Orden Jerárquico de los Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad

Universidad Católica Redemptoris Maters UNICA I año Sabatino Lógica y Teoría de Conjuntos

Catedrático: Lic. Francisco S. Hernández Mendoza.

Carrera: Matemática.

Agrupación de Proposiciones y Jerarquía en la Aplicación de los Operadores

Los Los parén parénte tesi sis, s, ( ), son son signo signoss de puntu puntuac ació ión n que, que, se empl emplean ean para para estr estruc uctu tura rar  r   proposiciones compuestas complejas. Sin embargo, puede emplearse la siguiente convención, si se desea evitar el uso de paréntesis en una proposición lógica compuesta: Supondremos desde ahora que si una proposición lógica compuesta carece de paréntesis se, tomará tomará en cuenta cuenta al modifi modificad cador or ¬ en primer primeraa priori prioridad, dad, al conect conectivo ivo ∧ en segunda  prioridad, al conectivo ∨ en tercera, y finalmente a los conectivos → y ↔ . Así, si se desea restaurar los paréntesis en la siguiente proposición: ¬ p ∧

La expresión resultante sería: (( ¬ p

q → r  ↔ q ∧ r  ∧ q) → r ) ↔

∧

(q

∧

p

(r  ∧  p))

Jerarquía de Operadores Lógicos

Combinando Combinando los operadores lógicos podemos formar nuevas expresiones expresiones.. En términos términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ∧ q), etc. Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad, por ejemplo ¬ p ∧ q podría significar  dos cosas distintas .Por un lado podría significar: (( ¬ p) ∧ q) o también: ( ¬ (p ∧ q)). En la  práctica para no usar tantos paréntesis se considera con sidera que el operador ope rador ¬ tiene jerarquía sobre ∧ , ∨ , →, ↔. Así ¬ p ∧ q significa (( ¬ p) ∧ q). En algunos casos se considera ∧ , ∨ tienen tienen mayor jerarquía jerarquía que ↔ por lo que, p ↔ q ∨ r sería (p ↔ (q ∨ r)) y también que ∧ tiene prioridad sobre ∨ , por lo que p ∧ q ∨ r, sería (p ∧ q) ∨ r. Es convenie conveniente nte señalar señalar que en la mayoría mayoría de los casos casos no se consider consideraa la jerarquí jerarquíaa de ninguno de los operadores binarios

∧

,

∨

, →, ↔; por que esta se susti sustituye tuye por el uso de

 paréntesis. En ese sentido, sólo el operador unitario ¬ tiene prioridad sobre los demás operadores. Esto se hace con el fin de evitar el uso exagerado de paréntesis, por ejemplo: ((( ¬ p)

∧

q)

∨

r) se representa por ( ¬ p

∧

q) ∨ r.

Construcción de Tablas de Verdad y la Jerarquía de los Conectivos Lógicos

Como ya sabemos la sintaxis en lógica es la forma correcta de escribir una proposición lógica y la semántica es lo que significa. Como en lógica solamente tenemos dos valores de

verdad, una proposición lógica solamente puede ser verdadera o falsa. Para determinar su valor seguimos las reglas simples que dimos en las definiciones básicas de cada conectivo u operador lógico, así como su correspondiente tabla de verdad. Esto lo hacemos mediante interpretaciones. Una interpretación de una proposición lógica compuesta es un conjunto de valores que se les asignan a las proposiciones simples que la componen. Al interpretar una proposición lógica lo que finalmente vamos a obtener es un valor de verdad, bien sea verdadero o falso. Pero para poder encontrarlo muchas veces el proceso es laborioso porque puede estar formada por varias proposiciones simples. Primeramente se le asignan valores de verdad a las proposiciones simples y de allí se puede encontrar el valor  de la expresión dada. Si deseamos hacerlo en general, debemos analizar todas las posibilidades, esto se puede hacer construyendo una tabla de verdad. Para fines prácticos cuando se tienen varias  proposiciones simples las tablas de verdad no resultan prácticas por lo que analizaremos solamente expresiones con tres proposiciones simples como máximo. La afirmación anterior en ningún momento debe interpretarse como que no se puede construir una tabla de verdad para un número mayor de proposiciones, pero notemos que  por cada proposición simple que se aumente el número de filas o renglones se duplica. Esto es, para una proposición simple son dos renglones, para dos son cuatro, para tres son ocho,  para cuatro dieciséis, así sucesivamente, hasta llegar a “n” proposiciones simples a las que les corresponden 2n filas. Un algoritmo para construir una tabla de verdad de una proposición lógica compuesta  puede ser: 1. Calcular el número de filas que tendrá la tabla. Este será equivalente a 2 elevado al

número de proposiciones simples que identifiquemos en la proposición lógica compuesta (2n donde n representa el número de proposiciones simples que intervienen). 2. Elaborar las columnas iniciales, las cuales incluyen todas las proposiciones simples que

contiene en su estructura la proposición lógica compuesta. 3. Una vez hecho esto hay que confeccionar las columnas intermedias, empezando por los

operadores lógicos de mayor jerarquía (las proposiciones simples negadas, si las hay), seguidamente las proposiciones lógicas que sigan en el orden jerárquico según sus componentes principales e internos, hasta abarcar la conexión completa de todas las  proposiciones que forman la proposición compuesta, teniendo en cuenta que a la ultima columna corresponde a la proposición lógica original (que es la que indica los valores de verdad posibles de la expresión para cada caso).

4. Para la asignación de los valores de verdad de las proposiciones simples, seguimos el

siguiente criterio: en la primera proposición simple los valores de verdadero (V) y falso (F) se alternan de mitad en mitad del total del número filas que tiene la tabla; en la segunda  proposición simple los valores de verdadero y falso se alternan en la mitad de lo que se alternó en la primera proposición simple, y así sucesivamente, hasta llegar a la última  proposición simple en donde los valores de verdadero y falso se alternan de uno en uno. 5. La asignación de los valores de verdad del resto de las proposiciones lógicas que

contiene la tabla, dependerán de la característica y naturaleza de las mismas. Es decir se hará de acuerdo al orden jerárquico que, tiene cada operador lógico que esté presente en su estructura. Para ilustrar el uso de este algoritmo a continuación se les plantea un ejemplo: Construya la tabla de verdad que corresponde a la expresión lógica: (¬p ∨ r)

∨

(p → ¬q)

Solución:  p

q

r 

¬

 p

¬

(¬p

∨

r) (p → ¬q) (¬p

∨

r)

∨

(p → ¬q)

q

V V V

F

F

V

F

V

V V

F

F

F

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

Bibliografía Consultada:

Interpretación de los conectivos lógicos en el lenguaje ordinario..., agrupación de  proposiciones y jerarquía en la aplicación de los conectivos. [en línea]. [fecha de consulta: el 1/4/08]. Disponible en : http://huitoto.udea.edu.co/MatematicasDiscretas/introProp.htm