Ortodrómica

Apuntes de Cartografía

2009

ORTODRÓMICA Se lama ruta ortodrómica entre dos puntos sobre la superficie terrestre al arco de círculo máximo menor de 180º comprendido entre ambos, supuesta la superficie terrestre esférica. Por dos puntos de la superficie terrestre pasa una única ortodrómica que tiene la propiedad de ser el camino más corto entre ambos. Su interés deriva precisamente de esta última propiedad V  y V’  llamados vértices de la ortodrómica, son los puntos de mayor y menor latitud del circulo máximo; la latitud de V ,  V  es el

ángulo que forma el plano de la ortodrómica y el plano del ecuador y se llama inclinación de la ortodrómica. Los puntos N  y N’  se llaman nodos de la ortodrómica, son la intersección de ésta con el ecuador. Será ascendente el nodo que se encuentre al oeste del meridiano origen y descendente el otro nodo. Rumbo de la ortodrómica es el ángulo medido en sentido horario que forma la ruta con el meridiano del lugar y, en general, es diferente para cada punto de la ruta. Fig. 1 Al navegar por una ruta ortodrómica deberemos variar constantemente el rumbo, cosa prácticamente imposible de realizar. Nos interesará conocer el rumbo inicial y final de la ruta, así como la distancia que recorre, que aprenderemos a calcular.

Rumbo inicial de la ortodrómica El rumbo inicial es el ángulo que la ortodrómica forma con el meridiano del punto de partida. Vamos a obtener una expresión para calcular el valor del rumbo inicial de cualquier ruta ortodrómica sobre la esfera terrestre. Para ello nos fijamos en la figura 3 y en el triángulo esférico PAB, el objetivo es obtener el valor de Rgi, los lados de este triángulo son a, b y D que son la colatitud de A, la de B y la distancia ortodrómica, respectivamente. De este triángulo conocemos los lados a, b y el ángulo Δλ  (conocemos las coordenadas geográficas de ambos puntos) y queremos obtener el ángulo Rgi; la trigonometría esférica para triángulos generales nos da una fórmula que relaciona dos lados, el ángulo comprendido entre ellos y uno de los otros dos ángulos, lo aplicaremos a este caso.

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La fórmula es: cot b ⋅ sin a = cos a cos C + sin C cot B Aplicado a un triángulo esférico general como el de la figura 2. Para nuestro triángulo PAB la formula será: cot b ⋅ sin a = cos a cos Δλ  + sin Δλ cot Rgi

fig. 2 Luego cot Rgi =

cot b sin a − cos a cos Δλ 

(1)

sin Δλ 

pero como sin a = cos ϕ  A

sin b = cos ϕ  B cos a = sin ϕ  A cos b = sin ϕ  B

por ser a y b ángulos complementarios de cot b =

cos b sin b

 A

=

y

 B

sin ϕ  B cos ϕ  B

respectivamente, entonces

= tgϕ  B

Sustituimos en (1) y obtenemos la expresión definitiva: tgϕ  B cos ϕ  A − sin ϕ A cos Δλ  cot Rgi = sin Δλ 

(2)

Fig. 3

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El valor que obtenemos del Rgi en esa fórmula siempre estará referido al primer cuadrante si lo tomamos positivo (obtenemos siempre un ángulo menor de 90º), por lo que será necesario interpretar el resultado para obtener el verdadero Rgi, que oscilará entre 0º y 360º. El ángulo que obtenemos con la fórmula siempre será el menor ángulo formado entre la ruta ortodrómica y el meridiano que pasa por el punto de origen. Así en la figura 3 el ángulo obtenido en la fórmula no es el marcado como Rgi, sino su suplementario (180º- Rgi). Veamos los distintos casos, en las figuras el valor es el obtenido como rumbo geográfico inicial en la fórmula (2):

Caso 1: Hemisferio norte,

 A

> ϕ  B , A

es el punto de mayor latitud de la ruta y el punto B se encuentra al ESTE del A Es el mismo caso de la figura 2, luego el Rumbo geográfico inicial será: Rgi = 180º- 

Caso 2: Hemisferio norte,

 A

≤

 B

, o

cuando se cumple que  A > ϕ  B y el punto A no es el de mayor latitud de la ruta y el punto B se encuentra al ESTE  del A: Rgi = 

Caso 3: Hemisferio norte,

 A

≤

 B

, o

cuando se cumple que  A > ϕ  B y el punto A no es el de mayor latitud de la ruta y el punto B se encuentra al OESTE  del A: Rgi = 360º- 

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3

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Caso 4: Hemisferio norte,

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 A

> ϕ  B , A

es el punto de mayor latitud de la ruta y el punto B se encuentra al OESTE del A: Rgi = 180º+ 

Ejercicio: estudiar lo que ocurre con rutas ortodrómicas del hemisferio sur. Exponemos todos los casos en el esquema siguiente:

Fig. 4 Existen casos ambiguos que no están reflejados en el esquema de la figura 4, son los casos en los que el vértice de la ruta ortodrómica está entre los puntos A y B

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Estos casos se tratan como si A y B tuvieran la misma latitud. Para aclarar cuándo nos encontramos en estas situaciones nos vemos obligados a calcular las coordenadas del vértice V (figura 1) aunque solo necesitaremos la longitud a fin de determinar si V está entre los puntos A y B de la ruta, o bien estudiamos si aumenta la latitud en puntos de la ruta cercanos al inicial. Veamos como calcular tanto la longitud del vértice de la ruta, λ V  como su latitud ϕ V  : El triángulo AA’N es un triángulo esférico rectángulo y cumple: tg  A = tgϕ V  ⋅ sin Δλ  A' N  luego tgϕ V  =

Conocemos

tgϕ  A

sin Δλ  A' N   A

(3)

pero no Δλ  A' N 

que es la diferencia de longitud entre A y el nodo N. Para calcular Δλ  A' N  utilizamos la fórmula (2) para la ruta ortodrómica entre A y N (previamente calculamos la cot Rgi para la ruta AB que será la misma que para la ruta AN): Fig. 5 cot Rgi = Como

 N 

= 0º ⇒ tg cot Rgi =

=0 0 − sin

tgϕ  N  cos

− sin  A cos Δλ  A' N  sin Δλ  A' N 

 A

N 

 A

cos Δλ  A' N 

sin Δλ  A' N 

tgΔλ  A' N  = −

⇒

cot Rgi sin ϕ  A

=

− cos Δλ  A' N  sin Δλ  A' N 

⎛  sin ϕ A  ⎞ ⎟⎟ ⇒ Δλ  A' N  = arctg ⎜⎜ −  Rgi cot Rgi cot ⎝   ⎠ sin ϕ  A

(4)

Con lo que tendríamos la diferencia de longitud entre el punto inicial de la ruta A y el nodo N: Δλ  A' N  , hemos tomado valor absoluto puesto que será siempre un ángulo positivo, ahora calculamos la longitud del vértice λ V  : λ  N  = λ  A + Δλ  A' N  ⇒

λ V  = λ  N  − 90º = λ  A + Δλ  A' N  − 90º

(5)

Ahora sólo tendríamos que comparar la longitud del vértice con las longitudes de los puntos inicial y final de la ruta λ  A y λ  B . Para calcular el ángulo de inclinación sustituimos el valor de Δλ  A' N  en (3) y obtenemos: tgϕ V  =

o

tgϕ  A

(6)

⎛  sin ϕ  A  ⎞ ⎟⎟ sin arctg⎜⎜ −  Rgi cot ⎝   ⎠

Ejemplo 1

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Calcular el rumbo geográfico inicial de la ruta ortodrómica que une Madrid y San Juan de Terranova, siendo sus coordenadas geográficas: Madrid (40º25’N, 003º40’W) San Juan de Terranova(47º30’N, 052º30’W) Solución: Aplicamos la fórmula (2): tg(47º30') cos(40º25' ) − sin(40º25' ) cos(48º50' ) cot Rgi = = 0.536791655 sin(48º50' ) Luego 1 1 = = 1.862920166 ⇒ tgRgi = cot Rgi 0.5367916555

⇒ Rgi = arctg (1.862920166) = 61º 46'24.48" Ahora interpretemos el resultado: Nos encontramos en el hemisferio norte,  A ≤  B y el punto destino B está al OESTE  de A, luego nos encontramos en el caso 3 y el valor de Rgi es: Rgi =360º -  o

= 360º- 61º46’24.48”= 298º13’35.52”

Ejemplo 2 Calcular el rumbo geográfico inicial de la ruta ortodrómica que une Madrid y Jacksonville, siendo sus coordenadas geográficas: Madrid (40º25’N, 003º40’W) Jacksonville(30º28’N, 081º40’W) Solución: Aplicamos la fórmula (2): tg(30º28)cos(40º25' ) − sin(40º25' ) cos(78º ) cot Rgi = = 0.320069382 sin(78º ) Luego tgRgi =

1 cot Rgi

=

1 0.3200693829

= 3.124322579 ⇒

⇒ Rgi = arctg (3.124322579) = 72º15'06.2" Ahora interpretemos el resultado: Nos encontramos también en el hemisferio norte,  A >  B y el punto destino B está al OESTE  de A, pero podría pasar que el vértice de la ortodrómica esté entre A y B, o sea, que A no sea el punto de mayor latitud de la ortodrómica, calculemos la longitud del vértice de la ruta para comprobarlo usando las fórmulas (4) y (5):

⎛  sin ϕ A  ⎞ ⎛  sin(40º 25' )  ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = arctg⎜ − arctg λ  A N  = ⎟ = 63º 43'32.3" '  Rgi cot 0 . 3200693829 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ Entonces la longitud del vértice V es:

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λ V  = λ  N  + 90º = λ  A + Δλ  A N  − 90º = −003º40 + 63º 43'32.3"−90º = −29º56'27.7"W  ' Lo que significa que el vértice está en la ruta entre A y B, nos encontramos pues en el caso 3, luego el rumbo geográfico inicial es : Rgi =360º - = 360º- 72º15’06.2”= 287º44’53.8” Calculamos ahora la latitud del vértice (aunque no es necesario para la resolución del problema): tg ( 40º 25' ) tgϕ V  = = 0.9496855601 ⎛  sin( 40º 25' )  ⎞ sin arctg⎜ − ⎟ ⎝  0.3200693829 ⎠ Luego V 

= arctg (0.9496855601) = 43º31'18.22"

Distancia ortodrómica Otra característica que podemos calcular de la ortodómica es la distancia que se recorre siguiendo la ruta, que como ya sabemos es la distancia mínima que existe sobre la superficie terrestre entre los puntos inicial y final de la ruta. Nuevamente utilizaremos las formulas para el cálculo de triángulos esféricos generales que nos proporciona la trigonometría esférica. En este caso utilizamos la fórmula que relaciona los tres lados y un ángulo de un triángulo esférico como el de la figura 2: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C  Si aplicamos esta fórmula a nuestro caso, el triángulo de la f igura 3, obtenemos: cos D = cos a cos b + sin a sin b cos Δλ  (7) donde D es la distancia ortodrómica, a y b son las colatitudes de A y B respectivamente y Δ es la diferencia de longitud ente el punto origen y el final de la ruta.

pero teniendo en cuenta que sin a = cos ϕ  A sin b = cos ϕ  B cos a = sin ϕ  A cos b = sin ϕ  B Por ser a y b ángulos complementarios de ϕ  A y cos D = sin o

 A

sin

 B

+ cos

 B  A

respectivamente, entonces:

cos ϕ  B cos Δλ 

(8)

Ejemplo 3 Calcular la distancia ortodrómica entre Madrid y San Juan de Terranova. Madrid (40º25’N, 003º40’W) San Juan de Terranova(47º30’N, 052º30’W) Solución: a = 90º - 40º25’ = 49º35’ b = 90º - 47º30’ = 42º30’ Δλ  = 052º30’-003º40’ = 48º50’ Sustituimos entonces en la fórmula (7): cos D = cos( 49º35' ) cos( 42º30' ) + sin(49º35' ) sin(42º30' ) cos( 48º50' ) =

= 0.8165860013

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cos D = 0.8165860013 ⇒

⇒ D = ar cos(0.8165860013) = 35º15'19.85" D  abarca 35º15’19.85” de círculo máximo ya que es un arco de ortodrómica, luego usando la convención que hace equivaler 1’ de círculo máximo con una milla náutica podremos calcular la distancia en millas náuticas y posteriormente pasarla a kilómetros: 1’=1MN D = 35º15’19.85”= 35.25551389x60 MN = 2115.331 MN De manera alternativa D = 35º15’19.85”= 35x60’+15’+ 19.85”/60 =2115.331 MN Como 1 MN = 1852m, entonces D = 2115.331 x 1.852 = 3917.5927 km.

Modo alternativo de cálculo de la distancia ortodrómica: Utilizamos la fórmula que relaciona el ángulo y el arco comprendido:  D = α  ⋅ R α  en radianes. Para este caso y suponiendo el radio de la tierra 6366700m: 35º15'19.85” ⋅ 2π  ⋅ 6366.700 = 3917.5884 km.  D = 360 o

Ejemplo 4

Calcular la distancia ortodrómica entre Madrid y Jacksonville. Madrid (40º25’N, 003º40’W) Jacksonville(30º28’N, 081º40’W) Solución: a = 90º - 40º25’ = 49º35’ b = 90º - 30º28’ = 59º32’ Δλ  = 081º40’-003º40’ = 78º Sustituimos entonces en la fórmula (7): cos D = cos( 49º35' ) cos(59º32' ) + sin(49º35' ) sin(59º32' ) cos(78º ) =

= 0.4651701009 luego

cos D = 0.4651701009 ⇒

⇒ D = ar cos(0.4651701009) = 62º16'43.57" entonces D = 62º16’43.57”= 62.27876944x60 MN= 3736.726166 MN= 6920.416859 Km

Cálculo de la ortodrómica por puntos Puede interesar en ciertas circunstancias conocer puntos intermedios en una ruta ortodrómica a fin de, por ejemplo, poder dibujar una línea ortodrómica sobre un mapa en el que no se represente como una línea recta, o para dividir la ruta en pequeñas porciones que seguiremos en una navegación más fácilmente utilizando rutas loxodrómicas. El problema ahora sería encontrar las coordenadas de los puntos intermedios, para ello primero seleccionamos la diferencia de longitud entre los puntos intermedios

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con lo que tendremos la coordenada longitud determinada y solo quedaría calcular la latitud de cada punto. Para ello vamos a partir de la fórmula (2) y despejando la tgϕ  B encontramos la expresión: sin ϕ  A cos Δλ  + sin Δλ cot Rgi tgϕ  B = (9) cos ϕ  A Que nos serviría para calcular la latitud ϕ  B del punto final sabiendo el  Rgi; pero las latitudes que necesitamos calcular son las intermedias, no la de B que ya tenemos, luego simplemente sustituimos en la expresión (9)  B por ϕ  X i que son las latitudes de los puntos intermedios y Δλ  por Δλ  X i que es la diferencia de longitud entre el punto inicial de la ruta A y cada punto intermedio  X i . La expresión queda: tgϕ  X i = o

sin

 A

cos Δλ  X i + sin Δλ  X i cot Rgi

(10)

cos ϕ  A

Ejemplo 5 Determinar las coordenadas de siete puntos intermedios en la ruta ortodrómica Madrid-Jacksonville, y dibujar la ruta en una carta Mercator. Madrid (40º25’N, 003º40’W) Jacksonville(30º28’N, 081º40’W) Tomamos las longitudes siguientes para los puntos intermedios:  X 1 : 14º W  , X 2 : 24º W  , X 3 : 34º W , X 4 : 44º W  , X 5 : 54º W  , X 6 : 64º W  ,  X 7 : 74º W 

Solución:

Fig. 5

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Utilizamos la fórmula (10) para calcular todas las latitudes de los puntos intermedios  X i , pero previamente hay que calcular el valor de cot Rgi que tomaremos del ejemplo 2:

cot Rgi = 0.3200693829 tgϕ  X 1 =

=

sin ϕ  A cos Δλ  X 1 + sin Δλ  X 1 cot Rgi cos ϕ  A

=

sin 40º 25' cos10º 20'+ sin 10º 20'⋅0.3200693829

 X 1

= 0.9131652917 cos 40º 25' = arctg (0.9131652917) = 42.40124386 = 42º 24'04"

tgϕ  X 2 =  X 2

cos 40º 25' = arctg ( 0 . 9445847549 ) = 43 º 22 '04 . 64 "

tgϕ  X 3 =  X 3

sin 40º 25' cos 60º 20'+ sin 60º 20'⋅0.3200693829

cos 40º 25' = arctg (0.7867780086) = 38º11'41.61"

tgϕ  X 7 =  X 7

sin 40º 25' cos 50º 20'+ sin 50º 20'⋅0.3200693829

cos 40º 25' = arctg (0.8671829033 ) = 40º55'52.57"

tgϕ  X 6 =

ϕ  X 6

sin 40º 25' cos 40º 20'+ sin 40º 20'⋅0.3200693829

cos 40º 25' = arctg (0.9212388845) = 42º39'08.91"

tgϕ  X 5 =

ϕ  X 5

sin 40º 25' cos 30º 20'+ sin 30º 20'⋅0.3200693829

cos 40º 25' = arctg ( 0 . 9473034882 ) = 43 º 26 '59 . 57 "

tgϕ  X 4 =

ϕ  X 41

sin 40º 25' cos 20º 20'+ sin 20º 20'⋅0.3200693829

sin 40º 25' cos 70º 20'+ sin 70º 20'⋅0.3200693829

cos 40º 25' = arctg (0.6824672621) = 34º18'44.12"

= 0.9445847549

= 0.9473034882

= 0.9212388845

= 0.8671829033

= 0.7867780086

= 0.6824672621

Luego las coordenadas de los puntos intermedios son:  X 1 ( 42º 24'04" N ,14º W );  X 2 ( 43º 22'05" N ,24º W );  X 3 (43º 27' N ,34º W );  X 4 ( 42º39'09" N ,44º W );  X 5 (40º55'53" N ,54º W );  X 6 (38º11'42" N ,64º W );  X 7 (34º18'44" N ,74º W ).

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