Optica Fisica I Problemas Resueltos

February 11, 2017 | Author: GabrielEspiñeira | Category: N/A

Share Embed Donate

Report this link

Short Description

Download Optica Fisica I Problemas Resueltos...

Description

´ OPTICA FÍSICA I Problemas resueltos Fernando Carre˜ no y Miguel Antón ´ Facultad de Optica y Optometr´ıa Universidad Complutense de Madrid Septiembre 2014

´ Fernando Carre˜ no y Miguel Angel Ant´ on ISBN: 978-84-617-1291-9

´ PROLOGO

Este libro, destinado a los alumnos de grados técnicos, est´ a dividido en tres Temas: Tema 1. Movimiento ondulatorio. Tema 2. El campo electromagnético. Tema 3. Interacci´ on de la radiación con la materia. Está estructurado como sigue: • Cada Tema tiene introducción te´ orica que se ajusta a los criterios de libros habitualmente ´ empleados en la ense˜ nanza de la óptica como por ejemplo el de E. Hetch “Optica”. Se emplea el sistema internacional de unidades. • Sección de problemas resueltos con abundantes gr´ aficos que ilustran las situaciones experimentales consideradas. • Sección de problemas propuestos, en los que se indican las soluciones numéricas e ilustraciones gráficas de las situaciones experimentales consideradas. El enunciado de los problemas se efect´ ua de modo que su desarrollo siga procedimientos lógicos y que permitan al lector “adivinar” las conexiones entre los diferentes apartados. Por otro lado hay continuas referencias entre los problemas de los diferentes Temas, en el sentido de que se han interconexionado los mismos para darle unidad conceptual. En cualquier caso, en la resoluci´ on se ha procurado desvelar las estrategias de pensamiento que permiten llegar a las soluciones. Ciertos ejercicios son cl´ asicos y sirven para ejercitar los conceptos elementales involucrados, as´ı como la estimación de ´ ordenes de magnitud de las variables t´ıpicas: longitudes de onda, tama˜ nos, trazados ópticos, etc. Hemos incorporado una amplia gama de lo que podr´ıamos denominar ejercicios contextuales: en ellos se plantean situaciones realistas que implican la introducci´ on a problemas de otras disciplinas. Los ejercicios contextuales requieren un esfuerzo de pensamiento a˜ nadido e involucran la aplicación de conocimientos globales, no s´ olo de la ´ optica sino también de otros campos de conocimiento. Asimismo permiten alcanzar objetivos importantes y a nuestro entender desatendidos en los textos tradicionales: • Introduce estrategias de pensamiento y resoluci´ on de problemas. • Permiten la conexión con los contenidos de otras asignaturas, favoreciendo la visión de conjunto de los diferentes contenidos de la disciplina. Esto es m´ as acorde con la forma en que se produce el conocimiento cient´ıfico. i

ii • Conecta los aspectos básicos de la asignatura o disciplina con los productos tecnológicos avanzados, instrumentación ´ optica de muy variados fines y procesos naturales. Se evitar´ıa as´ı la compartimentación de conocimientos habitual que, pensamos, imposibilita una necesaria visión de conjunto. En esta nueva edici´ on hemos corregido erratas que nos han hecho llegar diferentes personas a las que manifestamos nuestro agradecimiento. Finalmente, agradecemos por anticipado las cr´ıticas y sugerencias que nos hagan llegar los lectores.

Los autores. Madrid, Septiembre 2014.

Contenidos

1 Movimiento Ondulatorio Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarización de las ondas. Promedios temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducci´ on al an´ alisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 4

2 El campo electromagn´ etico 29 Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Energ´ıa transportada por las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia Teor´ıa cl´ asica de la radiación . . . . . . . . . . Procesos de esparcimiento y absorci´ on . . . . . Reflexión y refracci´ on en medios isótropos . . . Medios anis´ otropos . . . . . . . . . . . . . . . . Medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

59 59 61 65 67 69 147

iii

TEMA 1 Movimiento Ondulatorio

Ecuaci´ on de ondas Cuando una magnitud f´ısica, M , es perturbada con respecto a su valor en condiciones de equilibrio, y esa perturbación se traslada a otras regiones del espacio al cabo de un cierto tiempo, decimos que se ha producido un movimiento ondulatorio. La ecuación que describe la propagaci´ on de la perturbaci´ on se denomina ecuaci´ on de ondas. Esta ecuación se obtiene de principios b´ asicos: as´ı por ejemplo la ecuaci´ on de ondas en una cuerda se obtiene a partir de la segunda ley de Newton; si consideramos las ondas que se propagan en un fluido, la ecuación de ondas se obtiene a partir de las ecuaciones de movimiento de tal fluido, etc... Si la magnitud perturbada es escalar, hablaremos de ondas “escalares”, mientras que si la magnitud perturbada tiene car´ acter vectorial hablaremos de ondas “vectoriales”: un ejemplo del primer tipo ser´ıan las ondas en una cuerda o las variaciones de presi´ on en un fluido, en tanto que un ejemplo del segundo caso ser´ıan los campos electromagnéticos. Consideremos en primer lugar el caso de ondas escalares que se propagan en la dirección X. La ecuación de ondas es una ecuación diferencial en derivadas parciales para la magnitud M . A lo largo del presente libro vamos a considerar solamente aquellos casos en los que la ecuaci´ on de ondas es lineal: en estos casos tendremos ∂2M 1 ∂2M − ∂x2 v 2 ∂t2

= 0,

(I-1)

donde v es la velocidad de propagaci´ on de las ondas consideradas. En el caso de considerar fenómenos ondulatorios lineales se verifica el denominado “principio” de superposici´ on. Puede demostrarse que las soluciones m´ as generales de la ecuaci´ on (I-1) son de la forma M (x, t) = f (x − vt) + g(x + vt),

(I-2)

donde f y g son funciones arbitrarias que describen la propagaci´ on de ondas progresivas que viajan en las direcciones +X y −X respectivamente. 1

´ Problemas de Optica F´ısica I

2

Como caso de especial interés cabe mencionar las soluciones arm´ onicas del tipo M (x, t) = M0 cos(kx − ωt + φ0 ),

(I-3)

umero de ondas y ω = 2π donde k = 2π λ es el n´ T = 2πν es la frecuencia angular. A la variable M0 se la denomina amplitud de la onda. Asimismo a la magnitud λ se la denomina longitud de onda o periodo espacial, y a T se le denomina periodo temporal. A la inversa del periodo se la denomina frecuencia (ν = T1 ). En la ecuación (I-3) a la variable φ0 se la llama fase inicial. El interés de las funciones trigonométricas para expresar movimientos ondulatorios estriba en su sencillez y sus propiedades c´ıclicas. Justamente el teorema de Fourier, que veremos brevemente m´ as adelante, permite expresar cualquier perturbación en términos de estas funciones elementales. A la variable Θ = kx − ωt + φ0 se la denomina “fase de la onda”. Sustituyendo la expresi´ on (I-3) en (I-1) vemos que ha de satisfacerse la siguiente relaci´ on ω = kv, o sea ν =

v . λ

(I-4)

Al lugar geométrico de los puntos del espacio que verifica que la fase de la onda es constante se le denomina “frente de ondas”. En el caso de ondas como la indicada en (I-3), el frente de ondas es un plano, de ah´ı que se diga de estas ondas que son planas. N´ otese adicionalmente que si en (I-3) la variable M0 no depende de la variable espacial o temporal, diremos que se trata de una onda plana homogénea, por contraposici´ on al caso en el que M0 = M0 (t, x) (onda inhomogénea). Cuando la dirección en la que se produce la perturbaci´ on y la direcci´ on en la que se propaga son coincidentes hablaremos de ondas longitudinales mientras que cuando ambas direcciones son perpendiculares entre s´ı hablaremos de ondas transversales. ~ = (Mx , My , Mz ), la En el caso de que la magnitud perturbada tenga car´ acter vectorial, M ecuación de ondas vendr´ a dada por ∂ 2 Mx 1 ∂ 2 Mx − ∂x2 v 2 ∂t2 2 ∂ My 1 ∂ 2 My − ∂y 2 v 2 ∂t2 2 1 ∂ 2 Mz ∂ Mz − ∂z 2 v 2 ∂t2

= 0, = 0,

(I-5)

= 0,

cuando el sistema de coordenadas elegidas es cartesiano y los vectores unitarios son u ˆx , u ˆy y u ˆz . La ecuación (I-5) puede escribirse de forma compacta en términos del operador diferencial laplaciano como ~ − ∇2 M

~ 1 ∂2M 2 2 v ∂t

= ~0.

(I-6)

En el caso de ondas tridimensionales las soluciones arm´ onicas tendr´ an la forma ~ (~r, t) = M ~ 0 cos(~k · ~r − ωt + φ0 ), M

(I-7)

donde ~k = (kx , ky , kz ) = 2π ux + cos(β)ˆ uy + cos(γ)ˆ uz ) es el vector de propagaci´ on, α, β y γ λ (cos(α)ˆ son los cosenos directores y ~r = (x, y, z) determina las coordenadas del punto de observaci´ on. En este caso el frente de ondas en un instante de tiempo dado, t0 , es un plano cuya ecuaci´ on está dada por kx x + ky y + kz z = cte.

(I-8)

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

3

Finalmente cabe considerar otras soluciones m´ as generales de la ecuaci´ on (I-5) que son las denominadas ondas esféricas cuya expresi´ on viene dada por ~ (~r, t) = M

~0 M cos(kr ± ωt + φ0 ), r

(I-9)

donde r = |~r|. En este caso los frentes de ondas son esferas y la amplitud de la perturbaci´ on disminuye inversamente con la distancia, cosa que no ocurre en las ondas planas.

Polarizaci´ on de las ondas. Promedios temporales En el caso de las ondas transversales se suele hablar de la noci´ on de polarizaci´ on. Para ello ~ ~ tengamos en cuenta que si los vectores k y M0 no son colineales, entonces determinan un plano que se denomina plano de polarizaci´ on. Por simplicidad consideremos dos ondas planas que se propagan en la dirección del eje Y , cuyas amplitudes son M1 y M2 , tienen la misma frecuencia y vibran en direcciones perpendiculares entre s´ı, o sea Mx (~r, t) = M1 cos(ky − ωt + φ1 ), y

(I-10)

Mz (~r, t) = M2 cos(ky − ωt + φ2 ), donde φ1 y φ2 son constantes (independientes del tiempo). La onda resultante ser´ a la suma de ambas ondas y tendrá la misma frecuencia, si bien el plano de polarizaci´ on de la onda resultante puede ser fijo o cambiante. En efecto, si considaremos una posici´ on fija del espacio y = y0 y analizamos c´ omo evoluciona la resultante en funci´ on del tiempo se tendr´ an los siguientes casos1 : • φ1 = φ2 + 2mπ con m un n´ umero entero: el vector resultante en cadainstante de tiempo se M2 −1 encuentra contenido en una l´ınea recta que forma un ´ angulo θ = tan M1 con el eje X. Al ángulo θ se le denomina azimut. En este caso se dice que la onda resultante est´ a linealmente polarizada. • φ1 = φ2 + (2m + 1)π con m un n´ umero entero: el vector resultante en cada instante de tiempo M2 −1 con el se encuentra contenido en una l´ınea recta que forma un ´ angulo θ = − tan M1 eje X. Al ´ angulo θ se le denomina azimut. En este caso se dice que la onda resultante est´ a linealmente polarizada. • φ1 = φ2 +(2m+1) π2 , con m un n´ umero entero y M1 = M2 : en este caso el vector resultante en cada instante de tiempo describe una circunferencia. Diremos entonces que la onda resultante está circularmente polarizada. Si la recorre en sentido horario diremos que es dextr´ ogira y si lo hace en sentido antihorario diremos que es lev´ ogira. • En el resto de los casos diremos que se trata de ondas el´ıpticamente polarizadas. De nuevo el sentido de recorrido las distinguir´ a entre dextr´ ogira y lev´ ogira. Queda un u ´ltimo caso en el que φ1 y φ2 cambian con el tiempo de manera completamente azarosa, de modo que el plano de polarizaci´ on cambiar´ a también al azar, en cuyo caso diremos que la onda est´ a despolarizada. 1

Para convencerse de ello basta escribir la ecuaci´ on (I-10) en forma paramétrica.

´ Problemas de Optica F´ısica I

4

Para detectar las ondas cuya frecuencia es elevada, piénsese por ejemplo las frecuencias ´ opticas del orden de ν ≈ 1015 Hz, se usan sensores que no responden instant´ aneamente a la perturbaci´ on, de manera que realmente proporcionan un promedio o, en otras palabras, integran la se˜ nal durante un cierto intervalo de tiempo: as´ı por ejemplo si se emplea una pel´ıcula fotogr´ afica para registrar una escena debemos determinar la exposici´ on adecuada; si empleamos una fotocélula para determinar la cantidad de luz, el tiempo que tarda en cambiar la fotocélula es del orden de 10−9 segundos, que es sensiblemente superior al periodo temporal de la la onda luminosa. Si llamamos T al tiempo caracter´ıstico de cambio de una onda, entonces el promedio de la se˜ nal U (t) se determina mediante hU i =

1 T

Z

t+T /2

U (t) dt,

(I-11)

t−T /2

donde U (t) estar´ a asociada a la magnitud perturbada (energ´ıa por ejemplo). Puede ocurrir que el promedio dependa de T expl´ıcitamente.

Introducci´ on al an´ alisis de Fourier Las ondas arm´ onicas puras como la expresada por la ecuaci´ on (I-3) no tienen existencia f´ısica. En general las perturbaciones ondulatorias tienen una duraci´ on temporal finita y, equivalentemente, están acotadas espacialmente. Sin embargo podemos analizar los fen´ omenos ondulatorios con ondas armónicas y, teniendo en cuenta el principio de superposici´ on, podremos conocer los fen´ omenos ondulatorios reales si somos capaces de expresar éstos en términos de funciones arm´ onicas. El teorema de Fourier nos permite realizar este estudio. En la versión “sencilla” el teorema de Fourier se enuncia como sigue: dada una funci´ on f que depende de la variable x y cuyo periodo de repetici´ on es λ0 , puede descomponerse esta funci´ on como una suma de funciones arm´ onicas de diferentes amplitudes y periodos que son m´ ultiplos de λ0 . La ecuación que traduce este enunciado es como sigue: f (x) =

X ∞ ∞ 2π 2π A0 X Aj cos j x + Bj sin j x , + 2 λ0 λ0 j=1

(I-12)

j=1

donde los coeficientes se determinan a partir de la siguiente ecuaci´ on Z λ0 2 2π f (x) cos j x , (j = 0, 1, ...∞) , Aj = λ0 0 λ0 y Z λ0 2π 2 Bj = f (x) sin j x , (j = 1, ...∞) . λ0 0 λ0

(I-13)

ermino A0 es un “fondo” Nótese que f0 = 2π λ0 es lo que se denomina frecuencia fundamental. El t´ constante que da una idea del valor medio de la se˜ nal en un periodo. Lo que nos indica la ecuaci´ on (I-13) es sencillamente que la se˜ nal f (x) puede descomponerse como suma de se˜ nales arm´ onicas que son m´ ultiplos enteros de la frecuencia fundamental junto con el fondo. Al conjunto de frecuencias involucradas se le denomina contenido espectral de la se˜ nal (este conjunto puede ser finito o infinito numerable). La demostración del teorema de Fourier se puede encontrar en textos de An´ alisis Matem´ atico, donde se analiza las condiciones de continuidad y convergencia de la serie de Fourier. De particular

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

5

interés resulta el elegir adecuadamente el sistema de ejes para computar los coeficientes Aj y Bj , dependiendo de la paridad de la función. Es preciso notar que en la ecuación (I-13) la variable x puede ser una coordenada espacial o una variable temporal, dependiendo del tipo de se˜ nal que estemos analizando. Existe otra versión del teorema de Fourier que sirve para analizar se˜ nales que tienen un comienzo y un final, o sea, están acotadas. En este caso se habla de la transformada de Fourier de la funci´ on f (x) que viene dada por Z ∞ F(ω) = f (x)eiωx dx. (I-14) −∞

R∞

Puede demostrarse que si se verifica que −∞ |f (x)| < ∞, entonces la integral expresada en (I-14) existe. Lo que nos indica la ecuación (I-14) es que para descomponer f (x) como “suma” de funciones armónicas deberemos emplear un conjunto infinito no numerable de funciones, o sea Z ∞ 1 F(ω)e−iωx dx. (I-15) f (x) = 2π −∞ La expresión (I-15) se denomina s´ıntesis de Fourier de la funci´ on f (x).

´ Problemas de Optica F´ısica I

6

PROBLEMAS RESUELTOS Ecuaci´ on de ondas 1.1 La ecuaci´ on de una cierta onda es y(x, t) = 10 sin [2π (2x − 100t)] ,

(1.1)

donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcular: •

La amplitud. A la vista de la ecuación (1.1) deducimos que la amplitud de la onda es 10 metros, si bien no se especifica a qué tipo de perturbaci´ on est´ a asociada dicha expresi´ on.

•

La longitud de onda. De la ecuación (1.1) vemos que el n´ umero de ondas es k = 2π2 = la longitud de onda es λ = 0.5 m.

•

La frecuencia. A partir de la ecuación (1.1) vemos que la frecuencia de la onda es ν = 100 Hz. Por lo tanto la frecuencia angular de la onda es ω = 200π rad s−1 .

•

La velocidad de propagaci´ on de la onda. Es bien conocido que la expresi´ on (1.1) es la de una onda plana, por lo que la velocidad de fase vendrá dada por vf = ωk = 50 ms−1 .

•

Dibujar la onda en un instante de tiempo dado mostrando la longitud de onda. En la Figura 1.1 se muestra un tramo de la onda a partir de x = 0 en el instante t = 0 segundos. Asimismo se ha se˜ nalado la distancia que equivale al periodo espacial o longitud de onda.

•

Considerar que la expresi´ on (1.1) corresponde a las ondas transversales producidas en una cuerda uniforme de masa M y longitud L muy grande. Determinar la velocidad instant´ anea de desplazamiento de un punto de la cuerda. En este caso la magnitud y(x, t) de la ecuaci´ on (1.1) representa el desplazamiento transversal de un punto de la cuerda cuya coordenada es x en funci´ on del tiempo. De este modo la velocidad con la que se desplaza transversalmente ese punto se puede establecer como vy =

•

2π λ

(m−1 ), por lo que

∂y(x, t) = 2000π cos [2π (2x − 100t)] , (ms−1 ). ∂t

(1.2)

Siguiendo con el caso del enunciado anterior determinar la energ´ıa cin´ etica instant´ anea de un punto de la cuerda. Consideremos un instante de tiempo t = t0 antes de que al punto de coordenada x0 llegue la perturbación, esto es, la cuerda est´ a sujeta por un extremo y tensa de modo que ning´ un punto de la cuerda se mueve. En esta situaci´ on de equilibrio, la energ´ıa potencial de un tramo de cuerda de anchura ∆x ≪ L es igual en todos los tramos de cuerda. Al iniciarse en el extremo móvil un movimiento respecto a la situaci´ on de equilibrio, los

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

7

10 8 6 4 l

y(x,t=0) (m)

2 0 -2 -4 -6 -8 -10 0

1

2

3

4

5

6

x (m)

Figura 1.1: Representación en el instante de tiempo t = 0 de un tramo de la onda (perfil espacial) dada por la expresión (1.1).

diferentes tramos de cuerda se desplazan respecto a su situaci´ on de equilibrio de modo que instantáneamente los tramos de cuerda se desplazar´ an respecto a su situaci´ on de equilibrio de acuerdo con la expresi´ on (1.1) y, como hemos visto en el apartado anterior, el tramo de anchura ∆x adquirir´ a una velocidad dada por (1.2). De este modo la energ´ıa cinética del tramo de cuerda considerado ser´ a ∂y(x0 , t) 2 1 ∆x m(∆x) , (1.3) Ec = 2 ∂t donde m(∆x) = ∆x M on (1.3) puede L . Si tenemos en cuenta lo anterior la expresi´ reescribirse como Ec∆x =

M 1 ∆x 4 × 106 π 2 cos2 [2π (2x0 − 100t)] , (J). 2 L

(1.4)

N´ otese de paso que mientras que el desplazamiento y la velocidad instant´ anea de un tramo de cuerda cambian con el tiempo con frecuencia angular ω, la energ´ıa cinética cambia con el tiempo con frecuencia 2ω, ya que cos2 (β) = 12 (1 + cos(2β)), y en este caso β = 2π (2x0 − 100t). 1.2 Dos ondas de la misma amplitud y frecuencia se propagan con igual velocidad y en la misma direcci´ on en sentidos contrarios. Determinar el movimiento ondulatorio resultante. Comencemos por escribir la expresi´ on de ambas ondas dadas por y1 (x, t) = a1 cos (kx − ωt) , y2 (x, t) = a1 cos (kx + ωt) ,

(1.5)

´ Problemas de Optica F´ısica I

8

donde a1 tendr´ a las unidades correspondientes a la magnitud y correspondiente. N´ otese a partir de la ecuación (1.5) que el m´ odulo de la velocidad de fase, vf , de ambas ondas es el mismo. Adem´ as recordemos que se verifica la relaci´ on ω = kvf . a dada por Supondremos que la superposici´ on de ambas ondas ser´ a una onda2 que estar´ yT (x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) = 2a1 cos(kx) cos(ωt), donde se ha tenido en cuenta la siguiente igualdad trigonométrica A+B A−B cos . cos(A) + cos(B) = 2 cos 2 2

(1.6)

(1.7)

Vemos que la onda resultante dada por la expresi´ on (1.6) es la de una onda “estacionaria”. Vamos a ver las caracter´ısticas espec´ıficas de este tipo de movimiento ondulatorio que contrastan con las llamadas ondas “progresivas”. En primer lugar, de la inspección ocular de la ecuaci´ on (1.6) vemos que hay puntos en los cuales la perturbación resultante es nula en todo instante de tiempo: en efecto, estos puntos son aquellos cuya coordenada x es tal que se cumple la relaci´ on kx = (2m + 1) π2 , donde m es un n´ umero entero. A aquellos puntos en los que se cumple esta relaci´ on se les llama nodos. Es fácil convencerse de que entre dos nodos adyacentes hay un punto en el cual la perturbaci´ on alcanza el máximo valor ±2a1 , a ese punto se le suele denominar “vientre”. Un ejemplo donde son de interés las ondas estacionarias es el de la ac´ ustica musical. Consideremos una cuerda de guitarra de longitud L = 0.65 m. Sabemos que convenientemente “picada” podemos observar que se establece en la cuerda un movimiento en el cual el “vientre” se encuentra en la mitad de la cuerda: de hecho este efecto nos puede permitir afinar 5 cuerdas si previamente hemos afinado la otra con un diapas´ on de referencia.

1.3 Dos ondas de la misma amplitud y velocidad pero de frecuencias ν1 = 1000 Hz y ν2 = ν1 + ∆ν = 1010 Hz respectivamente, viajan en la misma direcci´ on a 10 m/s. Escribir las ecuaciones correspondientes a las ondas separadas y a su suma. Hacer un dibujo de la onda resultante. La expresi´ on de ambas ondas está dada por y1 (x, t) = a1 cos(k1 x − ω1 t),

(1.8)

y2 (x, t) = a1 cos(k2 x + ω2 t), otese que en la ecuaci´ on (1.8) los donde ω1 = 2000π (rad s−1 ) y ω2 = 2020π (rad s−1 ). N´ n´ umeros de onda de ambas ondas son diferentes: esto es as´ı ya que nos dicen que la velocidad de propagación de ambas ondas es la misma, por lo que si las frecuencias son diferentes necesariamente los n´ umeros de onda han de ser diferentes. De la misma manera que en el problema anterior, la suma de ambas ondas ser´ a una onda dada por k1 − k2 ω1 − ω2 yT (x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) = 2a1 cos x− t 2 2 k1 + k2 ω1 + ω2 × cos x− t , (1.9) 2 2 2

Esto equivale a asumir que la ecuaci´ on de ondas es lineal.

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

9

donde de nuevo se ha tenido en cuenta la relaci´ on (1.7). Es preciso notar que el segundo término corresponde a una oscilaci´ on r´ apida mientras que el primero corresponde a una oscilación lenta. En la Figura 1.2(a)-(b) se muestra c´ omo es el perfil temporal de cada onda individual y el de la onda resultante en la posici´ on x = 0. En la Figura 1.2(c) se ha

y1 (x=0,t)

(a)

t (s)

y2 (x=0,t)

(b)

t (s)

Tg

yT (x=0,t)

(c)

t (s)

Figura 1.2: Representación en la posición x = 0 de un tramo de la onda (perfil temporal) para y1 , (b) para y2 y (c) para la onda resultante dada por la expresión (1.9).

representado en continua la oscilaci´ on r´ apida de la expresi´ on (1.9) y en discontinua el perfil temporal de evolución de la envolvente de la onda resultante. La velocidad con la que se desplazan los m´ aximos de la envolvente est´ a dada por vg =

ω1 − ω2 . k1 − k2

(1.10)

Si hiciésemos que ω2 ≈ ω1 , en la expresi´ on (1.10) se podr´ıa reemplazar los incrementos por dω la derivada, esto es, vg = dk . A la magnitud vg se la denomina velocidad de grupo. •

Considerar una fuente de ondas planas progresivas que se mueve con velocidad uniforme vs en la direcci´ on ±X. Si las ondas emitidas por la fuente tienen frecuencia ω, escribir la expresi´ on de las ondas emitidas por la fuente en movimiento desde un sistema de referencia que est´ a en reposo respecto a la fuente. Si consideramos que el sistema de referencia en el que la fuente est´ a en reposo es X ′ Y ′ Z ′ , entonces la expresión de las ondas emitidas por la fuente vendr´ an dadas por E(x′ , t) = E0 cos(ωt ± kx′ ).

(1.11)

Para expresar las ondas emitidas por la fuente en un sistema de referencia en reposo (XY Z) respecto a la fuente hemos de tener en cuenta las relaciones que ligan las

´ Problemas de Optica F´ısica I

10

coordenadas en ambos sistemas de referencia (transformaciones de Galileo) que son x = x′ ± vs t, y = y′,

(1.12)

′

z = z, t = t′ . De este modo la expresi´ on de las ondas emitidas por la fuente en el sistema de referencia XY Z está dada por E(x, t) = E0 cos [ωt ± k(x ± vs t)] .

(1.13)

La expresión (1.13) puede reescribirse como E(x, t) = E0 cos(ω ′ t ± kx),

•

(1.14)

donde ω ′ = ω ± kvs = ω ± ωc vs = ω(1 ± vcs ). Este resultado expresa el conocido efecto Doppler en su versi´ on no relativista. El papel de la fuente y del observador son intercambiables naturalmente. Consideremos una fuente de radiaci´ on de ondas de frecuencia ν = 1 GHz. Estas ondas inciden sobre un autom´ ovil que circula a una velocidad vc . Las ondas reflejadas y parte de la onda emitida por la fuente son combinadas para dar una onda resultante. Escribir c´ omo es esta onda y analizar el resultado. Las ondas emitidas por la fuente vendr´ an dadas por Ee (x, t) = E0 cos(ωt − kx),

(1.15)

y las ondas reflejadas por el autom´ ovil vendr´ an dadas por Er (x, t) ≈ E0 cos(ω ′ t + kx),

(1.16)

on resultante proporciona un batido de ondas donde ω ′ = ω(1 + vc /c). La perturbaci´ que, convenientemente analizadas, esto es, determinando la velocidad de grupo, permite determinar la velocidad vc del autom´ ovil (este es el principio b´ asico de funcionamiento de un radar de velocidad).

Polarizaci´ on de las ondas. Promedios temporales 1.4 Dos ondas polarizadas en planos perpendiculares viajan en la direcci´ on OX a la misma velocidad, c. Hallar el movimiento ondulatorio resultante en los siguientes casos: •

A1 = 2A2 y de fases iguales, En este caso las expresiones de las ondas est´ an dadas por My (x, t) = 2A2 cos(kx − ωt), Mz (x, t) = A2 cos(kx − ωt),

(1.17)

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

11

Mz

Mz (a)

t4 t5 t6

t3

t2

t1

t4 x My

Mz

t1

(b)

t3

(c)

t2

t4 t3

t10

t5 t9 t8

t6

My

t1

t2

t10

t5 t9 t6

My

t8 t7

t7

Figura 1.3: Representación en diferentes instantes de tiempo de la vibración resultante de la superposición de dos ondas que vibran perpendicularmente entre s´ı y se propagan en la misma direcci´ on: (a) dos ondas en fase y amplitudes diferentes, (b) dos ondas desfasadas π/2 y amplitudes iguales y (c) dos ondas desfasadas π/2 y amplitudes diferentes.

donde A2 tiene las unidades de la magnitud M : n´ otese que la ecuaci´ on (1.17) corresponde a dos ondas que vibran a lo largo de los ejes Y y Z respectivamente y que se propagan a lo largo del eje X. En la Figura 1.3(a) se muestran los valores resultantes 1 1 1 de la vibración en x = 0 para los instantes de tiempo t1 = 0, t2 = 12ω , t3 = 8ω , t4 = 6ω , 1 1 t5 = 4ω , t6 = 3ω . N´ otese que si se traza el vector resultante desde el origen, éste siempre vibra en la misma direcci´ on, de ah´ı que se afirme que la onda resultante est´ a linealmente polarizada. El ´ angulo que forma el vector resultante con el eje Y se le denomina azimut y en este caso es ξ = 26.570 . •

A1 = A2 y desfasadas π/2. En este ejemplo las expresiones de las ondas vienen dadas por My (x, t) = A2 cos(kx − ωt + π/2),

(1.18)

Mz (x, t) = A2 cos(kx − ωt). Si procedemos como en el caso anterior y representamos en el plano Y Z los valores instantáneos de la onda en diferentes instantes de tiempo observamos que en este caso la dirección de vibración de la onda resultante no es fija sino que cambia, como puede apreciarse en la Figura 1.3(b). N´ otese que se han a˜ nadido otros instantes temporales 2 3 4 1 , t8 = 3ω , t9 = 4ω y t10 = 5ω . En este caso la vibraci´ on resultante se dice que t7 = 2ω est´ a circularmente polarizada. N´ otese que el sentido de giro de la vibraci´ on resultante tiene lugar en el sentido contrario a las agujas del reloj de ah´ı que se le denomine giro lev´ ogiro.

´ Problemas de Optica F´ısica I

12 •

A1 = 2A2 y desfasadas π/2, Ahora las expresiones de las ondas vienen dadas por My (x, t) = 2A2 cos(kx − ωt + π/2),

(1.19)

Mz (x, t) = A2 cos(kx − ωt). Procediendo como anteriormente llegamos a la conclusi´ on de que la vibraci´ on resultante est´ a el´ıpticamente polarizada y el sentido de giro es lev´ ogiro. Esta situaci´ on se ha representado en la Figura 1.3(c). En todos los casos anteriormente mencionados vemos que dos ondas que vibran perpendicularmente entre s´ı, tienen la misma frecuencia y la misma direcci´ on de propagaci´ on, proporcionan una onda resultante que en una posici´ on fija del espacio evoluciona describiendo una l´ınea recta, una circunferencia o una elipse. En el caso de la ´ optica veremos en el Tema 3 c´ omo ondas que inicialmente est´ an linealmente polarizadas al atravesar un cierto medio material pueden pasar a estar circular o el´ıpticamente polarizadas, o bien seguir siendo linealmente polarizadas. 1.5 Una fuente puntual emite ondas esf´ ericas de λ = 500 nm. Estimar a qu´ e distancia hay que colocarse de la fuente para que sobre un ´ area circular de un cent´ımetro cuadrado las ondas esf´ ericas difieran de una onda plana en λ/10. Consideremos una fuente puntual S colocada en el origen de coordenadas que emite ondas esféricas de la forma y0 cos(kr − ωt). r

(1.20)

y(r, t) = y0 cos(ky − ωt).

(1.21)

y(r, t) = La expresión para una onda plana ser´ıa

Estamos interesados en computar la diferencia entre el frente de ondas esférico y uno plano en un área de Ap = 1 cm2 (´ area de prueba) q tal y como se muestra en la Figura 1.4. El radio p −4 del área de prueba será rp = Ap /π = 10π metros. La diferencia de camino ´ optico en el borde del ´ area de prueba será ∆ = r − y,

(1.22)

p λ , de la ecuaci´ on (1.22) obtenemos una desigualdad donde r = x2 + z 2 + y 2 . Como ∆ < 10 tal que si realizamos las operaciones pertinentes, teniendo en cuenta que x2 + z 2 = rp2 = 3.183 × 10−5 , llegamos a que se ha de verificar rp2 ≤

λ2 yλ yλ + ≈ , 100 5 5

(1.23)

o lo que es lo mismo, la distancia y ha de ser mayor de 318.3 metros. El interés de este problema radica en que permite estimar a qué distancia de una fuente de ondas esféricas nos hemos de colocar para poder considerar que localmente las ondas son planas. Veamos esto para el caso de ondas luminosas procedentes del sol y que llegan a la superficie terrestre.

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

13

Podemos considerar que el radio de la ´ orbita de la tierra es Rt = 1.49 × 1011 m (supondremos por simplicidad que la ´ orbita es circular). El tama˜ no t´ıpico de un detector de radiaci´ on es de 10−4 m2 . De este modo en la regi´ on de receptora el frente de ondas esférico emitido por el Sol es localmente plano, en el sentido de que en la regi´ on de interés el frente de ondas se desv´ıa de rp2 −16 (metros) que resulta ser muy inferior a cualquier un plano en la cantidad 2Rt = 3.36 × 10 longitud de onda del espectro visible. As´ı pues podremos considerar que la luz procedente del sol que incida sobre un sistema ´ optico convencional estar´ a esencialmente colimada.

Z

área de prueba

r

Y

S Q y

X

Figura 1.4: Fuente puntual que emite ondas esféricas que se observan en un área de 1 cm2 en torno al punto Q.

1.6 Determinar el promedio temporal de la siguiente onda E(r, t) = E0 cos(ωt − kr).

(1.24)

La expresión (1.24) corresponde a una onda monocrom´ atica cuyo periodo de cambio caracte2π r´ıstico es T = ω . El promedio temporal se determina mediante la expresi´ on hE(r)i =

1 T

ZT

E(r, t)dt.

(1.25)

0

Realizando la integral indicada en (1.25) se llega a que hE(r)i = 0, esto es, aunque la magnitud E cambie instantáneamente con el tiempo, el promedio del cambio en un periodo es nulo. Para entender este resultado acudamos al ejemplo mec´ anico de las ondas en una cuerda, esto es, que E(r, t) represente el desplazamiento transversal de un tramo de cuerda. Lo que nos indica el resultado (1.25) es que ese tramo de cuerda en promedio no se desplaza, a pesar de que instant´ aneamente s´ı lo haga como indica (1.24).

´ Problemas de Optica F´ısica I

14 •

Determinar asimismo el promedio temporal de |E|2 . En este caso hemos de computar la siguiente integral D

|E(r)|

2

E

=

1 T

ZT 0

Si tenemos en cuenta que cos2 (α) =

1 2

E02 cos2 (ωt − kr)dt.

(1.26)

[1 + cos(2α)], se obtiene finalmente que

E D = |E(r)|2

E02 . 2

(1.27)

Si, por ejemplo, la magnitud E representa la propagaci´ on de una onda arm´ onica en una cuerda, la ecuación (1.27) nos informa acerca de la energ´ıa cinética o potencial adquirida en promedio. En efecto recordemos del problema 1 de este Tema que la energ´ıa cinética instantánea de un tramo de cuerda es proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento y cuya frecuencia era el doble que la del desplazamiento. N´ otese el contraste del resultado obtenido en (1.27) con el expresado en (1.25).

Introducci´ on al an´ alisis de Fourier 1.7 Supongamos que en un punto del espacio llega una perturbaci´ on ondulatoria cuya variaci´ on temporal viene dada por E(t) = E0 e−γt cos(ω0 t),

(1.28)

para t > 0 y nula para t < 0. Suponer que γ ≥ 0. •

Dibujar la variaci´ on temporal de la perturbaci´ on. Si γ = 0 la expresión (1.28) corresponde a una onda arm´ onica de frecuencia ω0 . Sin embargo cuando γ > 0 corresponde a una onda amortiguada. En la Figura 1.5 se muestra la evolución temporal de la onda amortiguada para dos valores de la constante de amortiguamiento diferentes, donde γ1 < γ2 . Como puede apreciarse en el caso de mayor amortiguamiento la oscilaci´ on se aten´ ua m´ as r´ apidamente.

•

Calcular el espectro en frecuencias de esta perturbaci´ on. Para determinar el espectro en frecuencias de la onda amortiguada hemos de realizar la descomposici´ on en términos de la integral del Fourier de la onda considerada. As´ı la transformada vendrá dada por G(ω) =

Z∞

E(t)eiωt dt.

(1.29)

−∞

Para realizar la integral indicada en (1.29) expresaremos la ecuaci´ on (1.28) en la forma E(t) = E0 e−γt

1 iω0 t e + e−iω0 t . 2

(1.30)

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

15

g2

g1

E(t)

E(t)

E0

E0 t

t

Figura 1.5: Forma del perfil temporal de dos ondas amortiguadas con diferentes constantes de atenuación. Con lo que finalmente resulta G(ω) =

E0 2

1 1 − + i(ω + ω0 ) − γ i(ω − ω0 ) − γ

.

(1.31)

N´ otese que la expresión (1.31) puede ponerse como 1 1 E0 , − + G(ω) = 2 z1 z2

(1.32)

donde z1 y z2 son n´ umeros complejos. Si analizamos c´ omo es el m´ odulo de z1 y el de z2 vemos que se tiene |z1 | ≪ |z2 |, de ah´ı que el primer término de la ecuaci´ on (1.31) puede despreciarse frente al segundo, por lo que cabe aproximar el espectro como G(ω) ≈ •

1 E0 . 2 i(ω − ω0 ) − γ

(1.33)

Calcular el m´ odulo |E(ω)|2 y encontrar la relaci´ on entre γ y la anchura de 2 |E(ω)| a mitad de altura. A partir de la ecuación (1.33) obtenemos la densidad espectral de potencia dada por |G(ω)|2 =

1 E02 . 4 (ω − ω0 )2 + γ 2

(1.34)

Nótese que cuanto mayor es el factor de amortiguamiento, m´ as ancho es el espectro como se aprecia en la Figura 1.6 o, en otras palabras, para sintetizar una onda que se amortigua rápidamente necesitaremos “sumar” m´ as ondas monocrom´ aticas de frecuencias cada vez más alejadas de ω0 . E2

A partir de la ecuación (1.34) vemos que si ω = ω0 , entonces |G(ω0 )|2 = 4γ02 . Para determinar una anchura espectral caracter´ıstica se emplea el criterio de calcular la

´ Problemas de Optica F´ısica I

16

1

2

|G(w)|

g1 g2

Dw

w0

0

w

Figura 1.6: Densidad espectral de potencia para los casos considerados en la Figura 1.5. Los datos han sido normalizados a sus respectivos valores m´ aximos. frecuencia ω1 para la cual |G(ω1 )|2 = |G(ω0 )/2|2 . Con lo que resulta ω1 − ω0 = γ. Y la anchura espectral resulta ser ∆ω = 2γ. En la Figura 1.6 se ha se˜ nalado la anchura espectral (∆ω) de una de las ondas consideradas. 1.8 Determinar la transformada de Fourier de la funci´ on rect´ angulo definida por:   0 si |(x − x0 )/a| > 12 , (1.35) f (x, x0 , a) = 1 si |(x − x0 )/a| < 21 ,  1 1 2 si |(x − x0 )/a| = 2 .

Esta función as´ı definida está acotada y la emplearemos con profusi´ on m´ as adelante. La transformada vendrá dada por G(k) =

Z∞

f (x, x0 , a)eikx dx,

(1.36)

−∞

donde k tendr´ a dimensiones de inverso de longitud (de ah´ı que en este caso se hable de frecuencia espacial y se suele especificar en l´ıneas por mil´ımetro). Sustituyendo la expresi´ on (1.35) en (1.36) se llega a que Z x0 +a/2 sin(ka/2) eikx dx = a eikx0 G(k) = . (1.37) ka/2 x0 −a/2 Habitualmente se suele definir la funci´ on sinc(x) ≡ en (1.37) se escribe de manera m´ as compacta.

sin(x) x

de modo que el resultado expresado

Nótese que si x0 = 0 la transformada de Fourier es la funci´ on sinc, sin embargo al desplazar olo afecta a la transformada en un factor de la funci´ on rect´ angulo a un punto x0 6= 0, esto s´ fase.

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

•

17

En ocasiones resulta de inter´ es el estudio de la transformada de Fourier de la funci´ on rect´ angulo “apodizada” definida por  (x−x0 ) 1  0 si > 2,  a   0) A0 cos πa x si (x−x (1.38) fA (x, x0 , a) = < 12 , a   (x−x0 ) 1  1  = 2. 2 si a

Determinar la transformada de Fourier de fA . En este caso la transformada viene dada por Z x0 +a/2 π A0 i π x G(k) = e a + e−i a x dx. eikx 2 x0 −a/2

Tras realizar la integración indicada se llega finalmente a que h h π ai A0 a ikx0 n π a io sinc k + G(k) = + sinc k − . e 2 a 2 a 2

(1.39)

(1.40)

1.9 La extensi´ on del teorema de Fourier a funciones de dos variables es inmediata a partir de la definici´ on (I-14). Determinar la transformada de Fourier de la funci´ on bidimensional 0 si x2 + y 2 > R2 , f (x, y, R) = (1.41) 1 si x2 + y 2 < R2 , Esta funci´ on as´ı definida también est´ a acotada y ser´ a empleada con profusi´ on m´ as adelante. La transformada vendrá dada por G(kx , ky ) =

Z∞ Z∞

f (x, y, R)ei(kx x+ky y) dxdy.

(1.42)

−∞ −∞

Para realizar la integral indicada en (1.42) es preferible expresarla en coordenadas polares: x = r cos(θ), y = r sin(θ), kx = k cos(φ) y ky = k sin(φ). De este modo se tendr´ a que dxdy = x + ky y = kr [cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ)] = rdrdθ. Análogamente podemos escribir kxq p kr cos(θ − φ) [ ver Figura 1.7(a) ], donde k = kx2 + ky2 y r = x2 + y 2 . Con esto la ecuaci´ on

(1.42) puede escribirse como

G(kx , ky ) =

Z

0

R Z 2π

rdrdθeikr cos(θ−φ) .

(1.43)

0

Si imponemos que el resultado de (1.43) tenga simetr´ıa axial, esto es que no dependa de φ, podemos tomar φ = 0 y de este modo la integral angular queda como Z 2π eikr cos θ dθ = 2πJ0 (kr), (1.44) 0

donde J0 (x) denota la función de Bessel de primera especie de orden cero. De este modo llegamos a que Z R J0 (kr)rdr. (1.45) G(kx , ky ) = 2π 0

´ Problemas de Optica F´ısica I

18

(a)

(b)

1.0 0.9

|G(k)|2

0.8

r q

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

R

0.2 0.1 0.0 -6

-4

-2

0

2

4

6 k

Figura 1.7: (a) Geometr´ıa para calcular la integral expresada en (1.42) y (b) representación de una secci´ on del disco de Airy.

Teniendo en cuenta las propiedades de las funciones de Bessel de primera especie se llega a que la integral radial es G(kx , ky ) = 2π

R J1 (kR), k

(1.46)

donde J1 (x) es la función de Bessel de orden uno. De particular interés es el m´ odulo al cuadrado de la trasformada que se conoce como funci´ on de Airy. En la Figura 1.7(b) se muestra el aspecto de esta función. 1.10 Consideremos la onda cuya expresi´ on est´ a dada por 0 si t < 0, E(t) = sin 2π τ t = sin(νt) si t > 0.

(1.47)

Esta onda tiene un comienzo en el instante t = 0 pero no est´ a acotada. Probar que si permitimos que ω sea una variable compleja existe una representaci´ on integral de (1.47) en la forma Z dω 1 e−iωt 2 , (1.48) E(t) = − τ L ω − ν2

donde L es un contorno de integraci´ on adecuado en el plano complejo. En primer lugar hay que tener en cuenta el hecho de que, al contrario que una onda monocrom´ atica que se extiende desde −∞ hasta ∞, una se˜ nal real tiene un origen temporal. Sin embargo para se˜ nales que están acotadas s´ olo en un extremo tal como la dada en (1.47) la forma usual de la transformada de Fourier no es adecuada ya que la integral de la funci´ on E(t) diverge. En la Figura 1.8(a) se muestra esta se˜ nal. Veamos que la representación (1.48) reproduce la se˜ nal dada en (1.47): para ello consideremos

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

19

(a)

(b)

Señal

-2p/t

2p/t 0

t

0

Figura 1.8: (a) Representación de un tren de ondas limitado en uno de sus extremos. (b) Caminos de integraci´ on en el plano complejo. el caso de que t < 0, con lo cual si tomamos ω = a + ib con a y b constantes positivas, la exponencial de la integral e−iωt = ebt eiat decrece cuando b crece. Podemos hacer que el camino de integración en el semiplano superior se extienda todo lo que queramos, lo cual se indica con las flechas ↑, por lo que la funci´ on E(t) se anula para t < 0, tal como prescribe la ecuación (1.47). Para instantes de tiempo t > 0, el camino de integraci´ on ha de sortear las singularidades de ω que son polos de orden uno [ ver Fig. 1.8(a) ]. La integraci´ on a lo largo del camino en el semiplano inferior (se indica con las flechas ↓) se puede llevar a cabo mediante el método de los residuos y el resultado es 2π dω 1 X −iωt t , (1.49) Res e = sin E(t) = − τ ω2 − ν 2 τ residuos

por lo que se reproduce el resulado prescrito en (1.47). El interés de este desarrollo radica en su utilidad en el estudio de la propagaci´ on de esta se˜ nal en un medio dispersivo, en particular en el estudio de los llamados “precursores”.

´ Problemas de Optica F´ısica I

20

PROBLEMAS PROPUESTOS Ecuaci´ on de ondas 1.1 La ecuación de una onda transversal est´ a especificada por la expresi´ on y(x, t) = 1/3 sin [π(0.25x − 25t)] , donde x e y se especifican en cent´ımetros y t en segundos. (a) Hallar la amplitud, el n´ umero de ondas, la longitud de onda, el per´ıodo temporal y la velocidad de propagación de la onda. SOL: (a) A =

1 3

× 10−2 m, k = 25π m−1 , λ = 0.08 m, T =

2 25

s, v = 1 ms−1 .

1.2 Especificar la expresi´ on de una onda arm´ onica longitudinal que se mueve en la direcci´ on X negativa con amplitud 0.0025 m, frecuencia 6 Hz y velocidad de 300 m/s. SOL: y(x, t) = 0.0025 cos π

x 25

+ 12t

(m).

1.3 ¿Cuántos periodos espaciales de una radiaci´ on visible de longitud de onda 600 nm se precisan para cubrir una distancia de 1/10 mm? 6. SOL: nperiodos = 166.ˆ 1.4 Escribir una expresi´ on para la onda que se muestra en la Figura 1.9. Determinar su longitud de onda, su velocidad y su frecuencia. SOL: y(z, t) = 2.5 cos(ωt − kz + φ), λ = 0.5 µm, v = 3 × 108 m/s, ν = 5, 99988 × 1014 Hz, y φ = 0. 1.5 Consideremos una onda transversal que se propaga en la direcci´ on X con velocidad de fase c. (a) Escribir la ecuación que describe la perturbaci´ on yi (t, x). (b) La onda se refleja completamente en la superficie de un cierto medio material (metal). Escribir la ecuación de la onda reflejada yr (t, x). (c) Escribir la expresi´ on resultante de la superposici´ on de la onda incidente y la onda reflejada, yT (t, x), y analizar sus propiedades. (d) En contacto con la superficie del metal y formando un peque˜ no ´ angulo α se coloca una pel´ıcula fotogr´ afica que es expuesta durante un cierto tiempo (ver Figura 1.10). Tras ser revelada se examina visualmente la pel´ıcula: indicar razonadamente cu´ al ser´ a el aspecto del registro fotogr´ afico. SOL: (a) yi (t, x) = A0 cos(ωt − kx), (b) yr (t, x) = A0 cos(ωt + kx), (c) yT (t, x) = 2A0 cos(kx) cos(ωt).

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

21

2.50 (a)

1.25

z (nm)

0.00 -1.25 -2.50

(b) z (nm)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

(c) z (nm)

Figura 1.9: Representación del estado de vibración de una onda en función de la coordenada z (expresada en nm) en distantes instantes de tiempo: (a) t = 0 s, (b) t = 0.8333 × 10−15 s y (c) t = 1.6667 × 10−15 s. 2 1.6 Consideremos que el perfil de una onda cuya expresi´ on est´ a dada por ψ(x, t) = 5(x−vt) 2 +2 (unidades arbitrarias), donde x se expresa en metros y t en segundos sabiendo que la velocidad de propagación es v = 0.5 m/s. Realizar el esquema gr´ afico del perfil de la onda en los instantes t = 0, 2, y 4 s. ¿Cuál es la direcci´ on de propagaci´ on de la onda?

SOL: La onda se propaga en la direcci´ on +X. 1.7 Considere la situación que se describe en la Figura 1.11 cuando se consideran ondas que se propagan con velocidad de fase c = 3 × 108 m/s fuera de la l´ amina y que el espesor de la lámina es 0.05 cm. Conteste a las siguientes preguntas: (a) ¿Cuántas longitudes de onda (np ) de λ0 = 500 nm se extienden entre Ai y Af si Ai Af = 50 cm? (b) ¿Cuántas longitudes de onda (np′ ) de λ0 = 500 nm se extienden entre Bi y Bf ( Bi Bf = 50 cm) sabiendo que dentro de la l´ amina la velocidad de propagaci´ on de las ondas es 0.98 veces menor que la velocidad en el trayecto entre Ai y Af ? (c) Computar el retardo (∆t) introducido por la presencia de la l´ amina. (d) Expresar las ecuaciones de las ondas que llegan a Af y Bf en el mismo instante de tiempo. SOL: (a)np = 106 , (b) np′ = 1.00002 × 106 , (c)∆t = (d)yAi Af (x, t) = A0 cos(ωt − kx), yBi Bf (x, t) ≈ A0 cos(ω(t − ∆t) − kx).

1.02−1 d c

= 3.4 × 10−14 s.

1.8 Una cadena de emisoras radiofónicas emite ondas con longitudes de onda entre 30 y 100 metros. Determinar la banda de frecuencias de emisi´ on de esta cadena.

´ Problemas de Optica F´ısica I

22

película fotográfica

a

Figura 1.10: Esquema de la superficie del metal y la pel´ıcula fotográfica (experimento de Wiener ).

Ai

Af e

Bi

Bf

Figura 1.11: Retardo introducido por un medio material con respecto a otro medio. El espesor e es de 0.05 cm.

SOL: La banda de emisión es [3, 10] MHz. 1.9 En un punto O del estanque del Retiro se dejan caer regularmente gotas de agua a raz´ on de 95 por minuto. Si la velocidad de las ondas que se originan es de 30 cm/s: (a) determinar la distancia entre dos crestas adyacentes y (b) a 45 cm del punto O se encuentra un corcho flotando y que empieza a vibrar con una amplitud de 2 cm cuando llegan las ondas a él.

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

23

Determine la ecuación de movimiento del corcho. SOL: (a) λ = 0.1898 metros. (b) y(x0 , t) = 0.02 cos [2π (1.58t − 0.053x0 )] m, donde x0 = 45 cm.

Polarizaci´ on de las ondas. Promedios temporales 1.10 Escribir la expresión de dos ondas que tienen la misma frecuencia, se propagan en la misma dirección (Z por ejemplo) y vibran en direcciones perpendiculares entre s´ı (X e Y ). La amplitud de una de las ondas es la mitad que la de la otra. ~T (a) Si ambas ondas est´ an en fase, describir el tipo de movimiento ondulatorio resultante E y discutir su estado de polarizaci´ on. (b) Descomponer el resultado anterior como superposici´ on de dos ondas circularmente po~ D. ~L y E larizadas pero con sentidos de giro opuestos E T T SOL: (a) Ex (z, t) = A1 cos(ωt − kz + φ1 ) y Ey (z, t) = A21 cos(ωt − kz + φ2 ). ~ T est´ a linealmente polarizada y su azimut respecto Si φ1 = φ2 ± 2mπ la onda resultante E o al eje X √ es ξ = 26.565 : ~ T = 5 A1 cos(ωt − kz)ˆ u0 , donde u ˆ0 = cos(ξ)ˆı + sin(ξ)ˆ . E 2 √ 5 ~D = (b) E A1 1 (ˆ u0 cos(ωt − kz) + u ˆp sin(ωt − kz)) y T√

~L = E T

4 5 1 A 1 4 2

2

(ˆ u0 cos(ωt − kz) − u ˆp sin(ωt − kz)) donde u ˆp = − sin(ξ)ˆı + cos(ξ)ˆ .

~ L. 1.11 Escriba la expresi´ on de una onda circularmente polarizada de amplitud A1 y lev´ ogira E Escriba la expresi´ on de una onda onda circularmente polarizada de amplitud A2 6= A1 y ~ D . Si consideramos que ambas ondas son de la misma frecuencia y se propagan dextrógira E en la dirección del eje Z, obtenga el estado de polarizaci´ on de la onda resultante de la T ~ superposici´ on E . ~ D = A1 cos(ωt − kz)ˆı + A1 cos(ωt − kz − π/2)ˆ SOL: E , L ~ E = A2 cos(ωt − kz)ˆı + A2 cos(ωt − kz + π/2)ˆ , ~ T = (A1 + A2 ) cos(ωt − kz)ˆı + (A1 − A2 ) cos(ωt − kz + π/2)ˆ . La onda resultante est´ a E el´ıpticamente polarizada y el sentido de giro es dextr´ ogiro. 1.12 Determinar el promedio temporal de la siguiente onda E(r, t) = E0 cos

2π t − kr , T

teniendo en cuenta que el periodo de integraci´ on es T1 , y que no es necesariamente igual a T . Analizar el resultado y particularizar para T1 = 0.903 × 103 T . Determinar asimismo el promedio temporal de E 2 (r, t). SOL: hE(r, t)i =

E0 T πT1

sin

πT1 T

y E 2 (r, t) =

E02 2

1 + sinc

2πT1 T

.

´ Problemas de Optica F´ısica I

24

1.13 Determinar la resultante de la superposici´ on de dos ondas paralelas dadas por E1 = E01 cos(ωt + φ1 ), y E2 = E02 cos(ωt + φ2 ), donde φ1 y φ2 son constantes que no dependen del tiempo. (a) Representar gr´ aficamente cada onda por separado y la resultante para φ1 = 0 y φ2 = π. (b) Representar gr´ aficamente cada onda por separado y la resultante para φ1 = 0 y φ2 = 2π. (c) Determinar el promedio temporal de (E1 + E2 )2 para valores arbitrarios de φ1 y φ2 . Analizar el resultado obtenido para los valores de φ1 y φ2 considerados en los dos apartados anteriores.

SOL: (c) (E1 + E2 )2 (r, t) =

2 E01 2

+

2 E02 2

+ 2 E022E01 cos(φ1 − φ2 ).

Introducci´ on al an´ alisis de Fourier 1.14 Obtener la representación en serie de Fourier de la funci´ on que se representa en la Figura 1.12.

f(x) T 1

x

a

Figura 1.12: Función de periodo T y anchura a que se extiende en toda la recta real.

(a) Particularizar para el caso a = 0.01 m y T = 0.1 m. Representar gr´ aficamente los valores de los coeficientes de los primeros 10 arm´ onicos.

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

25

(b) Reconstruir gr´ aficamente la se˜ nal original empleando 2, 5 y 100 términos del desarrollo de la serie. Analizar los resultados obtenidos y compararlos con la forma de la se˜ nal original. SOL: (a) A0 =

a T,

Aj =

ω0 a a T sinc(j 2 ),

Bj = 0, con ω0 =

2π T

y j = 1, . . . ∞.

1.15 Considere la perturbación ondulatoria que se muestra en la Figura 1.13. (a) Escribir una expresión para dicha perturbaci´ on. (b) Obtenga la transformada de Fourier. (c) Estime la anchura t´ıpica del espectro de potencia, ∆ν : para ello determine la posici´ on del m´ aximo de la transformada y estime para qué valores de ν el valor de la transformada se ha reducido a la mitad con respecto al valor m´ aximo. (d) Analice la condici´ on ∆t∆ν ≈ 1 que se obtiene del apartado anterior.

(e Particularizar para el caso ∆t = 10−9 s y determinar la anchura espectral del pulso. SOL: (a) E(t) = E0 cos(ω0 t) si |t − ta | < ∆t y E(t) = 0 si |t − ta| > ∆t, donde ω0 = ∆t ∆t −iωt a (b) E(ω) = F{E(t)} = −iE0 ∆te sinc (ω + ω0 ) 2 − sinc (ω − ω0 ) 2 . 1 (c) ∆ν ∝ ∆t (e) ∆ν = 2.2147 × 108 Hz.

E0

2π T .

Dt

t

-E0

Figura 1.13: Aspecto de la perturbación ondulatoria de duración limitada ∆t. 1.16 Determinar la transformada de Fourier de la funci´ on definida por (abertura el´ıptica): 0 si ( xa )2 + ( yb )2 > 1, f (x, y, a, b) = 1 si ( xa )2 + ( yb )2 < 1, q ′ ), donde k ′ = SOL: G(kx , ky ) = 2πab J (k kx2 a2 + ky2 b2 . ′ 1 k

´ Problemas de Optica F´ısica I

26

(a)

(b)

Y

a

L/2

a

L+a

2L+a

X

a

2L+a

L+a

Figura 1.14: Aberturas de interés. El sistema de ejes se ha indicado entre ambas figuras.

1.17 Si denominamos a G(k) = F{f (x)} a la transformada de Fourier de la funci´ on f (x), determinar la transformada de Fourier de la funci´ on f (x/b), Ge (k). SOL: Ge (k) = bG(kb).

1.18 Si denominamos a G(k) = F{f (x)} a la transformada de Fourier de la funci´ on f (x), determinar la transformada de Fourier de la funci´ on f (x − x0 ), Gx0 (k). SOL: Gx0 (k) = eikx0 G(k).

1.19 Determinar la transformada de Fourier de la funci´ on definida por f (x) = SOL: F{f (x)} = 2πaδ(k) +

baπ 2

a 2

[1 + b cos(γx)].

[δ(k + γ) + δ(k − γ)].

1.20 Determinar la transformada de Fourier de cada una de las funciones que se muestran en la Figura 1.14. Considere que en las regiones oscuras el valor de la funci´ on es nulo y que en las regiones claras el valor de la funci´ on es la unidad. Realizar con un paquete matem´ atico una representación gr´ afica del espectro de potencia de ambas funciones.

Tema 1. Movimiento Ondulatorio

27

SOL: (a) G(kx , ky ) = a2 sinc

kx a 2

sinc

ky a 2

kx L kx L ky a + aL cos sinc sinc 2 2 2 ky L ky L kx a +aL cos sinc sinc . 2 2 2

(b)

kx a ky L G(kx , ky ) = aLsinc sinc + 2 2 ky a kx L 1 sinc [kx (L + a) + ky L] sinc aL cos 2 2 2 ky a aL ikx L/4 kx L e sinc sinc . 2 4 2

28

´ Problemas de Optica F´ısica I

TEMA 2 El campo electromagn´ etico

Ondas electromagn´ eticas Los fenómenos eléctricos, magnéticos y luminosos fueron unificados a finales del siglo XIX por James Clerk Maxwell. El conjunto de ecuaciones de Maxwell, junto con la ley de fuerzas sobre part´ıculas cargadas y la segunda ley de Newton consituye el armaz´ on de lo que se denomica “electrodinámica clásica”. En su formulación actual, las leyes de Maxwell en el vac´ıo pueden establecerse en forma integral mediante las ecuaciones ZZ I d ~ ~ · dS, ~ ~ B E · dl = − d t SC C ! I ZZ ~ ∂ E ~ · d~l = µ0 ~ ~j + ǫ0 B · dS, (II-1) ∂t C SC I ~ · dS ~ = Q, E ǫ0 IS ~ · dS ~ = 0. B S

~ yB ~ son el campo eléctrico y la inducci´ En la ecuaci´ on (II-1), E on magnética respectivamente, ~j es la densidad de corriente, Q es la carga total encerrada en la superifice cerrada SC , y µ0 y ǫ0 son la permeabilidad magnética y la permitividad dieléctrica del vac´ıo respectivamente. La primera ecuación es la conocida como ley de Faraday-Henry, la segunda es la ley de Ampère-Maxwell y las tercera y cuarta ecuaciones constituyen la ley de Gauss para el campo eléctrico y la inducci´ on magnética respectivamente. La ley de fuerzas que act´ ua sobre una part´ıcula cargada, de carga q, en el seno de campos eléctricos y magnéticos viene dada por la ley de Lorentz que reza ~ + ~vp × B ~ , F~L = q E (II-2)

donde ~vp es la velocidad de la part´ıcula.

29

´ Problemas de Optica F´ısica I

30

Mediante el uso de los teoremas de Stokes y de Gauss se puede obtener la formulaci´ on diferencial de las ecuaciones de Maxwell que quedan como ~

~ = µ0~j + µ0 ǫ0 ~ = − ∂B , ∇ × B ∇×E ∂t ~ = ∇·E

ρ ǫ0 ,

~ ∂E , ∂t

~ = 0, ∇·B

(II-3)

donde ρ es la densidad de carga o carga por unidad de volumen. En regiones en las que no haya cargas y corrientes (el “vac´ıo”, por ejemplo) las ecuaciones (II-3) predicen la existencia de campos eléctricos y magnéticos autosustentados que pueden propagarse en forma de ondas (a´ un en ausencia de medio material). En otras palabras, se tendr´ a que ~ ∂2E , ∂t2 2~ ~ = µ 0 ǫ0 ∂ B , ∇2 B ∂t2 ~ = µ 0 ǫ0 ∇2 E

de donde resulta que la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vac´ıo es v =

(II-4) √1 ǫ0 µ0

=c=

3 × 108 m/s (velocidad de la luz en el vac´ıo). De particular interés resultan las soluciones de la ecuaci´ on en forma de ondas planas de la forma ~ = E ~ 0 ei(ωt−~k·~r) , E ~ = B ~ 0 ei(ωt−~k·~r) . B

(II-5)

Para que las expresiones (II-5) satisfagan las ecuaciones de Maxwell han de cumplirse las siguientes relaciones ~k · E ~ 0 = 0, ~k · B ~ 0 = 0, ~k × E ~ 0 = ωB ~ 0.

(II-6)

~ F~L ≈ q E,

(II-7)

~ yB ~ son perpendiculares entre s´ı, esto es, las De la ecuaci´ on (II-6) se infiere que los vectores ~k, E ~ 0 | = |E~ 0 | . Teniendo ondas electromagnéticas planas son transversales. Adem´ as se deduce que |B c en cuenta este hecho, la ley de fuerzas para part´ıculas cargadas sobre las que act´ ua una onda electromagnética puede aproximarse por

siempre y cuando las velocidades de las part´ıculas sean mucho menores que c [ |~vp | ≪ c en la ecuación (II-2) ].

Energ´ıa transportada por las ondas Las ondas electromagnéticas transportan energ´ıa. Si en una regi´ on cerrada del espacio, V , en la que hay una colecci´ on de cargas incide una onda electromagnética, los campos realizar´ an trabajo sobre las cargas, de manera que parte de la energ´ıa del campo ser´ a cedida a las cargas y el resto se transmitirá a otras regiones. El teorema de Poynting nos indica la forma de este balance energético: si llamamos uB y uE a las densidades de energ´ıa del campo, entonces se ha de verificar que ZZZ ZZ ZZZ ∂ ~ ~ ~ ~ (uB + uE ) dV, (II-8) j · E dV = + P · dS + − ∂t V SV V

Tema 2. El campo electromagnético

31

~ ≡E ~ × B~ es el denominado vector de Poynting que nos indica en qué direcci´ on se propaga donde P µ0 la energ´ıa. Las densidades de energ´ıa se relacionan con las amplitudes de los campos de la forma ~ 2 respectivamente. El primer término en la ecuaci´ ~ 2 y uB = 1 B uE = ǫ 0 E on (II-8) da cuenta del µ0 calentamiento de las cargas o efecto Joule y tiene signo negativo ya que la energ´ıa es cedida por el campo a las cargas. Si la región considerada no hay cargas, la relaci´ on (II-8) establece que la variaci´ on temporal de energ´ıa almacenada en dicha regi´ on es igual al flujo de energ´ıa que abandona dicha regi´ on. Para el caso de una onda arm´ onica, [ ver ecuaci´ on (II-5) ], en el rango de frecuencias ´ opticas en las que ω ≈ 1015 rad s−1 , la densidad de energ´ıa instant´ anea var´ıa r´ apidamente de modo que se prefiere emplear la densidad de energ´ıa promediada temporalmente (o densidad de energ´ıa eficaz) ~ 2 y uB = ǫ0 E ~2 que resulta uE = ǫ20 E ıa eléctrica y magnética 0 2 0 , esto es, las densidades de energ´ asociadas a una onda son iguales. De la misma manera, el vector de Poynting para una onda armónica que se propaga en el vac´ıo queda como ~0 × B ~ 0 cos2 (ωt − ~k · ~r), ~ ×B ~ = c2 ǫ0 E ~ = c2 ǫ0 E P

(II-9)

que es una medida de la energ´ıa instant´ anea que atraviesa la unidad de ´ area en la unidad de tiempo. Dada la relación de transversalidad entre los campos y la direcci´ on de propagaci´ on, resulta que el vector de Poynting es paralelo a la direcci´ on de propagaci´ on de los frentes de onda. Este resultado es cierto en el caso de que las ondas se propagen dentro de medios materiales is´ otropos: aquellos en los que la interacci´ on de la radiación con el medio material no depende de la orientación del campo eléctrico (ver Tema 3). Actualmente se define la irradiancia de una onda promediada en el tiempo como D E cǫ0 ~ 2 ~ (II-10) I ≡ E0 . P = 2 Es bien conocido que dentro de una medio material la luz viaja m´ as despacio que en el vac´ıo. Si llamamos vf a la velocidad de las ondas dentro de un medio material dado, entonces en las relaciones anteriores hemos de tener en cuenta este hecho: ~ 0| = |B

~ 0| |E , vf

de modo que la irradiancia dentro del medio quedar´ a como D E ncǫ0 ~ 2 ~ I = P = E0 , 2 donde n ≡

c vf

es el ´ındice de refracci´ on que experimenta la onda dentro del medio.

(II-11)

(II-12)

´ Problemas de Optica F´ısica I

32

PROBLEMAS RESUELTOS Ondas electromagn´ eticas 2.1 Una onda electromagn´ etica plana en el vac´ıo est´ a dada por Ex = 102 sin π 3 × 106 z − 9 × 1014 t , (V/m) Ey = 0,

(2.1)

Ez = 0. Determinar la longitud de onda, frecuencia, velocidad de fase y el promedio temporal del m´ odulo del vector de Poynting. A la vista de la ecuación (2.1) podemos deducir que la onda vibra a lo largo del eje X y que ˆ se propaga a lo largo del eje Z, esto es, el vector de propagaci´ on estar´ a dado por ~kp = 2π λ k, ˆ donde k es un vector unitario en la direcci´ on del eje Z. De esta manera podemos determinar 2 6 −6 la longitud de onda ya que se verifica la relaci´ on 2π λ = 3π × 10 , resultando λ = 3 × 10 m, esto corresponde a una radiaci´ on visible de color “rojo”. Asimismo la frecuencia de la onda, ν, se puede determinar a partir de la expresi´ on 2πν = 9π × 1014 , por lo que resulta que ν = 92 × 1014 Hz. Vemos a partir de los datos anteriores que, efectivamente, la velocidad de propagación de la onda es c = 3 × 108 m/s.

Podemos determinar la dirección en la que oscila el vector inducci´ on magnética a partir de la conocida relación ~kp ∧ E ~ = ω B, ~

(2.2)

de manera que realizando las operaciones indicadas en (2.2) se obtiene ~ = B

Ex ˆ. c

(2.3)

Finalmente podemos determinar el vector de Poynting

~ = resultando que P

104 cµ0

~ ~ = E ~∧ B, P µ0 ˆ sin2 π 3 × 106 z − 9 × 1014 t k.

(2.4)

Para determinar el promedio temporal del vector de Poynting, procederemos como hicimos en el problema 6 del Tema 1. De esta manera resulta

I ≡ resultando finalmente

D E 104 2 ~ , sin π 3 × 106 z − 9 × 1014 t P = cµ0 I = 13.275 (W/m2 ).

(2.5)

(2.6)

Tema 2. El campo electromagnético

33

2.2 Un haz de luz se propaga a trav´ es de un medio de ´ındice de refracci´ on (n = 1.5). Si la amplitud del campo el´ ectrico del haz de luz es de 100 V/m ¿cu´ al es la amplitud del campo de inducci´ on magn´ etica? Supongamos por simplicidad que la expresi´ on de la onda puede expresarse como ~ = E ~ 0 cos ~k · ~r − ωt (V/m), E (2.7)

de tal manera que la velocidad de fase de la onda es vf = ω~ < c y recuérdese que n = vcf . |k| En este caso la relación entre la frecuencia angular y la velocidad de propagaci´ on está dada on entre el campo eléctrico y la inducci´ on magnética1 est´ a por ω = kvf . Asimismo la relaci´ dada por una expresión similar a (2.3) excepto por el hecho de que en este caso la velocidad ~ |E~ | = 5 × 10−7 (T). de propagación no es igual a c. De lo anterior se deduce que B = vf

2.3 Una onda electromagn´ etica que se propaga en el vac´ıo (especificada en el S.I. de unidades) est´ a dada por la expresi´ on √ ~ = E −3î + 3 3ˆj × 104 i

e

•

•

•

1

q h √ i π 5x+ 53 y ×107 −8.1246×1015 t 3

, ( V/m).

(2.8)

Encontrar la direcci´ on a lo largo de la cual oscila el campo el´ ectrico. Teniendo en cuenta la expresi´ on del campo eléctrico, la direcci´ on de oscilaci´ on, ~uosc , est´ a dada por √ ~uosc = −ˆı + 3ˆ  . (2.9) El valor del m´ odulo de la amplitud campo el´ ectrico. La amplitud del campo eléctrico est´ a dada por √ ~0 = E  × 104 , ( V/m). −3ˆı + 3 3ˆ

~ 4 y su módulo resulta E 0 = 6 × 10 (V/m).

(2.10)

La direcci´ on de propagaci´ on, la frecuencia y la longitud de onda. La dirección de propagación de la onda se obtiene de la fase de la oscilaci´ on y está dada por r ! √ 5 2π π ~kp = ˆ × 107 = u ˆp . (2.11) 5ˆı + 3 3 λ ˆp = 2π Teniendo en cuenta que ~kp = ~kp u ˆp , siendo u ˆp un vector unitario en la λ u q ~ direcci´ on de kp , podemos determinar la longitud de onda que resulta λ = 3 35 × 10−7 m. Naturalmente no √corresponde a una radiaci´ on visible por un observador humano. 1 3 Resultando que u ˆp = 2 ˆı + 2 ˆ. Asimismo la frecuencia angular de la onda est´ a dada por 2πν = 8.1246 × 1015 , de donde 15 resulta que ν = 1.2931 × 10 Hz. N´ otese que la velocidad de fase de esta onda es 8 vf = 3 × 10 m/s.

Supuesto que el medio material no est´ a magnetizado.

´ Problemas de Optica F´ısica I

34 •

Determinar el campo magn´ etico asociado. En este caso y teniendo en cuenta la relaci´ on (2.2) llegamos a que ~ = H

~ 1 B ~ = u ˆp ∧ E. µ0 µ0 c

(2.12)

Realizando las operaciones indicadas en (2.12) se llega finalmente a que ~ = 6cǫ0 × 104 H i

e •

h √ π 3

5x+

q

5 y 3

i ×107 −8.1246×1015 t

ˆ k,

(2.13)

Determinar la direcci´ on de propagaci´ on de la energ´ıa. Para ello basta determinar el vector de Poynting ~ = R (E) ~ ∧ R (H), ~ P q i h √ 5 7 − 8.1246 × 1015 t u ~ = 36cǫ0 × 108 cos2 π y × 10 ˆp . 5x + resultando P 3 3

(2.14)

2.4 Determinar el estado de polarizaci´ on de las siguientes ondas electromagn´ eticas. Para realizar este ejercicio hemos de examinar los resultados a que llegamos en el problema 4 del Tema 1. •

•

•

~ = ˆıE0 cos(kz − ωt) − Ê0 cos(kz − ωt). E Se trata de dos ondas que vibran a lo largo de los ejes X e Y respectivamente y de igual amplitud y fases por lo que la vibraci´ on resultante est´ a linealmente polarizada a lo largo o de un eje que forma −45 con respecto al eje X. ~ = ˆıE0 sin(−kz + ωt) + Ê0 sin(−kz + ωt − π/4). E

En el caso que nos ocupa se trata de dos ondas desfasadas δ = π/4 (o sea ambas ondas est´ an retrasadas entre s´ı una distancia espacial λ/8) y amplitudes iguales por lo que la vibración resultante describe una elipse en el plano XY . ~ = ˆıE0 cos(kz − ωt) + Ê0 cos(kz − ωt + π/2). E En este caso el desfase entre ambas ondas es de π/2 y dado que las amplitudes son iguales la onda resultante estar´ a circularmente polarizada.

2.5 Escribir la expresi´ on, en unidades del sistema M.K.S., de una onda electromagn´ etica plana que tiene una longitud de onda de 500 nm y una irradiancia de 53.2 W/m2 , que se propaga a lo largo del eje Z. Consider´ ese que la onda est´ a linealmente polarizada a 450 del eje X. A partir de la irradiancia podemos determinar el m´ odulo del campo eléctrico que resulta ser E0 = 200.188 V/m. Teniendo en cuenta que la direcci´ on de propagaci´ on es el eje Z el vector 2π −1 ), siendo k 6k ˆ ˆ ˆ (m un vector unitario a lo largo k = 4π × 10 de propagación ser´ a ~kp = 0.5×10 −6 del eje Z. De forma que las componentes del campo ser´ an Ex = E0 cos(45o ) cos |~kp |z − ωt , Ey = E0 sin(45o ) cos |~kp |z − ωt , (2.15) Ez = 0,

donde ω = kc = 12π × 1014 (rad s−1 ).

(2.16)

En la Figura 2.1 se muestra la evoluci´ on espacial de las componentes del campo eléctrico considerado: nótese que ambas componentes est´ an en fase y que tienen igual amplitud.

Tema 2. El campo electromagnético

35

Ex

X

l

Z

Y Ey

Figura 2.1: Perfil espacial de las componentes del campo eléctrico considerado. La componente Ex y la Ey est´ an en fase: evolucionan s´ıncronamente.

2.6 Escribir la expresi´ on, en unidades del sistema M.K.S. de una onda electromagn´ etica plana que tiene una longitud de onda de 632.8 nm y una irradiancia de 100 W/m2 , que incide sobre la superficie de separaci´ on de dos medios con un ´ angulo de 300 . El plano de sepaci´ on es el plano XY, el de incidencia es el plano YZ y la onda est´ a polarizada seg´ un se indica: Obtendremos en primer lugar el m´ odulo del n´ umero de onda k y la frecuencia angular de la onda, ω: 2π 2π k= = 9.93 × 106 (m), (2.17) = λ 632.8 × 10−9 ω = kc = 9.93 × 106 × 3 × 108 = 29.8 × 1014 (rad/s).

(2.18)

Por otra parte, si la irradiancia vale 100 W/m, se puede obtener la amplitud del campo eléctrico: 1 (2.19) I = cǫ0 |E0 |2 , 2 de donde r 2 × 100 = 275.2 (V/m). (2.20) |E0 | = 3 × 108 × 8.8 × 10−12 Deberemos calcular la dirección del vector ~k. En la Figura 2.2 se muestra la situaci´ on general de un campo que incide desde un medio en otro con un ´ angulo arbitrario: n´ otese que debido a ~ ha de estar contenido en un plano perpendicular a la direcci´ que el campo E on de propagaci´ on, ~k, el campo incidente podr´ a descomponerse en un sistema cartesiano tal que una parte de ese campo esté contenida en el plano de incidencia y la otra sea perpendicular. ~k = [0, k sin(30o ), −k cos(30o )] = (0, 4.9, −8.6) × 106 m−1 . Ahora consideraremos los dos casos planteados.

(2.21)

´ Problemas de Optica F´ısica I

36

Z

E||i E^

i

k qi plan incid o de enci a

X

Y

Figura 2.2: Onda incidente en el plano YZ con θi arbitrario: el campo incidente se ha descompuesto en la componente paralela, Ek , y perpendicular, E⊥ , al plano de incidencia (Y Z). •

polarizada seg´ un el eje X. En este caso el campo eléctrico tiene s´ olo componente a lo largo del eje X, véase Figura 2.3(a), Ex = 275.2 cos (4.9y − 8.6z) × 106 − 29.8 × 1014 t , Ey = 0 ,

(2.22)

Ez = 0. •

polarizada en el plano YZ. En este caso el campo deber´ a vibrar perpendicularmente a la direcci´ on de propagaci´ on y contenido en el plano ZY, esto es, tendr´ a componentes Ey y Ez oscilando en fase. De la Figura 2.3(b) se obtienen las amplitudes de cada componente:

E0x = 0 , E0y = 275.2 cos(30o ) , E0z

(2.23)

o

= 275.2 sin(30 ) ,

Los campos se podr´ an espresar como Ex = 0, Ey = 275.2 cos(30o ) cos (4.9y − 8.6z) × 106 − 29.8 × 1014 t , Ez = 275.2 sin(30o ) cos (4.9y − 8.6z) × 106 − 29.8 × 1014 t .

(2.24)

~ 0 = 0 como prescribe la ecuaci´ N´ otese de paso que se verifica que ~k · E on de Maxwell ~ = 0. ∇·E

Tema 2. El campo electromagnético

37

Eyz

Z Ex

Z

X

X

k

k

30

o

30

(a)

o

(b)

Y

Y

Figura 2.3: (a) Onda incidente en el plano YZ con θi = 300 y vibrando según el eje X y (b) onda incidente en el plano YZ con θi = 300 y vibrando en el plano Y Z.

~ de una onda La variaci´ on temporal del campo de inducci´ on magn´ etica, B, electromagn´ etica se presenta en la Figura 2.4. La onda se propaga a lo largo ~ vibra en la direcci´ del eje X en el vac´ıo y B on del eje Z.

2

1

Bz (x10-6 T)

2.7

0

-1

-2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t (x10-14 s)

Figura 2.4: Evolución temporal de la componente Bz de la onda considerada.

´ Problemas de Optica F´ısica I

38 •

~ y B. ~ Determinar el m´ odulo y direcci´ on de los campos E La figura representa la variaci´ on temporal del campo magnético asociado a la onda ~ vibra electromagnética plana. Como la onda se propaga en la direcci´ on del eje X y B en la direcci´ on del eje Z, su expresi´ on ser´ a Bz = Bz0 cos (kx − ωt) .

(2.25)

De la Figura 2.4 se deduce que para t = 0 y x = 0, la amplitud del campo magnético vale Bz0 = 2 × 10−6 Tesla. Por otro lado, el periodo temporal de la oscilaci´ on vale T = 2π 14 −14 segundos. Por lo tanto la frecuencia angular es ω = T = 2π × 10 (rad s−1 ), y 1 × 10 6 −1 el m´ odulo del vector de propagaci´ on es k = ωc = 2π on 3 10 (m ). Por lo tanto la expresi´ ~ de B est´ a dada por x h i ~ = B 0, 0, 2 × 10−6 cos 2π × 106 − 108 t . (2.26) 3

El campo eléctrico asociado a una onda plana deber´ a satisfacer las ecuaciones de Maxwell; en particular ~ ~ = µ0~j + 1 ∂ E . ∇×B c2 ∂t

(2.27)

Como la onda se propaga en el vac´ıo se tiene que ~j = ~0, con lo que se tiene ~ = B0z k sin (kx − ωt) ˆ. ∇×B

(2.28)

Al introducir este resultado en la ecuaci´ on (2.27) se obtiene B0z k sin (kx − ωt) ˆ =

~ 1 ∂E . c2 ∂t

(2.29)

Integrando la expresión anterior respecto al tiempo obtenemos el campo eléctrico Z c2 kB0z cos (kx − ωt) ˆ, (2.30) Ey ˆ = c2 B0z k sin (kx − ωt) ˆdt = ω

•

que puede reescibirse de la siguiente manera h i ~ = (0, 6 × 102 cos 2π × 106 x − 108 t , 0) V/m. E 3

(2.31)

Determinar la irradiancia instant´ anea y promedio de la onda. Para determinar la irradiancia instant´ anea hemos de calcular el m´ odulo del vector de Poynting el cual viene dado por ~ = P

h i 1 ~ ~ = cǫ0 36 × 104 cos2 2π × 106 x − 108 t ˆı. E×B µ0 3

(2.32)

Por lo tanto la irradiancia instant´ anea se obtiene como el m´ odulo del vector calculado en (2.32). Para obtener la irradiancia promedio basta realizar el promedio temporal de la función obtenida anteriormente (véase el problema 6 del Tema 1), por lo que se obtiene finalmente I = cǫ0 18 × 104 = 477.9 (W/m2 ).

(2.33)

Tema 2. El campo electromagnético

39

Energ´ıa transportada por las ondas 2.8 La irradiancia producida por el sol en la superficie de la tierra es I = 1.34 × 103 W/m2 . Calcular el campo el´ ectrico y el campo magn´ etico en la superficie de la tierra, asumiendo que el promedio del vector de Poynting es igual al valor de la irradiancia. Como sabemos la irradiancia, IT , se obtiene como el promedio temporal del vector de Poynting, de modo que para una onda plana2 se tiene cǫ0 ~ 2 IT = (2.34) E0 . 2 ~ 3 De manera que teniendo en cuenta la relaci´ on (2.34) se llega a que E 0 = 1.005 × 10 (V/m). Asumiendo que el ´ındice de refracci´ on de la atm´ osfera acticamente la unidad podemos es pr´ ~ |E~ 0 | estimar la amplitud de la inducci´ on magnética como B0 = c = 3.35 × 10−6 (T). •

•

Estimar la potencia emitida por el sol. Para ello deberemos de hacer algunas hip´ otesis que nos permitan hacer la estimaci´ on de una manera sencilla: por ejemplo hemos de considerar en primer lugar que la emisi´ on del sol es is´ otropa, esto es, que la energ´ıa emitida por unidad de tiempo es independiente de la direcci´ on. Además hemos de suponer por simplicidad que la ´ orbita de la Tierra es circular3 : en ese caso podemos considerar que el radio de la ´ orbita es Rt = 1.49 × 1011 m. De esta manera podemos aproximar la potencia emitida por el Sol por D E ~ Psol ≈ (2.35) P S = 1.34 × 103 4πRt2 = 3.738 × 1026 W.

Al hacer la estimación indicada en (2.35) impl´ıcitamente estamos realizando una hip´ otesis adicional que consiste en considerar que la irradiancia es la misma, salvo el factor 1/R2 en la superficie terrestre que fuera de la atm´ osfera, o lo que es lo mismo, que no hay absorci´ on de la radiación en la atm´ osfera. Es bien conocido que el espectro de emisi´ on del sol no es monocromático y que el flujo de radiaci´ on por unidad de longitud de onda no es el mismo fuera de la atm´ osfera que a nivel del mar, sino que debido a la presencia de diferentes compuestos moleculares en la atm´ osfera algunas radiaciones ser´ an atenuadas as´ı como esparcidas por la atm´ osfera, de ah´ı que la estimaci´ on realizada sea “a la alta”. Estimar la irradiancia recibida en la el territorio de Espa˜ na. Tenga en o cuenta que la latitud es de 40 . Una vez que tenemos una estimaci´ on de la potencia emitida por el sol, podemos estimar la potencia luminosa que se recibe sobre la superficie del pa´ıs sin m´ as que considerar que aproximadamente la superficie de aquél es de unos Ae ≈ 500, 000 km2 . As´ı se tendr´ a IE

=

Psol cos(40o ) = 5.715 × 1014 W. Ae

(2.36)

Naturalmente en un d´ıa nuboso esta magnitud es susceptiblemente menor debido justamente a los procesos de esparcimiento que analizaremos en el Tema 3. 2

Imaginemos que el detector tiene un ´ area t´ıpica de 1 cm2 , a la vista de los resultados del problema 5 del Tema 1 vemos que considerar las ondas como planas es una buena aproximaci´ on. 3

Esto nos permitir´ a hacer estimaciones que sean independientes del d´ıa del a˜ no.

´ Problemas de Optica F´ısica I

40 •

Estimar la potencia en retina cuando se mira directamente al sol. Considerar que el ojo del observador cuya pupila es de φP = 6 mm. Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a un dioptrio equivalente de 7.2 mm de radio y un ´ındice de no = 1.335. Determinar el flujo del vector de Poynting a trav´ es de la superficie de la pupila. Si tras refractarse en el dioptrio, la radiaci´ on se concentra en un ´ area de radio ′ ′ es la focal del dioptrio, estimar la irradiancia de la , donde f Rr = 1.22 nλf o φP onda en la retina. En primer lugar podemos calcular la focal del dioptrio que resulta ser f ′ = nr/(n − 1) = 28.7 mm, con lo cual podremos determinar el ´ area de la superficie iluminada en la retina, 2 −11 2 Sr = πRr = 1.5 × 10 m . Para esta estimaci´ on del ´ area iluminada hemos empleado una longitud de onda t´ıpica λ = 0.5 µm. El flujo de radiaci´ on que atraviesa un ´ area equivalente a la pupila es 2 Z φP 3 ~ ~ = 37.89 × 10−3 (W ). (2.37) Pinc · d SP = 1.34 × 10 π ϕP = 2 Podemos suponer que el flujo en la retina, φR , sea proporcional al flujo incidente sobre la pupila, esto es, Z ~r = ξϕP , ϕR = P~R · d S (2.38)

donde ξ es un factor de proporcionalidad que tendr´ a en cuenta las pérdidas por reflexi´ on as´ı como la fracci´ on de energ´ıa difractada. Podemos considerar que ξ ≈ 0.82 como una primera aproximación. A partir de la expresi´ on (2.38) podemos estimar el m´ odulo del vector de Poynting en la superficie iluminada en la retina que ser´ a ϕP Iret = P~R = ξ = 2.07 × 109 W/m2 . (2.39) Sr

•

Vemos pues que la potencia por unidad de ´ area es muy elevada de ah´ı que si se mirase directamente al sol se producir´ıan lesiones oculares irreversibles [ ver problema 10 de este Tema donde sea analiza el campo eléctrico interat´ omico: n´ otese que el campo eléctrico 6 en la regi´ on focalizada ser´ıa del orden de 1.25 × 10 (V/m) ]. Estimar la potencia en retina cuando se antepone un filtro de densidad o ´ptica D = 4. La densidad ´ optica de un filtro se define como D ≡ − log10 T,

(2.40)

donde T es la fracci´ on de flujo transmitido respecto al incidente, por lo que al anteponer el filtro se tendrá que ~cf P = T ξ ϕP = 2.07 × 105 W/m2 . (2.41) R Sr

N´ otese que en este caso el campo eléctrico en la regi´ on focalizada es del orden de 12.5×103 (V/m). Obsérvese que a pesar de emplear el filtro la densidad de energ´ıa sigue siendo muy elevada. Es particularmente interesante este aspecto toda vez que durante un eclipse se suele observar el mismo sin las debidas precauciones y las consecuencias que se derivan de ello suelen ser la producci´ on de lesiones oculares notables. Naturalmente en la regi´ on de sombra del eclipse la irradiancia incidente sobre la pupila de un observador en un d´ıa sin nubes est´ a notablemente reducida, pero en el caso de estar en la zona de penumbra esta situación no es exactamente la misma.

Tema 2. El campo electromagnético

41

2.9 Un pulso de ultravioleta de 2.00 ns de duraci´ on es emitido por una fuente l´ aser y tiene un di´ ametro de 2.5 mm y una energ´ıa de 6.0 J. Determinar la longitud espacial del pulso y su irradiancia. La longitud L del pulso será L = c∆t = 3 × 108 × 2 × 10−9 = 0.6 (m).

(2.42)

La irradiancia será I=

energ´ıa = 6.1 × 1014 (W/m2 ). unid. de tiempo × unid. de a´rea

2.10 Un haz l´ aser de 14 kW se focaliza sobre un ´ area de 10−9 m2 . irradiancia y la amplitud del campo el´ ectrico en el foco. La irradiancia I vendr´ a dada por la potencia por unidad de ´ area, es decir I=

14 × 103 P = = 14 × 1012 (W/m2 ). A 10−9

(2.43)

Calcular la

(2.44)

El valor de la amplitud del campo en el foco se obtiene a partir de la expresi´ on de la irradiancia: I= de donde |E0 | =

r

cǫ0 |E0 |2 . 2

2I = 1.03 × 108 (V/m). cǫ0

(2.45)

(2.46)

Se puede comparar el valor de este campo con una estimaci´ on del campo at´ omico que existe entre un electr´ on y un protón. Este campo vendr´ a dado por la ley de Coulomb Ea =

1 qe 11 2 = 1.4 × 10 (V/m). 4πǫ0 rB

(2.47)

En la expresión anterior se ha tomado rB el valor del doble del radio de Bohr, esto es 10−10 m. Por lo tanto, el campo creado por el l´ aser es suficientemente intenso para ionizar la materia. Mediante un l´ aser de YAG Neodimio focalizado en la cara posterior del cristalino se ioniza la materia de ciertas cataratas que aparecen en la cara posterior del cristalino. El plasma electr´ onico que se genera hace que se absorba la radiaci´ on del l´ aser produciendo un cambio local y brusco de la temperatura lo que produce a su vez una onda de choque que elimina la catarata. 2.11 Escribir la expresi´ on de una onda plana linealmente polarizada que se propaga a lo largo del eje X y vibra a 300 del eje Z y cuya longitud de onda es λ = 2 µm. •

Indicar a qu´ e regi´ on del espectro electromagn´ etico corresponde este campo. La radiación considerada es monocrom´ atica y pertenece a la regi´ on del infrarrojo cercano, por lo tanto no es visible por un observador humano.

´ Problemas de Optica F´ısica I

42 •

Si la amplitud del campo es de 3 V/m hallar la irradiancia de la onda. La expresión del campo eléctrico viene dada por ~ ˆ (V/m), E(x, t) = 3ei(ωt−k0 x) u

(2.48)

donde k0 = π × 106 m−1 es el m´ odulo del vector de ondas, ω = 3π × 1014 s−1 es la frecuencia angular y u ˆ = [0, sin(30o ), cos(30o )] es un vector unitario a lo largo de la direcci´ on de vibración. La inducci´ on magnética asociada est´ a dada por ~ B(x, t) = 10−8 ei(ωt−k0 x) vˆ (T),

(2.49)

donde vˆ = [0, − cos(30o ), + sin(30o )] es la direcci´ on en la que vibra el vector inducci´ on magnética. De esta manera el vector de Poynting est´ a dado por ~ P(x, t) = cǫ0 9 cos2 (ωt − k0 x)ˆı (W/m2 ).

•

(2.50)

La irradiancia promedio de la onda de la onda se obtiene promediando en (2.50) resultando E D ~ (2.51) I = P(x, t) = 1.195 × 10−2 (W/m2 ). Determinar el flujo del vector de Poynting a trav´ es de la superficie de un cuadrado de lado 1 cm perpendicular al eje X. El flujo del vector de Poynting a través del cuadrado ser´ a ZZ ~ · dA ~ (W), ~ = P (2.52) φ(P) Area

•

~ = dydzˆı es el elemento de ´ donde dA area normal al cuadrado. Realizando la integral ~ = 2.3895 × 10−6 cos2 (ωt − k0 x) (W). indicada en (2.52) se llega a que φ(P) Esta onda incide sobre el ojo de un observador cuya pupila es de φP = 6 mm. Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a un dioptrio equivalente de 7.2 mm de radio y un ´ındice de no = 1.335. Determinar el flujo del vector de Poynting a trav´ es de la superficie de la pupila perpendicular al eje X. Si tras refractarse en el dioptrio, la radiaci´ on se concentra en un ′ ′ es la focal del dioptrio, estimar la area de radio Rr = 1.22 nλf ´ , donde f o φP irradiancia de la onda en la retina. La onda plana colimada incide sobre el ojo. Si llamamos Ap al ´ area de la pupila del ojo, supuesta ésta en el plano del dioptrio, se tendr´ a: 2 2 φP Ap = π = π 3 × 10−3 = 2.8 × 10−5 m2 . (2.53) 2

El flujo de energ´ıa que pasa al ojo, suponiendo despreciables las pérdidas por reflexi´ on, ser´ a Φ=

1 1 cǫ0 |E0 |2 Ap = 3 × 108 × 8.8 × 10−12 × 32 × 2.8 × 10−5 = 3.3 × 10−7 W. (2.54) 2 2

El ojo converge este haz en la retina no en un punto tal como predice la ´ optica geométrica si no hay aberraciones. Se produce una distribuci´ on de irradiancia que consiste en una serie de anillos concéntricos. El 86 por ciento de la irradiancia se distribuye en un c´ırculo

Tema 2. El campo electromagnético

43 ′

. Por lo tanto, si Ar es el ´ area de este de radio dado por la expresi´ on Rr = 1.22 nλf o φP c´ırculo, la irradiancia en la retina ser´ a Ir =

Φ . Ar

(2.55)

Para calcular el valor de Ar necesitamos conocer la focal del ojo te´ orico que se propone. Aplicando el invariante de Abbe al dioptrio se tiene n′ − n n′ n − = , s′ s r

(2.56)

es decir

1 0.335 1.335 − = , ′ s ∞ 7.2 de donde f ′ ≃ s′ = 28.7 mm. Por lo tanto el ´ area Ar es Ar = πRr2 = 1.5 × 10−11 m2 .

(2.57)

(2.58)

Substituyendo los valores en la expresi´ on (2.55) se obtiene una irradiancia en la retina de 3.3 × 10−7 Ir = 0.82 = 1.85 × 104 W/m2 . (2.59) 1.5 × 10−11

2.12 Considere una fuente de ondas electromagn´ eticas esf´ ericas situada en el origen que emite en λ0 = 555 nm. •

Expresar el campo el´ ectrico de las ondas emitidas por la fuente. La expresión del campo eléctrico vendr´ a dada por ~ r , t) = E(~

E0 cos(ωt − kr)ˆ u, r

(2.60)

donde r = |~r| y u ˆ es un vector unitario que en cada punto del frente de ondas pertenece al plano tangente a las superficies de fase constante (esfera). •

Expresar el vector de Poynting de las ondas emitidas. En este caso la expresión del vector de Poynting est´ a dada por 2

~ r , t) = cǫ0 E0 cos2 (ωt − kr)ˆ ur , P(~ r2

(2.61)

donde u ˆr = xr ˆı + yr ˆ + zr kˆ es un vector unitario que en cada punto es perpendicular a las superficies de fase constante. El promedio temporal del vector de Poynting vendrá dado por

•

D

E ~ r) P(~ =

1 E02 cǫ0 2 u ˆr , 2 r

(2.62)

A una distancia D se coloca un detector circular de radio R0 . Determinar el flujo del promedio temporal del vector de Poynting a trav´ es del ´ area del detector. El flujo vendr´ a dado por la expresi´ on ZZ D E ~ r ) · dS, ~ P(~ (2.63) ΦD = A

´ Problemas de Optica F´ısica I

44

Z

r R0

a0/2

Y

X

D

Figura 2.5: Esquema de la situación considerada. La fuente puntual está colocada en la perpendicular que parte del centro del detector. ~ es el elemento infinitesimal de ´ donde dS area normal al detector que viene dado por ~ dS = dxdzˆ  (ver Figura 2.5). En este caso el vector unitario u ˆr en cada punto de la ˆ Teniendo en cuenta esto superficie del detector viene dado por u ˆr = xr ˆı + Dr ˆ + zr k. llegamos a que la expresión (2.63) resulta

ΦD =

ZZ

A

cǫ0 E02 D dxdz. 2r 2 r

(2.64)

Para realizar la integral indicada en (2.64) es preferible expresarla en coordenadas polares: teniendo en cuenta que r 2 = D 2 + ρ2 se llega a que dxdz = ρdρdφ, de modo que finalmente se llega a que Z √D2 +R2 0 1 cǫ0 E02 D dr. (2.65) ΦD = 2π 2 r2 D La integral radial que resta en (2.65) es elemental por lo que el resultado puede expresarse como ΦD =

cǫ0 E02 2π [1 − cos (α0 /2)] , 2

(2.66)

donde tan(α0 /2) = RD0 . A la vista del resultado expresado en (2.66) vemos que el flujo total recibido por el detector viene dado por α 0 = LΩ, (2.67) ΦD = L4π sin2 4 donde Ω = 4π sin2 ( α40 ) es el ´ angulo s´ olido que subtiende el detector desde la fuente y

L=

cǫ0 E02 2 .

Tema 2. El campo electromagnético

45

Es particularmente interesante considerar el caso en el que R0 ≪ D de modo que entonces ´ πR2 el ángulo sólido puede aproximarse a Ω ≈ D20 = Area . Esta aproximaci´ on ser´ a empleada D2 m´ as adelante. •

Suponga ahora que la fuente se desplaza una cantidad a en la direcci´ on del eje Z de modo que se verifica que a ≪ D. Obtenga la expresi´ on del flujo radiante que incide sobre el detector en estas condiciones. A partir de la expresión (2.63) el flujo radiante en la nueva situaci´ on vendr´ a dado por ΦD =

ZZ D A

Z Z D E E ~ ~ r) · dS ~ = P(~ P(~r) dS cos(β),

(2.68)

A

siendo β el ángulo indicado en la Figura 2.6.

Z

r R0

L1

a

Y b X

D

Figura 2.6: Esquema de la situación considerada. La fuente puntual se ha desplazado una distancia a respecto a la situaci´ on considerada en la Figura 2.5.

A la vista del resultado anterior, cabe esperar que el flujo radiante pueda expresarse de manera similar al obtenido en (2.67) donde ahora Ω ser´ a sustituido por el nuevo ángulo ′ s´ olido subtendido Ω . Si consideramos que D >> R0 podremos estimar el nuevo ángulo ´ , donde ahora el ´ area de la superficie corresponde a una elipse de sólido como Ω′ = Area L21 semiejes R0 y R0 cos(β). Teniendo en cuenta adem´ as que D = L1 cos(β) llegamos a que el ´ angulo s´ olido en la nueva situaci´ on ser´ a Ω′ = πR0 RL0 2cos(β) = Ω cos3 (β). Con lo cual 1 teniendo en cuenta las ecuaciones (2.67) y (2.68) llegamos a que el flujo radiante vendr´ a dado por ΦD = LΩ cos4 (β). •

(2.69)

Determinar el flujo luminoso si E0 = 2 V/m, R0 = 1 cm yD = 5 metros y la fuente est´ a enfrentada con el centro del detector.

´ Problemas de Optica F´ısica I

46

El flujo luminoso, ΦlD , es la magnitud fotométrica4 asociada al flujo radiante que es la magnitud radiométrica hasta ahora empleada. Para convertir la magnitud radiométrica a fotométrica basta tener en cuenta que ΦlD = Kyλ0 ΦD ,

(2.70)

donde K = 680 l´ umenes/Watio es el factor de conversi´ on com´ unmente aceptado e yλ0 es el valor de la curva de luminosidad est´ andard para la longitud de onda de interés (est´ a alculos indicados curva est´ a normalizada a la unidad en λ0 = 555 nm). Tras realizar los c´ en (2.70) llegamos a que el flujo luminoso es ΦlD = 0.000454 l´ umenes. •

Supongamos ahora que la fuente es extensa y de forma circular (radio Rf ). Asimismo suponga que cada punto de la fuente emite de manera is´ otropa y de manera independiente con respecto a la emisi´ on de otros puntos. Finalmente considere que el radio de la fuente verifica la condici´ on Rf ≪ D. Obtenga la expresi´ on del flujo radiante que incide sobre el detector en estas condiciones. En este caso lo interesante estriba en considerar justamente que los diferentes puntos de la fuente emiten de manera independiente, de forma que la contribuci´ on al flujo por parte de cada punto de la misma es independiente: en otras palabras vamos a hacer una “superposici´ on” incoherente de las irradiancias procedentes de cada punto. De esta manera, si tenemos en cuenta el resultado expresado en la ecuaci´ on (2.69), la contribuci´ on al flujo total de un punto desplazado una cantidad a dΦExt = LΩ cos4 (β)dxs dys , D

(2.71)

donde xs e ys son coordenadas en el plano de la fuente. Si expresamos la ecuaci´ on (2.71) en coordenadas polares tendremos dΦExt D

"

= LΩ p

D D 2 + ρ2s

#4

ρs dρs dφs .

(2.72)

Si sumamos a todos los puntos de la fuente se tendr´ a ΦExt = LΩπD 2 sin2 (β0 ), D

(2.73)

R donde β0 = arctan Df .

4 Ver G. Wyszecki, Color Science: concepts and methods, quantitative data and formulae, 2nd Edition, (John Wiley & Sons, New York, 1982), Caps. 1 y 2.

Tema 2. El campo electromagnético

47

2.13 Considere una carga q en el origen de coordenadas que ejecuta un movimiento oscilante en la direcci´ on del eje Z de la forma z(t) = A0 cos(ωt). Este movimiento acelerado produce emisi´ on de ondas electromagn´ eticas dadas por ~ t) = E(r, ~ t) = B(r,

q ˆ sˆ × sˆ × z ′′ (t′ )k, 4πǫ0 c2 r µ0 ′′ ′ ˆ z (t )k × sˆ 4πcr

(2.74)

donde t′ = t−r/c es el instante retardado y sˆ es un vector unitario en la direcci´ on de observaci´ on. Esta es la conocida expresi´ on del campo radiado por un dipolo oscilante en la “zona de ondas”. T´ engase en cuenta que en esta regi´ on los campos radiados cumplen la relaci´ on de transversalidad que hemos analizado para ondas planas. •

Expresar expl´ıcitamente el campo el´ ectrico de las ondas emitidas por la fuente. En primer lugar vamos a considerar la forma del vector unitario en la dirección de observación que est´ a dado por y x ˆı + ˆ + r r

sˆ =

zˆ k. r

(2.75)

De la misma manera evaluaremos la aceleraci´ on de la part´ıcula que vendr´ a dada por z ′′ (t′ ) = −ω 2 A0 cos (ωt − kr) .

(2.76)

Con lo cual nos resta realizar el triple producto vectorial indicado en (2.74) que resulta yz x2 + y 2 ˆ A0 qω 2 xz ~ k cos (ωt − kr) . (2.77) ˆı + 2 ˆ − E(r, t) = − 4πǫ0 c2 r r 2 r r2 •

Expresar expl´ıcitamente el campo magn´ etico de las ondas emitidas por la fuente. El campo magnético de las ondas emitidas est´ a dado por ~ t) = H(r,

1 ~ B. µ0

(2.78)

Realizando las operaciones indicadas en (2.78) llegamos a que el campo magnético se expresa de la siguiente manera ~ t) = − A0 qω H(r, 4πc •

2

h

−

x i y ˆ ı + ˆ cos (ωt − kr) . r2 r2

(2.79)

Expresar expl´ıcitamente el vector de Poynting asociado a las ondas emitidas por la fuente. Teniendo en cuenta la definici´ on del vector de Poynting y los resultados anteriores se llega fácilmente a que i 2 2 h 2 2 4 ~ t) = E(r, ~ t) × H(r, ~ t) = A0 q ω x + y x ˆı + y ˆ + z kˆ . P(r, 16π 2 ǫ0 c3 r 4 r r r ~ s. N´ otese que de la ecuación (2.80) se deduce que Pkˆ

(2.80)

´ Problemas de Optica F´ısica I

48 •

A una distancia D se coloca un detector circular de radio R0 . Determinar el flujo radiante del promedio temporal del vector de Poynting a trav´ es del a ´rea del detector. En este caso el vector unitario en la direcci´ on de observaci´ on es sˆ =

x D ˆı + ˆ + r r

zˆ k. r

(2.81)

Teniendo en cuenta que el elemento diferencial de ´ area en la superficie del detector est´ a ~ = dxdzˆ dado por dS  se tendr´ a que el flujo radiante sobre la superficie del detector vendr´ a dado por ZZ D E ~ r ) · dS. ~ ΦD = P(~ (2.82) A

Igual que en el problema anterior es preferible realizar la integral indicada en (2.82) en coordenadas polares de manera que el resultado final resulta ΦD =

A0 q 2 ω 4 2π 3 1 − cos (α ) , 0 2 × 16π 2 ǫ0 c3 3

(2.83)

donde α0 = arctan RD0 es el ´ angulo subtendido por el detector desde el emisor puntual considerado. Comp´ arese este resultado con el obtenido en (2.67). 2.14 Considere una fuente de ondas electromagn´ eticas esf´ ericas situada en el origen. •

~ i , y el Expresar el campo el´ ectrico de las ondas emitidas por la fuente, E ~i. vector de Poynting asociado, P De la misma manera que en el problema 12 de este Tema, el campo eléctrico vendr´ a dado por ~i = E

E0 cos(ωt − kr)ˆ u. r

(2.84)

De manera que el vector de Poynting se expresar´ a como 2

~ i = cǫ0 E0 cos2 (ωt − kr)ˆ P ur , r4

(2.85)

donde u ˆr = xr ˆı + yr ˆ + zr kˆ es un vector unitario en la direcci´ on de propagaci´ on. •

A una distancia D se coloca una lente plano-cil´ındrica cuyo di´ ametro es 2r0 . Determinar el flujo del promedio temporal del vector de Poynting que incide sobre la lente, Φi . Dada la geometr´ıa de la lente expresaremos los campos en coordenadas cil´ındricas (x, ρ, θ). De este modo el vector on de propagaci´ on vendrá dado p unitario en la direcci´ ρ x 2 2 por u ˆr = r ˆı + r ρˆ donde r = x + ρ . ~ = Rs dθs dxs ρˆs , El elemento diferencial de superficie sobre el cilindro viene dado por dS donde ρˆs es un vector unitario perpendicular a la superficie del cilindro. De modo que el flujo del promedio temporal del vector de Poynting viene dado por ZZ ZZ D E ρ cǫ 0 2 ~ = ~ i · dS cos(ǫ) 3 Rs dθs dxs , E0 (2.86) Φi = P 2 r A A

Tema 2. El campo electromagnético

49

Z

X

e

r

Rs y

q

qs x

Y

D

Figura 2.7: Esquema de la situación considerada donde se muestra una sección del cilindro perpendicular a la generatriz del mismo. donde ǫ es el ángulo que forman ρˆ y ρˆs (ver Figura 2.7 para detalles sobre la geometr´ıa involucrada). De la Figura 2.7 se deduce que ǫ = π − (θs + θ) de manera que cos(ǫ) = sin(θs ) sin(θ) − cos(θs ) cos(θ). Asimismo x = Rs [1 − cos(θs )] ,

y = Rs sin(θs ), q ρ = y 2 + (D + x)2 ,

sin(θ) = cos(θ) =

(2.87)

y , ρ D+x . ρ

De las igualdades obtenidas en (2.87) y sustituyendo en la ecuaci´ on (2.86) se obtiene la expresión del integrando. La integral no es anal´ıtica por lo que ha de recurrirse al an´ alisis numérico para estimar su valor: si llamamos L a la longitud del cilindro y θo al ángulo subtendido por el borde de la lente respecto al centro de la cara cil´ındrica se llega a obtener formalmente Φi = cǫ0 E02 Ω(L, θo ),

(2.88)

donde Ω(L, θo ) es el ángulo s´ olido que subtiende la superficie del cilindro que viene dado por " # Z θo Z −L/2 1 dxs . dθs cos(ǫ) ρRs Ω(L, θo ) = (2.89) 3 −θo −L/2 r

´ Problemas de Optica F´ısica I

50 •

Estimar la diferencia que existe entre el valor de Ω(L, θo ) y la aproximaci´ on 2θ0 Rs L de este valor por Ωap (L, θo ) = D2 . Suponer que D var´ıa entre 1 y 5 metros, que Rs = 50 mm, L = 50 mm y θo = π/6. Representar ambas magnitudes frente a la distancia. A partir de los resultados mostrados en la Figura 2.8 se deduce que conforme aumenta 3

2.5

W (x10-3)

2

1.5 1

0.5 0 1

1.5

2

2.5

3 D (m)

3.5

4

4.5

5

Figura 2.8: Representación gráfica de Ω(L, θo ) (∗) y de Ωap (L, θo ) (◦) en función de la distancia entre la lente y la fuente de ondas esféricas. la distancia la estimación del ´ angulo s´ olido dada por Ωap (L, θo ) se aproxima al resultado numérico. Este efecto es similar al seguido en el desarrollo de la aproximaci´ on efectuada en el problema 12 de este Tema5 . 2.15 Considere una fuente de ondas electromagn´ eticas esf´ ericas situada en el origen que emite en λ0 = 600 nm. •

~ i , as´ı Expresar el campo el´ ectrico de las ondas emitidas por la fuente. E ~ como el vector de Poyting, P. En este caso, al igual que en los problemas 12 y 14 de este Tema se tendr´ a E0 cos(ωt − kr)ˆ u, r y E2 = cǫ0 40 cos2 (ωt − kr)ˆ ur , r

~i = E

~i P

(2.90)

donde u ˆr = xr ˆı + yr ˆ + zr kˆ es un vector unitario en la direcci´ on de propagaci´ on y r = p 2 2 2 x + y + z , donde (x, y, z) son coordenadas respecto al punto en el que se encuentra la fuente de radiación. 5 La estimaci´ on numérica la hemos realizado de la siguiente manera: integrando anal´ıticamente la ecuaci´ on (2.89) en la variable xs y posteriormente empleando un método numérico de cuadratura.

Tema 2. El campo electromagnético

•

51

A una distancia s se coloca una lente convergente de focal f cuyo di´ ametro es 2r0 . Determinar el flujo del promedio temporal del vector de Poynting que incide sobre la lente, Φi , en la situaci´ on en la que |s| > |f |. Suponer que la fuente de radiaci´ on est´ a colocada en el eje ´ optico de la lente. En este caso se tiene una situaci´ on muy similar a la mostrada en la Figura 2.5, reemplazando el detector por la lente. De esta manera si suponemos que el ´ angulo s´ olido que subtiende la lente desde el emisor puede aproximarse por Ω≈

πr02 , s2

(2.91)

el flujo que incide sobre la lente vendr´ a dado, por similitud con la ecuaci´ on (2.66), por Φi ≈ •

cǫ0 E02 πr02 . 2 s2

Suponiendo que las p´ erdidas por reflexi´ on en la lente son despreciables, ~ e. expresar el campo el´ ectrico de las ondas que emergen de la lente, E En este caso vamos a tomar como origen de coordenadas el situado en la propia lente. Como sabemos la onda refractada converger´ a en un punto situado en el eje ´ optico que ′ dista de la lente s , donde se ha de verificar la relaci´ on de conjugaci´ on 1 1 − + ′ s s

•

(2.92)

=

1 , f′

(2.93)

siendo f ′ la focal imagen de la lente y hemos supuesto que el medio es vac´ıo. De esta manera la onda refractada por la lente vendr´ a dada por √ ~ e = E0 Ω cos(ωt + kr ′ )ˆ u, (2.94) E r′ p donde r ′ = x2 + z 2 + (y − s′ )2 . Impl´ıcitamente hemos asumido que el eje Y coincide con el eje óptico de la lente. Suponga ahora que se desplaza la lente hasta que la fuente est´ a en su foco objeto. Obtener la expresi´ on del campo el´ ectrico de las ondas que emergen ~ ef . El eje o ´ptico coincide con el eje Y . de la lente, E En este caso el haz de radiaci´ on que emerge de la lente es paralelo al eje ´ optico de la lente, de manera que el campo eléctrico vendr´ a dado por √ ~ e = E0 Ω cos(ωt − ky)circ(r0 )ˆ E u′ , (2.95) por simplicidad podemos suponer en lo que sigue que u ˆ′ = ˆ. En la ecuaci´ on (2.95) la función circ(r0 ) está definida como 1 si x2 + z 2 < r02 , (2.96) circ(r0 ) = 0 si x2 + z 2 > r02 .

•

Se coloca un detector circular de radio R0 = r0 . Este detector se puede mover en la direcci´ on del eje Z. Determinar el flujo que incide sobre el detector seg´ un la posici´ on relativa del detector con respecto al eje ´ optico de la lente, ΦD . Representar gr´ a ficamente el resultado para R = 20 mm. 0 D Para determinar el flujo que incide sobre el detector en esta situaci´ on, debemos especificar la separación relativa entre los centros de la lente y del detector, d. Esta situaci´ on se

´ Problemas de Optica F´ısica I

52

X

(a)

(b)

A2 R0 R0

A1

q

h

Z

d/2

Figura 2.9: (a) Situación relativa de la lente y el detector y (b) Cálculo del área de solapamiento A2 . ilustra en la Figura 2.9(a). De manera que para calcular el flujo necesitamos computar el area del detector sobre la que incide radiaci´ ´ on: esta ´ area es 4 veces la del sector en blanco mostrado en la Figura 2.9(b). Dado que el ´ area del sector es A12 = A1 + A2 = 2θ R02 p y que el ´ area del triángulo sombreado es A1 = 21 d2 h donde h = R02 − d2 /4. De esta manera el ´ area de interés resulta A2 = A12 − A1 . Finalmente el flujo que incide sobre el detector vendr´ a dado por q cǫ0 2 D 2 2 2 E Ω 4θR0 − d R0 − d /4 , (2.97) ΦD = 2 0 h i donde θ = arccos 2Rd 0 . En la Figura 2.10 se ha representado el factor de ´ area de optico el solapamiento 4A2 . Nótese que, como cabe esperar, al alejar el detector del eje ´ flujo captado disminuirá notablemente. El interés de este ejemplo radica en que nos informa no s´ olo acerca de la radiometr´ıa elemental involucrada, sino que adem´ as, puede ser de gran utilidad para estudiar este efecto en la formación de la imagen6 . Asimismo las nociones elementales de radiometr´ıa que se derivan tienen su interés ya que permiten fundamentar desde un punto de vista f´ısico, las relaciones entre la iluminaci´ on de un objeto y la imagen que proporciona de él un sistema óptico7 .

6

Naturalmente en la resoluci´ on del problema se han obviado los fen´ omenos de difracci´ on por la lente: un an´ alisis m´ as cuidadoso nos permitir´ıa incorporar estos detalles, sin embargo lo que pretendemos ilustrar en este problema y los anteriores es la fenomenolog´ıa b´ asica subyacente. 7

Asimismo es preciso hacer notar que en este problema y en el anterior, se ha considerado que las lentes son “perfectas”, en el sentido de que no introducen aberraciones en el frente de onda, lo cual constituye obviamente una simplificaci´ on.

Tema 2. El campo electromagnético

53

1400

1200

1000

4A1

800

600

400

200

0

0

5

10

15

20 d

25

30

35

40

Figura 2.10: Representación gráfica del área de solapamiento, 4A2 , en función de la distancia de separación entre los centros de la lente y del detector, d.

´ Problemas de Optica F´ısica I

54

PROBLEMAS PROPUESTOS Ondas electromagn´ eticas 2.1 Considere una onda plana, linealmente polarizada que se propaga en la direcci´ on +X en el vac´ıo. El plano de vibración es el Y Z y la direcci´ on de vibraci´ on forma un ´ angulo de 35o con el eje Y . La amplitud del campo es de 0.025 V/m y su frecuencia es de 1.02 GHz. ~ (a) Escribir la expresión del campo eléctrico, E. ~ (b) Escribir la expresión del campo magnético, H. ~ y determinar la irradiancia promedio de (c) Escribir la expresi´ on del vector de Poynting, P, la onda, I. ~ = (0, 0.025 cos 35o , 0.025 sin 35o ) cos 6.4088 × 109 t − 21.3628x . SOL: (a) E ~ = cǫ0 (0, −0.025 sin 35o , 0.025 cos 35o ) cos 6.4088 × 109 t − 21.3628x . (b) H ~ = cǫ0 0.0252ˆı cos2 6.4088 × 109 t − 21.3628x . (c) P I = 8.3 × 10−7 . (W/m2 ) 2.2 El vector campo eléctrico de una onda electromagnética est´ a dado por i h ~ E(x, t) = E0 sin(kx − ωt)ˆ  + cos(kx − ωt)kˆ , determinar:

(a) La direcci´ on de propagación, u ˆp . (b) El estado de polarización de la onda. ~ (c) El campo magnético, H. ~ · E, ~ E ~ · ˆı, E ~ ·H ~ yE ~ ∧ H. ~ Analizar los resultados obtenidos. (d) Calcular E SOL: (a) u ˆp = ˆı: La onda se propaga en la direcci´ on positiva del eje X. (b) La onda est´ a circularmente polarizada y el sentido de giro es lev´ ogiro. h i ~ = cǫ0 E0 − cos(kx − ωt)ˆ (c) H  + sin(kx − ωt)kˆ . 2.3 Una l´ ampara consume 100 W de potencia eléctrica. El 5% de la energ´ıa consumida se transforma en energ´ıa luminosa que se distribuye de manera is´ otropa. Determinar: (a) La amplitud del campo eléctrico a 6 metros de la fuente, E6 . (b) La amplitud del campo de inducci´ on magnética a 6 metros de la fuente, B6 . SOL: (a) E6 = 10.22 (V/m).(b) B6 = 3.409 × 10−8 (T).

Energ´ıa transportada por las ondas

Tema 2. El campo electromagnético

55

2.4 Considere una fuente isótropa de ondas esféricas situada en el punto O (origen de coordenadas en lo que sigue). Considerar que la regi´ on de interés carece de cargas y corrientes y que la amplitud del campo eléctrico emitido a 1 m de la fuente es E0 . (a) Determinar el flujo del vector de Poynting a través de una esfera de radio R1 , Φ1 . (b) Determinar el flujo del vector de Poynting a través de una esfera de radio R2 , Φ2 (R2 > R1 ). (c) Empleando el principio de conservaci´ on de la energ´ıa, razonar que el campo eléctrico para ondas esféricas var´ıa inversamente con la distancia. SOL: (a) Φ1 =

cǫ0 E02 2 4π.(b)

Φ2 =

cǫ0 E02 2 4π

= Φ1 .

2.5 Considere una fuente de ondas electromagnéticas esféricas situada en el origen. ~ i. (a) Expresar el campo eléctrico de las ondas emitidas por la fuente, E ~i. (b) Expresar el vector de Poynting de las ondas emitidas, P

(c) A una distancia f se coloca una lente convergente cuyo di´ ametro es 2r0 . Determinar el flujo del promedio temporal del vector de Poynting que incide sobre la lente, Φi , sin realizar aproximaciones relativas al ´ angulo s´ olido. (d) Suponiendo que las pérdidas por reflexi´ on en la lente son despreciables, expresar el campo ~ e . Considere que el eje ´ eléctrico de las ondas que emergen de la lente, E optico de la lente coincide con el eje Y .

~ i (~r, t) = SOL: (a) E

E0 r

cos(ωt − kr)ˆ u.

2

~ i (~r, t) = cǫ0 E20 cos2 (ωt − kr)ˆ (b) P ur . r con α0 = arctan 2rf 0 . q ~ e (~r, t) = E0 circ(r0 ) 4π sin2 ( α0 ) cos(ωt − ky)ˆ . (d) E 2 (c) Φi =

cǫ0 E02 2 α0 2 4π sin ( 2 )

2.6 Un haz láser emite un pulso de longitud de onda λ0 = 291 nm. Cada pulso tiene una duraci´ on aproximada de 1 ns y el haz l´ aser tiene un di´ ametro transversal de 2 mm. Considerar que cada pulso tiene una energ´ıa de 4 J. (a) Calcular la extensi´ on espacial del tren de ondas, L. (b) Calcular la energ´ıa por unidad de volumen del pulso de luz, Uv . SOL: (a) L = 0.3 m y (b) Uv = 4.24 × 106 (J/m3 ). 2.7 Un haz de luz de sección circular y di´ ametro 5 mm tiene una potencia de 125 mW, est´ a linealmente polarizado en la direcci´ on del eje Z y se propaga en la direcci´ on del eje X. ~ as´ı como la expresi´ (a) Escribir la expresi´ on del campo eléctrico asociado a la onda, E, on ~ del vector de Poynting, P.

(b) El haz incide sobre una pared con un ´ angulo de 20o , determinar cuantitativamente la forma y el tama˜ no de la regi´ on iluminada en la pared.

(c) Determinar el flujo del vector de Poynting que incide en el ´ area iluminada en la pared, ΦS .

´ Problemas de Optica F´ısica I

56

~ = 2189.89 cos(ωt − kx)kˆ (V/m). SOL: (a) E ~ P = 1.27324 cos 2 (ωt − kx)î (W/m2 ). (b) Se trata de una elipse de semiejes a = 2.5 mm y b = 2.5 cos 20o mm. (c) ΦS = 0.125 W. 2.8 Un haz de luz colimado de longitud de onda λ0 = 500 nm e irradiancia Ii = 1 mW/m2 incide sobre un ojo reducido con las siguientes caracter´ısticas r = 5 mm y n = 4/3. Se sabe que la retina del observador está colocada a 25 mm del vértice del dioptrio. (a) Determinar el flujo de energ´ıa, Φi , que incide en la pupila del observador (φp = 4 mm) que está colocada en el vértice del dioptrio. Determinar asimismo el flujo luminoso, Φl sabiendo que y(λ0 = 500) = 0.323. (b) Determinar si el observador es emétrope o no. (c) Si tras refractarse en el dioptrio, la radiaci´ on se concentra en el foco del dioptrio en una λ0 regi´ on que subtiende un ángulo θ = 1.22 φp desde el vértice del dioptrio, determinar la irradiancia en la retina, Ir . (d) Se desea acoplar una lente a 12 mm del vértice del dioptrio de modo que un haz colimado que incida sobre este sistema se focalice en la retina, determinar cu´ al ha de ser la potencia en aire de esta lente, ϕL . (e) Determinar la irradiancia en la retina en la nueva situaci´ on, Ic , despreciando las pérdidas por reflexi´ on. SOL: (a) Φi = 1.2566 × 10−8 (W) y Φl = 2.759 × 10−6 l´ umenes. (b) El observador considerado ser´ıa miope toda vez que el haz converge antes de la retina. (c) Ir = 1.599 × 10−2 (W/m2 ). (d) ϕL = −15.873 (m−1 ). (e) Ic = 8.563 × 10−2 (W/m2 ). 2.9 Una onda electromagnética plana de amplitud E0 = 10 V/m y de longitud de onda λ0 = 500 nm se propaga en el vac´ıo en la direcci´ on del vector ~k (ver Figura 2.11). ~ y magnético, H, ~ en coordenadas (a) Escribir las expresiones completas del campo eléctrico, E, cartesianas si la onda est´ a linealmente polarizada perpendicular al plano ZY . (b) Calcular la irradiancia de la onda, I, y la potencia, ΦD , que incide sobre la superficie cuadrada de 5 mm de lado de un detector situado perpendicularmente a la direcci´ on de propagación y situdado a una distancia de 1 m del origen de coordenadas (ǫ0 = 8.85 × 10−12 F/m). (c) Calcular la irradiancia de la onda si la distancia del detector al origen de coordenadas es de 6 m, I6 .

(d) Se gira el detector hasta que se coloca perpendicular al eje Y . Determinar en esta nueva situación la potencia que incide sobre el detector, ΦgD . ~ = 10 cos 1.2566 × 108 (y cos 30o + z sin 30o ) − 3.7699 × 1015 t ˆı. SOL: (a) E ~ = 0.02655 cos 1.2566 × 108 (y cos 30o + z sin 30o ) − 3.7699 × 1015 t sin 30o ˆ − cos 30o kˆ . H

(b) I = 0.13275 (W/m2 ) y ΦD = 3.32 × 10−6 (W). (c) I6 = 0.13275 (W/m2 ) (d) ΦgD = 2.87 × 10−6 (W).

Tema 2. El campo electromagnético

57

Z

X detector

k

30o

Y

Figura 2.11: Esquema de la situación considerada. Inicialmente el detector se coloca perpendicular al vector ~k.

2.10 Se coloca un tubo de plasma en una cavidad resonante ´ optica (dos espejos planos de alta reflectividad paralelos entre s´ı una distancia L). Determinar: (a) La forma de las ondas estacionarias que pueden establecerse en la cavidad. (b) La condici´ on para que una cierta frecuencia esté establecida (frecuencias normales de resonancia). Expresarla en términos de la longitud de la cavidad. (c) Suponer que el tubo de plasma emite luz centrada en ν0 = 5 × 1014 Hz con un ancho espectral ∆ν = 0.9 × 109 Hz indicado en la Figura 2.12. El valor de ∆ν es tal que todos las frecuencias que estén en el intervalo [ν0 − ∆ν, ν0 + ∆ν] se ver´ an excitadas por el tubo de plasma y el resonador. ¿Cu´ antas frecuencias, Nν se excitan si L = 1.2 m? (d) Determinar el valor de L para el que s´ olo se excite una sola frecuencia, L1 . SOL: (b) Condici´ on de resonancia: ka = mπ con m n´ umero natural. c Equivalentemente νm = m 2L . (c) Nν = 7 modos (longitudinales) excitados y (d) L1 = 0.1ˆ 6 (m). 2.11 Considere un cubo uniforme de lado a cuyas paredes son met´ alicas. El cubo se calienta uniformemente a una temperatura T . Como consecuencia del calentamiento los electrones del metal son acelerados y emiten radiaci´ on en diferentes frecuencias. (a) Establecer la condici´ on para que se obtengan ondas estacionarias dentro de la cavidad, teniendo en cuenta que en la superficie del metal el campo eléctrico ha de anularse. (b) Establecer la condici´ on de las frecuencias permitidas, ωper . (c) Derivar el n´ umero de ondas estacionarias por intervalo de frecuencia y unidad de volumen ˆ (ω). de la cavidad, teniendo en cuenta los diferentes estados de polarizaci´ on, N

´ Problemas de Optica F´ısica I

58

(a)

(b)

tubo de plasma Dn

L n0

Figura 2.12: (a) Esquema del resonador y el tubo de plasma y (b) Curva de ganancia. (d) Teniendo en cuenta que cada onda estacionaria tiene una energ´ıa promedio E = kT , determinar la energ´ıa por unidad de volumen en cada intervalo espectral ρT (ω) (f´ ormula de Rayleigh-Jeans). (e) Buscar bibliograf´ıa sobre este fen´ omeno de radiaci´ on del cuerpo negro que explique porqué y d´ onde falla el razonamiento anterior. p n21 + n22 + n23 donde n1 , n2 y n3 son n´ umeros naturales positivos. SOL: (a) y (b) ωper = cπ a d N (ω) 1 2 ˆ (c) N (ω) = dV = π2 c3 ω dω, donde se ha tenido en cuenta los dos posibles estados de polarización posibles para cada modo. (d) ρT (ω) = π21c3 ω 2 kT dω.

TEMA 3 Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

Si consideramos una regi´ on del espacio en la que no hay cargas ni corrientes, las ecuaciones de Maxwell admiten soluciones en forma de ondas que se propagan con la velocidad de la luz en el vac´ıo. As´ı pues las perturbaciones electromagnéticas que se originan en unas regiones pueden llegar a afectar a las cargas que hay en otras regiones muy distantes. Las ecuaciones de onda que hemos visto en el Tema 2 admiten soluciones en forma de ondas planas y hemos obtenido asimismo la energ´ıa asociada a la propagación de tales ondas. Sin embargo esto no nos dice cu´ al es el origen de las ondas electromagnéticas. La teor´ıa cl´ asica de la radiaci´ on justamente da cuenta de este hecho.

Teor´ıa cl´ asica de la radiaci´ on Las distribuciones de cargas, ρ(~r, t), y corrientes, ~j(~r, t), son los términos fuente que aparecen en las ecuaciones de Maxwell para dar cuenta del origen de la radiaci´ on electromagnética. As´ı, para unas distribuciones dadas, el problema consiste en resolver las ecuaciones de Maxwell que incorporen estas distribuciones. De particular relevancia es el caso en el que las variaciones temporales de estas distribuciones son arm´ onicas. Justamente el teorema de Fourier establece que cualquier perturbación puede sintetizarse en términos de funciones arm´ onicas. El movimiento acelerado de las cargas es en u ´ltima instancia el origen de las ondas electromagnéticas: se puede acudir al formalismo del electromagnetismo y formular este problema en términos de los potenciales escalar y vectorial, o bien, puede obtenerse este resultado mediante el procedimiento ideado por J. J. Thomson para determinar el campo eléctrico de una carga eléctica que ha sido acelerada durante un breve lapso de tiempo1 . Mediante este u ´ltimo procedimiento, y empleando la ley de Gauss para el campo eléctrico, puede demostrarse que adem´ as de la componente radial del campo, conocida por el lector que haya seguido un curso de “F´ısica General”, y que var´ıa con el inverso del cuadrado de la distancia, aparece una nueva componente tangencial que var´ıa con el inverso de la distancia. Esta u ´ltima componente es la asociada a los campos radiados por la carga 1 Para ver m´ as detalles de este procedimiento sugerimos que se consulte el trabajo debido a J. R. Tessman y J. R. Finnel “Electric field of an accelerating charge”, Am. J. Phys. 35 523-527 (1967).

59

´ Problemas de Optica F´ısica I

60

acelerada, y dada su forma de variar con la distancia es la que explica el largo alcance de las ondas radiadas. Por otro lado precisamos de un modelo de materia, cl´ asico, que nos permita describir c´ omo interacciona la radiación con los elementos consitutivos de un medio material. Adoptaremos el as´ı llamado “modelo de ´ atomo de Lorentz” que, aunque se ha revelado limitado, da cuenta de una gran variedad de fenómenos. En este modelo la materia est´ a consituida por ´ atomos y asociaciones de átomos. Cada uno de estos ´ atomos a su vez est´ a consituido por asociaciones de cargas positivas y negativas que de alguna manera se enlazan establemente. Por simplicidad consideraremos que la carga negativa est´ a distribuida uniformemente en torno al n´ ucleo. De esta manera, cuando sobre un átomo incide una onda electromagnética de una frecuencia dada, la distribuci´ on de carga negativa se deformar´ a: decimos que el campo externo induce un momento dipolar. Este momento dipolar es oscilante también y con la misma frecuencia que el campo externo, siempre y cuando los campos aplicados sean de peque˜ na amplitud comparados con los campos eléctricos inter-at´ omicos e intraatómicos. Si este es el caso, diremos que estamos en el marco de la o ´ptica lineal. En raz´ on de su naturaleza los mecanismos de polarizaci´ on de la materia pueden agruparse en tres grandes grupos: polarización electr´ onica, asociada a las deformaciones de las nubes electr´ onicas, polarizaci´ on i´ onica, asociada a los movimientos relativos entre los iones que constituyen las moléculas, y polarizaci´ on orientacional, que est´ a relacionada con las rotaciones, libres o forzadas, de las moléculas. En lo que sigue nos vamos a centrar en el mecanimos de polarizaci´ on electr´ onica. Bajo la acci´ on de un campo externo de frecuencia ω, la nube de carga electr´ onica se deformar´ a. Si cesase este campo externo debemos de esperar que la nube electr´ onica recupere el estado inicial al cabo de un cierto tiempo: esta situaci´ on la podemos modelar mediante el empleo de una fuerza restauradora lineal de constante k0 , de manera que la ecuaci´ on de movimiento del electr´ on la podemos escribir como

me

X d2~r ~ext , F + k0~r = 2 dt

(III-1)

donde la suma se extiende a todas las fuerzas externas. En el caso que nos ocupa, trataremos con la ley de fuerzas de Lorentz (ver Tema 2). Si las velocidades de los electrones son menores que c, entonces la ecuación (III-1) puede reescribirse como d2~r + ω02~r ≈ d t2

q ~ q ~ E = E0 cos(ωt), me me

(III-2)

p ~ es el campo eléctrico de la fuerza que act´ donde E ua sobre el ´ atomo y ω0 = k0 /me es la “frecuencia natural” de oscilación del ´ atomo. En la ecuaci´ on (III-2) ~r representa el desplazamiento de la carga ~ 0. respecto a la situación de equilibrio y cumple que ~r k E

La solución de la ecuación de movimiento (III-2) se establece sin la menor dificultad y nos indica que la carga est´ a acelerada bajo la acci´ on del campo incidente:

~r =

q 1 ~ 0 cos(ωt) = qr0 E ~ 0 cos(ωt). E 2 me ω 0 − ω 2

(III-3)

Esta aceleración de la carga negativa tiene como efecto la reemisi´ on de ondas electromagnéticas. Si la distancia entre el lugar donde se observa el campo radiado, R0 , y el punto en el que se encuentra

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

61

el átomo (el origen) cumple2 que λ ≪ R0 , el campo radiado viene dado por la expresi´ on ~ R ~ 0 , t) ≈ E(

s×~ p ′′ (t′ )] 1 sˆ × [ˆ , 4πǫ0 c2 R0

~ 0 , t) ≈ B(R

µ0 p~ ′′ (t′ ) × sˆ , 4π cR0

(III-4)

~ 0 es el momento dipolar inducido y sˆ es un vector unitario en la donde p~ = q~r = qr0 cos(ωt)E dirección de observación. En la ecuaci´ on (III-4), las derivadas una vez realizadas se eval´ uan en on de la el instante retardado t′ = t − R0 /c, que da cuenta de la velocidad finita de propagaci´ perturbación. N´ otese que los campos eléctrico y de inducci´ on magnética dados en (III-4) cumplen la relación de transversalidad de las ondas planas. Adicionalmente es f´ acil convencerse de que si el campo excitador es de frecuencia ω, los campos radiados por un ´ atomo son de la misma frecuencia y se propagan a la velocidad de la luz en el vac´ıo. La potencia media radiada por un ´ atomo, Pm , se puede determinar computando el flujo del vector de Poynting a través de una superficie esférica resultando ser Pm =

q 2 r02 ω 4 . 12πǫ0 c3

(III-5)

Al modelo que hemos presentado le falta incorporar un hecho importante: dado que el ´ atomo emite radiación, si cesa el campo excitador cabe esperar que el movimiento acabe amortiguándose ya que no hay fuerza exterior que mantenga el movimiento. Este efecto del amortiguamiento lo podemos modelar como una fuerza de fricci´ on, F~r , que ser´ a esencialmente proporcional a la velocidad en la forma q 2 ω02 d~r d~r F~r ≈ − = −Γ . 3 6πǫ0 c dt dt

(III-6)

Esta nueva fuerza ha de incorporarse a la ecuaci´ on de movimiento (III-1) con lo que queda completado el esquema del modelo clásico del ´ atomo. En particular la ecuaci´ on (III-3) quedar´ıa ahora como 1 q ~ 0 cos(ωt), ~r = E (III-7) 2 me ω0 − ω 2 + iγω on para el momento dipolar donde γ = Γ/me . A partir de (III-7) se puede obtener una expresi´ como ~ 0, p~ = q~r = α(ω) E

(III-8)

donde α(ω) es la polarizabilidad atómica. Podemos resumir el esquema de la interacci´ on de la radiaci´ on con la materia en un pictograma como el que se representa en la Figura III-1: las ondas electromagnéticas est´ an descritas en términos de las ecuaciones de Maxwell, la materia est´ a modelada mediante ´ atomos que est´ an sujetos a restricciones (fuerzas recuperadoras lineales). La interacci´ on aparece como una suerte de acoplo entre la materia y el campo (interacci´ on electro-mec´ anica).

Procesos de esparcimiento y absorci´ on 2

A esta condici´ on se la denomina radiaci´ on en la zona de ondas.

´ Problemas de Optica F´ısica I

62

RADIACION

ECUACIONES DE MAXWELL radiación dipolar

MEDIO

RADIACION

COLECCION DE DIPOLOS SOMETIDOS A RESTRICCIONES (w0)

Figura III-1: Esquema interpretativo de la electrodinámica clásica. En los sistemas materiales las distancias entre ´ atomos van a depender del estado de agregaci´ on: en un sólido o en un l´ıquido las distancias entre part´ıculas vecinas son relativamente estables en comparación con el caso de un gas, en el que la agitaci´ on térmica tiende a desordenar a cada instante la configuración. Hemos visto que un ´ atomo aislado cuando es excitado por una onda electromagnética produce ondas de la misma frecuencia pero ¿qué ocurre cuando tenemos una colección de ´ atomos suficientemente elevada, digamos 1022 ´ atomos/cm3 ? La respuesta a esta pregunta va a depender de dos cosas: por un lado de la frecuencia de la onda incidente y, por otro, de la distancia entre átomos en comparaci´ on con la longitud de onda de la radiaci´ on incidente. Si los átomos est´ an separados una distancia mayor que la longitud de onda, cada uno de ellos se comportará como un centro que esparce la radiaci´ on de acuerdo con (III-4), de tal manera que en un punto dado de observación las ondas reirradiadas por cada centro se superponen sin correlaci´ on de sus fases, por lo que no tiene lugar ning´ un fen´ omeno “interferencial” que cancele la radiaci´ on en alguna direcci´ on: de ah´ı el nombre “esparcimiento”. Por otro lado de la ecuaci´ on (III-4) se infiere que un ´ atomo aislado emite radiaci´ on dipolar en todas direcciones excepto en la direcci´ on de vibración del campo excitador, supuesto éste linealmente polarizado. Tenemos ejemplos cotidianos de este esparcimiento que se pueden observar al contemplar el humo de un cigarrillo lateralmente: en particular si dirigimos la voluta de humo hacia un haz l´ aser veremos cu´ al es el “camino” del mismo. En los s´ olidos que contienen impurezas este efecto del esparcimiento también puede observarse con facilidad. Sin embargo el esparcimiento no parece explicar la transparencia de algunos medios materiales: consideremos una experiencia elemental como iluminar con un haz de luz visible de secci´ on circular un vidrio de ventana: veremos que s´ olo existe luz en la direcci´ on del rayo refractado y no en todas direcciones, como parece inducirse de lo visto anteriormente. Esto es as´ı ya que en un s´ olido, como el vidrio, la distancia entre átomos, que es del orden de unos pocos angstroms, es mucho menor que la longitud de onda. Ciertamente, cada ´ atomo del vidrio reemite la radiaci´ on de ondas en todas las direcciones y el campo eléctrico total ser´ a la suma coherente de los campos radiados por todos los átomos. Aqu´ı radica la diferencia fundamental entre el proceso de esparcimiento incoherente anteriormente mencionado y este otro, en el que las interferencias de las ondas radiadas juega un

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

átomos

B

63

l/2

E ondas reirradiadas en fase con la onda incidente

k onda incidente

ondas reirradiadas en oposición de fase

Figura III-2: Esparcimiento coherente de la radiación por los osciladores atómicos inducidos por el campo excitador en un elemento de volumen del medio.

papel primordial. En efecto, las fases de las ondas, debido a la cercan´ıa de los emisores at´ omicos, mantienen relaciones de fase estables que dan lugar a los fen´ omenos de reflexi´ on, refracci´ on y absorción. Para convencerse de ello, consideremos un s´ olido o un medio gaseoso subdividido en elementos de volumen en forma de cubos de lado λ/2 como se indica en la Figura III-2: la radiaci´ on esparcida por dos ´ atomos adyacentes en la direcci´ on de propagaci´ on de la onda estar´ a en fase, sin embargo en la direcci´ on perpendicular a la de avance de la onda, las fases de las ondas radiadas por dos átomos vecinos est´ a en oposici´ on de fase. Si los elementos de volumen contienen exactamente otese adicionalmente el mismo n´ umero de ´ atomos, la cancelaci´ on de la onda ser´ a total a 90o . N´ que además de la proximidad entre los osciladores at´ omicos, se necesita una uniformidad en la distribución, as´ı como la ausencia de fluctuaciones para que haya cancelaci´ on. A partir de lo anterior podemos vislumbrar el origen de la onda refractada como resultado de la superposición de la onda incidente y las ondas radiadas por todos los osciladores at´ omicos. Si tenemos en cuenta cómo es el campo radiado por un oscilador individual, empleando las ecuaciones (III-4) y (III-7), veremos que la onda radiada tiene la misma frecuencia del campo excitador, se propaga con una velocidad igual a c pero que no est´ a en fase con aquel. Al superponer las ondas radiadas por todos los ´ atomos, aparece un desfase neto que se aproxima a π/2. De esta manera el campo resultante será la superposici´ on del campo incidente y del campo radiado por todos los átomos, con lo cual la onda resultante se retrasa una cierta cantidad respecto de la onda incidente y, equivalentemente, la velocidad de la onda resultante es menor que c, a pesar de que las ondas radiadas por cada ´ atomo individualmente se propague con velocidad c: este es justamente el origen microscópico del ´ındice de refracci´ on. Para medios poco densos y siguiendo a Feynman3 , podemos obtener una expresión para el ´ındice de refracci´ on, n(ω), que experimenta una onda de frecuencia

3

Véase R. P. Feynman, F´ısica, (Addison-Wesley, Wilmington, 1987), Vol I.

´ Problemas de Optica F´ısica I

64 ω dentro de un medio material que viene dado por la expresi´ on n(ω) = 1 + q

ωp2 1 , ≡ nr (ω) − iκ(ω), 2 ω02 − ω 2 + iγω

(III-9)

2

donde ωp = mNe ǫq0 c2 es la frecuencia de plasma y N es el n´ umero de ´ atomos por unidad de volumen. As´ı pues la onda refractada es el resultado de una superposici´ on coherente de m´ ultiples ondas que sólo interfieren constructivamente en una direcci´ on, que coincide con las predicciones de la óptica geométrica, a saber, ni sin θi = nt sin θt . Análogamente al caso de la onda refractada, la onda reflejada se obtendr´ a como la superposici´ on de las ondas radiadas por los átomos del medio material “hacia atr´ as”. Un an´ alisis similar al que hemos indicado para mostrar el origen de la onda refractada, mostrar´ıa que la onda reflejada es el resultado de una superposici´ on coherente de m´ ultiples ondas que s´ olo interfieren constructivamente en una dirección, que coincide con las predicciones de la ´ optica geométrica, a saber, θi = θr . El fenómeno de la absorci´ on se produce cuando la onda que incide sobre el medio material tiene una frecuencia que es cercana a la frecuencia natural de los osciladores at´ omicos: en este caso se dice que éstos entran en “resonancia”. Puede demostrarse que en este caso las ondas reirradiadas por todos los átomos están en oposici´ on de fase con la onda incidente, de modo que el campo total dentro del medio se reduce enormemente: la radiaci´ on es absorbida y la energ´ıa cedida por el campo se transforma en otras formas de energ´ıa. Este efecto se manifiesta en el hecho de que la parte imaginaria del ´ındice de refracci´ on toma valores apreciables para frecuencias en el entorno ~ in , para frecuencias de ω0 ; en otros términos, la onda que se establece dentro del medio material, E cercanas a ω0 es una onda que se amortigua exponencialmente ~ in ≈ E~0 e−k0 κ(ω)y ei(ωt−k0 nr (ω)y) . E

(III-10)

A partir de (III-10) se concluye que la irradiancia en el interior disminuye exponencialmente (ley de Lambert-Beer). La regi´ on de frecuencias en el entorno de ω0 se denomina habitualmente zona de dispersi´ on an´ omala, en tanto que a las regiones alejadas de la frecuencia de resonancia se las denomina zonas de dispersi´ on normal. En la regi´ on de dispersi´ on normal se pueden obtener una expresi´ on m´ as sencilla para la parte real del ´ındice de refracci´ on de la forma nr (λ) ≈ A +

B , λ2

(III-11)

conocida como relación de Cauchy, donde A y B son constantes, o bien relaciones m´ as generales que incorporan las longitudes de onda de la resonancia debida a Sellmeier nr (λ) ≈ A′ +

B′ . λ2 − λ20

(III-12)

Si el material tiene varias frecuencias de resonancia, ω0j , la relaci´ on (III-9) incorporar´ a nuevos términos y queda de la forma n(ω) = 1 +

ωp2 X 1 . 2 2 ω0j − ω 2 + iγj ω j

(III-13)

Es notable que el modelo cl´ asico empleado predice con un razonable acuerdo lo que teor´ıas m´ as completas como la cuántica proporcionan en lo que ata˜ ne al ´ındice de refracci´ on que experimenta una onda.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

65

Reflexi´ on y refracci´ on en medios is´ otropos Las ondas reflejada y transmitida por un medio material aparecen como consecuencia de la interacción de la onda incidente con los elementos microsc´ opicos que constituyen el medio. Si ~ T (~r, t) es la suma consideramos un punto dado de un medio dieléctrico, el campo eléctrico total E i ~ (~r, t), y del campo radiado por todos los dipolos inducidos en el medio, del campo incidente, E ~ Ed (~r, t). Lo anterior no es más que la verbalizaci´ on del principio de superposici´ on. Si consideramos el valor del campo en un punto de coordenadas ~r, el campo total es X

~ T (~r, t) = E ~ i (~r, t) + E

~ d (r~′ , ~r, t), E

(III-14)

todos los a ´tomos

~ d (r~′ , ~r, t) es el campo radiado por un ´ donde E atomo colocado en r~′ en el punto ~r. En la expresi´ on (III-14) la suma se puede reemplazar por una integral extendida a todo el volumen del medio, si consideramos que la distancia entre ´ atomos es mucho menor que la longitud de onda de la radiación incidente. El problema formal formulado en (III-14) se conoce con el nombre de Teorema de extinci´ on, formulado originalmente por Ewald y Oseen4 .

Z

r’

Y i

r

E2

i

E^

X

Figura III-3: Esquema del planteamiento del teorema de extinción. La onda incidente en principio puede ~ i , y una componente perpendicular tener una componente paralela al plano de incidencia (plano ZY ), E k ~ i . Para y < 0 la onda experimenta un ´ındice ni y para y > 0 al plano de incidencia (paralela al eje X), E ⊥ la onda experimenta un ´ındice nt . 4 Para m´ as detalles pueden consultarse M. Born & E. Wolf, Principles of Optics, (Pergamon Press, Oxford, 1980). Asimismo son interesantes los clarificadores trabajos de H. Fearn, D. F. V. James and P. Milonni, “Microscopic approach to reflection, transmission, and the Ewald-Oseen extinction theorem”, Am. J. Phys. 64 986-995 (1995), G. C. Realli, “Reflection from dielectric materials”, Am. J. Phys. 50 1133-1136 (1982) y G. C. Realli, “Exact solutions of equations of molecular optics for refraction and reflection of an electromagnetic wave on a semi-infinite dielectric”, J. Opt. Soc. 72 1421-1424 (1982).

´ Problemas de Optica F´ısica I

66

Si consideramos que la onda incidente es plana y de frecuencia ω, muy alejada de las frecuencias de resonancia de los ´ atomos, entonces la soluci´ on del problema planteado (ver Figura III-3) proporciona una relación entre la polarizabilidad electr´ onica, α(ω), y el ´ındice de refracci´ on, n(ω), que experimenta la onda dentro del medio material n2 (ω) − 1 n2 (ω) + 2

=

N α(ω) . 3

(III-15)

La relación (III-15) se conoce con el nombre de relaci´ on de Lorentz-Lorenz, y para medios poco densos se reduce a la expresión (III-9). Asimismo el citado Teorema predice el hecho de que el campo producido por todos los ´ atomos produce dos ondas: una onda idéntica a la onda incidente pero desfasada en π respecto a ella, por lo tanto cancela a la onda incidente, y otra onda que hemos convenido en llamar la onda refractada que cumple la ley de Snell de la refracci´ on, y cuya velocidad de fase es inferior a la velocidad de las ondas en el vac´ıo. Este formalismo nos permite establecer las relaciones entre las amplitudes de las ondas transmitidas y reflejadas respecto a la onda incidente: estas relaciones se conocen con el nombre de relaciones de Fresnel5 , que vienen dadas por rk = r⊥ =

nt cos(θi ) − ni cos(θt ) , ni cos(θt ) + nt cos(θi ) ni cos(θi ) − nt cos(θt ) , ni cos(θi ) + nt cos(θt ) (III-16)

tk = t⊥ =

2ni cos(θi ) , ni cos(θt ) + nt cos(θi ) 2ni cos(θi ) . ni cos(θi ) + nt cos(θt )

Las expresiones (III-15) dan cuenta desde el punto de vista electromagnético de hechos conocidos como la reflexi´ on total, en la que se obtiene que |rk | = |r⊥ | = 1, y un nuevo fen´ omeno que es el denominado ´ angulo de polarizaci´ on: para un determinado ´ angulo de incidencia θp , se tiene que alisis microsc´ opico revela el origen de este comportamiento peculiar: para este ángulo rk = 0. El an´ de incidencia los radiadores atómicos se ponen a oscilar dentro del medio material en una direcci´ on que coincide con aquella en la que deber´ıa de aparecer el rayo reflejado: dado que los ´ atomos no emiten radiación en la direcci´ on de oscilaci´ on, no habr´ a onda reflejada en este caso6 . Otro aspecto relevante del an´ alisis anterior tiene que ver con las relaciones energéticas involucradas, esto es, las fracciones de energ´ıa reflejadas y transmitidas cuando una onda incide desde un medio material a otro medio. Para ello tengamos en cuenta que el flujo de energ´ıa que incide sobre un elemento de ´ area que separa los dos medios vendr´ a dado por ZZ ~ ·P ~i, Φi = dS (III-17) ~ i es el vector de Poynting de la onda incidente y dS ~ es un elemento diferencial del ´ donde P area considerada. Parte de la radiación será reflejada y parte ser´ a transmitida, por lo que teniendo en 5 En los tratamientos usuales de los textos de o ´ptica f´ısica la obtenci´ on de estas expresiones hace uso de las condiciones de contorno de los campos electromagnéticos: esta descripci´ on oculta el proceso de interacci´ on de la radiaci´ on con la materia a través de las llamadas relaciones constitutivas y las condiciones de frontera que han de verificar los campos electromagnéticos. 6

´ Para m´ as detalles véase E. Hetch, Optica, (Addison Wesley, Madrid, 2000).

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

67

cuenta el principio de conservación de la energ´ıa podremos igualar la expresi´ on (III-17) a los flujos de energ´ıa reflejada más el de la onda transmitida ZZ ZZ ZZ ~ ·P ~i = ~ ·P ~r + ~ ·P ~t, dS dS dS (III-18) ~r y P ~ t son los vectores de Poynting de las ondas reflejada y transmitida respectivamente. donde P De la expresi´ on (III-18) llegamos a que

y

Rk + Tk = 1,

(III-19)

R⊥ + T⊥ = 1, donde R y T hacen mención a la reflectancia y la transmitancia respectivamente. Estos coeficientes pueden reescribirse de la siguiente manera:

y

Rk = |rk |2 y R⊥ = |r⊥ |2 ,

(III-20)

nt cos θt nt cos θt 2 |tk | y T⊥ = |t⊥ |2 . Tk = ni cos θi ni cos θi

Medios anis´ otropos Los medios materiales dieléctricos anis´ otropos exhiben propiedades novedosas con respecto a los medios isótropos: en particular el comportamiento depende de c´ omo sea la orientaci´ on del campo eléctrico excitador. Esto es as´ı en la medida en la que la forma, orientaci´ on y localizaci´ on espacial de los átomos tiene especial relevancia al considerar la interacci´ on con el campo eléctrico. Si se sigue adoptando el modelo de ´ atomo de Lorentz, podemos buscar el fundamento microsc´ opico de este comportamiento en el hecho de que, bajo la acci´ on del campo excitador, las fuerzas restauradoras que ligan a los electrones a los n´ ucleos dependen de la orientaci´ on del campo externo7 : esta situación se representa en la Figura III-4a. Esto se traduce necesariamente en el hecho de que la polarizabilidad atómica depender´ a de la direcci´ on de aplicaci´ on del campo externo: en este sentido el momento dipolar inducido no ser´ a, en general, paralelo al campo externo. Cuando las tres constantes recuperadoras son diferentes se dice que el medio es bi´ axico, mientras que cuando dos de ellas son iguales y la otra es diferente decimos que el medio es uni´ axico 8 . En este libro nos dedicaremos u ńicamente a los medios uni´ axicos. Al eje ´ optico y a una de las direcciones perpendiculares al mismo se les denomina en ciertas ocasiones l´ıneas neutras. Una consecuencia inmediata de lo anterior es que el ´ındice de refracci´ on que experimente una onda va a depender de orientación del eje ´ optico con respecto al campo externo. En la Figura III-4b se ha representado una l´ amina de un material anis´ otropo sobre la que incide una onda plana que vibra formando un ´ angulo θ con respecto al eje Z. La componente Ex experimenta un ´ındice de refracción que es diferente a la que experimente la componente Ez . El modelo de material diluido 7 Véase por ejemplo F. Carre˜ no and M. Ant´ on, “The index of refraction in linear anisotropic media”, Eur. J. Phys. 20 443-451 (1999). 8 Desde el punto de vista de la teor´ıa macrosc´ opica de los medios dieléctricos anis´ otropos, los ejes o ´pticos est´ an relacionados con las propiedades de simetr´ıa del medio material

´ Problemas de Optica F´ısica I

68

(a)

Z

(b)

Z Ez ET

q

kz

Y Q

ky kx

Y

Ex X e

X

Figura III-4: (a) Modelo de Lorentz para un medio anisótropo: si el campo incidente vibra según el eje X, la constante recuperadora que liga al electr´ on, kx , es diferente de la que liga al electr´ on si el campo incidente vibra en otra direcci´ on. Se han se˜ nalado las tres constantes recuperadoras principales. (b) L´ amina de material anisótropo sobre la que incide una onda plana linealmente polarizada.

propuesto en (III-9) se puede extender a este caso teniendo en cuenta el hecho de que las frecuencias de resonancia serán diferentes, esto es, en este caso se tendr´ a nx (ω) = 1 + y nz (ω) = 1 +

N q2 1 , 2 2 2me ǫ0 c ω0x − ω 2 + iγx ω N q2 2me ǫ0

c2

2 ω0z

(III-21)

1 , − ω 2 + iγz ω

donde expl´ıcitamente se ha considerado que las pérdidas por radiaci´ on dependen también de la dirección, es decir, γz 6= γx . A la vista de la ecuación (III-21), vemos que el comportamiento del material al incidir la onda sobre la l´ amina va a depender de la frecuencia del campo incidente. Imaginemos que la onda incidente tiene una frecuencia ω2 tal y como se muestra en la Figura III-5: en este caso la componente Ex de la onda incidente se amortiguar´ a y, eventualmente, será absorbida en el medio; a sin atenuaci´ on apreciable. En este caso vemos que sin embargo la componente Ez se transmitir´ la lámina se comporta como un polarizador dicroico 9 , que “polariza” radiaciones en el entorno de ω0x . Al eje Z se le denomina “eje de transmisi´ on” del polarizador. A partir de lo anterior se puede deducir la conocida como ley de Malus que establece que la irradiancia que emerge del polarizador es proporcional al coseno al cuadrado del ´ angulo que forma la direcci´ on de vibraci´ on del campo incidente con el eje de transmisi´ on del polarizador. En el caso de que la onda incidente tenga una frecuencia ω1 tal y como se muestra en la Figura III-5, ninguna de las componentes del campo incidente se atenuar´ an pero en cambio una de ellas 9 Para informaci´ on m´ as avanzada puede consultarse el trabajo debido a E. H. Land and C. D. West, “Dichroism and dichroic polarizers”, en Colloid Chemistry, Vol. VI, 160-190 (1946).

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

69

nr nrz nrx

w1

w2

w

Figura III-5: Partes reales de los ´ındices de refracción principales de la lámina mostrada en la Figura III-4b.

se retrasará respecto a la otra: decimos entonces que para esa frecuencia el material se comporta como una lámina retardadora que introduce un desfase dado por δ =

2π (nz − nx )e. λ

(III-22)

Al término (nz − nx ) se le denomina birrefringencia de la muestra. En este caso decimos que la lámina altera el estado de polarización de la onda incidente10 : (a) Si δ = 2πM , donde M es un n´ umero entero, la radiaci´ on emergente est´ a linealmente polarizada esencialmente en la misma direcci´ on que el haz incidente. (b) Si δ = (2M + 1)π, donde M es un n´ umero entero, la radiaci´ on emergente est´ a linealmente polarizada pero el plano de polarizaci´ on ha rotado un ´ angulo aproximadamente igual a 2θ. umero entero, la radiaci´ on emergente est´ a el´ıpticamente (c) Si δ = (2M + 1) π2 , donde M es un n´ esencialmente, y en circunstancias especiales puede degenerar en radiaci´ on circularmente polarizada (cuando θ ≈ π4 ). Los materiales anisótropos se suelen emplear en diferentes dispositivos ´ opticos tales como prismas (de Rochon, Wollaston, compensadores), aprovechando el fen´ omeno conocido como doble refracci´ on y con distintos prop´ ositos.

Medios conductores

10 Para m´ as informaci´ on el lector puede consultar el trabajo debido a D. A. Holmes, “Exact theory of retardation plates”, J. Opt. Soc. Am. 54,1115-1120 (1964).

´ Problemas de Optica F´ısica I

70

La comprensi´ on cabal de la interacci´ on de la radiaci´ on con los medios conductores tiene que efectuarse empleando la teor´ıa cuántica aplicada a la materia (teor´ıa semicl´ asica). No obstante, el modelo electrónico de Lorentz-Drude da una visi´ on razonablemente aproximada de algunos fenómenos. En este modelo se considera que en el conductor hay una colecci´ on de electrones que se denominan “libres”, en el sentido de que tienen cierta libertad de circular por el material [ esto equivale a hacer ω0 = 0 en la ecuación (III-1) ]; en otras palabras: no hay fuerzas restauradoras, pero en cambio a la fuerza de rozamiento debida a las pérdidas por radiaci´ on hay que a˜ nadir el efecto de las colisiones. Estas colisiones tienen lugar entre los electrones y las vibraciones de la red cristalina. De esta manera la ecuación (III-1) puede escribirse como d~r d2~r + γc d t2 dt

=

q ~ E. me

(III-23)

Si el campo externo es nulo, los electrones se mueven al azar, sin embargo al aplicar el campo, a este movimiento azaroso se le superpone un movimiento de deriva originado por el campo excitador: esta deriva es responsable de la conductividad. Si adem´ as de los electrones libres, el metal tiene electrones internos ligados, la contribuci´ on total al ´ındice de refracci´ on puede ponerse en la forma n2 (ω) = 1 +

N q2 N q2 X 1 1 − . 2 2 2 ω 2 + iγ ω 2 + iγ ω mǫ0 c mǫ c ω − ω 0 c j 0j j

(III-24)

Si despreciamos la contribución de los electrones ligados, entonces (III-24) se reduce a n2 (ω) = 1 −

ωp2 , ω 2 + iγc ω

(III-25)

donde si además consideramos que el amortiguamiento es despreciable tendremos que ωp2 n (ω) ≈ 1 − 2 . ω 2

(III-26)

En particular si ω < ωp , entonces resulta que el ´ındice de refracci´ on es imaginario puro, esto es, las ondas no se transmitirán en el medio, de ah´ı la alta reflectancia de estos materiales.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

71

PROBLEMAS RESUELTOS Teor´ıa cl´ asica de la radiaci´ on 3.1 En la interacci´ on de una onda electromagn´ etica con la materia se suele despreciar la fuerza ejercida por el campo magn´ etico. Razonar los motivos por los que esta aproximaci´ on puede ser adecuada. Considere un ´ atomo en el que el momento dipolar es p = 10−30 C/m, sobre el que incide una onda plana de frecuencia ν = 3 × 1014 Hz. El campo electromagnético asociado a un haz de luz interacciona con los electrones a través de la fuerza de Lorentz F~

~ − e~vp × B. ~ = −eE

(3.1)

Pero la amplitud de la inducción magnética es, en m´ odulo, c veces m´ as peque˜ na que la amplitud del campo eléctrico ~ |E| . (3.2) c Por ello, para velocidades del electr´ on tales que |~vp | n(λ2 ), de esta manera en el plano focal de la lente se observar´ an las radiaciones dispersadas por el prisma en diferentes posiciones. Supongamos por ejemplo que se ha colocado el prisma de manera que λf = 550 nm llega al foco de la lente L2 , en ese caso las radiaciones cuyas longitudes de onda sean mayores que λf estar´ an en la parte superior del plano focal respecto al eje ´ optico y el resto estar´ an en la parte inferior del plano focal (véase Figura 3.7). Al a˜ nadir el colorante cuya resonancia est´ a en λ0 = 530 nm ocurrir´ a que esta radiación y algunas en un entorno suyo se absorber´ an por lo que en el plano focal de L2 se observar´ a un espectro similar al anterior pero faltando aquellas radiaciones que han sido absorbidas. La contribución al ´ındice de refracci´ on por parte del colorante viene dada por la expresión siguiente14 n(ω) = 1 +

1 N q2 = nr (λ) − ini (λ). 2 2me ǫ0 ω0 − ω 2 + iγω

(3.31)

Recordemos que la parte imaginaria del ´ındice es la que da cuenta de la absorci´ on por el medio material: de esta manera si suponemos que I0 (λ) es la intensidad incidente para una cierta longitud de onda, la intensidad emergente para esa radiaci´ on puede expresarse como Isal (λ) ∝ I0 (λ)e− 14

4πni (λ)F λ

Lo cual es cierto para bajas concentraciones de la sustancia adicionada.

,

(3.32)

´ Problemas de Optica F´ısica I

80

F

L1

L2

S F’

Figura 3.7: Esquema de la radiación dispersada por el prisma y observada en el plano focal de L2 . siendo F el espesor de la muestra. As´ı aquellas radiaciones pr´ oximas a λ0 experimentar´ an una fuerte absorci´ on, mientras que aquellas que estén alejadas de λ0 se refractar´ an con una absorción despreciable y serán observadas en el plano focal de la lente L2 . N´ otese de paso que al aumentar la concentración del colorante, aumentar´ a proporcionalmente la densidad de part´ıculas absorbentes y m´ as intensa ser´ a la absorci´ on. Si se realizase este experimento en un laboratorio, la inspecci´ on visual no ser´ıa en principio fácil de interpretar ya que tras la refracci´ on por el prisma, los haces de radiaci´ on de diferentes longitudes de onda solapan parcialmente entre s´ı, cosa que no ocurre cuando se emplea un prisma no absortivo en el que las regiones de resonancia est´ an alejadas del visible: es bien conocido que en este caso el prisma permite separar espacialmente las diferentes componentes espectrales del haz incidente. En el caso de que queramos visualizar la absorci´ on al adicionar un colorante, es preferible el empleo de una red de difracci´ on que obvia este problema del solapamiento espacial. 3.7 Se ilumina el sistema que se muestra en la Figura 3.8 con una fuente de luz blanca. El recipiente RP est´ a lleno de humo y el polarizador lineal P1 tiene su eje de transmisi´ on paralelo al eje X. •

Indicar qu´ e procesos intervienen para que el observador que mira seg´ un el eje Z vea luz. La onda que emerge de la lente LC la podemos considerar como una onda plana que se ). Podemos considerar que esta propaga en la dirección del eje ´ optico de la lente (~kp = 2π λˆ onda est´ a despolarizada, por lo que al incidir sobre el polarizador lineal emerger´ a de éste un haz linealmente polarizado en la direcci´ on del eje de transmisi´ on de P1 . El recipiente RP está formado por peque˜ nas part´ıculas de humo, de manera que al interaccionar la onda con las part´ıculas de humo acelerar´ a los electrones, que re-radiar´ an ondas en todas direcciones excepto en la direcci´ on de oscilaci´ on (que es la direcci´ on del eje X). El campo

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

81

cámara de humo

S

Z

RP LC

P1 P2

X Y OB

Figura 3.8: La radiación emergente de la lente incide sobre el recipiente que contiene el humo. El observador mira lateralmente.

radiado a larga distancia por una de estas part´ıculas vendr´ a dado por i h 1 ′′ ~d = E sˆ ∧ sˆ ∧ p~ (t′ ) , 2 4πǫ0 c R

(3.33)

donde sˆ es un vector unitario en la direcci´ on de observaci´ on, y R es la distancia entre la part´ıcula emisora y la posici´ on de observaci´ on. Naturalmente el campo eléctrico que llegue al observador ser´ a el radiado por todas las part´ıculas del gas. Podemos considerar que al tratarse de un gas, el movimiento de cada part´ıcula es independiente y que se mueven aleatoriamente unas respecto de otras. De esta manera al evaluar la irradiancia total podremos despreciar los efectos de interferencias entre las ondas re-radiadas por las diferentes part´ıculas, esto es, se trata de una suma “incoherente” de irradiancias. Asimismo no consideraremos los efectos del campo radiado por una part´ıcula sobre otras adyacentes (esparcimiento m´ ultiple). •

Indicar c´ omo ha de orientar el polarizador P2 para anular la luz. En el caso que nos ocupa, llegar´ an ondas radiadas que vibran en la direcci´ on del eje X al lugar donde se encuentra el observador: esto es f´ acil de comprobar a partir de (3.33) suponiendo que sˆkZ. Por lo tanto si queremos que el observador no detecte radiaci´ on cuando mira en la direcci´ on del eje Z ha de colocar el eje de transmisi´ on de P2 paralelo al eje ´ optico de la lente (eje Y ). En esta situaci´ on tras el polarizador P2 no habr´ a radiación. El experimento propuesto en este problema puede realizarse con facilidad en un laboratorio.

•

Se retira el polarizador P2 y se gira 900 el polarizador P1 respecto a su situaci´ on original. Indicar si se observar´ a luz lateralmente. Al estar orientado el polarizador P1 en la direcci´ on del eje Z, los osciladores atómicos vibran en la dirección del campo externo. Es bien sabido que un ´ atomo no emite radiaci´ on dipolar eléctrica en la zona de ondas cuando se observa en la direcci´ on de oscilación del dipolo atómico inducido, de manera que en este caso el observador no ver´ a radiaci´ on

´ Problemas de Optica F´ısica I

82

al mirar en la dirección del eje Z: n´ otese la influencia de la direcci´ on de oscilaci´ on del atomo y de la direcci´ ´ on de observaci´ on. 3.8 Sea un prisma hueco de paredes muy delgadas (espesor despreciable) que se rellena con fucsina en disoluci´ on alcoh´ olica. En la Figura 3.9 se muestra la curva de dispersi´ on de este medio.

n(w)

R

N

Am Ve

Az Vio

w

Figura 3.9: Curva de dispersión de la fucsina, mostrando la parte real del ´ındice de refracción en función de la frecuencia del campo externo. En disconinua se ha se˜ nalado la frecuencia de resonancia.

•

Si se incide con luz blanca y colimada sobre el prisma, escribir c´ omo ser´ a la distribuci´ on angular de la radiaci´ on transmitida. Es bien sabido que un prisma de un cierto material desv´ıa los rayos un ´ angulo que depende del ´ındice de refracci´ on del material del prisma as´ı como del ´ angulo de incidencia. Al tratarse de una haz de luz colimado todas las componentes espectrales del haz incidente llegan en las mismas condiciones de incidencia al prisma. En la Figura 3.9 se muestra la parte real del ´ındice de refracci´ on de la fucsina en función de la frecuencia angular del campo externo. Se observa en dicha figura que a la frecuencia que se especifica en el eje de abcisas la parte real del ´ındice de refracci´ on presenta un comportamiento diferente respecto a otras regiones del espectro: disminuye al aumentar la frecuencia, lo cual nos indica que a esa frecuencia se produce absorci´ on: esto corresponde a una longitud de onda de λ0 = 529.5 nm (se trata de una regi´ on de dispersión an´ omala). Es de suponer que la banda de absorci´ on at´ omica sea estrecha, de manera que las longitudes de onda cercanas a λ0 van a ser absorbidas por el material. Teniendo en cuenta lo anterior las diferentes componentes espectrales se desviarán un angulo diferente a la salida excepto aquellas que son absorbidas por la fucsina (se ´ observar´ a una banda negra en torno al verde centrada en λ0 ). Teniendo en cuenta que el ´ındice para las longitudes de onda m´ as cortas es mayor, las componentes espectrales pr´ oximas al “azul” se desviar´ an m´ as que las componentes espectrales del “rojo”.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

•

83

Determinar la extensi´ on espectral de la regi´ on de dispersi´ on an´ omala si 9 −1 γ = 10 s . Para determinar la regi´ on de dispersi´ on an´ omala hemos de computar los puntos de inflexi´ on de la parte real del ´ındice de refracci´ on ω± . Para estos puntos se verifica que d ndrω(ω) = 0. Tras realizar el c´ omputo se llega a que los puntos est´ an dados por p 2 on espectral de esta regi´ on est´ a dada por ω± = ω0 ± γω0 . Por lo tanto la extensi´ 8 −1 ω+ − ω− = 9.99 × 10 (rad s ), que en longitudes de onda equivale a ∆λ ≈ 1.5 × 10−13 metros.

3.9 En un prisma delgado fabricado de vidrio Crown de baja densidad (cuya frecuencia de resonancia est´ a en la regi´ on UV del espectro), indicar qu´ e color sufrir´ a mayor desviaci´ on cuando se ilumina el prisma con un haz colimado de luz blanca. Suponer que la expresi´ on del ´ındice en funci´ on de la frecuencia est´ a dada por n(ω) = 1 +

1 N qe2 . 2 2me ǫ0 ω0 − ω 2 + iγω

(3.34)

El ´ındice de refracci´ on está dado15 por la expresi´ on (3.34). Los colores extremos del espectro visible son el violeta y rojo, cuyas frecuencias son 7.5×1014 Hz y 4.3×1014 Hz respectivamente. 2 2 , de manera que nrojo < nazul . Recordemos que la Luego la diferencia ω02 − ωrojo > ω02 − ωazul desviaci´ on producida por un prisma delgado viene dada por δ(ω) ≈ α [n(ω) − 1] ,

(3.35)

donde α es el ángulo del prisma. De lo anterior se deduce que la desviaci´ on para el rojo, δrojo , es menor que para el azul, δazul .

Reflexi´ on y refracci´ on en medios is´ otropos 3.10 Una onda electromagn´ etica plana y monocrom´ atica de frecuencia ν = 4.5 × 1014 Hz se propaga en el vac´ıo en la direcci´ on del eje X. El m´ odulo de la amplitud del campo el´ ectrico es E0 = 92 V/cm y la onda vibra en el plano XZ. •

Escribir la expresi´ on del campo el´ ectrico y calcular la longitud de onda. Con los datos suministrados, la expresi´ on del campo eléctrico viene dada por ~ = E

0, 0, 92 cos(k0 x − 2π × 4.5 × 1015 t) , (V/cm),

(3.36)

donde k0 es el módulo del vector de propagaci´ on. Dado que se propaga en el vac´ıo se tiene que ν = c/λ, de donde se obtiene que λ0 = 666.7 nm. 15 Por simplicidad supondremos que esta expresi´ on, aproximadamente correcta en el caso de medios con baja densidad, es v´ alida en el caso de un medio denso como es el caso de un vidrio o ´ptico.

´ Problemas de Optica F´ısica I

84 •

Esta onda incide sobre una interfase plana paralela al plano Y Z. El ´ındice de refracci´ on del medio para esa longitud de onda es n = 1.62. Determinar la expresi´ on del campo el´ ectrico dentro del medio material. Teniendo en cuenta que la onda incide normalmente y la ecuaci´ on (3.36), la componente Z del campo eléctrico transmitido se puede escribir como Ezt = 92tn cos(kx − 2π × 4.5 × 1015 t), (V/cm),

(3.37)

donde k = 1.62 k0 y tn es el valor del coeficiente de transmitancia en amplitud que en incidencia normal resulta tn = 0.763. De esta manera el campo de la onda transmitida se escribe ~ t = 0, 0, 70.229 cos(1.62 k0 x − 2π × 4.5 × 1015 t) , (V/cm). E (3.38)

N´ otese que la frecuencia del campo dado por la ecuaci´ on (3.38) coincide con la frecuencia del campo incidente. •

Escribir la expresi´ on del campo el´ ectrico reflejado. Procedemos igual que en el apartado anterior salvo que aqu´ı hemos de tener en cuenta el coeficiente de reflexión en incidencia normal que en este caso es rn = −0.237. De esta manera el campo de la onda reflejada viene dado por ~ r = 0, 0, −21.804 cos(−k0 x − 2π × 4.5 × 1015 t) , (V/cm), E (3.39)

N´ otese que el campo dado por la ecuaci´ on (3.39) se propaga en la misma direcci´ on pero en sentido contrario que el campo incidente, que la frecuencia de la onda reflejada es la misma que la de la onda incidente y que la onda reflejada est´ a desfasada en π respecto a la onda incidente. 3.11 Un haz de luz natural incide sobre una superficie de agua tranquila (na = 4/3) bajo un ´ angulo tal que la luz reflejada en la direcci´ on del rayo 1 est´ a completamente polarizada en un plano. Un bloque de vidrio de ´ındice nv = 3/2 est´ a sumergido en el agua como se indica en la Figura 3.10. La luz reflejada que emerge en la direcci´ on del rayo 2 est´ a totalmente polarizada en un plano.

•

Determinar el ´ angulo que forma el bloque con la superficie de agua (α). Al ser el haz incidente una radiaci´ on cuyo estado de polarizaci´ on es natural para que el haz reflejado 1 esté totalmente polarizado en un plano, el ´ angulo de incidencia ha de ser el de polarización o ángulo de Brewster, para el cual sabemos que θi1 + θt1 = π/2, donde el super´ındice 1 se refiere a la interfase aire-agua. Usando esta expresi´ on y la ley de Snell, podemos obtener el ´ angulo de incidencia de la relaci´ on tan(θi1 ) = n1a , de donde θi1 = 53.13o . Por un razonamiento similar, para que el haz 2 esté totalmente polarizado en un plano, el ´ angulo de incidencia en la interfase agua-vidrio ha de ser el de polarización θi2 , donde el super´ındice 2 hace referencia a la interfase agua-vidrio. Sabemos que la relación en este caso es tan(θi2 ) = nnva , de manera que θi2 = 48.37o . Del tri´ angulo rayado en la figura se deduce sencillamente que α = θi1 + θi2 − π/2 = 11.50o .

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

85

(1)

(2)

a

nv na

Figura 3.10: Esquema de la lámina sumergida en agua y haces de luz considerados. El ángulo α es desconocido.

•

Determinar la irradiancia del haz reflejado en la direcci´ on del rayo 1. Para hallar la irradiancia del haz reflejado 1 hemos de hacer uso de la f´ ormula de Fresnel para la componente perpendicular. El coeficiente de reflexi´ on resulta r⊥ = −0.27. De esta manera, si llamamos I0 a la irradiancia del haz incidente, la irradiancia del haz 1 2 I0 = 0.039I . resulta ser I1 = r⊥ 0 2

3.12 Consideremos una fuente puntual de radiaci´ on visible despolarizada que emite en λ = 500 nm. Esta fuente se coloca en el foco objeto de una lente convergente de focal f ′ = 100 mm. Tras la lente colocamos un polarizador lineal ideal cuyo eje de trasmisi´ on lo podemos girar a voluntad en el plano perpendicular al eje optico de la lente. Asimismo se dispone de una l´ ´ amina de un material is´ otropo en el que la radiaci´ on considerada experimenta un ´ındice de n = 1.333 (ver Fig. 3.11). •

Indicar razonadamente c´ omo hay que colocar el polarizador y la l´ amina para no observar radiaci´ on reflejada procedente de la l´ amina. Hacer un esquema gr´ afico para demostrarlo. Al tratarse de una fuente puntual colocada en el foco objeto de la lente, el haz de radiación que emerge de la lente podemos considerar que se propaga en una direcci´ on paralela al eje ´ optico de la lente (el vector de propagaci´ on de la onda ser´ a ~k = 2π u ˆ λ o, siendo u ô un vector unitario en la direcci´ on del eje ´ optico). Seg´ un se indica en la Figura 3.11 el plano de incidencia coincide con el plano del dibujo. Para no observar radiaci´ on reflejada en la l´ amina hemos de proceder de la siguiente manera: (a) Colocaremos el eje de transmisi´ on del polarizador de manera que esté contenido en el plano de incidencia.

´ Problemas de Optica F´ısica I

86

LC

P

S

La

q

O

B

Figura 3.11: Esquema de la situación descrita: S fuente puntual, LC lente, P polarizador, La lámina.

•

(b) En estas condiciones giraremos la l´ amina hasta conseguir que el ´ angulo de incidencia coincida con el ángulo de polarizaci´ on o ´ angulo de Brewster. En estas condiciones no se observar´ a radiación reflejada. El ´ angulo de incidencia ha de ser θ = θp = tan−1 (1.333) = 53.1232o . En la situaci´ on anterior, se desplaza la fuente 2 mm hacia abajo con respecto al eje ´ optico. Describir razonadamente si se observar´ a radiaci´ on reflejada, y en ese caso estimar la intensidad de la onda reflejada sabiendo que tras el polarizador la irradiancia es de 2 mW/cm2 . Mediante un trazado de rayos elemental nos damos cuenta que se tendr´ a también un haz colimado pero ahora su direcci´ on de propagaci´ on ha cambiado un poco, ya que la fuente está en el plano focal objeto pero no en el foco. El nuevo vector de propagaci´ on vendr´ a dado por ~kn =

2π (cos(ǫ) u ô + sin(ǫ) uˆ⊥ ) , λ

(3.40)

2 donde tan(ǫ) = 100 yu ˆ⊥ es un vector unitario perpendicular al eje ´ optico y contenido en el plano de incidencia. En este caso el haz de radiaci´ on que emerge de la lente incide sobre la lámina con un ´ angulo dado por θi = θp − ǫ = 51.977o . Se observar´ a una fracci´ on de radiación reflejada ya que no se incide exactamente en condiciones de ańgulo de polarización como en el caso anterior. Podemos estimar la radiaci´ on reflejada calculando el coeficiente de reflexi´ on rk (θi ) = 8.85 × 10−3 , de manera que la irradiancia de la onda reflejada será de 1.566 × 10−4 mW/cm2 .

3.13 Sobre una lente delgada incide un haz colimado linealmente polarizado de radiaci´ on monocrom´ atica. El ´ındice de refracci´ on de la lente es n = 1.54. Si se considera incidencia normal, calcular la irradiancia de la luz transmitida respecto de la incidente.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

87

Llamemos I0 a la irradiancia del haz incidente, de manera que teniendo en cuenta los coeficientes de Fresnel, la irradiancia del haz emergente ser´ a Isal = I0 T1 T2 ,

(3.41)

donde T1 y T2 son las transmitancias al pasar de aire-lente y lente-aire respectivamente. Las transmitancias pueden ponerse en funci´ on de los coeficientes de transmitancia en amplitud como 2 2 n 2 n = 0.9548, t = T1 = 1 1 1 1+n (3.42) 2 1 2 2n 1 T2 = = 0.9548. t2 = n n 1+n Por lo que finalmente resulta Isal = 0.9116 I0 . 3.14 Las im´ agenes reflejadas por las superficies anterior y posterior de la c´ ornea y del cristalino de denominan im´ agenes de Purkinje. Si el ´ındice de la c´ onea vale nc = 1.336 y el del humor acuoso es na = 1.376, calcular la irradiancia de las dos primeras im´ agenes de Purkinje y la relaci´ on entre ellas. Supondremos que incide luz natural. Su vector eléctrico formar´ a en cada instante un ángulo α con el plano de incidencia. Este ´ angulo est´ a cambiando aleatoriamente. El campo eléctrico se puede poner como ~ i = [|E0 | cos(α) sˆ + |E0 | sin(α) pˆ] eiωt , E (3.43) donde pˆ y sˆ son vectores unitarios paralelo y perpendicular al plano de incidencia respectivamente. El campo reflejado en la primera cara de la c´ ornea se obtendr´ a sin m´ as que multiplicar cada componente por su correspondiente coeficiente de reflexi´ on ~ r (α) = [rs |E0 | cos(α) sˆ + rp |E0 | sin(α) pˆ] eiωt . E

(3.44)

La irradiancia est´ a dada por I(α) =

1 cǫ0 (rs )2 |E0 |2 cos2 (α) + (rp )2 |E0 |2 sin2 (α) . 2

(3.45)

Si promediamos esta expresión a todas las orientaciones posibles y teniendo en cuenta que hcos2 (α)i = hsin2 (α)i = 1/2 se llega a ! 2 + r2 r 1 s p . (3.46) I = cǫ0 |E0 |2 2 2 Para la primera imagen calculamos los coeficientes de reflexi´ on nt − ni = −0.144, nt + ni nt − ni = 0.144. nt + ni

rs = − rp =

(3.47)

´ Problemas de Optica F´ısica I

88

Por lo tanto, la irradiancia de la primera imagen de Purkinje vale ! rs2 + rp2 1 2 = 0.02I0 . I1 = cǫ0 |E0 | 2 2

(3.48)

La segunda imagen se produce por la reflexi´ on en la segunda cara de la c´ ornea. En este caso se produce una tranmisi´ on en la primera cara, una reflexi´ on en la segunda y una nueva transmisi´ on en la primera cara. Los coeficientes de reflexi´ on y transmisi´ on son, respectivamente, t(1) = t(1) s p = rs(2) = −rp(2)

2ni 2×1 = = 0.856 , ni + nt 1 + 1.336 nt − ni 1.376 − 1.336 = =− = −0.015. nt + ni 1.376 − 1.336

(3.49)

La transmisi´ on en la primera cara del haz reflejado da los siguientes coeficientes t′(1) = t′(1) = s p

2 × 1.336 2ni = = 1.144. ni + nt 1 + 1.336

(3.50)

Las amplitudes del campo transmitido se pueden expresar en términos de los campos incidentes como sigue: (2) (1) i Es(t) = t′(1) s rs ts Es , (2) (1) i Ep(t) = t′(1) p rp tp Es .

La irradiancia transmitida será 1 ′(1) (2) (1) 2 ′(1) (2) (1) 2 1 = 2.15 × 10−4 I0 . ts rs ts + tp rp tp I2 = cǫ0 |E0 |2 2 2

(3.51)

(3.52)

La relaci´ on entre las irradiancias de las dos im´ agenes es I1 = 93.02 , I2

(3.53)

es decir, la primera imagen de Purkinje es m´ as brillante que la segunda en un factor 93. 3.15 Sea un haz de luz linealmente polarizado que incide sobre una superficie de separaci´ on vidrio/aire (incidiendo desde el vidrio). El ´ angulo de incidencia es de 45o y el vector el´ ectrico est´ a orientado con un azimut de 30o con respecto al plano de incidencia. El ´ındice de refracci´ on del vidrio es de n = 1.6. •

Escriba la expresi´ on del campo incidente el reflejado y el transmitido. En la Figura 3.12 se muestra un posible esquema donde se ha elegido el eje X hacia fuera del plano del papel. Si elegimos como plano de incidencia el plano Y Z el vector de propagación de la onda incidente se puede poner ~ki =

2π n(0, sin(45o ), − cos(45o )). λ0

(3.54)

El vector de propagación de la onda reflejada viene dado, teniendo en cuenta que θr = θi = 45o ~kr =

2π n(0, sin(45o ), cos(45o )). λ0

(3.55)

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

89

Al aplicar la ley de Snell (1.6 sin(45o ) = 1 sin(θt )) se tiene que sin(θt ) > 1 lo cual nos indica que se produce el fen´ omeno denominado on total. Teniendo p p reflexi´ √ en cuenta esto podemos escribir cos(θt ) = 1 − sin2 (θt ) = 1 − (1.6 sin(45o ))2 = i 0.28 = 0.529 i. El vector de propagación de la onda transmitida viene dado, teniendo en cuenta lo anterior ~kt =

2π (0, sin(θt ), − cos(θt )). λ0

(3.56)

Teniendo en cuenta todo lo anterior, el campo eléctrico incidente se puede escribir, descomponiéndolo en su componente paralela y perpendicular al plano de incidencia, de la siguiente manera (teniendo en cuenta la ecuaci´ on (3.54)) ~

Ekin = E0 cos(30o )ei(ki ·~r−ωt) = √ 3 i( 2π √2 (y−z)−ωt) , E0 e λ 2 2 ~ in E⊥ = E0 sin(30o )ei(ki ·~r−ωt) = 1 2π √2 E0 ei( λ 2 (y−z)−ωt) . 2

(3.57)

(3.58)

Teniendo en cuenta la ecuaci´ on (3.55) la onda reflejada ser´ a ~

Ekre = E0 cos(30o )rk ei(kr ·~r−ωt) = √ 3 i( 2π √2 (y+z)−ωt) , (3.59) r e λ 2 E0 2 k ~ re E⊥ = E0 sin(30o )r⊥ ei(kr ·~r−ωt) = √ 2π 2 1 (3.60) E0 r⊥ ei( λ 2 (y+z)−ωt) , 2 on de la componente paralela y perpendicular donde rk y r⊥ son los coeficientes de reflexi´ que vamos a calcular a continuaci´ on: rk = r⊥ =

0.707 − 1.6 × 0.529 i nt cos(θi ) − ni cos(θt ) = , nt cos(θi ) + ni cos(θt ) 0.707 + 1.6 × 0.529 i ni cos(θi ) − nt cos(θt ) 1.6 × 0.707 − 0.529 i = . ni cos(θi ) + nt cos(θt ) 1.6 × 0.707 − 0.529 i

(3.61) (3.62)

Se puede observar que a partir de las ecuaciones (3.61) y (3.62) que el estado de fase de la onda reflejada se ha alterado como consecuencia de la reflexi´ on total que ha −i2×0.875 −i2×0.437 y r⊥ = e . experimentado: rk = e Finalmente teniendo en cuenta la ecuaci´ on (3.56) la onda transmitida se puede escribir de la siguiente manera ~

Ektr = E0 cos(30o )tk ei(kt ·~r−ωt) = √ 3 −k0 ×0.529z i(k0 ×0.707y−ωt) t e E0 e , 2 k ~ tr E⊥ = E0 sin(30o )t⊥ ei(kt ·~r−ωt) = 1 E0 t⊥ e−k0 ×0.529z ei(k0 ×0.707y−ωt) . 2

(3.63)

(3.64)

Se ha de hacer notar que en las ecuaciones (3.63) y (3.64) tanto la componente paralela como la perpendicular presentan un coeficiente de amortiguamiento exponencial, de ah´ı que a este tipo de ondas se las denomine evanescentes.

´ Problemas de Optica F´ısica I

90

Z ki kr

qi

qr nv=1.6

X Y

na=1 qt

kt

Figura 3.12: Esquema gráfico de la onda incidente, la reflejada y la transmitida. •

Hallar el estado de polarizaci´ on del haz reflejado. Hemos visto en el apartado anterior que la onda reflejada sufre una alteraci´ on de su estado de fase como consecuencia de la reflexi´ on total que experimenta, de manera que la diferencia de fase entre la componente paralela y la perpendicular de la onda reflejada es δ = 2(0.875 − 0.437) = 0.876 radianes, de manera que el campo reflejado est´ a el´ıpticamente polarizado.

•

Si se coloca un detector a 0.1 µm del vidrio ¿se detectar´ a radiaci´ on? Justificar la respuesta. De las ecuaciones (3.63) y (3.64) se deduce que los campos transmitidos se amortiguan exponencialmente. La profundidad de penetraci´ on de la onda se puede estimar como la distancia z0 a la cual el campo ha disminuido su amplitud en un factor e, o sea, λ0 . Vemos que la profundidad de penetraci´ on es una fracci´ on de λ0 de manera z0 = 2π×0.529 que si colocamos un detector a 0.1 µm de la superficie de separaci´ on la onda evanescente ser´ a detectada (siempre y cuando el detector tenga la sensibilidad adecuada). Podemos ver esto si computamos el vector de Poyting para z < 0: vamos a hacerlo para la componente perpendicular al plano de incidencia, para la cual la inducci´ on magnética tr = − 1 E tr k ˆ = − 1 E tr k. ˆ Por lo cual el vector de Poynting resulta est´ a dada por B⊥ v ⊥ c ⊥ ~ tr = P ⊥

cǫ0 −2k0 ×0.529z e ˆ. 2

(3.65)

A partir de la ecuación (3.65) vemos que no habr´ a flujo de energ´ıa en la dirección del eje Z. •

¿Qu´ e desfase existe entre la componente paralela del haz reflejado y la componente paralela del haz incidente? Hemos visto anteriormente que el haz reflejado experimenta un cambio de fase en la

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

91

reflexión total, de manera que la componente paralela reflejada experimenta un cambio de fase 2 × 0, 875 radianes respecto a la componente paralela incidente. 3.16 Un haz colimado de radiaci´ on natural de irradiancia I0 incide sobre el sistema de dos l´ aminas de la Figura 3.13 en condiciones de ´ angulo de Brewster. Determinar las expresiones de las componentes del campo emergente de la segunda l´ amina as´ı como el grado de polarizaci´ on de la radiaci´ on emergente I⊥ −Ik V = I⊥ +Ik . Nos indican que el haz de radiaci´ on natural incide sobre la l´ amina primera en condiciones de ángulo de Brewster. Sabemos entonces que se verifica que θi + θt = π/2, de manera que teniendo en cuenta la ley de Snell y la condici´ on anterior llegamos a que se satisface la nt relaci´ on tan(θi ) = ni . A partir de los datos que se suministran podemos determinar el ángulo de incidencia que resulta ser de θi ≈ 32o , en tanto que θt = 58o . De manera que el vector de propagación de la onda incidente, ver Figura 3.13, viene dado por ~ki =

2π (0, sin(32o ), − cos(32o )). λ

qr

qi

n=1.6

(3.66)

qt qi

qt

qi

Figura 3.13: Esquema del haz de radiación despolarizada incidente sobre el sistema de doble lámina transparente.

La onda incidente despolarizada tiene una componente paralela al plano de incidencia y otra componente perpendicular dadas respectivamente por

~

Ek = E0 cos [γ(t)] ei(ωt−ki ·~r) ,

(3.67)

E⊥ = E0 sin [γ(t)] ei(ωt−ki ·~r) ,

(3.68)

~

´ Problemas de Optica F´ısica I

92

donde γ(t) es un factor que var´ıa aleatoriamente en el tiempo. De esta manera la irradiancia incidente vendr´ıa dada por 1 I0 = cǫ0 h|Ek |2 i + h|E⊥ |2 i = cǫ0 E02 + E02 , 4

(3.69)

donde se ha tenido en cuenta que el promedio temporal hcos2 [γ(t)]i = hsin2 [γ(t)]i = 12 y que hcos2 (ωt)i = 12 . Teniendo en cuenta que las caras de las l´ aminas son paralelas entre s´ı podemos afirmar que el haz emergente se propaga en la misma direcci´ on que el haz incidente, de manera que la expresión del campo emergente de la segunda l´ amina viene dado, teniendo en cuenta los coeficientes de transmitancia en amplitud en ambas caras de las l´ aminas, por las expresiones 2 2 ~ (b) (a) tk Eksal = E0 tk cos [γ(t)] ei(ωt−ki ·~r) , 2 2 ~ (b) (a) sal sin [γ(t)] ei(ωt−ki ·~r) . = E0 t⊥ E⊥ t⊥

(3.70) (3.71)

Teniendo en cuenta las expresiones (3.70) y (3.71) junto con la (3.69) llegamos a que Iksal = sal = I⊥

4 4 1 (a) (b) tk , cǫ0 tk 4 4 4 1 (a) (b) . cǫ0 t⊥ t⊥ 4

(3.72) (3.73)

De manera que resulta un grado de polarizaci´ on V2 =

I⊥ − Ik = −0.4023. I⊥ + Ik

(3.74)

La expresión (3.74) nos indica que en el haz emergente de la segunda l´ amina predomina la componente polarizada paralela al plano de incidencia sobre la componente perpendicular16. Podemos calcular, aunque no se pida, el grado de polarizaci´ on del haz emergente de la primera lámina que resulta ser V1 =

I⊥ − Ik = −0.21. I⊥ + Ik

(3.75)

De este resultado se concluye que si colocamos un n´ umero adecuado de l´ aminas idénticas podemos obtener un haz emergente con el grado de polarizaci´ on deseado17 . 3.17 Un haz de luz linealmente polarizado incide normalmente sobre la cara AB de un prisma inmerso en aire como se muestra en la Figura 3.14. En A el ´ angulo o ˆ es de A = 120 . 16

Este hecho se debe a que la componente reflejada paralela al plano de incidencia se anula, lo cual se aprovecha como mecanismo de polarizaci´ on de un haz despolarizado. Este tipo de polarizadores de pila ha sido empleado frecuentemente antes de tener disponibles las l´ aminas de polaroide comercial. A´ un en la actualidad se siguen usando en diferentes dispositivos l´ aser. 17 Es preciso notar que en el c´ alculo desarrollado no hemos tenido en cuenta el efecto de las reflexiones m´ ultiples que acontecen en cada l´ amina y entre l´ aminas adyacentes.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

93

A I1

B

I3

I2

C

Figura 3.14: Haces incidente y reflejado por el prisma. •

Se desea que el haz emergente por la cara AC est´ e circularmente polarizado. ¿Cu´ al debe ser el azimut del campo incidente y el ´ındice de refracci´ on n del prisma? H´ allese la intensidad emergente en relaci´ on a la intensidad incidente en la cara AB. Si deseamos que la radiación emergente por la cara AC esté circularmente polarizada, ha de alterarse el estado de fase del campo incidente: - En I1 hay transmisi´ on del campo en condiciones de incidencia normal, luego no se altera el estado de fase. Los coeficientes de transmisi´ on para la componente paralela y perpendicular son iguales. - En I2 hay reflexión del campo: de la figura se infiere que el ´ angulo de incidencia en o este punto es de 30 . - En I3 hay transmisi´ on del campo en condiciones de incidencia normal, luego no se altera el estado de fase. Los coeficientes de transmisi´ on para la componente paralela y perpendicular son iguales. Si en I2 no hay reflexión total, el desfase a lo sumo ser´ a de 0 ´ o π, por lo que a la salida de la cara AC se tendr´ıa luz linealmente polarizada. En cambio si hubiese reflexi´ on total, el desfase entre la componente paralela y perpendicular δ = 2(α − β) puede permitir la obtenci´ on de luz lineal, circular o el´ıpticamente polarizada. Si deseamos obtener a la salida luz circularmente polarizada, se precisa que δ = π/2. Adem´ as las amplitudes de la componente paralela y perpendicular han de ser iguales, por lo que el azimut del campo a la entrada ha de ser π/4. Recordemos que se verifica la siguiente relaci´ on tan(α − β) =

tan(α) − tan(β) . 1 + tan(α) tan(β)

(3.76)

Y recordemos también que α y β vienen determinados por las relaciones (ver problema

´ Problemas de Optica F´ısica I

94 3.15) tan(α) = tan(β) =

p

p

sin2 (φ) − N 2 , N 2 cos(φ) sin2 (φ) − N 2 , cos(φ)

(3.77)

donde φ = 30o es el ´ angulo de incidencia en I2 y N = 1/n (n es desconocido en este caso). Teniendo en cuenta las relaciones (3.76) y (3.77) podemos escribir p p p p sin2 (φ) − N 2 sin2 (φ) − N 2 sin2 (φ) − N 2 sin2 (φ) − N 2 1+ = − . (3.78) N 2 cos(φ) cos(φ) N 2 cos(φ) cos(φ) √ Sustituyendo cos(φ) = 3/2 y sin(φ) = 1/2 y simplificando llegamos a la siguiente ecuación √ p 3 N2 1 2 + = . (3.79) − 1/4 − N 2 1 − N 4 4 2 √ De donde se obtiene que N 2 = 1/6 y finalmente el ´ındice buscado es n = 6. Las componentes del campo a la salida se pueden escribir como Ek = E0 cos(π/4)tIn1 rkI2 tIn3 cos(ωt),

I2 I3 E⊥ = E0 sin(π/4)tIn1 r⊥ tn cos(ωt).

•

(3.80)

on total en I2 se verifica que |rk | = Donde tIn1 = 0.5797, tIn2 = 1.4202. Al haber reflexi´ |r⊥ | = 1 y el desfase entra ambas componentes es π/2. Teniendo en cuenta los resultados anteriores se obtiene finalmente que I salida /I entrada = 0.6778. En las mismas condiciones para el haz incidente y el ´ındice obtenidos en el apartado anterior, se apoya ahora la cara BC sobre un medio de ´ındice nt . ¿Cu´ al debe ser el valor de nt para que el haz emergente por la cara AC est´ e linealmente polarizado con el campo el´ ectrico perpendicular al plano de incidencia? H´ allese en este caso la relaci´ on de intensidades. Si se desea que el haz a la salida de la cara AC esté linealmente polarizado vibrando en el plano perpendicular al plano de incidencia, en el punto I2 ha de incidir con el ángulo de Brewster (φB ), y √ recordemos que se verifica la relaci´ on tan φB = nt /n. De modo que √ nt = 6 tan [π/6] = 2. Las componentes del campo a la salida se pueden escribir como Ek = 0,

I2 I3 tn cos(ωt) . E⊥ = E0 sin(π/4)tIn1 r⊥

(3.81)

Donde tIn1 = 0.5797, tIn2 = 1.4202, y en el punto I2 se tiene que r⊥ = 0.5. Teniendo en cuenta los resultados anteriores se obtiene finalmente que I salida /I entrada = 0.1695. 3.18 Considere una lente biconvexa de radios de curvatura R1 y R2 que es iluminada por una onda plana de frecuencia ω para la cual el ´ındice de refracci´ on es n(ω). Si el espesor central de la lente es d0 , obtener una expresi´ on del campo el´ ectrico en el plano P U que es tangente a la segunda superficie de la lente (ver Figura 3.15a). Por simplicidad vamos a ignorar en este problema la naturaleza vectorial de la radiaci´ on

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

d0

(a)

95

D1(x,z)

(b)

P(x,z) P

R1

z

Z R12-x2-z2

PU d01

Y

Figura 3.15: (a) Esquema de la lente biconvexa. (b) Geometr´ıa para el cálculo de las diferencias de fase en la primera parte de la lente.

electromagnética, esto es emplearemos la as´ı denominada “aproximaci´ on escalar”. Consideremos una onda plana que se propaga en la direcci´ on del eje Y que viene dada por E(y, t) = E0 ei(k0 y−ωt) .

(3.82)

La onda expresada en (3.82) incide sobre la lente de la Figura 3.15. Si tomamos como origen de coordenadas el punto de intersecci´ on del eje ´ optico con la primera cara de la lente, debemos de encontrar la expresi´ on del campo tras la lente, en el plano P U . Sabemos que en un medio a un retardo con material una onda viaja con una velocidad vf < c, de manera que aparecer´ respecto a la situación en la que la onda viajase en el vac´ıo. El caso que nos ocupa es tal que este retardo temporal va a depender de la zona del frente de onda que consideremos: as´ı para la zona que es coincidente con el eje ´ optico el retardo es proporcional al espesor central, mientras que para un punto P que dista del centro de la lente una altura z, el retardo va a ser diferente, toda vez que el espesor de esa regi´ on depende de la altura. Si suponemos que la lente tiene simetr´ıa de revoluci´ on, lo dicho para el punto P vale para todos los puntos de un c´ırculo que distan la misma distancia del centro de la lente. Lo que nos est´ a indicando el razonamiento anterior es que el desfase que va a introducir la lente va a depender de las coordenadas (x, z) de los puntos de la lente de la siguiente manera φ(x, z) = k0 n(ω)∆(x, z) + k0 [d0 − ∆(x, z)] ,

(3.83)

donde ∆(x, z) es la distancia que recorre la onda dentro de la lente tomada en la direcci´ on 18 paralela al eje óptico de la misma ; asimismo k0 es el n´ umero de ondas en el vac´ıo. En la expresión (3.83) el primer término da cuenta del camino ´ optico recorrido dentro de la lente, mientras que el segundo término da cuenta del camino ´ optico recorrido en aire. En algunos textos, se suele denominar a ∆(x, z) “funci´ on espesor”. 18

Esto equivale a asumir, en términos de la o ´ptica geométrica, que los rayos no se “doblan”.

´ Problemas de Optica F´ısica I

96

Teniendo en cuenta lo anterior, el campo en el plano P U vendr´ a dado por Esal (y, t) =

4n(ω) E0 eik0 d0 ei(k0 [n(ω)−1]∆(x,z)−ωt) . [1 + n(ω)]2

(3.84)

Nos resta obtener una expresión aproximada de la funci´ on espesor. Para ello procederemos de la siguiente manera: adoptaremos el criterio de signos habitualmente empleado en óptica geométrica y dividimos el espacio de la lente en dos partes. La primera de ellas la hemos representado en la Figura 3.15b, de manera que podremos evaluar la contribuci´ on a la funci´ on espesor para esta parte de la lente. Es f´ acil convencerse de una simple inspecci´ on visual que q ∆1 (x, z) = d01 − R1 − R12 − x2 − z 2 . (3.85) Si consideramos por otro lado que los valores de x y z en la expresi´ on (3.85) son mucho m´ as 19 peque˜ nos que el valor de R1 , entonces desarrollando en serie de Taylor podemos ver que una buena aproximación a la ecuaci´ on (3.85) viene dada por ∆1 (x, z) ≈ d01 −

1 x2 + z 2 . 2 R1

(3.86)

Si procedemos de una manera equivalente con la otra parte de la lente veremos que ∆2 (x, z) ≈ d02 +

1 x2 + z 2 . 2 R2

(3.87)

Finalmente a partir de (3.86) y (3.87) llegamos a que 1 ∆(x, z) ≈ d0 − (x2 + z 2 ) 2

1 1 − R1 R2

,

(3.88)

con lo cual la expresión (3.84) se reduce a 4n(ω) ik0 d0 i e 2 E0 e [1 + n(ω)]

Esal (y, t) =

2 +z 2 −k0 x 2f −ωt

,

(3.89)

donde la magnitud f está dada por 1 f

≡ [n(ω) − 1]

1 1 − R1 R2

,

(3.90)

que es la conocida expresión de la focal de una lente delgada. La ecuación (3.89) da cuenta del efecto de una lente sobre una onda electromagnética incidente. En el término de la focal se incorpora de una manera natural la dispersi´ on que est´ a asociada a que el retardo es función de la longitud de onda, responsable u ´ltimo de las llamadas aberraciones cromáticas. Asimismo la ecuación (3.89) es uno de los puntos de partida de las técnicas de an´ alisis de formación de la imagen20 . 19 Esta aproximaci´ on es lo que se conoce como aproximaci´ on parab´ olica que veremos que reproduce desde el punto de vista de la ´ optica electromagnética, los resultados conocidos de la o ´ptica geométrica. 20 Para m´ as detalles el lector interesado puede consultar la obra de J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, (McGraw Hill, New York, 1968).

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

•

97

Se sustituye la lente delgada por un prisma de ´ angulo α. Utilizando la t´ ecnica desarrollada en el apartado anterior determinar la expresi´ on del campo el´ ectrico que emerge del prisma en el plano P U suponiendo ´ este delgado (ver Figura 3.16a). La expresi´ on de la onda plana que incide sobre el prisma est´ a dada por la ecuaci´ on (3.82).

(a)

(b) Z

PU

Z0

Z1

a l2

a l1

P

S

z

Y0=Y1

rp

Y

y0 b

X0

X1

X

Figura 3.16: (a) Esquema del prisma iluminado con una onda plana. (b) Geometr´ıa para la determinación del efecto del prisma sobre una onda esférica.

Para evaluar el efecto del prisma procederemos como anteriormente y supondremos, en primera aproximación, que el efecto del prisma consiste solamente en retrasar el frente de onda en una magnitud que es proporcional al camino ´ optico recorrido en cada parte: dentro del prisma y fuera del prisma hasta el plano P U de la Figura 3.16a. De esta manera el camino ´ optico recorrido dentro del prisma para la parte del frente de ondas que incide a una altura z respecto a la base del prisma, vendr´ a dado por nl1 , mientras que fuera del prisma hasta el plano P U lo llamaremos l2 . Si tenemos en cuenta que l1 a−z

=

b , a

(3.91)

entonces el camino óptico total, ∆, vendr´ a dado por ∆ = n(ω)l1 + l2 .

(3.92)

Por lo tanto la transmitancia en campo eléctrico del prisma vendr´ a dada por T (z) = t1 t2 eik∆ = t1 t2 eika eik[n(ω)−1] tan(α) e−ik[n(ω)−1] tan(α) z .

(3.93)

La expresión (3.93) se puede reescribir como T (z) = t1 t2 eiφ0 e−ik[n(ω)−1] tan(α) z , donde hemos subsumido los términos de fase constantes en φ0 .

(3.94)

´ Problemas de Optica F´ısica I

98 •

Se ilumina el prisma por una fuente puntual de ondas esf´ ericas tal y como se muestra en la Figura 3.16b. Determinar cu´ al es el efecto del prisma teniendo en cuenta los resultados precedentes teniendo en cuenta que y0 es mucho mayor que las dimensiones laterales del prisma. En primer lugar vamos a expresar el campo eléctrico de la onda esférica en el plano X1 Z1 . Para ello baste tener en cuenta que EP

E0 ikrP e , rP

=

(3.95)

p donde rP = x21 + y02 + z12 . Si tenemos en cuenta que |x1 | ≪ y0 y que |z1 | ≪ y0 , entonces podemos obtener una expresi´ on m´ as elemental para rP (aproximaci´ on parab´ olica) de la on (3.95) puede reescribirse de forma rP ≈ y0 + 2y10 (x21 + z12 ). De esta manera la expresi´ la forma EP

E0 iky0 ik 2y1 (x21 +z12 ) . e 0 e y0

≈

(3.96)

Para conocer el efecto del prisma hemos de multiplicar la transmitancia del prisma, dada por la ecuación (3.95), por la expresi´ on (3.96) con lo cual el campo tras el prisma vendr´ a dado por EPt

≈ t1 t2 eiφ0

E0 iky0 ik 2y1 (x21 +z12 ) −ik[n(ω)−1] tan(α) z1 . e e 0 e y0

(3.97)

La expresión (3.97) se puede sintetizar de la forma EPt

ik

≈ E0′ e

2 x2 1 +z1 − [n(ω)−1] tan(α) z 1 2y0

.

(3.98)

Nos falta ahora interpretar el resultado obtenido en (3.98): para ello volvamos a la situación original planteada en la Figura 3.16b y consideremos una nueva situaci´ on en la que la fuente puntual se ha desplazado una cantidad z0 respecto al origen de coordenadas. En este caso el campo eléctrico en un punto P del plano X1 Z1 vendr´ a dado por EP′

E0 ikr′ e P, rP′

=

(3.99)

p donde rP′ = x21 + y02 + (z1 − z0 )2 . Si desarrollamos en serie como antes veremos que el campo eléctrico en esta nueva situaci´ on puede reescribirse como EP′

=

ik E0′ e

h

i

1 (x21 +z12 −2z0 z1 ) 2y0

.

(3.100)

Ahora estamos en condiciones de interpretar el resultado obtenido en (3.98) ya que si comparamos la fase de la citada ecuaci´ on con la fase de la ecuaci´ on (3.100) vemos que ha de verificarse que z0 = y0 (n(ω) − 1) tan(α). Si adem´ as el prisma es delgado se llega finalmente a que z0 ≈ y0 (n(ω) − 1)α, resultado que coincide con las predicciones de la o´ptica geométrica. En otras palabras, que el efecto del prisma consiste en producir una refracci´ on de los rayos que hace que la onda parezca provenir de un punto separado lateralmente z0 . Una vez más el efecto dispersivo est´ a incluido en la dependencia con la frecuencia del ´ındice de refracci´ on.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

99

Medios anis´ otropos 3.19 Un haz de luz polarizado el´ıpticamente viene dado por ~ t) = ˆıE0 cos(kz − ωt) + ˆE0 cos(kz − ωt + π/4), E(z,

(3.101)

y pasa a trav´ es de un polarizador lineal cuyo eje de transmisi´ on est´ a inclinado 45o con el plano XY . Encontrar una expresi´ on para el haz emergente y describir su estado de polarizaci´ on y determinar su irradiancia. Para obtener la amplitud de campo eléctrico transmitido por el polarizador hemos de proyectar ambas componentes del campo incidente en la direcci´ on del eje de transmisi´ on del polarizador resultando ~ sal (z, t) = [E0 cos(45o ) cos(kz − ωt) + E0 sin(45o ) cos(kz − ωt + π/4)] u ô , (3.102) E donde u ô es un vector unitario en la direcci´ on del eje de transmisi´ on del polarizador. Vemos que se tratar´ a de una onda linealmente polarizada que vibra a 45o del eje X. Dado que se trata de dos ondas de la misma frecuencia y desfasadas π/4 entre s´ı podemos reescribir la expresión (3.102) como ~ sal (z, t) = ET cos(kz − ωt + φ) uô , E donde ET =

p

(3.103)

2 cos(45o ) sin(45o ) cos(π/4) y φ es la fase (E0 cos(45o ))2 + (E0 sin(45o ))2 + 2E √ 0

, o sea, φ = 22.5o . Para determinar su de la vibración resultante que resulta tan(φ) = 1+√2/2 2/2 irradiancia hemos de proceder de la siguiente manera 2 cǫ0 2 cǫ0 2 2 ~ = Isal = cǫ0 Esal (z, t) ET = E 1.707. (3.104) 2 2 04

3.20 Describa lo que le ocurre a un haz de luz no polarizada que incide sobre un material anis´ otropo con el eje ´ optico orientado seg´ un se muestra en la Figura 3.17. Comente si se produce o no doble refracci´ on, si se introduce retardo entre las componentes de la luz y discuta la polarizaci´ on de las ondas refractadas. ¿Qu´ e orientaciones usar´ıa para construir una l´ amina de cuarto de onda? Vamos a analizar con detenimiento c´ omo la onda incidente es alterada al interaccionar con los diferentes medios. La onda incidente podemos expresarla de la forma ~ inc (y, t) = E0x cos(φ)ˆı + E0z sin(φ)kˆ ei(ωt−k0 y) , (3.105) E donde φ es una fase aleatoria que cambia con el tiempo.

En el caso b1 vemos que la onda incidente excitar´ a dipolos paralelos y perpendiculares al eje o´ptico, por lo que la componente del campo paralela al eje Z y la componente paralela al eje X experimentar´ an diferentes ´ındices de refracci´ on, aunque no habr´ a doble refracci´ on21 . Aunque se produce retardo entre las componentes, dado que el haz de radiaci´ on incidente est´ a despolarizado, a la salida seguiremos teniendo un haz despolarizado. Lo mismo puede decirse 21 Entendemos que hay doble refracci´ on cuando se produzcan dos haces refractados que se propaguen dentro del medio en direcciones diferentes.

´ Problemas de Optica F´ısica I

100

e.o. (b1)

(b2)

Z

e.o.

Y e.o. (b3)

(b4)

e.o.

Figura 3.17: Radiación despolarizada incidiendo sobre diferentes materiales anisótropos. “e.o.” indica la direcci´ on del eje óptico.

del caso b3. En el caso b2 el eje óptico es perpendicular a las caras, por lo que en este caso las componentes del campo incidente experimentar´ an el mismo ´ındice y no se producir´ a retardo ni doble refracci´ on. No obstante el haz emergente en este caso sigue despolarizado. Menci´ on aparte merece el caso b4: en este caso la componente X del campo incidente excitar´ a a los dipolos que experimentar´ an el ´ındice no (ordinario), mientras que la componente Z excitar´ a dipolos paralelos al eje óptico y perpendiculares al eje ´ optico, por lo que en este caso habr´ a doble refracci´ on: esta situación se ilustra en la Figura 3.18. Para construir una l´ amina de cuarto de onda podr´ıamos emplear la configuraci´ on b1 y b3. 3.21 Consid´ ~ = erese el siguiente campo el´ ectrico que se propaga en el vac´ıo E 7 7 3 cos(1.04791 × 10 z − wt − π/4)ˆı + 7/2 cos(1.04791 × 10 z − wt − π/4)ˆ, donde ˆı y ˆ son vectores unitarios en las direcciones X e Y respectivamente. •

Determinar su estado de polarizaci´ on. Este campo incide normalmente sobre una l´ amina retardadora cuyo eje ordinario es paralelo al eje X y cuyo eje extraordinario es paralelo al eje Y, como se indica en la Figura 3.19. En el sistema de referencia de la Figura 3.19, el campo eléctrico s´ olo tiene componentes seg´ un los ejes X e Y. Este campo se propaga seg´ un el eje Z. Llamemos kˆ al vector unitario seg´ un el eje Z. De acuerdo con la expresi´ on del campo que se suministra, el vector de propagaci´ on, ~k, se puede expresar de la siguiente manera ~k =

2π ˆ ˆ k = 1.04791 × 107 k. λ

(3.106)

Para determinar el estado de polarizaci´ on de la onda incidente, hallamos el desfase, δ,

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

101

(a)

(b) 2l

2l

Z

Z

0

0

Y -2l 0

2l

Y -2l 0

2l

Figura 3.18: Radiación despolarizada incidiendo un material anisótropo con el eje óptico formando un cierto ´ angulo con respecto a la cara de tallado. (a) Campo radiado por un dipolo inducido en la direcci´ on as dipolos, la onda ordinaria X por la componente E0x produce, junto con los campos radiados por los dem´ cuya direcci´ on de propagación no cambia. (b) Campo radiado por un dipolo excitado por la componente E0z que produce, junto con los campos radiados por los dem´ as dipolos, la onda extraordinaria.

Y ne= 1.557

d=

30 m

m

Ey Z

X no = 1.567

Ex

Figura 3.19: Esquema de la lámina sobre la que incide el campo eléctrico propagándose en la dirección del eje Z.

que resulta ser δ = δy − δx = 0. Por lo tanto se trata de luz linealmente polarizada cuyo 7/2 −1 = 49.39o respecto al eje X. azimut est´ a dado por θ = tan 3

´ Problemas de Optica F´ısica I

102 •

Hallar el campo el´ ectrico y el estado de polarizaci´ on del campo que emerge de la l´ amina. Cada componente del campo incidente sobre la l´ amina se retarda de acuerdo a los ´ındices de refracci´ on de las correspondientes direcciones. El estado de fase de la componente X del campo a la salida es δx = −

π 2π + (no − 1) d. 4 λ

(3.107)

El estado de fase de la componente Y del campo a la salida es δy = −

π 2π + (ne − 1) d. 4 λ

(3.108)

Por lo tanto el desfase a la salida es δ = δy − δx = 2π λ (ne − no) d = −3.14157, o sea, δ ≈ −π. La amplitud de la componente X del campo a la salida es Asalida = 3toA toB = 3 x

2 2no = 2.857, 1 + no 1 + no

(3.109)

on en amplitud para la componente sobre donde toA y toB son los coeficientes de transmisi´ el eje ordinario en las interfases aire-l´ amina y l´ amina-aire respectivamente. La amplitud de la componente Y del campo a la salida es Asalida = y

2ne 2 7 7 e e tA tB = = 3.329, 2 2 1 + ne 1 + ne

(3.110)

donde teA y teB son los coeficientes de transmisi´ on en amplitud para la componente sobre el eje extraordinario en las interfases aire-l´ amina y l´ amina-aire respectivamente. De lo anterior se infiere que el a linealmente polarizado cuyo azimut campo a la salida est´ est´ a dado por22 θs = arctan

•

22

−Asalida y Asalida x

= −49.36.

La expresión del campo a la salida est´ a dada ~ = 2.857 cos 1.04791 107 (z + no d) − wt − π/4 ˆı + E 3.329 cos 1.04791 107 (z + ne d) − wt − π/4 ˆ.

(3.111)

Hallar el campo el´ ectrico a la salida y el estado de polarizaci´ on del mismo teniendo en cuenta las m´ ultiples reflexiones que se producen en las interfases de la l´ amina El resultado obtenido en la ecuaci´ on (3.111) s´ olo tiene en cuenta las ondas transmitidas en las interfases aire-l´ amina y l´ amina-aire. En este caso estamos interesados en computar el campo eléctrico a la salida teniendo en cuenta las sucesivas reflexiones en el interior de la l´ amina birrefringente. En este caso se tendr´ a 1 − ro2 eiωt , 1 − ro2 e−iδo 1 − re2 eiωt , = 3 1 − re2 e−iδe

Exsal = 3

(3.112)

Eysal

(3.113)

N´ otese el signo menos en el azimut debido al desfase de −π. Naturalmente, la l´ amina anis´ otropa considerada se comporta para esta longitud de onda casi como un rotor: estrictamente esto no es as´ı como acabamos de ver ya que θ y θs son ligeramente diferentes en valor absoluto.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia o donde δo = 2π λ 2no d cos(0 ) y δe = llega a la expresión final

103

2π o λ 2ne d cos(0 ).

Tras realizar los c´ alculos indicados se

~ = 2.8992 cos 1.04791 107 z − wt − 0.0466 ˆı + E 2.8998 cos 1.04791 107 z − wt − 0.0465 ˆ,

(3.114)

con lo que el desfase entre ambas componentes a la salida es δ = −0.001 ≈ 0 rad. Comp´ arese el resultado obtenido en este apartado con el obtenido en el apartado anterior. 3.22 Un haz de luz no polarizada de irradiancia Ii pasa a trav´ as de una secuencia de dos polarizadores lineales perfectos. ¿Cu´ al debe ser su orientaci´ on relativa si el haz saliente debe tener una irradiancia de (a) Ii /2, (b)Ii /4. Si ignoramos la radiación reflejada por los polarizadores, podemos suponer que detr´ as del primer polarizador la radiación transmitida tiene una irradiancia igual a I2i y est´ a polarizada linealmente en la dirección del eje de transmisi´ on del primer polarizador. Si llamamos α al ángulo relativo entre los ejes de transmisi´ on de ambos polarizadores, entonces la irradiancia del haz emergente del segundo polarizador est´ a dada por IP 2 =

Ii cos2 (α). 2

(3.115)

As´ı si deseamos obtener a la salida del segundo polarizador una irradiancia igual a I2i se han de colocar ambos polarizadores con sus ejes de transmisi´ on paralelos α = 0o . En cambio para Ii que la irradiancia a la salida sea 4 el ´ angulo ha de ser α = 45o , de acuerdo con la expresi´ on (3.115). 3.23 Se tiene un cubo de arista a = 1 cm, cuyos ´ındices de refracci´ on son nx = 1.6584, ny = 1.4864, nz = 1.6584 para una longitud de onda de λ = 589 nm. Analizar el efecto de este material sobre el estado de polarizaci´ on de un haz incidente de la citada longitud de onda. •

Incide un haz linealmente polarizado que se propaga seg´ un el eje Z y vibra seg´ un el eje X. En este caso el campo incidente puede escribirse como Exinc = E0 cos(ωt − kz),

(3.116)

Exsal = tn1 x tn2 x E0 cos(ωt − kz + δx ),

(3.117)

y el campo a la salida será

•

donde tn1 x y tn2 x son los coeficientes de transmitancia en amplitud en ambas caras en condiciones de incidencia normal (que se calculan usando nx ) y δx = 2π λ nx a. Por lo tanto a la salida el campo eléctrico est´ a orientado igual que a la entrada, esto es, se tiene un campo linealmente polarizado. Incide un haz linealmente polarizado que se propaga seg´ un el eje Z y vibra a 45o del eje X. En este caso el campo incidente puede escribirse como Exinc = E0 cos(45o ) cos(ωt − kz), Eyinc

o

= E0 sin(45 ) cos(ωt − kz),

(3.118) (3.119)

´ Problemas de Optica F´ısica I

104 y el campo a la salida será

Exinc = tn1 x tn2 x E0 cos(45o ) cos(ωt − kz + δx ), Eyinc

=

n n t1 y t2 y E0 sin(45o ) cos(ωt

− kz + δy ),

(3.120) (3.121)

donde tn1 x y tn2 x son los coeficientes de transmitancia en amplitud en ambas caras en condiciones de incidencia normal para la componente Ex (que se calculan usando nx ), n n t1 y y t2 y son los coeficientes de transmitancia en amplitud en ambas caras en condiciones de incidencia normal para la componente Ey (que se calculan usando ny ), δx = 2π λ nx a n a. De manera que ambas componentes est´ a n desfasadas a la salida en la y δy = 2π λ y 2π cantidad δ = λ a(nx − ny ). Sustituyendo los valores suministrados se obtiene que el campo a la salida est´ a el´ıpticamente polarizado ya que δ = 2π(2920 + 0.2037). 3.24 Un haz de luz monocrom´ atica de longitud de onda λ linealmente polarizada en la direcci´ on Y incide sobre una l´ amina retardadora. La l´ amina se gira de tal angulo de 30o con el eje Y . El manera que su eje r´ apido de ´ındice ne forma un ´ espesor de la l´ amina es d y el ´ındice del eje lento no ¿Cu´ ales son las amplitudes de las componentes del campo emergente en t´ erminos de la amplitud E0 del campo incidente? Estudiar el estado de polarizaci´ on del haz emergente y la intensidad transmitida en funci´ on del retardo. La expresi´ on del campo eléctrico de la onda estar´ a dada por Ey = E0 ei(kz−ωt) ,

(3.122)

siendo z la direcci´ on de propagaci´ on de la onda. Este campo puede descomponerse en sus proyeciones sobre el eje r´ apido y lento de la l´ amina retardadora de la siguiente manera Ee = E0 cos(30o )ei(kz−ωt) , o

i(kz−ωt)

Eo = E0 sin(30 )e

,

(3.123) (3.124)

de manera que a la salida de la lámina se tendr´ a Ee = Eo =

2ne 2 E0 cos(30o )ei(kz−ωt+δe ) , 1 + ne 1 + ne 2 2no E0 sin(30o )ei(kz−ωt+δo ) , 1 + no 1 + no

(3.125) (3.126)

2π donde δe = 2π ı pues a partir de las expresiones (3.125) y (3.126) λ dne y δo = λ dno . As´ vemos que ambas componentes estar´ an desfasadas en una cantidad δ = δe − δo = 2π λ d(ne − no ). Dependiendo del valor del desfase la radiaci´ on emergente tendr´ a diferentes estados de polarización:

(a) As´ı por ejemplo si δ = 2mπ, donde m es un n´ umero entero, se tendr´ a radiaci´ on linealmente polarizada a un ´ angulo ligeramente diferente de 30o , ya que las amplitudes de las ondas (3.125) y (3.126) son diferentes. (b) Si δ = (2m + 1)π, donde m es un n´ umero entero, se tendr´ a radiaci´ on linealmente polarizada a un ángulo ligeramente diferente de −30o , ya que las amplitudes de las ondas en (3.125) y (3.126) son diferentes: en este caso se dice que la l´ amina rota el plano de polarización de la radiaci´ on incidente. (c) Para cualquier otro valor de δ la radiaci´ on emergente estar´ a el´ıpticamente polarizada.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

105

La irradiancia de la onda emergente ser´ a cǫo Isal = |Ee |2 + |Eo |2 = 2 " 2 2 # 2ne 2n cǫo E02 2 2 o . (3.127) cos(30o ) + sin(30o ) 2 1 + ne 1 + ne 1 + no 1 + no Nótese que al haber tenido en cuenta los coeficientes de transmitancia en amplitud para las ondas (3.125) y (3.126), la irradiancia a la salida es menor que la incidente. 3.25 Se dispone de dos polarizadores P1 y P2 dispuestos tal y como se indica en la Figura 3.20a. Este sistema se ilumina con luz blanca. Entre los dos polarizadores se introduce una cinta de celof´ an a 45o del eje X. En la pantalla se observa una banda de luz amarilla (λ = 550 nm) coincidente con la posici´ on de la tira de celof´ an tal y como se indica en la Figura 3.20b. Explicar el fen´ omeno considerando el celof´ an como una l´ amina retardadora. Si se mueve on paralelo al de P1 ¿qu´ e se el polarizador P2 para colocar su eje de transmisi´ observar´ a en la pantalla? Si el polarizador P1 se ilumina con luz blanca, del primer polarizador emerger´ a luz linealmente

Polarizador P1

(a)

(b)

Y Polarizador P2

luz amarilla

región de oscuridad

Pantalla de observación

X Z ejes de transmisión

región de oscuridad

Figura 3.20: (a) Disposición de los elementos polarizadores y la lámina de celofán. (b) Aspecto de la pantalla de observaci´ on cuando los polarizadores est´ an cruzados.

polarizada vibrando en la direcci´ on vertical. Al incidir este haz de luz sobre el segundo a polarizador P2 la radiación emergente de éste, de acuerdo con la ley de Malus, ser´ IP 2 =

I0 I0 cos2 (θ) = cos2 (90o ) = 0. 2 2

(3.128)

Suponemos que los polarizadores son perfectos para todas las longitudes de onda del haz de luz incidente y no consideramos las pérdidas por reflexi´ on ni las reflexiones m´ ultiples. Al introducir la l´ amina de celofán a 45o se observa en la pantalla una zona iluminada que se corresponde con la posici´ on que ocupa la l´ amina de celof´ an. Este hecho se debe a que

´ Problemas de Optica F´ısica I

106

la lámina act´ ua como una lámina retardadora, de manera que para cada longitud de onda del haz emergente de P1 introduce un desfase diferente entre la componente paralela al eje ordinario y el extraordinario del campo incidente; de manera que en general a la salida se tendrán radiaciones el´ıpticamente polarizadas. Si el desfase introducido fuese cualquiera, otras radiaciones próximas saldr´ıan también el´ıpticamente polarizadas y ser´ıan visibles. Como s´ olo se ve luz amarilla de λ = 550 nm, este comportamiento se podr´ıa explicar suponiendo que el celofán act´ ua como una lámina λ/2 para el amarillo. De esta forma, el plano de polarizaci´ on de la luz incidente amarilla rotar´ a un ´ angulo de 45o respecto de uno los ejes de la l´ amina. El haz de color amarillo emergente de la l´ amina de celo, y s´ olo él, incidir´ a sobre el segundo polarizador vibrando de manera paralela a su eje de transmisi´ on por lo que se transmitir´ a ´ıntegramente (despreciamos la radiaci´ on reflejada por P2 ). Si ahora se gira P2 el eje éste es paralelo al de P1 , por lo que la radiaci´ on amarilla no pasar´ a. Sin embargo el resto de las radiaciones del haz incidente, que emergen del celof´ an el´ıpticamente polarizadas, se transmiten parcialmente por P2 . No obstante sobre la pantalla no se ver´ a una distribución de luz blanca, ya que al absorber P2 la radiaci´ on amarilla, las componentes azul y roja de la radiaci´ on incidente predominar´ an y se ver´ a una banda de luz azul (en la misma zona en la que antes se observaba la radiaci´ on amarilla) rodeada de un fondo blanco. 3.26 Determinar la composici´ on de la radiaci´ on que atraviesa sucesivamente una l´ amina de media onda, una l´ amina de cuarto de onda y un polarizador lineal. on en la que se tiene un Se sabe que al girar el polarizador 60o respecto a la posici´ m´ aximo de irradiancia transmitida, la intensidad detectada tras el polarizador se reduce a 1/3 de la irradiancia m´ axima. Al suprimir las l´ aminas retardadoras no se observa variaci´ on de la intensidad detectada al girar el polarizador. Vamos a utilizar la información suministrada: sabemos que al suprimir las l´ aminas retardadoras no se detecta variación de irradiancia tras el polarizador. Este hecho nos sugiere que la radiación incidente puede estar completamente despolarizada (luz natural). De ser luz natural al colocar las l´ aminas, éstas no alteran el estado de polarizaci´ on de la luz natural, por lo que no se observar´ıan variaciones de la irradiancia tal y como se indica en el enunciado, por lo que concluimos que no puede tratarse de luz natural. Podr´ıamos pensar que se trata de luz circular, ya que al suprimir las l´ aminas, y girar el polarizador no se observar´ıa variaci´ on de la irradiancia. Veamos si esto es posible: al colocar las láminas el efecto de ambas es trasformar la luz circular en luz lineal vibrando a un cierto ángulo θ0 . Cuando el polarizador lineal se oriente al ´ angulo θ0 se obtendr´ a un m´ aximo de la irradiancia que llamaremos Imax . Asimismo sabemos que a 60o de θ0 la intensidad se reduce a 1/3 de la irradiancia m´ axima por lo que tendr´ıa que verificarse que I(θ = 60o ) = Imax cos2 (60o ) = 1/4Imax , o sea que 1/3 = 1/4 lo cual es absurdo, de lo que concluimos que no se trata de luz circular. Finalmente podr´ıamos pensar que se trata de una mezcla de luz circular, de irradiancia Ic , y luz natural, de irradiancia IN . Veamos si esto es posible: al atravesar el sistema la irradiancia debida a la luz natural se reduce a IN /2 y la irradiancia debida a la luz circular vendr´ıa dada por Ic (θ) = Ic cos2 (θ), siendo θ el ´ angulo formado por el eje de transmisi´ on del polarizador respecto a θ0 . En este caso se deber´ıa verificar que 1 Imax = 3

IN + Ic cos2 (60o ). 2

(3.129)

Además la mezcla de ambos tipos de luz ha de ser tal que IN + Ic = 1 en tanto por ciento.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

107

De la ecuación (3.129) se obtiene que IN = Ic /4. Operando finalmente se llega a que el 80 % de la radiación incidente es luz circular y el 20 % es luz natural23 . 3.27 Se dispone de una l´ amina de un material anis´ otropo uni´ axico como se describe en la Fig. 3.21 con el eje ´ optico paralelo al eje X. Sobre ella incide una radiaci´ on monocrom´ atica (λ = 590 nm) linealmente polarizada vibrando a 45o del plano de incidencia (que en este caso coincide con el del dibujo). Sabemos que nz = 1.543 y nx = 1.519 son los ´ındices de refracci´ on que experimentan las ondas que vibran paralelas al eje Z y al eje X respectivamente y que el eje optico es el eje X. ´ •

Escribir la expresi´ on del campo el´ ectrico incidente. Podemos descomponer el campo eléctrico de la onda incidente en la componente paralela al plano de incidencia y en la componente perpendicular, dadas respectivamente por ~ inc (~r, t) = E0 cos(45o )ei(ωt−~k1 ·~r) u E ˆk , k

(3.130)

i(ωt−~k1 ·~ r)

~ inc (~r, t) = E0 sin(45o )e E ⊥

ˆı.

En la expresi´ on (3.130) ~k1 denota el vector de propagaci´ on de la onda incidente dado por ~k1 = 2π cos(30o )ˆ − sin(30o )kˆ , (3.131) λ

~r es el vector de posici´ on fuera de la l´ amina y a la izquierda de ella, y u ˆk es un vector ~ 1 dado por u unitario en la dirección de vibraci´ on del campo eléctrico E ˆk = sin(30o )ˆ + ˆ cos(30o )k. •

Escribir la expresi´ on del campo el´ ectrico dentro de la l´ amina. La onda que vibra paralela al plano de incidencia experimenta el ´ındice nz en tanto que la onda que vibra perpendicular al plano de incidencia experimenta el ´ındice nx por lo que las ondas dentro del medio vendr´ an dadas por ~ in (~r, t) = t(1) E0 cos(45o )ei(ωt−~ktz ·~r) u ˆ′k , E k k

(3.132)

~ in (~r, t) = t(1) E0 sin(45o )ei(ωt−~ktx ·~r)ˆı, E ⊥ ⊥ on de ambas ondas dados por donde ~ktz y ~ktx son los vectores de propagaci´ ~ktz = 2πnz cos(θz )ˆ − sin(θz )kˆ , λ ~ktx =

(3.133)

2πnx cos θxˆ − sin θx kˆ . λ

Naturalmente se verifica que sin(30o ) = nz sin(θz ) y sin(30o ) = nx sin(θx ). 23 En la resoluci´ on del problema no hemos considerado la reflexi´ on de los haces de luz en los diferentes elementos considerados, ya que no se suministran datos sobre sus caracter´ısticas o ´pticas.

´ Problemas de Optica F´ısica I

108

Z u2

Einc X 30

o

Y

e=50 mm

Figura 3.21: Radiación incidiendo sobre la lámina birrefringente. •

Determinar la expresi´ on del campo el´ ectrico fuera de la l´ amina. Teniendo en cuenta el resultado anterior podemos escribir ~ sal (~r, t) = t(1) t(2) E0 cos(45o )ei(ωt−~k1 ·~r+δk ) u ˆk , E k k k ~ sal (~r, t) E ⊥

=

(3.134)

~ (1) (2) t⊥ t⊥ E0 sin(45o )ei(ωt−k1 ·~r+δ⊥ )ˆı,

2π donde δk = 2π λ nz dz y δ⊥ = λ nx dx son las fases de cada una de las ondas. Asimismo dz y dx son los espesores efectivos que recorren las ondas dentro del medio, que pueden estimarse teniendo en cuenta la ley de Snell de la refracci´ on

dz =

dx =

50 × 10−6 d =p = 52.85 µm, cos(θz ) 1 − (sin(30o )/nz )2 d 50 × = 52.95 µm. =p cos(θx ) 1 − (sin(30o )/nx )2

(1) (2)

•

(3.135)

10−6

(1) (2)

Adem´ as se tiene que tk tk = 0.9708 y t⊥ t⊥ = 0.9389 Indicar el estado de polarizaci´ on de la radiaci´ on emergente.

Como hemos visto entre las ondas emergentes hay un retardo relativo dado por δ = δ⊥ − δk = 2π(−1.8924) rad, por lo que la onda emergente est´ a el´ıpticamente polarizada. 3.28 Entre dos polarizadores cruzados se colocan varias capas de celo orientadas paralelamente entre s´ı y con sus ejes ´ opticos a 45o de los ejes de transmisi´ on de los polarizadores. Un haz de luz blanca incide sobre el primer polarizador. Se ha medido la irradiancia de la luz emergente del segundo polarizador en funci´ on de la longitud de onda y se ha representado en la Figura 3.22.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

•

109

Interpretar la presencia de los m´ınimos de irradiancia del espectro medido y representado en la Figura 3.22.

transmitancia

1.0

0.5

0 400

450

500

550

600

650

700

l (nm)

Figura 3.22: Transmitancia, en el eje de ordenadas, de las capas de celos entre dos polarizadores cruzados. En la Figura (3.23) se representa un esquema del dispositivo. El eje de transmisi´ on del primer polarizador se tomar´ a en la direcci´ on OY . Por ello, el eje de transmisi´ on del segundo polarizador estar´ a situado en la direcci´ on OX. Sobre el primer polarizador a escribir como incide luz blanca. Después de su paso por P1 el campo a la salida se podr´

~ 1 = 0ˆ E ux + E0 cos(ωt − kz)ˆ uy .

(3.136)

Los ejes de la l´ amina est´ an rotados un ´ angulo θ respecto de los ejes originales elegidos. En nuestro caso el ´ angulo se particularizar´ a para θ = 45o . Para mayor comodidad referiremos el campo incidente en la l´ amina a un nuevo sistema de ejes determinado por los ejes ordinario y extraordinario de la l´ amina retardadora. En este caso no hay más que proyectar el campo resultante tras el polarizador en las direcciones ordinaria y extraordinaria. Se obtiene un campo dado por ~ in = u E ê E0 cos(θ) cos(ωt − kz) + u ô E0 sin(θ) cos(ωt − kz).

(3.137)

Ahora se puede ver claramente la acci´ on de la l´ amina. En efecto, el campo que vibra en la direcci´ on del eje ordinario se retrasa un tiempo dado por ∆to = (no − 1)d/c mientras que el campo que vibra en la direcci´ on del eje extraordinario tendr´ a un retraso (respecto a la situación en que no hubiera l´ amina) que vale ∆te = (ne −1)d/c . El retraso temporal relativo entre ambas componentes ser´ a ∆t =

(no − ne )d . c

(3.138)

´ Problemas de Optica F´ısica I

110

A la salida de la lámina, de espesor d, la diferencia de fase entre ambas componentes será ω|(no − ne )|d . (3.139) δ = ω|∆t| = c La expresión del campo a la salida de la l´ amina ser´ a ~ out = u E ê E0 cos(θ) cos(ωt − kz + δ) + u ô E0 sin(θ) cos(ωt − kz).

(3.140)

Este campo es el que incidir´ a en el segundo polarizador. Detr´ as del mismo, s´ olo la componente del campo incidente en la direcci´ on del eje OX. Como puede verse en la ô respecto de los ejes primarios u ˆx y u ˆy ser´ an Figura 3.23, los vectores u ê y u u ê = −ˆ ux sin(θ) + u ˆy cos(θ),

(3.141)

ˆx cos(θ) + u ˆy sin(θ). u ô = u

(3.142)

~ out (3.140) y reteniendo s´ Por lo tanto, sustituyendo estas expresiones en el campo E olo la componente x se llega a que el campo emergente del segundo polarizador es (se ha supuesto que no hay pérdidas por reflexi´ on en ninguno de los elementos): ~ f inal = E0 sin(θ) cos(θ) [− cos(ωt − kz + δ) + cos(ωt − kz)] u ˆx . E

(3.143)

La irradiancia a la salida será proporcional al promedio temporal del vector de Poynting. Si, para simplificar las expresiones, se toma z = 0 a la salida del segundo polarizador, If inal = cǫ0 h[−E0 sin(θ) cos(θ) cos(ωt + δ) + E0 sin(θ) cos(θ) cos(ωt)]2 i.

(3.144)

Teniendo en cuenta que hsin2 (ωt)i = hcos2 (ωt)i = 1/2, y que hsin(ωt) cos(ωt)i = 0 se llega, después de unas cuantas operaciones a la siguiente expresi´ on: If inal =

eje de transmisión

P1

cǫ0 2 2 E sin (2θ) [1 − cos(δ)] . 8 0

(3.145)

lámina birrefringente Y

Y

Y no

X

X

X

eje de transmisión

q ne Z

P2

campo elípticamente polarizado d

Figura 3.23: Esquema del dispositivo experimental.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

111

En nuestro caso θ = 45o por lo que la intensidad transmitida ser´ a If inal =

I0 cǫ0 2 E [1 − cos(δ)] = [1 − cos(δ)] . 8 0 4

(3.146)

Obsérvese que la intensidad transmitida depende del valor del defase introducido por la l´ amina a las diferentes longitudes de onda presentes en la radiaci´ on incidente. La irradiancia será m´ınima cuando 1 − cos(δ) = 0,

(3.147)

δ = 2mπ.

(3.148)

es decir, si En este caso la l´ amina retardadora introduce un retardo de un n´ umero entero de longitudes de onda. El campo a la salida se encontrar´ a en el mismo estado de polarizaci´ on que a la entrada, esto es, linealmente polarizado en la direcci´ on del eje OY . Por ello, no pasar´ a a través del segundo polarizador. El hecho de que los m´ınimos no sean estrictamente nulos se debe a que el grado de extinci´ on de los polarizadores depende de la longitud de onda, entre otras razones (la extinci´ on no es completa). En este caso se dice que la lámina act´ ua como l´ amina de onda completa para las longitudes de onda que verifiquen la condici´ on (3.148). •

Estime para qu´ e longitudes de onda act´ ua como una l´ amina λ/2 Los máximos de irradiancia se obtendr´ an cuando el campo emergente de la l´ amina salga polarizado en la dirección del segundo polarizador. Para ello, la direcci´ on de vibración del a para aquellas campo emergente en la lámina habr´ a tenido que girar 90o . Esto ocurir´ longitudes de onda para las que la l´ amina act´ ua como una λ/2, dado que el campo incidente formaba 45o con los ejes de la l´ amina. A este hecho se puede llegar sin m´ as que exigir que la intensidad transmitida dada por la expresi´ on (3.146) se haga máxima. Ello ocurre para aquellas longitudes de onda a las cuales se tiene que δ = (2m + 1)π.

•

(3.149)

Si sustituimos el valor de δ en funci´ on del espesor de la l´ amina y de la birrefringencia, se llega a que λ (3.150) |(n0 − ne )|d = (2m + 1) . 2 Suponiendo que la birrefringencia del material es independiente de la longitud de onda y que el espesor es d = 3.3 mm ¿Podr´ıa estimar la birrefringencia a partir de los resultados experimentales? Para un espesor fijo de la lámina y un valor de la diferencia de ´ındices constante, los m´ aximos o los m´ınimos de la irradiancia transmitida ocurrir´ an para diferentes valores de λ, esto es, diferentes valores de m. Entre dos valores consecutivos de m´ınima irradiancia se tendr´ a: |(n0 − ne )|d = mλ1 , (3.151) y |(n0 − ne )|d = (m − 1)λ2 .

(3.152)

Restando ambas expresiones se llega a que m=

λ2 520 = = 11.55 ≈ 12. λ2 − λ1 520 − 475

(3.153)

´ Problemas de Optica F´ısica I

112

Sustituyendo en la ecuación (3.151) los valores de m y del espesor d = 3.3 mm se llega a que |(n0 − ne )| = 0.0017. (3.154) 3.29 Un haz de luz blanca polarizada linealmente incide perpendicularmente sobre una placa de cuarzo de espesor 0.865 mm, tallada paralelamente al eje ´ optico. o on El azimut del campo el´ ectrico es de 45 . Los ´ındices principales de refracci´ del cuarzo son no = 1.5533 y ne = 1.5442 (no consideramos la variaci´ on de ne y no con la longitud de onda). •

¿Qu´ e longitudes de onda comprendidas entre 600 y 700 nm emergen de la l´ amina polarizadas linealmente? Las componentes del campo a la entrada de la l´ amina se pueden escribir Eno

= E0 cos(π/4) cos(ωt),

Ene

= E0 sin(π/4) cos(ωt).

(3.155)

on del campo incidente sobre la direcci´ on de la l´ amina en El campo Eno es la proyecci´ la que ésta presenta un ´ındice no . El campo Ene es la proyecci´ on del campo incidente sobre la dirección de la lámina en la que ésta presenta un ´ındice ne . Dado que ambos ´ındices son diferentes, a la salida de la l´ amina las componentes de los campos se pueden escribir como Eno = E0 cos(π/4) cos(ωt + kno d), Ene = E0 sin(π/4) cos(ωt + kne d),

(3.156)

siendo d el espesor de la l´ amina y k el n´ umero de ondas. En la expresi´ on (3.156) no se ha tenido en cuenta los factores de transmitancia por simplicidad. La ecuación (3.156) se puede reescribir como Eno = E0 cos(π/4) cos(ωt), Ene = E0 sin(π/4) cos [ωt + k(ne − no )d] ,

(3.157)

de manera que entre ambas componentes hay un desfase a la salida dado por δ = 2π λ d|ne − no |. Las radiaciones que emerger´ an de la l´ amina linealmente polarizadas ser´ an aquellas en las que se verifique que el desfase δ se un m´ ultiplo entero de π (δ = mπ), o sea, λ =

2 × 7.8715 × 10−6 . m

(3.158)

Sustituyendo en la ecuación (3.158) vemos que los valores de m que proporcionan longitudes de onda en el intervalo especificado son un n´ umero finito (ver Tabla 3.1). •

¿Qu´ e longitudes de onda emergen polarizadas circularmente? Para que emergan circularmente polarizadas ha de verificarse que el desfase entre las dos componentes del campo a la salida de la l´ amina [ ver ecuaci´ on (3.157) ] sea un m´ ultiplo impar de π/2, con lo cual se tiene λ =

4 × 7.8715 × 10−6 . 2m + 1

(3.159)

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

m 23 24 25 26

113

λ (nm) 684.4 655.9 629.7 605.5

Tabla 3.1: Valores del número entero m y longitudes de onda que emergen linealmente polarizadas. m 22 23 24 25

λ (nm) 699.7 669.9 642.5 617.3

Tabla 3.2: Valores del número entero m y longitudes de onda que emergen circularmente polarizadas. También se precisa en este caso que las amplitudes de ambas componentes sean iguales: al ser el azimut de π/4 esta condici´ on se verifica si consideramos que los coeficientes de transmitancia en amplitud para la direcci´ on del eje ordinario y extraordinario son 24 pr´ acticamente coincidentes entre s´ı . Sustituyendo en la ecuaci´ on (3.159) vemos que los valores de m que proporcionan longitudes de onda en el intervalo especificado son un n´ umero finito (ver Tabla 3.2). •

Si el haz emergente de la l´ amina pasa a trav´ es de un analizador cuyo eje de transmisi´ on es perpendicular al plano de vibraci´ on de la radiaci´ on incidente ¿Qu´ e longitudes de onda faltan en el haz transmitido por este analizador? Las radiaciones que emergen linealmente porlarizadas de la l´ amina tienen un desfase proporcional a π. En el caso de que δ = (2m + 1)π la l´ amina se comporta como una lámina de media onda para esas radiaciones, por lo que pasan sin atemuarse por el analizador. En el caso de que δ = 2mπ la l´ amina no introduce un desfase efectivo por lo que el campo a la salida de la l´ amina vibra en la misma direcci´ on que el campo incidente y por lo tanto se extinguen (λ1 = 655.9 nm y λ2 = 605.5 nm, entre otras). Las radiaciones que emergen circularmente polarizadas de la l´ amina pasan atenu´ andose por el polarizador. El resto de las radiaciones emergen de la l´ amina polarizadas el´ıpticamente y se aten´ uan al pasar por el analizador.

24 Si se realiza el c´ omputo de los coeficientes de transmitancia en amplitud para la componente ordinaria y extraordinaria se observa que difieren en la cuarta cifra decimal.

´ Problemas de Optica F´ısica I

114

3.30 Se quiere obtener experimentalmente el espesor de una l´ amina plano-paralela de un material birrefringente cuyos ´ındices de refracci´ on son ne = 1.56 y n0 = 1.48. Para ello se monta un polariscopio consistente en una fuente de luz blanca on en que produce un haz colimado, un polarizador P1 con sus eje de transmisi´ la direcci´ on vertical y un polarizador P2 con su eje de transmisi´ on en la misma direcci´ on que P1 . Detr´ as de este polarizador se sit´ ua una red de difracci´ on de 600 l´ıneas/mm. La l´ amina se coloca entre los dos polarizadores con sus ejes neutros a 45o respecto al eje del primer polarizador (ver Figura 3.24). En una pantalla situada a 2 m se observa una distribuci´ on de irradiancia de color azul en el centro y dos espectros id´ enticos coloreados situados a ambos lados del centro. En los dos espectros se observan dos bandas negras situadas a 75.7 cm y 67.1 cm del centro respectivamente. Razonar sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (a) La luz se ve azul en el centro porque el primer polarizador absorbe parte de la luz amarilla procedente de la l´ amina. (b) El primer polarizador no absorbe, sino que es la l´ amina la que absorbe. (c) El segundo polarizador absorbe toda la radiaci´ on amarilla y s´ olo queda la componente azul. (d) Es la red de difracci´ on la responsable de este fen´ omeno ya que no se absorbe ning´ un color como lo prueban los espectros coloreados que aparecen en la pantalla. (e) ¿De los resultados del experimento se puede inferir que la l´ amina act´ ua como una l´ amina de media onda para 500 nm? (f) Calcule el espesor de la l´ amina.

lámina birrefringente Y

P1

Y

X no

red

P2

ne Z

d

Figura 3.24: Esquema del dispositivo experimental y pantalla de observación. En la pantalla se han indicado las l´ıneas “desaparecidas” en los ´ ordenes de difracci´ on ±1.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

115

En la Figura 3.24 se representa un esquema del dispositivo. El eje de transmisi´ on del primer polarizador se tomar´ a en la direcci´ on OY . Por ello, el eje de transmisi´ on del segundo polarizador estar´ a situado también en la direcci´ on OY . Sobre el primer polarizador incide luz blanca. Después de su paso por P1 el campo a la salida estar´ a linealmente polarizado y estarán presentes todas las longitudes de onda. Se supone que la l´ amina es transparente a todas las radiaciones, por lo que el efecto de la lámina sobre el haz policromático linealmente polarizado ser´ a introducir un desfase entre la componente del campo incidente paralelas a cada uno de los ejes neutros de la l´ amina. Este desfase será diferente para cada una de las componentes monocrom´ aticas que componen el haz de luz incidente. La radiación emergente de la l´ amina incidir´ a en el segundo polarizador25 . Como el segundo polarizador tiene su eje de transmisi´ on en la direcci´ on del eje OY , aquellas componentes monocromáticas que por efecto de la l´ amina estén lineamente polarizadas perpendicularmente a la dirección OY , ser´ an absorbidas por el segundo polarizador y no pasar´ an. o Obsérvese que para que esto suceda, dada la orientaci´ on de la l´ amina retardadora a 45 , el amina actuar´ıa plano de polarización de estas radiaciones habr´ a debido girar 90o , esto es, la l´ como una l´ amina λ/2 para estas radiaciones. As´ı pués, estas radiaciones estar´ıa ausentes al incidir el haz emergente del segundo polarizador sobre la red de difracci´ on. Por su parte, la red de difracci´ on descompondr´ a espectralmente la radiaci´ on incidente. Por efecto de la difracci´ on, cada componente presente en el haz que incide sobre la red se desviar´ a, en un orden de difracci´ on dado, un ángulo diferente, dado por la ecuaci´ on de la red: d sin(θ) = kλ,

(3.160)

donde d es el paso de la red y k el orden de difracci´ on. En nuestro problema, se analizan el orden cero y el orden 1. En el orden cero aparecen confundidos todos los colores presentes en el haz incidente sobre la red, ya que el ángulo de difracci´ on en orden cero es el mismo para todas las radiaciones. El hecho de que tenga un tono azulado indicar´ıa que algunas componentes amarillo-verdosas est´ an ausentes. En efecto, en orden 1 se pone de manifiesto esta ausencia con la presencia de dos l´ıneas negras en el espectro proyectado sobre la pantalla. Est´ as l´ıneas corresponder´ an a radiaciones cuyas longitudes de onda se pueden calcular inmediatamente aplicando la ecuaci´ on (3.160), dado que los ´ angulos de difracci´ on se obtienen de los datos suministrados: tan(θ1 ) =

67.1 , 200

(3.161)

de donde θ1 = 18.54o y

75.7 , (3.162) 200 on de la red se obtiene de donde θ2 = 20.73o . Como la red tiene 600 l/mm, aplicando la ecuaci´ tan(θ2 ) =

y

25

1 sin(18.54o ) = λ1 = 530.1 nm, 600

(3.163)

1 sin(20.73o ) = λ2 = 589.9 nm. 600

(3.164)

Un polarizador, en efecto, polariza como se dice vulgarmente, lo cual significa que una de las componentes del campo incidente sobre él (aquella que vibra perpendicularmente al eje de transmisi´ on del polarizador) es absorbida por éste.

´ Problemas de Optica F´ısica I

116

Estas son las longitudes de onda que no pasan el segundo polarizador porque inciden vibrando perpendicularmente a él. Son absorbidas por el polarizador. Para est´ as longitudes de onda, y s´ olo para estas, la lámina act´ ua como una l´ amina λ/2. Por lo tanto, la l´ amina no es una l´ amina λ/2 para 500 nm. Calcularemos ahora el espesor de la l´ amina. Como sabemos con certeza para qué longitudes de onda la lámina retardadora act´ ua como una l´ amina λ/2, conocemos que para esas radiaciones el defase introducido es un multiplo impar de π, esto es δ = k|ne − no |e = (2m + 1)π,

(3.165)

donde m puede ser cualquier n´ umero entero, no precisamente 0 ´ o 1. Para este valor (m = 0) obtendr´ıamos la l´ amina más delgada pero, a priori, no sabemos el valor de m. Sin embargo sabemos que si para la radiación λ1 el valor de m es m = m1 , entonces para λ2 el valor de m2 = m1 − 1. Por ello26 , utilizando la ecuaci´ on (3.165) se obtiene: (2m1 + 1) λ1 , 2 (2m1 − 1) |ne − no |e = λ2 . 2 De estas dos ecuaciones se obtiene el valor de m λ2 + λ1 ≈ 9. m1 = 2(λ2 − λ1 ) |ne − no |e =

(3.166) (3.167)

(3.168)

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones (3.166) ´ o (3.167) se obtiene el espesor e = 0.06 µm. 3.31 Una l´ amina de cuarzo de caras plano paralelas, tallada paralelamente a su eje optico se sit´ ´ ua entre dos polarizadores con sus ejes de transmisi´ on P1 y P2 paralelos y formando un ´ angulo de 45o con uno de los ejes de la l´ amina. Se hace incidir sobre este sistema un haz paralelo de luz blanca. (a) Calcular las expresiones de la amplitud y de la intensidad de la onda transmitida en funci´ on de la diferencia de fase φ = 2π(ny − nx )e/λ0 donde e es el espesor de la l´ amina (e = 2 mm), λ0 = 545 nm,ny = 1.553 y nx = 1.544. (b) Se apilan N = 8 sistemas como el anterior con las l´ aminas de cuarzo de espesores sucesivos e, 2e, 4e, 2N −1 e. Todos los polarizadores son paralelos entre ellos. Ignorando la absorci´ on de las l´ aminas, determinar la intensidad de la onda transmitida en funci´ on de φ. Demostrar que este sistema puede ser utilizado como un filtro. Considérese el sistema de la Figura 3.25. El haz de luz blanca incide sobre el primer polarizador por lo que a su izquierda tendremos luz linealmente polarizada vibrando a 45o del eje vertical. Sea E0 la amplitud del campo emergente del primer polarizador que se propaga seg´ un el eje Z y cuya frecuencia es ω. El campo que incide sobre la l´ amina lo podemos descomponer en una componente vertical Ey y otra horizontal Ex dadas por Ey = E0 cos(45o ) ei(ωt−kz) , Ex = E0 sin(45o ) ei(ωt−kz) ,

(3.169)

26 En la resoluci´ on del problema hay que hacer notar que hacemos la aproximaci´ on de considerar que el ´ındice de refracci´ on para ambas longitudes de onda no va a cambiar apreciablemente.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

Ey

E

117

ny

Ex Y

P1

nx P2

X

Z

Figura 3.25: Esquema de la situación descrita: P1 polarizador, P2 polarizador con su eje paralelo al primero y formando ambos un ángulo de 45o respecto a las l´ıneas neutras de la lámina. donde ambas componentes se encuentran en fase. El retardo de la componente Ex con respecto a la propagación en el vac´ıo al atravesar la l´ amina de espesor e es ∆tx = e(nx − 1)/c, en tanto que el retardo que adquiere la componente Ey es ∆ty = e(ny − 1)/c, por lo tanto a la salida de la lámina el campo eléctrico emergente vendr´ a dado por Eysal = Exsal =

2ny 2 E0 cos(45o ) ei(ω(t+∆tx )−kz) , 1 + ny 1 + ny 2nx 2 E0 sin(45o ) ei(ω(t+∆ty )−kz) , 1 + nx 1 + nx

(3.170)

Si, por simplicidad, consideramos que la tansmitancia es la unidad, podemos eliminar los coeficientes de Fresnel, por lo que el campo transmitido puede reescribirse como √ 2 i(ωt−kz) sal Ey ≈ E0 e , √2 2 i(ωt−kz+φ) Exsal ≈ E0 e , (3.171) 2 donde φ = ω(∆ty − ∆tx ) = 2π on λ0 (ny − nx )e. Hay que hacer notar que el estado de polarizaci´ de la onda emergente en general ha cambiado ya que ambas componentes, que estaban en fase a la entrada [ ecuación (3.169) ], est´ an desfasadas en una cantidad φ a la salida. N´ otese adem´ as que este cambio depende de la longitud de onda del campo incidente. Vamos a analizar con mayor detenimiento el cambio del estado de polarizaci´ on: (a) Si δ = 2M π la radiación emergente est´ a linealmente polarizada y su azimut no ha cambiado tal y como hemos indicado anteriormente (podr´ıamos hablar de una lámina de onda completa). (b) Si δ = (2M + 1)π la radiación emergente est´ a linealmente polarizada y su azimut ahora es θ salida ≈ −45o . A efectos pr´ acticos la l´ amina cambia el plano de vibraci´ on del campo

´ Problemas de Optica F´ısica I

118

eléctrico, de ah´ı que se diga que la l´ amina act´ ua como un rotor para aquellas longitudes de onda que verifican la citada condici´ on (o también l´ amina de media onda). on emergente estar´ a circularmente polarizada. (c) Si δ = (2M + 1) π2 , la radiaci´ El campo emergente de la lámina incide sobre el segundo polarizador. Este s´ olo dejar´ a pasar la componente del campo que vibra paralelamente al eje de transmisi´ on del segundo polarizador. Por lo tanto, deberemos proyectar cada una de las componentes del campo dado por (3.171) sobre la dirección del eje de transmisi´ on del segundo polarizador. Si u ˆP es un vector unitario en la direcci´ on del eje de transmisi´ on del polarizador, el campo transmitido se podr´ a poner como ! √ √ 2 2 o ~ ET = E0 ˆP , (3.172) cos(45 ) + E0 sin(45o ) eiφ ei(ωt−kz) u 2 2 es decir

~ T = E0 1 + eiφ ei(ωt−kz) u ˆP . E 2 La irradiancia del haz transmitido vendr´ a dada por 1 I0 cǫ0 |ET |2 = (1 + cos(φ)) . 2 2

I1 =

(3.173)

(3.174)

Por otra parte, podemos definir la transmitancia en amplitud del dispositivo como 1 ET 1 + eiφ , = E0 2

t1 =

(3.175)

Si en lugar del dispositivo considerado, la l´ amina birrefringente tuviera un espesor 2e, las transmitancia vendr´ıa dada por la una expresi´ on similar pero el defase ser´ıa el doble, es decir, 1 1 + ei2φ . 2

(3.176)

(N−1) φ 1 1 + ei2 . 2

(3.177)

t2 =

Si tenemos una l´ amina de espesor 2(N −1) e, la transmitancia ser´ a t2 =

Si se apilan N sistemas de espesores sucesivos e, 2e, 4e .... 2N −1 e, la transmitancia del dispositivo será el producto de las transmitancias. Para ver la ley de recurrencia vamos a analizar los casos N = 1, N = 2 y N = 3. Para N = 1 se tiene t= Para N = 2 se tiene t = t1 t2 = Para N = 3 se tiene

t = t1 t2 t3 =

1 iφ i2φ i3φ + e + e . 1 + e 22

(3.178) (3.179)

1 i4φ i2φ iφ , 1 + e 1 + e 1 + e 23

(3.180)

1 iφ i3φ i4φ i5φ i6φ i7φ . 1 + e + e + e + e + e + e 23

(3.181)

t = t1 t2 t3 = es decir

1 1 + eiφ . 2

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

119

Es fácil obtener la ley de recurrencia para N N 1 t = t1 t2 t3 ...tn = N 1 + eiφ + ei3φ + .... + ei(2 −1)φ . 2

(3.182)

Los términos entre paréntesis representan la suma de una progresi´ on geométrica de razón eiφ y su valor resulta N 1 1 − ei2 φ t= N . (3.183) 2 1 − eiφ La irradiancia transmitida por el conjunto de N sistemas ser´ a I0 sin2 2N φ/2 1 2 2 . (3.184) IN = cǫ0 |t| |E0 | = 2N 2 2 sin2 φ/2 La transmitancia del dispositivo est´ a representada en la Figura 3.26 para un conjunto de radiaciones diferentes: n´ otese que a pesar de que cada una de las l´ aminas es transparente, el conjunto de ellas y el sistema de polarizadores permite obtener una alta selectividad espectral, esto es, podemos seleccionar algunas longitudes de onda para las cuales la transmitancia es máxima. En el detalle de la figura se aprecia c´ omo var´ıa la transmitancia en torno a una de las l´ıneas espectrales transmitidas en condici´ on de m´ aximo.

1.0 1.0

T8

0.8

0.5

0.1 545

l (nm)

546

T8

0.6

0.4

0.2

0.0 520

530

540

550

560

570

l (nm)

Figura 3.26: Transmitancia del filtro para N = 8. En el recuadro interior se ha realizado una ampliación para visualizar mejor la anchura de cada l´ınea.

Teniendo en cuenta lo anterior la transmitancia para λ0 cuando se apilan 8 l´ aminas es T8 = −5 4.21 × 10 .

´ Problemas de Optica F´ısica I

120

3.32 Considere un medio material semi-infinito como el que se muestra en la Figura 3.27 de tal modo que para y < 0 se considera que es el vac´ıo y que para y > 0 est´ a compuesto por un medio material anis´ otropo uni´ axico cuyo eje ´ optico forma un ´ angulo β con el eje Z. Sobre este medio material incide normalmente una onda plana cuya frecuencia ω est´ a alejada de las resonancias electr´ onicas del material. Teniendo en cuenta que el campo el´ ectrico total en un punto del medio material es la superposici´ on de la onda incidente y las ondas radiadas por todos los ´ atomos del medio material, o sea ~ ′ (~r, t) = E ~ inc (~r, t) + E

1 4πǫ0

ZΣ ZZ σ

y ~ ′ (~r, t) = B ~ inc (~r, t) + µ0 B 4π

ZΣ ZZ σ

io n h ∇ × ∇ × P~ (~r ′ , t − R/c)/R dV ′ , (3.185) ·

P~ (~r ′ , t + R/c) dV ′ , ∇× R

(3.186)

donde σ es una superficie esf´ erica centrada en el punto ~r de radio ǫ y Σ representa la frontera del medio material, determinar la expresi´ on de las ondas refractada y reflejada, as´ı como las expresiones de los vectores de Poynting asociados. En las condiciones especificadas, la onda incidente puede expresarse como inc inc ~ inc = E0x E u ˆx + E0z u ˆz ei(k0 y−ωt) ,

(3.187)

ˆz son vectores unitarios en las direcciones de los ejes X y Z respectivamente, y k0 donde u ˆx y u es el n´ umero de ondas de la onda incidente. La onda incidente inducir´ a dipolos oscilantes de manera que en el sistema de referencia Xa Ya Za , la ecuaci´ on de movimiento de los electrones vendrá dada por Fxa Fya Fza

·

= −ux xa + γx xa +q Ex′ a e−iωt , ·

= −ux ya + γx ya +q Ey′ a e−iωt , = −uz za +

· γz za

(3.188)

+q Ez′ a e−iωt ,

~ ′ = (E ′ , E ′ , E ′ ) es el campo eléctrico que act´ ua sobre un dipolo: este campo est´ a donde E a xa ya za dado en términos del campo incidente y de los campos re-radiados por el resto de ´ atomos del medio. En la ecuación (3.188) hemos despreciado la parte magnética de la fuerza de Lorentz ya que asumimos que las velocidades que adquieren las cargas m´ oviles, esencialmente los electrones, son mucho menores que c. Por generalidad hemos incluido en (3.188) dos constantes de rozamiento diferentes, lo cual requiere un comentario adicional: es bien conocido27 que una estimaci´ on clásica de la constante de rozamiento se obtiene computando el trabajo realizado ~f . Esta fuerza se introduce cl´ por esta fuerza, F asicamente para tener en cuenta la potencia radiante emitida por un dipolo. Si se considera que el dipolo oscila en una cierta direcci´ on, ~ digamos O, entonces la fuerza de fricci´ on est´ a dada por F~f

=

e2 ·· ˆ v O. 6πǫ0 c3

(3.189)

27 Véase por ejemplo la elegante deducci´ on debida a J. D. Jackson, Classical electrodynamics (Wiley, New York, 1999).

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

121

Z Za

R

r’

Eincz

Ya

Y r Eincx b X=Xa

Figura 3.27: Esquema de la onda plana que incide normalmente sobre un medio anisótropo semi-infinito. El eje ´ optico del material forma un ángulo β con el eje Z. Se ha se˜ nalado asimismo el sistema propio de ejes Xa Ya Za .

ˆ entonces Si el movimiento del dipolo es casi peri´ odico en el tiempo, o sea, ~r(t) = r0 cos(ω0 t)O, la ecuación (3.189) puede aproximarse por ~f F

≈ −

e2 ω02 ˆ = −γv O. ˆ vO 6πǫ0 me c3

(3.190)

En el caso que nos ocupa de un medio anis´ otropo, la deducci´ on de la fuerza de fricci´ on se hace de una manera similar y el resultado, en el caso de medios uni´ axicos, reproduce el hecho de que hay dos constantes de amortiguamiento diferentes. La soluci´ on estacionaria de la ecuaci´ on (3.188) est´ a dada por xa (t) = ya (t) = za (t) =

qEx′ a 1 e−iωt , 4πǫ0 me ω12 − ω 2 + iγx ω qEy′ a 1 e−iωt , 4πǫ0 me ω12 − ω 2 + iγx ω qEz′ a 1 e−iωt , 2 2 4πǫ0 me ω2 − ω + iγz ω

(3.191)

donde ω12 = ux /me y ω22 = uz /me . Teniendo en cuenta la ecuación (3.191), el momento dipolar de un ´ atomo puede expresarse como ˆya + αk Ez′ a u ˆ za , p = α⊥ Ex′ a u ~ ˆxa + α⊥ Ey′ a u

(3.192)

atomo que pueden deducirse de la donde α⊥ y αk son las polarizabilidades principales del ´ ecuaci´ on (3.191).

´ Problemas de Optica F´ısica I

122

Consideremos la componente X del campo incidente de la Figura 3.27: este campo inducir´ a en cada ´ atomo un dipolo en la direcci´ on del eje X, por lo tanto el campo radiado por estos átomos se superpondr´ a con la componente X de la onda incidente para producir la extinci´ on de la onda incidente, la onda refractada y la onda reflejada: este es justamente el resultado que se demostraremos m´ as adelante y que se infiere28 de la ecuaci´ on (3.185). Llamaremos a esta onda onda ordinaria por motivos que veremos. An´ alogamente la componente Z del campo incidente, de acuerdo con la ecuaci´ on (3.188) inducir´ a un momento dipolar que tendr´ a dos componentes pya y pza . Es obvio a partir de la ecuaci´ on (3.191) que las frecuencias de resonancia de ambas componentes, pya y pza , del momento dipolar son diferentes, de modo que los campos re-radiados por ambas componentes no estar´ an en fase entre s´ı: la superposici´ on de la onda incidente junto con las ondas re-radiadas producir´ a de nuevo una onda que cancela la onda incidente, la onda refractada y la onda reflejada. Llamaremos a esta onda onda extraordinaria debido a su “extra˜ no” comportamiento. Este es el fundamento microsc´ opico de la doble refracci´ on en cristales. Para determinar la forma de las ondas reflejada y transmitida vamos a considerar que el medio material, que ocupa el semiespacio y > 0, est´ a formado por una distribuci´ on continua de átomos, esto es, que el medio es denso y que el n´ umero de ´ atomos por unidad de volumen es N . Asimismo podemos considerar que, aunque los ´ atomos son entidades discretas, la distancia media entre ellos es menor que la longitud de onda de la radiaci´ on incidente, de modo que la expresi´ on (3.185) es correcta, de lo contrario habr´ıa que reemplazar la integral de volumen por una triple suma extendida a todos los ´ atomos. En otros términos la ecuaci´ on (3.185) expresa el hecho de que el campo eléctrico en el punto ~r no es otra cosa que la superposición del campo incidente y del campo radiado por todos los ´ atomos localizados en ~r ′ . En la ecuaci´ on ~ (3.185) el vector P es la densidad de polarizaci´ on que en este caso puede escribirse como uxa + ξ⊥ Ey′ a (~r, ω)ˆ P~ (~r, ω) = ξ⊥ Ex′ a (~r, ω)ˆ uya + ξk Ez′ a (~r, ω)ˆ uza ,

(3.193)

en el sistema de referencia Xa Ya Za de la Figura 3.27, donde ξ⊥ = N α⊥ y ξk = N αk . La ecuaci´ on (3.193) puede reescribirse en forma matricial como 

  ′  ξ⊥ 0 0 Exa (~r, ω) P~ (~r, ω) =  0 ξ⊥ 0   Ey′ a (~r, ω)  , 0 0 ξk Ez′ a (~r, ω) ∧xa ya za

o de manera compacta como P~ (~r, ω) =ξ

~ ′ (~r, ω). E a

Para operar c´ omodamente, vamos a referir la densidad de polarizaci´ on al sistema de referencia ∧

XY Z mediante la matriz de transformaci´ on, M , que corresponde a una rotaci´ on de ángulo β alrededor del eje X. Esta matriz est´ a dada por   1 0 0 ∧ M =  0 cos(β) sin(β)  . 0 − sin(β) cos(β) ∧xyz

De esta manera la ecuación (3.193) puede reescribirse como P~ (~r, ω) =ξ ∧xyz

ξ 28

∧ −1 ∧xa ya za ∧

=M

ξ

∧xyz

on de ξ M . La expresi´

~ ′ (~r, ω), donde E

en el sistema de referencia XY Z se obtiene

Para m´ as detalles puede consultarse M. Born and E. Wolf, op. cit., Secci´ on 2.4 y Apéndice V.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

123

después de realizar las pertinentes operaciones resultando ∧xyz

ξ



   ξ⊥ 0 0 ξ⊥ 0 0 =  0 ξ⊥ cos2 (β) + ξk sin2 (β) (ξ⊥ − ξk ) cos(β) sin(β)  =  0 ξ22 ξ23  , 0 (ξ⊥ − ξk ) cos(β) sin(β) ξk cos2 (β) + ξ⊥ sin2 (β) 0 ξ23 ξ33

de manera que la densidad de polarizaci´ on queda Px (~r, ω) = ξ⊥ Ex′ (~r, ω),

Py (~r, ω) = ξ22 Ey′ + ξ23 Ez′ (~r, ω), Pz (~r, ω) =

ξ23 Ey′

+

(3.194)

ξ33 Ez′ (~r, ω).

Buscaremos soluciones para P~ de la forma ~ P~ (~r, ω) = P~0 ei(kT ·~r−ωt) ,

(3.195)

de tal manera que cuando son introducidas en la ecuaci´ on (3.185), ésta sea autoconsistente, de modo que permita la determinaci´ on de P~0 y ~kT = (kT x , kT y , kT z ). Es preciso notar que la soluci´ on propuesta en (3.195) es de la misma frecuencia que el campo incidente. Para proceder a resolver el problema planteado emplearemos la siguiente relaci´ on29 : ZΣ ZZ σ

~ r )G(R)dV ∇ × ∇ × Q(~ ′

′

= ∇×∇×

ZΣ ZZ σ

~ r ′ ), (3.196) ~ r ′ )G(R)dV ′ − 8π Q(~ Q(~ 3

donde G(R) representa una onda esférica que se propaga en el vac´ıo. Teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación (3.185) puede reescribirse para el campo eléctrico como ~ ′ (~r) = E ~ inc (~r) − 2 P~0 ei~kT ·~r E 3ǫ0   ZΣ ZZ ik0 R e 1 ′ ~ dV ′  , ∇ × ∇ × P~0 eikT ·~r + 4πǫ0 R

(3.197)

σ

donde obviamente la dependencia temporal ha sido eliminada. Para continuar hemos de evaluar la siguiente integral

I =

ZΣ ZZ

~

eikT ·~r

σ

′

eik0 R dV ′ , R

(3.198)

para lo cual procederemos de la siguiente manera: emplearemos la siguiente representaci´ on de una onda esférica en términos de ondas planas eik0 R R 29

Ver Born & Wolf, op. cit.

=

1 2π 2

ZZZ

~

dVk

′

eik·(~r−~r ) , k 2 − k02 − iǫ

(3.199)

´ Problemas de Optica F´ısica I

124

donde dVk = dkx dky dkz es el elemento diferencial de volumen en el espacio de momentos, y tras finalizar el cálculo tomaremos el l´ımite ǫ → 0. De esta manera la integral de la ecuaci´ on (3.198) queda como Z ZZ ZΣ ZZ

1 2π 2

I =

dx′ dy ′ dz ′ dkx dky dkz ei(kx x+ky y+kz z)

σ ′ ′ ′ i{(k −k x )x +(kT y −ky )y +(kT z −kz )z } T x e

k2 − k02 − iǫ

,

(3.200)

o bien a2

a1

I =

1 2π 2

ZZZ

dkx dky dkz

z Z∞

{z Z∞

}|

dx′ ei(kT x −kx )x

−∞

′

}|

{

dz ′ ei(kT z −kz )z

′

−∞

a3

z Z∞

}|

{

′ i(kT y −ky )y ′

dy e

0

~

eik·~r . k 2 − k02 − iǫ

(3.201)

Las integrales a1 y a2 pueden escribirse en términos de las distribuciones δ de Dirac30 : a1 = 2πδ(kT x − kx ),

a2 = 2πδ(kT z − kz ).

(3.202)

La ecuación (3.202) expresa el hecho de que las ondas re-radiadas por los ´ atomos interfieren constructivamente solamente en una cierta direcci´ on. La integral a3 puede calcularse de la manera siguiente a3 =

Z∞ 0

′

dy ′ ei(kT y −ky )y ≈ −

1 . i(kT y − ky )

(3.203)

Es preciso notar que al llevar a cabo la integraci´ on en (3.203), la contribuci´ on de los ´ atomos 31 situados en el infinito se considera despreciable . De esta manera la ecuación (3.201) puede ponerse como I = =

1 2π 2

ZZZ

~

dkx dky dkz 2πδ(kT x − kx )2πδ(kT z − kz )

−2 i(kT x x+kT z z) e i

Z∞

−∞

30

dky

eik·~r −1 i(kT y − ky ) k 2 − k02 − iǫ

1 eiky y . kT y − ky kT2 x + kT2 z + ky2 − k02 − iǫ

(3.204)

Para m´ as detalles véase por ejemplo el libro de L. Schwartz, Métodos matem´ aticos para las ciencias f´ısicas, (Madrid, Selecciones Cient´ıficas, 1969). 31

Véase R. P. Feynman, op. cit.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

125

Ya estamos en condiciones de evaluar la expresi´ on (3.197): dentro del medio material, esto es para y > 0, la integral I se puede determinar empleando las técnicas de integraci´ on en el plano complejo32 resultando finalmente que ~

~

I = Aeil·~r + BeikT ·~r , q k02 − (kT2 x + kT2 z ), A = donde ~l est´ a definido como ~l = (kT x , q, kT z ), q = B=

4π 2 −k 2 . kT 0

Si definimos el vector C~ ≡

1 4πǫ0 ∇

(3.205) 2π ~l·ˆ(~l·ˆ−~kT ·ˆ)

y

× (∇ × P~0 I) entonces vemos que

C~ =

1 ~ i~l·~r ~ i~kT ·~r . Cl e + CT e 4πǫ0

(3.206)

Esta ecuación nos proporciona los campos radiados por todos los dipolos del medio para y > 0. Finalmente llegamos al resultado de que 2 ~ 1 ~ ~ ′ ~ ~ inc (~r) + 1 C~l ei~l·~r . E (~r) + P0 − CT eikT ·~r = E (3.207) 3ǫ0 4πǫ0 4πǫ0 La consistencia de la ecuación (3.207) requiere que ambos miembros de la ecuaci´ on se anulen simult´ aneamente. Los resultados que se infieren de este requerimiento son muy interesantes: (a) La consistencia del lado derecho de la ecuaci´ on (3.207) requiere necesariamente que se cumpla la condici´ on ~l = ~k0 , por lo que entonces ha de ser que q = k0 . (b) Para las componentes Y y Z del campo eléctrico dado en la parte izquierda de la ecuaci´ on (3.207) dentro del medio ha de verificarse que ′ E0z +

1 2 ′ ′ ξ23 E0y + ξ33 E0z CT z = 0, − 3 4πǫ0 y 2 ′ ′ ′ ξ22 E0y = 0. E0y + + ξ23 E0z 3

(3.208)

(3.209)

Por otra parte la onda dentro del medio tiene un n´ umero de ondas tal que cumple la on que experimenta la onda. relación kT = kT y = nβ k0 , donde nβ es el ´ındice de refracci´ De modo que las ecuaciones (3.208) y (3.209) pueden reescribirse como # ! # " " 2 n2β n 2 2 β ′ ′ ξ23 E0y ξ33 E0z − − + 1+ = 0, (3.210) 3 n2β − 1 3 n2β − 1 y 2 2 ′ ′ + ξ22 E0z = 0. (3.211) 1 + ξ22 E0y 3 3 Para que existan soluciones no nulas para el campo eléctrico el determinante que podemos formar a partir de las ecuaciones (3.210) y (3.211) ha de ser nulo, lo cual conduce, tras unos cálculos tediosos, a que se ha de verificar la relaci´ on ξ33 2 2 n2β − 1 9 ξ22 ξ33 − ξ23 + 3 . (3.212) = n2β + 2 1 + 23 ξ22 32 Puede consultarse por ejemplo el texto debido a N. Levinson y R. M. Redheffer, Curso de variable compleja, (Reverté, Barcelona, 1990).

´ Problemas de Optica F´ısica I

126

La ecuación (3.212) es una relaci´ on entre el ´ındice de refracci´ on que experimenta la onda dentro del medio y los par´ ametros microsc´ opicos que caracterizan el material, ξk y ξ⊥ , junto con el ángulo que forma el eje ´ optico con el eje Z. La peculiaridad de la ecuaci´ on (3.212) estriba justamente en que aparezca en la expresi´ on del ´ındice de refracci´ on el ángulo β: si el material fuese is´ otropo esta dependencia no aparece. Por otro lado la expresi´ on (3.212) está puesta en la forma de la ecuaci´ on de Lorentz-Lorenz: similar a la expresi´ on (III-15) para medios is´ otropos. En efecto si β = 0 entonces la ecuaci´ on (3.212) se reduce a n2e − 1 n2e + 2

=

ξk , 3

(3.213)

mientras que si β = π/2 entonces la relaci´ on (3.212) se reduce a n2o − 1 n2o + 2

=

ξ⊥ . 3

(3.214)

on de la onda ordinaria En este sentido a no y ne les denominaremos ´ındices de refracci´ y extraordinaria respectivamente. (c) Para la componente X dado en la parte izquierda de la ecuaci´ on (3.207) obtenemos la siguiente relación ′ + E0x

2 1 ′ ξ⊥ E0x − CT x = 0. 3ǫ0 4πǫ0

(3.215)

Siguiendo un procedimiento an´ alogo al anterior, llegamos a obtener una relaci´ on entre el ´ındice de refracci´ on que experimenta la componente X de la onda y los par´ ametros microsc´ opicos dada por n2o − 1 n2o + 2

=

ξ⊥ , 3

(3.216)

que de nuevo est´ a escrita en la forma de Lorentz-Lorenz. Es preciso notar que de todo lo anterior se infiere que si la frecuencia del campo incidente est´ a alejada de las resonancias electr´ onicas, esto es, ω1 ≪ ω y ω3 ≪ ω, el medio material ser´ a esencialmente transparente, por lo que no exhibir´ a atenuaci´ on apreciable la onda dentro del medio al propagarse. (d) Lo que expresa la parte derecha de la ecuaci´ on ecuaci´ on (3.207) es que parte de las ondas radiadas por los ´ atomos se invierte en cancelar la onda incidente, de ah´ı que se hable del teorema de extinci´ on. A partir de la parte derecha de la citada ecuaci´ on podemos determinar las amplitudes de los campos locales que vienen dadas por ′ E0x = 2(no − 1) ′ E0y = − ′ E0z =

1 inc E , ξ⊥ 0x 2(nβ − 1)(n2β + 2)

2 3 ξ23 1 + 23 ξ22

3(n2β − 1)

2(nβ − 1)(n2β + 2) 3(n2β − 1)

inc E0z .

(3.217) inc E0z ,

(3.218) (3.219)

Las ecuaciones (3.217)-(3.219) nos van a permitir determinar las amplitudes de las ondas refractadas. Para ello necesitamos determinar el campo macrosc´ opico, que difiere del campo

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

127

local previamente determinado. Recordemos que los ´ atomos o moléculas que est´ an cerca de uno de ellos están polarizados como consecuencia de los campos presentes, de manera que ~ M ), el campo eléctrico que act´ ua sobre un ´ atomo es la suma del campo macrosc´ opico, (E ~ i ). El campo interno puede estimarse33 computando la diferencia y del campo interno, (E entre el campo debido a los ´ atomos pr´ oximos menos el campo debido a aquellos que est´ an suficientemente alejados; estos u ´ltimos pueden considerarse como el campo debido a un continuo con una polarizac´ on P~ . Por lo tanto el campo interno est´ a dado por ~i = E

1 ~ ~ prox . P +E 3ǫ0

(3.220)

~ prox requiere un conocimiento detallado de las distancias inter-atómicas El cómputo de E ~ prox ≈ ~0. o inter-moleculares. Como una primera aproximaci´ on vamos a considerar que E Teniendo en cuenta las consideraciones previamente enunciadas llegamos a que se satisface la siguiente ecuación 1 Px , 3ǫ0 1 Py , + 3ǫ0 1 + Pz . 3ǫ0

Ex′ = ExM + Ey′ = EyM Ez′ = EzM

(3.221)

Si tenemos en cuenta que Px = ǫ0 ξ⊥ Ex′ , el campo macrosc´ opico para la onda ordinaria vendr´ a dado por ExM

=

2 E inc ei(k0 no y−ωt) , no + 1 0x

(3.222)

mientras que para la onda extraordinaria se obtiene ξ23 (n2β + 2) 2 E inc ei(k0 nβ y−ωt) , 9 (nβ + 1) 1 + 32 ξ22 0z 2 E inc ei(k0 nβ y−ωt) . nβ + 1 0z

EyM

= −

(3.223)

EzM

=

(3.224)

Lo novedoso de la onda extraordinaria estriba en el hecho de que aunque la onda incidente tiene componente Z, dentro del medio se establece una onda que tiene componente en la dirección del eje Y . Nos falta para completar este esquema, determinar la inducci´ on magnética que viene dada por (3.186). De hecho siguiendo un procedimiento similar al anteriormente llevado a cabo se llega a que la ecuación (3.186) puede reescribirse como ~ inc (~r, t) + µ0 ∇ × ~ ′ (~r, t) = B B 4π

ZΣ Z Z ~· P (~r ′ , t + R/c) dV ′ = R σ

~ inc (~r, t) − ik0 e−iωt ∇ × B 4πǫ0 c 33

Véase por ejemplo el texto debido a J. D. Jackson, opt. cit.

ZΣ ZZ σ

ik0 R

′e ~ P~0 eikT ·~r

R

dV ′ .

(3.225)

´ Problemas de Optica F´ısica I

128

Evidentemente la integral que aparece en la ecuaci´ on (3.225) es la que previamente hemos determinado, de manera que el campo de inducci´ on magnética radiado por los ´ atomos del medio est´ a dado por i h ~ = − ik0 ∇ × P~0 I , K (3.226) 4πǫ0 c

o bien

~ = K ~ l ei~l·~r + K ~ T ei~kT ·~r . K

(3.227)

En el caso que nos ocupa ahora, la autoconsistencia en la ecuaci´ on (3.225) requiere que ~′−K ~ T )ei~kT ·~r = B ~ inc + K ~ l ei~l·~r . (B

(3.228)

El lado derecho de la ecuación (3.228) expresa el hecho de la cancelaci´ on del campo de inducción magnética incidente. Por lo tanto el campo local magnético vendr´ a dado por Hx′ = Hz′ =

1 2nβ Bx = E inc ei(k0 nβ y−ωt) , µ0 cµ0 nβ + 1 0z Bz 1 2no = − E inc ei(k0 no y−ωt) , µ0 cµ0 no + 1 0x

(3.229) (3.230)

~ = ~0, por donde hemos considerado que el medio es no magnético, o en otras palabras que M lo tanto el campo local magnético coincide con el campo magnético macrosc´ opico. Vamos a determinar las direcciones de propagaci´ on de la energ´ıa dentro del medio material, para locual tenemos que determinar los correspondientes vectores de Poynting dados por ~ =R E ~ ×R H ~ . De este modo para la onda ordinaria se tendr´ P a ~ o = cǫ0 P

4no |E inc |2 cos2 (k0 no y − ωt)ˆ, (no + 1)2 0x

(3.231)

mientras que para la onda extraordinaria resulta ~e P

! 2 + 2) ξ (n 4nβ 23 2 β kˆ cos2 (k0 nβ y − ωt) . (3.232) |E inc |2 ˆ − = cǫ0 (nβ + 1)2 0z 9 (nβ + 1) 1 + 32 ξ22

Cabe destacar de lo anterior que aunque en ambos casos los frentes de ondas son planos y se propagan en la direcci´ on del eje Y , sin embargo la direcci´ on de propagaci´ on de la energ´ıa en el caso de la onda extraordinaria no coincide con la direcci´ on de propagaci´ on de los frentes de onda, cosa que s´ı le ocurre a la onda ordinaria. De ah´ı que la onda ordinaria sea transversal, ~ e , donde E ~e = mientras que la onda extraordinaria no lo sea o, lo que es lo mismo, ~kT 6⊥ E M M (0, Ey , Ez ). Estos resultados cab´ıa esperarlos teniendo en cuenta la discusi´ on inicial de este problema. Cabe notar adicionalmente que del resultado del teorema de extinci´ on se infieren también los coeficientes de Fresnel que dan cuenta de las relaciones en amplitud de los campos refractados respecto al campo incidente. Asimismo a partir de las ecuaciones (3.231) y (3.231) se infieren elementalmente la transmitancia para la onda ordinaria, To , y extraordinaria, Te , que resultan To = Te =

4no , (1 + no )2 4nβ . (1 + nβ )2

(3.233) (3.234)

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

129

Mientras que en un medio is´ otropo en condiciones de incidencia normal la transmitancia para la componente paralela y perpendicular al plano de incidencia son iguales, en un medio anisótropo esto no ocurre, salvo en el caso de que β = π/2. A continuación vamos a derivar las expresiones para los campos reflejados. Para ello basta tener en cuenta que estos campos se propagan en el semiespacio y < 0, por lo que ahora se tendrá ~ inc (~r, t) + 1 ∇ × ∇ × E (~r, t) = E 4πǫ0 ~′

ZΣ ZZ h σ

i P~ (~r ′ , t − R/c)/R dV ′ ,

(3.235)

donde ahora conocemos el valor de P~ dentro del medio material (para y > 0). La u ´ltima parte de la ecuación (3.235) nos proporciona las ondas reflejadas − 1 R R i~kR ·~ r ~ ~ ~ E = E0 e = (3.236) ∇ × ∇ × P0 I . 4πǫ0 −

Nótese que ahora el valor de la integral I difiere del previamente calculado en (3.205), puesto que el valor de la ecuación (3.204) ha de calcularse para y < 0. Si empleamos las técnicas de integraci´ on en el plano complejo, se llega finalmente a que −

I

=

2π ei(kT x x−qy+kT z z) , q(kT y + q)

(3.237)

por lo que ~kR = (0, −k0 , 0), donde se han tenido en cuenta los resultados anteriormente obtenidos. Las amplitudes de las ondas se obtienen realizando las operaciones indicadas en (3.236) y finalmente se llega a que ExR = EzR =

no − 1 inc i(−k0 y−ωt) E e , no + 1 0x nβ − 1 inc i(−k0 y−ωt) E e . nβ + 1 0z

(3.238) (3.239)

El campo magnético se eval´ ua siguiendo un procedimiento similar y se obtiene finalmente nβ − 1 inc i(−k0 y−ωt) E e , nβ + 1 0z no − 1 inc i(−k0 y−ωt) = cǫ0 E e . no + 1 0x

HxR = −cǫ0

(3.240)

HzR

(3.241)

De manera que los vectores de Poynting de las ondas reflejadas se obtienen inmediatamente 2

~ o = − cǫ0 (no − 1) |E inc |2 cos2 (k0 y + ωt)ˆ, P (no + 1)2 0x 2 inc 2 ~ e = − cǫ0 (nβ − 1) |E0z | cos2 (k0 y + ωt)ˆ. P (nβ + 1)2

(3.242) (3.243)

De nuevo se recuperan los resultados relativos a los coeficientes de Fresnel y las reflectancias para ambas componentes del campo incidente. Del análisis anterior obtenemos los mismos resultados que en el caso de que empleemos la teor´ıa macrosc´ opica34 . Es bien conocido por otro lado que empleando el principio de 34 ~ en el que se subsume el contenido microsc´ En la que se emplea el denominado vector desplazamiento, D, opico de la interacci´ on en el vector polarizaci´ on.

´ Problemas de Optica F´ısica I

130

Huygens modificado con la idea de la interferencia de las ondas esféricas secundarias, se puede calcular la posici´ on en el espacio de una perturbaci´ on en un instante de tiempo si se conoce la perturbación en un instante anterior. La teor´ıa de la luz debida a Huygens permite explicar la doble refracci´ on considerando que las ondas secundarias son elipsoidales en un medio anisótropo, aunque este modelo no considera en ning´ un momento que las fuentes reales de radiación son las entidades at´ omicas.

Medios conductores 3.33 Una onda plana linealmente polarizada de longitud de onda λ = 633 nm y cuya intensidad es de 1 mW/cm2 incide normalmente sobre una l´ amina cuyo espesor es de 1 cm. La l´ amina es de un material is´ otropo absorbente tal que la onda experimenta un ´ındice de refracci´ on de n = 1.6 − 0.000025 i. Determinar la intensidad de la onda a la salida. La onda a la entrada vendrá dada por 2π

E inc = E0 ei(ωt− λ x) ,

(3.244)

donde hemos elegido el eje X en la direcci´ on de propagaci´ on, y λ es la longitud de onda en el vac´ıo de la onda. Dentro del medio el campo vendr´ a dado por 2π

E de = t(1) E0 ei(ωt− λ n x) ,

(3.245)

siendo n el ´ındice de refracci´ on que experimenta la onda dentro del medio. Finalmente la onda a la salida podr´ a computarse como 2π

2π

E sal = t(1) t(2) E0 e− λ ni d0 ei(ωt− λ nr x) ,

(3.246)

on respectivamente y d0 es donde nr y ni son la parte real e imaginaria del ´ındice de refracci´ el espesor del material35 . De esta manera la irradiancia a la salida ser´ a 2 4π cǫ0 2 (1) (2) 2 − 4π ni d0 = I inc t(1) t(2) e− λ ni d0 . (3.247) I sal = E0 t t e λ 2

Realizando los c´ alculos resulta finalmente I sal = 6.27×10−3 mW/cm2 . Vemos que la irradiancia a la salida se ha reducido considerablemente. 3.34 Se recubre un vidrio BK7 (nv = 1.5) con una capa delgada de metal cuyo ´ındice de refracci´ on viene dado por n = 3.6 − 1.25i. Dibujar la transmitancia del vidrio recubierto en funci´ on del espesor de la capa de metal. Sabiendo que la longitud de onda de la radiaci´ on incidente es λ0 = 500 nm estimar el espesor que debe tener la capa de metal para que se transmita una mil´ esima parte de la irradiancia incidente. Consideremos la onda incidente de la forma 2π ˆ i(ωt− λ k·~ r)

Exinc (z, t) = E0 e 35

0

,

En la resoluci´ on ignoramos las m´ ultiples reflexiones que se producen en la l´ amina.

(3.248)

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

131

de manera que la onda dentro del medio vendr´ a dada por ˆ r) k·~ i(ωt− 2πn λ

Exmed (z, t) = t(1) E0 e

0

2π 1.25z −λ 0

= t(1) E0 e

(ωt− 2π3.6 z) λ

e

0

,

(3.249)

donde t(1) es el coeficiente de transmitancia en amplitud de la interfase aire-metal. Si llamamos t(2) al coeficiente de transmitancia en amplitud de la interfase metal-BK7 el campo eléctrico dentro del vidrio BK7 ser´ a 2π −λ 1.25z (ωt− 2π1.5 z) λ

Exmed (z, t) = t(1) t(2) E0 e

e

0

0

.

(3.250)

De manera que la irradiancia de la onda dentro del vidrio BK7 vendr´ a dada por 2 2 − 4π 1.25z 4n med E e λ0 I (z) ∝ , (1 + n)(n + nv ) 0

(3.251)

a y la transmitancia36 ser´

T

=

2 − 4π 1.25z 4n I med λ . = (1 + n)(n + nv ) e 0 I inc

(3.252)

Si dibujamos la curva correspondiente a la transmitancia dada por (3.252) en función del espesor de la capa vemos que se trata de una exponencial decreciente. En la Figura 3.28 se muestra esta curva. Si la intensidad se reduce a una milésima de la incidente, se tendr´ a que

0.4

T

0.3

0.2

0.1

0 0

1

2 z (m) x 10

3

-7

Figura 3.28: Transmitancia de una capa de metal en función del espesor z depositada sobre el vidrio BK7. 1 1000

36

4π − λ0 1.25z0 4n = (1+n)(n+n , de donde se tiene que z0 = 0.204 µm. e v)

En la resoluci´ on del problema ignoramos los efectos de las reflexiones m´ ultiples en la capa delgada de metal.

´ Problemas de Optica F´ısica I

132

3.35 Se quiere comunicar la tierra con la luna utilizando se˜ nales electromagn´ eticas. Si la densidad electr´ onica de la ionosfera es N = 105 cm−3 , calcular la frecuencia m´ axima que se puede utilizar. ¿Se transmitir´ a la onda de la frecuencia calculada m´ as arriba a trav´ es de una fina capa de metal de 1 mm de espesor si la densidad electr´ onica de ´ este es de N = 1022 m−3 . El ´ındice de refracci´ on de un material dieléctrico con una sola resonancia se puede poner como n2 (ω) = 1 +

1 N e2 . 2 me ǫ0 ω0 − ω 2 + iγω

(3.253)

En el caso de un metal o de un medio conductor, en general, podremos suponer en primera aproximación que los electrones pueden moverse sobre largas distancias sin colisionar y adem´ as no se encuentran ligados: son electrones cuasilibres. Por ello podremos suponer en la expresi´ on on (3.253) se puede poner como anterior que ω0 = 0; de esta manera la expresi´ n2 (ω) = 1 +

ωp2 N e2 1 = 1 − . me ǫ0 −(ω)2 ω2

donde ωp =

s

N e2 , me ǫ0

(3.254)

(3.255)

se conoce con el nombre de frecuencia de plasma. De (3.255) se sigue que si ω > ωp el ´ındice de refracci´ on es positivo y la onda podr´ a propagarse en el medio conductor. En caso contrario, esto es, si ω < ωp , el ´ındice de refracci´ on es imaginario puro y no se podr´ a propagar la onda. En el caso de la ionosfera, deberemos calcular en primer lugar la frecuencia de plasma. En este caso, N = 1011 m−3 , con lo que r 1011 (1.6 × 10−19 )2 = 1.7 × 107 rad/s. (3.256) ωp = 8.8 × 10−12 × 9.1 × 10−31 Este valor representa la frecuencia m´ınima que se puede propagar a través de la ionosfera. En el caso de un metal, al ser mucho m´ as denso, la frecuencia de plasma ser´ a también mucho más elevada. En efecto, para N = 1022 m−3 , la frecuencia de plasma vale r 1022 (×1.6 × 10−19 )2 = 5.6 × 1012 rad/s . (3.257) ωp = 8.8 × 10−12 × 9.1 × 10−31 As´ı pues, la frecuencia calculada anteriormente es mucho menor que la correspondiente a λ0 , por lo que esta u ´ltima no se propagar´ a. Obsérvese que la frecuencia calculada pertenece a la región del infrarrojo lo que explica la fuerte reflectancia de los metales en el infrarrojo y en el visible.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

133

PROBLEMAS PROPUESTOS Teor´ıa cl´ asica de la radiaci´ on 3.1 Escribir la expresión de una onda plana que se propaga en la direcci´ on del eje X y vibra en la dirección del eje Z, cuya frecuencia es 1015 Hz y de amplitud 0.3 V/m. ~ (a) Determinar el campo magnético, H. (b) Determinar la irradiancia, I. (c) Este haz incide sobre un ´ atomo que est´ a colocado en el origen de coordenadas. Suponer que el electr´ on m´ as externo es afectado por el campo incidente. Determinar en la regi´ on de ondas c´ omo es el campo radiado por el ´ atomo en aproximaci´ on dipolar en las direcciones X, Y y Z, en un punto que dista R del origen de coordenadas. (d) Suponga ahora que el campo incidente sobre el ´ atomo está circularmente polarizado. Determinar el estado de polarizaci´ on del campo eléctrico radiado por el ´ atomo en la direcci´ on del eje Z. (e) Suponga que la frecuencia del campo incidente es de 4.5 × 1015 rad/s, que el ´ atomo tiene una frecuencia de resonancia para λ0 = 200 nm y que la amplitud del campo incidente es de 103 V/m. Determine la potencia media emitida por el ´ atomo, Pm , cuando sobre él incide este campo. Suponga que puede estimar la vida media del ´ atomo mediante la e2 ωo2 expresi´ on γ = 6πǫ0 me c3 . ~ = −cǫ0 E0 cos(ωt − kx)ˆ. SOL: (a) H (b) I = 1.19 × 10−4 Wm−2 . ω 2 p0 ˆ Ey = (c) Ex = 4πǫ cos(ωt − kR)k. 2 0c R ω 2 p0y ˆ cos(ωt − kR)k. (d) Ez = 2

ω 2 p0 4πǫ0 c2 R

cos(ωt − kR)kˆ y Ez = 0.

4πǫ0 c R

(e) Pm = 4.85 × 10−21 W.

3.2 Una onda electromagnética plana est´ a especificada (en el sistema MKS) por la siguiente expresi´ on Ex = 102 cos π(3 × 106 z − 9 × 1014 t) , (V/m) , Ey = 0, Ez = 0. (a) Determinar la longitud de onda, frecuencia y velocidad de fase. (b) Calcular el vector de Poynting y la irradiancia de la onda. (c) Dibujar en un sistema de ejes, la variaci´ on espacial del campo eléctrico en un instante fijo indicando los puntos donde la amplitud del campo se hace nula. Calcular la posici´ on de estos puntos respecto del origen. Indicar las unidades de todas las magnitudes calculadas. SOL: (a) λ = 0.666 µm, ν = 4.5 × 1014 Hz, vf = 3 × 108 m/s. ~ = cǫ0 1002 kˆ (Wm−2 ). I = 13.275 Wm−2 . (b) P 2

´ Problemas de Optica F´ısica I

134

3.3 Un haz de luz se propaga a través de un medio de ´ındice n = 1.5. Si la amplitud del haz dentro del medio es de 100 V/m. ¿cu´ al es la irradiancia I de la onda? (ǫ0 = 8.85 × 10−12 F/m). SOL: I = 19.91 Wm−2 . 3.4 Un medio material denso y homogéneo est´ a constituido por osciladores at´ omicos cuya frecuencia onica de frecuencia ω ≪ ω0 incide de resonancia es ω0 . Una onda electromagnética arm´ perpendicularmente sobre este medio material. Indique cu´ al de las siguientes afirmaciones es verdadera: (a) El medio es transparente para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia oscila en fase con la onda incidente. (b) El medio es opaco para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia oscila en fase con la onda incidente. (c) El medio es transparente para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia no oscila en fase con la onda incidente. (d) El medio es opaco para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia oscila en oposici´ on de fase con la onda incidente. (e) El medio es transparente para la radiaci´ on incidente y la onda esparcida por el medio material en la direcci´ on de incidencia oscila en oposici´ on de fase con la onda incidente. SOL: La solución correcta es la (c). 3.5 La expresión de una onda electromagnética plana linealmente polarizada que se propaga en el vac´ıo a lo largo del eje X y cuyo campo vibra a 35o del eje Z, est´ a dada por la expresi´ on: ~ = E0 cos(35o ) cos(kz − ωt)kˆ + E0 sin(35o ) cos(kz − ωt)ˆ . (a) E ~ = E0 cos(35o ) cos(kx − ωt)kˆ + E0 sin(35o ) cos(kx − ωt)ˆ . (b) E

~ = E0 sin(35o ) cos(kx − ωt)kˆ + E0 cos(35o ) cos(kx − ωt)ˆ . (c) E ~ = E0 cos(35o ) cos(kx − ωt)ˆ + E0 sin(35o ) cos(kx − ωt)kˆ . (d) E ~ = E0 cos(35o ) cos(kz − ωt)kˆ + E0 sin(35o ) cos(kz − ωt)ˆ . (e) E ~ = E0 sin(35o ) cos(kz − ωt)kˆ + E0 cos(35o ) cos(kz − ωt)ˆ . (f) E

SOL: La solución correcta es la (b). 3.6 Considere la siguiente expresión que representa una onda electromagnética. ~ = E0 cos(kz − ωt)ˆı − E0 cos(kz − ωt)ˆ (V/m). E Indicar cu´ al es su estado de polarizaci´ on: (a) La onda est´ a circularmente polarizada. (b) La onda est´ a linealmente polarizada a −45o del eje X.

(c) La onda est´ a el´ıpticamente polarizada. (d) La onda corresponde a luz natural.

(e) La onda est´ a linealmente polarizada a +45o del eje X. (f) La onda est´ a despolarizada.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

135

SOL: La solución correcta es la (b). 3.7 Se dispone de una celdilla cerrada de 10 cm3 de volumen que se rellena de vapor de sodio. La presión de la celdilla es de 101.3 Pascales y la temperatura es de 70o C. Suponga que cada uno de los ´ atomos lo puede considerar como un ´ atomo de Lorentz en el que el momento dipolar es −30 p0 = 8 × 10 C/m que emite radiaci´ on centrada en 589 nm. Si la celdilla emite en promedio 1 , as´ ı 1 W de potencia radiante, determinar la potencia media emitida por cada ´ atomo, Pm como el n´ umero de ´ atomos que emiten simult´ aneamente, Na . Obtener la fracci´ on de ´ atomos que emiten con respecto al total de ´ atomos en la celdilla, Fe . Considere en todo momento que el gas puede tratarse como ideal y enumere las aproximaciones realizadas. 1 = 1.4899 × 10−12 W. N = 6.71 × 1011 y F = 3.13 × 10−6 . SOL: Pm a e

Procesos de esparcimiento y absorci´ on 3.8 Un gas constituido por ´ atomos distribuidos de forma desordenada y con una densidad tal que la distancia media entre ´ atomos es de ed1 ≈ 0.1 mm se ilumina con una onda plana monocromática linealmente polarizada. La longitud de onda de la radiaci´ on es λ = 500 nm, se propaga en la direcci´ on positiva del eje Y y su direcci´ on de polarizaci´ on es paralela al eje Z (ver Figura 3.29). La radiación que emerge del gas se observa en los puntos A, B, C y D opticos est´ an situados situados en los planos focales de dos lentes de focales f1′ y f2′ cuyos ejes ´ paralela y perpendicularmente a la direcci´ on del haz incidente. Determine a cu´ ales de estos puntos llega luz procedente del gas. Responda a la misma pregunta si la distancia media entre átomos es de ed2 ≈ 0.01 µm. Justificar las respuestas elegidas.

Z Z

Ei

B Y

A GAS F’2

Z

RP F’1

X

D

C

Y

Y

Figura 3.29: Esquema del dispositivo considerado para observar el esparcimiento lateral.

´ Problemas de Optica F´ısica I

136 SOL: (a) Caso ed1 : A, B y D. (b) Caso ed2 : A.

3.9 Se sabe que en el proceso de desarrollo de una catarata la agudeza visual del sujeto disminuye como consecuencia del esparcimiento de la radiaci´ on. En la Figura 3.30 se muestran los espectros de transmitancia de varios filtros en funci´ on de la longitud de onda. Indicar en la propia figura cuál de los filtros elegir´ıa con objeto de reducir el efecto del esparcimiento.

T(%)

(A)

T(%)

10

(B)

T(%)

10 400

l (nm)

T(%)

800

(C)

10 400

(D)

l (nm) T(%)

10

800

400

l (nm)

800

(E)

10 400

l (nm)

800

400

l (nm)

800

Figura 3.30: Transmitancia espectral de los filtros considerados. SOL: La solución correcta es (B). 3.10 Una lente oftálmica de material org´ anico ha sido dopada en su proceso de fabricación con unas moléculas de colorante que presentan una resonancia en el visible. El ´ındice de refracci´ on del material resultante se muestra en la Figura 3.31 y el espesor medio de la lente es de 2 mm. (a) ¿De qué color aparecer´ a la luz transmitida por la lente? (b) Si esta lente la utiliza una persona que presenta una catarata incipiente, ¿podr´ıa mejorar el contraste de las im´ agnes que se forman en su retina? Razonar la respuesta teniendo en cuenta que la irradiancia emitida por un dipolo viene dada por ~ |hPi| ∝

ω4 . (ω 2 − ω02 )2 + γ 2 ω 2

SOL: (a) De tonalidad amarillo-rojizo. (b) Mejora el contraste con el filtro. 3.11 En un prisma delgado fabricado con vidrio Crown, cuya frecuencia de resonancia est´ a en la región UVC del espectro, indicar qué color sufrir´ a mayor desviaci´ on cuando se ilumina el prisma con un haz colimado de luz blanca. Suponer que la expresi´ on del ´ındice de refracci´ on en función de la frecuencia est´ a dada por n(ω) = 1 +

1 N q2 . 2 2me ǫ0 ω0 − ω 2 + iγω

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

137

Para la fabricación de vidrios de alto ´ındice (tipo flint), se introduce en el material ´ oxidos de plomo. La adición de estos ´ oxidos introduce una nueva frecuencia de resonancia que est´ a en la región UVA, esto es, cerca del visible. Teniendo en cuenta lo anterior, indique cu´ al de los dos vidrios suministra una mayor protecci´ on al ultravioleta. SOL: (a) Mayor desviación para radiaciones azules. (b) El vidrio flint. 3.12 La rodopsina es una sustancia que se encuentra en el segmento interno de un fotorreceptor. Se ha determinado que el ´ındice de refracci´ on para una concentraci´ on de 3.5 × 10−3 moles/l de esta sustancia, viene dado por n(ω) ≈ n0 +

N q 2 fs 1 , 2 2n0 me ǫ0 ω0 − ω 2 + iγω

donde n0 = 1.400, fs = 0.5, ω0 corresponde a una longitud de onda de 500 nm y γ = 3.76 × 10−8 s. (a) Determinar los valores de las longitudes de onda en los que se alcanza un m´ aximo, λM , y un m´ınimo, λm de la parte real del ´ındice de refracci´ on. (b) Determinar la variación de ´ındice de refracci´ on entre las longitudes de onda anteriormente calculadas. (c) Dibujar en una gr´ afica la parte real e imaginaria del ´ındice de refracci´ on. Relacione la curva de absorci´ on con las propiedades de sensibilidad espectral de un observador humano. SOL: (a) λM = 559 nm y λm = 456 nm. (b) ∆n = 8.4 × 10−4 . 3.13 Dos cremas protectoras de la radiaci´ on solar tienen los espectros de transmisi´ on que se muestran en la Figura 3.32. Indicar cu´ al de ellas permite un bronceado m´ as intenso en las mismas condiciones de exposici´ on a la luz solar.

n nI

nR

1.4

3.93

4.38

4.83

w x 1015 rad/s

Figura 3.31: Indice de refracción del material empleado para fabricar la lente.

´ Problemas de Optica F´ısica I

138 1.0 (A)

T

0.5

0.0 0.2

0.3

0.4

0.5 l (mm)

0.6

0.7

0.2

0.3

0.4

0.5 l (mm)

0.6

0.7

1.0 (B)

T

0.5

0.0

Figura 3.32: Espectros de transmitancia de dos cremas bronceadoras. SOL: La crema (A). 3.14 Es bien conocido que en el atardecer, el sol presenta una tonalidad rojiza. Indique cu´ al de las siguientes afirmaciones es correcta: (a) Las componentes del espectro visible de corta longitud de onda de la radiaci´ on emitida por el sol son fuertemente absorbidas por la atm´ osfera. (b) La atmósfera es básicamente transparente a las radiaciones de corta longitud de onda del espectro visible emitidas por el sol. (c) Las componentes del espectro visible de larga longitud de onda son esparcidas débilmente por la atmósfera. (d) Las componentes del espectro visible correspondientes a la regi´ on de los azules son esparcidas, pero las correspondientes a la regi´ on de los verdes y los rojos no son esparcidas. SOL: La correcta es la (c).

Reflexi´ on y refracci´ on en medios is´ otropos 3.15 El campo eléctrico de una onda plana arm´ onica viene dado por la expresi´ on h x i Ez = 10 cos π × 1015 t − (V/m). 0.65 c (a) Determinar la direcci´ on de propagaci´ on de la onda.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

139

(b) La frecuencia y la longitud de onda. (c) La velocidad de fase de la onda. (d) La irradiancia promedio de la misma. π SOL: ~kp = 3×0.65 × 108 (1, 0, 0) (m−1 ). 1 15 ν = 2 × 10 Hz y λ = 390 nm. La velocidad de fase de la onda es vf = 1.95 × 108 m/s. La irradiancia promedio es I = cǫ20 n E02 = 0.204 (W/m2 ).

3.16 Una lente oftálmica está hecha con un vidrio tal que para λ = 530 nm se tiene que n(λ) = 1.52. Determinar la fracci´ on de energ´ıa que transmite la lente, T . SOL: T = 0.917 3.17 Un haz plano de radiación monocrom´ atica despolarizada incide desde el aire sobre una lámina plano-paralela de vidrio de ´ındice 1.6. Razonar si la radiaci´ on reflejada en la segunda cara de la lámina est´ a linealmente polarizada o no cuando el ´ angulo de incidencia en la primera cara es de 57.99o . SOL: En efecto: esto es as´ı dado que el ´ angulo de incidencia es el ´ angulo de polarización en la primera interfase. Teniendo en cuenta que en esas condiciones se verifica que θi + θt = π2 , se concluye que la afirmación es correcta. 3.18 Considere un ojo reducido de las siguientes caracter´ısticas rc = 5.7 mm y n′ = 1.334. Se acopla a este ojo una lente de contacto tal que nl = 1.67. Indicar cu´ al es la transmitancia, T , al acoplar la lente de contacto al ojo cuando incide normalmente un haz de luz linealmente polarizado en el plano de incidencia. Indique las hip´ otesis realizadas. SOL: T = 0.9253 . 3.19 Considere un ojo reducido de las siguientes caracter´ısticas rc = 5.4 mm y n′ = 1.332. Sobre él incide una onda plana linealmente polarizada en el plano de incidencia cuya irradiancia es 0.5 mW /cm2 . Determine la irradiancia reflejada, Ir . SOL: Ir ≈ 10 µW/cm2 . 3.20 Una onda plana linealmente on de dos medios √ polarizada incide sobre la superficie de separaci´ materiales tales que r⊥ = 0.13 y rk = 0.2. Determinar el azimut de la onda incidente, α, para que la onda reflejada esté linealmente polarizada a 45o del plano de incidencia. SOL: α = 29.02o . 3.21 Considere unos prism´ aticos 60 × 12 que se han dise˜ nado de forma que el objetivo y el ocular son lentes bicóncava cuyos ´ındice es nob = 1.53 y noc = 1.42 para λ = 550 nm. Entre ambos elementos se colocan dos prismas de porro tales que np = 1.65. Teniendo en cuenta incidencia normal sobre los elementos considerados y que en el interior de los prismas se produce reflexi´ on total, estimar la transmitancia (T ) de este sistema ´ optico. SOL: T = 0.671. 3.22 Una onda plana linealmente polarizada (λ0 = 500 nm) en el plano de incidencia incide sobre un semicilindro de vidrio de radio R = 1 metro tal que n(λ0 ) = 1.45, que se apoya sobre el suelo. Determinar la distancia, x, desde el centro del cilindro hasta una franja oscura paralela a la generatriz del cilindro que se observa en el suelo. Indicar los motivos por los que aparece esta franja oscura.

´ Problemas de Optica F´ısica I

140 SOL: x = 2.32 metros.

3.23 La irradiancia m´ axima que puede recibir la c´ ornea para no producir da˜ nos oculares es aser I = 0.003 Wcm−2 . Si sobre un ojo incide un haz colimado procedente de un puntero l´ cuyo haz tiene una extensión radial de 2 mm, determinar cu´ al ha de ser la potencia máxima, Pmax , de ese láser para que no resulte peligroso. Si tras refractarse en el ojo el haz anterior se concentra en un ´ area del orden de 10−11 m2 , determinar la irradiancia en la retina, Iret , considerando un modelo de ojo reducido con nojo = 1.37 y tener en cuenta las pérdidas por reflexi´ on. SOL: Pmax = 3.8 × 10−4 W. Iret = 37.09 × 106 W m−2 . 3.24 Un haz láser colimado de potencia P = 10 mW y longitud de onda λ0 = 632.8 nm, ilumina un sistema formado por dos lentes delgadas convergentes que est´ an hechas del mismo material para el que n(λ0 ) = 1.58. Ambas lentes constituyen un sistema afocal. La primera lente tiene aser ilumina toda la secci´ on una focal de f1′ = 200 mm y la segunda f2′ = 10 mm. El haz l´ de la lente de entrada que tiene un di´ ametro de 20 mm. Teniendo en cuenta las pérdidas por reflexi´ on en las lentes, determinar la irradiancia del haz transmitido, It . SOL: It = 1.035 × 104 W m−2 . 3.25 Sobre una l´ amina plano-paralela de un material que tiene una densidad ´ optica D = 3 (donde −2 D = − log T ) incide un haz de luz cuya irradiancia es 1 mWm . Determinar la irradiancia del haz transmitido, It . SOL: It = 1 × 10−6 W m−2 . 3.26 Un haz de luz circularmente polarizado que se propaga en la direcci´ on del eje Z incide perpendicularmente desde el aire sobre un conjunto de tres l´ aminas superpuestas de ´ındices n1 = 1.3, n2 = 1.7 y n3 = 1.4. Determine las amplitudes de las componentes del campo eléctrico emergente, Ex y Ey . SOL: Ex = 0.9643E0 cos(ωt − kz) y Ey = 0.9643E0 cos(ωt − kz + π/2). 3.27 Un observador mira a través de un polarizador lineal la luz del sol reflejada por el agua de una piscina (n ≈ 1.33) bajo un ´ angulo θp con la normal a la superficie del agua, que coincide con el ´ angulo de polarizaci´ on. El polarizador lo sit´ ua de tal manera que el haz incide sobre él perpendicularmente. Calcular el ´ angulo θ que debe formar el eje de transmisión del polarizador con la vertical para que la irradiancia transmitida se reduzca a un 50% de la irradiancia reflejada en el agua. SOL: θ = 45o . 3.28 Una onda electromagnética plana de frecuencia ν = 1014 Hz y amplitud E0 = 5 V/m, que vibra en la direcci´ on del eje Y , incide perpendicularmente sobre una l´ amina de caras planoparalelas y de ´ındice de refracci´ on n = 1.62 (ver Figura 3.33). Escribir la expresi´ on del campo eléctrico en los puntos A y B en el mismo instante de tiempo, teniendo en cuenta las pérdidas por reflexión y considerando que el espesor de la l´ amina es de 1 mm. No tenga en cuenta los efectos de difracci´ on por los bordes de la l´ amina. ~ B = 5 cos(2π × 1014 t)ˆ ~ A = 4.712 cos(2π × 1014 t + 1.33π)ˆ SOL: E  (V/m) y E  (V/m).

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

141

Y

B

A

X

d

Figura 3.33: Esquema de la onda incidente sobre la lámina y puntos de observación A y B.

Medios anis´ otropos 3.29 Se ha determinado con el auxilio de un osciloscopio el tiempo entre dos m´ınimos consecutivos de intensidad al hacer girar el eje de un motor que lleva acoplado un polarizador lineal resultando ser 40 ± 2 milisegundos. Delante del detector de radiaci´ on se ha colocado un polarizador lineal. Determinar la frecuencia angular a la que gira el eje, Ω, as´ı como el error que se comete, ∆Ω. SOL: Ω = 79 rad s−1 y ∆Ω = 4 rad s−1 . 3.30 Un haz de luz despolarizado cuya irradiancia es de 1 mW/cm2 incide sobre un polarizador cuyo eje de transmisi´ on est´ a a +30o de la vertical. Tras él se coloca un segundo polarizador cuyo eje de transmisi´ on está a +45o de la vertical. Considerando que los polarizadores son “perfectos”, en el sentido de que despreciamos la radiaci´ on reflejada, determine la irradiancia que emerge de este sistema, Ie . SOL: Ie ≈ 0.47 mW/cm2 . 3.31 Una onda plana linealmente polarizada que se propaga en la direcci´ on del eje Z, de amplitud 12 V/m y longitud de onda λ0 = 547 nm, incide perpendicularmente sobre una l´ amina retardadora λ/8. Los ejes neutros de la l´ amina est´ an orientados en las direcciones X e Y de un sistema de ejes cartesiano. Escribir la expresi´ on de una onda incidente que emerger´ a linealmente polarizada tras atravesar la l´ amina. SOL: Ex = 12 cos(ωt − kz), Ey = Ez = 0. 3.32 El celo es un material birrefringente con dos l´ıneas neutras perpendiculares entre s´ı. Los

´ Problemas de Optica F´ısica I

142

´ındices de refracci´ on principales son no = 1.544 y ne = 1.553. La l´ amina de celo tiene un espesor de 1 mm. Esta l´ amina se coloca entre dos polarizadores cuyos ejes de transmisi´ on son paralelos entre s´ı, de modo que el eje ordinario de la l´ amina est´ a a 45o del eje de transmisión del primer polarizador. El sistema es iluminado con luz blanca, y tras el segundo polarizador se coloca una red de difracci´ on. En una pantalla se observan que desaparecen algunas longitudes de onda entre 600 y 700 nm. Determine cu´ ales son y a qué se debe su desaparici´ on. SOL: λ1 ≈ 667 nm y λ2 ≈ 620 nm. 3.33 En el plano focal objeto de una lente se coloca una fuente puntual de radiaci´ on monocrom´ atica (λ = 470 nm). La irradiancia del haz que emerge de la lente es de 1 mWm−2 . Tras la lente se coloca un polarizador lineal ideal cuyo eje de transmisi´ on est´ a en la direcci´ on vertical, y detr´ as de éste se coloca otro polarizador similar cuyo eje de transmisi´ on est´ a colocado inicialmente en la direcci´ on horizontal (los polarizadores se dice que est´ an cruzados). Un observador mira en la dirección del eje ´ optico. Si consideramos que la pupila del observador es de φo = 4 mm y que este observador está completamente adaptado y que puede detectar un flujo luminoso umenes que incide sobre su pupila, determinar cu´ al es el m´ınimo m´ınimo de Φum ≈ 10−14 l´ ángulo, αmin , que puede girarse el eje de transmisi´ on del segundo polarizador para que el observador perciba radiación procedente del sistema. Tenga en cuenta que V (470) = 0.09098. SOL: αmin = 89.99o . 3.34 Se ilumina con un haz colimado monocrom´ atico un sistema formado por dos polarizadores cuyos ejes de transmisi´ on son perpendiculares entre s´ı. Tras los polarizadores se coloca una pantalla sobre la que se realizan observaciones. Entre ambos polarizadores se coloca un material A en una posici´ on fija y en la pantalla se observa que no aparece luz. ¿Se puede concluir que el material A es isótropo? ¿Qué operaciones habr´ıa que realizar para confirmar o desmentir que el material es isótropo? SOL: (a) No. (b) Habr´ıa que girar el material y analizar si aparece o no radiación en la pantalla: si no aparece radiaci´ on en la pantalla en ninguna posici´ on de giro podr´ıamos concluir que efectivamente se trata de un material is´ otropo. 3.35 La luz natural procedente de un diodo LED (emisor cuasi-monocrom´ atico) se hace pasar por dos polarizadores cuyos ejes de transmisi´ on son paralelos entre s´ı. Entre ambos polarizadores se inserta una l´ amina de un cierto espesor y se observa que en una pantalla colocada tras el segundo polarizador no aparece radiaci´ on. ¿Se puede concluir que la l´ amina es de un material anisótropo? En caso afirmativo ¿de qué tipo de l´ amina se trata? SOL: (a) S´ı. (b) Se tratar´ıa de una l´ amina de media onda cuyas l´ıneas neutras est´ an a 45o del eje de transmisi´ on de los polarizadores. 3.36 Se tiene una lámina plano-paralela de un material anis´ otropo uni´ axico con sus caras paralelas al eje o´ptico. Los ´ındices de refracci´ on en las direcciones de las l´ıneas neutras, que suponemos que son las direcciones OX y OY se muestran en la Figura 3.34. (a) Si sobre el material incide una radiaci´ on despolarizada de frecuencia ω1 que se propaga en la direcci´ on del eje Z ¿qué espesor m´ınimo debe de tener el material para que el haz emergente de la l´ amina esté linealmente polarizado? NOTA: una onda se considerar´ a extinguida cuando al pasar por el material, su irradiancia se reduce a 1/1000 de la irradiancia incidente. (b) ¿Para qué banda de longitudes de onda actuar´ıa como un polarizador? Para el espesor que se ha determinado en el apartado anterior ¿se polarizar´ıan por igual todas las frecuencias?

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

143

(c) Si se ilumina con un haz colimado de luz blanca, indique de qué color ser´ıa vista la l´ amina por transmisi´ on.

nrx

nIx -4 2.3 x 10

1.658

w2

w1

nry

15

w x 10 rad/s

3.93

w1

4.83

15

w x 10 rad/s

15

w1=4.38 x 10 rad/s 1.486 w2=3.67 x 1015 rad/s

w2

w1

15

w x 10 rad/s

Figura 3.34: Curvas de dependencia de los ´ındices de refracción en función de la frecuencia para la lámina considerada.

SOL: (a) e ≈ 1 mm. (b) La banda de absorci´ on es [390 , 479] nm. (c) La radiación transmitida tendr´ a un aspecto amarillo-rojizo. 3.37 Considere dos l´ aminas de cuarto de onda y de media onda cuyas l´ıneas neutras son paralelas y fijas. Entre ambas se coloca un polarizador lineal que gira a una velocidad angular Ω. Si sobre este sistema incide un haz de luz linealmente polarizado a 45o con respecto a las l´ıneas neutras de las láminas y de irradiancia I0 , determine el estado de polarizaci´ on y la irradiancia on en los diferentes elementos. emergente, Ie , despreciando las pérdidas por reflexi´ SOL: Polarización lineal y el plano de polarizaci´ on gira con velocidad angular Ω. Ie = I0 /2. 3.38 Un campo linealmente polarizado de amplitud E0 = 5 V/m que se propaga en la dirección del eje Y , incide sobre una l´ amina de media onda tal y como se indica en la Figura 3.35. Obtener la expresión del campo que emerge tras la l´ amina y dibujar en el gr´ afico la orientación del campo en los distintos puntos indicados, tomando como origen del eje Y la propia l´ amina para t = 0 segundos. SOL: Exsal = 4.24 cos(ωt − kz) (V/m). Ezsal = −2.45 cos(ωt − kz) (V/m).

Medios conductores

´ Problemas de Optica F´ısica I

144

Z Líneas neutras

Einc q

X y=0 y=p/4k y=p/2k y=p/k y=3p/2k Y

Figura 3.35: Situación considerada: el campo incidente vibra a 30o del eje X. Los ´ındices de refracción de la lámina son nx = 1.334 y nz = 1.337.

3.39 Se tienen dos l´ aminas de espesor 1 mm de dos materiales tales que n1 = 4.7−4i y n2 = 1.6−7i para λ = 500 nm. Si ambas láminas se iluminan con una onda plana de la longitud de onda citada en condiciones de incidencia normal, determinar cu´ al de ellas transmite m´ as radiaci´ on. SOL: La l´ amina con ´ındice n1 . 3.40 Para una radiación de 500 nm, el ´ındice de refracci´ on que presenta el germanio es n = 3.45−1.39i. Determinar la reflectancia bajo incidencia normal, R, de una l´ amina de germanio y el desfase de la onda reflejada respecto a la incidente, α, para la componente paralela al plano de incidencia. SOL: R = 0.365. α = −12.23o . 3.41 Se ha depositado una capa de 28 nm de un metal sobre el casco de un astronauta. La parte real y la imaginaria del ´ındice de refracci´ on de dicho metal se muestran en la Figura 3.36. (a) Justifique numéricamente que la radiaci´ on visible llega al ojo del astronauta pero no as´ı la radiación infrarroja. (b) ¿Pasar´ıa la radiación visible en el caso de que la capa de metal fuera de 1 mm de espesor? SOL: (a) Para λ = 500 nm, la transmitancia es T ≈ 0.75. Para λ = 900 nm, la transmitancia es T ≈ 0.101. (b) No, ya que para λ = 500 nm, la transmitancia es T ≈ 0.

Tema 3. Interacci´ on de la radiaci´ on con la materia

145

6.0

4.0

nI

2.0 nR

1.0

l x 10-9 m 400

500

600

700

800

900

1000

Figura 3.36: Parte real, nR (en continua), e imaginaria, nI (en discontinua), del ´ındice de refracción de un metal en funci´ on de la longitud de onda.

146

´ Problemas de Optica F´ısica I

Bibliograf´ıa

[BORN] M. Born and E. Wolf, Principles of optics. Electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light, (Pergamon, Oxford, 1991). ´ [CASA] J. Casas, Optica, (Librer´ıa General, Zaragoza, 1994). ´ [CABR] J. M. Cabrera, F. J. López y F. Agull´ o, Optica electromagnética. Vol. I: Fundamentos, (Addison Wesley, Madrid, 1998). [GOOD] J. W. Goodman, Introduction to Fourier optics, (McGraw-Hill, New York, 1988). ´ [HECH] E. Hecht, Optica, (Addison Wesley, Madrid, 2000). ´ [LOPE] M. L´ opez, J. L. D´ıaz y J. M. Jiménez Problemas de f´ısica. Vol. V: Optica, (Librer´ıa Internacional de Romo, Madrid, 1980). [MARE] A. Maréchal et M. Fran¸con, Diffraction. Structure des images, (Masson et Cie, Par´ıs, 1970). [MEJI] P. M. Mej´ıas y R. Mart´ınez 100 Problemas de o ´ptica, (Alianza Editorial, Madrid, 1996). [REIT] J. R. Reitz, F. J. Mildford and R. W. Christy, Fundamentos de la teor´ıa electromagnética, (Addison Wesley, Argentina, 1986). ´ [RENA] J. Renault, Optica f´ısica y ondulatoria. Ejercicios resueltos., (Paraninfo, Madrid, 1986). [STON] J. M. Stone, Radiation and optics: an introduction to the classical theory (McGraw-Hill, New York, 1963). [YUNG] Lim Yung-kuo, Ed., Problems and solutions on optics, (World Scientific, Singapore, 1991).

147

Optica Fisica I Problemas Resueltos

Short Description

Description

Comments

We need your help!