operadores-matematicos1

180

CAPITULO VI

OPERADORES MATEMATICOS

OPERADOR MATEMATICO:

3

2

Si:Vx • y  = x - y ,

Es un símbolo matemático que por sí sólo no tiene significación; pero que en la matemática tiene una enorme importancia.

Hallar: (4 * 27) * (6V2 1 * 512)

Solución: ...... Operadores matemáticos clásicos

Operadores matemáticos arbitrarios Ejemplo:

-1

V  >U°g> sen, eos, tg,ctg,sec, esc, J, I, 11, [], n

*, #, A, □ ,

a, 0, %, ©,

Se define en Z:

□> !> O, A o— o>

2a + 7 ; si “a” es par a+ 3 ; si “a” es impar 

a=

Ejemplo: OPERACION MATEMATICA Es una estructura matemática que relaciona operadores matemáticos con cantidades mediante una “Ley de formación”.

Calcular: (9 ) - (6 ) Solución: .........

Operaciones Usuales: 

Ejemplo: Su respuesta se deduce por su ley que se supone conocida ya que son operaciones universales.

x x+2

Si: A =

XX = O p e r a c i o n e s N O U s u a l es es 4 * 3 

7

=

9 02

=?

#  5 =? f(2) = ?

Su respuesta depende de la ley de formación que se dé en cada caso

VxGZ-{0;2}

x x-2

181

OPERACIONES EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Se define en el conjunto: A = {a, b, c, d}

Fila de entrada

a£c Columna J b de entrada I C

b* c = . d* b = .

Ejemplo:

 _d

a

d

a

b

c

a

b

c

 _ 

b

a

b

c

d

b c

c d

d a

d a

c d

b c

c d

d a

a b

d

a

b

b c

Va,bGA^ a*b = b*a El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.

Ejemplo: En el conjunto:

Ejemplo: En N se define la adición:

 A={1,2,3,4} se define: 1 2 3 4 1

1 2 3 4

2 3 4 1 2

5 + 8 = 8 + 5 ^ la adición es conmutativa en N. 4 1 2 3

1 2 3 4

Ejemplo: En N se define la sustracción: 6-9^ 9-6^ la sustracción no es conmutativa en N.

Entablas: (1 2)(2 4) (3 Calcular: E =

3)(4 1) 2. Conmutativa:

Solución:,

PROPIEDADES: Se define en el conjunto A, una operación representada mediante el operador (*). 1. Clausura:

Va.bGA^ a*bGA Se toma un par de elementos del conjunto A y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto A.

a b

a b

b c

c d

d a

c d

c d

d a

a b

b c

Criterio de la diagonal: 1. Se ordena la filayla columna de entrada. En el mismo orden y a partir del vértice del operador. 2. Se traza traza la diagonal principal (desde el vértice del operador). 3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal yen forma simétrica queden elementos iguales. 4. Si en todos los casos los elementos son iguales, la operación es conmutativa. 5. Si en al menos un caso uno de los elementos es diferente, la operación no es conmutativa.

181

OPERACIONES EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA

Se define en el conjunto: A = {a, b, c, d}

Fila de entrada

a£c Columna J b de entrada I C

b* c = . d* b = .

Ejemplo:

 _d

a

d

a

b

c

a

b

c

 _ 

b

a

b

c

d

b c

c d

d a

d a

c d

b c

c d

d a

a b

d

a

b

b c

Va,bGA^ a*b = b*a El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.

Ejemplo: En el conjunto:

Ejemplo: En N se define la adición:

 A={1,2,3,4} se define: 1 2 3 4 1

1 2 3 4

2 3 4 1 2

5 + 8 = 8 + 5 ^ la adición es conmutativa en N. 4 1 2 3

1 2 3 4

Ejemplo: En N se define la sustracción: 6-9^ 9-6^ la sustracción no es conmutativa en N.

Entablas: (1 2)(2 4) (3 Calcular: E =

3)(4 1) 2. Conmutativa:

Solución:,

PROPIEDADES: Se define en el conjunto A, una operación representada mediante el operador (*). 1. Clausura:

Va.bGA^ a*bGA Se toma un par de elementos del conjunto A y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto A, entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto A.

a b

a b

b c

c d

d a

c d

c d

d a

a b

b c

Criterio de la diagonal: 1. Se ordena la filayla columna de entrada. En el mismo orden y a partir del vértice del operador. 2. Se traza traza la diagonal principal (desde el vértice del operador). 3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal yen forma simétrica queden elementos iguales. 4. Si en todos los casos los elementos son iguales, la operación es conmutativa. 5. Si en al menos un caso uno de los elementos es diferente, la operación no es conmutativa.

182

Ejemplo:

Ejemplo:

a*b = 2 4 1 3

3 1 2 4

4 2 3 1

1 3 4 2

Se define: ab

2 4 1 3

2 Calcular el elemento neutro

Entablas: Ordenando:

Ejemplo:

a b

d a

a b

b c

c d

c d

b c

c d

d a

a b

*

2 2 4 6 8

4 4 6 8 2

6 6 8 4 4

8 8 2 2 6

2 4 6 8

Criterio:

1 2 3 4

3 4 1 2

4 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 1

^e =, 1. Se verifica que la operación sea conmutativa. 2. En el cuerpo de la tabla se buscan: una fila igual a la fila de entrada y una columna igual a la columna de entrada. Donde se intercepten, se encontrará el elemento neutro “e”.

4. Elemento inverso: Va£A,3 a" -i -i

elemento inverso de “a”/a* a = a *a = e 3. Elemento Neutro: 3e E A/Va^a*e = e* a ^a e = elemen elemento to neutro I) En la adición el elemento neutro es el cero (0). a+0=0+a=a multiplicación el elemento neutro II) En la multiplicación es el uno(1). ax1=1xa=a

Calcular: 3' 1;4'1;6'1

Solución: Calculando “e”se sabe: a*e =

a a + e-2 = a^-e = 2 Luego se 3*3"1=2

sabe:

a*a1=e

Ejemplo: Se define: a*b = a + b + 3 Calcular el elemento neutro Ejemplo: Sedefine: a*b = a + b-2

3*3"1=2 3 + 3"1-2 = 2

^3" = 1

183

Ejemplo:

Se sabe: a*a1=e 4*4"1=2 4 + 4"1-2 = 2 ^4"1 = 0 También:

Entablas:

1 3 5 7

3 5 7 1

5 7 1 3

7 1 3 5

1 3 5 7

Hallar: E = [(3*5"1)*(1"1*7)]"1*71 Solución: Por definición de la tabla: í --------------------i 1* í 1 = ..........= 1 * 5  ^ i 1 = 5 í --------------------- ]  3* 31 =......... =3 * 3 ^ 31 = 3 l -------------------1 5* 5 1 =......... =5 * 1 ^ 5 1 = 1 í --------------------i 7* 7 1 =......... = 7* 7 ^ 7' 1 = 7  Luego, reemplazando: E =..........................................

E=

184

1.

PRACTICANDO 01 06. Se define:

Si: a * b = 3a + b-8

2a + b; si a > b

Calcule: E = 2*6

a#b =

a)3 d)5 2.

b)2 e)7

a + b;siab d) 132

a+ b2;si:ab

 A) -12 D) -4

B) 10 E)-6

C)6

197

8. Se define en N

calcule E = [(-5 * -3)] *4 + (5 * 7 ) * - 6

B)2 E) 100

C)3

 A =

 A) -14 D) 10

B) -24 E) 14

C)-4

D) 1

E)1

198

2ab A 3ba = V a 2  + b2 halle el valor de E = (128 ^ 243) (2^9) B)3'sfïÔ _   E)6

 A)5VTÔ""  

C)5

D)7

12. Se define en R -^a(b * a) = a*b donde a * b > 0 calcule E = 16*2 + 8*8 C) D) 6 4 B) 32 16

13. Se define en 9. Se define en R

/A =— (x2 + 1

/ n-l\ = n (n + 2 )

/  A ) 8

/\ n-l\

)

A. =y[53

 A)2 D)6

B)5 E)3

C)4

C)2 14. Si[x] = n*^ n < z < n + 1 ; V x e R , n e Z halle P(2) en [2,5] + [-2,5]-[-0,1] + a2 P(a) = a - [-1,08]

10. Se define en R

 A

2

halle a2 + b2

E)4

= m(m + 24); m>0

m

24

además

calcule E = f^lx/4\

B) 1

R

'x*y\ =(x + y)

= n 1

 A)0 D)3

E)

= 4x -4 0

 A)4 D)

B)2

-2

E)1

C)-1

halle  A) -2

B)2

D)

E)

-

26

26

11. Se define la operación en Z

C)3

15. Se define en R una operación que relaciona dos elementos mediante el operador * como el doble producto de sus términos, multiplicando por el inverso multiplicativo de la suma de los mismos.

halle A =

n i] — * * — —

.3 2^

l~x~l = |x + 5l+ 2 además

3^

IÍ0l=10 calcule 70

 A) 1 D)4

|  A) -12 D) -4

B) 10 E)-6

C)6

199

PROBLEMAS Calcule: / 2

PROPUESTOS 1.

Se define la siguiente operación V A*VB*VC

 A +D

 A)-1 D)2

Calcule M = 1*2*3  A)1

B)3

D)5

E)2

B)-2 E)3

C) 1

C)4 ■J~T 

6.

2. S i a * b = a - b m ym0n = - + 1 n Halle el valor de x en

Si se cumple que [a^ = (a 6) (y[b) 27

64

Calcule:

(4 *5) 0x = 5/6  A) 24 D)2  A)3 D)6

B)-3 E)5

C) -6

(nTj)-(n^) = 4 que: Si se cumple 23 A 12 = 15 33 A21= 18  A) 271A 22 = 36 B)2 D)4 10 A 8 3 = 11 E)5 halle E = (12A11)—3 >— 5 >—7 C)3  A) 1/70

B) 1/71

D)

E) 71/70

E

2 69 71

C) 70/71

69/71

Se define la siguiente operación para tres x+

casos. Se define “V  ^ > ( í )

 _ x 2

  Calcule el valor de m en la siguiente ecuación.  A) 64

B) 36

D) 25

E) 49

5. Si

C) 81

x+1\= 3 X - 2

n - l\= 4

D) 25

E) 49

200

9. Se define la operación O en R como

C) 1

 A)-1 D)2

B) 1 E)0

C)2

201

9. Se define la operación O en R como 2

|a -1 ;a b

 A)-1 D) -2

a* b = 5 a ; a * b > 0 a + 2 =a + 1 Calcule 1 3 * 2 9

C) 1

 A ) 8 D ) 1 3

10. Si m©n =

m(m + 2n) + n(n - 4m)

15.

M(x2-2) =V x 2 + 1 , halle M(-1) B) 1/16 E) 1/4

D)8

C) 10

Entonces el2 valor deE = 9

Si

Calcule 5©3 1/8

B)8 E)

m(m - 2n) + n(n + 4m)  A)

C) 1

14. Si

Calcule ((3 © 2)0 5)0 2 B)0 E)2

B)0 E)4

 A)-1 D)2

C) 16

 A)-\¡2 D)

B)s[3 2 E)0

C)1

16. Sisecumple f(x+1) = f(x) + 2x+1y además f ( 1 ) = 1 Calcule f(16)

11. Se define (x) = 2 x + 1  Además (0)=5 B)-1 E)3

 A) 2 12. SiD)2

C) 1

D) 190 17. Si

0 +©+(xT}) = 10 @ = 2 halle el valor de

D) 9/16

B) 15/4

C) 149

E) 310 + 1 | =r~x ~i + 1

 A) -

B) -1

2 D)

E)2

C)0

1

 ® + © + ® + © + . . ,

 A) 45/8

B) 256

halle el valor de: OH-[ü>]

 ® + ® + © + ®4

 A =

 A) 210

C) 17/4

18. Si /x2 + 4\ = x + 1 halle el valor de:

E)3

13. Si fn = (-1)" + 1

 A n - F 1 + F 2 + f 3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + f n 

 A)-1 D) -2

B) 1 E)0

C)2

202

9. Se define la operación O en R como

Calcule M= A.

C) 1

 A)-1 D)2

' ^99

100

B) 1 E)0

C)2

203

19. SedefineenR

 A)7 D) 11

2

M(x) = Ax  + Bx + R(x) y R(x) = x+1 Si M(M(0)) = 0 Calcule A + B

 A)-1 D)0

B)-2 E)3

B)9

C) 10

E) m m13 m m 25. Si mA n = — + — + — + —-+...;n>m, nn n n C)2

1 1 20. Sia*b = — - T - ;  a, b e Z * a b Calcule E = 1*3 + 3*5 + 5*7 + ... + 1 5 * 1 7

halle el valor de E = (1A2)(2A3)(3A4)...(99A100)  A) 20!

B) 50!

D) 100!

E) 200!

C) 99!

26. Si(^) = x  Además (?)= 64 halle el valor de "x" en (729^1 =

 A) 1/17

B) 16/17

D) 15/17

E) 17/16

C) 17/15

 A)2 D)5

2n + 5 n + 1

21.

25mx + 16 B)3 E)6

C)4

27. Se define la operación [x + 3 ] = x 2 - 3 Calcule [[1] + [2]]  A)5

B) 5/6

C) 6/5

D) además: Hx~l=^ E) 8/5

 A)6

B) -2

D)

E) 22

 A)3

B)V¿~ E)^¡5 

C) 16

28. Si se cumple que m*n = (2n) 2 - 3m, halle 13 =

7/5 M =x10x2 + 1 Halle  A =

x-

22. A)4 Si A(x + 2) = 2x B)2 D)8Calcule E)

C) 1/2

23. Si aAb = a(a + 2b) 1/8+ b(b - 4a)A (a*b)D1 =4a+1 halle 2002 2*2 C)4 B)2  A)3

E)2001

24. Si x+1 = 3 x - 1 , h a l l e e l v a l o r d e n e n

D)\/3" D)2000

C)2

29. Si ® = -(x3 + 2) (mln> (m + n) 0

Calcule "x", en: 25 operadores

x_+_2^^. = 420  A) 106

B) 108

D) 112

E) 114

C) 110

B) 12

C) 15

E) 25

C)3

205

B)-v/Ti E) 250

30. Si P =ax

Calcule:

Vb

16

42. Si logba * logab = 1

25

a+b l°gab

#b

además a  = (logba)  A) 800

B) 900

D)1200

E) 600

C) 400

, halle el

valorde E = 2#3 + 3#2

 A) —  4

39. Si fFI = - ^ - l ; n * 1 , n -1

I

B)-!N

2 C

C)o c

5

calcule R = 43. En el conjunto A= {1, a, a2} se define la operación * dada por la tabla. C)3

 A) 1

*

D)4

a a 40. Si /2x + 3\ -6x + 5

Calcule w = a' + (a )'

x- 1|\_ = 6x + 8 Calcule

 A) a(a + 1) B ) a 2 +1 C) a2(a + 1) D)(a + 1)2 E)2a+1

 A

 A)2 D)

B) 52

38

E) 16

44. Se define en B= {1, 2, 3, 4} la operación #, mediante la siguiente tabla: C)-2

2 1 3 4

n\ = 2 n - 1

40. Si

Calcule el valor de la expresión E =,

1 a a a a a a 2 a 1 a 2

12 3 4 2341 3 4 12 4 12 3

 Además (3#1)#x = 2#4 Calcule [(x#x) # (2#3)]#4  A) 1

B)2

D)4  A) 10 D) 20

E)5

206

45. Definimos (*) en el conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8} mediante la tabla siguiente 0 0 4 2 6 4  8 6 0 8 2

2 6 8 0 2 4

*

4 8 0 2 4 6

8 2 4 6 8 0

0 4 6 8 0 2

Calcule x en (x' 1 * 2' 1) * (6 * 8)'1  = 2 Además 1  A)2 a' : elemento B)4 inverso D)8 de a E)0

Marque verdadero (V) o falso (F) según corresponda I. II. III. IV.

 A) VVFF B) VFVF C) VFVV D) FVFV E) FVVF C)6

46. En el conjunto M = {a; b; c; d} se define la operación # mediante la tabla.

48. Se define en el conjunto A = {a; b; c; d;} la operación definida mediante la siguiente tabla.

a b c d a d b c d

#

abcd

a b c d

b c c d d a a b

d a b c

¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

 A) El elemento neutro es a. B) La operación # es conmutativa. C) Cada elemento de M tiene su inverso. D) Hay varios elementos neutros.

 A

12 4 5

2 3 4

4351 12 4 5 2532

abcd b a d e a d e b a

c b

Halle E

= [(d * a'1)'1 * b'1] b

donde

a' 1: Elemento inverso

de a.  A)a D)d

B) be E)d

C) c.d

E) El elemento neutrobes único. 49. Se define en R aAb = a + b - 7 , calcule (5'1 A6'1)2 Observación: a'1 elemento inverso de a.  A) 10

B) 36

D) 81

E)

Se define en A = {1;2; 3; 4; 5} la siguiente tabla:

47.

[1Ax]A3 = 3 ; s i x = 1 Se cumple la propiedad conmutativa Se cumple la propiedad de clausura El elemento neutro es 3

C) 49

100 = a + b - 5 , además 50. Definimos en R a*b n'1: elemento inverso de n. Halle (1- 1*2'1)*(33)'1

 A) 10 D) 50

B) 20 E)0

C) -30

207

10. Hallar:

' PROBLEMAS PROPUESTOS

(SE > 2 , s ¡ :

a + 2b a + b2

1- Si: a®-

0 6 . S i : x ¡ y = x y - y x ó x ? y =-\^xy"

y ®"T

Hallar: [(3 ¡2 ) ? 4 ] b)2 a)1 d)4 e)-2

Hallar: “b”

b)2 e)3

a)1 d)5

15

c)3

c)4

Si A*B = 2A-B , A#B = 2B-

07. Si: A

1 5 ^ ^ — 5 A 2 _ 2B2 y (A,B>------- ---

 A Además: (2* A ) # ( 2 * 3 ) = ( 8 * A) Hallar: ■ ^4,6^

Hallar el valor de A. b)6 e)9

a)5 d)8

c)7

a+b c-d Si: a # b = — ^ ¡ c $ d = — ^ — eAf = e.f ; g*h = g- h

a)1 d)4 Si©=a2

4.

a) 16 d) 15

c) 14

b) 17 e) 19

a em s: ®" s b) 1 e)4

a d)3 Si: [a] =

El valor-de (11,5*15,1)# 16,5 es:

Si:R* = 3R+1 ........ (5< R < 9)

[a] =a2 + a+ 1

es

c)2 b) 1 e) Sean ayb números4 reales. S i a * b e s igual a la parte entera de: a(a + b)/5 + b / 5 y s i a # b es igual a la parte entera d e a x b/5.

+ a y

c)3

Hallar:

Hallar:{[(7#9)$2] A 1}*0 a)0 d)3

b)2 e)5

® =

a ar:

c

a2 + a + 1

.......... 0 < a < 6

b2 + b1

. . .. . .1 < b < 5

@+ (D

P * = 2 P ......................... (R > 9)

a) 42 Hallar: 2 4 * - 4 * + 8 * - 6 * - 1 5 *

b) 1 e)7

2

b) 31

c) 28

208

a*b = a + b, s i a y b son pares. a*b = a . b . , s i a ó b n o e s par.

0