Optique Physique

Chapitre 1. Ondes Lumineuses

Introduction * L’optique est la partie de la physique qui étudie la lumière et les phénomènes qu’elle engendre. Les radiations lumineuses sont des ondes électromagnétiques dans la gamme des longueurs d’onde UV-visible-IR. * La propagation est régie par les équations de Maxwell, qui permettent d’une part, la description exacte de la propagation sous forme d’une onde électromagnétique et d’autre part les propriétés structurales des champs électrique et magnétique. * Dans le cadre de l’optique physique, on étudie la propagation sous forme d’une onde, l’interférence et la diffraction.

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1. Vibrations et Ondes 1.1. Vibration * Une vibration est une grandeur physique mesurable (scalaire ou vectorielle) périodique dans le temps. Sa période temporelle est T (seconde) et sa fréquence est ν (Hertz) f (t)  f (t  T) |   1/ T * Une vibration harmonique est de la forme (t)  a.cos(.t) |   2 Ou a est amplitude, ω la pulsation et ωt est l’argument (phase temporelle). * Sous forme complexe la vibration harmonique est donnée par (t)  a.exp( j..t) 1.2. Onde Plane *Une onde est une vibration qui se propage dans l'espace (milieu de propagation) à la vitesse v. Elle est de la forme (Onde harmonique plane)   a exp j(t  k.r)

Elle s’écrit à l’aide de l’amplitude complexe comme   .exp j(t) |   a.exp( jk.r) La phase spatiale (argument de l’amplitude complexe) est k.r  2.(u.r) /  2

La longueur d’onde et le vecteur d’onde sont donnés par   vT | k  (2 / )u Le vecteur u représente la direction de propagation de l’onde donné par u  u x .ex  u y .e y  u z .ez

Le vecteur r, point d’espace qui subit la perturbation est r  x.e x  y.e y  z.ez

La phase spatiale est k.r  2. /  |   r.u  x.u x  y.u y  z.u z

Ou ξ est la projection du vecteur r sur la direction de propagation * On appelle surface d’onde l’ensemble des positions géométriques (forme géométrique) où la phase spatiale est constante appelée équiphase. Par conséquent k.r  2. /   cste   cste  plan

1.3. Onde sphérique * Une onde sphérique (surface d’onde sphérique) est donnée par   a exp j(t  k.r)   .exp j(t)   a.exp( jkr) 3

L’amplitude est de la forme a  cste / r Elle est inversement proportionnelle à r, l’amplitude diminue en fonction de r, l’onde est amortie. La phase spatiale est kr  2.r / 

Le module du vecteur d’onde et le module du vecteurposition sont k  2 /  r  (x 2  y2  z 2 )1/ 2

La surface d’onde est donnée par l’équiphase kr  2.r /   cste r  rayon  cste  sphère

1.4. Equation de propagation *Les ondes plane et sphérique sont solution de l’équation de Lambert (équation de propagation). Elles obéissent à    2 / v2 .t 2  2 / z 2   2 / v2 .t 2

La vitesse de propagation est v et la direction de propagation est l’axe z. * L’énergie lumineuse se propage selon des courbes perpendiculaires en tout point aux surfaces d’onde. 4

L’intensité instantanée est proportionnelle au module de l’amplitude au carré   a.exp( jk.r).exp j(t) E  .*  a 2

L’intensité moyenne est obtenue à partir de la valeur moyenne temporelle (temps intégration du détecteur) de l’amplitude au carré I  a 2 

1.5. Polarisation de l’onde * Quand l’onde est vectorielle (norme, direction, sens), on distingue deux directions : direction de propagation et direction de vibration appelée polarisation. * On définit le type longitudinal quand la polarisation est parallèle à la propagation. Quand la polarisation est orthogonale à la propagation alors on a le type transversal. * Le plan de polarisation est le plan qui contient le vecteur-polarisation. On distingue différents états de polarisation: linéaire, circulaire et elliptique. * Soit une onde plane vectorielle transversale définit par    x .ex   y .e y

La direction de propagation et la phase k  (2 / ).ez 5

k.r  k.z  x  a.cos(t  k.z)  y  a.cos(t  k.z  )

Nous avons  x / a  cos(t  k.z)  y / b  cos(t  k.z).cos()  sin(t  k.z).sin() sin(t  k.z).sin()  ( y / b)  ( x / a).cos() cos(t  k.z).sin()  ( x / a).sin()

En élevant au carré les deux membres de l’égalité, on a sin 2   ( y / b)2  ( x / a)2 .cos 2   2. x . y cos  / a.b  ( x / a) 2 .sin 2 

L’équation de la trajectoire est obtenue en éliminant le temps entre ψx et ψy soit ( x / a)2  ( y / b)2  2. x . y cos  / a.b  sin 2 

* Les états de polarisation sont fonction du déphasage entre les deux composantes. L’onde est dite non polarisée quand le déphasage est aléatoire. Etat polarisation elliptique. Le déphasage est constant, l’équation est de la forme ( x / a)2  ( y / b)2  2. x . y cos  / a.b  sin 2 

Etat polarisation elliptique droite. Le déphasage est π/2, l’équation est de la forme ( x / a)2  ( y / b) 2  1 6

Etat polarisation circulaire. Le déphasage est π/2, le grand axe de l’ellipse est égal au petit axe (a=b). L’équation est de la forme ( x / a)2  ( y / a) 2  1

Etat polarisation plane. Le déphasage est nul, l’équation est de la forme  x  (a / b). y

Animation 1.6. Indice de réfraction * L’indice de réfraction est une caractéristique intrinsèque du milieu de propagation. Il renseigne sur le comportement du milieu vis-à-vis de la lumière (interaction rayonnement-matière). Il est égal au rapport de la vitesse de la lumière dans le vide (célérité c) et de la vitesse dans le milieu. n  c/ v

* L’indice n est supérieur à l’unité. Exemple : l’indice de l’air est 1, l’indice de l’eau est 1.33 et pour le verre est de 1.51. * Un milieu homogène est un milieu dont l’indice de réfraction est le même en tout point. Un milieu isotrope 7

est un milieu dont l’indice de réfraction ne dépend pas de la direction considérée (Exemple : l’air ou l’eau). Un milieu anisotrope est un milieu dont l’indice dépend du trajet suivi par la lumière (Exemple : cristaux). Un milieu dispersif est un milieu dont l’indice dépend de la longueur d'onde. La vitesse de l’onde lumineuse dépend de la fréquence (exemple violet et rouge). n  fct() La formule de Cauchy donne l'indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde n()  a  b /  2

Les paramètres a et b dépendent du matériau. Dans le cas l’eau n()  1.3242  3.0348.103 /  2

2. Onde électromagnétique et Lumière 2.1. Equations de Maxwell * Maxwell, après avoir construit la théorie de l’électromagnétisme (1876) (Equations de Maxwell), affirme que la lumière est une onde électromagnétique OEM qui se propage dans le vide à la célérité de 3.108 m.s−1. * Equation de propagation E   2 E / t 2 8

0 .0 .c2  1

| .0 .v2  1 (ε0,ε) sont les permittivités diélectriques du vide et du milieu ; μ0 est la perméabilité magnétique du vide et v la vitesse de propagation dans le milieu. La permittivité du milieu peut s’exprimée en fonction de la permittivité relative par   r .0

L’indice de réfraction du milieu est n  c / v  r

* Champ électrique et magnétique solution de l’équation de propagation sont de la forme (solution plane) E  E0 .expi(t  k.r) | B  B0 .expi(t  k.r) 2.2. Onde électromagnétique * A partir des équations de Maxwell on détermine les propriétés structurales de l’onde électromagnétique qui sont résumées dans cette expression B  (u  E) / c

* Par conséquent l’onde électromagnétique est transverse (champs sont et perpendiculaires à la direction de propagation), les champs E et B sont orthogonaux entre eux et forme avec la direction de propagation un trièdre directe. Les amplitudes sont reliés par 9

E0  c.B0

* La description d’une onde électromagnétique est suffisante par la connaissance du champ électrique E (B est complètement). * La polarisation de l’onde est associée à la direction du champ électrique E. L’intensité de l’onde électromagnétique est associée au vecteur de Poynting. s  (E  B) / 0  (0 .c2 .(E  B) 2

s  0 .c. E .u I  s.s*  0c.E02 / 2

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2.3. Spectre électromagnétique * On classe les ondes électromagnétiques en différentes catégories en fonction de la longueur d’onde et du mode de production.

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2.4. Spectre visible * Le spectre visible s’étend du rouge (780 nm) au violet (380 nm) en passant par orange, jaune, vert, bleu, indigo. La lumière peut être polychromatique (plusieurs longueurs d’onde), ou monochromatique (une seule longueur d’onde). Une lumière blanche contient tout le spectre visible.

2.5. Sources lumineuses 2.5.1. Sources thermiques Les corps portés à une certaine température (Soleil ; Ampoule) émettent de la lumière (incandescence). Une lampe à incandescence est formée par un filament de Tungstène porté à haute température (~3000 K) par effet Joule et placé dans une ampoule (Verre ou Quantz) 12

contenant un Halogène (Iode gaz tampon qui réagit avec le Tungstène et le recycle) destiné à limiter l’évaporation du filament. Le spectre solaire et raies de Fraunhofer

2.5.2. Sources spectrales * Lampes à décharge à basse pression (Hydrogène ; Oxygène ; Sodium ; Mercure) : Les niveaux excités sont peuplés par la décharge électrique. Un flux d’électrons excite des atomes ou des molécules à l’état gazeux qui retombent à l’état fondamental (transition spontanée) en produisant un rayonnement ayant un spectre de raies quasi-monochromatiques. 2.6. Polarisation de la lumière 2.6.1. Production de la lumière polarisée Un polariseur est un système optique (qu'on considérera plan) possédant deux directions privilégiées. L'une d'entre elles, appelée axe de transmission, est telle que le polariseur transmet la composante du champ électrique 13

incident parallèle à l'axe de transmission et arrête la composante perpendiculaire. La lumière sortant d'un polariseur est polarisée rectilignement, parallèlement à la direction de l'axe de transmission, quelle que soit la nature de la lumière incidente. En outre, si la lumière incidente est polarisée rectilignement selon la direction perpendiculaire à l'axe de transmission, alors aucune lumière ne sort du polariseur. 2.6.2. Loi de Malus Considérons deux polariseurs, l'un à la suite de l'autre, dont les axes de transmission respectifs font un angle α. À la sortie du premier polariseur, le champ électrique est polarisé rectilignement selon la direction u1, du premier axe de transmission. Après le second polariseur, souvent appelé analyseur, la lumière est polarisée rectilignement selon u2, direction de son axe de transmission. Le champ électrique après le premier polariseur est noté E1  E1.u1

Après l'analyseur, le champ transmis est : E 2  E 2 .u 2  E1.cos .u 2

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Comme l'intensité de l'onde électromagnétique est proportionnelle au carré de l'amplitude du champ, on en déduit la loi de Malus : I2  I1.cos 2 

En conclusion, quand on place successivement un polariseur et un analyseur, l'intensité lumineuse après le polariseur est liée à l'intensité après l'analyseur par la loi de Malus, qui fait intervenir l’angle entre les axes de transmission du polariseur et de l'analyseur. 2.6.3. Polarisation par dichroïsme Un polaroïd est réalisé à l'aide de feuilles plastiques enduites d'un matériau organique à grandes molécules puis étirées. On obtient alors une grille organique qui va absorber le champ électrique sauf quand celui-ci est perpendiculaire à la direction des molécules. On a alors un très fort coefficient d'absorption dans la direction des molécules (T=0,0002%) et une transmittance de l'ordre de 50% dans la direction perpendiculaire. On obtient donc à la sortie une onde polarisée rectilignement.

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2.7. Milieux dispersifs 2.7. 1. Loi de Cauchy Pour la lumière visible, une approximation satisfaisante des variations de l'indice avec la longueur d'onde est donnée par la Loi de Cauchy n()  a  b /  2

Où λ0 est la longueur d'onde dans le vide et où a (sans unité) et b (en mètre carré) caractérisent le milieu. On remarque que pour un milieu non dispersif, b = 0 et qu'un milieu est de moins en moins dispersif si b tend vers 0. 2.7.2. Indice de réfraction référence Pour mesurer un indice de réfraction dans un milieu dispersif, il faut une radiation monochromatique de référence, comme la raie D du Sodium (longueur d'onde dans le vide λD = 587,6 nm. L'indice absolu nD de l'eau à 20°C est 1,333 ; celui d'un verre ordinaire est compris entre 1,511 et 1,535. L'indice de l'air est égal à 1,000 292 6 dans les conditions normales de température et de pression.

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2.7.3. Pouvoir dispersif Dans le domaine du visible (longueurs d'onde dans le vide comprises entre 380 nm et 780 nm), la dispersion est caractérisée par le nombre d'Abbe ou la constringence qui définit le pouvoir dispersive d’un milieu. Le nombre d'Abbe V se définit en fonction des indices de réfraction à différentes longueurs d'onde, correspondant à des raies spectrales de Fraunhofer de certains éléments : v  (n D  1) /(n F  n C )

F et C désignant deux raies de l'hydrogène : la rouge de longueurs d'onde dans le vide λF = 486,1 nm et la bleu λC = 656,3 nm. D désigne une raie de sodium jaune de longueur d'onde dans le vide λD = 587,6 nm. 2.7.4. Classification des verres On classe alors les verres en type Crown (moins dispersif) ou Flint (plus dispersif) suivant que le nombre d'Abbe est inférieure ou supérieure à 50. Le verre flint (silex en anglais) est un type de verre ou l’indice de réfraction est grand (1.45 et 2) et le nombre d’Abbe faible (inférieur à 50) qui entraine une grand dispersion chromatique. Le verre crown (fabrication des lentilles produit à partir d’un silicate alcalin) est un type de verre ou l’indice de réfraction est faible et le nombre 17

d’Abbe grand qui entraine une faible dispersion chromatique. 2.8. Détecteurs optiques 2.8.1. Définition Un détecteur convertit un rayonnement optique en signaux électriques plus faciles à mesurer. On distinguera les détecteurs thermiques et les détecteurs photoniques. Pour les détecteurs thermiques, le processus physique de conversion est basé sur l’absorption de la lumière qui se traduit par une élévation de température (échauffement du corps) d’un matériau absorbant qui est ensuite convertie en signal électrique (photon-températureélectron). Pour les détecteurs photoniques, le processus physique de conversion est basé sur effet photoélectrique qui convertit directement les photons incidents en électrons (photon-électron). 2.8.1. Détecteurs thermiques On distingue trois types de détecteurs thermiques : Thermopiles, bolomètres et pyroélectrique. Un thermocouple est formé de deux conducteurs différents soudés en V. Une tension proportionnelle au 18

flux est alors générée par effet thermoélectrique (effet Seebeck). Un bolomètre utilise la variation de résistivité d'un matériau induite par la variation de sa température consécutive à l'absorption du rayonnement. Un pyroélectrique est constitué d'un cristal isolant dont la maille ne présente pas de centre de symétrie. Un changement de température se traduit par une tension transitoire (lumière modulée, impulsion lumineuse de quelques μs) 2.8.2. Détecteurs photoniques On distingue trois types de détecteurs photoniques: Photoémissif, photoconducteur et photovoltaïque. Un photoémissif est constitué d’un matériau photosensible (matériaux semi-conducteurs) qui par effet photoélectrique permet l’éjection ou la libération d’électrons libres. Un photoconducteur est constitué d’un matériau (semi conducteurs intrinsèques ou extrinsèques) qui par effet photoélectrique permet la modification de la conductivité électrique du matériau due à la création d’électrons semi libres 19

Un photovoltaïque est constitué d’un matériau (semi conducteur inhomogène) qui par effet photoélectrique permet la modification de la barrière de potentiel de la jonction.

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Chapitre 2. 1. Emission lumineuse 1.1. Notion de Transition Le processus d’émission de la lumière résulte d’une transition électronique. Une transition correspond au passage d’un niveau d’énergie à un autre. Lors d’un apport d’énergie extérieur, un atome à l’état fondamental s’excite et subit une transition vers un niveau d’énergie supérieur. Spontanément il effectue une autre transition radiative avec restitution l’énergie (libération d’un photon).

1.2. Notion de train d’onde La lumière est alors émise par trains d’ondes provenant des atomes d’une source. Un train d'ondes est une onde de durée de vie finie (limitée dans le temps).

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La durée de vie τ est appelée temps de cohérence auquel on associe une longueur de cohérence L définit par L = τ.v Où v est la vitesse de propagation de l'onde. Un même atome émet au cours du temps une succession de trains d’ondes. 1.3. Notion de cohérence Le processus d’excitation et de désexcitation se produit au hasard au cours du temps: il n’y a aucune relation entre le temps qui marque la fin d’un train d’onde et le temps qui marque le début du train d’onde suivant. On dit il n’y a pas de relation de phase entre les trains d’ondes. La phase est constante sur un train d’ondes donné pendant le temps de cohérence (durée de vie du train

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d’onde), mais varie aléatoirement d’un train d’onde à l’autre. Sur une durée de détection, la phase prendra toutes les valeurs possibles entre 0 et 2π. La polarisation aussi change de manière aléatoire d’un train d’ondes à l’autre. Elle prendra toutes les directions possibles. Une source monochromatique (une seule longueur d’onde) correspond à une source lumineuse avec des trains d’onde de grande durée de vie donc de grande longueur de cohérence.

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2. Interférences 2.1. Terme d’interférence Deux ondes lumineuses monochromatiques issues de deux sources S1 et S2 avec une même longueur d’onde et un même état de polarisation se superposent en un point M de l’espace. On note r1 la distance S1M et r2 la distance S2M. L’amplitude complexe résultante en M s’écrit E = E1 + E 2 E1 = E 01.e j( ωt − kr1 ) E 2 = E 02 .e j( ωt −kr2 ) E = e jωt .(E 01.e − jkr1 + E 02 .e − jkr2 ) L’intensité au point M est proportionnelle au carré de l’amplitude s’écrit I ∝ E.E* 2 2 E.E* = E 01 + E 02 + E 01.E 02 (e jk (r2 −r1 ) + e − jk (r2 −r1 ) ) I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 .cos ϕ ϕ = k(r2 − r1 ) = 2π.δ / λ p = ϕ / 2π = δ / λ On appelle le nombre p ordre d’interférence (numéro de la frange). Pour une frange claire (Imax) il est entier et pour une frange sombre il est demi-entier (Imin).

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Le déphasage ϕ ne dépend que de la variation du chemin optique δ. Le chemin optique étant le produit du chemin géométrique par l’indice de réfraction du milieu. L’intensité peut s’écrire sous la forme I = I1 + I 2 + J12 J12 = 2 I1I 2 .cos(2π.δ / λ ) On constate qu’elle est composée de deux termes : terme qui représente les intensités I1 et I2 des deux sources et terme supplémentaire J12 appelé terme d’interférence. L’interférence ne dépend que la différence de marche. Interférence = terme d’interférence non nul 2.2. Franges d’interférence Sur l’écran, on observe une variation d’intensité due à la variation du terme d’interférence (déphasage entre les deux ondes qui est dû à la différence de marche) On observe des zones claires qui correspondent à une interférence constructive quand les deux ondes sont en phase (franges brillantes) et des zones sombres qui correspondent à une interférence destructive quand les deux ondes sont en opposition de phase (franges sombres). L’ensemble des franges constitue un interférogramme.

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On appelle frange d’interférence l’ensemble des points M qui ont le même état d’interférence. On distingue les franges brillantes d’intensité maximale (I = Imax) et les franges sombres d’intensité minimale (I = Imin).

Distribution de l’intensité I(ϕ) = I1 + I 2 + 2 I1I 2 .cos ϕ I(δ) = I1 + I 2 + 2 I1I 2 .cos(2π.δ / λ )

Interférence constructive : Intensité maximale : franges claires I max = I(ϕ = 2π.m) = I(δ = m.λ ) I max = I1 + I 2 + 2 I1I 2

Interférence destructive : Intensité minimale : franges sombres I min = I(ϕ = (2m + 1).π) = I(δ = (2m + 1).λ / 2) I min = I1 + I 2 − 2 I1I 2 6

2.3. Intensité moyenne et Visibilité Détermination des intensités des sources I1 et I2 en fonction des intensités Imax et Imin de l’interférogramme. Nous avons I max = I1 + I 2 + 2 I1I 2 I min = I1 + I 2 − 2 I1I 2

Alors on obtient par identification I1 + I 2 = (I max + I min ) / 2 2 I1I 2 = (I max − I min ) / 2

On note I0 l’intensité moyenne de l’interférogramme et V la visibilité des franges I0 = (I max + I min ) / 2 V = (I max − I min ) /(I max + I min )

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L’intensité peut s’exprimer en fonction de l’intensité moyenne et de la visibilité I(ϕ) = ((Imax + Imin ) / 2) + ((Imax − I min ) / 2).cos ϕ I(ϕ) = I0 .(1 + V.cos(ϕ)) I(δ) = I0 .(1 + V.cos(2π.δ / λ)) On appelle interfrange la distance i entre deux franges de même nature. Elle est obtenue pour un déphasage de 2π, qui correspond à une variation du chemin optique λ et une variation de l’ordre d’interférence (numéro de frange) égale à 1( ∆ϕ = 2π ; ∆δ = λ ; ∆p = 1)

On appelle frange centrale la frange qui correspond à une différence de marche nulle. La frange centrale est une frange claire d’ordre zéro (numéro de frange centrale est p=0) 2.4. Systèmes interférentiels Dans la réalité, deux sources lumineuses distinctes ne produisent pas d’interférence. L’observation du phénomène nécessite un dispositif qui divise, puis 8

superpose la lumière issue d’une seule source appelé interféromètre

On distingue deux catégories de dispositifs interférentiels: interféromètres à division du front d’onde et interféromètres à division d’amplitude. Dans le dispositif de division du front d’onde : on prélève sur un faisceau incident deux faisceaux provenant de deux endroits différents du front d’onde. Dans le dispositif de division d’amplitude: une surface partiellement réfléchissante opère une division du flux lumineux incident. Les deux faisceaux émergeants sont cohérents et interfèrent après avoir parcouru des chemins différents.

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3. Dispositif division du front d’onde 3.1. Fentes de Young Description du dispositif Le dispositif de Young est un système constitué d’une source principale S et de deux fentes S1 et S2 percées dans un écran opaque qui jouent le rôle de sources secondaires (division de front d’onde). L’écran d’observation est perpendiculaire à l’axe entre les sources. Les franges sont rectilignes et non localisées.

Différence de marche On note r1 et r2 la distance entre les deux sources secondaires et le point d’observation M. On note s la distance entre les deux sources et D la distance entre les sources et l’écran d’observation.

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−s / 2 OS2 = 0 0

s/2 OS1 = 0 0

x OM = y D

r1 = S1M = OM − OS1 r 2 = S2 M = OM − OS2 x −s/2 r1 =

y D

x +s/2 r2 =

y D

D’où r1 = ((x − s / 2) 2 + y 2 + D 2 ))1/ 2 r2 = ((x + s / 2) 2 + y 2 + D 2 ))1/ 2 11

Avec les conditions s≪D x≪D y≪D En appliquant un développement limité on obtient r1 = D.(1 + ε1 )1/ 2 = D.(1 + ε1 / 2) r2 = D.(1 + ε 2 )1/ 2 = D.(1 + ε 2 / 2) ε1 = ((x − s / 2) 2 + y 2 ) / D 2 ε 2 = ((x + s / 2) 2 + y 2 ) / D 2 r1 = D + ((x − s / 2) 2 + y 2 ) / 2D r2 = D + ((x + s / 2) 2 + y 2 ) / 2D La différence de marche (équation des franges) due au dispositif est (r2 − r1 ) = δ = s.x / D La différence de marche dépend de la coordonnée x (direction des sources) et des caractéristiques du dispositif interférentiel (distance entre sources et distance sourceécran). Intensité et interfrange L’intensité sur l’écran est donnée par I(x) = I0 .(1 + V.cos(2π.s.x / Dλ )) L’intensité en M (x, y) ne dépend pas de la coordonnée y : les franges sont rectilignes et parallèles à l’axe y (même état d’interférence sur l’axe des y). L’interfrange produit par le dispositif i = λ.(D / s) 12

Un éloignement de l’écran entraine une augmentation de l’interfrange et elle diminue quand on écarte les sources secondaires

Cas 1. Différence de marche lame Soit une de verre d’épaisseur e et d’indice n introduite devant la source S2.

La différence de marche introduite par la lame est δlame = ne − e = (n − 1).e La différence de marche introduite par Dispositif Young est δ Young = s.x / D La différence de marche totale δ = s.x / D + (n − 1).e 13

Si la lame a été introduite devant la source S1, la différence de marche devient δ = s.x / D − (n − 1).e L’introduction de la lame entraine un déplacement de la figure d’interférence et de la frange centrale. Cas 2. Différence de marche source Dans un dispositif de Young on déplace la source distante de d des fentes vers le haut d’une valeur h.

La différence de marche introduite par le déplacement de la source, est δsource = s.h / d La différence de marche introduite par Dispositif Young est δ Young = s.x / D La différence de marche totale δ = s.x / D + s.h / d 14

Si on descend la source de h, la différence de marche devient δ = s.x / D − s.h / d Le déplacement de la source entraine un déplacement de la figure d’interférence et de la frange centrale. 3.2. Biprisme Fresnel Description Ce dispositif est formé par deux prismes identiques accolés et éclairés par une source principale. Les déviations symétriques dues aux prismes donnent un champ d’interférence (deux sources secondaires virtuelles).Les franges sont rectiligne et non localisées.

Prisme Un prisme est caractérisé par son indice et son angle d’ouverture A. Les rayons entrant et sortant sont séparés d’un angle appelé déviation. 15

A = r + r' θ = i + i '− A θ = (n − 1)A

Différence de marche On note d la distance entre la source et le Biprisme et L la distance Biprisme et écran. A partir du modèle de Young, la différence de marche est donnée par δ = s.x / D Il suffit de remplacer les différentes valeurs D=d+L tgθ = s / 2d s = 2dθ = 2d.A.(n − 1) δ = 2d.A.(n − 1).x /(d + L) Interfrange L’interfrange est donnée par i = λ.((d + L) / 2(n − 1)A.d)

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Section 4. Dispositif division amplitude 4.1. Lame faces parallèles Description Un faisceau lumineux issu d’une source ponctuelle, tombant sur une lame transparente d’épaisseur constante. Le faisceau est, au niveau de chaque interface réfléchi et réfracté.

On considère l’interférence entre les deux premiers rayons réfléchis. Les autres rayons ont des énergies trop faibles. L’interférence est observée au plan focal d’une lentille mince convergente. Les franges sont des anneaux concentriques d’égale inclinaison localisés à l’infini. Formules de Fresnel Les formules de Fresnel relatives à la réflexion et à la réfraction permettent de déterminer les coefficients de 17

réflexion et de transmission en amplitude. Pour les angles petits (faible incidence) Coefficient de réflexion r12 = (n1 − n 2 ) /(n1 + n 2 ) Coefficient de transmission t12 = 2n1 /(n1 + n 2 ) Différence de marche Soit une lame d’épaisseur d et d’indice n éclairée par une source ponctuelle sous incidence θ. La différence de marche entre les deux premiers rayons réfléchis est δ = nIJ + nJK − IL IK = 2dtgθ IJ = JK = d / cos θ δ = 2nd(1 − sin 2 θ) / cos θ δ = 2nd cos θ Au plan focal d’une lentille mince f, la différence de marche en fonction r rayon vecteur du point M sur l’écran est cos θ = 1 − θ2 / 2 θ = r/f δ = 2.n.d.(1 − r 2 / 2f 2 ) Ordre d’interférence p = δ / λ = 2.n.d.(1 − r 2 / 2f 2 ) / λ

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Les franges sont des anneaux concentriques qui se ressert quand r augmente. L’ordre de l’anneau au centre (r=0) est p 0 = δ / λ = 2.n.d / λ L’ordre d’interférence s’écrit p = p 0 (1 − r 2 / 2f 2 ) Le rayon des anneaux est donné par r 2 = 2f 2 (1 − p / p 0 ) 4.2. Coin d’air Description Ce dispositif utilise une lame mince d'air comprise entre deux lames de verre formant un petit angle ε.

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Les franges sont rectilignes localisées sur la lame et dessinent les lignes d'égale épaisseur : ce sont des droites parallèles à l'arête du coin. Quand on passe d'une frange à la suivante (deux franges de même type), l'épaisseur varie de λ/2. Différence de marche On note e l’épaisseur du coin d’air qui forme un petit angle ε δ = 2.e Franges d’égales épaisseurs tgε = ε = e / x δ = 2.ε.x

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1

3. Diffraction lumineuse 3.1. Notion de diffraction  En 1665, le Père Grimaldi constate qu’au contour des obstacles ou aux bords d’un trou, la lumière subit un éparpillement, et appelle ce phénomène diffraction.  Si l’on cherche à isoler un rayon lumineux en envoyant un faisceau parallèle à travers un trou de plus en plus petit, on s’aperçoit que lorsque le trou est assez petit, le faisceau émergeant diverge.  Le terme diffraction signifie toute déviation des rayons lumineux de leur trajet rectiligne qui ne peut s’expliquer ni par une réflexion ni par une réfraction.  Dans le cadre de l’optique, le phénomène de diffraction met en défaut les lois de l’optique géométrique pour laquelle la propagation de la lumière est rectiligne dans un milieu homogène et transparent. En fait le phénomène de diffraction apparaît chaque fois que l’onde lumineuse rencontre un obstacle mais les effets ne sont manifestement observables que lorsque les dimensions de cet obstacle sont de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde.

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3.2. Principe Huygens-Fresnel 3.2.1. Enoncé Chaque point P d’une surface diffractante atteint par la lumière peut être considéré comme une source secondaire émettant une onde sphérique. L’état vibratoire de cette source secondaire est proportionnel à celui de l’onde incidente en P et à l’élément de surface dS entourant le point P. Les vibrations issues des différentes sources secondaires interfèrent entre elles.

3.2.2. Formulation Si ψ(M) est l’amplitude complexe de l’onde produite en en un point M de l’écran d’observation et ψ(P) est l’état vibratoire de la source secondaire en P, on a

d(M)  (P).(exp( jk.r) / r).().dS (M)   d(M) S

(M)   (P).(exp( jk.r) / r).K().dS S

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Où r=PM et ĸ(θ) est un facteur d’inclinaison qui dépend de la longueur d’onde et de l’angle de diffraction. En général, les angles de diffractions sont faibles on peut considérer le facteur d’inclinaison ĸ constant. Système de coordonnées On note (u, v) les coordonnées du plan d’entrée PE (plan du difractant dont le centre O est l’origine du référentiel) et on note (x, y) les coordonnées du plan de sortie PS (plan d’observation) Un point P du PE est repéré par Un point M du PS est repéré par La vecteur r et son module sont

OP  (u, v,0) OM  (x, y,z)

r  PM  OM  OP  (x  u, y  v,z) r  (z 2  (x  u)2  (y  v)2 )1/ 2 Le point M du PS peut être repéré par les angles de diffraction θx et θy

OM  ( OM sin x , OM sin y ,z)

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L’amplitude complexe de l’onde diffractée au point M peut être exprimée par (x, y)   h(u, v;x, y).(u, v).dudv S

(M)   (P).(exp( jk.r) / r).().dS S

Fonction de transfert h ou kernel de diffraction ou propagateur est exprimée par

h(u, v;x, y)  exp( jk.r) / jr

Facteur d’inclinaison ĸ

  1/ j Le vecteur r est donné par r  (z 2  (x  u)2  (y  v)2 )1/ 2 3.2.3. Types de diffraction Domaines d’approximation r  (z 2  (x  u)2  (y  v)2 )1/ 2 r  z.(1  ((x  u) / z) 2  ((y  v) / z) 2 )1/ 2 Développement de Taylor (1  )1/ 2  1   / 2  2 /8  ... r  z.(1  ((x  u) / z) 2 / 2  ((y  v) / z) 2 / 2) r  z.(1  (x 2  y2 ) / 2z 2  (xu  yv) / z 2  (u 2  v 2 ) / 2z 2 ) Champ proche On parle de diffraction en champ proche ou diffraction de Fresnel lorsque l’on analyse la diffraction près de l’obstacle. On utilise l’approximation Fresnel qui donne r  z  (x 2  y2 ) / 2z  (xu  yv) / z  (u 2  v 2 ) / 2z

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Champ lointain On parle de diffraction à l’infini ou diffraction Fraunhofer lorsque l’on analyse la diffraction très loin de l’obstacle. On utilise l’approximation Fraunhofer qui donne r  z  (x 2  y2 ) / 2z  (xu  yv) / z

La figure montre l’évolution de la figure de diffraction lorsque l’on passe du régime de Fresnel (champ proche) vers un régime de Fraunhofer (champ lointain). Dans ce cours on n’abordera que la diffraction Fraunhofer 3.3. Diffraction Fraunhofer par Fente rectangulaire Amplitude complexe du champ diffracté (x, y)   h(u, v;x, y).0 (u, v).dudv S

Fonction de transfert

h(u, v;x, y)  exp( jk.r) / jr

r  z  (x 2  y2 ) / 2z  (xu  yv) / z C  exp( jk(x 2  y2 ) / 2z).e jkz / jz

Propagateur

h  C.exp( jk(xu  yv) / z)

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Considérons une fente d’épaisseur a suivant x et de longueur b suivant y. Si l’on envoie une onde plane sur la fente, tous les points de la fente vibrent en phase.

Fente  x  a / 2 et

y  b/2

(x, y)  C  0 (u, v).exp( jk(xu  yv) / z).dudv 

C  exp( jk(x 2  y2 ) / 2z).e jkz / jz Fonction de transmission de l’ouverture rectangulaire t.(u, v)  1  Fente

t.(u, v)  0  ailleurs Champ incident

0 (u, v)  A Distribution du champ diffracté a / 2

(x, y)  C.A



b / 2

exp( jk.xu / z).du.

a / 2



exp(  jk.yv / z).dv

b / 2

On a



x0

 x0

exp( jx).dx  2x 0 .sin c(x 0 )

La fonction sinus cardinal

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sin c(x)  sin x / x Propriétés

x  0  sin c(x)  1 x  m.  sin c(x)  0 x  (m  1/ 2)  sin c(x)  1/ x

Champ diffracté (x, y)  C.A.a.b.sin c(ka.x / 2z).sin c(kb.y / 2z) (x, y)  C.A.a.b.sin c(a.x / z).sin c(b.y / z) Distribution d’intensité I(x, y)  I(0,0).sin c2 (a.x / z).sin c 2 (b.y / z) Intensité au centre est Imax  I(0,0)  A 2 .(a.b)2 /  2z 2 Intensité en fonction des angles de diffraction

sin y  y / z sin x  x / z I(x , y )  I(0,0).sin c2 (.a sin x / ).sin c 2 (.bsin y / )

Les minimums d’intensité suivant l’axe des x sont a./ z  m.  x m  m.z / a

.a sin x /   m.  sin x  m. / a

Interprétation Figure de diffraction : sinus cardinal entraine que le diffractant est de forme rectangulaire et le premier minimum d’intensité détermine sa taille par a  z / x1

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Cas d’une fente (monodimensionnelle : b est grand) I(x)  I(0).sin c2 (a.x / z)

I()  I(0).sin c2 (.a sin  / )

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3.4. Pouvoir de résolution des instruments optique 3.4.1. Formation des images Lors de la formation d’images par une lentille, le conjugué d’un point source (objet ponctuel) n’est un point image (prévu par l’optique géométrique) on obtient une figure de diffraction à l’infini (diffraction de Fraunhofer). 3.4.2. Tâche d’Airy Les lentilles limitent l’étendu du faisceau et jouent le rôle de pupille diffractante. Si la lentille est circulaire de rayon a, l’image d’un point est la figure de diffraction par une pupille circulaire. L’intensité se concentre dans un cône d’angle ε telle que (premier minimum de la fonction de Bessel cardinal) sin    1.22. / a Le diamètre de la tache d’Airy est d0  1.22..z / a Cette tâche s’appelle la tâche d’Airy et est entourée d’anneaux peu visibles (intensité < 2% du maximum). Cette tache est d’autant plus grande que a est petit. (Voir annexe : diffraction par pupille circulaire) 3.4.3. Critère de Rayleigh Prenons deux points objets A et B qui donneront, par un système optique rigoureusement stigmatique (au sens de l’optique géométrique) deux images A’ et B’. Tenant compte de la diffraction nous savons qu’il apparaîtra sur l’écran deux

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taches d’Airy. On dit que le système optique résout les deux points, c’est-à-dire sépare les deux points, lorsque les taches d’Airy sont séparés d’un distance A0B0 > r0 où r0 est le rayon de la tâche de diffraction. Par conséquent le pouvoir de résolution d’un appareil optique est toujours limité à cause de la diffraction et en lumière visible un instrument d’optique ne permet l’observation de détail < λ.

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Annexe : Ouverture circulaire Champ incident 0 (u, v)  A Fonction de transmission de l’ouverture circulaire t.(u, v)  1  ouverture t.(u, v)  0  ailleurs Symétrie circulaire (coordonnées polaires) u  pcos  x  r cos  v  psin  y  r sin  Amplitude complexe (x, y)  C  0 (u, v).exp( jk(xu  yv) / z).dudv 

C  exp( jk(x 2  y2 ) / 2z).e jkz / jz 2 a

(r)  C.A.   p.dp.d.exp( jk.pr cos(  ) / z) 0 0

C  exp( jkr 2 / 2z).e jkz / jz Fonctions de Bessel a 2

(r)  C.A.  exp( jk.pr cos(  ) / z)d.p.dp 0 0 2

2.J 0 (x)   exp( jx cos(  ))d 0 2

2.J 0 (k.pr / z)   exp( jk.pr cos(  ) / z)d 0

a

(r)  2.C.A. p.dp.J 0 (k.pr / z) 0

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u

On a

 J (x).x.dx  u.J (u) 0

1

0

Avec u  0  2J1 (u) / u  1 Amplitude complexe (r)  .C.A.a 2 .2.J1 (ka.r / z) /(ka.r / z) Distribution d’intensité I(r)  I(0).(2.J1 (k.a.r / z) / k.a.r / z) 2 Intensité au Centre maximale I(0)  (a 2 .A / z) 2 Interprétation Figure de diffraction : fonction de Bessel entraine que le diffractant est de forme circulaire et le premier minimum d’intensité détermine sa taille par k.a.r / z  1,22.  k.a.sin   1,22. r  1,22.z. / 2.a  sin   1,22.z. / 2.a

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4. Réseaux de Diffraction 4.1. Définitions Un réseau est une pièce de verre plane rayée de motifs périodiques nommés traits, c’est un arrangement régulier de motifs diffractants identiques. On distingue les réseaux par transmission constitués de fentes infiniment fines parallèles égales et équidistantes et des réseaux par réflexion ou les fentes sont remplacées par des échelettes réfléchissantes. Le réseau est caractérisé par son pas a qui correspond à la distance séparant deux motifs diffractants consécutifs. La densité des traits est le nombre de traits par mètre n = 1/a. On définit le nombre de fentes disponibles (utiles) N. Si le réseau est de largeur L alors N  L / a  n.L Le tableau suivant donne les ordres de grandeur pour différents types de réseau.

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4.2. Intensité diffractée

Considérons un réseau de N fentes verticales périodiquement réparties. Notons a le pas du réseau et ε la largeur de chaque fente. Quand on éclaire le système par une onde plane en incidence normale, nous avons l’interférence de la lumière diffractée par N fentes déphasées (suite géométrique). Terme de diffraction par une fente L’amplitude complexe est donnée par ()  (0).sin c(u)

u  . sin  / 

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L’intensité diffractée par la fente I()  I0 .Fd (u) Fd est la fonction de modulation de l’intensité diffractée Fd (u)  sin c2 (u)

Terme d’interférence entre N fentes L’amplitude complexe résultante T ()  ().(1  e jv  e j2v  ..  e j(n 1)v ) Suite géométrique  e jn  1  e j  e j2  ..  e j(n1)  (1  e jN ) /(1  e j ) (1  e jN )  e jN / 2 (e jN / 2  e jN / 2 )  2j.e jN / 2 .sin(N / 2) (1  e j )  e j / 2 (e j / 2  e j / 2 )  2j.e j / 2 .sin( / 2) (1  e jN ) /(1  e j )  e j( N1)  / 2 .sin(N / 2) / sin( / 2) L’amplitude complexe résultante T ()  ().e j( N1).v .sin(Nv) / sin(v) ()  (0).sin c(u) v  .a.sin  / 

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Intensité diffractée par le réseau I()  I0 .Fd (u).Fi (v) I()  I0 .sin c2 (u).(sin(N.v) / sin(v)) 2 Fi est la fonction de modulation de l’intensité d’interférence Fi (v)  (sin(N.v) / sin(v)) 2

En incidence normale (θ0=0), la distribution d’intensité en fonction de l’angle de diffraction est composée de deux termes, l’un de diffraction et l’autre d’interférence. Modulation de la diffraction (basse fréquence) par l’interférence (haute fréquence)

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4.3. Relation fondamentale des réseaux (Condition ou relation de Bragg) Quand le réseau est éclairé par des rayons parallèles monochromatiques de longueur d’onde λ en incidence normale, on observe les rayons diffractés dans une direction repérée par l’angle de déviation θ. Ces rayons interfèrent entre eux à l’infini constructivement (l’intensité sera maximale) lorsque les ondes sont en phase, c’est à dire la différence de marche δ est un multiple de λ. La condition d'obtention des maximas principaux d'intensité lumineuse pour un réseau de fentes est : a.sin m  m.

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L’entier m correspond à l’ordre de diffraction. On remarque que pour l’ordre m = 0, on a θ = 0 quelque soit la longueur d’onde : une partie de la lumière traverse le réseau sans être déviée. En lumière blanche, l’ordre m = 0 correspond à un faisceau de lumière blanche (ordre achromatique). Par contre, pour les ordres m différents de 0, la déviation θ est fonction de la longueur d’onde : le système est alors dispersif et en lumière blanche, on observe une décomposition spectrale de la lumière suivante différentes directions. 4.4. Dispersion angulaire Pour un réseau de diffraction, éclairé en lumière polychromatique, la dispersion angulaire est définie comme le ratio Da  d / d a.cos m .dm  m.d a.sin m  m. Da  d / d  m / a.cos m La dispersion est plus importante lorsque l’ordre de diffraction est grand et que le pas du réseau a est petit. La dispersion est plus importante pour le rouge que pour le bleu. Pour des faibles angles de diffraction la dispersion angulaire est constante et vaut Da  m / a

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Exercices E1 Un réseau présente une densité de 4000 ligne/cm. Sous quel angle trouve-t-on les maximas d’intensité en lumière jaune de 600 nm de longueur d’onde. E2. Un réseau est formé de lignes distantes de 2500 nm est éclairé par un faisceau de lumière dont la longueur d’ondes s’étendant de 400 à 700 nm. Dans le spectre obtenu à l’aide de ce réseau, est-ce que les deux premiers ordres se recouvrent. Exercice : Principe d’un spectromètre à réseau Un spectromètre à réseau est constitué d’un réseau par transmission comportant N = 600 traits/mm placé entre deux lentilles. La lentille L1 sert à collimater le faisceau lumineux issu de la fente source. La lentille L2 (focale f’2=30cm) sert à imager la fente source sur l’écran d’observation. Le réseau est placé dans un plan perpendiculaire à l’axe optique des deux lentilles. On se place dans les conditions de Gauss. Dans le plan focal de L2, on se repère avec l’abscisse x par rapport au foyer image F’2.

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1. En incidence normale, calculer la position de la raie verte du mercure λ0 =546 nm sur l’écran pour l’ordre 1. 2. Déterminer les longueurs d’ondes λ1 et λ2 des raies indigo du mercure pour l’ordre 1 du réseau sachant que l’on mesure sur l’écran les déviations correspondantes à x1 = 7,5 cm et x2 = 7,2 cm.

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Solution S1. Les maximas d’intensité sont donnés par la relation fondamentale du réseau sin m  m. / a

a  1/ densité  1/ 4000  2500.nm sin m  m. / a  m.0.24 Position angulaire des maximas sin 1  0.24  1  14 sin 2  0.48  2  29 sin 3  0.72  3  46 S2. La relation fondamentale du réseau sin m  m. / a Pour le premier ordre sin 1   / a Lumière violette sin 1V   V / a  1V  9 Lumière rouge sin 1R   R / a  1R  16 On constate que le spectre d’ordre 1 s’étend entre 9 degré et 16 degré. Le spectre d’ordre 2 s’étend entre 19 degré et 34 degré.

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Exercice 3 La relation fondamentale du réseau sin m  m. / a Pou le premier ordre sin 1   / a sin   tg    x / f La position est x  .f / a 9.8 cm Longueurs d’ondes i  x i .a / f λ1 et λ2 : raies indigo du mercure pour l’ordre 1

420nm et 400nm