i Gi  Ipi 7. Torzija

14

Iz izraza:

Mt  G  Ip

i

  G  

Mt  dobivamo izraz za posmična naprezanja:   Ip te tako možemo izračunati naprezanja u bilo kojoj točki presjeka, pri čemu je najveće posmično naprezanje jednako: Mt Mt Mt Mt  max   max  r  odnosno:  max  Ip Wp Ip Ip r gdje je Wp – polarni moment otpora [m3] Ip Wp  pri čemu je Wp definiran kao: r Ip [m4] i Wp [m3] su geometrijske karakteristike presjeka. Otpornost materijala I

7. Torzija

15

Kod torzije moraju biti ispunjeni slijedeći uvjeti: 1) Kontrola naprezanja M  max  t   dop Wp

 dop 

 kr ks

Dimenzioniranje (određivanje potrebnog momenta otpora) M Wp potrebno  t  r  dop Nosivost (određivanje mom. torzije kojeg štap može preuzeti)

Mt  Wp   dop 2) Kontrola krutosti Mt max    dop G  Ip Otpornost materijala I

7. Torzija

16

7.2 – Računanje momenata tromosti Prethodno smo definirali: Ip    2  dA m 4  A

Puni krug

T

dA=2·π·ρ·d ρ ρ

dρ

τ

r

Ip   2    3  d 0

4 r Ip  2    4 o   r 4   d4 Ip   2 32

Wp je po definiciji:

Ip   r 3   d3 Wp    r 2 16

d=2r

Puni presjeci su neracionalni, te se prelazi na šuplje presjeke. Otpornost materijala I

7. Torzija

17

Ip    2  dA

Šuplji presjek

A

dA=2·π·ρ·d ρ

rv

T ru

ρ

dρ

rv



Ip  2     3  d ru

4 Ip  2    4

τ

rv ru

 4 4  Ip   rv  ru    d4v  du4  2 32 Wp je po definiciji: Wp 

Ip rmax

Ip   4 4 Wp    rv  ru    d4v  du4  rv 2  rv 16  dv Otpornost materijala I

7. Torzija

18

Primjer 1:

Traži se:

Ip1

Ip2

φA=?

Mt Izveli smo izraz za kut zaokreta: A

B

L1 A 

Mt

Otpornost materijala I

Mt  L  G  Ip

L2

Mt  L 2 Mt  L1  G  Ip 2 G  Ip1

-

Mt

7. Torzija

19

Primjer 2:

Ip

MtA

Zadano: Mt1>Mt2

Mt1

Mt2

a

b L=a+b

MtA

Kut zaokreta: M L M a  BA   t 2  t1 G  Ip G  Ip Otpornost materijala I

MtA=Mt1-Mt2

+ Ma Mt1

τmax=?

Moment torzije na ležaju ćemo odrediti iz uvjeta:  Mt  0

B A

Traži se:

-

ili:

Mb Mt2

BA 7. Torzija

 max 

Mt max Wp

 max

Mb  Wp

Mb  b Ma  a   G  Ip G  Ip 20

7.3 – Potencijalna energija pri torziji Nas zanima situacija u elastičnom području. Mt Mt   rad vanjskih sila W Mt 2 A (u elastičnom području, Mt   U W  pot. energija je jednaka 2 radu vanjskih sila)

Potencijalna energija φ 0

φ

M L U t 2  G  Ip 2

ili

 2  G  Ip U 2 L

Vidimo da je pot. energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od Mt ili φ. To je površina ispod Mt - φ dijagrama. Otpornost materijala I

7. Torzija

21

7.4 – Statički neodređeni slučajevi pri torziji Promatrati ćemo sastavljeni okrugli štap ukliješten na oba kraja. A B G1, Ip1 M Kao ležajne reakcije mogu se t G , I pojaviti samo momenti torzije, 2 p2 MtA i MtB, dok su sve ostale reaktivne sile jednake nuli.

MtB

MtA L1

1) Statička jednadžba:

M

L2

ti

0

Mt  MtA  MtB

2 – 1 = 1x Vidimo da je postavljeni zadatak 1x statički neodređen te da treba postaviti još jedan uvjet deformacija – imamo više mogućnosti. Otpornost materijala I

7. Torzija

22

2) Geometrijska analiza: A

G1, Ip1

Mt G , I 2 p2

Ovaj sustav mora biti ekvivalentan zadanome, što znači da je uvjet deformacija:

B

φB=0 MtB

L1

3) Fizikalna jednadžba:

L2 B 

4) Rješenje:

Otpornost materijala I

MtB  L 2 MtB  L1 Mt  L1   0 G2  Ip 2 G1  Ip1 G1  Ip1

Mt MtB  G1  Ip1 L 2 1  G2  Ip 2 L1 7. Torzija

23

Na kraju nacrtamo dijagram momenata torzije: A

B

Mt

MtB

MtA L1 Mt

Mt MtA Otpornost materijala I

L2 +

MtB

-

7. Torzija

24

Ovo smo mogli odrediti i na drugi način (slično, ali sve obrnuto bi bilo da smo oslobodili lijevu upetost): Mt 1) Statička jednadžba:

M

ti

MtB

MtA MtA L 

0

Mt  MtA  MtB

2 – 1 = 1x 2) Geometrijska jedn.:

MtA  L1 G1  Ip1

φL=φD 3) Fizikalne jedn.:

MtA

MtB

D 

M tB  L2 G2  I p 2

MtB Otpornost materijala I

7. Torzija

25

7.5 – Torzija štapova neokruglog popr. presjeka Pod djelovanjem momenta torzije kod štapa neokruglog poprečnog presjeka doći će do vitoperenja poprečnog presjeka (dogoditi će se da će neke točke izaći izvan ravnine poprečnog presjeka). Ako je poprečni presjek konstantan duž uzdužne osi i ako je djelovanje momenta torzije konstantno duž štapa, tada funkcija naprezanja neće biti funkcija od z već samo od x i y: Φ=Φ(x,y) Otpornost materijala I

7. Torzija

26

Polazeći od diferencijalnih jednadžbi ravnoteže, jednadžbi kompatibilnosti (neprekinutosti), fizikalnih jednadžbi i uzimajući funkciju naprezanja definiranu kao Φ=Φ(x,y), dolazimo do Poisson-ove diferencijalne jednadžbe torzije:

 2  2  2  2  G   2 x y

odnosno

 2   2  G  

uz rubni uvjet na plaštu (duž plašta funkcija naprezanja je konstantna, a za tu konstantu uzimamo da je =0):

 0 s te uz rubni uvjet na čeonim presjecima: Mt  2     dx  dy A

Otpornost materijala I

7. Torzija

27

Pri tome uzimamo da su posmična naprezanja definirana na slijedeći način: pri čemu je ukupno posmično A(x,y) naprezanje definirano prema: y T    2zx   2zy σzy

x

Veza između komponenti posmičnih naprezanja i funkcije naprezanja Φ dana je izrazima:    zx  i  zy  y x

σzx

Ukoliko ovo možemo izvesti od početka do kraja, kažemo da imamo rješenje u zatvorenom obliku. To je do sada dobiveno samo za poprečne presjeke oblika: kvadrat, pravokutnik, trokut i elipsa. Otpornost materijala I

7. Torzija

28

Za sve ostale oblike poprečnog presjeka posmična naprezanja pri torziji određujemo: (a) numeričkim postupcima preko približnog izračunavanja (metoda diferencija, metoda konačnih elemenata, itd.), ili (b) pomoću neke analogije. Metoda analogije ili sličnosti Problem kojeg želimo riješiti, ali mu ne znamo rješenje.

Sličan problem kojemu znamo rješenje.

Rješenje

Rješenje

Otpornost materijala I

7. Torzija

29

Primjer: Ravni štap kvadratnog poprečnog presjeka Nedeformiran štap s dva sustava linija (Slika 13.23, str. 268):

Deformiran štap (Slika 13.24, str. 269): Uglovi se nisu deformirali, prema tome, tamo su naprezanja jednaka nuli. Najveće deformacije, a time i najveća naprezanja su u sredinama stranica.

Otpornost materijala I

7. Torzija

30

Promatrajmo sada dijagrame posmičnih naprezanja za pravokutni poprečni presjek: τ2 < τ1 , te slijedi: τ1 = τmax τ2 Za odnos b Vpc, to je Mtbc > Mtpc. Otpornost materijala I

7. Torzija

38

Primjer 2: Promatrajmo pravokutnik s odnosom stranica h/b≥10. (vidi zadatak na 32 str.) (Rješenje treba naći membranskom analogijom)

τmax

h

Izrežimo otvor oblika pravokutnika, napnimo i opteretimo membranu, te nacrtajmo linije jednakih progiba. w 4   Mt w    n b 2  V n

δ b/4 b Nagib tangente je: b

Otpornost materijala I

2 Volumen je: V     b  h 3 7. Torzija

39

Mt w  2  V n w 4    n b

Posmično naprezanje:   Nagib tangente: Volumen:

2 V   bh 3

Konačno rješenje je:

 max

4   3  Mt    2 2 b h 2  bh b 3

Otpornost materijala I

Mt

7. Torzija

40

7.7 – Spiralna opruga

(Koga zanima može pogledati u knjizi poglavlje 13.8, str. 295-299)

Otpornost materijala I

7. Torzija

41

Nastavak slijedi u idućem file-u.

Otpornost materijala I

7. Torzija

42

Prof. dr. sc. Pavao Marović

Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009

Otpornost materijala I

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, nastavak 8.

1

8. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA Pravo

Čisto

Koso

Sa silama

Promatramo ravni štap, napravljen od homogenog, izotropnog, elastičnog materijala, konstantnog poprečnog presjeka, koji je opterećen konstantnim momentom savijanja. Prema tome, svaki dio štapa se nalazi u jednakim uvjetima. Za jedan diferencijalni dio štapa napravit ćemo sve analize.

Otpornost materijala I

8. Savijanje

2

Presječnica ravnine poprečnog presjeka (zy) i ravnine momenta savijanja (xy) je os y.

1) Statička analiza:

Moment savijanja djeluje u ravnini xy, a vrti oko osi z.

m M

n

z B T m

x

A dx

Otpornost materijala I

M

A(z,y)__dA 8. Savijanje

ny

3

Promatrajmo opće stanje naprezanja u točki A: Postavimo sve moguće jednadžbe ravnoteže:

Ty    xy  dA = 0 A

A

=0

A

A

=0

(3) Mz    xx  y  dA

=M

Naše jedino opterećenje je moment savijanja oko osi z, Mz=M

A

1. grupa jedn. – statičke jednadžbe

A

Otpornost materijala I

σxy

σxx

Iz ove 3 jednadžbe nam slijedi da nemamo nikakvih posmičnih naprezanja: σxy = σxz = τ = 0

Mx  Mt       dA = 0

(2) My    xx  z  dA

σxz

Pošto u našem slučaju nemamo nikakvih vanjskih poprečnih sila niti momenta torzije, možemo staviti da je: Ty = Tz = Mt = 0

Tz    xz  dA = 0

(1) Nx    xx  dA

A

8. Savijanje

4

2) Geometrijska analiza: Da bi odredili zakon razdiobe normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka, promatrati ćemo ponašanje vlakanaca na diferencijalnom elementu dx. Uzeti ćemo neopterećeni štap i na njemu nacrtati dva sustava međusobno okomitih linija: (1) konture poprečnih presjeka; i (2) paralelne izvodnice (slika 14.7, str. 309).

a a1a Otpornost materijala I

8. Savijanje

Nakon što smo štap opteretili momentom savijanja, štap će se deformirati: (1) poprečni presjeci će ostati ravni i okomiti na uzdužnu os (Navier-ova pretpostavka o ravnim presjecima), zaokrenuti i radijalno usmjereni te okomiti na uzdužne izvodnice; (2) izvodnice će činiti sustav koncentričnih kružnica. Što se dogodilo s izvodnicama? - neke su se skratile, a1a - neke su ostale nepromijenjene 5

Skup vlakanaca koji pri deformiranju štapa nije promijenio svoju dužinu naziva se neutralni sloj. Presječnica neutralnog sloja i poprečnog presjeka se naziva neutralna os.

m

M

dφ

ρ

n

B0

A0 y

B m

dx

R=ρ+y

M

A n

B0 B1

neutralni sloj

A0 y A1

B0 A 0  ds  dx    d Otpornost materijala I

8. Savijanje

6

Relativna deformacija vlakanca B1A1 je: A 1B1  A 0B0   y   d    d y  xx    A 0B0   d 

y  xx  

Dobili smo da je promjena relativnih deformacija po visini poprečnog presjeka linearna.

3) Fizikalna analiza: Kako smo vidjeli, tangencijalna naprezanja na plaštu odnosno posmična naprezanja u poprečnom presjeku su nula, te nam ostaju samo normalna naprezanja u poprečnom presjeku:

σxx

σxx A

B Otpornost materijala I

8. Savijanje

 xx 

 xx E 7

4) Rješavanje sustava jednadžbi:  xx   xx  E E   xx   y y  xx   

Vidimo da je raspodjela normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka linearna.

Iz jednadžbe (3): Mz    xx  y  dA  M

E 2 A   y  dA  M E   y 2  dA  M  A

slijedi:

A

Kako je E konstantno, ako se radi o homogenom i izotropnom materijalu, možemo pisati:

Ako uzmemo da je

2 [m4] y  dA  I z  A

osni moment tromosti ili mom. trom. obzirom na os z

1 M   E  Iz Pri tome je E·Iz – krutost na savijanje ili savojna krutost. Izraz za deformaciju kod savijanja:

Otpornost materijala I

8. Savijanje

8

1 M  Ako izraz za deformaciju  E  Iz uvrstimo u izraz za opću

raspodjelu normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka E dobiti ćemo izraz koji nam daje mogućnost  xx   y  određivanja normalnih naprezanja pri M istom savijanju u bilo kojoj točki presjeka:  xx   y Iz

Promatrajmo jednadžbu (1): Nx    xx  dA  0 A

M M  y  dA   y  dA  0 I Iz A A z





 y  dA  S A

z

0

M  0 slijedi da je Kako je Iz

Sz - statički moment površine obzirom na os z [m3]

Ovo je ujedno jednadžba težišta poprečnog presjeka, a pokazuje da neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka. Otpornost materijala I

8. Savijanje

9

Preostaje nam još jednadžba (2): My    xx  z  dA  0 A

M M  y  z  dA   y  z  dA  0 I Iz A A z





M Kako je  0 slijedi da je Iz

 y  z  dA  I

zy

0

A

Izy - centrifugalni moment tromosti u odnosu na osi z i y [m4]

Prema tome, da bi sve ovo što smo do sada kazali bilo ispravno, centrifugalni moment tromosti obzirom na osi z i y mora biti jednak nuli, odnosno, ravnina djelovanja momenta savijanja mora biti ili ravnina xy (što je ovdje pokazano) ili ravnina xz (slično uz zamjenu indeksa).

Otpornost materijala I

8. Savijanje

10

Komentari:

Os x se podudara s osi štapa. Os y prolazi težištem poprečnog presjeka – Sy=0. Os z prolazi težištem poprečnog presjeka – Sz=0. Osi y i z su središnje osi poprečnog presjeka, može ih biti više. Ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi kroz os štapa. Centrifugalni moment tromosti Izy=0 → osi y i z su glavne osi poprečnog presjeka, ima samo jedan par. Sz=Sy=0 → osi z i y su središnje osi Izy=0 → osi z i y su glavne osi Sz=Sy=Izy=0 → osi z i y su glavne središnje osi Za slučaj pravog čistog savijanja, ravnina djelovanja momenta savijanja mora se poklapati s jednom od ravnina glavnih osi, xy ili xz. Otpornost materijala I

8. Savijanje

11

Najveća naprezanja se javljaju u rubnim vlakancima, za y=ymax. σmin ymin

M

M x

T

z

+ σmax

y

 xx 

M y Iz

 xx max

M   y max Iz

Uz zamjenu što vrijedi samo za krajnja vlakanca:

(vlačna naprezanja)

Otpornost materijala I

8. Savijanje

 xx min

M   y min Iz

ymax

(tlačna naprezanja)

Naprezanja u krajnjim vlakancima:

Iz Wz  y

Wz - osni moment otpora obzirom na os z

neutralna os

[m3]

M  xx  Wz 12

Za prethodni poprečni presjek u rubnim vlakancima imamo:  xx max

M  Wz max

uz

Wz max

Iz  y max

 xx min

M  Wz min

uz

Wz min

Iz  y min

Za poprečni presjek simetričan obzirom na os z, ymax = ymin = h/2: M M h  xx max      dop min Wz Iz 2 Uvjet čvrstoće moramo ispuniti na oba ruba, σvlak ≠ σtlak : M M tlak vlak  xx min    dop  xx max    dop Wz min Wz max

Otpornost materijala I

8. Savijanje

13

Oblik poprečnog presjeka ne utječe na dijagram normalnih naprezanja ili dijagram normalnih naprezanja ima isti oblik za sve poprečne presjeke (raspodjela je uvijek linearna).

Otpornost materijala I

8. Savijanje

14

8.1 – Momenti tromosti Momenti tromosti su karakteristike poprečnog presjeka. Ovise o obliku i veličini poprečnog presjeka. Dimenzije [m4]. y Definirajmo momente tromosti: z dA ρ y T

z

 A

A

Polarni moment tromosti: Ip    2  dA A Ip = Iz + Iy

2  z2  y 2

Iz crteža slijedi:

Centrifugalni moment tromosti: Izy   z  y  dA

Ip   z 2  y 2   dA  Iz  Iy A

Otpornost materijala I

Osni momenti tromosti: Iz  y 2  dA Iy   z 2  dA

A

8. Savijanje

15

Iy   z 2  dA

Iz   y 2  dA

A

A

Iz gornjih definicija slijedi:

Ip    2  dA A

Izy   z  y  dA A

I z , Iy , I p > 0

Izy 0

ovisno o z i y

Ako presjek ima jednu os simetrije: y I =0 zy

y -z

Otpornost materijala I

+z

z

8. Savijanje

16

Kod izračunavanja ovih integrala (momenata tromosti) mora nam biti zadana, analitički, granica integriranja. Ako nije, onda presjek dijelimo na manje, jednostavnije, dijelove. y

A1

Iz   y 2  dA

A

A

Iz   y 2  dA   y 2  dA   y 2  dA

T A2

z

A3

A1

A2

A3

n

Iz   Izi i1

n

Iy   z 2  dA   Iyi A

i1

n

Izy   z  y  dA   Izyi A

Otpornost materijala I

8. Savijanje

i1

17

8.2 – Redukcijski Steiner-ovi stavci Određivanje momenata tromosti obzirom na međusobno paralelne osi. Zadano: y b y1 Iz  y 2  dA Iy   z 2  dA A A dA z1 z Izy   z  y  dA ρ y A z T 2 2



a

 dA  2a y  dA   y A

A

A

 dA

y1

Po definiciji imamo: a z1

A

A

Sz=0

z1 = b + z y1 = a + y Otpornost materijala I

Iz1   y  dA   a  y   dA  2

2 1

Iz1 = a2·A + Iz 8. Savijanje

18

Iz1 = Iz + a2·A

Iy1 = Iy + b2·A

Osni moment tromosti obzirom na neku zadanu os (z1 ili y1) jednak je momentu tromosti obzirom na paralelnu os (z ili y) kroz težište poprečnog presjeka plus produkt površine poprečnog presjeka (A) i kvadrata udaljenosti između paralelnih osi (a2 ili b2).

Otpornost materijala I

8. Savijanje

19

Iz1y1   z1  y1  dA   b  z   a  y   dA  A

A

  a  b  dA  a  z  dA  b  y  dA   z  y  dA A A A Sy=0 Sz=0 A

Iz1y1 = Izy + a·b·A

Centrifugalni moment tromosti obzirom na zadani par međusobno okomitih osi (z1, y1) jednak je centrifugalnom momentu tromosti obzirom na sustav međusobno okomitih osi (z, y) kroz težište poprečnog presjeka koje su paralelne zadanim osima plus produkt površine poprečnog presjeka (A) i udaljenosti međusobno paralelnih osi (a, b). Otpornost materijala I

8. Savijanje

20

Zaključci / Komentari: Kod proračuna osnih momenata tromosti, udaljenosti dolaze na kvadrat (a2, b2) pa ne moramo voditi računa o predznacima tih dužina. Kod proračuna centrifugalnog momenta tromosti moramo voditi računa o predznacima dužina a i b jer ne dolaze pod kvadrat. Naime, dužine a i b su koordinate težišta poprečnog presjeka u koordinatnom sustavu z1-y1. Osni momenti tromosti imaju najmanju vrijednost za osi koje prolaze kroz težište poprečnog presjeka (IzIv → Iu=Imax i Iv=Imin Ukoliko je Iz