Optica ondulatoria

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires Departamento de ciencias básicas

FISICA II OPTICA ONDULATORIA TEORIA V.1 F.E.P

(Actualizada al 15-12-12)

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires

Óptica ondulatoria es un tema el cual se toma en los finales, en la mayoría, y en las cursadas no se llega a desarrollar dado que es el último ítem del programa y al tratarse de una materia extensa se dificulta. Si bien es un tema que aparece en todos los finales es un tema muy fácil a la hora de resolver los problemas aunque puede dificultarse estudiarlo por cuenta propia como se nos tiene acostumbrado. Con este apunte intento desarrollar los temas de la forma más clara posible buscando que el alumno pueda encarar los problemas de la guía de forma satisfactoria.

Los dos fenómenos de singular importancia que distinguen las ondas de las partículas son la interferencia y la difracción.  

La interferencia es la combinación por superposición de dos o más ondas que se encuentran en un punto del espacio. La difracción es la desviación que sufren las ondas alrededor de los bordes y esquinas cuando una porción de un frente de onda se ve cortado o interrumpido por una barrera o obstáculo como ser una placa de vidrio, entre otras.

Nota: En los ejercicios el fenómeno a tratar será descripto en el enunciado.

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INTERFERENCIA Cuando se combinan dos ondas armónicas sinusoidales de la misma frecuencia y longitud de onda pero de diferente fase, la onda resultante es una onda armónica de misma frecuencia, longitud de onda, cuya amplitud depende de la diferencia de fase. En Física II no se estudia la amplitud de onda. En los ejercicios en lo que respecta a este tema nos encontraremos con dos tipos de interferencia: o

Interferencia constructiva: Se dice que las ondas interfieren constructivamente cuando sobre la pantalla observamos un punto brilloso.

o

Interferencia destructiva: se dice que las ondas interfieren destructivamente cuando sobre la pantalla observamos un punto oscuro.

Para explicar estos fenómenos nos remitiremos al siguiente gráfico el cual nos permite observar el valor de la intensidad relativa (IREL MAX = 1) en el eje de ordenadas.

En (a) se puede observar que a medida que nos alejamos del máximo central (interferencia constructiva) cada vez se obtendrá puntos de luz de menor intensidad. En (b) se representa la intensidad relativa considerando: IREL MAX = 1. Fórmula de intensidad relativa: IREL = cos2

∆φ 2

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Por trigonometría sabemos que el coseno de un múltiplo de π la intensidad dará 1 y por lo tanto se tratara de una interferencia constructiva, entonces: ∆φ = 2nπ con n = 0,1,2,3 …. 𝜋

Por trigonometría sabemos que el coseno de un múltiplo de 2 la intensidad dará 0 y por lo tanto se tratara de una interferencia destructiva, entonces: ∆φ = (2n + 1)π con n = 0,1,2,3 …. Para explicar el significado de ∆𝜑 nos referiremos al experimento de Young para un sistema de dos ranuras.

Donde:    

En eje Y se encuentra la pantalla. D es la distancia desde las rendijas a la pantalla. d es la distancia entre ranuras θ es el ángulo entre el centro de la pantalla y el punto de interferencia sobre pantalla. φ es la fase inicial.



∆φ = K ∆L + φ

En este tipo de problema y en los que se plantea en física II 2π donde para nosotros φ = 0 y K= λ Por lo tanto si deseamos: o

Interferencia constructiva: ∆φ = 2nπ por lo tanto: 2π λ

o

∆L = 2nπ

=>

∆L = nλ

Interferencia destructiva: ∆φ = (2n + 1)π por lo tanto: 2π λ

∆L = 2n + 1 π

=>

1

∆L = (n + 2)λ

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Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires Para continuar el armado de la fórmula final que describirá el fenómeno de interferencia falta definir que será ∆L. Sin ir más lejos: ∆L = L2 − L1 Donde se puede observar que esta diferencia de longitudes queda determinada por: d sen(θ) dado que antes de las ranuras la longitud es para amas “líneas” la misma y luego de la distancia d sen(θ) las longitudes nuevamente son iguales y su resta da cero. Por lo tanto la fórmula “final” y la que debemos recordar quedará determinada de la siguiente forma:



Interferencia constructiva:

d sen θ = nλ 

Interferencia destructiva:

1 d sen(θ) = (n + )λ 2 En nuestros ejercicios “n” nos dará el número de máximo o mínimo, en este caso se trata de un máximo o mínimo de enésimo orden. Y

En el caso especial de que el ángulo θ ≪ 1 => sen θ ≈ tan θ = D En algunos ejercicios el ángulo podrá ser mayor a 1 y para este tipo de ejercicios nλ deberemos encontrar el ángulo a través de: d sen θ = nλ como: θ = arcsen d Y

y luego trabajar con: tan θ = D . Siempre se recomienda verificar el ángulo antes de encarar la resolución del problema. Otra situación de problemática es la de encontrarnos en un posible enunciado el cual pida la cantidad de máximos posibles de interferencia o mínimos. Teniendo en cuenta que la función seno varía entre (-1,1) como muestra la gráfica:

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Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires Entonces si queremos ver qué cantidad de máximos podemos observar teniendo como datos D, d y la longitud de onda: sen θ

n = d λ Teniendo en cuenta que n debe ser un número entero y se debe redondear para abajo siempre. Con esto terminamos interferencia, más de esto en física II al menos no encontraremos aunque el estudio puede continuar con Anillos de newton, cuñas, películas, entre otros. Es importante que esta parte quede en claro dado que difracción es un leve cambio en la “fórmula obtenida de interferencia” del cual se desprenderá resolución de una red y constante de red de difracción cubriendo así el programa de óptica correspondiente física.

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DIFRACCION POR UNA RENDIJA En el estudio de la difracción por una rendija nos limitamos al estudio del siguiente diagrama: Una vez estudiada la interferencia la difracción estará compuesta por la misma “fórmula” de cálculo a diferencia que en la difracción la intensidad relativa la calcularemos como: IREL =

sen β

2

β

Por lo que ahora los máximos y los mínimos serán “al revés” de cómo se encontraban en interferencia, además se debe tener en cuenta que en los ejercicios no nos interesara en ninguna ocasión encontrar “máximos” si no lo que buscaremos es donde un máximo de interferencia se hace 0 por un mínimo de difracción para esto: a sen θ = nλ Donde “a” simbolizara el ancho de la rendija. De modo que si deseamos conocer “d” a partir de “a” o “a” a partir de “d” llegaremos por medio de un sistema de ecuaciones a una determinada relación:

d sen θ = norden

"x" λ

a sen θ = norden

"y" λ

Dado que la longitud de onda y el ángulo no varían obtendremos la siguiente relación: d norden = a norden

"x" "y"

Cuando en determinados ejercicios la consigna nos dice que el “x” orden de interferencia constructiva (donde hay luz) es omitido por un mínimo de difracción se utilizara y = 1 (primer mínimo por difracción) y x = dato enunciado.

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Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires En el gráfico, a continuación, se puede apreciar cómo la campana de difracción “envuelve” a dos máximos de interferencia mas el máximo central, el tercer máximo se omite por ende estaríamos en el caso de las siguientes ecuaciones: d sen θ = 2λ a sen θ = λ

Cuya relación finalmente entre el ancho de la ranura (a) y la distancia entre ranuras (d) es: d = 2a

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RED DE DIFRACCION PODER DE RESOLUCION Estos dos temas aparecen de forma “acotada” en la materia ambos temas pueden ser tan extensos como se desee pero en los ejercicios propuestos en la cursada nos limitamos a obtener la separación entre ranuras (d) mediante la constante de una red o a obtener el poder de resolución de una red de difracción, a continuación se expone de forma resumida lo importante de ambos temas y se recuerda que en el apunte se encuentran los contenidos mínimos a saber para poder resolver la guía de ejercicios y los ejercicios de finales propuestos.

CONSTANTE DE RED cte. de red =

1 d

Donde: o o

La constante de red en los ejercicios por lo general es dato d es la distancia entre ranuras.

PODER DE RESOLUCION DE UNA RED Condición: El máximo de una onda se puede aproximar como máximo hasta el cero de la onda siguiente. R = mN ≥

λ2 λ2 − λ1

Donde a el producto R = mN se lo denomina poder de resolución de la red para el orden m siendo N el orden de ranuras por la cual debe estar compuesta la red y λ2 > λ1 En los problemas siempre tendremos como dato un “doblete” como el caso típico del doblete de sodio (dos longitudes de onda las cuales difieren de un número muy pequeño) y el orden m de resolución o la cantidad de ranuras de la red.

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