Optique Geo

Année Universitaire 2012/2013

Optique Dr Hin Hindd Me Mest stou ouri ri ENSA de Safi

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ENSA de Safi

H. Mestouri

1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re 

L’optique décrit l’étude des phénomènes lumineux. L’optique géométrique s’intéresse aux propriétés  propaga gation tion de la lumière. de propa

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re  Historique de l’optique

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re 

L’optique décrit l’étude des phénomènes lumineux. L’optique géométrique s’intéresse aux propriétés  propaga gation tion de la lumière. de propa

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re  Historique de l’optique

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re  La lumière lumière,, qu’est ce ce que c’est ? Elle Elle es estt cara caracctéri térisé séee par par la dua dualité lité onde onde/ /corpuscule corpuscule.. C’est une ond ondee éle électr ctrom oma agné gnétiq tique ue mise en évidence par less expé le expérie rienc nces es de diff diffra ract ctio ion. n. Elle présente aussi une na natu turre co corp rpus uscu cula lair iree mise en évidence par les expériences sur l’effet photoélectrique et les photons (prix Nobel de physique Einstein). Elle transporte rte une énergi énergiee quan quanti tifi fiab able le ( photons  photons).

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re  Aspect ondulatoire : La lumière peut être M et représentée par une fonction d’onde en un point M  et à t de la forme: l’instant t d 

t

s = s0 cos  2π  

−

x 



T est la période de l’onde et

λ

sa longueur d’onde.

T est une caractéristique intrinsèque de l’onde λ 6

dépend du milieu dans lequel l’onde se propage

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re  Caractéristiques des ondes périodiques : La période temporelle et la longueur d’onde sont reliées :

λn avec avec ω

=

2π f 

=

=

v

2π 

n

T

 ou encore

v

n

=

λ n f 

, ou ω  est la pulsat pulsation ion en rad.s rad.s -1, est la fréq fréque uenc ncee en Hz ou s -1 ,  f  est T  la période en s,

et v n est la vitesse de propagation propagatio n de l'onde dans le milieu d'indice n.

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re  Fréquence  ν  (ou f ) = 1/T (Hertz, Hz), élér érit ité) é) en m. m.s s-1 v ou c (c c (cél Vit ites esse se de pr prop opag agat atio ion n v ou

Longue Lon gueur ur d'o d'onde nde λ  = v T  en m.

v = c = 3.108 m / s

Dans le vide, la vitesse est : ,

où n est n est l'indice de réfraction du milieu (remarque : n ≥1)

λ  = v T  = c

T  n

=

λ 0 n

où λ0 est la longueur d'onde dans le vide

Indices de quelques milieux :

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re  Dispersion et absorption  Dans un milieu matériel, l'indice n dépend n dépend de la longueur d'onde

Relation de Cauchy

n =  A +

 B 2

A et B sont des constantes

λ 

Ceci explique les phénomènes de dispersion de la lumière parr un pr sme pa sme spec spec rosc roscop opes es ou pa parr un une e go gou u e ea eau u arc arc en ciel). Lorsqu'une onde lumineuse se propage dans un milieu matériel, son intensité décroît souvent très rapidement (sauf dans le cas de milieux transparents). C'est le phénomène d'absorption 9

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1 – Gén Généra éralit lités és sur sur la la lumiè lumière  re  La lumière « visible » correspond à des ondes électromagnétiques dont la longueur d’onde est comprise entre 400 nm et 780 nm.

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Figure: Spectre des ondes électromagnétiques

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Visible → 400 nm à 700 nm 

Violet

: 400 à 450 nm



Bleu :

450 à 520 nm



Vert :

520 à 560 nm :

11



Orange

: 600 à 625 nm



Rouge

: 625 à 700 nm

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1 – Généralités sur la lumière  Les sources de lumière: Naturelles: 

Le Soleil: l’ozone absorbe le rayonnement UV (

0

c

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4 – LES MIROIRS

c

s

Remarque :  Un rayon passant par le centre C n’est pas dévié  Les points S et C constituent des points où le

stigmatisme est exact (ou rigoureux), on les appelle points de Weierstrass. 44

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4 – LES MIROIRS

Image d’un objet ponctuel : 

45

Soit un point A sur l’axe optique d’un miroir et A’ son image à travers celui-ci :

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4 – LES MIROIRS

Image d’un objet ponctuel : 



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On montre que deux points conjugués (A,A’) situés sur l’axe optique vérifient - dans l’approximation de Gauss - la relation de conjugaison dite formule de

Origine au centre :

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4 – LES MIROIRS

Foyer principal du miroir sphérique : ����� ����� � � �∞ �

�� ≅ ��

����� ����� � � ≅ �

�� � ∞ � ∞

∞

�

� �

47

��

�

�

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4 – LES MIROIRS Plan focal : 



Le plan focal objet c’est un plan perpendiculaire à l’axe principal on F. Le plan focal image c’est un plan perpendiculaire à l’axe principal on F’. ’

�

Foyer secondaire : Tout les points du plan focal sauf F.

�

�

��



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4 – LES MIROIRS Image d’un objet et grandissement : 

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Soit B un point objet situé sur le plan perpendiculaire à l’axe optique et passant par A et soit B’ son image :

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4 – LES MIROIRS Grandissement linéaire (transversal) : Le grandissement linéaire est défini par : 

En utilisant les triangles ABC et A’B’C on établit la relation :



Montrer que :

Remarque : 



50

On dit que l’image est droite ssi  γ > 0 On dit que l’image est renversée ssi γ < 0 ENSA de Safi

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4 – LES MIROIRS Grandissement linéaire (transversal) :

Relation de Newton : 

En utilisant les triangles ABF et SJF on établit la relation :



De même à partir des triangles A’B’F et SIF on établit la relation :



Par ailleurs

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et

.

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4 – LES MIROIRS Grandissement linéaire (transversal) : Relation de Newton : En multipliant membre à membre Eq.(1) et Eq. (2), on dérive la relation de conjugaison dite formule de Newton : 



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On dérive immédiatement des Eq. (1) et Eq. (2) la relation pour le grandissement vertical :

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4 – LES MIROIRS Relation de Lagrange – Helmholtz : 

Soit les trajets optiques de la Figure ci-dessous. Soit α l’angle entre le rayon incident et l’axe optique et  α ’ entre le rayon émergent et l’axe optique.



On a dans l’approximation de Gauss :



Par ailleurs le grandissement vertical avec origine au sommet s’écrit :



On en déduit alors aisément l’invariant de Lagrange – Helmholtz ENSA de Safi

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4 – LES MIROIRS Les miroirs plans

: sont des surfaces planes réfléchissantes. Pour obtenir un miroir plan à partir d’un miroir sphérique, il faut tendre son rayon vers l’infini. Relation de conjugaison : . 

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Pour un M.P on a �� ∞ �

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4 – LES MIROIRS Exemple d’un miroir plan : Soit A un objet réel ponctuel : 



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Les rayons incidents provenant de A sont réfléchis au niveau du miroir en suivant la loi de la réflexion de Descartes. Quel que soit le rayon incident issu de A, le rayon réfléchi semble ’, ’ ’ intersection du prolongement des rayons réfléchis). Le miroir plan est donc rigoureusement stigmatique.

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LES DIOPTRES

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5 – LES DIOPTRES Les dioptres plans Un dioptre plan est constitué de deux milieux transparents, homogènes, d’indices différents, séparés par une surface plane.

n1

Image d'un objet ponctuel :

>

n2

 HI  =  HA' ⋅ tg (i2 )

 HI  =  HA⋅ tg (i1 )

 HA ⋅ tg (i1 ) =  HA' ⋅ tg (i2 )

⇒  HA' =  HA ⋅

tg (i1 ) tg (i2 )

cos(i1 )

=

⋅

sin(i2 ) cos(i1 )

1− (

2

1 − sin (i2 ) 1 − sin 2 (i1 )

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sin(i1 ) cos(i2 )

n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 )

Utilisons :

cos(i2 )

=  HA ⋅

=

 HA' =  HA

n1 n2

) 2 sin 2 (i1 )

1 − sin 2 (i1 ) n2 n1

1− (

n1 n2

) 2 sin 2 (i1 ) H. Mestouri 2

1 − sin (i1 )

5 – LES DIOPTRES  HA' =  HA

n2 n1

1− (

n1 n2

) 2 sin 2 (i1 )

1 − sin 2 (i1 )

 HA’  dépend  de l’angle d’incidence i1. L’image d’un point n’est pas unique. le dioptre plan n’est pas un système optique stigmatique

Si

i1

≈

0

c’est-à -dire pour des observateurs ne recevant que des rayons voisins de la normale au  plan du dioptre : incidence faible (rayons paraxiaux). Ces conditions constituent un des termes de l’approximation de Gauss. En conclusion, le dioptre plan est approximativement stigmatique, seulement dans des conditions particulières.

Formules du dioptre plan dans l’approximation stigmatique 58

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n1  HA

=

n2  HA' H. Mestouri

5 – LES DIOPTRES Les dioptres sphériques : 





Un dioptre sphérique est constitué par deux milieux transparents homogènes et isotropes d’indices n1 et n2 différents, séparés par une surface sphérique de rayon de courbure R. Centre C ; sommet S, l’axe principal du dioptre passant par les points C et S. Il y a quatre cas de figure possibles selon l’orientation de l’axe principal et les valeurs respectives des indices n1 et n2 SC 

<

0

SC 

CONCAVE

0

n1 > n2 ou n1 < n2

n1 > n2 ou n1 < n2 59

>

Si n1 > n2 : le dioptre est Convergent Si n1 n2 :

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5 – LES DIOPTRES Calcul de la position de l’image : Dans le triangle (CIA1) :

Dans le triangle (CIA2) :



de plus n1sin i1 = n2sin i2 d'où : (1) 64

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5 – LES DIOPTRES Calcul de la position de l’image : 

Dans les conditions de Gauss, c'est à dire pour des angles incidents très faible, I est proche de S, on peut écrire : et



D’après l’ Eq. (1) on obtient, la relation d’invariance pour un dioptre sphérique :

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5 – LES DIOPTRES Calcul de la position de l’image : Relation de conjugaison Avec origine au sommet : 



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Avec origine au centre :

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5 – LES DIOPTRES Foyer principal – Plan focal d’un dioptre sphérique : Foyer image : A1 (∞ )

A2 ≅ F’ :

Foyer objet : A1 ≅ F

A2( ∞ ) : ∞

∞

�

�

��

�

Plan focal image

�

�

Plan focal objet

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5 – LES DIOPTRES Foyer principal – Plan focal d’un dioptre sphérique :

Relation de conjugaison Avec origine au foyers : 

(Relation de Newton)

et

,

avec  f et  f’ respectivement les distance focal objet et image du dioptre sphérique

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5 – LES DIOPTRES Construction de l'image d'un objet : Soit AB un objet perpendiculaire à l’axe principal du dioptre sphérique :

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5 – LES DIOPTRES Grandissement linéaire (transversal) : Le grandissement linéaire est défini par : 

Avec origine au centre :

Considérons les triangles CAB et CA’B’ qui sont semblables :



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Avec origine au sommet :

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5 – LES DIOPTRES Grandissement linéaire (transversal) : 

Avec origine au foyers : (1) et

(2)

On a (1)=(2)  (Relation de Newton)

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5 – LES DIOPTRES Vergence : La vergence est défini par le rapport suivant :

L’unité associée à la vergence est appelée dioptrie (δ) et correspond à des m-1. Remarque : Un dioptre sphérique est dit convergent si Φ >0. Un dioptre sphérique est dit divergent si Φ