onem solucinario

SOLUCIONARIO DE LA OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA 2004-II FASE 1. A una fiesta asistieron 153 personas. En un momento determinado 17 damas y 22 caballeros no bailaban y el resto  bailaban en parejas formadas formadas por una dama y un caballero. ¿Cuántas damas asistieron a la fiesta? Solución: Datos Planteo y Respuesta operación Total asistentes 22!17 ! " ! " # Asistieron a la 153 153 fiesta 7' damas No bailan 22 3$ ! 2" # 153 caballe ros y 17 % # 57 Total damas damas Bailan: x  damas y los &ue bailan ! x caballeros lo &ue no bailan # 57 ! 17 2. Cada da del mes de a,osto un alumno comi4 de postre durante el almuero una naranja una manana o ambas frutas. 6i comi4 naranjas 25 das y manana 1 das ¿Cuántos das comi4 amabas frutas? Solución: Datos Planteo y Respuesta operación 25 " ! " ! 1   Ambas " # 31 frutas comi4 12 '3  " # 31 das "8 12

0otal 31 das 3. El producto de las tres cifras de un n*mero es 12( y la suma de sus dos *ltimas cifras es 11. ¿Cuál es la cifra de las centenas de dic9o n*mero? Solución: Datos Planteo y operación Respuesta Sea el número de a cifra de a b c tres cifras: las centenas ) $ * ´ es 7 3  abc  , donde ' 7 a.b.c=126 y 5 ( b + c = 11 @e acuerdo a la tabla cifra de centenas y por tanteo a es es 7 y es a  b y c son 2 y $

(. )na caja c*bica sin tapa de ' cm % 'cm % 'cm contiene ('  pe&ue+os cubos &ue llenan la caja caja e"actamente. ¿Cuántos ¿Cuántos cubos tocan al,una cara lateral o el fondo de la caja? Solución: Datos Planteo y Respuesta operación -bseremos  /os damos cuenta 0ocan al,una a l,una cara cuidadosamente &ue los *nicos lateral o el fondo la fi,ura cubitos &ue no de la caja  tocan nin,una ('  12 # 52  pared lateral ni el Cubitos. fondo son los doce &ue están en la  parte central de la fi,ura 7. )n a,ricultor cosec9a cierto n*mero de plantas de lec9u,a y solicita a cuatro de sus trabajadores &ue las cuenten El 1: las a,rup4 de 11 en 11 pero le falt4 falt4 uno el 2: de 13 en 13 y le sobraron doce el tercero de 7 en 7 pero le falt4 uno el cuarto les a,rup4 de 12 en 12 pero no le falt4 ni sobr4. ¿Cuántas  plantas de lec9u,a tiene e"actamente e"actamente el a,ricultor a,ricultor sabiendo &ue son menos de ;;;? Solución: Sea x la cantidad de plantas de lechuga X = !!" #  = $" % asi,nando El 1: cont4 11<  1 alores a < # 5 .resulta El 2: cont4 13<  1 % # 5;;' El 3: cont4 7<  1 Respuesta: &ay '!!( plantas El ': cont4 12 < Entonces % # mcm de =11>13 =11>13 y 7 81 # 1;;1< 8 1 .)n estudiante ley4 un n*mero telef4nico de 7 d,itos escrito en la forma forma si,uiente abc de+g y pens4 &ue se trataba de una resta la efectu4 y obtuo 8$5> sabiendo &ue todos los d,itos del n*mero telef4nico son distintos Balla el menor alor posible del n*mero

´ abc

Solución: Seg,n los datos se tiene: tiene:

abc  ´

defg  = - *' . / sea ´

A9ora buscamos n*meros

´ 9 bc

 0

*' 10´ fg

diferentes &ue cumplan con la suma siendo b#' y c# 2 Respuesta: 1l menor 2alor posible de

'. En una diisi4n sin considerar decimales el diisor es 15 el cociente es 1; unidades mayor &ue el diisor y el residuo es 5. Calcula en cuanto aumenta el cociente si aumentamos 2; unidades al diidendo y lue,o lo duplicamos y este nueo diidendo lo diidimos entre el mismo diisor. Solución: Datos Planteo y Respuesta operación d# 15 @ # 15 =25 !5 # El cociente aument4  # 15 ! 1; # 3; en 53  25 # 2 25 6i aumentamos 2; unidades. r#5 y duplicamos el @ d diidendo a9ora es 25 ;;

abc  = *($ ´

$. 6ean p y & n*meros n*meros primos distintos mayores mayores &ue 1 y menores &ue 1;; tales &ue  p!( p!1; &!' &!1; y p!&!1 son todos n*meros primos. Calcular el mayor alor &ue pueda tomar p!& . Solución:  /:  p!( p!1; &!' &!1; D!&!1  primos  p =3'3'7>53>5$>(1>(7>71>73> 7$>3>$ y $7. @e donde p# $7 y &# 3 =mayor =mayor alor posible Respuesta: p03 = !!

5

;;

d 53

5 5. 6ean C y @ dos d,itos tales &ue' se cumpla la si,uiente

^

3 C =

i,ualdad ;

 D 11

 9allar

´ CD

 .

Solución: Datos

;

^

3 C = 3´C  99

=

 D 11

 D 11



Planteo y operación 3´C   # $@

3; ! C # $@ Dor tanteo C # ( y @ #'

Respuesta

El n*mero es ('

1;. 6e tiene 12 n*meros enteros positios y distintos &ue satisfacen la si,uiente condici4n 6i calculas todas las diferencias positias posibles tomando los n*meros de 2 en 2 se forma un conjunto de 2; enteros positios consecutios. Calcula la diferencia entre el mayor y el menor alor de los 12 n*meros. Solución: 6ean 12 n*meros enteros positios y distintos en forma ordenada ;a1a2a3a'a5a(a7aa$a1;a11a12 @ebemos 9allar a128a1 ordenando consecutiamente sera  a1 8 a1!1> a1 ! 2 > F..a 1!1> a1!1$ y tomando de 2 en 2 9allamos la diferencia a128 a11

a118 a1;

≥ @ =diferencia mnima ≥ @

  3 C   # $@ ´

a2 8 a1 a12 8 a1  - sea

  ≥

@

≥ 1;@

a1!1$ 8 a1 # 1$ . ue,o 1$

≥ 10  D

Respuesta: El mayor de las diferencias es 2;

´ ❑

 donde @#1