Oops, page not found.

1 ZADACI IZ AKSIJALNOG NAPREZANJA a) STATIČKI ODREĐENI Zadatak a1: Horizontalnu gredu AB, opterećenu kontinualnim opterećenjem q=0,1kN/cm pridržavaju dva laka štapa kružnog preseka. A Odrediti sile u štapovima i dimenzionisati ih ako je dozvoljeni normalni napon d=15kN/cm2. Dato je: a=80cm, b=80cm. kN  80cm  8kN cm  M A  0, S 2  160  Fq  40  0.......(1)

Rešenje: Fq  q  a  0,1

Y

i

a

B b

2

Fq

 0, S1  S 2  Fq  0 ......(2)

(1)  S 2  160  320  S 2 

q

A

320  2kN 160

80cm

S1

80cm

B

S2

(2)  S1  S 2  8  0  S1  2  8  S1  8  2  6kN S1 6 S 2   0,4cm 2 A2  2   0,13cm 2 Dimenzionisanje: A1   d 15  d 15 A d1 

d 2 4A  d 2  4 A  d 2  d  4  4 A1  

4A 

4  0,4  0,509  0,71cm d 2  

4 A2  0,165  0,407cm 

 d1  8mm, d 2  5mm

Zadatak a2: Dizalično čelično uže nosi teret F=100kN. Koliko žica prečnika 1mm treba da ima uže ako je d=25kN/cm2? Kolika je težina užeta dužine l=1m ako je specifična težina čelika =77kN/m3? Rešenje: F

100

4

2 2 Površina celog preseka: A    25  4cm  10000  0,0004m d

Površina preseka jedne žice: A1 

d 2 4



0,12   0,00785cm2 4

Ceo presek se sastoji od n žica pa je: A  n  A1 A  4cm 2  n  A1  4

 n  0,00785  4

 n

4  509,3 pa se usvaja n=510. 0,00785

Određivanje težine: V  A  l  0,0004m 2 10m  0,004m 3 kN Q  V    0,004m 3  77 3  0,308kN  308 N m

MASA : m 

Q 308   31,4kg g 9,81

2 b) STATIČKI NEODREĐENI Zadatak b1: Stepenasti štap, uklješten na krajevima A i B, sastoji se iz dva dela, i opterećen je silom F=64kN, prema slici. Deo štapa AC je od čelika (modula elastičnosti E1=2104kN/cm2) preseka A1=1cm2. Drugi deo štapa CB je od bakra (modula elastičnosti E 2=104kN/cm2) i poprečnog preseka A2=3cm2. a) Naći otpore oslonaca. b) Naći normalne napone u presecima i nacrtati dijagram napona. Rešenje: n=2 (FA, FB), j=1 (  Z i  0 ), k=n-j=2-1=1 broj dopun. jednačina a) Određivanje otpora oslonaca FA i FB:  Z i  0 ,  FA  F  FB  0 FA  FB  F  64kN ....( 1 ) dopunska jednačina glasi l AB  0 tj. l AC  lCD  l DB  0 Sa pretpostavljenog dijagrama Fa sledi: S3 S1 S2   0 A1 E1 A2 E2 A2 E 2 gde su površine sa dijagrama Fa: S1  FA  40cm S 2  FA  30cm S 3   FA  F   30cm

FA  40 FA  30  FA  F   30   0 A1E1 A2 E2 A2 E2

FA  40 F  30  FA  64  30  A   0 / 60000 1  20000 3  10000 3  10000

3  FA  40  2  FA  30  2   FA  64  30  0  120 FA  60 FA  60 FA  3840  0 240 FA  3840  FA 

3840  16kN , ( 1 )  FB  64  FA  48kN 240

b) Računanje normalnog napona: F F 16 kN 16 kN  AC  AC   16 2 ( zatezanje )  CD  CD   5,3 2 ( zatezanje ) A1 1 A2 3 cm cm F  48 kN  DB  DB   16 2 ( pritisak ) A2 3 cm Zadatak b2: Sistem od tri čelična štapa (modula elastičnosti E1=E2=E3=E=2,2104kN/cm2), prikazan na slici, opterećen je silom F=100kN u zglobu A. Štapovi imaju površine poprečnih preseka A1=A3=A i A2=2A, dužine l1=l3=75cm, l2=65cm. Naći sile u štapovima a zatim odrediti potrebnu veličinu preseka štapova ako je dozvoljeni napon d=15,5kN/cm2, =300. Rešenje: n=3 (S1, S2, S3), j=2 (  X i  0 ,  Yi  0 ), k=n-j=3-2=1 broj dopunskih jednačina =900-=600  X i  0 ,  S1 cos   S 3 cos   0.......( 1 )   Yi  0 , S 2  S1 cos   S 3 cos   F  0

S1  S 3

 S 2  2S1 cos   F  0  S 2  2S1 cos   100

  30 0  S 2  2S1  0 ,866  100  S 2  1,73S1  100 ......( 2 )

3 Dopunska jednačina sledi sa Viliotovog plana pomeranja: l1 Sl S l  cos   l1  l2  cos   1 1  2 2 cos 30 0 l2 A1 E1 A2 E2 S1  75 S 2  65   0 ,866 /  AE AE 2 AE 28,145  75S1  28,145S 2  S1  S 2  S1  0 ,375S 2 ......( 3 ) 75 (2)  S 2  1,73   0,375S 2   100

 S 2  0,65S 2  100  1,65S 2  100  S2 

100  60,6kN 1,65

S1  0,375S 2  22,73kN

Dimenzionisanje: Smax=S2=60,6kN S S 60,6 A2  2  max   3,909cm 2  A2  4cm 2 , d d 15,5 A A2  2 A, A3  A1  A  2  2cm 2 2 Zadatak b3: Krutu horizontalnu gredu AB drže u horizontalnom položaju dva štapa i nepomični oslonac A. Štapovi dužina 0,8m i 1,1m su zglobno vezani za gredu i oslonce. Greda je opterećena silom F=30kN, prema slici. Štapovi su od istog materijala (E=2104kN/cm2), jednakih kružnih preseka površine A. a) Naći sile u štapovima ako je a=1m, b=0,6m i c=0,5m. b) Odrediti prečnike 2 štapova ako je d=10kN/cm . Rešenje: n=2 (S1, S2), j=1 (  M A  0 ), k=n-j=2-1=1 broj dopun. jed.  M A  0, S1  1  S 2  2 ,1  F  1,6  0 S1  2,1S 2  48.......( 1 ) Dopunska jednačina sa Viliotovog plana pomeranja: CC  : AC  BB : AB  l1 : 1  l2 : 2,1 Sl Sl 2,1  l1  l2  2,1  1 1  2 2 A1E1 A2 E2 S  80 S2  110 2,1  1  / AE  168S1  110 S2 AE AE 110  S1  S2  0,655S2 ......( 2) 168 (1)  0,655S1  2,1S 2  48

 2,755S 2  48

48  17,42kN  S max 2,755 S1  0,655S 2  11,4kN  S2 

Dimenzionisanje: Smax=S2=17,42kN A

d 2 d  4

4A  

A

S max 17,42   1,742cm2 d 10

4 1,742  1,489cm  d  1,5cm  15mm 

4

5

6 ZADACI IZ UVIJANJA a) STATIČKI ODREĐENI Zadatak a1: Vratilo kružnog preseka prenosi snagu P=104,7kW pri n=100ob/min. Dimenzionisati vratilo ako je dozvoljeni tangencijalni napon  d  2kN / cm 2 a odnos prečnika =d2/d1=0,8. Izračunati uglove uvijanja i nacrtati dijagram. Dato je: a=1m, b=2m, modul klizanja G  8000kN / cm 2 . Rešenje: Mu  Mt 

30 P 30  104 ,7  10  n   100

3

M u  10  10 3 Nm  10kNm  1000kNcm

→ crtanje dijagrama Mu Dimenzionisanje se vrši prema naponu  d na "slabijem" preseku: 16 M u 3 16  1000 d2  3   13,65cm  d  2 d2 d 13,65  0,8  d1  2   17 ,06cm → d1 0,8 0,8 d1  17 ,2cm  172mm d 2  14cm  140mm 4

d 4 17 ,2  I O1  1   8592cm 4 32 32

IO2

4 d 24 14     3771cm 4 32 32

Uglovi uvijanja: M  a 1000  100 180 1  u    0 ,0830  5 G  I O1 8000  8592  M  b 1000  200 180 2  u    0 ,379 0  23 G  I O 2 8000  3771   AB  1   2  0,0830  0,379 0  0,462 0 → crtanje dijagrama  Zadatak a2: Vratilo kružnoprstenastog preseka opterećeno je momentima uvijanja M1=200kNcm i M2=400kNcm. Dimenzionisati vratilo ako je dozvoljeni ugao uvijanja  d  0 ,004 o / cm a odnos prečnika =d / D=0,75.

Dat je modul klizanja G  8000kN / cm 2 .

Rešenje:

M A  M 2  M 1  200kNcm M max  M 2  400kNcm

Dimenzionisanje 1   4  1  0 ,75 4  0 ,68

D4

32 M  180 32  400  180 4 2  4 33720,5  13,55cm 4   G   d  1      8000  0,004  0,68 2

Usvaja se prečnik: D  14cm  140mm

d  0,75 D  10,5cm  105mm

7 b) STATIČKI NEODREĐENI Zadatak b1: Statički neodređeno vratilo AB, kružnog poprečnog preseka, uklješteno je na krajevima i opterećeno spregom M=125kNcm, koji deluje u ravni poprečnog preseka, prema slici. Odrediti veličine momenata u uklještenjima. Odrediti potrebne dimenzije vratila na osnovu: dozvoljenog ugla uvijanja doz=1/4 0 po dužnom metru i dozvoljenog tangencijalnognaponadoz=8kN/cm2. Za dobijene vrednosti nacrtati dijagrame momenta uvijanja, tangencijalnog napona i ugla uvijanja. Dato je: modul klizanja G=8000kN/cm2, =d/D=0,866. Rešenje: n=2 (MA, MB), j=1 (  M z  0 ), k=n-j=2-1=1 broj dopunskih jednačina Određivanje reaktivnih spregova MA i MB u uklještenjima:

M

z

 0,

MA  M  MB  0

M A  M B  M  125kNcm........................(1)

dopunska jednačina  AB    i   AC   CE   EB  0 Sa pretpostavljenog dijagrama Mu sledi: S S1 S  2  3  0 gde su momenti inercije: GI O1 GI O 2 GI O3

I O1  I O 3

D 4  32

d 4  0,866 D   D 4    0,562  0,562 I O1 a površine sa dijagrama Mu: 32 32 32 4

I O2

S1  M A a  M A 10cm ,

S 2  M A b  M A  5cm, S 3   M A  M  c

MA a MA b MA  M  c    0 / G GI O1 GI O 2 GI O 3

M A  10 M A  5  M A  125 10    0 / I O1 I O1 0,562 I O1 I O1 5   M A  125  10  0  10 M A  8,89M A  10 M A  1250 0,562 1250 28,89 M A  1250  M A   43,25kNcm, (1)  M B  125  M A  81,75kNcm 28,89 M A  10  M A 

Dimenzionisanje: sa dijagrama Mu uzima se Mmax=81,75kNcm, doz=1/400 0/cm 16 M max 3 16  81,75 3 D  3   52,04  3,73cm (provera se vrši u delu vratila CE)   d  8 D  4

32M 180 32  81,75 180 4 2  4 2385,5  6,98cm → Usvaja se veći prečnik: 2   G d   8000  0,0025

D  7cm  70mm, d  0,866 D  6,05cm  d  6,1cm  61mm

I O1  I O 3 

4 D 4 7    235,7cm 4 32 32

Tangencijalni napon:

IO2 

6,14  d 4   135,9cm 4 32 32

8

 AC 

M A D 43,25 7 kN     0,64 2 I O1 2 235,7 2 cm

 CE 

M A d 43,25 6,1 kN     0,97 2 I O 2 2 135,9 2 cm

 EB 

 M A  M   D   43,25  125  7  1,21 kN

 EB 

MA  M  c 

I O1 2 235,7 2 cm 2 Uglovi uvijanja: M a 43,25  10 180 M b 43,25  5 180  AC  A    0,013142 0 ,  CE  A    0,011396 0 G  I O1 8000  235,7  G  I O 2 8000  135,9  G  I O1

 81,75  10 180   0,02484 0 , 8000  235,7 

 AB   AC   CE   EB  000030

9 ZADACI IZ SAVIJANJA Zadatak 1: Dimenzionisati gredu zadatog poprečnog preseka, opterećenu silama F1=42kN i F2=14kN, ako je dozvoljeni normalni napon d=13kN/cm2. Dato je: a=1m, b=1,5m, c=1m. Rešenje: Određivanje otpora oslonaca:

y

F1 b

a

c

i

B

1

A

1

k 3k

F2

 M  0, F  3,5  F  1  F  2,5  0.......(1)  Y  0, Y  F  F  F  0 ......(2) A

x

6k 4k

B

A

2

2

B

(1)  3,5 FB  35  42  0  3,5 FB  7  0  3,5 FB  7 

FB 

7  2kN 3,5

(2)  YA  42  14  2  0  YA  26  0  Y A  26kN

Vrednosti momenta savijanja: ( sa leve str . je pozitivan smer kazaljke na satu ) M Al  0

M Cl  YA  1  26kNm

( sa desne str . je pozitivan smer sup ro tan kazaljki ) M Dd  FB  1  2kNm

→

M Bd  0

crtanje dijagrama transverzalne sile i momenta savijanja Dimenzionisanje: sa dijagrama Mf uzima se Mmax=26kNm=2600kNcm M 2600 BH 3  bh 3 Wx  max   200cm3 Za dati presek uzima se sa str. 19: Wx  , d 13 6H upoređivanjem se vidi da je B=3k, H=6k, b=k, h=4k → BH 3  bh 3 3k   6k   k   4k  648k 4  64k 4    16,22k 3 6H 6  6k 36k 3

Wx 

Wx  200cm 3 ,

3

Wx  16,22k 3  16,22k 3  200  k 3 

200 200  k 3  2,31cm 16,22 16,22

Usvaja se k=2,4cm=24mm, →B=72mm, H=144mm, b=24mm, h=96mm.

 M  0, M  F 1  F 1,5  0.......(1)  Y  0, F  F  F  0 ......(2) A

i

A

A

1

1

2

2

(1)  M A  50  30  0  M A  20  0  M A  20kNm

(2)  FA  50  20  0  FA  30  0  FA  30kN

Vrednosti momenta savijanja: ( sa leve str. je pozitivan smer kazaljke na satu ) M Al   M A  20kNm ( sa desne str . je pozitivan smer sup ro tan kazaljki ) M Cd  F2  0,5  10kNm

M Bd  0

→ crtanje dijagrama transverzalne sile i momenta savijanja

F1

y

A

B

a

c

F2

x h

Zadatak 2: Dimenzionisati konzolu zadatog poprečnog preseka (h=2b), opterećenu silama F1=50kN i F2=20kN, ako je dozvoljeni normalni napon d=32kN/cm2. Dato je: a=1m, c=0,5m. Odrediti maksimalni normalni i tangencijalni napon. Rešenje: Određivanje otpora oslonaca:

b

10 Dimenzionisanje: sa dijagrama Mf uzima se Mmax=20kNm=2000kNcm M 2000 Wx  max   62,5cm 3 d 32

bh 3 b 2b    0,67b3 6 6 3

Za dati presek uzima se sa str. 19 (sa zadatim odnosom h=2b): Wx  Wx  62,5cm3 ,

Wx  0,67b 3  0,67b3  62,5  b3 

62,5 62,5  b3  4,53cm 0,67 0,67

Usvaja se b=4,6cm=46mm, → h=2b=92mm. Određivanje vrednosti napona: Wx 

bh3 4,6  9,23   64,9cm3 6 6

M max 2000 kN   30,8 2   d Wx 64,9 cm Tangencijalni napon (str. 29, za pravougaoni presek), FTmax=30kN: 3F 3  30 kN  max  T max   1,06 2 2bh 2  4,6  9,2 cm

Normalni napon  max 

Zadatak 3: Dimenzionisati gredu opterećenu silom F=47,5kN i spregom M=120kNm, ako je dozvoljeni normalni napon d=15kN/cm2. Poprečni presek se sastoji iz 2 standardna U profila. Dato je: a=1,5m, b=1,5m, c=2m. Rešenje: Određivanje otpora oslonaca:

 M  0,  M  F  3  F  5  0.......(1)  Y  0,  Y  F  F  0 ......( 2) A

i

B

A

B

(1)   120  142,5  5 FB  0  22,5  5FB  FB 

22,5  4,5kN 5

(2)   YA  47,5  4,5  0  43  YA  YA  43kN

Vrednosti momenta savijanja: ( sa leve str. je pozitivan smer kazaljke na satu ) M Al  0

M Cl  YA  1,5  64,5kNm

( sa desne str. je pozitivan smer sup ro tan kazaljki ) M Cd   FB  3,5  F  1,5  55,5kNm M Dd   FB  2  9kNm

M Bd  0

Vrednosti M Cl i M Cd razlikuju se za M  120kNm tj. M Cd  M Cl  M  64,5  120  55,5kNm

→ crtanje dijagrama transverzalne sile i momenta savijanja Dimenzionisanje: sa dijagrama Mf uzima se │Mmax│=64,5kNm=6450kNcm M 6450 Wx  max   430cm 3 d 15 Wx  215cm 3 → prva veća vrednost iz tabele (str. 71) Wx=245cm3, koja odgovara 2 standardnom profilu U22. Dakle, poprečni presek će se sastojati od dva standardna profila U22.