Operasi Matriks
September 13, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Operasi Matriks...
Description
TUGAS P.I
Nama Kelompok
: M.Akhirul Muqsith Try Muchamad H Ryan Permana
Membahas
: Matriks
Pemberi Materi
: Guru Matematika ( Pak Wagiyo
OPERASI MATRIKS 1. Penjumlahan Penjumlahan Matriks Jika matriks A dan B memiliki ordo yang sama, maka jumlah matriks A dan B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian (seletak). Jumlah matriks A dan dan B dinotasikan dinotasikan dengan A + B . matriks A A dan dan B B dapat dapat dijumlahkan menjadi matriks C Dua matriks (ditulis C = A + B) B ) jika dan hanya jika: 1) Ordo C = = ordo A ordo A = = ordo B ordo B 2) untuk semua
baris dan
kolom
+* + * +* * + * +* + * + * + * + Contoh
: Diketahui : : Diketahui
Tentukanlah :
a. A + B b. B + A c. c. C + D d. D + C e. A + C
Pembahasan : a. : a.
b.
* + * ++ ** + * + * *
c. d.
e. Karena ordo A ordo C maka A + C dikatakan tidak terdefinisi. Dari contoh terlihat oleh kita bahwa matriks A + B = B + A, dimana matriks A dan dan B memiliki memiliki ordo yang sama. Dengan demikian, pada penjumlahan matriks berlaku sifat komutatif . Apabila A dan Apabila A dan B B adalah adalah dua matriks yang berordo sama maka A + B = B + A. A. Sifat tersebut dinamakan sifat komutatif penjumlahan dua matriks. matriks.
Bukti
: Misalkan :
() ()
, dengan . Oleh karena elemen-elemen matriks A
( )
maupun matriks B adalah bilangan real yang mengikuti pada hokum komutatif, maka . Sehingga dapat
dikatakan A + B = B + A (terbukti).
Lalu, apakah sifat asosiatif berlaku dalam penjumlahan matriks? Untuk dapat menjawab pertanyaan itu coba simaklah contoh berikut. Contoh
:
Diketahui
:
* * + * +* + + + * + * * + * + *+ * +* + * + * +* + * + ** + +** ++ *+ *+ +
Tentukanlah : a. A + B + C
b. (A + B) + C c.
A + (B + C)
Pembahasan :
a.
b.
c.
Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa pada penjumlahan matriks berlaku sifat asosiatif . Apabila A, B, dan Apabila A, B, dan C adalah adalah tiga matriks yang berordo sama, maka A maka A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C . C . Sifat tersebut t ersebut dinamakan dinamakan sifat asosiatif penumlahan matriks.
Bukti
:
( ()
Misalkan . Oleh karena
() ()
elemen-elemen matriks A, B, dan C merupakan bilangan real yang mengikuti pada hukum assosiatif, maka berlaku hubungan-hubungan:
( ) ( ) ,sehingga dapat
dikatakan (terbukti). (terbukti).
2. Pengurangan Matriks
–
Telah kita ketahui bahwa jika a dan dan b dua dua bilangan real, maka berlaku : dengan dengan adalah lawan dari b . karena setiap matriks mempunyai matriks lawan, maka sama seperti pada bilangan real, pada matriks pun berlaku:
* +
Dengan kata lain, pengurangan matriks A oleh matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan amtriks A dengan dengan lawan dari matriks B . Contoh
: :
* +
Diketahui
matriks
Tentukanlah matriks
+ * + * + * * + * + * + + * ++ * + * + * + * ++ * + * + * + + * +* * ++ * +** + +* +* + * + * + Pembahasan : :
Contoh
: Diketahui :
matriks
.
Tentukanlah: a. b.
c.
d.
Pembahasan : :
a.
b.
c.
d.
Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa dalam pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif.
Contoh : : Apabila A adalah matriks persegi berordo 2, selesaikanlah tiap persamaan berikut! a.
* * +* + * + + * + * +⇔* + * + * * + +* +* +⇔* + + * +
b.
Pembahasan :: a.
b.
3. Perkalian Matriks a. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Perkalian bilangan real k dengan matriks A ditulis kA adalah suatu matriks yang elemen-elemennya diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen matriks A dengan bilangan real k . Dengan demikian, jika
* + * +
.
matriks A A dan dan C dapat dapat memenuhi persamaan C = kA jika kA jika Dua matriks dan hanya jika:
1. bilangan untuk real, A dan real, A dan C matriks matriks sama. 2. k bilangan semua barisberordo dan kolom.
Telah kita ketahui bahwa untuk sembarang bilangan real a berlaku:
* + * *+*++ * + * + * + * + * + * + * +* + * + * + * + * + * + +
Lalu, apakah pada matriks berlaku bahwa A + A = 2A, A + A + A = 3A , dan seterusnya? Untuk mengetahuinya, simaklah uraian berikut. Matriks
,
maka
berdasarkan
definisi
penjumlahan matriks diperoleh:
Dengan demikian pada matriks berlaku sebanyak k. Contoh
: Dikethaui: : Dikethaui:
A + A + … + A = kA
Tentukanlah bentuk yang paling sederhana dari
matriks:
a. 3A
Pembahasan : a. : a.
b. A + 2B
c.
* +* + * + * + * + ** + * +*+ + * + +
b.
c.
Sama halnya dengan penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks dengan bilangan real memenuhi sifat-sifat tertentu, seperti yang tercantum dalam sifat berikut.
Apabila k dan dan l berordo adalah bilangan-bilangan adalah real, A dan real, A dan B B adalah matriks , maka: 1. 2. 3.
Contoh
4. 5.
: Dikethaui
* + + +* * ++ * * + + * +⇔ * +* * + * + * + * + Tentukan matriks B .
Pembahasan
:
Dengan demikian,
Jadi,
A. Perkalian Matriks Dua buah matriks A dan B sepadan untuk dikalikan, artinya matriks A dapat dikalikan dengan matriks B , jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak kolom matriks B . Sementara hasil perkalian matriks A dengan matriks B ditentukan ditentukan dengan cara mengalikan baris-baris matriks A dengan kolom-kolom matriks B kemudian menjumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom tersebut. Definis
Dua matriks A dan B dapat dikalikan dan
menghasilkan matriks C jika dan hanya jika:
Contoh : : Di antara matriks-matriks berikut, manakah yang dapat dikalikan?
*+* +
matriks Pembahasan : : Diketahui . Berdasarkan definisi 3.4, maka matriks-matriks yang dapat dapat dikalikan adala adalah: h: 1.
4.
2. 3.
5. 6.
a. Sifat-sifat Perkalian Matriks
Pada bahasan sebelumnya kita telah mempelajari sifatsifat penjumlahan dan pengurangan matriks. Apakah sifatsifat yang berlaku pada penjumlahan atau pengurangan matriks berlaku pula pada perkalian matriks? Untuk mengetahuinya, simaklah beberapa contoh berikut. Contoh : Diketahui : Diketahui matriks:
* +* + * + * + * + * + * +* + * +
Tentukanlah: a. b. c.
d.
e.
f.
Pembahasan : : a.
b.
* * + * + * + * + * + * +** +++ * +* +*+ + * + * + * + * + **++ *++ *++ * + * + c.
d.
e.
f.
Dari contoh di atas terlihat oleh kita bahwa matriks , sementara . Dengan demikian, pada perkalian matriks tidak
berlaku sifat komutatif, tetapi berlaku sifat asosiatif dan distributif.
Si at
Apabila A,, B Apabila A B,, dan C adalah adalah matriks-matriks yang sepadan untuk dikalikan, maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks, yaitu: yaitu: 1) Tidak bersifat komutatif, kecuali untuk matriksmatriks khusus.
2) Bersifat asosiatif, 3) Bersifat distributif,
Kita ingat kembali bahwa pada penjumlahan matriks, ada matriks identitas yaitu matriks nol ( sehingga . Pada perkalian matriks, ada pula matriks identitas, tetapi bukan matriks nol (O ), ), melainkan matriks satuan I . matriks satuan adalah matriks persegi, missal berordo n , yang semua elemen; diagonal dan elemen lainnya nol. Beberapa contoh matriks satuan adalah:
* +
Bagaimanakah sifat matriks nol dan matriks identitas I terhadap perkalian matriks? Simaklah sifat-sifat perkalian matriks berikut. Sifa Si fatt
Pada perkalian matriks, 1) Ada matriks identitas I identitas I sehingga AI sehingga AI =
IA = A A 2) Jika
, maka belum tentu , maka belum tentu
3) Jika
4)
Contoh
: Dikethaui matriks: : Dikethaui
* + * +
+ * + * * + [ ] * + Tentukanlah matriks
Pembahasan : :
.
CUKUP SEKIAN TERIMAKSIH SEMOGA BERMANFA’AT B ERMANFA’AT
View more...
Comments
