Organizzazione Musicale

ORG ANI Z Z A ZIONE Musicale

A L ESSI O M A L A T EST A

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18 febbraio 2015 Tutti i diritti riservati. Nessuna parte di questo libro può essere riprodotta, memorizzata in sistemi di archiviazione, o trasmessa, in alcuna forma o attraverso qualsiasi mezzo (elettronico, meccanico, fotocopie, microfilms, registrazioni di qualsivoglia natura) senza il permesso scritto dell’autore. Contatti: Alessio Malatesta Via Golgi 1 20862 Arcore (MB) tel: 3283652277 mail: [email protected]

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Introduzione Ad oggi, non vi è una concezione condivisa di cosa sia la musica. Ed in effetti, esistono svariate differenti definizioni di “musica”: alcune la descrivono come arte, altre come linguaggio, altre come costrutto sociale, altre ancora, poi, come categoria cognitiva, ed altre ancora, infine, come esperienza soggettiva; inoltre, tali definizioni sono in continua evoluzione. Non è  intenzione dell’autore riportare esaustivamente, in questa sede, tutte le definizioni proposte (il lettore più curioso verrà senza dubbio soddisfatto dalla moltitudine di pubblicazioni in merito all’argomento),  bensì  semplicemente sottolineare come esse delineino diverse prospettive che, globalmente considerate, costituiscono un valido strumento per comprendere il fenomeno musicale nel suo complesso. Date queste premesse, sarebbe dunque fuori luogo, o quantomeno pretenzioso, anche solo tentare di coniare una  definizione  “universale”  di  musica.  L’autore  preferisce,  dunque,  fornire una sua personale nozione di musica come organizzazione (intesa, quest’ultima, nel senso di prodotto delle modalità con la quale si organizzano, ovvero si connettono, si associano, si distinguono, si combinano, si coordinano e si strutturano differenti elementi). L’autore ritiene, infatti, che l’unico fattore che distingue intrinsecamente la musica, risiede proprio nella volontà e nella capacità di chi la crea, da un lato, e di chi la ascolta, dall’altro  lato, rispettivamente di realizzare e percepire una qualsivoglia forma di organizzazione. Resta ora da chiarire quali siano gli elementi che vengono, appunto, organizzati. In termini generali, è possibile sostenere che essi siano rappresentati da tutto ciò che è possibile ascoltare; tale affermazione, però, non consente di individuare in modo preciso dei concreti elementi organizzativi. A tale scopo si rende necessaria un’analisi più attenta ed approfondita. Nella prima parte del libro, allora, si identificheranno gli elementi che, opportunamente organizzati, producono la musica. Essi sono le proprietà della sensazione uditiva, ovvero le “caratteristiche” che  l’ascoltatore  è  in  grado  di  associare  alla  sensazione  uditiva derivante  dalla  percezione  di  un’onda  sonora. Solo in seguito alla definizione puntuale di tali elementi è possibile, successivamente, esporne le opportune modalità organizzative. Nella seconda e terza parte del libro, ci si concentrerà nell’esporre, rispettivamente, le modalità di organizzazione di solo due delle differenti proprietà della sensazione uditiva, ovvero l’altezza ed il valore. E’  opportuno  precisare,  infine, che il presente testo non ha comunque fini prescrittivi, bensì meramente descrittivi: non verrà quindi fornita alcuna regola, procedura o indicazione, ma ci si limiterà ad esaminare gli elementi costitutivi della musica. Indipendentemente  dal  talento,  dal  gusto,  dalla  cultura,  dall’esperienza,  dalle  convinzioni,  dall’approccio,  dagli  scopi,    dagli  schemi  e  dalle  regole  di  ciascun  musicista, egli si ritroverà comunque ad organizzare tali elementi. Di conseguenza, in questo manuale, non vi è traccia di alcuna invenzione, e neppure si può parlare di una qualche forma di scoperta, visto che i temi affrontati, ovvero i fondamenti strutturali del fenomeno musicale, sono già noti da lungo tempo e sono stati oggetto di approfonditi studi da parte di altri autori. Piuttosto, si intende fornire una trattazione logica, organica e dettagliata della materia che benefici di un punto di vista squisitamente scientifico e di un approccio il quanto più possibile oggettivo ed unitario. iii

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Indice PARTE PRIMA E lementi organizzativi I. Premessa

3

II. L’onda sonora

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III. La sensazione uditiva

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IV. Descrittori

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V. Tavole riassuntive

52

PARTE SECONDA L’organizzazione dell’altezza I. Premessa

69

II. Sistemi di intonazione

70

III. Altezze

73

IV. Intervalli

74

V. Strutture

76

VI. Aree strutturali

89

VII. Modi

98

VIII. Aree modali

114

IX. Descrizione di modi e strutture

123

X. Relazione tra modi e strutture

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PARTE TERZA L’organizzazione del valore I. Premessa

155

II. Sistemi metrici

156

III. Inizi/fini

163

IV. Valori

164

V. Figure

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VI. Ritmi

177

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1

PARTE PRIMA

E L E M ENTI ORG ANI Z Z A TI VI

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3

I. PR E M ESSA L’onda  sonora  è un fenomeno naturale che, laddove sia considerato in se e per se, risulta indipendente dall’uomo. Per quest’ultimo, però, ciò che conta è la sensazione uditiva risultante dalla percezione di un’onda sonora. Tale onda, prodotta da una sorgente sonora, propagandosi nell'aria o in un altro mezzo elastico, raggiunge l'orecchio. Quest’ultimo, tramite un complesso meccanismo, è responsabile della ricezione della  variazione  di  pressione  dell’aria  e della sua trasduzione in un impulso elettrico. E’ infine il cervello a processare il segnale trasformato, generando una sensazione uditiva. E’ necessario sottolineare, quindi, che la sensazione uditiva non è una copia esatta dell'onda sonora: l’apparato uditivo, infatti, trasforma le variazioni di pressione che lo colpiscono in modo non sempre "fedele"; ed il cervello, poi, compie un enorme lavoro di elaborazione del segnale (un lavoro in cui l'allenamento, o l'abitudine, e quindi fattori culturali, e non solo fisici o fisiologici, giocano un ruolo di grande importanza). Nel processo di percezione, dunque, si intrecciano strettamente parametri oggettivi e soggettivi. I primi sono le grandezze fisiche che descrivono l'onda sonora e la sua propagazione (e come tali indipendenti dall'ascoltatore). I secondi sono, appunto, le proprietà della sensazione uditiva, e dipendono dalla percezione dell’onda sonora da parte del soggetto che ascolta. Nella seguente trattazione si inizierà, dunque, col definire l’onda sonora e le grandezze fisiche atte a  descriverla; si analizzeranno,  in  seguito,  le  proprietà  della  sensazione  uditiva  generata  dall’onda  sonora stessa, in primo luogo dandone una definizione e, in secondo luogo, indagando il collegamento tra esse e le grandezze fisiche che le determinano; infine si esporranno le opportune modalità per descrivere tali proprietà.

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II. L’ONDA SONORA 1.L’onda sonora semplice In fisica, un'onda è una perturbazione di carattere oscillatorio che si propaga nello spazio e che può trasportare energia da un punto all'altro tramite la variazione di una grandezza fisica. L'onda sonora è un particolare tipo di onda in cui la perturbazione è rappresentata dalla variazione di pressione indotta da un corpo vibrante (detto sorgente sonora) posizionato in un determinato punto dello spazio nel mezzo circostante (di solito l'aria). I movimenti vibratori provenienti dalla sorgente determinano spostamenti delle particelle del mezzo stesso intorno alla posizione di riposo (oscillazioni); grazie alle proprietà meccaniche del mezzo, le particelle, a loro volta, trasmettono il movimento alle altre particelle vicine, e queste, a loro volta, ad altre ancora, provocando una variazione locale della pressione in grado di propagarsi nel mezzo come una successione di rarefazioni e condensazioni (cioè di variazioni di densità), originando dunque un'onda meccanica longitudinale (ovvero l'oscillazione delle particelle del mezzo avviene nella stessa direzione in cui l'onda si propaga), l’onda sonora appunto. Per descrivere il fenomeno, ricorreremo ad una onda periodica di forma sinusoidale (onda armonica) generata da una specifica sorgente sonora che si manifesta in un determinato punto dello spazio. Questa può essere rappresentata utilizzando un grafico cartesiano, riportante il tempo ( t) sull'asse delle ascisse, e gli spostamenti delle particelle (S) su quello delle ordinate. Il tracciato esemplifica gli spostamenti delle particelle: all'inizio, la particella si sposta dal suo punto di riposo (asse delle ascisse) fino al culmine del movimento oscillatorio (questo movimento è rappresentato dal ramo crescente di parabola che giunge al punto di massimo parabolico); poi la particella inizia un nuovo spostamento in direzione opposta, passando per il punto di riposo e continuando per inerzia fino ad un nuovo culmine simmetrico al precedente (questo movimento è rappresentato dal ramo decrescente che, intersecando l'asse delle ascisse, prosegue in fase negativa fino al minimo parabolico). Infine, la particella ritorna in dietro e ripete nuovamente la sequenza di spostamenti (vedi figura 1).

Figura 1: onda armonica

Il periodo T (graficamente il segmento tra due creste) è il tempo impiegato dalla particella per tornare nello stesso punto dopo aver cominciato lo spostamento (indica cioè la durata di una oscillazione completa). L’ ampiezza a (graficamente il segmento tra la cresta e l'asse delle ascisse), invece, indica la distanza massima percorsa dalla particella durante l'oscillazione. Nonostante il periodo e l'ampiezza siano due grandezze adatte a descrivere le caratteristiche di un'onda, esse non

5 sono frequentemente utilizzate, o perlomeno non in forma pura; si preferisce, infatti, usare altre grandezze da queste derivate. Dal periodo T si ottiene la frequenza f (secondo il rapporto T = 1/ f), definita come il numero di oscillazioni compiute  dalla  particella  nell’unità  di  tempo  e misurata in hertz (hz) = cicli/secondo. Essa può variare nel tempo (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche frequenze e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente (vedi figure 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). La variazione è compresa in un campo delimitato ad un estremo da una frequenza tendente agli 0 hz e,  all’altro  estremo,  da  una  frequenza  tendente  ad  infiniti  hz. In presenza di una variazione di frequenza, sarà sempre possibile identificare la frequenza minima, la frequenza massima, nonché calcolarne la frequenza media.

Figura 2: variazione continua crescente

Figura 3: variazione continua decrescente

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Figura 4: variazione discontinua crescente

Figura 5: variazione discontinua decrescente

Figura 6: variazione secondo una curva di inviluppo

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Figura 7: variazione ciclica

Figura 8: variazione casuale

L' intensità sonora i , invece, è definita come il rapporto tra la potenza dell'onda, ovvero la quantità di energia emessa dalla sorgente sonora nell'unità di tempo, misurata in Watt (W) = joule/secondo e la superficie da essa attraversata, misurata in metri quadrati (m2); viene dunque misurata in W/ m2. Nel caso di un’onda sinusoidale, l’intensità  sonora è  proporzionale  al  quadrato  dell’ampiezza  dell’oscillazione dell’onda stessa. Inoltre tale intensità può variare nel tempo (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche intensità sonore e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. La variazione è compresa in un campo delimitato ad un  estremo  da  un’intensità  tendente  agli            0 W/ m2 e, all’altro estremo, da un’intensità tendente ad infiniti  W/ m2. In presenza di una variazione di  intensità  sonora, sarà sempre possibile  identificare  l’intensità sonora  minima,  l’intensità sonora massima, nonché calcolarne l’intensità sonora media. Se si considera un’onda sonora caratterizzata , in un determinato punto dello spazio, da  ampiezza, e  dunque intensità sonora, sempre positiva nel tempo, essa si manifesterebbe, in tale punto, in eterno. In realtà un’onda sonora inizia a manifestarsi (ovvero assume, in un determinato punto dello spazio,  ampiezza positiva) in un preciso istante (denominato istante iniziale) e finisce di manifestarsi (ovvero torna ad avere, in quello stesso punto, ampiezza nulla) in un preciso istante (denominato

8 istante  finale).  L’intervallo  di  tempo  compreso  tra  l’istante  iniziale  e  quello  finale  è  denominato  durata d dell’onda sonora. E’ anche possibile che, in un determinato punto dello spazio, non si manifesti alcuna onda sonora; ci riferiremo a tale assenza di onde sonore come al “silenzio”;  l’intervallo  di  tempo,  anch’esso  delimitato da un istante iniziale ed un istante finale, durante il quale non si manifesta alcuna onda sonora, ovvero vi è il silenzio, è denominato durata d del silenzio. Il Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI) identifica come unità di misura fondamentale del tempo, o meglio, di un intervallo di tempo, il secondo (s); ad esso si accostano i prefissi atti ad indicarne multipli (deca, etto, kilo, etc...) o sottomultipli (deci , centi , milli , etc...) di 10. Esistono poi unità di misura non facenti parte del SI, ma che vengono accettate accanto a quelle ufficiali del SI, in quanto il loro uso è tutt'oggi molto diffuso in tutta la popolazione anche non di ambiente scientifico quali il minuto (1min = 60s), l’ora (1h = 60min), il giorno (1d = 24h). La misurazione della durata di un’onda sonora o di un silenzio attraverso una delle unità di misura  suesposte fornisce un valore preciso e compreso in un campo delimitato, ad un estremo, da una durata tendente a 0 e, all’altro estremo, da una durata tendente ad infinito.  Il grafico tracciato in figura 1 rappresenta  un’onda  sonora  cosiddetta  “pura”:  l'oscillazione è periodica ed è descritta da una funzione sinusoidale. Esistono tuttavia oscillazioni che possono essere ben più complesse in due sensi: 

pur essendo periodiche, possono avere una forma non sinusoidale (sono le cosiddette onde sonore  “impure”).  Per  descriverle  si  può  ricorrere  al  teorema di Fourier, il quale dimostra che qualunque funzione periodica di periodo To, che è lo stesso, di frequenza fo = 1 / To, continua e limitata, può essere rappresentata mediante la somma di funzioni periodiche sinusoidali (dette parziali armoniche o, semplicemente, armonici) di opportuna ampiezza e di frequenza multipla intera della frequenza fondamentale fo (vedi figura 9).

Figura 9: rappresentazione di un’ onda sonora impura

Per fornire un semplice esempio di un’onda sonora impura, prendiamo in considerazione un sistema vibrante costituito da una corda di lunghezza L fissata ai suoi due estremi (vedi figura 10). Laddove la corda venga pizzicata essa vibra non solo ad una determinata frequenza f (frequenza fondamentale, pari alla lunghezza L della corda stessa), ma anche ad una frequenza di 2f (primo armonico, pari ad una lunghezza di L /2), ad una frequenza di 3f (secondo armonico, pari ad una lunghezza di L /3), e così via. La successione degli armonici con frequenza multipla intera di una determinata frequenza fondamentale è detta serie degli armonici naturali.

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Figura 10: sistema vibrante costituito da una corda di lunghezza L



possono essere non periodiche (sono i cosiddetti “rumori”) e dunque rappresentate mediante  la somma di funzioni periodiche sinusoidali (dette parziali non armoniche) di opportuna ampiezza ma di frequenza non multipla intera della frequenza fondamentale (vedi figura 11).

Figura 11: rappresentazione di un rumore

Le onde sonore periodiche, siano esse pure oppure impure sono definite “suoni”. Ogni onda sonora è dunque costituita da una specifica composizione, in termini di frequenza e ampiezza, di parziali (la così detta composizione spettrale cs). E’ possibile che tutti i parziali inizino  a manifestarsi (ovvero assumano ampiezza positiva) in un medesimo istante iniziale, mantengano tale ampiezza per tutta la durata, e finiscano di manifestarsi (ovvero tornino ad avere ampiezza nulla) in un medesimo istante finale; in tal caso la composizione spettrale risultante sarà statica. E’  anche possibile, però, che tutti o alcuni parziali inizino a manifestarsi e/o finiscano di manifestarsi in istanti differenti e/o varino la propria ampiezza (in modo continuo o discontinuo) nel corso del tempo; quando ciò accade, la composizione spettrale risultante sarà dinamica, ovvero varia (in modo  continuo  o  discontinuo)  secondo  una  curva  d’inviluppo caratterizzata da diverse fasi

10 (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche composizioni spettrali e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In ogni caso, è possibile effettuare un'analisi spettrale dell'onda, cioè misurare la frequenza e l'ampiezza di ciascun parziale che costituisce l'onda sonora. Ciò che ne risulta è chiamato spettro in frequenza dell'onda e può essere rappresentato, qualora la composizione spettrale sia statica, tramite uno spettrogramma statico, ovvero un grafico cartesiano che mette in relazione, appunto, frequenza ed ampiezza (vedi figura 12).

Figura 12: spettrogramma statico

Qualora la composizione spettrale vari nel tempo, sarà necessario adoperare uno spettrogramma dinamico, ovvero un grafico tridimensionale che mette in relazione ampiezza, frequenza e tempo, in cui essa risulta individuata mediante una complessa superficie definita in questo spazio (vedi figura 13).

Figura 13: spettrogramma dinamico

L’onda  sonora,  infine,  è  generata  da  una  sorgente  sonora.  Immaginando  una  sorgente  sonora  puntiforme, la sua posizione nello spazio tridimensionale p può essere descritta con un sistema di coordinate cartesiane, ovvero attraverso un sistema di riferimento costituito da tre rette ortogonali X , Y e Z passanti  per  un  punto,  che  è  l’origine  del  sistema  di  riferimento (vedi figura14). Per tali rette si sceglie un'unità di misura della lunghezza, quali centi metro (cm), metro (m) o kilometro (km), ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio sono indicate con le lettere x, y e z. Si indica con x il numero reale che individua la distanza di un punto dal piano individuato dalle rette Y e Z misurata parallelamente all'asse X nell'unità di misura scelta per quest'ultimo asse. Si definiscono analogamente y e z. Le tre coordinate che individuano un punto nello spazio sono indicate con la simbologia (x,y,z).

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Figura 14: sistema di coordinate cartesiane

La posizione della sorgente sonora nello spazio può variare (in modo continuo) secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche posizioni e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. 2.L’onda sonora composita e l’accadimento sonoro Fino ad ora abbiamo considerato una singola onda sonora prodotta da una specifica sorgente sonora che si manifesta, ovvero incide, in un determinato punto dello spazio; ad essa possiamo riferirci come ad un’ onda sonora semplice (vedi figura 15).

Figura 15: onda sonora semplice

In presenza di una pluralità di onde sonore semplici che si manifestano, ovvero incidono, in un determinato punto dello spazio (per semplificare l’analisi, ne prenderemo in considerazione, qui di  seguito, solamente due), si configurano diverse possibilità: 1. un’onda  sonora semplice  inizia a  manifestarsi dopo che  l’altra ha finito di manifestarsi (le onde sonore semplici si manifestano successivamente, ovvero sono intervallate da silenzio); le onde sonore semplici possono essere prodotte da una medesima sorgente sonora o da più sorgenti sonore distinte.

12 2. un’onda  sonora  semplice inizia a manifestarsi nell’istante in  cui  l’altra  finisce  di  manifestarsi (ovvero si manifestano consecutivamente); le onde sonore semplici possono essere prodotte da una medesima sorgente sonora o da più sorgenti sonore distinte. 3. un’onda  sonora  semplice  inizia  a  manifestarsi  prima  che  l’altra  ha  finito  di  manifestarsi  (ovvero, in un determinato intervallo di tempo, si manifestano simultaneamente; tale intervallo  di  tempo  può  essere  indicato  come  “area  di  sovrapposizione”  tra  onde  sonore  semplici, mentre l’intervallo di tempo ove si  manifesta una sola onda sonora semplice può  essere indicato come “area di non sovrapposizione”); le onde sonore semplici sono prodotte  da sorgenti sonore distinte. Nel primo caso, ed ampliando l’analisi ad un numero qualsiasi di onde sonore semplici , si definisce accadimento sonoro se mplice l’insieme  delle  onde  sonore  semplici  intervallate  da  silenzio  che  si  manifestano in un determinato punto dello spazio e dei silenzi che le intervallano (vedi figura 16).

Figura 16: accadimento sonoro semplice

Per tale accadimento è possibile:    

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determinare il numero delle varie onde sonore semplici e dei silenzi che costituiscono l’accadimento sonoro semplice. collocare nel tempo in maniera precisa istante iniziale e finale delle singole onde sonore semplici, dei singoli silenzi e dell’accadimento sonoro semplice. calcolare la durata delle singole onde sonore semplici, dei singoli silenzi, di tutte le onde sonore semplici, di tutti i silenzi e dell’accadimento sonoro semplice. valutare la frequenza di ciascuna onda sonora semplice di cui è composto: in presenza di onde sonore semplici caratterizzate da frequenze costanti ma differenti tra loro o di variazione della frequenza, è possibile identificare la frequenza minima, massima e media; nel caso di onde sonore semplici caratterizzate da frequenze costanti e uguali tra loro, potremo assumere che la frequenza dell’accadimento sonoro semplice è costante. valutare l’intensità sonora di ciascuna onda sonora semplice di cui è composto: in presenza di onde sonore semplici caratterizzate da intensità sonore costanti ma differenti tra loro o di variazione dell’intensità sonora, è possibile identificare l’intensità sonora minima, massima  e media; nel caso di onde sonore semplici caratterizzate da intensità sonore costanti e uguali tra  loro,  potremo  assumere  che  l’intensità  sonora  dell’accadimento  sonoro  semplice  è  costante.

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

valutare la composizione spettrale di ciascuna onda sonora semplice di cui è composto: nel caso di onde sonore semplici caratterizzate da composizione spettrale proporzionalmente identica (ovvero identica a parità di frequenza fondamentale e di ampiezza della stessa), potremo assumere tale composizione spettrale come composizione spettrale comune a tutte le onde sonore semplici costituenti l’accadimento sonoro semplice. valutare la posizione nello spazio della o delle sorgenti sonore.

Negli  ultimi  due  casi  ,  ed  ampliando  l’analisi  ad  un  numero  qualsiasi  di  onde  sonore  semplici,  si  definisce onda sonora composita l’insieme  delle  onde sonore semplici che si manifestano consecutivamente e/o simultaneamente in un determinato punto dello spazio (vedi figura 17 e 18).

Figura 17: onda sonora composita (onde sonore semplici consecutive)

Figura 18: onda sonora composita (onde sonore se mplici simultanee)

Per tale onda sonora composita è possibile:   

determinare  il  numero  delle  varie  onde  sonore  semplici  che  costituiscono  l’onda  sonora  composita. collocare nel tempo in maniera precisa istante iniziale e finale delle singole onde sonore semplici e dell’onda sonora composita. calcolare la durata delle singole onde sonore semplici, di tutte le onde sonore semplici e dell’onda sonora composita.

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

determinare il numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato istante. valutare la frequenza di ciascuna onda sonora semplice di cui è composta: in presenza di onde sonore semplici caratterizzate da frequenze costanti ma differenti tra loro o di variazione della frequenza, è possibile identificare la frequenza minima, massima e media; nel caso di onde sonore semplici caratterizzate da frequenze costanti e uguali tra loro, potremo assumere che la frequenza dell’onda sonora composita è costante. valutare l’intensità sonora di ciascuna onda sonora semplice di cui è composta. E’ opportuno precisare che, nelle aree di sovrapposizione tra onde sonore, vale il principio di sovrapposizione: in ogni punto dello spazio in cui due onde incidono simultaneamente, l'oscillazione complessiva è data dalla somma algebrica delle oscillazioni delle due onde incidenti prese separatamente. La sovrapposizione delle onde può avere carattere "costruttivo", nel senso che l'ampiezza complessiva dell'onda risultante è maggiore delle singole ampiezze delle onde che, sommandosi, la compongono (si parla in tali casi di interferenza costruttiva). Se invece la sovrapposizione delle onde produce un'onda di ampiezza minore dalla somma delle due ampiezze componenti si parla di interferenza distruttiva.

Quando la sovrapposizione avviene tra onde periodiche di frequenza ed ampiezza arbitraria, un singolo punto dello spazio, a seconda della fase con cui le onde incidono nel punto stesso (ove per fase si intende il parametro che descrive lo stato attuale di una funzione periodica relativamente al suo periodo, ovvero l'angolo formato ad ogni istante tra l’onda stessa e un  asse di riferimento), può divenire, in istanti diversi, sede di interferenza costruttiva o distruttiva rendendo lo studio dell'interferenza estremamente complesso. Inoltre, anche all'interno della sola interferenza costruttiva (o distruttiva) è possibile avere diverse "gradi" di interferenza.

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In definitiva, è possibile identificare, in corrispondenza della variazione nel tempo della frequenza,  dell’ampiezza  e  della  fase  con  cui  le  singole onde sonore semplici costituenti l’onda sonora composita raggiungono un determinato punto nello spazio, l’intensità sonora  minima, massima e media dell’onda sonora composita stessa. Occorre precisare che, pur in  presenza di tali variazioni, proprio per gli effetti dell’interferenza tra onde sonore, l’intensità  sonora dell’onda sonora composita può rimanere costante. valutare la composizione spettrale di ciascuna onda sonora semplice di cui è composta (nel caso di onde sonore semplici caratterizzate da composizione spettrale proporzionalmente identica, potremo assumere tale composizione spettrale come unica composizione spettrale

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

comune  a  tutte  le  onde  sonore  semplici  costituenti  l’onda  sonora  composita)  e  la  composizione spettrale complessiva risultante. valutare la posizione nello spazio della o delle sorgenti sonore.

Per analogia, ed ampliando l’analisi ad un numero qualsiasi di onde sonore composite , si definisce accadimento sonoro composito l’insieme delle onde sonore composite intervallate da silenzio che si manifestano in un determinato punto dello spazio e dei silenzi che le intervallano (vedi figura 19).

Figura 19: accadimento sonoro composito

Per tale accadimento è possibile:    



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determinare il numero delle varie onde sonore composite e dei silenzi che costituiscono l’accadimento sonoro composito. collocare nel tempo in maniera precisa istante iniziale e finale delle singole onde sonore composite, dei singoli silenzi e dell’accadimento sonoro composito. calcolare la durata delle singole onde sonore composite, dei singoli silenzi, di tutte le onde sonore composite, di tutti i silenzi e dell’accadimento sonoro composito. valutare la frequenza di ciascuna onda sonora composita di cui è composto: in presenza di onde sonore composite caratterizzate da frequenze costanti ma differenti tra loro o di variazione della frequenza, è possibile identificare la frequenza minima, massima e media; nel caso di onde sonore composite caratterizzate da frequenze costanti e uguali tra loro, potremo assumere che la frequenza dell’accadimento sonoro composito è costante. valutare l’intensità sonora di ciascuna onda sonora composita di cui è composto: in presenza  di onde sonore composite caratterizzate da intensità sonore costanti ma differenti tra loro o di variazione dell’intensità  sonora,  è  possibile  identificare  l’intensità  sonora  minima,  massima e media; nel caso di onde sonore composite caratterizzate da intensità sonore costanti e uguali tra loro, potremo assumere che l’intensità sonora dell’accadimento sonoro  composito è costante. valutare la composizione spettrale di ciascuna onda sonora composita di cui è composto: nel caso di onde sonore composite caratterizzate da composizione spettrale proporzionalmente identica (ovvero identica a parità di frequenza fondamentale e di ampiezza della stessa), potremo assumere tale composizione spettrale come composizione spettrale comune a tutte le onde sonore composite costituenti l’accadimento sonoro composito. valutare la posizione nello spazio della o delle sorgenti sonore.

16 In generale, ampliando  l’analisi ad un  numero qualsiasi di onde sonore semplici e/o composite, si  definisce accadimento sonoro l’insieme  delle  onde  sonore  semplici  e/o  composite  intervallate  da  silenzio che si manifestano in un determinato punto dello spazio e dei silenzi che le intervallano (vedi figura 20).

Figura 20: accadimento sonoro

Per tale accadimento è possibile:     

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



determinare il numero delle varie onde sonore, semplici e composite, e dei silenzi che costituiscono l’accadimento sonoro.  collocare in maniera precisa istante iniziale e finale delle singole onde sonore, semplici e composite, dei silenzi e dell’accadimento sonoro. calcolare la durata delle singole onde sonore, semplici e composite, dei silenzi, di tutte le onde sonore, semplici e composite, di tutti i silenzi, dell’accadimento sonoro. determinare il numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato istante. valutare la frequenza di ciascuna onda sonora di cui è composto: in presenza di onde sonore caratterizzate da frequenze costanti ma differenti tra loro o di variazione della frequenza, è possibile identificare la frequenza minima, massima e media; nel caso di onde sonore caratterizzate da frequenze costanti e uguali tra loro, potremo assumere che la frequenza dell’accadimento sonoro è costante. valutare  l’intensità  sonora di ciascuna onda sonora di cui è  composto: in presenza di onde  sonore caratterizzate da intensità sonore costanti ma differenti tra loro o di variazione dell’intensità  sonora,  è  possibile  identificare  l’intensità  sonora  minima,  massima  e  media;  nel caso di onde sonore caratterizzate da intensità sonore costanti e uguali tra loro, potremo assumere che l’intensità sonora dell’accadimento sonoro è costante. valutare la composizione spettrale di ciascuna onda sonora di cui è composto: nel caso di onde sonore caratterizzate da composizione spettrale proporzionalmente identica, potremo assumere tale composizione spettrale come composizione spettrale comune a tutte le onde sonore costituenti l’accadimento sonoro. valutare la posizione nello spazio della o delle sorgenti sonore

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I I I. L A SE NSA Z I O N E U D I T I V A 1.Le proprietà della sensazione uditiva generata da un’onda sonora semplice (OSS)

Altezza L’altezza  A è la proprietà della sensazione uditiva che  permette all’ascoltatore di qualificarla come  acuta piuttosto che grave; o meglio di ordinare due o più sensazioni uditive lungo una scala ai cui estremi stanno l’acuto ed il grave (la percezione è dunque di natura comparativa).  Essa dipende,  per  un’onda  sonora  pura,  dalla  sua  frequenza  fondamentale:  più tale frequenza è elevata e più la sensazione uditiva risulterà acuta, mentre più è bassa e più la sensazione uditiva risulterà grave. Poiché l'orecchio umano è in grado  di  percepire  un’onda  sonora solo se la sua frequenza è compresa tra circa 16hz e 20000hz (campo di udibilità), tali valori (detti limiti di udibilità) possono essere presi a riferimento per la definizione degli estremi della scala (che ha dunque estensione limitata). Anche nel caso di un’onda sonora impura, il sistema percettivo, benché sollecitato simultaneamente da parziali armoniche con frequenze differenti, non percepisce effettivamente i singoli armonici come distinti, ma li fonde in un unica sensazione uditiva alla quale è in grado di attribuire in modo netto un’altezza  corrispondente alla sola frequenza fondamentale. Nel caso di onde  non periodiche,  invece,  la percezione dell’altezza risulta  indefinita; e’ possibile,  dunque, proporre un’ulteriore dicotomia, ovvero definita/indefinita (natura dell’altezza). In  corrispondenza  della  variazione  nel  tempo  della  frequenza  fondamentale  di  un’onda  periodica,  l’altezza  percepita  varia    (in  modo  continuo  o  discontinuo)  in  senso  crescente  o  decrescente;  secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche altezze e intervalli di tempo; in maniera ciclica (vibrato); casualmente. In presenza di una variazione di altezza, sarà sempre possibile percepirne l’altezza minima e l’altezza massima. Diversamente, l’altezza è costante.  E’ necessario precisare che  l’apparato uditivo risponde allo stimolo rappresentato dalla variazione della frequenza seguendo una scala logaritmica (l’altezza non è in relazione lineare con la frequenza); in particolare, due distinte variazioni (o intervalli) di frequenza vengono percepiti come uguali se è identico il rapporto (e non la differenza) delle frequenze iniziali e finali di ciascuna variazione (o intervallo).

Volume Il volume V è la proprietà della sensazione uditiva che permette all’ascoltatore di qualificarla come forte piuttosto che debole; o meglio di ordinare due o più sensazioni uditive lungo una scala ai cui estremi stanno il forte e il debole (la percezione è dunque di natura comparativa). Essa  dipende,  in  prima  battuta,  dall’intensità  sonora.  La soglia di udibilità è definita come la minima intensità sonora (Imin) che l'orecchio umano è in grado di percepire (stabilita convenzionalmente a 10-12 W/m2). La soglia del dolore è definita come la massima intensità sonora (Imax) che l'orecchio umano è in grado di tollerare, e oltre la quale la sensazione uditiva viene sostituita da una sensazione di dolore (stabilita convenzionalmente a 1W/m2). Il campo di variazione del volume è, dunque, estremamente ampio (occupa circa 12 ordini di grandezza). Questa grande variabilità, assieme al fatto che l'orecchio risponde allo stimolo rappresentato dalla variazione dell’intensità sonora seguendo una scala logaritmica, determina la scelta di esprimere la misura del volume mediante una scala logaritmica: il livello così ottenuto è un numero puro al quale si attribuisce però, per convenzione, un'unità di misura, il decibel (dB ), derivante dal rapporto tra l'intensità sonora e la soglia di udibilità, secondo la formula: Idb=10log10(I/Imin)

18 Calcolando i valori di Imin e di Imax, è possibile verificare che la scala si estende dagli 0dB (estremo del piano) ai 120dB (estremo del forte), ed ha, quindi, estensione limitata. Occorre precisare che tale misura, nonostante sia stata derivata tenendo in considerazione e assecondando le caratteristiche  del  sistema  uditivo  umano,    può  comunque  essere  utilizzata  tanto  per  l’intensità  sonora, quanto per il volume. In corrispondenza  della  variazione  nel  tempo  dell’intensità  sonora  di  un’onda  sonora,  il  volume  varia (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici volumi e intervalli di tempo; in maniera ciclica (tremolo); casualmente. In presenza di una variazione di volume, sarà sempre possibile percepirne il volume minimo e il volume massimo. Diversamente, il volume è costante. E’ necessario precisare che  l’apparato uditivo risponde allo stimolo rappresentato dalla variazione dell’intensità  sonora seguendo una scala logaritmica (il volume non è in relazione lineare con l’intensità  sonora);  in particolare, due distinte variazioni (o intervalli) di intensità sonora vengono percepiti come uguali se è identico il rapporto (e non la differenza) delle intensità iniziali e finali di ciascuna variazione (o intervallo). Il volume dipende, però, anche dalla frequenza. Il rapporto tra questi due parametri può essere rappresentato tramite il diagramma di Fletcher e Munson (vedi figura 1), ovvero un sistema di assi cartesiani, nel quale viene posizionata in ascissa la frequenza (hz) ed in ordinata il livello di intensità sonora (dB ); all'interno di questo spazio, compaiono le curve di isofonia, ovvero linee che riportano, al variare della frequenza, il luogo geometrico dei punti per i quali il volume è costante. Convenzionalmente si fissa il livello di volume, in tal caso misurato in phon, uguale al livello di intensità sonora, misurata in dB, alla frequenza di 1000 Hz. Il phon definisce il livello di intensità sonora che  un’onda  pura di una determinata frequenza deve avere al fine di provocare la stessa sensazione uditiva in termini di volume, dell’onda pura di riferimento alla frequenza di 1 kHz.

Figura 1: diagramma di Fletcher e Munson

Dal grafico possiamo trarre alcune importanti conclusioni:  

se il volume fosse determinato completamente dalla sola intensità sonora della sorgente le curve isofoniche sarebbero orizzontali. alle basse e alle alte frequenze si ha un calo di sensibilità dell'orecchio.

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Valore Il valore Va è la proprietà  della sensazione uditiva che permette all’ascoltatore di qualificarla come  breve piuttosto che lunga; o meglio di ordinare due o più sensazioni uditive lungo una scala ai cui estremi stanno il breve ed il lungo (la percezione è dunque di natura comparativa). Il valore Va della  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora  semplice  dipende  dalla  durata  dell’onda sonora stessa. In particolare, dipende dall’intervallo di tempo durante il quale percepiamo  il  manifestarsi  dell’onda  sonora,  compreso,  dunque,  tra  l’istante  in  cui  percepiamo  che  l’onda  sonora inizia a  manifestarsi (denominato inizio), ovvero  in cui  l’intensità sonora dell’onda  sonora  stessa  supera  la  soglia  di  udibilità,  e  l’istante  in  cui  percepiamo  che  l’onda  sonora  finisce  di  manifestarsi (denominato fine), ovvero in cui  l’intensità sonora dell’onda sonora stessa torna al di  sotto della medesima soglia. Al di sotto della soglia di udibilità percepiamo l’assenza di onde sonore, ovvero il silenzio. Il valore Va della sensazione uditiva generata dal silenzio dipende dalla durata del silenzio stesso. In  particolare  dipende  dall’intervallo  di  tempo,  anch’esso  delimitato  da  un  inizio  (in  tal  caso  l’istante in cui percepiamo che inizia ad esserci il silenzio)  ed una fine (in tal caso l’istante in cui  percepiamo che finisce di esserci il silenzio), durante il quale percepiamo l’assenza di onde sonore,  ovvero il silenzio stesso. E’ possibile identificare l’estremo del breve con una durata tendente allo 0,  e quello del lungo con  una durata tendente all’infinito (o, se vogliamo, con  la  vita dell’ascoltatore). E’ opportuno notare,  quindi, come il campo di variazione del valore sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa al valore di un sensazione uditiva, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti.

Timbro Il timbro Ti è la proprietà della sensazione uditiva che permette  all’ascoltatore  di  distinguere  due  onde sonore con uguale frequenza, intensità sonora e durata (la percezione è dunque di natura comparativa). Rappresenta, dunque, quell’attributo  della sensazione uditiva che consente all'ascoltatore di identificare la fonte sonora. Mentre le altezze, i volumi e i valori possono essere ordinati lungo una scala così da essere definiti in base ad un'unica dimensione, ciò non può essere realizzato per il timbro, che è una proprietà tipicamente multidimensionale. In altri termini, non può esistere una scala lungo la quale si possono ordinare e mettere a confronto timbri diversi, dal momento che essi possono differire sotto più punti di vista simultaneamente. Perciò, dare una definizione rigorosamente scientifica di timbro è praticamente impossibile, in quanto esso non dipende direttamente da una grandezza fisica "misurabile" come la frequenza o l'intensità sonora ma è piuttosto in relazione alla materia e alla costituzione della sorgente sonora stessa ed è determinato dall'evoluzione della composizione spettrale nel tempo, nonché dall’inviluppo  nel  tempo  dell’intensità  sonora.  La  rappresentazione fornita dallo spettrogramma dinamico può essere avvicinata, in prima approssimazione, al tipo di analisi condotta dal nostro sistema percettivo. In corrispondenza della variazione nel tempo della composizione  spettrale  di  un’onda  (composizione  spettrale  dinamica)  ,  il  timbro  varia    (in  modo  continuo o discontinuo) secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici timbri e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente (composizione spettrale statica), il timbro è costante. Per definire il timbro, è possibile ricorrere, allora, a dicotomie derivanti o dal contenuto spettrale (chiaro/scuro, caldo/freddo, pulito/sporco, spesso/sottile, duro/morbido, statico/dinamico, vuoto/pieno,  puro/impuro,  ricco/povero,  aperto/chiuso),  o  dall’inviluppo  d’intensità  sonora  (percussivo/sostenuto, stazionario/variabile, pulsante/continuo), o dalla fonte sonora (naturale/sintetico, acustico/elettrico, analogico/digitale, legnoso/metallico).

20 In questa sede, è altresì opportuno indagare la distinzione, a livello di sensazione uditiva, tra suono (sensazione uditiva gradevole o non fastidiosa, o comunque tollerabile) e rumore (sensazione uditiva sgradevole o fastidiosa, o addirittura intollerabile). In una accezione semplicistica basata su un punto di vista strettamente fisico, ciò che sembra caratterizzare il suono rispetto al rumore è la sua descrizione  in  termini  di  un’onda  periodica (lo spettrogramma deve contenere solo parziali armonici); ed in effetti, come già visto, ad un'onda periodica si associa un'altezza ben definita, mentre, ad una non periodica, non sembra possibile attribuirla. La questione è in realtà ben più complessa. Infatti, la periodicità dell'onda non è condizione sufficiente per chiamare suono ciò che udiamo; ovvero, non è detto che onde periodiche generino necessariamente suoni. A sostegno di questa tesi basta prendere in considerazione il fenomeno che in acustica viene definito battimento: l’effetto, che si verifica quando il nostro sistema uditivo viene  raggiunto contemporaneamente da onde sonore con frequenze differenti, consiste in un alternarsi nel tempo di interferenza costruttiva e distruttiva che si manifesta come un salire e scendere dell’intensità sonora, con una frequenza di ripetizione pari alla differenza delle frequenze primitive. In altri termini si hanno battimenti quando lo sfasamento (e quindi il tipo di interferenza) tra due suoni di frequenze differenti varia nel tempo. Laddove tali frequenze differiscano di poco il nostro sistema uditivo viene "confuso" e, incapace di discriminare la loro altezza, genera una sensazione uditiva con altezza intermedia, ma dal carattere "ruvido", rumoroso, appunto. È facile accorgersi, poi, che la periodicità non è nemmeno condizione necessaria per distinguere il suono dal rumore. Ciò per due ordini di motivi:  

il sistema percettivo sembra tollerare piccole deviazioni dalla periodicità. nessuna onda è esattamente periodica; una funzione periodica è qualcosa di dato da sempre e per sempre, mentre l’onda sonora è qualcosa che nasce, evolve nel tempo e muore.

È inoltre possibile produrre esempi di onde non periodiche che il nostro orecchio considera un suono. E’ il caso del rumore armonico che si ottiene sovrapponendo diverse bande di rumore bianco (ovvero formato da tutte le parziali appartenenti al campo di udibilità), ciascuna centrata su un multiplo intero della frequenza fondamentale prescelta. Quando le bande sono idealmente strettissime lo spettro diventa simile a quello di un’ onda impura (generando dunque una sensazione  uditiva con carattere di suono), mentre quanto più le singole bande sono larghe, tanto più sopravviene il carattere di rumore. In tutti i casi l'onda sonora risultante possiede componenti periodiche, ma in senso stretto non è mai esattamente periodica, perché una componente casuale è sempre presente, tranne che nel caso limite di bande infinitamente strette (nel qual caso diviene un’onda impura).

Provenienza La provenienza P è  la  proprietà  della  sensazione  uditiva  che  permette  all’ascoltatore  di  collocare  nello  spazio  la  sorgente  sonora  generatrice  dell’onda  sonora  rispetto  a  se  stesso.  L’orecchio, in particolare tramite la sua parte esterna (il padiglione auricolare), è infatti in grado di identificare il punto dello spazio nel quale l’onda sonora semplice si origina e dunque percepire la direzione dalla  quale proviene, nonché la distanza che percorre. Essa  dipende  dalla  posizione  nello  spazio  della  sorgente  sonora  rispetto  all’ascoltatore.  E’  allora  possibile  considerare  l’ascoltatore  come  origine  di  un  sistema  di  riferimento  cartesiano  (con  i  tre  assi X , Y e Z orientati lungo le direttrici sopra/sotto, destra/sinistra, davanti/dietro) e definire la posizione  della  fonte  sonora  rispetto  a  tale  sistema  (ed  all’ascoltatore  dunque)  attraverso  le  tre  coordinate x, y, z. In corrispondenza della variazione della posizione nello spazio della sorgente sonora rispetto all’ascoltatore  (considerando  che  la  sorgente  sonora,  l’ascoltatore  o  entrambi  possono  muoversi  nello spazio) , la provenienza varia (in modo continuo) secondo una curva di inviluppo

21 caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche provenienze e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente, la provenienza è costante. Anche in questo caso, ci troviamo al cospetto di una proprietà tipicamente multidimensionale che può essere allora definita tramite dicotomie quali sopra/sotto, a destra/a sinistra, davanti/dietro (direzione della provenienza) e lontana/vicina (distanza della provenienza).

Numerosità La numerosità N è la proprietà della sensazione uditiva che ci permette di qualificarla come numerosa piuttosto che non numerosa; o meglio di ordinare due o più sensazioni uditive lungo una scala ai cui estremi stanno il numeroso e il non numeroso (la percezione è dunque di natura comparativa). Tale parametro può essere considerato in due accezioni distinte: 

come numerosità “istantanea”  Ni , essa è il numero di onde sonore semplici percepite in un determinato istante: quanto maggiore è il numero di onde sonore semplici percepite in un determinato istante, quanto più la sensazione uditiva risulterà numerosa in quello stesso istante. Il numero di onde sonore semplici percepite in un determinato istante dipende dal numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un medesimo punto dello spazio in un determinato istante ni . In particolare, coincide con il più alto tra il numero di provenienze percepite, il numero di altezze percepite, e il numero di timbri percepiti. Queste dipendono, a loro volta, rispettivamente dal numero di sorgenti sonore, dal numero di frequenze e dal numero di composizioni spettrali. La numerosità istantanea assume, in un determinato istante, un valore preciso e compreso in un campo delimitato da un lato dall’estremo  del  non  numeroso  (una  sola  onda  sonora  semplice  percepita),    e,  dall’altro,  dall’estremo  del  numeroso  (infinite  onde  sonore  semplici  percepite).  E’  opportuno  notare,  quindi, come il campo di variazione della numerosità istantanea sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla numerosità istantanea di un sensazione uditiva, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. In corrispondenza della variazione nel tempo del numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un medesimo punto dello spazio in un determinato istante, la numerosità istantanea varia (in modo discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche numerosità istantanee e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di numerosità istantanea, sarà sempre possibile percepirne la numerosità istantanea minima e massima. Diversamente la numerosità istantanea è costante. Un’onda  sonora semplice è caratterizzata da un’unica sorgente sonora, un’unica  frequenza  ed  un’unica  composizione  spettrale  e,  di  conseguenza,  da  un’unica  provenienza,  un’unica  altezza ed un unico timbro.  In presenza di un’onda sonora semplice percepiamo dunque, in  qualsivoglia istante, una sola onda sonora semplice: la numerosità istantanea per  un’onda  sonora semplice è costante ed assume il valore rappresentato dall’estremo del non numeroso  (una sola onda sonora semplice percepita).



come  numerosità “complessiva”  Nc, essa è il numero di onde sonore semplici percepite in un determinato intervallo di tempo : quanto maggiore è il numero di onde sonore semplici percepite in un determinato intervallo di tempo, quanto più la sensazione uditiva risulterà numerosa complessivamente. Il numero di onde sonore semplici percepite in un determinato intervallo di tempo dipende dal numero di onde sonore semplici che si manifestano in un medesimo punto dello spazio nell’intervallo di tempo stesso nc. La numerosità complessiva assume, in un determinato intervallo di tempo, un valore preciso e compreso in un campo

22 delimitato  da  un  lato  dall’estremo  del  non  numeroso  (una  sola onda sonora semplice percepita), e, dall’altro, dall’estremo del numeroso (infinite onde sonore semplici percepite).  E’ opportuno notare, quindi, come il campo di variazione della numerosità complessiva sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla numerosità complessiva di un sensazione uditiva, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. In presenza  di  un’onda  sonora  semplice  non è sempre vero che percepiamo una sola onda sonora semplice: infatti, laddove un parametro oppure più parametri contestualmente tra altezza, volume e timbro varino  in  modo discontinuo, l’ascoltatore può essere  ingannato, e  percepire diverse onde sonore semplici consecutive (ovvero ciò che abbiamo precedentemente definito come onda sonora composita).

Velocità La velocità Vel è  la  proprietà  della  sensazione  uditiva  che  permette  all’ascoltatore  di  qualificarla  come veloce piuttosto che lenta; o meglio di ordinare due o più sensazioni uditive lungo una scala ai cui estremi stanno il veloce ed il lento (la percezione è dunque di natura comparativa). Essa dipende dalla velocità con cui variano gli altri parametri soggettivi che caratterizzano la sensazione uditiva generata dall’onda sonora semplice (ad esclusione del valore e della numerosità  che, per  la sensazione uditiva generata da un’onda sonora semplice, assumono un valore preciso):  tanto più i parametri soggettivi variano velocemente, tanto più la sensazione uditiva risulterà veloce. La velocità di variazione dei parametri soggettivi dipende, a sua volta, dalla velocità con cui variano i  parametri  oggettivi  che  caratterizzano  l’onda  sonora  semplice  ad  essi  collegati:  tanto  più  i  parametri oggettivi variano velocemente, tanto più la variazione dei parametri soggettivi risulterà veloce. Possiamo dunque analizzare la velocità di variazione di ciascun parametro soggettivo, in relazione alla velocità di variazione dei parametri oggettivi che lo determinano, articolando l’analisi  a  seconda  che  la  sensazione  uditiva  sia  generata  da  un’onda  sonora  semplice  pura,  da  un’onda  sonora semplice impura (ed in tal caso distinguendo tra onde caratterizzate da composizione spettrale  statica  o  dinamica),  o  da  un  rumore.  E’  opportuno precisare che prenderemo in considerazione non la velocità istantanea di variazione dei parametri (che può assumere valori sempre differenti nel tempo), bensì la velocità media. Nel caso di un’onda pura, la velocità della sensazione uditiva da essa generata è determinata dalla velocità  di  variazione  dell’altezza,  dalla  velocità  di  variazione  del  volume  e  dalla  velocità  di  variazione della provenienza. 

La  velocità  di  variazione  dell’altezza  della  sensazione  uditiva  indotta  da  un’onda  sonora  semplice ( Vel A OSS) è determinata dalla velocità di variazione della frequenza fondamentale dell’onda sonora stessa ( Velf OSS); quanto più la frequenza fondamentale varia velocemente, tanto più l’altezza percepita varierà velocemente. Si è visto in precedenza come la frequenza fondamentale  dell’onda  sonora,  e  conseguentemente  l’altezza  della  sensazione  uditiva  da  essa indotta, possa variare in modo discontinuo, oppure continuo. In presenza di sole variazioni di frequenza fondamentale di tipo discontinuo Δd, potremo allora valutare il numero n di tali variazioni e metterlo in relazione con la durata (misurata in secondi s) dell’onda sonora, secondo la formula:

Velf OSS(nΔd)= n/s La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione dell’altezza  in  presenza  di  sole  variazioni  di  altezza  di  tipo  discontinuo  percepite,  se  si 

23 mettono in relazione il numero m di variazioni discontinue di altezza percepite con il valore (misurato in secondi s) della sensazione uditiva indotta dall’onda sonora:

VelA OSS(mΔd)= m/s In presenza di sole n variazioni di frequenza fondamentale di tipo continuo Δc, ove ciascuna variazione è compresa tra due estremi A e B identificati dal cambiamento del senso di variazione della frequenza fondamentale, potremo, invece, mettere in relazione la variazione di frequenza fondamentale (f A/f B, in quanto l’orecchio risponde, come già visto, a variazioni  della stessa secondo una scala logaritmica) complessiva, e la durata (misurata in secondi s) dell’onda sonora, secondo la formula: ∑n(hzA/hzB) Velf OSS(nΔc)= ————— s

prendendo sempre hzB 10-12 s oppure

VelVOSS(mΔc)=

∑m( dB A-dB B) ————— s

prendendo sempre dB B< dB A e 120 >dB >0

E’ evidente, però, che l’intensità sonora di un’onda sonora, e di conseguenza il volume della  sensazione uditiva da essa indotta, può variare in modo sia continuo che discontinuo. In tal caso non è possibile proporre una misura unitaria, proprio per la differente natura delle variazioni in oggetto. 

La  velocità  di  variazione  della  provenienza  della  sensazione  uditiva  indotta  da  un’onda  sonora semplice generata da una specifica sorgente sonora ( VelP OSS) è determinata dalla velocità di variazione della posizione della sorgente sonora stessa nello spazio rispetto all’ascoltatore  ( Velp OSS); quanto più la posizione varia velocemente, tanto più la provenienza percepita varierà velocemente. Si è visto come la posizione nello spazio di una sorgente sonora rispetto all’ascoltatore, e conseguentemente la provenienza della sensazione  uditiva  indotta  dall’onda  sonora  generata  da  tale  sorgente  sonora,    possa  variare solo in modo continuo. Laddove una sorgente sonora vari la propria posizione nello spazio rispetto all’ascoltatore, saremo in presenza della variazione di una o più coordinate cartesiane (x, y, z) che definiscono la posizione della sorgente sonora nello  spazio  rispetto  all’ascoltatore  (considerato origine del sistema di riferimento cartesiano). In presenza di sole n variazioni di posizione di tipo continuo Δc, ove ciascuna variazione è compresa tra due estremi A e B identificati dal cambiamento del senso di variazione di una o

25 più coordinate cartesiane atte a descriverne la posizione nello spazio rispetto all’ascoltatore,  potremo, allora, mettere in relazione la variazione di posizione complessiva e la durata (misurata in secondi s) dell’onda sonora, secondo la formula:    ∑n [(x B- x A) + (y B- y A) + (z B- z A)] VelpOSS(nΔc)= ——————————————— s prendendo sempre x B > x A, y B > y A e z B > zA La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione della provenienza in presenza di sole m variazioni di provenienza di tipo continuo percepite, se si mettono in relazione la variazione di provenienza complessiva percepita con il valore (misurato in secondi s) della sensazione uditiva indotta dall’onda sonora: ∑m [(x B- x A) + (y B- y A) + (z B- z A)] VelPOSS(mΔ c)= ——————————————— s prendendo sempre x B > x A, y B > y A e z B > zA L’analisi  precedente  si  presta  ad  essere  applicata analogamente anche alla sensazione uditiva generata da un’onda sonora impura caratterizzata da una composizione spettrale statica; in tal caso,  infatti,  avremo  una  percezione  unitaria  e  definita  dell’altezza  (derivante  dalla  frequenza  fondamentale dell’onda sonora stessa), del volume (derivante dall’intensità sonora dell’onda sonora  stessa) e della provenienza (derivante dalla posizione nello spazio della sorgente sonora rispetto all’ascoltatore);  potremo  allora  utilizzare  tali  percezioni  nella  valutazione della velocità della sensazione uditiva in oggetto. Nel  caso  di  un’onda  sonora  impura  caratterizzata  da  composizione  spettrale  dinamica,  la  velocità  della sensazione uditiva da essa generata  dipende non solo dalle velocità di variazione dell’altezza, del volume e della provenienza, ma anche dalla velocità di variazione del timbro. 

La  velocità  di  variazione  del  timbro  della  sensazione  uditiva  indotta  da  un’onda  sonora  semplice ( VelTi OSS) è determinata dalla velocità di variazione della composizione spettrale dell’onda sonora stessa ( Velcs O SS); quanto più la composizione spettrale varia velocemente, tanto più il timbro percepito varierà velocemente. Si è visto in precedenza come la composizione  spettrale  dell’onda  sonora,  e  conseguentemente  il  timbro della sensazione uditiva da essa indotta, possa variare in modo discontinuo oppure continuo. In presenza di sole variazioni della composizione spettrale di tipo discontinuo Δd, potremo allora valutare il numero di tali variazioni n e metterlo in relazione con la durata (misurata in secondi s) dell’onda sonora, secondo la formula:

VelcsOSS(nΔd)= n/s ove il numero di variazioni discontinue della composizione spettrale è pari al numero degli inizi/fini  dei  diversi  parziali  non  coincidenti  con  l’inizio/fine  dell’onda  sonora  stessa  sommato  al  numero  delle  variazioni  discontinue  d’ampiezza,  e  conseguentemente  di  intensità sonora, di tutti i parziali (laddove più parziali inizino/finiscano e/o varino

26 discontinuamente la propria ampiezza in un medesimo istante, si determina un'unica variazione discontinua della composizione spettrale). La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione del timbro in presenza di sole variazioni di timbro di tipo discontinuo percepite, se si mettono in relazione il numero m di variazioni discontinue di timbro percepite con il valore (misurato in secondi s) della sensazione uditiva indotta dall’onda sonora:

VelTiOSS(mΔd)= m/s Una  variazione  continua  del  contenuto  spettrale  di  un’onda  sonora  è  determinata  dalla  variazione  continua  dell’ampiezza,  e  conseguentemente  dell’intensità  sonora,  di  uno  o  più  parziali che la compongono. Possiamo allora valutare la velocità di variazione dell’intensità  sonora di ciascuno dei k parziali che variano in modo continuo la propria intensità sonora, secondo la formula sopra esposta per la velocità di variazione dell’intensità sonora in caso di  variazioni continue Veli OSS(nΔc). Andremo poi a calcolare la velocità media di variazione di tali intensità, secondo la formula:

VelcsOSS(k Δc)= ∑k Veli OSS(nΔc)/k La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione del timbro in presenza di sole m variazioni di volume di tipo continuo percepite per ciascuno dei j parziali di cui percepiamo che varia in modo continuo il proprio volume, se si mettono in relazione la variazione di volume complessiva percepita con il numero j di tali parziali:

VelTiOSS( jΔ c)= ∑jVelVOSS(mΔc)/j E’ evidente, però,  che il contenuto spettrale di un’onda sonora, e di conseguenza il timbro  della sensazione uditiva da essa indotta, può variare in modo sia continuo che discontinuo. In tal caso non è possibile proporre una misura unitaria, proprio per la differente natura delle variazioni in oggetto. Infine, in presenza di rumore (qui inteso nella basilare accezione di onda non periodica, dunque formata da parziali non armonici) possiamo tenere in considerazione, ai fini della valutazione della velocità della sensazione uditiva risultante, le sole velocità di variazione del volume, del timbro e della provenienza così come precedentemente definite; si è già visto infatti, come ad un rumore non sia possibile associare una sensazione di altezza definita, e, di conseguenza, misurarne la variazione. Se prendiamo in considerazione la velocità media di variazione di un determinato parametro oggettivo (e, conseguentemente, la velocità media di variazione del parametro soggettivo da esso determinato), essa sarà compresa in un campo delimitato da un lato dall’estremo del lento (velocità  tendente  a  0),    e,  dall’altro,  dall’estremo  del  veloce  (velocità  tendente  ad  infinito).  E’  opportuno  notare, quindi, come il campo di variazione della velocità media di variazione di un determinato parametro sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla velocità media di variazione di un determinato parametro, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti Se prendiamo in considerazione non la velocità media di variazione, bensì la velocità istantanea di variazione di un determinato parametro oggettivo (e, conseguentemente, la velocità istantanea di variazione del parametro soggettivo da esso determinato), essa può variare nel tempo (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente (accelerazione) o decrescente (decelerazione); secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco,

27 decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche velocità e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di velocità , sarà sempre possibile percepirne la velocità minima e la velocità massima. Diversamente la velocità è costante. Inoltre, tali velocità istantanee  saranno  comprese  in  un  campo  delimitato,  da  un  lato,  dall’estremo  del  lento  (velocità  tendente  a  0)  e,  dall’altro,  dall’estremo  del  veloce  (velocità  tendente  all’infinito).  E’  opportuno  notare, quindi, come il campo di variazione della velocità istantanea di variazione di un determinato parametro sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla velocità istantanea di variazione di un determinato parametro è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. Per concludere, è doveroso evidenziare che la velocità della sensazione uditiva generata da un’onda  sonora semplice può dipendere dalla velocità di variazione non solo di un singolo parametro, ma anche di un insieme di parametri; ed in più, la velocità di variazione di ciascun parametro può essere differente. Ciò rende il confronto tra sensazioni sonore differenti assai complesso; come già visto in precedenza per il timbro, in caso di grandezze multidimensionali, è praticamente impossibile darne una misurazione precisa ed oggettiva. Ciò nonostante, le indicazioni precedenti possono essere un valido riferimento per la comprensione del fenomeno ed un valido strumento laddove sia un solo parametro a variare (in modo continuo o discontinuo) nel tempo. Proprio per la natura composita della velocità della sensazione uditiva generata da un’onda sonora  semplice , risulta impossibile esprimere valutazioni in merito alla variazione della stessa nel tempo. Ovvero, le precedenti considerazioni si potranno applicare efficacemente, solo nel caso in cui la sua variazione dipenda dalla variazione (continua o discontinua) di un unico parametro. Diversamente, le indicazioni precedenti possono comunque essere un valido riferimento per la comprensione del fenomeno. 2.Le proprietà della sensazione uditiva generata da un’onda sonora compos ita (OSC)

Altezza Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si  manifestano  consecutivamente in un determinato punto dello spazio, dovremo valutare la natura periodica o non periodica delle stesse:  



In presenza di sole onde non periodiche, la percezione di altezza risulterà indefinita. In presenza di sole onde periodiche, percepiremo un’altezza definita. In questo caso, si può  affermare che, in presenza di onde sonore semplici caratterizzate da frequenze fondamentali costanti ma differenti tra loro o in corrispondenza della variazione nel tempo della frequenza fondamentale  delle  stesse,  l’altezza  percepita  varia    (in  modo  continuo  o  discontinuo)  in  senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche altezze e intervalli di tempo; in maniera ciclica (vibrato); casualmente. In presenza di una variazione di altezza, sarà sempre possibile  percepirne  l’altezza  minima  e  l’altezza  massima.  Diversamente  l’altezza  è  costante.  Il  campo  di  variazione  dell’altezza  resta compreso tra gli opposti limiti di udibilità. In presenza di onde periodiche e non periodiche, percepiremo altezze di diversa natura: definita per le onde periodiche e indefinita per le onde non periodiche. E’ possibile proporre  la dicotomia definita/indefinita.

28 Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si  manifestano  simultaneamente in un determinato punto dello spazio, dovremo effettuare un distinguo tra aree di non sovrapposizione e aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici. Per le aree di non sovrapposizione tra onde sonore semplici ci si può riferire alla precedente trattazione in merito  alla  percezione  dell’altezza  per  la  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora semplice. Per le aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, dovremo valutare la natura periodica o non periodica delle stesse:  



In presenza di sole onde non periodiche, la percezione di altezza risulterà indefinita. In presenza di sole onde periodiche, laddove le diverse onde sonore semplici abbiano medesima  frequenza  fondamentale,  sarà  possibile  percepire  un’unica  altezza  definita  e  precisa, corrispondente a tale frequenza; se le frequenze fondamentali sono simili, si verificherà  il  fenomeno  dei  battimenti,  rendendo  la  percezione  dell’altezza  imprecisa;  quando le frequenze fondamentali sono diverse, saremo in grado di percepire contemporaneamente altezze definite e precise differenti corrispondenti alle differenti frequenze  fondamentali.  E’  possibile  determinare  il  numero  di  altezze  simultaneamente  percepite  e  proporre  dicotomie  quali  precisa/imprecisa  (precisione  dell’altezza).  In  questo  caso, si può affermare che, in corrispondenza della variazione nel tempo della frequenza fondamentale  delle  onde  sonore  semplici,  l’altezza  percepita/le  altezze  percepite  varia/variano (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche altezze e intervalli di tempo; in maniera ciclica (vibrato); casualmente. In presenza di una variazione di altezza, sarà sempre possibile percepirne l’altezza minima e l’altezza massima. Diversamente l’altezza/le altezze  è/sono costante/i. Il campo di variazione dell’altezza resta compreso tra gli opposti limiti di  udibilità. In presenza di onde periodiche e non periodiche costituenti  l’onda  sonora  composita,  percepiremo altezze di diversa natura: definita per le onde periodiche e indefinita per le onde non periodiche. E’ possibile proporre la dicotomia definita/indefinita

Laddove  un’onda  sonora  composita  è  un  insieme  sia  di onde sonore semplici che si manifestano consecutivamente, sia di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, potremo comunque applicare le differenti considerazioni suesposte per le differenti casistiche. In riferimento a tale onda sonora composita, è possibile sostenere che, in presenza di sole onde sonore semplici periodiche, e laddove nelle aree di sovrapposizione le onde sonore semplici abbiano medesima frequenza fondamentale, percepiremo un’unica altezza definita e precisa. In questo caso, si può affermare che, in presenza di onde sonore semplici che si manifestano consecutivamente in un determinato punto dello spazio caratterizzate da frequenze costanti ma differenti tra loro o in corrispondenza della variazione nel tempo della frequenza fondamentale delle onde sonore semplici che si manifestano consecutivamente e/o simultaneamente in un determinato punto dello spazio, l’altezza percepita varia  (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o  decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche altezze e intervalli di tempo; in maniera ciclica (vibrato); casualmente. In presenza di una variazione di altezza, sarà sempre  possibile  percepirne  l’altezza  minima  e  l’altezza  massima.  Diversamente  l’altezza  è  costante. Il campo di variazione dell’altezza resta compreso tra gli opposti limiti di udibilità.

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Volume Laddove un’onda sonora composita è un insieme di sole onde sonore semplici che si manifestano consecutivamente in un determinato punto dello spazio, ci si può riferire alla precedente trattazione in merito alla percezione del volume per la sensazione uditiva generata da un’onda sonora semplice. Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si  manifestano  simultaneamente in un determinato punto dello spazio, dovremo effettuare un distinguo tra aree di non sovrapposizione e aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici. Per le aree di non sovrapposizione tra onde sonore semplici, ci si può riferire alla precedente trattazione  in  merito  alla  percezione  del  volume  per  la  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora semplice. Per le aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, a seconda della frequenza, dell’ampiezza e  della fase con cui le singole onde sonore semplici si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, l’ampiezza (e, di conseguenza, l’intensità sonora) dell’onda sonora  composita  sarà  determinata  dai  complessi  e  multiformi  effetti  dell’interferenza  costruttiva  e  distruttiva. Nel determinare il volume della sensazione uditiva, allora, non sarà sufficiente semplicemente sommare i volumi delle varie onde sonore semplici, ma sarà necessario tener presente il principio di sovrapposizione tra onde sonore. In questo caso, si può affermare che, in corrispondenza della variazione nel tempo della frequenza, dell’ampiezza e della fase con cui le singole onde sonore semplici si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, il volume percepito può restare costante oppure variare (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici volumi e intervalli di tempo; in maniera ciclica (tremolo); casualmente. In presenza di una variazione di volume, sarà sempre possibile percepirne il volume minimo e il volume massimo. Il campo di variazione del volume resta compreso tra le opposte soglie di udibilità. Laddove  un’onda  sonora  composita  è  un  insieme  sia  di  onde  sonore  semplici  che  si  manifestano  consecutivamente, sia di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, potremo comunque applicare le differenti considerazioni suesposte per le differenti casistiche. In riferimento a tale onda sonora composita, potremo affermare che, laddove  l’intensità sonora delle onde sonore semplici che si manifestano consecutivamente in un determinato  punto  dello  spazio,  l’intensità  sonora  delle  onde  sonore  semplici  nelle  aree  di  non  sovrapposizione,  e  l’intensità  sonora  risultante  dalla  variazione  nel  tempo  della  frequenza, dell’ampiezza e della fase con cui le singole onde sonore semplici si manifestano simultaneamente  in un determinato punto dello spazio (nelle aree di sovrapposizione dunque), siano costanti ma differenti tra loro o in presenza di variazioni nel tempo delle precedenti intensità sonore, il volume percepito varia (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici volumi e intervalli di tempo; in maniera ciclica (tremolo); casualmente. In presenza di una variazione di volume, sarà sempre possibile percepirne il volume minimo e il volume massimo. Diversamente il volume è costante. Il campo di variazione del volume resta compreso tra le opposte soglie di udibilità.

Valore E’ possibile  fare riferimento alla trattazione relativa al  valore della  sensazione uditiva generata da  un’onda sonora semplice.

30 E’  inoltre  possibile  considerare  il  valore  della  sensazione  uditiva  generata  dall’onda  sonora  composita come estremo del lungo nella scala volta a valutare il valore della sensazione uditiva generata da ciascuna onda sonora semplice percepita (vedasi la trattazione in merito alla numerosità dell’onda sonora composita). E’  infine possibile  confrontare tra loro i  valori delle  sensazioni uditive generate da ciascuna onda  sonora  semplice  percepita  (vedasi  la  trattazione  in  merito  alla  numerosità  dell’onda  sonora  composita) al fine di ordinarle lungo la scala di misurazione.

Timbro Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si  manifestano  consecutivamente in un determinato punto dello spazio, valgono le seguenti considerazioni: 



in presenza di onde sonore semplici con composizione spettrale proporzionalmente identica, percepiremo un unico timbro comune alle diverse onde sonore semplici. Per esso possiamo proporre le dicotomie derivanti dal contenuto spettrale, o dall’inviluppo d’intensità sonora, o  dalla fonte sonora. in presenza di onde sonore semplici con composizione spettrale proporzionalmente differente, gli effetti percettivi divengono di difficile interpretazione e comunque altamente soggettivi; essi possono posizionarsi lungo un continuum che vede da un lato la percezione di un unico timbro risultante dalla manifestazione consecutiva delle diverse composizioni spettrali caratterizzanti le varie onde sonore semplici (per esso possiamo proporre le dicotomie derivanti dal contenuto spettrale, o dall’inviluppo d’intensità sonora, o dalla fonte  sonora)  e,  dall’altro,  la  percezione  di  timbri  distinti  relativi  alle  differenti  composizioni  spettrali  (per  ciascuno  di  essi  o  per  l’insieme  degli  stessi  possiamo  proporre  le  dicotomie  derivanti dal contenuto spettrale, o dall’inviluppo d’intensità  sonora, o dalla  fonte sonora).  E’ possibile determinare il numero di timbri consecutivamente percepiti.  Si può affermare che, in corrispondenza della variazione nel tempo della composizione spettrale (composizione spettrale dinamica), il timbro/i timbri percepito/i varia/variano (in modo continuo o discontinuo) secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici timbri e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente (composizione spettrale statica) il timbro/i timbri è/sono costante/i.

Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, dovremo effettuare un distinguo tra aree di non sovrapposizione e aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici. Per le aree di non sovrapposizione tra onde sonore semplici percepiremo un unico timbro. Per esso possiamo  proporre  le  dicotomie  derivanti  dal  contenuto  spettrale,  o  dall’inviluppo  d’intensità  sonora, o dalla fonte sonora. Per le aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, le valutazioni in merito alla percezione del timbro risentono decisamente della intrinseca multidimensionalità e difficoltà di misurazione del parametro in oggetto. Si può sicuramente sostenere che, in presenza di onde sonore semplici con composizione spettrale proporzionalmente identica, percepiremo un unico timbro comune alle diverse onde sonore semplici (per esso possiamo proporre le dicotomie derivanti dal contenuto spettrale, o dall’inviluppo d’intensità sonora, o dalla fonte sonora). Laddove invece la composizione  spettrale delle varie onde sonore semplici sia proporzionalmente differente, gli effetti percettivi divengono di difficile interpretazione e comunque altamente soggettivi; essi possono posizionarsi lungo un continuum che vede da un lato la percezione di un unico timbro risultante dalla manifestazione simultanea delle diverse composizioni spettrali caratterizzanti le varie onde sonore semplici (per esso possiamo proporre le dicotomie derivanti dal contenuto spettrale, o

31 dall’inviluppo d’intensità sonora, o dalla fonte sonora) e, dall’altro, la percezione di timbri distinti relativi  alle  differenti  composizioni  spettrali  (per  ciascuno  di  essi  o  per  l’insieme  degli  stessi  possiamo  proporre  le  dicotomie  derivanti  dal  contenuto  spettrale,  o  dall’inviluppo  d’intensità  sonora,  o  dalla  fonte  sonora).  E’  possibile  determinare  il  numero di timbri simultaneamente percepiti. Si può affermare che, in corrispondenza della variazione nel tempo della composizione spettrale (composizione spettrale dinamica), il timbro/i timbri percepito/i varia/variano (in modo continuo o discontinuo) secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici timbri e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente (composizione spettrale statica) il timbro/i timbri è/sono costante/i. Laddove  un’onda  sonora  composita  è  un  insieme  sia  di  onde  sonore  semplici  che  si  manifestano  consecutivamente, sia di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, potremo comunque applicare le differenti considerazioni suesposte per le differenti casistiche. In riferimento a tale onda sonora composita, è possibile affermare che percepiremo un unico timbro comune alle differenti onde sonore semplici solo in presenza di onde sonore semplici con composizione spettrale proporzionalmente identica (per esso possiamo proporre le dicotomie derivanti dal contenuto spettrale, o dall’inviluppo d’intensità sonora, o dalla  fonte sonora). Laddove invece la composizione spettrale delle varie onde sonore semplici sia proporzionalmente differente, gli effetti percettivi divengono di difficile interpretazione e comunque altamente soggettivi; essi possono posizionarsi lungo un continuum che vede da un lato la percezione di un unico timbro risultante dalla manifestazione consecutiva e/o simultanea delle diverse composizioni spettrali caratterizzanti le varie onde sonore semplici (per esso possiamo proporre le dicotomie derivanti dal contenuto spettrale, o dall’inviluppo d’intensità  sonora, o dalla fonte  sonora)e,  dall’altro,  la  percezione  di  timbri  distinti  relativi  alle  differenti  composizioni  spettrali (per ciascuno di essi o per l’insieme degli stessi possiamo proporre le dicotomie derivanti  dal  contenuto  spettrale,  o  dall’inviluppo  d’intensità  sonora,  o  dalla  fonte  sonora).  E’  possibile  determinare il numero di timbri complessivamente percepiti. Si può affermare che, in corrispondenza della variazione nel tempo della composizione spettrale (composizione spettrale dinamica), il timbro/i timbri percepito/i varia/variano (in modo continuo o discontinuo) secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici timbri e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente (composizione spettrale statica) il timbro/i timbri è/sono costante/i.

Provenienza Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si  manifestano  consecutivamente in un determinato punto dello spazio, esse possono essere generate da una o più sorgenti sonore:  

se generate da una sola sorgente sonora, ci si può riferire alla trattazione sulle provenienza della sensazione uditiva generata dall’onda sonora semplice. se generate da più sorgenti sonore, non è sempre vero che percepiremo più provenienze differenti. E’ possibile affermare, infatti, che, tanto maggiore è la separazione spaziale delle  differenti sorgenti sonore, ovvero la distanza tra le rispettive posizioni nello spazio, quanto più tenderemo a percepirle come distinte provenienze. Facendo riferimento ad un sistema cartesiano, la distanza tra due sorgenti sonore puntiformi A e B è misurabile con la formula:

32 ___ ___________________________ AB = √(x B- x A)2 + (y B- y A) 2 + (z B- z A) 2 Dunque, se nell’istante  in cui le onde sonore semplici si manifestano consecutivamente, le  differenti sorgenti sonore che le generano sono sufficientemente vicine (ovvero la distanza tra le rispettive posizioni nello spazio è minima), è possibile che l’orecchio venga ingannato  e percepisca un’unica provenienza. Laddove venga percepita un’unica provenienza, per essa  è possibile proporre le dicotomie sopra/sotto, a destra/a sinistra, davanti/dietro e lontana/vicina. Laddove vengano percepite più provenienze, per ciascuna di esse e per l’insieme  delle  stesse  è  possibile  proporre  le  dicotomie  sopra/sotto,  a  destra/a  sinistra,  davanti/dietro e lontana/vicina. In tal senso è possibile determinare il numero di provenienze consecutivamente percepite. In corrispondenza della variazione della posizione nello spazio delle sorgenti sonore rispetto all’ascoltatore  (considerando  che  le  sorgenti  sonore,  l’ascoltatore  o  entrambi  possono  muoversi nello spazio) , la provenienza/le provenienze varia/variano (in modo continuo) secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche provenienze e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente, la provenienza/le provenienze è/sono costante/costanti. Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, dovremo effettuare un distinguo tra aree di non sovrapposizione e aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici. Per le aree di non sovrapposizione tra onde sonore semplici, ci si può riferire alla precedente trattazione in merito alla percezione della provenienza per la sensazione uditiva generata da un’onda sonora semplice. Per le aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, è evidente che ciascuna onda sonora semplice è generata da una sorgente sonora distinta. Ciò nonostante, non è sempre vero che percepiremo più provenienze differenti. Anche in questo caso, infatti, è possibile affermare che, tanto maggiore è la separazione spaziale delle differenti sorgenti sonore, ovvero la distanza tra le rispettive posizioni nello spazio, quanto più tenderemo a percepirle come distinte provenienze. Dunque, se nelle aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, le differenti sorgenti sonore che le generano sono sufficientemente vicine (ovvero la distanza tra le rispettive posizioni nello spazio è minima),  è  possibile  che  l’orecchio  venga  ingannato  e  percepisca  un’unica  provenienza.  Laddove  venga  percepita  un’unica  provenienza,  per  essa  è  possibile  proporre  le  dicotomie  sopra/sotto,  a  destra/a sinistra, davanti/dietro e lontana/vicina. Laddove vengano percepite più provenienze, per ciascuna di esse e per l’insieme delle stesse è possibile proporre le dicotomie sopra/sotto, a destra/a  sinistra, davanti/dietro e lontana/vicina. In tal senso è possibile determinare il numero di provenienze simultaneamente percepite. In corrispondenza della variazione della posizione nello spazio delle sorgenti sonore rispetto all’ascoltatore  (considerando  che  le  sorgenti  sonore,  l’ascoltatore  o  entrambi  possono  muoversi  nello spazio) , la provenienza/le provenienze varia/variano (in modo continuo) secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche provenienze e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente, la provenienza/le provenienze è/sono costante/costanti. Laddove  un’onda  sonora  composita  è  un  insieme  sia  di  onde  sonore  semplici  che  si  manifestano  consecutivamente, sia di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, potremo comunque applicare le differenti considerazioni suesposte per le differenti casistiche. In riferimento a tale onda sonora composita, è possibile sostenere che, se negli istanti in cui le differenti onde sonore semplici si manifestano consecutivamente in un

33 determinato punto dello spazio e nelle aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, le differenti sorgenti sonore che le generano sono sufficientemente vicine (ovvero la distanza tra le rispettive posizioni nello spazio è minima), è possibile che l’orecchio venga ingannato e percepisca  un’unica  provenienza  (per  essa  è  possibile  proporre  le  dicotomie  sopra/sotto,  a  destra/a  sinistra,  davanti/dietro e lontana/vicina). In questo caso, si può affermare che, in corrispondenza della variazione nel tempo della posizione nello spazio rispetto all’ascoltatore delle sorgenti sonore, la provenienza varia  (in modo continuo)   secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche provenienze e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente, la provenienza è costante.

Numerosità Relativamente alla numerosità istantanea valgono le seguenti considerazioni: Laddove un’onda sonora composita è un insieme di sole onde sonore semplici che si manifestano consecutivamente in un determinato punto dello spazio, è possibile percepire, in qualsivoglia istante, un’unica onda sonora semplice. Laddove un’onda sonora composita è un insieme di sole onde che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, dovremo effettuare un distinguo tra aree di non sovrapposizione e aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici. Per le aree di non sovrapposizione tra onde sonore semplici, percepiremo, in qualsivoglia momento, un’unica onda sonora semplice. Per le aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, sarà possibile percepire simultaneamente, in un determinato istante, una o più onde sonore semplici. Il numero di onde sonore semplici percepite coincide con il più alto tra il numero di provenienze percepite (vedansi le considerazioni precedenti sulla provenienza), il numero di altezze percepite (vedansi le considerazioni precedenti sull’altezza)  e  il  numero  di  timbri  percepiti  (vedansi  le  considerazioni  precedenti  sul  timbro).  E’  doveroso evidenziare, dunque, che la numerosità istantanea della sensazione uditiva generata da un’onda sonora composita dipende dalla numerosità istantanea di più parametri distinti. E’ possibile affermare che, se prendiamo in considerazione la numerosità istantanea di un singolo parametro, essa può variare (in modo discontinuo) nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche numerosità istantanee e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di numerosità istantanea, sarà sempre possibile percepirne la numerosità istantanea minima e massima. Diversamente la numerosità istantanea è costante. Inoltre, tale numerosità istantanea sarà compresa in un campo delimitato,  da  un  lato,  dall’estremo  del  non  numeroso  (una  sola  provenienza  percepita  o  una  sola  altezza percepita o un  solo  timbro  percepito)  e,  dall’altro,  dall’estremo  del  numeroso  (infinite  provenienze  percepite  o  infinite  altezze  percepite  o  infiniti  timbri  percepiti).  E’  opportuno  notare,  quindi, come il campo di variazione della numerosità istantanea di un singolo parametro sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla numerosità istantanea di un singolo parametro, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. Infine, è possibile affermare che, se prendiamo in considerazione la numerosità istantanea della sensazione uditiva generata da un’onda sonora composita, essa può variare (in  modo discontinuo)  nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche numerosità istantanee e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione  di  numerosità  “istantanea”,  sarà  sempre  possibile percepirne la numerosità istantanea

34 minima e massima. Diversamente la numerosità istantanea è costante. Inoltre, tale numerosità istantanea  sarà compresa  in un campo delimitato, da un  lato, dall’estremo del non numeroso (una sola onda sonora semplice percepita) e, dall’altro, dall’estremo del numeroso (infinite onde sonore  semplici  percepite).  E’  opportuno  notare,  quindi,  come  il  campo  di variazione di tale numerosità istantanea sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla suddetta numerosità è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. Laddove  un’onda  sonora  composita  è  un  insieme sia di onde sonore semplici che si manifestano consecutivamente, sia di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, potremo comunque applicare le differenti considerazioni suesposte per le differenti casistiche. Relativamente alla numerosità complessiva valgono le seguenti considerazioni: Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si  manifestano  consecutivamente in un determinato punto dello spazio, non è sempre vero che potremo percepire più onde sonore semplici:  laddove venga percepita un’unica provenienza (vedansi le considerazioni  precedenti  sulla  provenienza),  l’orecchio  può  essere  ingannato  e  percepire  un’unica  onda  sonora  semplice. La percezione di un’unica onda sonora semplice è rafforzata qualora, nell’istante in cui le  differenti onde sonore semplici si manifestano consecutivamente, esse abbiano uno o più parametri tra altezza, volume e timbro uguali tra loro. Laddove un’onda sonora composita è un  insieme di sole onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, dovremo effettuare un distinguo tra aree di non sovrapposizione e aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici. Per le aree di non sovrapposizione tra onde sonore semplici, ci si può riferire alla precedente trattazione in merito alla percezione della numerosità complessiva per la sensazione uditiva generata da un’onda sonora semplice. Per le aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, non è sempre vero che percepiremo più onde  sonore  semplici:  infatti,  laddove  venga  percepita  un’unica  provenienza  (vedansi  le  considerazioni  precedenti  sulla  provenienza)  ,  un’unica  altezza  (vedansi  le  considerazioni  precedenti  sull’altezza)  ed  un  unico  timbro  (vedansi le considerazioni precedenti sul timbro), l’ascoltatore può essere ingannato, e percepire una sola onda sonore semplice. Laddove  un’onda  sonora  composita  è  un  insieme  sia  di  onde  sonore  semplici  che  si  manifestano  consecutivamente, sia di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, potremo comunque applicare le differenti considerazioni suesposte per le differenti casistiche. La numerosità complessiva dell’onda sonora composita sarà determinata  dalla somma  di  tutte  le  onde  sonore  semplici  percepite  durante  l’intero  valore  della  sensazione  uditiva generata dall’onda sonora composita stessa e assume, dunque, un valore preciso. Tale numerosità complessiva sarà compresa in un campo delimitato da un lato dall’estremo del non  numeroso  (una  sola  onda  sonora  semplice  percepita),    e,  dall’altro,  dall’estremo  del  numeroso  (infinite onde sonore semplici percepite). E’ opportuno notare, quindi, come il campo di variazione della numerosità complessiva sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla suddetta numerosità complessiva, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti.

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Velocità Essa dipende dalla velocità con cui variano gli altri parametri soggettivi che caratterizzano la sensazione uditiva generata dall’onda sonora composita (ad esclusione del valore e della numerosità complessiva che, per la sensazione uditiva generata  da  un’onda  sonora composita, assumono un valore preciso): tanto più i parametri soggettivi variano velocemente, tanto più la sensazione uditiva risulterà veloce. La velocità di variazione dei parametri soggettivi dipende, a sua volta, dalla velocità con cui variano i parametri  oggettivi  che  caratterizzano  l’onda  sonora  composita  ad  essi  collegati: tanto più i parametri oggettivi variano velocemente, tanto più la variazione dei parametri soggettivi risulterà veloce. Possiamo dunque analizzare la velocità di variazione di ciascun parametro soggettivo, in relazione alla velocità di variazione dei parametri oggettivi che lo determinano. In generale, la velocità della sensazione uditiva generata da un’onda sonora composita  dipende  dalla  velocità  di  variazione  dell’altezza,  dalla velocità di variazione del volume, dalla velocità di variazione della provenienza, dalla velocità di variazione del timbro e dalla velocità di variazione  della  numerosità  istantanea.  E’  opportuno  precisare  che  prenderemo  in  considerazione  non la velocità istantanea di variazione dei parametri (che può assumere valori sempre differenti nel tempo), bensì la velocità media. Laddove un’onda sonora composita è un  insieme  di sole onde  sonore semplici che si  manifestano  consecutivamente in un determinato punto dello spazio, ci si può riferire alla precedente trattazione in  merito  alla  percezione  della  velocità  per  la  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora  semplice. Laddove un’onda sonora composita è un insieme di sole onde che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, dovremo effettuare un distinguo tra aree di non sovrapposizione e aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici. Per le aree di non sovrapposizione tra onde sonore semplici, ci si può riferire alla precedente trattazione  in  merito  alla  percezione  della  velocità  per  la  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora semplice. Per le aree di sovrapposizione tra onde sonore semplici, valgono le seguenti considerazioni: 

La  velocità  di  variazione  dell’altezza  della  sensazione  uditiva  indotta  da  un’onda  sonora  composita ( VelA OSC ) è determinata dalla velocità di variazione della frequenza fondamentale dell’onda sonora stessa ( Velf OSC ); quanto più la frequenza fondamentale varia velocemente, tanto più l’altezza percepita varierà velocemente. Nel caso venga percepita un’unica altezza è possibile riferirsi alla trattazione sulla velocità  di variazione dell’altezza di una sensazione uditiva generata da un’onda sonora semplice.  Laddove si percepiscano altezze differenti è necessario fornire ulteriori precisazioni. Si  è  visto  in  precedenza  come  la  frequenza  fondamentale  dell’onda  sonora,  e  conseguentemente  l’altezza della sensazione uditiva da essa  indotta, possa variare  in  modo  discontinuo, oppure continuo. In presenza di sole variazioni di frequenza fondamentale di tipo discontinuo Δd, potremo allora valutare il numero n di tali variazioni (laddove più onde sonore semplici costituenti l’onda sonora composita varino la propria frequenza fondamentale in un medesimo istante,  potremo considerare un’unica  variazione) e  metterlo  in relazione con  l’intervallo di tempo  (misurato in secondi s) durante il quale le onde sonore semplici si manifestano simultaneamente, secondo la formula:

Velf OSC(nΔd)= n/s

36 La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione dell’altezza  in  presenza  di  sole  variazioni  di  altezza  di  tipo  discontinuo  percepite,  se  si  mettono in relazione il numero m di variazioni discontinue di altezza percepite con l’intervallo di tempo (misurato in secondi  s) durante il quale percepiamo che le onde sonore semplici si manifestano simultaneamente:

VelA OSC(mΔd)= m/s In presenza, per ciascuna delle k onde sonore semplici che variano la propria frequenza fondamentale in modo continuo, di sole n variazioni di tipo continuo Δc, ove ciascuna variazione è compresa tra due estremi A e B identificati dal cambiamento del senso di variazione della frequenza fondamentale, potremo, invece, mettere in relazione la variazione di frequenza fondamentale complessiva e  l’intervallo  di  tempo  (misurato  in  secondi  s) durante il quale le onde sonore semplici si manifestano simultaneamente, secondo la formula per determinare la velocità di variazione della frequenza fondamentale per un onda sonora semplice Velf OSS(nΔc). Sarà poi necessario sommare i valori così ottenuti per ciascuna delle k onde sonore semplici che variano la propria frequenza fondamentale in modo continuo e mettere in relazione il risultato così ottenuto con il numero k di queste stesse onde sonore, secondo la formula:

Velf OSC(kΔc)=∑k Velf OSS (nΔc)/k La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione di altezza in presenza di sole m variazioni di altezza di tipo continuo percepite per ciascuna delle j onde sonore semplici di cui percepiamo che varia in modo continuo la propria altezza, se si mettono in relazione la variazione di altezza complessiva percepita con il numero j di tali onde:

VelA OSC( jΔc)=∑jVelA OSS (mΔc)/j E’  evidente, però, che la frequenza di una singola onda sonora semplice può variare in modo sia continuo che discontinuo. Ed, inoltre, differenti onde sonore semplici possono variare in modo differente (continuo o discontinuo). In tal caso non è possibile proporre una misura unitaria, proprio per la differente natura delle variazioni in oggetto. 

La  velocità  di  variazione  del  volume  della  sensazione  uditiva  indotta  da  un’onda  sonora  composita ( VelV OSC )  è  determinata  dalla  velocità  di  variazione  dell’intensità  sonora dell’onda sonora stessa ( VelI OSC ); quanto più l’intensità sonora varia velocemente, tanto più  il volume percepito varierà velocemente. A tal proposito, è possibile riferirsi alla trattazione sulla velocità di variazione del volume di una sensazione uditiva generata da un’onda sonora  semplice.



La  velocità  di  variazione  della  provenienza  della  sensazione  uditiva  indotta  da  un’onda  sonora composita ( VelP OSC ) è determinata dalla velocità di variazione della posizione della sorgente  sonora  generatrice  dell’onda  sonora  stessa  nello  spazio  rispetto  all’ascoltatore  ( Velp OSC ); quanto più la posizione varia velocemente, tanto più la provenienza percepita varierà velocemente. Nel caso venga percepita un’unica sorgente sonora è possibile riferirsi alla trattazione sulla velocità  di  variazione  della  provenienza  di  una  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora semplice.

37 Laddove si percepiscano sorgenti sonore differenti è necessario fornire ulteriori precisazioni. Si è visto come la posizione nello spazio di una sorgente sonora rispetto all’ascoltatore possa  variare solo in modo continuo. In presenza, per ciascuna delle k sorgenti sonore che variano la propria posizione in modo continuo, di sole n variazioni di tipo continuo Δc, ove ciascuna variazione è compresa tra due estremi A e B identificati dal cambiamento del senso di variazione di una o più coordinate cartesiane atta a descriverne la posizione nello spazio, potremo, invece, mettere in relazione la variazione di posizione complessiva e  l’intervallo  di  tempo  (misurato in secondi s) durante il quale le onde sonore semplici si manifestano simultaneamente, secondo la formula per determinare la velocità di variazione della posizione per una singola sorgente sonora VelpOSS(nΔc). Sarà poi necessario sommare i valori così ottenuti per ciascuna delle k sorgenti sonore che variano la propria posizione in modo continuo e mettere in relazione il risultato così ottenuto con il numero k di queste stesse sorgenti sonore, secondo la formula:

VelpOSC(k Δc)=∑k VelpOSS(nΔc)/k La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione di provenienza in presenza di sole m variazioni di provenienza di tipo continuo percepite per ciascuna delle j sorgenti sonore generatrici delle onde sonore semplici di cui percepiamo che varia  in  modo  continuo  la  propria  posizione  nello  spazio  rispetto  all’ascoltatore,  se  si  mettono in relazione la variazione di provenienza complessiva percepita con il numero j di tali onde:

VelPOSC( jΔ c)=∑jVelPOSS (mΔc)/j 

La  velocità  di  variazione  del  timbro  della  sensazione  uditiva  indotta  da  un’onda  sonora  composita ( VelTi OSC ) è determinata dalla velocità di variazione della composizione spettrale ( Velcs OSC ); quanto più la composizione spettrale varia velocemente, tanto più il timbro percepito varierà velocemente. A tal proposito, è possibile riferirsi alla trattazione sulla velocità  di  variazione  del  timbro  di  una  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora  semplice.



La velocità di variazione della numerosità istantanea della sensazione uditiva indotta da un’onda sonora composita ( VelNi O SC ) è determinata dalla velocità di variazione del numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio ( Velni OSC ); quanto più il numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio varia velocemente, tanto più la numerosità istantanea percepita varierà velocemente. Si è visto in precedenza come il numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, e conseguentemente la numerosità istantanea della sensazione uditiva indotta dall’onda sonora composita, possa variare solo in modo discontinuo.  In presenza di variazioni del numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio di tipo discontinuo Δd, potremo allora valutare il numero n di  tali  variazioni  e  metterlo  in  relazione  con  l’intervallo  di  tempo  (misurato in secondi s) durante il quale le onde sonore semplici si manifestano simultaneamente, secondo la formula:

VelniOSC(nΔd)= n/s

38 La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione della numerosità istantanea in presenza di sole variazioni di numerosità istantanea di tipo discontinuo percepite, se si mettono in relazione il numero m di variazioni discontinue di numerosità istantanea percepite con l’intervallo di tempo (misurato in secondi  s) durante il quale percepiamo che le onde sonore semplici si manifestano simultaneamente:

VelNiOSC(mΔd)= m/s Se prendiamo in considerazione la velocità media di variazione di un determinato parametro oggettivo (e, conseguentemente, la velocità media di variazione del parametro soggettivo da esso determinato), essa sarà compresa in un campo delimitato da un lato dall’estremo del lento (velocità  tendente  a  0),    e,  dall’altro,  dall’estremo  del  veloce  (velocità  tendente  ad  infinito).  E’  opportuno  notare, quindi, come il campo di variazione della velocità media di variazione di un determinato parametro sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla velocità media di variazione di un determinato parametro, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti Infine, è possibile affermare che, se prendiamo in considerazione non la velocità media di variazione, bensì la velocità istantanea di variazione di un determinato parametro oggettivo (e, conseguentemente, la velocità istantanea di variazione del parametro soggettivo da esso determinato), essa può variare nel tempo (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente (accelerazione) o decrescente (decelerazione); secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche velocità e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di velocità, sarà sempre possibile percepirne la velocità minima e la velocità massima. Diversamente la velocità è costante. Inoltre, tali velocità istantanee saranno comprese in un campo delimitato,  da  un  lato,  dall’estremo  del  lento  (velocità  tendente  a  0)  e,  dall’altro,  dall’estremo  del  veloce  (velocità  tendente  all’infinito).  E’  opportuno notare, quindi, come il campo di variazione della velocità istantanea di variazione di un determinato parametro sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla velocità istantanea di variazione di un determinato parametro è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. Laddove  un’onda  sonora  composita  è  un  insieme  sia  di  onde  sonore  semplici  che  si  manifestano  consecutivamente, sia di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio, potremo comunque applicare le differenti considerazioni suesposte per le differenti casistiche. E’  doveroso  evidenziare  che  la  velocità  della  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora  composita, dunque, può dipendere dalla velocità di variazione non solo di un singolo parametro, ma anche di un insieme di parametri; ed in più, la velocità di variazione di ciascun parametro può essere differente. Ciò rende il confronto tra sensazioni sonore differenti assai complesso; come già visto in precedenza per il timbro, in caso di grandezze multidimensionali, è praticamente impossibile darne una misurazione precisa ed oggettiva. Ciò nonostante, le indicazioni precedenti possono essere un valido riferimento per la comprensione del fenomeno ed un valido strumento laddove sia un solo parametro a variare (in modo continuo o discontinuo) nel tempo. Proprio per la natura composita della velocità della sensazione uditiva generata da un’onda sonora  composita, risulta impossibile, esprimere valutazioni in merito alla variazione della stessa nel tempo. Ovvero, le precedenti considerazioni si potranno applicare efficacemente, solo nel caso in cui la sua variazione dipenda dalla variazione (continua o discontinua) di un unico parametro soggettivo. Diversamente, le indicazioni precedenti possono comunque essere un valido riferimento per la comprensione del fenomeno.

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3.La sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro (AS) Altezza In presenza di sole onde non periodiche, la percezione di altezza risulterà indefinita. In presenza di sole onde periodiche, e laddove nelle aree di sovrapposizione le onde sonore semplici abbiano frequenza fondamentale diversa, percepiremo diverse altezze definite e precise nelle aree di sovrapposizione, un’unica altezza definita e precisa altrove.   In presenza di sole onde periodiche, e laddove nelle aree di sovrapposizione le onde sonore semplici abbiano frequenza fondamentale simile, percepiremo  un’unica  altezza  definita  e  imprecisa  nelle  aree  di  sovrapposizione,  un’unica  altezza  definita  e  precisa  altrove.  E’  possibile  proporre  la  dicotomia precisa/imprecisa. In presenza di sole onde periodiche, e laddove nelle aree di sovrapposizione le onde sonore semplici abbiano medesima frequenza fondamentale, percepiremo un’unica altezza definita e precisa durante  l’intero accadimento sonoro. In questo caso, si può affermare che, in presenza di onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio caratterizzate da frequenze fondamentali costanti ma differenti tra loro o in corrispondenza  della  variazione  nel  tempo  della  frequenza  fondamentale  delle  stesse,  l’altezza  percepita varia (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche altezze e intervalli di tempo; in maniera ciclica (vibrato); casualmente. In presenza di una variazione di altezza, sarà comunque possibile identificare e collocare nel tempo l’altezza minima e massima dell’accadimento sonoro. Il campo di  variazione  dell’altezza  resta  compreso  tra  gli  opposti  limiti  di  udibilità.  Diversamente,  l’altezza  è  costante. In presenza di onde periodiche e non periodiche, percepiremo altezze di diversa natura: definite per le  onde  periodiche  e  indefinite  per  le  onde  non  periodiche.  E’  possibile  proporre  la  dicotomia  definita/indefinita.

Volume In presenza di onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio caratterizzate da intensità sonore costanti  ma differenti tra loro o in corrispondenza della  variazione  nel tempo dell’intensità  sonora delle stesse,  il volume dell’accadimento sonoro varia  (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici volumi e intervalli di tempo; in maniera ciclica (tremolo); casualmente. In presenza di una variazione di volume, sarà comunque possibile identificare e collocare nel tempo il volume minimo e  massimo  dell’accadimento  sonoro.  Il  campo  di  variazione  del  volume  resta  compreso  tra  le  opposte soglie di udibilità. Diversamente, il volume è costante.

Valore Dipende dalla durata dell’accadimento sonoro (ovvero  l’intervallo di tempo compreso tra l’istante  in  cui  la  prima  onda  sonora  ad  esso  appartenente  inizia  e  l’istante  in  cui  l’ultima  onda  sonora  ad  esso appartenente finisce). In particolare,  coincide con l’intervallo di tempo compreso tra l’istante  in cui un’onda sonora ad esso appartenente supera per prima la soglia di udibilità (inizio) e l’istante  in cui un’onda sonora ad esso appartenente scende per ultima al di sotto della suddetta soglia (fine). Per il resto è possibile riferirsi alla trattazione relativa al valore della sensazione uditiva generata da un’onda sonora semplice.

40 E’ inoltre possibile considerare il valore della sensazione uditiva generata dall’accadimento sonoro  come estremo del lungo nella scala volta a valutare il valore della sensazione uditiva generata da ciascuna onda sonora semplice percepita (vedasi  la trattazione  in  merito alla  numerosità dell’onda  sonora composita) o da ciascuna onda sonora semplice e/o composita intervallata da silenzio o da ciascun silenzio. E’  infine possibile  confrontare tra loro i  valori delle  sensazioni uditive generate da ciascuna onda  sonora semplice percepita (vedasi la trattazione in merito alla numerosità dell’onda sonora semplice  e composita) o da ciascuna onda sonora semplice e/o composita intervallata da silenzio o da ciascun silenzio al fine di ordinarle lungo la scala di misurazione.

Timbro Si percepirà un unico timbro comune a tutte le onde sonore  appartenenti  all’accadimento  sonoro  solo nel caso in cui esse abbiano composizione spettrale proporzionalmente identica (per esso è possibile proporre le dicotomie derivanti dal contenuto spettrale, o dall’inviluppo d’intensità sonora,  o dalla fonte sonora). Altrimenti si percepiranno timbri differenti, determinati dalle differenti composizioni spettrali delle singole onde sonore appartenenti all’accadimento sonoro (per ciascuno  di  essi  o  per  l’insieme  degli  stessi  è  possibile  proporre  le  dicotomie  derivanti dal contenuto spettrale, o dall’inviluppo d’intensità sonora, o dalla fonte sonora).

Provenienza Le differenti onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio possono essere generate da una o più sorgenti sonore distinte. In presenza di un’unica sorgente sonora, non è sempre vero che percepiremo un’unica provenienza.  Durante il silenzio che intervalla due onde sonore successive, infatti, la sorgente sonora può variare la  sua  posizione  nello  spazio  rispetto  all’ascoltatore.  Laddove  la  posizione iniziale e quella finale siano sufficientemente lontane (ovvero si trovino ad una distanza sufficientemente ampia), l’orecchio può essere ingannato, e percepire, dunque, provenienze differenti. In presenza di più sorgenti sonore differenti, non è sempre vero che percepiremo più provenienze distinte. E’ possibile affermare, infatti, che, se nell’istante finale di ciascuna onda sonora semplice  e/o composita, la sorgente sonora generatrice della stessa ha posizione nello spazio rispetto all’ascoltatore sufficientemente vicina alla posizione  nello  spazio rispetto all’ascoltatore che  ha  la  sorgente  sonora    generatrice  dell’onda  sonora  semplice  e/o  composita  successiva  nell’istante  iniziale  di  quest’ultima  (ovvero  se  la  distanza  tra  la  posizione  occupata  da  una sorgente sonora nell’istante finale dell’onda sonora semplice e/o composita da essa generata e la posizione occupata  da  un’altra  sorgente  sonora  nell’istante  iniziale  dell’onda  sonora  semplice  e/o  composita  da  essa  generata e successiva alla prima è minima) e, se nei momenti in cui le differenti onde sonore semplici si manifestano consecutivamente e nelle aree di sovrapposizioni tra onde sonore semplici, le  posizioni  nello  spazio  rispetto  all’ascoltatore  delle  differenti  sorgenti  sonore  generatrici  delle varie onde sonore semplici sono sufficientemente vicine (ovvero la distanza tra le relative posizioni nello  spazio  è    minima),  è  possibile  che  l’orecchio  venga  ingannato  e  percepisca  un’unica  provenienza. Laddove  venga  percepita  un’unica  provenienza,  per essa è possibile proporre le dicotomie sopra/sotto, a destra/a sinistra, davanti/dietro e lontana/vicina. Laddove vengano percepite più provenienze, per ciascuna di  esse e per  l’insieme delle  stesse è possibile proporre le  dicotomie sopra/sotto, a destra/a sinistra, davanti/dietro e lontana/vicina. In tal senso è possibile determinare il numero di provenienze percepite. In  definitiva  è  possibile  affermare  che,  laddove  venga  percepita  un’unica  provenienza,  essa  può  essere considerata come unica provenienza comune a tutte le onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio.

41 In questo caso, si può affermare che, in corrispondenza della variazione nel tempo della posizione nello spazio rispetto all’ascoltatore delle sorgenti sonore che generano le onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio, la provenienza varia in modo continuo secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche provenienze e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. Diversamente, la provenienza è costante.

Numerosità Relativamente alla numerosità istantanea valgono le seguenti considerazioni: Per quanto riguarda i silenzi che intervallano le diverse onde sonore, è possibile affermare che, in qualsivoglia istante, non percepiremo alcuna onda sonora; in tal caso la numerosità istantanea sarà nulla; tale numerosità nulla può essere presa come estremo inferiore della scala che misura il parametro in oggetto per l’accadimento sonoro. Infine,  è’  possibile  affermare  che,  se  prendiamo  in  considerazione  la  numerosità  istantanea della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro, essa può variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche numerosità istantanee e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di numerosità istantanea, sarà sempre possibile percepirne la numerosità istantanea minima e massima. Inoltre, tale numerosità istantanea sarà  compresa  in un  campo delimitato, da un  lato, dall’estremo  del non numeroso (nessuna onda sonora semplice percepita) e, dall’altro, dall’estremo del numeroso  (infinite onde sonore semplici percepite). E’ opportuno notare, quindi, come il campo di variazione di tale numerosità istantanea sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla suddetta numerosità, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. Relativamente alla numerosità complessiva valgono le seguenti considerazioni: La numerosità complessiva dell’accadimento sonoro sarà determinata dalla somma di tutte le onde  sonore semplici percepite durante l’intero valore della sensazione uditiva generata dall’accadimento  sonoro stesso e assume, dunque, un valore preciso. E’  inoltre  possibile  proporre una misura della numerosità complessiva della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro, basata sul numero di onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio percepite. E’  infine  possibile  proporre  una  misura  della  numerosità  complessiva della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro, basata sul numero di silenzi che intervallano le onde sonore semplici e/o composite percepiti. Qualsivoglia misura della numerosità complessiva sarà compresa in un campo delimitato da un lato dall’estremo  del  non  numeroso  (due  sole  onde  sonore  semplici  percepite  o  due  sole  onde  sonore  semplici  e/o composite  intervallate da  silenzi percepite o un solo silenzio percepito), e, dall’altro,  dall’estremo del numeroso (infinite onde sonore semplici percepite o infinite onde sonore semplici e/o  composite  intervallate  da  silenzi  percepite  o  infiniti  silenzi  percepiti).  E’  opportuno  notare,  quindi, come il campo di variazione della numerosità complessiva sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla suddetta numerosità complessiva è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti.

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Densità La densità Den è la proprietà della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro che permette  all’ascoltatore  di  qualificarla  come  densa  piuttosto  che  rada;  o  meglio  di  ordinare  due  o  più sensazioni uditive lungo una scala ai cui estremi stanno il denso ed il rado. La densità percepita della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro ( Denp AS) dipende dalla densità effettiva dell’accadimento sonoro stesso ( Dene AS). Per determinare la densità effettiva di un accadimento sonoro è possibile mettere in relazione la durata complessiva (misurata in secondi s) delle n onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio dc con la durata (misurata in secondi s)  dell’accadimento  sonoro  stesso,  secondo  la  formula: ∑n (sn) DeneAS(dc)= ———— s AS La formula precedente può essere utilizzata per determinare la densità percepita della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro , se si mettono in relazione il valore complessivo (misurato in secondi s) delle m onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio percepite vc con il valore (misurato in secondi s) dell’accadimento sonoro, secondo la formula: ∑m (sm) DenpAS(vc)= ———— s AS Tale  misura  di  densità  sarà  compresa  in  un  campo  delimitato  da  un  lato  dall’estremo  del  denso  (densità tendente ad 1),  e, dall’altro, dall’estremo del rado (densità tendente a 0). E’ inoltre possibile valutare la densità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro  anche solo in un determinato intervallo di tempo ad esso appartenente (dunque relazionando il valore complessivo delle onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio percepite, laddove  comprese  nell’intervallo  di  tempo  prescelto, con  l’intervallo  di  tempo  prescelto  stesso).  Laddove un accadimento sonoro venga diviso in più intervalli di tempo ad esso appartenenti, sarà possibile confrontare le misure di densità per ciascun intervallo di tempo. In tal senso, è possibile affermare che la densità può variare nel tempo (in modo discontinuo) in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche densità e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di densità, sarà sempre possibile percepirne la densità minima e la densità massima. Inoltre, la variazione di tale densità sarà compresa in un campo delimitato, da un lato, dall’estremo del denso (densità tendente ad 1) e,  dall’altro, dall’estremo del rado (densità tendente a 0).

Velocità La velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro dipende da tre fattori distinti: 1. la velocità percepita cui si susseguono le differenti onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio ( VelOp AS). Questa dipende, a sua volta, dalla velocità effettiva cui si susseguono le differenti onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio

43 ( VelOe AS).  E’  opportuno  precisare  che  prenderemo  in  considerazione  non  la  velocità  istantanea (che può assumere valori sempre differenti nel tempo), bensì la velocità media. Per determinare quest’ultima, dovremo innanzitutto calcolare tale numero  n di onde sonore. Andremo poi a mettere in relazione il numero così determinato con la durata (misurata in secondi s)  dell’accadimento sonoro stesso, secondo la formula: 

VelOe AS = n/s La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità percepita cui si susseguono le differenti onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio, se si mettono in relazione il numero m delle stesse con il valore (misurato in secondi s) dell’accadimento sonoro stesso, secondo la formula:

VelOpAS = m/s Tale  misura  di  velocità  sarà  compresa  in  un  campo  delimitato  da  un  lato  dall’estremo  del  veloce (velocità tendente ad infinito),  e, dall’altro, dall’estremo del lento (velocità tendente a  0).  E’  opportuno  notare,  quindi,  come  il  campo  di  variazione  di  tale  velocità    sia  sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro, in questa accezione, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. In base a questa formula, è possibile valutare la velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro anche solo in un determinato intervallo di tempo ad esso appartenente (dunque relazionando il numero di onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio percepite, laddove comprese  nell’intervallo di tempo prescelto, con l’intervallo di tempo prescelto stesso). Laddove un accadimento sonoro venga diviso in più intervalli di tempo ad esso appartenenti, sarà possibile confrontare le misure di velocità per ciascun intervallo di tempo. In tal senso, è possibile affermare che la velocità può variare nel tempo (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente (accelerazione) o decrescente (decelerazione); secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche velocità e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di velocità, sarà sempre possibile percepirne la velocità minima e la velocità massima. Inoltre, la variazione di tale velocità sarà compresa in un campo delimitato, da un lato, dall’estremo  del  veloce  (velocità  tendente  ad  infinito)  e,  dall’altro,  dall’estremo  del  lento  (velocità  tendente a 0). Diversamente la velocità è costante. 2. La velocità di variazione della numerosità istantanea della sensazione uditiva indotta da un accadimento sonoro ( VelNi AS). Questa dipende, a sua volta, dalla velocità di variazione del numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un medesimo punto dello spazio ( Velni AS); quanto più il numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un medesimo punto dello spazio varia velocemente, tanto più la numerosità  istantanea  della  sensazione  uditiva  indotta  dall’accadimento  sonoro  varierà  velocemente.  E’  opportuno  precisare che prenderemo in considerazione non la velocità istantanea di variazione (che può assumere valori sempre differenti nel tempo), bensì la velocità media. Si è visto in precedenza come il numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un medesimo punto dello spazio, e conseguentemente la numerosità

44 istantanea della  sensazione  uditiva  indotta  dall’accadimento  sonoro,  possa  variare  solo  in  modo discontinuo. In presenza di sole variazioni del numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio di tipo discontinuo Δd, potremo allora valutare il numero n di tali variazioni e metterlo in relazione con la durata (misurata in secondi s) dell’accadimento sonoro, secondo la formula:

Velni AS(nΔd)= n/s La formula precedente può essere utilizzata per determinare la velocità di variazione della numerosità istantanea in presenza di sole variazioni di numerosità istantanea di tipo discontinuo percepite, se si mettono in relazione il numero m di variazioni discontinue di numerosità istantanea percepite con il valore (misurato in secondi s) della sensazione uditiva generata dall’accadimento sonoro:

VelNi AS(mΔd)= m/s Tale  misura  di  velocità  sarà  compresa  in  un  campo  delimitato  da  un  lato  dall’estremo  del  veloce (velocità tendente ad infinito),  e, dall’altro, dall’estremo del lento (velocità tendente  a  0).  E’  opportuno  notare,  quindi,  come  il  campo  di  variazione di tale velocità sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro, in questa accezione, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. E’ inoltre possibile affermare che, se prendiamo in considerazione non la velocità media di  variazione, bensì la velocità istantanea di variazione del numero di onde sonore semplici che si manifestano simultaneamente in un determinato punto dello spazio (e, conseguentemente,  la  velocità  istantanea  di  variazione  della  numerosità  “istantanea”),  essa  può variare nel tempo (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente (accelerazione) o decrescente (decelerazione); secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche velocità e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di velocità, sarà sempre possibile percepirne la velocità minima e la velocità massima. Diversamente la velocità è costante. Inoltre, tale velocità istantanea sarà compresa in  un  campo  delimitato,  da  un  lato,  dall’estremo del lento (velocità tendente a 0) e, dall’altro,  dall’estremo  del  veloce  (velocità  tendente  all’infinito).  E’  opportuno  notare,  quindi, come il campo di variazione della velocità istantanea di variazione di tale parametro sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla velocità istantanea di variazione del suddetto parametro è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. 3. la velocità della sensazione uditiva generata da ciascuna onda semplice e/o composita intervallata da silenzio percepita (vedasi la trattazione precedente sulla velocità della sensazione uditiva generata dall’onda sonora semplice e dall’onda sonora composita).  A tal riguardo, è possibile affermare che, laddove la velocità della sensazione uditiva di ognuna delle m onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzi percepite dipenda dalla velocità di variazione (continua o discontinua) di un solo parametro soggettivo, è possibile  affermare  che  la  velocità  della  sensazione  uditiva  generata  dall’accadimento  sonoro dipende dalla velocità di variazione (continua o discontinua) di tale parametro soggettivo.  E’  opportuno  precisare  che  prenderemo  in  considerazione  non  la  velocità istantanea di variazione (che può assumere valori sempre differenti nel tempo), bensì la

45 velocità  media.  Per  determinare  quest’ultima,  è  possibile  mettere  in  relazione  la  somma  delle velocità di variazione di tale parametro soggettivo per ciascuna delle m onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzi percepite con il numero di onde sonore percepite stesse, secondo la formula : ∑m ( Vel m) Vel AS (VelOSC;VelOSS) = ————— m In corrispondenza della variazione di velocità istantanea di tale singolo parametro soggettivo, è possibile affermare che la velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro varia nel tempo (in modo continuo o discontinuo) in senso crescente (accelerazione) o decrescente (decelerazione); secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche velocità e intervalli di tempo; in maniera ciclica; casualmente. In presenza di una variazione di velocità , sarà sempre possibile percepirne la velocità minima e la velocità massima. Inoltre, la variazione di tale velocità sarà compresa in un campo delimitato,  da  un  lato,  dall’estremo  del  veloce  (velocità  tendente  ad  infinito)  e,  dall’altro,  dall’estremo del lento (velocità tendente a 0). E’ opportuno notare, quindi, come il campo di variazione della velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro complessivo sia sostanzialmente infinito. Per tale ragione, è doveroso precisare che la valutazione relativa alla velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro, è necessariamente di tipo comparativo, ovvero deriva dal confronto tra due o più sensazioni uditive differenti. Invece, laddove la velocità della sensazione uditiva di ognuna delle m onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzi percepite dipenda dalla velocità di variazione di più parametri soggettivi oppure di un solo parametro differente per ciascuna di esse, risulta impossibile, esprimere valutazioni in merito alla velocità della sensazione uditiva generata dall’accadimento e, di conseguenza, alla sua variazione nel tempo. Ovvero, le precedenti considerazioni si potranno applicare efficacemente, solo nel caso in cui la sua variazione dipenda dalla variazione (continua o discontinua) di un unico parametro soggettivo. Diversamente, le indicazioni precedenti possono comunque essere un valido riferimento per la comprensione del fenomeno. In definitiva è opportuno sottolineare come la velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro dipenda da più fattori differenti tra loro. Pur non essendo dunque possibile pervenire ad una sua misurazione puntuale, le indicazioni precedenti possono comunque essere un valido riferimento per la comprensione del fenomeno.

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I V. D ESC R I T T O R I 1.Onda sonora semplice Descrittori dell’altezza Laddove  in  un  determinato  intervallo  di  tempo  venga  percepita  un’altezza  definita,  si  possono  considerare i seguenti descrittori della dicotomia acuta/grave: Direzione: è possibile verificare se l’altezza è costante oppure varia nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche altezze e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Estensione: è possibile verificare se l’altezza è costante (estensione nulla), varia “poco” (estensione  stretta),  varia  “tanto”  (estensione  ampia),  varia  lungo  l’intero  campo  di  udibilità  (estensione  massima); tra i due estremi  si  colloca  l’estensione  media.  L’estensione  in  altezza  può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche estensioni e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Registro:  è  possibile  verificare  se  l’altezza  si  colloca  prevalentemente  verso  l’estremo  del  grave  (registro grave) piuttosto che verso quello dell’acuto (registro acuto). Tra i due estremi si colloca il  registro medio. E’ inoltre possibile combinare i registri precedenti al fine di individuare il registro  medio-grave e quello medio-acuto. Risulta evidente che, al fine di individuare un registro specifico, è necessario che l’altezza non abbia un’estensione eccessivamente ampia. Il registro in altezza può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici registri e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Laddove in un determinato intervallo di tempo venga percepita un’altezza indefinita, possono essere considerati i descrittori di direzione, estensione e registro della dicotomia definita/indefinita (natura dell’altezza).

Descrittori del volume Si possono considerare i seguenti descrittori della dicotomia forte/piano: Direzione: è possibile verificare se il volume è costante oppure varia nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici volumi e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Estensione:  è  possibile  verificare  se  il  volume  è  costante  (estensione  nulla),  varia  “poco”  (estensione  stretta),  varia  “tanto”  (estensione  ampia),  varia  lungo  l’intero campo compreso tra la soglia di udibilità e la soglia del dolore (estensione massima); tra i due estremi si colloca l’estensione  media. L’estensione  in  volume può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche estensioni e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Registro: è possibile verificare  se  il  volume  si  colloca  prevalentemente  verso  l’estremo  del  forte  (registro forte) piuttosto che verso quello del debole (registro debole). Tra i due estremi si colloca il registro medio. E’ inoltre possibile combinare i registri precedenti al fine di individuare il registro medio-forte e quello medio-debole. Risulta evidente che, al fine di individuare un registro specifico,

47 è necessario che il volume non abbia un’estensione eccessivamente ampia. Il registro in volume può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici registri e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale.

Descrittori del valore Il valore della sensazione uditiva generata da un’onda sonora semplice assume un valore preciso.

Descrittori del timbro Si è visto in precedenza come il timbro, per sua natura, non possa essere definito secondo un’unica  dimensione, né in qualche maniera misurato, discretizzato o collocato lungo una scala di misurazione. Si sono proposte, invece, una pluralità di dicotomie che sopperissero a tale intrinseca difficoltà; si possono allora considerare i descrittori di direzione, estensione e registro delle dicotomie derivanti dalla composizione spettrale (chiaro/scuro, caldo/freddo, pulito/sporco, spesso/sottile, duro/morbido, statico/dinamico, vuoto/pieno, puro/impuro, ricco/povero, aperto/chiuso), o dall’inviluppo  d’intensità  sonora  (percussivo/sostenuto,  stazionario/variabile,  pulsante/continuo), o dalla fonte sonora (naturale/sintetico, acustico/elettrico, analogico/digitale, legnoso/metallico).

Descrittori della provenienza Si possono considerare i descrittori di direzione, estensione e registro delle dicotomie sopra/sotto, a destra/a sinistra, davanti/dietro (direzione della provenienza) e lontana/vicina (distanza della provenienza).

Descrittori della numerosità La numerosità della sensazione uditiva  generata  da  un’onda  sonora  semplice  assume  un  valore  preciso.

Descrittori della velocità Si  è  visto  in  precedenza  come  la  velocità  della  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora  semplice, dipenda dalla velocità di variazione di molteplici parametri. Si è sostenuto come, in presenza di una variazione di più parametri, sia sostanzialmente impossibile addivenire ad una valutazione precisa di tale velocità e, di conseguenza, a valutarne la variazione nel tempo (mentre resta possibile, invece, valutare la velocità di variazione dei singoli parametri coinvolti). Si è anche sostenuto come, laddove a variare, in modo continuo o discontinuo, sia un solo parametro (tra altezza, volume, timbro e provenienza), la velocità di variazione di tale parametro possa essere identificata  con  la  velocità  della  sensazione  uditiva  generata  dall’onda  sonora  semplice.  In  questo  caso si possono considerare i seguenti descrittori della dicotomia veloce/lento: Direzione: è possibile verificare se la velocità è costante oppure varia nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche velocità e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Estensione:  è  possibile  verificare  se  la  velocità  è  costante  (estensione  nulla),  varia  “poco”  (estensione  stretta),  varia  “tanto”  (estensione  ampia),  varia  lungo  l’intero  campo  compreso  tra  l’assenza  di  variazione  e  la variazione infinita (estensione massima); tra i due estremi si colloca

48 l’estensione media. L’estensione in velocità può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche estensioni e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Registro: è possibile verificare se la velocità si colloca prevalentemente verso l’estremo del veloce  (registro veloce) piuttosto che verso quello del lento (registro lento). Tra i due estremi si colloca il registro medio. E’ inoltre possibile combinare i registri precedenti al fine di individuare il registro  medio-veloce e quello medio-lento. Risulta evidente che, al fine di individuare un registro specifico, è  necessario  che  la  velocità  non  abbia  un’estensione  eccessivamente  ampia.  Il  registro  in  velocità  può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici registri e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale.

2.Onda sonora composita Descrittori dell’altezza Laddove  in  un  determinato  intervallo  di  tempo  venga  percepita  un’altezza  indefinita,  si  possono  considerare i descrittori di direzione, estensione e registro della dicotomia definita/indefinita. Laddove in un determinato  intervallo  di  tempo  venga  percepita  un’unica  altezza  definita  ma  imprecisa a causa dei battimenti, si possono considerare i descrittori di direzione, estensione e registro delle dicotomie acuta/grave e precisa/imprecisa (precisione dell’altezza).  Laddove in un determinato intervallo di tempo venga percepita un’unica altezza definita e precisa o  vengano percepite contemporaneamente più altezze definite e precise differenti si possono considerare i descrittori di direzione, estensione e registro della dicotomia acuta/grave per ciascuna delle altezze percepite e per l’insieme delle stesse, considerate complessivamente.

Descrittori del volume E’ possibile riferirsi alla trattazione relativa ai descrittori del volume per un onda sonora semplice.

Descrittori del valore Il valore della sensazione uditiva generata da’un onda sonora composita assume un valore preciso. Se consideriamo, però, i valori delle sensazioni uditive generate dalle diverse onde sonore semplici che costituiscono l’onda sonora composita, e li confrontiamo con il valore della sensazione uditiva generata  dall’onda  sonora  composita,  oppure  tra  loro,  si  possono  considerare  i  descrittori  di  direzione, estensione e registro della dicotomia lungo/breve: Direzione: è possibile verificare se il valore è costante oppure varia nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici valori e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Estensione: è possibile verificare se il valore è costante (estensione nulla), varia “poco” (estensione  stretta), varia “tanto” (estensione ampia), varia lungo l’intero campo compreso tra la durata tendente a  0  e  la  durata  dell’onda  sonora  composita  (estensione  massima);  tra  i  due  estremi  si  colloca  l’estensione  media.  L’estensione  in  valore  può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche estensioni e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale

49

Registro: è possibile verificare se il valore  si  colloca  prevalentemente  verso  l’estremo  del  breve  (registro breve) piuttosto che verso quello del lungo (registro lungo). Tra i due estremi si colloca il registro medio. E’ inoltre possibile combinare i registri precedenti al fine di individuare il registro medio-breve e quello medio-lungo. Risulta evidente che, al fine di individuare un registro specifico, è necessario che il valore non abbia un’estensione eccessivamente ampia. Il registro in valore può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici registri e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Descrittori del timbro Laddove in un determinato intervallo di tempo venga percepito un unico timbro o vengano percepiti consecutivamente più timbri differenti, potremo considerare i descrittori relativi al timbro di un’onda  sonora  semplice  per  ciascun  timbro  percepito  e  per  l’insieme  degli  stessi,  considerati  complessivamente. Laddove in un determinato intervallo di tempo vengano percepiti contemporaneamente più timbri differenti,  potremo  considerare  i  descrittori  relativi  al  timbro  di  un’onda semplice per ciascun timbro percepito e per l’insieme degli stessi, considerati complessivamente.

Descrittori della provenienza Laddove  in  un  determinato  intervallo  di  tempo  venga  percepita  un’unica  provenienza  o  vengano  percepite consecutivamente più provenienze differenti, potremo considerare i descrittori relativi alla provenienza  di  un’onda  sonora  semplice  per  ciascuna  provenienza  percepita  e  per  l’insieme  delle  stesse, considerate complessivamente. Laddove in un determinato intervallo di tempo vengano percepite contemporaneamente più provenienze differenti, potremo considerare i descrittori della provenienza di un’onda semplice per  ciascuna delle provenienze percepite e per l’insieme delle stesse, considerate complessivamente. 

Descrittori della numerosità Riferendoci alla numerosità istantanea, si possono considerare i seguenti descrittori della dicotomia numeroso/non numeroso: Direzione: è possibile verificare se la numerosità è costante oppure varia nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche numerosità e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Estensione: è possibile  verificare  se  la  numerosità  è  costante  (estensione  nulla),  varia  “poco”  (estensione stretta), varia “tanto” (estensione ampia), varia lungo l’intero campo compreso tra il non  numeroso, in questo caso una sola onda sonora semplice percepita, ed il numeroso, in questo caso infinite onde sonore semplici percepite (estensione massima); tra i due estremi si colloca l’estensione  media.  L’estensione  in  numerosità  può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche estensioni e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale Registro: è possibile verificare  se  la  numerosità  si  colloca  prevalentemente  verso  l’estremo  del  numeroso (registro numeroso) piuttosto che verso quello del non numeroso (registro non numeroso). Tra i due  estremi si  colloca  il registro medio. E’  inoltre possibile combinare  i registri precedenti al fine di individuare il registro medio-numeroso e quello medio-non numeroso. Risulta evidente che, al fine di individuare un registro specifico, è necessario che la numerosità non abbia

50 un’estensione  eccessivamente  ampia.  Il  registro  in  numerosità può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici registri e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Tali  descrittori  possono,  inoltre,  essere  applicati  anche  alla  numerosità  “istantanea”  di  altezze,  timbri e provenienze percepite. La numerosità complessiva della sensazione uditiva generata da un’onda sonora composita assume  un valore preciso.

Descrittori della velocità Si  è  visto  in  precedenza  come  la  velocità  della  sensazione  uditiva  generata  da  un’onda  sonora  composita, dipenda dalla velocità di variazione di molteplici parametri. Si è sostenuto come, in presenza di una variazione di più parametri, sia sostanzialmente impossibile addivenire ad una valutazione precisa di tale velocità e, di conseguenza, a valutarne la variazione nel tempo (mentre resta possibile, invece, valutare la velocità di variazione dei singoli parametri coinvolti). Si è anche sostenuto come, laddove a variare, in modo continuo o discontinuo, sia un solo parametro (tra altezza, volume, timbro, provenienza e numerosità istantanea), la velocità di variazione di tale parametro  possa  essere  identificata  con  la  velocità  della  sensazione  uditiva  generata  dall’onda  sonora composita. Si possono allora considerare i descrittori di direzione, estensione e registro della dicotomia veloce/lento.

3.Accadimento sonoro Descrittori dell’altezza E’ possibile riferirsi alla trattazione relativa ai descrittori dell’altezza per un onda sonora composita.

Descrittori del volume E’ possibile riferirsi alla trattazione relativa ai descrittori del volume per un onda sonora semplice.

Descrittori del valore Il valore della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro assume un valore preciso. Se consideriamo, però, i valori delle diverse onde sonore semplici o i valori delle diverse onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio, o i valori dei silenzi, e li confrontiamo con il valore  dell’accadimento  sonoro,  oppure  tra  loro,  si  possono  applicare  i  descrittori  di  direzione,  estensione e registro della dicotomia lungo/breve

Descrittori del timbro E’ possibile riferirsi alla trattazione relativa ai descrittori del timbro per un onda sonora composita.

Descrittori della provenienza E’  possibile  riferirsi  alla  trattazione  relativa  ai  descrittori  della  provenienza  per  un  onda  sonora  composita.

51

Descrittori della numerosità E’  possibile  riferirsi  alla  trattazione  relativa  ai  descrittori  della  numerosità  per  un  onda  sonora  composita.

Descrittori della densità Si possono considerare i seguenti descrittori della dicotomia denso/rado: Direzione: è possibile verificare se la densità è costante oppure varia nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche densità e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Estensione:  è  possibile  verificare  se  la  densità  è  costante  (estensione  nulla),  varia  “poco”  (estensione  stretta),  varia  “tanto”  (estensione  ampia),  varia  lungo  l’intero  campo  compreso  tra  la densità tendente a 0 e la densità pari a 1 (estensione massima); tra i due estremi si colloca l’estensione  media. L’estensione  in  densità può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifiche estensioni e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale. Registro: è possibile verificare se la densità si colloca  prevalentemente  verso  l’estremo  del  denso  (registro denso) piuttosto che verso quello del rado (registro rado). Tra i due estremi si colloca il registro medio. E’ inoltre possibile combinare i registri precedenti al fine di individuare il registro  medio-denso e quello medio-rado. Risulta evidente che, al fine di individuare un registro specifico, è necessario che la densità non abbia un’estensione eccessivamente ampia. Il registro in densità può essere costante oppure variare nel tempo in senso crescente o decrescente; secondo una curva di inviluppo caratterizzata da diverse fasi (tipicamente per esemplificare: attacco, decadimento, tenuta, rilascio) identificate da specifici registri e intervalli di tempo; in maniera ciclica e regolare; in modo casuale.

Descrittori della velocità Come precedentemente appurato, la velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro dipende da una pluralità di fattori. Anche in questo caso, perciò, non ci resta che ammettere la sostanziale impossibilità di addivenire ad una definizione puntuale di tale velocità e, di conseguenza, di valutarne la variazione nel tempo. Al massimo è possibile valutare la velocità dei singoli fattori coinvolti. Per quanto riguarda la velocità alla quale si susseguono le differenti onde sonore semplici e/o composite intervallate da silenzio percepite, si possono considerare i descrittori di direzione, estensione e registro della dicotomia lento/veloce. Per quanto riguarda la velocità di variazione della numerosità “istantanea” della sensazione uditiva  indotta da un accadimento sonoro complessivo, si possono considerare i descrittori di direzione, estensione e registro della dicotomia lento/veloce. Per quanto riguarda la velocità della sensazione uditiva generata da ciascuna onda semplice e/o composita  intervallata  da  silenzio  costituente  l’accadimento  sonoro,  si  è  visto  come,  solo  laddove  essa dipenda dalla velocità di variazione (continua o discontinua) di un solo parametro soggettivo, sia possibile affermare che la velocità della  sensazione  uditiva  generata  dall’accadimento  sonoro  dipende dalla velocità di variazione (continua o discontinua) di tale parametro soggettivo, e sia dunque possibile determinare la velocità della sensazione uditiva generata da un accadimento sonoro nonchè valutarne la variazione nel tempo. In tal caso si possono considerare i descrittori di direzione, estensione e registro della dicotomia lento/veloce.

52

V. T A V O L E R I ASSU N T I V E 1.Onda sonora semplice Proprietà della sensazione uditiva

Altezza

Volume

Valore

Timbro

Provenienza

Grandezza fisica determinante

Frequenza

Intensità sonora Frequenza

Durata

Composizione spettrale Intensità sonora

Posizione

Dicotomie

acuto/grave definita/indefinita

forte/debole

lungo/breve

Descrittori

Direzione Estensione Registro

Direzione Estensione Registro

Assume valore preciso

chiaro/scuro caldo/freddo pulito/sporco spesso/sottile duro/morbido statico/dinamico vuoto/pieno puro/impuro ricco/povero aperto/chiuso percussivo/sostenuto stazionario/variabile pulsante/continuo naturale/sintetico acustico/elettrico analogico/digitale legnoso/metallico suono/rumore Direzione Estensione Registro

sopra/sotto destra/sinistra davanti/dietro lontana/vicina

Direzione Estensione Registro

53

n° altezze percepite simultaneamente

Numerosità istantanea n° OSS percepite simultaneamente n° timbri percepiti simultaneamente

n° provenienze percepite simultaneamente

Frequenza

n° OSS che si manifestano simultaneamente Composizione spettrale

Posizione

numeroso/non numeroso

Assume valore preciso

54

n° altezze percepite in un intervallo di tempo

Frequenza

Numerosità complessiva n° OSS percepite in un intervallo di tempo n° timbri percepiti in un intervallo di n° provenienze percepite in un tempo intervallo di tempo n° OSS che si manifestano in un intervallo di tempo Composizione spettrale Posizione numeroso/non numeroso

Assume valore preciso

n° volumi percepiti in un intervallo di tempo

Intensità sonora

55

Velocità variazione altezza Altezza Valore Velocità variazione frequenza Frequenza Durata

Velocità variazione volume Volume Valore Velocità variazione intensità sonora Intensità sonora Durata

Velocità Velocità variazione provenienza Provenienza Valore Velocità variazione posizione Posizione durata veloce/lento

Direzione Estensione Registro

Velocità variazione timbro Timbro Valore Velocità variazione composizione spettrale Composizione spettrale Durata

56

2.Onda sonora composita Proprietà della sensazione uditiva

Altezza

Volume

Valore

Timbro

Provenienza

Grandezza fisica determinante

Frequenza

Intensità sonora Frequenza

Durata

Composizione spettrale Intensità sonora

Posizione

Dicotomie

acuto/grave definita/indefinita precisa/imprecisa

forte/debole

lungo/breve

Descrittori

Direzione Estensione Registro

Direzione Estensione Registro

Direzione Estensione Registro

chiaro/scuro caldo/freddo pulito/sporco spesso/sottile duro/morbido statico/dinamico vuoto/pieno puro/impuro ricco/povero aperto/chiuso percussivo/sostenuto stazionario/variabile pulsante/continuo naturale/sintetico acustico/elettrico analogico/digitale legnoso/metallico suono/rumore Direzione Estensione Registro

sopra/sotto destra/sinistra davanti/dietro lontana/vicina

Direzione Estensione Registro

57

n° altezze percepite simultaneamente

Numerosità istantanea n° OSS percepite simultaneamente n° timbri percepiti simultaneamente

n° provenienze percepite simultaneamente

Frequenza

n° OSS che si manifestano simultaneamente Composizione spettrale

Posizione

numeroso/non numeroso

Direzione Estensione Registro

58

n° altezze percepite in un intervallo di tempo

Frequenza

Numerosità complessiva n° OSS percepite in un intervallo di tempo n° timbri percepiti in un intervallo di n° provenienze percepite in un intervallo di tempo tempo n° OSS che si manifestano in un intervallo di tempo Composizione spettrale Posizione numeroso/non numeroso

Assume valore preciso

n° volumi percepiti in un intervallo di tempo

Intensità sonora

59

Velocità variazione numerosità istantanea Velocità variazione n° OSS percepite simultaneamente n° altezze/timbri/provenienze percepite simultaneamente Velocità variazione n° OSS che si manifestano simultaneamente Frequenza/Composizione spettrale/Posizione

Velocità Velocità variazione altezza Velocità variazione volume Velocità variazione provenienza

Velocità variazione timbro

Altezza

Volume

Provenienza

Timbro

Valore Velocità variazione frequenza

Valore Velocità variazione intensità sonora

Valore Velocità variazione posizione

Valore Velocità variazione composizione spettrale

Posizione Durata

Composizione spettrale Durata

Frequenza Durata

Intensità sonora Durata temporale veloce/lento

Direzione Estensione Registro

60

3.Accadimento sonoro Proprietà della sensazione uditiva

Altezza

Volume

Valore

Timbro

Provenienza

Grandezza fisica determinante

Frequenza

Intensità sonora Frequenza

Durata

Composizione spettrale Intensità sonora

Posizione

Dicotomie

acuto/grave definita/indefinita pecisa/imprecisa

forte/debole

lungo/breve

Descrittori

Direzione Estensione Registro

Direzione Estensione Registro

Direzione Estensione Registro

chiaro/scuro caldo/freddo pulito/sporco spesso/sottile duro/morbido statico/dinamico vuoto/pieno puro/impuro ricco/povero aperto/chiuso percussivo/sostenuto stazionario/variabile pulsante/continuo naturale/sintetico acustico/elettrico analogico/digitale legnoso/metallico suono/rumore Direzione Estensione Registro

sopra/sotto destra/sinistra davanti/dietro lontana/vicina

Direzione Estensione Registro

61

n° altezze percepite simultaneamente

Frequenza

Numerosità istantanea n° OSS percepite simultaneamente n° timbri percepiti simultaneamente n° provenienze percepite simultaneamente n° OSS che si manifestano simultaneamente Composizione spettrale numeroso/non numeroso

Direzione Estensione Registro

Posizione

62

n° altezze percepite in un intervallo di tempo

Frequenza

Numerosità complessiva n° OSS percepite in un intervallo di tempo n° timbri percepiti in un intervallo n° provenienze percepite in un intervallo di tempo di tempo n° OSS che si manifestano in un intervallo di tempo Composizione spettrale Posizione numeroso/non numeroso

Assume valore preciso

n° volumi percepiti in un intervallo di tempo

Intensità sonora

63

Numerosità complessiva (segue) n° OSS e OSC intervallate da silenzi percepite in un intervallo di tempo

n° OSS e OSC intervallate da silenzi che si manifestano in un intervallo di tempo

Densità n° silenzi percepiti in un intervallo di tempo

n° silenzi in un intervallo di tempo

Densità percepita Valore Densità effettiva Durata

numeroso/non numeroso

denso/rado

Assume valore preciso

Direzione Estensione Registro

64

Velocità Velocità percepita OSS e OSC intervallate da silenzi n° OSS e OSC intervallate da silenzi percepite in un intervallo di tempo Valore Velocità effettiva OSS e OSC intervallate da silenzi n° OSS e OSC intervallate da silenzi che si manifestano in un intervallo di tempo Durata veloce/lento

Direzione Estensione Registro

Velocità variazione numerosità istantanea Velocità variazione n° OSS percepite simultaneamente n° altezze/timbri/provenienze percepite simultaneamente Velocità variazione n° OSS che si manifestano simultaneamente Frequenza/Composizione spettrale/Posizione

65

Velocità variazione altezza Altezza Valore Velocità variazione frequenza Frequenza Durata

Velocità (segue) Velocità variazione Velocità variazione volume provenienza Volume Provenienza Valore Valore Velocità variazione intensità sonora Velocità variazione posizione Intensità sonora Posizione Durata Durata veloce/lento

Direzione Estensione Registro

Velocità variazione timbro Timbro Valore Velocità variazione composizione spettrale Composizione spettrale Durata

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67

PARTE SECONDA

L’ORGANIZZAZIONE  DELL’ALTEZZA

68

69

I. PR E M ESSA In base alla prima parte del testo, possiamo trarre alcune importanti conclusioni in merito all’altezza  della sensazione uditiva generata da un’onda sonora:    

 



può essere più o meno definita; si è visto come, in sostanza, solo in presenza di onde sonore periodiche, sia possibile percepire un’altezza definita.  può essere più o meno precisa; si è visto come, infatti, solo in assenza di battimenti tra onde sonore, sia possibile percepire un’altezza precisa.  dipende, laddove sia definita, dalla frequenza fondamentale dell’onda  sonora  generante  la  sensazione uditiva stessa; per essere percepita, tale frequenza deve essere compresa nel campo di udibilità. è di natura comparativa; ovvero, l’ascoltatore non è in grado di addivenire alla misurazione  puntuale di una singola altezza attraverso la sua traduzione in una frequenza specifica, ma ha la capacità di confrontare altezze differenti e di ordinarle lungo una scala ai cui estremi stanno  l’acuto  ed  il  grave;  in  altri  termini,  ciascuna  altezza  acquisisce  un  significato  per  l’ascoltatore solo mettendola in relazione con altre altezze. è percepita in via logaritmica; ovvero, due distinte variazioni di frequenza vengono percepite come uguali se è identico il rapporto (e non la differenza) delle frequenze iniziali e finali di ciascuna variazione. può variare, in corrispondenza di una variazione della frequenza, in maniera discontinua oppure continua; in entrambi i casi, potremo prendere in considerazione, al fine di valutarne la variazione, le due o più altezze differenti, corrispondenti a differenti frequenze, che rappresentano gli estremi della variazione stessa. può  essere  descritta,  in  corrispondenza  della  frequenza  fondamentale  dell’onda  sonora  generante la sensazione uditiva stessa, da una funzione continua nell’intervallo compreso tra gli opposti limiti di udibilità; ovvero può assumere infiniti valori, in corrispondenza degli infiniti valori assunti dalla frequenza fondamentale all’interno del “continuum” di frequenze  appartenenti al campo di udibilità; dato che l’uomo è in grado di percepire, comprendere ed organizzare solo un numero finito, e possibilmente limitato, di elementi, è opportuno “discretizzare”  tale  continuum,  ovvero  determinare  quali  frequenze,  tenere  in  considerazione. Tale intendimento è realizzato attraverso i sistemi di intonazione.

Nella seguente trattazione si inizierà, dunque, col definire i sistemi di intonazione ed enunciarne le proprietà;  si  analizzerà,  in  seguito,  il  significato  assunto  dall’altezza  della  sensazione  uditiva  nell’ambito di tali sistemi; infine, si esporranno le opportune modalità di organizzare tale altezza.

70

I I. SIST E M I D I I N T O N A Z I O N E 1.Definizione Si  definisce  “sistema  di  intonazione”  una  disposizione  (ovvero  un  insieme  ordinato  dal  grave  all’acuto)  di  frequenze  organizzate  in  cicli  (ovvero  insiemi  ordinati  dal  grave  all’acuto  che  si  ripetono dal grave all’acuto) di n frequenze (con n numero naturale > 1). Poiché la disposizione di frequenze che definisce il sistema di intonazione è il risultato dell’organizzazione ciclica delle frequenze stesse (ovvero della ripetizione dal grave all’acuto di un  insieme  ordinato  dal  grave  all’acuto  di  n frequenze), il sistema di intonazione può essere rappresentato tramite un ciclo di n frequenze.

Esempio 1: sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze: Disposizione frequenze:

f1

f2

f3

f4

f5

f6

Ordinamento disposizione frequenze:

I

II

III

IV

V

VI

Organizzazione in cicli di 3 frequenze:

(f1

f3)1 (f4

f5

f6)2 (f7

f8

f9)3 (f10 ...

Ordinamento del ciclo di frequenze:

(I

III)1 (I

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

f2 II

f7

f8

f9

VII VIII IX

f10 ... X ...

Sistema di intonazione rappresentato tramite il ciclo di frequenze (Ii IIi IIIi), ove i = 1, 2, 3, ...: Ii IIIi

IIi

2.Proprietà    



i cicli di frequenze sono tali per cui è costante il rapporto k tra frequenze equivalenti consecutive, ove per frequenze equivalenti si intendono frequenze occupanti la medesima posizione nell’ordinamento dei differenti cicli.  la costanza del rapporto tra frequenze equivalenti consecutive implica la costanza del rapporto tra frequenze equiparabili, ovvero occupanti le medesime posizioni nell’ordinamento di ciascun ciclo. a parità del numero di frequenze costituenti i cicli, la scelta di quali frequenze considerare come  “inizio”  e  “fine”  del  ciclo  non  influenza  né  la  costanza  del  rapporto  tra  frequenze  equivalenti consecutive, né la costanza del rapporto tra frequenze equiparabili. ad esclusione delle frequenze equivalenti e delle frequenze equiparabili, non è detto che sia costante il rapporto tra frequenze equidistanti, ovvero che si trovano alla stessa distanza, misurata come numero x di  “passi”  compresi  tra  due  frequenze,  ove  ciascun  passo  congiunge frequenze consecutive. A tal fine è necessario imporre una condizione specifica, ovvero che il rapporto tra due frequenze consecutive sia pari a n√k (ed in tal caso il rapporto tra due frequenze separate da x passi sarà pari a n√ kx). la frequenza più grave della disposizione delle frequenze è detta “origine del sistema”.

71 

i  sistemi  di  intonazione  si  differenziano  in  base  all’origine  del  sistema,  al  numero  di  frequenze di cui ciascun ciclo è composto, al rapporto k tra frequenze equivalenti consecutive, ai rapporti tra le frequenze di cui ciascun ciclo è composto.

Esempio 1: sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze con rapporto tra frequenze equivalenti consecutive pari a 2: Disposizione frequenze (in Hz): Ordinamento disposizione frequenze:

10 12 15 I

II

20

24 30

40

60

80 ...

IV

V VI

VII VIII IX

X ...

III

48

Organizzazione in cicli di 3 frequenze: (10

12 15)1 (20 24 30)2 (40

48 60)3 (80 ...

Ordinamento del ciclo di frequenze:

II

II

(I

III)1 (I

II

III)2 (I

III)3 (I ...

Rapporto tra frequenze equivalenti consecutive costante: I2/I1 = I3/I2 = II2/II1 = II3/II2 = III2/III1 = III3/III2 = 2 20/10 = 40/20 = 24/12 = 48/24 = 30/15 = 60/30 = 2 Rapporti tra frequenze equiparabili costanti: II1/I1 = II2/I2 = II3/I3 = 1,2 12/10 = 24/20 = 48/40 = 1,2 III1/I1 = III2/I2 = III3/I3 = 1,5 15/10 = 30/20 = 60/40 = 1,5 III1/II1 = III2/II2 = III3/II3 = 1,25 15/12 = 30/24 = 60/48 = 1,25 Rapporti tra frequenze equidistanti: 1 passo: II1/I1= 1,2 ≠ III1/II1= 1,25 ≠ I2/III1= 1,333333 12/10 = 1,2 ≠ 15/12 = 1,25 ≠ 20/15 = 1,333333 2 passi: III1/I1= 1,5 ≠ I2/II1= 1,666666 ≠ II2/III1= 1,6 15/10 = 1,5 ≠ 20/12 = 1,666666 ≠ 24/15 = 1,6

Esempio 2: sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze con rapporto tra frequenze equivalenti consecutive pari a 2 e rapporto tra frequenze consecutive pari a 3√2 (≈1,26) :

72 Disposizione frequenze (in Hz):

10 12,6 15,9 20 25,2 31,8 40 50,4 63,6 80

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

IV V

VI

VII VIII IX

...

X ...

Organizzazione in cicli di 3 frequenze: (10 12,6 15,9)1 (20 25,2 31,8)2 (40 50,4 63,6)3 (80 ... Ordinamento del ciclo di frequenze:

(I

II

III)1 (I

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

Rapporto tra frequenze equivalenti consecutive costante: I2/I1 = I3/I2 = II2/II1 = II3/II2 = III2/III1 = III3/III2 = 2 20/10 = 40/20 = 25,2/12,6 = 50,4/25,2 = 31,8/15,9 = 63,6/31,8 = 2 Rapporti tra frequenze equiparabili costanti: II1/I1 = II2/I2 = II3/I3 = 1,26 12,6/10 = 25,2/20 = 50,4/40 = 1,26 III1/I1 = III2/I2 = III3/I3 = 1,59 15,9/10 = 31,8/20 = 63,6/40 = 1,59 III1/II1 = III2/II2 = III3/II3 = 1,26 15,9/12,6 = 31,8/25,2 = 63,6/50,4 = 1,26 Rapporti tra frequenze equidistanti: 1 passo: II1/I1 = III1/II1 = I2/III1 = 1,26 (≈ 3√2) 12,6/10 = 15,9/12,6 = 20/15,9 = 1,26 2 passi: III1/I1 = I2/II1 = II2/III1 = 1,59 (≈ 3√22) 15,9/10 = 20/12,6 = 25,2/15,9 = 1,59

3.Ambito di applicazione Non  è  intenzione  dell’autore  né  presentare  un  elenco  dei  differenti  sistemi  di  intonazione  che  si  sono succeduti nel corso della storia o che sono comunque utilizzabili, eventualmente corredato da un’analisi  delle  logiche  e  dei  procedimenti  che  sottendono alla loro formulazione (a tal fine si rimanda a trattazioni specifiche in merito, di cui abbonda la letteratura scientifica musicale), né tantomeno sostenere  la tesi della convenienza dell’utilizzo di un sistema piuttosto che di un altro,  eventualmente corredata  da  un’analisi  dei  vantaggi  e  degli  svantaggi  che  caratterizzano  ciascun  sistema  (la  scelta  dell’uno  o  dell’altro  sistema  risiede  in  ragioni  di  ordine  storico,  tecnologico  ed  estetico che esulano dal presente lavoro). La seguente trattazione potrà essere egualmente applicata ad un qualsivoglia sistema di intonazione.

73

I I I. A L T E Z Z E 1.Definizione Si  definisce  “altezza”  la  posizione  che  una  determinata  frequenza  occupa  nell’ordinamento  della  disposizione di frequenze che definisce un sistema di intonazione. Ogni sistema di intonazione è caratterizzato dalla presenza di altezze differenti (ovvero differenti posizioni occupate da differenti frequenze), ma, grazie all’organizzazione delle frequenze in cicli di  n frequenze, è possibile riferirsi, ai fini della seguente analisi, solo alle n “classi”  di  altezze  con  posizione I, II, ..., N . Esse rappresentano le differenti posizioni che una frequenza può occupare all’interno di qualunque ciclo costituente il sistema di intonazione.  Le altezze che corrispondono a frequenze equivalenti si dicono altezze equivalenti. Una “classe” di  altezze è composta di sole altezze equivalenti. Le altezze che corrispondono a frequenze equiparabili si dicono altezze equiparabili.

Esempio 1: classi di altezze relative ad un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze con rapporto tra frequenze equivalenti consecutive pari a 2: Disposizione frequenze (in Hz):

10 12 15

20

24 30

40

60

80 ...

VII VIII IX

X ...

Ordinamento disposizione frequenze:

I

II

III

IV

V VI

Altezze (posizione nella disposizione):

A

B

C

D

E

F

G

48

H

I

J ...

Organizzazione in cicli di 3 frequenze: (10

12 15)1 (20 24 30)2 (40 48 60)3 (80 ...

Ordinamento del ciclo di frequenze:

(I

II

Altezze (posizione nel ciclo):

(A1

Classi di altezze:

III)1 (I

B1 C1) (A2

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

B2

C2) (A3

B3

C3) (A4 ......

A, B, C

Esempio 2: classi di altezze relative ad un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze: Classi di altezze:

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L

74

I V. I N T E R V A L L I 1.Definizione Si definisce “intervallo” la distanza tra due altezze, misurata come numero x di “passi” compresi tra  esse, ove ciascun passo congiunge altezze consecutive. Ogni sistema di intonazione è caratterizzato dalla presenza di intervalli differenti (ovvero differenti distanze tra differenti altezze), ma, grazie all’organizzazione delle frequenze in cicli di n frequenze, è possibile riferirsi, ai fini della seguente analisi, solo alle n “classi” di intervalli tra le  n “classi” di  altezze aventi tra loro distanza 0, 1, ..., n-1. Esse rappresentano le differenti distanze che possono esistere tra due altezze all’interno di qualunque ciclo costituente il sistema di intonazione.  E’  infatti  possibile  ricondurre  un  intervallo  superiore  al  ciclo  (necessariamente  tra  due  altezze  appartenenti  a  cicli  differenti)  all’intervallo  inferiore  al  ciclo stesso tra due altezze equivalenti a quelle  prese  in  considerazione  ma  appartenenti  allo  stesso  ciclo;  quest’ultima  sarà  misurata,  in  definitiva, come numero x di passi compresi tra due altezze appartenenti al medesimo ciclo ed equivalenti alle due altezze prese in considerazione. Tutti gli intervalli tra due altezze ciascuna appartenente ad una stessa classe di altezze (e dunque equivalenti tra loro) si dicono intervalli equivalenti. E’  opportuno  notare  che  la  distanza  tra  due  altezze  equivalenti  consecutive è pari ad n. Due intervalli la cui somma è pari ad n si dicono “intervalli complementari”. L’osservazione  in  base  alla  quale,  ad  esclusione  delle  frequenze  equivalenti  e  delle  frequenze  equiparabili, non è detto che sia costante il rapporto tra frequenze equidistanti, si traduce, in termini di  intervalli,  nell’osservazione  che,  ad  esclusione  degli  intervalli  tra  altezze  equivalenti  e  degli  intervalli tra altezze equiparabili, non è detto che intervalli tra altezze equidistanti siano percepiti come uguali. Come già detto, a tal fine è necessario imporre una condizione specifica.

Esempio 1: classi di intervalli relative ad un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze con rapporto tra frequenze equivalenti consecutive pari a 2: Disposizione frequenze (in Hz):

10 12 15

20

24 30

40

60

80 ...

VII VIII IX

X ...

Ordinamento disposizione frequenze:

I

II

III

IV

V VI

Altezze (posizione nella disposizione):

A

B

C

D

E

F

G

48

H

I

J ...

Organizzazione in cicli di 3 frequenze: (10

12 15)1 (20 24 30)2 (40 48 60)3 (80 ...

Ordinamento del ciclo di frequenze:

(I

II

Altezze (posizione nel ciclo):

(A1

III)1 (I

B1 C1) (A2

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

B2

C2) (A3

B3

C3) (A4 ...

Classi di altezze:

A, B, C

Intervalli:

A1 A1 = B1 B1 = C1 C1 = A2 A2 = B2 B2 = C2 C2 = 0

inferiore al ciclo

75

Classi di intervalli:

A1 B1 = B1 C1 = C1 A2 = A2 B2 = B2 C2 = C2 A3 = 1

inferiore al ciclo

A1 C1 = B1 A2 = C1 B2 = A2 C2 = B2 A3 = C2 B3 = 2

inferiore al ciclo

A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = A2 A3 = B2 B3 = C2 C3 = 3

superiore al ciclo

A1 B2 = B1 C2 = C1 A3 = A2 B3 = B2 C3 = C2 A4 = 4

superiore al ciclo

0, 1, 2

Esempio 2: classi di intervalli relative ad un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze: Classi di intervalli:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

76

V. ST R U T T U R E 1.Definizione Si definisce “struttura” di ordine  z (con z numero naturale > 1) una disposizione di z altezze e degli y = z-1 intervalli consecutivi (ovvero  tra  altezze  consecutive)  compresi  tra  la  prima    e  l’ultima  altezza.

Esempio 1: struttura definita da una disposizione di 3 altezze e dei 2 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze: Disposizione frequenze (in Hz):

10 12 15

20

24 30

40

60

80 ...

VII VIII IX

X ...

Ordinamento disposizione frequenze:

I

II

III

IV

V VI

Altezze (posizione nella disposizione):

A

B

C

D

E

F

48

G

H

I

J ...

Organizzazione in cicli di 3 frequenze: (10

12 15)1 (20 24 30)2 (40 48 60)3 (80 ...

Ordinamento del ciclo di frequenze:

(I

II

Altezze (posizione nel ciclo):

(A1

III)1 (I

B1 C1) (A2

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

B2

C2) (A3

B3

C3) (A4 ...

Classi di altezze:

A, B, C

Intervalli:

A1 A1 = B1 B1 = C1 C1 = A2 A2 = B2 B2 = C2 C2 = 0

inferiore al ciclo

A1 B1 = B1 C1 = C1 A2 = A2 B2 = B2 C2 = C2 A3 = 1

inferiore al ciclo

A1 C1 = B1 A2 = C1 B2 = A2 C2 = B2 A3 = C2 B3 = 2

inferiore al ciclo

A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = A2 A3 = B2 B3 = C2 C3 = 3

superiore al ciclo

A1 B2 = B1 C2 = C1 A3 = A2 B3 = B2 C3 = C2 A4 = 4

superiore al ciclo

Classi di intervalli:

0, 1, 2

Disposizione di altezze: Disposizione di intervalli:

B1 C2 A3 4

1

Struttura definita dalla disposizione di altezze B1C2A3 e dalla disposizione di intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza 4 1 : B1C2A3 4 1

77

Ogni sistema di intonazione è caratterizzato dalla presenza di strutture differenti (ovvero differenti disposizioni  di  altezze  e  degli  intervalli  consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza),  ma,  grazie  all’organizzazione  delle  frequenze  in  cicli  di  n frequenze, è possibile riferirsi, ai fini della seguente analisi, solo alle n(n-1), n(n-1)(n-2), ... , n! “classi”  di  strutture  definite  da  una  disposizione semplice (ovvero senza ripetizioni di elementi) di 2, 3, ..., n “classi” di altezze e di  1, 2, ..., n-1 “classi” di intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima “classe” di altezze.

Esempio 2: strutture definite da una disposizione di 3 altezze e dei 2 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze: Disposizione frequenze (in Hz):

10 12 15

20

24 30

40

60

80 ...

VII VIII IX

X ...

Ordinamento disposizione frequenze:

I

II

III

IV

V VI

Altezze (posizione nella disposizione):

A

B

C

D

E

F

48

G

H

I

J ...

Organizzazione in cicli di 3 frequenze: (10

12 15)1 (20 24 30)2 (40 48 60)3 (80 ...

Ordinamento del ciclo di frequenze:

(I

II

Altezze (posizione nel ciclo):

(A1

III)1 (I

B1 C1) (A2

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

B2

C2) (A3

B3

C3) (A4 ...

Classi di altezze:

A, B, C

Intervalli:

A1 A1 = B1 B1 = C1 C1 = A2 A2 = B2 B2 = C2 C2 = 0

inferiore al ciclo

A1 B1 = B1 C1 = C1 A2 = A2 B2 = B2 C2 = C2 A3 = 1

inferiore al ciclo

A1 C1 = B1 A2 = C1 B2 = A2 C2 = B2 A3 = C2 B3 = 2

inferiore al ciclo

A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = A2 A3 = B2 B3 = C2 C3 = 3

superiore al ciclo

A1 B2 = B1 C2 = C1 A3 = A2 B3 = B2 C3 = C2 A4 = 4

superiore al ciclo

Classi di intervalli:

0, 1, 2

Strutture:

A1B1C1 1 1

A1B1A2 1 2

A1B1B2 1 3

A1B1C2 1 4

A1C1A2 2 1

A1C1B2 2 2

A1C1C2 2 3

A1C1A3 2 4

A1A2B2 3 1

A1A2C2 3 2

A1A2 A3 3 3

A1A2B3 3 4

A1B2C2 4 1

A1B2A3 4 2

A1B2B3 4 3

A1B2C3 4 4

78

Classi di strutture:

B1C1A2 1 1

B1C1B2 1 2

B1C1C2 1 3

B1C1A3 1 4

B1A2B2 2 1

B1A2C2 2 2

B1A2A3 2 3

B1A2B3 2 4

B1B2C2 3 1

B1B2A3 3 2

B1B2B3 3 3

B1B2C3 3 4

B1C2A3 4 1

B1C2B3 4 2

B1C2C3 4 3

B1C2A4 4 4

C1A2B2 1 1

C1A2C2 1 2

C1A2A3 1 3

C1A2B3 1 4

C1B2C2 2 1

C1B2A3 2 2

C1B2B3 2 3

C1B2C3 2 4

C1C2A3 3 1

C1C2B3 3 2

C1C2C3 3 3

C1C2A4 3 4

C1A3B3 4 1

C1A3C3 4 2

C1A3A4 4 3

C1A3B4 4 4

ABC 11

ACB 22

BCA BAC 11 22

CAB 11

CBA 22

2.Proprietà Data una struttura di ordine z definita da una disposizione di z altezze e degli y = z-1 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza:  la numerosità della struttura è pari a z.  la dimensione della struttura è pari all’intervallo tra la prima e l’ultima altezza.  non esiste una relazione biunivoca tra la disposizione delle z altezze e la disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza, ovvero alla disposizione delle  z altezze corrisponde sempre una ed una sola disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra  la prima e  l’ultima  altezza  ma  non  viceversa;  in particolare, alla disposizione  degli y intervalli  consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  corrispondono  n differenti disposizioni di z altezze, le cosiddette n traslazioni della disposizione delle z altezze (vedi paragrafo sulle traslazioni della disposizione di altezze).  l’insieme di tutti gli intervalli esistenti tra tutte le altezze appartenenti alla disposizione delle  z altezze che definisce la struttura è detto “intervallistica della struttura”.  la struttura ad essa speculare è definita dalla disposizione di z altezze con medesime prima ed ultima altezza della disposizione di z altezze che definisce la struttura presa in considerazione corrispondente alla disposizione di y intervalli speculare alla disposizione degli  y  intervalli  consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  che  definisce  la  struttura presa in considerazione.

79    



la struttura ad essa speculare ha uguale numerosità, pari a z, essendo definita da una differente disposizione dello stesso numero di altezze. la struttura ad essa speculare ha uguale dimensione, pari all’intervallo tra la prima e l’ultima  altezza, essendo definita dalla disposizione speculare degli stessi y intervalli. la struttura ad essa speculare ha uguale intervallistica, essendo definita dalla disposizione speculare degli stessi y intervalli. non esiste una relazione biunivoca tra la struttura e la sua intervallistica, ovvero alla struttura corrisponde sempre una ed una sola intervallistica ma non viceversa; in particolare, se si considerano esclusivamente le strutture di ordine z,  all’intervallistica  della  struttura  corrispondono le 2n strutture di ordine z definite dalle n traslazioni delle 2 disposizioni di z altezze che definiscono la struttura presa in considerazione e la struttura speculare ad essa. se la struttura è definita da una disposizione di z = n/k altezze (con k numero naturale compreso tra 1 ed n/2) e degli y = z -1 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza ed ha intervallistica [x, 2x, ...yx], allora tutte le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze hanno uguale intervallistica (vedi paragrafo sulle permutazioni della disposizione di altezze). In tal caso, se si considerano esclusivamente le strutture di ordine z, all’intervallistica della struttura corrispondono le  nz! strutture di ordine z definite dalle n traslazioni delle z! permutazioni della disposizione delle z altezze che definisce la struttura presa in considerazione.

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze, data la struttura ADH: 34 I. La numerosità della struttura è pari a 3 II. La dimensione della struttura è pari a 7 III. 12 traslazioni della disposizione di altezze ADH: ADH BEI CFJ DGK EHL FIA GJB HKC ILD JAE KBF LCG IV. Intervallistica della struttura: [3, 4, 7] V. Disposizione di y intervalli speculare alla disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza che definisce la struttura presa in considerazione:  4 3 Disposizione di altezze con medesime prima ed ultima altezza della struttura presa in considerazione corrispondente alla disposizione di y intervalli speculare alla disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza che definisce la struttura  presa in considerazione: AEH Struttura speculare:

AEH con uguale numerosità, dimensione ed intervallistica. 43

VI. 12 strutture definite dalle 12 traslazioni della disposizione di altezze ADH: ADH BEI CFJ 34 34 34

DGK EHL FIA 34 34 34

GJB 34

HKC 34

ILD 34

JAE 34

KBF LCG 34 34

12 strutture definite dalle 12 traslazioni della disposizione di altezze AEH:

80 AEH BFI CGJ DHK EIL FJA GKB HLC IAD 43 43 43 43 43 43 43 43 43

JBE 43

KCF LDG 43 43

VII. All’intervallistica della struttura ADH corrispondono le strutture al punto VI.  34

3.Traslazioni della disposizione di altezze Data una struttura di ordine z definita da una disposizione di z altezze e degli y = z-1 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza:  

     



è possibile individuare n strutture di ordine z distinte definite dalle n traslazioni della disposizione delle z altezze che definisce la struttura presa in considerazione (ove per traslazione si intende una differente disposizione di z altezze cui corrisponde la medesima disposizione degli y intervalli  consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  che  definisce la struttura presa in considerazione). la disposizione di z altezze che definisce la struttura è una delle n traslazioni della disposizione delle z altezze stessa. l’insieme delle  n strutture di ordine z distinte definite dalle n traslazioni della disposizione delle z altezze è detto “campo delle traslazioni della disposizione delle z altezze”. tutte le strutture componenti il campo delle traslazioni della disposizione delle z altezze hanno uguale numerosità, pari a z, essendo definite da una differente disposizione dello stesso numero di altezze. tutte le strutture componenti il campo delle traslazioni della disposizione delle z altezze hanno uguale dimensione, pari all’intervallo tra la prima e l’ultima altezza, essendo definite  dalla medesima disposizione di intervalli. tutte le strutture componenti il campo delle traslazioni della disposizione delle z altezze hanno uguale intervallistica, essendo definite dalla medesima disposizione di intervalli. l’insieme  di  tutti  gli  intervalli  esistenti  tra  tutte  le  altezze  appartenenti  alle  strutture  componenti il campo delle traslazioni della disposizione delle z altezze è detto “intervallistica del campo delle traslazioni della disposizione delle z altezze”. Essa coincide  con  l’intervallistica  di  qualsiasi  struttura  componente  il  campo  delle  traslazioni  della  disposizione delle z altezze stesso. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle traslazioni della disposizione delle z altezze e la sua intervallistica, ovvero al campo delle traslazioni della disposizione delle z altezze corrisponde sempre una ed una sola intervallistica ma non viceversa; in particolare, se si considerano esclusivamente le strutture di ordine z, all’intervallistica del campo delle  traslazioni della disposizione delle z altezze corrispondono le 2n strutture di ordine z definite dalle n traslazioni delle 2 disposizioni di z altezze che definiscono la struttura presa in considerazione e la struttura speculare ad essa.

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze, data la struttura ADH: 34 I. Campo delle traslazioni della disposizione di altezze ADH: ADH BEI CFJ 34 34 34

DGK EHL FIA 34 34 34

GJB 34

HKC ILD 34 34

JAE 34

KBF LCG 34 34

81 II. Tutte le strutture componenti il campo delle traslazioni della disposizione di altezze ADH hanno numerosità pari a 3, dimensione pari a 7 ed intervallistica [3, 4, 7]. III. Intervallistica del campo delle traslazioni della disposizione di altezze ADH: [3, 4, 7]. IV. 12 strutture definite dalle 12 traslazioni della disposizione di altezze ADH: ADH BEI CFJ 34 34 34

DGK EHL 34 34

FIA 34

GJB 34

HKC 34

ILD 34

JAE 34

KBF LCG 34 34

12 strutture definite dalle 12 traslazioni della disposizione di altezze AEH: AEH BFI CGJ DHK EIL FJA GKB HLC 43 43 43 43 43 43 43 43

IAD 43

JBE 43

KCF LDG 43 43

V. All’intervallistica  del  campo  delle  traslazioni  della  disposizione  di  altezze  ADH  corrispondono le strutture al punto IV.

4.Permutazioni della disposizione di altezze Data una struttura di ordine z definita da una disposizione di z altezze e degli y = z-1 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza:        

 

è possibile individuare z! strutture di ordine z distinte definite dalle z! permutazioni della disposizione delle z altezze che definisce la struttura presa in considerazione (ove per permutazione si intende una differente disposizione delle stesse altezze). la disposizione di z altezze che definisce la struttura è una delle z! permutazioni della disposizione delle z altezze stessa. l’insieme  delle  z! strutture di ordine z distinte definite dalle z! permutazioni della disposizione delle z altezze  è  detto  “campo  delle  permutazioni  della  disposizione delle z altezze”. tutte le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze hanno uguale numerosità, pari a z, essendo definite da differenti disposizioni dello stesso numero di altezze. le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze hanno uguale dimensione, pari all’intervallo tra la prima e l’ultima altezza,  solo se definite  dalla  medesima disposizione di intervalli o da disposizioni speculari di intervalli. le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze hanno uguale intervallistica solo se definite dalla medesima disposizione di intervalli o da disposizioni speculari di intervalli. se la struttura è definita da una disposizione di z = n/k altezze (con k numero naturale compreso tra 1 ed n/2) e degli y = z -1 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima  altezza ed ha intervallistica [x, 2x, ...yx], allora tutte le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze hanno uguale intervallistica (vedi esempio 2). l’insieme  di  tutti  gli  intervalli  esistenti  tra  tutte  le  altezze  appartenenti  alle  strutture  componenti il campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze è detto “intervallistica del campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze”. l’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni  della  disposizione  delle  z altezze è formata esclusivamente da coppie di intervalli complementari.

82 

non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze e la sua intervallistica, ovvero al campo delle permutazioni della disposizione delle z altezze corrisponde una ed una sola intervallistica ma non viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente le strutture di ordine z,  all’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni della disposizione delle z altezze corrispondono le 2nz! strutture di ordine z definite dalle n traslazioni delle z! permutazioni delle 2 disposizioni delle z altezze che definiscono la struttura presa in considerazione e la struttura speculare ad essa.

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze, data la struttura ADH: 34 I. Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADH: ADH 34

AHD 78

DAH 97

DHA 45

HAD 53

HDA 89

II. Tutte le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADH hanno numerosità pari a 3. III. La struttura ADH ha dimensione pari a 7. 34 La struttura AHD ha dimensione pari a 15. 78 La struttura DAH ha dimensione pari a 16. 97 La struttura DHA ha dimensione pari a 9. 45 La struttura HAD ha dimensione pari a 8. 53 La struttura HDA ha dimensione pari a 17. 89 IV. La struttura ADH ha intervallistica: [3, 4, 7,]. 34 La struttura AHD ha intervallistica: [3, 7, 8,]. 78 La struttura DAH ha intervallistica: [4, 7, 9]. 97 La struttura DHA ha intervallistica: [4, 5, 9]. 45

83 La struttura HAD ha intervallistica: [3, 5, 8]. 53 La struttura HDA ha intervallistica: [5, 8, 9]. 89 V. Intervallistica del campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADH: [3, 4, 5, 7, 8, 9]. Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 3+9, 4+8, 5+7. Essa può dunque essere così rappresentata: [3+9, 4+8, 5+7]. VI. 72 strutture definite dalle 12 traslazioni delle 6 permutazioni disposizione di altezze ADH: ADH 34

AHD 78

DAH 97

DHA 45

HAD 53

HDA 89

BEI 34

BIE 78

EBI 97

EIB 45

IBE 53

IEB 89

CFJ 34

CJF 78

FCJ 97

FJC 45

JCF 53

JFC 89

DGK 34

DKG 78

GDK 97

GKD 45

KDG 53

KGD 89

EHL 34

ELG 78

HEL 97

HLE 45

LEH 53

LHE 89

FIA 34

FAI 78

IFA 97

IAF 45

AFI 53

AIF 89

GJB 34

GBJ 78

JGB 97

JBG 45

BGJ 53

BJG 89

HKC 34

HCK 78

KHC 97

KCH 45

CHK CKH 53 89

ILD 34

IDL 78

LID 97

LDI 45

DIL 53

DLI 89

JAE 34

JEA 78

AJE 97

AEJ 45

EJA 53

EAJ 89

KBF 34

KFB 78

BKF 97

BFK 45

FKB 53

FBK 89

LCG 34

LGC 78

GLC 53

GCL 89

CLG 97

CGL 45

84 72 strutture definite dalle 12 traslazioni delle 6 permutazioni della disposizione di altezze AEH: AEH 43

AHE 79

EAH 87

EHA 35

HAE 54

HEA 98

BFI 43

BIF 79

FBI 87

FIB 35

IBF 54

IFB 98

CGJ 43

CJG 79

GCJ 87

GJC 35

JCG 54

JGC 98

DHK 43

DKH 79

HDK 87

HKD 35

KDH 54

KHD 98

EIL 43

ELI 79

IEL 87

ILE 35

LEI 54

LIE 98

FJA 43

FAJ 79

JFA 87

JAF 35

AFJ 54

AJF 98

GKB 43

GBK 79

KGB 87

KBG 35

BGK 54

BKG 98

HLC 43

HCL 79

LHC 87

LCH 35

CHL 54

CLH 98

IAD 43

IDA 79

AID 87

ADI 35

DIA 54

DAI 98

JBE 43

JEB 79

BJE 87

BEJ 35

EJB 54

EBJ 98

KCF 43

KFC 79

CKF 87

CFK 35

FKC 54

FCK 98

LDG 43

LGD 79

GLD 54

GDL 98

DLG 87

DGL 35

VII. All’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni  della  disposizione  di  altezze  ADH  corrispondono le strutture al punto VI.

Esempio 2: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze, data la struttura AGDJ: 696 I. Intervallistica della struttura: [3, 6, 9] II. Campo delle permutazioni della disposizione di altezze AGDJ: AGDJ 696

AGJD 636

ADGJ 333

ADJG 369

AJGD 999

AJDG 963

85 GADJ 636

GAJD 696

GDAJ 999

GDJA 963

GJAD 333

GJDA 369

DAGJ 963

DAJG 999

DGAJ 369

DGJA 333

DJAG 636

DJGA 696

JAGD 369

JADG 333

JGAD 963

JGDA 999

JDAG 696

JDGA 636

III. Tutte le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione di altezze AGDJ hanno intervallistica: [3, 6, 9]

5.Permutazioni della disposizione di intervalli Data una struttura di ordine z definita da una disposizione di z altezze e degli y = z-1 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza: 

se nella disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza vi  sono solo intervalli differenti, è possibile individuare y! strutture di ordine z distinte definite dalle y! disposizioni di z altezze con medesime prima ed ultima altezza della disposizione di z altezze che definisce la struttura presa in considerazione corrispondenti alle y! permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima  altezza che definisce la struttura presa in considerazione (ove per permutazione si intende una differente disposizione degli stessi intervalli); se nella disposizione degli y intervalli  consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  vi  sono  intervalli uguali, alcune permutazioni danno la stessa disposizione. In generale, se una struttura è definita da una disposizione di y intervalli consecutivi compresi tra due altezze -di cui y1 intervalli di un tipo, y2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a yk , con y = y1 + y2 + ... + yk - è possibile individuare y!/ y ! ... y ! strutture di ordine z distinte. Tali strutture avranno sempre in 1





 

k

comune la prima e l’ultima altezza, ma non le altezze comprese tra esse.                                                la disposizione degli y intervalli  consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  che  definisce la struttura è una delle y!/ y1! ... yk! permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza stessa. l’insieme  delle  y!/ y1! ... yk! strutture di ordine z distinte definite dalle y!/ y1! ... yk! disposizioni di z altezze con medesime prima ed ultima altezza della disposizione di z altezze che definisce la struttura presa in considerazione corrispondenti alle y!/ y1! ... yk! permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima  altezza  è  detto  “campo  delle  permutazioni  della  disposizione  degli  y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza”.  tutte le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  hanno  uguale  numerosità,  pari  a z, essendo definite da differenti disposizioni dello stesso numero di altezze. tutte le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  hanno  uguale  dimensione,  pari  all’intervallo tra la prima e l’ultima altezza, essendo definite da differenti disposizioni degli  stessi y intervalli.

86  



le strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  hanno  uguale  intervallistica  solo  se  definite da disposizioni speculari di intervalli. l’insieme  di  tutti  gli  intervalli  esistenti  tra  tutte  le  altezze  appartenenti  a  tutte  le  strutture componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza è detto “intervallistica del campo delle permutazioni  della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza”. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza e la sua intervallistica, ovvero  al campo delle permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima  e  l’ultima  altezza  corrisponde  sempre  una  ed  una  sola  intervallistica  ma  non  viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente le strutture di ordine z, all’intervallistica  del  campo  delle permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza corrispondono le n y!/ y1 ! ... yk! strutture di ordine z definite dalle n traslazioni delle y!/ y ! ... y ! disposizioni di z altezze con 1

k

medesime prima ed ultima altezza della disposizione di z altezze che definisce la struttura presa in considerazione corrispondenti alle y!/ y1! ... yk! permutazioni della disposizione degli y intervalli  consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  che  definisce la struttura presa in considerazione.

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze, data la struttura ACDH 214 I. Campo delle permutazioni della disposizione di intervalli 2 1 4 compresi tra A ed H: ACDH 214

ACGH 241

ABDH 124

ABFH 142

AEGH 421

AEFH 412

II. Tutte le strutture appartenenti al campo delle permutazioni della disposizione di intervalli 2 1 4 compresi tra A ed H hanno numerosità pari a 4. III. Tutte le strutture appartenenti al campo delle permutazioni della disposizione di intervalli 2 1 4 compresi tra A ed H hanno dimensioni pari a 7. IV. Le strutture ACDH e AEFH hanno intervallistica [1, 2, 3, 4, 5, 7]. 214 412 Le strutture ACGH e ABFH hanno intervallistica [1, 2, 4, 5, 6, 7]. 241 142 Le strutture ABDH e AEGH hanno intervallistica [1, 2, 3, 4, 6, 7]. 124 421 V. Intervallistica del campo delle permutazioni della disposizione di intervalli 2 1 4 compresi tra A ed H: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. VI. 72 strutture definite dalle 12 traslazioni delle 6 disposizioni di 4 altezze con prima altezza A ed ultima altezza H corrispondenti alle 6 permutazioni della disposizione di intervalli 2 1 4:

87 ACDH 214

ACGH 241

ABDH 124

ABFH 142

AEGH 421

AEFH 412

BDEI 214

BDHI 241

BCEI 124

BCGI 142

BFHI 421

BFGI 412

CEFJ 214

CEIJ 241

CDFJ 124

CDHJ 142

CGIJ 421

CGHJ 412

DFGK 214

DFJK 241

DEGK 124

DEIK 142

DHJK 421

DHIK 412

EGHL 214

EGKL 241

EFHL 124

EFJL 142

EIKL 421

EIJL 412

FHIA 214

FHLA 241

FGIA 124

FGKA 142

FJLA 421

FJKA 412

GIJB 214

GIAB 241

GHJB 124

GHLB 142

GKAB 421

GKLB 412

HJKC 214

HJBC 241

HIKC 124

HIAC 142

HLBC 421

HLAC 412

IKLD 214

IKCD 241

IJLD 124

IJBD 142

IACD 421

JLAE 214

JLDE 241

JKAE 124

JKCE 142

JBDE 421

JBCE 412

KABF 214

KAEF 241

KLBF 124

KLDF 142

KCEF 421

KCDF 412

LBCG 214

LBFG 241

LACG 124

LAEG 142

LDFG 421

IABD 412

LDEG 412

VII. All’intervallistica del campo delle permutazioni della disposizione di intervalli 2 1 4 compresi tra A ed H corrispondono le strutture al punto VI.

6.Criteri per la selezione delle strutture Dato un sistema di intonazione rappresentato da cicli di n frequenze, e’ possibile selezionare tutte le  strutture:   

definite da una qualsivoglia disposizione di altezze contenente una determinata altezza o insieme di altezze. definite da una qualsivoglia disposizione di altezze contenente una determinata altezza o insieme di altezze come prima altezza o prime altezze della disposizione stessa. definite da una qualsivoglia disposizione di altezze contenente una determinata altezza o insieme di altezze come ultima altezza o ultime altezze della disposizione stessa.

88                   

definite da una qualsivoglia disposizione di altezze contenente una determinata sottodisposizione di altezze. definite da una qualsivoglia disposizione di altezze contenente una determinata sottodisposizione di altezze come prime altezze della disposizione stessa. definite da una qualsivoglia disposizione di altezze contenente una determinata sottodisposizione di altezze come ultime altezze della disposizione stessa. definite da una qualsivoglia disposizione di intervalli contenente un determinato intervallo o insieme di intervalli. definite da una qualsivoglia disposizione di intervalli contenente un determinato intervallo o insieme di intervalli come primo intervallo o primi intervalli della disposizione stessa. definite da una qualsivoglia disposizione di intervalli contenente un determinato intervallo o insieme di intervalli come ultimo intervallo o ultimi intervalli della disposizione stessa. definite da una qualsivoglia disposizione di intervalli contenente un determinato insieme di intervalli ove per ciascun intervallo sia stabilito quante volte può apparire nella disposizione stessa. definite da una qualsivoglia disposizione di intervalli contenente un determinato insieme di intervalli ove per ciascun intervallo sia stabilito quante volte può apparire consecutivamente nella disposizione stessa. definite da una qualsivoglia disposizione di intervalli contenente una determinata sottodisposizione di intervalli. definite da una qualsivoglia disposizione di intervalli contenente una determinata sottodisposizione di intervalli come primi intervalli della disposizione stessa. definite da una qualsivoglia disposizione di intervalli contenente una determinata sottodisposizione di intervalli come ultimi intervalli della disposizione stessa. aventi una determinata numerosità. aventi una determinata dimensione. cui corrisponde una determinata intervallistica, ovvero appartenenti ad una determinata area strutturale (vedi paragrafo sulle aree strutturali). cui  corrisponde  un’intervallistica  contenente  un  determinato  intervallo  o  insieme  di  intervalli. appartenenti al campo delle traslazioni della disposizione di z altezze. appartenenti al campo delle permutazioni della disposizione di z altezze. appartenenti al campo delle permutazioni della disposizione degli y intervalli consecutivi compresi tra due altezze. contenute in un determinato modo (vedi paragrafo sui modi)

I precedenti criteri possono essere combinati liberamente tra loro per dar vita ad ulteriori criteri.

89

V I. A R E E ST R U T T U R A L I 1.Definizione Si  definisce  “area  strutturale”  di  ordine  z (con z numero naturale > 1) l’insieme  delle  strutture  di  ordine z corrispondenti  all’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni  della  disposizione  di  z altezze che definisce una determinata struttura di ordine z. Ogni sistema di intonazione è caratterizzato dalla presenza di aree strutturali di ordine z differenti (ovvero differenti insiemi delle strutture di ordine z corrispondenti all’intervallistica del campo delle  permutazioni della disposizione di z altezze che definisce una struttura di ordine z), ma, grazie all’organizzazione delle frequenze in cicli di  n frequenze, è possibile riferirsi, ai fini della seguente analisi, solo alle “classi” di aree strutturali di ordine  2, 3, ..., n corrispondenti all’intervallistica del  campo delle permutazioni della disposizione di 2, 3, ..., n “classi”  di  altezze  che  definisce  una  struttura di ordine 2, 3, ..., n.

2.Proprietà Data un’area strutturale di ordine  z corrispondente all’intervallistica del campo delle permutazioni  della disposizione di z altezze che definisce una struttura di ordine z:     

   

essa comprende le 2nz! strutture di ordine z definite dalle n traslazioni delle z! permutazioni delle 2 disposizioni delle z altezze che definiscono la struttura presa in considerazione e la struttura speculare ad essa. tutte le strutture  componenti  l’area  strutturale  hanno  uguale  numerosità,  pari  a  z, essendo definite da una differente disposizione dello stesso numero di altezze. le strutture componenti l’area strutturale hanno uguale dimensione, pari all’intervallo tra la  prima e l’ultima  altezza,    solo  se  definite    dalla  medesima  disposizione  di  intervalli    o  da  disposizioni speculari di intervalli. le  strutture  componenti  l’area  strutturale  hanno  uguale  intervallistica  solo  se  definite  dalla  medesima disposizione di intervalli o da disposizioni speculari di intervalli. se la struttura presa in considerazione è definita da una disposizione di z = n/k altezze (con k numero naturale compreso tra 1 ed n/2) e degli y = z -1 intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza ed ha intervallistica [x, 2x, ...yx], allora tutte le strutture componenti l’area  intervallare  hanno  uguale  intervallistica  (vedi  esempio  2  relativo  al  paragrafo  sulle  permutazioni della disposizione di altezze). l’insieme  di  tutti  gli  intervalli  esistenti tra tutte le altezze appartenenti alle strutture componenti l’area strutturale è detto “intervallistica dell’area strutturale”. l’intervallistica  dell’area  strutturale  coincide  con  l’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni della disposizione delle z altezze che definisce la struttura presa in considerazione. l’intervallistica  dell’area  strutturale  è  formata  esclusivamente  da  coppie  di  intervalli  complementari. esiste  una  relazione  biunivoca  tra  l’area  strutturale  e  la  sua  intervallistica,  ovvero  all’area  strutturale corrisponde una ed una sola intervallistica e viceversa.

90

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze, data la struttura ADH: 34 I.

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADH: ADH 34

AHD 78

DAH 97

DHA 45

HAD 53

HDA 89

II.

Intervallistica del campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADH: [3, 4, 5, 7, 8, 9]. Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 3+9, 4+8, 5+7. Essa può dunque essere così rappresentata: [3+9, 4+8, 5+7].

III.

L’area  strutturale  di  ordine  3  corrispondente  all’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni  della disposizione di altezze ADH comprende le strutture al punto VI. dell’esempio 1 relativo  al paragrafo sulle permutazioni della disposizione di altezze.

IV. Intervallistica  dell’area  strutturale  di  ordine  3  corrispondente  all’intervallistica  del  campo  delle permutazioni della disposizione di altezze ADH: [3, 4, 5, 7, 8, 9]. Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 3+9, 4+8, 5+7. Essa può dunque essere così rappresentata: [3+9, 4+8, 5+7]. V.

All’intervallistica  dell’area  strutturale  di  ordine  3  corrispondono le strutture al punto VI. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle permutazioni della disposizione di altezze.

3.Procedimento per individuare le aree strutturali di ordine z Dato un sistema di intonazione rappresentato da cicli di n frequenze: I.

si individuino le n “classi” di altezze e le n “classi” di intervalli tra esse.

II.

per ciascun intervallo x si individuino le disposizioni di y = z-1 intervalli la cui somma è pari ad x.

III.

si associ la prima disposizione di intervalli individuata al punto II. ad una qualsiasi delle n traslazioni della disposizione di z altezze corrispondenti e si proceda ad individuare il campo delle permutazioni della disposizione di z altezze che definisce la struttura così ottenuta.

IV. delle disposizioni di intervalli che definiscono le strutture appartenenti al campo delle permutazioni individuato al punto III. si raggruppi la disposizione di intervalli in oggetto con le disposizioni di intervalli individuate al punto II. e si raggruppino tra loro le rimanenti disposizioni di intervalli. V.

si ripetano i punti III. e IV. fino a quando non si siano raggruppate tutte le disposizioni di intervalli individuate al punto II.

VI. si raccolgano i raggruppamenti che contengono disposizioni speculari degli stessi intervalli; in tal modo sarà possibile rappresentare le differenti aree strutturali ed individuarne l’intervallistica.

91 VII. associando a ciascuna delle disposizioni di intervalli appartenenti a tali raccoglimenti le n traslazioni della disposizione di z altezze corrispondenti, si ottiene  l’area  strutturale  corrispondente  all’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni  di  una  qualsivoglia  disposizione di z altezze che corrisponde ad una qualsivoglia disposizione di intervalli appartenente al raccoglimento.

Esempio1: aree strutturali di ordine 3 in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 altezze: I.

II.

Classi di altezze:

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L

Classi di intervalli:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Disposizioni di 2 intervalli la cui somma è pari a: 0: / 1: / 2: 1 1

III.

3: 1 2

21

4: 1 3

31

22

5: 1 4

41

23

32

6: 1 5

51

24

42

33

7: 1 6

61

25

52

34

43

8: 1 7

71

26

62

35

53 44

9: 1 8

81

27

72

36

63 45

54

10: 1 9

91

28

82

37

73 46

64

55

11: 1 10 10 1 2 9

92

83

38 74

47

56

65

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ABC corrispondente alla disposizione di intervalli 1 1: ABC ACB BAC BCA CAB CBA 1 1 2 11 11 2 1 10 10 1 11 11

IV. Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 1 1 , 1 10 , 10 1

2 11 , 11 2 , 11 11

92 V.

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ABD corrispondente alla disposizione di intervalli 1 2: ABD ADB BAD BDA DAB DBA 1 2 3 10 11 3 2 9 9 1 10 11 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 12,29,91

3 10 , 11 3 , 10 11

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ACD corrispondente alla disposizione di intervalli 2 1: ACD ADC CAD CDA DAC DCA 2 1 3 11 10 3 1 9 9 2 11 10 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 21,19,92

3 11 , 10 3 , 11 10

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ABE corrispondente alla disposizione di intervalli 1 3: ABE AEB BAE BEA EAB EBA 1 3 4 9 11 4 3 8 8 1 9 11 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli: 13,38,81

4 9 , 11 4 , 9 11

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADE corrispondente alla disposizione di intervalli 3 1: ADE AED DAE DEA EAD EDA 3 1 4 11 9 4 1 8 8 3 11 9 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 31,18,83

4 11 , 9 4 , 11 9

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ACE corrispondente alla disposizione di intervalli 2 2: ACE AEC CAE CEA EAC ECA 2 2 4 10 10 4 2 8 8 2 10 10 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 22,28,82

4 10 , 10 4 , 10 10

93 Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ABF corrispondente alla disposizione di intervalli 1 4: ABF AFB BAF BFA FAB FBA 1 4 5 8 11 5 4 7 7 1 8 11 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 14,47,71

5 8 , 11 5 , 8 11

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze AEF corrispondente alla disposizione di intervalli 4 1: AEF AFE EAF EFA FAE FEA 4 1 5 11 8 5 1 7 7 4 11 8 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 41,17,74

5 11 , 8 5 , 11 8

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ACF corrispondente alla disposizione di intervalli 2 3: ACF AFC CAF CFA FAC FCA 2 3 5 9 10 5 3 7 7 2 9 10 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 23,37,72

5 9 , 10 5 , 9 10

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADF corrispondente alla disposizione di intervalli 3 2: ADF AFD DAF DFA FAD FDA 3 2 5 10 9 5 2 7 7 3 10 9 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 32,27,73

5 10 , 9 5 , 10 9

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ABG corrispondente alla disposizione di intervalli 1 5: ABG AGB BAG BGA GAB GBA 15 6 7 11 6 5 6 6 1 7 11 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 15,56,61

6 7 , 11 6 , 7 11

94 Campo delle permutazioni della disposizione di altezze AFG corrispondente alla disposizione di intervalli 5 1: AFG AGF FAG FGA GAF GFA 5 1 6 11 7 6 1 6 6 5 11 7 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 51,16,65

6 11 , 7 6 , 11 7

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ACG corrispondente alla disposizione di intervalli 2 4: ACG AGC CAG CGA GAC GCA 2 4 6 8 10 6 4 6 6 2 8 10 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 24,46,62

6 8 , 10 6 , 8 10

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze AEG corrispondente alla disposizione di intervalli 4 2: AEG AGE EAG EGA GAE GEA 4 2 6 10 8 6 2 6 6 4 10 8 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 42,26,64

6 10 , 8 6 , 10 8

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADG corrispondente alla disposizione di intervalli 3 3: ADG AGD DAG DGA GAD GDA 33 69 96 36 63 99 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 33,36,63

69,96,99

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ACH corrispondente alla disposizione di intervalli 2 5: ACH AHC CAH CHA HAC HCA 25 7 7 10 7 5 5 5 2 7 10 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 25,55,52

7 7 , 10 7 , 7 10

95 Campo delle permutazioni della disposizione di altezze ADH corrispondente alla disposizione di intervalli 3 4: ADH AHD DAH DHA HAD HDA 34 78 97 45 53 89 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 34,45,53

78,97,89

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze AEH corrispondente alla disposizione di intervalli 4 3: AEH AHE EAH EHA HAE HEA 43 79 87 35 54 98 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 43,35,54

79,87,98

Campo delle permutazioni della disposizione di altezze AEI corrispondente alla disposizione di intervalli 4 4: AEI AIE EAI EIA IAE IEA 44 88 88 44 44 88 Raggruppamento delle disposizioni di intervalli individuate: 44

88

VI. Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [1+11, 2+10]: 1 1 , 1 10 , 10 1

2 11 , 11 2 , 11 11

* è possibile considerare questa area strutturale come “sotto-area” dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [1+11, 2+10, 3+9]. Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [1+11, 2+10, 3+9]: 12,29,91

3 10 , 11 3 , 10 11

21,19,92

3 11 , 10 3 , 11 10

Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [1+11, 3+9 , 4+8]: 13,38,81

4 9 , 11 4 , 9 11

31,18,83

4 11 , 9 4 , 11 9

96

Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [2+10, 4+8]: 22,28,82

4 10 , 10 4 , 10 10

* è possibile considerare questa area strutturale come “sotto-area” dell’area strutturale    corrispondente all’intervallistica [2+10, 4+8, 6+6]. Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [1+11, 4+8, 5+7]: 14,47,71

5 8 , 11 5 , 8 11

41,17,74

5 11 , 8 5 , 11 8

Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [2+10, 3+9, 5+7]: 23,37,72

5 9 , 10 5 , 9 10

32,27,73

5 10 , 9 5 , 10 9

Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [1+11, 5+7, 6+6]: 15,56,61

6 7 , 11 6 , 7 11

51,16,65

6 11 , 7 6 , 11 7

Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [2+10, 4+8, 6+6]: 24,46,62

6 8 , 10 6 , 8 10

42,26,64

6 10 , 8 6 , 10 8

Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [3+9, 6+6]: 33,36,63

69,96,99

Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [2+10, 5+7]: 25,55,52

7 7 , 10 7 , 7 10

* è possibile considerare questa area strutturale come “sotto-area” dell’area strutturale    corrispondente all’intervallistica [2+10, 3+9, 5+7].

97 Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [3+9, 4+8, 5+7]: 34,45,53

78,97,89

43,35,54

79,87,98

Rappresentazione dell’area strutturale corrispondente all’intervallistica [4+8]: 44

88

VII. Area strutturale corrispondente all’intervallistica [3+9, 4+8, 5+7]: ADH DHA HAD 34 45 53

AHD DAH HDA 78 97 89

AEH EHA HAE 43 35 54

AHE EAH HEA 79 87 98

BEI 34

EIB IBE 45 53

BIE EBI IEB 78 97 89

BFI FIB IBF 43 35 54

BIF FBI IFB 79 87 98

CFJ 34

FJC 45

CJF FCJ JFC 78 97 89

CGJ GJC JCG 43 35 54

CJG GCJ JGC 79 87 98

DGK GKD KDG DKG GDK KGD DHK HKD KDH 34 45 53 78 97 89 43 35 54

DKH HDK KHD 79 87 98

EHL HLE LEH 34 45 53

ELH HEL LHE 78 97 89

EIL ILE LEI 43 35 54

ELI IEL LIE 79 87 98

FIA IAF AFI 34 45 53

FAI IFA AIF 78 97 89

FJA 43

FAJ 79

GJB JBG BGJ 34 45 53

GBJ JGB BJG 78 97 89

GKB KBG BGK 43 35 54

GBK KGB BKG 79 87 98

HKC KCH CHK 34 45 53

HCK KHC CKH 78 97 89

HLC LCH CHL 43 35 54

HCL LHC CLH 79 87 98

ILD 34

LDI DIL 45 53

IDL LID DLI 78 97 89

IAD ADI DIA 43 35 54

IDA AID DAI 79 87 98

JAE AEJ EJA 34 45 53

JEA AJE EAJ 78 97 89

JBE BEJ EJB 43 35 54

JEB BJE 79 87

JCF 53

JAF 35

AFJ 54

JFA 87

AJF 98

EBJ 98

KBF BFK FKB 34 45 53

KFB BKF FBK 78 97 89

KCF CFK FKC 43 35 54

KFC CKF FCK 79 87 98

LCG CGL GLC 34 45 53

LGC CLG GCL 78 97 89

LDG DGL GLD 43 35 54

LGD DLG GDL 79 87 98

98

V I I. M O D I 1.Definizione Si  definisce  “modo”  di  ordine  z (con z numero naturale > 1) èuna disposizione di altezze e degli intervalli consecutivi compresi tra la prima e l’ultima altezza organizzata in cicli di  z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi. Poiché la disposizione di altezze ed intervalli che definisce il modo è il risultato dell’organizzazione  ciclica delle altezze e degli intervalli stessi (ovvero della  ripetizione  dal  grave  all’acuto  di  un  insieme  ordinato  dal  grave  all’acuto  di  z altezze e z intervalli), il modo può essere rappresentato tramite un ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi.

Esempio 1: modo rappresentato da un ciclo di 2 altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e dei 2 intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze: Disposizione frequenze (in Hz):

10 12 15

20

24

30

Ordinamento disposizione frequenze:

I

II

III

IV

V VI

Altezze (posizione nella disposizione):

A

B

C

D

E

F

40

48

60

80 ...

VII VIII IX

X ...

G

H

I

J ...

Organizzazione in cicli di 3 frequenze: (10

12 15)1 (20 24 30)2 (40 48 60)3 (80 ...

Ordinamento del ciclo di frequenze:

(I

II

Altezze (posizione nel ciclo):

(A1

III)1 (I

B1 C1) (A2

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

B2

C2) (A3

B3

C3) (A4 ...

Classi di altezze:

A, B, C

Intervalli:

A1 A1 = B1 B1 = C1 C1 = A2 A2 = B2 B2 = C2 C2 = 0

inferiore al ciclo

A1 B1 = B1 C1 = C1 A2 = A2 B2 = B2 C2 = C2 A3 = 1

inferiore al ciclo

A1 C1 = B1 A2 = C1 B2 = A2 C2 = B2 A3 = C2 B3 = 2

inferiore al ciclo

A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = A2 A3 = B2 B3 = C2 C3 = 3

superiore al ciclo

A1 B2 = B1 C2 = C1 A3 = A2 B3 = B2 C3 = C2 A4 = 4

superiore al ciclo

Classi di intervalli:

0, 1, 2

Disposizione di altezze:

B1

C2

B3

C4

B5

C6

B7

...

99 Disposizione di intervalli:

4

Organizzazione in cicli di 2 altezze:

2

(B1

Organizzazione in cicli di 2 intervalli:

C2) 1 (B3 (4

2) 1

4

2

4

2

C4) 2 (B5 (4

...

C6) 3 (B7 ...

2) 2 (4

2) 3

Modo rappresentato tramite il ciclo di altezze (BiCi+1), ove i = 1, 2, 3, ... cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi (4 2): →Bi 2

4 Ci+1

Ogni sistema di intonazione è caratterizzato dalla presenza di modi differenti (ovvero differenti disposizioni  di  altezze  e  degli  intervalli  consecutivi  compresi  tra  la  prima  e  l’ultima  altezza  organizzate in cicli di altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di  cicli  consecutivi),  ma,  grazie  all’organizzazione  delle  frequenze  in  cicli  di  n frequenze, è possibile riferirsi, ai fini della seguente analisi, solo alle n(n-1), n(n-1)(n-2), ... , n! “classi” di modi  definiti da un ciclo semplice (ovvero senza ripetizioni di elementi) di 2, 3, ..., n “classi” di altezze  cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e delle 1, 2, ..., n “classi”  di  intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi.

Esempio 2: modi rappresentati da un ciclo di 3 altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e dei 3 intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prim a posizione di cicli consecutivi in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 3 frequenze: Disposizione frequenze (in Hz):

10 12 15

20

24 30

40

60

80 ...

VII VIII IX

X ...

Ordinamento disposizione frequenze:

I

II

III

IV

V VI

Altezze (posizione nella disposizione):

A

B

C

D

E

F

48

G

H

I

J ...

Organizzazione in cicli di 3 frequenze: (10

12 15)1 (20 24 30)2 (40 48 60)3 (80 ...

Ordinamento del ciclo di frequenze:

(I

II

III)1 (I

II

III)2 (I

Altezze (posizione nel ciclo):

A1

B1

C1

B2

C2

A2

II

A3

B3

III)3 (I ... C3 A4 ...

Classi di altezze:

A, B, C

Intervalli:

A1 A1 = B1 B1 = C1 C1 = A2 A2 = B2 B2 = C2 C2 = 0

inferiore al ciclo

A1 B1 = B1 C1 = C1 A2 = A2 B2 = B2 C2 = C2 A3 = 1

inferiore al ciclo

100 A1 C1 = B1 A2 = C1 B2 = A2 C2 = B2 A3 = C2 B3 = 2

inferiore al ciclo

A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = A2 A3 = B2 B3 = C2 C3 = 3

superiore al ciclo

A1 B2 = B1 C2 = C1 A3 = A2 B3 = B2 C3 = C2 A4 = 4

superiore al ciclo

Classi di intervalli:

0, 1, 2

Modi:                        →Ai 1 Ci

→Ai

→Ai

→Ai

1

3

1

2

1

1

1

Bi

Ai+1

Bi

Bi+1

Bi

Ci+1

Bi

1 →Ai

2

3

4

→Ai

→Ai

→Ai

1

1

2

Ai+1

Ci

Bi+1

2

1

2

3

2

Ci

Ci+1

Ci

Ai+2

Ci

1

2

3

4

→Ai

→Ai

→Ai

→Ai

2

3

1

3

3

3

2

3

Bi+1

Ai+1

Ci+1

Ai+1

Ai+2

Ai+1

Bi+2

Ai+1

1 →Ai 1

4

Ci+1

Bi+1

2

3

4

→Ai

→Ai

→Ai

3

4

Ai+2

1 →Bi

Bi+1

2

4

1

4

Bi+2

Bi+1

Ci+2

Bi+1

2

3

4

→Bi

→Bi

→Bi

1

1

3

1

2

1

1

1

Ai+1

Ci

Bi+1

Ci

Ci+1

Ci

Ai+2

Ci

1 →Bi

2

3

4

→Bi

→Bi

→Bi

3

2

2

2

1

2

3

2

Bi+1

Ai+1

Ci+1

Ai+1

Ai+2

Ai+1

Bi+2

Ai+1

1

2

→Bi

→Bi

2

3

Ci+1

Bi+1 1

1

3

Ai+2

3

4

→Bi

→Bi

3

3

Bi+1 Bi+2 2

2

3

Bi+1 Ci+2 3

Bi+1 4

101 →Bi

→Bi

1

4

Ai+2

Ci+1

3

4

Bi+2

2

1

1

Bi+1

Ai+1

→Ci 3 1 Ci+1

→Ci

→Ci

2

3

2

Ci+1

Bi+1

→Ci 2 2 Ai+2

1

→Ci 2

3

Ai+2

Ci+1

4

→Ci

→Ci

1

2

Bi+1 4

→Ci

→Ci

→Ci

1

3

Bi+2

3

3

Ci+1 Ci+2

3

Ci+1 Ai+3

Ci+1 4

→Ci 4

Ci+2

1

2

3

3

2

→Ci 4

Ai+2 Ai+3 2

→A

2

Bi+1 Ci+2

→Ci Ai+2

3

3

→Ci Bi+2

Ai+1

3

2

4

1

2

1

1

1

Ai+1 Bi+2

Bi+1 Bi+2

1

Ci+1 4

2

→Ci

4

3

Ai+1 Ai+2

1

1

Ci+1 Ai+3

2

→Ci

→Bi 4

Ci+2 Ci+2

1

Classi di modi:

→Bi

1

4

Ai+2 Bi+3

Ai+2

3

→A

4

→B

→B

→C

→C

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

C

B

B

C

A

C

C

A

B

A

A

B

1

2

1

2

1

2

1.Proprietà Dato un modo di ordine z rappresentato da un ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi:   

la numerosità del modo è pari a z. la dimensione del  modo è pari all’intervallo tra  le due altezze  equivalenti che occupano  la  prima posizione di cicli consecutivi. non esiste una relazione biunivoca tra il ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo ed il ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, ovvero al ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo

102

  

corrisponde sempre uno ed un solo ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, ma non viceversa; in particolare, al ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi corrispondono n differenti cicli di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo, le cosiddette n traslazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo (vedi paragrafo sulle traslazioni del ciclo di altezze). l’insieme di tutti gli intervalli esistenti tra tutte le altezze appartenenti al ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che definisce il modo è detto “intervallistica del modo”. l’intervallistica del modo è formata esclusivamente da coppie di intervalli complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il modo e la sua intervallistica, ovvero al modo corrisponde sempre una ed una sola intervallistica ma non viceversa; in particolare, se si considerano esclusivamente i modi di ordine z, all’intervallistica del modo corrispondono gli  n(z-1)!z!/ z1 ! ... zk! modi rappresentati dalle n traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z ! ... z ! cicli delle z altezze cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di z altezze che 1

k

rappresenta il modo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z1 ! ... zk! permutazioni del ciclo di intervalli consecutivi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 intervalli di un tipo, z2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che definisce il modo preso in considerazione (vedi paragrafi sulle permutazioni del ciclo di altezze e sulle permutazioni del ciclo di intervalli).

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 8 frequenze, dato il modo →A 4

1

E

B 3

I. La numerosità del modo è pari a 3. II. La dimensione del modo è pari a 8. III. 8 traslazioni del ciclo di altezze (ABE): (ABE) (BCF) (CDG) (DEH) (EFA) (FGB) (GHC) (HCD) IV. Intervallistica del modo: [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. V. 6 permutazioni del ciclo di intervalli (1 3 4): (1 3 4) (1 4 3) (3 1 4) (3 4 1) (4 1 3) (4 3 1) 6 cicli di altezze cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di altezze (ABE) corrispondenti alle 6 permutazioni del ciclo di intervalli (1 3 4) (ABE) (ABF) (ADE) (ADH) (AEF) (AEH)

103 VI. 2 permutazioni del ciclo di altezze (ABE): (ABE) (AEB) 2 permutazioni del ciclo di altezze (ABF): (ABF) (AFB) 2 permutazioni del ciclo di altezze (ADE): (ADE) (AED) 2 permutazioni del ciclo di altezze (ADH): (ADH) (AHD) 2 permutazioni del ciclo di altezze (AEF): (AEF) (AFE) 2 permutazioni del ciclo di altezze (AEH): (AEH) (AHE) VII. 8 traslazioni del ciclo di altezze (ABE): (ABE) (BCF) (CDG) (DEH) (EFA) (FGB) (GHC) (HAD) 8 traslazioni del ciclo di altezze (AEB): (AEB) (BFC) (CGD) (DHE) (EAF) (FBG) (GCH) (HDA) 8 traslazioni del ciclo di altezze (ABF): (ABF) (BCG) (CDH) (DEA) (EFB) (FGC) (GHD) (HAE) 8 traslazioni del ciclo di altezze (AFB): (AFB) (BGC) (CHD) (DAE) (EBF) (FCG) (GDH) (HEA) 8 traslazioni del ciclo di altezze (ADE): (ADE) (BEF) (CFG) (DGH) (EHA) (FAB) (GBC) (HCD) 8 traslazioni del ciclo di altezze (AED): (AED) (BFE) (CGF) (DHG) (EAH) (FBA) (GCB) (HDC) 8 traslazioni del ciclo di altezze (ADH): (ADH) (BEA) (CFB) (DGC) (EHD) (FAE) (GBF) (HCG)

104 8 traslazioni del ciclo di altezze (AHD): (AHD) (BAE) (CBF) (DCG) (EDH) (FEA) (GFB) (HGC) 8 traslazioni del ciclo di altezze (AEF): (AEF) (BFG) (CGH) (DHA) (EAB) (FBC) (GCD) (HDE) 8 traslazioni del ciclo di altezze (AFE): (AFE) (BGF) (CHG) (DAH) (EBA) (FCB) (GDC) (HED) 8 traslazioni del ciclo di altezze (AEH): (AEH) (BFA) (CGB) (DHC) (EAD) (FBE) (GCF) (HDG) 8 traslazioni del ciclo di altezze (AHE): (AHE) (BAF) (CBG) (DCH) (EDA) (FEB) (GFC) (HGD) VIII. 96 modi rappresentati dai cicli di altezze al punto VII. →A

→B

→C

→D

→E

→F

→G

→H

4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1

E

B F

C G

D H

E A

F B

G C

H D

A

3

3

→A 7

→B 4 7

B

F D →B

1 3

F

→G 4 7

A G

3 →H 4 7

B H

4

C A

D

5

5

5

5

→C

→D

→E

→F

→G

→H

1 3

C H

1 3

D A 4

→B

→F 4 7

H F

3

5

4

→A

→E 4 7

G E

3

5 1 3

B G 4

3

→D 4 7

5

→A

3

→C 4 7

E C 5

3

3

1 3

E B 4

→C

F C 4

→D

1 3

1 3

G D 4

→E

1

H E 4

→F

A 4

→G

→H

7

5 7

5 7

5 7

5 7

5 7

5 7

5 7

5

B

F C

G D

H E

A F

B G

C H

D A

E

4

4

→A 4

→B 3 4

E

→H 3 4

A C 1

4

→G 3 4

H B 1

4

→F 3 4

G A 1

4

→E 3 4

F H 1

4

→D 3 4

E G 1

4

→C 3 4

D F 1

4

3

B D 1

C 1

105 →A

→B

→C

→D

→E

→F

→G

→H

5

4 5

4 5

4 5

4 5

4 5

4 5

4 5

4

D

E E

F F

G G

H H

A A

B B

C C

D

7

7

→A 1

→B 3 1

H

7 →C 3 1

D A 4

→A 5

→B 7 5

D

H E

→G 3 1

H E

7 →H 3 1

A F

3

B G

C

4

4

4

4

→C

→D

→E

→F

→G

→H

7 5

A F →B

→F 3 1

G D

7

4 7 5

B G

4

→A

→E 3 1

F C

7

4 7 5

4

7

→D 3 1

E B

4

7

7 5

C H

7 5

D A

7 5

E B

7

F C

G

4

4

4

4

4

4

→C

→D

→E

→F

→G

→H

3

4 3

4 3

4 3

4 3

4 3

4 3

4 3

4

F

E G

F H

G A

H B

A C

B D

C E

D

1

1

→A

1

→B

1

→C

1

→D

1

→E

1

→F

1

→G

→H

4

5 4

5 4

5 4

5 4

5 4

5 4

5 4

5

E

F F

G G

H H

A A

B B

C C

D D

C

7

7

→A 1

→B 4 1

H

7

7

7

7

7

7

→C

→D

→E

→F

→G

→H

4 1

E A

4 1

F B

3

G C

3

→A 4

→B 7 4

E

H F

H D

E

B

B F

4

C G

D

3

3

3

→C

→D

→E

→F

→G

→H

7 4

7 4

B H 5

7 4

C A 5

→A 1

A E

4 1

3

IX. All’intervallistica del modo  4

4 1

3

A G 5

4 1

3 7 4

5

4 1

3 corrispondono i modi al punto VIII.

7 4

D B 5

7 4

E C 5

7

F D 5

G 5

106

2.Traslazioni del ciclo di altezze Dato un modo di ordine z rappresentato da un ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi: 

     

 

è possibile individuare n modi di ordine z distinti rappresentati dalle n traslazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il modo preso in considerazione (ove per traslazione si intende un differente ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo al quale corrisponde il medesimo ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi). il ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il modo è una delle n traslazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo. l’insieme degli  n modi di ordine z distinti rappresentati dalle n traslazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo è detto “campo  delle traslazioni del ciclo delle z altezze”. tutti i modi componenti il campo delle traslazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale numerosità, pari a z, essendo rappresentati da un differente ciclo dello stesso numero di altezze. tutti i modi componenti il campo delle traslazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale dimensione, pari all’intervallo tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di intervalli. tutti i modi componenti il campo delle traslazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale intervallistica, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di intervalli. l’insieme di tutti gli intervalli esistenti tra tutte le altezze appartenenti ai modi componenti il  campo delle traslazioni del ciclo delle z altezze  è  detto  “intervallistica  del  campo  delle  traslazioni del ciclo delle z altezze”.  Essa  coincide  con  l’intervallistica  di  qualsiasi  modo  componente il campo delle traslazioni del ciclo delle z altezze stesso. l’intervallistica del campo delle traslazioni del ciclo delle z altezze è formata esclusivamente da coppie di intervalli complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle traslazioni del ciclo delle z altezze e la sua intervallistica, ovvero al campo delle traslazioni del ciclo delle z altezze corrisponde sempre una ed una sola intervallistica ma non viceversa; in particolare, se si considerano esclusivamente i modi di ordine z,  all’intervallistica  del  campo  delle  traslazioni  del  ciclo  delle z altezze corrispondono gli n(z-1)!z!/ z1 ! ... zk! modi rappresentati dalle n traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z ! ... z ! cicli delle z altezze cui è attribuito il medesimo 1

k

indice del ciclo di z altezze che rappresnta il modo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z1! ... zk! permutazioni del ciclo di intervalli consecutivi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 intervalli di un tipo, z2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il modo preso in considerazione (vedi paragrafi sulle permutazioni del ciclo di altezze e sulle permutazioni del ciclo di intervalli).

107

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 8 frequenze, dato il modo →A 4

1

E

B 3

I. Campo delle traslazioni del ciclo di altezze (ABE): →A 4

→B 1 4

E

1 4

B F 3

→C 1 4

C G 3

→D 1 4

D H 3

→E 1 4

E A 3

→F 1 4

F B 3

→G 1 4

G C 3

→H 1

H D 3

A 3

II. Tutti i modi appartenenti al campo delle traslazioni del ciclo di altezze (ABE) hanno numerosità pari a 3, dimensione pari a 8 ed intervallistica [1, 3, 4, 5, 7,]. III. Intervallistica del campo delle traslazioni del ciclo di altezze (ABE): [1, 3, 4, 5, 7]. Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. IV. All’intervallistica del campo delle traslazioni del ciclo di altezze (ABE) corrispondono i modi  al punto VIII. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà dei modi. 

3.Permutazioni del ciclo di altezze Dato un modo di ordine z rappresentato da un ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi: 

    

è possibile individuare (z-1)! modi di ordine z distinti rappresentati dalle (z-1)! permutazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il modo preso in considerazione (ove per permutazione si intende un differente ciclo delle stesse altezze cui è attribuito un indice che identifica come prima posizione del ciclo la medesima altezza identificata come prima posizione del ciclo che rappresenta il modo preso in considerazione). il ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il modo è una delle (z-1)! permutazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo. l’insieme  degli  (z-1)! modi di ordine z distinti rappresentati dalle (z-1)! permutazioni del ciclo delle z altezze è detto “campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze”. tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale numerosità, pari a z, essendo rappresentati da differenti cicli dello stesso numero di altezze. i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale dimensione, pari all’intervallo tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione  di cicli consecutivi, solo se rappresentati da cicli differenti degli stessi intervalli. tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale intervallistica.

108 

l’insieme di tutti gli intervalli esistenti tra tutte le altezze appartenenti ai modi componenti il  campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze  è  detto  “intervallistica del campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze”. Essa coincide con l’intervallistica di qualsiasi modo  componente il campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze stesso. l’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni  del  ciclo  delle  z altezze è formata esclusivamente da coppie di intervalli complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze e la sua intervallistica, ovvero al campo delle permutazioni del ciclo delle z altezze corrisponde una ed una sola intervallistica ma non viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente i modi di ordine z,  all’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni del ciclo delle z altezze corrispondono gli n(z-1)!z!/ z1 ! ... zk! modi rappresentati dalle n traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z ! ... z ! cicli delle z

 

1

k

altezze cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di z altezze che rappresenta il modo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z1! ... zk! permutazioni del ciclo di intervalli consecutivi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 intervalli di un tipo, z2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il modo preso in considerazione (vedi paragrafo sulle permutazioni del ciclo di intervalli).

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 8 frequenze, dato il modo →A  4

1

E

B 3

I. Campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABE): →A                     →A          1 7 4

4 E

B

B

3

E 5

II. Tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABE) hanno numerosità pari a 3. III. Il modo          →A                   ha dimensione pari a 8. 4 1 E

B 3

Il modo           →A                   ha dimensione pari a 16. 7 4 B

E 5

109 IV. Tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABE) hanno intervallistica: [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. V. Intervallistica del campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABE): [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. VI. All’intervallistica  del  campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABE) corrispondono i modi al punto VIII. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà dei modi.   

4.Rotazioni del ciclo di altezze Dato un modo di ordine z rappresentato da un ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi: 

     

 

è possibile individuare z modi di ordine z distinti rappresentati dalle z rotazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo (ove per rotazione si intende il medesimo ciclo di altezze cui è attribuito un differente indice che identifica la prima posizione del ciclo). il ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il modo è una delle z rotazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo. l’insieme  degli z modi di ordine z distinti rappresentati dalle z rotazioni del ciclo delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo è detto “campo  delle rotazioni del ciclo delle z altezze”. tutti i modi componenti il campo delle rotazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale numerosità, pari a z, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di altezze. tutti i modi componenti il campo delle rotazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale dimensione, pari all’intervallo tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di intervalli. tutti i modi componenti il campo delle rotazioni del ciclo delle z altezze hanno uguale intervallistica, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di intervalli. l’insieme di tutti gli intervalli esistenti tra tutte le altezze appartenenti ai modi componenti il  campo delle rotazioni del ciclo delle z altezze  è  detto  “intervallistica  del  campo  delle  rotazioni del ciclo delle z altezze”.  Essa  coincide  con  l’intervallistica  di  qualsiasi  modo  componente il campo delle rotazioni del ciclo delle z altezze stesso. l’intervallistica del campo delle rotazioni del ciclo delle  z altezze è formata esclusivamente da coppie di intervalli complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle rotazioni del ciclo delle z altezze e la sua intervallistica, ovvero al campo delle rotazioni del ciclo delle z altezze corrisponde una ed una sola intervallistica ma non viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente i modi di ordine z,  all’intervallistica  del  campo  delle  rotazioni  del  ciclo  delle  z altezze corrispondono gli n(z-1)!z!/ z1 ! ... zk! modi rappresentati dalle n traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z ! ... z ! cicli delle z altezze cui è attribuito il medesimo indice del 1

k

ciclo di z altezze che rappresenta il modo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z1!

110

... zk! permutazioni del ciclo di intervalli consecutivi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 intervalli di un tipo, z2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il modo preso in considerazione (vedi paragrafo sulle permutazioni del ciclo di intervalli). Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 8 frequenze, dato il modo →A  4

1

E

B 3

I. Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABE): →A                     →B                    →E          4 1 1 3 3 4 E

B 3

A

E 4

B

A 1

II. Tutti i modi componenti il campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABE) hanno numerosità pari a 3. III. Tutti i modi componenti il campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABE) hanno dimensione pari a 8. IV. Tutti i modi componenti il campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABE) hanno intervallistica: [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. V. Intervallistica del campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABE): [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. VI. All’intervallistica del campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABE) corrispondono i modi al  punto VIII. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà dei modi.  

5.Permutazioni del ciclo di intervalli Dato un modo di ordine z rappresentato da un ciclo di z altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi: 

se nel ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi vi sono solo intervalli differenti, è possibile individuare z! modi di ordine z distinti rappresentati dagli z! cicli di z altezze cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di z altezze che rappresenta il modo preso in considerazione corrispondenti alle z! permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due

111 altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi che rappresenta il modo preso in considerazione (ove per permutazione si intende un differente ciclo degli stessi intervalli); se nel ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi vi sono intervalli uguali, alcune permutazioni danno lo stesso ciclo. In generale, se un modo è rappresentato da un ciclo di z intervalli consecutivi compresi tra due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 intervalli di un tipo, z2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a z , con z = z + z + ... + z - è possibile individuare z/ z ! ... z ! modi di ordine z k









 

 

1

2

k

1

k

distinti. Tali modi avranno sempre in comune  l’altezza  che  occupa  la  prima  posizione  del  ciclo, ma non le altre. il ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi che rappresenta il modo è una delle z/ z1 ! ... zk! permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi. l’insieme  degli  z!/ z1! ... zk! modi di ordine z distinti rappresentati dalle z!/ z1 ! ... zk! permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 intervalli di un tipo, z2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - è  detto  “campo  delle  permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi”.  tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi hanno uguale numerosità, pari a z, essendo definiti da differenti cicli dello stesso numero di altezze. tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi hanno uguale dimensione, pari all’intervallo tra le due altezze, essendo definiti da differenti  cicli degli stessi z intervalli. tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, hanno uguale intervallistica, essendo definiti da differenti cicli degli stessi z intervalli. l’insieme  di  tutti  gli  intervalli  esistenti  tra  tutte  le  altezze  appartenenti  a  tutti  i  modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z intervalli compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi è detto “intervallistica del campo delle permutazioni del ciclo degli  z intervalli consecutivi compresi tra  le  due  altezze  equivalenti  che  occupano  la  prima  posizione  di  cicli  consecutivi”. Essa coincide con l’intervallistica di qualsiasi modo componente il campo delle permutazioni del  ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi stesso. l’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni  del  ciclo  degli  z  intervalli  consecutivi  compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi è formata esclusivamente da coppie di intervalli complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi e la sua intervallistica, ovvero al campo delle permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi corrisponde sempre una ed una sola intervallistica ma non viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente i modi di ordine z, all’intervallistica  del  campo  delle  permutazioni  del  ciclo  degli  z intervalli consecutivi

112 compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi corrispondono gli n(z-1)!z!/ z1! ... zk! modi rappresentati dalle n traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z ! ... z ! cicli delle z altezze cui è attribuito un indice che identifica la 1

k

prima posizione del ciclo corrispondenti alle z!/ z1! ... zk! permutazioni del ciclo di intervalli consecutivi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 intervalli di un tipo, z2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il modo preso in considerazione.

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 8 frequenze, dato il modo →A  4

1

E

B 3

I. Campo delle permutazioni del ciclo di intervalli (1 3 4) tra le altezze Ai ed Ai+1: →A                     →A                    →A                 →A                 →A                 →A          4 1 3 1 4 3 1 3 3 4 1 4 E

B 3

F

B 4

E

D 1

H

D 4

F

E 1

H

E 3

II. Tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di intervalli (1 3 4) tra le altezze Ai ed Ai+1 hanno numerosità pari a 3. III. Tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di intervalli (1 3 4) tra le altezze Ai ed Ai+1 hanno dimensioni pari a 8. IV. Tutti i modi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di intervalli (1 3 4) tra le altezze Ai ed Ai+1 hanno intervallistica: [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. V. Intervallistica del campo delle permutazioni del ciclo di intervalli (1 3 4) tra le altezze Ai ed Ai+1: [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. VI. All’intervallistica del campo delle permutazioni del ciclo di intervalli (1 3 4) tra le altezze Ai ed Ai+1corrispondono i modi al punto VIII. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà  dei modi.

113

6.Criteri per la selezione dei modi Dato un sistema di intonazione rappresentato da cicli di n frequenze, e’ possibile selezionare tutti i  modi:                      

rappresentati da un qualsivoglia ciclo di altezze contenente una determinata altezza o insieme di altezze. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di altezze contenente una determinata altezza o insieme di altezze come prima altezza o prime altezze del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di altezze contenente una determinata altezza o insieme di altezze come ultima altezza o ultime altezze del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di altezze contenente un determinato sotto-ciclo di altezze. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di altezze contenente un determinato sotto-ciclo di altezze come prime altezze del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di altezze contenente un determinato sotto-ciclo di altezze come ultime altezze del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di intervalli contenente un determinato intervallo o insieme di intervalli. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di intervalli contenente un determinato intervallo o insieme di intervalli come primo intervallo o primi intervalli del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di intervalli contenente un determinato intervallo o insieme di intervalli come ultimo intervallo o ultimi intervalli del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di intervalli contenente un determinato insieme di intervalli ove per ciascun intervallo sia stabilito quante volte può apparire nel ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di intervalli contenente un determinato insieme di intervalli ove per ciascun intervallo sia stabilito quante volte può apparire consecutivamente nel ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di intervalli contenente un determinato sotto-ciclo di intervalli. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di intervalli contenente un determinato sotto-ciclo di intervalli come primi intervalli del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di intervalli contenente un determinato sotto-ciclo di intervalli come ultimi intervalli del ciclo stesso. aventi una determinata numerosità. aventi una determinata dimensione. cui corrisponde una determinata intervallistica, ovvero appartenenti ad una determinata area modale (vedi paragrafo sulle aree modali). cui  corrisponde  un’intervallistica  contenente  un  determinato  intervallo  o  insieme  di  intervalli. appartenenti al campo delle traslazioni del ciclo di z altezze. appartenenti al campo delle permutazioni del ciclo di z altezze. appartenenti al campo delle rotazioni del ciclo di z altezze. appartenenti al campo delle permutazioni del ciclo degli z intervalli consecutivi compresi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi.

I precedenti criteri possono essere combinati liberamente tra loro per dar vita ad ulteriori criteri.

114

V I I I. A R E E M O D A L I 1.Definizione Si definisce “area modale” di ordine  z (con z numero naturale > 1) l’insieme dei  modi di ordine  z corrispondenti all’intervallistica di un determinato modo di ordine z. Ogni sistema di intonazione è caratterizzato dalla presenza di aree modali di ordine z differenti (ovvero differenti insiemi dei modi di ordine z corrispondenti  all’intervallistica  di  un  determinato  modo di ordine z), ma, grazie all’organizzazione delle frequenze in cicli di  n frequenze, è possibile riferirsi,  ai  fini  della  seguente  analisi,  solo  alle  “classi”  di  aree  modali  di  ordine  2, 3, ..., n corrispondenti all’intervallistica di una determinata “classe” di modi di ordine 2, 3, ..., n.

2.Proprietà Data un’area modale di ordine  z corrispondente all’intervallistica di un determinato modo di ordine  z: essa comprende gli n(z-1)!z!/ z1 ! ... zk! modi rappresentati dalle n traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z ! ... z ! cicli delle z altezze cui è attribuito il medesimo indice del



1

k

ciclo di z altezze che rappresenta il modo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z1! ... z ! permutazioni del ciclo di intervalli consecutivi tra le due altezze equivalenti che k

occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 intervalli di un tipo, z2 intervalli di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il modo preso in considerazione. tutti i modi componenti  l’area  modale  hanno  uguale  numerosità,  pari  a  z, essendo rappresentati da un differente ciclo dello stesso numero di altezze. i  modi  componenti  l’area  modale  hanno  uguale  dimensione,  pari  all’intervallo  tra  le  due  altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, solo se rappresentati da cicli differenti degli stessi intervalli. tutti i modi componenti l’area modale hanno uguale intervallistica. l’insieme di tutti gli intervalli esistenti tra tutte le altezze appartenenti ai modi componenti l’  area modale di ordine z è detto “intervallistica dell’area modale di ordine z”. l’intervallistica dell’area modale di ordine  z coincide con l’intervallistica del modo di ordine  z preso in considerazione. l’intervallistica dell’area modale di ordine z è formata esclusivamente da coppie di intervalli complementari. esiste una relazione biunivoca tra un’area modale di ordine  z e la sua intervallistica, ovvero ad un’area modale di ordine z corrisponde una ed una sola intervallistica e viceversa.

      

Esempio 1: in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 8 frequenze, dato il modo →A  4

1

E

B 3

115 I. Intervallistica del modo preso in considerazione: [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. II. L’area modale di ordine 3 corrispondente all’intervallistica del modo preso in considerazione  comprende i modi al punto VIII. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà dei modi. III. Intervallistica dell’area modale di ordine 3 corrispondente all’intervallistica del modo preso in  considerazione: [1, 3, 4, 5, 7] Tale intervallistica è costituita dalle coppie di intervalli complementari: 1+7,3+5, 4+4. Essa può dunque essere così rappresentata: [1+7, 3+5, 4+4]. IV. All’intervallistica  dell’area  modale  di  ordine  3  corrispondono i modi al punto VIII. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà dei modi.

3.Procedimento per individuare le aree modali di ordine z Dato un sistema di intonazione rappresentato da cicli di n frequenze: I.

si individuino le n “classi” di altezze e le n “classi” di intervalli tra esse.

II.

si individuino i cicli di z intervalli la cui somma è pari ad n.

III.

si associ il primo ciclo di intervalli individuato al punto II. ad una qualsiasi delle n traslazioni del ciclo di z altezze corrispondenti e si proceda ad individuare il campo delle permutazioni del ciclo di z altezze che rappresenta il modo così ottenuto; per ciascuno dei modi componenti il campo delle permutazioni si proceda ad individuare il campo delle rotazioni del ciclo di z altezze che lo rappresenta.

IV.

si raggruppino tra loro i cicli di intervalli che rappresentano i modi componenti ciascuno dei campi delle rotazioni individuati al punto III.

V.

ripetere i punti III. e IV. fino a quando non si siano raggruppati tutti i cicli di intervalli individuati al punto II.

VI.

si raccolgano i raggruppamenti che contengono cicli degli stessi intervalli; in tal modo sarà possibile rappresentare le differenti aree modali ed individuarne  l’intervallistica  corrispondente.

VII.

associando a ciascuno dei cicli di intervalli appartenenti a tali raccoglimenti le n traslazioni del ciclo di z altezze  corrispondenti, si ottiene  l’area  modale corrispondente  all’intervallistica  di  un  qualsivoglia modo rappresentato da un qualsivoglia ciclo di altezze che corrisponde ad un qualsivoglia ciclo di intervalli appartenente al raccoglimento.

Esempio1: aree modali di ordine 3 in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 8 altezze: I.

Classi di altezze:

A, B, C, D, E, F, G, H,

116 Classi di intervalli: II.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Cicli di 3 intervalli la cui somma è pari a 8: (1 1 6) (1 2 5) (1 3 4) (1 4 3) (1 5 2) (1 6 1) (2 1 5) (2 2 4) (2 3 3) (2 4 2) (2 5 1) (3 1 4) (3 2 3) (3 3 2) (3 4 1) (4 1 3) (4 2 2) (4 3 1) (5 1 2) (5 2 1) (6 1 1)

III.

Campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABC) corrispondente al ciclo di intervalli (1 1 6): →A          6 1

→A          7 2

C

B

B 1

C 7

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABC): →A                     →B                    →C          1 1 1 1 6

6 C

B

A

1

C

B

6

A 1

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ACB): →A                     →C                    →B          7 2 2 7 7 7 B

C

A

7

B 7

C

A 2

IV. Raggruppamento dei cicli di intervalli individuati: (1 1 6) , (1 6 1) , (6 1 1) V.

(2 7 7) , (7 7 2) (7 2 7)

Campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABD) corrispondente al ciclo di intervalli (1 2 5): →A                     →A          5 1 7 3 D

B 2

B

D 6

117 Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABD): →A                     →B                    →D          1 1 2 1 5

5 D

B

A

2

D

B

5

A 2

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ADB): →A                     →D                    →B          7 3 3 6 6 7 B

D

A

6

B

D

7

A 3

Raggruppamento dei cicli di intervalli individuati: (1 2 5) , (2 5 1) , (5 2 1)

(3 6 7) , (6 7 3) , (7 3 6)

Campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABE) corrispondente al ciclo di intervalli (1 3 4): →A                     →A          4 1 7 4 E

B

B

3

E 5

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABE): →A                     →B                    →E          1 1 3 3 4

4 E

B

A

3

E

B

4

A 1

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (AEB): →A                     →E                    →B          4 4 5 5 7

7 B

E 5

A

B 7

E

A 4

Raggruppamento dei cicli di intervalli individuati: (1 3 4) , (3 4 1) , (4 1 3)

(4 5 7) , (5 7 4) , (7 4 5)

Campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABF) corrispondente al ciclo di intervalli (1 4 3):

118 →A                     →A          1 7 5

3 F

B

B

4

F 4

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABF): →A                     →B                    →F          1 1 4 4 3

3 F

B

A

4

F

B

A

3

1

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (AFB): →A                     →F                    →B          7 5 5 4 4 7 B

F

A

4

B

F

A

7

5

Raggruppamento dei cicli di intervalli individuati: (1 4 3) , (4 3 1) , (3 1 4)

(5 4 7) , (4 7 5) , (7 5 4)

Campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ABG) corrispondente al ciclo di intervalli (1 5 2): →A                     →A          1 7 6

2 G

B

B

5

G 3

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ABG): →A                     →B                    →G          1 1 5 5 2

2 G

B

A

5

G

B

2

A 1

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (AGB): →A                     →G                    →B          7 6 6 3 3 7 B

G 3

A

B 7

G

A 6

119 Raggruppamento dei cicli di intervalli individuati: (1 5 2) , (5 2 1) , (2 1 5)

(6 3 7) , (3 7 6) , (7 6 3)

Campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ACE) corrispondente al ciclo di intervalli (2 2 4): →A                     →A          4 2 6 4 E

C

C

2

E 6

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ACE): →A                     →C                    →E          2 2 2 2 4

4 E

C

A

2

E

C

4

A 2

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (AEC): →A                     →E                    →C          6 4 4 6 6 6 C

E

A

6

C

E

6

A 4

Raggruppamento dei cicli di intervalli individuati: (2 2 4) , (2 4 2) , (4 2 2)

(4 6 6) , (6 6 4) , (6 4 6)

Campo delle permutazioni del ciclo di altezze (ACF) corrispondente al ciclo di intervalli (2 3 3): →A                     →A          3 2 6 5 F

C

C

3

F 5

Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (ACF): →A                     →C                    →F          2 2 3 3 3

3 F

C 3

A

F 3

C

A 2

120 Campo delle rotazioni del ciclo di altezze (AFC): →A                     →F                    →C          6 5 5 5 5 6 C

F 5

A

C 6

F

A 5

Raggruppamento dei cicli di intervalli individuati: (2 3 3) , (3 3 2) , (3 2 3)

(5 5 6) , (5 6 5) , (6 5 5)

VI. Rappresentazione dell’area modale corrispondente all’intervallistica [1+7, 2+6]: (1 1 6) , (1 6 1) , (6 1 1)

(2 7 7) , (7 7 2) (7 2 7)

* è possibile considerare questa area modale come “sotto-area” dell’area modale    corrispondente all’intervallistica [1+7, 2+6, 3+5]. Rappresentazione dell’area modale corrispondente all’intervallistica [1+7, 2+6, 3+5]: (1 2 5) , (2 5 1) , (5 2 1)

(3 6 7) , (6 7 3) , (7 3 6)

(1 5 2) , (5 2 1) , (2 1 5)

(6 3 7) , (3 7 6) , (7 6 3)

Rappresentazione dell’area modale corrispondente all’intervallistica [1+7, 3+5, 4+4]: (1 3 4) , (3 4 1) , (4 1 3)

(4 5 7) , (5 7 4) , (7 4 5)

(1 4 3) , (4 3 1) , (3 1 4)

(5 4 7) , (4 7 5) , (7 5 4)

Rappresentazione dell’area modale corrispondente all’intervallistica [2+6, 4+4]: (2 2 4) , (2 4 2) , (4 2 2)

(4 6 6) , (6 6 4) , (6 4 6)

Rappresentazione dell’area modale corrispondente all’intervallistica [2+6, 3+5]: (2 3 3) , (3 3 2) , (3 2 3)

(5 5 6) , (5 6 5) , (6 5 5)

* è possibile considerare questa area modale come “sotto-area” dell’area modale    corrispondente all’intervallistica [1+7, 2+6, 3+5].

121 VII. Area modale corrispondente all’intervallistica [1+7, 3+5, 4+4]: →A               →B              →E                           →A             →E               →B 1 1 3 3 4 7 4 4 5 5 7

4 E

B A 3

E

B

4

A

B

1

E

A

5

B E 7

A 4

→B               →C              →F                           →B              →F               →C 1 1 3 3 4 7 4 4 5 5 7

4 F

C B 3

F

C

4

B

C

1

F

B

5

C

F

7

B 4

→C               →D              →G                          →C              →G               →D 4 1 1 3 3 4 7 4 4 5 5 7 G

D C 3

G D 4

C

D

1

G C 5

D G 7

C 4

→D               →E              →H                          →D              →H               →E 1 1 3 3 4 7 4 4 5 5 7

4 H

E D 3

H E 4

D

E

1

H D 5

E

H

7

D 4

→E               →F               →A                          →E              →A               →F 1 1 3 3 4 7 4 4 5 5 7

4 A

F

E

3

A

F

4

E

F

1

A E 5

F A 7

E 4

→F               →G              →B                          →F              →B               →G 4 1 1 3 3 4 7 4 4 5 5 7 B

G

F

3

B G 4

F

G

1

B F 5

G B 7

F 4

→G               →H              →C                          →G              →C              →H 4 1 1 3 3 4 7 4 4 5 5 7 C

H G 3

C H 4

G

H

1

C

G

5

H C 7

G 4

→H               →A              →D                          →H              →D              →A 1 1 3 3 4 7 4 4 5 5 7

4 D

A H 3

D A 4

H 1

A

D H 5

A D 7

H 4

122 →A               →B              →F                           →A             →F               →B 1 1 4 4 3 7 5 5 4 4 7

3 F

B A 4

F

B

3

A

B

1

F

A

4

B F 7

A 5

→B               →C              →G                          →B             →G               →C 1 1 4 4 3 7 5 5 4 4 7

3 G

C B 4

G C 3

B

C

1

G B 4

C G 7

B 5

→C               →D              →H                          →C              →H              →D 3 1 1 4 4 3 7 5 5 4 4 7 H

D C 4

H D 3

C

D

1

H

C

4

D H 7

C 5

→D               →E              →A                          →D              →A              →E 3 1 1 4 4 3 7 5 5 4 4 7 A

E

D

4 3

A

E

3

D

E

1

A

D

4

E

A

7

D 5

→E               →F              →B                          →E              →B              →F 1 1 4 4 3 7 5 5 4 4

B

F

E

4

B F 3

E

F

1

B

E

4

F

B

7

7 E

5

→F               →G              →C                          →F              →C              →G 3 1 1 4 4 3 7 5 5 4 4 7 C

G

F

4

C G 3

F

G

1

C

F

4

G C 7

F 5

→G              →H              →D                          →G              →D              →H 3 1 1 4 4 3 7 5 5 4 4 7 D

H G 4

3

D H 3

G

H

1

D G 4

H D 7

G 5

→H              →A              →E                          →H              →E              →A 1 1 4 4 3 7 5 5 4 4 7

E

A H 4

E 3

A

H 1

A

E 4

H

A 7

E

H 5

123

I X. D ESC R I Z I O N E D I M O D I E ST R U T T U R E

1.Ordini di descrittività Dato un insieme di k elementi differenti caratterizzati dalla presenza di z attributi appartenenti ad un insieme di n attributi (con k, z, n numeri naturali > 1), è possibile, per ciascun elemento, determinare z “ordini  di  descrittività”  degli  attributi  rispetto  all’elemento,  utili  a  descrivere  l’elemento  con  1,  2,  …,  z attributi (ove dunque lo z° ordine  descrive  l’elemento  in  maniera  esaustiva, ovvero con tutti gli attributi), basati sulla capacità di ciascun attributo (1° ordine), o di una combinazione di essi (2°, …, z° ordine), di  isolare un sottoinsieme dall’insieme originario (1° ordine) o dai sottoinsiemi isolati al precedente ordine (2°, …, z° ordine). Il sottoinsieme  isolato  da  un  determinato  attributo  caratterizzante  un  elemento  dell’insieme  originario è formato dagli elementi dell’insieme originario accomunati dalla presenza dell’attributo  stesso. Meno numeroso è il sotto-insieme isolato, maggiore è la descrittività  di  quell’attributo,  ovvero  la  capacità  di  quell’attributo  di  descrivere  l’elemento  preso  in  considerazione  rispetto  all’insieme originario cui appartiene. Possiamo dunque ordinare i differenti attributi caratterizzanti  l’elemento in base alla minor numerosità dei sottoinsiemi isolati. Tale ordinamento costituisce il “1° ordine  di  descrittività”  degli  attributi  rispetto  all’elemento  (utile  a  descrivere  l’  elemento  con  un  solo attributo). Successivamente, verifichiamo la numerosità dei sottoinsiemi isolati da ciascuna combinazione di 2 attributi caratterizzanti l’elemento preso in considerazione. Possiamo quindi ordinare queste ultime  in base alla minor numerosità dei sottoinsiemi isolati. Tale ordinamento costituisce il “2° ordine di descrittività” degli attributi rispetto all’elemento (utile a descrivere l’ elemento con 2 attributi). Reiterando il processo, definiamo i successivi ordini di descrittività fino allo z°. Quando un attributo o una combinazione di j attributi  è  comune  a  tutti  gli  elementi  dell’insieme originario,  non  porterà  mai  all’isolamento  di  un  sottoinsieme  caratterizzato  da  minor  numerosità,  fino  all’ordine  (z-1)°, nel  caso  di  singolo  attributo  comune,  o  all’ordine  (x-j)°,nel caso di una combinazione di j attributi. Quando 2 o più attributi (al 1° ordine) oppure 2 o più combinazioni di attributi (al 2°, …, z° ordine) isolano sottoinsiemi della medesima minor numerosità, tali attributi o combinazioni di attributi hanno la medesima capacità di descrivere l’elemento.  Nel processo di determinazione dei differenti ordini di descrittività, quando per la prima volta, 1 o più attributi (al 1° ordine) oppure 1 o più combinazioni di attributi (al 2°, …, z° ordine) isolano un sotto-insieme di 1  solo elemento, siamo  in presenza di 1 o più  “descrittori  necessari e sufficienti”  dell’elemento (è o sono necessari e  sufficienti ad  identificare uno specifico elemento dell’insieme  originario). Gli attributi o le combinazioni di attributi successivi ad essi sono “descrittori sufficienti  ma  non  necessari”  (sono  sufficienti ma non necessari ad identificare uno specifico elemento dell’insieme originario). Gli attributi o combinazioni di attributi precedenti ad essi sono “descrittori  necessari  ma  non  sufficienti”  (sono  necessari  ma  non  sufficienti  ad  identificare  uno specifico elemento dell’insieme originario). 

2.Ordini di descrittività di modi e strutture Poiché ciascun modo di ordine z è rappresentato da un ciclo di z altezze e ciascuna struttura di ordine z è definita da una disposizione di z altezze appartenenti  all’insieme  di  n altezze che caratterizzano un sistema di intonazione, le considerazioni del precedente paragrafo possono essere applicate a modi e strutture.

124 Dato un insieme di k modi di ordine z o di k strutture di ordine z differenti caratterizzati dalla presenza di z altezze appartenenti ad un insieme di n altezze, è possibile, per ciascun modo o struttura, determinare z “ordini di descrittività” delle altezze stesse rispetto al modo o alla struttura,  utili a descrivere il modo o la struttura con 1, 2, …, z altezze (ove dunque lo z° ordine di descrittività descrive il modo o la struttura in maniera esaustiva, ovvero con tutte le altezze), basati sulla capacità di ciascuna altezza (1° ordine), o di una combinazione di esse (2°, …, z° ordine), di isolare un sottoinsieme dall’insieme originario (1° ordine) o dai sottoinsiemi isolati al precedente ordine di rappresentatività (2°, …, z° ordine). Il sottoinsieme  isolato da una determinata altezza caratterizzante un  modo o struttura dell’insieme  originario è  formato  dai  modi  o  strutture  dell’insieme  originario  accomunati  dalla presenza dell’altezza stessa.  Meno numeroso è il sotto-insieme isolato, maggiore è la descrittività di quella altezza, ovvero la capacità di quella altezza di descrivere il modo o struttura preso in considerazione rispetto  all’insieme  originario  cui  appartiene.  Possiamo  dunque  ordinare  le  differenti  altezze  caratterizzanti il modo o la struttura in base alla minor numerosità dei sottoinsiemi isolati. Tale ordinamento costituisce il “1° ordine di descrittività” delle altezze rispetto al modo o alla struttura  (utile a descrivere il modo o la struttura con una sola altezza). Successivamente, verifichiamo la numerosità dei sottoinsiemi isolati da ciascuna combinazione di 2 altezze caratterizzanti il modo o la struttura presa in considerazione. Possiamo quindi ordinare queste ultime in base alla minor numerosità dei sottoinsiemi isolati. Tale ordinamento costituisce il “2° ordine di descrittività” delle altezze rispetto al modo o alla struttura (utile a descrivere il modo o la struttura con 2 altezze). Reiterando il processo, definiamo i successivi ordini di descrittività fino allo z°. Quando un’altezza o una combinazione di  j altezze è comune a tutti i modi o strutture dell’insieme  originario, non  porterà  mai  all’isolamento  di  un  sottoinsieme  caratterizzato  da  minor  numerosità,  fino  all’ordine  (z-1)°, nel  caso  di  singola  altezza  comune,  o  all’ordine  (x-j)°, nel caso di una combinazione di j altezze. Quando 2 o più altezze (al 1° ordine) oppure 2 o più combinazioni di altezze (al 2°, …, z° ordine) isolano sottoinsiemi della medesima numerosità, tali altezze o combinazioni di altezze hanno la medesima capacità di descrivere il modo o la struttura. Nel processo di determinazione dei differenti ordini di descrittività, quando per la prima volta, 1 o più altezze (al 1° ordine) oppure 1 o più combinazioni di altezze (al 2°,  …,  z° ordine) isolano un sotto-insieme  di  1  solo  modo  o  struttura,  siamo  in  presenza  di  1  o  più  “descrittori  necessari  e  sufficienti” del modo o della struttura (è o sono necessari e sufficienti ad identificare uno specifico  modo o struttura dell’insieme originario). Le altezze o le combinazioni di altezze successive ad esse  sono  “descrittori  sufficienti  ma  non  necessari”  (sono  sufficienti ma non necessari ad identificare uno  specifico  modo  o  struttura  dell’insieme  originario).  Le  altezze  o  combinazioni  di  altezze  precedenti ad esse sono “descrittori necessari ma non sufficienti” (sono necessari ma non sufficienti  ad identificare uno specifico modo o struttura dell’insieme originario). 

Esempio 1: determinazione degli ordini di descrittività per ciascuno dei modi appartenenti ad un determinato insieme di modi Innanzitutto è necessario identificare l’insieme di modi:  I.

Si considerino i seguenti 4 modi di ordine 7 rappresentati da cicli di 7 altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e dei 7 intervalli consecutivi tra le due altezze equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 frequenze:

125 →A                                    →A                                   →A                                   →A 2 1 2 1 2 1 L C L C L C L 2 2 2 1 3 2 3 J E J D I E I 2 1 2 2 1 1 1 H F H F H F H 2 2 2 2 1

II.

2 C 1 D 2 F

Per ciascuno dei modi individuati al punto I. si considerino i 7 modi di ordine 7 distinti rappresentati dalle 7 rotazioni del ciclo di 7 altezze cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo: 1

L 2 J 2 H

2 F 1 E 2 C

→A                                   →C                                   →E                                    →F 2 2 2 2 1 1 C A E C F E 2 1 1 2 2 2 E L F A H C 1 2 2 1 2 2 F J H L J A 2 2 2 1

2 H 2 J 2 L

→H                                    →J                                   →L                                     2 2 2 2 1 J H L J A 2 2 1 1 2 2 L F A H C 1 1 2 2 2 A E C F E 2 2 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------→A                                   →C                                   →D                                    →F 2 2 1 1 2 2 L C A D C F D 2 1 1 2 2 2 1 J D L F A H C 2 2 2 2 1 2 2 H F J H L J A 2 2 2 1 →H                                    →J                                   →L                                     2 2 2 2 2 1 F J H L J A 2 2 2 1 1 2 2 D L F A H C 1 1 2 2 2 1 C A D C F D 2 1 2 1

2 H 2 J 2 L

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

126 →A                                   →C                                   →E                                    →F 2 2 2 2 1 1 C A E C F E 2 1 1 2 2 2 E L F A H C 1 3 2 1 1 2 F I H L I A 2 1 3 1

1 L 3 I 1 H

2 H 1 I 3 L

→H                                    →I                                    →L                                     1 1 3 3 1 I H L I A 3 2 1 1 1 2 L F A H C 1 1 2 2 2 A E C F E 2 2 1

2 F 1 E 2 C

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------→A                                   →C                                   →D                                    →F 2 2 1 1 2 2 C A D C F D 1 1 2 2 2 1 D L F A H C 2 3 2 1 1 2 F I H L I A 2 1 3 1

1 L 3 I 1 H

H 1 I 3 L

→H                                    →I                                    →L                                     1 1 3 3 1 I H L I A 3 2 1 1 1 2 L F A H C 1 2 2 2 1 A D C F D 2 1 2

2 F 2 D 1 C III.

Per ciascuno dei modi individuati al punto II. si consideri il modo di ordine 7 rappresentato dalla traslazione del ciclo di 7 altezze cui è attribuito un indice che identifica come prima posizione del ciclo l’altezza A. 1

L 2 J 2 H

2

→A                                   →A                                   →A                                    →A 2 2 2 2 1 1 C K C K B L 2 1 1 2 2 2 E J D I D J 1 2 2 1 2 2 F H F H F H 2 2 2 1

2 C 2 E 2 G

127

2 K 1 J 2 H

→A                                    →A                                   →A                                     2 2 2 2 1 C K C K B 2 2 1 1 2 2 E I D I D 1 1 2 2 2 F H F G F 2 2 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 L 2 J 2 H

2 K 2 I 1 H

→A                                   →A                                   →A                                    →A 2 2 1 1 2 2 C K B L C K 1 1 2 2 2 1 D J D J E J 2 2 2 1 2 2 F H F I G H 2 2 2 1

2 C 2 E 2 G

→A                                    →A                                   →A                                     2 2 2 2 1 C K C K B 2 2 1 1 2 2 E I D I D 1 2 2 2 1 F G F G E 2 1 2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 L 3 I 1 H

2 K 1 J 2 H

→A                                   →A                                   →A                                    →A 2 2 2 2 1 1 C K C K B L 2 1 1 2 2 2 E J D I D J 1 3 2 1 1 2 F G F H E H 2 1 3 1

2 C 1 D 3 G

→A                                    →A                                    →A                                     1 1 3 3 1 B L D J B 3 2 1 1 1 2 E J E I D 1 1 2 2 2 F I G G F 2 2 1

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

128

1 L 3 I 1 H

2 K 2 I 1 H

→A                                   →A                                   →A                                    →A 2 2 1 1 2 2 C K B L C K 1 1 2 2 2 1 D J D J E J 2 3 2 1 1 2 F G F I F H 2 1 3 1

2 C 1 D 3 G

→A                                    →A                                    →A                                     1 1 3 3 1 B L D J B 3 2 1 1 1 2 E J E I D 1 2 2 2 1 F H G G E 2 1 2

Nelle seguenti tabelle vengono illustrati, per ciascuno dei modi individuati al punto III., i relativi ordini di descrittività. L’intestazione delle colonne indica l’ordine di descrittività. In ciascuna colonna, dall’alto verso il basso, è possibile vedere l’ordinamento in senso decrescente delle altezze o combinazioni di altezze in base alla descrittività di ciascuna altezza o combinazione di altezze. Il numero a fianco alle altezze o combinazione di altezze indica la dimensione del sottoinsieme da essa o da esse isolato. Le altezze o le combinazioni di altezze che isolano sottoinsiemi di uguale numerosità sono stati raccolti insieme. Le altezze o le combinazioni di altezze in grassetto sono i descrittori necessari e sufficienti.

129

I° L10 E15 C16 F18 H18 J18 A28

II° LF5 LH7 LE7 FE7 LJ8 LC8 EC8 LA10 JF10 JE10 HE10 JH11 JC11 FC11 HF12 HC12 EA15 CA16 JA18 HA18 FA18

I° C16 K16 D18 F18 H18 J18 A28

II° KJ8 KC8 DC8 JF10 HD10 KH11 KD11 JH11 JD11 JC11 FD11 FC11 KF12 HF12 HC12 KA16 CA16 JA18 HA18 FA18 DA18

III° LJF3 LFE3 LHF4 LHE4 JFE4 LJH5 LFC5 LFA5 LEC5 FEC5 LJE6 LJC6 LHC6 JHF6 JHE6 JFC6 JEC6 HFE6 HEC6 LHA7 LEA7 FEA7 LJA8 LCA8 JHC8 HFC8 ECA8 JFA10 JEA10 HEA10 JHA11 JCA11 FCA11 HFA12 HCA12 III° KJD5 KJC5 KDC5 JDC5 KJH6 KJF6 KHD6 KHC6 KFC6 JHF6 JHD6 JFD6 JFC6 HFD6 HDC6 FDC6 KJA8 KHF8 KFD8 KCA8 JHC8 HFC8 DCA8 JFA10 HDA10 KHA11 KDA11 JHA11 JDA11 JCA11 FDA11 FCA11 KFA12 HFA12 HCA12

IV° LJHF2 LJFE2 LHFE2 LJHE3 LJFC3 LJFA3 LHEC3 LFEC3 LFEA3 JHFE3 JFEC3 LJHC4 LJEC4 LHFC4 LHFA4 LHEA4 JHFC4 JHEC4 JFEA4 HFEC4 LJHA5 LECA5 LFCA5 FECA5 LJEA6 LJCA6 LHCA6 JHFA6 JHEA6 JFCA6 JECA6 HFEA6 HECA6 JHCA8 HFCA8 IV° KJHD3 KJFC3 KJDC3 KHDC3 JHFD3 JFDC3 KJHF4 KJHC4 KJFD4 KHFD4 KHFC4 KFDC4 JHFC4 JHDC4 HFDC4 KJDA5 KJCA5 KDCA5 JDCA5 KJHA6 KJFA6 KHDA6 KHCA6 KFCA6 JHFA6 JHDA6 JFDA6 JFCA6 HFDA6 HDCA6 FDCA6 KHFA8 KFDA8 JHCA8 HFCA8

V° LJHFE1 LJHFC2 LJFHA2 LJHEC2 LJFEC2 LJFEA2 LHFEC2 LHFEA2 JHFEC2 HFECA2 LJHEA3 LJFCA3 LHECA3 LFECA3 JHFEA3 JFECA3 LJHCA4 LJECA4 LHFCA4 JHFCA4 JHECA4

V° KJHFD2 KJHFC2 KJHDC2 KJFDC2 KHFDC2 JHFDC2 KJHDA3 KJFCA3 KJDCA3 KHDCA3 JHFDA3 JFDCA3 KJHFA4 KJHCA4 KJFDA4 KHFDA4 KHFCA4 KFDCA4 JHDCA4 JHFCA4 HFDCA4

VI° LJHFEC1 LJHFEA1 LJHFCA2 LJHECA2 LJFECA2 LHFECA2 JHFECA2

VI° KJHFDC1 KJHFDA2 KJHFCA2 KJHDCA2 KJFDCA2 KHFDCA2 JHFDCA2

VII° LJHFECA1

VII° KJHFDCA1

130 I° B10 I15 K16 D18 F18 H18 A28

II° HB5 IH7 IB7 FB7 KI8 KB8 DB8 IF10 ID10 HD10 BA10 KH11 KD11 FD11 KF12 HF12 IA15 KA16 HA18 FA18 DA18

III° IHB3 HDB3 IHD4 IFB4 HFB4 KIH5 KIB5 KHB5 HBA5 FDB5 KIF6 KID6 KHD6 KFB6 KDB6 IHF6 IFD6 IDB6 HFD6 IHA7 IBA7 FBA7 KHF8 KFD8 KBA8 KIA8 DBA8 IFA10 IDA10 HDA10 KHA11 KDA11 FDA11 KFA12 HFA12

IV° IHFB2 IHDB2 HFDB2 KIHD3 KIHB3 KIFB3 KHDB3 IHFD3 IFDB3 IHBA3 KIHF4 KIFD4 KIDB4 KHFD4 KHFB4 KFDB4 IHDA4 IFBA4 HFBA4 KIHA5 KIBA5 KHBA5 FDBA5 KIFA6 KIDA6 KHDA6 KFBA6 KDBA6 IHFA6 IFDA6 IDBA6 HFDA6 HDBA6 KHFA8 KFDA8

V° IHFDB1 KIHFD2 KIHFB2 KIHDB2 KHFDB2 KIFDB2 IHFBA2 IHDBA2 HFDBA2 KIHBA3 KIHDA3 KHDBA3 KIFBA3 IHFDA3 IFDBA3 KIHFA4 KHFDA4 KHFBA4 KFDBA4 KIFDA4 KIDBA4

I° L10 G14 E15 C16 H18 J18 A28

II° LG5 HG5 LH7 LE7 GE7 GC7 LJ8 LC8 EC8 LA10 JE10 HE10 JH11 JG11 JC11 HC12 GA14 EA15 CA16 JA18 HA18

III° LHG3 LGC3 HGE3 GEC3 LHE4 LGE4 HGC4 LJH5 LJG5 LEC5 JHG5 HGA5 LGA5 LJE6 LJC6 LHC6 JHE6 JGE6 JGC6 JEC6 HEC6 LHA7 LEA7 GEA7 GCA7 LJA8 LCA8 JHC8 ECA8 JEA10 HEA10 JHA11 JGA11 JCA11 HCA12

IV° LHGE1 LHGC2 LGEC2 HGEC2 LJHG3 LJHE3 LJGC3 LHGA3 LHEC3 LGCA3 JHGE3 JGEC3 HGEA3 GECA3 LJHC4 LJGE4 LJEC4 LHEA4 LGEA4 JHGC4 JHEC4 HGCA4 LJHA5 LJGA5 LECA5 JHGA5 LJEA6 LJCA6 LHCA6 JHEA6 JGEA6 JGCA6 JECA6 HECA6 JHCA8

V° LHGEC1 LHGEA1 HGECA1 LJHGE2 LJHGC2 LJHEC2 LJGEC2 LHGCA2 LGECA2 JHGEC2 LJHGA3 LJHEA3 LJGCA3 LHECA3 JHGEA3 JGECA3 LJHCA4 LJGEA4 LJECA4 JHGCA4 JHECA4

VI° KIHFDB1 KIHFDA2 KIHFBA2 KIHDBA2 KIFDBA2 KHFDBA2 IHFDBA2

VII° KIHFDBA1

VI° VII° LJHGEC1 LJHGECA1 LHGECA1 LJHGEA2 LJHGCA2 LJHECA2 LJGECA2 JHGECA2

131

I° E15 C16 K16 F18 H18 J18 A28

II° KE7 FE7 KJ8 KC8 EC8 JF10 JE10 HE10 KH11 JH11 JC11 FC11 KF12 HF12 HC12 EA15 KA16 CA16 JA18 HA18 FA18

III° KJE3 KEC3 KFE4 JFE4 KJC5 FEC5 KJH6 KJF6 KHE6 KHC6 KFC6 JHF6 JHE6 JFC6 JEC6 HFE6 HEC6 KEA7 FEA7 KJA8 KHF8 KCA8 JHC8 HFC8 ECA8 JFA10 JEA10 HEA10 JHA11 KHA11 JCA11 FCA11 HFA12 KFA12 HCA12

I° I15 K16 C16 D18 F18 H18 A28

II° IH7 IC7 KI8 KC8 DC8 IF10 ID10 HD10 KH11 KD11 FD11 FC11 KF12 HF12 HC12 IA15 KA16 CA16 HA18 FA18 DA18

III° KIC3 IDC3 IHD4 IHC4 KIH5 KDC5 KIF6 KHD6 KFC6 KID6 KHC6 IHF6 IFD6 IFC6 HFD6 HDC6 FDC6 IHA7 ICA7 KHF8 KFD8 KCA8 KIA8 HFC8 DCA8 IDA10 IFA10 HDA10 KDA11 KHA11 FDA11 FCA11 HFA12 KFA12 HCA12

IV° KJFE2 KJEC2 KFEC2 KJHE3 KJFC3 KJEA3 KHEC3 JHFE3 JFEC3 KJHF4 KJHC4 KHFE4 KHFC4 KFEA4 JHEC4 JHFC4 JFEA4 HFEC4 KJCA5 FECA5 KJHA6 KJFA6 KHEA6 KHCA6 KFCA6 KECA6 JHFA6 JHEA6 JFCA6 JECA6 HFEA6 HECA6 KHFA8 JHCA8 HFCA8 IV° KIHC2 KIDC2 IHDC2 KIHD3 KIFC3 KICA3 KHDC3 IHFD3 IFDC3 IDCA3 KIHF4 KIFD4 KHFD4 KHFC4 KFDC4 IHFC4 IHDA4 IHCA4 HFDC4 KIHA5 KDCA5 KIFA6 KIDA6 KHDA6 KHCA6 KFCA6 IHFA6 IFDA6 IFCA6 HFDA6 HDCA6 FDCA6 KHFA8 KFDA8 HFCA8

V° KJFEC1 KJHFE2 KJHFC2 KJHEC2 KJFEA2 KJECA2 KHFEC2 KFECA2 JHFEC2 KJHEA3 KJFCA3 KHECA3 JHFEA3 JFECA3 KJHFA4 KJHCA4 KHFEA4 KHFCA4 JHFCA4 JHECA4 HFECA4

V° KIHDC1 KIHFD2 KIHFC2 KIHCA2 KIFDC2 KIDCA2 KHFDC2 IHFDC2 IHDCA2 KIHDA3 KIFCA3 KHDCA3 IHFDA3 IFDCA3 KIHFA4 KIFDA4 KHFDA4 KHFCA4 KFDCA4 IHFCA4 HFDCA4

VI° VII° KJHFEC1 KJHFECA1 KJFECA1 KJHFEA2 KJHFCA2 KJHECA2 KHFECA2 JHFECA2

VI° KIHFDC1 KIHDCA1 KIHFDA2 KIHFCA2 KIFDCA2 KHFDCA2 IHFDCA2

VII° KIHFDCA1

132 I° B10 G14 I15 K16 D18 F18 A28

II° GB5 GF5 KG7 IG7 IB7 FB7 KI8 KB8 DB8 IF10 ID10 BA10 KD11 GD11 FD11 KF12 GA14 IA15 KA16 FA18 DA18

III° KIG3 KGB3 IGF3 GFB3 KGF4 IGB4 IFB4 KIB5 GFD5 GFA5 GDB5 GBA5 FDB5 KIF6 KID6 KGD6 KFB6 KDB6 IGD6 IFD6 IDB6 KGA7 IGA7 IBA7 FBA7 KIA8 KFD8 KBA8 DBA8 IFA10 IDA10 FDA11 GDA11 KDA11 KFA12

I° L10 C16 J18 H18 F18 D18 A28

II° LF5 LD5 LH7 LJ8 LC8 DC8 LA10 JF10 HD10 JH11 JD11 JC11 FD11 FC11 HF12 HC12 CA16 JA18 HA18 FA18 DA18

III° LFD2 LJF3 LDC3 LJD4 LHF4 LHD4 LJH5 LFC5 LFA5 LDA5 JDC5 LJC6 LHC6 JHF6 JHD6 JFD6 JFC6 HFD6 HDC6 FDC6 LHA7 LJA8 LCA8 JHC8 HFC8 DCA8 JFA10 HDA10 JHA11 JDA11 JCA11 FDA11 FCA11 HFA12 HCA12

IV° KIGF2 KIGB2 KGFB2 IGFB2 KIGD3 KIGA3 KIFB3 KGDB3 KGBA3 IGFD3 IGFA3 IFDB3 GFDB3 GFBA3 KIFD4 KIDB4 KGFD4 KGFA4 KFDB4 IGDB4 IGBA4 IFBA4 KIBA5 GFDA5 GDBA5 FDBA5 KIFA6 KIDA6 KGDA6 KFBA6 KDBA6 IGDA6 IFDA6 IDBA6 KFDA8 IV° LJFD1 LJHF2 LJDC2 LHFD2 LFDC2 LFDA2 LJHD3 LJFC3 LJFA3 LHDC3 LDCA3 JHFD3 JFDC3 LJHC4 LJDA4 LHFC4 LHFA4 LHDA4 JHFC4 JHDC4 HFDC4 LJHA5 LFCA5 JDCA5 LJCA6 LHCA6 JHFA6 JHDA6 JFDA6 JFCA6 HFDA6 HDCA6 FDCA6 JHCA8 HFCA8

V° KIGFB1 KIGFD2 KIGFA2 KIGDB2 KIGBA2 KIFDB2 KGFDB2 KGFBA2 IGFDB2 IGFBA2 KIGDA3 KIFBA3 KGDBA3 IGFDA3 IFDBA3 GFDBA3 KIFDA4 KIDBA4 KGFDA4 KFDBA4 IGDBA4

V° LJHFD1 LJFDC1 LJFDA1 LHFDC1 LJHFC2 LJHFA2 LJHDC2 LJDCA2 LHFDA2 LFDCA2 JHFDC2 LJHDA3 LJFCA3 LHDCA3 JHFDA3 JFDCA3 LJHCA4 LHFCA4 JHFCA4 JHDCA4 HFDCA4

VI° KIGFDB1 KIGFBA1 KIGFDA2 KIGDBA2 KIFDBA2 KGFDBA2 IGFDBA2

VII° KIGFDBA1

VI° VII° LJHFDC1 LJHFDCA1 LJHFDA1 LJFDCA1 LJHFCA2 LJHDCA2 LHFDCA2 JHFDCA2

133 I° B10 K16 D18 F18 H18 J18 A28

II° JB5 HB5 FB7 KJ8 KB8 DB8 JF10 HD10 BA10 KH11 KD11 JH11 JD11 FD11 KF12 HF12 KA16 JA18 HA18 FA18 DA18

III° JHB2 KJB3 HDB3 JDB4 HFB4 KJD5 KHB5 JFB5 JBA5 HBA5 FDB5 KJH6 KJF6 KHD6 KFB6 KDB6 JHF6 JHD6 JFD6 HFD6 FBA7 KJA8 KHF8 KFD8 KBA8 DBA8 JFA10 HDA10 KHA11 KDA11 JHA11 JDA11 FDA11 KFA12 HFA12

I° L10 G14 E15 I15 C16 J18 A28

II° LI5 LG5 JI5 LE7 IG7 IC7 GE7 GC7 LJ8 LC8 EC8 IE9 LA10 JE10 JG11 JC11 GA14 IA15 EA15 CA16 JA18

III° LIG2 JIC2 IGC2 LJI3 LGC3 GEC3 LIE4 LIC4 LGE4 JIG4 JIE4 IGE4 IEC4 LJG5 LIA5 LGA5 LEC5 JIA5 LJE6 LJC6 JGE6 JGC6 JEC6 LEA7 ICA7 GEA7 GCA7 IGA7 LJA8 LCA8 ECA8 IEA9 JEA10 JGA11 JCA11

IV° JHDB1 KJHB2 KJDB2 JHFB2 JHBA2 HFDB2 KJHD3 KJFB3 KJBA3 KHDB3 JHFD3 JFDB3 HDBA3 KJHF4 KJFD4 KHFD4 KHFB4 KFDB4 JDBA4 HFBA4 KJDA5 KHBA5 JFBA5 FDBA5 KJHA6 KJFA6 KHDA6 KFBA6 KDBA6 JHDA6 JHFA6 JFDA6 HFDA6 KHFA8 KFDA8 IV° LIGC1 JIGC1 IGEC1 LJIG2 LJIC2 LIGE2 LIGA2 LGEC2 JIEC2 IGCA2 JICA2 LJIE3 LJIA3 LJGC3 LIEC3 LGCA3 JIGE3 JGEC3 GECA3 LJGE4 LJEC4 LIEA4 LICA4 LGEA4 JIGA4 JIEA4 IGEA4 IECA4 LJGA5 LECA5 LJEA6 LJCA6 JGEA6 JGCA6 JECA6

V° KJHDB1 JHFDB1 JHDBA1 KJHFD2 KJHFB2 KJHBA2 KJFDB2 KJDBA2 KHFDB2 JHFBA2 HFDBA2 KJHDA3 KJFBA3 KHDBA3 JHFDA3 JFDBA3 KJHFA4 KJFDA4 KHFDA4 KFDBA4 KHFBA4

V° LJIGC1 LIGEC1 LIGCA1 JIGEC1 JIGCA1 IGECA1 LJIGE2 LJIGA2 LJIEC2 LJICA2 LJGEC2 LIGEA2 LGECA2 JIECA2 LJIEA3 LJGCA3 LIECA3 JIGEA3 JGECA3 LJECA4 LJGEA4

VI° KJHFDB1 KJHDBA1 JHFDBA1 KJHFDA2 KJHFBA2 KJFDBA2 KHFDBA2

VI° LJIGEC1 LJIGCA1 LIGECA1 JIGECA1 LJIGEA2 LJIECA2 LJGECA2

VII° KJHFDBA1

VII° LJIGECA1

134 I° G14 E15 C16 K16 H18 J18 A28

II° HG5 KG7 KE7 GE7 GC7 KJ8 KC8 EC8 JE10 HE10 KH11 JH11 JG11 JC11 HC12 GA14 EA15 KA16 CA16 JA18 HA18

III° KHG2 KGE2 KJE3 KEC3 HGE3 GEC3 KJG4 KGC4 HGC4 KJC5 JHG5 HGA5 KJH6 KHE6 KHC6 JHE6 JGE6 JGC6 JEC6 HEC6 KGA7 KEA7 GEA7 GCA7 KJA8 KCA8 JHC8 ECA8 JEA10 HEA10 KHA11 JHA11 JGA11 JCA11 HCA12

IV° KJGE1 KHGE1 KGEC1 KJHG2 KJEC2 KHGC2 KHGA2 KGEA2 HGEC2 KJHE3 KJGC3 KJEA3 KHEC3 KECA3 JHGE3 JGEC3 HGEA3 GECA3 KJHC4 KJGA4 KGCA4 JHGC4 JHEC4 HGCA4 KJCA5 JHGA5 KJHA6 KHEA6 KHCA6 JHEA6 JGEA6 JGCA6 JECA6 HECA6 JHCA8

V° KJHGE1 KJGEC1 KJGEA1 KHGEC1 KHGEA1 KGECA1 KJHGC2 KJHGA2 KJHEC2 KJECA2 KHGCA2 JHGEC2 HGECA2 KHECA3 KJHEA3 KJGCA3 JHGEA3 JGECA3 KJHCA4 JHGCA4 JHECA4

VI° KJHGEC1 KJHGEA1 KJGECA1 KHGECA1 KJHGCA2 KJHECA2 JHGECA2

I° E15 I15 C16 K16 F18 H18 A28

II° KE7 IH7 IC7 FE7 KI8 KC8 EC8 IE9 IF10 HE10 KH11 FC11 KF12 HF12 HC12 IA15 EA15 KA16 CA16 HA18 FA18

III° KIC3 KEC3 KIE4 KFE4 IHE4 IHC4 IFE4 IEC4 KIH5 FEC5 KIF6 KHE6 KHC6 KFC6 IHF6 IFC6 HFE6 HEC6 KEA7 IHA7 ICA7 FEA7 KIA8 KHF8 KCA8 HFC8 ECA8 IEA9 IFA10 HEA10 FCA11 KHA11 KFA12 HFA12 HCA12

IV° KIEC1 KIFE2 KIHC2 KFEC2 IHEC2 KIHE3 KIFC3 KHEC3 KECA3 IHFE3 IFEC3 KICA3 KIHF4 KIEA4 KHFE4 KHFC4 KFEA4 IHFC4 IHEA4 IHCA4 IFEA4 IECA4 HFEC4 KIHA5 FECA5 KIFA6 KHCA6 KFCA6 IFCA6 HFEA6 HECA6 IHFA6 KHFA8 KHEA8 HFCA8

V° KIHEC1 KIFEC1 KIECA1 KIHFE2 KIHFC2 KIFEA2 KIHCA2 KHFEC2 KFECA2 IHFEC2 IHECA2 KIHEA3 KIFCA3 KHECA3 IHFEA3 IFECA3 KIHFA4 KHFEA4 KHFCA4 IHFCA4 HFECA4

VI° KIHFEC1 KIHECA1 KIFECA1 KIHFEA2 KIHFCA2 KHFECA2 IHFECA2

VII° KJHGECA1

VII° KIHFECA1

135 I° G14 I15 C16 K16 D18 F18 A28

II° GF5 KG7 IG7 IC7 GC7 KI8 KC8 DC8 IF10 ID10 KD11 GD11 FD11 FC11 KF12 GA14 IA15 KA16 CA16 FA18 DA18

III° IGC2 GFC2 KIG3 KIC3 IGF3 IDC3 KGF4 KGC4 GDC4 KDC5 GFD5 GFA5 KIF6 KID6 KGD6 KFC6 IGD6 IFD6 IFC6 FDC6 KGA7 IGA7 ICA7 GCA7 KIA8 KFD8 KCA8 DCA8 IFA10 IDA10 KDA11 GDA11 FDA11 FCA11 KFA12

IV° KIGC1 IGFC1 IGDC1 IGDA1 KIGF2 KIDC2 KGFC2 IGCA2 GFDC2 GFCA2 KIGD3 KIGA3 KIFC3 KICA3 KGDC3 IGFD3 IGFA3 IFDC3 IDCA3 KIFD4 KGFD4 KGCA4 KGFA4 KFDC4 KDCA5 GFDA5 KIFA6 KIDA6 KGDA6 KFCA6 IFDA6 IFCA6 GDCA6 FDCA6 KFDA8

V° KIGFC1 KIGDC1 KIGCA1 IGFDC1 IGFCA1 IGDCA1 KIGFD2 KIGFA2 KIFDC2 KIDCA2 KGFDC2 KGFCA2 GFDCA2 KIGDA3 KIFCA3 KGDCA3 IGFDA3 IFDCA3 KIFDA4 KGFDA4 KFDCA4

VI° KIGFDC1 KIGFCA1 KIGDCA1 IGFDCA1 KIGFDA2 KIFDCA2 KGFDCA2

VII° KIGFDCA1

I° B10 G14 I15 E15 K16 D18 A28

II° ED5 EB5 GB5 KG7 KE7 IG7 IB7 GE7 KI8 KB8 DB8 IE9 ID10 BA10 KD11 GD11 GA14 IA15 EA15 KA16 DA18

III° KGE2 KED2 GEB2 KIG3 KGB3 EDB3 KIE4 KEB4 IGE4 IGB4 IED4 IEB4 GED4 KIB5 GDB5 GBA5 EDA5 EBA5 KID6 KGD6 KDB6 IGD6 IDB6 KGA7 KEA7 IGA7 IBA7 GEA7 KIA8 KBA8 DBA8 IEA9 IDA10 KDA11 GDA11

IV° KIGE1 KGED1 KGEB1 KIED2 KIGB2 KGEA2 KEDB2 KEDA2 IGEB2 GEDB2 GEBA2 KIGD3 KIGA3 KIEB3 KGDB3 KGBA3 IGED3 IEDB3 EDBA3 KIEA4 KIDB4 KEBA4 IGDB4 IGBA4 IGEA4 IEDA4 IEBA4 GEDA4 KIBA5 GDBA5 KIDA6 KGDA6 KDBA6 IGDA6 IDBA6

V° KIGED1 KIGEB1 KIGEA1 KGEDB1 KGEDA1 KGEBA1 KIGDB2 KIGBA2 KIEDB2 KIEDA2 KIEBA2 KEDBA2 IGEDB2 IGEBA2 GEDBA2 KIGDA3 KGDBA3 IGEDA3 IEDBA3 KIDBA4 IGDBA4

VI° KIGEDB1 KIGEDA1 KIGEBA1 KGEDBA1 KIGDBA2 KIEDBA2 IGEDBA2

VII° KIGEDBA1

136 I° L10 I15 E15 C16 F18 H18 A28

II° LI5 LF5 LH7 LE7 IH7 IC7 FE7 LC8 EC8 IE9 LA10 IF10 HE10 FC11 HF12 HC12 IA15 EA15 CA16 HA18 FA18

III° LIH2 LIF3 LFE3 LIE4 LIC4 LHF4 LHE4 IHE4 IHC4 IFE4 IEC4 LIA5 LFC5 LFA5 LEC5 FEC5 LHC6 IHF6 IFC6 HFE6 HEC6 LHA7 LEA7 IHA7 ICA7 FEA7 LCA8 HFC8 ECA8 IEA9 IFA10 HEA10 FCA11 HFA12 HCA12

I° G14 C16 K16 D18 F18 J18 A28

II° GF5 KG7 GC7 KJ8 KC8 DC8 JF10 KD11 JG11 JD11 JC11 GD11 FD11 FC11 KF12 GA14 KA16 CA16 JA18 FA18 DA18

III° GFC2 JGF3 KJG4 KGF4 KGC4 GDC4 KJD5 KJC5 KDC5 JDC5 GFD5 GFA5 KJF6 KGD6 KFC6 JFD6 JFC6 JGC6 FDC6 KGA7 GCA7 KJA8 KFD8 KCA8 JGD8 DCA8 JFA10 KDA11 JGA11 JDA11 JCA11 GDA11 FDA11 FCA11 KFA12

IV° LIHE1 LIHF2 LIHC2 LIHA2 LIFE2 LHFE2 IHEC2 LIFC3 LIFA3 LIEC3 LHEC3 LFEC3 LFEA3 IHFE3 IFEC3 LHFC4 LHFA4 LIEA4 LICA4 LHEA4 IHFC4 IHEA4 IHCA4 IFEA4 IECA4 HFEC4 LFCA5 LECA5 FECA5 LHCA6 IHFA6 IFCA6 HFEA6 HECA6 HFCA8 IV° JGFC1 KJGF2 KGFC2 GFDC2 GFCA2 KJGD3 KJGC3 KJFC3 KJDC3 KGDC3 JGFD3 JGFA3 JGDC3 JFDC3 KJGA4 KJFD4 KGFD4 KGFA4 KGCA4 KFDC4 GDCA4 KJDA5 KJCA5 KDCA5 JDCA5 GFDA5 KJFA6 KGDA6 KFCA6 JFDA6 JGCA6 JFCA6 FDCA6 KFDA8 JGDA8

V° LIHFE1 LIHEC1 LIHEA1 LIHFC2 LIHFA2 LIHCA2 LIFEC2 LIFEA2 LHFEC2 LHFEA2 IHFEC2 IHECA2 LIFCA3 LIECA3 LHECA3 LFECA3 IHFEA3 IFECA3 LHFCA4 IHFCA4 HFECA4

V° KJGFC1 JGFDC1 JGFCA1 KJGFD2 KJGFA2 KJGDC2 KJFDC2 KGFDC2 KGFCA2 GFDCA2 KJGDA3 KJGCA3 KJFCA3 KJDCA3 KGDCA3 JGFDA3 JGDCA3 JFDCA3 KJFDA4 KGFDA4 KFDCA4

VI° LIHFEC1 LIHFEA1 LIHECA1 LIHFCA2 LIFECA2 LHFECA2 IHFECA2

VI° KJGFDC1 KJGFCA1 JGFDCA1 KJGFDA2 KJGDCA2 KJFDCA2 KGFDCA2

VII° LIHFECA1

VII° KJGFDCA1

137 I° B10 E15 I15 K16 D18 H18 A28

II° ED5 EB5 HB5 KE7 IH7 IB7 KI8 KB8 DB8 IE9 ID10 HE10 HD10 BA10 KH11 KD11 IA15 EA15 KA16 HA18 DA18

III° KED2 HED2 IHB3 HDB3 HEB3 EDB3 KIE4 KEB4 IHE4 IHD4 IED4 IEB4 KIH5 KIB5 KHB5 EDA5 EBA5 HBA5 KID6 KHE6 KHD6 KDB6 IDB6 KEA7 IHA7 IBA7 KIA8 KBA8 DBA8 IEA9 IDA10 HEA10 HDA10 KHA11 KDA11

IV° KHED1 IHED1 HEDB1 KIED2 KHEB2 KEDA2 KEDB2 IHEB2 IHDB2 HEDA2 KIHE3 KIHD3 KIHB3 KIEB3 KHDB3 IHBA3 IEDB3 HEBA3 HDBA3 EDBA3 KIEA4 KIDB4 KEBA4 IHEA4 IHDA4 IEDA4 IEBA4 KIHA5 KIBA5 KHBA5 KIDA6 KHEA6 KHDA6 KDBA6 IDBA6

V° KIHED1 KHEDB1 KHEDA1 IHEDB1 IHEDA1 HEDBA1 KIHEB2 KIHDB2 KIEDB2 KIEDA2 KIEBA2 KHEBA2 KEDBA2 IHEBA2 IHDBA2 KIHEA3 KIHDA3 KIHBA3 KHDBA3 IEDBA3 KIDBA4

I° L10 G14 C16 D18 H18 J18 A28

II° LG5 LD5 HG5 LH7 GC7 LJ8 LC8 DC8 LA10 HD10 JH11 JG11 JD11 JC11 GD11 HC12 GA14 CA16 JA18 HA18 DA18

III° LHG3 LGD3 LGC3 LDC3 HGD3 LJD4 LHD4 HGC4 GDC4 LJH5 LJG5 LGA5 LDA5 JHG5 JDC5 HGA5 LJC6 LHC6 JHD6 JGC6 HDC6 LHA7 GCA7 LJA8 LCA8 JHC8 JGD8 DCA8 HDA10 JHA11 JGA11 JDA11 JCA11 GDA11 HCA12

IV° LGDC1 LJDC2 LHGD2 LHGC2 HGDC2 LJHG3 LJHD3 LJGD3 LJGC3 LHGA3 LHDC3 LGDA3 LGCA3 LDCA3 JHGD3 JGDC3 HGDA3 LJHC4 LJDA4 LHDA4 JHGC4 JHDC4 HGCA4 GDCA4 LJHA5 LJGA5 JHGA5 JDCA5 LJCA6 LHCA6 JHDA6 JGCA6 HDCA6 JGDA8 JHCA8

V° LJGDC1 LHGDC1 LGDCA1 LJHGD2 LJHGC2 LJHDC2 LJDCA2 LHGDA2 LHGCA2 JHGDC2 HGDCA2 LJHGA3 LJHDA3 LJGDA3 LJGCA3 JHGDA3 JGDCA3 LJHCA4 JHDCA4 JHGCA4

VI° VII° KIHEDB1 KIHEDBA1 KIHEDA1 KHEDBA1 IHEDBA1 KIHEBA2 KIHDBA2 KIEDBA2

VI° LJHGDC1 LJGDCA1 LHGDCA1 LJHGDA2 LJHGCA2 LJHDCA2 JHGDCA2

VII° LJHGDCA1

138 I° B10 E15 K16 F18 H18 J18 A28

II° JB5 HB5 EB5 KE7 FE7 FB7 KJ8 KB8 JF10 JE10 HE10 BA10 KH11 JH11 KF12 HF12 EA15 KA16 JA18 HA18 FA18

III° JHB2 JEB2 FEB2 KJE3 KJB3 HEB3 KFE4 KEB4 JFE4 HFB4 KHB5 JFB5 HBA5 EBA5 JBA5 KJH6 KJF6 KHE6 KFB6 JHF6 JHE6 HFE6 KEA7 FEA7 FBA7 KJA8 KHF8 KBA8 JFA10 JEA10 HEA10 JHA11 KHA11 HFA12 KFA12

IV° KJEB1 JHEB1 JFEB1 KJFE2 KJHB2 KHEB2 KFEB2 JHFB2 JHBA2 JEBA2 HFEB2 FEBA2 KJHE3 KJFB3 KJEA3 KJBA3 JHFE3 HEBA3 KJHF4 KHFE4 KHFB4 KFEA4 KEBA4 JFEA4 HFBA4 KHBA5 JFBA5 KJHA6 KJFA6 KHEA6 KFBA6 JHFA6 JHEA6 HFEA6 KHFA8

V° KJFEB1 KJHEB1 JHFEB1 JHEBA1 JFEBA1 KJHFE2 KJHFB2 KJHBA2 KJFEA2 KHFEB2 KHEBA2 KFEBA2 JHFBA2 HFEBA2 KJHEA3 KJFBA3 KJEBA3 JHFEA3 KJHFA4 KHFEA4 KHFBA4

VI° KJHFEB1 KJHEBA1 KJFEBA1 JHFEBA1 KJHFEA2 KJHFBA2 KHFEBA2

VII° KJHFEBA1

I° L10 G14 E15 I15 D18 J18 A28

II° LI5 LG5 LD5 JI5 ED5 LE7 IG7 GE7 LJ8 IE9 LA10 JE10 ID10 JG11 JD11 GD11 GA14 IA15 EA15 JA18 DA18

III° LIG2 LED2 LID2 LJI3 LGD3 JID3 JED3 LJD4 LIE4 LGE4 JIG4 JIE4 IGE4 IED4 GED4 LJG5 LIA5 LGA5 LDA5 JIA5 EDA5 LJE6 JGE6 IGD6 LEA7 IGA7 GEA7 LJA8 JGD8 IEA9 JEA10 IDA10 JGA11 JDA11 GDA11

IV° LJID1 LIGD1 LIED1 LJIG2 LJED2 LIGE2 LIGA2 LIDA2 LGED2 LEDA2 JIED2 LJIE3 LJIA3 LJGD3 LGDA3 JIGE3 JIGD3 JIDA3 JGED3 JEDA3 IGED3 LJGE4 LJDA4 LIEA4 LGEA4 JIGA4 JIEA4 IGEA4 IEDA4 GEDA4 LJGA5 LJEA6 JGEA6 IGDA6 JGDA8

V° LJIGD1 LJIED1 LIGED1 LJIDA1 LIEDA1 LIGDA1 LJIGE2 LJIGA2 LJGED2 LJEDA2 LIGEA2 LGEDA2 JIGED2 JIEDA2 LJIEA3 LJGDA3 JIGEA3 JIGDA3 JGEDA3 IGEDA3 LJGEA4

VI° LJIGED1 LJIGDA1 LJIEDA1 LIGEDA1 LJIGEA2 LJGEDA2 JIGEDA2

VII° LJIGEDA1

139 I° B10 G14 I15 D18 F18 J18 A28

II° JI5 JB5 GB5 GF5 IG7 IB7 FB7 DB8 JF10 IF10 ID10 BA10 JG11 JD11 GD11 FD11 GA14 IA15 JA18 FA18 DA18

III° JIF2 JIB2 JID3 JGF3 JGB3 IGF3 GFB3 JIG4 JDB4 IGB4 IFB4 JIA5 JFB5 JBA5 GFD5 GFA5 GDB5 GBA5 FDB5 JFD6 IGD6 IFD6 IDB6 IGA7 IBA7 FBA7 JGD8 DBA8 JFA10 IFA10 IDA10 JGA11 JDA11 FDA11 GDA11

IV° JIGF1 JIFD1 JIFB1 JIGB2 JIFA2 JIDB2 JIBA2 JGFB2 IGFB2 JIGD3 JIDA3 JGFD3 JGFA3 JGDB3 JGBA3 JFDB3 IGFD3 IGFA3 IFDB3 GFDB3 GFBA3 JIGA4 JDBA4 IGDB4 IGBA4 IFBA4 JFBA5 GFDA5 GDBA5 FDBA5 JFDA6 IGDA6 IFDA6 IDBA6 JGDA8

V° JIGFD1 JIGFB1 JIGFA1 JIFDB1 JIFDA1 JIFBA1 JIGDB2 JIGBA2 JIDBA2 JGFDB2 JGFBA2 IGFDB2 IGFBA2 JIGDA3 JGFDA3 JGDBA3 JFDBA3 IGFDA3 IFDBA3 GFDBA3 IGDBA4

VI° VII° JIGFDB1 JIGFDBA1 JIGFDA1 JIGFBA1 JIFDBA1 JIGDBA2 JGFDBA2 IGFDBA2

I° L10 I15 C16 D18 F18 H18 A28

II° LI5 LF5 LD5 LH7 IH7 IC7 LC8 DC8 LA10 IF10 ID10 HD10 FD11 FC11 HF12 HC12 IA15 CA16 HA18 FA18 DA18

III° LIH2 LID2 LFD2 LIF3 LDC3 IDC3 LIC4 LHF4 LHD4 IHD4 IHC4 LIA5 LFC5 LFA5 LDA5 LHC6 IHF6 IFD6 IFC6 HFD6 HDC6 FDC6 LHA7 IHA7 ICA7 LCA8 HFC8 DCA8 IFA10 IDA10 HDA10 FDA11 FCA11 HFA12 HCA12

IV° LIHD1 LIFD1 LIDC1 LIHF2 LIHC2 LIHA2 LIDA2 LHFD2 LFDC2 LFDA2 IHDC2 LIFC3 LIFA3 LHDC3 LDCA3 IHFD3 IFDC3 IDCA3 LICA4 LHFC4 LHFA4 LHDA4 IHFC4 IHDA4 IHCA4 HFDC4 LFCA5 LHCA6 IHFA6 IFDA6 IFCA6 HFDA6 HDCA6 FDCA6 HFCA8

V° LIHFD1 LIHDC1 LIHDA1 LIFDC1 LIFDA1 LIDCA1 LHFDC1 LIHFC2 LIHFA2 LIHCA2 LHFDA2 LFDCA2 IHFDC2 IHDCA2 LIFCA3 LHDCA3 IHFDA3 IFDCA3 LHFCA4 IHFCA4 HFDCA4

VI° VII° LIHFDC1 LIHFDCA1 LIHFDA1 LIHDCA1 LIFDCA1 LIHFCA2 LHFDCA2 IHFDCA2

140 I° B10 G14 K16 D18 F18 J18 A28

II° JB5 GF5 GB5 KG7 FB7 KJ8 KB8 DB8 JF10 BA10 KD11 JG11 JD11 GD11 FD11 KF12 GA14 KA16 JA18 FA18 DA18

III° KJB3 KGB3 JGF3 JGB3 GFB3 KJG4 KGF4 JDB4 KJD5 JFB5 JBA5 GFD5 GFA5 GDB5 GBA5 FDB5 KJF6 KGD6 KFB6 KDB6 JFD6 KGA7 FBA7 KJA8 KFD8 KBA8 JGD8 DBA8 JFA10 KDA11 JGA11 JDA11 GDA11 FDA11 KFA12

I° L10 I15 E15 C16 F18 J18 A28

II° LI5 LF5 JI5 LE7 IC7 FE7 LJ8 LC8 EC8 IE9 LA10 JF10 JE10 IF10 JC11 FC11 IA15 EA15 CA16 JA18 FA18

III° JIF2 JIC2 LJI3 LJF3 LIF3 LFE3 LIE4 LIC4 JIE4 JFE4 IFE4 IEC4 LFC5 LFA5 LEC5 LIA5 JIA5 FEC5 LJE6 LJC6 JFC6 JEC6 IFC6 LEA7 ICA7 FEA7 LJA8 LCA8 ECA8 IEA9 JFA10 JEA10 IFA10 FCA11 JCA11

IV° KJGB1 KJGF2 KJDB2 KGFB2 JGFB2 KJGD3 KJFB3 KJBA3 KGDB3 KGBA3 JGFD3 JGDB3 JGBA3 JGFA3 JFDB3 GFDB3 GFBA3 KJGA4 KJFD4 KGFD4 KGFA4 KFDB4 JDBA4 KJDA5 JFBA5 GFDA5 GDBA5 FDBA5 KJFA6 KGDA6 KFBA6 KDBA6 JFDA6 KFDA8 JGDA8 IV° LJIF1 JIFE1 JIFC1 LJIC2 LJFE2 LIFE2 JIFA2 JIEC2 JICA2 LJIE3 LJIA3 LJFC3 LJFA3 LIFC3 LIFA3 LIEC3 LFEC3 LFEA3 JFEC3 IFEC3 LJEC4 LIEA4 LICA4 JIEA4 JFEA4 IFEA4 IECA4 LECA5 LFCA5 FECA5 LJEA6 LJCA6 JECA6 JFCA6 IFCA6

V° KJGFB1 KJGDB1 KJGBA1 KJGFD2 KJGFA2 KJFDB2 KJDBA2 KGFDB2 KGFBA2 JGFDB2 JGFBA2 KJGDA3 KJFBA3 KGDBA3 JGFDA3 JGDBA3 JFDBA3 GFDBA3 KJFDA4 KGFDA4 KFDBA4

V° LJIFE1 LJIFC1 LJIFA1 JIFEC1 JIFEA1 JIFCA1 LJIEC2 LJICA2 LJFEC2 LJFEA2 LIFEC2 LIFEA2 JIECA2 LJIEA3 LJFCA3 LIFCA3 LIECA3 LFECA3 JFECA3 IFECA3 LJECA4

VI° KJGFDB1 KJGFBA1 KJGDBA1 KJGFDA2 KJFDBA2 KGFDBA2 JGFDBA2

VI° LJIFEC1 LJIFEA1 LJIFCA1 JIFECA1 LJIECA2 LJFECA2 LIFECA2

VII° KJGFDBA1

VII° LJIFECA1

141 I° G14 C16 K16 D18 H18 J18 A28

II° HG5 KG7 GC7 KJ8 KC8 DC8 HD10 KH11 KD11 JH11 JG11 JD11 JC11 GD11 HC12 GA14 KA16 CA16 JA18 HA18 DA18

III° KHG2 HGD3 KJG4 KGC4 HGC4 GDC4 KJD5 KJC5 KDC5 JHG5 JDC5 HGA5 KJH6 KHD6 KHC6 KGD6 JHD6 JGC6 HDC6 KGA7 GCA7 KJA8 KCA8 JHC8 JGD8 DCA8 HDA10 KHA11 KDA11 JHA11 JGA11 JDA11 JCA11 GDA11 HCA12

I° B10 E15 I15 K16 F18 H18 A28

II° HB5 EB5 KE7 IH7 IB7 FE7 FB7 KI8 KB8 IE9 IF10 HE10 BA10 KH11 KF12 HF12 IA15 EA15 KA16 HA18 FA18

III° FEB2 IHB3 HEB3 KIE4 KFE4 KEB4 IHE4 IFE4 IFB4 IEB4 HFB4 KIH5 KIB5 KHB5 HBA5 EBA5 KIF6 KHE6 KFB6 IHF6 HFE6 KEA7 IHA7 IBA7 FEA7 FBA7 KIA8 KHF8 KBA8 IEA9 IFA10 HEA10 KHA11 KFA12 HFA12

IV° KHGD1 KJHG2 KHGC2 KHGA2 HGDC2 KJHD3 KJGD3 KJGC3 KJDC3 KHDC3 KGDC3 JHGD3 JGDC3 HGDA3 KJHC4 KJGA4 KGCA4 JHGC4 JHDC4 HGCA4 GDCA4 KJDA5 KJCA5 KDCA5 JHGA5 JDCA5 KJHA6 KHDA6 KHCA6 KGDA6 JHDA6 JGCA6 HDCA6 JGDA8 JHCA8 IV° IFEB1 KIFE2 KHEB2 KFEB2 IHFB2 IHEB2 HFEB2 FEBA2 KIHE3 KIHB3 KIFB3 KIEB3 IHFE3 IHBA3 HEBA3 KIHF4 KIEA4 KHFE4 KHFB4 KFEA4 KEBA4 IHEA4 IFEA4 IFBA4 IEBA4 HFBA4 KIHA5 KIBA5 KHBA5 KIFA6 KHEA6 KFBA6 IHFA6 HFEA6 KHFA8

V° KJHGD1 KHGDC1 KHGDA1 KJHGC2 KJHGA2 KJHDC2 KJGDC2 JHGDC2 KHGCA2 HGDCA2 KJHDA3 KJGDA3 KJGCA3 KJDCA3 KHDCA3 KGDCA3 JHGDA3 JGDCA3 KJHCA4 JHGCA4 JHDCA4

V° KIFEB1 IHFEB1 IFEBA1 KIHFE2 KIHFB2 KIHEB2 KIFEA2 KIEBA2 KHFEB2 KHEBA2 KFEBA2 IHFBA2 IHEBA2 HFEBA2 KIHEA3 KIHBA3 KIFBA3 IHFEA3 KIHFA4 KHFEA4 KHFBA4

VI° KJHGDC1 KJHGDA1 KHGDCA1 KJHGCA2 KJHDCA2 KJGDCA2 JHGDCA2

VII° KJHGDCA1

VI° VII° KIHFEB1 KIHFEBA1 KIFEBA1 IHFEBA1 KIHFEA2 KIHFBA2 KIHEBA2 KHFEBA2

142 I° L10 G14 E15 D18 H18 J18 A28

II° LG5 LD5 HG5 ED5 LH7 LE7 GE7 LJ8 LA10 JE10 HE10 HD10 JH11 JG11 JD11 GD11 GA14 EA15 JA18 HA18 DA18

III° LED2 HED2 LHG3 LGD3 JED3 HGE3 HGD3 LJD4 LHE4 LHD4 LGE4 GED4 LJH5 LJG5 LDA5 LDA5 JHG5 HGA5 EDA5 LJE6 JHE6 JHD6 JGE6 LHA7 LEA7 GEA7 LJA8 JGD8 JEA10 HEA10 HDA10 JHA11 JGA11 JDA11 GDA11

IV° LHGE1 LHED1 JHED1 HGED1 LJED2 LHGD2 LGED2 LEDA2 HEDA2 LJHG3 LJHE3 LJHD3 LJGD3 LHGA3 LGDA3 JHGE3 JHGD3 JGED3 JEDA3 HGEA3 HGDA3 LJGE4 LJDA4 LHEA4 LHDA4 LGEA4 GEDA4 LJHA5 LJGA5 JHGA5 LJEA6 JHEA6 JHDA6 JGEA6 JGDA8

V° LJHED1 LHGED1 LHGEA1 LHEDA1 JHGED1 JHEDA1 HGEDA1 LJHGE2 LJHGD2 LJGED2 LJEDA2 LHGDA2 LGEDA2 LJHGA3 LJHEA3 LJHDA3 LJGDA3 JHGEA3 JHGDA3 JGEDA3 LJGEA4

VI° LJHGED1 LJHEDA1 LHGEDA1 JHGEDA1 LJHGEA2 LJHGDA2 LJGEDA2

VII° LJHGEDA1

I° B10 G14 I15 E15 D18 J18 A28

II° JI5 JB5 GB5 ED5 EB5 IG7 IB7 GE7 DB8 IE9 JE10 ID10 BA10 JG11 JD11 GD11 GA14 IA15 EA15 JA18 DA18

III° JIB2 JEB2 GEB2 JID3 JGB3 JED3 EDB3 JIG4 JIE4 JDB4 IGE4 IGB4 IED4 IEB4 GED4 JIA5 JBA5 GDB5 GBA5 EDA5 EBA5 JGE6 IGD6 IDB6 IGA7 IBA7 GEA7 JGD8 DBA8 IEA9 JEA10 IDA10 JGA11 JDA11 GDA11

IV° JIEB1 JGEB1 JEDB1 JIGB2 JIED2 JIDB2 JIBA2 JEBA2 IGEB2 GEDB2 GEBA2 JIGE3 JIGD3 JIDA3 JGED3 JGDB3 JGBA3 JEDA3 IGED3 IEDB3 EDBA3 JIGA4 JIEA4 JDBA4 IGEA4 IGDB4 IGBA4 IEDA4 IEBA4 GEDA4 GDBA5 JGEA6 IGDA6 IDBA6 JGDA8

V° JIGEB1 JIEDB1 JIEBA1 JGEDB1 JGEBA1 JEDBA1 JIGED2 JIGDB2 JIGBA2 JIEDA2 JIDBA2 IGEDB2 IGEBA2 GEDBA2 JIGEA3 JIGDA3 JGEDA3 JGDBA3 IGEDA3 IEDBA3 IGDBA4

VI° VII° JIGEDB1 JIGEDBA1 JIGEBA1 JIEDBA1 JIGEDA2 JIFDBA2 JIGEDA2 IGEDBA2

143

3.Criterio quantitativo per la determinazione della differenza tra due modi o strutture Dati due modi o strutture del medesimo ordine, il numero di altezze differenti che li caratterizza ne misura la differenza: maggiore è il numero di altezze differenti, maggiore è la differenza tra i due modi o strutture. Dato un insieme di modi o strutture del medesimo ordine, è possibile valutare la differenza tra uno di essi o una di esse e tutti gli altri modi o strutture appartenenti all’insieme stesso in base al criterio  quantitativo sopra esposto. Tali altri modi o strutture possono così essere ordinati in base alla differenza rispetto al modo preso in considerazione o alla struttura presa in considerazione. Quando due o più modi o strutture sono caratterizzati dallo stesso numero di altezze differenti rispetto al modo o alla struttura preso in considerazione, essi o esse sono egualmente differenti rispetto al modo o alla struttura preso in considerazione.

Esempio 1: differenza tra modi appartenenti ad un determinato insieme di modi Si  prenda  in  considerazione  l’insieme  di  modi  presentato  al  punto  III.  dell’esempio  1  relativo  al  paragrafo sugli ordini di descrittività di modi e strutture. Nelle seguenti tabelle viene misurata, per ciascuno dei modi appartenenti a tale insieme, la differenza tra esso e tutti gli altri modi. L’intestazione di ciascuna colonna, in grassetto, indica il modo preso in considerazione.  In  ciascuna  colonna,  dall’alto  verso  il  basso,  è  possibile  vedere  l’ordinamento in senso crescente degli altri modi in base alla differenza di ciascun modo rispetto al modo preso in considerazione. Il numero a fianco a ciascun modo indica il numero di altezze differenti tra esso e il modo preso in considerazione. I modi egualmente differenti dal modo preso in considerazione sono stati raccolti insieme.

ACEFHJL ACEGHJL ACEFHJK ACDFHJL ACEFHIL ACEFIJL ACDFHJK ACEGIJL ACEGHJK ACEFHIK ACDGHJL ABEFHJK ACDFHIL ADEGHJL ACDFHIK ABDFHJK ACDFGJK ADEGIJL ACDGHJK ABEFHIK ABDFHIK ACDFGIK ABDEHIK ABDFGIJ ABDFGJK ABDFGIK ABDEGIK ABDEGIJ

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5

ACDFHJK ACEFHJK ACDFHIK ACDFHJL ABDFHJK ACDFGJK ABDEHIK ACDGHJK ACEFHJL ABDFHIK ACEGHJK ACEFHIK ACDFGIK ACDGHJL ABEFHJK ACDFHIL ABDFGJK ACEGHJL ABDFGIK ACEFHIL ABDFGIJ ACEFIJL ABEFHIK ADEGHJL ACEGIJL ABDEGIK ADEGIJL ABDEGIJ

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4

ABDFHIK ACDFHIK ABDFGIK ABDFHJK ABDEHIK ABEFHIK ACDFHJK ACEFHIK ACDFGIK ABDEGIK ABEFHJK ABDFGIJ ACDFHIL ABDFGJK ACEFHJK ACDFHJL ACEFHIL ACDFGJK ACEFIJL ACDGHJK ABDEGIJ ACEFHJL ACEGHJK ACDGHJL ADEGIJL ADEGHJL ACEGHJL ACEGIJL

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5

ACEGHJL ACEFHJL ACEGIJL ACEGHJK ACDGHJL ADEGHJL ACEFHJK ACDFHJL ACEFHIL ADEGIJL ACEFIJL ACDGHJK ACDFHJK ACEFHIK ACDFGJK ABEFHJK ACDFHIL ABDEGIJ ACDFHIK ABDFHJK ACDFGIK ABDEGIK ABDEHIK ABDFGIJ ABDFGJK ABEFHIK ABDFHIK ABDFGIK

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5

ACEFHJK ACEFHJL ACDFHJK ACEFHIK ABEFHJK ACEGHJL ACDFHIK ACDFHJL ABDFHJK ACEGHJK ACEFHIL ACDFGJK ACEFIJL ACDGHJK ABEFHIK ABDFHIK ACEGIJL ACDFGIK ABDEHIK ACDGHJL ACDFHIL ABDFGJK ADEGHJL ABDFGIK ABDEGIK ADEGIJL ABDFGIJ ABDEGIJ

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

ACDFHIK ACDFHJK ABDFHIK ACEFHIK ACDFGIK ACDFHIL ACEFHJK ABDFGIK ACDFHJL ABDFHJK ACEFHIL ACDFGJK ABDEHIK ACDGHJK ABEFHIK ACEFHJL ACEGHJK ABDEGIK ACDGHJL ABEFHJK ABDFGIJ ABDFGJK ACEFIJL ACEGHJL ACEGIJL ADEGIJL ADEGHJL ABDEGIJ

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

ABDFGIK ABDFHIK ACDFGIK ABDEGIK ABDFGIJ ABDFGJK ACDFHIK ABDFHJK ACDFGJK ABDEHIK ABEFHIK ABDEGIJ ACEGIJL ABEFHJK ADEGIJL ACDFHIL ACDGHJK ACEFHIK ACDFHJK ACEFHJK ACDFHJL ACEGHJK ACEFHIL ACDGHJL ACEFIJL ADEGHJL ACEFHJL ACEGHJL

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5

144 ACDFHJL ACEFHJL ACDFHJK ACDGHJL ACDFHIL ACEGHJL ACEFHJK ACDFHIK ABDFHJK ACEFHIL ACDFGJK ACEFIJL ACDGHJK ADEGHJL ABDFHIK ACEGHJK ACEFHIK ACDFGIK ABEFHJK ADEGIJL ABDFGIJ ABDFGJK ABDFGIK ACEGIJL ABDEHIK ABEFHIK ABDEGIJ ABDEGIK

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5

ABDFHJK ACDFHJK ABDFHIK ABEFHJK ABDFGJK ACEFHJK ACDFHIK ABDFGIK ACDFHJL ACDFGJK ABDEHIK ABDFGIJ ACDGHJK ABEFHIK ACEFHJL ACEGHJK ACEFHIK ACDFGIK ABDEGIK ACDGHJL ACDFHIL ADEGHJL ABDEGIJ ACEGHJL ACEFHIL ADEGIJL ACEFIJL ACEGIJL

ACEFHIL ACEFHJL ACEFHIK ACDFHIL ACEFIJL ACEGHJL ACEFHJK ACDFHIK ACDFHJL ACEGIJL ABEFHIK ACDFHJK ABDFHIK ACEGHJK ACDFGIK ABDEHIK ACDGHJL ABEFHJK ADEGIJL ADEGHJL ABDFGIK ABDFHJK ABDEGIK ACDFGJK ABDFGIJ ACDGHJK ABDEGIJ ABDFGJK

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5

ACDFGJK ACDFHJK ACDFGIK ABDFGJK ACDGHJK ACEFHJK ACDFHIK ABDFGIK ACDFHJL ABDFHJK ACEGHJK ACDGHJL ABDFGIJ ACEFHJL ABDFHIK ACEGHJL ACEGIJL ACEFHIK ABDEGIK ABEFHJK ADEGIJL ACDFHIL ACEFIJL ADEGHJL ABDEGIJ ACEFHIL ABDEHIK ABEFHIK

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4

ACEGIJL ACEGHJL ADEGIJL ACEFIJL ACEFHJL ACEGHJK ACEFHIL ACDGHJL ADEGHJL ABDEGIJ ACEFHJK ACDFHJL ACEFHIK ACDFGIK ABDEGIK ACDFGJK ABDFGIJ ACDFHIL ACDGHJK ACDFHJK ACDFHIK ABDEHIK ABEFHJK ABDFGJK ABEFHIK ABDFHIK ABDFGIK ABDFHJK

ABDEHIK ABDFHIK ABDEGIK ABEFHIK ACDFHIK ABDFGIK ABDFHJK ACEFHIK ABEFHJK ACDFHIL ABDEGIJ ACDFHJK ACEFHJK ACEGHJK ACDFGIK ACEFHIL ADEGIJL ABDFGIJ ABDFGJK ACDGHJK ADEGHJL ACEFHJL ACEGHJL ACDFHJL ACEGIJL ACDFGJK ACDGHJL ACEFIJL

1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

ACEGHJK ACEGHJL ACEFHJK ACDGHJK ACEFHJL ACDFHJK ACEGIJL ACEFHIK ACDFGJK ACDGHJL ABEFHJK ADEGHJL ACDFHIK ACDFHJL ABDFHJK ACDFGIK ABDEGIK ACEFHIL ABDEHIK ADEGIJL ABDFGJK ACEFIJL ABEFHIK ABDEGIJ ABDFHIK ABDFGIK ABDFGIJ ACDFHIL

ACDGHJL ACEGHJL ACDFHJL ACDGHJK ADEGHJL ACEFHJL ACDFHJK ACEGIJL ACEGHJK ACDFGJK ADEGIJL ACDFHIL ACEFHJK ACDFHIK ABDFHJK ACDFGIK ACEFHIL ABDFGIJ ABDFGJK ACEFIJL ABDEGIJ ABDFHIK ABDFGIK ACEFHIK ABDEGIK ABDEHIK ABEFHJK ABEFHIK

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5

ACEFHIK ACEFHJK ACDFHIK ACEFHIL ABEFHIK ACEFHJL ACDFHJK ABDFHIK ACEGHJK ACDFGIK ABDEHIK ABEFHJK ACDFHIL ACEFIJL ACEGHJL ABDFGIK ACDFHJL ABDFHJK ACEGIJL ABDEGIK ACDFGJK ACDGHJK ACDGHJL ADEGIJL ABDFGIJ ABDFGJK ADEGHJL ABDEGIJ

ABEFHJK ACEFHJK ABDFHJK ABEFHIK ACEFHJL ACDFHJK ABDFHIK ACEGHJK ACEFHIK ABDEHIK ABDFGJK ACEGHJL ACDFHIK ACDFHJL ABDEGIK ACEFHIL ACDFGJK ABDFGIJ ACEFIJL ACDGHJK ADEGHJL ABDEGIJ ABDFGIK ACEGIJL ACDFGIK ACDGHJL ADEGIJL ACDFHIL

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4

ACDFGIK ACDFHIK ABDFGIK ACDFGJK ACDFHJK ABDFHIK ACEFHIK ABDEGIK ABDFGIJ ACDFHIL ABDFGJK ACDGHJK ACEFHJK ACDFHJL ABDFHJK ACEGIJL ACEGHJK ACEFHIL ABDEHIK ACDGHJL ADEGIJL ACEFIJL ABEFHIK ABDEGIJ ACEFHJL ACEGHJL ABEFHJK ADEGHJL

ADEGIJL ACEGIJL ADEGHJL ABDEGIJ ACEGHJL ABDEGIK ACDGHJL ABDFGIJ ACEFIJL ACEFHJL ABDFGIK ACDFHJL ACEGHJK ACDFGIK ACEFHIL ACDFGJK ABDEHIK ACDFHIL ABDFGJK ACDGHJK ACDFHJK ABDFHIK ACEFHJK ACDFHIK ABDFHJK ACEFHIK ABEFHJK ABEFHIK

1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4

ABDEGIK ABDFGIK ABDEHIK ABDEGIJ ABDFHIK ACDFGIK ADEGIJL ABDFGIJ ABDFGJK ABEFHIK ABDFHJK ACEGIJL ACEGHJK ACEFHIK ACDFGJK ABEFHJK ACDGHJK ADEGHJL ACDFHIK ACDFHJK ACEGHJL ACEFHJK ACEFHIL ACDGHJL ACDFHIL ACEFIJL ACEFHJL ACDFHJL

ABDFGIJ ABDFGIK ABDFGJK ABDEGIJ ABDFHIK ABDFHJK ACDFGIK ABDEGIK ACDFGJK ADEGIJL ACDFHJK ACDFHIK ACDFHJL ACEGIJL ABDEHIK ACDGHJL ABEFHJK ACDFHIL ACEFIJL ACDGHJK ABEFHIK ADEGHJL ACEFHJL ACEGHJL ACEFHJK ACEGHJK ACEFHIK ACEFHIL

1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4

1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5

145 ACDFHIL ACDFHIK ACDFHJL ACEFHIL ACEFHJL ACDFHJK ABDFHIK ACEFHIK ACDFGIK ACDGHJL ACEFIJL ACEGHJL ACEFHJK ABDFGIK ABDFHJK ACEGIJL ACDFGJK ABDEHIK ADEGIJL ABDFGIJ ACDGHJK ABEFHIK ADEGHJL ACEGHJK ABDEGIK ABEFHJK ABDFGJK ABDEGIJ

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

ABDFGJK ABDFGIK ABDFHJK ACDFGJK ABDFGIJ ACDFHJK ABDFHIK ACDFGIK ABDEGIK ABEFHJK ACDGHJK ABDEGIJ ACEFHJK ACDFHIK ACDFHJL ACEGHJK ABDEHIK ACDGHJL ADEGIJL ABEFHIK ADEGHJL ACEFHJL ACEGHJL ACEGIJL ACEFHIK ACDFHIL ACEFIJL ACEFHIL

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5

ACEFIJL ACEFHJL ACEGIJL ACEFHIL ACEGHJL ACEFHJK ACDFHJL ACEFHIK ADEGIJL ACDFHJK ACDFHIK ACEGHJK ACDFGIK ACDFGJK ACDGHJL ABEFHJK ABDFGIJ ACDFHIL ABEFHIK ADEGHJL ABDEGIJ ABDFHIK ABDFGIK ABDFHJK ABDEGIK ABDEHIK ABDFGJK ACDGHJK

1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

ACDGHJK ACDFHJK ACEGHJK ACDFGJK ACDGHJL ACEGHJL ACEFHJK ACDFHIK ACDFHJL ABDFHJK ACDFGIK ABDFGJK ADEGHJL ACEFHJL ABDFHIK ABDFGIK ACEGIJL ACEFHIK ABDEGIK ABDEHIK ABEFHJK ADEGIJL ABDFGIJ ACDFHIL ABDEGIJ ACEFHIL ACEFIJL ABEFHIK

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4

ABEFHIK ABDFHIK ACEFHIK ABDEHIK ABEFHJK ACEFHJK ACDFHIK ABDFGIK ABDFHJK ABDEGIK ACEFHIL ACEFHJL ACDFHJK ACEGHJK ACDFGIK ABDFGIJ ACDFHIL ABDFGJK ACEFIJL ABDEGIJ ACEGHJL ACDFHJL ACEGIJL ACDFGJK ADEGIJL ACDGHJK ADEGHJL ACDGHJL

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5

ADEGHJL ACEGHJL ACDGHJL ADEGIJL ACEFHJL ACDFHJL ACEGIJL ACEGHJK ACDGHJK ABDEGIJ ACDFHJK ACEFHJK ABDFHJK ABDEGIK ACEFHIL ACDFGJK ABDEHIK ABEFHJK ABDFGIJ ACDFHIL ABDFGJK ACEFIJL ABDFHIK ACDFHIK ABDFGIK ACEFHIK ACDFGIK ABEFHIK

1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4

ABDEGIJ ABDEGIK ADEGIJL ABDFGIJ ABDFGIK ACEGIJL ABDEHIK ABDFGJK ADEGHJL ABDFHIK ACEGHJL ABDFHJK ACEGHJK ACDFGIK ACDFGJK ACDGHJL ABEFHJK ACEFIJL ACDGHJK ABEFHIK ACEFHJL ACDFHJK ACEFHJK ACDFHIK ACDFHJL ACEFHIK ACEFHIL ACDFHIL

1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4

4.Criterio qualitativo per la determinazione della differenza tra due modi o strutture Dati due modi o strutture appartenenti ad un insieme di modi o strutture del medesimo ordine, la dimensione  del  sottoinsieme  isolato  dall’altezza o dalla combinazione di altezze che deve essere sostituita o devono essere sostituite nel primo modo o nella prima struttura per ottenere il secondo modo o la seconda struttura misura la differenza del secondo modo o della seconda struttura rispetto al primo modo o alla prima struttura: minore è la dimensione del sottoinsieme isolato dall’altezza o  dalla combinazione di altezze che deve essere sostituita o devono essere sostituite nel primo modo o nella prima struttura per ottenere il secondo modo o la seconda struttura, maggiore è la differenza del secondo modo o della seconda struttura rispetto al primo modo o alla prima struttura. Dato un insieme di modi o strutture del medesimo ordine, è possibile valutare la differenza tra uno di essi o una di esse e tutti gli altri modi o strutture appartenenti all’insieme stesso in base al criterio  qualitativo sopra esposto. Tali altri modi o strutture possono così essere ordinati in base alla differenza rispetto al modo preso in considerazione o alla struttura presa in considerazione. Quando  sono  uguali  le  dimensioni  dei  sottoinsiemi  isolati  dall’altezza  o  dalla  combinazione  di  altezze che deve essere sostituita o devono essere sostituite nel modo preso in considerazione o nella struttura presa in considerazione per ottenere due o più altri modi o strutture appartenenti all’insieme stesso, questi ultimi o queste ultime sono egualmente differenti rispetto al modo preso in  considerazione o alla struttura presa in considerazione.

Esempio 1: differenza tra modi appartenenti ad un determinato insieme di modi Si  prenda  in  considerazione  l’insieme  di  modi  presentato  al  punto  III.  dell’esempio  1  relativo  al  paragrafo sugli ordini di descrittività di modi e strutture.

146 Nelle seguenti tabelle viene misurata, per ciascuno dei modi appartenenti a tale insieme, la differenza tra esso e tutti gli altri modi. L’intestazione di ciascuna colonna, in grassetto, indica il modo preso in considerazione.  In  ciascuna  colonna,  dall’alto  verso  il  basso,  è  possibile  vedere  l’ordinamento  in senso crescente degli altri modi in base alla differenza di ciascun modo rispetto al modo preso in considerazione. Il numero a fianco a ciascun modo indica la dimensione del sottoinsieme isolato dall’altezza o dalla  combinazione di altezze che deve essere sostituita o devono essere sostituite nel modo preso in considerazione per ottenerlo (tale altezza o combinazione di altezze è indicata tra parentesi). I modi egualmente differenti dal modo preso in considerazione sono stati raccolti insieme.

ACEFHJL ACEGHJL ACEFHIL ACEFIJL ACDFHJL ACEGIJL ADEGHJL ACEFHJK ACDFHIL ACEFHIK ABEFHJK ADEGIJL ACDFHJK ACDGHJL ACDFHIK ABEFHIK ABDFHJK ACEGHJK ABDFHIK ACDFGJK ABDEGIJ ACDFGIK ABDEHIK ABDFGIJ ABDFGJK ACDGHJK ABDFGIK ABDEGIK

18 18 18 15 12 11 10 10 8 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2

(F) (J) (H) (E) (FH) (CF) (L) (EJ) (JL) (CL) (CFH) (EL) (EF) (EJL) (CJL) (CEL) (FL) (CEJL) (EHL) (CFHL) (EHJL) (CFJL) (CEHL) (CEHL) (EFL) (CEHJL) (CFHJL)

ACDFHJK ACEFHJK ACDFHIK ACDFGJK ACDGHJK ACDFHJL ABDFHJK ACDGHJL ABDFGJK ACEFHJL ABDFHIK ACEGHJK ACEFHIK ACDFGIK ACEGHJL ABDFGIK ABEFHJK ACDFHIL ABDEHIK ABDFGIJ ACEFIJL ADEGHJL ACEFHIL ABEFHIK ACEGIJL ABDEGIK ADEGIJL ABDEGIJ

18 18 18 18 16 16 12 12 11 11 11 11 11 8 8 8 8 6 6 6 6 5 5 4 4 4 4

(D) (J) (H) (F) (K) (C) (FK) (CH) (DK) (CJ) (DF) (DJ) (HJ) (DFK) (CHJ) (CD) (JK) (CFJ) (CHK) (DHK) (CFK) (DJK) (CDJ) (DFHK) (CFHJ) (CFHK) (CFHK)

ABDFHIK ABDFGIK ABDEHIK ABEFHIK ABDFHJK ABDEGIK ABDFGIJ ACDFHIK ABEFHJK ACEFHIK ACDFHIL ABDEGIJ ACDFHJK ABDFGJK ACEFHJK ACEFHIL ACDFHJL ACDFGIK ACEFHJL ADEGIJL ACDGHJK ACEGHJK ACDFGJK ACDGHJL ACEFIJL ADEGHJL ACEGHJL ACEGIJL

18 18 18 15 12 11 10 10 8 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2

(H) (F) (D) (I) (FH) (HK) (B) (DI) (BD) (BK) (FHK) (BI) (HI) (BDI) (BDK) (BIK) (BH) (BDIK) (BFHK) (BFI) (BDFI) (BHI) (BFIK) (BDHK) (BFIK) (BDFIK) (BDFHK)

ACEGHJL ACEGIJL ADEGHJL ACDGHJL ACEFHJL ADEGIJL ACEGHJK ACDFHJL ACDGHJK ACDFHIL ABDEGIJ ACEFHJK ACEFHIK ACEFHIL ACEFIJL ACDFHJK ACDFHIK ABDEGIK ACDFGJK ACDFGIK ABDEHIK ABEFHJK ABDFGIJ ABDFGJK ABEFHIK ABDFHIK ABDFGIK ABDFHJK

18 16 15 14 12 10 7 7 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2

(H) (C) (E) (G) (CH) (L) (EG) (EL) (EGJ) (CHL) (GL) (GJL) (GJL) (GH) (EGL) (EGJL) (CHJL) (EHL) (EHJL) (CGJL) (CGL) (CEHL) (CEHL) (CGJL) (CEGJL) (CEHJL) (CEGL)

147 ACEFHJK ACEGHJK ACEFHIK ACEFHJL ABEFHJK ACDFHJK ACEGHJL ACEFIJL ABEFHIK ACDFHIK ACDFGJK ABDFHJK ACEGIJL ACEFHIL ACDFHJL ACDGHJK ABDFHIK ACDFGIK ABDEHIK ABDFGJK ADEGHJL ABDFGIK ABDEGIK ACDGHJL ADEGIJL ABDEGIJ ABDFGIJ ACDFHIL

18 18 16 16 15 12 11 11 10 10 8 8 8 7 7 6 6 6 6 6 4 4 4 4 4 3 3

(F) (J) (K) (C) (E) (FK) (HK) (CJ) (EJ) (EH) (CE) (FHK) (JK) (EK) (EF) (CEJ) (EHJ) (CFJ) (CEH) (CFK) (CEHJ) (CFHJ) (EFK) (CFHK) (CFHK) (CEHK) (EJK)

ABDFHJK ABDFHIK ABEFHJK ABDFGJK ABDFGIK ABDFGIJ ABEFHIK ACDFHJK ABDEHIK ACEFHJK ACDFHIK ACDFHJL ABDEGIJ ACDGHJK ACEFHJL ABDEGIK ACDGHJL ADEGHJL ACEGHJK ACDFGJK ACEGHJL ACEFHIK ADEGIJL ACDFHIL ACEFIJL ACEGIJL ACDFGIK ACEFHIL

18 18 18 11 11 11 10 10 8 8 8 8 7 6 6 6 6 5 5 4 4 4 3 3 2 2 2

(J) (D) (H) (HJ) (HK) (DJ) (B) (FJ) (BD) (BJ) (BK) (FHK) (BF) (BDK) (FHJ) (BFK) (BFK) (BDF) (BH) (BDFK) (BDJ) (BFHK) (BJK) (BDHK) (BDFHK) (BHJ) (BDJK)

ACDFHIK ACEFHIK ACDFGIK ACDFHIL ABDFHIK ACDFHJK ABDFGIK ACEFHIL ABDEHIK ACEFHJK ACDGHJK ACDFHJL ABDEGIK ABDFGIJ ABEFHIK ABDFHJK ACDFGJK ACEFHJL ACEGHJK ACDGHJL ACEFIJL ACEGHJL ACEGIJL ABDFGJK ABDEGIJ ABEFHJK ADEGHJL ADEGIJL ACEGIJL ADEGIJL ACEGHJL ACEFIJL ACEFHIL ACDGHJL ABDEGIJ ACEFHJL ADEGHJL ACDFGIK ABDEGIK ACDFHIL ACEGHJK ACEFHIK ABDFGIJ ACDFHIK ABDFGIK ACDFHJL ACDFGJK ACDGHJK ABDEHIK ABDFGJK ABEFHIK ACDFHJK ABDFHIK ACEFHJK ABDFHJK ABEFHJK

18 18 16 16 15 12 11 11 10 10 8 8 8 8 7 7 6 6 6 6 4 4 4 4 3 3 2

16 15 14 11 9 8 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1

(D) (H) (K) (C) (I) (CH) (DK) (CF) (DI) (FI) (IK) (CFH) (CK) (CD) (CI) (HI) (DIK) (DFI) (FIK) (DHK) (DFIK) (DFHK) (CHI) (CFHK) (CDI) (CFIK) (CFHIK)

(C) (I) (G) (GJ) (EI) (CL) (GI) (CI) (EJL) (CJL) (EGJ) (IL) (GJL) (CEL) (EGJL) (CEJL) (EGI) (EIL) (EIL) (CGJL) (CEIL) (CGJL) (EGIL) (CEGJL) (GIL) (CEGIL) (CGIL)

ABDFGIK ABDEGIK ABDFGIJ ABDFGJK ABDFHIK ABDEGIJ ABEFHIK ACDFGIK ABDFHJK ACDFGJK ABEFHJK ADEGIJL ABDEHIK ACEFHIK ACDFHIK ACDFHJK ACEFHJK ACEGIJL ACDGHJK ACEGHJL ACEGHJK ACEFHIL ACDGHJL ACDFHIL ACEFIJL ADEGHJL ACEFHJL ACDFHJL

18 16 15 14 12 11 10 7 7 6 6 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 2 2

ACEGHJK ACEGHJL ACDGHJK ACEFHJK ACEGIJL ACEFHIK ACDFGJK ABDEGIK ADEGHJL ACEFHJL ACDFHJK ACDGHJL ABEFHJK ACDFHIK ACDFGIK ABDEHIK ADEGIJL ABDFGJK ABEFHIK ABDEGIJ ABDFGIK ACEFHIL ABDFHIK ABDFHJK ACDFHJL ACEFIJL ABDFGIJ ACDFHIL

(F) (K) (I) (G) (FK) (DG) (B) (GI) (BI) (DGI) (BFK) (FG) (BDG) (BG) (BGI) (BDGI) (BDFK) (BFI) (BFIK) (BDFI) (BDGK) (BFIK) (BGK) (BDGK) (BFIK) (BDGIK) (BGIK)

16 15 14 11 11 10 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 4 4 3 3 2 2 1 1

(K) (E) (G) (HK) (GJ) (EH) (CHJ) (CK) (GK) (EG) (EK) (CG) (EGJ) (EHJ) (CGJ) (CHK) (CEH) (CGJ) (CHK) (CEHJ) (GJK) (CEGJ) (CEG) (EGK) (GHK) (CEHK) (EGJK)

ACDFHJL ACEFHJL ACDGHJL ACDFHIL ACEGHJL ACEFHIL ADEGHJL ACDFHJK ACEFIJL ACDFHIK ABDFHJK ADEGIJL ACDFGJK ABDFHIK ACEGIJL ABDFGIJ ABDFGJK ACEFHJK ACDFGIK ACDGHJK ABDFGIK ACEFHIK ABDEGIJ ABDEHIK ABEFHJK ACEGHJK ABDEGIK ABEFHIK ACEFHIK ACEFHIL ABEFHIK ACEFHJK ACDFHIK ABDEHIK ACEGHJK ACDFGIK ACDFHJK ACEFHJL ABDFHIK ACEGIJL ABDEGIK ABEFHJK ACDFHIL ACEGHJL ABDFGIK ACEFIJL ACDFHJL ABDFHJK ACDFGJK ADEGIJL ACDGHJK ABDEGIJ ABDFGIJ ADEGHJL ACDGHJL ABDFGJK

18 18 18 11 11 11 10 10 8 8 8 7 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 2 2 2

16 16 15 15 11 10 10 9 8 8 8 8 7 7 6 6 5 4 4 4 4 4 4 3 3 2 2

(D) (F) (J) (DF) (DJ) (CF) (L) (DH) (JL) (CL) (CFH) (HL) (CJL) (DFH) (CHL) (CHL) (DL) (HJL) (FL) (CHJL) (DJL) (CFHL) (CFJL) (CDL) (DFL) (CFHJL) (CDJL)

(K) (C) (I) (E) (CF) (FI) (EH) (EI) (IK) (CE) (FHK) (CFH) (CI) (EK) (FIK) (CEH) (HIK) (EIK) (CEI) (EHI) (CFHK) (EFI) (CFHK) (CEHK) (CFIK) (EFIK) (CEHI)

148 ACDFGIK ABDFGIK ACDFGJK ACDFHIK ACEFHIK ABDEGIK ACDGHJK ABDFGIJ ACEGIJL ACDFHJK ABDFHIK ACDFHIL ABDFGJK ACEFHJK ACEGHJK ACEFHIL ACDGHJL ADEGIJL ACEFIJL ABDEGIJ ACEGHJL ABEFHIK ACEFHJL ACDFHJL ADEGHJL ABDFHJK ABDEHIK ABEFHJK

16 15 14 11 11 10 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 4 4 3 3 3 2 2 1

(C) (I) (G) (DG) (CF) (FI) (CK) (DFK) (GI) (CG) (GK) (CI) (DGI) (DFI) (DGK) (FIK) (CFK) (DGK) (CFK) (DFIK) (CDG) (DGIK) (GIK) (CFIK) (CGI) (CFG) (CDGI)

ABDEGIK ABDEGIJ ABDFGIK ABDEHIK ABEFHIK ABDFGJK ADEGIJL ABDFHIK ABDFGIJ ACEGIJL ACEGHJK ABEFHJK ACEFHIK ACDFGIK ADEGHJL ACEGHJL ACEFHJK ACDFGJK ABDFHJK ACDGHJK ACEFHIL ACDGHJL ACEFIJL ACEFHJL ACDFHIK ACDFHJK ACDFHJL ACDFHIL

ABDEHIK ABDEGIK ABEFHIK ABDFHIK ABDEGIJ ABDFGIK ABEFHJK ABDFHJK ACEFHIK ACEFHJK ACEGHJK ACEFHIL ABDFGIJ ACDFHIK ADEGIJL ADEGHJL ACEFHJL ACDFHJK ACEGHJL ACDFHIL ABDFGJK ACDGHJK ACDFHJL ACEGIJL ACDFGIK ACDGHJL ACEFIJL ACDFGJK

18 18 15 11 10 10 9 8 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 2

(H) (D) (E) (HK) (EH) (DI) (EI) (BD) (BDI) (BDI) (BDK) (EHK) (BE) (BHK) (BIK) (BDIK) (BEI) (BDIK) (BEK) (EHI) (BEI) (BEIK) (BDHK) (BEH) (BEIK) (BDHK) (BEHI)

ACDGHJL ACEGHJL ADEGHJL ACDFHJL ADEGIJL ACEFHJL ACDFHIL ACEGIJL ACDGHJK ACEFHIL ACDFGJK ABDFGIJ ABDFGJK ABDEGIJ ACDFHJK ACDFHIK ACEGHJK ACDFGIK ABDFGIK ABDEGIK ABDFHIK ACEFHJK ABDFHJK ACEFHIK ABDEHIK ACEFIJL ABEFHJK ABEFHIK

16 15 14 11 9 8 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 2 2 1 1 1

18 16 14 12 11 11 10 10 8 7 6 6 6 5 5 5 5 4 4 3 3 3 3 3 3 1 1

(K) (E) (G) (DG) (EI) (BK) (EG) (EK) (BDK) (BDI) (DGI) (BDG) (BE) (BIK) (BDIK) (BDGI) (BEI) (EGI) (BEI) (BDGK) (BEIK) (BDGK) (BDGIK) (BEG) (BEGIK) (BEGIK) (BEGK)

(D) (C) (G) (CH) (DG) (GJ) (DH) (L) (DGJ) (HL) (CHL) (CHL) (CHL) (GL) (GJL) (DL) (HJL) (CHJL) (CHJL) (CGJL) (DGL) (CGL) (DGJL) (CGJL) (DGH) (CDGL) (CDGJL)

ACEFHIL ACEFIJL ACEFHJL ACDFHIL ACEGIJL ACEGHJL ACEFHIK ACDFHJL ABDFHIK ADEGIJL ABEFHIK ACDFHIK ADEGHJL ACEFHJK ABDEHIK ACDFHJK ACDFGIK ABDEGIK ACDGHJL ABEFHJK ABDEGIJ ABDFGIK ABDFHJK ACEGHJK ABDFGIJ ACDGHJK ACDFGJK ABDFGJK ABEFHJK ABEFHIK ABDFHJK ABDFHIK ACEFHJK ABDEHIK ABDFGJK ACEFHJL ABDEGIJ ACEGHJK ACEGHJL ABDFGIK ABDEGIK ABDFGIJ ADEGHJL ACDFHJK ACEFHIK ACEFIJL ACDFHJL ACEGIJL ADEGIJL ACEFHIL ACDFGJK ACDFHIK ACDGHJL ACDGHJK ACDFGIK ACDFHIL

18 15 15 12 10 10 9 8 8 8 7 6 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 1 1

18 15 10 10 10 10 8 8 7 6 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 2 2 2 1 1

(H) (I) (E) (FH) (FI) (L) (EI) (CL) (CFH) (CL) (EL) (CFI) (IL) (CFL) (EIL) (EHL) (CFHL) (EFI) (CIL) (CFHL) (CEHL) (CEIL) (FIL) (CEHL) (EFIL) (EHIL) (CEHIL)

ACDFGJK ACDGHJK ACDFGIK ABDFGJK ACDFHJK ACDGHJL ACEGHJL ACEFHJK ACDFHIK ABDFGIK ACEGHJK ACEGIJL ACEFHIK ABDFGIJ ACDFHJL ABDFHJK ACEFHJL ABDFHIK ABDEGIK ADEGIJL ACEFIJL ADEGHJL ABDEGIJ ABEFHJK ACDFHIL ACEFHIL ABEFHIK ABDEHIK

18 18 16 14 12 11 11 11 11 11 8 8 8 7 7 6 6 6 6 6 6 6 4 4 3 3 1

(F) (J) (C) (G) (FK) (DK) (DG) (GJ) (CJ) (DF) (DFK) (DGJ) (CK) (GK) (CG) (DGK) (CGJ) (CFJ) (CFK) (DGK) (CFK) (CFK) (CDG) (GJK) (DGJK) (CDGJ) (CFGJ)

(J) (E) (EJ) (B) (FJ) (EH) (BK) (FHK) (BF) (BFK) (EHJ) (FHJ) (EHK) (BFK) (BE) (BJ) (BHK) (BEK) (BFHK) (BFHK) (BJK) (BEH) (BEJ) (BEFK) (BEF) (BEHJ) (BEJK)

ADEGIJL ACEGIJL ADEGHJL ACEFIJL ACEGHJL ABDEGIJ ACDGHJL ABDEGIK ACEFHIL ABDFGIJ ACEFHJL ABDFGIK ACDFGIK ACDFHIL ABDEHIK ABDFHIK ACDFHIK ACDFHJL ACDFGJK ABDFGJK ACDGHJK ABEFHIK ACEFHIK ACDFHJK ABDFHJK ACEGHJK ACEFHJK ABEFHJK

18 15 11 10 10 9 8 8 7 6 6 6 6 5 4 4 4 4 4 4 3 3 2 2 2 1 1

(D) (I) (DG) (DI) (L) (EI) (JL) (DGJ) (EL) (DGI) (EJL) (EJL) (EGJ) (GJL) (EGJL) (EGJL) (EGI) (EIL) (EIL) (EIL) (DGJL) (DGJL) (EGIL) (EGIL) (DIL) (DGIL) (DGIL)

149 ABDFGIJ ABDFGIK ABDEGIJ ABDFGJK ABDFHIK ABDEGIK ABEFHIK ABDFHJK ADEGIJL ABEFHJK ACEFIJL ACEGIJL ACDFGIK ACEFHJL ACDFHJK ACEFHJK ACDFHJL ACDGHJL ACDGHJK ADEGHJL ACEGHJL ACDFHIK ACEGHJK ACEFHIK ACEFHIL ABDEHIK ACDFHIL ACDFGJK

18 18 15 11 10 8 7 7 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 2

(J) (F) (I) (GJ) (FJ) (DGJ) (GI) (BF) (DGI) (BDG) (BDF) (BJ) (BDGI) (BGI) (BDGI) (BGI) (BFI) (BFI) (BFI) (BDFI) (BGJ) (BDFI) (BDGJ) (BDGJ) (FGJ) (BGJ) (BIJ)

ACDGHJK ACEGHJK ACDFGJK ACDGHJL ACDFHJK ABDFGJK ACEGHJL ACEFHJK ACDFHIK ACDFGIK ABDFGIK ACEFHIK ABDEGIK ADEGHJL ACDFHJL ABDFHJK ACEFHJL ABDFHIK ACEGIJL ABDEHIK ADEGIJL ABDFGIJ ABDEGIJ ABEFHJK ACDFHIL ACEFHIL ABEFHIK ACEFIJL

18 18 16 14 12 11 11 11 11 8 8 8 8 7 7 6 6 6 6 6 6 6 4 4 3 3 1

(D) (H) (K) (G) (CH) (DK) (DG) (GJ) (HJ) (CHJ) (DGJ) (CHJ) (CK) (GK) (CG) (DGK) (CGJ) (DHK) (CGJ) (CHK) (CHK) (CHK) (CDG) (GJK) (DGJK) (CDGJ) (DGHK)

ACDFHIL ACEFHIL ACDFHJL ACEFHJL ACDFHIK ACDGHJL ACEFIJL ABDFHIK ADEGIJL ACDFGIK ACEGHJL ABDFGIK ABDFGIJ ADEGHJL ACDFHJK ACEFHIK ABDEHIK ABDFHJK ABDEGIK ABDEGIJ ACEGIJL ACDGHJK ABEFHIK ACEFHJK ACDFGJK ABDFGJK ACEGHJK ABEFHJK ABEFHIK ABDEHIK ABDFHIK ABEFHJK ABDEGIK ABDFGIK ACEFHIK ABDFHJK ACEFHIL ABDEGIJ ACEFHJK ABDFGIJ ACEFHJL ACEFIJL ACDFHIK ACDFHJK ACEGIJL ACEGHJK ADEGIJL ACDFHIL ABDFGJK ACEGHJL ACDFHJL ACDFGIK ADEGHJL ACDFGJK ACDGHJL ACDGHJK

18 15 10 10 10 10 8 8 7 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1

18 15 15 12 10 10 9 8 8 7 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 1 1

(D) (I) (DI) (L) (FI) (DH) (CL) (CFH) (HL) (DFI) (CHL) (CHL) (CFI) (IL) (DL) (CFL) (CIL) (CFHL) (CFHL) (DFHI) (FIL) (CDL) (DIL) (HIL) (CHIL) (DFIL) (CDIL)

(F) (E) (I) (FH) (EH) (B) (EI) (BK) (FHK) (BI) (EHK) (BIK) (BHK) (BE) (BEI) (BFHK) (BFI) (BFHK) (BEK) (EHI) (BFIK) (BEIK) (BEH) (BFIK) (BEHI) (BEFIK) (BEFI)

ABDFGJK ABDFGIK ABDFGIJ ABDFHJK ABDEGIJ ABDFHIK ABEFHJK ABDEGIK ACDFGJK ABEFHIK ACDGHJK ACEGHJL ACDGHJL ADEGIJL ADEGHJL ACDFHJK ACEFHJK ACEGHJK ACDFGIK ACEGIJL ACEFHJL ACDFHIK ACDFHJL ACEFHIK ABDEHIK ACEFIJL ACEFHIL ACDFHIL ADEGHJL ACEGHJL ADEGIJL ACDGHJL ACEFHJL ACEGIJL ACEFHIL ACDFHJL ACDGHJK ABDEGIJ ACDFHIL ACEGHJK ABDEGIK ABDEHIK ACDFHJK ABDFHIK ACDFHIK ABDFHJK ACDFGJK ABDFGIJ ABDFGJK ACEFHJK ABDFGIK ACEFHIK ACDFGIK ABEFHJK ACEFIJL ABEFHIK

18 16 14 12 11 11 10 10 8 7 6 6 6 6 5 5 5 5 4 3 3 3 3 3 3 1 1

18 18 15 11 10 8 7 7 7 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3

(J) (K) (G) (FK) (GJ) (DG) (FJ) (B) (DGJ) (BF) (BDK) (BFK) (BFK) (BFK) (BG) (BDG) (BDF) (BJ) (BDFK) (BDGK) (BGJ) (BGK) (BDGJ) (FGJ) (BDGK) (BDGJK) (BGJK)

ACEFIJL ACEFHIL ACEGIJL ACEFHJL ADEGIJL ACEGHJL ACDFHIL ACDFHJL ACEFHIK ACDFHIK ACDFGIK ABEFHIK ADEGHJL ACEFHJK ABDFGIJ ABDEGIJ ACDFHJK ABDFHIK ABDFGIK ACDFGJK ACDGHJL ABEFHJK ABDFHJK ACEGHJK ABDEGIK ABDEHIK ABDFGJK ACDGHJK

18 18 15 11 10 10 9 8 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 2

(J) (F) (I) (CF) (FI) (EJ) (EI) (JL) (EJL) (EJL) (CJL) (CFI) (IL) (CEL) (CFL) (EIL) (CEJL) (CEJL) (EIL) (EFI) (CIL) (CEIL) (FIL) (CFJL) (CFJL) (CEIL) (EFIL)

(D) (H) (E) (DG) (DH) (DGJ) (EG) (EL) (HL) (EGJ) (DL) (HJL) (GJL) (EGL) (EGJL) (EGJL) (EGL) (EHL) (EHL) (EHL) (DGL) (EHJL) (DGJL) (EHJL) (DGL) (DGH) (DGJL)

ABDEGIJ ABDEGIK ABDFGIJ ABDEHIK ABDFGIK ADEGIJL ABDFGJK ACEGIJL ABEFHIK ADEGHJL ABDFHIK ACEGHJL ACEGHJK ABEFHJK ACEFIJL ACEFHJL ACEFHJK ABDFHJK ACDFGJK ACDGHJL ACDGHJK ACEFHIK ACEFHIL ACDFHJK ACDFHJL ACDFGIK ACDFHIK ACDFHIL

18 15 11 10 10 9 8 8 7 6 6 6 6 5 4 4 4 4 4 4 3 3 2 2 2 1 1

(J) (E) (GJ) (EJ) (B) (EI) (BD) (DGJ) (BI) (EGJ) (BDI) (BDI) (DGI) (BDG) (BDGI) (BDGI) (EGI) (BEI) (BEI) (BEI) (BDGJ) (BDGJ) (BEGI) (BEGI) (BEJ) (BEGJ) (BEGJ)

150

X. R E L A Z I O N E T R A M O D I E ST R U T T U R E 1. Procedimento per associare le aree strutturali ad un insieme di modi Dato un sistema di intonazione rappresentato da cicli di n frequenze: 1. si individuino le n “classi” di altezze e le n “classi” di intervalli tra esse. 2. si  individuino  le  “classi”  di  aree  strutturali  di  ordine  z e  le  “classi”  di  strutture  che  le compongono. 3. si individui un determinato insieme di “classi” di modi. E’  ora  possibile  associare  a  ciascuna  delle  “classi”  di  modi  individuate  al  punto  3.  le  “classi”  di  strutture individuate al punto 2.

Esempio 1: strutture componenti le aree strutturali di ordine z associate a ciascuno dei modi appartenenti ad un determinato insieme di modi. Nella seguente tabella, le strutture componenti le aree strutturali di ordine 3 in un sistema di intonazione rappresentato da cicli di 12 altezze (vedi esempio 1 del paragrafo relativo al procedimento per individuare le aree strutturali di ordine z) sono associate a ciascuno dei modi presentato  al  punto  I.  dell’esempio  1  relativo  al  paragrafo  sugli  ordini  di  descrittività  di  modi  e  strutture.

ACEFHJL

ACDFHJL

ACEFHIL

ACDFHIL

EFH, LAC FHE, ACL HEF, CLA EHF, LCA FEH, ALC HFE, CAL CEF, JLA EFC, LAJ FCE, AJL CFE, JAL ECF, LJA FEC, ALJ

CDF, LAC DFC, ACL FCD, CLA CFD, LCA DCF, ALC FDC, CAL ACD, JLA CDA, LAJ DAC, AJL ADC, JAL CAD, LJA DCA, ALJ

EFH, LAC FHE, ACL HEF, CLA EHF, LCA FEH, ALC HFE, CAL CEF, FHI EFC, HIF FCE, IFH CFE, FIH ECF, HFI FEC, IHF

CDF, LAC DFC, ACL FCD, CLA CFD, LCA DCF, ALC FDC, CAL ACD, FHI CDA, HIF DAC, IFH ADC, FIH CAD, HFI DCA, IHF

[1+11, 2+10] 11 1 10 10 1 2 11 11 2 11 11 [1+11, 2+10, 3+9] 12 29 91 3 10 11 3 10 11 21 19 92 3 11 10 3 11 10

151 [1+11, 3+9 , 4+8]

LAD ADL DLA LDA ALD DAL LCD CDL DLC LDC CLD DCL

EFI, HIL FIE, ILH IEF, LHI EIF, HLI FEI, IHL IFE, LIH EHI, ILA HIE, LAI IEH, AIL EIH, IAL HEI, LIA IHE, ALI

HIL, LAD ILH, ADL LHI, DLA HLI, LDA IHL ALD LIH, DAL ILA, LCD LAI, CDL AIL, DLC IAL, LDC LIA,CLD ALI, DCL

ACE, FHJ, HJL CEA, HJF, JLH EAC, JFH, LHJ AEC, FJH, HLJ CAE, HFJ, JHL ECA, JHF, LJH

DFH, FHJ, HJL FHD, HJF, JLH HDF, JFH, LHJ DHF, FJH, HLJ FDH, HFJ, JHL HFD, JHF, LJH

ACE CEA EAC AEC CAE ECA

DFH FHD HDF DHF FDH HFD

EFJ, LAE FJE, AEL JEF, ELA EJF, LEA FEJ, ALE JFE, EAL AEF, HLA EFA, LAH FAE, AHL AFE, HAL EAF, LHA FEA, ALH

CDH DHC HCD CHD DCH HDC HLA LAH AHL HAL LHA ALH

HIA, LAE IAH, AEL AHI, ELA HAI, LEA IHA, ALE AIH, EAL AEF, HLA EFA, LAH FAE, AHL AFE, HAL EAF, LHA FEA, ALH

CDH, HIA DHC, IAH HCD, AHI CHD, HAI DCH, IHA HDC, AIH DHI HID IDH DIH HDI IHD

ACF, CEH, HJA, JLC CFA, EHC, JAH, LCJ FAC, HCE, AHJ, CJL AFC, CHE, HAJ, JCL CAF, ECH, JHA, LJC FCA, HEC, AJH, CLJ CFH, EHJ, JAC, LCE FHC, HJE, ACJ, CEL HCF, JEH, CJA, ELC CHF, EJH, JCA, LEC FCH, HEJ, AJC, CLE HFC, JHE, CAJ, ECL

ACF, HJA, JLC CFA, JAH, LCJ FAC, AHJ, CJL AFC, HAJ, JCL CAF, JHA, LJC FCA, AJH, CLJ ADF, CFH, JAC DFA, FHC, ACJ FAD, HCF, CAJ AFD, CHF, JCA DAF, FCH, AJC FDA, HFC, CJA

ACF, CEH CFA, EHC FAC, HCE AFC, CHE CAF, ECH FCA, HEC CFH, LCE FHC,CEL HCF, ELC CHF, LEC FCH, CLE HFC, ECL

ACF, DFI CFA, FID FAC, IDF AFC, DIF CAF, FDI FCA, IFD ADF, CFH DFA, FHC FAD, HCF AFD, CHF DAF, FCH FDA, HFC

LAF AFL FLA LFA ALF FAL

LAF AFL FLA LFA ALF FAL

LAF AFL FLA LFA ALF FAL

CDI, LAF DIC, AFL ICD, FLA CID, LFA DCI, ALF DIC, FAL

13 38 81 49 11 4 9 11 31 18 83 4 11 94 11 9 [2+10, 4+8] 22 28 82 4 10 10 4 10 10 [1+11, 4+8, 5+7] 14 47 71 58 11 5 8 11 41 17 74 5 11 85 11 8 [2+10, 3+9, 5+7] 23 37 72 59 10 5 9 10 32 27 73 5 10 95 10 9 [1+11, 5+7, 6+6]

15 56 61 67 11 6 7 11

152 51 16 65 6 11 76 11 7

LEF EFL FLE LFE ELF FEL

JCD CDJ DJC JDC CJD DCJ

CHI, LEF HIC, EFL ICH, FLE CIH, LFE HCI, ELF IHC, FEL

CHI HIC ICH CIH HCI IHC

FHL HLF LFH FLH HFL LHF FJL JLF LFJ FLJ JFL LJF

DFJ, FHL FJD, HLF JDF, LFH DJF, FLH FDJ, HFL JFD, LHF DHJ, FJL, LDF HJD, JLF, DFL JDH, LFJ, FLD DJH, FLJ, LFD HDJ, JFL, DLF JHD, LJF, FDL

CEI, FHL EIC, HLF ICE, LFH CIE, FLH ECI, HFL IEC, LHF IAC ACI CIA ICA AIC CAI

FHL HLF LFH FLH HFL LHF IAC, LDF ACI, DFL CIA, FLD ICA, LFD AIC, DLF CAI, FDL

LCF CFL FLC LFC CLF FCL

JAD, LCF ADJ, CFL DJA, FLC JDA, LFC AJD, CLF DAJ, FCL

CFI, FIN, INC, NCF FIC, INF, NCI, CFN ICF, NFI, CIN, FNC CIF, FNI, ICN, NFC FCI, IFN, NIC, CNF IFC, NIF, CNI, FCN

CFI, FIN, INC, NCF FIC, INF, NCI, CFN ICF, NFI, CIN, FNC CIF, FNI, ICN, NFC FCI, IFN, NIC, CNF IFC, NIF, CNI, FCN

ACH, CEJ, FHA, HJC, JLE CHA, EJC, HAF, JCH, LEJ HAC, JCE, AFH, CHJ, EJL AHC, CJE, FAH, HCJ, JEL CAH, ECJ, HFA, JHC, LJE HCA, JEC, AHF, CJH, ELJ

ACH, FHA, HJC CHA, HAF, JCH HAC, AFH, CHJ AHC, FAH, HCJ CAH, HFA, JHC HCA, AHF, CJH

ACH, FHA CHA, HAF HAC, AFH AHC, FAH CAH, HFA HCA, AHF

ACH, FHA CHA, HAF HAC, AFH AHC, FAH CAH, HFA HCA, AHF

CFJ, EHL, JAE FJC, HLE, AEJ JCF, LEH, EJA CJF, ELH, JEA FCJ, HEL, AJE JFC, LHE, EAJ AEH, FJA, HLC EHA, JAF, LCH HAE, AFJ, CHL AHE, FAJ, HCL EAH, JFA, LHC HEA, AJF, CLH

ADH, CFJ DHA, FJC HAD, JCF AHD, CJF DAH, FCJ HDA, JFC FJA, HLC JAF, LCH AFJ, CHL FAJ, HCL JFA, LHC AJF, CLH

EHL, FIA HLE, IAF LEH, AFI ELH, FAI HEL, IFA LHE, AIF AEH, EIN, HLC EHA, INE, LCH HAE, NEI, CHL AHE, ENI, HCL EAH, IEN, LHC HEA, NIE, CLH

ADH, FIA, ILD DHA, IAF, LDI HAD, AFI, DIL AHD, FAI, IDL DAH, IFA, LID HDA, AIF, DLI HLC, IAD LCH, ADI CHL, DIA HCL, IDA LHC, AID CLH, DAI

DHL, HLD, LDH DLH, HDL, LHD

AEI, EIA, IAE AIE, EAI, IEA

DHL, HLD, LDH DLH, HDL, LHD

[2+10, 4+8, 6+6]: 24 46 62 68 10 6 8 10 42 26 64 6 10 86 10 8 [3+9, 6+6] 33 36 63 69 96 99 [2+10, 5+7] 25 55 52 77 10 7 7 10 [3+9, 4+8, 5+7] 34 45 53 78 97 89 43 35 54 79 87 98 [4+8]: 44 88

153

PARTE TERZA

L’ORGANIZZAZIONE DEL VALORE

154

155

I.PR E M ESSA In base alla prima parte del testo, possiamo trarre alcune importanti conclusioni in merito al valore della sensazione uditiva generata da un’onda sonora o da un silenzio:  



dipende dalla durata dell’onda sonora o del silenzio generante la sensazione uditiva stessa. è di natura comparativa; ovvero, l’ascoltatore non è in grado di addivenire alla misurazione  puntuale di un singolo valore attraverso la sua traduzione in una durata specifica, ma ha la capacità di confrontare valori differenti e di ordinarli lungo una scala ai cui estremi stanno il lungo ed il  breve;  in  altri termini, ciascun  valore acquisisce un significato per l’ascoltatore  solo mettendolo in relazione con altri valori. può essere descritto, in corrispondenza della durata dell’onda sonora o del silenzio generante la sensazione uditiva stessa, da una funzione continua nel tempo; ovvero può assumere infiniti  valori,  in  corrispondenza  degli  infiniti  valori  assunti  dalla  durata  all’interno  del  “continuum” rappresentato dal tempo; dato che l’uomo è in grado di percepire, comprendere  ed organizzare solo un numero finito, e possibilmente limitato, di elementi, è opportuno “discretizzare”  tale  continuum,  ovvero  determinare  quali  durate  (e  dunque  quali  inizi/fini)  tenere in considerazione. Tale intendimento è realizzato attraverso il sistema metrico.

Nella seguente trattazione si inizierà, dunque, col definire i sistemi metrici ed enunciarne le proprietà; si analizzerà, in seguito, il significato assunto dal valore della sensazione uditiva nell’ambito di tali sistemi; infine, si esporranno le opportune modalità di organizzare tale valore.

156

I I. SIST E M I M E T R I C I 1.Definizione Si definisce  “sistema  metrico” una disposizione (ovvero un  insieme ordinato nel tempo) di  istanti iniziali/finali organizzati in cicli (ovvero insiemi ordinati nel tempo che si ripetono nel tempo) di n istanti iniziali/finali (con n numero naturale > 1). Poiché la disposizione di istanti iniziali/finali che definisce il sistema metrico è il risultato dell’organizzazione ciclica degli istanti iniziali/finali stessi (ovvero della ripetizione nel tempo di un insieme ordinato nel tempo di n istanti iniziali/finali), il sistema metrico può essere rappresentato tramite un ciclo di n istanti iniziali/finali.

Esempio 1: sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali: Disposizione istanti:

i1

i2

i3

i4

i5

i6

i7

i8

i9

i10 ...

Ordinamento disposizione istanti:

I

II

III

IV

V

VI

VII VIII IX

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(i1

i2

i3)1 (i4

i5

i6)2 (i7

i8

i9)3 (i10 ...

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

III)1 (I

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

X ...

Sistema metrico rappresentato tramite il ciclo di istanti (Ii IIi IIIi), ove i = 1, 2, 3, ...: Ii IIIi

IIi

2.Proprietà  



gli intervalli di tempo tra gli istanti iniziali/finali consecutivi sono uguali. l’uguaglianza  degli  intervalli  di  tempo  tra gli istanti iniziali/finali consecutivi implica l’uguaglianza  degli  intervalli  di  tempo  tra  gli  istanti  iniziali/finali  equivalenti  consecutivi  (ove per istanti equivalenti si intendono istanti occupanti la medesima posizione nell’ordinamento  dei  differenti  cicli),  l’uguaglianza  degli  intervalli  di  tempo  tra  gli  istanti  iniziali/finali  equiparabili  (ovvero  occupanti  le  medesime  posizioni  nell’ordinamento  di  ciascun  ciclo)  e,  in  generale,  l’uguaglianza  degli  intervalli  di  tempo  tra  gli  istanti  iniziali/finali equidistanti (ovvero che si trovano alla stessa distanza, misurata come numero x di  “passi”  compresi  tra  due  istanti  iniziali/finali,  ove  ciascun  passo  congiunge  istanti  iniziali/finali consecutivi). a parità del numero di istanti iniziali/finali costituenti i cicli, la scelta di quali istanti iniziali/finali  considerare  come  “inizio”  e  “fine”  del  ciclo  non  influenza  né  l’uguaglianza  degli intervalli di tempo tra gli istanti iniziali/finali equivalenti consecutivi, né l’uguaglianza  degli intervalli di tempo tra gli istanti iniziali/finali equiparabili, nè, in generale, l’uguaglianza degli intervalli di tempo tra gli istanti  iniziali/finali equidistanti.

157  

il primo istante della disposizione degli istanti è detto “origine del sistema”. Tale istante, pur  avendo una collocazione precisa nel tempo, viene convenzionalmente identificato come origine (ovvero lo 0) nella misurazione del tempo stesso tramite le unità di misura del SI. i sistemi metrici si differenziano in base all’origine del sistema (con particolare riferimento alla sua collocazione nel tempo), al numero di istanti iniziali/finali di cui ciascun ciclo è composto, alla misura dell’intervallo di tempo tra gli istanti iniziali/finali consecutivi.

Esempio 1: sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali e intervallo di tempo tra gli istanti iniziali/finali consecutivi =0,5s Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

IV V

VI

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

1)1 (1,5 III)1 (I

Intervalli di tempo tra istanti equivalenti consecutivi uguali: I2-I1 = I3-I2 = II2-II1 = II3-II2 = III2-III1 = III3-III2 = 1,5 1,5-0 = 3-1,5 = 2-0,5 = 3,5-2 = 2,5-1 = 4-2,5 = 1,5 Intervalli di tempo tra istanti equiparabili uguali: II1-I1 = II2-I2 = II3-I3 = 0,5 0,5-0 = 2-1,5 = 3,5-3 = 0,5 III1-I1 = III2-I2 = III3-I3 = 1 1-0 = 2,5-1,5 = 4-3 = 1 III1-II1 = III2-II2 = III3-II3 = 0,5 1-0,5 = 2,5-2 = 4-3,5 = 0,5 Intervalli di tempo tra istanti equidistanti uguali: 1 passo: II1-I1 = III1-II1 = I2-III1 = 0,5 0,5-0 = 1-0,5 = 1,5-1 = 0,5 2 passi: III1-I1 = I2-II1 = II2-III1 = 1 1-0 = 1,5-0,5 = 2-1 = 1

3

3,5

4

VII VIII IX

2

2,5)2 (3

3,5

II

III)2 (I

II

4,5 ... X ...

4)3 (4,5 ... III)3 (I ...

158

3.Unità di tempo L’intervallo  di  tempo  tra  gli  istanti  iniziali/finali  consecutivi  appartenenti  alla  disposizione  che  definisce il sistema metrico può essere utilizzato come unità di misura del tempo, o, più semplicemente, come unità di tempo (u). La posizione di ciascun istante iniziale/finale appartenente alla disposizione che definisce il sistema metrico può essere misurata rispetto all’origine del sistema o rispetto al primo istante iniziale/finale del ciclo di istanti iniziali/finali cui appartiene tramite un numero naturale di unità di tempo. La distanza tra due istanti iniziali/finali appartenenti alla disposizione che definisce il sistema metrico può essere misurata tramite un numero naturale di unità di tempo risultante dalla differenza tra le rispettive posizioni dei due istanti iniziali/finali stessi misurate rispetto all’origine del sistema  o rispetto al primo istante iniziale/finale del ciclo di istanti iniziali/finali cui appartengono (laddove appartengano al medesimo ciclo) tramite un numero naturale di unità di tempo. E’ comunque possibile misurare l’unità di tempo tramite le unità di misura del SI (per esempio:  u = 1s; u = 0,5s; u = 2s).  E’  altresì  possibile  quantificare  il  numero  di  unità  di  tempo  presenti  in  un  intervallo di tempo pari ad una determinata unità di misura del SI; se si prende in considerazione il minuto,  si  ottiene  l’ UPM (acronimo di Unità di tempo Per Minuto),  ovvero  un’indicazione  della  velocità cui si susseguono le unità di tempo ( Velu ): maggiore è il numero di UPM , maggiore è la velocità  cui  si  susseguono  le  unità  di  tempo.  Dunque,  le  misurazioni  dell’unità  di  tempo  fornite  tramite le unità di misura del SI possono essere tradotte in corrispondenti indicazioni di velocità cui si susseguono le unità di tempo (per esempio: u = 1s corrisponde a Velu = 60 UPM ; u = 0,5s corrisponde a Velu = 120 UPM ; u = 2s corrisponde a Velu = 30 UPM ).

Esempio 1: sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali eVelu = 120 UPM Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

2

2,5

3

IV V

VI

VII VIII

1,5

3,5

4

4,5 ...

IX

X ...

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):0      1       2       3      4       5       6       7       8       9   ... Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene (in u):

(0

1

1)1 (1,5 III)1 (I

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

2)1 (0

Distanza tra i due istanti evidenziati in grassetto(in u):

1

2)2

(0

1

2)3 (0 ...

4–1=3

Esempio 2: sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali eVelu = 120 UPM Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):0

1

2

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

0,5

(0

2

2,5

3

IV V

VI

VII VIII

1,5

3

1)1 (1,5

4 2

5

6

2,5)2 (3

3,5

7 3,5

4

4,5 ...

IX

X ...

8

9 ...

4)3 (4,5 ...

159 Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene (in u):

(0

1

Distanza tra i due istanti evidenziati in grassetto (in u):

III)1 (I 2)1 (0

II

III)2 (I

1

2)2

(0

II

III)3 (I ...

1

2)3 (0 ...

5-4=2–1=1

4.Proporzioni rispetto all’unità di tempo Una o più unità di tempo possono essere divise in 1, 2, ..., m parti uguali. Per un quadro completo delle possibilità a disposizione è possibile riferirsi alla “tavola delle proporzioni”(figura 1).  Essa deriva dall’applicazione dei differenti coefficienti di divisione  1, 2, ..., m indicati in grassetto nelle intestazioni di riga (nella seguente rappresentazione ci si è limitati ai primi 8), ai differenti numeri naturali di unità di tempo indicati in grassetto nelle intestazioni di colonna (nella seguente rappresentazione ci si è limitati ai primi 8). Dunque, in ciascuna cella è riportato il risultato dell’applicazione di un determinato coefficiente di divisione ad un determinato numero di unità di tempo: così facendo, si ottiene un intervallo di tempo  espresso  come  proporzione  rispetto  all’unità  di  tempo.  Le  celle  del  medesimo  colore  contengono intervalli di tempo uguali, indicati però come differenti proporzioni rispetto all’unità di  tempo. La tavola delle proporzioni consente di mettere in relazione i differenti intervalli di tempo non solo con l’unità di tempo ma anche tra loro. 

Figura 1: tavola delle proporzioni

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

0

1/1

2/1

3/1

4/1

5/1

6/1

7/1

8/1

2

0

1/2

2/2

3/2

4/2

5/2

6/2

7/2

8/2

3

0

1/3

2/3

3/3

4/3

5/3

6/3

7/3

8/3

4

0

1/4

2/4

3/4

4/4

5/4

6/4

7/4

8/4

5

0

1/5

2/5

3/5

4/5

5/5

6/5

7/5

8/5

6

0

1/6

2/6

3/6

4/6

5/6

6/6

7/6

8/6

7

0

1/7

2/7

3/7

4/7

5/7

6/7

7/7

8/7

8

0

1/8

2/8

3/8

4/8

5/8

6/8

7/8

8/8

160 La  posizione  di  qualsiasi  istante  iniziale/finale  successivo  all’origine  del  sistema  metrico  (dunque  non solo di quelli appartenenti alla disposizione che definisce il sistema metrico stesso) può essere misurata rispetto all’origine del sistema o rispetto al primo istante iniziale/finale del ciclo di istanti iniziali/finali all’interno del quale si trova tramite un numero razionale di unità di tempo.  La distanza tra due qualsiasi istanti iniziali/finali successivi all’origine del sistema metrico (dunque  non solo tra quelli appartenenti alla disposizione che definisce il sistema metrico stesso) può essere misurata tramite un numero razionale di unità di tempo risultante dalla differenza tra le rispettive posizioni  dei  due  istanti  iniziali/finali  stessi  misurate  rispetto  all’origine  del  sistema  o  rispetto al primo istante iniziale/finale del ciclo di istanti iniziali/finali all’interno del quale si trovano (laddove  si trovino all’interno del medesimo ciclo) tramite un numero razionale di unità di tempo.

Esempio 1: sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali eVelu = 120 UPM Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

4

4,5 ...

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

IX

X ...

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):0      1       2       3      4       5       6      7

8

9 ...

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene (in u):

(0

1

Istanti successivi all’origine del sistema non appartenenti alla disposizione (in s):

1,5

2

2,5

3

IV V

VI

VII VIII

1)1 (1,5 III)1 (I

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

2)1 (0

0,75

3,5

1

2)2

(0

1

2)3 (0 ...

1,7

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):            3/2          17/5 Posizione rispetto al primo istante del ciclo all’interno del quale si trovano (in u):                 3/2           2/5 Distanza tra i due istanti (in u):

17/5 – 3/2 = 19/10

Esempio 2: sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali eVelu = 120 UPM Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

1,5

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

2

2,5

3

3,5

4

IV V

VI

VII VIII

4,5 ...

IX

X ...

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):0      1       2       3      4       5       6       7       8       9   ... Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene (in u):

(0

1

1)1 (1,5 III)1 (I 2)1 (0

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

1

2)2

(0

1

2)3 (0 ...

161 Istanti successivi all’origine del sistema non appartenenti alla disposizione (in s):

1,75 2,25

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):                 

7/2

9/2

Posizione rispetto al primo istante del ciclo all’interno del quale si trovano (in u):                                  1/2     3/2 Distanza tra i due istanti (in u):

9/2 – 7/2 = 3/2 – 1/2 = 2/2

E’  possibile  verificare  per  tutti  gli  istanti  iniziali/finali  successivi  all’origine  del  sistema  metrico  (dunque non solo per quelli appartenenti alla disposizione che definisce il sistema metrico stesso) l’uguaglianza degli intervalli di tempo tra gli istanti iniziali/finali equivalenti consecutivi (in questo caso uguaglianza di distanza misurata tramite un numero razionale di unità di tempo risultante dalla differenza tra le rispettive posizioni dei due istanti iniziali/finali equivalenti consecutivi stessi misurate  rispetto  all’origine  del  sistema  tramite  un  numero  razionale  di  unità  di  tempo,  ove  per  istanti equivalenti si intendono istanti occupanti la medesima posizione all’interno di differenti cicli  misurata rispetto al primo istante iniziale/finale del ciclo di istanti iniziali/finali all’interno del quale  si trovano rispettivamente tramite un numero razionale di unità di tempo).

Esempio 3: sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali eVelu = 120 UPM Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):0

1

2

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene (in u):

(0

1

Istanti equivalenti consecutivi successivi all’origine del sistema non appartenenti alla disposizione (in s):

0,125

1,5

2

2,5

3

IV V

VI

VII VIII

3

4

1)1 (1,5 III)1 (I 2)1 (0

5

3,5

6

7

4

4,5 ...

IX

X ...

8

9 ...

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

1

2)2

(0

1,625

1

2)3 (0 ...

3,125

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):   1/4                      13/4                     25/4 Posizione rispetto al primo istante del ciclo all’interno del quale si trovano (in u):        1/4                      1/4                      1/4 Distanza tra istanti equivalenti consecutivi successivi all’origine del sistema non  appartenenti alla disposizione (in u):

25/4 – 13/4 = 13/4 – 1/4 = 12/4

E’  possibile  verificare  per  tutti  gli  istanti  iniziali/finali  successivi  all’origine  del  sistema  metrico  (dunque non solo per quelli appartenenti alla disposizione che definisce il sistema metrico stesso)

162 l’uguaglianza  degli  intervalli  di  tempo  tra  gli  istanti  iniziali/finali  equiparabili  (in  questo  caso  uguaglianza di distanza misurata tramite un numero razionale di unità di tempo risultante dalla differenza tra le rispettive posizioni dei due istanti iniziali/finali equiparabili stessi misurate rispetto all’origine del sistema o al primo  istante  iniziale/finale del ciclo di  istanti  iniziali/finali  all’interno  del quale si trovano rispettivamente tramite un numero razionale di unità di tempo, ove per istanti equiparabili  si  intendono  istanti  occupanti  le  medesime  posizioni  all’interno  di  ciascun  ciclo  misurate rispetto al primo istante iniziale/finale del ciclo di istanti iniziali/finali all’interno del quale  si trovano rispettivamente tramite un numero razionale di unità di tempo).

Esempio 4: sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali eVelu = 120 UPM Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

1,5

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

2

2,5

3

3,5

4

IV V

VI

VII VIII

4,5 ...

IX

X ...

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):0      1       2       3      4       5       6       7       8       9   ... Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene (in u):

(0

1

Istanti equiparabili successivi all’origine del sistema non appartenenti  alla disposizione (in s):

0,25

1)1 (1,5 III)1 (I 2)1 (0

0,75

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

1

2)2 (0

1

2)3 (0 ...

1,75 2,25

Posizione rispetto l’origine del sistema (in u):   1/2      3/2          7/2     9/2 Posizione rispetto al primo istante del ciclo all’interno del quale si trovano (in u):        1/2      3/2         1/2     3/2 Distanza tra istanti equiparabili successivi all’origine del sistema non  appartenenti alla disposizione (in u):

9/2 – 7/2 = 3/2 – 1/2 = 2/2

4.Ambito di applicazione Non  è  intenzione  dell’autore  né  presentare  un  elenco  dei  differenti  sistemi  metrici  che  si  sono  succeduti nel corso della storia o che sono comunque utilizzabili, eventualmente corredato da un’analisi  delle  logiche  e  dei  procedimenti  che  sottendono  alla  loro  formulazione  (a  tal  fine  si  rimanda a trattazioni specifiche in merito, di cui abbonda la letteratura scientifica musicale), né tantomeno sostenere  la tesi della convenienza dell’utilizzo di un sistema piuttosto che di un altro,  eventualmente  corredata  da  un’analisi  dei  vantaggi  e  degli  svantaggi  che  caratterizzano  ciascun  sistema  (la  scelta  dell’uno  o  dell’altro  sistema risiede in ragioni di ordine storico, tecnologico ed estetico che esulano dal presente lavoro). La seguente trattazione potrà essere egualmente applicata ad un qualsivoglia sistema metrico.

163

I I I. I N I Z I/F I N I 1.Definizione Si  definisce  “inizio/fine”  la  posizione  che  un  determinato  istante  iniziale/finale  successivo  all’origine  del  sistema  metrico  occupa  rispetto  all’origine  del  sistema  stesso  misurata  tramite  un  numero razionale x di unità di tempo. Ogni sistema metrico è caratterizzato dalla presenza di inizi/fini differenti (ovvero differenti posizioni occupate da differenti istanti iniziali/finali), ma, grazie all’organizzazione degli istanti in  cicli di n istanti,  è  possibile  riferirsi,  ai  fini  della  seguente  analisi,  solo  alle  infinite  “classi” di inizi/fini con posizione 0 ≤  x < n/1. Esse rappresentano le differenti posizioni che un istante iniziale/finale può occupare all’interno di qualunque ciclo costituente il sistema metrico (misurate,  dunque, rispetto al primo istante iniziale/finale del ciclo di istanti iniziali/finali all’interno del quale  si trovano tramite un numero razionale x di unità di tempo). Gli inizi/fini che corrispondono a istanti iniziali/finali equivalenti si dicono inizi/fini equivalenti. Una “classe” di inizi/fini è composta di soli inizi/fini equivalenti. Gli inizi/fini che corrispondono a istanti iniziali/finali equiparabili si dicono inizi/fini equiparabili.

Esempio 1: classi di inizi/fini relative ad un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali e Velu = 120 UPM: Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

1,5

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

2

2,5

3

3,5

IV V

VI

VII VIII

4

4,5 ...

IX

X ...

Inizi/fini (posizione rispetto l’origine del sistema in u):                               0    1/1    2/1    3/1   4/1    5/1    6/1    7/1    8/1   9/1  ... Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Inizi/fini (posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene in u):

(01 1/11 2/11) (02 1/12 2/12) (03 1/13 2/13) (0 ...

Classi di inizi/fini:

0 ≤ x < 3/1

1)1 (1,5 III)1 (I

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

164

I V. V A L O R I 1.Definizione Si definisce “valore” la distanza tra due inizi/fini misurata tramite un numero razionale  w di unità di tempo risultante dalla differenza tra le rispettive posizioni dei due istanti iniziali/finali stessi misurate rispetto all’origine del sistema tramite un numero razionale x di unità di tempo. Ogni sistema metrico è caratterizzato dalla presenza di valori differenti (ovvero differenti distanze tra differenti inizi/fini), ma, grazie all’organizzazione degli istanti iniziali/finali in cicli di n istanti, è possibile  riferirsi,  ai  fini  della  seguente  analisi,  solo  alle  infinite  “classi”  di  valori  tra  le  infinite  “classi” di  inizi/fini aventi tra loro distanza  0 ≤  w  < n/1. Esse rappresentano le differenti distanze che possono esistere tra due inizi/fini all’interno di qualunque ciclo costituente il sistema metrico. E’  infatti  possibile  ricondurre  un  valore  superiore  al  ciclo  (necessariamente  tra  due  inizi/fini  all’interno di cicli differenti) al valore inferiore al ciclo stesso tra due inizi/fini equivalenti a quelli  presi  in  considerazione  ma appartenenti allo  stesso ciclo; quest’ultima sarà  misurata, in definitiva,  tramite un numero razionale w di unità di tempo risultante dalla differenza tra le rispettive posizioni di due istanti iniziali/finali appartenenti al medesimo ciclo ed equivalenti ai due istanti iniziali/finali presi  in  considerazione  misurate  rispetto  all’origine  del  sistema  tramite  un  numero  razionale x di unità di tempo. Tutti i valori tra due inizi/fini ciascuno appartenente ad una stessa classe di inizi/fini (e dunque equivalenti tra loro) si dicono valori equivalenti. E’ opportuno notare che la distanza tra due inizi/fini equivalenti consecutivi è pari ad n. Due valori la cui somma è pari ad n si dicono “valori complementari”.

Esempio 1: classi di valori relative ad un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali e Velu = 120 UPM: Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

Ordinamento della disposizione:

I

II

Inizi/fini (posizione rispetto l’origine del sistema in u):

0

1/1

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Inizi/fini (posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene in u):

(01 1/11 2/11) (02 1/12 2/12) (03 1/13 2/13) (0 ...

Classi di inizi/fini:

0 ≤ x < 3/1

Valori:

0 ≤ w < 3/1 inferiore al ciclo

1,5

2

2,5

3

III

IV V

VI

VII VIII

2/1

3/1 4/1

5/1

1)1 (1,5 III)1 (I

3,5

4

4,5 ...

IX

X ...

6/1

7/1

8/1 9/1 ...

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

165

w ≥ 3/1         superiore al ciclo Classi di valori:

0 ≤ w < 3/1

166

V. F I G U R E 1.Definizione Si definisce “figura” di ordine  z (con z numero naturale > 1) una disposizione di z inizi/fini e degli y = z-1 valori  consecutivi  (ovvero  tra  inizi/fini  consecutivi)  compresi  tra  il  primo  inizio  e  l’ultima  fine.

Esempio 1: figura definita da una disposizione di 3 inizi/fini e dei 2 valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali: Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

Ordinamento della disposizione:

I

II

Inizi/fini (posizione rispetto l’origine del sistema in u):                 

0

1/1

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Inizi/fini (posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene in u):

(01 1/11 2/11) (02 1/12 2/12) (03 1/13 2/13) (0 ...

Classi di inizi/fini:

0 ≤ x < 3/1

Valori:

0 ≤ w < 3/1 inferiore al ciclo

1,5

2

2,5

3

III

IV V

VI

VII VIII

2/1

3/1 4/1

5/1

1)1 (1,5 III)1 (I

3,5

4

4,5 ...

IX

X ...

6/1

7/1

8/1 9/1 ...

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

w ≥ 3/1         superiore al ciclo Classi di valori:

0 ≤ w < 3/1

Disposizione di inizi/fini: Disposizione di valori:

1/41

2/12

19/4

1/23

3/2

Figura definita dalla disposizione di inizi/fini 1/41 2/12 1/23 e dalla disposizione di valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine 19/4 3/2: 1/41 2/12 1/23 19/4 3/2 Ogni sistema metrico è caratterizzato dalla presenza di figure differenti (ovvero differenti disposizioni  di  inizi/fini  e  dei  valori  consecutivi  compresi  tra  il  primo  inizio  e  l’ultima  fine), ma, grazie all’organizzazione degli  istanti  iniziali/finali  in  cicli di  n istanti, è possibile riferirsi, ai fini della  seguente  analisi,  solo  alle  infinite  “classi”  di  strutture  definite  da  una  disposizione  semplice  (ovvero senza ripetizioni di elementi) di  “classi”  di  inizi/fini e delle  “classi” di  valori consecutivi  compresi tra la prima “classe” di inizi e l’ultima “classe” di fini.

167

Esempio 2: figure definite da una disposizione di 3 inizi/fini e dei 2 valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali: Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

1,5

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

2

2,5

3

3,5

IV V

VI

VII VIII

4

4,5 ...

IX

X ...

Inizi/fini (posizione rispetto l’origine del sistema in u):                               0    1/1    2/1    3/1   4/1    5/1    6/1    7/1    8/1   9/1  ... Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Inizi/fini (posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene in u):

(01 1/11 2/11) (02 1/12 2/12) (03 1/13 2/13) (0 ...

Classi di inizi/fini:

0 ≤ x < 3/1

Valori:

0 ≤ w < 3/1 inferiore al ciclo

1)1 (1,5 III)1 (I

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

w ≥ 3/1         superiore al ciclo Classi di valori:

0 ≤ w < 3/1

Esempi di figure:

a)1/21 1/11 2/11 1/2 1/1 b)1/21 3/21 2/12 1/1 7/2 c) 5/21 2/12 1/43 5/2 5/4 d)1/21 2/11 2/12 3/2 3/1

Esempi di classi di figure:

a) 1/2

1/1 2/1 1/2 1/1

b)1/2 3/2 2/1 1/1 1/2 c) 5/2 2/1 1/4 5/2 5/4 d) 1/2 2/1 2/1 non rappresenta una classe di figure in quanto non 3/2 0 definita da una disposizione semplice di inizi/fini

168

2.Proprietà Data una figura di ordine z definita da una disposizione di z inizi/fini e degli y = z-1 valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine:  la numerosità della figura è pari a z.  la dimensione della figura è pari al valore tra il primo inizio e l’ultima fine.  non esiste una relazione biunivoca tra la disposizione degli z inizi/fini e la disposizione degli y valori  consecutivi  compresi  tra  il  primo  inizio  e  l’ultima  fine,  ovvero  alla  disposizione degli z inizi/fini corrisponde sempre una ed una sola disposizione degli y valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine ma non viceversa; in particolare, alla disposizione  degli y valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine corrispondono infinite differenti disposizioni di z inizi/fini, le cosiddette infinite traslazioni della disposizione degli z inizi/fini (vedi paragrafo sulle traslazioni della disposizione di inizi/fini).  l’insieme di tutti i valori esistenti tra tutti gli inizi/fini appartenenti alla disposizione degli z inizi/fini che definisce la figura è detto “valoristica della figura”.  la figura ad essa speculare è definita dalla disposizione di z inizi/fini con medesime primo inizio ed ultima fine della disposizione di z inizi/fini che definisce la figura presa in considerazione corrispondente alla disposizione di y valori speculare alla disposizione degli y valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine che definisce la figura presa  in considerazione.  la figura ad essa speculare ha uguale numerosità, pari a z, essendo definita da una differente disposizione dello stesso numero di inizi/fini.  la  figura  ad  essa  speculare  ha  uguale  dimensione,  pari  all’intervallo  tra  il  primo  inizio  e  l’ultima fine, essendo definita dalla disposizione speculare degli stessi y valori.  la figura ad essa speculare ha uguale valoristica, essendo definita dalla disposizione speculare degli stessi y valori.  non esiste una relazione biunivoca tra la figura e la sua valoristica, ovvero alla figura corrisponde sempre una ed una sola valoristica ma non viceversa; in particolare, se si considerano esclusivamente le figure di ordine z, alla valoristica della figura corrispondono le infinite figure di ordine z definite dalle infinite traslazioni delle 2 disposizioni di z inizi/fini che definiscono la figura presa in considerazione e la figura speculare ad essa.  se la figura è definita da una disposizione di z = n/k inizi/fini (con k numero intero compreso tra 1 ed n/2) e degli y = z -1 valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine ed   ha valoristica [1/1, 2/1, ...y/1], allora tutte le figure componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini hanno uguale valoristica (vedi paragrafo sulle permutazioni della disposizione di inizi/fini). In tal caso, se si considerano esclusivamente le figure di ordine z, alla valoristica della figura corrispondono le infinite figure di ordine z definite dalle infinite traslazioni delle z! permutazioni della disposizione degli z inizi/fini che definisce la figura presa in considerazione.

Esempio 1: in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali, data la figura 1/2 3/2 2/1: 1/1 1/2 I. La numerosità della figura è pari a 3 II. La dimensione della figura è pari a 3/2 III. Esempi di traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2

3/2

2/1:

169 a) 1/4

5/4

7/4

b) 3/4

7/4

9/4

IV. Valoristica della struttura: [1/2, 1/1, 3/2] V. Disposizione di y valori speculare alla disposizione degli y valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine che definisce la figura presa in considerazione:  1/2 1/1 Disposizione di inizi/fini con medesimi primo inizio ed ultima fine della figura presa in considerazione corrispondente alla disposizione di y valori speculare alla disposizione degli y valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine che definisce la figura presa in  considerazione: 1/2 1/1 2/1 Figura speculare: 1/2

1/1 2/1 1/2 1/1

con uguale numerosità, dimensione e valoristica.

VI. Esempi di figure definite da traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 a) 1/4 5/4 7/4 1/1 1/2

b) 3/4

3/2

2/1:

1/1

2/1:

7/4 9/4 1/1 1/2

Esempi di figure definite da traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 a) 1/4 3/4 7/4 1/2 1/1

b) 3/4

VII. Alla valoristica della figura 1/2 x1 x2 x3 1/1 1/2

e

x1

5/4 9/4 1/2 1/1

3/2 2/1 corrispondono le infinite figure: 1/1 1/2

x2 x3 1/2 1/1

ove 0 ≤ xi < 3/1

3.Traslazioni della disposizione di inizi/fini Data una figura di ordine z definita da una disposizione di z inizi/fini e degli y = z-1 valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine:  

  

è possibile individuare infinite figure di ordine z distinte definite dalle infinite traslazioni della disposizione degli z inizi/fini che definisce la figura presa in considerazione (ove per traslazione si intende una differente disposizione di z inizi/fini cui corrisponde la medesima disposizione degli y valori  consecutivi  compresi  tra  il  primo  inizio  e  l’ultima  fine  che definisce la figura presa in considerazione). la disposizione di z inizi/fini che definisce la figura è una delle infinite traslazioni della disposizione degli z inizi/fini stessa. l’insieme  delle  infinite  figure  di  ordine  z distinte definite dalle infinite traslazioni della disposizione degli z inizi/fini  è  detto  “campo  delle  traslazioni  della  disposizione  degli  z inizi/fini”. tutte le figure componenti il campo delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini hanno uguale numerosità, pari a z, essendo definite da una differente disposizione dello stesso numero di inizi/fini.

170   



tutte le figure componenti il campo delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini hanno uguale dimensione, pari al valore tra il primo inizio e l’ultima fine, essendo definite dalla medesima disposizione di valori. tutte le figure componenti il campo delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini hanno uguale valoristica, essendo definite dalla medesima disposizione di valori. l’insieme di tutti i valori esistenti tra tutti gli inizi/fini appartenenti alle figure componenti il campo delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini  è  detto  “valoristica  del  campo  delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini”.  Essa  coincide  con  la  valoristica  di qualsiasi figura componente il campo delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini stesso. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini e la sua valoristica, ovvero al campo delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini corrisponde sempre una ed una sola valoristica ma non viceversa; in particolare, se si considerano esclusivamente le figure di ordine z, alla valoristica del campo delle traslazioni della disposizione degli z inizi/fini corrispondono le infinite figure di ordine z definite dalle infinite traslazioni delle 2 disposizioni di z inizi/fini che definiscono la figura presa in considerazione e la figura speculare ad essa.

Esempio 1: in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali, data la figura 1/2 3/2 2/1: 1/1 1/2 I. Campo delle traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 x1 x2 x3 1/1 1/2

3/2

2/1:

ove 0 ≤ xi < 3/1

II. Tutte le figure componenti il campo delle traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 3/2 2/1 hanno numerosità pari a 3, dimensione pari a 3/2 e valoristica [1/2, 1/1, 3/2,]. III. Valoristica del campo delle traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 3/2 2/1: [1/2, 1/1, 3/2]. IV. Esempi di figure definite da traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 3/2 2/1: a) 1/4 5/4 7/4 1/1 1/2

b) 3/4

7/4 9/4 1/1 1/2

Esempi di figure definite da traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 a) 1/4 3/4 7/4 1/2 1/1

b) 3/4

1/1

5/4 9/4 1/2 1/1

V. Alla valoristica del campo delle traslazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 corrispondono le infinite figure: x1 x2 x3 1/1 1/2

e

2/1:

x1 x2 x3 1/2 1/1

ove 0 ≤ xi < 3/1

3/2

2/1

171

4.Permutazioni della disposizione di inizi/fini Data una figura di ordine z definita da una disposizione di z inizi/fini e degli y = z-1 valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine:        

  

è possibile individuare z! figure di ordine z distinte definite dalle z! permutazioni della disposizione degli z inizi/fini che definisce la figura presa in considerazione (ove per permutazione si intende una differente disposizione degli stessi inizi/fini). la disposizione di z inizi/fini che definisce la figura è una delle z! permutazioni della disposizione degli z inizi/fini stessi. l’insieme delle  z! figure di ordine z distinte definite dalle z! permutazioni della disposizione degli z inizi/fini è detto “campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini”. tutte le figure componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini hanno uguale numerosità, pari a z, essendo definite da differenti disposizioni dello stesso numero di inizi/fini. le figure componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini hanno uguale  dimensione,  pari  al  valore  tra  il  primo  inizio  e  l’ultima  fine,  solo  se  definite dalla medesima disposizione di valori o da disposizioni speculari di valori. le figure componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini hanno uguale valoristica solo se definite dalla medesima disposizione di valori o da disposizioni speculari di valori. se la figura è definita da una disposizione di z = n/k inizi/fini (con k numero naturale compreso tra 1 ed n/2) e degli y = z -1 valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima  fine  ed    ha  valoristica  [1/1,  2/1, ...y/1], allora tutte le figure componenti il campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini hanno uguale valoristica (vedi esempio 2). l’insieme di tutti i valori esistenti tra tutti gli inizi/fini appartenenti alle figure componenti il  campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini  è  detto  “intervallistica  del  campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini”. la valoristica del campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini è formata esclusivamente da coppie di valori complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini e la sua valoristica, ovvero al campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini corrisponde una ed una sola valoristica ma non viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente le figure di ordine z, alla valoristica del campo delle permutazioni della disposizione degli z inizi/fini corrispondono le infinite figure di ordine z definite dalle infinite traslazioni delle z! permutazioni delle 2 disposizioni degli z inizi/fini che definiscono la figura presa in considerazione e la figura speculare ad essa.

Esempio 1: in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali, data la figura 1/2 3/2 2/1: 1/1 1/2 I. Campo delle permutazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 1/2 3/2 2/1 1/1 1/2

1/2 2/1 3/2 3/2 5/2

3/2 1/2 2/1 2/1 3/2

3/2 2/1 1/2 1/2 3/2

3/2

2/1:

2/1 1/2 3/2 3/2 1/1

2/1 3/2 1/2 5/2 2/1

II. Tutte le figure componenti il campo delle permutazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 3/2 2/1 hanno numerosità pari a 3.

172 III. La figura 1/2 3/2 2/1 ha dimensione pari a 3/2. 1/1 1/2 La figura 1/2 2/1 3/2 ha dimensione pari a 4/1. 3/2 5/2 La figura 3/2 1/2 2/1 ha dimensione pari a 7/2. 2/1 3/2 La figura 3/2 2/1 1/2 ha dimensione pari a 2/1. 1/2 3/2 La figura 2/1 1/2 3/2 ha dimensione pari a 5/2. 3/2 1/1 La figura 2/1 3/2 1/2 ha dimensione pari a 9/2. 5/2 2/1 IV. La figura 1/2 3/2 2/1 ha valoristica: [1/2, 1/1, 3/2]. 1/1 1/2 La figura 1/2 2/1 3/2 ha valoristica: [3/2, 1/1, 5/2]. 3/2 5/2 La figura 3/2 1/2 2/1 ha valoristica: [1/2, 3/2, 2/1]. 2/1 3/2 La figura 3/2 2/1 1/2 ha valoristica: [1/2, 3/2, 2/1]. 1/2 3/2 La figura 2/1 1/2 3/2 ha valoristica: [3/2, 1/1, 5/2]. 3/2 1/1 La figura 2/1 3/2 1/2 ha valoristica: [3/2, 2/1, 5/2]. 5/2 2/1 V. Valoristica del campo delle permutazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 3/2 2/1: [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2]. Tale valoristica è costituita dalle seguenti coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2]. VI. Figura speculare 1/2 1/1 2/1. 1/2 1/1 VII. Campo delle permutazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 1/1 2/1: 1/2 1/1 2/1 1/2 1/1

1/2 2/1 1/1 3/2 2/1

1/1 1/2 2/1 5/2 3/2

1/1 2/1 1/2 1/1 3/2

2/1 1/2 1/1 3/2 1/2

2/1 1/1 1/2 2/1 5/2

173 VIII. Alla valoristica del campo delle permutazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 3/2 2/1 corrispondono le infinite figure definite dalle infinite traslazioni delle 6 permutazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 3/2 2/1 e dalle infinite traslazioni delle 6 permutazioni della disposizione di inizi/fini 1/2 1/1 2/1: x1 x2 x3 1/1 1/2

x1 x2 x3 3/2 5/2

x1 x2 x3 2/1 3/2

x1 x2 x3 1/2 3/2

x1 x2 x3 3/2 1/1

x1 x2 x3 5/2 2/1 ove 0≤ xi 1) una disposizione di inizi/fini e dei valori consecutivi compresi tra il primo inizio e l’ultima fine organizzata in cicli di  z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi. Poiché  la disposizione di  inizi/fini  e  valori che definisce  il ritmo  è  il risultato dell’organizzazione  ciclica degli inizi/fini e dei valori stessi (ovvero della ripetizione nel tempo di un insieme ordinato nel tempo di z inizi/fini e z valori), il ritmo può essere rappresentato tramite un ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi.

Esempio 1: ritmo rappresentato da un ciclo di 2 inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e dei 2 valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi in un siste ma metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali: Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

1,5

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

2

2,5

3

IV V

VI

VII VIII

Inizi/fini (posizione rispetto l’origine del sistema in u):                               0    1/1    2/1    3/1   4/1    5/1

3,5

4

4,5 ...

IX

X ...

7/1

8/1 9/1 ...

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

Inizi/fini (posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene in u):

(01 1/11 2/11) (02 1/12 2/12) (03 1/13 2/13) (0 ...

Classi di inizi/fini:

0 ≤ x < 3/1

Valori:

0 ≤ w < 3/1 inferiore al ciclo

1)1 (1,5

6/1

III)1 (I

w ≥ 3/1         superiore al ciclo Classi di valori:

0 ≤ w < 3/1

Disposizione di inizi/fini:

1/21

3/22

Disposizione di valori: Organizzazione in cicli di 2 inizi/fini: Organizzazione in cicli di 2 valori:

4/1 (1/21

1/23 2/1

3/24 4/1

1/25 2/1

3/26 4/1

3/22) 1 (1/23 3/24) 2 (1/25

(4/1

2/1) 1 (4/1

1/27 2/1

...

...

3/26) 3 (1/27 ...

2/1) 2 (4/1

2/1) 3

178 Ritmo rappresentato tramite il ciclo di inizi/fini (1/2i 3/2i+1), ove i = 1, 2, 3, ... cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e dei valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi (4/1 2/1): →1/2i 2/1

4/1 3/2i+1

Ogni sistema metrico è caratterizzato dalla presenza di ritmi differenti (ovvero differenti disposizioni  di  inizi/fini  e  dei  valori  consecutivi  compresi  tra  il  primo  inizio  e  l’ultima  fine  organizzate in cicli di inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e dei valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli  consecutivi),  ma,  grazie  all’organizzazione  degli  istanti  iniziali/finali  in  cicli  di  n istanti, è possibile riferirsi, ai fini della seguente analisi, solo alle infinite “classi” di modi definiti da un ciclo  semplice (ovvero senza ripetizioni di elementi) di “classi” di inizi/fini cui è attribuito un indice che  identifica  la  prima  posizione  del  ciclo  e  delle  “classi”  di  valori  consecutivi  compresi  tra  i  due  inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi.

Esempio 2: ritmi rappresentati da un ciclo di 3 inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e dei 3 valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prim a posizione di cicli consecutivi in un siste ma metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali: Disposizione istanti (in s):

0

0,5

1

1,5

Ordinamento della disposizione:

I

II

III

2

2,5

3

3,5

IV V

VI

VII VIII

4

4,5 ...

IX

X ...

Inizi/fini (posizione rispetto l’origine del sistema in u):                               0    1/1    2/1    3/1 4/1

5/1

6/1

7/1

8/1 9/1 ...

Organizzazione in cicli di 3 istanti:

(0

0,5

2

2,5)2 (3

3,5

4)3 (4,5 ...

Ordinamento del ciclo di istanti:

(I

II

II

III)2 (I

II

III)3 (I ...

Inizi/fini (posizione rispetto al primo istante del ciclo cui appartiene in u):

(01 1/11 2/11) (02 1/12 2/12) (03 1/13 2/13) (0 ...

Classi di inizi/fini:

0 ≤ x < 3/1

Valori:

0 ≤ w < 3/1 inferiore al ciclo w ≥ 3/1

Classi di valori:

0 ≤ w < 3/1

superiore al ciclo

1)1 (1,5 III)1 (I

179 Esempi di ritmi:                                    →1/21 3/2 1/2 a) 2/11 1/11 1/1 →1/21 3/2 1/1 b) 2/12

3/21 7/2

→5/21 21/4

5/2

c) 1/43

2/12 5/4

→1/21 3/2 3/2 d) 2/12

2/11 3/1

Esempi di classi di ritmi:

→1/2 3/2 1/2 a) 2/1

1/1 1/1 →1/2

3/2

1/1

b) 2/1

3/2 1/2

→5/2 9/4

5/2

c) 1/4

2/1 5/4

→1/2 3/2

3/2

d) 2/1

2/1 0

non rappresenta una classe di ritmi in quanto non definita da una ciclo semplice di inizi/fini

180

2.Proprietà Dato un ritmo di ordine z rappresentato da un ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi:   

  

la numerosità del ritmo è pari a z. la dimensione del ritmo è pari al valore tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi. non esiste una relazione biunivoca tra il ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo ed il ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, ovvero al ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo corrisponde sempre uno ed un solo ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, ma non viceversa; in particolare, al ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi corrispondono infiniti differenti cicli di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo, le cosiddette infinite traslazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo (vedi paragrafo sulle traslazioni del ciclo di inizi/fini). l’insieme di tutti i valori esistenti tra tutti gli inizi/fini appartenenti al ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che definisce il ritmo è detto “valoristica del ritmo”. la valoristica del ritmo è formata esclusivamente da coppie di valori complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il ritmo e la sua valoristica, ovvero al ritmo corrisponde sempre una ed una sola valoristica ma non viceversa; in particolare, se si considerano esclusivamente i ritmi di ordine z, alla valoristica del ritmo corrispondono gli infiniti ritmi rappresentati dalle infinite traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z1! ... zk! cicli degli z inizi/fini cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di z inizi/fini che rappresenta il ritmo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z ! ... z ! permutazioni del 1

k

ciclo di valori consecutivi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 valori di un tipo, z2 valori di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che definisce il ritmo preso in considerazione (vedi paragrafi sulle permutazioni del ciclo di inizi/fini e sulle permutazioni del ciclo di valori).

Esempio 1: in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali, dato il ritmo: →1/2 3/2 1/1 2/1

3/2 1/2

I. La numerosità del ritmo è pari a 3. II. La dimensione del ritmo è pari a 3/1. III. Esempi di traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 a) (1/4

5/4

7/4)

b) (3/4

7/4

9/4)

3/2

2/1):

181 IV. Valoristica del ritmo: [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2] Tale valoristica è costituita dalle coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2]. V. 6 permutazioni del ciclo di valori (1/1 1/2 3/2): (1/1 1/2 3/2) (1/1 3/2 1/2) (1/2 1/1 3/2) (1/2 3/2 1/1) (3/2 1/1 1/2) (3/2 1/2 1/1) 6 cicli di inizi/fini cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di inizi/fini (1/2 corrispondenti alle 6 permutazioni del ciclo di valori (1/1 1/2 3/2):

3/2

2/1)

(1/2 3/2 2/1) (1/2 3/2 0) (1/2 1/1 2/1) (1/2 1/1 5/2) (1/2 2/1 0) (1/2 2/1 5/2) VI. 2 permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1): (1/2 3/2 2/1) (1/2 2/1 3/2) 2 permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 0): (1/2 3/2 0) (1/2 0 3/2) 2 permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 1/1 2/1): (1/2 1/1 2/1) (1/2 2/1 1/1) 2 permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 1/1 5/2): (1/2 1/1 5/2) (1/2 5/2 1/1) 2 permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 2/1 0): (1/2 2/1 0) (1/2 0 2/1) 2 permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 2/1 5/2): (1/2 2/1 5/2) (1/2 5/2 2/1) VII. Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1): → x1 3/2 1/1 x3

x2 1/2

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 2/1 3/2): → x1 3/2 3/2 x3

x2 5/2

182 Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 0): → x1 1/2 1/1 x3

x2 3/2

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 0 3/2): → x1 2/1 5/2 x3

x2 3/2

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 1/1 2/1): → x1 3/2 1/2 x3

x2 1/1

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 2/1 1/1): → x1 5/2 3/2 x3

x2 2/1

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 1/1 5/2): → x1 1/1 1/2 x3

x2 3/2

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 5/2 1/1): → x1 5/2 2/1 x3

x2 3/2

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 2/1 0): → x1 1/2 3/2 x3

x2 1/1

183 Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 0 2/1): → x1 3/2 5/2 x3

x2 2/1

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 2/1 5/2): → x1 1/1 3/2 x3

x2 1/2

Ritmi definiti dalle infinite traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 5/2 2/1): → x1 3/2 2/1 x3

x2 5/2

VIII. Alla valoristica del ritmo →1/2 3/2 1/1 2/1

3/2 1/2

corrispondono gli infiniti ritmi al punto VII.

2.Traslazioni del ciclo di inizi/fini Dato un ritmo di ordine z rappresentato da un ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi: 

 

è possibile individuare infiniti ritmi di ordine z distinti rappresentati dalle infinite traslazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il ritmo preso in considerazione (ove per traslazione si intende un differente ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo al quale corrisponde il medesimo ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi). il ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il ritmo è una delle infinite traslazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo. l’insieme  degli  infiniti  ritmi  di  ordine  z distinti rappresentati dalle infinite traslazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo è detto “campo delle traslazioni del ciclo degli  z inizi/fini”.

184    

 

tutti i ritmi componenti il campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini hanno uguale numerosità, pari a z, essendo rappresentati da un differente ciclo dello stesso numero di inizi/fini. tutti i ritmi componenti il campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini hanno uguale dimensione, pari al valore tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di valori. tutti i ritmi componenti il campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini hanno uguale valoristica, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di valori. l’insieme  di  tutti  i  valori  esistenti  tra tutte  gli inizi/fini appartenenti ai ritmi componenti il campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini  è  detto  “valoristica  del  campo  delle  traslazioni del ciclo degli z inizi/fini”.  Essa  coincide  con  la  valoristica  di  qualsiasi  ritmo  componente il campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini stesso. la valoristica del campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini è formata esclusivamente da coppie di valori complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini e la sua valoristica, ovvero al campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini corrisponde sempre una ed una sola valoristica ma non viceversa; in particolare, se si considerano esclusivamente i ritmi di ordine z, alla valoristica del campo delle traslazioni del ciclo degli z inizi/fini corrispondono gli infiniti ritmi rappresentati dalle infinite traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z1! ... zk! cicli degli z inizi/fini cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di z inizi/fini che rappresenta il ritmo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z1! ... z ! permutazioni del ciclo di valori consecutivi tra i due inizi/fini equivalenti che k

occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 valori di un tipo, z2 valori di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il ritmo preso in considerazione (vedi paragrafi sulle permutazioni del ciclo di inizi/fini e sulle permutazioni del ciclo di valori).

Esempio 1: in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali, dato il ritmo: →1/2 3/2 1/1 2/1

3/2 1/2

I. Campo delle traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1): → x1 3/2 1/1 x3

x2 1/2

II. Tutti i ritmi appartenenti al campo delle traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) hanno numerosità pari a 3, dimensione pari a 3/1 e valoristica [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2]. III. Valoristica del campo delle traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1):[1/2,1/1,3/2,2/1,5/2]. Tale valoristica è costituita dalle coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2].

185

IV. Alla valoristica del campo delle traslazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) corrispondono i ritmi al punto VII. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà dei ritmi. 

3.Permutazioni del ciclo di inizi/fini Dato un ritmo di ordine z rappresentato da un ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi: 

     

 

è possibile individuare (z-1)! ritmi di ordine z distinti rappresentati dalle (z-1)! permutazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il ritmo preso in considerazione (ove per permutazione si intende un differente ciclo degli stessi inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica come prima posizione del ciclo il medesimo inizio identificato come prima posizione del ciclo che rappresenta il ritmo preso in considerazione). il ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il ritmo è una delle (z-1)! permutazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo. l’insieme  degli  (z-1)! ritmi di ordine z distinti rappresentati dalle (z-1)! permutazioni del ciclo degli z inizi/fini è detto “campo delle permutazioni del ciclo degli  z inizi/fini”. tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fini hanno uguale numerosità, pari a z, essendo rappresentati da differenti cicli dello stesso numero di inizi/fini. i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fini hanno uguale dimensione, pari al valore tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, solo se rappresentati da cicli differenti degli stessi valori. tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fine hanno uguale valoristica. l’insieme  di  tutti  i  valori  esistenti  tra  tutti  gli  inizi/fini  appartenenti  ai  ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fini  è  detto  “valoristica  del  campo  delle  permutazioni del ciclo degli z inizi/fini”. Essa coincide con la valoristica di qualsiasi ritmo componente il campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fini stesso. la valoristica del campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fini è formata esclusivamente da coppie di valori complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fini e la sua valoristica, ovvero al campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fini corrisponde una ed una sola valoristica ma non viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente i ritmi di ordine z, alla valoristica del campo delle permutazioni del ciclo degli z inizi/fini corrispondono gli infiniti ritmi rappresentati dalle infinite traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z1! ... zk! cicli degli z inizi/fini cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di z inizi/fini che rappresenta il ritmo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z1! ... zk! permutazioni del ciclo di valori consecutivi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 valori di un tipo, z2 valori di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il ritmo preso in considerazione (vedi paragrafo sulle permutazioni del ciclo di valori).

186

Esempio 1: in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 inizi/fini, dato il ritmo: →1/2 3/2 1/1 2/1

3/2 1/2

I. Campo delle permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1): →1/2                              →1/2 3/2 1/1 2/1 2/1

3/2

3/2

1/2

3/2 2/1

5/2

II. Tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) hanno numerosità pari a 3. III. Il ritmo         →1/2               ha dimensione pari a 3/1. 3/2 1/1 2/1

3/2 1/2

Il ritmo

→1/2                   ha dimensione pari a 6/1. 2/1 3/2 3/2

2/1 5/2

IV. Tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) hanno valoristica: [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2]. Tale valoristica è costituita dalle coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2]. V. Valoristica del campo delle permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1): [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2]. Tale valoristica è costituita dalle coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2]. VI. Alla valoristica del campo delle permutazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) corrispondono  i  ritmi  al  punto  VII.  dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà dei ritmi.

187

4.Rotazioni del ciclo di inizi/fini Dato un ritmo di ordine z rappresentato da un ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi: 

     

 

è possibile individuare z ritmi di ordine z distinti rappresentati dalle z rotazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo (ove per rotazione si intende il medesimo ciclo di inizi/fini cui è attribuito un differente indice che identifica la prima posizione del ciclo). il ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo che rappresenta il ritmo è una delle z rotazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo. l’insieme  degli  z ritmi di ordine z distinti rappresentati dalle z rotazioni del ciclo degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo è detto “campo  delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini”. tutti i ritmi componenti il campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini hanno uguale numerosità, pari a z, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di inizi/fini. tutti i ritmi componenti il campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini hanno uguale dimensione, pari al valore tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di valori. tutti i ritmi componenti il campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini hanno uguale valoristica, essendo rappresentati dal medesimo ciclo di valori. l’insieme  di  tutti  i  valori  esistenti tra tutti gli iniz/fini appartenenti ai ritmi componenti il campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini è detto “valoristica del campo delle rotazioni  del ciclo degli z inizi/fini”. Essa coincide con la valoristica di qualsiasi ritmo componente il campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini stesso. la valoristica del campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini è formata esclusivamente da coppie di valori complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini e la sua valoristica, ovvero al campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini corrisponde una ed una sola valoristica ma non viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente i ritmi di ordine z, alla valoristica del campo delle rotazioni del ciclo degli z inizi/fini corrispondono gli infiniti modi rappresentati dalle infinite traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z1! ... zk! cicli degli z inizi/fini cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di z inizi/fini che rappresenta il ritmo preso in considerazione corrispondenti alle z!/ z1! ... z ! permutazioni del ciclo di valori consecutivi tra i due inizi/fini equivalenti che k

occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 valori di un tipo, z2 valori di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il ritmo preso in considerazione (vedi paragrafo sulle permutazioni del ciclo di valori).

Esempio 1: in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali, dato il ritmo: →1/2 3/2 1/1 2/1

3/2 1/2

188 I. Campo delle rotazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1): →1/2                  →3/2                 →2/1          3/2 1/1 1/1 1/2 1/2 3/2 2/1

3/2 1/2

1/2

2/1 3/2

3/2

1/2 1/1

II. Tutti i ritmi componenti il campo delle rotazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) hanno numerosità pari a 3. III. Tutti i ritmi componenti il campo delle rotazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) hanno dimensione pari a 3/1. IV. Tutti i ritmi componenti il campo delle rotazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) hanno valoristica: [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2]. Tale valoristica è costituita dalle coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2]. V. Valoristica del campo delle rotazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1): [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2]. Tale valoristica è costituita dalle coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2]. VI. Alla valoristica del campo delle rotazioni del ciclo di inizi/fini (1/2 3/2 2/1) corrispondono i ritmi al punto VII. dell’esempio 1 relativo al paragrafo sulle proprietà dei ritmi. 

5.Permutazioni del ciclo di valori Dato un ritmo di ordine z rappresentato da un ciclo di z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo e degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi: 

se nel ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi vi sono solo valori differenti, è possibile individuare z! ritmi di ordine z distinti rappresentati dagli z! cicli di z inizi/fini cui è attribuito il medesimo indice del ciclo di z inizi/fini che rappresenta il ritmo preso in considerazione corrispondenti alle z! permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi che rappresenta il ritmo preso in considerazione (ove per permutazione si intende un differente ciclo degli stessi valori); se nel ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi vi sono valori uguali, alcune permutazioni danno lo stesso ciclo. In generale, se un ritmo è rappresentato da un ciclo di z valori consecutivi compresi tra due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 valori di un tipo, z2 valori di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1

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











 

+ z2 + ... + zk - è possibile individuare z/ z1! ... zk! ritmi di ordine z distinti. Tali ritmi avranno sempre in comune l’inizio/fine che occupa la prima posizione del ciclo, ma non gli altri. il ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi che rappresenta il ritmo è una delle z/ z1 ! ... zk! permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi. l’insieme  degli  z!/ z1! ... zk! ritmi di ordine z distinti rappresentati dalle z!/ z1! ... zk! permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 valori di un tipo, z2 valori di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - è detto “campo delle permutazioni del ciclo  degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi”.  tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi hanno uguale numerosità, pari a z, essendo definiti da differenti cicli dello stesso numero di inizi/fini. tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi hanno uguale dimensione, pari al valore tra i due inizi/fini, essendo definiti da differenti cicli degli stessi z valori. tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi, hanno uguale valoristica, essendo definiti da differenti cicli degli stessi z valori. Essa coincide con la valoristica di qualsiasi ritmo componente il campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi stesso. l’insieme di tutti i valori esistenti tra tutte gli inizi/fini appartenenti a tutti i ritmi componenti  il campo delle permutazioni del ciclo degli z valori compresi tra i due inizi/fini equivalenti che  occupano  la  prima  posizione  di  cicli  consecutivi  è  detto  “valoristica  del  campo  delle  permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi”. la valoristica del campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi è formata esclusivamente da coppie di valori complementari. non esiste una relazione biunivoca tra il campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi e la sua valoristica, ovvero al campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi corrisponde sempre una ed una sola valoristica ma non viceversa. In particolare, se si considerano esclusivamente i ritmi di ordine z, alla valoristica del campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi corrispondono gli infiniti modi rappresentati dalle infinite traslazioni delle (z-1)! permutazioni degli z!/ z1! ... zk! cicli degli z inizi/fini cui è attribuito un indice che identifica la prima posizione del ciclo corrispondenti alle z!/ z1! ... zk! permutazioni del ciclo di valori consecutivi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi - di cui z1 valori di un tipo, z2 valori di un altro tipo, etc. fino a zk , con z = z1 + z2 + ... + zk - che rappresenta il ritmo preso in considerazione.

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Esempio 1: in un sistema metrico rappresentato da cicli di 3 istanti iniziali/finali, dato il ritmo: →1/2 3/2 1/1 2/1

3/2 1/2

I. Campo delle permutazioni del ciclo di valori (1/1 1/2 3/2) tra gli inizi/fini 1/2i ed 1/2i+1: →1/2                  →1/2                  →1/2               →1/2               →1/2              →1/2          3/2 1/1 1/2 1/1 3/2 1/2 1/1 1/2 1/2 3/2 1/1 3/2 2/1

3/2 1/2

0

3/2 3/2

2/1

1/1 5/2 1/1

1/1 3/2

0

2/1 5/2 1/1

2/1 1/2

II. Tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di valori (1/1 1/2 3/2) tra gli inizi/fini 1/2i ed 1/2i+1 hanno numerosità pari a 3. III. Tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di valori (1/1 1/2 3/2) tra gli inizi/fini 1/2i ed 1/2i+1 hanno dimensioni pari a 3/1. IV. Tutti i ritmi componenti il campo delle permutazioni del ciclo di valori (1/1 1/2 3/2) tra gli inizi/fini 1/2i ed 1/2i+1 hanno valoristica: [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2]. Tale valoristica è costituita dalle coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2]. V. Valoristica del campo delle permutazioni del ciclo di valori (1/1 1/2 3/2) tra gli inizi/fini 1/2i ed 1/2i+1: [1/2, 1/1, 3/2, 2/1, 5/2]. Tale valoristica è costituita dalle coppie di valori complementari: 1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2. Essa può dunque essere così rappresentata: [1/2+5/2, 1/1+2/1, 3/2+3/2]. VI. Alla valoristica del campo delle permutazioni del ciclo di valori (1/1 1/2 3/2) tra gli inizi/fini 1/2i ed 1/2i+1corrispondono  i  ritmi  al  punto  VII.  dell’esempio  1  relativo  al paragrafo sulle proprietà dei ritmi.

6.Criteri per la selezione dei ritmi Dato un sistema metrico rappresentato da cicli di n istanti iniziali/finali, e’ possibile selezionare tutti  i ritmi:  

rappresentati da un qualsivoglia ciclo di inizi/fini contenente un determinato inizio/fine o insieme di inizi/fini. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di inizi/fini contenente un determinato inizio/fine o insieme di inizi/fini come primo inizio/fine o primi inizi/fini del ciclo stesso.

191                    

rappresentati da un qualsivoglia ciclo di inizi/fini contenente un determinato inizio/fine o insieme di inizi/fini come ultimo inizio/fine o ultimi inizi/fini del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di inizi/fini contenente un determinato sotto-ciclo di inizi/fini. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di inizi/fini contenente un determinato sotto-ciclo di inizi/fini come primi inizi/fini del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di inizi/fini contenente un determinato sotto-ciclo di inizi/fini come ultimi inizi/fini del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di valori contenente un determinato valore o insieme di valori. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di valori contenente un determinato valore o insieme di valori come primo valore o primi valori del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di valori contenente un determinato valore o insieme di valori come ultimo valore o ultimi valori del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di valori contenente un determinato insieme di valori ove per ciascun valore sia stabilito quante volte può apparire nel ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di valori contenente un determinato insieme di valori ove per ciascun valore sia stabilito quante volte può apparire consecutivamente nel ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di valori contenente un determinato sotto-ciclo di valori. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di valori contenente un determinato sotto-ciclo di valori come primi valori del ciclo stesso. rappresentati da un qualsivoglia ciclo di valori contenente un determinato sotto-ciclo di valori come ultimi valori del ciclo stesso. aventi una determinata numerosità. aventi una determinata dimensione. cui corrisponde una determinata valoristica. cui corrisponde una valoristica contenente un determinato valore o insieme di valori. appartenenti al campo delle traslazioni del ciclo di z inizi/fini . appartenenti al campo delle permutazioni del ciclo di z inizi/fini. appartenenti al campo delle rotazioni del ciclo di z inizi/fini. appartenenti al campo delle permutazioni del ciclo degli z valori consecutivi compresi tra i due inizi/fini equivalenti che occupano la prima posizione di cicli consecutivi.

I precedenti criteri possono essere combinati liberamente tra loro per dar vita ad ulteriori criteri.