Oscillations Électriques Forces en Regime Sinusoidal

 Ministère de l’éducation et de la formation  Direction régionale de Gabès

Cours : Oscillations électriques  forcées en régime sinusoïdal  "nnée : #$%#&#$%'

()cée : !aher *l +added

Prof : Daghsni Said  Classes Classes : ème !echniques

Matière : Sciences ,h)siques

-& *tude ,ratique L'intensité du courant oscille sinusoidalement sinusoidalement avec une fréquence N imposée par le générateur L'amplitude Im de l'intensité et son déphasage déphasage par rapport à la tension excitatrice u du générateur varient avec la fréquence . Pour ./.  maximale , c'est la résonance d'intensité $ l'amplitude de l'intensité atteint une valeur maximale --& *tude théorique 0 --&%&*quation différentielle :  Appliquons la loi des mailles au circuit  u1t2/u31t24u51t24uC 1t2 1t2 La tension aux !ornes d'un conducteur ohmique de résistance 3 est u31t2/3i1t2 La tension aux !ornes d'une !o!ine de résistance interne r et d'inductance ( est  u51t2/ (1di1t26dt2 4 ri1t2 La tension aux !ornes d'un condensateur de charge q et de capacité C   est   est uC 1t2/q6C 1t2/q6C /17idt26C La loi des mailles s'écrit donc  u1t2 /134r2i4(1di6dt2417idt26C  /134r2i4(1di6dt2417idt26C  "'est une équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant i1t2 . i1t2 . --&#& Solution Solution en i1t2 de l8équation différentielle : L'équation différentielle différentielle précédente admet comme solution particuli#re celle du régime  permanent  i1t2/-   sin19t4  sin19t4i2  m  --&'& Construction de ;resnel de l8équation différentielle: différentielle: --&'&%& (e ?O)2 un angle V ; OX  t   y 1c'est la phase de la grandeur  )2

V 

"e vecteur est représenté dans la position qu&il occupe à la date t/$ s, s, l&axe de référence des O>   phases étant l&axe l&axe . --&'&#& Construction de fresnel : Les tensions aux !ornes des différents diples sont    u1t2/@  sin19t4 sin19t4u2 .  m  u31t2/3i/3-  sin19t4 s in19t4 2  m  i . et u51t2/(1di6dt24ri 1t2/(1di6dt24ri /(9-   cos19t4  cos19t4i2/(9-   sin19t4  sin19t4i41A6#22  m   m  et uC 1t2 1t2 /q1t26C / 17idt26C /1%6C92-  cos19t4 cos19t4i2/1%6C92 -  sin19t4 sin19t4i&1A6#220  m   m   A chaque tension tension de l&équation l&équation différentielle on associe un vecteur tournant tournant le vecteur de (resnel.  ) u1t2/@  sin19t4 sin19t4u2 correspond le vecteur de (resnel  B @  ? ?u .  m   m  ) 3t-  correspond le vecteur de (resnel  B  sin19t4 s in19t4 2 ? ?i .  m  i % 3t-   m   ) (9-  sin19t4 sin19t4i41A6#22 correspond 41A6#22 correspond le vecteur de (resnel  B  ? ?i41A6#2. 41A6#2.  m  # (9-   m  ) 1%6C92-  sin19t4 sin19t4i&1A6#22 correspond &1A6#22 correspond le vecteur de (resnel  B  ? ?i&1A6#2 . &1A6#2 .  m  '1%6C92-   m  B  4B  4B  /B *'apr#s l'équation différentielle on peut écrire  % # '

+rois constructions sont possi!les  .ature .ature de circuit 9E9$ c'est à dire 9#E9$# ce qui donne donne # 9 E %6(C   d'o  d'o (9 E %6C9 et parsuite (9-   E  E -   6C9  m   m  donc FFB  #FFEFFB  'FF

 Dé,hasage

le circuit  /u&i E$ est dit dit u/$ donc inductif   /&i  E$ donc /iH$

Courbes de i1t2 i1t2 et de u1t2 i1t2 est i1t2 est en retard de phase sur u1t2

9/9$ c'est à le circuit  /u&i /$ dire est dit dit u/$ # # donc 9 /9$ ce qui résistif  # donne 9 / %6(C  /&i d'o (9 /  E$ donc /i/$ %6C9 et %6C9 et  parsuite (9-   /  / -   6C9  m   m  donc FFB  #FF/FFB  'FF

i1t2 est i1t2 est en phase avec

9H9$ c'est à le circuit  /u&i H$ dire est dit dit u/$ 9#H9$# ce qui ca,acitif  donc  /&i donne 9#H %6(C d'o (9 H  H$ donc /iE$ %6C9 et %6C9 et  parsuite (9-   H  H -   6C9  m   m  donc FFB  #FFHFFB  'FF

i1t2 est i1t2 est en avance de phase sur u1t2

--&&

u1t2

*>,ression de l’intensité ma>imale -m 0

D'après l'une des constructions de Fresnel correspondantes à l&équation différentielle et d'apr#s le théor#me du  P-thagore, on peut écrire # @  2#41(9-  &1-  &1-   6C 922#  m /13t-   m   m   m  # # #  @  &1-  &1-   6C 922# -  ce qui donne donne @   m  / 3t 41(9-   m   m   m  *'o -   /  / @   63  63t#41(9&1%6C 922#%6#  m   m   /  / f192 est f192 est cicontre l&allure de la cour!e -   m  --&I& *>,ression de dé,hasage / u&i 0 Pour déterminer le déphasage  /u&i "onsidérons la construction de fresnel suivante  tg1 2/5"6O5/ 1(9-  &1-  &1-   6C 9226 3t-  donne  tg1  2/1(9&1%6C 9226 3t  m   m   m  ce qui donne tg1 /i 9 tend vers 4J tg12 tend 0 J de m1me si 9 tend vers -∞ tg12 tend vers 0J tg12 tend tg12 tend vers &J donc &J donc &K   &K   6# H  H  6# K  et puisque  /&i 2eprésentons alors l&allure de la cour!e i/f192 3emarque : cos12 / O56O" / 3t-   6@   /  / 3 6L   m   m  t s'appelle facteur du puissance de ciruit 3(C 

Construction de  fresnel

--&& -m,édances du circuit 0 # # %6#  6-   6-  Le rapport @   représente l'impédence L   représente  du  du circuit  L  3 @   m   m   m   m 3 @6- /3t 41(9&1%6C 922  Le rapport @   représente l'impédence L   représente  6/ %6C 9 cm  c 6-  m   m  C  C du condensateur  L  C  C/   @  Cm  C 6-  m   m / @  C  C  # Le rapport @     représente représente l'impédence de la !o!ine   6-  L  L  / @   6-  / @   6/ r 41(92#%6# 5m  5m   m  5 5 5m  5m   m 5  6/ 3 . 3 . Le rapport @   représente l'impédence L   représente 3m  3 6-  m   m  3 du conducteur ohmique  L  3/ @  3m  3 6-  m   m / @  3 --&N& (a résonance d8intensité 0 --&N&%& Condition d8obtention :  A la résonance d'intensité , l'amplitude -   est  est maximale  m  *ans ce cas l'impédance L   est minimale , il suffit donc de prendre (9&1%6C 92/$ ce qui signifie  est #  parsuite 9 /%6(C / 9$# d'o à la résonance 9 / 9$ 0 (9/%6C 9  parsuite 9 Conclusion: La résonance d'intensité est o!tenue pour une pulsation 9 égale à la pulsation  propre 9$ du circuit 3(C     . . --&N&#& Courbes de résonance 1effet de la résistance totale du circuit 2 : la valeur de la fréquence de résonance ne dépend pas de la résistance total du circuit 3t . le déphasage entre l'intensité i et la tension d'alimentation u à la résonance ne dépend pas de 3t ,il est nul /$. /$. Pour des fai!les résistances 4Amortissement fai!le5 la résonance est dite aigu , 4Amortissement aigu , elle est dite  floue pour  floue pour les grandes résistances 4Amortissement importante5. Le maximum de l'amplitude -   de l'intensité dépend de 3t mais la fréquence de résonance .   de  m  r reste tou6ours égale à la fréquence propre du circuit .  $.

--&N&'& Grandeurs caractéristiques caractéristiques de la résonance d8intensité : a2 (a fréquence  la résonance : %6#  A la résonance on a ./.  2 et 9 / 9$ / %61(C2%6# $/%61#K1(C2 b2 Dé,hasage  la résonance :  tg12/1(9&1%6C 9226 3t d'o  tg12/$ ce qui donne  A la résonance on a (9&1%6C 92/$ or or tg12/1(9&1%6C d'o tg12/$ excitatrice  u1t2 et l'intensité du courant i1t2 dans  /u&i/$ donc la tension excitatrice u1t2 i1t2 dans le circuit sont en concordance de phase de  phase 0 c2 -m,édance du circuit  la résonance :  A la résonance on a donne  L/3t/34r (9&1%6C 92/$ or L/3t#41(9&1%6C 922#%6# ce qui donne L/3  A la résonance l'impédance du circuit est minimale minimale .

d2 -ntensité du courant  la résonance :  A la résonance l'intensité maximale maximale du courant courant prend une valeur valeur maximale -  /@  /@   63t  mma>   m   --&Q& (e facteur de qualité 1coefficient de surtension20 Le quotient R / @   est appelé facteur de surtension à la résonance.  est  /  / @  Cm  C 6@  m   m  bm  b 6@  m   m   A la résonance d'intensité ,il ,il peut appara7tre appara7tre aux !ornes de la !o!ine ainsi qu'aux !ornes du condensateur des tensions plus grandes que la tension excitatrice u , on dit qu'il - a un  phénom#ne de surtension surtension  A la résonance on a  9/9$ ,@   peut  peut s'écrire R/%6113$4r2C9$2 /-  /-   6C9$ et @  /13 /13$4r2-  cm  cm   m$  m   m$ donc R   A la résonance %6C 9$ /(9$ il en résulte que R   peut s'écrire aussi R/( 9 613  peut $ $4r2 or 9$ /%6(C   donc R   donc  peut s'écrire uniquement en fonction des caractéristiques  peut caractéristiques 3, ( et C   de  de l'oscillateur  R/1%613$4r22 1(6C2  A la résonance @   et @   et /13 /13$4r2-  /1r /1r#41(9$2#2 8  m   m  bm  bm 

si (9$ EE13$4r2 alors  il appara7t une surtension aux !ornes de la !o!ine de m1me pour le  il 4r2 alors @   E@   E@  bm  bm   m  RE%. condensateur puisque %6C 9$/ ( 9$ dans ce cas RE%. /i RH% il RH% il n'- a plus de surtension à la résonance --&T& (a ,uissance électrique mo)enne0 --&T&% *>,ression de la ,uissance électrique instantanée :  ,1t2 re9ue à chaque instant par le circuit 3(C  La puissance instantanée  ,1t2 re9ue  excité par la tension  excité u1t2 et u1t2 et parcouru par le courant électrique d'intensité i1t2 est i1t2 est donnée par la relation  ,1t2 /u1t2i1t2. /u1t2i1t2. or  donc ,1t2 i1t2/-  sin19t4 sin19t4i2 et u1t2/@  sin19t4 sin19t4u2 donc  ,1t2 / @  -  - m    sin19t4  sin19t4u2sin19t4i2  m   m   m  ce qui donne

,1t2 /1%6#2 @  -  - m   cos1 cos1u&i2 &cos1#9t41u&i22  m 

 --&T&# *>,ression de la ,uissance électrique mo)enne : :n régime sinuso%dal forcé , la puissance mo-enne P est la valeur prise par  ,1t2 pendant  ,1t2 pendant une  période , elle est dite acti