OSNOVE 123

J. Huđek

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE -bilješke s predavanja-

Varaždin, 2007.

1

1. UVOD Predmet proučavanja "Osnova elektrotehnike I" je gradivo čiju cjelinu čine sljedeća poglavlja: a) Elektrostatika b) Strujni krugovi istosmjerne struje c) Magnetizam d) Prijelazne pojave u krugovima istosmjerne struje U proučavanju problematike pojavljivati će se zakoni u dva oblika: -diferencijalni oblik -integralni oblik

1.0. Diferencijalni oblik zakona vrijedi za određenu točku prostora, a u njemu se pojavljuju diferencijalne veličine i svojstva materije. Diferencijalne veličine se odnose na jedinicu dužine, površine ili volumena. 1.1. Integralni oblik zakona vrijedi za određeni prostor, plohu ili dužinu, a u njemu se pojavljuju integralne veličine i konstante koje se odnose na materiju obrađivanu dotičnim zakonom. Integralne veličine zahvaćaju fizikalnu veličinu u prostoru, na plohi ili dužini. Pri obrađivanju gradiva moramo se koristiti Međunarodnim sustavom mjernih jedinica (SI) za sedam fizikalnih veličina kako je prikazano u tablici 1.1. Fizikalna veličina Osnovna jedinica Oznaka jedinice duljina metar m masa kilogram kg vrijeme sekunda s jakost električne struje amper A termodinamička temperatura kelvin K količina tvari mol mol jakost svjetlosti kandela cd Tablica 1.1. Osnovne jedinice SI sustava Jedinice svih ostalih fizikalnih veličina određujemo iz osnovnih zakona primjenom osnovnog sustava mjernih jedinica. Nazivamo ih izvedene jedinice, a povezane su s osnovnim jedinicama preko dimenzijske jednadžbe određene veličine. Na primjer, iz F = m · a izlazi da je izvedena jedinica za silu (kg · m · s-2 = N). Faktor 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Prefiks eksa peta tera giga mega kilo hekto deka

Oznaka E P T G M k h da

Faktor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

Prefiks deci centi mili mikro nano piko femto ato

Oznaka d c m µ n p f a

Tablica 1. Pfiksi jedinica fizikalnih veličina

2

Pri objašnjavanu gradiva često se pojavljuju grčka slova čiji pregled je dati u sljedećoj tabeli

Naziv Alfa Beta Gama Delta Epsilon Zeta Eta Teta Jota

Veliko Malo Naziv Α α Ni Β β Ksi Omikron Γ γ ∆ δ Pi Ε ∈ Ro Ζ ζ Sigma Η η Tau θ Ipsilon θ Fi Ι ι Κ Λ Μ

Kapa Lambda Mi

κ λ µ

Veliko Malo Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ Τ τ ϒ υ Φ φ , ϕ Χ Ψ Ω

Hi Psi Omega

χ ψ ω

1.2. Matematički podsjetnik (sin x)′ = cos x

1 (tgx)′ = cos 2 x

(cos x)′ = − sin x

x n +1 ∫ x ⋅dx = n + 1 + k

1

∫x

n ≠ −1

n

∫ sin x ⋅ dx = − cos x + k

1

∫ cos

2

x

2

⋅ dx = −

1 +k x

⋅ dx = tan x + k

′ ⎛ u ⎞ u ′ ⋅ v − u ⋅ v′ ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠

1 (ctg )′ = − 2 sin x

1

∫ x ⋅ dx = ln x + k ∫ cos x ⋅ dx = sin x + k 1

∫ sin

2

x

∫e

= −ctgx + k

x

dx = e x + k

Skalarni produkt vektora a i b je broj a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos∠(a, b)

y

Pritom vrijedi da je: i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 ;

i ⋅ j = j ⋅i = i ⋅k = k ⋅i = j ⋅k = k ⋅ j = 0

j k

i

x

Sl.1.1

z

Vektorski produkt vektora a i b je vektor

c = a ×b c = a ⋅ b ⋅ sin ∠(a , b ) Pritom vrijedi da je: i ×i = j × j = k ×k = 0 i× j =k j × i = −k

k × j = −i

j ×k = i

k ×i = j

i ×k = −j

i , j , k su jedinični vektori u osima x, y, z Pravilo desnog vijka: Ako ravnina i , j rotira u naznačenom smjeru (Sl. 1.1) po pravilu desnog vijka jedinični vektorr k ima orijentaciju prema nama (iz papira). Zato je i × j = k ⎛i ⎜ a × b = ⎜ ax ⎜b ⎝ x

j ay by

k⎞ ⎟ az ⎟ = (a y ⋅ bz − az ⋅ by ) ⋅ i + (az ⋅ bx − ax ⋅ bz ) ⋅ j + (ax ⋅ by − a y ⋅ bx ) ⋅ k bz ⎟⎠ 3

2. ELEKTROSTATIKA 2.0. Struktura materije i električni naboji Sva materija je sastavljena od atoma koji su građeni na jednak način. U sredini atoma se nalazi jezgra dimenzije reda veličine 10-14 m, oko koje se gibaju elektroni. Promjer elektronskih putanja je reda veličine (2-3)·10-10 m. Jezgru atoma čine teške čestice, protoni i neutroni. Mase protona i neutrona su jednake i iznose 1,67·10-27 kg, dok je masa elektrona oko 1840 puta manja i iznosi 9,11·10-31 kg. Između protona i elektrona djeluje privlačna sila, a između dva protona odnosno elektrona djeluje odbojna sila. Postojanje tih sila se pripisuje električnim nabojima koji su pridruženi elementarnim atomskim česticama protonima i elektronima. Prema konvenciji protonu se pripisuje pozitivni električni naboj, a elektronu negativni naboj, koji su istog iznosa e◦ = 1,6·10-19 C] (elementarni naboj). Neutron ne nosi električni naboj. Atom je kao cjelina električki neutralan: u njemu je jednak broj protona i elektrona. Elektriziranje materije nastaje tako da se na neki način poveća ili smanji broj elektrona koji mogu prelaziti s jednog tijela na drugo. Neutralna materija koja iz vanjskog izvora primi elektrone postaje električki negativno nabijena, dok materija gubljenjem elektrona postaje pozitivno nabijena. Da bi se elektron odvojio od električki neutralnog atoma materije, potrebno je utrošiti energiju za savladavanje privlačne sile između elektrona i jezgre (npr. trenjem). To u stvari znači da pozitivno nabijeno tijelo posjeduje obje vrste naboja, ali je broj negativnog naboja manji, tj. postoji manjak elektrona. Isto tako kod negativno nabijenog tijela postoji višak negativnog naboja tj. elektrona. Nabiti neko tijelo električnim nabojem znači poremetiti ravnotežu pozitivnog i negativnog naboja. Iznosi naboja su kvantizirani. Svaki naboj Q je cjelobrojni višekratnik elementarnog kvanta naboja ± e◦ : Q = n · e◦ Što su električni naboji ne znamo, ali znamo štošta o njima pomoću čega možemo objasniti pojave koje su u svezi s električnim nabojima.

2.1. Točkasti naboj Ako su dimenzije nabijenog tijela zanemarive (kuglica čiji polumjer R→0), naboj tog tijela smatramo točkastim i označujemo ga sa Q. Mjerna jedinica naboja je As ili C (kulon). Pri opisivanju električnih pojava između mirujućih naboja koristimo zakon kojeg je već 1785. godine na temelju pokusa postavio Coulomb, pa ga zato zovemo Coulombov (Kulonov) zakon. Coulombov zakon je temeljni zakon elektrostatike koji glasi: Sila kojom dva točkasta naboja međusobno djeluju jedan na drugog je proporcionalna produktu tih naboja, a obrnuto proporcionalna kvadratu međusobne udaljenosti, što se zapisuje kao:

(2.1)

F =k⋅

Q1 ⋅ Q2 ⋅ r012 [ N ] 2 r12

k=

⎡ Nm 2 ⎤ = 8,987 ⋅109 ≈ 9 ⋅109 ⎢ 2 ⎥ 4πε 0 ⎣ C ⎦ 1

gdje je ε0 dielektrična konstanta vakuuma i iznosi:

ε 0 = 8,854 ⋅10

−12

10−9 = 36π

⎡ C ⎤ ⎢⎣ V ⋅ m ⎥⎦

4

Apsolutni iznos sile između 2 točkasta naboja u vakuumu iznosi: F =

1 4πε 0

⋅

Q1 ⋅ Q2 [N ] r122

F12 ako

Q1 > 0

je Q2 < 0

Q2

F12 ako

je Q2 > 0

r12 Sl.2.1

U izrazu 2.1 r012 je jedinični vektor vektora r12 . Općenito, jedinični vektor r0 ima duljinu 1, kolinearan je vektoru r i ima istu orijentaciju.

r0

r

r ≠0

Sl.2.2

(2.2)

r0 =

r r

2.2. Električno polje i jakost električnog polja Električno polje definiramo kao prostor kojeg su mirujući naboji doveli u "električki napeto stanje". Mjerilo napetog stanja može biti sila na pokusni naboj u određenoj točci polja. Želimo li električna polja međusobno uspoređivati moramo posvuda odabrati isti pokusni naboj (po iznosu i polaritetu). Zato je najbolje ako za pokusni naboj izaberemo +1As.

Q

r0

Q1 = 1As

r

F E

Sl. 2.3 Sila kojom električno polje djeluje na +1As u zadanoj točci se zove jakost električnog polja koju označavamo s E . Električno polje naboja Q djeluje na naboj Q1 silom:

(2.3)

F =k⋅

Q ⋅ Q1 ⋅ r0 [ N ] r2

Ako za Q1 uzmemo +1As po definiciji za jakost električnog polja izlazi:

(2.4)

E=

1 4πε 0

⋅

Q ⎡N ⎤ r ⋅ 0 ⎢⎣ C ⎥⎦ r2

⎡N N V ⎤ ⎢⎣ C = As = m ⎥⎦

5

Ako bi umjesto naboja +1As imali naboj Q1, na njega bi djelovala Q1 - puta veća sila, a to znači da

(2.5)

je:

F = E ⋅ Q1

Jakost električnog polja je vektorska veličina koja električno polje definira u zadanoj točci prostora. Zato je to diferencijalna električna veličina. Primjer izračunavanja jakosti el. polja: Zadatak 1: Treba izračunati jakost električnog polja u točci T prema slici 2.4, ako je Q = +1 nC

y (cm)

r0

4 T

3

Ey

Ex

2 1

ET

je jedinični vektor koji je dogovorno uvijek orijentiran prema točci u kojoj izračunavamo jakost električnog polja. r 2 = 3 2 + 4 2 = 5 cm

r r0

Q

1

2

3

Sl. 2.4

4

x (cm)

ET ≈ 9 ⋅109 ⋅

1⋅10−9 9 V kV ≈ ⋅104 ≈ 0,36 ⋅104 ≈ 3, 6 −4 25 ⋅10 25 m m

Želimo li jakost električnog polja Er izračunati po komponentama moramo jedinični vektor r0 rastaviti na komponente u osi x i y prema izrazu:

r0 = cos α ⋅ i + sin α ⋅ j , gdje su i i j jedinični vektori u smjeru osi x i y, a cos α ⋅ i komponenta jediničnog vektora r0 u smjeru osi x i sin α ⋅ j komponenta jediničnog vektora r0 u smjeru osi y. 4 3 4 3 Slijedi da je: r0 = i + j = 0,81i + 0,6 j jer je cos α = i sin α = . 5 5 5 5 kV Prema tome ET = 3, 6 ⋅ (0,8i + 0, 6 j ) = 2,88i + 2,16 j . m kV Jasno da je ET = Ex2 + E y2 = 2,882 + 2,162 = 12,96 = 3, 6 . Pri izračunavanju jakosti m električnog polja koje je rezultat većeg broja naboja koristimo se metodom superpozicije. To će pokazati sljedeći primjer.

Zadatak 2: Treba izračunati jakost električnog polja u točci T ako je zadano: Q1 = 1nC , Q2 = 2 nC , Q3 = −2 nC . 6

y (cm)

Q2 3

E1T

r2

r02

Q1

r3 Q3 r03

r01 1

2

E2T

E3T

r1

2 1

T

3

x (cm)

4

Sl. 2.5 U točci T zamišljamo pokusni naboj +1As, pa prema tome slijede smjerovi i orijentacije jakosti električnog polja kako je prikazano na slici 2.5. Svi jedinični vektori r01 , r02 i r03 su orijentirani prema točci T u kojoj izračunavamo ukupnu jakost električnog polja ET . Rezultantna jakost električnog polja u točci T prema slici 2.5 iznosi:

ET =E1T +E2T +E3T E1T (iz prethodnog zadatka) iznosi: E1T = 2,88 ⋅ i + 2,16 ⋅ j . Jakost polja naboja Q2 iznosi: Q E2T = k ⋅ 22 ⋅ r02 , gdje je r02 = i , pa je: r2 E1T

E2T =

E2T

9 ⋅109 ⋅ 2 ⋅10−9

( 4 ⋅10 ) −2

2

⋅ r02 = 11, 25 ⋅ i

kV . m

Jakost polja naboja Q3 iznosi:

ET

E3T

Sl.2.5 a

E3T ≅ 9 ⋅109

−2 ⋅10−9

( 3 ⋅10 )

−2 2

⋅j=

−18 ⋅ j = −20 ⋅ j 9 ⋅10−4

kV . m

Vidimo da rezultati izračunavanja potvrđuju jakost električnog polja po smjeru i orijentaciji. Ukupna jakost električnog polja u točki T se dobije vektorskim zbrojem jakosti električnog polja pojedinih naboja. ET = 2,88 ⋅ i + 2,16 ⋅ j + 11,25 ⋅ i − 20 ⋅ j = 14,13 ⋅ i − 17,84 ⋅ j kV Apsolutni iznos: ET = 14,132 + 17,842 = 22, 75 . m

Da bi dobili što zorniju sliku o električnom polju, polje prikazujemo električnim silnicama. Električne silnice su zamišljene linije za prikaz električnog polja, a pomoću njih možemo utvrditi smjer, orijentaciju i jakost električnog polja. Silnice izlaze iz pozitivnog naboja, a ulaze u negativan naboj. Polje je jače gdje su silnice gušće, odnosno slabije gdje su silnice rjeđe. 7

Prikaz električnog polja točkastog naboja pomoću silnica:

B A +

Sl. 2.6

Točka B ima veću jakost električnog polja od točke A, jer su tu silnice gušće. Polje točkastog naboja je radijalno prostorno polje. Jakost električnog polja je dana izrazom:

(2.6)

E=

Q ⋅ r0 , 4 ⋅π ⋅ ε ⋅ r2

što znači da opada s

kvadratom udaljenosti.

2.3. Linijski naboj Naboj beskonačno dugog i beskonačno tankog ravnog vodiča nazivamo linijski naboj, koji je jednoliko raspoređen po duljini tako da je količina naboja po jedinici duljine jednaka λ [ As m ] . Proučavanje zakonitosti u svezi linijskog naboja ima opravdanje zbog električnih vodova i kabela koji po svojim geometrijskim dimenzijama približno udovoljavaju zahtjevima da naboj skupljen na njima tretiramo kao linijski. Električno polje linijskog naboja je radijalno polje u ravnini.

+ Sl. 2.7 Jakost električnog polja linijskog naboja možemo izračunati na osnovi zakona superpozicije kojim se računa rezultantna jakost električnog polja E većeg broja točkastih naboja, jer je ovdje moguće matematičkim postupcima provesti sumiranje pojedinih komponenata. 8

x

+∞

dx x

dE

α α

E

A

y

dE

x

dx −∞

Sl. 2.8

Prema slici 2.8. u točki A je od naboja λ ⋅ dx stvorena jakost električnog polja: dE =

1

⋅

λdx

,a 4πε 0 r 2 ukupna jakost E od cijelog vodiča bit će jednaka sumi, tj. integralu svih diferencijalnih jakosti, pri čemu se integracija po varijabli x provodi od − ∞ do + ∞ . Iz slike se vidi da se komponente polja u smjeru vodiča međusobno poništavaju, te preostaju samo komponente okomite na smjer vodiča.

dE ⋅ cosα =

λ dx ⋅ cosα ⋅ 4πε 0 r2

dE ⋅ cosα je radijalna komponenta jakosti električnog polja (jedina preostala) pa ćemo je označiti s E.

λ +∞ dx ⋅ cosα E= 4πε 0 −∫∞ r 2 Integriranje je jednostavnije po varijabli α koja se za beskonačno dugi vodič mijenja od − 90° do + 90° . Pri tome su potrebne sljedeće supstitucije: 2 y 1 y 2 r= dx = y ⋅ ⋅ dα , r = x = y ⋅ tgα , cosα , cos2 α cos 2 α +90 λ λ +90° λ = E α d α cos ⋅ = ⋅ sin | pa je: E = , ∫° 2πε 0 y 4πε 0 y −90 4πε 0 y -90

Budući da postoje samo radijalne komponente, jakost električnog polja beskonačno dugog vodiča λ zapišemo: E = , gdje je r okomita udaljenost neke točke od vodiča. 2πε 0 r 9

r0 A

A

rA

EA

(2.7)

EA =

λ ⋅ r0 A 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ rA

Sl. 2.9 Polja točkastog i linijskog naboja su nehomogena jer silnice u različitim točkama polja nemaju jednaku gustoću niti su međusobno paralelne.

2.4. Električno polje tijela realnih dimenzija U praksi se susrećemo s nabijenim tijelima čije su dimenzije realne (kugla, vodič, valjak, ploha i sl.) Konfiguracija električnog polja kod nabijenih tijela nepravilnog oblika je složena i takva tijela nisu primjerena za proučavanje osnovnih zakonitosti koje vladaju u električnom polju. Zato ćemo razmotriti sljedeća nabijena tijela: - kuglu - valjak - ravninu Ako su navedena tijela vodljiva (kovine), sav dovedeni naboj će se pojaviti na površini, a razlog tome su odbojne sile između istoimenih naboja. Naboji se jedan od drugog nastoje što više udaljiti, a najveće udaljavanje je upravo na površini. To znači da postoji samo normalna komponenta polja. Tangencijalna komponenta električnog polja na površini bi prouzročila gibanje naboja po površini koji bi se razmjestili tako da se ta komponenta polja poništi. Naboj će se ravnomjerno rasporediti po površini ako je površina posvuda jednako zakrivljena. Jednako zakrivljene površine imaju upravo kugla, valjak i ravnina (zakrivljenost ravnine je posvuda 0). Gustoća naboja je kod takovih tijela na svim mjestima jednaka (inače je veća ako je polumjer zakrivljenosti manji). Naboj skupljen na površini je površinski naboj, a naboj skupljen na jedinici površine predstavlja površinsku gustoću naboja σ . Ako je zakrivljenost površine konstantna, površinska gustoća σ je posvuda ista i iznosi:

(2.8)

σ=

Q S

dQ dS Prema izloženom lako odredimo površinske gustoće na nabijenoj kugli, valjku ili ravnini.

Ako taj uvjet nije zadovoljen, površinsku gustoću računamo prema izrazu: σ =

Površinska gustoća na kugli polumjera R iznosi:

σ=

Q Q . = S 4 ⋅π ⋅ R2

Kod nabijenog valjka (beskonačno dugi) ne možemo govoriti o ukupnom naboju, već samo o naboju Q koji je skupljen na jedinici duljine (na 1 metar): λ = → linijski naboj. l Q λ ⋅l λ Površinska gustoća nabijenog valjka iznosi: σ = = . = S 2 ⋅π ⋅ R ⋅ l 2 ⋅π ⋅ R 10

2πR ⋅ l je naravno površina plašta valjka duljine l i polumjera R. Ako je naboj skupljen na ravnoj plohi čije je jednostrana površina S , gustoća naboja je definirana Q Q izrazom: σ = = gdje je S ′ ukupna površina plohe. S ′ 2S U elektrotehnici se susrećemo i s prostornom razdiobom naboja (elektronski oblak), pa postoji i dQ Q ili ρ = , ako naboj nije jednakomjerno prostorna gustoća naboja koja se zapiše kao: ρ = V dV raspodijeljen u prostoru volumena V. Da još jedanput razmotrimo nabijeni vodič čiji je presjek proizvoljnog oblika:

EA

++ + ++ + + + + + E =0 + + vodič B + EB + + + ++ + A

Unutar vodiča polje je jednako nuli (E=0). Isto vrijedi i za šuplji vodič. Ta činjenica je u praksi iskorištena za zaštitu električnih uređaja od štetnog utjecaja vanjskih električnih polja. (Faradayev kavez). Ako je izvor električnog polja unutar ograđenog prostora metalni oklop se mora uzemljiti.

Smjer polja u određenoj točci na površini vodiča određuje normala na tangentu u toj točci. Kao što je već spomenuto gustoća naboja je veća na onim dijelovima Sl.2.10 površine koji imaju manji polumjer zakrivljenosti. Utvrđeno je da je omjer površinske gustoće naboja σ i jakosti električnog polja E u proizvoljnoj točki na površini nabijenog tijela konstantan. Za vakuum taj omjer je jednak apsolutnoj dielektričnoj konstanti

slijedi : ε 0 =

ε 0 . Još pri Coulombovom zakonu smo spomenuli konstantu −9

1 1 10 ⋅k = = = 8,854 ⋅10−12 9 4 ⋅π 4π ⋅ 9 ⋅10 36 ⋅ π

Rečeno zapišemo: ε 0 =

σ E

k

iz čega

⎡ As ⎤ ⎢ Vm ⎥ . ⎣ ⎦

što znači da poznavajući površinsku gustoću naboja možemo izračunati

jakost električnog polja E =

σ . ε0

2.5. Električno polje kovinske kugle:

R

r

Er Za r < R jakost električnog polja E=0 Za r ≥ R jakost polja se mijenja prema izrazu Q što znači da opada s kvadratom E= 4πε 0 r 2 udaljenosti.

E

2.6. Električno polje kovinskog valjka:

Er

Sl. 2.11

r

11

Er

r

R

Za r < R jakost električnog polja E=0 Za r ≥ R jakost polja se mijenja prema izrazu E =

λ , tj. opada obrnuto 2 ⋅π ⋅ ε 0 ⋅ r

razmjerno s udaljenošću r.

E Er

r

Sl. 2.12

2.7. Električno polje ravne ploče:

+ + + + + + + + + + + +

Električno polje ravne ploče koja je jednoliko nabijena ⎡ As ⎤ nabojem gustoće σ ⎢ 2 ⎥ usmjereno je normalno na ⎣m ⎦ ravninu, a jakost mu je neovisna o udaljenosti od ravnine.

E=

σ 2ε 0

Polje je homogeno.

Sl.2.13

12

2.8. Električna influencija Neutralno kovinsko tijelo pod utjecajem električnog polja nabijenog tijela i samo postaje električki nabijeno. Električnom influencijom naboj na vodljivom tijelu nije se stvorio, već se zbog djelovanja električnih sila razdvojio već postojeći , ali uravnoteženi pozitivni i negativni naboj početno neutralnog tijela. Influencija se može postići samo na vodljivim materijalima, jer je kod njih moguće gibanje slobodnih naboja. Uklanjanjem električnog polja vodljivo će tijelo ponovo doći u stanje električne ravnoteže, tj. ponovno će postati neutralno.

2.9. Vodič u elektrostatičkom polju Razmotrimo slučaj ako u homogeno polje postavimo kovinsko tijelo kao što je prikazano na slici.

Sl. 2.14. U kovinskom tijelu je došlo do influencije, a influencirani naboj je promijenio prvobitni oblik polja kako je prikazano na slikama. U kovinskoj tijelu nema polja jer se vanjsko polje i polje influenciranog naboja kompenziraju. Promjena oblika prvotnog polja nema uvijek negativan značaj, jer ponekad namjerno u polje unosimo vodiče da bi dobili željeni oblik polja. Unijeto kovinsko tijelo ne promijeni oblik prvotnog polja ako površina unijetog kovinskog tijela stoji posvuda pravokutno na polje. Ploha koja posvuda stoji pravokutno na električno polje zove se Gaussova ploha. Kod nabijene kugle, Gaussove plohe su ljuske ili sfere koncentričnih kugli (kasnije ćemo te plohe zvati ekvipotencijalne plohe). Ako Gaussove plohe učinimo vodljivima, na njima se influencijom ostvari ista količina naboja Q kojom je nabijena kugla. Površinska gustoća influenciranog naboja σ = koju dobijemo na 4 ⋅π ⋅ r 2 zamišljenoj kovinskoj Gaussovoj plohi s polumjerom r ćemo za E − Q razliku od stvarne površinske gustoće naboja σ na površini tijela +Q zvati vektor električnog pomaka i označavati s D. Influencirani naboj je nastao baš pomicanjem naboja. Mjerenje + dielektričnog pomaka se vrši Maxwellovim pločama. +

-

+ + +

Dvije vrlo tanke pločice na izoliranim dršcima stave se u polje najprije zajedno dodirnute, a kad se pod utjecajem polja stvori na svakoj od njih influencirani naboj one se rastave još u polju i izvade iz njega te se izmjeri količina slobodnog naboja Q ′ na jednoj ploči.

Sl. 2. 15

13

Mjerenja pokazuju da je veličina D direktno proporcionalna jakosti električnog polja, ali da i ovisi o vrsti izolacije u kojoj je stvoreno polje. Isto tako količina influenciranog naboja ovisi o položaju Maxwellovih ploča što znači da veličina D ima vektorski karakter.

(2.9)

D = ε0 ⋅ E

O toj veličini električnog polja još će biti govora kasnije. Faktor proporcionalnosti je upravo dielektrična konstanta ε 0 . Veličinu D je moguće analogno električnim silnicama prikazati D-linijama. Pri proučavanju polja u čijem se prostoru nalaze na pojedinim mjestima razne vrste izolacija, pokazalo se korisnim uz veličinu E imati i veličinu D jer je, kao što će kasnije biti izvedeno, omjer vektora D i E za razne vrste izolacije različit. Vektor gustoće električnog pomaka D je matematički uvedena veličina, fizikalni značaj dobije tek na površini nabijenog tijela gdje prelazi u površinsku d S E gustoću σ .

2.1.0. Tok električnog polja. Gaussov zakon.

α

Tok električnog polja kroz površinu S dan je izrazom

En

dS

Φ e = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS ⋅ cos ϕ = ∫ En ⋅ dS

(2.10)

S

S

S

Sl.2.16 U vakuumu tok električnog polja kroz proizvoljno zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja unutar te površine podijeljenom dielektričnom konstantom vakuuma. To je tzv. Gaussov zakon koji zapisan izgleda: n

(2.11)

∫ EdS = S

∑Q i =1

i

ε0 n

Gaussov zakon poopćen na dielektrike glasi:

∫ D ⋅ dS = ∑ Q S

i =1

i

tj. integral vektora gustoće

električkog pomaka po proizvoljnoj zatvorenoj površini jednak je algebarskom zbroju slobodnih (nevezanih) naboja unutar te površine. Tako formuliran Gaussov zakon vrijedi za prazan prostor i dielektrik. Pomoću Gaussovog zakona jednostavno je doći do izraza za jakost električnog polja nabijene kugle, valjka ili ravnine. Kao primjer primijenit ćemo Gaussov zakon na linijski naboj. Na svim elementima plašta valjka je jakost polja E iste vrijednosti, a njen vektor je okomit na površinu pa je ϕ = 0 . Zato vrijedi

∫ dS = 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ l , gdje je 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ l

površina plašta valjka polumjera r i duljine l.

S

14

Slijedi: E ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ l =

Q

ε0

ili E =

Q 2rπε 0 ⋅ l

=

λ čime smo potvrdili ranije izveden izraz za jakost 2rπε 0

+Q

električnog polja valjka.

−Q

I na kraju ovog dijela razmotrit ćemo električno polje koje se formira između dvije ravne paralelne plohe. (sl. 2.17)

Sl. 2. 17 +Q

−Q

Ovdje smo prikazali polja svake ravnine zasebno. Metodom superpozicije lako je ustanoviti da će polje unutar ploča biti dvostruko jače jer su tu silnice dvostruko gušće nego silnice jedne ploče. Izvan ploča polja se poništavaju što je vidljivo sa slike 2.17. Zato rezultantno polje postoji samo unutar ploča i to dvostruke jakosti nego što je polje osamljene ploče. (Sl. 2.18) Jakost polja se zapiše kao:

(2.12)

Sl. 2.18

E=2

σ σ = 2ε 0 ε 0

Polje je homogeno jer su silnice posvuda jednake gustoće i međusobno su paralelne.

15

2.1.1. Potencijalna energija naboja U prijašnjem poglavlju smo vidjeli da je električno polje u svakoj točci potpuno određeno pomoću vektorske veličine, a to je jakost električnog polja E . To je tzv. vektorska predodžba električnog polja. Osim takve predodžbe električnog polja, moguća je i predodžba s električnim potencijalom. Naime, električno polje posjeduje potencijalnu energiju što znači da je sposobno obavljati rad. Ako se naboj pomakne iz točke 1 u točku 2, električno polje je obavilo rad: dA = F ⋅ dl = Q ⋅ E ⋅ dl = Q ⋅ E ⋅ cosα ⋅ dl

2

l

F

α

Ako je kut α između dl i F manji od

π

naboj se 2 giba u smjeru polja, polje vrši rad kojeg tretiramo kao pozitivni.

1

Ako je kut α >

π

naboj se giba protivno polju što 2 znači da rad vrši vanjska sila i takav rad tretiramo kao negativni. Pri pomaku naboja Q iz točke 1 u točku 2, električno polje je obavilo rad:

Sl. 2.19 2

A = Q ⋅ ∫ E ⋅ dl = W p1 − W p 2 = W poč . − Wkon.

2.13)

1

Budući da je ovdje W kon < W poč rad je pozitivan. Pri točkastom naboju to izgleda ovako:

. 2

1

A = Q ⋅ ∫ E ⋅ dl = W p1 − W p 2 = W poč . − Wkon. =

r1

1

Q1

r2

Sl. 2.20

2

−(

Q ⋅ Q1 Q ⋅ Q1 ) = W p1 − W p 2 = W poč . − Wkon. − 4πε 0 r2 4πε 0 r1

Potencijalna energija sustava točkastih naboja se izračuna prema izrazu: n 1 n W p = ⋅ ∑ (Qi ⋅ ϕi ) gdje je ϕi = ∑ ϕ ki , gdje je ϕ potencijal kojeg 2 i k =1 k ≠i

ćemo naknadno definirati. Za sustav tri točkasta naboja prema slici: 3 Q 3

a

a

Q1

1

a

1 ⋅ (Q1 ⋅ ϕ1 + Q2 ⋅ ϕ2 + Q3 ⋅ ϕ3 ) 2 1 Q2 1 Q3 1 Q1 1 Q3 1 Q1 1 Q2 ϕ1 = ⋅ + ⋅ ; ϕ2 = ⋅ + ⋅ ; ϕ3 = ⋅ + ⋅ 4πε 0 a 4πε 0 a 4πε 0 a 4πε 0 a 4πε 0 a 4πε 0 a

Wp = Q2

2

16

2.1.2. Električni potencijal Električni potencijal je potencijalna energija koju u električnom polju poprima jedinični pozitivni naboj. Potencijal je skalarna veličina. U određenoj točci potencijal je rad koji je potrebno izvršiti da se pozitivni jedinični naboj prenese iz beskonačnosti u tu točku. a

ϕ a = − ∫ E ⋅ dl ∞

⎡V ⎤ ⋅ m=V ⎥ . ⎣m ⎦

Jedinica za potencijal je 1V, ⎢

Iz izraza za potencijal slijedi da je općenito:

dϕ dl

El = −

(2.14)

Mjera za jakost električnog polja je normalna komponenta jakosti električnog polja:

E=−

(2.15)

dϕ = − gradϕ dn

Gradijent prema pravilima matematike znači ovdje promjenu potencijala po jedinici duljine u smjeru u kojem je ta promjena najveća. Sve točke istog potencijala u električnom polju čine tzv. ekvipotencijalnu plohu. Integral

∫ E ⋅ dl

protegnut na neku liniju l čiji su elementi dl naziva se linijski integral veličine

l

E . Značenje tog integrala se dobije kada izvršimo integriranje između dviju krajnjih točaka na liniji l.

ϕ0 P

ϕP

O

dl

E

P

P

∫ E ⋅ dl = −∫ dϕ = ϕ

O

0

− ϕ P = U OP

O

Linijski integral jakosti električnog polja u elektrostatskom polju predstavlja napon među krajnjim točkama linije l . Ako bi linija l bila zatvorena tako da točka P padne u točku O, postala bi vrijednost linijskog integrala jednaka nuli, tj.

(2.16)

∫ E ⋅ dl

= 0.

l

Sl. 2.21 R

r

A

ϕ ϕA

r Sl. 2.22

2.1.3. Izračunavanje potencijala a) Potencijal nabijene kugle polumjera R u točki izvan kugle na udaljenosti r od njezina središta identičan je potencijalu koji bi u toj točki stvarao čitav naboj kugle koncentriran u njeno središte. Unutar nabijene kugle električno polje je nula, te je za sve točke unutar kugle isti potencijal, jednak potencijalu na površini kugle. Q što znači da potencijal nabijene Prema definiciji, ϕ = 4πε 0 R kugle opada obrnuto proporcionalno s polumjerom. 17

R

R

R

Q ⎛ 1 Q ⎛ 1⎞ ⎞ ϕ = − ∫ E ⋅ dr = − ∫ ⋅ dr = − ⋅⎜− ⎟ = − ⋅ ⎜ − − 0⎟ = 2 4πε 0 ⎝ r ⎠ ∞ 4πε 0 ⎝ R ⎠ 4πε 0 R ∞ ∞ 4πε 0 r Q

Q

2.1.4. Potencijal nabijenog valjka (na površini valjka za r=R) R

R

rref

rref

ϕ = − ∫ E ⋅ dr = − ∫

rref λ λ R λ ⋅ dr = − ln = ln 2πε 0 r 2πε 0 rref 2πε 0 R

Neka točka izvan valjka ima potencijal: ϕ A =

r λ ln ref 2πε 0 rA

U ovim izrazima rref je polumjer referentne točke koja je ovdje uvedena jednostavno zato što integral za ∞ nije definiran. Vidljivo je da potencijal može u računima poprimati različite vrijednosti, što ovisi o odabiru referentne točke. Utjecaj referentne točke na iznos potencijala ćemo pokazati na primjeru homogenog električnog polja između dvije paralelne ploče. −σ +σ

E ( x) = E za 0 < x < d

−x

d

0

x

ϕ (x)

−x

Potencijal neke točke koja se nalazi između ravnina iznosi:

ϕ ( x) = − Ex + Exref d

0

2

d

x

za x ref = 0

a slijedi iz osnovnog zapisa za potencijal tj. x

Sl. 2.23

ϕ ( x) = − ∫ E ⋅ dx = − E ( x − xref ) xref

ϕ ( x) = − Ex + Exref

a) Ako za x ref odaberemo x ref = 0 , ϕ ( x) = − Ex desna negativna ploča ima negativan potencijal u odnosu na pozitivnu kojoj smo pripisali nulti potencijal. b) Za x ref =

d d d d , ϕ ( x) = − Ex + E , ϕ ( x) = 0 za Ex = E tj. x = 2 2 2 2

c) za xref = d ϕ ( x) = − Ex + Ed = 0 tj. x = d Komentar! Ako smo desnoj negativnoj ploči pripisali ϕ = 0 , jasno da onda pozitivna ploča prema njoj ima pozitivni potencijal.

18

Ekvipotencijalne plohe su ovdje sve plohe između pozitivne i negativne ploče, a koje su s njima paralelne. a

a

∞

∞

b

b

ϕ A = − ∫ E ⋅ dr = ∫ dϕ ϕ B = − ∫ E ⋅ dr = ∫ dϕ ∞

∞

a

b

∞

∞

ϕ A − ϕ B = ∫ dϕ − ∫ dϕ = ϕ A − ϕ ∞ − (ϕ B − ϕ ∞ ) = ϕ A − ϕ ∞ − ϕ B + ϕ ∞ = ϕ A − ϕ B = U AB = −U BA

2.1.5. Električni napon - izračunavanje Napon je u električnom polju definiran kao razlika potencijala između dviju točaka, tj. b

a

a

a

b

b

U ba = ϕ (b) − ϕ (a ) = − ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl = − ∫ dϕ U ba = −U ab

Napon se može pojaviti samo između dvije ekvipotencijalne plohe. Na istoj ekvipotencijalnoj plohi sve točke posjeduju isti potencijal što znači da ne postoji razlika potencijala između bilo koje dvije točke.

2.1.6. Napon u električnom polju točkastog naboja A

r1

r2

+Q

ϕr = 1

B

Q

ϕr =

4πε 0r1

2

Q 4πε 0r2

U AB = ϕ r − ϕ r = ϕ A − ϕ B 1

(2.17)

Sl. 2.24

2

U AB =

Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ r1 r2 ⎠

A

2.1.7. Napon u električnom polju linijskog naboja

rA +Q

rB

B

Otprije znamo izračunati potencijal u točci A ili B. ϕ A =

ϕB = Sl. 2.25

Za rB > rA , ln

(2.18)

rref λ ln , rA 2πε 0

rref λ ln rB 2πε 0

U AB = ϕ A − ϕ B =

⎛r λ λ r ⎞ r ln ⎜ ref ⋅ B ⎟ = ln B 2πε 0 ⎜⎝ rA rref ⎟⎠ 2πε 0 rA

rB > 0 što znači da je U AB pozitivan, što je i normalno jer je ϕ A > ϕ B . rA

19

2.1.8. Napon u električnom polju plošnog naboja Od ranije znamo da potencijal ovisi o odabiru referentne točke.

+σ

−σ A

Ako za xref uzmemo d izraz za potencijal je:

ϕ ( x) = − E ⋅ x + E ⋅ d . To znači da točka A ima potencijal ϕ A = − E ⋅ a + E ⋅ d i točka B ϕb = − E ⋅ b + E ⋅ d

B

x

− x

Napon kao razlika potencijala je:

U AB = ϕ A − ϕ B = − Ea + Ed − (− Eb + Ed )

ϕ (x)

= − Ea + Eb = E (b − a) ϕ

što znači da je U AB > 0 jer je ϕ A > ϕ B . ϕ

A

B

− x

x

Za b = d i a = 0 napon između ploča iznosi (2.19) U = E ⋅ d .

a

b d

S l. 2 . 2 6

Poznavajući napon na koji su ploče priključene možemo odrediti jakost električnog polja E =

U ⎡V⎤ . d ⎢⎣ m ⎥⎦

⎡ V ⎤ ⎡ kV ⎤ , . Još se koriste jedinice kao što su: ⎢ ⎣ mm ⎥⎦ ⎢⎣ cm ⎥⎦ Dosad smo točkasti i linijski naboj obrađivali s pretpostavkom da u njihovoj blizini nije bilo drugog naboja. Sada ćemo malo razmotriti slučajeve kada su dva naboja u neposrednoj blizini i kada formiraju zajedničko električno polje. Mogućnosti ima mnogo, no mi ćemo razmotriti sljedeće slučajeve: a) dva paralelna linijska naboja istog polariteta b) dva paralelna linijska naboja suprotnih polariteta. Odabrani primjeri imaju svoju praktičnu primjenu jer električne vodove s obzirom na razmak vodiča i njihov promjer možemo tretirati kao linijske naboje.

20

2.1.9. Dva paralelna linijska naboja istog polariteta y

a) Potencijal točke T je jednak zbroju potencijala linijskog naboja vodiča 1 i vodiča 2.

T ( x, y )

ϕ1 =

1

λ1

a

ϕ =0

a

2

λ2

x

λ a ln 2πε 0 r1

ϕ2 =

λ a ln 2πε 0 r2

Vidljivo je da smo ovdje odabrali referentnu točku u ishodištu. (možemo je proizvoljno odabrati).

λ1 = λ2 = λ

Sl. 2.27

r1 =

r2 =

(a + x )2 + y 2 (x − a )2 + y 2

Ukupni električni potencijal u točki T je: λ a2 ϕT = ϕ1 + ϕ 2 = ln 2πε 0 r1 ⋅ r2 Sve točke koje ispunjavaju uvjet r1 ⋅ r2 = K = const. , su točke istog potencijala i leže na ekvipotencijalnim plohama čiji je oblik prikazan na slici. Na svim mjestima silnice su okomite na ekvipotencijalne plohe. Krivulje koje prikazuju presjek ekvipotencijalnih ploha u ravnini zovu se Cassinijeve krivulje. Krivulja s ϕ = 0 ide po dogovoru kroz koordinatno ishodište i zovemo je lemniskata.

Sl. 2.28

2.2.0. Dva paralelna linijska naboja suprotnih polariteta. Za praksu je naročito zanimljiv sustav dva paralelna raznoimena linijska naboja, jer je to praktički slika vodova za prijenos električne energije. Ako na slici 2.27 uzmemo λ1 = λ i λ 2 = −λ , potencijal točke T je jednak zbroju potencijala pojedinih naboja. λ −λ λ a a r ϕ1 = ln ϕ2 = ln ϕT = ϕ1 + ϕ 2 = ln 2 i 2πε 0 r1 2πε 0 r2 2πε 0 r1 r Isti potencijal imaju sve točke koje ispunjavaju uvjet 2 = const. = K r1

21

Zanimljivo je ispitati što predstavljaju presjeci ekvipotencijalnih ploha u ravnini. Ako mora biti r2 r2 = K vrijedi da je i 22 = K 2 . Uzimajući u obzir da je r22 = ( x + a) 2 + y 2 i r12 = ( x − a) 2 + y 2 te ako r1 r1 ta dva izraza stavimo u izraz uvjeta

r22 = K 2 slijedi izraz nakon sređivanja: 2 r1

2

⎛ K 2 +1⎞ 4a 2 K 2 ⎜⎜ x + a ⋅ 2 ⎟⎟ + y 2 = K −1 ⎠ (K 2 − 1)2 ⎝ Dobivena jednadžba predstavlja skupinu kružnica s polumjerima: rn =

2aK (K 2 − 1) čija su središta

K 2 +1 od koordinatnog ishodišta. K 2 −1 Budući da su silnice posvuda okomite na ekvipotencijalne plohe, skupina krivulja koje pretsavljaju silnice mogu biti opet samo nova skupina kružnica. Matematički je moguće dokazati da se udaljenosti središta i polumjera ekvipotencijalnih ploha a mijenjaju po hiperboličkim funkcijama: x n = a ⋅ cth(n ⋅ p ) , rn = gdje je n cijeli broj i sh(n ⋅ p ) 2πε 0 ∆ϕ p= . ∆ϕ je odabrana potencijalna razlika za koju želimo prikazati odabrane pomaknuta na x osi za udaljenost x n = ± a

λ

ekvipotencijalne plohe.

22

2.2.1. Zrcaljenje na valjku i ravnini Razmotrit ćemo primjer kada imamo sustav nabijenog vodiča (kojeg po dimenzijama tretiramo kao linijski naboj) i valjka nabijenog suprotnim nabojem.

Takav problem se rješava tako da naboj valjka reduciramo u jednu točku. Treba samo pronaći koliko iznosi ekscentričnost e, čime definiramo mjesto gdje treba reducirati naboj valjka. Na slici 2.31 je prikazana konstrukcija za određivanje ekscentričnosti e. Pri tome smo koristili spoznaje da: a) silnice imaju oblik kružnica b) da silnice moraju stajati pravokutno na površinu valjka koji je ujedno ekvipotencijalna ploha.

R

d

e

Iz slike 2.31 je vidljivo da vrijedi sljedeći zapis: e R e : R = R : d tj. = iz čega slijedi da R d je: (2.20)

R2 e= d

Sl. 2.31 Problem određivanja ekscentričnosti reduciranog naboja valjka je poznat pod imenom zrcaljenje naboja na valjku. Za praksu je zanimljiv i sustav linijskog naboja (tanki dugi vodič) i vodljive ravnine (zemlja) koja je nabijena suprotnoimenim nabojem. 23

h

h

+λ

−λ

Sl. 2.32 Iz konfiguracije polja je vidljivo da se takav sustav može zamijeniti sustavom dva raznoimena naboja pri čemu je "slika" linijskog naboja s druge strane ravnine na istoj udaljenosti kao i "stvarni" linijski naboj (vodič). Ovaj problem je poznat pod imenom zrcaljenje naboja na ravnini. Za primjer ćemo izračunati potencijal u točki T sustava vodič-zemlja.

ϕT = ϕ1 + ϕ1′ ϕ1 =

r +λ ln ref 2πε 0 r

ϕ′ =

r −λ ln ref 2πε 0 r′

ϕT =

r r λ λ ln ref − ln ref 2πε 0 r 2πε 0 r′

ϕT =

r λ ⎛ rref ⎜⎜ ln − ln ref 2πε 0 ⎝ r r′

ϕT =

λ r′ ln 2πε 0 r

r ⎞ λ r′ ⎟⎟ = ln ref ⋅ r rref ⎠ 2πε 0

Vodiči koji se koriste za prijenos električne energije imaju naravno definiran polumjer r, ali zbog d >> r ekscentricitet možemo zanemariti. Izrazit ćemo napon koji vlada između dva vodiča nabijena s + λ i − λ ako su vodiči međusobno udaljeni d [m] i polumjer vodiča je r [m] .

1

λ

r

2

ϕ1

ϕ2

−λ

d Sl. 2.34 24

Napon između vodiča je jednak razlici potencijala na površinama vodiča.

2.2.2. Napon između vodiča: r r λ λ ln ref + ln ref r 2πε 0 d − r 2πε 0 r λ potencijal na ln → ϕ2 = površini vodiča 2 2πε 0 d − r

r r λ λ ln ref − ln ref r 2πε 0 d − r 2πε 0 d −r λ ln → ϕ1 = potencijal na r 2πε 0 površini vodiča 1

ϕ2 = −

ϕ1 =

U = ϕ1 − ϕ 2 =

λ λ d −r r ln ln − 2πε 0 2πε 0 d − r r

⎛ (d − r )2 ⎞ (d − r ) λ λ ⎟= ln⎜⎜ U= ⋅ 2 ln 2 ⎟ 2πε 0 ⎝ r r ⎠ 2πε 0 U=

λ d −r ln πε 0 r

za d >> r (2.21)

U=

λ d ln . πε 0 r

2.2.3. Napon između vodiča i zemlje r

1

Napon između vodiča 1 i njegove zrcalne slike 1' je jednak:

U′=

h

U

λ 2h − r ln πε 0 r

ili za h >> r U′=

λ 2h ln πε 0 r

h

1′

Sl. 2.35 Između vodiča i zemlje vlada upola manji napon U =

U' 2

(2.22)

U=

λ 2h ln . 2πε 0 r

25

2.2.4. Materija u električnom polju U dosadašnjim razmatranjima smo pretpostavljali da se naboji nalaze u praznom prostoru (vakuumu) i da su električna polja nastala u praznom prostoru. U ovom poglavlju ćemo razmotriti što se dešava ako u električno polje stavimo materiju. Prisjetimo se da je materija osim neutralnih čestica sastavljena i od elementarnih električnih čestica. Kod vodiča te su električne čestice gibljive i gibat će se pod utjecajem električnog polja (elektroni i ioni). Izolacioni materijali nemaju slobodnih gibljivih električnih čestica (idealni izolatori). Prema vani sva materija se očituje kao neelektrična pa zaključujemo da se u njoj nalazi jednaka količina pozitivnog i negativnog elektriciteta. Izolacioni materijali se mogu podijeliti u dvije grupe: a) materijali kod kojih centar djelovanja elektrona pada zajedno s centrom djelovanja naboja jezgre (atom vodika) - to su tzv. nepolarni dielektrici b) materijali kod kojih se centar djelovanja negativnih električnih naboja nalazi od centra djelovanja pozitivnih naboja razmaknut za neku udaljenost (molekula klorovodika) - to su polarni dielektrici

2.2.5. Polarizacija dielektrika (izolatora) Električno polje je u materijalnom dielektriku slabije od električnog polja u praznom prostoru, ako oba polja stvara jednako velik i jednako raspoređen električni naboj. Razlog tome leži u tzv. polarizaciji dielektrika. Polarizacija nepolarnog dielektrika je poznata još i pod imenom - elektronska polarizacija. Polarizacija polarnog dielektrika je poznata pod imenom molekularna ili orijentacijska polarizacija. Ako nepolarni dielektrik stavimo u električno polje jakosti E , na naboj jezgre djeluje sila u smjeru jakosti električnog polja, a na elektron u suprotnom smjeru. Težišta pozitivnog i negativnog naboja se više ne poklapaju, pobuđen atom se ponašao kao električni dipol tj. kao dva razmaknuta naboja na vrlo maloj udaljenosti. Pod utjecajem električnog polja atom dođe u električki "napeto" stanje, pa je u njemu akumulirana potencijalna energija tj. energija električnog polja. Pojava je elastična i reverzibilna. Atom se vrati u neutralni položaj ako nestane električnog polja. Detaljnije ćemo polarizaciju dielektrika razmotriti u homogenom polju prema slici.

E +Q

−Q Električno polje usmjeruje dipole u smjer vektora

E pa će tako na ploči izolatora uz pozitivnu ploču pojaviti negativni polovi dipola izolatora, a uz negativnu ploču pozitivni polovi dipola izolatora.

− Qp Sl. 2.36

+ Qp 26

Kažemo da je došlo do polarizacije izolatora. Stupanj električne polariziranosti izolatora može se karakterizirati gustoćom stvorenog naboja na plohi polariziranog izolatora σ p . Ako je površina plohe S a ukupni naboj plohe Q p onda je: σ p =

Qp S

.

Pokusi su potvrdili da je polariziranost σ p za normalne jakosti polja proporcionalna jakosti električnog polja E. σ p =α ⋅E Kod vrlo velikih jakosti električnog polja dolazi do tzv. proboja dielektrika, a jakost polja koja ⎡V ⎤ izaziva proboj je karakterističan podatak izolatora i zove se električna čvrstoća Eč ⎢ ⎥ . ⎣m⎦ Polariziranost ima vektorski karakter tj. P = α ⋅ E . Apsolutno P = σ p . Naboji na plohama izolatora su tzv. vezani naboji dok su naboji na metalnim pločama slobodni ili nevezani. Pod utjecajem električnog polja slobodni naboji se mogu gibati dok se vezani mogu samo zaokrenuti u električnom polju i vrate se u prvobitni položaj po nestanku električnog polja. Ako ploče U priključimo na izvor napona U jakost polja između ploča je: E = = konst . d Vezani naboji suprotnog polariteta na krajnjim plohama polariziranog dielektrika žele smanjiti jakost. U električnog polja. Zbog E = = konst . To je nemoguće pa iz izvora na ploče doteče upravo toliko d dodatnog naboja koliko je potrebno za kompenzaciju vezanog naboja na izolatoru. Novi slobodni naboj na metalnoj ploči sada iznosi: Q = Q0 + Q p i nova gustoća naboja σ = σ 0 + σ p . Već smo utvrdili da je σ p = α ⋅ E . Koeficijent α ima istu dimenziju kao i ε 0 ali je on drugačijeg iznosa za pojedine dielektrike tj. α = χ ⋅ ε 0 gdje je χ ("hi") bezdimenzionalan broj i naziva se susceptibilnost. Prema tome gustoća slobodnog naboja σ je jednaka: σ = σ 0 + σ p = ε 0 ⋅ E + ε 0 χ ⋅ E = ε 0 (1 + χ ) ⋅ E Veličina 1 + χ naziva se relativna dielektrična konstanta izolacionog materijala. ε = ε 0 ⋅ ε r i σ = ε 0ε r ; σ = ε ⋅ E Tako je na primjer ε r za kvarc ≈ 3,5 . Dosad smo spomenuli dva karakteristična podatka izolatora-dielektrika a to su: - dielektrična čvrstoća - dielektrična konstanta Vezu između vektora gustoće električnog pomaka D i jakosti električnog polja koju smo ranije utvrdili za prazan prostor zapišemo za materijalni dielektrik kao D = ε ⋅ E = ε 0 ⋅ E + P Prema definiciji je veličina D jednaka gustoći influenciranog naboja na površini vodiča uvedenog u električno polje. Pokusi pokazuju da influencirani naboj ovisi samo o slobodnom naboju ploča koji stvara električno polje, a da vezani naboji ne utječu na veličinu D. To je jedan od osnovnih zakona električnog polja nazvan Maxwellow postulat.

27

-Q

+Q

Poznato je da je ukupna količina influenciranog naboja na zatvorenoj vodljivoj ploči jednaka ukupnom naboju sadržanom unutar volumena što ga zatvara promatrana ploha. Budući da se vezani naboji međusobno kompenziraju preostaje kao rezultantni obuhvaćeni naboj samo slobodni naboj na metalnoj ploči. Prisustvo dielektrika poveća gustoću slobodnog naboja na vodljivim pločama, prema tome je i D = D0 ⋅ ε r , ako D0 vrijedi za prazan prostor. I da na kraju još jedanput ponovimo: unošenje dielektrika u polje čija je jakost U⎞ ⎛ konstantna ⎜ E = ⎟ poveća se na vodljivim pločama d⎠ ⎝

Sl. 2.37 količina slobodnog (nevezanog) naboja čime se poveća i veličina D prema D = ε ⋅ E . Ako nabijene ploče odvojimo od izvora bit će konstantna količina naboja Q. Q = konst. Unošenjem dielektrika u električno polje ostati će nepromijenjena veličina D , a smanjit će se jakost D E = 0 gdje je E0 jakost polja praznog prostora. električnog polja prema: E = ε0 ⋅εr εr

2.2.6. Prijelaz električnog polja na granici dva dielektrika Ako električno polje prelazi granicu dva dielektrika pravokutno na graničnu plohu riječ je o normalnom prijelazu električnog polja. Ako su silnice električnog polja paralelne s granicom dielektrika riječ je o tangencijalnom prijelazu polja.

E1 , D1 , ε1

E2 , D2 , ε 2 a) Normalni prijelaz polja

+Q1

-Q2

Za takav razmještaj dielektrika kažemo da je serijski i vrijede sljedeće jednadžbe:

(2.23) E1 ε r 2 = E2 ε r1 U1 = E1 ⋅ d1

d1

d2

D1 = D2

U 2 = E2 ⋅ d 2

ε r 1 ⋅ E1 = ε r 2 ⋅ E 2

ili

U = U1 + U 2

W = W1 + W2

Sl. 2.38 28

U = E1 ⋅ d1 + E2 ⋅ d 2 = E1 ⋅ d1 + E1 ⋅

εr ⋅d εr 2 1

2

U = E1 ⋅

ε r d1 + ε r d 2 εr 2

E1 = U

ili

1

2

E2 = U

εr

2

ε r d1 + ε r d 2 2

1

εr

1

ε r d1 + ε r d 2 2

1

b) Tangencijalni prijelaz polja E1 , D1 , ε 1

Za takav razmještaj dielektrika kažemo da je paralelni, a vrijede sljedeće jednadžbe:

Q1 , S1

(2.24)

E1 = E2 = E

D1 = ε r1 ⋅ E

D2 = ε r2 ⋅ E

ili

D1 ε r1 = D2 ε r2

Q2 , S 2

E 2 , D2 , ε 2 d

U 1 = U 2 = U = E1 ⋅ d = E 2 ⋅ d = E ⋅ d

Q1 = D1 ⋅ S1 Q2 = D2 ⋅ S 2 Q = Q1 + Q2 Ukupna energija je: W = W1 + W2 bez razlike na razmještaj dielektrika.

Sl. 2.39

2.2.7. Prijelaz električnog polja iz jednog dielektrika u drugi pod kutem Pretpostavit ćemo da je ε r1 = 2ε r2 tj. ε r1 > ε r2

ε1

ε2 E E1n

E1t

α1

2

E 2t

α2 E2n

D1n D1t

E1

α1

D2

α2

D2 t

D2 n

D1

Sl. 2.40

29

Od prije znamo da je: D1n = D2 n i E1t = E2t . Iz slika slijedi: E1 ⋅ sin α1 = E2 ⋅ sin α 2 i D1 ⋅ cosα1 = D2 ⋅ cosα 2 Dijeljenjem jednadžbi dobivamo:

tgα1 tgα 2 E1 ⋅ sin α1 E2 ⋅ sin α 2 = = ili ili ε r1 ε r2 D1 ⋅ cos α1 D2 ⋅ cos α 2

(2.25)

tgα1 ε r = tgα 2 ε r

1

2

2.2.8. Kapacitet i kondenzatori Diferencijalne veličine koje se odnose na jedinicu dužine, površine ili volumena imaju pripadne ⎡V ⎤ integralne veličine koje se odnose na ukupnu dužinu, plohu ili prostor. Tako naprimjer E ⎢ ⎥ ima ⎣m⎦ ⎡ As ⎤ svoju integralnu veličinu U. Veličini D ⎢ 2 ⎥ pripada integralna veličina Q[As ] i sl. ⎣m ⎦ Q D Diferencijalni oblik = ε nam je otprije poznat, a taj oblik ima pripadajući integralni oblik =C, E U gdje je C materijalno-geometrijski parametar koji se zove kapacitet.

Fizikalno to znači sljedeće: ako dva proizvoljna kovinska tijela između kojih je dielektrik nabijemo suprotnoimenim nabojem, između ta dva tijela pojavi se napon U. Omjer naboja Q i napona U je konstantan za fiksno postavljena tijela ili elektrode, te dielektrik. Kapacitet je materijalno-geometrijsko svojstvo neovisno od električnih veličina Q i U. Naprava koja ima namjensku konstrukciju, a posjeduje kapacitet zove se kondenzator. Proizvoljni razmještaj kovinskih elektroda posjeduje kapacitet, ali ga uobičajeno ne zovemo kondenzator. Ako je tijelo osamljeno onda kapacitet definiramo kao omjer naboja i potencijala tj. Q ⎡ As ⎤ C = . Jedinica za kapacitet je 1 Farad (1F) ili ⎢ ⎥ . Uobičajene manje jedinice su µF , nF , pF . ϕ ⎣V⎦

2.2.9. Izračunavanje kapaciteta a) Osamljena kovinska kugla

(2.26)

C=

Q

ϕ

=

Q Q

= 4πε 0 R

4πε 0 R

Tako naprimjer kovinska kuglica polumjera 1cm ima kapacitet: 10 −9 10 −11 10 C = 4π ⋅ ⋅ 1 ⋅ 10 − 2 = = ⋅ 10 −12 F = 1,11 pF 36π 9 9 b) Kapacitet kuglastog kondenzatora Q ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ i (2.27) ⎜⎜ − U= 4πε 0 ⎝ R1 R2 ⎟⎠

C=

Q 4πε 0 gdje je R1 polumjer manje kugle, a = U 1 − 1 R1 R2

R2 polumjer veće kugle.

30

c) Kapacitet koaksijalnog kabla Napon između dva metalna koncentrična valjka iznosi: U = valjka. Kapacitet iznosi: (2.28)

C=

λ U

=

λ λ ⋅ ln

R2 R1

2πε

=

R λ ¸ln 2 gdje je R2 polumjer većeg 2πε R1

2πε (F ) R2 ln R1

Budući da je λ naboj po metru dužine i kapacitet je definiran po jedinici dužine, tj. po metru dužine. d) Kapacitet pločastog kondenzatora:

Ako u diferencijalnom obliku zakona

Q U D i E= dobivamo: = ε zamijenimo D = S d E

Q Q Q ε ⋅S Q⋅d S =ε ε= (2.27) C = = = [F ] U S ⋅U U Q⋅d d d ε ⋅S Kod proračuna energetskih električnih mreža za prijenos električne energije potrebno je poznavati kapacitet vodova:

a) Kapacitet dvovoda

Za d >> r napon između vodiča je definiran izrazom kojeg smo već ranije izveli: d −r λ λ U= ln , kapacitet C = πε 0 r U πε 0 ⎡ F ⎤ C12 = gdje je d razmak između vodiča, a r polumjer vodiča. d − r ⎢⎣ m ⎥⎦ ln r b) Kapacitet vodiča dvovoda iznosi:

(2.29)

C10 =

λ

U

=

λ

λ d −r ln 2πε 0 r

=

2πε 0 ⎡ F ⎤ d − r ⎢⎣ m ⎥⎦ ln r

c) Kapacitet vodiča prema zemlji

Napon između vodiča i zemlje iznosi: 2h λ U= ln gdje je h visina vodiča nad zemljom. Prema tome kapacitet vodiča prema zemlji 2πε 0 r iznosi: C = C v − zem.

λ

U 2πε 0 = ili za 2h − r ln r

h >> r

(2.30)

Cv − zem. =

2πε 0 ⎡ F ⎤ 2h ⎢⎣ m ⎥⎦ ln r 31

2.3.0. Energija elektrostatskog polja U električnom polju na naboje djeluju električne sile, pa se naboji mogu pomicati. To znači da električno polje posjeduje sposobnost obavljanja rada, pa prema tome ima određenu energiju. Energija električnog polja je potencijalna energija koju ćemo označavati s W. Električnu energiju na jedinici volumena nazivamo gustoća električne energije i označujemo je s w. To je diferencijalna veličina. Gustoću električne energije definiramo kao:

w=

(2.31)

dW ⎡ J ⎤ tj. W = ∫ w ⋅ dV [J ] V dV ⎢⎣ m3 ⎥⎦

Problem ćemo razmotriti u homogenom polju kojeg formiraju dvije paralelne ploče nabijene suprotnoimenim nabojem. Ploču (1) fiksiramo, a ploča (2) se može gibati u dx smjeru osi x. 1

2

− Q Q postavimo konstantnim (Q = const.)

+Q Fel

Fm

Na gibljivu desnu ploču (2) djeluje privlačna električna sila Fel = Q2 ⋅ E1 . E 2 E1 je polje koje unutar ploča stvara lijeva ploča.

Q2 = D ⋅ S x

E1 =

Sl. 2.41 Želimo li pomaknuti desnu ploču (2) udesno moramo upotrijebiti mehaničku silu po iznosu jednaku E D⋅E D⋅E električnoj sili Fm = Fel = D ⋅ S = ⋅ S . Pritom treba uložiti rad dA = Fm ⋅ dx = ⋅ S ⋅ dx . 2 2 2 Budući da je Q = konst. pri pomicanju se veličine D i E nisu promijenile, već je dielektrik u dV = s ⋅ dx prešao u električki napeto stanje. U volumenu dV je akumulirana dodatna električna energija polja dW = w ⋅ dV . Prirast energije smo dobili samo na račun izvršenog rada i vrijedi da je: D⋅E D⋅E dW = dA . To znači da izraz . predstavlja ustvari gustoću električne energije: w = 2 2 Poznavajući vezu između D i E tj. D = ε ⋅ E slijedi: (2.32)

D ⋅ E D2 ε E 2 ⎡ J ⎤ w= = = 2 2ε 2 ⎢⎣ m3 ⎥⎦

Izraz vrijedi za proizvoljno oblikovano polje.

2.3.1. Energija nabijenog kondenzatora Za homogeno električno polje pločastog kondenzatora vrijedi:

(2.33)

W = w ⋅V =

D⋅E ( D ⋅ S )( E ⋅ d ) = Q ⋅ U J ⋅S ⋅d = [ ] 2 2 2

Budući da su Q i U povezani Q = C ⋅ U izraz za energiju možemo zapisati u obliku: Q ⋅U Q 2 U 2C = = [J ] 2 2C 2 Jednadžba (2.33) je integralni ekvivalent diferencijalne jednadžbe (2.32). W =

32

w⇒W D⇒Q E ⇒U

Ekvivalentne diferencijalne i integralne veličine

ε ⇒C Vidjeli smo da je pomicanjem ploče suprotno djelovanju električne sile došlo do prirasta električne Q2 i pri konstantnom Q energija se energije tako da je dW = dA . U izrazu za ukupnu energiju W = 2C E⋅S ⎞ ⎛ stvarno povećala jer se razmicanjem ploča smanjio kapacitet ⎜ C = ⎟ . Ako dozvolimo gibanje d ⎠ ⎝ ploče u smjeru električne sile rad tada vrši električno polje čija se energija smanji upravo za iznos Q2 utrošenog rada dA. U izrazu za ukupnu energiju W = uz Q = konst. w se smanjilo zbog povećanja 2C E⋅S ⎞ ⎛ kapaciteta ⎜ C = ⎟ , koji se povećao zbog smanjenog razmaka između ploča. d ⎠ ⎝ Razmotrimo slučaj kada je na pločama konstantan napon, tj. kondenzator je priključen na izvor. CU 2 Pri smanjenju razmaka između ploča povećavati će se kapacitet i energija polja W = [J ]. 2 Istovremeno polje vrši rad pa izvor mora dobaviti energiju ∆Wizv = ∆Wel + ∆W A = U ⋅ ∆Q = U ⋅ ∆C 2 U 2 ∆C 1 2 ∆W A = U ∆C − = U ∆C 2 2 To znači da se za mehanički rad ∆A potroši ista količina energije kao što je ona sakupljena u el. polje volumena ∆V . Pri povećanju razmaka uz U=konst. treba djelovati vanjskom silom protiv sile polja čime dovodimo sustavu izvana dio mehaničke energije. Zbog povećanja razmaka kapacitet se smanjuje čime i energija. To znači da se oba dijela energije tj. mehanička i električka u ovom slučaju predaju izvoru (ako je izvor akumulator doći će do punjenja akumulatora). 2

2.3.2. Kondenzatorski spojevi Ako skupinu kondenzatora priključimo na izvor ili više njih, na kondenzatorima se uspostave naponske i nabojske prilike u skladu s dva osnovna zakona: a) zakon o očuvanju naboja koji vrijedi za čvorove

(2.34)

b) Kirchhoffov zakon za napone koji vrijedi za svaku petlju što praktički znači da je

n

∑Q i =1

ikon

(2.35)

n

= ∑ Qipoč i =1

n

Qi i =1 C i n

∑U i = ∑ i =1

n

∑U ′ = 0 u svakoj petlji gdje je sa U' označen napon u petlji na bilo i =1

i

kojem dijelu petlje.

33

Razmotrit ćemo sljedeće mogućnosti: a) priključak serijskog spoja nenabijenih kondenzatora na izvor napona U b) priključak paralelnog spoja nenabijenih kondenzatora na izvor napona U c) priključak kondenzatora na izvor napona U ako je prethodno neki od kondenzatora već nabijen nabojem Qi 0

a) Serijski spoj kondenzatora +

-

Q1, C1 ,U1

U = U1 + U 2 Za čvor 1: − Q1 + Q2 = 0 što znači da je Q1 = Q2

1

U

+

-

Q2, C2 ,U2

S Sl . 2.42 Općenito za sve serijski spojene kondenzatore naboj je jedan te isti, a razlog leži u influenciji. Iz U C Q1 = Q2 slijedi C1 ⋅ U1 = C2 ⋅ U 2 ili 1 = 2 što znači da se naponi na kondenzatore raspodijele u U 2 C1 obrnutom omjeru kapaciteta. Naboj koji pritječe na vanjske ploče kondenzatora ima također iznos kao i naboj pojedinog Qizv = Cekv ⋅U = Q kondenzatora Qizv = Q1 = Q2 = Q

Cekv je ekvivalentni kapacitet serijskog spoja. Cekv ⋅U = C1 ⋅U1 = C2 ⋅U 2 U = U1 + U 2 Q Q Q = + Cekv C1 C2

Cekv

⎛1 1 ⎞ = ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ C1 C2 ⎠

ili

(2.36)

1 1 1 = + Cekv C1 C2

(2.37)

⎛1 1 1 Cekv = ⎜ + + + ⎝ C1 C2 C3

−1

Za dva kondenzatora može se Cekv zapisati kao C12 = U1 = U

C2 (C1 + C2 )

i

U2 = U

1 ⎞ + ⎟ Cn ⎠

−1

C1 ⋅ C2 C ⋅U C ⋅ C ⋅U , a napon U1 = 12 = 1 2 (C1 + C2 )C1 C1 + C2 C1

C1 (C1 + C2 )

b) Paralelni spoj kondenzatora Pri paralelnom spoju napon je na svim paralelno spojenim kondenzatorima jedan te isti. U = U1 = U 2

34

U,Q

U1 ,C1

Q1

U2 ,C2

Q2

Sl . 2.43 Naboj koji iz izvora dotiče na kondenzatore je jednak: Q = Q1 + Q2 pa slijedi Cekv ⋅U = C1 ⋅U + C2 ⋅ U ili Cekv = C1 + C2 Općenito vrijedi U = U1 = U 2 = U n n

Q = ∑ Qi

(2.38)

n

Cekv = ∑ Ci i =1

i =1

c) Serijski spoj dva kondenzatora priključen na izvor napona U, pri čemu je prije toga C1 nabijen nabojem Q10 . Q10 +

-

+

-

Q1, C1 ,U1

1

U

Naboji Q1 i Q2 su konačni iznosi naboja. a Q10 već postoji na kondenzatoru C1 i prije zatvaranja sklopke S.

+

-

Q2, C2 ,U2

S n

n

i =1

i =1

Prema zakonu o očuvanju naboja vrijedi za čvor 1: ∑ Qikon = ∑ Qipoč tj. − Q1 + Q2 = −Q10 i U = U 1 + U 2 gdje pod početnim stanjem podrazumijevamo stanje prije zatvaranja sklopke.

35

3. STRUJNI KRUGOVI ISTOSMJERNE STRUJE Dosad smo se bavili električnim nabojima u stanju mirovanja. Ako se pod utjecajem stalnog električnog polja naboji počinju usmjereno gibati, riječ je o električnoj struji. Jasno da je takvo strujanje moguće u materijama koje imaju pokretljive nositelje naboja. U kovinama su to elektroni, a u elektrolitskim otopinama i plinovima pojavljuju se još i ioni. U vodljivoj materiji moramo imati stalnu jakost električnog polja E, a zbog nje će na gibljive naboje djelovati električna sila F = e ⋅ E , koja uzrokuje gibanje naboja. Pozitivni naboj se giba u smjeru jakosti električnog polja, a elektroni se gibaju u suprotnom smjeru jakosti električnog polja. Tako je tzv. elektronska struja suprotnog smjera od prihvaćenog smjera struje pozitivnih naboja. Količinski električnu struju definiramo dQ kao promjenu naboja po vremenu : i = [ A] tj. kao količinu pozitivnog naboja koji proteče kroz dt odabrani presjek (uobičajeno vodiča) u jedinici vremena. Veličina i je poznata pod imenom jakost električne struje. Ako se prisjetimo da je naboj elektrona e0 = 1, 6 ⋅10−19 [ As ] tj. da je 1As = 6, 25 ⋅1018 elementarnih kvanta naboja, vidimo da za jakost struje 1A mora kroz poprečni presjek vodiča u sekundi proteći 6,25 ⋅1018 elementarnih kvanta naboja. U kovinama električnu struju predstavlja usmjereni tok slobodnih elektrona. Srednja brzina gibanja elektrona u kovini je relativno mala i iznosi oko 0,02 cm/s. Međutim električna struja se širi vodičem brzinom 3 ⋅108 m / s .

3.0. Ohmov zakon u integralnom i diferencijalnom obliku i v

E

Sl. 3.1 S

dV

dl = v ⋅ dt

Sl. 3.2

Sila na negativne naboje giba naboje koji na svom putu nailaze na «prepreke» tako da se unatoč stalnoj sili ne gibaju ubrzano već nekom srednjom brzinom v = µ ⋅ E , gdje je µ veličina koju zovemo pokretljivost naboja. Prilikom sudara naboja dolazi do gubitka kinetičke energije koja se pretvara u Jouleovu toplinu. Količinu naboja u volumenu dV možemo izraziti kao: dQ = n ⋅ dV ⋅ Q0 = n ⋅ S ⋅ dl ⋅ Q0 gdje je n broj slobodnih elektrona na jedinicu volumena, a Q0 naboj jednog elektrona. dQ = n ⋅ S ⋅v ⋅ dt ⋅ Q0 = n ⋅ S ⋅ Q0 ⋅ µ ⋅ E ⋅ dt dQ U U = nµ ⋅ Q0 ⋅ S ⋅ Ako za E uvrstimo (vrijedi za dt l l homogeno polje i konstantan presjek) U U = i= gdje je χ tzv. specifična vodljivost l l nµ Q0 S χ S kovine (provodnost), koja vidimo ovisi o broju elektrona na jedinici volumena i pokretljivosti µ . l Izraz predstavlja takozvani otpor vodiča tj. χS l U (3.1) R= [Ω] , pa slijedi i = [ A] . R χS

36

U [ A] . Upravo zapisana R zakonitost vrijedi općenito i poznata je pod imenom Ohmov zakon u integralnom obliku. U Ako izraz I = s lijeve i desne strane podijelimo sa R I U U = S dobivamo = l S RS S χS I Uχ = jakost struje na jedinicu površine S l predstavlja tzv. gustoću električne struje J , a izraz U jakost električnog polja E , pa slijedi : l ⎡ A⎤ (3.2) J = χ ⋅ E ⎢ 2 ⎥ što predstavlja Ohmov ⎣m ⎦ zakon u diferencijalnom obliku. Dobivena jednadžba povezuje tri osnovne diferencijalne

Ako se tijekom vremena struja i napon ne mijenjaju vrijedi da je I = U [V ]

A

b

α

a

I [ A]

Sl. 3.4

veličine tj. ⎡V ⎤ E → jakost električnog polja ⎢ ⎥ ⎣m⎦ ⎡ A⎤ J → gustoća struje ⎢ 2 ⎥ ⎣m ⎦ χ → specifična električna vodljivost (provodnost)

Uspoređujući dobiveni zakon sa osnovnim zakonom elektrostatskog polja D = ε ⋅ E vidimo da zakoni imaju jednaku strukturnu građu ( J = χ ⋅ E i D = ε ⋅ E ) Recipročna vrijednost provodnosti se zove otpornost i označavamo je sa ρ [ Ωm ] tj. 1⎡ 1 S⎤ 1 ⎡1 ⎤ jer je S . Jedinicu S(siemens) ima tzv. vodljivost G = = = [ S ] . Povezanost ⎢⎣ Ω ⎥⎦ ρ ⎢⎣ Ωm m ⎥⎦ R napona U i struje I grafički prikazuju takozvane volt-amperske karakteristike

χ=

3.1. Statički i dinamički otpor U KU ⋅ Aa = = K R ⋅ tgα Kr ovisi I K I ⋅ Ab o mjerilu Ku i Kz. Otpornici kojima otpor ne ovisi o jakosti struje imaju volt-ampersku karakteristiku prikazanu pravcem koji izlazi iz ishodišta. To su tzv. linearni U otpornici. Otpor R = = K R ⋅ tgα se I zove statički otpor i ima isti iznos za U sve omjere . I R=

U (V ) A UA

βA

αA IA

Sl. 3.3

I ( A)

37

Dinamički otpor je definiran: dU Rdif = = K R ⋅ tg β , a zove se još i dI diferencijalni otpor.

(3.3)

RdifA = K R ⋅ tg β A

Otpornici čija volt-amperska karakteristika nije pravac zovu se UA = K R ⋅ tgα A IA nelinearni otpornici. Otpornosti ili provodnosti materijala su date za temperaturu 293°K (20°C). RstatA =

Tako pri 20°C provodnosti nekih materijala iznose: ⎡S ⋅m⎤ Zlato χ Au = 44 ⎢ 2 ⎣ mm ⎥⎦ ⎡ S ⋅ m ⎤ Srebro χ Ag = 61 ⎢ 2 ⎣ mm ⎥⎦ ⎡ S ⋅ m ⎤ Bakar χ Cu = 57 ⎢ 2 ⎣ mm ⎥⎦ ⎡S ⋅m⎤ χ Al = 35 ⎢ Aluminij 2 ⎣ mm ⎥⎦

3.2. Utjecaj temperature na električni otpor. Eksperimentalnom provjerom se ustanovilo, da električne otpornosti kovina rastu sa porastom temperature. Ta ovisnost se može prikazati polinomom, pri čemu je najutjecajniji linearni član ρ (Ωm ) ρϑ = ρ0 ⎡⎣1 + α∆ϑ + β∆ϑ 2 + γ ⋅ ∆ϑ 3 + ...⎤⎦ Za relativno male promjene temperature vrijedi: (3.4) ρϑ = ρ 0 (1 + α∆ϑ ) = ρ 0 [1 + α (ϑ − ϑ0 ) ]

ρ0

20 0 C (2930 K )

ν 0C

Gdje je ρ 0 otpornost pri relativnoj temperaturi ϑ0 (obično 20°C). U izrazu za ρϑ α predstavlja temperaturni koeficijent električne otpornosti i predstavlja relativno povećanje otpornosti pri povišenju temperature za 1°C odnosno za 1°K. ⎡ 1 ⎤ Jedinica za α je ⎢ ⎥ ⎣ °K ⎦

Sl. 3.5

To znači da za relativno male promjene temperature otpor kod temperature različite od 20°C (297°K) možemo izraziti kao: Rϑ = R0 (1 + α ⋅ ∆ϑ ) . Mjerenjem Rν i R0 (na primjer namota elektromotora) može se odrediti temperatura R − R0 + ϑ0 ϑ= v R0α

38

Primjer: pri sobnoj temperaturi ϑ0 =20°C izmjeren je otpor namota elektromotora R0 =1 Ω . Nakon određenog vremena rada elektromotora ponovnim mjerenjem otpora izmjereno je Rϑ = 1, 2 Ω .Kolika

⎡ 1 ⎤ je temperatura namota ako je materijal bakar s α cu = 0, 004 ⎢ ⎥ ⎣ °K ⎦ R − R20 1, 2 − 1 200 Rješenje : ϑ = v + ϑ0 = + 20 = + 20 ϑ = 70°C 1 ⋅ 0, 004 4 R20α Na ovaj način smo indirektno izmjerili temperaturu namota.

3.3. Izračunavanje omskog otpora ili vodljivosti U praksi je najjednostavnije električni otpor odrediti mjerenjem. Ipak često puta je potrebno električni otpor ili vodljivost izračunati. a) Otpor i vodljivost vodiča

Ako je vodič po čitavoj duljini jednakog presjeka i načinjen od homogenog materijala otpor ρ ⋅l l računamo prema izrazu: (3.5) R= ili R = (Ω) χ ⋅S S 1 Vodljivost predstavlja recipročnu vrijednost otpora G = (S ) R ⎡S ⋅m⎤ što je uobičajeno kod vodiča. U ovim izrazima l je izraženo u metrima, S (mm 2 ) i χ ⎢ 2 ⎣ mm ⎥⎦ Izolacijski otpor jednožilnog kabla

2 R2

R1 1

r

Između vodiča i plašta postoji stalna naponska razlika U. Napon J na elementu dr je dU=E ⋅ dr dU= dr .

χ

Gustoću struje izrazimo J = dr

J=

I 2π rl

I S

gdje je l duljina kabla.

I dr ⋅ 2π l χ r Ukupni napon između plašta kabla i vodiča dobijemo R R I 2 dr I integracijom izraza za dU tj. U = = ln 2 ∫ 2πχ l R1 r 2πχ l R1 Slijedi da je dU =

Sl. 3.6

R2 R1 U Budući da je R = slijedi da je R = [Ω] ili I 2πχ l ln

(3.6)

G=

2πχ l [S ] r2 ln r1

2πε l ). To znači da za geometrijsko R2 ln R1 jednako oblikovano elektrostatičko i polje strujnica vrijedi G : C = χ : ε . U ovom slučaju strujnice se šire od vodiča prema plaštu kabla na jednak način kao i silnice elektrostatskog polja, kada je kabel Izraz za vodljivost asocira na izraz za kapacitet kabela, ( C =

39

nabijen s + λ . Isti izraz bi dobili ako izrazimo otpor između vodiča i plašta za debljinu dR. dR =

(3.7)

ρ ⋅ dr S

ρ ⋅ dr = 2π rl

R=

R=

R ρ ln 2 2π l R1

R2

∫

R1

ρ ⋅ dr ρ = 2π rl 2π l

R2

dr r R1

∫

Omski otpor kružnog prstena

dR =

R2

dr

R1

r

x

R (razmak x zanemaren)

ρ 2rπ

=

ρ 2rπ

dG =

adr gdje je a 2rπρ

dS adr debljina prstena R R a 2 dr a G= (3.8) = ln 2 ∫ 2πρ R1 r 2πρ R1

Računamo li otpor sa srednjom dužinom R + R2 2π = π ( R1 + R2 ) približni prstena a lsr = 1 2 ρπ ( R1 + R2 ) ρl otpor iznosi: R pr = sr = S a ⋅ ( R2 − R1 )

Sl. 3.7

Primjer: Za R2 = 1,1R1 otpor prema točnom izrazu iznosi : Rtočno =

2πρ 2πρ ρ = = 20,98π [ Ω ] R a a ⋅ ln 2 a ⋅ ln1,1 R1

Približni iznos: ρπ ⋅ 2,1R1 2,1⋅ ρπ ρ 21π [ Ω ] R prib = = a ⋅ 0,1R1 a ⋅ 0,1 a ρ π ⋅ 3R1 ρ Za R2 = 2 R1 R pr = = 3π [ Ω ] a R1 a 2πρ ρ Rtočno = = 2,88π [ Ω ] a ⋅ ln 2 a

3.4. Strujni krugovi istosmjerne struje Za sastavljanje strujnog kruga minimalno je potrebno imati : -izvor električne struje -spojne vodove -trošilo (otpornik) Za idealni naponski izvor koristit ćemo simbol

I

UR

R

E

Sl. 3.8

a za

otpornik(trošilo) Za idealni naponski izvor vrijedi da je Ri = 0 (Ri je unutarnji otpor izvora). Oznaka E se odnosi na EMS-u (elektro-motornu silu, što je uobičajen naziv za unutarnji napon izvora). Struja u strujnom krugu ima referentni smjer od plus(+) izvora preko trošila i spojnih vodova do minus(-) pola izvora. Pri prolasku struje kroz trošilo, pozitivni polaritet napona na trošilu je na ulazu struje u trošilo. Strujni krug koji se sastoji od samo jednog izvora i trošila je jednostavni 40

strujni krug. Za izračunavanje struje u takvom strujnom krugu dovoljno je poznavati samo Ohmov zakon prema kojem je jakost struje kroz trošilo proporcionalna naponu na stezaljkama trošila i E U obrnuto proporcionalna otporu istog trošila. To znači: I = = R : naime napon na trošilu u ovom R R je slučaju jednak naponu izvora. Ohmov zakon vrijedi za čitav strujni krug i za dijelove strujnog kruga. Na slici je prikazan dio strujnog kruga između točaka a i b. Potencijal točke b iznosi: ϕb = ϕa − I ⋅ R + E . Napon koji vlada u točkama a,b tj. U ab = ϕa − ϕb pa slijedi iz izraza da je ϕa − ϕb = I ⋅ R − E tj. ϕb = ϕ a − I ⋅ R + E

E

R

a +

U ab + E = I ⋅ R

b

I

I=

I ⋅R

Sl. 3.9 E

R

a +

I

;

U ab + E R

Na slici je prikazan dio strujnog kruga u kojem izvor E koji se nalazi u tom djelu strujnog kruga djeluje suprotno od smjera struje, koju naravno definiraju izvori preostalog djela strujnog kruga. Ovdje vrijedi: ϕb = ϕa − I ⋅ R − E ili

b

I ⋅R

Sl. 3.10

U ab − E R Izraz I ⋅ R poznat je pod imenom pad napona na dijelu strujnog kruga (pad napona na vodovima, pad napona na unutarnjem otporu izvora i sl.) Izraz I ⋅ Rtrošila kraće zovemo napon na trošilu. Jasno treba razlikovati napon izvora koji na stezaljkama izvora stalno postoji od napona na trošilu i pada napona, koji su rezultat produkta I ⋅ R . I=

3.5. Kirchhoffovi zakoni I1

I3

I2

Naponske i strujne prilike u strujnom krugu mogu se odrediti primjenom tzv. Kirchhoffovih zakona: a) Kirchhoffov zakon za struje (zakon čvorišta) b)Kirchhoffov zakon za napone (zakon petlje) a) Kirchhoffov zakon za struje (1.K.Z.)

Sl. 3.11

I4

+ I

UR1

+

UR2

R1

Sl. 3.12

(3.9)

n

∑ Ii = 0 i =1

R2

E

Zbroj struja za svako čvorište jednak je 0 Prema slici I1 + I 2 − I 3 − I 4 = 0

Struje koje ulaze u čvor tretiramo s pozitivnim predznakom, a struje koje izlaze tretiramo s negativnim predznakom. b) Kirchhoffov zakon za napone (2.K.Z.) (serijski spoj otpornika) Suma svih napona u petlji jednaka je 0. n

(3.10)

∑ Ui = 0 i =1

41

Za spoj prema slici vrijedi: E − U R1 − U R 2 = 0 Ovdje pod izrazom napon treba podrazumijevati sve razlike potencijala, bez razlike na način i mjesto gdje su nastale.

3.6. Paralelni spoj otpornika I1

R1 I = I1 + I 2

UR1 I2

E = U R1 = U R 2 E = I ⋅ Ru = I 1 ⋅ R1 = I 2 ⋅ R2 I ⋅ RU I ⋅ RU I R E E E = + I1 = I2 = ; 1 = 2 ; R1 R2 I 2 R1 RU R1 R2 1 1 1 n = + 1 1 RU R1 R2 (3.11) =

R2

UR2

I

RU

∑R i =1

i

E Za samo dva otpornika još vrijedi RU =

Sl. 3.13

I2 = I

R1 ⋅ R2 R2 ; I1 = I ; R1 + R2 R1 + R2

R1 . Paralelni spoj predstavlja strujni djelitelj jer se R1 + R2

ukupna struja I dijeli na struje I1 i I 2 . 1 Budući da je G = vrijedi izraz R

n

GU = ∑ Gi i =1

3.7.Serijski spoj otpornika

+ I

UR1 R1

+

UR2 R2

E = U R1 + U R 2 I ⋅ Ru = I ⋅ R1 + I ⋅ R2 RU = R1 + R2 ili općenito

(3.12)

n

RU = ∑ Ri i =1

Kroz serijski spoj struja je jedna, te ista pa vrijedi R1 E U R1 U R 2 = = tj. U R1 = E ; I= R R R R + R 1 2 1 2 U E R2 . U R2 = E Sl. 3.14 R1 + R2 Ako se radi o dva otpornika, serijski spoj je pogodno tretirati kao naponski djelitelj, jer se napon izvora na serijski spojene otpornike podjeli 42

proporcionalno njihovim električnim otporima prema izrazima za U R1 i izračunati u jednom koraku.

U R 2 koje moženo

3.8. Realni naponski izvor Izvori kakve susrećemo u praksi su realni izvori. To znači da imaju neki unutarnji otpor Ri zbog kojeg napon na stezaljkama izvora više nije konstantan kao kod idealnog izvora, već se mijenja u skladu s opterećenjem izvora: U = E − I ⋅ Ri A

+ Ri

U = Rv ⋅ I

U

U

U = E − I ⋅ Ru E

U =0 i Rv

I = IK =

I =0 i U =E

E Ri

+ E

U

B

I

Ik

I

Sl. 3.16

Sl. 3.15 Za I=0 izvor je neopterećen ili u praznom hodu, u tom slučaju na stezaljkama izvora izmjerimo U=E. Za U=0 I = I k izvor je u kratkom spoju. Pri struji I=In (nazivna struja) na stezaljkama izvora vlada nazivni napona Un. E −U Sa dva mjerenja u praznom hodu i opterećenju određujemo unutarnji otpor prema: Ri = [Ω] I

3.9. Strujni izvori Idealni strujni izvor je onaj koji daje konstantnu vrijednost struje neovisno o opterećenju pri čemu napon mora imati konačnu vrijednost. Idealnih I strujnih izvora praktički nema, ali ih možemo realizirati kao upravljive strujne generatore. Ik Ii Kod realnih strujnih izvora struja kroz trošilo se mijenja u skladu s pravilom za strujni djelitelj :

(3.13)

Ik

Ri

Rv

I = Ik ⋅

Ri 1 = Ik ⋅ R Ri + R 1+ v Ri

Za Ri = ∞ izvor bi bio idealan i tada je I = I K , zato je unutarnji otpor u ekvivalentnoj shemi vezan paralelno idealnom strujnom izvoru kao na slici:

Sl. 3.17

Svaki izvor možemo tretirati kao naponski i strujni, ovisno o tome s kojim je izvorom strujni krug jednostavnije riješiti.

43

Pri pretvorbi naponskog u strujni ili obrnuto prilike u vanjskom dijelu moraju ostati nepromijenjene, E ,a tj. struja i napon trošila moraju ostati isti. Struja kroz Rv pri naponskom izvoru iznosi I = Ri + Rv Ri pri strujnom I = I K to znači da je: Ri + Rv Ri E = Ik ⋅ tj. E = I k ⋅ Ri Ri + Rv Ri + Rv E Pri pretvorbi naponskog izvora u strujni, struja strujnog izvora mora iznositi: I K = . Otpor RI se u RI ekvivalentnoj shemi strujnog izvora mora spojiti paralelno. Primjer: Trošilo s RV = 4Ω je spojeno na realni naponski izvor s E=10V i Ri = 1 Ω . Spojite isto trošilo na ekvivalentni strujni izvor i pokažite da su struja i napon ostali isti. E 10 = = 2A Rješenje: Struja trošila kad je spojeno na naponski izvor iznosi I = RI + RV 1 + 4

Napon na RV iznosi U = I ⋅ RV = 2 ⋅ 4 = 8 (V) Ekvivalentni strujni izvor mora imati konstantnu struju I K =

E 10 = = 10 (A) 1 RI

Ri 1 = 10 ⋅ = 2 (A) 1+ 4 Ri + Rv Napon na trošilu je naravno U = I ⋅ RV = 2 ⋅ 4 = 8 (V)

Struja kroz trošilo RV iznosi: I = I k ⋅

3.1.0. Potencijalni dijagram Potencijal u strujnim krugovima može poprimiti različite iznose što ovisi o odabiru referentne točke s ϕ0 = 0 . Primjer izračunavanja potencijala i potencijalni dijagram E2 I

2

3

R2

+

4

R1

E1

ϕ1 = E1 ϕ 2 = ϕ1 − I ⋅ R1 ϕ 3 = ϕ 2 + E 2 + 1 +

ϕ 4 = ϕ 3 − I ⋅ R2 ϕ 5 = ϕ 4 − E3 ϕ 0 = ϕ 5 − I ⋅ R3

+ E3 R3

ϕ0 = 0

+

5

Sl. 3.18 Ako je na primjer R1 = R2 = R3 = 2 Ω i E1 = E 2 = E3 = 12 V pojedine točke će imati slijedeće potencijale prema referentnoj točci s potencijalom 0. Najprije treba izračunati jakost struje i odrediti njezin smjer. 44

I=

E1 + E 2 − E3 12 = = 2 A Struja teče u naznačenom smjeru. R1 + R2 + R3 6

Potencijali pojedinih točaka:

ϕ1 = 12 V ; ϕ 2 = 8V ; ϕ 3 = 20 V ; ϕ 4 = 16 V ; ϕ5 = 4 V ; ϕ0 = 0 V Naravno da potencijali mogu poprimati i negativne vrijednosti što ovisi o konkretnom spoju.

Potencijal 20 16 12 8 4 0 0

1

2

3

4

5

6

Broj točke

0

Sl. 3.19 3.1.1. Nadomjesni spoj više izvora Spoj većeg broja naponskih ili strujnih izvora možemo nadomjestiti samo jednim izvorom koji onda predstavlja njihov ekvivalent. a) Serijski spoj realnih naponskih izvora Ekvivalentna elektromotorna sila I iznosi: R2

n

E = ∑ Ei

I

i =1

+ E2 U

R1

E1

+

R

⇒

U

Ri Ri

R

Ekvivalentni unutarnji otpor je: n

E

+

Ri = ∑ Ri i =1

Struja ekvivalentnog izvora je: n

Sl. 3.20

(3.14) I =

∑E

i

i =1

n

R + ∑ Ri i =1

45

3.1.2. Serijski spoj realnih strujnih izvora I

I2

R2 R

I1

⇒

Ik

Ri

R

R1

Sl. 3.21

Strujni izvori se najprije pretvore u naponske, gdje su E = I1 ⋅ R1 + I 2 ⋅ R2 i Ri = R1 + R2 parametri ekvivalentnog naponskog izvora. Nakon toga ekvivalentni naponski izvor zamijenimo sa E I ⋅R + I ⋅R ekvivalentnim strujnim izvorom gdje mora biti I k = = 1 1 2 2 Ri R1 + R2 Struja kroz trošilo I se dobije po pravilu strujnog djelitelja tj. Ri I ⋅ R + I 2 ⋅ R2 R1 + R2 I = Ik ⋅ = 1 1 ⋅ Ri + R R1 + R2 R1 + R2 + R

I=

(3.15)

I1 ⋅ R1 + I 2 ⋅ R2 R1 + R2 + R

Izraz analogno vrijedi za veći broj izvora, gdje su R1 , R2 ...Rn unutarnji otpori pojedinih strujnih izvora, a R je vanjski otpor.

3.1.3. Paralelni spoj realnih strujnih izvora I

G1 I1

G

G2

I2

⇒

Gi

U

G

Ik

Sl. 3.22

I k = I1 + I 2

Gi = G1 + G2

I = Ik ⋅

G Gi + G

46

I1 + I 2 ⋅ G (3.16) G1 + G2 + G

I=

I1 + I 2 I = G G1 + G2 + G

U=

3.1.4. Paralelni spoj realnih naponskih izvora Naponske izvore pretvorimo u strujne po poznatom pravilu

R2

R1

E1

R

E2

⇒

I1

I2 U G1

G2

G

Sl. 3.23 E1 E I 2 = 2 Gi = G1 + G2 R1 R2 I k = I1 + I 2 = E1 ⋅ G1 + E2 ⋅ G2 I1 =

I = Ik ⋅

G G = Ik ⋅ Gi + G G1 + G2 + G

U=

( E ⋅ G + E2 ⋅ G2 ) ⋅ G I = Ik 1 1 G ( G1 + G2 + G ) ⋅ G

U=

E1 ⋅ G1 + E2 ⋅ G2 G1 + G2 + G

Ekvivalentni naponski izvori paralelnog spoja većeg broja realnih naponskih izvora mora imati napon: n

(3.17)

U=

∑ E ⋅G i =1 n

i

i

Za n paralelno spojenih izvora.

∑G + G i =1

i

3.1.5. Rad i snaga u strujnom krugu Iz razmatranja u elektrostatici poznato je da rad kojeg izvrši električna sila možemo izraziti kao dA = dq ⋅ u . Jakost struje je definirana kao: t

dq pa je : dA = i ⋅ dt ⋅ u . A = ∫ u ⋅ i ⋅ dt . Ako su struja i napon stalne vrijednosti rad možemo dt 0 zapisati kao A = U ⋅ I ⋅ t . To znači da je rad istosmjerne struje proporcionalan produktu napona, struje i vremena u kojem je rad izvršen. Primjenjujući Ohmov zakon dobivamo: U2 A = U ⋅ I ⋅t = I 2 ⋅ R ⋅t = ⋅ t [Ws ] . Jedinici [Ws ] je ekvivalent 1J(]ul) ili Nm. (3.18) R U energetici se koriste veća jedinica za obračun potrošnje električne energije (koja je potrošena za obavljanje rada A) a to je Kwh: 1kWh = 103 ⋅ 3600 [Ws ] = 3, 6 ⋅106 [ J ] i=

47

dA U2 =U ⋅I = I2 ⋅R = . Na dt R trošilima je napisana tzv. nazivna snaga, tj. snaga koju ima trošilo pri Un i In. U trošilima se sva dovedena energija ne pretvara u koristan rad , već u neki drugi oblik koji je sa stajališta trošila gubitak energije(npr. toplina). Ako sa Wu označimo ukupnu dovedenu energiju trošila, a dobivenu korisnu energiju s W onda je gubitak energije: Wg = WU − W .

Snaga je definirana kao rad izvršen u jedinici vremena tj. (3.19)

P=

Stupanj iskoristivosti je omjer dobivene korisne energije ili snage i ukupne energije ili snage. W W P P ili u (3.20) η= = = % η% = ⋅100 . WU W + Wg P + Pg P + Pg

3.1.6. Prilagođenje na maksimalnu snagu Ako na stezaljke realnog naponskog izvora priključimo trošilo Rv u krugu će poteći struja E 2 ⋅ Rv E E2 . Snaga izvora iznosi: Pi = , a snaga trošila Pv = I 2 ⋅ Rv = . Stupanj I= 2 Ri + Rv Ri + Rv ( Ri + Rv )

PRv Rv = . Pi Ri + Rv Iz izraza za PRv je vidljivo da će snaga trošila Pv biti nula, ako je Rv =0 ili ako je Rv = ∞ . To su slučajevi, koji i nisu tako interesantni jer je u tim slučajevima izvor u kratkom spoju ( Rv =0) ili u praznome hodu ( Rv = ∞ ). Zanima nas što se događa ako se + Rv mijenja tako da 0 < R < ∞ . Pritom je naravno unutarnji R otpor stalan tako da v može biti manji ili veći od 1. Da bi Ri dobili najveću snagu koja se pojavljuje na Rv treba postaviti

η=

korisnosti je: (3.21)

Ri

U E

+

Rv

dPRv = 0 tj. Rv

(3.22) '

-

Sl. 3.24

⎛ E 2 ⋅ R ⎞ E 2 ( Ri + Rv )2 − E 2 ⋅ Rv ⋅ 2 ⋅ ( Ri + Rv ) v =0 ⎜ ⎟ = 4 ⎜ ( R + R )2 ⎟ R R + ( ) i v i v ⎝ ⎠ Da bi izraz bio jednak nuli mora brojnik biti jednak nuli (nazivnik je različit od nule zbog Ri ) E 2 ( Ri + Rv ) 2 − E 2 Rv 2( Ri + Rv ) = 0 / : ⎡⎣ E 2 ( Ri + Rv ) ⎤⎦

Ri + Rv − 2 Rv = 0 tj. (3.23) Rv = Ri To znači da će se na trošilu pojaviti maksimalna snaga kada je iznos otpora vanjskog trošila jednak unutarnjem otporu realnog izvora koji napaja dotično trošilo. E 2 Ri E 2 Ri E2 Ta snaga iznosi: (3.24) Pmax Rv = = = . Stupanj korisnosti u tom slučaju 2 ( Ri + Ri ) 4 Ri2 4 Ri

iznosi: Ri = 0,5 što je loš rezultat. Zbog toga se prilagodba na maksimalnu snagu primjenjuje R1 + Ri samo u tehnici slabe struje (na primjer prilagodba zvučnika na pojačalo, antenskog kabla na antenu) gdje su ukupne snage male pa gubitak pola snage ne predstavlja problem, već je bitno da je to najveća snaga koja se uopće iz dotičnog izvora može dobiti.

η=

48

Jasno da se prilagodba na maksimalnu snagu ne primjenjuje u tehnici jake struje, gdje su snage izvora vrlo velike, a i elementi elektroenergetskog sustava su unaprijed definirani. Dijagram snage izvora, snage na Rv i stupnja korisnosti u ovisnosti o Rv

E = 3V

Ri = 5 Ω

1,6 Snaga izvora (W)

1,4

Stupanj korisnosti

1,2

Snaga na Rv (W)

1

Sl. 3.25

0,8 0,6 0,4 0,2 0

5

Rv (Ω)

3.1.7. Električne mreže istosmjerne struje Električne konfiguracije koje se sastoje od većeg broja izvora i trošila, koji su spojeni na najrazličitije načine (serija, paralela, spoj u trokut, spoj u zvijezdu) se zovu električne mreže. Ako se u mrežama pojavljuju samo linearni elementi onda ih zovemo linearne električne mreže. Elemente mreže čine izvori i trošila, a za razumijevanje mreža potrebno je upoznati: Grana mreže je dio mreže između dva čvorišta u kojem su elementi mreže spojeni samo serijski. Spoj 3 ili više grane čini čvor. Svaki zatvoreni put se zove petlja mreže. Nezavisna petlja je ona koja se od prijašnje razlikuje barem za jednu granu. Na slici je najjednostavnija moguća R1 R2 mreža koja sadrži 3 petlje, od kojih su 2 nezavisne. Mreža posjeduje 3 grane i 2 čvora. I1 I3 I2 Broj neovisnih jednadžbi koje se mogu zapisati za čvorišta je Č-1 gdje je Č broj čvorišta. Za mrežu na slici (3.23. ) taj R3 + + broj jednadžbi je jedan. Broj kontura E1 E 2 mreže na slici ( 3.23.) je 2. Broj neovisnih jednadžbi za konture je: g-(Č1) gdje je g broj grana. Za mrežu se dakle može zapisati broj Sl. 3.26 neovisnih jednadžbi:

+

g − (Č − 1) za konture (Č − 1) za čvorove

Ukupno: g , tj. koliko mreža ima grana 49

Što ustvari znači riješiti električnu mrežu; znači odrediti sve struje u granama i sve napone na trošilima. Rješenje mreže se može dobiti primjenom različitih metoda ili teorema, kao što su: - Metoda Kirchhoffovih zakona - Metoda konturnih struja - Metoda napona čvorova - Metoda superpozicije - Millmanov teorem - Theveninov teorem - Transfiguracija spoja "trokut" u spoj "zvijezda" i obrnuto Za objašnjenja ćemo koristiti najjednostavnije mreže koje ćemo riješiti na više načina, kako bi mogli uvidjeti prednost i mane pojedinih metoda.

3.1.8. Metoda Kirchhoffovih zakona R1 I1

R2

Za ovu mrežu treba zapisati g jednadžbi tj. 3 i to dvije za petlje i jednu za čvorište.

I3

I2 R3

+

+

E1

E2

Jednadžbe za petlje (Kirchhoffov zakon za napone) glase: - petlja A ... E1 = I1 R1 + I 3 R3 (1) - petlja B ... E2 = I 2 R2 + I 3 R3 (2) (3) čvor 1 ... I 3 = I1 + I 2 Vidimo da se radi o sustavu 3 linearne jednadžbe koje je vrlo lako riješiti.

Sl. 3.27

(nepoznanice su naravno struje I1 , I 2 , I 3 ). Ako se radi o mreži sa većim brojem petlji najbolje je jednadžbe riješiti pomoću matrica: Primjer:

I1

R1

E1 R4

I4

A

B I5

I6 R5

R6

+

E3

+

E2

I3 I2 R2

C

R3

Sl. 3.28 50

Mreža posjeduje 6 grana što znači da je potrebno zapisati 6 jednadžbi za rješenje struja u granama. Broj jednadžbi za konture je: 6 − (3 − 1) = 4 , a to su: E1 = I1 R1 − I 4 R4 E2 = I 2 R2 + I 5 R5 E3 = I 3 R3 − I 6 R6

0 = I 4 R4 + I 6 R6 − I 5 R5 Za čvorišta: čvor A ... I 2 − I1 − I 5 − I 4 = 0 čvor B ... I 4 + I1 − I 6 − I 3 = 0 Ako je zadano:

E1 = 40V E2 = 60V E3 = 10V R1 = 15Ω R2 = R3 = 5Ω R4 = 20Ω R5 = 30Ω R6 = 10Ω slijedi: 15 I1 − 20 I 4 = 40

⎛ 15 ⎜0 ⎜ 0 R=⎜ ⎜0 ⎜ −1 ⎜1 ⎝

5 I 2 + 30 I 5 = 60 5 I 3 − 10 I 6 = 10 20 I 4 + 10 I 6 − 30 I 5 = 0 I 2 − I1 − I 5 − I 4 = 0 I 4 + I1 − I 6 − I 3 = 0

⎡ 40 ⎤ ⎢60 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢10 ⎥ E=⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

(3.25)

⎞ ⎟ ⎟ −10 ⎟ 10 ⎟ 0 ⎟ ⎟ −1 ⎠

0

0 −20

0

5

0

0

30 0

0

5

0

0

0

0

20 −30

0

−1

−1

1

0

1

0 −1

[ R] ⋅ [ I ] = [ E ]

0

matrična jednadžba

⎡4⎤ ⎢6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢4⎥ I1 = 4 A; I 2 = 6 A; I 3 = 4 A; I 4 = 1A; [I ] = [R]−1 ⋅ [E ] I =⎢ ⎥ što znači da je: I 5 = 1A; I 6 = 1A ⎢1 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ Za operacije s matricama možemo koristiti neki od matematičkih programa ili bolji kalkulator. Snaga izvora je 51

Pi = E1 ⋅ I 1 + E 2 ⋅ I 2 + E3 ⋅ I 3 = 40 ⋅ 4 + 60 ⋅ 6 + 10 ⋅ 4 = 560 W

Snaga trošila:

Pt = I12 ⋅ R1 + I 22 ⋅ R2 + I 32 ⋅ R3 + I 42 ⋅ R4 + I 52 ⋅ R5 + I 62 ⋅ R6 = 16 ⋅15 + 36 ⋅ 5 + 16 ⋅ 5 + 1⋅ 20 + 1⋅ 30 + 1⋅10 Pt = 560W Pi = Pt

3.1.9. Metoda konturnih struja R1

R2

I1

I3

I2

IA

+

Zamisao ove metode je u tome, da pretpostavimo kao da u cijeloj petlji (konturi) teče ista struja, a u zajedničkim granama superponirana struja dviju petlji (suma ili razlika konturnih struja).

IB

R3

+

E1

E2

Sl. 3.29

E1 = I1 R1 + I 3 R3

(1)

E2 = I 2 R2 + I 3 R3

(2)

I 3 = I1 + I 2

(3)

Ako u jednadžbama 1 i 2 struju I 3 E1 = I A ( R1 + R3 ) + I B R3

zamijenimo s I1 + I 2 dobivamo nakon sređivanja:

E2 = I B ( R2 + R3 ) + I A R3

3.2.0. Metoda napona čvorova R1

R3

ϕ1 I4

I1

ϕ2 I3

I5

I2

R5

R4

+

R2

+ E2

E1

ϕ0 = 0

Metoda napona čvorova je pogodna za rješavanje mreža koje posjeduju 1 zajednički čvor kojemu pripišemo potencijal 0 (energetska mreža napajanja s dva mjesta). Svi ostali čvorovi u mreži prema referentnom s potencijalom nula imaju određeni potencijal odnosno napon.

Sl. 3.30 Za mrežu prema slici vrijede sljedeće jednadžbe: - za čvorišta: I1 + I 3 − I 4 = 0 I 2 − I3 − I5 = 0

52

Potencijal čvora 1 se može zapisati: E −ϕ ϕ1 = E1 − I1 R1 ⇒ I1 = 1 1 R1

ϕ1 = I 4 R4

⇒ I4 =

ϕ1 R4

Potencijal čvora 2:

ϕ 2 = E2 − I 2 R2 ⇒ I 2 = ϕ 2 = I 5 R5

⇒ I5 =

ϕ 2 = ϕ1 + I 3 R3 ⇒ I 3 =

E2 − ϕ 2 R2

ϕ2 R5

ϕ 2 − ϕ1 R3

Vidimo da smo pet struja pojedinih grana izrazili sa samo 2 potencijala što je naravno prednost ove metode jer će se pojaviti samo dvije nepoznanice i dvije linearne jednadžbe koje je vrlo lako riješiti. Da smo ovu mrežu rješavali direktnom metodom pojavilo bi se pet nepoznanica i isto toliko linearnih mreža što naravno zahtjeva dugotrajnije rješavanje. Ako struje I1 , I 3 , i I 4 uvrstimo u jednadžbu (3.1) slijedi: E1 − ϕ1 ϕ 2 − ϕ1 ϕ1 + − = 0 ili ako uvedemo vodljivost R1 R3 R4

( E1 − ϕ1 )G1 + (ϕ 2 − ϕ1 )G3 − ϕ1G4 = 0 E1G1 − ϕ1G1 + ϕ2G3 − ϕ1G3 − ϕ1G4 = 0 −ϕ1G1 − ϕ1G3 − ϕ1G4 + ϕ 2G3 = − E1G1

ϕ1 (G1 + G3 + G4 ) − ϕ 2G3 = E1G1 E2 − ϕ2 ϕ 2 − ϕ1 ϕ 2 R2

−

R3

−

R5

(1)

=0

( E2 − ϕ2 )G2 − (ϕ 2 − ϕ1 )G3 − ϕ 2G5 = 0 E2G2 − ϕ 2G2 − ϕ 2G3 + ϕ1G3 − ϕ2G5 = 0 −ϕ 2G2 − ϕ 2G3 − ϕ 2G5 + ϕ1G3 = − E2G2

ϕ2 (G2 + G3 + G5 ) − ϕ1G3 = E2G2

(2)

Ako mreža posjeduje više čvorova jednadžba ima općeniti zapis:

(3.26)

Č

Č

j =1 j≠ p

j =1 j≠ p

ϕ P ⋅ GPP − ∑ ϕ j G jP = ∑ EPj GPj

U jednadžbi (1) za P = 1 ϕ P = ϕ1 GPP = G1 + G2 + G3 tj. suma svih vodljivosti koje su spojene na čvor 1. ϕ j ≠ ϕ P = ϕ 2 , G jP = G3 tj. vodljivost između čvora 2 i 1 (ako je paralelno spojeno više otpornika G jP je jednaka sumi vodljivosti između čvora j i p).

53

3.2.1. Metoda superpozicije Kod ove metode uspoređujemo doprinose u strujama grana svih izvora mreže pojedinačno. To znači da djelovanje svih izvora osim jednog isključimo na taj način da naponske kratko spajamo, a strujne otpajamo. Ukupna struja neke grane se dobije superpozicijom struja koje su doprinijeli pojedini izvori. Za mrežu na slici (3.31) to bi izgledalo ovako: R1

R1

R2

I1

I3

I2

+

+

R3

E1

⇒ E2

R2

I 3′

I1′

E1

R3

+

R1

I 2′

+

I 1′′

R2 I 3′′

I 2′′ R3

+ E2

Sl. 3.31 I1′ =

E1 R ⋅R R1 + 2 3 R2 + R3

I 2′ = I1′ ⋅

R3 R2 + R3

I 3′ = I1′ ⋅

R2 R2 + R3

R3 R3 E2 I 3′′ = I 2′′ ⋅ I1′′ = I 2′′ ⋅ R ⋅R R1 + R3 R1 + R3 R2 + 1 3 R1 + R3 I1 = I1′ − I1′′ I 2 = I 2′′ − I 2′ I 3 = I 3′ + I 3′′ Primjer mreže sa strujnim izvorom: R1 I1 A I Ako je npr. potrebno izračunati napon U AB I2 metodom superpozicije postupak je slijedeći: I Otspojimo li strujni izvor, napon + R2 R2 E U ' AB = E . R1 + R2 Ako bi djelovao samo strujni izvor (naponski R1 B kratko spojen) struja I 2 = I i R1 + R2 I 2′′ =

Sl. 3.32

'' ' '' U AB = I 2 ⋅ R2 . Ukupni napon U AB = U AB + U AB

I I1

I3

I2

R1

' '' i U AB su istog polariteta, zato se ( U AB zbrajaju).

R3

R2

U E1

+

E2 +

E3

B

Sl. 3.33

+

R

3.2.2. Millmanov teorem Millmanov teorem je pogodan za rješavanje paralelnog spoja većeg broja realnih izvora koji napajaju neko trošilo. (to je česti slučaj u praksi) Vidimo da se praktički radi o mreži sa samo 2 čvora. Ako jedan čvor (B) uzemljimo onda je ϕ B = 0 i U AB = ϕ A . Prema metodi čvorova ϕ A 54

možemo zapisati:

ϕ A (G1 + G2 + G3 + G ) = E1G1 + E2G2 + E3G3

tj.

U AB =

E1G1 + E2G2 + E3G3 G1 + G2 + G3 + G

n

U AB =

ili općenito: (3.27)

∑ (E G ) 1

i =1 n

1

∑G + G i =1

.

i

Budući da su u principu E1 ≠ E2 ≠ E3 ≠,… , En i R1 ≠ R2 ≠ R3 ≠,… , Rn struje međusobno različite, a E − U AB E − U AB E − U AB izračunavaju se prema: ϕ A = U AB = E1 − I1 ⋅ R1 tj. I1 = 1 I2 = 2 I3 = 3 R1 R2 R3 Ukupna struja I = I1 + I 2 + I 3 =

U AB R

Mrežu s strujnim izvorom prema slici (3.32.) bi pomoću Millmanovog teorema riješili kao: E1 ⋅ G1 + I Za E1 = 10V ; R1 = R2 = 2Ω; I = 2 A U AB = 7 V G1 + G2 po metodi superpozicije: R2 R1 2 2 '' = I 2 ⋅ R2 I2 = I = 2⋅ = 1A U ' AB = E = 10 ⋅ = 5 (V) U AB 2+2 2+2 R1 + R2 R1 + R2 U AB =

'' U AB = 2 (V)

' '' U AB = U AB + U AB = 5+ 2 = 7V

3.2.3. Theveninov teorem Struja trošila ili napon na trošilu R linearne mreže može se odrediti tako da se cijela preostala mreža od stezaljki 1 i 2 trošila (otpornika) nadomjesti samo jednim naponskim izvorom sa elektromotornom silom ET i unutarnjim otporom RT. 1

R1

R2

E1 +

E2 +

UR

2

Sl. 3.34 1

RT UR UT +

2

Sl. 3.35

R

R

Ako otpornik R odspojimo na stezaljkama 1,2 će se pojaviti neki napon UAB koji se može izračunati ili izmjeriti. Taj napon se zove Theveninov napon i označava se sa UT. Otpor u točkama 1,2 kada je isključeno djelovanje svih izvora (to znači da naponski moraju biti kratko spojeni, a strujni odspojeni) se zove Theveninov otpor i označavamo ga kao RT. Napon UT se izračunava na neki poznati način (odaberemo najjednostavniji). E ⋅ G + E2G2 R ⋅R R Npr. U T = 1 1 i RT = 1 2 U R = U T ⋅ R1 + R2 RT + R G1 + G2 Uobičajeni naziv za spoj sa dvije priključne stezaljke je dvopol. Ako dvopol ne posjeduje izvore električne energije onda je to pasivni dvopol. Dvopol koji posjeduje izvore električne energije se zove aktivni dvopol. Pasivni dvopol smijemo nadomjestiti s omskim otpornikom čiji je električni otpor jednak otporu dotičnog pasivnog dvopola. Ako je dvopol aktivni smijemo ga nadomjestiti s naponskim izvorom koji ima napon jednak naponu na otvorenim stezaljkama dvopola i unutarnji otpor koji je jednak nadomjesnom otporu aktivnog dvopola. 55

(pritom su naponski izvori kratko spojeni, a strujni odspojeni). Vidimo da aktivni dvopol riješimo upravo Theveninovim teoremom. Primjer: Aktivni dvopol na slici (3.36. ) ima podatke: E1 = 8V , E2 = 24V , R1 = 12Ω , R2 = 4Ω , R3 = 5Ω .

Po Theveninovom teoremu želimo dvopol nadomjestiti s nadomjesnim naponskim izvorom:

1 R1

1

R3

R2

⇒ E1

+

E2

Rn

+ + E

2

2

Sl. 3.36 R1 ⋅ R2 12 ⋅ 4 = 5+ = 5 + 3 = 8Ω 16 R1 + R2 Nadomjesni napon na stezaljkama 1-2 iznosi (po Millmanovom teoremu): 1 1 8 ⋅ + 24 ⋅ E1 ⋅ G1 + E2 ⋅ G2 4 = 80 ⋅12 = 20V ili I = E2 − E1 = 24 − 8 = 1A E= = 12 0 1 1 12 ⋅ 4 G1 + G2 16 R1 + R2 + 12 4 E = E2 − I 0 ⋅ R2 = 24 − 1 ⋅ 4 = 20V E = E1 + I 0 ⋅ R1 = 8 + 1 ⋅12 = 20V

Nadomjesni otpor je jednak: Rn = R3 +

Ako bi na stezaljke 1-2 priključili trošilo otpora 8Ω na trošilu bi se pojavila maksimalna snaga.

3.2.4. Nortonov teorem Struja kroz neki otpornik R linearne mreže može se odrediti na način da se cijela preostala mreža od stezaljki 1-2 otpornika nadomjesti jednim strujnim izvorom struje IK i unutarnjeg otpora RT. Stezaljke 1-2 su pritom kratko spojene. 56

1 Ik R1

Ik

1

R2

E1 ⋅ G1 + E2 ⋅ G2 E1 +

E2

UR

R

+

⇒

G1 + G2

Ik

G

2 2

Sl. 3.37

Nadomjesna struja I K = E1 ⋅ G1 + E2 ⋅ G2 G G 1 G 1 UR = I ⋅ R = IK ⋅ U R = ( E1 ⋅ G1 + E2 ⋅ G2 ) ⋅ ⋅ G1 + G2 + G G1 + G2 + G G G1 + G2 + G G E ⋅ G + E2 ⋅ G2 UR = 1 1 ⇒ isti izraz možemo direktno zapisati primjenom Millmanovog teorema. G1 + G2 + G I = IK

Ik

I Ii

G1 + G2 UR

I

G

Sl. 3.38

57

3.2.5. Transfiguracija spoja trokut u spoj zvijezda Često se u mreži pojavi spoj kao na slici:

R5 R1

A

R2 R3

B

R4 Sl. 3.39 Ukupni otpor između točaka A i B ne možemo izračunati direktno, jer očito ne postoji ni serijski ni paralelni spoj dva ili više otpornika. Radi se o novim spojevima , a to su spoj u zvijezdu (otpornici R1, R2, R5 ili R2, R3, R4) i spoj u trokut (R1, R2, R4 ili R2, R3, R5). Takav spoj otpornika riješimo tako da izvršimo pretvorbu spoja trokut u zvijezdu tj. spoja zvijezda u spoj trokut. Pri toj pretvorbi ukupni otpor između bilo kojih točaka mora ostati nepromijenjen, kako transfiguracija nebi promijenila naponske i strujne prilike u ostalom dijelu strujnog kruga.

R12 ⋅ ( R23 + R31 ) R12 + R23 + R31 R ⋅ ( R31 + R12 ) 2. R2 + R3 = 23 R12 + R23 + R31 R ⋅ ( R + R23 ) 3. R3 + R1 = 31 12 R12 + R23 + R31

1. R1 + R2 =

R2 R12

R23

R1

R3

R31

Sustav tri linearne jednadžbe daje rješenja:

Sl. 3.40 R1 =

R31 ⋅ R12 produkt otpora koji u trokutu imaju isti čvor s R1 R ⋅R = tj. R2 = 12 23 suma otpora spoja Σ⋅R Σ⋅R

R3 =

R31 ⋅ R23 Σ⋅R

Ako su nepoznanice R12 , R23 , R31 , a poznati R1 , R2 , R3 vrijede jednakosti: R ⋅R produkt otpora zvijezde čvora 1 i 2 (3.28) R12 = 1 2 = R0 R0

⎛1 1 1 ⎞ R0 = ⎜ + + ⎟ ⎝ R1 R2 R3 ⎠

−1

58

3.2.6. Wheatstonov (Vitstonov) most. R1

R3

A

R1

A

RA

I13 C

R4

R2

I 24

RC

⇒

R5

C

R2

B

B

RB

I E

Sl. 3.41

RA =

R3 ⋅ R5 R3 + R5 + R4

RB =

R5 ⋅ R4 ∑⋅R

RC =

R3 ⋅ R4 ∑ ⋅R

Primjer: Treba izračunati struju I u spoju prema slici (3.41) ako su:

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 3Ω i E = 12 V

Rješenje: RA =

R3 ⋅ R5 3⋅3 = = 1Ω 9 R3 + R5 + R4

RB = 1Ω

RC = 1 Ω

( R1 + RA ) ⋅ ( R2 + RB ) 4⋅4 + RC = +1 = 2 +1 = 3 Ω . 8 R1 + RA + R2 + RB 6 ⋅ 6 36 = = 3Ω što znači da R5 u ovom slučaju ne utječe na Spoj bi imao isti otpor bez R5 tj. 6 + 6 12 ukupni otpor jer su njegove stezaljke spojene u točke A i B između kojih nema potencijalne razlike E 12 ( U AB = 0 ). Takav spoj je poznat kao uravnoteženi Wheatstonov most. Struja I = = = 4A . 3 RU Koliki bi bio napon U AB ako se u prethodnom primjeru R5 promijeni i iznosi R5 = 2Ω ? 3⋅ 2 6 3 3 9 ∑ ⋅R = 3 + 3 + 2 = 8Ω RA = = = Ω RB = Ω RC = Ω 8 8 4 4 8 3 15 15 15 15 9 24 ( R1 + RA ) //( R2 + RB ) = R1 + RA = 3 + = R2 + RB = RU = + = = 3Ω 4 4 8 8 8 8 4 Vidimo da iznos R5 ne utječe na ukupan otpor jer je most u ravnoteži: R1 3 Potencijal točke A: ϕ A = − E ⋅ = −12 ⋅ = −6V 3+3 R1 + R3 R2 3 = −12 ⋅ = −6V Potencijal točke B: ϕ B = − E ⋅ 3+3 R2 + R4 U AB = ϕ A − ϕ B = 0 V . R2 R1 Napon U AB će biti uvijek nula kada je ϕ A = ϕ B tj. E ⋅ = E⋅ R2 + R4 R1 + R3 RU =

59

R2 ⋅ R1 + R2 ⋅ R3 = R1 ⋅ R2 + R1 ⋅ R4 R2 ⋅ R3 = R1 ⋅ R4 tj. kada je produkt otpora suprotnih grana međusobno jednak. Ako most nije u ravnoteži napon U AB računamo pomoću Theveninovog teorema. Neka je R1 = R2 = R4 = R5 = 3 Ω i R3 = 2 Ω , E = 12 V 3 3 ϕ A = −12 ⋅ = −7, 2 V ; ϕ B = −12 ⋅ = −6 V 3+ 2 3+3 R5 ; U T = ϕ A − ϕ B = −7, 2 − (−6, 2) = −1, 2 V Napon U AB = U T ⋅ R5 + RT 3 3 U AB = −1.2 ⋅ = −1.2 ⋅ = −0.63 V 2.7 + 3 5.7

3.2.7. Nelinearni elementi u krugovima istosmjerne struje Kod linearnih elemenata otpor ne ovisi niti o jakosti struje niti o naponu koji vlada na stezaljkama U otpornika. Zato je R = = const. , a karakteristika U = f ( I ) je pravac koji ide iz ishodišta. Kod I nelinearnih otpornika karakteristika nije pravac već neka krivulja. Voltamperske karakteristike U = f ( I ) ili I = f (U ) mogu biti veoma različite. Ako otpor nelinearnog elementa ovisi samo o iznosu struje, a ne ovisi o smjeru, onda je i riječ o simetričnom nelinearnom elementu. Kod takvih elemenata vrijedi da je: f (−U ) = − f (U ) I

I

+ I1

−U

+ I1

−U U

− I2

U

− I2

+U

I-U karakteristika simetričnog nelinearnog elementa

+U

I-U karakteristika nesimetričnog nelinearnog elementa

f (−U ) = − f (U )

f (−U ) ≠ f (U )

Sl. 3.42

60

3.2.8. Serijski spoj nelinearnih elemenata Spojevi s nelinearnim elementima se rješavaju uglavnom grafičkim putem.

R2

R1

I a

I

R1

b

R2 c

I

U

U1 U2

E

E

Sl. 3.43 Sl. 3.44

I ovdje vrijede Kirchoffovi zakoni tj. E = U1 + U 2 , a struja je kroz oba elementa ista. Rezultantnu karakteristiku dobijemo jednostavnim grafičkim zbrajanjem krivulja za R1 i R2 . Iz rezultantne karakteristike lako odredimo struju I = f (U ) jer je u spoju E poznata (vidi sliku). Isto tako na krivuljama pojedinih nelinearnih elemenata odredimo napone koji vladaju na njihovim stezaljkama. Postoji i drugi način rješavanja kruga s nelinearnim elementima, gdje nije potrebno crtati rezultantnu krivulju. Taj način se koristi kad u krugu imamo serijski spoj linearnog i nelinearnog elementa (npr. otpornik u krugu kolektora tranzistora). Grafički način ćemo razmotriti na primjeru dva linearna elementa. I

R2

R1

E R

I =−

2

1 E ⋅U + R1 R

I=

1

1 ⋅U R2

I

I

U2

E

U1

E

U

Sl. 3.46

Sl. 3.45

61

U 2 = E − I ⋅ R1

I ⋅ R1 = E − U 2 /: R1

1 E I U 1 ⋅U + ili + = 1 gdje je − koeficijent E E R1 R1 R1 R1 E odsječak na ordinati, a E odsječak na apscisi smjera, R1 1 1 − je koeficijent smjera pravca (1), a je R1 R2 koeficijent smjera pravca (2). Sjecište ova dva pravca daje rješenje: ⎛ 1 1 E 1 1 ⎞ E − ⋅U + = ⋅ U ili U ⋅ ⎜ + ⎟ = R1 R1 R2 ⎝ R1 R2 ⎠ R1 I =−

I E R1

2 1

E U2

U

U1

R1 + R2 E = R1 ⋅ R2 R1 R2 napon na elementu R2 U = E⋅ R1 + R2 U⋅

Sl. 3.47

Ako je element R2 nelinearan sjecište pravca elementa R1 i krivulje nelinearnog elementa R2 dat će rješenja za struju i napone na elementima.

3.2.9. Paralelni spoj dvaju nelinearnih otpornika I

I1 c

3

I b

I2

2

I2 a

I1

o E

Sl. 3.48

R1

R2

I

1 U

E

Sl. 3.49

I = I1 + I 2 U1 = U 2 = E Krivulju (3) dobili smo jednostavnim grafičkim zbrajanjem. Budući da je u spoju poznata E izvora možemo lako odrediti struje kroz pojedine otpornike (vidi sliku). Naponi na oba otpornika su isti i jednaki EMS izvora. Ako se karakteristika nelinearnog elementa može analitički zapisati, onda je i problem moguće riješiti analitički.

62

Primjer: Na istosmjerni izvor s E = 2 V i unutarnjim otporom R1 = 2 Ω priključimo nelinearni element čija A je funkcijska ovisnost između struje i napona dana izrazom I (U > 0) = K ⋅ U 2 , K = 0.5 2 . Kolika je V snaga na tom elementu? ( I (U < 0) = 0)

I = 0.5 ⋅U 2 I (U < 0) = 0 - uvjet Iz spoja prema slici je vidljivo da je: E −U 2 −U 1 1 1 9 = K ⋅U 2 = 0.5 ⋅ U 2 2 − U = U 2 U 2 + U − 2 = 0 U1,2 = − ± +2= − ± 2 Ri 2 4 2 4 1 3 U1,2 = − ± 2 2 1 3 U1 = − + = 1 V U 2 = −2 V I = 0,5 A 2 2 za U = −2 V struja je nula (iz uvjeta I ⋅ (U < 0) = 0 ). To znači da je rješenje: U = 1 V , a snaga P = U ⋅ I P = 1⋅ 0.5 = 0.5 W . I=

E 2 = =1 A Ri 2

E=2 V

⎡ V ⎤ Mjerilo: KU = 1 ⎢ ⎥ ⎣ pod ⎦

⎡ A ⎤ KI = 1⎢ ⎥ ⎣ pod ⎦

I = 0.5 A U = 1 V

I

2 I = 0,5 ⋅ U 2 1

I =−

0,5

1 E ⋅U + Ri Ri U

1

2

Sl. 3.50

63

4. MAGNETIZAM Magnetske pojave su uočene sredinom 19. stoljeća. Oersted je ustanovio vezu između magnetizma i elektriciteta tako, što je eksperimentalno dokazao postojanje sile između vodiča protjecanog strujom i magnetske igle. U prirodi postoje permanentni ili stalni magneti. Prostor oko magneta se zove magnetsko polje u kojem se opažaju učinci magnetskog polja. Dva osnovna učinka su: a) pojava mehaničkih sila b) pojava elektromagnetske indukcije Kod permanentnih magneta magnetizam je posljedica elementarnih struja unutar strukture atoma. U nekoj točci prostora postoji magnetsko polje, ako na naboj u gibanju koji prolazi tom točkom djeluje sila. Magnetsko polje prikazujemo linijama koje su zatvorene same u sebe, a zovu se magnetske silnice. Zemlja predstavlja magnet s magnetskim polovima tako da je sjeverni pol na južnom geografskom i obrnuto. Permanentni magnet posjeduje sjeverni (N) pol i južni (S) pol. Magnetska i neutralna os su međusobno okomite.

Neutralna os N Polna os

S

Sl. 4.1 Silnice izlaze iz sjevernog pola i ulaze u južni magnetski pol. Između istoimenih polova postoje odbojne sile, a između raznoimenih privlačne sile. Ukupni broj silnica koje prolaze kroz površinu S se zove magnetski Φ [ Vs = Wb] (jedinica Vs ili Weber).

B dS

Magnetski tok kroz element površine dS .

α dS

Sl. 4.2

(4.1) Φ = ∫ B ⋅ dS = S

∫ B ⋅ dS ⋅ cos α = ∫ B

n

⋅ dS

Veličina B predstavlja gustoću magnetskog toka i poznata je pod imenom magnetska indukcija. U posebnom slučaju, kada je magnetsko polje homogeno i 64

Φ S Jedinica za magnetsku indukciju je 1T (Tesla). U praksi se susrećemo indukcijama reda veličine nekoliko Tesla (električni strojevi i uređaji), dok je npr. indukcija Zemljinog magnetskog polja reda 10-5 T.

okomito na S vrijedi da je: Φ= B·S tj. B =

4.0. Sila na naboj u gibanju Vektor magnetske indukcije kvantitativno se određuje iz sile na naboj u gibanju. Na električni naboj koji se giba brzinom v u polju magnetske indukcije B i električnom polju jakosti E djeluje tzv. Lorentzova sila: F =Q ⋅ E + Q ⋅ v × B [ N ] Q ⋅E – sila kojom električno polje djeluje na naboj Q. Q ⋅ (v × B) - magnetska sila na naboj Q koji je u gibanju. FM = Q ⋅ v × B [ N ] - definicijska jednadžba za vektor magnetske indukcije B

Ako se pozitivni naboj Q giba u homogenom polju magnetske indukcije B magnetska sila je po smjeru okomita i na vektor magnetske indukcije i na vektor brzine, a iznos sile je: F = Q⋅v⋅ B . z

Iz vektorskog zapisa za silu FM je definirana i

B

F

orijentacija sile (po pravilu desnog vijka). Sila FM je

x

okomita na ravninu koju tvore vektori B i v , čime je definiran smjer sile. Orijentacija sile FM je određena

Q

rotacijom ravnine koju čine vektori B i v u naznačenom smjeru prema slici. Smjer i orijentacija sile FM može se odrediti i pravilom lijeve ruke koje glasi: Ako dlan lijeve ruke postavimo tako da silnice ulaze okomito u njega, a ispruženi prsti pokazuju smjer gibanja pozitivnog naboja, tada ispruženi palac pokazuje smjer i orijentaciju magnetske sile na naboj.

v y

Sl. 4.3 z

Ako vektor v nije okomit na vektor B silu FM definira samo okomita komponenta v ⋅ sin ϑ kao što je prikazano na slici 4.4. F = Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin⋅ ϑ x

B

F

Budući da je magnetska sila jednaka vektorskom produktu Q ⋅ v i B to znači da je: FM = B ⋅ v ⋅ Q ⋅ sin ϑ , pa za sin ϑ =0 je FM = 0 , a za ϑ =90 FM = B ⋅ v ⋅ Q

ϑ v ⋅ sin ϑ

Fm

v y

B Sl. 4.4

Fm = 0

v B

65

Iznos sile je : FM = Q ⋅ v ⋅ B

Smjer i orijentacija sile se odrede po pravilu desnog vijka ili po pravilu lijeve ruke. Vidljivo je da je smjer FM od nas (u papir). Iznos sile je u tom slučaju maksimalan

4.1. Sila na vodič kojim teče struja

F

B

Magnetska sila koja djeluje na vodič dužine l koji se nalazi u magnetskom polju indukcije B se odredi prema izrazu: dF = I ⋅ dl × B [ N ]

I

Ako je vodič položen okomito na smjer magnetskog polja i protjecan stalnom strujom I na njega će djelovati sila: F = I ⋅ l ⋅ B . Ako vodič nije ravan i ako polje nije homogeno dF = I ⋅ dl × B tj. silu odredimo iz:

l

(

Sl. 4.5

)

F = I ∫ dl × B . l

Smjer sile se određuje poznatim pravilom lijeve ruke ili desnog vijka.

N

S

4.2. Sila između dva vodiča kojima teče struja

a

F

I1

I2

B2

F

B1

Sl. 4.6 66

U posebnom slučaju kada su dva vrlo duga ravna vodiča razmaknuta paralelno na udaljenosti a µ ⋅I protjecana strujama I1 i I2 magnetsko polje koje stvara vodič 1 na poziciji vodiča 2 je: B1 = 0 1 2 ⋅ a ⋅π (što ćemo kasnije pokazati). To magnetsko polje djeluje na vodič 2 silom: µ ⋅I I ⋅I (4.2) F = B1 ⋅ I 2 ⋅ l = 0 1 ⋅ I 2 ⋅ l = 2 ⋅10−7 ⋅ 1 2 ⋅ l 2 ⋅ a ⋅π a Vodič 1 djeluje na vodič 2 i vodič 2 na vodič 1 silom F12 = B1 ⋅ I 2 ⋅ l [N ] odnosno F21 = B2 ⋅ I 1 ⋅ l [N ] . Sila je odbojna ako su struje suprotnog smjera i privlačna ako su struje istog smjera. ⎡N ⎤ Ako je struja I 1 = I 2 = 1A i a = 1 m sila između vodiča iznosi F = 2 ⋅ 10 −7 ⎢ ⎥ - definicija 1A. ⎣m⎦ Magnetsko polje ravnog vodiča ne može djelovati silom na sam vodič. Međutim dijelovi zakrivljenog vodiča kroz koje teče struja djelovat će silom na ostale dijelove istog vodiča.

Magnetske sile na kružni zavoj kojim teče struja.

I Odbojna sila

Sl. 4.8

Sl. 4.7

a

B

1

2

F

S

α

o′

o

α

F

3

4

Sl. 4.9

4.3. Moment sile na strujnu petlju

Strujna petlja 1-2-3-4 može se okretati oko osi 0-0'. Zbog toga će par sila F = I ⋅ B ⋅ a koji djeluje na stranice petlje 1-2 i 3-4 ostvariti moment, pa će doći do zakretanja petlje. b b M = F ⋅ ⋅ sin α + F ⋅ ⋅ sin α 2 2 M = F ⋅ b ⋅ sin α M = I ⋅ B ⋅ a ⋅ b ⋅ sin α M = I ⋅ Φ m ⋅ sin α

Ravna strujna kontura predstavlja magnetski dipol, koji je zapiše kao: m = I ⋅ S , gdje je S vektor površine S . Moment sila magnetskog dipola se može izraziti kao: M = m × B 67

Zakretni moment može se izraziti i kao: (4.3) M = N ⋅ I ⋅ S × B (Nm) gdje je N broj zavoja petlje, a S vektor površine petlje S usmjeren kao normala na površinu petlje. Normala S je dobivena po pravilu desnog vijka ili po pravilu desne ruke. (Savijene prste desne ruke postavimo u smjer struje kroz petlju, a ispruženi palac pokazuje smjer i orijentaciju S ). Sile na stranice petlje 1-3 i 2-4 ne mogu proizvesti zakretni moment. Iz izraza za moment je vidljivo da će moment biti maksimalan za α=90O ( sin 900 = 1 ) tj. kada je ravnina strujne petlje položena u smjer magnetskog polja, a stabilan položaj petlje s momentom M=0 je pri kutu α=0O ( sin 00 = 0 ) tj. kad je ravnina petlje okomita na smjer magnetske indukcije B . Ako pomoću kolektora ostvarimo trajno isti smjer struje u vodiču pod istim polom doći će do rotacije petlje kako to prikazuje slijedeća slika.

S

B

4.4. Biot- Savartov zakon P

dB

r α

I

dl

Sl. 4.10

Magnetsko polje nastaje kao posljedica gibanja naboja, odnosno električne struje. Element struje I ⋅ dl stvara u nekoj točki prostora magnetsku indukciju dB . Vektor dB je položen u ravninu, koja je okomita na os elementa dl , a leži na tangenti postavljenoj u točki P na magnetsku silnicu. Orijentacija je opet određena pravilom desne ruke. (Ispruženi palac postavimo u smjer struje elementa dl , a savijeni prsti definiraju orijentaciju vektora dB . Magnetska indukcija elementa struje je određena izrazom:

(4.4) dBA = k ⋅ T

ri

α

α1 dli

I li

l Sl. 4.11

a

90 0

k=

µ0 = 10−7 4 ⋅π

I ⋅ dl ⋅ sin α , gdje je r2

Veličina µ0 se zove magnetska permeabilnost vakuuma , a izraz (4.4) predstavlja tzv. Biot-Savartov zakon za magnetsko polje strujnog elementa.

4.5. Magnetska indukcija ravnog vodiča konačne dužine Magnetska indukcija ravnog vodiča konačne dužine u točki T je jednaka sumi 68

magnetskih indukcija elemenata struje Idl duž vodiča, tj.: B A = ∫ dB l

α1 i α2 su kutovi pod kojima se '' vidi '' točka T na početku i kraju vodiča s obzirom na smjer struje. k ⋅ I ⋅ dl i ⋅ sin α dB A = 2 ri

Integraciju je najlakše provesti po kutu, pa je zato potrebno uvesti slijedeće zamjene: A

a

α1

BA l − li = a ⋅ ctgα tj. dli =

a a ⋅ dα i ri = 2 sin α sin α

α2

Naime, varijable dli i ri smo izrazili pomoću konstantne veličine a i varijable α. Slijedi dalje da je: k ⋅ I ⋅ a ⋅ dα ⋅ sin α ⋅ sin 2 α k ⋅ I l ′′ l′ dB = = ⋅ sin α ⋅ dα a a 2 ⋅ sin 2 α Granice integracije dobijemo iz: l − li = a ⋅ ctgα , ako za Sl. 4.12 li uvrstimo 0, odnosno l , pa slijedi: Donja granica: α = α 1 ; Gornja granica: α = α 2 = 90 0 900

k⋅I k⋅I B= ⋅ ∫ sin α = ⋅ ( cos α1 − cos 900 ) a α1 a

Vrijedi i općenito za točku koja nije na kraju vodiča:

BA =

k⋅I ⋅ (cos α1 − cos α 2 ) ili (4.5) a

B=

µ0 ⋅ I ⋅ (cos α1 − cos α 2 ) ; 4 ⋅ a ⋅π

Ako spojnice početka i kraja vodiča orijentiramo prema točki A, onda su kutovi α 1 i α 2 oni kutovi koje zatvaraju spojnice sa smjerom struje. l' l' ' Prema slici: cos α 1 = , cos α 2 = − l '2 + a 2 l ' '2 +a 2 µ ⋅I µ I Ako je vodič beskonačno dugi α 1 postane 0, a α 2 = 1800 , pa je B = 0 ⋅ (1 − (− 1)) = 0 4 ⋅ a ⋅π 2 ⋅ aπ

Često puta je u literaturi okomita udaljenost od vodiča do točke u kojoj računamo magnetsku indukciju označavamo s r pa je: µ0 I BA = - izraz za magnetsku indukciju u točki A koja je okomito udaljena od vodiča za r. 2 ⋅ r ⋅π

69

Primjer: Treba odrediti magnetsku indukciju u točki T za primjer prema slici Orijentacija magnetskih indukcija u točki T rezultiranim pojedinim dijelovima vodiča.

1

α1 = 0

β1

α2

B1T

T

r

B2T

2

B3T γ1 β2

γ 2 = 180

3

Sl. 4.13 Kutovi za izračunavanje magnetske indukcije u točki T, ako vodič "dolazi" iz " ∞ " i beskonačnost. Za B1T kutovi su α 1 i α 2 (α 1 = 0 ) . Za B2T kutovi su β 1 i β 2 . Za B3T kutovi su γ 1 i γ 2 (γ 2 = 180 0 )

"odlazi“ u

Silnice magnetskog polja ravnog vodiča su koncentrične kružnice sa središtem na osi vodiča

A r

BA

Sl. 4.14 4.6. Magnetska indukcija unutar ravnog vodiča Kroz presjek vodiča koji je određen polumjerom r teče samo dio ukupne struje I koja teče čitavim presjekom koji je određen polumjerom R

i=I⋅

i

r

r 2 ⋅π r2 2 = I ⋅ R2 ⋅π R2

Magnetska indukcija na udaljenosti r od simetrale vodiča iznosi:

R Br =

µ0 ⋅ i µ0 µ0 ⋅ I r2 ⋅ r tj. = ⋅I ⋅ 2 = 2 ⋅ r ⋅π 2 ⋅ r ⋅π R 2 ⋅ R2 ⋅π

linearno raste do površine vodiča.

Sl. 4.15

70

U središtu vodiča B = 0 , a na površini vodiča µ ⋅I B= 0 . Za r > R magnetska indukcija opada sa r. 2 ⋅ R ⋅π Maksimalna magnetska indukcija se pojavi na površini vodiča.

B Bmax

R

r

Sl. 4.16

4.7. Magnetska indukcija kružnog zavoja a) Magnetska indukcija na osi zavoja u ravnini zavoja

Magnetsku indukciju za ovaj slučaj odredimo iz poznatog Biot- Savartovog zakona. r

B

B

dB =

Sl. 4.17 K ⋅I K ⋅I 2 ⋅ K ⋅ I ⋅π ⋅ ∫ dl = 2 ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π = 2 r r r µ0 2 ⋅ I ⋅ π µ0 ⋅ I (4.6) B = ⋅ = 4 ⋅π 2⋅r r

K ⋅ I ⋅ dl ⋅ sin α r2

Za sve elemente struje I ⋅ dl je r konstantan. Isto tako kut α je konstantan i iznosi 900 tj. sin α = 1. Tako magnetsku indukciju B odredimo prema izrazu:

B=

b) Magnetska indukcija na osi zavoja izvan ravnine zavoja dl

r

dBT dBT ⋅ sin β

β

R x

T

Sl. 4.18

U ovom slučaju se u točki na osi zavoja koja je izvan ravnine zavoja pojavljuje magnetska indukcija čiji su smjer i orijentacija prikazani na slici. Vektor dl i vektor r su međusobno okomiti tj. kut α u izrazu K ⋅ I ⋅ dl ⋅ sin α dB = je 900 pa je 2 r sin α = 1. Radijalne

komponente

dBy

se

međusobno

poništavaju a aksijalne dBx zbrajaju. Aksijalna komponenta ( s obzirom na os x ) iznosi: 71

k ⋅ I ⋅ dl R sin β = ⋅ sin β 2 r r k ⋅ I ⋅ sin β k ⋅ I ⋅ sin β ⋅ ∫ dl = ⋅ 2 ⋅ R ⋅π Bx = 2 r r2 µ ⋅ I ⋅ R2 µ ⋅ I k⋅I ⋅R R2 ⋅ 2 ⋅ R ⋅π = 0 3 = 0 ⋅ Bx = 2 3 2⋅r 2 r ⋅r (R2 + x2 ) 2

dBx = dB ⋅ sin β =

4.8. Helmholtzovi svici

R

U mjernoj tehnici zanimljivi su tzv. Helmholtzovi svici koji na osi unutar svitka stvaraju približno istu magnetsku indukciju. µ0 ⋅ I ⋅ R 2 ⋅ N 8 ⋅ µ0 ⋅ I ⋅ N µ ⋅I ⋅N Brez .sredina = 2 ⋅ = = 0, 715 ⋅ 0 3 3 R 2 ⎛ R2 52 ⋅ R 2⎞ 2⋅⎜ +R ⎟ ⎝ 4 ⎠ 2 1 2 µ0 ⋅ I ⋅ R ⋅ N 8 ⋅ µ0 ⋅ I ⋅ N µ0 ⋅ I ⋅ N B1kraju = = = 3 3 2 ⋅ 8 ⋅R 2 2 2 2 2 ⋅ (R + R ) 5 ⋅R B2 kraju =

µ0 ⋅ I ⋅ N

2⋅ R I ⋅µ⋅N µ ⋅I ⋅N ⎛ 1 1⎞ Brez .kr = 0 ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟ = 0,676 ⋅ 0 R R ⎝ 2⋅ 8 2⎠ Brez .sr . 0, 715 (4.7) = = 1, 057 Brez .kr . 0, 676

R

B1

B re z B2 x

Vidljivo je da su magnetske indukcije na sredini i na kraju Helmholtzovih svitaka gotovo iste, što znači da je magnetsko polje unutar svitka praktički homogeno.

S l. 4 .1 9

4.9. Magnetsko polje zavojnice Ako kao B =

izraz

µ0 ⋅ I

za

magnetsku

indukciju

⋅ sin 3 α uzimajući u obzir da je

2⋅ R elementa struje dI iznosi:

I⋅N ⋅ dx l

α α2

α1 dB

T

x b dx l

Sl. 4.20

zavoja

B=

2⋅ r3

zapišemo

R = sin α ( prema slici 4.20 ) onda magnetska indukcija r dBT =

R

dI =

kružnog

µ0 ⋅ I ⋅ R 2

µ 0 ⋅ dI 2⋅ R

⋅ sin 3 α

Kutovi α prema slici su definirani s obzirom na smjer i orijentaciju magnetske indukcije dB . Budući da će se integriranje provesti po kutu potrebne su sljedeće zamjene: x − b = R ⋅ ctg (180 − α ) = − R ⋅ ctgα 72

R ⋅ dα ; sin 2 α µ ⋅ dI µ ⋅ I ⋅ N ⋅ dx dBT = 0 ⋅ sin 3 α = 0 ⋅ sin 3 α 2⋅ R 2⋅ R ⋅l µ ⋅ I ⋅ N ⋅ R ⋅ dα µ ⋅I ⋅N dBT = 0 ⋅ sin 3 α = 0 ⋅ sin α ⋅ dα , gdje je N broj zavoja zavojnice. 2 2 ⋅ R ⋅ l ⋅ sin α 2⋅l dx =

BT = ∫ dBT

Granice integracije se dobivaju iz: x − b = R ⋅ ctg (180 − α ) Donja granica se dobije iz x − b = R ⋅ ctg (180 − α ) , ako za x uvrstimo x = 0 , slijedi: b = R ⋅ ctgα , b α = arcctg = α 1 R Gornja granica se dobije iz x − b = R ⋅ ctg (180 − α ) , ako za x uvrstimo x = l , pa slijedi: l −b l − b = R ⋅ ctg (180 − α ) ; 180 − α = arcctg = α2 R α2 µ ⋅I ⋅N µ ⋅I ⋅N (4.8) BT = ∫ 0 ⋅ sin α ⋅ dα = 0 ⋅ ( cos α1 − cos α 2 ) 2⋅l 2⋅l α1 Ako je zavojnica beskonačno duga ( približno vrijedi za (l zavojnice iznosi: µ ⋅I ⋅N (4.9) BT sredina = 0 jer je cos α 1 − cos α 2 = 2 l

R ) magnetska indukcija na sredini

Magnetska indukcija na krajevima takve zavojnice iznosi: BT kraj = BT sredina = 2 ⋅ BT kraju .

µ0 ⋅ I 2⋅l

jer je cos α 1 − cos α 2 = 1 tj.

Naravno ovo vrijedi za relativno duge zavojnice u odnosu na promjer.

4.1.0. Torusna zavojnica Torusna zavojnica prema svojoj konstrukciji spada u zavojnice gdje je l>>d pa se za izračunavanje magnetske indukcije s dovoljnom točnošću može I ⋅N koristiti izraz: B ≅ µ 0 [T ] . Naravno lSr = 2 ⋅ rSr ⋅ π gdje je l r +r rSr = 1 2 2

4.1.1. Amperov zakon Vrijednost linijskog integrala vektora magnetske indukcije po zatvorenoj krivulji l jednaka je produktu permabilnosti µ 0 i struje I koja prolazi kroz površinu omeđenu krivuljom: (4.10) ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl ⋅ cos α = ∫ BT ⋅ dl =µ0 ⋅ I l

Sl. 4.21

l

l

BT je tangencijalna komponenta indukcije B , tj. komponenta u smjeru elementa dl . α je kut između elemenata krivulje i vektora magnetske indukcije. U praktičnim računima za krivulju l uzimamo krivulju po kojoj se zatvara silnica dotičnog

I1

I2

I3

l

magnetskog polja. Sl. 4.22

73

A BA

r

Primjena Amperovog zakona za izračunavanje magnetske indukcije ravnog beskonačno dugog vodiča:

∫ B ⋅ dl

=B ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π = µ0 ⋅ I tj. B =

l

Sl. 4.23

µ0 ⋅ I 2 ⋅ r ⋅π

jer je magnetska indukcija na svakom

dijelu silnice konstantnog iznosa i kolinearna s elementom krivulje.

4.1.2. Primjeri izračunavanja magnetskog toka Ako se neka kontura S nalazi u homogenom magnetskom polju magnetski tok Φ kroz petlju je definiran izrazom: Φ = Bn ⋅ S gdje je Bn normalna komponenta magnetske indukcije B. Ako je B okomita na S onda je Φ = B ⋅ S [Wb]. Ako polje nije homogeno onda magnetski tok zapišemo za element površine dΦ = B ⋅ dS ⋅ cos α ( kut α je kut između vektora B i dS ) ili ako je B okomito na S onda je: d Φ = B ⋅ dS . Karakteristični primjer nehomogenog polja je polje oko ravnog jako dugog vodiča . Po pravilu desne ruke magnetska indukcija na slici 4.24. ima orijentaciju prema nama i okomita je na površinu S = b ⋅ c . Diferencijalni iznos magnetskog toka dΦ kroz površinu dS = c ⋅ dx iznosi: µ ⋅I a b ⋅ c ⋅ dx d Φ = B ⋅ dS = B ⋅ c ⋅ dx = 0 2 ⋅π ⋅ x Ukupni tok

S

B

I

a +b

(4.11) Φ =

∫ a

µ0 ⋅ I µ ⋅ I ⋅c a + b ⋅ c ⋅ dx = 0 ⋅ ln 2 ⋅π ⋅ x 2 ⋅π a

x dx Sl. 4.24

Primjer zanimljiv za praksu je izračunavanje vanjskog toka između dva vodiča (Sl. 4.25) protjecana strujama istog iznosa i suprotnih smjerova ( vodovi energetske mreže ). U ovom primjeru je razmak vodova označen s d, a površina kroz koju treba izračunati Φ je l ⋅ (d − 2 ⋅ r ) µ ⋅I µ0 ⋅ I + B = B1 + B2 = 0 2 ⋅ π ⋅ x 2 ⋅ π ⋅ (d − x) Magnetski tok između vodova iznosi: µ0 ⋅ I ⋅ l d −r 1 µ ⋅ I ⋅l 1 d −r Φ= ⋅ ∫ ( + ⋅ ln )dx = 0 x d−x r 2 ⋅π π r

1

dS

B

2r

2

I

l

I

dx x

d

Sl. 4.25

74

4.1.3. Rad magnetskog polja Magnetsko polje posjeduje energiju, pa je sposobno obavljati rad.

1′

1′

2

1

B

l

Fm

Fm

3

4

4′

Sl.1

dx

B

l

n0

4′

2

1

n0 3

4

dx

Sl.2

Sl. 4.26 Na slici 1 vodič se pomaknuo iz položaja 1-4 u položaj 1′ − 4′ pod utjecajem sile magnetskog polja, što znači da je polje obavilo rad, kojeg po dogovoru tretiramo kao pozitivni.

dA = F ⋅ dx = B ⋅ I ⋅ l ⋅ dx = I ⋅ d Φ Φ2

(4.11) A = I ⋅ ∫ dΦ = I ⋅ (Φ 2 − Φ1 ) Φ1

Početni tok Φ1 je tok koji prolazi kroz početnu površinu petlje 1-2-3-4. Konačni tok Φ 2 je tok koji prolazi kroz površinu 1′ -2-3- 4′ . Tokovi su pozitivni jer su orijentacije vektora magnetske indukcije B i jediničnog vektora n0 iste. Orijentacija jediničnog vektora n0 je određena poznatim pravilom desne ruke. Tok Φ 2 je veći od toka Φ1 , pa je A>0, što je u skladu s dogovorom, jer je rad izvršilo magnetsko polje. Na slici 2 vodič se našao na poziciji 1′ − 4′ pod utjecajem vanjske sile, jer magnetska sila djeluje suprotno od pomaka. S obzirom na smjer struje jedinični vektor je suprotno orijentiran od vektora magnetske indukcije B , pa su tokovi Φ1 i Φ 2 negativni. A = I ⋅ (Φ 2 − Φ1 ) = I ⋅ (Φ kon. − Φ poč . ) = I ⋅ (−Φ kon. − (−Φ poč . ) Sada je rad definiran kao: A = I ⋅ (Φ poč . − Φ kon. ). Budući da je Φ poč . < Φ kon. rad A je manji od nule tj. negativan , što je u skladu s dogovorom jer je rad izvršen djelovanjem vanjskih sila.

75

4.1.4. Zakon o konzervaciji magnetskog polja Silnice magnetskog polja su zatvorene krivulje. Zbog toga sve silnice koje ulaze u neku zatvorenu površinu S unutar magnetskog polja moraju i iz nje izaći. Tok homogenog magnetskog polja indukcije B kroz ravnu površinu S je definiran kao: Φ = B ⋅ S = B ⋅ S ⋅ cos α . Maksimalan tok kroz površinu S će biti za α =0.

S = n0 ⋅ S

B

n0

B

α

C S

Orijentacija normale n0 je određena pravilom desnog vijka s obzirom na smjer obilaska konture C. Ako bi kut α bio veći od 900 silnice ne bi izlazile, već bi ulazile u površinu S, pa bi takav tok trebali tretirati s suprotnim predznakom. Prema tome ukupan tok koji ulazi u zatvorenu površinu mora biti jednak toku koji iz te površine izlazi što se zapiše :

Sl. 4.27 (4.12)

∫ B ⋅ dS = ∫ B ⋅ dS ⋅ cos α = ∫ B

n

S

S

⋅ dS =0 tj.ukupni magnetski tok kroz zatvorenu površinu S

S

jednak je 0.

4.1.5. Ulančani magnetski tok Ψ Ako silnice magnetskog polja prolaze unutar većeg broja zavoja onda za njih kažemo da su ulančane, a ukupni magnetski tok se zove ulančani magnetski tok i označava s Ψ (psi). To znači da magnetski tok označen s Φ je tok kroz jedan zavoj. Ako kroz svaki zavoj prolazi isti broj silnica ψ = N ⋅ Φ , gdje je N broj zavoja.

4.1.6. Ulančani tok torusnog svitka Izračunavanje magnetskog toka se može izvesti na dva načina: a) r2 ≈ r1 (r2 je približno r1) b) r2 >> r1

r2

a) Φ = B ⋅ S =

r1

r

dr

Sl. 4.28

µ ⋅N ⋅I dΦ = 0 ⋅ a ⋅ dr 2 ⋅π ⋅ r

µ0 ⋅ N ⋅ I

⋅ S , jer ovdje smatramo da je l sr magnetska indukcija u torusnoj jezgri S = (r2 − r1 ) ⋅ a približno konstantna. Srednja dužina silnice l Sr = π ⋅ (r1 + r2 ) . Ulančani tok torusnog svitka je: µ ⋅I ⋅N2 (4.13) Ψ = N ⋅ Φ = 0 ⋅S lsr

Magnetski tok sada možemo zapisati za b) r2 >> r1 elementarnu površinu dS = a ⋅ dr tj. Φ=

r2

∫ r1

µ0 ⋅ N ⋅ I µ ⋅N ⋅I r ⋅ a ⋅ dr = 0 ⋅ a ⋅ ln 2 r1 2 ⋅π ⋅ r 2 ⋅π 76

pa je ulančani tok (4.14) Ψ = N ⋅ Φ =

µ0 ⋅ N 2 ⋅ I ⋅ a r ⋅ ln 2 2 ⋅π r1

Presjek torusa ima pravokutni oblik. U većini slučajeva može se ulančani tok računati po izrazu µ0 ⋅ I ⋅ N 2 Ψ= ⋅ S jer i za r2 = 2r1 greška je svega 4%. l sr

4.1.7. Ulančani tok (unutarnji tok) okruglog ravnog dugog vodiča

r

Magnetska indukcija unutar vodiča se mijenja prema: µ ⋅I B = 0 2 ⋅r 2⋅ R π Magnetski tok elementa površine ds = l ⋅ dr , gdje je l dužina vodiča iznosi: dΦ = B ⋅ l ⋅ dr r 2 ⋅π jer površinom koja je Ulančani tok dΨ iznosi dΨ= dΦ ⋅ 2 R ⋅π r 2 ⋅π . određena s r teče samo dio ukupne struje I r = I ⋅ 2 R ⋅π

dr

R Sl. 4.29 dΨ=

µ0 ⋅ I ⋅ r r 2 ⋅ π µ0 ⋅ I ⋅ r 3 ⋅ ⋅ l ⋅ dr = ⋅ l ⋅ dr 2 ⋅ R2 ⋅π R2 ⋅π 2 ⋅π ⋅ R4

µ0 ⋅ I ⋅ r 3 µ0 ⋅ I ⋅ l R 3 ⋅ l ⋅ dr = ⋅ r ⋅ dr Ψ= ∫ d Ψ = ∫ 2 ⋅π ⋅ R4 2 ⋅ π ⋅ R 4 ∫0 0 S µ ⋅ I ⋅l (4.15) Ψ = 0 To je tzv. unutarnji tok vodiča. 8 ⋅π R

4.1.8. Magnetske značajke materije Dosad smo magnetska razmatranja provodili u vakuumu (zraku). Različite materije se različito ponašaju u magnetskom polju. Materije koje magnetsko polje slabo privlači su paramagnetici. (kisik, platina, aluminij) Dijamagnetici su materije koje magnetsko polje odbija. Sile su vrlo male pa je potrebno vrlo jako magnetsko polje da bi se to djelovanje opazilo. Posebnu vrlo značajnu skupinu čine feromagnetici na koje magnetsko polje djeluje izrazitim silama. To su željezo, nikal, kobalt, neke njihove slitine, prirodna ruda magnetit i neke slitine čije komponente same po sebi nisu feromagnetici. Kružne elektronske struje unutar presjeka homogene materije svuda se poništavaju osim na rubovima presjeka, tako da preostaje ekvivalentna površinska struja koncentrirana u tzv. Rowlandov prsten. To je tzv. amperska struja ili struja magnetizacije. Ako je B0 magnetska indukcija vanjskog magnetskog polja, koju stvaraju slobodne struje Is, a BM magnetska indukcija zbog površinskih struja u materiji IM ukupna magnetska indukcija u materiji iznosi: B = B0 + BM . Prema Amperovom zakonu vrijedi:

∫ B ⋅ dl

=µ 0 ⋅ I S + µ 0 ⋅ I M

Magnetska polarizacija u materiji je posljedica elektronskih struja, pa se može zapisati: ∫ BM ⋅ dl = µ 0 ⋅ I M , a ∫ B − BM ⋅ dl = µ 0 ⋅ I S ; dijeljenjem s µ0 dobivamo:

(

)

77

⎛ B

BM ⎞ ⎟ ⋅ dl = I S µ 0 µ 0 ⎟⎠ B Omjerom 0 je definirana nova veličina koja se zove jakost magnetskog polja i označava sa

∫ ⎜⎜⎝

−

µ0

H [ A ]. m (4.16)

H=

(

B0

µ0

B = µ0 ⋅ H + M

=

)

B − BM

µ0

ili

=

B

µ0

− M , gdje je M vektor magnetizacije, pa slijedi :

B = µ0 ⋅ H + µ0 ⋅ M .

To znači da se magnetska indukcija materije sastoji od dijela µ 0 ⋅ H koji dolazi od vanjskih magnetizirajućih struja i od dijela µ 0 ⋅ M koji dolazi od unutarnjih elektronskih struja. Magnetizaciju

M možemo zapisati kao: M = χ ⋅ H gdje je χ (Hi)- susceptibilnost tvari. Magnetizacija M je ustvari unutarnja jakost magnetskog polja koju su formirali magnetski momenti orijentiranih elementarnih struja. Ukupna magnetska indukcija je: B = µ 0 ⋅ (H + χ ⋅ H ) = µ 0 ⋅ H (1 + χ ). Izraz 1 + χ se definira kao µr- relativna magnetska permeabilnost tj. µ1 = 1 + χ . Konačno

magnetsku indukciju možemo zapisati:

(4.18) B = µ0 ⋅ µr = µ ⋅ H

78

4.1.9. Feromagnetizam Prema Weissovoj teoriji domena feromagnetici se sastoje od mnoštva sitnih područja magnetizacije zvanim domene s 1012 ÷ 1015 atoma u kojima su magnetski momenti paralelni i djeluju rezultirajuće u jednom smjeru. Međutim orijentacije rezultirajućih momenata domena su slučajne i u ukupnom djelovanju se poništavaju. Ako se feromagnetski materijal postavi u vanjsko magnetsko polje magnetski momenti domena se postavljaju u smjer polja. Zasićenje se postiže kada se momenti svih domena postave u jednom smjeru. Magnetska indukcija B nije u linearnoj ovisnosti s jakošću magnetskog polja tj. permeabilnost nije konstantna veličina, već je ovisna o jakosti

µ

B[T ]

B1

µm

µ din = tgα poč

M

µ=

B H

µ1

µp

α ⎡ A⎤ H⎢ ⎥ ⎣m⎦

α poč α m

H

H1

Sl. 4.31

Sl. 4.30 magnetskog polja.. . B = µ ⋅ H

Početna permeabilnost je definirana tangentom na krivulju u ishodištu, odnosno kutom αp i to je tzv. dB diferencijalna permeabilnost µ d = . dH Maksimalna permeabilnost je definirana +B (T) tangentom položenom na krivulju iz ishodišta. Krivulja koja se dobije kod razmagnetiziranog materijala tako da se postupno povećava jakost magnetskog polja H od 0 do neke vrijednosti Hm naziva +Br se krivulja prvog magnetiziranja. Ako se jakost magnetskog polja H smanjuje od Hmax do 0 magnetska indukcija se sporije --Hc H max mijenja i kod H=0 iznosi Br. Zove se +Hc remanentna (zaostala) indukcija.

+H (A/m)

-H

-Br -B

Sl. 4.32

4.2.0. Petlja histereze Ponovnim povećanjem struje ali suprotnog smjera povećava se jakost magnetskog polja koja također ima suprotan smjer, magnetska indukcija se smanjuje, i padne na vrijednost 0 kod jakosti magnetskog polja Hc koje se zove

koercitivno polje. (još je i naziv koercitivna sila). Daljnjim porastom polja H indukcija promjeni predznak i raste do vrijednosti –Bmax. Smanjenjem struje smanjuje se i polje H, a magnetska indukcija ponovno zaostaje, tako da kod H=0 vrijednost magnetske indukcije iznosi –Br. Daljnjim povećavanjem polja indukcija poprima vrijednost 0 pa zatim neku pozitivnu vrijednost koja je nešto manja od one kod krivulje

79

prvog magnetiziranja. Ponavljanjem postupka više puta dobije se zatvorena simetrična petlja poznata pod nazivom petlja histereze. Krivulja koja povezuje vrhove petlji histereza za razne vrijednosti Hmax se zove normalna krivulja magnetziranja koja se neznatno razlikuje od krivulje prvog magnetiziranja. Za praksu je mjerodavna normalna krivulja magnetiziranja kao i Hc te Br dobiveni kod potpunog zasićenja. Oblik petlje histereze nam štošta kaže o određenom magnetskom materijalu. Tako na primjer produkt (B ⋅ H ) ima dimenziju prostorne gustoće magnetske energije Vs A Ws J ⋅ = = . m 2 m m3 m3 Zato je površina histerezne petlje proporcionalna potrošenoj energiji za jednokratno premagnetiziranje 1m3 feromagnetskog materijala. Materijali sa uskom petljom histereze se lako magnetiziraju, imaju male gubitke premagnetiziranja koji se zovu ''gubici zbog histereze''. To su tzv. ''meki'' magnetski materijali. a) meko željezo (za elektromagnete) b) kaljeno željezo (za trajne magnete) (tvrdi magnetski materijali) Magnetska svojstva feromagnetika se mogu poništiti ako ga zagrijemo iznad tzv. Curie-jeve temperature (za željezo to je 770˚C). Isto tako remanentni magnetizam se može smanjiti mehaničkim udarcima.

4.2.1. Magnetska svojstva kovanog željeza

Uvjeti na granici dvaju magnetskih materijala Na granici dva magnetska materijala dolazi do loma silnica polja analogno prilikama na granici dva dielektrika u električnom polju . Prilike na granici dva magnetska materijala mogu se ustanoviti primjenom zakona o konzervaciji magnetskog toka i Amperovog zakona (zakon protjecanja) za magnetski krug. 80

Sav tok Φ koji ulszi u plohu S mora iz nje izlaziti, pa je Bn1 ⋅ S = Bn 2 ⋅ S ; Bn1 = Bn 2 ;

∫ H l ⋅ dl = Iu

Zakon protjecanja:

H t1 ⋅ l − H t 2 ⋅ l = 0 , jer odabrana kontura a,b,c,d ne obuhvaća nikakvu struju . Stranice konture bc i da → 0

µ1

B1

α1

a d B2n

B1n b S c B2 α2

H1

α1 Ht 2 H t1

µ2

α2

H2

Slijedi da je: H t1 = H t 2 . Kako je Bn1 = B1 ⋅ cos α ; B2 n = B2 ⋅ cos α 2 ; H t1 = H1 ⋅ sin α1; H t 2 = H 2 ⋅ sin α 2 proizlazi da je: tgα1 µ1 = ukoliko vrijedi da je B1 = µ1 ⋅ H1 i B2 = µ2 ⋅ H 2 (linearni izotropni magnetski materijali). tgα 2 µ2 Zbog µrFe µrzr silnice iz željeza izlaze u zračni raspor praktički okomito na plohu Fe-zrak.

4.2.2. Magnetski krug Magnetski krug predstavlja prostor u kojemu se zatvaraju silnice magnetskog polja. Osnovne razlike između magnetskih i električnih krugova su: a)- omjer vodljivosti vodiča i izolatora je 1020:1 -omjer permeabilnosti najboljih magnetskih materijala prema najslabijima je: 105:1 b) magnetska permeabilnost nije konstantna veličina Magnetski krug je najlakše analizirati ako je polje homogeno što je slučaj kod tankog torusnog svitka. Magnetski tok torusnog svitka može se zapisati kao:

Φ = B⋅S

µ⋅I ⋅N l sr

·S . Omjer

l I ⋅N = sr = RM µ ⋅S Φ

Dobivena relacija predstavlja Ohmov zakon za magnetski krug gdje je Rm- magnetski otpor s A ] , a I ⋅ N = Θ predstavlja analognu veličinu iz strujnog kruga, tj.: jedinicom [ Vs elektromotornoj sili pa se zove magnetomotorna sila Θ = I ⋅ N [A]. Još se koriste nazivi ''amperzavoji'', ''magnetska uzbuda''. 81

Magnetski otpor torusa može se odrediti po približnom izrazu Rm1 =

π

r2 + r1 µ 0 ⋅ a r2 − r1 ⋅

smatrajući da je polje homogeno. Uzimajući u obzir nehomogenost (4.19) Rm2 =

π

2 µ0 ⋅ a ln r2 r1

⋅

Pri rješavanju magnetskih krugova problem može biti postavljen na dva načina: a) Za zadani magnetski tok Φ (ili magnetsku indukciju B) treba odrediti potrebnu magnetomotornu silu Θ tj. potrebne amperzavoje koji će u zadanom magnetskom krugu održavati željeni magnetski tok. b) Za zadanu magnetomotornu silu u magnetskom krugu treba odrediti (izračunati) koliki će biti magnetski tok u danoj jezgri. Najjednostavniji mogući magnetski krug je ako imamo l2 jezgru od jedne vrste magnetskog materijala, bez 2 zračnog raspora, te ako je na čitavoj dužini po kojoj se zatvaraju magnetske silnice isti presjek S, što znači da je ista magnetska indukcija na svim presjecima. Pri l3 tome još pretpostavljamo da se sav tok zatvara kroz 2 jezgru tj. da nema rasipanja magnetskog toka kroz zrak. U tom slučaju pomoću zadanog magnetskog toka l1 l4 Φ izračunamo magnetsku indukciju Φ (gustoću magnetskog toka) prema: B = , pa iz S l3 krivulje magnetiziranja odredimo pripadnu jakost 2 magnetskog polja H. Potrebne amperzavoje odredimo l2 iz relacije (4.20) Θ = I ⋅ N = H ⋅ l . 2 I obrnuti postupak ne stvara ovdje probleme; naime iz Sl. 4.34 poznate uzbude I ⋅ N izračunamo I⋅N H= , pa iz krivulje magnetiziranja odredimo pripadnu magnetsku indukciju B i konačno l traženi tok Φ = B ⋅ S . Postupak je složeniji ako je i magnetski krug složen što znači da se u krugu pojavljuju različiti magnetski materijali s različitim presjecima kao i zračni raspori. Pritom jezgra može biti jednostavna ili razgranata. Primjer prema slici 4.34 se sastoji od 3 različita magnetska materijala: l2 , µ2 , S2 l1 , µ 1 , S 1 l 3 , µ 3 , S 3 i zračnog raspora s l 4 , µ 4 , S 4 gdje je S 4 = S 3 . Ovakav zadatak riješimo primjenom zakona protjecanja (Amperov zakon) na magnetski krug. (4.21) I ⋅ N = ∫ H l ⋅ dl → Amperov zakon protjecanja primijenjen na magnetski krug. Za naš primjer poprima oblik: I ⋅ N = H 1 ⋅ l1 + H 2 ⋅ l 2 + H 3 ⋅ l 3 + H 4 ⋅ l 4 . Ako na magnetski krug primijenimo analogiju s električnim strujnim krugom slijedi:

I⋅N gdje je Rm = R m1 + Rm2 + Rm3 + R m4 tj. Rm Φ ⋅ Rm1 + Φ ⋅ Rm2 + Φ ⋅ Rm3 + Φ ⋅ Rm4 = I ⋅ N ili Φ=

Φ l1 Φ l2 Φ l3 Φ l4 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = I⋅N S 1 µ1 S 2 µ 2 S 3 µ 3 S 4 µ 4

82

Budući da omjer

slijedi:

Izraz

B

µ

B1

µ1

⋅ l1 +

Φ predstavlja magnetsku indukciju na dotičnom dijelu magnetskog kruga S

B2

µ2

⋅ l2 +

B3

µ3

⋅ l3 +

B4

µ4

⋅ l4 = I ⋅ N .

predstavlja jakost magnetskog polja na pojedinom dijelu magnetskog kruga pa slijedi:

H1 ⋅ l1 + H 2 ⋅ l2 + H 3 ⋅ l3 + H 4 ⋅ l4 = I ⋅ N što je identično s izrazom kojeg smo zapisali primjenjujući Amperov zakon protjecanja. Za rješenje ovakvog problema moramo posjedovati krivulje magnetiziranja za prisutne magnetske 1 materijale, dok je veza B i H za zrak poznata tj. B = µ0 ⋅ H = 4π ⋅10−7 T . 2 B2 Da rezimiramo: Ako je zadan magnetski tok Φ postupak je slijedeći: B1 a) Izračunavamo magnetske indukcije B za svaki dio magnetskog kruga prema: Φ Φ B1 = , B2 = , itd. H1 H2 S S 1 2 H ( A / m) b) Za izračunate magnetske indukcije iz pripadnih krivulja Sl. 4.35 magnetiziranja očitamo pripadne jakosti magnetskih polja tj.: iz B1 → H1; B2 → H 2 itd. B Bzr i konačno: Jakost magnetskog polja u zračnom rasporu izračunamo prema: H zr = zr = µ0 4π ⋅ 10− 7 I ⋅ N = H1 ⋅ l1 + H 2 ⋅ l2 + ... + H n ⋅ ln + H zr ⋅ l zr

B (T )

Krivulje magnetiziranja moraju dati proizvođači magnetskih materijala kao popratnu dokumentaciju. Inače se mogu naći u priručnicima ili specijaliziranoj literaturi. c) Ako je zadana magnetomotorna sila, a treba izračunati pripadni magnetski tok ne može se I⋅N gdje je Rm ukupni magnetski otpor jer se u jednadžbi jednostavno primijeniti izraz Φ = Rm pojavljuju dvije nepoznanice. Naime Rm = f (Φ ) tj. magnetski otpor feromagnetika nije konstantna veličina zbog µ = f (H ) . Zato se rješavanje ovakvog problema svodi na slijedeći postupak. Proizvoljno odabiremo različite vrijednosti za Φ , pa izračunamo potrebne amperzavoje. Tako dobijemo podatke pomoću kojih možemo nacrtati krivulju Φ = f (I ⋅ N ) , a iz te krivulje očitamo stvarni magnetski tok za zadane amperzavoje. Ako magnetski krug ima zračni raspor onda možemo izračunati orijentacijski magnetski tok lž I⋅N . prema: Φ / = Φ Rmzr Dobivena vrijednost je veća od stvarne pa ćemo za slijedeće I vrijednosti uzimati manje iznose magnetskog toka pomoću kojih konstruiramo krivulju Φ = f (I ⋅ H ) . I ⋅N l zr Jednostavni magnetski krug koji je načinjen od magnetskog materijala s istim presjekom i koji posjeduje zračni raspor S može se riješiti grafički slično kao serijski spoj linearnog i 83

Sl. 4.36

nelinearnog elementa u električnom strujnom krugu, ali za takovo rješenje moramo posjedovati weber-amperske karakteristike. I ⋅ N = Φ ⋅ Rmž + Φ ⋅ Rmzr gdje je: Rmž → magnetski otpor željeza. (nelinearan) Rmzr → magnetski otpor zraka koji je linearan.

Primjer rješavanja složenijeg magnetskog kruga Zadan je magnetski krug prema slici, za koji treba odrediti broj zavoja tako da u zračnom rasporu bude magnetska indukcija Bzr = 0, 4T . Jezgra je sastavljena iz lijevanog željeza i iz krivulje magnetiziranja poznamo:

B (T) ⎛A⎞ H⎜ ⎟ ⎝m⎠

0,4

0,7

1,1

1300

4090

18000

Zadano je: a = 20cm; b = 30 cm; δ =1 mm; I = 10 A

I

S Rm1

N

δ

b

a

a

IN

+

Rm3

Rm 2

Rmδ

-

Srednje dužine magnetskih silnica na pojedinim djelovima magnetskog kruga su: l1 = 2a + b = 0,7 m; l2 = b = 0,3 m; l3 = 2a + b − δ ≈ 0,7 m Zadana magnetska indukcija u zračnom rasporu δ i desnom stupu je ista ⎛A⎞ B3 = Bδ = 0, 4 T; H 3 = 1300 ⎜ ⎟ ⎝m⎠ Bδ 0, 4 ⎛ kA ⎞ Hδ = = = 318 ⎜ ⎟ −7 µ0 4π ⋅10 ⎝ m ⎠ H ⋅ l + Hδ ⋅ δ ⎛A⎞ = 4090 ⎜ ⎟ . Iz ∫ Hdl = 0 slijedi da je: H 2 ⋅ l2 − H 3 ⋅ l3 − Hδ ⋅ δ = 0 , pa je : H 2 = 3 3 l2 ⎝m⎠ Pripadna jakost magnetskog polja iznosi: B2 = 0,7 T . Nadalje vrijedi da je: Φ1 = Φ 2 + Φ 3 odnosno B1 = B2 + B3 = 0,7 + 0, 4 = 1,1 T jer je

⎛A⎞ presjek sva tri stupa isti. Pripadna jakost magnetskog polja za 1,1 T iznosi H1 = 18000 ⎜ ⎟ . Nadalje ⎝m⎠ vrijedi da je: Θ = IN ; IN − H1l1 − H 2l2 = 0 , pa je : H l + H 2l2 N = 11 ≈ 1380 zavoja. I

84

4.2.4. Elektromagnetska indukcija a) Elektromagnetska indukcija u vodiču koji se giba u magnetskom polju. Već otprije znamo d a na naboje u gibanju magnetsko polje djeluje silom F = Q ⋅ v ⋅ B , čiji su smjer i orijentacija određeni pravilom lijeve ruke. Ako se u magnetskom polju giba vodič na njegove naboje djeluje ta ista sila koja je usmjerena po simetrali vodiča. Ako se naboji u vodiču gibaju u naznačenom smjeru, po pravilu lijeve ruke na njih će djelovati v magnetske sile koje će ih razdvajati. Zato će se B unutar vodiča uspostavljati elektrostatsko polje. + Gibanje naboja je sve dotle dok se ne uspostavi elektrostatsko polje koje kompenzira djelovanje induciranog električnog polja jakosti B ⋅ v . Tada jedan kraj vodiča postane pozitivno nabijen, a Sl. 4.41 drugi negativno, pa se između krajeva vodiča pojavi razlika potencijala, a vodič se ponaša kao izvor inducirane elektromotorne sile. Pojava se zove elektromagnetska indukcija. Na naboj u gibanju magnetsko polje djeluje silom FM = Q ⋅ v × B N Sila na naboj djeluje i u električnom polju, a iznosi : Fel = Q ⋅ E . Naboj Q ''osjeća'' svoje gibanje kroz magnetsko polje V indukcije B kao da je u električnom polju Ei = v × B . Izraz za Ei predstavlja već spomenutu m induciranu jakost električnog polja koju zapišemo i kao: (4.22) Ei = v ⋅ B ⋅ sin α . Ako u magnetsko polje indukcije B postavimo vodič kojeg gibamo brzinom v zbog inducirane jakosti električnog polja E dobit ćemo na dužinskom elementu dl potencijalnu razliku dU i : dU i = Ei ⋅ dl = Ei ⋅ dl ⋅ cos β . dU i = v ⋅ B ⋅ sin α ⋅ cos β ⋅ dl . Ukupnu potencijalnu razliku dobijemo integracijom po cijeloj dužini l . b

(

)

(4.23) U i = ∫ v × B ⋅ dl =

Ei

a

b

∫ v ⋅ B ⋅ sin α ⋅ cos β ⋅ dl

b

a

dl

β a

B

α

Veličina U i se uobičajeno zove inducirani napon. Namjena svakog električnog uređaja je što veća učinkovitost. Zato već konstrukcijom uređaja osiguravamo da je

α=

v

Sl. 4.42

π

i β = 0 . Ako je k tome 2 magnetsko polje homogeno, vodič ravan i gibanje translacijsko izraz poprima oblik (4.24) U i = v ⋅ B ⋅ l . Smjer i orijentaciju U i odredimo pravilom desne ruke koje

85

glasi: Ako dlan desne ruke postavimo tako da magnetske silnice ulaze okomito u njega, a ispruženi palac pokazuje smjer gibanja vodiča, onda će ispruženi prsti pokazivati smjer induciranog napona.

Ei

N

v

v

B S

Inducirani napon U i ima smjer i orijentaciju vektora induciranog električnog polja. Prema pravilu vektorskog produkta smjer i orijentacija Ei je kao na slici (pravilo desnog vijka ili pravilo desne ruke). Ako se vodič giba desno inducirani napon je orijentiran od nas (u papir).

B

Sl. 4.43 ds a

I

F

v

B b

Sl. 4.45

Sl. 4.44 Razmotrit ćemo i slijedeći primjer Ako vodič ab klizi po pravokutnom vodljivom okviru napon se inducira samo u vodiču ab, a vodljivi okvir omogućuje protjecanje struje. Zbog struje kroz vodič ab na njega će magnetsko polje indukcije B djelovati silom apsolutnog iznosa Fm = B ⋅ I ⋅ l čija je orijentacija definirana pravilom lijeve ruke tj. suprotno od brzine gibanja v . To znači da je za gibanje vodiča potreban vanjski rad ili za dobivanje električne energije potrebno je utrošiti mehaničku energiju. dW = F ⋅ ds = B ⋅ I ⋅ l ⋅ v ⋅ dt . Budući daje dQ = I ⋅ dt , dW dW = B ⋅ l ⋅ v ⋅ dQ ili = U i = B ⋅ l ⋅ v što smo i ranije utvrdili. dQ

4.2.5. Faradayjev zakon elektromagnetske indukcije

Prema slici 4.45 vodič u vremenu dt prijeđe površinu dS = l ⋅ ds = l ⋅ v ⋅ dt . Pritom se je magnetski tok kroz okvir smanjio za dΦ = − B ⋅ dS = − B ⋅ l ⋅ v ⋅ dt pa slijedi da je

dΦ dΦ = − B ⋅ l ⋅ v ili e = − (4.25) . dt dt dΦ Izraz e = − je poznat kao Faradayjev zakon elektromagnetske indukcije. Promjena toka kroz dt

petlju može biti izazvana na načine kao: d Φ = B ⋅ dS ili d Φ = dB ⋅ S . Smjer inducirane EMS je definiran Lenzovim pravilom koje glasi: Smjer inducirane EMS uvijek je takav da inducirana struja svojim magnetskim tokom nastoji spriječiti promjenu magnetskog toka kojim je izazvana. To praktički znači: ako je do promjene magnetskog toka dΦ došlo zbog rasta magnetskog polja inducirana EMS odnosno struja sa svojim magnetskim poljem sprječava taj rast, što znači da taj magnetski tok mora biti suprotan. Φ dΦ Φ dΦ

Smjer inducirane elektromotorne sile je određen pravilom desne ruke s obzirom na smjer toka.

e Sl. 4.46

e Sl. 4.47

86

Primjeri određivanja polariteta inducirane EMS

Radi jasnoće komentirati ćemo prvu sliku (gornja lijeva). Osnovni magnetski tok kojeg stvara stalni magnet ima smjer s desna u lijevo. Približavanjem magneta dolazi do povećanja magnetskog toka odnosno indukcije za ∆B . Prema Lenz-ovom pravilu zavojnica mora svojom induciranom strujom stvoriti magnetski tok čiji je smjer suprotan magnetskom toku stalnog magneta (B inducirano). Prema pravilu desne ruke taj smjer struje mora biti kao na slici. Inducirana struja kroz vanjski otpornik ulazi na lijevu priključnicu što znači da je ta priključnica pozitivnog polariteta.

Dijagram magnetskog toka i pripadajuće inducirane elektromotorne sile Φ 2 2

6

10

t (s)

e

t (s)

b

a

Sl. 4.48 dΦ dt Normalno ako se EMS inducira u zavojnici s N zavoja izraz se zapiše kao: dΦ (4.26) e = − N ⋅ . dt Vidljivo je da u slučaju kad nema promjene magnetskog toka nema ni inducirane EMS. Smjer inducirane EMS je u skladu s Lenzovim pravilom. e=−

87

Kod električnih generatora promjena toka se izaziva rotacijom petlje homogenom magnetskom polju. Neka su dimenzije petlje: širina petlje (b) duljina petlje (a) S = a ⋅ b - površina petlje

α b

B

Magnetski tok kroz petlju je određen izrazom: Φα = N ⋅ S ⋅ B ⋅ cos α

Sl. 4.49 e=−

d Φα dα = N ⋅ S ⋅ B ⋅ sin α ⋅ = N ⋅ S ⋅ B ⋅ ω ⋅ sin α dt dt

gdje

je

dα kutna brzina rotacije petlje. dt Maksimalni iznos EMS iznosi: E max = N ⋅ Φ max ⋅ ω pa slijedi da je: e = Emax ⋅ sin α . Ako petlja rotira

ω=

konstantnom brzinom ω =

α

onda se može zapisati: (4.26) e = Emax ⋅ sin(ω ⋅ t ) . Opisani sustav t predstavlja principijelnu izvedbu generatora izmjeničnog napona. Primjer: Vodljivi štap AB giba se brzinom v= 2m/s paralelno s vrlo dugim vodičem kojim teče struja I= 40 A. Koliki je inducirani napon u štapu? Po pravilu desne ruke smjer inducirane EMS je od B prema A tj. A je na višem potencijalu. Vodič kojim teče struja I stvara nehomogeno polje indukcije I ⋅ µ0 pa je inducirana EMS: B= 2 ⋅ r ⋅π µ ⋅I µ ⋅ I ⋅v 1 B v ⋅ v ⋅ dr = 0 ⋅ ln ; E = ∫ B ⋅ v ⋅ dl = ∫ 0 2 ⋅ r ⋅π 2 ⋅π 0,1 I l l A B

E=

4 ⋅ π ⋅10−7 ⋅ 40 ⋅ 2 ⋅ ln10 = 36,8 µV 2 ⋅π

10cm

90 cm

Sl. 4.50

4.2.6. Vrtložne struje Ako se u promjenjivom magnetskom polju nađu velike vodljive mase u njima se induciraju struje kružnih putanja koje se zovu vrtložne struje. Inducirane struje su kružne struje koje stvaraju magnetsko polje suprotne orijentacije od magnetskog polja koje ih je izazvalo. Posljedica vrtložnih struja je dodatno stvaranje topline koja predstavlja gubitak energije (jezgre električnih strojeva i transformatora). Zbog toga se jezgre izmjeničnih strojeva izrađuju iz limova koji su međusobno izolirani, čime se smanji štetno djelovanje vrtložnih struja.

4.2.7. Samoindukcija i induktivitet Ako je do pojave induciranog napona došlo u istom strujnom krugu u kojem je i uzrok induciranog napona onda takav napon zovemo napon samoindukcije, a samu pojavu samoindukcija. Magnetski tok Φ je razmjeran struji koja ga stvara tj. Φ = k ⋅ i . Inducirani napon zbog promjene dΦ di di struje (4.27) e = − N ⋅ = −N ⋅ k ⋅ = −L ⋅ dt dt dt dΦ di Veličina L se zove induktivitet a jedinica je H (Henry). Iz izraza − N ⋅ = −L ⋅ integracijom uz dt dt početni uvjet da je Φ=0 za i= 0 se dobije: 88

∫

N ⋅ dΦ di ⋅ dt = ∫ L ⋅ dt dt dt

N ⋅ Φ + k1 = L ⋅ i + k2 iz početnog uvjeta da je Φ= 0 za i= 0 slijedi da je

N ⋅Φ (H) i Induktivitet je jednak omjeru ulančanog toka samog kruga i jakosti struje kroz taj krug. Smjer inducirane EMS samoindukcije je u skladu s Lenzovim pravilom što znači: ako se struja u krugu povećava (npr. kod uključivanja) inducirana EMS će nastojati smanjiti struju. Budući da već otprije znamo izračunati ulančane tokove induktivitet odredimo kao omjer ulančanog toka i struje. Induktivitet može biti linearan i nelinearan. Primjeri takovih induktiviteta i njihove karakteristike su prikazani na slikama.

k1=k2 ili (4.28)

N ⋅ Φ = L ⋅ i tj. L =

ψ (Wb)

A ψ = f (i )

B

B +

A ψ = L ⋅i

+

i

i

uL

L

uL =

dψ dt

i (A)

Linearni induktivitet Nelinearni induktivitet

Tako je induktivitet torusne zavojnice: ψ µ ⋅N2 ⋅S (4.29) L = = 0 ili točnije i lsr

L=

µ0 ⋅ N 2 ⋅ a r ⋅ ln 2 2 ⋅π r1

H

4.2.8. Induktivitet dvovoda (4.30)

L=

ψ uk i

=

µ0 ⎛ d 1 ⎞ H ⋅ ln + m π ⎜⎝ r 4 ⎟⎠

( )

za d >> r

električnih mreža računa se induktivitet za jedan vodič koji iznosi: µ ⎛ d 1⎞ (4.31) L = 0 ⋅ ⎜ ln + ⎟ 2 ⋅π ⎝ r 4 ⎠ d d ⋅ e 0, 25 d d d ln + 0,25 = ln + ln e 0, 25 = ln pa je (4.32) L = 2 ⋅10−7 ⋅ ln ' gdje je = ln r r ⋅ 0,778 r r r ' r = 0,7788 ⋅ r

Kod

89

4.2.9. Induktivitet cilindrične jednoslojne zavojnice L=

µ0 ⋅ N 2 ⋅ S

=

µ0 ⋅ N 2 ⋅ D 2 ⋅ π

(H) za l >> d . Ako taj uvjet nije zadovoljen potrebno je izraz 4⋅l l korigirati Nagaokinim faktorom KN tj. onda je induktivitet µ ⋅ N 2 ⋅ D2 ⋅π (4.33) L = K N ⋅ 0 (H) 4⋅l d

kN

l 0 0,3 0,4 0,5 1 2 3

1 0,884 0,85 0,818 0,688 0,524 0,429

Sl.4.51

4.3.0. Međuindukcija Ako jedna zavojnica stvara promjenjivi magnetski tok, a u drugoj se zbog toga inducira elektromotorna sila, onda se takova pojava zove međuindukcija, a inducirana EMS druge zavojnice se zove inducirana EMS međuindukcije.

1

2

Magnetski tok kojeg stvara promjenjiva struja u petlji 1 se ne zatvara u cijelosti i kroz zavojnicu 2, već samo dio toga toka kojeg označavamo s Φ 21 .( tok kroz zavojnicu 2 stvoren strujom zavojnice 1.) Ako petlja 2 ima N 2 zavoja ulančani tok zavojnice 2 iznosi Ψ21 = N 2 ⋅ Φ 21 . Tok Φ 21 je razmjeran struji i1 tj. Φ 21 =K ⋅ i1 gdje je K konstanta proporcionalnosti. Inducirani napon u petlji 2 zbog promjenjive struje petlje 1 iznosi: dΦ 21 di di e2 = − N 2 ⋅ = − N2 ⋅ K ⋅ 1 = − M ⋅ 1 Sl. 4.52 dt dt dt N ⋅Φ (4.34) M = 2 21 i1 Veličina M se zove međuinduktivitet. To znači da je međuinduktivitet jednak omjeru ulančanog toka kroz jedan krug i jakosti struje kroz drugi krug. Na principu međuindukcije funkcionira transformator.

I1

l

N1

1

4.3.1. Međuinduktivitet dviju zavojnica

2

N2

Sl. 4.53

90

Zavojnica 1 stvara tok Φ1 =

µ0 ⋅ I1 ⋅ N1 l

⋅ S . Sav taj tok se zatvara kroz zavojnicu 2 koja ima N 2

zavoja pa je : µ ⋅N ⋅N ⋅S N ⋅Φ M = 2 21 = 0 1 2 i1 l Ako bi zavojnica 2 bila namotana na dužini l razlikovala bi se od zavojnice 1 samo po broju zavoja pa bi vrijedilo: µ ⋅N2 ⋅S µ ⋅N2 ⋅S µ2 ⋅ N 2 ⋅ N 2 ⋅ S2 L1 = 0 1 ; L2 = 0 2 ili L1 ⋅ L2 = 0 1 2 2 ; produkt L1 i L2 predstavlja l l l ustvari M 2 pa je : M = L1 ⋅ L2

4.3.2. Ukupni induktivitet serijski spojenih zavojnica

1

Zavojnica 1 stvara tok Φ 1 koji se ovdje samo djelomično zatvara kroz zavojnicu 2. To je tok Φ 21 . Ostali dio toka zatvara se samo kroz zavojnicu 1 i zove se rasipni magnetski tok Φ 10 . Vrijedi da je : Φ 1 = Φ 21 + Φ 10 . U tom slučaju međuinduktivitet moramo zapisati kao: (4.35) M = k ⋅ L1 ⋅ L2 gdje je k faktor

2

Φ10

Φ21

Φ1

magnetske sprege, i manji je od 1.

Sl. 4.54

1

Φ2

Φ1 i

a

1

2

b Sl. a

2

Φ1

Φ2

i

b

a

Sl. 4.55

Sl. b

Na slici a magnetski tokovi Φ 1 i Φ 2 su istog smjera pa je : di di u1 = L1 ⋅ + M ⋅ tj. u1 = u L1 + u M 1 dt dt Ovdje moramo primijetiti da smo umjesto induciranih EMS uveli inducirane napone, koji se pojavljuju na stezaljkama zavojnica, a njihov polaritet je definiran referentnim smjerom struje . ( + pol na ulazu struje u zavojnicu ) di di di di di u 2 = L2 ⋅ + M ⋅ u ab = u1 + u 2 ili u ab = L1 ⋅ + L2 ⋅ + 2 ⋅ M ⋅ dt dt dt dt dt 91

Ako jednadžbu podijelimo s

di dt

slijedi

u ab ′ = L1 + L2 + 2 ⋅ M = L1 + L2 + 2 ⋅ M tj. (4.36) Lab di dt

Takova sprega se zove suglasna sprega. di di di di Za sliku b vrijedi: u1 = L1 ⋅ − M ⋅ ; u 2 = L2 ⋅ − M ⋅ dt dt dt dt

u ab = u1 + u 2 = L1 ⋅

di di di + L2 ⋅ − 2 ⋅ M ⋅ pa slijedi da je (4.37) dt dt dt

′′ = L1 + L2 − 2 ⋅ M To je tzv. Lab

L′ − L′′ 4 Ako su zavojnice jako udaljene ukupni induktivitet bez obzira na spoj zavojnica iznosi: Lab = L1 + L2 nesuglasna sprega. Oduzimanjem jednadžbi 4.36 i 4.37 slijedi: (4.38)

M=

4.3.3. Energija magnetskog polja Prema analogiji s električnim poljem i u magnetskom polju je akumulirana energija koju uobičajeno zovemo energija magnetskog polja. Uostalom u magnetskom polju djeluju magnetske sile na gibajuće naboje što znači da magnetsko polje može vršiti rad, pa prema tome posjeduje odgovarajuću energiju.

4.3.4. Magnetska energija zavojnice Ako zavojnica koja posjeduje induktivitet L i omski otpor R priključimo na izvor napona vrijedi dΨ da je: u = i ⋅ R + uL pri čemu je u L = dt Ako izraz za u pomnožimo s i ⋅ dt dobivamo: (4.39) µ ⋅ i ⋅ dt = i 2 ⋅ R ⋅ dt + i ⋅ d Ψ -To je jednadžba energetske ravnoteže. µ ⋅ i ⋅ dt je diferencijal električne energije koju izvor pošalje u spoj u intervalu dt. i 2 ⋅ R ⋅ dt je dio energije koji se pretvori u toplinu i ⋅ dΨ prirast magnetske energije u intervalu dt. Zato je : dWm = i ⋅ dΨ

Ψ

Ψ

Wm

Ψk

Ψ = L ⋅i

Ψk

dΨ

i

ik

i

Sl. 4.56

Ukupnu energiju dobijemo integracijom izraza za d Wm tj. Wm = ∫ dWm =

ik

i

Sl. 4.57 ΨK

∫ i ⋅ dΨ 0

Za nemagnetske materijale gdje je L konstanta vrijedi Ψ = L ⋅ i ili dΨ = L ⋅ di pa je :

92

ik

L ⋅ ik2 (4.40) Wm = L ⋅ ∫ i ⋅ di = 2 0 Izraz za Wm se može zapisati još u dva oblika: (4.41) Wm =

Ψ k ⋅ ik Ψ k 2 = 2 2⋅ L

Po priključku zavojnice na izvor istosmjernog napona proces se odvija u dvije faze: a) u fazi uspostavljanja magnetskog polja energija se djelomično troši na uspostavu magnetskog polja, i djelomično na pokrivanje Jouleovihn gubitaka. Tu fazu uobičajeno zovemo prijelazna pojava . b) u fazi kada je magnetsko polje uspostavljeno energija se troši samo za pokrivanje Jouluvih gubitaka. To je tzv. stacionarno stanje.

93

4.3.5. Prostorna gustoća energije magnetskog polja Pod prostornom gustoćom energije podrazumijevamo energiju koja je akumulirana u jedinici volumena. (4.42)

w=

dWm dV

⎡ Ws ⎤ ⎢⎣ m3 ⎥⎦

Wm V I ⋅N Za zavojnicu možemo zapisati da je : H = l Ψ B B H ⋅l ⋅ N ⋅ S ⋅ dB = S ⋅ l ⋅ ∫ H ⋅ dB W m = ∫ i ⋅ dΨ = ∫ N 0 0 0

U homogenom magnetskom polju vrijedi: w =

i Ψ = N ⋅ Φ = N ⋅ B ⋅ S ; d Ψ = N ⋅ S ⋅ dB

pa je

B

W w = m = ∫ H ⋅ dB jer je V = S ⋅ l V 0 B

Jednadžba w = ∫ H ⋅ dB vrijedi i za nehomogena polja 0

B

B

Wm

Bk

Wm

Bk

dB

Hk

H

H

Sl. 4.58 Budući da je B = µ 0 ⋅ H B

i H

Hk

H

Sl. 4.59 dB = µ 0 ⋅ dH

µ0 ⋅ H 2

B⋅H B2 ⎡⎣ J m3 ⎤⎦ = = (4.43) w = ∫ H ⋅ dB = µ0 ⋅ ∫ H ⋅ dH = 2 2 2 ⋅ µ0 0 0 gdje su B i H konačni iznosi magnetske indukcije i jakosti magnetskog polja.

94

Primjer: kolika je gustoća magnetske energije u unutrašnjosti ravnog vodiča koji je protjecan strujom I ?

I ⋅x 2 ⋅π ⋅ R2 gdje je x udaljenost točke od središta u kojoj izračunavamo B. Gustoća energije unutar vodiča iznosi: µ ⋅ H 2 µ ⋅ I 2 ⋅ x2 w= 0 x = 0 2 4 2 8 ⋅π ⋅ R Diferencijal volumena je: dV = 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ l ⋅ dx µ0 ⋅ I 2 ⋅ l ⋅ x3 ⋅ dx Diferencijal magnetske energije iznosi: dWm = w ⋅ dV = 4 ⋅π ⋅ R4 µ ⋅ I 2 ⋅l R 3 Ukupna energija je : Wm = 0 x ⋅ dx 4 ⋅ π ⋅ R 4 ∫0 Rješenje: Od prije znamo izraz za magnetsku indukciju unutar vodiča pa je: H X =

Wm =

µ ⋅ I 2 ⋅l µ0 ⋅ I 2 ⋅ l I2 L⋅I2 Budući da je Wm = slijedi da je 0 = L⋅ 2 2 16 ⋅ π 16 ⋅ π

ili L =

µ0 ⋅ l 8 ⋅π

što

predstavlja unutarnji induktivitet vodiča poznatog od prije.

Magnetska energija induktivno povezanih zavojnica može se odrediti prema izrazu: L ⋅I2 L ⋅I2 (4.44) Wm = 1 1 + 2 2 ± M ⋅ I1 ⋅ I 2 2 2 Treći član ( M ⋅ I 1 ⋅ I 2 ) se uzima s predznakom ( + ) ako se tokovi pomažu i s predznakom ( - ) ako se tokovi odmažu. Općeniti izraz za n induktivno vezanih svitaka je : 1 n (4.45) Wm = ⋅ ∑ I K ⋅ Ψ K gdje je I K struja, a ΨK ulančani tok k-tog svitka. 2 K =1 Na shemama zavojnice crtamo simbolima gdje se ne vidi smjer namatanja ( a o čemu ovisi međudjelovanje ) pa se moramo poslužiti simbolikom koja to definira.

2

1

2′

1′

M

1

L1

L2

2′

1′

Sl. 4.60

2

Sl. 4.61

Tokovi se odmažu što je definirano znakom ● kod zavojnica.

Vrijedi sljedeće:

a) Ako imamo u prstenu dvije zavojnice i struja ulazi kod obiju zavojnica na označeni ili neoznačeni kraj sprega je suglasna ( međuinduktivno djelovanje se uzima sa ( + ) predznakom ). 95

b) Ako u prostoru imamo dvije zavojnice gdje struja kod jedne zavojnice ulazi na označeni kraj, a kod druge na neoznačeni kraj sprega je nesuglasna

I1

I2

I1

I2

I1

I2

I1

Suglasna sprega

I2

Nesuglasna sprega Sl. 4.62

4.3.6. Privlačna sila magneta Između pola magneta i kotve u zračnom rasporu x je skupljena magnetska energija

N B

dx S kotva

Sl. 4.63 B⋅H ⋅ S ⋅ x . Ako želimo povećati razmak za dx potrebno je savladati privlačnu silu magneta. 2 Povećanjem zračnog raspora, povećao se volumen zračnog raspora čime i energija magnetskog polja, pod pretpostavkom da se pritom magnetska indukcija ostala ista. Rad za savladavanje sile iznosi dA = F ⋅ dx i jednak je povećanju energije. Wm =

dA = dWm ; F ⋅ dx =

(4.46)

F=

B⋅H ⋅ S ⋅ dx; 2

B2 ⋅ S [N ] 2 ⋅ µ0

96

5. KOMUTACIJA U MREŽAMA ISTOSMJERNE STRUJE Pod pojmom komutacija podrazumijevamo jednim imenom uključivanje i isključivanje pasivnog ili aktivnog elementa u mreži. Ako se u mrežama istosmjerne struje osim otpornika nalaze još kondenzatori i zavojnice komutacija znatno mijenja prilike u danoj mreži, u odnosu na mrežu u kojoj se nalaze samo otpornici. Ako trenutak prve komutacije označimo s t = 0 , uvjete komutacije možemo zapisati kao: (5.1) iL (0− ) = iL (0+ ) = iL (0) (5.2) uC (0− ) = uC (0+ ) = uC (0)

Ovdje (0− ) znači trenutak neposredno pred komutaciju, a (0+ ) trenutak odmah nakon komutacije. Ovakav zapis praktički znači da je riječ o funkcijama koje ne mogu imati skokovitu promjenu. Uzrok tome je inducirana EMS kod zavojnice koja se po Lenzovom pravilu protivi promjeni struje. Kod kondenzatora napon na kondenzatoru je funkcija količine naboja koja pritječe na ploče što se ne može dogoditi u vremenu t=0 . Budući da su napon na kondenzatoru i struja zavojnice kontinuirane funkcije, potrebno je znati tzv. početne uvjete tj. iL (0) i uL (0) . Ako su ti uvjeti različiti od 0 to znači da u elementima postoji akumulirana energija. Nakon komutacije ta će se energija ponašati kao izvor električne energije pa će u pasivnoj mreži teći struja tako dugo dok se sva energija ne pretvori u toplinu.

5.0. Odziv mreže na komutaciju a) Priključenje serijskog spoja RLC elemenata na izvor EMS +

uR

-

+

uL

-

L

R

u + CC

i P

e

Sl. 5.1 Ako se u trenutku t=0 zatvori prekidač P tada se za vrijeme t ≥ 0 može zapisati:

u R + u L + uC = e odnosno i ⋅ R + L

t

di 1 + uC (0) + ∫ idt = e dt C0

gdje je uC (0) napon na kondenzatoru zatečen u trenutku zatvaranja prekidača P. Derivacijom jednadžbe se dobije:

di 2 di i de L 2 +R + = ; (a) to je linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda. dt dt C dt 97

Elektromotorna sila u strujnom krugu predstavlja funkciju prisile, jer ona prisiljava da u strujnom krugu stalno teče struja. Zbog toga se funkcija na desnoj strani jednadžbe zove funkcija prisile. Rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe sastoji se od: -partikularnog rješenja -općeg rješenja Homogena linearna diferencijalna jednadžba nema funkciju prisile (jednaka je 0)

Partikularno rješenje diktira funkcija prisile i označujemo ga s i p . Opće rješenje linearne homogene jednadžbe se zove slobodni odziv i označavamo ga s is . To znači da rješenje linearne diferencijalne jednadžbe možemo zapisati kao: i = i p + is

5.1. Prisilni odziv serijskog spoja RLC elemenata za

e=E

Budući da je e = E = const = K , prisilni odziv i p = K , a iznos konstante K se dobije iz jednadžbe (a) i iznosi K=0. To znači da prisilna struja kroz zadani spoj RLC elemenata ne teče što je i normalno jer kondenzator ne propušta istosmjernu struju.

5.2. Slobodni odziv Slobodni odziv predstavlja opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe

di 2 di i L 2 +R + =0 dt dt C Ako za

(b)

d 1 uvedemo parametar p jednadžba (b ) poprima oblik: L ⋅ p 2 + R ⋅ p + = 0 dt C 2

R 1 ⎛ R ⎞ Kvadratna jednadžba ima rješenja : p1,2 = − ± ⎜ ⎟ − 2⋅ L ⎝ 2⋅ L ⎠ L ⋅C Sada se slobodni odziv može zapisati:

is = A1 ⋅ e p1t + A2 ⋅ e p2t gdje su

A1 i A2 konstante integracije koje se odrede iz općeg

rješenja. Rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe sada ima oblik:

i = i p + A1 ⋅ e p1t + A2 ⋅ e p2t Na struju slobodnog odziva ne djeluje konstantna elektromotorna sila pa se ona postepeno prigušuje i teži prema 0. Zbog toga se slobodni odziv tretira kao prijelazna pojava, a prisilni kao stacionarno stanje.

98

5.3. Priključak RC elemenata na izvor istosmjerne EMS

1

R

+

uR uC

2 E

+

+ C

-

Diferencijalna jednadžba za spoj prema slici: Sklopka je prebačena u položaj 1 u vremenu t=0

R ⋅C Sl. 5.2

duC + uC = E dt

Rješenje jednadžbe sadrži prisilni i slobodni odziv, tj.

u = uC p + uCs

Kako je EMS izvora istosmjerna prisilni odziv je: uCp = E Karakteristična jednadžba za slobodni odziv je:

Gdje je

R ⋅C ⋅ p +1 = 0

τ = RC . Slobodni odziv zapišemo kao: uC = A ⋅ e

−

1

τ

t

τ

s

−

tj.

p=−

. Rješenje jednadžbe zadanog

t

sustava je: uC = E + A ⋅ e . Konstantu A dobijemo iz početnih uvjeta tj. uC (0) = E + A ⋅ e iz čega slijedi da je A = − E , jer je uC (0) = 0 . Tako je:

(5.3)

τ

−

t

uC = E (1 − e τ ) ;

(5.4) uR = E − uC = E ⋅ e

−

−

0

τ

,

t

τ

V As ⋅ =s ) A V Struja kruga se može zapisati

Izraz RC predstavlja tzv. vremensku konstantu s jedinicom sekunda (

5τ

τ

uR E −τt = ⋅e i= kao: R R

, što znači da

struja postepeno iščezava. U vremenu jedne vremenske konstante napon na kondenzatoru naraste na:

uC = E (1 − e −1 ) = 0, 632 ⋅ E , a za praksu je vrijeme t = (4 do 5)τ vrijeme nabijanja kondenzatora.

5.4. 99

Sl. 5.3

Nabijanje kondenzatora C = 1µ F ; R = 1M Ω; E = 10V Grafički se vremenska konstanta odredi tako da se u ishodištu eksponencijalne krivulje postavi tangenta na krivulju, pa odsječak na pravcu kojim je definiran napon izvora predstavlja vremensku konstantu.

Isti rezultat možemo dobiti i ovako: u R + u C = E;

i ⋅ R + u C = E;

uC = 0

du dQ =C C ; dt dt

du C dt = ; E − u C RC

( E − u C ) ⋅ dt = CR ⋅ du C ;

− ln( E − u C ) + k1 =

i=

t + k2 ; RC

CR

du C

∫ E −u

C

du C + uC = E dt

=∫

dt RC

Konstante odredimo iz početnih uvjeta.

t = 0, pa je − ln E + k1 = k 2 odnosno − ln( E − u C ) + k1 =

za

t − ln E + k1 RC

t

− E − uC t t ⎛ E − uC ⎞ ; ln⎜ ; e RC = − ln E + ln( E − u C ) = − ⎟=− RC RC E ⎝ E ⎠

E − uC = E ⋅ e

−

t RC

; uC = E − E ⋅ e

−

t RC

; u C = E (1 − e

−

t RC

);

RC = τ

Bilanca energije ∞

∞

∞

Wi = ∫ E ⋅ i ⋅ dt = ∫ i ⋅ R ⋅ dt + ∫ uc ⋅ i ⋅ dt = WR + WC 2

0

0

0

Stvorena toplinska energija na otporniku iznosi: ∞ E 2τ E 2 ⋅ R ⋅ C E 2 ⋅ C = = W R = ∫ i 2 ⋅ R ⋅ dt = što iznosi kao i energija kondenzatora 2⋅ R 2⋅ R 2 0 1 To znači da je WR = WC = Wi neovisno o iznosu R 2 ∞

∞

E2 Naputak: ∫ i Rdt = ∫ 2 0 0 R 2

⎛ − τt ⋅ ⎜⎜ e ⎝

2

2⋅∞ 2⋅0 2 ∞ − 2t 2 2 − − ⎞ ⎟ ⋅ R ⋅ dt = E ∫ e τ dt = E ⋅ ⎛⎜ − τ ⎞⎟(⋅e τ − e τ ) = E ⋅ τ ⎟ 2⋅ R R ⎝ 2⎠ R 0 ⎠

100

5.5. Pražnjenje kondenzatora

E

1

R

2

uR uC

+

+ + C

-

Sl. 5.4 Sklopka je prebačena iz položaja 1 u položaj 2 u vremenu t = 0 . du Kod pražnjenja kondenzatora vrijedi: 0 = u R + u C = RC C + u C dt Kod pražnjenja ne postoji funkcija prisile, a rješenje daje samo slobodni odziv: −

t

u C = Ae ; Konstantu A odredimo iz početnog uvjeta uC (0) = U 0 τ

−

t

uC = U 0 ⋅ e , a

(5.5)

τ

napon

na

R

pa

je −

t

iznosi : uR = −uC = −U 0 ⋅ e ; τ

A = U0 U 0 −τt ⋅e i=− R

što znači da je struja promijenila smjer u odnosu na smjer pri nabijanju. 1

+

R

uR

2

5.6. Priključivanje RL spoja na izvor konstantne EMS

+

uL

L

+ E-

Sklopka je iz položaja 2 u položaj 1 prebačena u t = 0 . Sl. 5.5

je:

i = is + i p ; i p = I =

Sada vrijedi: (5.6)

E = i ⋅ R + uL = i ⋅ R + L

di dt

Rješenje nehomogene diferencijalne linearne jednadžbe

E (stacionarno stanje) R

Karakteristična jednadžba poprima oblik: t − R 1 τ L⋅ p + R = 0 i p = − = − pa je is = A ⋅ e Vremenska konstanta τ L L τ= i ima jedinicu ( s ) R

101

t − E E τ i = + A ⋅ e ; za i (0) = 0 A = − , pa je R R t : − ⎞ E⎛ (5.7) i = ⎜1 − e τ ⎟ R⎝ ⎠

Napon na zavojnici je: (5.8)

uL = E ⋅ e

−

t

τ

5.7. Prekid struje kroz zavojnicu

1

+

R

uR

2 +

uL L

+

Prebacivanjem sklopke u položaj 2 zavojnica se spaja na otpornik R, pa sada vrijedi: di R 0 = L ⋅ + i ⋅ R; ili p ⋅ L + R = 0; p = − dt L Budući da sada nema funkcije prisile vrijedi

i = is = A ⋅ e

E-

− pt

= A⋅ e

−

t

τ

gdje je τ =

L R

Konstanta A se dobije iz uvjeta

Sl. 5.6

i (0) = I 0 ; tj. A = I 0 , pa je i = I 0 ⋅ e −

t

uR = I 0 ⋅ R ⋅ e τ ;

(5.8)

uL = − I 0 ⋅ R ⋅ e

−

−

t

τ t

τ

Struja I 0 je struja koja je tekla kroz zavojnicu neposredno prije prebacivanja sklopke iz položaja 1 u položaj 2. Vidljivo je se je pri isključivanju induktivnog kruga polaritet napona uL promjeni (sada je suglasan s naponom izvora), pa se na kontaktima sklopke pojavi veliki napon što dovodi do pojave električnog luka, što je naročiti problem u energetskim mrežama visokog napona.

102

6. IZMJENIČNA STRUJA 6.0. Promjenljive veličine Promjenljive veličine su one veličine kod kojih se vrijednost tijekom vremena mijenja. Iznos veličine u nekom trenutku se zove trenutna vrijednost. Ako se trenutne vrijednosti s vremenom periodički ponavljaju onda se radi o periodično promjenljivim veličinama. Matematički se to može izraziti kao: (1.1) f (t ) = f (t + T ) = f (t + k ⋅ T ) k = 0, ±1, ±2,..., gdje je T vremenski interval koji se naziva perioda promjenljive veličine. Ako periodično promjenljive veličine tijekom jedne periode mijenjaju smjer strujanja tako da je ukupna količina pretjecanog naboja unutar jedne periode T jednaka nuli onda je riječ o izmjeničnim strujama. Broj perioda izmjenične struje u jednoj sekundi se zove frekvencija. i ( A) (1.2)

T/2

t(s)

T

S l.1-Izm jenična struja

f =

1 Hz T

Tako je na primjer frekvencija gradske mreže u Europi 50 Hz, a u Americi 60 Hz.

Budući da se smjer struje i polaritet napona kod izmjenične struje stalno mijenjaju jedan smjer struje i jedan polaritet napona je uzet kao pozitivni i naziva se referentni smjer struje, odnosno referentni polaritet napona. Kod pasivnih elemenata (otpornik, zavojnica i kondenzator) struja ulazi na stezaljku elementa koji ima pozitivni polaritet. U elektrotehničkoj praksi naročitu važnost imaju i(A) naponi i struje čija je vremenska promjena sinusoidna. Trenutna vrijednost sinusoidne struje iznosi: b (1.3) i = I max ⋅ sin α gdje je I m maksimalna a vrijednost struje ili amplituda.

0

Im

β ia

T t(s)

(1.4)

t α 2 ⋅π ; α= = ⋅ t = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ t = ω ⋅ t T 2 ⋅π T

Veličina ω se zove kružna frekvencija pa je: (1.5) i = I max ⋅ sin(ω ⋅ t ) Na slici 2 struja a zaostaje za strujom b, ili struja b prethodi struji a za kut β ia .Ovisno o Sl. 2 frekvenciji, taj kut predstavlja određeno vrijeme (ako je frekvencija 50 Hz, prema slici 2 to bi iznosilo 2,5 ms). Kut β ia se zove fazni kut struje a; Struju a zapišemo kao:

ia = I max ⋅ sin(ω t − β ia ) .Za kvantitativni opis stanja u strujnom krugu trenutne vrijednosti nisu

pogodne, pa se koriste druge vrijednosti, a to su: 103

Srednja vrijednost izmjenične struje, koja je definirana kao: T

1 I sr′ = ⋅ ∫ i ⋅ dt T 0

(1.6)

Prema definiciji izmjenične struje ta je vrijednost jednaka 0.Zato se u praksi koristi i tzv. elektrolitska srednja vrijednost izmjenične struje .

6.1. Srednja (elektrolitska) vrijednost T

1 I sr = ⋅ ∫ i ⋅ dt ; Za sinusoidnu promjenu srednja elektrolitska vrijednost izmjenične T 0

(1.7)

struje iznosi:

2 ⋅ I max I sr = T

T T ⎛ ⎞ 2 2 1 ⎜ I sr = ⋅ ∫ I max ⋅ sin(ω ⋅ t ) + ∫ I max ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⎟ ⋅ dt T ⎜0 ⎟ 0 ⎝ ⎠

tj.

T 2

2 ⋅ I max 2 ⋅ I max T 2 ⋅π ⋅ T ⎛ 1 ⎞ ⋅ ⎜ − ⋅ cos(ω t ) ⎟ = − (cos ω − cos 0) = − (cos − 1) T ⋅ω 2 T ⋅ω T ⋅2 ⎝ ω ⎠0

(1.8) I sr = − 2 ⋅ I max (−1 − 1) = 4 ⋅ T ⋅ I max = 2 ⋅ I max = 0,637 ⋅ I max π T ⋅ω T 2π

Geometrijski značaj srednje vrijednosti.

i

Produkt

Im

T predstavlja količinu elektriciteta 2

tijekom jedne poluperiode, a u x-y ravnini taj produkt

I sr T/2 Sl. 3

I sr ⋅

predstavlja površinu pravokutnika čija je osnovica

t

a I sr visina. Vremenu jedne poluperiode pripada kut u radijanima π .Zato je površina poluperiode sinusoide.

T , 2

π

P = ∫ I max ⋅ sin α dα = − I max (cos α )π0 = 2 ⋅ I m .To 0

znači da je potrebno izjednačiti "površinu" pravokutnika i "površinu" ispod poluperiode sinusoide, pri čemu "visina" pravokutnika predstavlja srednju vrijednost dotične funkcije.

I sr ⋅ π = 2 ⋅ I m

104

2 Ako izraz za srednju vrijednost I sr = ⋅ T

T 2

∫ 0

T i ⋅ dt zapišemo kao I sr ⋅ = 2

T 2

∫

i ⋅ dt i pomnožimo

0

⎛m ⎞ k⎜ ⎟ , onda lijeva strana izraza predstavlja površinu pravokutnika, a desna površinu ispod As ⎝ ⎠ 2

sa

krivulje zadane funkcije. Prednost geometrijskog poimanja srednje vrijednosti dolazi do izražaja ako se "površina" ispod zadane vremenske funkcije može izračunati elementarnom matematikom.( trokutasti, pilasti, trapezasti, pravokutni oblik). Za primjer ćemo izračunati srednju vrijednost struje čija je vremenska promjena prikazana na slici 4. Ovdje je dovoljno izvršiti integriranje samo na intervalu T/4.

Im

i=

i t

I max ⋅ 4 ⋅ t; T I max ⋅ 4 4 ⋅ I max ⋅ 4 T 2 ∫0 T ⋅ t ⋅dt = T ⋅ T ⋅ 2 ⋅ 16 I I sr = m 2

4 I sr = T T/4

T/2

(1.9)

Sl. 4

T

4

Može i ovako:

I sr ⋅

T = 2

I max ⋅ 2

T 2;

I sr =

I max 2

Primjer 1: Kolika je srednja vrijednost struje čija je vremenska promjena prikazana slikom 5.

i( A)

I sr ⋅ T =

3 2

I sr =

I sr T/4 T/2 3T/4 T Sl. 5

T 3 T ⋅ + 0 + ⋅ 2; 2 2 4

5 ( A) 4

t (s)

6.2. Efektivna vrijednost izmjenične struje Vrijednost izmjenične struje koju svakodnevno spominjemo u praksi bez posebnog naglaska je tzv. efektivna vrijednost. Kada na primjer kažemo da je napon mreže 220 V mislimo upravo na efektivnu vrijednost tog napona. Efektivna vrijednost izmjenične struje je ona stalna vrijednost koja ima u jednakom vremenskom intervalu isti toplinski učinak kao i dotična izmjenična struja. Znamo da toplinski učinak ovisi o kvadratu struje pa je zato efektivna vrijednost definirana kao: T

(1.10)

Im 1 2 I ef = i ⋅ dt ; Za sinusoidnu struju I = = 0,707 ⋅ I m ef T ∫0 2 105

Pri praktičnom izračunavanju efektivne vrijednosti dovoljno je integriranje provesti na intervalu T/2, tj.

I

2 ef

2 = ⋅ T

T 2

∫I

2 max

0

2 2 ⋅ I max ⋅ sin (ω t ) ⋅ dt = ⋅ T 2

2⋅ I Integral izraza cos(2ω t ) je 0, pa je I = T I I ef = max (1.11) 2 2 ef

2 max

T 2

1

∫ 2 (1 − cos 2ω t ) ⋅ dt 0

2 1 T I max ; ⋅ ⋅ = 2 2 2

Izračunavanje efektivne vrijednosti složenog signala je komplicirano, pa je geometrijsko poimanje efektivne vrijednosti još značajnije. T

m3 Ako izraz I ⋅ T = ∫ i ⋅ dt pomnožimo sa k ⋅ π gdje k ima dimenziju ( 2 ) izraz prelazi As 0 2 ef

2

T

u:

I ⋅ T ⋅ π ⋅ k = π ⋅ k ⋅ ∫ i 2 ⋅ dt ; Izraz I ef2 ⋅ π ⋅ T u x-y ravnini predstavlja volumen valjka koji 2 ef

0

nastaje rotacijom pravokutnika oko x osi, a čiji je polumjer osnovice upravo tražena efektivna vrijednost. Izraz na desnoj strani predstavlja volumen tijela koje je nastalo rotacijom karakterističnog "lika" oko x osi. Ako se tako nastali volumen može izračunati elementarnom matematikom (ako je rotirajući lik trokut,trapez, pravokutnik). može se na i jednostavan način izračunati efektivna vrijednost i složenih signala. Im Primjer 2 : Treba odrediti efektivnu vrijednost struje čija je vremenska promjena prikazana na slici 6.

I ef

T 4

T 2

t

Rješenje: Rotacijom trokuta oko vremenske osi nastaju dva stošca čiji se volumeni lako izračunaju:

1 2 T T ⋅ π ⋅ ⋅ k = I ef2 ⋅ π ⋅ ⋅ k ; Konstanta k i π 2 ⋅ ⋅ I max 3 4 2

Sl. 6

se uvijek krate s obje strane jednadžbe, pa je dovoljno zapisati:

I T 1 2 T ⋅ = I ef2 ⋅ ; I ef = max 2 ⋅ ⋅ I max 3 4 2 3 Primjer 3: Treba izračunati efektivnu vrijednost struje čija je vremenska promjena prikaza na slici 7. Rotacijom "likova" oko vremenske osi nastaje "stožac" polumjera baze 2 i visine T/2, te "valjak" polumjera baze 2 i (A) i visine T/4, pa slijedi: 2

T 2

T 4

3⋅T 4

T

1 2 T T ⋅ 2 ⋅ + 22 ⋅ + 0 = I ef2 ⋅ T t (s) 3 2 4 4 ⋅T 4 ⋅T 5 + = I ef2 ⋅ T ; I ef = ( A) 6 4 3

−2 Sl. 7

106

Naravno ako se "volumeni" ne mogu izračunati elementarnom matematikom, efektivna i srednja vrijednost se računaju prema definiciji pomoću integrala. Omjer maksimalne i efektivne vrijednosti struje ili napona se zove tjemeni faktor: (1.12)

kt =

I max I ⋅ 2 ; Za sinusoidni oblik k t = ef = 2 I ef Ief

Omjer efektivne i srednje vrijednosti predstavlja faktor oblika (1.13)

k0 =

I ef I sr

I max 2 = π = 1,11 Za sinusoidu iznosi: k0 = 2 ⋅ I max 2 ⋅ 2

π

Faktorom 1,11 su korigirane skale analognih instrumenata čiji je otklon proporcionalan srednjim vrijednostima, a pokazuju efektivne vrijednosti.

I max 3 = 2 = 1,15 Faktor oblika za trokut iznosi: k0 = I max 3 2

107

6.3. Prikazivanje sinusoidnih veličina pomoću fazora Priključkom strujnog kruga na izvor nakon određenog vremena nastaje stacionarno stanje. U većini slučajeva izvor predstavlja gradska mreža čiji napon ima sinusoidalan oblik. Zato se pokazala potreba za metodom kojom se brzo i jednostavno računaju stacionarna stanja nastala sinusoidnom pobudom. Tom metodom je trebalo diferencijalne jednadžbe prevesti u algebarske, pa uz uvođenje referentnih smjerova i polariteta daljnji proračun je sličan onom kao kod istosmjernih krugova. Za obavljanje matematičkih operacija nad sinusoidnim veličinama pogodno je te veličine prikazati u kompleksnoj ravnini. U kompleksnoj ravnini operacije se izvode s kompleksnim brojevima, a kompleksni broj kojim prikazujemo sinusoidalne veličine je dobio poseban naziv, a to je fazor. Operacije s kompleksnim brojevima su poznate iz matematike ipak ćemo neke stvari ponoviti: Kompleksni broj se može zapisati u tri oblika: (1.14)

Algebarski oblik:

a = x + jy

Trigonometrijski oblik

a = A ⋅ (cos β + j sin β ) jβ

a = A⋅e Eksponencijalni oblik gdje je A modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja, a β je argument kompleksnog broja. Modul i argument se izračunaju prema izrazima: y (1.15) Modul; A = x 2 + y 2 ; Argument β =arctg x Im

Trenutnu vrijednost struje koja se mijenja po sinusoidnom zakonu možemo zapisati kao: i = I m ⋅ sin(ω t + β i ) , gdje je β i (1.16) početni kut struje i . Ako izraz za eksponencijalni oblik kompleksnog

U

βU

ϕ

I

broja pomnožimo s

e jωt

dobijemo:

a ⋅ e jωt = A ⋅ e j β ⋅ e jωt = A ⋅ e j (ωt + β )

βI Re

Sl. 8

a ⋅ e jωt = A ⋅ [ cos(ω t + β ) + j sin(ω t + β )] Izraz

jβ

a ⋅ e jωt

je sada funkcija početnog kuta

β

i

jω t

vremena t što znači da A ⋅ e ⋅ e rotira i predstavlja rotirajući radijvektor. Vidljivo je da trenutna vrijednost struje i predstavlja imaginarni dio takovog kompleksnog broja kojemu je modul rotirajući radijvektor. Ako međusobno uspoređujemo fazore istih frekvencija dovoljan je za tu usporedbu apsolutni iznos (uobičajeno je to efektivna vrijednost) i početni kut što znači da se radi o tzv. mirnim fazorima. Zato jβ

jβ

možemo zapisati da je: (1.17) I = I ⋅ e i ; U = U ⋅ e u , gdje I predstavlja fazor struje, a U fazor napona. Fazni kut između fazora napona i struje se označava s ϕ (fi), izračuna se kao: (1.18)

ϕ = βu − βi .

Kut ϕ je pozitivan ako napon prethodi struji, i negativan ako struja prethodi naponu.

108

u = U max ⋅ sin(ω t + β u ); U = U ⋅ e j βu i = I max ⋅ sin(ω t + β i ); I = I ⋅ e j βi 6.4. Omski otpor u krugu izmjenične struje Ako se u strujnom krugu izmjenične struje nalazi otpor koji je linearan i vremenski nepromjenljiv tj. ako je njegova karakteristika predočena pravcem koji prolazi ishodištem onda je takav slučaj vrlo sličan istosmjernom strujnom krugu. Struja kroz otpornik se mijenja po istom zakonu kao i napon U izvora. u = U max ⋅ sin(ω t ); i = max ⋅ sin(ω t ) = I max ⋅ sin(ω t ) R

i

u

i

U max I max

t

Vremenski dijagram

I

U

Fazorski dijagram Sl. 9

Veličine U i I su fazori efektivnih vrijednosti napona i struje i za njih možemo zapisati Ohmov U U zakon: I = , a vrijedi i zapis s apsolutnim iznosima napona i struje, tj. I = . R R

6.5. Priključak zavojnice na izvor sinusoidalnog napona Struja kroz zavojnicu i napon zavojnice su povezani izrazom:

iL

+

u

uL

1 ⋅ ∫ uL ⋅ dt L 1 U max 1 sin ω i = ⋅ U ⋅ t ⋅ dt = ⋅ (− cos ω t ) max L ∫ Sl. 10 L L ω U U iL = − max ⋅ cos ω t . Očito je da izraz max predstavlja maksimalnu vrijednost struje pa je ω⋅L ω⋅L iL =

109

i = − I max ⋅ cos ω t što je prikazano vremenskim i fazorskim dijagramima. Vidljivo je da struja kroz zavojnicu zaostaje za naponom za

π

2

0

radijana ili 90 što pri frekvenciji od 50 Hz iznosi 5 ms. Kut

π β I = − , što znači da je fazni kut između napona i struje prema definiciji : 2

π π ϕ = βU − β I = 0 − (− ) = , što je i vidljivo iz fazorskog dijagrama gdje kut ϕ ima pozitivnu 2

orijentaciju.

i

2

u i

U max I max

I max

UL

t IL

βi Vremenski dijagram

Izraz

ϕ βi

Fazorski dijagram

Sl. 11

U max U = I max se može zapisati s efektivnim vrijednostima tj. I = . ω⋅L ω⋅L

Tu prepoznajemo Ohmov zakon gdje ω ⋅ L mora predstavljati neki "novi" otpor a to je tzv. induktivni otpor. Označujemo ga s X L = ω ⋅ L (1.19) Jasno da Ohmov zakon zapisan s apsolutnim vrijednostima nije dostatan, jer se iz tog zapisa ne vidi položaj fazora napona i struje u kompleksnoj ravnini. Fazor struje zato moramo zapisati kao:

I =−j

U U = , čime smo definirali međusobni odnos fazora napona i struje u kompleksnoj X L jX L

ravnini. Vidimo da množenje fazora s − j ustvari predstavlja njegovu rotaciju za −

π

. To znači da

2 kod računanja brojčani iznos induktivnog otpora moramo uzimati s j . (na primjer j 10 Ω ) 6.6. Kondenzator u krugu izmjenične struje

Naponi struja kondenzatora su povezani relacijom:

iC

u

+

(1.20) iC = C ⋅

C

du ; dt

uC = u = U max ⋅ sin ω t iC = U max ⋅ ω ⋅ C ⋅ cos ω t . Vidljivo je da 110

Sl. 12

izraz ω ⋅ C ⋅ U max predstavlja amplitudu struje: I max = ω ⋅ C ⋅ U max ; I = ω ⋅ C ⋅ U ; Izraz ω ⋅ C predstavlja kapacitivnu vodljivost, pa je:

1 U U , a to je kapacitivni otpor. Struja I C = j ⋅ = , što znači da u fazorskom ω ⋅C X C − jX C zapisu kapacitivni otpor moramo zapisati kao − jX C . Iz vremenskog i fazorskog dijagrama je XC =

vidljivo da struja kondenzatora prethodi naponu za

i i

I max

u

π

2

radijana.

IC

U max

βi

ϕ

t

UC

βi Vremenski dijagram

Fazorski dijagram

Sl. 13

Fazni kut između napona i struje iznosi: ϕ = βU − β I = 0 − orijentaciju), jer struja prethodi naponu.

π 2

=−

π 2

(fazni kut ima negativnu

111

6.7. Serijski spoj RLC elemenata

+

+

UL

+

uL

uR

i

C

L

R

U

uC

ϕ

UR

I

UC

+ Sl. 14

u

Za spoj na slici 14 možemo zapisati Kirchhoffov zakon za napone: (1.21) (1.22)

u =i⋅R + L⋅

di 1 + ⋅ ∫ i ⋅ dt ili prevedeno u algebarski oblik zapisano s fazorima: dt C

U = I ⋅ R + I ⋅ jX L − I ⋅ jX C = I ⋅ ( R + j ( X L − X C )) = I ⋅ Z

Z je impedancija spoja, pa možemo zapisati Ohmov zakon: U (1.23) I = ; Z = R + jX ; X = X L − X C ; Z = Z ⋅ e jϕ Z X 2 2 Apsolutni iznos impedancije iznosi: Z = R + X ; tgϕ = R

Realni dio impedancije predstavlja omski otpor, a imaginarni tzv. reaktanciju. Fazni kut je kut između napona i struje, koji je pozitivan kada je X L > X C , i negativan za X C > X L , jer tada struja prethodi naponu.

U Trokut otpora

Z

X

ϕ

ϕ = arctg

I

R

X ; R = Z ⋅ cos ϕ ; X = Z ⋅ sin ϕ R

Sl. 15

112

6.8. Paralelni spoj RLC elemenata

iR

IC

ϕ

IR

L iL

C

IL

G

iC

i

ϕ

Ψ

Y

+ Sl. 16

U

I

u

U

B I

tg Ψ =

B ; ϕ = −Ψ ; Da podsjetimo: Fazni kut je prema G

definiciji uvijek orijentiran prema naponu, zato je u ovom slučaju pozitivan. Kut Ψ je u ovom slučaju negativan jer je BL > BC Za spoj prema slici vrijedi: I = I R + I L + I C = U ⋅ G + U ⋅ (− jBL ) + U ⋅ jBC

I = U ⋅ (G + j ( BC − BL )) = U ⋅ (G + jB ), gdje je B = BC − BL Y = G + jB predstavlja tzv. admitanciju, pa je : (1.25) Izraz (1.24)

I = U ⋅Y

Primjer 3 : Treba izračunati apsolutni iznos struje i fazni kut između napona i struje za spoj prema slici, ako je:

U = 10 ⋅ e j 0 ; X C = 2 Ω; X L = 4 Ω; R = 3 Ω

113

I

+ U

I RL IC

R

C

L

Sl. 17

Struja kondenzatora iznosi: I C =

I RL =

10 10 = j 5 ( A); Struja kroz RL spoj: I RL = − j2 3 + j4

10 ⋅ (3 − j 4) = 1,2 − j1,6 ; I = I C + I RL = j 5 + 1,2 − j1,6 = 1, 2 + j 3,4 ( A) 25

U R = I RL ⋅ R = (1,2 − j1,6) ⋅ 3 = 3,6 − j 4,8 ; U L = I RL ⋅ jX L = (1,2 − j1,6) ⋅ j 4 = 6,4 + j 4,8 (V ) Apsolutni iznos struje iznosi: I = 1,2 + 3,4 = 3,6 ( A) 2

Početni kut struje: β I = arctg

2

3,4 = 73,60 ; ϕ = βU − β I = −73,60 1, 2

114

IC

UL I

ϕ

U = 10 ⋅ e j 0

Re

I RL

UR

Sl. 18

6.9. Pretvorba paralelnog spoja RL elemenata ekvivalentni serijski

Gp Rs Bp Paralelni spoj RL elemenata

XS

Ekvivalentni serijski spoj Sl. 19

Pretvorba paralelnog u serijski spoj se u električnim mrežama primjenjuje u slučajevima ako takova pretvorba mrežu pojednostavi. Pri toj pretvorbi prilike u ostalom dijelu mreže moraju ostati nepromijenjene. Zato mora biti zadovoljen uvjet da je: Z p = Z s

G p + jB p 1 = Rs + jX s ; = Rs + jX s , pa je: G p − jB p G p2 + Bp2 G B Rs = 2 p 2 ; X s = 2 p 2 Gp + Bp Gp + Bp

To znači da mora biti: (1.26)

115

6.10. Pretvorba serijskog RL spoja u ekvivalentni paralelni

Gp

XS

Rs

Bp Serijski spoj RL elemenata

Opet mora biti zadovoljen uvjet: G p − jB p =

(1.27)

Gp =

Ekvivalentni paralelni spoj

Sl. 20

1 R − jX s ; G p − jBp = s2 , pa je: Rs + jX s Rs + X s2

Rs X ; Bp = 2 s 2 2 R + Xs Rs + X s 2 s

Topografski dijagram Umjesto fazorskog dijagrama ponekad zorniju sliku spoja daje potencijalni dijagram ili poznat pod imenom topografski dijagram. Naziv potječe iz kartografije, gdje svakoj točki na karti odgovara točka na terenu. Tako u topografskom dijagramu svakoj točki u mreži odgovara potencijalna točka u kompleksnoj ravnini. Topografski dijagram dakle predstavlja skup točaka u kompleksnoj ravnini u kojima su definirani kompleksni potencijali. Prednost takovog dijagrama je u tome što zorno možemo odrediti potencijalne razlike tj. napone između proizvoljnih točaka mreže.

Im

I ⋅R

3

I

1

I ⋅ jX L

+

+

E

+ 2

+ 0

L

3

C

R

0

U 20

2 I ⋅ (− jX c )

I

ϕ

Re

E 1

Sl. 21 Primjer potencijalnog ili topografskog dijagrama spoja na slici 21 Pomoću sheme i topografskog dijagrama lako odredimo napon (potencijalnu razliku) između bilo kojih točaka spoja (mreže). 116

Fazori koji definiraju potencijale su ovdje orijentirani prema pozitivnom polaritetu. Tako je na primjer U 20 = I ⋅ jX L + I ⋅ R (prema topografskom dijagramu) ili ϕ 2 = ϕ 0 + I ⋅ jX L + I ⋅ R ;

ϕ 2 − ϕ 0 = U 20 = I ⋅ jX L + I ⋅ R direktno sa sheme spoja.

6.11. Rezonancija u električnim mrežama U mrežama izmjenične struje u kojima se pored omskog otpornika nalaze još i zavojnice te kondenzatori općenito je fazni kut ϕ između struje i napona različiti od nule. Ako su unatoč tome struja i napon u fazi onda je u mreži nastupila rezonancija (u cijeloj mreži ili dijelu mreže).

6.11.1. Serijska ili naponska rezonancija U serijskom spoju RLC elemenata nastupiti će rezonancija, ako je imaginarni dio impedancije jednak nuli. ( I m ( Z ) = 0 ). Impedancija serijskog spoja RLC elemenata iznosi: C

i

R

L

uR

uL

Sl. 22

+

uC

u

Z = R + j ( X L − X C ) , pa da bi nastupila rezonancija mora biti: X L − X C = 0 , tj. X L = X C , iz 1 1 1 , tj. ω 02 = , ili ω 0 = čega slijedi da je: ω 0 ⋅ L = L ⋅C ω0 ⋅ C L ⋅C Impedancija u rezonanciji iznosi: Z o = R ; Struja u rezonanciji poprima velike iznose, i iznosi: U jX I0 = ; U R = U ; U L = L ⋅U R R Fazorski dijagram za slučaj rezonancije:

U rezonanciji su apsolutni iznosi induktivnog i kapacitivnog otpora međusobno isti, i iznose:

UL (1.28)

UR =U

ϕ =0

UC

I

X L0 = X C 0 =

L = ρ → valni otpor C

Omjer napona na zavojnici ili kondenzatoru i napona izvora je poznat pod imenom dobrota strujnog kruga i označava s

U L UC ρ = = . Recipročna vrijednost je: U U R 1 R d = = ; → prigušenje strujnog kruga Q ρ

Q=

117

6.11.2. Frekventne karakteristike Ako u RLC spoju frekvencija postane različita od rezonantne promijeniti će se prilike u strujnom krugu. Budući da je fazni kut definiran kao: ϕ = arctg

X L − XC , a induktivnii kapacitivni otpor R

ovise o frekvenciji normalno je da će se promjenom frekvencije mijenjati i fazni kut:

I

+90

Za ω =0 X C = ∞ X L = 0 ϕ =-900

Z

Za ω =∞ X C = 0

0

0

ϕ

Krivulje čija je funkcijska ovisnost frekvencija se nazivaju frekventne karakteristike.

R

ω

ω0

−900

Sl. 23

izrazu: I (ω ) =

X L = ∞ ϕ =900

Struja o frekvenciji ovisi prema

U 1 ⎞ ⎛ R2 + ⎜ω L − ω C ⎟⎠ ⎝

, što znači da svoj maksimum dostigne pri ω = ω 0 .

2

1 Q 2Q 10Q

1 2

ω1

ω0

ω2

1

D Sl. 24 Rezonantne krivulje za različite Q Na slici 24 na ordinatu je nanesena normirana struja, a na apscisu reducirana frekvencija da bi se dobio što bolji uvid ovisnosti struje o frekvenciji.

118

Veličina y =

I U R R = ⋅ = . I0 Z U Z 2

1 ⎞ 1 ⎛ Impedanciju možemo izraziti kao: Z = R + ⎜ ω L − , slijedi da je ⎟ , i uz ρ = ω 0 L = ω 0C ωC ⎠ ⎝ 2

2

⎛ ω ω0 ⎞ ρ Z = R2 + ρ 2 ⎜ − ⎟ . Uvođenjem dobrote Q = impedanciju zapišemo R ⎝ ω0 ω ⎠ 2

1⎞ I R ⎛ kao: Z = R ⋅ 1 + Q ⎜ x − ⎟ . Budući da je y = = = I0 Z x⎠ ⎝

1

2

1⎞ ⎛ 1+ Q ⎜ x − ⎟ x⎠ ⎝

2

2

Ovdje treba obratiti pažnju kako faktor dobrote kruga Q utječe na oblik rezonantne krivulje y . Vidljivo je da većoj dobroti Q (ili manjem prigušenju d ) odgovara uža rezonantna krivulja. U praksi je takovo ponašanje interesantno u visokofrekventnoj tehnici, jer je moguće istaknuti, a time i izdvojiti struje željene frekvencije. Ovakav rezonantni krug se ponaša kao filtar koji signale čije su frekvencije bliske rezonantnoj slabo prigušuje, a ostale jače. Frekventni interval u kojem se normirana struja ne smanjuje ispod vrijednosti

1 naziva se širina propusnog pojasa D, a definirana 2

je donjom i gornjom graničnom frekvencijom. Sa stajališta selektivnosti rezonantna krivulja mora biti što uža, tj. s što većom dobrotom, ili s što manjim prigušenjem.

6.11.3. Paralelna ili strujna rezonancija

Z1

i1

Z2

i2

Im

IZ 2 I

Re

i

I Z1

+

u

Sl. 25

Sl. 26

Razmotriti ćemo opći slučaj strujne rezonancije za paralelni spoj impedancija Z1 i Z 2 . Da bi moglo doći do rezonancije jedna grana bora imati kapacitivni karakter, a druga induktivni.

Z1 = R1 + jX L ; Z 2 = R2 − jX C

119

U slučaju rezonancije je imaginarni dio ukupne admitancije jednak 0. Iz tog uvjeta slijedi da je :

ω0 =

1 ρ 2 − R12 L ⋅ , gdje je ρ = ρ 2 − R22 C LC

Struja I je struja koja teče iz izvora u spoj u slučaju rezonancije. Po apsolutnom iznosu može biti i manja od struja u granama. Za R1 = R2 = 0 (idealno stanje) struja I bi bila jednaka nuli, (što je naravno u praksi nemoguće realizirati), a frekvencija bi iznosila:

f =

1 2π LC

( Hz )

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.12. Snaga izmjenične struje

Ako se napon izvora mijenja prema u = U max ⋅ sin ω t i struja prema i = I max ⋅ sin(ω t − ϕ ) što znači da je struja induktivnog karaktera trenutna snaga je jednaka: (1.29)

p = u ⋅ i = U max ⋅ I max ⋅ sin ω t ⋅ sin(ω t − ϕ )

u , i, p

p

u i t

ϕ Sl. 27 Primjenjujući relaciju iz trigonometrije sin α ⋅ sin β = je: (1.30)

p = U ⋅ I ⋅ [ cos ϕ − cos(2ω t − ϕ ) ] .

1 ⋅ [ cos(α − β ) − cos(α + β )] slijedi da 2

Snaga je dakle periodički promjenljiva harmonična funkcija, samo je njezina frekvencija dvostruko veća od struje.

120

p

p

U ⋅I

U ⋅ I ⋅ cos ϕ t Sl.28-trenutna i srednja snaga Pomoću identiteta iz trigonometrije da je : cos(α − β ) = cosα ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β izraz 1.30 možemo zapisati kao: (1.31) p = U ⋅ I ⋅ cos ϕ ⋅ (1 − cos 2ω t ) − U ⋅ I ⋅ sin ϕ ⋅ sin 2ω t . Vidljivo je da prvi član izraza oscilira oko srednje vrijednosti U ⋅ I ⋅ cos ϕ dvostrukom frekvencijom i predstavlja djelatnu snagu: (1.32) P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ (W) ; cos ϕ je poznat pod imenom faktor snage. Drugi član oscilira dvostrukom frekvencijom oko nule i predstavlja tzv. jalovu ili reaktivnu snagu. (1.33) Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ (VA r ) To znači da je ustvari jalova snaga pokazatelj za količinu energije koja se prelijeva između izvora i trošila. Taj dio snage ne sudjeluje u pretvorbi energije izvora u drugi oblik. Ukupna ili prividna snaga je sastavljena iz djelatne i jalove snage prema :

S = P2 + Q2

(1.34)

(VA) ; (vrijedi za sinusoidalan oblik

struje) Slikovito se te snage mogu prikazati tzv. trokutom snaga: S =U ⋅ I

ϕ P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ

Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ

P = S ⋅ cos ϕ Q = S ⋅ sin ϕ Q tgϕ = P

Funkcija p(t ) ima ekstreme pri: α = ω t =

ϕ

α = ωt =

π +ϕ

(maksimum) 2 2 Ako uvrstimo α = ω t u izraz za trenutnu snagu p = u ⋅ i = U max ⋅ I max ⋅ sin ω t ⋅ sin(ω t − ϕ ) dobivamo: Maksimum Pmax = U max ⋅ I max ⋅ cos 2 Minimum

Pmin = U max ⋅ I max ⋅ sin 2

(minimum);

ϕ

2

ϕ

2

(apsolutni iznos)

Primjenom poznatih trigonometrijskih identiteta da je: sin 2

ϕ 2

+ cos 2

ϕ 2

=1 121

ϕ

ϕ

= cos ϕ dobivamo: 2 2 Pmax + Pmin U max ⋅ I max ⋅ = = U ⋅ I = S ( VA) , što predstavlja prividnu snagu 2 2 Pmax − Pmin U max ⋅ I max = ⋅ cos ϕ = U ⋅ I ⋅ cos ϕ ( W) , što naravno predstavlja djelatnu snagu. 2 2

i cos 2

− sin 2

Jalova snaga iznosi: Q = S 2 − P 2 = Pmax ⋅ Pmin

( VA r )

Ako je Pmin = Pmax = Ap , gdje je Ap amplituda trenutne snage, možemo reći da je tada jalova snaga jednaka amplitudi trenutne snage. (idealna zavojnica). Ako je Pmin = 0 djelatna snaga je jednaka srednjoj vrijednosti trenutne snage, a za prividnu snagu možemo reći da je jednaka najvećoj radnoj snazi koju izvor u ovim okolnostima može dati trošilu. Primjer 4 : Dva elektromotora s podacima: P1 = 1 kW, cosϕ1 = 0,6; P2 = 2 kW, cosϕ 2 = 0,8 rade paralelno na mrežu napona U. Koliki je zajednički faktor snage. Rješenje:

4 = 1,333 (kVA r ) 3 3 Q2 = P2 ⋅ tgϕ 2 = 2 ⋅ = 1,5 (kVA r ) 4 Ukupna jalova snaga iznosi: Q = Q1 + Q2 = 1,333 + 1,500 = 2,833 (kVA r ) Ukupna djelatna snaga iznosi: P = P1 + P2 = 1 + 2 = 3 (kW) Q 2,833 = 43,36 0 . Fazni kut iznosi: ϕ = arctg = arctg P 3 Ukupni faktor snage je: cos ϕ = 0,727 Q1 = P1 ⋅ tgϕ1 = 1 ⋅

6.12.1. Snaga u kompleksnom obliku Da bi izrazili snagu u kompleksnom području moramo prikazati fazore napona i struje u kompleksnom području i imati na umu da je snaga definirana faznim kutom između napona i struje tj. razlikom početnog kuta fazora napona i struje: ϕ = βU − β I . Na temelju toga lako zaključimo da je: ∗ ∗ (1.35) S = U ⋅ I , gdje je I konjugirano kompleksna struja. (vidi sliku 29).

U ⋅ I ∗ = U ⋅ I ⋅ e j βU ⋅ e − j β I = U ⋅ I ⋅ e jϕ

U = U ⋅ e j βU

Im

S = U ⋅ I ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ ) = P + jQ I = I ⋅ e j β I Primjer 5 : Trošilo impedancije Z = 3 + j 4 ( Ω) je priključeno

ϕ βI

na izvor napona U = 10 ⋅ e (V). Kolika je prividna, djelatna i jalova snaga trošila. Rješenje: Struja trošila iznosi: j0

βU Re

10 30 − j 40 = = 1,2 − j1,6 (A) 3 + j4 25 ∗ Snaga iznosi: S = U ⋅ I = 10 ⋅ (1,2 + j1,6) = 12 + j16 (VA). Sl. 29

I =

122

To znači da je : P = 12 (W), i Q=16 (VA r ) . Prividna snaga je: S =

P 2 + Q 2 = 122 + 162 = 20 (VA)

6.12.2. Snaga idealne zavojnice i kondenzatora Jalova snaga kondenzatora i zavojnice su u protufazi. Srednja snaga je u oba slučaja jednaka nuli.

pL

u

u

pC

iC

iL Sl. 31

Sl. 30

6.12.3. Snaga na djelatnom trošilu Ako je u krugu izmjenične struje samo djelatno trošilo (omski otpornik) postoji i samo djelatna snaga. Napon i struja su u fazi pa je trenutna snaga jednaka: p = U max ⋅ sin ω t ⋅ I max ⋅ sin ω t = U max ⋅ I max ⋅ sin 2 ω t ; za ( βU = 0 )

Srednja snaga je: P =

U max ⋅ I max , jer je 2

srednja vrijednost izraza

pR

1 T 2 1 ⋅ ∫ sin ω t ⋅ dt = pa je 2 T 0 U ⋅ 2⋅I ⋅ 2 P= = U ⋅ I (W) . To 2

u iR

znači da djelatna energija ima samo jedan smjer, i to naravno od izvora prema trošilu.

6.12.4. Popravljanje faktora snage Trošila kao što su na primjer asinkroni elektromotori predstavljaju omskoinduktivni teret za mrežu. Jalova energija koju takova trošila trebaju za njihovo funkcioniranje "kvari" faktor snage mreže, pa distributer i takovu energiju naplaćuje iako se ona prelijeva između izvora i trošila. Zato se u postrojenjima s takovim trošilima provodi kompenzacija jalove energije, što ima u prvom redu ekonomski učinak.

Sl. 32

123

(manje se plača distributeru). Osim toga smanjuje se ukupna struja u dovodu čime se vodovi rasterećuju i manje zagrijavaju kod istog presjeka. Kompenzacija se provodi tako da se paralelno takovim trošilima spajaju kondenzatori određenog kapaciteta.

IC U

ϕ

ϕZ

Iz fazorskog dijagrama je vidljivo da je ukupna struja po apsolutnom iznosu manja od struje I Z koja bi tekla iz izvora bez prisustva kondenzatora. U praksi se uglavnom provodi djelomična kompenzacija i to tako da fazni kut poslije kompenzacije bude u okviru zadanog od strane distributera (na primjer 0,97induktivno)

I

IZ Sl. 33

Izračunavanje potrebnog kapaciteta za kompenzaciju Potrebni kapacitet kondenzatora za kompenzaciju se odredi na osnovi postojećeg i željenog faktora snage. Poznati podaci su:

P (W)-djelatna snaga

Im

cosϕ -postojeći faktor snage cosϕ ′-novi faktor snage U- napon izvora

ϕ

ϕ′ P

Re QC

Sl. 34

Iz slike je vidljivo da je: tgϕ =

Q

Q P

Q − QC , pa je: QC = P (tgϕ − tgϕ ′) P QC (F) Potrebni kapacitet je: C = ω ⋅U 2 tgϕ ′ =

Primjer 6: Treba izračunati vrijednost kapaciteta C kondenzatora za kompenzaciju jalove snage , ako postrojenju iz primjera 4 želimo poboljšati faktor snage na 0,9.

Rješenje: Postojeći podaci iznose: cos ϕ = 0,727;

P = 3 kW; U=220 V QC = P ⋅ (tgϕ − tgϕ ′) = 3000 ⋅ (0,944 − 0,484) = 1379 (VA r ) Q 1379 = 90,69 µ F Potrebni kapacitet iznosi: C = C 2 = 314 ⋅ 2202 ωU 124

Postoji grupna i pojedinačna kompenzacija ( ako na primjer svaka armatura s fluorescentnom cijevi posjeduje kondenzator za kompenzaciju).

6.12.5. Prilagodba trošila na maksimalnu korisnu snagu Slično kao i u krugovima istosmjerne struje trošilo će od izvora primiti maksimalnu snagu ako je izvoru prilagođeno. Budući da se kod izmjenične struje pojavljuju i reaktivni otpori korisna snaga trošila je: Pt =

E 2 ⋅ Rt ( Ri + Rt ) 2 + ( X i + X t ) 2

(1.36)

Izraz slijedi iz slike spoja (Sl.35)

I

Zi

Xi Zt

+

E

Xt

Uvjet za maksimalnu korisnu snagu na trošilu je:

Zi

∂Pt ∂Pt =0 i = 0 u izrazu ∂Rt ∂X t

Rt = Ri Zt

dPt =

Sl. 35

Iz tih uvjeta slijedi da mora biti: (1.37)

∂Pt ∂P dRt + t dX t ∂Rt ∂X t

X t = − X i ; Rt = Ri ; tj. Z t = Z i∗

Maksimalna snaga kao i kod istosmjerne struje iznosi:

I

Pt =

Zi Zt

+

E

E2 , pri čemu je stupanj korisnosti η =0,5 4 ⋅ Rt

(1.38) Primjer 7: Na izmjenični izvor unutarnje impedancije Z i = 3 − j 4; E = 12 (V) treba priključiti trošilo takove impedancije da se na njemu oslobodi maksimalna korisna snaga. ∗

Rješenje: Z t = Z i ; Z t = 3 + j 4 ; Sl. 36

Maksimalna snaga iznosi: Pmax

E2 144 = = = 12 (W) 4 ⋅ Rt 4 ⋅ 3

Sa slike 36 je vidljivo da trošilo mora biti induktivnog karaktera ako je unutarnja impedancija izvora kapacitivnog karaktera.

125

7.MREŽE IZMJENIČNE STRUJE Izmjenična električna mreža sadrži veći broj izvora izmjenične struje, čiji su naponi i struje fazori, te sve vrste trošila (omska, induktivna i kapacitivna), koji su međusobno spojeni na najrazličitije načine (serija, paralela, trokut, zvijezda, mješovito). Za rješavanje izmjeničnih mreža na raspolaganju su nam sve poznate metode iz istosmjerne struje. Naravno rješavanje je složenije jer veličine nisu skalari.

7.1.Metoda Kirchhoffovih pravila Za postojeću mrežu treba zapisati toliko jednadžbi koliko mreža ima grana. Zadane vrijednosti su uobičajeno naponi naponskih ili struje strujnih izvora, a nepoznanice struje u granama mreže. Naravno postoje i druge mogućnosti. Način primjene Kirchhoffovih pravila za rješavanje mreža pokazati ćemo na jednostavnoj mreži s dvije neovisne konture (Sl. 37).

I1

I3

+

U1

jX L

I2 +

U2

R

− jX C

Sl. 37

Lijeva petlja: U1 = I1 ⋅ ( − jX C ) + I 3 ⋅ R ; Desna petlja: Čvorište:

U 2 = I 2 ⋅ jX L + I 3 ⋅ R I1 + I 2 = I 3

Sustav od tri linearne jednadžbe daje rješenja za I1 , I 2 i I 3 . Primjer 8: Neka je na slici 37 poznato: U1 = 10 ⋅ e ; U 2 = 20 ⋅ e ; R = 5 Ω; f = 50 Hz L = 12,74 mH; C = 1592 µ F i treba izračunati struje u granama: Rješenje: Najprije izračunamo iznose induktivnog i kapacitivnog otpora: j0

X L = ω ⋅ L = 314 ⋅ 12,74 ⋅ 10−3 = 4 Ω; X C = Lijeva petlja: − j 2 ⋅ I1 + 5 ⋅ I 3 = 10

j0

1 106 = =2 Ω ωC 314 ⋅ 1592

Desna petlja: j 4 ⋅ I 2 + 5 ⋅ I 3 = 20

I1 + I 2 − I 3 = 0

Čvorište:

Rješenje sustava triju linearnih jednadžbi je: I1 = j 5 (A); I 2 = − j 5 (A); I 3 = 0 (A)

7.2.Metoda konturnih struja I1 +

U1

I1 + I 2

I1

I2

R − jX C

jX L

Sl. 38

I2 +

U2

Metoda konturnih struja je također poznata iz istosmjerne struje, zato ćemo tu metodu ovdje primijeniti malo drugačije. Iz slike 38 je vidljivo da kroz zajedničku granu dviju neovisnih petlji (kontura) teče suma ili razlika struja tih petlji. U granama koje nisu 126

zajedničke teku konturne struje dotičnih petlji. Za tako koncipiranu mrežu možemo zapisati Kirchhoffov zakon za napone, gdje će se pojaviti samo dvije jednadžbe kao što bi bilo i kod uobičajene metode konturnih struja. Jednadžbe za ovu mrežu su: Lijeva kontura : U1 = I1 ⋅ ( − jX C ) + ( I1 + I 2 ) ⋅ R Desna kontura: U 2 = I 2 ⋅ jX L + ( I1 + I 2 ) ⋅ R Za mreži na slici 38. možemo zapisati.

10 = I1 ⋅ (− j 2) + ( I1 + I 2 ) ⋅ 5 20 = I 2 ⋅ j 4 + ( I1 + I 2 ) ⋅ 5 Ove dvije linearne jednadžbe daju rješenja

I1 = j 5 (A); I 2 = − j 5 (A); I 3 = I1 + I 2 = 0 (A) 7.3.Primjena Theveninovog teorema u mrežama izmjenične struje Primjenu Theveninovog teorema u spojevima izmjenične struje ćemo pokazati na primjeru prema Sl.39.

+

+

R1

jXL

+

Zt

U

A

B

R2

− jXC

Zadatak ćemo riješiti tako da u točkama A i B izračunamo napon pomoću Theveninovog teorema. Poznavajući taj napon lako odredimo i struje u granama. Najprije je potrebno izdvojiti element na kojem želimo izračunati napon i u tim točkama izračunati napon bez tog elementa. (Theveninov napon). Jasno da se izdvajanjem elementa Z t mreža pojednostavila. Theveninov napon u točkama A i B iznosi:

U T = −U ⋅

R1 jX L ) − (−U ⋅ R1 − jX C R2 + jX L

poštujući referentne polaritete. Sl.39

Zt =

Theveninov otpor iznosi:

R1 ⋅ (− jX C ) R2 ⋅ jX L + (prisjetimo se da naponski izvor mora biti kratko spojen). R − jX C R2 + jX L

Sastavimo novi spoj :

i

Napon na promjenljivom trošilu Z t iznosi:

ZT

+

(1.38) U t = U T ⋅

Ut

UT

Zt

Zt ZT + Z t

Primjer 9: U mreži prema slici 39 je poznato: Treba izračunati impedanciju tereta, tako da se njoj pojavi maksimalna korisna snaga. Koliko iznosi ta snaga.

U = 100 ⋅ e j 0 (V); ω = 5 kHz; R1 = R2 = 10 Ω; C = 10 µ F ; L = 2 mH 127 Sl. 40

Najprije izračunamo: X L = ω L = 5000 ⋅ 2 ⋅ 10 = 10 Ω −3

XC =

1 1 = = 20 Ω ω C 5000 ⋅ 10−5

R1 ⋅ (− jX C ) R2 ⋅ jX L −10 ⋅ j 20 10 ⋅ j10 + = + = (8 − j 4) + (5 + j 5) = 13 + j1 R1 − jX C R2 + jX L 10 − j 20 10 + j10 ∗ To znači da impedancija tereta mora biti: Z t = Z T = 13 − j1 Ω ZT =

Maksimalna snaga tereta je u tom slučaju:

(1.39) Pmax =

U T2 4 ⋅ RT

Theveninov napon izračunamo kao razliku potencijala u točkama A i B.

R1 jX L − (−U ⋅ ) = 30 + j10 (V) R1 − jX C R2 + jX L U T2 1000 = = 19,23 (W) : Pmax = 4 ⋅ RT 4 ⋅ 13 100 = 2 + j 4 (A) Struja kroz granu R1C iznosi : I R C = 10 − j 20 100 Struja kroz granu R2 L iznosi: I R L = = 5 − j 5 (A) 10 + j10 Napon na kondenzatoru: U C = (2 + j 4) ⋅ (− j 20) = 80 − j 40 (V) Napon na otporniku R1 iznosi: U R = (2 + j 4) ⋅ 10 = 20 + j 40 (V) U T = −U ⋅

1

2

1

Naravno U R1 + U C = 100 (V) Napon na otporniku R2 iznosi: U R2 = (5 − j 5) ⋅ 10 = 50 − j 50 (V) Napon na zavojnici iznosi: U L = (5 − j 5) ⋅ j10 = 50 + j 50 (V) Naravno da je U R2 + U L = 100 (V) Topografski dijagram spoja na slici 39 za određivanje Theveninovog napona

IR C

U = 100 V

1

IR L 2

UC

UR

UL

UR

1

2

U AB = U T

A

B Sl. 41

128

7.4.Millmanov teorem Millmanov teorem je pogodan za izračunavanje napona na trošilu kojeg napaja više realnih naponskih ili strujnih izvora koji su u paralelnom spoju. Isto tako moguće je jednostavno izračunati napon između čvorova paralelno spojenih izvora. Primjenu Millmanovog teorema u izmjeničnim mrežama ćemo pokazati na primjeru (Sl. 42). Millmanov teorem je poznat iz istosmjerne struje, zato ćemo ovdje samo objasniti praktičnu primjenu u mrežama izmjenične struje.

1

Z1

Z2

I1

+ E1

Z3

I2

I3

+

+

E2

E3 0 Sl. 42

Napon između čvorova 1 i 0 se prema Milmmanovom teoremu izrazi kao: (1.40)

U10 =

E1 ⋅ Y1 + E2 ⋅ Y2 + E3 ⋅ Y3 Y1 + Y2 + Y 3

Jasno da je praktično računanje složenije nego kod istosmjerne struje jer su naponi fazori, a admitancije kompleksne vrijednosti. Primjer 10: U spoju prema slici 42 treba izračunati napon U10 , i struje pojedinih izvora ako je zadano:

E1 = 100 ⋅ e j 0 ; E2 = 100 ⋅ e j 30 ; E3 = 100 ⋅ e j 60 ; ω = 1000 Hz Z1 = 1 Ω; Z 2 = j1 Ω; Z 3 = − j1 Ω 1 1 = 1 mH; C= = 1000 µ F L= 1000 1 ⋅ 1000

Napon između čvora 1 i 0 iznosi:

U0 =

100 + (86,6 + j 50) ⋅ (− j1) + (50 + j86,6) ⋅ j1 = 63,4 − j 36,6 (V) 1 − j1 + j1 129

Napon na impedanciji Z1 iznosi: U1′ = U1 − U 10 = 100 − 63, 4 + j 36,6 = 36,6 + j 36,6 (V) , pa je struja

I1 = U1′ ⋅ Y1 = 36,6 + j 36,6 (A)

U 2′ = U 2 − U10 = 23,2 + j86,6 (V) I 2 = U 2′ ⋅ Y2 = (23 + j86,6) ⋅ (− j1) = 86,6 − j 23 (A) U 3′ = U 3 − U10 = −13,4 + j123,2 (V) I 3 = U 3′ ⋅ Y3 = −123,2 − j13,4 (A) Primjer 11: Koliko pokazuje A-metar u spoju prema slici:

30 Ω A

220 Vef /50 Hz

100 µ F

0,1 H

Sl. 43 Najprije izračunamo apsolutne iznose induktivnog i kapacitivnog otpora.

1 106 X L = ω L = 314 ⋅ 0,1 = 31,4 Ω; X C = = = 31,85 Ω ω C 314 ⋅ 100 1 30 − j 31,4 Vodljivost RL grane iznosi: YRL = = = 0,0159 − j 0,01665 S 30 + j 31,4 1886 −6 Vodljivost kondenzatora iznosi: BC = jω C = j 314 ⋅ 100 ⋅ 10 = j 0,0314 S Ukupna vodljivost spoja je:

Y = YRL + jBC = 0,0159 − j 0,01665 + j 0,0314 = 0,0159 + j 0,01475 S

Apsolutni iznos admitancije iznosi: Y =

0,01592 + 0,014752 = 0,021688 S Apsolutni iznos struje koju pokazuje A-metar iznosi: I = U ⋅ Y = 220 ⋅ 0,021688 = 4,77 A

130

7.5.Trofazni izmjenični sustav Trofazni sustav za praksu ima mnogo veće značenje od jednofaznog sustava zbog prednosti kao što su: -Dva različita napona po iznosu: -Konstantna snaga -Ekonomičniji prijenos -Rotaciono magnetsko polje Trofazni sustav kakovog proizvode sinkroni generatori čine tri elektromotorne sile koje su jednake 0 po apsolutnim iznosima, i međusobno pomaknute za 120 . Takav sustav se zove simetrični trofazni sustav. Ako fazori elektromotornih sila rotiraju u smjeru kazaljke na satu sustav je negativni ili inverzni. Ako fazori elektromotornih sila rotiraju suprotno od kazaljke na satu onda je j120 uvedemo oznaku a , možemo vrlo jednostavno sustav pozitivni ili direktni. Ako za izraz e zapisati fazore pojedinih elektromotornih sila prema:

E1 = E1 ⋅ e j 0 = E1 Direktni sustav: (1.41)

E2 = E1 ⋅ e j 240

E1 = E1 ⋅ e j 0 = E1 Inverzni sustav:

: E2 = E1 ⋅ e

E3 = E1 ⋅ e j120

j120

E3 = E1 ⋅ e j 240

Karakteristika trofaznog simetričnog sustava je ta, da je suma elektromotornih sila u svakom trenutku jednaka nuli, tj. e1 + e2 + e3 = 0 , ili zapisano s fazorima E1 + E2 + E3 = 0 . Ta konstatacija slijedi

E1 + a 2 ⋅ E1 + a ⋅ E1 = E1 ⋅ (1 + a 2 + a ) = 0 . Dobro je upamtiti neke relacije s operatorom a , 3 4 2 ka o na primjer: a = 1; a = a; (1 + a + a ) = 0;

iz:

Operator a = −0,5 + j

3 3 ; a 2 = −0,5 − j 2 2

3 = 0,866 2

Fazorski i vremenski dijagram trofaznog direktnog simetričnog sustava

e1

E3 E1

e3

e2 1200

2400

t

E2 Sl. 42 Trenutačne vrijednosti napona koji se pojavljuju na stezaljkama trofaznog izvora možemo zapisati u1 = U max ⋅ sin(ω t ) kao:

u2 = U max ⋅ sin(ω t − 1200 ) u3 = U max ⋅ sin(ω t − 2400 ) 131

7.6. Spojevi izvora i trošila u trofaznom sustavu Uobičajeni spojevi izvora i trošila trofazne struje su: -spoj u zvijezdu -spoj u trokut Namoti transformatora se još spajaju i u spoj poznat pod imenom cik-cak.

7.6.1.Spoj u zvijezdu Spoj u zvijezdu može se realizirati

-a) s 0-vodom -bez 0-vodom

Spoj izvora u zvijezdu s 0-vodom (Sl. 43)

Uf

+

U3

UL +

U2

Kao što je vidljivo iz slike krajevi izvora (namota sinkronog generatora) su spojeni u zajedničku točku, koja se zove 0-točka L1 ili zvijezdište. Počeci namota (izvora) su spojeni na vodiče koji se zovu "faze" ili fazni vodiči, a oznake su L1, L2, L3 (linije 1,2 ,3 -stare oznake su R, S, T). Vodič koji je spojen na zvijezdište L2 se zove 0-vod i označava se sa N. Karakteristika spoja u zvijezdu je da postoje dva napona: a) napon između faznog vodiča i 0-vodiča koji se zove fazni L3 napon. b) Linijski napon koji vlada između pojedinih faza

+

U1

N Sl. 43

Fazorski dijagram napona

Kao što je vidljivo iz fazorskog dijagrama linijski napon je jednak razlici faznih napona. Tako je :

3 U 31

U3

U 23

U12 = U1 − U 2 ; U 23 = U 2 − U 3 ; U 31 = U 3 − U1 U1

0 U2

1

Linijski napon je po apsolutnom iznosu veći od faznog i to:

U12

2 Sl.44

U12 = U1 − a 2 ⋅ U1 = U1 ⋅ (1 − a 2 )

U12 = U1 ⋅ (1 + 0,5 + j

3 3 3 ) = U1 ⋅ ( + j ) 2 2 2

Apsolutni iznos linijskog napona iznosi: (1.42)

2 ⎞ ⎛ 2 ⎛3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎜ U12 = U L = U f ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ =U f ⋅ 3 ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎟ ⎝ ⎠ To znači da je linijski napon veći od faznog 3 puta. Tako je na primjer linijski napon gradske mreže 380 V, a fazni 220 V, jer je 380 220 ⋅ 3

Linijski napon U12 možemo zapisati kao: U12 = U12 ⋅ e

j 30

.

132

7.6.2. Spoj izvora i trošila u zvijezdu-simetrično opterećenje Z1

I2

Z2

+

U3

I1

+

U2

+

U1

I3

Z3

Iz samog spoja je vidljivo da struja koja teče kroz liniju je ujedno struja izvora i struja trošila, što znači da kod spoja zvijezda egzistira samo jedna vrsta struje, tj. linijska struja je jednaka faznoj. (linijska struja je ona struja koja teče kroz pojedine "faze" (linije L1, L 2, L3 ), a fazna ona koja teče kroz trošila i namote izvora (generatora). Za simetrično opterećenje vrijedi da je suma svih struja jednaka nuli tj.: I1 + I 2 + I 3 = 0 , što dalje znači da je struja 0-voda jednaka 0. Prema tome 0-vod kod simetričnog opterećenja niti nije potreban.

I0 Sl.45

Fazorski dijagram simetričnog opterećenja: Naravno da se prema fazorskom dijagramu radi o induktivno-omskom opterećenju (na primjer ako je trošilo asinkroni motor), jer struje su simetrične i zaostaju za svojim faznim naponima.

U3

I3

ϕ I2

ϕ

I još nešto o označavanju namota: Počeci namota kod trofazne struje se označavaju oznakama: U1, V1, W1, a krajevi namota. U2, V2, W2

0 ϕ

U1

U1

U2

V1

V2

W1

W2

I1

U2

Sl.46a

Sl.46 7.6.3. Spoj izvora u trokut

+

1

2 1

E3

L1

E1

L2 +

E2

+ 3

Sl.47

L3

133

Kao što je vidljivo iz slike kraj prvog izvora spojen je s početkom drugog, kraj drugog s početkom trećeg, i kraj trećeg s početkom prvog. Naravno da su naponi pojedinih izvora u fazi takav spoj bi bio nedozvoljen. Kod trofazne struje suma napona je jednaka nuli, pa je takav spoj dozvoljen (naravno ako su naponi simetrični, istog oblika i iste frekvencije). Ovakav spoj ne posjeduje zvijezdište što znači da nije moguće izvesti nul vod. Zbog toga ovdje postoje samo linijski (međufazni ) naponi.

7.6.4. Spoj izvora i trošila u trokut 1 +

I12

I1

L1

E1

If Z

2

I 23

1

E3

+

+

E2

I 31

L2

If

I2

Z

Z If

3 L3

Sl. 48

I3

Vidimo da kod ovog spoja postoje dvije vrste struja. Struja koja teče kroz "linije" je linijska struja, a struja koja teče kroz izvore (u praksi su to namoti trofaznog sinkronog generatora) i trošila je fazna struja. Tako na primjer za čvor 1 vrijedi Kirchhoffov zakon čvorišta: I12 − I1 − I 31 = 0 ili I1 = I12 − I 31 . Budući da je fazni pomak između struja kod simetričnog 0

opterećenja jednak 120 linijska struja je : (1.43)

IL = 3 ⋅ I f .

7.7. Snaga trofaznog sustava Općenito vrijedi da je ukupna korisna snaga višefaznog sustava jednaka zbroju snaga pojedinih faza, tj.: Pu =

m

∑U i =1

i

⋅ I i ⋅ cos ϕ i , gdje je m → broj faza . Zato je ukupna djelatna snaga trofaznog

sustava Pu = 3 ⋅ U f ⋅ I f ⋅ cos ϕ . Kod trofazne struje su uobičajene linijske vrijednosti. Tako na primjer kad kažemo da je 400 kV dalekovod u kvaru naveli smo njegov linijski napon. Kad se snaga izrazi s linijskim vrijednostima struje i napona izraz je isti bez razlike na spoj. Za spoj zvijezda vrijedi: P3 = 3 ⋅

U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ gdje su napon i struja linijske vrijednosti. 3 Za spoj u trokut vrijedi:

p p1

P3 p 2

P3 = 3 ⋅ U ⋅

p3

t

I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ , dakle 3

isto. Na slici 49 je prikazana vremenska ovisnost djelatnih snaga pojedinih faza i ukupna djelatna snaga trofaznog simetričnog sustava, koja je konstantna. To općenito vrijedi za sve višefazne sustave.

Sl.49

134

7.7.1 Primjer dvofaznog sustava Pretpostavimo čisto radno opterećenje pri čemu su struja i napon u fazi. Snaga prve faze je: p1 = U max ⋅ I max ⋅ sin 2 ω t . Snaga druge faze je: p2 = U max ⋅ I max ⋅ cos 2 ω t . Ukupna snaga dvofaznog sustava je:

p = p1 + p2 = U max ⋅ I max ⋅ (sin 2 ω t + cos 2 ω t ) = U max ⋅ I max = 2 ⋅ U ⋅ I = P2 (W)

Vidljivo je da se snage pojedinih faza mijenjaju od 0 do svoje maksimalne vrijednosti, ali je ukupna snaga dvofaznog sustava opet konstantna.

P2 p1

p2

Sl. 52

135

7.7.2. Djelatna snaga trošila u trofaznom sustavu Kao što već znamo trošila mogu biti spojena u zvijezdu ili trokut. Pri tome ne smijemo zaboraviti da kod spoja u zvijezdu na simetričnim trošilima vladaju fazni naponi, a kod spoja u trokut linijski naponi. Kod priključka trošila na izvor moramo poštivati nazivne podatke dotičnih trošila kao što su : a) -nazivna snaga -nazivni napon -nazivna frekvencija -nazivna struja itd. Ti podaci su uobičajeno ispisani na natpisnoj pločici dotičnog trošila. Ako se u pogonu odstupa od nazivnih podataka trošilo se može oštetiti.

7.7.3. Djelatna snaga trofaznog simetričnog trošila u spoju zvijezda Kao što smo već spomenuli u spoju zvijezda na pojedinim trošilima trofaznog trošila vladaju fazni naponi . Snaga jednog trošila iznosi: R L1

UL

R

L2 R L3 Sl.50

Uf

(1.44)

U 2f

U 2f

1 U L2 U L2 = 3⋅ ⋅ = P1 = , a ukupna snaga je: P3 = 3 ⋅ P1 = 3 ⋅ (W) R R R 3 R 7.7.4. Djelatna snaga trofaznog simetričnog trošila u spoju trokut U spoju trokut na pojedinim trošilima trofaznog trošila kao cjeline vladaju linijski naponi. Snaga

U2 U2 , a ukupna snaga je P3 = 3 ⋅ P1 = 3 ⋅ pojedinih trošila u spoju trokut je: P1 = R R

To znači da je snaga trošila u spoju trokut tri puta veća od snage tih istih trošila spojenih u zvijezdu, tj. (1.45)

P∆ = 3 ⋅ PY .

L1 R

UL L2

R R

L3 Sl.51

136

7.7.5. Mjerenje snage pomoću dva W-metra

L1

W

W

L2

Simetrično trofazno trošilo

S praktičnog stajališta interesantno je mjerenje snage pomoću 2 W-metra, ako je opterećenje simetrično. Mjerenje se izvodi prema shemi na slici 52.

L3 Sl. 52

Pripadni fazorski dijagram

U13

U 3 ϕ I3 U 23 I2

ϕ ϕ

U1 I1

U2

U13

U 23 Sl. 51

W-metar u fazi L1 mjeri linijski napon U13 , pa je pripadna djelatna snaga :

P1 = U13 ⋅ I1 ⋅ cos(30 − ϕ ); P2 = U 23 ⋅ I 2 ⋅ cos(ϕ + 30) P = P1 + P2 = U ⋅ I ⋅ (cos300 ⋅ cos ϕ + sin 300 ⋅ sin ϕ + cos300 ⋅ cos ϕ − sin 300 ⋅ sin ϕ ) (1.46) P = U ⋅ I ⋅ 2 ⋅ cos300 ⋅ cos ϕ = U ⋅ I ⋅ 2 ⋅

3 ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ 2

Naravno izraz 1.46 predstavlja snagu trofazne struje. Ako fazni kut ϕ trošila kojemu mjerimo snagu postane veći od 60 snaga P2 postane negativna pa u tom slučaju treba zamijeniti početak i kraj 0

137

naponskog ili strujnog svitka da bi otklon bio pozitivan. Naravno da sada snagu P2 u računu vodimo s negativnim predznakom. Dobro je uvidjeti što predstavlja razlika snaga koje izmjere W-metri (kada je priključak uobičajeni).

P1 − P2 = U ⋅ I ⋅ 2 ⋅ sin 300 ⋅ sin ϕ = U ⋅ I ⋅ sin ϕ

To znači da izraz 3 ⋅ ( P1 − P2 ) predstavlja ukupnu jalovu snagu trofaznog simetričnog sustava. To nam omogućuje izračunavanje faznog kuta pomoću izmjerenih snaga:

3 ⋅ ( P1 − P2 ) P1 + P2 Primjer 12: Koliko iznose fazne i linijske struje, djelatna i jalova snaga simetrično opterećenog trofaznog sustava u spoju zvijezda-zvijezda bez o vodiča, ako je poznato: E = 220 ⋅ e j 0 ; Z = 3 + j 4 Ω

ϕ = arctg

(1.47)

0

Rješenje: Budući da je sustav simetrično opterećen nije potreban 0-vodič. Struje prve faze

E1 220 = = 44 ⋅ e− j 53,1 (A) Z 3 + j4 I 2 = a 2 ⋅ I1 = I1 ⋅ e j 240 ⋅ e j ( −53,1 ) = 44 ⋅ e j186,9 (A)

iznosi:

I1 =

0

0

0

0

I 3 = a ⋅ I1 = e j120 ⋅ 44 ⋅ e j ( −53,1 ) = 44 ⋅ e j 66,9 (A) 0

0

0

Linijske i fazne struje su jednake, I L = I f = 44 (A)

Linijski napon je naravno: U L = U f = 220 ⋅ 3 ≈ 380 (V)

3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 380 ⋅ 44 ⋅ cos53,10 = 17424 (W) 4 Jalova snaga iznosi: Q = 3 ⋅ 220 ⋅ 44 ⋅ = 23232 (VA r ) 5 7.8. Nesimetrični trofazni sustav Djelatna snaga iznosi: P =

Općenito nesimetrični trofazni sustav je takav sustav u kojem je nesimetričan sustav elektromotornih sila izvora, a impedancije tereta su međusobno različite. U praksi je češći slučaj gdje je sustav napona izvora simetričan, a nesimetriju izaziva nesimetrično opterećenje. Posljedice takovog stanja su: - Pojava napona između zvijezdišta izvora i zvijezdišta trošila - Pojava nesimetričnih napona na trošilima - Pojava struje 0-voda ako 0-vod postoji

7.8.1. Nesimetrično opterećenje u spoju zvijezda-zvijezda bez 0-voda Sustav napona izvora je simetričan, ali zbog različitosti impedancija nastupa nesimetrija: Znači da je: Z1 ≠ Z 2 ≠ Z 3

U1

U2 0 U3

+

I1

Z1

+

I2

Z2

+

I3

Z3

0′

Sl.52

138

Između zvijezdišta izvora i trošila pojavi se napon: (1.48)

U0 =

U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y2 + U 3 ⋅ Y3 (Millmanov teorem) Y1 + Y2 + Y3

Posljedica pojave tog napona su promjene napona pojedinih trošila prema: U1′ = U1 − U 0 ; U 2′ = U 2 − U 0 ; U 3′ = U 3 − U 0 . (1.49) Naravno da su i struje nesimetrične te iznose:

I1 = U1′ ⋅ Y1 ; I 2′ = U 2′ ⋅ Y2 ; (1.50) Topografski dijagram napona 1 0

I 3′ = U 3′ ⋅ Y3

I1

U1

2

R

+

+

L

0′

UL

UR

U 3′

2

U3

UR UL

0

U0

ϕ1

U1

1 U1′

0′

U2

Ovdje je: U1 = U10 = E1;

I1

U 2′

U1′ = U10′ ;

U 0 = U 0′0

Iz fazorskog dijagrama je vidljivo da se fazni naponi promjene i po apsolutnom iznosu i po faznom kutu. Razmotrit ćemo karakteristične slučajeve koji mogu nastati u trofaznoj mreži: -Kratki spoj u jednoj fazi -Prekid u jednoj fazi Kratki spoj u fazi L3 Ako je u jednoj fazi (na primjer u fazi L3) došlo do kratkog spoja, to znači da impedancija u toj fazi ima iznos 0, ili admitancija ima beskonačno veliku vrijednost. Prema Millmanovom teoremu slijedi:

U0 =

U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y2 + U 3 ⋅ Y3 = U 3 (brojnik i nazivnik podijelite s Y3 i uvrstite vrijednost za Y3 ). Y1 + Y2 + Y3 139

U1′ = U1 − U 0 = U1 − U 3 = U13 ⋅ e − j 30 = 3 ⋅ U1 ⋅ e − j 30 0

0

Naponi na pojedinim impedancijama su: U 2′ = U 2 − U 0 = U 2 − U 3 = − j 3 ⋅ U1

U 3′ = U 3 − U 0 = U 3 − U 3 = 0

Za gradsku mrežu 380/220 V to bi iznosilo: U1′ = U 2′ = 380 (V); U 3′ = 0 (V)

Topografski dijagram takovog stanja :

0′ U 3′ = 0

U1′ U3

U1 U 2′

0 U2 Sl. 53

Prekid u fazi L3 Ako je u fazi L3 došlo do prekida iznos impedancije Z 3 je beskonačno velik, odnosno iznos admitancije Y3 je 0. U tom slučaju napon zvijezdišta U 0 iznosi:

U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y2 + U 3 ⋅ Y3 U1 ⋅ Y + U 2 ⋅ Y Y ⋅ (U1 + U 2 ) U1 + U 2 = = = Y1 + Y2 + Y3 Y +Y 2 ⋅Y 2 Naponi na pojedinim impedancijama: U0 =

140

U1′ = U1 − U 0 = U1 −

U U1 + U 2 U1 − U 2 = ; U1′ = L 2 2 2

U U1 + U 2 U 2 − U1 = ; U 2′ = L 2 2 2 U + U2 −U 3 3 U ⋅ 3 U 3′ = U 3 − U 0 = U 3 − 1 = U3 − = ⋅ U 3 ; U 3′ = L 2 2 2 2 Vidimo da se napon na impedanciji u prekidu povećao, a u ostale dvije faze smanjio:

U 2′ = U 2 − U 0 = U 2 −

Za gradsku mrežu 380/220 V to bi iznosilo: U1′ = U 2′ = 190 (V); U 3′ = 330 (V)

U 3′

U3

U1

0

U1′

U2 U 2′

0′

Sl. 54 Naravno takovo stanje bi nastalo u mreži bez 0-voda. (kada bi došlo i do prekida 0-voda).

141

Primjer 13: Koliko pokazuje A-metar u spoju prema slici 55, ako je: U = 3 × 400 (V)/50 (Hz)

R = 40 Ω

I1

L1

R = 40 Ω

I2

L2

IA

A

L3

Sl. 55 Pripadni topografski dijagram

0′

U 3′ = 0 U1′

U3

0

U 2′

U1

U2

Sl.56 Iz dijagrama je vidljivo da je: U1′ = 400 ⋅ e

− j 300

(V); U 2′ = − j 400 (V)

400 ⋅ e − j 30 = 10 ⋅ e − j 30 (A); I 2 = − j10 (A) Struje u fazi L1 iznosi: I1 = 40 I A = I1 + I 2 = 5 ⋅ 3 − j 5 − j10 = 5 ⋅ 3 − j15; 0

0

Struja A-metra je;

IA =

(5 ⋅ 3 )

2

+ 152 = 300 = 10 ⋅ 3 = 17,3 (A)

Primjer 14: Koliko pokazuje idealni V-metar u spoju prema slici 57.

142

100 Ω L1

− j100 Ω L2

100 + j100 Ω L3 N

V Sl. 57

Idealni V-metar će pokazivati apsolutni iznos napona zvijezdišta, koji se je pojavio zbog nesimetričnog opterećenja. Taj napon izračunamo pomoću Millmanovog teorema:

U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y2 + U 3 ⋅ Y3 . Najprije ćemo izračunati sumu admitancija Y1 + Y2 + Y3 1 Y1 + Y2 + Y3 = 0,01 + j 0,01 + = 0,015 + j 0,005 S 100 + j100 2,3 + (−115 − j199,18) ⋅ j 0,01 + (−115 + j199,18) ⋅ (0,005 − j 0,005) U0 = 0,015 + j 0,005 4,7127 + j 0,4209 4,7314 U0 = ; U0 = = 299, 45 (V) 0,015 + j 0,005 0,0158 U0 =

7.8.2. Indikator redoslijeda faza U praksi je veoma važno poznavati jeli neki trofazni sustav direktni ili indirektni. To je prije svega važno za sinkrone i asinkrone motore jer o tome ovisi njihov smjer vrtnje. U visokonaponskoj tehnici bitan je i redoslijed faza radi kompatibilnosti različitih sustava. Primjer realizacije indikatora redoslijeda faza prikazan je na slici 58. Ako se C odabere tako da je Bc = G , pojavi se izrazita nesimetrija napona na elementima. Zbog toga žarulje u fazama L2 i L3 različito svijetle, što predstavlja podatak za redoslijed faza.

143

R L3 R L2 C L1 Sl. 58 Topografski dijagram spoja na slici 58

U 3′ 0′ U0

U3 U 2′

U1′ 0

U1

U2

Sl.59

Napon zvijezdišta je: U 0 =

(1.51)

U0 =

U1 ⋅ jBC + U 2 ⋅ G + U 3 ⋅ G U1 ⋅ jBC + G ⋅ (U 2 + U 3 ) = jBC + G + G jBC + 2 ⋅ G

jBC ⋅ U1 − G ⋅ U1 U1 ⋅ ( jG − G ) j −1 = = U1 ⋅ = U1 ⋅ (−0, 2 + j 0,6) jBC + 2 ⋅ G jG + 2 ⋅ G j+2

Na primjer za C = 2 µ F i R = 1592 Ω i f = 50 Hz napon U 2′ = 330 V; U 3′ = 88 V , pa će žarulja u fazi 2 puno jače svijetliti. Zamijenimo li drugu i treću fazu nastao je inverzni sustav kojeg registrira žarulja Ž2 jačim svjetlom. Lijeva slika prikazuje direktni sustav, a desna inverzni 144

7.8.3. Nesimetrično opterećenje u trofaznom sustavu s 0-vodom

Z1

I2

Z2

+

U3

I1

+

U2

+

U1

I3

Z3

I0

Z0

Sl.60 Ovakav slučaj u praksi je i najčešći, gotovo uobičajen. Na trofazni simetričan sustav priključuju se trofazna i jednofazna trošila. Jednofazna trošila izazivaju nesimetriju, jer u principu vrijedi da je: Z1 ≠ Z 2 ≠ Z 3 . struje po fazama se također međusobno razlikuju, i njihova suma je jednaka struji 0-voda. Dakle I 0 = I1 + I 2 + I 3 . Naravno i ovdje se pojavi napon zvijezdišta, ali manji nego u spoju bez 0-voda, u skladu s Millmanovim teoremom: (1.52)

U0 =

U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y2 + U 3 ⋅ Y3 Y1 + Y2 + Y3 + Y0

Vidljivo je da manja impedancija 0-voda smanjuje napon zvijezdišta, što smanjuje i nesimetriju. 145

Primjer 15: Neka je u spoju na slici 60 napon 380/220 V, i Z1 = Z 2 = 1 Ω; Z 3 = 2 Ω; Z 0 = 0,1 Ω . Treba izračunati napon zvijezdišta i struju 0-voda. Riješenje : Napon zvijezdišta odredimo pomoću Millmanovog teorema:

U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y2 + U 3 ⋅ Y3 U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y1 + U 3 ⋅ Y3 −Y1 ⋅ U 3 + 0,5 ⋅ Y1 ⋅ U 3 = = 2 ⋅ Y1 + Y3 + Y0 2 ⋅ Y1 + 0,5 ⋅ Y1 + 10 ⋅ Y1 Y1 + Y2 + Y3 + Y0 −0,5 ⋅ U 3 U U0 = = − 3 = 4,4 − j 7,621 ( V) ; 12,5 25 2200 ⋅ (−0,5 + j 0,866) a ⋅ 220 Struja 0-voda iznosi: I 0 = U 0 ⋅ Y0 = − ⋅ 10 = − 25 25 I 0 = 44 − j 76,21 ( A) Naponi na trošilima: U1′ = U1 − U 0 = 220 − (4, 4 − j 7,621) = 215,6 + j 7,621 ( V) U0 =

U 2′ = U 2 − U 0 = −110 − j190,52 − (4,4 − j 7,621) = −114,4 − j182,899 ( V) U 3′ = U 3 − U 0 = −110 + j190,52 − (4,4 − j 7,621) = −114,4 + j198,141 ( V) Simulacija u EWB-u

146

Stanje u slučaju prekida 0-voda

Struje pojedinih faza su: I1 = U1′ ⋅ Y1 = 215,6 + j 7,621 ( A)

I 2 = U 2′ ⋅ Y2 = −114,4 − j182,899 ( A) I 3 = U 3′ ⋅ Y3 = −57,2 + j 99,07 ( A) I1 + I 2 + I 3 = 44 − j 76,208 ( A)

U slučaju prekida 0-voda nastala bi značajnija nesimetrija jer bi napon zvijezdišta tada iznosio:

U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y2 + U 3 ⋅ Y3 U1 ⋅ Y1 + U 2 ⋅ Y1 + U 3 ⋅ Y3 −Y1 ⋅ U 3 + 0,5 ⋅ Y1 ⋅ U 3 = = 2 ⋅ Y1 + Y3 2 ⋅ Y1 + 0,5 ⋅ Y1 Y1 + Y2 + Y3 0,5 ⋅ U 3 U U0 = − = − 3 ; U 0 = 44 ( V) 2,5 5

U0 =

Grafičko određivanje napona zvijezdišta, ako nema 0-voda Ako dođe do prekida u fazi L3 vrijedi odnos: U1′ : U 2′ = 1:1

Ako dođe do prekida u fazi L1 vrijedi odnos: U 3′ : U 2′ = 2 :1 Uzimajući u obzir ove odnose dobili smo sjecište pravaca koje određuje napon zvijezdišta. Naravno ovo treba shvatiti kao specifičan slučaj kada su tereti čista omska trošila u sve tri faze.

147

5

10

U3 0

5

10

U1 U0 0′

U2

Sl.61

7.9. Metoda simetričnih komponenata U energetskim električnim mrežama složene kvarove koji izazivaju nesimetriju sustava, često je puta lakše analizirati ako nesimetrični sustav zamijenimo sa tri simetrična, a to su: -direktni sustav -inverzni sustav -nulti sustav To nam omogućuje metoda simetričnih komponenata.

I3 I1

=

Id

+

Ii

I0

+

I2

Sl. 64 Dovoljno je odrediti samo jednu komponentu simetričnih sustava, jer su druge dvije povezane s prvom operatorima rotacije. Komponente nesimetričnog sustava zapišemo kao: I1 = I d + I i + I 0

I 2 = a 2 ⋅ I d + a ⋅ Ii + I0 I3 = a ⋅ I d + a 2 ⋅ Ii + I 0 Jednostavnim zbrajanjem jednadžbi dobijemo: I1 + I 2 + I 3 = I d ⋅ (1 + a 2 + a) + I i ⋅ (1 + a + a 2 ) + 3 ⋅ I 0 Otprije znamo da je 1 + a + a 2 = 0 , pa je 148

1 I 0 = ⋅ ( I1 + I 2 + I 3 ) 3 Ako drugu jednadžbu pomnožimo s a i treću s a 2 dobijemo izraz za simetričnu komponentu direktnog sustava: 1 I d = ⋅ ( I1 + a ⋅ I 2 + a 2 ⋅ I 3 ) (1.54) 3 Ako drugu jednadžbu pomnožimo s a 2 i treću s a dobijemo izraz za simetričnu komponentu inverznog sustava: 1 I i = ⋅ ( I1 + a 2 ⋅ I 2 + a ⋅ I 3 ) (1.55) 3 (1.53)

7.10. Okretno magnetsko polje Uvjet za nastanak okretnog magnetskog polja je: a) prostorno pomaknuti namoti po obodu rotacijskog stroja b) fazno pomaknute struje koje teku tim namotima Oba ova uvjeta su ispunjena kod trofaznih sinkronih i asinkronih motora, pa kod tih strojeva obodom statora rotira magnetsko polje brzinom (1.56)

ns =

60 ⋅ f (min −1 ) , što je uobičajeni podatak p

kod električnih strojeva, gdje je: ns tzv. sinkrona brzina.

f → frekvencija (Hz) i p → broj pari magnetskih polova .

To znači da pri frekvenciji gradske mreže od 50 Hz broj okretaja u minuti može maksimalno iznositi 3000 (min-1). Pobliže ćemo razmotriti, zašto magnetsko polje višefaznog namota (u ovom slučaju trofaznog) kroz kojeg teku fazno pomaknute struje rotira. Na slici 62 je prikazano stanje u trenutku kada je struja kroz namot U1-U2 maksimalna. Struje kroz namote V1-V2 i W1-W2 u istom trenutku imaju iznose I max ⋅

W1

1 , i suprotnog su smjera. 2

V2

U2

U1

i1 = I max

i2 = i3 = − I max ⋅ V1

1 2

W2

149

Priključci namota su na U1, V1, i W1, čime je postignut geometrijski pomak. Struja i1 za dati trenutak ulazi na U1, struja i2 izlazi na V1 (ima suprotan smjer od i1 ) i struja i3 izlazi na W1. Smjer magnetske indukcije pojedinog namota odredimo pravilom desne ruke (savijene prste postavimo u smjer struje kroz namot, a ispruženi palac određuje smjer magnetske indukcije dotičnog namota).

BU 1−U 2 V2

W1

U2

BV 1−V 2

BW 1−W 2 U1

V1

W2 Sl. 63

(1.57)

Brez . = BU 1−U 2 + BV 1−V 2 + BW 1−W 2 = Bmax + 2 ⋅

Bmax ⋅ sin 300 = 1,5 ⋅ Bmax 2

gdje je Bmax maksimalna indukcija namota jedne faze. Vektor magnetske indukcije apsolutnog iznosa 1,5 ⋅ Bmax će rotirati obodom statora u kojem je namot smješten, jer se tijekom vremena mijenja smjer rezultantnog magnetskog polja. Treba primijetiti da je općenito iznos rezultante magnetske indukcije jednak

m ⋅ Bmax gdje je m broj faza. 2

Rezultantno magnetsko polje višefaznog namota je dakle vremenski konstantno i prostorno promjenljivo polje.

7.10.1. Polje jednofaznog namota B

Sl. 64

B

Iz slike 64 je vidljivo da će se promjenom smjera struje kroz namot promijeniti i orijentacija vektora magnetske indukcije, što znači da će polje pulsirati unutar maksimalne pozitivne i negativne +

-

A

B

150 S l. 65

vrijednosti .Jednofazni namot dakle stvara pulsirajuće polje koje je prostorno stalno. Praksa dokazuje da se takovo polje može tretirati kao dva rotaciona polja čije su orijentacije suprotne. Ako su rotacije vektora A i B suprotne suma tih vektora "pulsira", ali ne mijenja smjer. To dakle znači da se takav "pulsirajući vektor" može rastaviti na dva rotirajuća vektora čije su rotacije suprotno orijentirane. Praktična potvrda te tvrdnje se može provjeriti kod jednofaznog asinkronog motora.

7.11. Međuinduktivitet u mrežama izmjenične struje Električne mreže koje se pojavljuju u praksi sadrže aktivne i pasivne elemente koji su fizički u neposrednoj blizini. Zbog toga među svicima istog ili različitih strujnih krugova može doći do međuinduktivnog djelovanja. Elektromotorna sila koja se u svitku 1 inducira radi promjene vlastitog magnetskog toka Φ je određena induktivitetom L1 prema poznatom izrazu: di di eL1 = − L1 ⋅ 1 ; uL1 = L1 1 . (1.58) dt dt U svitku 2 koji je silnicama toka Φ11 međusobno povezan sa svitkom 1 javlja se inducirana EMS međuindukcije, čiji je iznos definiran ulančanim magnetskim tokom druge zavojnice, tj. Ψ 21 . Pritom je Φ11 ukupni magnetski tok kojeg je stvorila zavojnica 1, a Ψ 21 = N 2 ⋅ Φ 21 = M 21 ⋅ i1 ulančani tok zavojnice 2. Tok Φ 21 je tok druge zavojnice kojeg je stvorila struja zavojnice 1. S tako definiranim indeksima zapišemo induciranu EMS međuindukcije u drugoj zavojnici kao: (1.59) d Ψ 21 di eM 21 = − = − M 21 ⋅ 1 dt dt

1

M 21

2 i1

Φ11

Φ 21 uM 21

Φ10

Sl.65 Prema slici 65 Φ11 = Φ 21 + Φ10 . Tok Φ10 je dio toka zavojnice 1 koji ne sudjeluje u induciranju EMS zavojnice 2 pa se taj dio toka zove rasipni tok i često se označava kao Φ r1 . Svakom magnetskom toku "pripada" odgovarajući induktivitet. Rasipni magnetski tok možemo izraziti kao: Φ r1 = Φ11 − Φ 21 Rasipni induktivitet zavojnice 1 možemo zapisati: N ⋅Φ N N ⋅Φ N ⋅Φ N N Lr1 = 1 r1 = 1 ⋅ (Φ11 − Φ 21 ) = 1 11 − 1 21 ⋅ 2 = L1 − 1 ⋅ M 21 I1 I1 I1 I1 N2 N2 Ako bi zavojnica 2 bila priključena na izvor napona analognim postupkom bi dobili izraz za rasipni N induktivitet zavojnice 2. Lr 2 = L2 − 2 ⋅ M 12 ; Budući da je M 21 = M 12 = M možemo zapisati da je; N1 N N Lr1 = L1 − 1 ⋅ M ; (1.61) Lr 2 = L2 − 2 ⋅ M (1.60) N2 N1 151

7.11.1. Ukupni induktivitet serijski spojenih zavojnica R1 , L1

M

R2 , L2

M

R1 , L1

I

R2 , L2

+

+

I

U

Sl. 66a

U

Sl. 66b

Za serijski spoj vrijedi: U = U1 + U 2 . Budući da struja ulazi na označeni kraj obih zavojnica magnetski tokovi zavojnica su suglasni pa vrijedi: U = I ⋅ R1 + I ⋅ jω L1 + I ⋅ jω M + I ⋅ R2 + I ⋅ jω L2 + I ⋅ jω M = I ⋅ ( Ru + jω L′) , gdje je (1.62) Ru = R1 + R2 ; L′ = L1 + L2 + 2 ⋅ M ) Za nesuglasni spoj zavojnica (slika 66b) vrijedi: U = I ⋅ ( Ru + jω L′′) , gdje je (1.63) L′′ = L1 + L2 − 2 ⋅ M Ukupni induktivitet pri suglasnom i nesuglasnom spoju se može izmjeriti, a međuinduktivitet L′ − L′′ M= izračunati prema: (1.64) 4 Pri istom naponu izvora kod nesuglasnog spoja struja bi po apsolutnom iznosu bila veća od struje suglasnog spoja.

7.12. Rješavanje izmjeničnih mreža pri pojavi međuinduktiviteta Pri rješavanju mreža s pojavom međuinduktiviteta vrijede sva pravila koja su vrijedila pri izmjeničnim mrežama bez pojave međuinduktiviteta. Naravno da pojava međuinduktiviteta dodatno komplicira rješavanje takove mreže.Zato ćemo razmotriti kako se u mreži pravilno zapisuju naponi međuindukcije, odnosno kako pravilno odrediti polaritete napona međuindukcije. Referentni polaritet napona samoindukcije je definiran smjerom struje (+ na ulazu struje u zavojnicu).Budući da je stvarni polaritet ovisan i o smjeru namatanja (što dodatno definiramo točkom ) vrijedi slijedeće: Ako je kod dviju zavojnica točkom označen priključak na kojeg struje ulaze naponi samoindukcije i međuindukcije su istog polariteta. To znači da u određenoj petlji napon samoindukcije i napon međuindukcije neke zavojnice moramo zapisati s istim predznakom (+ ili -). (vidi sliku 67). Ako obje struje ne ulaze na označeni priključak zavojnica to znači da zavojnice nemaju isti smjer namatanja, pa napone samoindukcije i međuindukcije zapisujemo sa suprotnim predznakom. Mreže s pojavom međuinduktivita rješavamo najčešće tako da zapišemo jednadžbe petlji, i riješimo L1

I1

+ U L1 + U M1

L2

M

I2

+ U L2 + U M2

Sl. 67 sustav jednadžbi.Za praktično rješavanje takovih mreža pokazalo se najbolje ako struje pojedinih grana izrazimo pomoću struja petlji. Na taj način se smanji broj jednadžbi i lako je kontrolirati polaritete napona međuindukcije.

152

Primjer mreže s pojavom međuinduktiviteta R

I1

I2

I1 − I 2

+

I1

U

XC

I2 XM

X L1

X L2

Sl.68 Zapisat ćemo jednadžbe petlji, pri čemu napone na elementima mreže izrazimo pomoću struja petlji. (konturnih struja). Za lijevu petlju vrijedi: U = I1 ⋅ R + ( I1 − I 2 ) ⋅ jX L1 + I1 ⋅ jX M + I1 ⋅ jX L2 + ( I1 − I 2 ) ⋅ jX M

Za desnu petlju vrijedi : 0 = I 2 ⋅ (− jX C ) − ( I1 − I 2 ) ⋅ jX L1 − I1 ⋅ jX M U spoju na slici 69 struja kod obih zavojnica ulazi na označeni kraj što znači da su zavojnice u suglasnom spoju. To znači da su naponi samoindukcije i naponi međuindukcije istog polariteta, kao što je označeno na slici. (da se prisjetimo: Ovdje obje zavojnice imaju isti smjer namatanja, pa su magnetski tokovi zavojnica suglasni). Za spoj na slici zapišemo jednadžbe petlji:

U = I1 ⋅ jX L1 + I 2 ⋅ jX M ; Proširenjem jednadžbe sa + I1 ⋅ jX M i − I1 ⋅ jX M slijedi da je: U = I1 ⋅ jX L1 + I 2 ⋅ jX M + I1 ⋅ jX M − I1 ⋅ jX M ili U = jX M ⋅ ( I1 + I 2 ) + ( jX L1 − jX M ) ⋅ I1 ……..lijeva petlja

I1 ⋅ jX L1 + I 2 ⋅ jX M − I 2 ⋅ jX L 2 − I1 ⋅ jX M = 0

desna petlja

( jX1 − jX M ) ⋅ I1 − ( jX 2 − jX M ) ⋅ I 2 = 0 I1 + I 2

U , Z ul

I2

M

I1 +

+

U L1

U M1

-

-

+

U L2

-

+ UM2

-

Sl.69 U = jX M ⋅ ( I1 + I 2 ) + ( jX L1 − jX M ) ⋅ I1 ( jX L1 − jX M ) ⋅ I1 − ( jX L 2 − jX M ) ⋅ I 2 = 0

153

Tako „preoblikovane“ jednadžbe nas upućuju na ekvivalentnu shemu prema slici, koju je lakše riješiti. I1 + I 2 XM

I2

I1

U

X L2 − X M

X L1 − X M

Prema toj ekvivalentnoj shemi možemo jednostavno zapisati ulaznu impedanciju spoja kao:

Z ul , s = X uk , s

( jX L1 − jX M ) ⋅ ( jX L 2 − jX M ) ; = jX M + j ( X L1 + X L 2 − 2 X M )

X L1 ⋅ X L 2 − X M2 Z=j X L1 + X L 2 − 2 X M

Sličnim razmatranjem dolazimo do izraza za impedanciju kod nesuglasnog spoja:

Z ul .ns

X L1 ⋅ X L 2 − X M2 =j X L1 + X L 2 + 2 X M

Primjer: Neka je

X L1 = X L 2 = 2 Ω; i

XM =1 Ω

Zapišemo jednadžbe petlji:

1.) U = I1 ⋅ j 2 + I 2 ⋅ j1;

2.)

I1 ⋅ j 2 + I 2 ⋅ j1 − I 2 ⋅ j 2 − I1 ⋅ j1 = 0 U = j 3 ⋅ I1

Iz jednadžbe 2 slijedi da je I1 = I 2 pa je:

U = j3 ⋅ I 2 Zbrajanjem jednadžbi dobivamo da je 2 ⋅ U = j 3 ⋅ ( I1 + I 2 ) U = j1,5 Ω Iz sheme je vidljivo da je: Z u = X uk = ( I1 + I 2 ) Prema ekvivalentnoj shemi Z u = X uk = 1 +

(2 − 1) ⋅ (2 − 1) = 1 + 0,5 = 1,5 Ω 2

Primjer: U spoju prema slici 69 treba odrediti iznos kapacitivnog otpora tako da dvopol predstavlja za izvor čisti omski teret.

154

I1

− jX C

+ U

jX 1

jX 2

R

I2

Sl.69

M

Zapišemo jednadžbe petlji: U = I1 ⋅ (− jX C + jX 1 ) − I 2 ⋅ jX M I 2 ⋅ ( R + jX 2 ) − I1 ⋅ jX M = 0

X 2 ⋅ ( R − jX 2 ) U = (− jX C + jX 1 ) + M 2 I1 R + X 22 Da bi impedancija dvopola bila čista omska mora imaginarni dio impedancije biti jednak nuli, pa slijedi: X2 ⋅X X C = X 1 − 2M 22 R + X2 Izrazimo struju I1 i zapišemo impedanciju dvopola kao: Z ul =

155

7.13. Zračni transformator Transformator je uređaj koji funkcionira na principu elektromagnetske međuindukcije. Čine ga dva svitka galvanski odvojena (što nije uvjet), ali međusobno povezani zajedničkim magnetskim tokom. Svitak priključen na izvor izmjeničnog napona se zove primar, dok se drugi svitak u kojem je induciran napon međuindukcije zove sekundar. Na taj svitak se priključuje impedancija Z t .

M

I1

I2

+

+

R1 , L1

U1

R2 , L2

Zt

U2

Sl. 70 Jednadžbe transformatora: U1 = I1 ⋅ R1 + I1 ⋅ jω L1 − I 2 ⋅ jω M ...........Primar : (1.65) Izraz (1.68)

(1.66)

0 = I 2 ⋅ R2 + I 2 ⋅ jω L2 − I1 ⋅ jω M + I 2 ⋅ Z t ........... Sekundar:

(1.67)

I 2 ⋅ Z 2 = U 2 predstavlja napon sekundara kojeg možemo zapisati kao: U 2 = I1 ⋅ jω M − I 2 ⋅ R2 − I 2 ⋅ jω L2

Ako istovremeno prvoj jednadžbi dodamo i oduzmemo izraz I1 ⋅ jω M dobivamo: (1.69)

U1 = I1 ⋅ R1 + I1 ⋅ jω ( L1 − M ) + ( I1 − I 2 ) ⋅ jω M ......................primar

Ako istovremeno drugoj jednadžbi dodamo i oduzmemo izraz I 2 ⋅ jω M dobivamo: U 2 = ( I1 − I 2 ) ⋅ jω M − I 2 ⋅ R2 − I 2 ⋅ jω ( L2 − M ) (1.70) Ovako zapisanim jednadžbama pripada nadomjesna shema kao na slici 71.

156

R1

I1

L1 − M

I2

L2 − M

R2

I1 − I 2

+ U1

M

+ U2

Zt

Sl. 71 U ovoj shemi treba primijetiti da su primarne, sekundarne i zajedničke veličine transformatora, povezane u cjelinu što u stvarnosti nije tako. Ovakva nadomjesna shema nam omogućuje rješavanje transformatora primjenom poznatih metoda za rješavanje električnih mreža. Primarne veličine imaju indekse 1, a sekundarne 2. N Ako transformator ima isti broj zavoja na primaru i sekundaru tj. ako je n = 1 = 1 onda izraz N2 L1 − M predstavlja primarni rasipni induktivitet, a izraz L2 − M sekundarni rasipni induktivitet . Razmotriti ćemo slučaj koji je gotovo redoviti u praksi, gdje je n ≠ 1 . Treba vidjeti kako u tom slučaju tretirati sekundarne veličine u nadomjesnoj shemi. Zato ćemo jednadžbu 1.65 zapisati kao: 1 (1.71) U1 = I1 ⋅ ( R1 + jω L1 ) − I 2 ⋅ ⋅ jω ⋅ M , a jednadžbu 1.68 kao: n 1 n ⋅U 2 = I1 ⋅ jω ⋅ M − ⋅ I 2 ⋅ n 2 ⋅ ( R2 + jω L2 ) (1.72) n što je matematički ispravno i naravno dozvoljeno. Takove "preinake "jednadžbi smo izveli upravo zato da bi ustanovili kako sekundarne i zajedničke veličine treba tretirati na primarnoj strani u nadomjesnoj shemi transformatora gdje je prijenosni omjer n ≠ 1 . Veličine preračunate na primar označujemo kao: U 2′ , I 2′ , Z 2′ , R2′ , L2′ r , M ′ Vrijede slijedeći odnosi: : N U 2′ N1 N = ; U 2′ = U 2 ⋅ 1 = U 2 ⋅ n ; Izraz (1.73) n = 1 kod transformatora predstavlja prijenosni N2 U 2 N2 N2 omjer. I 2′ N 2 1 = ; (1.74) I 2′ = I 2 ⋅ , a slijedi iz jednakosti snaga zapisanih s pravim i reduciranim n I 2 N1 vrijednostima. ( U 2′ ⋅ I 2′ = U 2 ⋅ I 2 ). U′ 1 Reducirana impedancija sekundara se može zapisati: (1.75) Z 2′ = 2 = U 2 ⋅ n ⋅ = Z 2 ⋅ n 2 I2 I 2′ n Jouleovi gubici u namotima se mogu zapisati s pravim i reduciranim vrijednostima: (1.76) I 22 ⋅ R2 = I 2′ ⋅ R2′ tj. R2′ = R2 ⋅ n 2 ; Budući da je frekvencija zajednička veličina za primar i sekundar vrijedi da je:

157

(1.77) L2′ r = L2 r ⋅ n 2 . Iz jednadžbi 1.71 i 1.72 je vidljivo da se međuinduktivitet preračunava na primarnu stranu prema: M′ = n⋅M (1.78) Jednadžbe 1.71 i 1.72 sada zapišemo kao: (1.79) U1 = I1 ⋅ ( R1 + jω L1 ) − I 2′ ⋅ jω ⋅ M ′

U 2′ = I1 ⋅ jω ⋅ M ′ − I 2′ ⋅ ( R2′ + jω L2′ )

(1.80)

Proširenjem s I1 ⋅ jω M ′ jednadžba 1.79 prelazi u: U1 = I1 ⋅ ( R1 + jω L1 ) − I 2′ ⋅ jω ⋅ M ′ + I1 ⋅ jω M ′ - I1 ⋅ jω M ′ , tj. U1 = I1 ⋅ [ R1 + jω ⋅ ( L1 − n ⋅ M ) ] + ( I1 − I 2′ ) ⋅ jω M ′, a 1.80 u

1 ⎡ ⎤ U 2′ = ( I1 − I 2′ ) ⋅ jω M ′ − I 2′ ⋅ ⎢ R2′ + jω ⋅ n 2 ⋅ ( L2 − ⋅ M ) ⎥ n ⎣ ⎦ Kao što je već utvrđeno izraz L1 − n ⋅ M predstavlja primarni rasipni induktivitet L1r , a M L2 − sekundarni rasipni induktivitet L2r . n Zapišemo konačne jednadžbe zračnog transformatora. (1.81) U1 = I1 ⋅ ( R1 + jω L1r ) + ( I1 − I 2′ ) ⋅ jω M ′ U 2′ = ( I1 − I 2′ ) ⋅ jω M ′ − I 2′ ⋅ ( R2′ + jω L2′ r )

(1.82)

Nadomjesna shema zračnog transformatora s reduciranim vrijednostima i rasipnim iduktivitetima prema jednadžbama 1.81 i 1.82. R1

I1

I 2′

L1r

I1 − I 2′

+ U1

M′

′ L2r

R2′

+ U 2′

Z t′

Sl. 72

158

7.14. Nesinusidalne izmjenične veličine Izmjenične mreže koje smo dosad obrađivali smo rješavali pomoću kompleksnog računa pri čemu su naponi i struje prikazivani pomoću fazora. Fazori su kompleksni brojevi za prikazivanje sinusoidalnih veličina i ne možemo se njima direktno koristiti ako veličina nema sinusoidalan oblik. Da bi i dalje mogli koristiti postojeći način rješavanja izmjeničnih električnih mreža sve nesinusoidalne električne veličine pretvaramo u sinusoidalne. Pri tome se koristimo znanjem iz matematike da je pomoću Fourierovog reda moguće svaku nesinusoidalnu veličinu rastaviti na beskonačan red koji sadrži konstantni član i beskonačno mnogo harmoničkih komponenata. To možemo zapisati kao: (1.83) u = U 0 + U1max ⋅ sin(ω t + β u1 ) + U 2 max ⋅ sin(2ω t + β u 2 ) + ...U k max ⋅ sin(kω t + β uk ) + .... Amplitude sinusoidalnih članova s povećanjem frekvencije su sve manje, tako da nesinusoidalnu veličinu možemo s dovoljnom točnošću zapisati s nekoliko prvih članova beskonačnog reda. Koristeći trigonometrijski identitet sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β možemo dalje zapisati: (1.84)

∞

u = U 0 + ∑ ( Ak max ⋅ sin(kω t ) + Bk max ⋅ cos(kω t )) , gdje je: k =1

(1.85) Ak max = U k max ⋅ cos β uk ; Bk max = U k max ⋅ sin β uk Konstante u jednadžbama se računaju prema izrazima: T 1 (1.86) U 0 = ⋅ ∫ u ⋅dt ; T 0 T

(1.87)

Ak max =

2 ⋅ u ⋅ sin(kω t ) ⋅ dt T ∫0 T

(1.88) Bk max =

2 ⋅ u ⋅ cos(kω t ) ⋅ dt T ∫0

Bk max Ak max Prikaz Fourireovog reda na ovaj način je lakši za analizu u konkretnim slučajevima.Ako je funkcija parna tj. u (−t ) = u (t ) ) onda ne sadrži sinusoidalne članove, dok neparne nesinusoidalne veličine ( u (−t ) = −u (t ) ) ne sadrže cosinusoidne članove. T Krivulje za koje vrijedi da je u (t + ) = −u (t ) imaju samo neparne članove tj. k = 1,3,5,..., 2 Harmonične članove čija je frekvencija viša od frekvencije osnovnog člana kraće zovemo viši harmonici. Konstantni član prema zapisu predstavlja ustvari srednju vrijednost. "Prava" izmjenična struja nema konstantnog člana jer je njena srednja vrijednost (aritmetička) jednaka nuli. Naravno da bez konstantnog člana mogu biti samo bipolarne veličine, dok unipolarne veličine obavezno sadrže konstantni član, jer je prema 1.86 srednja vrijednost različita od nule.

Pritom je : (1.89)

U k max = A2 k max + Bk2max

i

tg β uk =

159

Za primjer ćemo razmotriti pravokutni signal prema slici 73

u (V)

U

T 2

T

t (s)

−U Sl. 73

Prema jednadžbi 1.86, a što je i vidljivo iz slike ovaj napon ne sadrži istosmjernu komponentu, tj. konstantni član u jednadžbi 1.84 je jednak nuli. Izračunat ćemo konstantu A1k . A1max

2 = ⋅ T

T 2

T

2 2 ⋅U 1 2 ⋅U 1 T 2 T ∫0 U ⋅ sin(ω t )dt − T ⋅ T∫2 U ⋅ sin(ω t )dt = T ⋅ (− ω ) ⋅ cos ω t 0 − T ⋅ (− ω ) ⋅ cos ω t T 2

2 ⋅U 2π T 2 ⋅U 2π 2π T 4 ⋅U 4 ⋅U 8 ⋅U 4 ⋅U ⋅ (cos ⋅ − 1) + ⋅ (cos ⋅ T − cos ⋅ )= + = = π T ⋅ω T 2 T ⋅ω T T 2 T ⋅ ω T ⋅ ω T ⋅ 2π T 4 ⋅U . Može se pokazati da je B1max = 0 , pa je U1max = −

π u (−t ) = −u (t ) nesinusoidalna veličina ne sadrži cosinusoidne članove. T u (t + ) = −u (t ) nesunusoidalna veličina ima samo neparne članove. Kako je 2 To znači da će pravokutni napon na slici 73 imati samo sinusoidne neparne članove. Lako se matematički dokaže da je amplituda 3 harmoničnog člana 3 puta manja od osnovnog, petog pet puta manja itd. Tako možemo zapisati Fourierov red za napon prema slici 73 kao: 4 ⋅U 1 1 (1.90) ⋅ (sin ω t + sin 3ω t + sin 5ω t + ...) u= 3 5 π Budući da je

Vidljivo je da amplitude viših harmoničkih članova naglo padaju, tako da je ponekad dovoljno uzeti samo nekoliko članova koji s dovoljnom točnošću prezentiraju dotičnu nesinusiodalnu veličinu. To se može vidjeti i na slijedećem primjeru . U ⋅ 2 ⋅π T U ⋅ 2 ⋅π T Neka je U = 1 na intervalu 0 < t < i U =− 1 na intervalu < t < T , gdje je U1 2 4 4 2 efektivna vrijednost osnovnog harmoničkog člana. Uzmemo li samo nekoliko prvih članova ( na primjer do devetog harmonika) "slika" nalikuje pravokutnom naponu (simulacija u EWB 4.1) 160

161

Za praksu je zanimljiv i unipolarni pravokutni napon kao na slici 73a. u (V)

U

T 4

T 2 Sl. 73a

T

t ( s)

u (−t ) = u (t ) ) pa ova funkcija ne sadrže sinusoidalne članove. Razvoj ovakve funkcije u Fourierov red izgleda ovako: U 2 ⋅U 1 1 ⋅ (cos ω t − ⋅ cos 3ω t + ⋅ cos 5ω t − ...). Istosmjerni član označavamo u= + (1.91) π 2 3 5 kao U 0 . To znači da ovakva funkcija sadrži konstantni član, te cosinusoidne harmoničke članove pozitivnih i negativnih predznaka. Primjer: Neka je U = 10 V . Istosmjerni član iznosi 5 V. Amplituda osnovnog harmoničkog člana 2 ⋅10 2 ⋅10 = 6,366 ( V) . Efektivna vrijednost iznosi: U1 = = 4,5 ( V) iznosi: U1max = π π⋅ 2 Član Fourierovog reda Iznos (V) Istosmjerni +5 Prvi harmonični član +4,5 Treći -1,5 Peti +0,9 Sedmi -0,643 Deveti +0,5 Ako je izmjenični napon trokutastog oblika prema slici 74 Fourierov red za takav napon je: 8 ⋅U 1 1 (1.92) u = 2 ⋅ (sin ω t − ⋅ sin 3ω t + ⋅ sin 5ω t − ...) . 9 25 π u

U T 2

T

t (s)

Sl.74

Trokutasta periodička veličina do zaključno 13-tog harmonika i njena derivacija 162

Ova nesinusoidalna veličina ne sadrži cosinusoidne članove jer je u (−t ) = −u (t ) , sinusoidni članovi T su neparni jer je u (t + ) = −u (t ) . Treba uočiti da amplituda viših harmoničkih članova opada s 2 kvadratom reda harmoničkog člana. Efektivne vrijednosti nesinusoidalne struje Razmotriti ćemo nesinusoidalnu struju koja sadrži neparne harmoničke članove, tj. i = I1max ⋅ sin ω t + I 3max ⋅ sin 3ω t + I 5max ⋅ sin 5ω t + ... (bipolarna pravokutna struja ). Efektivna vrijednost struje bez razlike na oblik je definirana kao: T

I ef =

T

1 1 2 i ⋅ dt ili I ef2 = ⋅ ∫ i 2 dt . Razmotrimo li samo prva dva harmonička člana slijedi: ∫ T 0 T 0 T

1 2 2 ⋅ ∫ ( I1max ⋅ sin 2 ω t + 2 ⋅ I1max ⋅ I 3max ⋅ sin ω t ⋅ sin 3ω t + I 3max ⋅ sin 2 3ω t )dt T 0 Prvi član izraza predstavlja efektivnu vrijednost osnovnog harmoničkog člana, drugi član daje rezultat nula, a treći član predstavlja efektivnu vrijednost trećeg harmonika. Općenito vrijedi da je: I ef2 =

(1.93) I ef = I12 + I 22 + I 32 + ...I k2 . Ako nesinusoidalna veličina sadrži i konstantni član vrijedi: (1.94)

∞

I = I 02 + ∑ I k2 k =1

Sličnim razmatranjem dolazimo i do izraza za snagu nesinusoidalne struje. Prisjetimo se da snaga izmjenične struje sinusnog oblika jednaka srednjoj vrijednosti trenutne snage, pa lako zaključimo da će se rezultat pojaviti samo uz članove koji se pojavljuju s kvadratom sinusa, dok će svi drugi članovi osim konstantnog dati rezultat nula tj.: Snaga nesinusoidne struje se odredi prema izrazu: (1.95)

∞

P = U 0 ⋅ I 0 + ∑ U k ⋅ I k ⋅ cos ϕ k k =1

Primjer: Izračunajte efektivnu vrijednost trokutaste struje (Sl. 74) pomoću prva tri harmonička člana. 163

8⋅ I

1 1 ⋅ (sin ω t − ⋅ sin 3ω t + ⋅ sin 5ω t − ...) slijedi da je amplituda osnovnog π 9 25 0,81⋅ I harmonika 0,81⋅ I , a efektivna vrijednost = 0,5727 ⋅ I . Efektivna vrijednost trećeg 2 0,5727 ⋅ I 0,5727 ⋅ I harmonika iznosi = 0, 0636 ⋅ I , a petog = 0, 0229 ⋅ I . 9 25

Rješenje: Prema izrazu i =

2

I ef = I ⋅ 0,5727 2 + 0, 06362 + 0, 02292 = 0,57667 ⋅ I , gdje je I amplituda trokutaste struje.

Otprije znamo da je: I ef =

1 ⋅ I max = 0,5773 ⋅ I max . 3

Razmotrit ćemo sljedeći primjer:

Sl. 75 Serijski spoj RLC elemenata je priključen na izvor napajanja čiji napon sadrži treći harmonik u iznosu 5%. V-metar je izmjerio napon čiji iznos definira izraz:

U = U12 + U 32 = 4002 + 202 = 400, 499 (V) Jasno je da V-metrom ne možemo “otkriti” prisustvo trećeg harmonika, ali A-metar pokazuje struju koja upućuje na to prisustvo. Impedancije spoja se određuju prema izrazima: Za prvi harmonik:

Z1 = R2 + (ω ⋅ L −

1 2 1 ) = 1+ (314⋅ 0,1501− )2 −6 314⋅ 7,5⋅10 ω⋅C

Z1 = 1+ (47,13− 424,63)2 = 377,5 (Ω) 164

Struja prvog harmonika iznosi: I1 =

U1 400 = = 1, 06 ( A) Z1 377,5

Za treći harmonik impedancija iznosi:

Z3 = R2 + (3⋅ωL −

1 3⋅ωC

)2 = 1+ (47,13⋅ 3 −

424,63 2 ) = 1+ (141,39 −141,54)2 ≈ 1 (Ω) 3

Struja koja teće zbog trećeg harmonika: U 3 0, 05 ⋅ 400 = = 20 ( A ) 1 Z3 Ukupna struja se određuje prema izrazu: I3 =

I = I12 + I 32 ≈ 20 (A) Ako u izvoru ne bi bio prisutan treći harmonik tekla bi struja ≈ 1 ( A)

Sl.76

165

Ako bi djelovao samo treći harmonik napona, struja bi iznosila:

Sl.77 Vidljivo je da u ukupnoj struji najvećim dijelom (program je gotovo zanemario struju prvog harmonika) sudjeluje struja trećeg harmonika, jer u spoju za treći harmonik, nastupa rezonancija. Ako se u krugu kojeg napaja nesinusoidalan napon nalazi omski otpor struja će slijediti promjene napona pa će krivulja struje biti "slična" krivulji napona. Ako se u krugu kojeg napaja nesinusoidalan napon nalazi zavojnica induktiviteta L struje viših harmonika biti će jače prigušene nego struja osnovnog harmonika zbog X Lk = k ⋅ X L , što znači da će krivulja struje biti manje "izobličena" od krivulje napona. Zato se zavojnica koristi kao prigušnica na primjer u sklopovima energetske elektronike. Ako se u krugu kojeg napaja nesinusoidalan napon nalazi kondenzator određenog kapaciteta njegov 1 otpor je za harmoničke članove viših redova manji od otpora za osnovni član ( X Ck = , gdje je k ⋅ωC 1 kapacitivni otpor za osnovnu frekvenciju) što znači da će zbog toga struja viših harmonika biti ωC istaknuta. To svojstvo kondenzatora se u praksi koristi za "izdvajanje" određene komponente struje koja je prouzročena nesinusoidalnim naponom.

7.15. Viši harmonici u trofaznom sustavu U energetskim mrežama trofazne struje javljaju se neparni harmonici. Razmotriti ćemo zato utjecaj trećeg i petog harmonika . Treći harmonik ima trostruku frekvenciju u odnosu na osnovni član, što znači da je vrijeme trajanja periode 3 puta kraće. Zato vrijedi da je: ω3 = 3 ⋅ ω i T = 3 ⋅ T3 . Jednadžbe trofaznih EMS za treći harmonik imaju oblik:

166

e13 = E13max ⋅ sin(3 ⋅ ω t ) T ) = E23max ⋅ sin(3 ⋅ ω t − T3 ) = E23max ⋅ sin(3 ⋅ ω t ) 3 T e33 = E33max ⋅ sin(3ω t + ) = E33max ⋅ sin(3ω t + T3 ) = E33max ⋅ sin(3 ⋅ ω t ) 3 Iz jednadžbi je vidljivo da su EMS trećeg harmonika u fazi, što znači da će se struje trećeg harmonika pojaviti u 0-vodu s trostrukim iznosom. Isto će biti sa svim harmonicima za koje vrijedi da je n = 3 ⋅ k k = 1, 2,3,.... Drugu karakterističnu skupinu harmonika čine harmonici za koje vrijedi da je: n = 3 ⋅ k − 1 k = 1, 2,3,..... Budući da se u energetskoj mreži pojavljuju neparni harmonici analizirat ćemo peti harmonik. 5 ⋅ T5 2 ⋅ T5 e15 = E15max ⋅ sin(5 ⋅ ω t ) e25 = E25max ⋅ sin(5 ⋅ ω t − ) = e = E25max ⋅ sin(5 ⋅ ω t − ) 3 3 5 ⋅ T5 2 ⋅ T5 e35 = E35max ⋅ sin(5ω t + ) = E35max ⋅ sin(5ω t + ) 3 3 Fazorski dijagram za peti harmonik:

: e23 = E23max ⋅ sin(3 ⋅ ω t −

e25

e15

e35

Sl. 78

Vidimo da peti harmonici čine inverzni simetrični sustav. Taj sustav kod sinkronih i asinkronih motora stvara inverzno rotaciono polje koje dakle djeluje suprotno od osnovnog polja doduše s pet puta manjom apmlitudom. Slijedeću skupinu harmonika čine viši harmonici za koje vrijedi da je:

n = 3 ⋅ k + 1 k = 1, 2,3,...... Prvi neparni je sedmi harmonik pa ćemo razmotriti njegovo ponašanje u trofaznom sustavu: e17 = E17 max ⋅ sin(7ω t ) T 7 ⋅ T7 ) = E27 max ⋅ sin(7ω t − 7 ) 3 3 T 7 ⋅ T7 e37 = E37 max ⋅ sin(7ω t + ) = E37 max ⋅ sin(7ω t + 7 ) 3 3 Vidimo da ova skupina harmonika (značajni je samo sedmi) čine direktni trofazni sustav, naravno s sedminom amplitude osnovnog člana i sedmerostrukom frekvencijom. e27 = E27 max ⋅ sin(7ω t −

167

Fazorski dijagram za sedmi harmonik e37

e17

e27

Sl. 79

7.16. Svitak sa željezom U dosadašnjem razmatranju izmjeničnih mreža smo pretpostavljali da su elementi mreže linearni. U praksi to nije uvijek tako. Ako je zavojnica namotana na jezgri od feromagnetika (željeza) onda induktivitet takove zavojnice više nije konstantan. Razlog tome je nelinearna karakteristika B = µ ⋅ H . Otprije znamo da magnetska permeabilnost željeza (kao predstavnika feromagnetika) nije konstantna već ovisi o jakosti magnetskog polja H . Zbog toga niti induktivitet takove zavojnice nije N2 ⋅S konstantan jer je: L = ⋅ µ , gdje je µ = µ0 ⋅ µ r . l To znači da se svitak sa željezom u krugu izmjenične struje ponaša kao nelinearan element. Ako je takav element priključen i na sinusoidalan napon, struje neće biti sinusoidalnog oblika. Priključak zavojnice s željezom na izvor sinusoidalnog napona Φ i

+ u

uL

S Fe

Sl. 80 Ako pretpostavimo da zavojnica ima zanemarivi omski otpor i da se sav magnetski tok zatvara kroz jezgru ( Φ r = 0 ) naponu izvora drži ravnotežu inducirani napon samoindukcije di 1 uL = L ⋅ koji ima pozitivni pol na ulazu struje u zavojnicu. Struju zapišemo kao: i = ∫ ⋅ u ⋅ dt , pri dt L čemu treba uvidjeti da L mora biti pod integralom jer nije konstantna veličina.

168

Φ ( Wb) Φ i

t (s) Sl.81 i (A) Budući da je napon izvora sinusoidalan mora biti sinusoidalna i elektromotorna sila odnosno inducirani napon u zavojnici sto znači da sinusoidalan oblik mora imati i magnetski tok koji je stvorio elektromotornu silu. Naravno struja koja je stvorila sinusoidalan magnetski tok ne može biti sinusoidalnog oblika zbog nelinearnog odnosa između nje i magnetskog toka. (vidi sliku 81). Ovdje smo pretpostavili da se magnetiziranje vrši po normalnoj krivulji magnetiziranja. Struja i se uobičajeno zove struja magnetiziranja i označuje kao iµ .

Uzimajući u obzir da se izmjenično magnetiziranje vrši po petlji histerteze struja kroz zavojnicu s željeznom jezgrom ima oblik kao na slici 82. Tu je vidljivo da struja: a) nema sinusoidalan oblik b) zaostaje za naponom za kut ϕ < 900 To znači da struja i uz zanemareni omski otpor nije čisto induktivna jer je cos ϕ ≠ 0 . Zbog toga izvor na kojeg je priključena zavojnica mora davati i stanovitu djelatnu snagu iznosa P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ . Energija koja odgovara toj snazi se pretvara u toplinu koja nastaje u jezgri zbog pojave histereze. Tu energiju kod svitka sa željezom tretiramo kao gubitak energije. U fazorskom dijagramu modul fazora struje je efektivni iznos sinusoidalne struje što ovdje nije slučaj, pa moramo računati s pretpostavkom da je iµ ≈ i1 , gdje je i1 osnovni harmonički član struje magnetiziranja.

Φ iµ

β iµ Sl. 82

Otprije znamo da se pri izmjeničnom magnetiziranju javljaju i vrtložne struje koje također izazivaju gubitke energije. To znači da kod zavojnice s željeznom jezgrom postoje dvije komponente struje: a) struja magnetiziranja koja stvara magnetski tok b) djelatna komponenta struje koja pokriva gubitke zbog histereze i vrtložnih struja 169

U

I Ig U

I

ϕ

Gg

Iµ Bµ

I g = Ih + Iv

β ig Iµ

Sl. 83

Struja magnetiziranja je u fazi s magnetskim tokom dok je djelatna komponenta struje u fazi s naponom. Iz fazorskog dijagrama je vidljivo da je: I = I g + I µ ; Specifični gubici (

I = I g2 + I µ2 ;

W ) zbog histereze i vrtložnih struja se računaju po empirijskim formulama. kg

: f f 2 2 2 ⋅ Bmax ; pv = σ ⋅ ( ) ⋅ Bmax 100 100 Faktori za izračunavanje tih gubitaka iznose: ε = 2,5 do 4,5 za limove iz kojih se izrađuju jezgre električnih strojeva i transformatora. Faktor σ = 0,35 za visokolegirani lim s 4% Si i debljine o,35 mm. Treba primijetiti da su i jedni i drugi gubici proporcionalni kvadratu magnetske indukcije, a gubici zbog vrtložnih struja rastu i s kvadratom frekvencije. 2 ⎡ f ⎛ f ⎞ ⎤ 2 +σ ⋅⎜ Ukupne gubitke odredimo prema izrazu: Pg = ⎢ε ⋅ ⎟ ⎥ ⋅ Bmax ⋅ m ( W) ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 100 Naravno da ti gubici predstavljaju problem kod električnih strojeva jer se iskazujui kao toplina, koja toplinski napreže izolaciju. Ti gubici se svode na razumne vrijednosti ako se jezgre izvode s limovima koji su međusobno izolirani, i legirani elementima koji povećavaju omski otpor (na primjer dodatak 4% silicija). Pg , struju Ukupnu struju koja teće zavojnicom s željeznom jezgrom izračunamo kao I = U ⋅ cos ϕ P gubitaka kao I g = g , a struju magnetiziranja prema izrazu I µ = I 2 − I g2 . U U čitavom ovom razmatranju smo zanemarili omski otpor zavojnice. Ako otpor zavojnice nije zanemariv javlja se omski pad napona na otporu R , pa vrijedi da je: U = U L + I ⋅ R , gdje je U L napon samoindukcije. ph = ε ⋅

170

Pripadajući fazorski dijagram i nadomjesna shema I ⋅R

UL

U

I I g = Ih + Iv

ϕ

β ig Iµ

Vidljivo je iz fazorskog dijagrama da je sada fazni kut manji što je i razumljivo jer su se pojavili gubici u namotu ( Pcu = I 2 ⋅ R) , pa je udio djelatne snage sada veći. U realnosti se sav magnetski tok ne zatvara kroz jezgru, već se dio magnetskog toka rasipa što dosada nismo uzimali u obzir.

Sl. 84

Φ

Lr

R

I

i

Ig

Iµ

+ u

Gg

U

Bµ

uL

Φr

S Fe Sl.85 Ur

Napon izvora u ovom slučaju zapišemo kao: U = U L + I ⋅ R + U r , gdje napon samoindukcije U L

I ⋅R U

prethodi magnetskom toku Φ za 900 , odnosno pripadna elektromotorna sila zaostaje za tokom Φ za 900 . (na dijagramu nije ucrtana). Napon U r prethodi magnetskom toku Φ r , jer je taj napon posljedica rasipnog magnetskog toka, koji je u fazi s ukupnom strujom.

UL Φr

ϕ

I

βig

Ig

Φ

Iµ

Sl.86

171

Primjer: Svitak s feromagnetskom jezgrom priključen je na sinusni U = 120 V/50 Hz , pri čemu je izmjerena struja I = 2 A i radna snaga P = 70 W . Ako je otpor zavoja svitka R = 1,75 Ω , rasipni induktivitet zanemariv, treba odrediti gubitke u jezgri i kut gubitaka . Rješenje: Gubici u namotu iznose: PR = I 2 ⋅ R = 22 ⋅1,75 = 7 W .Gubici u jezgri su :

PFe = P − PR = 70 − 7 = 63W. Djelatna snaga se izračuna prema izrazu: P = UI cos ϕ , pa je P 70 = = 0, 292 . cos ϕ = UI 120 ⋅ 2 Magnetski tok Φ inducira napon U L koji predhodi toku za 900 , a efektivna vrijednost toga napona je: U L = U 2 + I 2 ⋅ R 2 − 2 ⋅ U ⋅ R ⋅ I ⋅ cos ϕ = 1202 + 22 ⋅1,752 − 2 ⋅120 ⋅1,75 ⋅ 2 ⋅ 0, 292 = 119 V jer je: U L = U − I ⋅ R , a I = 2 ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ ) Struja I prethodi toku Φ za kut gubitaka kojeg odredimo iz: P 63 = 0, 265; βig = 15, 210 . sin βig = Fe = U L ⋅ I 119 ⋅ 2 Nadomjesna shema transformatora i pripadni dijagram

jX 1

R1

I1

I0 Ig

k ⋅ R2 2

Iµ k ⋅ U2

XM

Rg

U1

k 2 ⋅ jX 2

1 ⋅ I2 k

Zt

U1 Ig Iµ

Φ

I0

ϕ2

k ⋅U2

I1 ⋅ jX1

UM

I1 ⋅ R1

k ⋅ I 2 ⋅ jX 2

I2 k

k ⋅ I 2 ⋅ R2

I1

Zanemarivanjem struje praznog hoda fazorski dijagram opterećenog transformatora se može prikazati kao na slici:

172

U1

ϕ2

U 2′

ϕ1

uk

U kX

U kR

I1 = I 2′

ϕk

ukX

ukR I1

A

ko se sekundar kratko spoji , a primar priključi na samo toliki napon da kroz njega protjera nazivnu struju dobili smo važan podatak za transformator koji se zove napon kratkog spoja. U k = I n ⋅ Z k . Taj se napon obično daje u postocima nazivnog primarnog napona. U uk = k ⋅100 i iznosi (3-15)%Un. Impedanciju kratkog spoja izrazimo kao: Z k = Rk2 + X k2 gdje je: Un Rk = R1 + R2′ ; X k = X1 + X 2′ . Zato je U R = I n ⋅ Rk ; U X = I n ⋅ X k . Iz Kappovog trokuta na slici je vidljivo da je: ukR = uk ⋅ cos ϕk ; ukX = uk ⋅ sin ϕk . Fazorski dijagram s Kappovim trokutom je prikazan na slici:

U1 1

ϕ2

ϕ1

U 2′

U kR

ϕ2

Uk

ϕ2 U kX

I1 = I 2′ Ako s ∆U označimo promjenu napona pri nazivnom opterećenju onda je: S . Sn Zamislimo si „ zglob“ u točci 1 onda možemo zaključiti da će promjena napona pri istom opterećenju ovisiti i o položaju Kappovog trokuta u odnosu na U 2′ . Naravno da taj položaj ovisi o faznom kutu ∆U n ≈ U kR ⋅ cos ϕ2 + U kX ⋅ sin ϕ2 . Pri drugim opterećenjima je: ∆U = α ⋅ ∆U n gdje je α =

ϕ2 . Kako napon U k utječe na promjenu napona pri raznim ϕ2 pokazuje Kappov dijagram. (više o njemu u predmetu „Električni strojevi“)

173

Korisnost transformatora

Omjer predane i primljene snage transformatora možemo izraziti kao: S ⋅ cos ϕ − P0 − Pk ⋅100 , gdje su P0 i Pk podaci dobiveni iz pokusa praznog hoda i pokusa S ⋅ cos ϕ kratkog spoja. Ako korisnost izrazimo s nazivnim podacima vrijedi da je: α ⋅ Sn ⋅ cos ϕ − P0 − α 2 ⋅ Pkn η% = ⋅100 α ⋅ Sn ⋅ cos ϕ U praksi je vrlo važno znati pri kojem opterećenju nastupi maksimalni koeficijent korisnosti a to se dη = 0 . Ekstrem funkcije η = f (α ) nastupi pri može odrediti iz uvjeta da je ; dα

η% =

( S n ⋅ cos ϕ − 2 ⋅ α ⋅ Pkn ) ⋅ (α ⋅ S n ⋅ cos ϕ ) − ( S n ⋅ cos ϕ ) ⋅ (α ⋅ Sn ⋅ cos ϕ − P0 − α 2 ⋅ Pkn ) =0 N2

P0 , što znači da transformator ima maksimalni stupanj korisnosti u slučaju opterećenja Pkn kada su gubici praznog hoda i gubici iz pokusa kratkog spoja pri određenom opterećenju isti. Naime gubici P0 su s opterećenjem približno konstantni, a gubici Pk se mijenjaju s α 2 .

α max =

174

PLAN I SADRŽAJ NASTAVE KOLEGIJ: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE I SATNICA: 2+4 (30+60) SEMESTAR: PRVI ELEKTROSTATIKA Električni naboj i električno polje

15+30

6+12

Sila među nabojima , Coulombov zakon Koncept električnog polja Polje točkastog naboja, princip superpozicije Polje linijskog naboja Izračunavanje jakosti el. polja Gaussov zakon, tok el. polja Električno polje u vodiču Influencija Potencijalna energija el. polja Električni potencijal Izračunavanje el. potencijala Napon u električnom polju Materija u električnom polju

3+6

Polarizacija dielektrika Dielektrična konstanta, vektor el. pomaka Prijelaz el. polja iz jednog dielektrika u drugi

175

Kapacitet

6+12

Definicija kapaciteta Izračunavanje kapaciteta Zrcaljenje naboja na valjku i ravnini Kapacitet dvožilnog voda Kapacitet između voda i zemlje Kondenzatori i energija kondenzatora Spajanje kondenzatora Zakon o očuvanju naboja

STRUJNI KRUGOVI ISTOSMJERNE STRUJE Strujanje naboja

15+30

6+12

Električna struja u vodičima Ohmov zakon u diferencijalnom i integralnom obliku Statički i dinamički el. otpor Izračunavanje električnog otpora Ovisnost otpora o temperaturi Potencijalni dijagram Kirchhoffovi zakoni Spajanje otpornika (trošila) Realni naponski i strujni izvori (pretvorba) Spajanje naponskih i strujnih izvora Električna energija i snaga Prilagođenje na maksimalnu snagu

176

Linearne električne mreže

6+12

Elementi mreže, metode rješavanja Metoda K.Z. i metoda konturnih struja Metoda čvorova, Millmanov teorem Theveninov i Nortonov teorem Metoda superpozicije Spoj zvijezda i spoj trokut-pretvorba Nelinearni elementi u krugu istosmjerne struje

3+6

Serijski spoj linearnog i nelinearnog elementa Serijski spoj nelinearnih elemenata Paralelni spoj nelinearnih elemenata Grafičko rješavanje spojeva s nelinearnim elementima

177

PLAN I SADRŽAJ NASTAVE KOLEGIJ: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II SATNICA: 2+4 (30+60) SEMESTAR: DRUGI MAGNETIZAM Magnetsko polje

13+26

5+10

Magnetski tok i magnetska indukcija Sila na naboj u gibanju Hallov efekt Sila na vodič Strujna petlja u magnetskom polju Biot-Savartov zakon Magnetska indukcija ravog vodiča konačne dužine Magnetska indukcija beskonačno dugog vodiča Magnetska indukcija unutar vodiča Magnetska indukcija kružnog zavoja Helmholtzovi svici Magnetska indukcija zavojnice Torusna zavojnica Rad magnetskog polja Zakon o održanju magnetskog toka Ulančani magnetski tok

178

Materija u magnetskom polju

3+6

Feromagnetizam Magnetska permeabilnost, magnetizacija, jakost magn. polja Krivulje magnetiziranja, petlja histereze Magnetski krugovi-primjena Amperovog zakona protjecanja Grafičko rješavanje magn. krugova Elektromagnetizam

3+6

Elektromagnetska indukcija Faradayjev zakon, Lenzovo pravilo Faradayev disk Rotirajuća petlja u homogenom magn. polju Vrtložne struje Samoindukcija, induktivitet-izračunavanje Induktivitet cilindrične zavojnice, Nagaokin faktor Međuindukcija , međuinduktivitet Rasipni magnetski tok, faktor magnetske sprege Ukupni induktivitet ser. spojenih zavojnica Energija magnetskog polja

2+4

Magnetska energija zavojnice Prostorna gustoća energije Privlačna sila magneta Komutacija u mrežama istosmjerne struje

2+4

Odziv mreže na komutaciju Prisilni i slobodni odziv RLC serijskog spoja 179

Nabijanje kondenzatora Pražnjenje kondenzatora Priključivanje serijskog RL spoja na izvor konstantne EMS Prekid struje kroz zavojnicu Izmjenična struja

5+10

Osnovni pojmovi izmjenične struje (perioda, frekvencija....) Trenutna vrijednost sinusoidalne struje, početni kut Srednja i efektivna vrijednost sinusoidalne struje Srednja i efektivna vrijednost drugih valnih oblika Tjemeni faktor, faktor oblika Pojam fazora i matematičke operacije s fazorima Strujni krug izmjenične struje

5+10

Omski otpor, zavojnica i kondenzator u krugu izmjenične struje Ohmov zakon i Kirchhoffovi zakoni za izmjeničnu struju Serijski i paralelni spoj RLC elemenata Impedancija i admitancija, trokut otpora i vodljivosti, fazni kut Naponska rezonancija, valni otpor, prigušenje Odnosi veličina u naponskoj rezonanciji, selektivnost Paralelna rezonancija, odnos veličina

180

Snaga izmjenične struje

5+10

Snaga u kompleksnom obliku Vrste snaga, trokut snaga, faktor snage Kompenzacija jalove energije Prilagođenje na maksimalnu korisnu snagu

181

PLAN I SADRŽAJ NASTAVE KOLEGIJ: OSNOVE ELEKTROTEHNIKE III SATNICA: 2+4 (30+60) SEMESTAR: TREĆI Električne mreže izmjenične struje

5+10

Metode rješavanja Metoda Kirchhoffovih zakona Metoda konturnih struja Primjena Theveninovog teorema Primjena Millmanovog teorema Trofazni simetrični sustav

4+8

Nastanak trofaznog sustava, oznake namota i faza Spojevi izvora i trošila trofazne struje Fazne i linijske vrijednosti Simetrični trofazni direktni i inverzni sustav Nesimetrični trofazni sustav

5+10

Nesimetrični trofazni sustav-metoda simetričnih komponenata Utjecaj 0-voda na nesimetriju Rješavanje nesimetričnog sustava, Millmanovim teoremom Indikator slijeda faza Snaga tofazne struje kod simetričnog i nesimetričnog opterećenja

182

Rotaciono magnetsko polje

2+4

Direktni i inverzni sustav Analitička i grafička analiza Polje jednofaznog namota Međuinduktivitet u mrežama izmjenične struje

3+6

Rezultantni induktivitet serijski spojenih svitaka Izmjenična mreža pri pojavi međuinduktiviteta Računski primjer Izračunavanje impedancije pasivnog dvopola pri pojavi međuinduktiviteta Zračni transformator

3+6

Nadomjesna shema zračnog transformatora Rasipni induktivitet, međuinduktivitet Reduciranje sekundarnih veličina na primar Nesinusoidalne izmjenične veličine

5+10

Primjena Fourierova reda, kod nesinusoidalnih veličina Izračunavanje efektivne vrijednosti nesinusoidalne struje ili napona Srednja snaga nesinusoidalne struje Svitak sa željezom

3+6

Struja magnetiziranja, struja gubitaka Gubici snage zbog histereze i vrtložnih struja Fazorski dijagram svitka sa željezom Fazorski dijagram realnog transformatora Rekapitulacija gradiva

183

Program vježbi: Vježbe se izvode kao - auditorne - laboratorijske Uvjet za pristupanje ispitu su obavljene i pozitivno ocijenjene sve vježbe Provjera znanja: Pismeni i usmeni ispit. Za pristup usmenom dijelu ispita potrebno je najmanje 50% bodova na pismenom dijelu ispita. Literatura:

Viktor Pintar: Osnove elektrotehnike II Branislav Kuzmanović: Osnove elektrotehnike II THOMAS J. CAVICCHI: Fundamentals of Electrical Engineering Huđek J. Zapisci s predavanja Armin Pavić-Ivan Felja: Osnove elektrotehnike I- Auditorne vježbe

184