Optimizacion_Dinamica
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Parte I. Cálculo de Variaciones Problema 1 2
a) Los gráficos de las siguientes funciones pasan por los puntos (0, 0) y (1, e 1), en el plano tx. 2
y
x (t ) ! (e 1) t
y
x (t ) (e2 1) sen(12 T t )
y
x (t ) !e
y
x (t ) ! at (e
¡
1t
2
1t
e
2
a1) t . 1
Calcular en cada caso el valor de
J ( x) !´( x2 x2 )d t t 0
b) demostrar que el problema de maximizar J ( x) entre todas las curvas que unen
2 los puntos (0, 0) y (1, e 1) no tiene solución.
Problema 2 En cada uno de los siguientes casos calcular los extremales que producen un óptimo , y verificar condición de Legendre: 1 a
)
J ( x) ! ´(2ex x2)d t t con x(0) !1, x(1) !e. 0 e
b) b)
J ( x) ! ´(t x2 x x)d t t con x(1) ! 0, x(e) !1. 1 1
c)
J ( x) ! ´ x x2dt con x(0) !1, x(1) ! 3 4. 0
1
Problema 3 a) Mediante el cálculo de variaciones hallar la curva geodésica (curva de mínima distancia) que une el punto (0 ,2) y la parábola de ecuación x ! 2 t 2 . Calcule dicha distancia. b) Mediante el cálculo de variaciones hallar la distancia mínima del punto (0,1) a la recta x ! 3t . c) Comprobar que el camino más corto desde un punto dado (t 0 , x0 ) a una curva de ecuación R(t ) ! x , es una línea recta desde (t 0, x0 ) a (t 1, (t 1)) , perpendicular a la tangente a R(t ) ! x , en (t 1, (t 1)) , para algún t1.
Problema 4 En cada caso e ncuentre la curva x (t) que produce un valor extremo del funcional :
T
J !´(t x x2 )dt 0
a) Si x (0) = 1, T = 1, x (1) = 2.75 b) Si x (0) = 1, T = 2, x (2) = libre c) Si x (0) = 1, T = libre, x (T) = 5.
Problema 5 Un
hombre está considerando su plan de vida en lo que se refiere a inversión y gastos. El tiene un nivel inicial de ahorros S y no tiene otro ingreso que aquel que obtiene de la inversión a una tasa de interés fija ´aµ. Se sabe que ´r (t)µ indica la tasa de gastos y su utilidad inmediata debido al gasto es U(r), donde U es su función de utilidad. En su caso U(r) = r 0.5. Suponga que éste hombre considera que al final del horizonte de tiempo (T) no tiene sentido tener capital. Se pide que formule un modelo de optimización dinámica que le permita maximizar el valor presente del flujo de utilidad en el horizonte temporal dado , si se considera una tasa de descuento relevante de ´ Hµ.
2
Problema 6 a) Encuentre la función y(x) que optimiza el siguiente funcional : 2
J ! ´ ( 12 y
2
y y y y )d x
0
con : y (0) ! 1, y ( 2) u 1
b) Encuentre la función x(t) que optimiza el siguiente funcional: 1
´
J ! ( x2 x2 )d t 0
con: x(0) ! 0, x(1) u1 c) Encuentre la función r(z) que optimiza el siguiente funcional: 4
´
J ! ( z r r )dz 2
0
con
r (0) !
Problema 7 En cada caso encontrar la solución al problema : T
opt imi zar J ! ´ ((
a)
0
con : x( 0) !
1
24
dt
)2
8 xt t ) dt
, T es incógnita .
a
b)
dx
´
opt imi zar J ! (( 0
dx dt
) 2 10tx)dt
con : x(0) ! 1, a es incógnit a. b
opt i ¢
c)
i z ar
´
J ! (3 x
2
x )d t
0
con : x(0) ! 0, x(b) ! 5, b es incógnita.
3
0,
r (4) u
3.
Problema 8 Resolver
los siguientes problemas de cálculo de variaciones : 1
a)
´
min J ! ( x x ) dt ? x(1)A 2
2
2
0
con : x (0) ! 1 4
b)
´
min J ! ( x 2tx x)dt 2 x( 4) 2
0
con : x(0) ! 2 3
c)
´
min J ! ( x t x x ) d t ? x(3)A
2
2
1
con : x(1)
!1
Problema 9 En cada uno de los siguientes ejercicios encontrar la solución , y verificar condición de Legendre: 1
opt J !
´ 0
( 2 x1 (
dx 1
) ( 2
dt
dx 2 dt
2
) ) dt
¨ 1 ¸ ¨ 32 ¸ a) con : X ( 0 ) ! ©© ¹¹, X (1) ! ©© ¹¹ ª 0 º ª 1 º
T
´
2
opt J ! ( x1 x2 2 x1 b)
2
2 x2 )d t
0
¨ 0 ¸ ¨ u1 ¸ ¹¹ con: X (0) ! ©© ¹¹, X (T ) ! ©© r 2 b e i l ª º ª º
4
2
´
opt J ! ( x1 x2 x2 )dt c)
2
2
2
1
¨1 ¸ ¨ 2 ¸ con: X (1) ! ©© ¹¹, X (2) ! ©© ¹¹ ª0 º ª 1 º 1
´
2
opt J ! (2 x1 x2 x1
1
1 3 x2 )d t 3
d)
¨ 2 ¸ ¨a ¸ ¹¹, X (1) ! ©© ¹¹, d ond ea y b sonincógnitas . 1 b ª º ª º
con: X (1) ! ©©
Problema 10 Mediante el uso del Lagrangiano resolver los siguientes problemas de cálculo de variaciones: 2
d t opt J ! ´ 12 x 2
0
a) con : x( 0) ! 1, x( 2 ) ! 0 x( 0) ! 1, x( 2 ) ! 1 T
2
opt
J
!
´ ( y
2
y 2
x 2 ) d x
0
b) con :
y ( 0 )
!
1, y (T 2 )
!
0
y( 0 )
!
0 , y(T 2 )
!
1
y2
1
opt
J
!
´ ( x
3 x 4 y ) d t , s .a . : x 3 y
0
c)
con : x ( 0 )
!
1, y ( 0 )
!
0
x (1)
!
2 , y (1)
!
2
5
x
!
0.
Parte II. Control Óptimo Problema 1 Aplicando
el principio del máximo encuentre la trayectoria de control , la trayectoria de estado, y la trayectoria de coestado que optimizan los siguientes funcionales: T
´
a) J !
1 2
2
u dt , sujeto
a
: x ! x u , con
x ( 0 ) ! 3 , x ( T ) ! 10 .
0
1
´
b) J !
(1 u
2
: x ! u , con
a
) dt , sujeto
x ( 0 ) ! 0 , x ( 1 ) ! 1 .
0
T 2
´
c) J !
1 2
( 3 x
2
a : x ! u
2 u ) d t , sujeto
bu ) d t , sujeto a : x !
!
x , con x ( 0 )
1 , x ( T 2 )
!
0
0
L
J
!
d)
´e
H t
u(a
u , con x ( 0 )
!
Q , x ( L )
!
0.
0
con a , b , H , L , Q parámet r os
conocid os .
t ¨ 2 e 2 ¸ ) ¹¹ dt , sujeto e) J ! ´ ©© u ( x 1 2 º 0 ª 2
a
: x ! u , con x ( 0 ) ! 1, x ( 2 ) ! 3 .
Problema 2 Aplicando
el principio del máximo encuentre la trayectoria de control , la trayectoria de estado, y la trayectoria de coestado que optimizan los siguientes funcionales: 1
a) J
!
´(
x
1 2
E
2 u ) d t , sujeto
a : x ! u , con x ( 0 )
!
x 0 y E ³ 0 .
0
5
b) J
!
´
( ux
u
2
x
2
) d t , sujeto
1
6
a : x
!
x
u , con
x (1 )
!
2.
Problema 3 Aplicando
E
!
el principio del máximo resolver el siguiente problema , para los casos 0, y E ! 1. 2
max J !
´ ( 2 x 3 u E
2
u ) dt
0
s .a : x ! x u x ( 0 ) ! 5 0 e u ( t ) e 2
Problema 4 Considere el siguiente problema de control óptimo : 2
max J !
´
1 2
u dt 5 x ( 2 ), s .a : x ! x u , x ( 0 ) ! 3 . 2
0
Adicionalmente
usted sabe que puede considerar sólo dos trayectorias para el control u (t ) , que son: a) u (t ) ! 2 para todo t entre 0 y 2. b) u (t ) ! e 0.5t para todo t entre 0 y 2.
¿Con cuál trayectoria se queda? Justifique claramente su respuesta.
Problema 5 Aplicando
el principio del máximo encuentre la trayectoria de control , la trayectoria de estado, y la trayectoria de coestado que optimizan los siguientes funcionales: 1
a) J !
´ ( x u )
dt s .a : x! x u t , con x ( 0 ) ! 2 , y 0 e u ( t ) e 3 .
0
2
´
b) J ! (3 x 2u u )dt 3 x (2), s.a : x! x u, con : x(0) ! 5, y 0 e u(t ) e 1. 2
2
0
7
2
J
!
c)
´ ( x
E u 2 ) d t , s . a : x !
!
1 , y E
x
2 u , con x ( 0 )
!
0 , y 0
e
u ( t )
0
E
par a
!
1.
1
d) J !
´ xdt , s . a
: x ! u , con x ( 0 ) ! 1 , y
1 e u ( t ) e 1 .
0
Problema 6 depósito de agua a utilizar para apagar fuegos tiene escapes. Sea x(t ) la altura del agua. Verifica que: x! 0.1 x u , con x(0) ! 10, en donde u (t ) es la afluencia del agua al depósito, en el tiempo t. Se verifica que 0 e u (t ) e 3. Se pide: calcular el Un
control óptimo, y la correspondiente trayectoria óptima de altura del agua. a) Si el objetivo es max J ! 5 x(100). 100
b) Si el objetivo es max J !
´ ( x 5u)dt . 0
Problema 7 Considere el siguiente problema de control óptimo: T
M a ximi zar J !
´
1 2
2
u dt
S
s.a : x(t ) ! x u x ( s ) ! x s x (T ) ! x T
a) Encontrar x(t ), u (t ), P (t ) óptimos. b) Muestre que en la trayectoria óptima se cumple que ¿qué mide P ( s ) ?
8
x J x x s
!
P ( s ) . Según lo anterior
e
1.
Problema 8 Mediante el uso del Hamiltoniano resuelva los siguientes problemas: 1
1
´
J !
u dt 3 x1 (1) x 2 (1) 2
1 2
J
´
!
0
0
a) x1 ! u x2 ! x1
x1
!
x 2
!
b) x 2
x1 ( 0 ) ! 1, x 2 ( 0 ) ! 0
X ( 0 )
!
´
1 2
u
2
d t
2 x 1 ( 3 )
J !
3 x 2 ( 3 )
!
c) x2
!
x 1
u
2 x 2
X ( 0 )
!
u
¨ 1 ¸ ©© ¹¹ , X (1) ª 1 º
!
¨ 0 ©© ª l ibr e
¸ ¹¹ º
´
1 2
( x
4 u 2 ) dt
2
0
0
x1
x 2
g
3
J
u 2 d t
1 2
!
s .a :
d) x!
2u
¨ 3 ¸ ©© ¹¹ , X ( 3 ) ª 1 º
a , y b incógnitas
!
¨ a ¸ ©© ¹¹ ª b º
x
u
x ( 0 ) ! 1, x( 0 ) ! 1 y
x ( g ) ! 0 , x ( g ) ! 0
.
Problema 9 Suponga el siguiente modelo ganadero expresado en términos de tiempo continuo , donde t está medido en años: x(t )
!
ax (t ) by (t ) m(t )
y(t )
!
cx(t ) d y (t )
Donde: x(t ) es el número de vacas en el momento t. y (t ) es el número de toros en el momento t. m(t ) es el número de vacas importadas en el momento t.
Suponga que usted ha decidido vender al final de 5 años a un precio P por cabeza de ganado todo su stock disponible en ese momento. Si el costo por vaca importada es S, y la tasa de descuento relevante es r , plantee el modelo de control óptimo para maximizar el
9
valor presente de los ingresos netos , identificando sus variables, y explicando su función objetivo.
10
Problema 10 Los ejecutivos de una empresa monoproductora han estimado que para la próxima temporada, la demanda de su producto superará varias veces la capacidad instalada de la empresa, por lo que han decidido adoptar una política de maximizar el stock hasta el comienzo de la próxima temporada. Suponga que falta l unidades de tiempo para que comience esta temporada. La empresa tiene una tasa de producción variable p( t ). Una fracción (u( t )) de esta producción se destina a aumentar el stock (x( t )). La otra parte de la producción se destina a ventas a un precio constante c. La tasa de la tasa de producción varía según la raíz cuadrada de los ingresos por ventas. Formule un modelo de control óptimo (no lo resuelva) que le permita encontrar p( t ), u( t ) y x( t ).
Problema 11 Una
empresa productora de aluminio debe entregar un pedido de R toneladas de un en exactamente T semanas más, para lo cual debe determinar la política óptima de producción y almacenaje. Suponga que el costo de producción instantáneo aumenta con el cuadrado de la tasa de producción por unidad de tiempo (sea A la constante de proporcionalidad) , y que el costo de almacenaje por unidad es constante (igual a B) por unidad de tiempo. Suponiendo que al comienzo de la planificación la empresa no dispone de inventario del producto, conteste las siguientes preguntas: a) Formule un modelo de control óptimo cuyo objetivo sea minimizar los costos totales asociados. Distinga su variable de control y su variable de estado. Asimismo explique su función objetivo. b) Mediante el principio del máximo resuelva su modelo. c) Suponga que un experto en economía le comenta que su resultado debería reflejar lo siguiente: El costo marginal de producción en el momento t más el costo de almacenaje hasta el momento ( t + s), debe ser igual al costo marginal de producción en el momento ( t + s), para todo s. ¿Qué opina usted al respecto?
Problema 12 Una
empresa produce un bien a una tasa r (t), 0 e t e T . Suponga que todo lo que la empresa produce durante el horizonte de planificación ?0, T A es guardado en el inventario. La política de la empresa es maximizar el nivel de inventario al final del horizonte de planificación. El nivel de inventario al comienzo de la planificación es conocido , y la empresa tiene una restricción de producción , ya que a lo más puede producir ´ aµ unidades del bien por unidad de tiempo. Formule un modelo de control óptimo explicando claramente su función objetivo , ecuaciones diferenciales, y distinguiendo la variable de estado y la de control con el propósito de encontrar la tasa de producción y el inventario óptimos. Resuelva su modelo, e interprete su resultado.
11
Problema 13 En un yacimiento de carbón se quiere determinar la política óptima de extracción para un horizonte de T meses. Se sabe que la mina cuenta con R toneladas de carbón y el mineral no tiene valor después del período. La empresa vende el mineral a un precio de P [u.m] por tonelada, el cual se mantiene constante a lo largo de la planificación. Suponga que el costo de extracción instantáneo aumenta con el cuadrado de la tasa de extracción por unidad de tiempo (sea A la constante de proporcionalidad) , y que la tasa de descuento relevante es . Suponiendo que todo el mineral que va extrayendo la empresa lo vende de inmediato , responda las siguientes preguntas: a) Formule un modelo de control óptimo que le permita a la empresa dueña del yacimiento encontrar la tasa de extracción óptima, con el fin de maximizar el valor presente de los beneficios netos. Mediante el principio del máximo resuelva su modelo. b) Suponga ahora que el mineral sí tiene valor al final del horizonte de planificación , y se ha valorado en H [u.m] cada tonelada que quede sin extraer ¿Cómo cambia su modelo?
Problema 14 Un
remolcador de alta mar se encuentra detenido en un cierto punto y debe desplazarse una distancia ´dµ hacia una plataforma petrolera quedando detenido en dicho lugar. El tiempo que debe emplear en esta maniobra es T (fijo) y el capitán desea hacerla con un mínimo de consumo de combustible. El remolcador se impulsa con hélices de paso variable, lo cual le permite utilizarlas tanto para avanzar como para detenerse. Si llamamos x la dirección entre el punto de partida y el de llegada y al primero le hacemos corresponder el origen , y el segundo lo ubicamos a una distancia d, tendremos que x (0) = 0, x (T) = d. Además, como el remolcador parte del reposo y debe detenerse al llegar a x (T) tendremos que x( 0) ! x(T ) ! 0. La dinámica del sistema podemos representarla como (t ) ! u (t ) , en que u (t ) es la fuerza de empuje. x Si el consumo de combustible instantáneo es proporcional al cuadrado del empuje (sea A la constante de proporcionalidad) , formule un modelo de control óptimo que le permita al capitán minimizar el consumo total de combustible para realizar dicha maniobra. Resuelva su modelo interpretando su resultado (considere d = 1, y A = 1/2).
Problema 15 Una
mina contiene una cantidad C de cobre. El beneficio instantáneo que se puede obtener vendiendo el recurso a una tasa ´xµ , es ln (x). Se pide que formule un modelo de control óptimo que maximice el valor presente de los beneficios de la mina. Se sabe que el tipo de descuento es una constante ´Hµ, y que el recurso no tiene valor después de t 1. La resolución del modelo debe entregar la tasa óptima a la cual el recurso debería ser vendido en un período fijado ?0, t1A.
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Problema 16 Suponga que un fabricante de neumáticos desea tener en T meses más, la mayor cantidad de neumáticos posible en stock. Los neumáticos que produce los puede guardar directamente o vender para así comprar maquinaria y producir más. Un supuesto es que al no haber reinversión la capacidad productiva permanece constante , y que al haberla , ésta crece exponencialmente, con tasa igual a la fracción del output que es vendido (reinvertido). Formule un modelo de control óptimo que permita encontrar la fracción u(t) del output (totalidad del bien producido) en el instante t , que debería ser reinvertido para maximizar el total de neumáticos almacenados sobre el periodo prefijado ?0,T ]. Resuelva su modelo.
Problema 17 Usted
a jubilado y debe negociar la forma como va a gastar su fondo de pensión , formule un modelo de control óptimo que pueda ayudarle en sus decisiones. Defina primero las variables , distinguiendo perfectamente las variables de control y de estado, luego formule matemáticamente cual sería su criterio a optimizar y las ecuaciones diferenciales comprometidas. Suponga que el saldo de su fondo se reajusta de acuerdo a una tasa constante que no tiene relación con la tasa de descuento relevante para su evaluación en tiempo presente. (Recuerde que debe dejar expresado claramente las condiciones iniciales y finales).
Problema 18 Un
molino ha decidido prepararse con anticipación para la conferencia mundial de panaderos que se realizará en exactamente T meses más. Para esta fecha , usted sabe que la tonelada de harina del tipo que fabrica el molino estará a P [u.m] la tonelada. Este precio , que es muy alto, se verá sólo ese día por lo que la empresa ha decidido no vender nada antes de entonces y almacenar hasta dicha fecha todo lo que produzca. En la planificación de la producción desde hoy hasta entonces , se debe considerar tanto el precio de venta final del producto como los costos de producción y almacenaje. Suponga que el costo unitario de producción aumenta linealmente con la tasa de producción (sea A la constante de proporcionalidad) y que el costo unitario de inventario es constante (igual a B) por unidad de tiempo. Suponga además que se conoce el inventario inicial , y que la empresa posee una restricción de producción , ya que a lo más puede producir una cantidad D por unidad de tiempo. Formule el modelo de control óptimo correspondiente .
13
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