Oscilaciones Forzadas Bernardo V´ Vasquez a´ squez Cordero
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Resumen—This document explains the praticipation of fourier series indicating the forced oscillations which are analyzed with differen diffe rential tial equations of the seco second nd degr degree, ee, finally an exam example ple will be made. Index Terms—Fourier, Forced Oscillations.
II-A.
soluci soluci´ on ´ de la ecuacion ´
para solucionar esta ecuaci´ ecuacion o´ n tenemos que sumar una soluci´on on general como si la ecuaci´o on n (2) fuera homog´eenea nea y una soluci´ on particular de (2) la cual puede ser determinada por el metodo e´ todo de coeficientes indeterminados.
´ I NTRODUCCION
I.
Las Las Seri Series es de Four Fourie ierr ti tien enen en su part partic icip ipac aciio´ n en las ecuaci ecu acione oness difere diferenci nciale aless y claro claro eje ejempl mplo o de esto esto son las oscila osc ilacio ciones nes for forzad zadas as la cuales cuales pueden pueden ser analiz analizada adass por ecuaciones diferenciales de segundo orden, para comprender primero se dar´ dara´ la teor´ teor´ıa ıa de las oscilaciones forzadas en un an an´alisis a´ lisis de ecuac ecuaciion o´ n difere diferenci ncial, al, el cua cuall sera sera tom tomado ado de el libro de Matem´aticas aticas avanza avanzadas das para la ingenier´ ingenier´ııaa volumen 1 de Erwin Kreyszing, posteriormente se realizara un ejemplo de osc oscila ilacio ciones nes for forzad zadas as con series series de Fo Fouri urier er tom tomado ado del volumen 2 de dicho libro.
acos((wt wt)) + bsen wt)) y p (t) = acos + bsen((wt
a = F = F 0 b = F = F 0 0
Teniendo la figura a continuaci´on.
(k (k
− −
k mw2 mw2 )2 + w2 c2
(4)
wc mw2 )2 + w2 c2
(5)
−
entonces
k/m k/m = w = w
´ M ARCO TE ORICO
(3)
Derivando, reemplazando,sustituyendo obtenemos los valores de a y b
si II.
a = F = F 0
b = F = F 0
m(w02 w2 ) m2 (w02 w2 )2 + w2 c2
(6)
wc w2 )2 + w2 c2
(7)
−
−
2
m (w
2 0
−
se obtiene la soluci´ solucion o´ n general de (2)
y (t) = yh (t) + y + y p (t)
(8)
Figura Figu ra 1. Sistema Sistema masa/resort masa/resortee
Los movimientos libres del sistema masa/resorte son movimientos en ausencia de fuerzas externa. pero los movimientos for forzad zados os se obtien obtienen en se se da un fue fuerza rza externa externa r(t) que act´ actu ue ´ e sobre el cuerpo, teniendo a m como masa del cuerpo, my como como fu fuer erza za de la iner inerci cia, a, cy como como la fuer fuerza za de amortiguamiento amortiguamie nto y ky la fuerza fuerza del reso resorte, rte, teniend teniendo o as´ as´ı la ecuaci´on: ecuaci o´ n:
my + cy + ky = r = r((t)
(1)
r(t) se la conoce como fuerza de entrada o impulsora correspondiente a la salido o respuesta del sistema. en este caso son
donde yh (t) es la solu soluci cion on como como si fu fuer eraa ho homo moge gene neaa y y p (t) esta dada por los coeficientes a y b . Tenemos dos tipos de soluciones a ver. II-B.
oscilaciones forzadas no amortiguadas
Ob Obte tene nemo moss la solu soluci ci´o´ n a partir de que si no hay amortiguamiento, entonces c = 0. Suponiendo amortiguamiento, Suponiendo primer primero o que 2 2 w = w0 :
∗
y (t) = C cos( cos(w0 t
entradas peri´ perio odicas ´ dicas y de fuerza senoidal.
ky = F F 0 cos cos((wt wt)) my + cy + ky =
(2)
y p (t) =
cos((wt wt)) − δ ) + m (w F w ) cos − F 0
2 0
0
2mw0
tsen(w0 t) tsen(
2
(9) (10)
de tal modo que:
y + 0, 0,2y + 25y 25y = r = r((t)
II-C.
oscilaciones forzadas amortiguadas
Si hay amortiguamiento, entonces c > 0 sabiendo ya que ´ general y h es: la soluci´ solucion
donde r(t) se mide en g
2
∗ cm/s
α∗t
−
y (t) = e = e c (α = 2m > 0) h
II-C1.
π
Acos((wt wt)) + Bsen wt)) (Acos + Bsen((wt ))
f f ((x) =
(11)
amplitud de y p :
−t +
Al mome moment nto o de estu estudi diar ar la am ampl plit itud ud de y p como como un unaa funcion de w, tenemos:
∗
y p (t) = C cos(wt = C cos(
− η)
∗
2mF 0 c 4m2 w02
II-D.
2
π < x
