Otomatik Kontrol - Çözümlü Sorular VII

1 Soru-1:

fonksiyonunu bulunuz.

G1(s)

K1

G2(s)

G3(s)

C(s)

tla

ri.

R(s)

C s transfer R s

co m

Aşağıda verilen kontrol blok diyagramını göz önünde bulundurarak, T  s  

Çözüm-S1:

G1(s)

K1

I G2(s)

G1(s)

K1

.e

w

G3(s)

1/G3(s)

K1

G2(s)G3(s) 1+G2(s)G3(s)

III C(s)

w

w

G5(s) 1/G3(s)

1 G4(s) R(s)

G1(s)

IV G4(s) K1 G5(s) 1/G3(s)

G2(s)G3(s) 1+G2(s)G3(s)

C(s)

II

G2(s)

G4(s) G1(s)

G3(s)

G4(s)

em

R(s)

de

rs

R(s)

no

Kontrol blok diyagram indirgemesi aşağıda sırası ile verilmiştir.

C(s) G6(s)

C(s)

2 G7(s) 1 G4(s)

G6(s) G4(s)K1 1+G4(s)G5(s)K1

G1(s)

C(s)

co m

R(s)

V

C s G1  s  G6  s   R  s  1  G1  s  G6  s  G7  s 

tla

T s 

ri.

İndirgeme sonrası elde edilen transfer fonksiyonu aşağıda verilmiştir.

G4  s  K1 G4  s  K1 G1  s  1  G4  s  G5  s  K1 1  G4  s  G5  s  K1  T s  K1 G4  s  K1 1 1  G1  s  1  G1  s  1  G4  s  G5  s  K1 1  G4  s  G5  s  K1 G4  s 

no

G1  s 

em

de

rs

G2  s  G3  s  G  s  G3  s  K1 G1  s  2 K1 1  G2  s  G3  s  1  G2  s  G3  s  T s   G2  s  G3  s  G2  s  1 1 K1  G1  s  K1 1  K1  G1  s  K1 1  G2  s  G3  s  G3  s  1  G2  s  G3  s  G1  s 

T s 

1  G2  s  G3  s   G2  s  K1  G1  s  K1 1  G2  s  G3  s   G1  s  G2  s  G3  s  K1

1  G  s  G  s   1  G  s  K   G  s  K 2

3

1

1

2

1

Soru-2: Aşağıda verilen kontrol blok diyagramını göz önünde bulundurarak, istenen transfer fonksiyonlarını bulunuz.

w

w

.e

T s 

G1  s  G2  s  G3  s  K1

w

abcd-

İleri yol transfer fonksiyonu. Geri yol transfer fonksiyonu. Açık çevrim transfer fonksiyonu. Kapalı çevrim transfer fonksiyonu.

R(s) H2(s)

K1 G1(s)

K2 G2(s)

G3(s) H1(s)

K2

C(s)

3

R(s)

I

K1

G7(s)

K2

G1(s)

G2(s)

C(s)

G3(s)

ri.

H2(s)

H1(s)

düzenleme

no

tla

K2

K2

C(s) G3(s)

G7(s)

H1(s)

G1(s)

G2(s)

de

R(s)

II

rs

K1

em

H2(s)+K2

III

G1(s)K1

R(s)

.e

w

w

w

co m

Çözüm-S2: Yukarıda verilen blok diyagramda R(s) ve C(s) arasındaki bloklar aşağıda sırası ile verildiği gibi düzenlenmiştir.

K2 G1(s)G2(s) G7(s) H2(s)+K2

G4(s) G3(s) H1(s)

C(s)

4 düzenleme

R(s)

K2

G4(s) G3(s) 1-G3(s)H1(s)

G1(s)G2(s)

tla

H2(s)+K2

K2

K2

rs

no

G5(s)

G4(s) G3(s) 1-G3(s)H1(s)

G1(s)K1 R(s)

C(s)

ri.

G7(s)

de

G1(s)G2(s)

V

C(s)

em

G7(s) H2(s)+K2

w

.e

R(s)

G6(s) K2

G5(s)

G3(s) 1-G3(s)H1(s) G4(s)

G1(s)K1K2+G1(s)G2(s) G7(s) H2(s)+K2

w

w

co m

G1(s)K1

IV

G5(s) R(s)

G1(s)K1K2+G1(s)G2(s)

G6(s) G4(s) 1-G4(s)K2

C(s)

G7(s) H2(s)+K2

Sadeleştirme sonrası istenen transfer fonksiyonları sırası ile verilmiştir.

VI

5

G İYTF  s  

tla

b GYTF(s)= G7(s)

c AÇTF(s)= G5(s) G6(s) G7(s)

rs

G1  s  G 3  s  K1K 2  G1  s  G 2  s  G 3  s   H2  s   K 2  1  G 3  s  H1  s   G 3  s  K 2 G5  s  G6  s  1 G5  s  G6  s  G7  s 

de

G AÇTF  s  

no

GGYTF  s    H2  s   K 2 

d KÇTF(s)=

w

.e

em

G1  s  G 3  s  K1K 2  G1  s  G 2  s  G 3  s  1  G 3  s  H1  s   G 3  s  K 2 G KÇTF  s   G  s  G 3  s  K1K 2  G1  s  G 2  s  G 3  s  1 1  H2 s   K 2  1  G 3  s  H1  s   G 3  s  K 2

w

w

G1  s  G 3  s  K1K 2  G1  s  G 2  s  G 3  s  1  G 3  s  H1  s   G 3  s  K 2

ri.

G İYTF

G3 s  1  G 3  s  H1  s    G1  s  K1K 2  G1  s  G 2  s   G3 s  1 K2 1  G 3  s  H1  s 

co m

a İYTF(s)=G5(s) G6(s)

G KÇTF  s  

G1  s  G 3  s  K1K 2  G1  s  G 2  s  G 3  s 

1  G 3  s  H1  s   G 3  s  K 2  G1  s  G 3  s  K1K 2  H 2 s   K 2   G1 s  G 2 s  G 3 s   H 2 s   K 2 

6 Soru-3: G1(s) s+1 s+3

C(s)

co m

G4(s)

ri.

0.5

tla

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramına ait Cz ’yi bulunuz. T=1sn alınız. a- Ayrık transfer fonksiyonu R z b- r(t)=3u(t) giriş için c    ifadesini hesaplayınız.

D(s)

rs

A*(s)

G1(s)

de

R(s)

A(s)

Çözüm-S3-a:

B(s)

no

Çözüm-S3:

C(s)

G2(s) G3(s)

em

G4(s)

Blok diyagrama ek değişkenler ilave ederek denklemleri türetelim.

w

.e

A  s   R  s   C  s   G 4  s  C  s 

w

w

G2(s) 1 2s+1 G3(s) 1

B  s   A  s  G1  s 

ise A*  s   R *  s   C  s   G 4  s  C  s  *

*

ise B  s   R*  s  G1  s   C  s  G1  s   G 4  s  C  s  G1  s  *

D  s   B  s   G3  s  C  s 

*

ise B(s) yerine koyulur.

D  s   R*  s  G1  s   C  s  G1  s   G 4  s  C  s  G1 s   G3 s  C s  *

*

C  s   D  s  G 2  s  ise D(s) yerine koyulur.

C  s   R*  s  G1  s  G 2  s   C  s  G1  s  G 2  s   G 4  s  C  s  G1  s  G 2  s   G3  s  C s  G 2  s  *

*

C(s) aşağıda verildiği gibi yıldızlanır. C*  s   R*  s  G1*G 2  s   C  s  G1*G 2 s   G 4 s  C s  G1*G 2 s   C s  G 2*G 3 s  *

denklem düzenlenir ve

C  s  elde edilir. R s

C  s  G1G 2  s   R   s  1  G1G 2  s   G 4  s  G1G 2  s   G 2 G 3  s 

*

7

ri.

n   d m1  z   1 X z    s  si  X  s   m 1   z 1  i 1    m  1! ds  

rs

no

tla

 s  1 0.5  G1G 2  z   Z    s  3 s  0.5     1 s 1 z  s 1 1 z     0.5  s   0.5  s   3     sT  sT  s  3 z  e s  0.5 z  e s  0.5 s  3      s 0.5 s 3      0.5  1  3  1 z z     0.5   3*1   0.5*1  3  0.5 z  e     0.5  3 z  e 0.5z 2 -0.2476z G1G 2  z   2 z  0.6563z  0.0302

de

0.5 z  0.5  G 2G3  z   Z    (s  (0.5) s  0.5 z  esT  s  0.5 

s 0.5

em

0.5z G 2G3  z   z  0.6065 G 4  z   Z0.5  0.5

Cz G1G 2  z   R  z  1  G1G 2  z   G1G 2  z  G 4  z   G 2G 3  z 

ifadeler yerine koyulur ise,

.e

w

w

w

co m

Cz G1G 2  z   R  z  1  G1G 2  z   G1G 2  z  G 4  z   G 2G 3  z 

0.5z 2 -0.2476z Cz z 2  0.6563z  0.0302  2 0.5z -0.2476z 0.5z 2 -0.2476z 0.5z R z 1 2  0.5 2 1 z  0.6563z  0.0302 z  0.6563z  0.0302 z  0.6065

Düzenlenir ise,

Cz z5  0.6721z 4  0.07z3  0.5135z 2  0.3003z  0.6667 5 elde edilir. R z z  0.6721z 4  0.7367z3  1.3659z 2  0.3735z  0.0244

Çözüm-S3-b: * Tablo yöntemi kullanılarak

8

1 bulunur, s n   d m1  z   1 rezüdü yöntemi X  z     kullanılarak da R(z) s  si  X  s  m 1  sT   z  e  i 1    m  1! ds   bulunur.

z bulunur. z 1

tla

R z  3

ri.

  1 z     1 R  z   Z 3   3  s   0   sT  s z  e  s 0   s   

no

Cz  T  z   C  z   T  z  C  z   R z

rs

z5  0.6721z 4  0.07z3  0.5135z 2  0.3003z z C  z   0.6667 5 3 4 3 2 z  0.6721z  0.7367z  1.3659z  0.3735z  0.0244 z  1

* c    ifadesi için son değer teoreminden c     limc  t   lim  z  1 C  z  faydalanarak, t 

z 1

de

c     lim  z  1 0.6667 z 1

z5  0.6721z 4  0.07z3  0.5135z 2  0.3003z z 3 5 4 3 2 z  0.6721z  0.7367z  1.3659z  0.3735z  0.0244 z  1

em

c     7.7395

Soru-4: R(s)

.e

w

w

w

co m

r(t)=3u(t)  R  s   3

G1(s) s+1 s+3 G3(s) 1

G2(s) C(s) 1 2s+1

G4(s) 0.5

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramına ait, Cz a- Ayrık transfer fonksiyonu ’yi bulunuz. T=0.1sn alınız. R z Çözüm-S4:

C*(s)

ri.

co m

9

A  s   R  s   C  s  G 4  s   F  s 

ve F  s   B(s)*G3 (s)

B  s   A* (s)*G1 (s)

F  s   A* (s)*G1 (s)*G3 (s) ise F  s   A* (s)*G1G3* (s)

R   s   C  s  G 4  s  A s  1  G1G3  s 

rs



no

A  s   R  s   C  s  G 4  s   A* (s)*G1G3* (s)

C  s   A  s  G1  s  G 2  s  ise C  s   A  s  G1G2  s  dir.

de

R   s   C  s  G4  s  C s   G1G 2  s  ifadesi C  s  için düzenlenir ise,  1  G1G 3  s  

em

C  s  1  G1G3  s    R   s  G1G2  s   C s  G4 s  G1G2 s 

G1G2  s  C s   R s  1  G1G3  s   G4  s  G1G 2  s  

w

.e



w

w

tla

Blok diyagrama ek değişkenler ilave ederek denklemleri türetelim.

Cz G1G 2  z   R  z  1  G1G 3  z   G 4  z  G1G 2  z 

* Rezüdü yöntemini kullanarak aşağıdaki Laplas fonksiyonları ayrıklaştırılır. n   d m1  z   1 X z    s  si  X  s  m 1  sT   z  e  i 1    m  1! ds  

   0.5  s  1   s 1     s 1 1  G1G 2  z   Z G1G 2  s   Z    Z   Z   s  3 2s  1   s  3 2s  1     s  3 s  0.5     

10

co m

   s 1 z  s 1 z    G1G 2  z   0.5  s   3  s   0.5      sT  sT     s  3 s  0.5 z  e  s3   s  3s  0.5  z  e  s0.5     3  1  z 0.5  1 z z z   G1G 2  z   0.5    0.2   0.5  0.8  3*0.1 0.5*0.1  z  0.7408 z  0.9512   0.5  3 z  e    3  0.5 z  e 

0.1z  4z  3.8048  z  0.7408   z  0.7408 z  0.9512 

G1G 2  z  

0.5z 2  0.45456z 0.5z 2  0.45456z  2  z  0.7408 z  0.9512  z  1.692z  0.7046

no

tla

G1G 2  z  

de

rs

 s 1   s 1  G1G 3  z   Z G1G 3  s   Z  1  Z   s  3  s  3   s 1 z  z     G1G 3  z    s   3    3  1 sT 3*0.1  ze   s  3 z  e  s3   

2z z  0.7408

em G1G 3  z  

G 4  z   ZG 4  s   Z0.5  G 4  z   0.5

.e

w

w

w

ri.

z z   0.4z  z  0.9512   0.1z  z  0.7408 G1G 2  z   0.5  0.8  0.2  z  0.7408 z  0.9512   z  0.7408 z  0.9512  

Cz G1G 2  z   R  z  1  G1G 3  z   G 4  z  G1G 2  z  0.5z 2  0.45456z Cz  z  0.7408 z  0.9512   2z 0.5z 2  0.45456z R z 1  0.5 z  0.7408  z  0.7408 z  0.9512 

Cz z5  2.4324z 4  1.9581z3  1.4309z 2  0.6737z  2.0007 5 R z z  2.4333z 4  2.0424z3  2.3748z 2  2.8699z  2.0882

11

R(s)

C(s)

G2(s)

ri.

G3(s)

D(s)

B(s)

G1(s)

de

rs

R(s)

A*(s)

A(s)

Çözüm-S5:

no

tla

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramına ait ayrık transfer fonksiyonunu Cz ’yi bulunuz. R z

G2(s)

C(s)

G3(s)

em

Blok diyagrama ek değişkenler ilave ederek denklemleri türetelim. A s   R s   C s 

B  s   A  s  G1  s 

w

.e

D  s   B  s   C  s  G3  s   D  s   A  s  G1  s   C  s  G3  s 

w

w

G1(s)

co m

Soru-5:

C  s   D  s  G 2  s   C  s   A  s  G1  s   C  s  G3  s  G 2  s   C  s   A  s  G1  s   C  s  G3  s  G2  s  

C  s    R   s   C  s   G1  s   C  s  G3 s  G2 s  

C  s   R   s  G1  s  G2  s   C  s  G1  s  G2  s   C s  G3 s  G2  s  

G1  s  G2  s  C s   R s   1  G1  s  G2  s   G3  s  G 2  s  



Cz G1  z  G 2  z   R  z  1  G1  z   G 3  z   G 2  z 

Soru-6: R(s)

C(s)

G2(s) G3(s)

D(s)

no

B*(s)

G2(s)

C(s)

G3(s)

de

rs

G1(s)

B(s)

R(s)

A(s)

Çözüm-S6:

tla

ri.

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramına ait ayrık transfer fonksiyonunu Cz ’yi bulunuz. R z

Blok diyagrama ek değişkenler ilave ederek denklemleri türetelim. A s   R s   C s 

em

B  s   A  s  G1  s 

D  s   B  s   C  s  G3  s   D  s   A  s  G1  s   C  s  G3  s 

C  s   D  s  G 2  s   C  s   A  s  G1  s   C  s  G3 s  G 2 s  

.e

w

w

w

G1(s)

co m

12

C  s   R  s  G1  s   C  s  G1  s   C  s  G3 s  G 2 s  

C  s   RG1  s   CG1  s   C  s  G3  s  G2  s 

C*(s) eşitliğin içinde R(s) ve C(s) örnekleme sonrası G1 ile kaynaşmıştır. Bu örnekleme yöntemi ile C*(s)/R*(s) transfer fonksiyonu çıkartılamaz.

13

h  t   u  t     u  t  2  fonksiyonuna ait grafiği çiziniz. Laplace dönüşümünü elde ediniz.

Çözüm-S7:

2



2



2

t

t

t

de

rs

h(t)

no

u  t  2 

tla



ri.

u  t  

H(s)’i bulalım:

em

* Laplace dönüşüm tablosundan

L u  t     L f  t    u  t    

es s

L u  t  2   L f  t  2  u  t  2  

.e

w

w

w

co m

Soru-7:

bulunur.

es e2 s H s    s s

e2 s s

14

Soru-8: E(s)

R(s)

G1(s) 540

1.2 s 1

co m

Td(s)

G2(s)

G3(s)

C(s)

1 2s  0.5 G4(s)

ri.

0.1

tla

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramında, a- E(s) hata fonksiyonunu bulunuz. b- Td  t   2u(t) için eTd    değerini hesap ediniz.

no

Çözüm-S8:

E(s) ifadesi

rs

Kapalı çevrim kontrol blok diyagramında iki adet giriş olduğundan, süperpozisyon teoremi kullanılarak elde edilecektir.

de

Çözüm-S8-a: 1- Td(s)=0 için

G2(s)

G3(s)

540

1.2 s 1

1 2s  0.5

em

G1(s)

G4(s) 0.1

G6(s) R(s)

E(s)

G1(s)

G2(s)G3(s) 1+G2(s)G3(s)G4(s)

540

w

w

w

.e

R(s)

E(s)

G5(s)

G6(s) R(s)

E(s)

G1(s)G2(s)G3(s) 1+G2(s)G3(s)G4(s)

C(s)

C(s)

C(s)

15

C  s   E  s  G5  s  E s   R s   E s  G6 s 

1  R s  1  G6 s 

E s  R s 

1  G 2  s  G3  s  G 4 s  1  G 2  s  G 3  s  G 4  s   G1  s  G 2  s  G 3  s 

tla

ri.

1 G1  s  G 2  s  G 3  s  1 1  G 2 s  G3 s  G 4 s 

G1(s)

E(s)

1.2 s 1

rs

540

Td(s)

G2(s)

B(s)

A(s)

no

2- R(s)=0 için

G3(s)

1 2s  0.5 G4(s)

de

0.1

E s   C s 

em

A  s   C  s  G1  s   C  s  G 4

B  s   A  s  G 2  s   Td  s 

w

.e

C  s   B  s  G3  s 

w

w

E s  R s 

co m

E s   R s   C s 

A  s   E  s  G1  s   E  s  G 4 B  s   E  s  G1  s   E  s  G 4  G 2 s   Td s 





C  s   E  s  G1  s   E  s  G 4  s  G 2 s   Td s  G 3 s 

E  s   E  s  G1  s  G 2  s  G3 s   E s  G 4 s  G 2 s  G 3 s   Td s  G 3 s  E  s  1  G1  s  G 2  s  G3  s   G 4  s  G 2  s  G3  s   Td  s  G3  s 

E  s   Td  s 

G3  s  1  G1  s  G 2  s  G 3  s   G 4  s  G 2  s  G 3  s 

E s  G3  s   Td  s  1  G1  s  G 2  s  G 3  s   G 4  s  G 2  s  G 3 s 

C(s)

16

E  s   E r  s   E Td  s   R  s 

1  G 2 s  G3 s  G 4 s  1  G 2  s  G 3  s  G 4  s   G1  s  G 2  s  G 3  s 

G3 s  1  G1  s  G 2  s  G 3  s   G 4  s  G 2  s  G 3  s 

ri.

 Td  s 

tla

Çözüm-S8-b:

no

E  s  fonksiyonuna ait sonsuzdaki değeri son değer teoremi kullanılarak çözülür.

eTd     limeTd  t   limsE td  s   t 

s0

s 0

de

s 0

G3  s  1  G1  s  G 2  s  G 3  s   G 4  s  G 2  s  G 3  s 

rs

eTd     limsE td  s   limsTd  s 

Td  t   2u(t) için laplace dönüşümü Td  s  

2 dir. s

w

.e

em

1 2 2s  0.5 eTd     lims  s 0 s 1.2 1 1.2 1 1  540  0.1 s  1 2s  0.5 s  1 2s  0.5

w

w

co m

Girişler için E(s) çıkış ifadesi aşağıda verilmiştir.

1 2 4 2* 0  0.5 eTd     lims   0.00308 s 0 s 1.2 1 1.2 1   1 1296 0.24 1  540  0.1 0  1 2* 0  0.5 0  1 2* 0  0.5

17

trabzan sürükleyici

YÜRÜYEN MERDİVEN ELEKTROMEKANİK SİSTEMİ

trabzan

ac asenkron motor

dişli

basamak

220 2 sin t

tla no

dişli

iç ray

takometre çıkışı

Vcc

0-10V

R

sürücü kontrol analog girişi 0-10V DC osilaskop

rs

dış ray dönme güzergahını belirler

asenkron motor sürücü

ri.

~ ~

takometre

w

.e

em

de

Yukarıda verilen düzenekte yürüyen merdiven sistemini harekete geçiren motor hızı ayrıkzaman sayısal tabanlı olarak kontrol edilmek istenmektedir. Kontrol edilmek istenen sistem modeli, Motor+yürüyen merdiven+diğer mekanik aksamlar, 1. dereceden sistem olduğu kabul edilecektir ve deneysel olarak basamak cevabından model parametreleri olan kazanç ve zaman sabiti elde edilecektir. Bu amaç için sürücü girişine DC 10V genlikte basamak işaret uygulanmıştır. Motor hızını ölçmek amacı ile rotor miline takometre bağlanmıştır. Takometre motor hızı ile orantılı 0-10V arasında gerilim üretmektedir. Takometre çıkışı ve referans giriş işaretleri osiloskoba bağlanmış ve ilgili eğriler aşağıda verilmiştir.

w

w

co m

Soru-9:

10

7.9 7.0 7 6.3 5.5 4

Vref(t)

Vtakometre(t)

5.0 4.0 7 3.4 3.0 1.8 1.0

zaman (ms)

a- 1. Dereceden transfer fonksiyon parametreleri K ve  ‘yu grafikten belirleyiniz. b- Ayrık-zaman Kapalı çevrim kontrol blok diyagramını çiziniz.

18 c- r  t   3u(t) referans giriş ve c  t  çıkış işareti olmak üzere c    elde ediniz. Ayrık-

periyodunu T  Çözüm-S9-a:

Şekilden, K :açık-çevrim kazancı.

no

Vtakometre 7.9V   0.79 elde edilir. Vref 10V Şekilden,  : açık-çevrim zaman sabiti.

tla

ri.

1. dereceden ölü zamansız sistem transfer fonksiyonu genel olarak, C s K verildiği gibidir.  R  s  s  1

K

rs

v  vo    *0.632  vtakometre    *0.632  7.9V*0.632  5V t v  t 5V    50ms 

elde edilir.

em

de

Parametreler, transfer fonksiyonunda yerine koyulur ise, C s K 0.79 olarak elde edilir……   R  s  s  1 0.05s  1 Çözüm-S9-b:

w

.e

Motor rotor hızı sayısal işlemci ile kontrol edileceğinden burada ayrık-zaman sayısal kontrol söz konusudur. Kontrol blok diyagramı aşağıda verilmiştir.

w

w

 alınız. Sonucu tartışınız. 10

z 1 2z , D2  z   ve örnekleme z 1 z 1

co m

zaman kapalı çevrim Kontrol diyagramında D1  z   1 

Aşağıda kontrol düzeneği ve kontrol düzeneğine ait kapalı çevrim blok düzeneği verilmiştir. Vcc

sürücü kontrol analog girişi 0-10V DC

Vref

mikrokontrolör R

0-10V

adc0 adc1

mux

X bit DAC

adcX T/H

1

z 1 z 1

X bit ADC

buf dac0

Kontrol algoritması

~220V

YÜRÜYEN MERDİVEN ELEKTROMEKANİK SİSTEMİ ac asenkron motor dişli

trabzan sürükleyici trabzan

Vkontrol 0-10V

basamak

Vtako 0-10V

iç ray

takometre kablosu

dişli

dış ray dönme güzergahı nı belirler

19 mikrokontrolör

T

z 1 z 1

1 e s

T

co m

1

Gs(s)

ZOH(s)

D(z)

R(z)

R(s)

sT

0.79 0.05s  1

ADC

tla

Çözüm-S9-c:

C(s)

ri.

T

Cz Ayrık-zaman kapalı çevrim transfer fonksiyonu bulunması gerekir. R z Bunun için kapalı çevrim blok diyagram aşağıda verildiği gibi düzenlenebilir. D(z)

z 1 z 1

ZOHGs(z)

C(z)

em

de

1

rs

R(z)

no

* İlk önce T  z  

* ZOHGs(z) transfer fonksiyonunu elde edilsin: esT

ve

T

 0.05   0.005s 10 10

w

.e

z

w

w

DAC

   1  esT 0.79  1 1 ZOHG s  z     ZOH  s  G s  s      1  z 1        0.79* 0.05  s 0.05s  1   s  s  20  

 1  z 1   ZOHG s  z   15.8       z   s  s  20  

* Kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinden rezidü yöntemi kullanılarak z-dönüşümü yapılacaktır.

1 z  z 1   ZOHG s  z   15.8     s  0  s  s  20  z  esT  z 

  s   20   s 0

1 z s  s  20  z  esT

   s 20 

20

ZOHGs  z  

z 1 kontrol algoritması için çözüm z 1

tla

D1  z   1 

0.0752 z  0.9048

ri.

z 1  z  0.9048  z  1  ZOHG s  z   0.79 1     0.79 z  0.9048  z  0.9048 

rs

no

0.1504z  z  1  0.0752 1   Cz D  z  ZOHG s  z   z  1 z  0.9048 z  1  z  0.9048     0.1504z R  z  1  D  z  ZOHG s  z   z  1  0.0752 1 1  1    z  1 z  0.9048  z  1  z  0.9048 Cz 0.1504z  T z  R z  z  1 z  0.9048  0.1504z

de

c     limc  t   lim  z  1 C  z   t 

z 1

c     lim  z  1 T  z  R  z   lim  z  1

em

z 1

z 1

0.1504z z 3  z  1 z  0.9048  0.1504z z  1

0.1504*1 1 3  1  0.9048  0.15041 1  1

w

.e

c  

w

w

co m

 1 z 1 z z z  z 1    z  1   ZOHG s  z   15.8    15.8   0.05    0.05  0T 20*0.005   20 z  e z 1 z  0.9048   z    0  20  z  e  z  

D2  z  

2z kontrol algoritması için çözüm z 1

0.1504z  2z  0.0752   Cz D  z  ZOHG s  z   z  1 z  0.9048 z  1  z  0.9048     0.1504z R  z  1  D  z  ZOHG s  z   2z  0.0752 1 1    z  1 z  0.9048  z  1  z  0.9048

Cz 0.1504z  T z  R z  z  1 z  0.9048  0.1504z

c     limc  t   lim  z  1 C  z   t 

z 1

c     lim  z  1 T  z  R  z   lim  z  1 z 1

z 1

0.1504z z 3  z  1 z  0.9048  0.1504z z  1

21

c     1.3239

no

tla

ri.

* Çıkış cevabının sonsuza gitmesi, kapalı çevrim kontrol sisteminde seçilmiş olan ayrıkz 1 zaman kontrol kuralı D1  z   1  ‘in doğru bir seçim olmadığını göstermektedir. z 1 2z * D2  z   kontrol kuralının koşturulması sonucunda çıkışın sürekli rejimdeki değerinin z 1 sabit bir değere denk gelmesi, kontrol kuralının sistemi kontrol etmeye çalıştığı göstermektedir. Sistem çıkışının sürekli haldeki değerinin referans değerine yakınsamaması, bu ayrık kontrol algoritmasının da bu sistemi kontrol etmek için uygun olmadığı görülmüştür. SORU 10

z3 ve k=0,1,2,3 için C  k  dizisinin değerlerini hesap ediniz.  z  0.6761 z  0.4467 

Çözüm-10

rs

Cz 

em

de

n   d m1  1   z  zi  X  z  z k 1   yöntemi * c(kT) ifadesi ters rezüdü x  kT     m 1  i 1    m  1! dz   kullanılarak bulunur.

  z3   C  k   Z1     z  0.6761 z  0.4467  (z  1)      z3  C  k    z   0.6761 z k 1   z  0.6761  z  0.4467  z  1  z 0.6761 

.e

w

w

w

0.1504*1 3*1 1  11  0.9048  0.1504 *1

co m

c  

  z3 k 1   z   0.4467  z    z  0.4467   z  0.6761 z  1    z 0.4467

   z3   z  1 z k 1     z  1  z  0.6761 z  0.4467   z 1  

C  k   0.2429  0.6761  0.32119  0.4467   1.078 k

k

22 k0

C  0   0.2429  0.6761  0.32119  0.4467   1.078 0

k 1 1 1 C 1  0.2429  0.6761  0.32119  0.4467   1.078

ri.

C 1  0.7703

co m

C  0   0.9997

tla

k2 2 2 C  2  0.2429  0.6761  0.32119  0.4467   1.078

k 3

no

C  2   1.1249

C  3  0.2429  0.6761  0.32119  0.4467   1.078 3

w

.e

em

de

rs

C  3  0.9743

w

w

0

syms z g=z^3/((z+0.6761)*(z-0.4467)*(z-1)) gt=iztrans(g,k) gt1=vpa(gt,4) c0=subs(gt1,k,0); c1=subs(gt1,k,1); c2=subs(gt1,k,2); c3=subs(gt1,k,3); c0,c1,c2,c3

3

23

Olarak verildiğine göre

a- Kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinden rezidü yöntemi kullanılarak C  kT  yi r(t)=tu(t) için elde ediniz.

ri.

b- r(t)=tu(t) giriş için 1sn sonunda fonksiyon çıkış eğrisini çiziniz (T=0.1 sn).

tla

Çözüm-S4-b:

no

* Tablo yöntemi kullanılarak 1 Tz r(t)=tu(t)  R  s   2  R  z   bulunur, 2 s  z  1

de

rs

n   d m1  1   z  zi  X  z  z k 1   yöntemi * c(kT) ifadesi ters rezüdü x  kT     m 1  i 1     m  1! dz  kullanılarak bulunur.

z 1 Tz  z  0.9429  z  0.3645  z  12

em

Cz  T z R z 

  Tz   c  kT   Z1 C  z   Z1       z  0.9429  z  0.3645 z  1 

  z  c  kT   T *  z   0.9429  z k 1   z  0.9429   z  0.3645 z  1  z 0.9429 

.e

w

w

w

Cz z 1  R  z   z  0.9429  z  0.3645

co m

Soru 11:

  z   z   0.3645  z k 1    z  0.3645  z  0.9429  z  1  z 0.3645     z    z  1 z k 1     z  1  z  0.9429  z  0.3645  z1  

24

co m

  z  c  kT   T *  z   0.9429  z k 1    z  0.9429   z  0.3645 z  1   z 0.9429   z   z   0.3645  z k 1     z  0.3645  z  0.9429  z  1   z 0.3645

ri.

   z k 1    z  1 z      z  1 z  0.9429 z  0.3645       z 1 

1

c(k): 0 -0.0000

2 0.1000

Çözüm-S4-c:

3 0.2307

4

0.3673

5

0.5009

6

7

8

9

0.6286

0.7497

0.8641

0.9721

no

k: 0

tla

c  k   -3.0279*(0.9429)k  0.2721*(0.3645)k  2.7558

w

w

w

.e

em

de

rs

* kT=t  k=t/T=1sn/0.1sn  k=10  c(0), c(1), …. c(9) için fonksiyon değerleri hesaplanarak grafiği elde edilecektir.

Gördüğünüz hataları, mail yolu ile yada sözlü olarak iletiniz…………….