Oscilaciones Amortiguadas Desde El Punto de Vista Mecanico

OSCILACIONES AMORTIGUADAS DESDE EL PUNTO DE VISTA MECANICO Argumedo. G., Arrieta. J., Cañavera. J., Cansino. K., Díaz. Y. Departamento de Ingeniería Mecánica - Lab. Física III. Universidad de Córdoba, Montería

RESUMEN En esta práctica se estudió las oscilaciones amortiguadas tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k que experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. 1. TEORIA RELACIONADA Oscilaciones Amortiguadas En la vida real existen fuerzas no conservativas tales como la fricción las cuales hacen retardar el movimiento, como consecuencia se tiene que la energía mecánica disminuya a través del tiempo, a este movimiento lo llamaremos amortiguado. La energía mecánica perdida se transforma energía interna del objeto y del medio retardador.

fuerza restauradora F= -kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad, llamada fuerza retardadora 𝐹𝑟 = −𝑏𝑣 , donde b es una constante llamada coeficiente de amortiguamiento. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta. Al aplicar la segunda Ley de Newton, tenemos: ∑ 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝜆𝑣𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 −𝑘𝑥 − 𝑏

𝑑𝑥 𝑑2𝑥 =𝑚 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Si la fuerza retardadora es pequeña con respecto a la fuerza restauradora máxima, se obtiene la siguiente expresión: 𝑥 = 𝐴. 𝑒

𝑏 −( )𝑡 2𝑚 . cos⁡(𝜔𝑡

− 𝜙)

Donde tenemos que la frecuencia 𝑏

Fig. 1. Ejemplo de un oscilador amortiguado.

angular es: 𝜔 = √𝜔°2 − (2𝑚)2

El sistema más simple que representa este movimiento es el de un objeto unido a un resorte y sumergido en un medio viscoso (Fig. 1.).

Las características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la

 

La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo. La energía del oscilador también disminuye, debido al



trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.

La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña ondulación debida al segundo término entre paréntesis, tal como apreciamos en la figura:

Fig. 3. Energía del oscilador amortiguado.

Fig. 2. Grafica de x vs. T para un oscilador amortiguado.

Energía del oscilador amortiguado La energía de la partícula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula y de la energía potencial del muelle elástico deformado. 𝐸=

1 1 1 1 𝑚𝑣 2 + 𝑘𝑥 2 = 𝑚𝑣 2 + 𝑚𝜔°2 𝑥 2 ⁡ 2 2 2 2

Introducimos las expresiones de la posición x y de la velocidad v de la partícula en función del tiempo t. 1 𝐸 = 𝑚𝜔°2 𝐴2 𝑒 −2𝛾𝑡 2

1 − 𝑚𝛾𝐴2 𝑒 −2𝛾𝑡 𝑠𝑒𝑛(2(𝜔𝑡 2 + 𝜑))

Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, como hemos visto en el ejemplo del apartado anterior ω0≈ω 1 𝐸 = 𝑚𝜔°2 𝐴2 𝑒 −2𝛾𝑡 (1 2 𝛾 − 𝑠𝑒𝑛(2(𝜔° 𝑡 + 𝜑)) 𝜔°

2. MATERIALES Pie estativo Varilla soporte (600mm) Nuez Noble Pasador Muelle helicoidal (3N/m) Platillo para pesas de ranura Pesa de ranura (50gr) Regla Vaso de Precipitado 250 ml Cartón

1 2 2 1 1 1 1 1 1 1

3. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO Parte 1 Primero se preparó el montaje de un péndulo simpe indicado en la fig. 4. Se cargó el muelle con una masa de 60gr, incluyendo platillo y con Δl= 10cm. Se tomaron datos de los alargamientos cada 30sg, y se llevaron los valores a la tabla. Luego se procedió a realizar un segundo montaje de un péndulo simple con un disco de cartón,

colocado entre las dos pesas, también se realiza un alargamiento de 10cm, y se consignan los respectivos valores en la tabla. Por último, se realizó el mismo montaje pero sumergido en el vaso de precipitado, se sumergió y se le dio un alargamiento de 4cm, y se tomó el alargamiento después de 5g.

Se realizó en montaje de la fig. 5, el cual es un péndulo simple el cual tenía una longitud de 40 cm y una masa de 60 gr, este fue atado para mantener la distancia antes mostrada. Luego se precedió a fijar una hoja blanca debajo del péndulo, en la cual se fijó un punto de equilibrio. Luego se fijó una distancia de 25 cm al punto de equilibrio, y desde aquí se procedió a soltar la masa del péndulo; luego de esto se procedió a marcar las amplitudes cada minuto que pasaba hasta completar un total de 8 minutos, estos valores fueron consignados en la tabla.

Tabla 3.

Parte 2.

Parte 1. Resultados péndulo simple 0.5 8

1 5

1.5 3

2 2.5

Tabla 1.

Resultados péndulo simple con platillo 0.5 4

1 2

t(min)

0

1

2

3

4

5

1.5 1.5

2 1

Tabla 4.

5. EVALUACION Parte 1. Para el primer experimento tenemos que un péndulo simple el cual no presentó ninguna alteración en sus oscilaciones debido a que no estaba bajo ninguna condición de amortiguamiento la cual frenara o disminuyera las oscilaciones con el tiempo.

Resultados péndulo simple material viscoso (agua)

Para el tercer experimento se observó que la masa al estar sumergido en el material viscoso obtuvo muy pocas oscilaciones a través del tiempo, solo se llegó a observar una oscilación antes de que frenara completamente. Parte 2.

Tabla 2.

en

6

7

8

A(cm) 25 21 17,5 16,4 13 11 1,5 5 3,5

Para el segundo experimento se tiene que al agregar el disco de cartón disminuyo de manera considerable las oscilaciones y las amplitudes alcanzadas a lo largo del tiempo, tal como se puede ver en la respectiva tabla 2.

4. RESULTADOS

t(min) A(cm)

5 1

Resultados del montaje del péndulo Simple

Parte 2.

t(min) A(cm)

t(seg) A(cm)

2. ¿Cómo es el comportamiento del periodo y de la amplitud?

Como sabemos que el periodo depende únicamente de la longitud y de la gravedad se pudo observar en el experimento la no variación de del periodo ya que se mantuvo constante una longitud de 40 cm durante el ejercicio por ende calculando el periodo: 0,40⁡𝑚

𝑇 = 2π⁡√(9,81⁡𝑚/𝑠) = 1,28 seg Ahora en el experimento con respecto a la amplitud se pudo observar que vario mucho, debido a que la amplitud fijada fue de 25 cm y a medida que pasa el tiempo esta disminuía, hasta llegar el punto de equilibrio, pero como vemos en la tabla 4, la amplitud inicio en 21 cm en t=1 min hasta oscilar en 3.5 cm al cabo de 8 min.

Otro factor que se tuvo que mejorar fue, que al momento de soltar la masa del péndulo, la cuerda debía estar tensionada, debido a que de lo contrario las oscilaciones del péndulo no habrían sido fiables. 4. Grafique A vs. t. ¿Qué tipo sugiere la gráfica? Trate de encontrar un modelo matemático para esas variables utilizando un programa de análisis de datos y ajuste la gráfica. ¿Cuál es la relación matemática?

3. ¿Cuáles factores cree usted que hacen que se den variaciones en las amplitudes de las oscilaciones? Inicialmente observamos que uno de los factores fue el mal ajuste de la cuerda, debido a que esta no estaba en la misma línea de acción del péndulo, por ende al momento de oscilar el péndulo tomaba muchas direcciones lo cual no facilitaba la toma de los datos; así mismo se procedió a corregir el problema colocándolo en la misma línea de acción de manera que se observó que la dirección de las oscilaciones había mejorado para la toma de datos. Por otro lado tenemos que en muchos intentos la soltar la masa del péndulo esta tenia cierto grado de inclinación con respecto a la vertical, la cual hacia que este tuviera diferentes direcciones a lo largo del tiempo, este aspecto fue mejorado para hacer más fiable la toma de datos.

Grafica 1. A vs. t.

Grafica 2. A vs. t con su respetivo ajuste.

Tabla 5. Información de la gráfica 1.

El modelo matemático que arrojo el programa Origin fue: 𝑥

𝑦 = 𝐴 ∗ 𝑒 (− 𝑡 ) + 𝑦0 6. CONCLUSION A través de los experimentos realizados logramos comprobar que el alargamiento de un oscilador masa – muelle iba disminuyendo a medida que aumenta el tiempo, los resultados de las diferentes tablas (1, 2, 3) permiten comprobar el alargamiento del oscilador. 7. BIBLIOGRAFIA 8.  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ oscilaciones/amortiguadas/amortigu adas.htm  Serway R.; Beichner R.; Física para Ciencias e Ingeniería. 7° Ed. McGraw - Hill. Pags 436 – 437.  GUIA DE LABORATORIO.