Oscilaciones Amortiguadas Terminado

Escriba aquí la ecuación.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS 1. OBJETIVOS  Encontrar la relación funcional entre la amplitud de oscilación y el tiempo para 0[A] Y 0,2[A].  Determinar la constante de amortiguamiento δ.  Determinar el decremento logarítmico λ. 2. FUNDAMENTO TEORICO La descripción de los fenómenos oscilatorios reales, consiste en considerar la fricción del medio, que permite que el sistema disipe energía, asimismo produce la disminución en la amplitud gradualmente hasta cero, este tipo de movimiento se denomina Movimiento Armónico Amortiguado.

1

La fuerza que produce la fricción en los sistemas oscilantes es proporcional a la velocidad y de sentido opuesto. Para el caso de un resorte helicoidal, el torque de fricción es proporcional a la velocidad angular: τ ¿ fr =−Rω Donde

R es el coeficiente de fricción.

Resorte helicoidal, péndulo de torsión de Pohl Aplicando la segunda Ley de Newton para un movimiento rotatorio:

 2

FC y T

∑ τ=Iα

Página 1

Escriba aquí la ecuación.

−kθ

Y considerando el torque restaurador

y el momento de fuerza de fricción, la

ecuación diferencial es:

 3

2

−R

dθ d θ −kθ=I 2 dt dt

Dónde: R es el coeficiente de fricción. K es la constante de torsión del resorte helicoidal. I es el momento de inercia. θ es la amplitud de oscilación. Resolviendo la ecuación (3) cuando la fuerza de amortiguamiento es pequeña y con θ amplitud inicial 0 es:

 4

Donde

δ=

b 2I

θ ( t ) =θ0 exp (−δt ) cos ⁡( ωt )

es la constante de amortiguamiento o decrecimiento, por otro lado la w=√ w20 −δ 2

frecuencia angular de oscilación es

, donde

w 0= √ k / I

es la frecuencia

natural. Dependiendo del valor de δ, se puede distinguir tres tipos de movimiento amortiguado: w0

δ< δ=

w0 δ>

Movimiento amortiguado

Movimiento críticamente amortiguado w0

Movimiento sobreamortiguado

Sin embargo, solo el primero corresponde a un movimiento oscilatorio, porque en las otras dos no existe oscilación. En la Figura se muestra el comportamiento de la ecuación (4), se puede observar la disminución exponencial de la amplitud de la función armónica. FC y T

Página 2

Escriba aquí la ecuación.

Amplitud en función del tiempo para un movimiento armónico amortiguado.

Considerando la amplitud de la ecuación (4), se puede escribir:

 5

A=θ 0 exp ⁡(−δt )

Lo cual indica que la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. Asimismo, el periodo de oscilación es constante durante el movimiento, y tiene el valor de exp(δT), donde δT se conoce como decremento logarítmico λ: θ 0 exp ⁡(−δt ) A( t) = =exp ⁡( −δt) A (t+T ) θ0 exp ⁡(−δ ( t+ T ) ) 3. EQUIPOS Y MATERIALES - Péndulo de torsión de Pohl. - Cronómetros. - Amperímetros. - Potenciómetro. - Fuentes de tensión continúa. 3.1. Procedimiento Para tener dos curvas de amortiguamiento, se puede trabajar con corriente de 0[A] y 0.2 [A] Nota: La corriente que circula por el circuito, no debe superar a 1[A] FC y T

Página 3

Escriba aquí la ecuación.

1.- Con mucho cuidado verificamos que el puntero del péndulo estuviera calibrado, es decir, que se encontrara en la posición cero de la escala de amplitudes. 2.- Se armó el equipo para que se pudiese trabajar con ambas corrientes, sin embargo para el caso I=0[A] no fue necesario que el circuito estuviera conectado. 3.- Con la corriente igual a cero, se movió el puntero del péndulo a una posición de amplitud máxima, luego se lo soltó para que el sistema comenzara a oscilar, con ello se logró determinar el periodo de oscilación. 4.- Nuevamente se movió el puntero a una posición de amplitud máxima, se lo dejó en libertad, y se contaron 5 oscilaciones, en la quinta oscilación se registró la amplitud máxima. 5.- Luego se registraron las amplitudes máximas después de 10, 15, 20,… oscilaciones. 6.- Para una corriente I=0.2 [A], se realizaron los mismos pasos, sin embargo como el amortiguamiento era mayor, se utilizaron la misma cantidad de oscilaciones para determinar el periodo y 2 oscilaciones para registrar las amplitudes máximas. 4. TABLA DE DATOS Y RESULTADOS 4.1. Registro de Datos 4.1.1. Corriente I=0 [A] 4.1.1.1. Tiempo de 10 oscilaciones Nº t [s]

Tabla 1 2 19,38

1 19,25

3 19,44

4 19,53

4.1.1.2. Datos de las amplitudes máximas Nº # osc. T(s) A[ua]

1 5 9.7 18,4

2 10 19.4 16.2

3 15 29.1 14.6

4 20 38.8 13.4

Tabla 2 5 25 48.5 12.4

6 30 58.2 11.4

4.2. RESULTADOS 4.2.1 Corriente I=0 [A]

T  1,94  0,01  s  ; 1%

4.2.1.1 Periodo de oscilación FC y T

Página 4

7 35 67.9 10.2

8 40 77.6 9.2

9 45 87.3 8.4

10 50 97.00 7.2

Escriba aquí la ecuación.

A   3,00  0,05  ua  ; 2% B    0,01016  0,00008  1/s  ; 1% r  0,998 4.2.1.2. Parámetros de la Linealización

a   20,0  1,0   ua  ; 5% b   0,01016  0,00008 1/s  ; 1% 4.2.1.3. Parámetros del modelo escogido

A  20.0e0, 01016t

4.2.1.4. Modelo matemático para la curva de ajuste

A0   20,1  1.0  ua  ; 5% 4.2.1.5. Amplitud inicial

4.2.1.6. Constante de Amortiguamiento

   0,01016  0,00008 1 / s  ; 1% 4.2.1.7. Decremento Logarítmico

   0,0197  0,0002  0 ; 1% 5. GRAFICOS Y CALCULOS 5.1. Corriente I=0 [A] 5.1.1. Datos de las amplitudes máximas y tiempos Nº 1 2 3 4 FC y T

t [s] 9,7 19,4 29,1 38,8

Tabla 3 A [ua] 18,4 16,2 14,6 13,4 Página 5

LnA 2,91 2,78 2,68 2,60

Escriba aquí la ecuación. 5 6 7 8 9 10

48,5 58,2 67,9 77,6 87,3 97,00

12,4 11,4 10,2 9,2 8,4 7,2

2,52 2,43 2,32 2,22 2,13 1,97

5.1.2. Gráfico de la Amplitud VS Tiempo

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 9.6999999999999993 29.1

48.5 67.900000000000006 87.3

y  ae bx  A  A0 e t Como la disminución de la amplitud es exponencial el modelo matemático para la curva de ajuste es:

a  A0  b   Dónde:

FC y T

Página 6

Escriba aquí la ecuación.

5.1.3. Linealización de la curva no lineal Gráfico de LnA VS t

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

20

40

60

80

100

120

LnA  LnA0   .t y  A  Bx La grafica presenta un comportamiento lineal, por lo que el modelo matemático escogido es:

A  Lna  LnA0 B  b  

Dónde:

n  10

A  2,998673784 B  0.01015536258

 y  24,56885191  x  533.5   4.758597262  10  0,05  xy  1231,918009   7.906364846  10  0,00008  x  36224,65 r  0,998  y  61,16728185 A   3.00  0,05  ua  ; 2% B    0,01016  0,00008 1/s  ; 1%  di  3.883780143 x10 3

A

5

B

2

2

2

3

  776624,25

LnA  2.999  0,010  t

 2  4.854725179 x10  4

LnA= ƒ(t) FC y T

Página 7

5.1.4. Relación funcional

Escriba aquí la ecuación.

y  ae bx  Lny  Lna  bxLne  Lny  Lna  bx 5.1.5. Comparando los dos modelos matemáticos escogidos

y  A  Bx

A  Lna Bb

Entonces:

Calculado el error de la Amplitud inicial A0  e A Lne  20,05891682 A

 A0

 A0      A   A 

2

 A0  1.002945841  1 5.1.6. Amplitud inicial

FC y T

Página 8

Escriba aquí la ecuación.

A  Lna  LnA0 a  A0  e A A0  20,05891682

A0   20,0  1.0  ua  ; 5%

5.1.7. Constante de Amortiguamiento

Calculando el error de la Constante B  b   de Amortiguam iento : b    B    B   0.01015536258    0,00008    0,01016  0,00008 1/s  ; 1%

Calculado el error del Decremento Logarítmic o :   T    T          

2







     T  T

2

  

   1,85498248  10  4  0,0002

5.1.8. Decremento Logarítmico

  T   0,01970140341    0,0197  0,0002   0 ; 1%

FC y T

Página 9

Escriba aquí la ecuación.

4. TABLA DE DATOS Y RESULTADOS 4.1. Registro de Datos 4.1.1. Corriente I=0,2 [A] 4.1.1.1. Tiempo de 5 oscilaciones Nº t [s]

Tabla 1 2 9,56

1 9,41

3 9,54

4 9,65

4.1.1.2. Datos de las amplitudes máximas Nº # osc. A[ua]

1 2 16.2

2 4 13.2

3 6 11.2

4 8 9.4

Tabla 2 5 10 7.4

6 12 6.4

7 14 5.2

4.2. RESULTADOS 4.2.1 Corriente I=0,2 [A] T  1,91  0,01  s  ; 1%

4.2.1.1 Periodo de oscilación

A   3,05  0,05  ua  ; 2% B    0,055  0,002  1/s  ; 4% r  0,99 4.2.1.2. Parámetros de la Linealización

FC y T

Página 10

8 16 4.1

9 18 3.2

10 20 2.2

Escriba aquí la ecuación.

a   21,12  1,05  ua  ; 5%

b   0,055  0,002  1/s  ; 4% 4.2.1.3. Parámetros del modelo escogido

A  21,124e 0, 055t 4.2.1.4. Modelo matemático para la curva de ajuste

A0   21,12  1,05  ua  ; 5% 4.2.1.5. Amplitud inicial

4.2.1.6. Constante de Amortiguamiento

   0,055  0,002 1/s  ; 4% 4.2.1.7. Decremento Logarítmico

   0,106  0,004   0 ; 4%

5. GRAFICOS Y CALCULOS 5.1. Corriente I=0,2 [A] 5.1.1. Datos de las amplitudes máximas y tiempos Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t [s] 3.82 7.64 11.46 15.28 19.10 22.92 26.74 30.56 34.38 38.20

Tabla 3 A [ua] 16.2 13.2 11.2 9.4 7.4 6.4 5.2 4.1 3.2 2.2

5.1.2. Gráfico de la Amplitud VS Tiempo

FC y T

Página 11

LnA 2.78 2.58 2.42 2.24 2.00 1.86 1.65 1.41 1.63 0.79

Escriba aquí la ecuación.

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

y  ae bx  A  A0 e t Como la disminución de la amplitud es exponencial el modelo matemático para la curva de ajuste es:

a  A0  b   Dónde:

FC y T

Página 12

Escriba aquí la ecuación.

5.1.3. Linealización de la curva no lineal Gráfico de LnA VS t

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

LnA  LnA0   .t y  A  Bx La grafica presenta un comportamiento lineal, por lo que el modelo matemático escogido es:

A  Lna  LnA0 B  b  

FC y T

Dónde:

Página 13

Escriba aquí la ecuación.

n  10

 y  18.8908833  x  210.1  xy  330,363723   2.110707845  10  0,002  x  5618,074 r  0,99  y  39.40653454 A   3,05  0,05  ua  ; 2% B    0,055  0,002  1/s  ; 4%  di  0,04290687746 A  3,05023554 B  0,05526640695  A  0,05002900344  0,05 3

B

2

2

2

  12038,73

LnA  3,05  0,055  t

 2  5,363359683 x10 3 5.1.4. Relación funcional

LnA= ƒ(t)

y  ae bx  Lny  Lna  bxLne  Lny  Lna  bx 5.1.5. Comparando los dos modelos matemáticos escogidos

y  A  Bx

FC y T

Página 14

Escriba aquí la ecuación.

A  Lna Bb

Entonces:

5.1.6. Amplitud inicial Calculado el error de la Amplitud inicial A0  e A  21,12031851 A

A  Lna  LnA0

2

 A0   A0     A   A   A0  1,056015926  1,05

a  A0  e A A0  21,12031851

A0   21,12  1,05  ua  ; 5%

5.1.7. Constante de Amortiguamiento Calculando el error de la Constante B  b   de Amortiguam iento : b    B    B   0,05526640695    0,002    0,055  0,002  1/s  ; 4%

Calculado el error del Decremento Logarítmic o :   T    T          

2







     T  T

   3,859391144  10

FC y T

.3

2

  

 0,004 5.1.8. Decremento Logarítmico Página 15

Escriba aquí la ecuación.

  T   0,1055588373    0,106  0,004   0 ; 4%

6. CONCLUSIONES Finalizando el análisis de nuestra práctica experimental y de su respectivo informe obtuvimos las siguientes conclusiones: Que las oscilaciones amortiguadas son las que en verdad ocurren en la naturaleza, es decir que son reales a comparación de todas las clases de oscilaciones que estudiamos anteriormente. Pudimos comprobar que la oscilación amortiguada es la más peculiar de todas ya que se caracteriza por tener periocidad constante en amplitud variable y en presencia de fuerzas disipativas, conjetura que no creíamos real de parte de la teoría. Demostramos experimentalmente que la disminución de amplitud en las oscilaciones amortiguadas puede ser asociada con la función exponencial. Así cualitativa y cuantitativamente pueden ser estudiados este movimiento en la física e ingeniería. Terminando el informe entendimos que las relaciones lineales también suceden en la naturaleza y no solo en la idealidad. 7. RESPUESTAS AL CUESTIONARIO 1.- ¿Por qué no es posible conseguir un Movimiento Armónico Simple perfecto? Por el simple hecho de que existe una pérdida de energía debido a la fricción, aunque se lograra que dicha fricción fuera la mínima el sistema se detendría en algún punto. FC y T

Página 16

Escriba aquí la ecuación.



A 1 Ln 0 n A

2.- Se miden dos amplitudes separadas n ciclos. Sea A0 la primera amplitud medida, y An es la amplitud medida después de n ciclos. Demostrar que el decremento logarítmico está dado por:

  T An  A0 e t reemplazando : LnAn  LnA0 e t LnA0  LnAn t  * LnAn  LnA0  t t n A 1 t   LnA0  LnAn   Ln 0 T  n An t n

3.- Un niño en un columpio parte desde una gran altura, pero no se impulsa. ¿Cómo cambia en el tiempo la frecuencia de la oscilación? El movimiento que realiza el niño con el columpio es un movimiento oscilatorio amortiguado debido a la fricción con el aire, dicho esto la frecuencia de la oscilación va disminuir exponencialmente a medida que pasa el tiempo.

FC y T

Página 17