Ondes 2e Année Mp-mp Pc-pc Psi-psi Pt-pt

Visiter notre Forum : http://prepa-book.forummaroc.net/ Visiter notre page :

https://www.facebook.com/bibliotheque.electronique.des.classes.prepa

*************************************************** * © bibliothéque electronique des classes prepa™ ® * ***************************************************

NOUVEAU NOUVEAU PROGRAMME PROGRAMME

ISBN : 978-2-01-181901- 7

Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide

PC-PSI

1

■ Conséquences d’un couplage d’oscillateurs.

la chaîne d’oscillateurs couplés.

■ Étude en régime libre et en régime forcé.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Le phénomène de propagation d’ondes est un phénomène très général. Son importance pratique est considérable, car il est à la base de nombreux cas de transmission d’informations. Nous sommes confrontés à certains d’entre eux de façon quotidienne : propagation du son, de la lumière, d’ondes radio, ... Nous décrirons dans cet ouvrage quelques cas physiques où le phénomène de propagation se manifeste. Dans ce chapitre, nous l’aborderons à l’aide d’un modèle élémentaire :

■ Première approche du phénomène de propagation.

■ Oscillateurs mécaniques à une variable d’état. ■ Régimes libre et forcé.

5

Ondes

1

O s c i l l at i o n s l i b re s d ’ o s c i l l ate u rs cou p l é s

1.1. Oscillations libres d’un système à un degré de liberté 1.1.1. Oscillateur harmonique Considérons un système à un seul degré de liberté, pour lequel nous noterons la grandeur évoluant au cours du temps. La grandeur peut désigner un déplacement, un angle, un courant électrique, une tension, une charge, etc. Si ce système possède une position d’équilibre stable = de laquelle l’équation d’évolution de est de la forme : 2 d2 --------2- = – 0 ( – 0 ) , dt nous observons des oscillations harmoniques de pulsation

(t) =

0

+

m

cos(

0t

0

0

L’étude de ce chapitre (explicitement au programme des sections PC et PSI) est conseillée pour tous les étudiants : il met en évidence l’approximation des ilieux continus à partir de la chaîne infinie d’oscillateurs harmoniques couplés, et ainsi l’équation de l’Alembert.

, au voisinage

du type :

+ ).

Cette situation n’est généralement qu’une modélisation de la réalité. L’équation d’évolution linéaire n’est souvent qu’une approximation correspondant à une linéarisation de l’équation réelle d’évolution de , au voisinage de l’équilibre stable = 0 . Dans certains cas, l’équation réelle n’est pas linéaire, même pour de petits mouvements. La solution obtenue correspond à un mouvement perpétuel. En pratique, nous rencontrerons des situations mettant en jeu des termes dissipatifs tels que des frottements fluides. Cette solution n’est alors acceptable que pour des temps 2 d’observation des oscillations ⎛de période T = ------- ⎞ faibles devant le temps ⎝ ⎠ 0 caractéristique d’amortissement. Ceci suppose un facteur de qualité élevé pour l’oscillateur étudié.

a) x a0 b) x

1.1.2. Oscillateur mécanique à rappel linéaire

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Considérons un mobile, de masse M, lié par un ressort de raideur K, astreint à glisser sans frottements le long d’une tige horizontale (doc. 1). La position au repos, pour laquelle la longueur du ressort est a 0 , étant prise comme origine de l’axe ( Ox ), le déplacement du mobile par rapport à cette position d’équilibre est ( t ).

a0 +

Doc. 1. Oscillateur mécanique. a. En équilibre. b. Hors équilibre.

Dans le référentiel d’étude supposé galiléen, l’équation du mouvement est : d2 M --------2- = – K dt qui conduit à des oscillations harmoniques de pulsation

0

=

K ----- . M

i

L

1.1.3. Oscillateur électrique Le document 2 représente l’équivalent électrique de l’oscillateur mécanique du document 1 : la masse M et la constante de raideur K sont remplacées respectivement par une inductance L et l’inverse d’une capacité C.

q –q

C

L’application de la loi des mailles au circuit nous donne : di q L ----- + ---- = 0 dt C

6

avec

dq i = + ------ . dt

Doc. 2. Oscillateur électrique.

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) L’évolution de la charge q est régie par l’équation différentielle : 2 0q

q˙˙ + où

0

a)

= 0,

b) couplage oscillateur 1 K

1.2.1. Couplage de deux oscillateurs

En l’absence de ressort central, les deux mobiles, liés aux parois fixes par les ressorts de raideur K et longueur à vide a 0 , constituent des oscillateurs indéK pendants, de même pulsation 0 = ----- . M Écrivons les forces subies par les mobiles de la part des ressorts, en tenant compte du ressort central, de raideur k et longueur à vide b 0 , et en choisissant l’origine O au niveau de la paroi de gauche.

K

L

Étudions maintenant les conséquences de l’introduction d’un couplage entre deux oscillateurs semblables au précédent. Considérons le système représenté sur le document 3 : deux mobiles identiques de masse M glissent sans frottements le long de l’axe ( Ox ).

oscillateur 2

K

1 = ------------ est l’analogue de la pulsation de l’oscillateur mécanique : LC K ----- . 0 = M

1.2. Oscillations libres d’un système à deux degrés de liberté

oscillateur 1

oscillateur 2 k

K

x1 = x10 + ψ1 x2 = x20 + ψ2 O

x

Doc. 3. Exemple de couplage entre deux oscillateurs identiques. a. Indépendants. b. Couplés.

Le premier mobile est ainsi soumis aux forces : F 1 = – K (x 1 – a 0 ) e x

et

f 1 = k ( (x 2 – x 1 ) – b 0 )e x ,

et le second à : f2 = –f1

et

F 2 = K ( (L – x 2 ) – a 0 )e x .

Les équations d’évolution sont donc : ⎧ M ˙x˙1 = – K (x 1 – a 0 ) + k(x 2 – x 1 – b 0 ) ⎨ ⎩ M ˙x˙2 = – k(x 2 – x 1 – b 0 ) + K (L – x 2 – a 0 )

⎧ M ˙˙1 = – K 1 – k( 1 – ⎨ ⎩ M ˙˙2 = k( 1 – 2 ) – K

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Notons 1 = x 1 – x 10 et 2 = x 2 – x 20 les déplacements des deux mobiles par rapport à leur position à l’équilibre d’abscisses respectives x 10 et x 20 , Les équations d’évolution deviennent : 2) 2

Le ressort central introduit un couplage entre les deux mobiles : les mouvements des deux masses ne sont plus indépendants. 1.2.2. Solutions des équations du mouvement Pour ce système différentiel « symétrique », le changement de variables : u = 1 + 2 et v = 1 – 2 , appelées coordonnées normales, permet d’obtenir les équations découplées : ⎧ Mu˙˙ = – Ku ⎨ ⎩ Mv˙˙ = – (K + 2k)v

7

Ondes

dont les solutions u(t) et v(t) oscillantes, sont de la forme : ⎧ u(t) = u m cos ( ⎨ ⎩ v(t) = v m cos (

où les pulsations

1

et

1t

+

1)

2t

+

2)

2

⎧ ⎪ ⎪ sont ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ u(t) = A cos ⎨ ⎩ v(t) = C cos

ou

1

=

K ----M

2

=

K + 2k ---------------M

1t

+ B sin

1t

2t

+ D sin

2t

Connaissant les positions et les vitesses initiales des deux mobiles : ⎛ d 1⎞ ⎛ d--------2-⎞ ( 0 ) , nous déterminons complètement 2 ( 0 ), ⎝ ---------⎠ ( 0 ) et ⎝ dt ⎠ dt 2 ( t ) qui s’écrivent : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

u = -----m- cos ( 2 um 2 (t) = ------ cos ( 2

1 (t)

vm - cos ( 2 t + + ----2 vm 1 t + 1 ) – ------ cos ( 2 t + 2 1t

+

1)

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Analogie électromécanique 1) Montrer que le schéma électrique (doc. 4) modélise un système électrique couplé analogue à celui des deux oscillateurs mécaniques précédents. 2) Résumer par un tableau les correspondances entre les grandeurs relatives aux oscillateurs électriques et mécaniques. 1) Comme au § 1.1.3, nous avons construit (doc. 4) un analogue du système [K-M-k-M-K] sous la forme [C-L- C′ -L-C]. L

L

–Q1

C

C’

Q’ –Q’

Doc. 4. Oscillateurs électriques couplés.

8

et

2) 2)

C

Les équations d’évolution du système sont : di Q′ Q L ------1- = ------ – -----1dt C′ C di Q′ Q L ------2- = ------ – -----2dt C′ C avec

dQ i 1 = ---------1- , dt

et

dQ′ i 1 + i 2 = – --------- . dt

dQ i 2 = ---------2dt

À l’équilibre i 1 = i 2 = 0 , et les charges des condensateurs, notées Q 10 , Q 0′ et Q 20 , vérifient :

i2

i1 + i2 Q1

1(t )

1

Application

i1

1 ( 0 ),

Q2 –Q2

Q 20 . Q 10 Q′ ------- = -----0- = ------C C C′ La loi des nœuds et la conservation de la charge montrent que la charge totale Q 1 + Q′ + Q 2 reste constante et égale à Q 10 + Q 0′ + Q 20 .

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) Les écarts de charges : q 1 = Q 1 – Q 10 et q 2 = Q 2 – Q 20 ( q′ = Q′ – Q 0′ = – q 1 – q 2 ) vérifient le système différentiel d’équations couplées : 1 1 1 Lq˙˙1 = – ⎛ ---- + -----⎞ q 1 – ⎛ -----⎞ q 2 ⎝ C′⎠ ⎝ C C′⎠ 1 1 1 Lq˙˙2 = – ⎛ -----⎞ q 1 – ⎛ ---- + -----⎞ q 2 ⎝ C C′⎠ ⎝ C′⎠ oscillateurs couplés

caractéristiques

mécaniques

Ce système est formellement équivalent au système obtenu précédemment en identifiant l’écart de charge q 1 au déplacement 1 de la première masse par rapport à l’équilibre, et q 2 à – 2 (le signe moins vient du fait que l’excès de charge sur le dernier condensateur correspond en mécanique à une compression du second ressort par rapport à sa position à l’équilibre). 2) Nous pouvons, sans plus de calcul, proposer le tableau de correspondance du document 5. écarts à l’équilibre

1,

M, K, k

pulsations propres 1

2 2

=

1

1 1 L, ---- , ----C C′

électriques

=

q1 , – q2 2

=

=

K ----M K + 2k ---------------M 1 ------LC

1 1 2⎞ --- ⎛ --- + ----L ⎝ C C′⎠

Doc. 5. Analogie électromécanique.

a)

1.2.3. Pulsations et modes propres 2

ψ 2 = ψ1

sont appelées pulsations propres du système

Le système peut osciller à la seule pulsation 1 si v(t) est constamment nul, donc lorsque 1 (t) = 2 (t). Nous obtenons, dans ce cas, un mode propre d’oscillation associé à la pulsation w 1. À ce mode correspond des déplacements identiques des deux mobiles : il s’agit d’un mode d’oscillation symétrique (doc. 6a). De même, le système peut osciller à la pulsation 2 si u(t) = 0 , soit 1 (t) = – 2 (t) . Nous obtenons alors le mode propre d’oscillation de pulsation 2 . C’est un mode d’oscillation antisymétrique (doc. 6b).

b)

ψ1

ψ2 = –ψ1

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Les pulsations 1 et d’oscillateurs couplés.

ψ1

Doc. 6. Oscillateurs couplés identiques. a. Mode d’oscillation symétrique. b. Mode d’oscillation antisymétrique.

La solution générale du système linéaire des équations du mouvement est une combinaison linéaire des deux modes propres d’oscillations : 1 2

u 1 = -----mcos ( 2 1

1t

+

1)

vm 1 + ----cos ( 2 –1

2t

+

2)

.

Pour observer l’un de ces modes d’oscillation seul, par exemple le mode d’oscillation symétrique, il faut avoir v (t) = 0. Ceci est assuré par des dv conditions initiales de la forme v (0) = 0 et ⎛ ------⎞ (0) = 0 : le système est ini⎝ dt ⎠ tialement excité dans le mode d’oscillation symétrique.

9

Ondes

• Les mouvements d’un système (stable) dont l’évolution est décrite par un système différentiel linéaire résultent d’une superposition de mouvements correspondant aux modes propres du système. • Ces modes propres sont des états d’oscillation, où tous les éléments du système sont animés d’un mouvement oscillant dont la pulsation est une pulsation propre du système. • Si le système est excité initialement dans l’un de ses modes propres, il y reste par la suite. Remarques • La méthode que nous venons d’utiliser est générale et peut être étendue à d’autres systèmes différentiels linéaires, décrivant les évolutions de systèmes physiques à degrés de liberté multiples, par exemple N oscillateurs couplés. • Plus généralement, la recherche de solutions proportionnelles à e rt (au lieu de e j t ) permet de déterminer un ensemble de solutions r complexes. Le système est stable lorsque toutes ses valeurs propres r possèdent une partie réelle négative.

Application

2

Recherche systématique des pulsations propres, battements Le système linéaire d’équations différentielles couplées : ⎧ M ˙˙1 = – K 1 – k ( 1 – ⎨ ⎩ M ˙˙2 = k ( 1 – 2 ) – K

2) 2

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

régit l’évolution des deux oscillateurs couplés. Pour ce système, l’observation d’oscillations est attendue. 1) Discuter l’existence et la forme des déplacements 1 ( t ) et 2 ( t ), solutions oscillantes de pulsation à déterminer (utiliser la notation complexe : 1(t )

=

10 e

i t

et

2(t )

=

20 e

i t ).

2) À l’instant initial, les deux mobiles sont sans vitesse dans les positions et 1(0) = 0 ( 0 ) = 0 . 2 Déterminer et et en déduire 1(t ) 2 ( t ), qualitativement les mouvements des deux mobiles dans le cas d’un couplage faible : k K.

10

1) Les solutions proposées sont compatibles avec le système différentiel précédent si :

+k ⎧⎛– 2 + K -------------⎞ ⎪⎝ M ⎠ ⎨ k⎞ ⎪ – ⎛ ---+ ⎛– ⎩ ⎝ M ⎠ 10 ⎝

k – ⎛ -----⎞ ⎝ M⎠ +k 2+K -------------⎞ M ⎠

10

20

= 0

20

= 0

Pour avoir une solution différente de la solution triviale { 10 = 0 ; 20 = 0 }, il faut que le déterminant de ce système homogène soit nul : k 2 K+k 2 + -------------⎞ – ⎛ -----⎞ = 0. ⎠ ⎝ M⎠ M Les solutions positives de cette équation bicarrée sont les pulsations 1 et 2 obtenues précédemment. ⎛– ⎝

2

= 1 dans le sysSi nous reportons la valeur tème homogène, nous obtenons 10 = 20 . Les mouvements correspondants sont, en notation réelle, de la forme : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

1 2

u = -----m- cos ( 2 um = ------ cos ( 2

1t

+

1)

1t

+

1)

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI)

De même, si = 2 , alors 10 = – 20 et les oscillations de pulsation 2 sont de la forme : vm - cos ( 2 t + 2 ) = ----2 vm 2 = – ------ cos ( 2 t + 2 ) 2 Les solutions du système différentiel linéaire des équations du mouvement peuvent donc s’écrire : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

t

1

u vm - cos ( 2 t + 2 ) = -----m- cos ( 1 t + 1 ) + ----2 2 um vm 2 = ------ cos ( 1 t + 1 ) – ------ cos ( 2 t + 2 ) 2 2 Nous retrouvons ici les résultats précédents en utilisant le caractère symétrique, remarquable mais fortuit, du système d’équations différentielles régissant l’évolution des mobiles couplés. 2) Nous trouvons avec les conditions initiales proposées : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

2 ---- = -----------------2– 1

ψ1

ψ2 t

1

1(t )

= -----0- [ cos ( 2 =

2(t )

0

= ------ [ cos ( 2 0

+ cos (

2t )]

1t )

– cos (

Lorsque le couplage est faible, les pulsations : 1+ 2 2– 1 = ------------------ et = ----------------2 2 sont très différentes :

.

2t )]

1+ 2 ⎞ 2– 1 ⎞ - t sin ⎛ -----------------t sin ⎛ -----------------⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

≈

1≈

2

.

Les solutions : et

1+ 2 ⎞ 1– 2 ⎞ - t cos ⎛ -----------------t cos ⎛ -----------------⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

0

=

1t )

Doc. 7. Mise en évidence du phénomène de battements.

1(t )

=

0

cos ( t ) cos ( t )

2(t )

=

0

sin ( t ) sin ( t )

oscillent alors « rapidement » à la pulsation ( ), leurs amplitudes oscillant lentement avec 2 une période égale à ---- = ------------------ . 2– 1 Le document 7 représente ces évolutions faisant apparaître un phénomène de battements. L’énergie, constante pour ce système idéalisé, est alternativement stockée dans l’un ou l’autre des deux oscillateurs couplés.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Pour s’entraîner : ex. 1 et 5.

1.3. Mouvement de N oscillateurs couplés Ayant abordé les cas d’un ou deux oscillateurs, nous admettrons la généralisation des résultats obtenus au cas de N oscillateurs couplés (nous y reviendrons dans l’application 3). L’étude de N oscillateurs couplés identiques (doc. 8) fait ainsi apparaître N modes propres de pulsations toutes distinctes : les mouvements observables sont des superpositions de ces N modes propres de la chaîne.

0

a

2a

ψ1

3a

ψ2

Na

ψ3

ψN

x

Doc. 8. N oscillateurs couplés.

11

Ondes

Représentons les oscillations de ces systèmes en portant sur un graphe : – la position d’équilibre x on = na de la n ième masse en abscisse ;

ψ1

– son déplacement n en ordonnée (bien que les mouvements étudiés soient longitudinaux) (doc. 9). • Pour N = 1 (doc. 9), l’unique mobile effectue des oscillations harmoniques 2K ------- (la présence de deux ressorts liés au mobile expliM que la présence du facteur 2). à la pulsation

1

a

2a

Doc. 9. N = 1

=

• Pour N = 2 (doc. 10), avec trois ressorts de même raideur, les pulsations K 3K des deux modes propres sont 1 = ----- et 2 = ------- . Les modes propres M M 1 et 2 correspondent à des oscillations respectivement symétriques et antisymétriques des deux mobiles. • Le cas N = 3 sera étudié dans l’exercice 3. • La détermination des pulsations propres pour N quelconque sera l’objet de l’application 3. Nous nous contenterons d’énoncer les résultats pour l’instant. Le document 11 résume les résultats N = 1 et N = 2, puis fait apparaître l’extension des résultats aux cas N = 3, puis N quelconque. mode 1

mode 2

mode 3

a) mode 1

b) mode 2

Doc. 10. N = 2. a. Mode 1. b. Mode 2.

...

mode N

N=1 ... N=2 ... N=3

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

...

...

...

...

N Doc. 11. Déplacements fictifs des mobiles en fonction du nombre d’oscillateurs couplés.

2

O s c i l l at i on s f orcé e s d’ o s c i l l at e u rs cou p l é s

2.1. Réponse d’un système linéaire stable 2.1.1. Système linéaire Nous voulons étudier la réponse d’un système à N variables à une excitation imposée. L’excitation est un signal physique décomposable en une somme de

12

... ...

...

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) composantes harmoniques de pulsation : somme discrète (série de Fourier) dans le cas d’une excitation périodique, ou continue (transformation de Fourier) le cas échéant. La réponse du système linéaire (ou au moins linéarisable) à cette excitation sera la superposition des réponses obtenues pour chaque composante harmonique de l’excitation considérée séparément. Nous ne discuterons donc, dans ce qui suit, que de la réponse du système à une excitation sinusoïdale permanente. 2.1.2. Système stable Nous ne nous intéresserons de plus qu’à des systèmes stables : le système a besoin d’être excité pour se mettre à évoluer. Cette stabilité nous permettra de pouvoir rester dans un domaine d’évolution linéaire. 2.1.3. Termes dissipatifs Les systèmes que nous étudierons seront, dans un premier temps, idéalisés : nous négligerons les phénomènes dissipatifs. Dans la pratique, ces phénomènes, même faibles, existent toujours. Ils se manifestent, en particulier, lorsque le système est soumis à une excitation sinusoïdale, par un régime transitoire de durée finie. Nous nous intéresserons par la suite à la réponse du système en régime permanent sinusoïdal établi.

2.2. Système oscillant à un degré de liberté 2.2.1. Résonance de l’oscillateur idéal L’oscillateur à un degré de liberté représenté sur le document 12 est excité par un système bielle-manivelle créant un déplacement de la forme (t) de l’un de ses points d’attache. En notant a 0 la longueur à vide des ressorts, son équation d’évolution est : M ˙˙ = – K (a + soit M ˙˙ + 2K

– – a 0 ) + K (a –

– a 0 ),

= K .

a)

x a © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

a

b)

x

(t)

(t)

Doc. 12. Oscillateur entretenu. a. repos. b. Mouvement.

La quantité F(t) = K (t) est une force supplémentaire appliquée au mobile du fait du déplacement du point d’attache du ressort de gauche. L’équation du mouvement est donc : ˙˙ +

2 1

F(t) = ---------M

avec

1

=

2K . ------M

13

Ondes

En régime permanent sinusoïdal, la réponse ( t ) (réponse fréquencielle de l’oscillateur harmonique idéal) est de la forme : A

( t ) = A( ) cos [ t + ( ) ] F 1 - et = 0. avec A( ) = -----0- ----------------2 M 2 1– Les variations du module A de l’amplitude en fonction de la pulsation de la force excitatrice font apparaître une résonance pour = 1 (doc. 13). 2.2.2. Limitations de la résonance La divergence de l’amplitude d’oscillation à la résonance est en fait limitée par la prise en compte de diverses limites du modèle utilisé :

F0 M

ω1

ω

Doc. 13. Amplitude (module) des oscillations de l’oscillateur idéal.

• existence de frottements, par exemple fluides, qui ne peuvent plus être négligés lorsque l’amplitude, donc la vitesse, devient trop importante ; • limitations du modèle linéaire : fonctionnement hors des limites dans lesquelles le rappel du ressort peut être considéré comme purement élastique, existence de parois. Les limitations dues à l’existence de frottements fluides conduisent à l’équation du mouvement suivante : ˙˙ + -----1- ˙ + Q

F(t) = ---------- , M

2 1

où Q désigne le facteur de qualité, supposé assez élevé, de l’oscillateur. En régime permanent sinusoïdal, utilisons la notation complexe pour représenter la force F(t) = F 0 cos ( t) = e (F 0 e j t ), la réponse correspondante est de la forme

(t) =

e ( (t)) =

e ( A( )e j t ) .

Le module de l’amplitude complexe A du déplacement :

F0 M

F 1 A = -----0- ----------------------------------------------------M 2 1 ⎞ ( 12 – 2 ) + ⎛ --------⎝ Q ⎠

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

est maximale (mais non infinie) pour Q

1′

=

1

1 ------- (condition d’existence d’une résonance). 2

1 1 – ---------2- ≠ 2Q

ω ’1 ω 1

1

(doc. 14), si

Pour un oscillateur harmonique réel à un degré de liberté, de bon facteur de qualité, l’amplitude de ses déplacements devient importante lorsque la pulsation de l’excitation est proche de sa pulsation propre.

2.3. Oscillations forcées d’un système à degrés de liberté multiples 2.3.1. Systèmes à deux degrés de liberté Reprenons le cas de deux oscillateurs couplés identiques, liés par trois ressorts semblables de raideur K, la paroi de gauche effectuant des oscillations correspondant à (t) = 0 cos t.

14

A

ω

Doc. 14. Amplitude des oscillations de l’oscillateur réel en présence de frottements fluides, en fonction de la pulsation excitatrice .

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) Les équations des mouvements des deux mobiles sont (cf. § 1.2.1) : 2 0

1–

2 0

2

2 0

2

–

2 0

1

F = -----0- cos M

1

=

0

et

2

=

0

avec

0

=

= 0

Utilisant les variables normales u = obtenons :

où

a)

t

1+

F = -----0- cos M F v = -----0- cos M

et v =

2

u˙˙ +

2 1u

t

v˙˙ +

2 2

t

A1

K ----- . M 1–

ξ1 2

ω1

, nous b)

,

ω2

ω

A2

ξ2 ω1

ω2

ω

3 sont les pulsations propres du système.

Cette dernière forme fait apparaître l’existence de deux résonances pour ce système à deux degrés de liberté, obtenues lorsque la fréquence d’excitation coïncide avec l’une ou l’autre des fréquences propres.

Doc. 15. Amplitudes (modules) d’oscillation des deux mobiles couplés (cas idéal).

Les amplitudes d’oscillation des variables u et v s’obtiennent par simple lecture des équations du mouvement. Les amplitudes des oscillations sinusoïdales et des mobiles s’en 1 (t) = A 1 ( ) cos t 2 (t) = A 2 ( ) cos t déduisent :

a.

1

F 1 1 = -------0- ⎛ -----2- + -----2-⎞ . ⎠ 2M ⎝ 1 2

b.

2

F 1 1 = -------0- ⎛ -----2- – -----2-⎞ . ⎠ 2M ⎝ 1 2

F0 ⎧ ⎪ A 1 ( ) = ------2M ⎪ ⎨ F0 ⎪ ⎪ A 2 ( ) = ------2M ⎩

1 1 ⎞ ⎛ ----------------- + ----------------2 ⎝ 2 2 2⎠ – – 1 2 1 1 ⎞ ⎛ ----------------- – ----------------2 ⎝ 2 2 2⎠ – – 1 2

.

Le document 15 représente les variations des modules de A 1 ( ) et A 2 ( ) en fonction de la pulsation d’excitation. Dans le cas d’oscillateurs réels, mais de bonne qualité, nous obtiendrons des limitations analogues à celles qui ont été vues pour l’oscillateur simple au § 2.2 (doc. 16). Pour s’entraîner : ex. 2.

A1

2.3.2. Chaîne d’oscillateurs Les études précédentes peuvent être étendues au cas de la chaîne de N oscillateurs couplés identiques. Lorsqu’un ensemble de N oscillateurs couplés (de bonne qualité) est soumis à une excitation sinusoïdale permanente de pulsation , l’amplitude des mouvements des oscillateurs devient importante lorsque la pulsation de l’excitation s’approche de l’une des pulsations propres du système. Comme précédemment, l’amplitude des oscillations décroît rapidement dès que la fréquence de l’excitation dépasse celle du n ième mode, de pulsation maximale. Au-delà de cette pulsation, la déformation induite par l’excitation n’est quasiment pas transmise par la chaîne. L’étude menée au § 3 confirmera l’existence d’une pulsation de coupure Pour s’entraîner : ex. 7.

ω A2

ω

Doc. 16. Amplitudes (modules) d’oscillation des deux mobiles couplés (cas réel).

15

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

⎧ ˙˙ ⎪ 1+2 ⎨ ⎪ ˙˙ ⎩ 2+2

Ondes

3

Pre mi è re a p p roc h e du p h é n om è n e d e p ro pa gat i o n

3.1. Le phénomène de propagation 3.1.1. Propagation dans la chaîne d’oscillateurs Dans la chaîne d’oscillateurs identiques (doc. 17), l’équation du mouvement du N ième mobile est : – 2K + K . M ˙˙n = K n–1

0

a

2a

ψ1

3a

ψ2

n

n+1

Na

ψ3

ψN

x

Doc. 17. Chaîne d’oscillateurs.

Rappelons que n représente le déplacement de l’oscillateur « n » par rapport à sa position d’équilibre repérée par l’indice n. Cette équation traduit le couplage du n ième mobile avec ses plus proches voisins. Imaginons que le mobile 1 avance un peu. Par l’intermédiaire du ressort de liaison, il va pousser le mobile 2, qui poussera ensuite le mobile 3, qui provoquera le déplacement du 4, etc. De proche en proche, une déformation de la chaîne de ressorts est véhiculée de mobile en mobile, le long de la chaîne : le déplacement des mobiles se propage le long de la chaîne d’oscillateurs couplés.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Dans la chaîne d’oscillateurs couplés, le déplacement d’un mobile induit une force qui agit sur ses plus proches voisins, les mettant en mouvement. Leurs déplacements induisent de nouvelles forces, donc de nouveaux déplacements. La déformation des liaisons entre mobiles voisins va se propager de proche en proche dans la chaîne. La grandeur qui se propage (ici le déplacement des mobiles de la chaîne) est une onde. L’existence de deux grandeurs (déplacements et forces), qui se créent l’une l’autre (grandeurs couplées), est à la base des phénomènes de propagation d’ondes. Remarque La chaîne d’oscillateurs peut constituer une modélisation élémentaire, à une dimension, de la propagation de vibrations des atomes (ou ions) dans une structure cristalline. 3.1.2. Propagation en physique Le phénomène de propagation d’ondes intervient dans de nombreux domaines de la physique : les déplacements de vagues à la surface d’un océan, la propagation d’ondes sonores, d’ondes électromagnétiques, etc. Le phénomène de propagation d’un signal ne se limite pas au seul domaine d’application de la physique « pure » : la holà qui se propage dans les gradins d’un stade (doc. 18), la propagation d’une information, en sont d’autres exemples. Nous nous proposons d’étudier la propagation d’une ou plusieurs grandeurs physiques, pour laquelle nous définirons une vitesse de propagation. Nous éta-

16

Doc. 18. Évolution d’une holà dans un stade : les individus restent à leur place mais l’onde se propage.

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) blirons pour cela une équation caractérisant la propagation de la grandeur étudiée : l’équation de propagation. Nous effectuerons ici une approche de ces notions en prolongeant notre étude de la chaîne d’oscillateurs couplés.

3.2. Ondes dans la chaîne d’oscillateurs 3.2.1. Équation de propagation La propagation d’une onde est décrite par son équation d’évolution, encore appelée équation de propagation. L’équation du mouvement du nième mobile : M ˙˙n = K

n–1

– 2K

n

+K

n+1

peut être appelée équation de propagation de la déformation de la chaîne d’oscillateurs par rapport à l’équilibre. 3.2.2. Solutions harmoniques L’équation de propagation de la déformation de la chaîne : ˙˙n =

2 0(

–2

n–1

n

+

n + 1)

avec

0=

K ----M

est une équation linéaire. Cette chaîne étant constituée d’oscillateurs couplés, cherchons s’il existe des solutions oscillantes sinusoïdales, de pulsation ; utilisons la notation complexe et posons : e ( n(t)) = e ( A n e j t ) avec A n = A n e j . n (t) = La variable récurrence :

n (t)

vérifiant l’équation de propagation impose la relation de 2 0

An+1 + (

2

–2

2 0) A n

+

2 0

A n – 1 = 0.

Cherchant A n sous la forme A n = r n , l’équation caractéristique qui est associée à la relation de récurrence donne l’équation du second degré suivante : 2 2 0r

de discriminant

=

2(

+(

2

–4

2

–2

2 0 )r

+

2 0

= 0,

2 0 ).

Les solutions r 1 et r 2 vérifient r 1 r 2 = 1. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

2 0 ), l’une des racines, réelles, est plus Si est positif (c’est-à-dire grande que 1. Nous obtiendrons alors des solutions A n , combinaisons linéain n res de r 1 et r 2 , divergentes. Ceci est physiquement inacceptable pour une chaîne infinie d’oscillateurs idéaux. Le discriminant étant nécessairement négatif, les pulsations des oscillations 2 0. libres seront limitées au domaine : 0 Posons = 2 0 sin ---- , 2 tique prend la forme :

étant compris entre 0 et r 2 – 2r cos

; l’équation caractéris-

+ 1 = 0,

les deux racines de l’équation caractéristique, r 1 et r 2 , complexes conjuguées et de produit égal à 1, s’écrivent : r 1,2 = e ± j

= e ± j ka , en posant k = ---- . a

17

Ondes

Les ondes sinusoïdales se propageant le long de la chaîne sont donc de la forme : n (t)

= A + e j(

t – nka )

= A + e j(

t – nka +

+ A e j( 0+ )

t + nka )

+ A e j(

t + nka +

0– )

.

Les mouvements oscillants des masses s’écrivent, en notation réelle : n (t)

= A + cos ( t – nka +

0+ )

+ A – cos ( t + nka +

0– ).

L’équation de propagation impose une relation entre w et k appelée relation ka 4K ka de dispersion : 2 = 4 02 sin 2 ⎛ ------⎞ = ------- sin 2 ⎛ ------⎞ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ M Les fréquences d’oscillations libres de la chaîne infinie décrivent une bande de 2 1 4K fréquences allant de 0 à --------0- = ------- ------- . 2 2 M 3.2.3. Ondes progressives monochromatiques Considérons l’onde n (t) = A + cos ( t – nka + 0+ ). Le déplacement de la nième masse correspond à la valeur de cette fonction d’onde (x, t) en x = na, position d’équilibre de ce mobile :

n (t)

=

(x, t) ( x = na ) .

3.2.3.1. Onde monochromatique ou harmonique En optique, les ondes électromagnétiques composant la lumière ont une couleur liée à leur fréquence. Par extension, nous dirons que l’onde harmonique (x, t) = A + cos ( t – kx + 0+ ) est une onde monochromatique, ou onde harmonique. 3.2.3.2. Onde progressive La fonction (x, t) prend la même valeur en x + x à l’instant t + t si k x = t (doc. 19). Nous pouvons dire que cette onde monochromatique, caractérisée par sa phase, se déplace à la vitesse, dite de phase : v = ---- . L’onde (x, t) se k déplace et progresse le long de l’axe ( Ox ) de la chaîne à la vitesse v . C’est une onde progressive. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Remarque Il faut bien distinguer la vitesse de déplacement des mobiles : d n(t ) --------------- = ⎛ ----⎝ t dt

(x, t)⎞ ⎠ ( x = na )

et la vitesse de propagation de l’onde, ---- . Si ces deux grandeurs sont homok gènes, elles ne représentent pas du tout la même chose. Dans le cas de la propagation d’une holà dans un stade, par exemple, il est clair que la vitesse d’oscillation d’un spectateur (qui ne quitte pas sa place), perpendiculaire aux gradins, est totalement différente de la vitesse de déplacement de cette même holà, qui est parallèle aux gradins (doc.18). Dans d’autres cas de propagation, les grandeurs qui se propagent ne seront peut-être même pas homogènes à un déplacement ou à une vitesse, mais nous définirons encore une vitesse de propagation de l’onde considérée.

18

ψ

t = t0

t = t0 + Δt vΔt

x

Doc. 19. Onde progressive se propageant à la vitesse v .

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) De façon générale, un signal physique, ici une onde, pourra se décomposer en une superposition de composantes harmoniques ; nous le reverrons au chapitre 7 consacré à la dispersion (cf. H-Prépa, Électronique, 1re année, chapitre 12). Les déplacements correspondant aux oscillations libres des mobiles d’une chaîne infinie d’oscillateurs peuvent se mettre sous la forme d’une superposition d’ondes progressives monochromatiques. Les fréquences de ces ondes sont situées dans une bande permise. 3.2.4. Longueur d’onde, vecteur d’onde Les ondes

+ (x,

t) = A + e j(

t – kx)

et

– (x,

t) = A – e j(

t + kx)

ont la même

ω

fréquence. Ces deux ondes progressives se propagent de façon similaire le long de la chaîne, mais dans des directions opposées. À une onde progressive monochromatique

(x, t) = A e j(

t – kx) ,

2ω 0

nous asso-

cierons un vecteur k = ke x , appelé vecteur d’onde, qui indique sa direction de propagation (en prenant k algébrique, positif ou négatif, pour tenir compte des deux sens de propagation). La pulsation et le vecteur d’onde sont liés par la relation de dispersion (k) dont le graphe est représenté sur le

– πa

document 20. Ce graphe est limité à la zone – ---- k ---- (appelée première a a 2 zone de Brillouin), car les valeurs k et k + ------- correspondent à la même solua tion physique n (t). Une onde progressive monochromatique a deux périodicités : la période tem2 2 porelle T = ------- et la période spatiale, ou longueur d’onde, l = ------- . qui k sont liées par l = v T ; v représente la vitesse de propagation de la phase « t – kx » : c’est la vitesse de phase.

= A e j(

t – nka )

+ A e j(

Doc. 20. Courbe de dispersion.

3

Modes propres d’une chaîne d’oscillateurs On reprend l’exemple d’une chaîne finie de N oscillateurs ( n = 1, …, N ) dont les extrémités sont fixées à deux parois d’abscisses x = 0 et x = ( N + 1 )a . 1) Montrer que la compatibilité des solutions : n(t )

k

1) L’équation d’évolution :

˙˙n =

[

n–1

–2

n

+

n + 1]

impose la relation de dispersion écrite précédemment. De plus, les équations d’évolution des mobiles n = 1 et n = N sont : ˙˙1 =

t + nka )

avec ces conditions aux limites impose une quantification de leur longueur d’onde. Exprimer le déplacement réel des masses correspondant. 2) Combien de valeurs quantifiées acceptables obtient-on ? Commenter. Les placer sur le graphe de dispersion pour N = 3 .

2 0

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Application

0

π a

et

˙˙N =

2 0[– 2 0[

2

N–1

1

+

–2

2] N ].

Vérifier ces deux relations revient donc à introduire deux mobiles fictifs indicés n = 0 et n = N + 1, aux extrémités de la chaîne, pour lesquels à tout instant : 0(t )

= 0

et

N + 1(t )

= 0,

19

Ondes

A e – j ( N + 1 )ka + A e j ( N + 1 )ka = 0

soit :

A +A

et

= 0.

L’obtention de solutions non nulles impose : p sin ( [ N + 1 ] ka ) = 0, soit k = ---------------------- = k p , ( N + 1 )a où p est un entier naturel (k est ici positif, l’onde « – k » étant comprise dans la solution envisagée). Les longueurs d’ondes ne peuvent ainsi prendre qu’une série de valeurs discrètes : 2 ( N + 1 )a l p = ------------------------- . p Le déplacement de la n ième masse s’écrit, pour le mode p : n ( t ) = 0 sin ( nk p a ) sin ( t + ) , avec

0

= A

= A

et

= arg ( A ).

p=1

p=3

p=2 p=N

Doc. 21. Représentation des modes propres.

Cette expression nous permet de comprendre l’allure des représentations symboliques des mouvements de

la chaîne que nous avions donnés par anticipation au § 1.3, représentés sur les documents 11 et 21 pour p = 1, p = 2, p = 3 et p = N . 2) Les pulsations des oscillations libres sont limi-

tées à la bande [ 0 ; 2

ω ω3 ω2 ω1

ω max

3 2 1

k π 4a

π 2a

3π 4a

π a

Doc. 22. Modes propres placés sur la courbe de dispersion pour N = 3 .

La chaîne d’atomes couplés élastiquement (rappel linéaire) par des ressorts constitue une modélisation simple pour décrire la propagation de petits mouvements vibratoires dans un solide, c’est-à-dire la propagation du son dans un solide. Celui-ci est, en effet, constitué d’empilements réguliers d’atomes (de molécules ou d’ions) ; les forces, rappelant un atome vers sa position d’équilibre, peuvent être modélisées, à l’ordre linéaire, par un rappel élastique, dans la mesure où les amplitudes des vibrations des atomes sont faibles. (Nous supposons ici le solide homogène et isotrope.)

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

les valeurs de k à l’inter-

valle 0 ; ---- et l’entier p est limité à la série de a valeurs : p = 1, p = 2, …, p = N ( p = 0 donne une solution nulle, et p′ = p + N + 1 redonne la solution du mode p). Nous avons donc N modes d’oscillations de la chaîne des N oscillateurs fixés à ses extrémités. Les points représentant les modes p = 1, 2 et 3 de trois oscillateurs identiques couplés sont positionnés sur la courbe du document 22.

3.2.5. Approximation des milieux continus

Dans un solide, les atomes ne sont séparés que de quelques dixièmes de nanomètres, et les longueurs d’onde l des ondes sonores qui s’y propagent sont en pratique très grandes devant la distance interatomique a : a l. 1 les valeurs n (t) et n + 1 (t) des déplacements de deux mobiPour k a les voisins diffèrent très peu. L’ensemble des valeurs n (t) décrit de façon quasi continue les valeurs prises par la fonction d’onde (x, t). Nous pourrons utiliser une approximation de milieu continu si la dimension caractéristique du milieu (la longueur a pour la chaîne d’oscillateurs) est petite devant la longueur d’onde l des ondes qui se propagent : a l.

20

0 ],

1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) 3.2.6. Équation de d’Alembert Dans ces conditions, nous pouvons écrire : n + 1 (t) n – 1 (t)

= =

a2 2 + a ------- + ----- --------2- + … x 2! x

(x = (n + 1)a, t) =

a2

– a ------- + ----- --------2- + … x 2! x

(x = (n – 1)a, t) =

L’équation de propagation : ˙˙n =

2 0(

n–1

–2

n

+

( x = na, t)

2

.

( x = na, t)

n + 1)

prend la forme d’une équation aux dérivées partielles : 2

2 2 0a

--------2- = t appelée équation de d’Alembert.

2

--------2- , x

Dans l’approximation du milieu continu, l’équation de propagation des déformations de la chaîne de masses couplées est l’équation de d’alembert à une dimension : 2 1 2 ---------2- – ----2- ---------2- = 0 . c t x K ----- est une vitesse, grandeur caractéristique de la propagaM tion. Dans l’approximation du milieu continu, la relation de dispersion devient (doc. 23) :

c =

0a

= a

k =ω c ω

2ω 0

k –π a

0 approximation du milieu continu : k a b2 b2 > b3 b3

3

–2

10

Doc. 1

6

1 0

–10

b) Cas de solutions

1 –5

3

θ

2π

t=0

x

3

2

1

3) Le schéma a) représente l’allure de l’onde solitaire en fonction de x à différents instants : cette onde ne passe qu’une seule fois en un point de la jonction, et, en ce point varie de 0 à 2 . Le schéma b) représente l’évolution de , à un instant donné, en fonction de x, pour différentes valeurs du paramètre : plus est grand (c’est-à-dire plus la vitesse de propagation c est grande), plus la zone de jonction concernée par l’onde est étroite ( est nul en aval, est égal à 2 en amont). a)

1

2

2 2 1 -----2 – -----2 = -----2 . c c0

0

2

x v

x

1 ----2 . c

c tend vers c0 quand tend vers l’infini (et on retrouve l’équation de d’Alembert). Pour qu’un signal se propage rapidement, il est nécessaire que le signal soit injecté en x = 0 : v ( 0, t ) avec une grande valeur de . En traçant v ( 0, t ) pour différentes valeurs de (doc. 1), on peut remarquer que ce signal tend vers une impulsion quand tend vers l’infini ! C’est pour cette raison qu’il est appelé soliton. Ce signal particulier se propage sans déformation (cf. chapitre 7). Ceci permet une succession rapide d’impulsions très étroites qui se propagent sans déformation (doc. 2).

90

v

x grand

t

b) Cas d’une ligne dispersive signal déformé

x grand

Doc. 2

t

Propagation d’ondes sonores dans les fluides PC-PSI

4

Le son est, avec la lumière, l’élément de propagation d’information que nous utilisons le plus couramment : son étude revêt un intérêt pratique évident. De plus, constatons que jusqu’à présent nous avons seulement étudié des phénomènes de propagation décrits par l’équation de d’Alembert pour lesquels les caractéristiques du milieu limitaient la propagation à une seule direction d’espace. L’étude des ondes sonores nous permet d’aborder un phénomène de propagation tridimensionnel.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

■ Élaboration d’un modèle pour l’étude de la propagation des ondes sonores.

■ Cours de Seconde. ■ Principes d’étude de l’écoulement d’un fluide. ■ Équations de propagation, équation de d’Alembert. ■ Ondes, impédance d’onde, impédance caractéristique, réflexion et transmission.

91

Ondes

1

É qu at i o n d e p rop a g ati on d e s o n de s son ore s

1.1. Le son 1.1.1. Expérience Reprenons une expérience vue en classe de Seconde. Un haut-parleur, relié à un générateur basse fréquence, émet un son que nous pouvons entendre. Pour analyser le phénomène sonore, introduisons un microphone et visualisons les signaux issus du générateur et du microphone reliés aux voies d’un oscilloscope. Nous obtenons à l’écran de l’oscilloscope deux sinusoïdes (doc. 1). 1.1.2. Phénomène de propagation Le microphone capte un signal sinusoïdal, émis par le haut-parleur, qui s’est propagé de l’un à l’autre : une onde sonore se propage dans l’air entre l’émetteur et le récepteur. En synchronisant le balayage de l’oscilloscope sur le signal envoyé au hautparleur, ces signaux ont la même fréquence et apparaissent simultanément stables sur l’écran, mais déphasés. Si nous éloignons le microphone du hautparleur, nous constatons que le retard de phase du signal du microphone par rapport au signal de référence croît : le temps de propagation du signal de l’émetteur au récepteur augmente avec la distance qui les sépare. Nous pouvons aussi remarquer que lorsque nous modifions la position du microphone, le signal sinusoïdal qu’il délivre (pour une position donnée) reprend périodiquement la même place sur l’écran de l’oscilloscope : l’onde sonore détectée possède non seulement une période temporelle T, inverse de la fréquence du générateur, mais aussi une période spatiale l. À chaque fois que nous éloignons (respectivement rapprochons) le microphone d’une longueur l du haut-parleur, le retard de phase augmente (respectivement diminue) de 2 . L’onde sonore sinusoïdale présente ainsi des caractéristiques semblables à celles que nous avons dégagées pour les solutions sinusoïdales de l’équation de d’Alembert au chapitre 2. 1.1.3. Vitesse du son © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Nous savons que les périodes temporelle T et spatiale l d’une onde plane progressive monochromatique solution de l’équation de d’Alembert sont liées, à toute fréquence , par la relation l = c T , où c est la vitesse de propagation des ondes, solutions de l’équation de d’Alembert. Nous pouvons modifier la fréquence du signal électrique envoyé au hautparleur, et répéter les manipulations que nous venons d’effectuer en mesurant l à chaque fois le rapport --- de l’onde sonore. L’expérience montre que ce rapT port, homogène à une vitesse, reste constant : l⎞ ⎛ --= cs , ⎝ T ⎠ onde sonore où la vitesse caractéristique cs est d’environ 340 m . s – 1 ; c s représente la vitesse du son dans l’air. Cette vitesse est assez élevée par rapport aux vitesses que nous pouvons rencontrer quotidiennement : une voiture roulant à 150 km . h – 1, soit environ

92

haut-parleur

microphone

G.B.F.

Y1

Y2

Doc. 1. Le son se propage du hautparleur vers le microphone.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) 40 m . s – 1 reste largement subsonique. Les effets de retard à la propagation restent cependant facilement décelables si nous pouvons associer une observation visuelle à la perception d’un son. La durée de transmission d’une information lumineuse (qui se propage à environ 300 000 km . s – 1 ) est, en effet, parfaitement négligeable par rapport à celle du son qui peut lui être associé.

ciel très orageux

Par exemple, lorsque nous voyons l’éclair d’un orage, nous pouvons déterminer le temps nécessaire pour percevoir le bruit de tonnerre qui lui est associé (doc. 2). Si nous comptons trois secondes entre ces deux instants, c’est que la foudre est tombée à environ 1 km. 1.1.4. Milieu de propagation Comment le signal sonore se propage-t-il d’un émetteur à un récepteur ? En utilisant une fréquence assez faible (période inférieure à la durée de 1 persistance rétinienne, de l’ordre de ------ de seconde), nous pouvons observer 20 des oscillations de la membrane du haut-parleur, qui transforme un signal électrique en un signal mécanique (transduction électromécanique ; cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2de année). À des fréquences audibles plus élevées (20 Hz à 20 kHz), le phénomène est le même (observable alors avec un stroboscope), et le mouvement de la membrane du haut-parleur provoque de petites vibrations de l’air. Le phénomène de propagation peut donc être compris ainsi : l’air, milieu gazeux, possède des propriétés macroscopiques d’élasticité. Le mouvement du haut-parleur comprime légèrement l’air à son voisinage immédiat ; la pression de celui-ci augmente légèrement et cet air pousse à son tour la tranche d’air voisine, etc. Pour prouver l’intervention du milieu de propagation (le gaz) dans la propagation du son, plaçons un réveil en train de sonner sous une cloche en verre (doc. 3). Faisons peu à peu le vide sous la cloche : le son du réveil semble s’évanouir. La sonnette du réveil vibre, mais ne peut plus transmettre ses vibrations au gaz… L’air, milieu matériel, est un support indispensable à la propagation du son. Nous retrouvons ici un couplage entre le déplacement et la « surpression » au sein du fluide, à l’origine du phénomène de propagation.

L

Doc. 2. La propagation de la lumière est quasiment instantanée. La propagation du son se fait à environ 340 m . s–1. L’écart entre la réception du signal luL mineux et du son est donc de --------- , soit 340 environ 0,3 s . km–1.

vide R

pompe

Doc. 3. Réveil sonnant sous la cloche à vide : il suffit d’ouvrir le robinet R pour remettre la cloche en pression et entendre à nouveau la sonnerie du réveil ! © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Les ondes sonores sont des vibrations de faible amplitude du milieu matériel dans lequel elles se propagent à la vitesse cs .

1.2. Équations de couplage 1.2.1. Description du problème Nous savons que les mouvements d’un fluide sont décrits par le système complet d’équations suivant au niveau local : 1) l’équation de conservation de la masse (une équation cinématique) ; 2) l’équation du mouvement (trois équations scalaires) ; 3) le bilan énergétique (une équation traduisant l’application du premier principe de la thermodynamique au fluide en particulier les échanges thermiques) ; 4) l’équation d’état, de la forme f ( P, , T ) = 0 , pour un fluide où P, et T désignent respectivement la pression, la masse volumique et la température du fluide.

93

Ondes

Ce système de six équations scalaires est en général complexe à résoudre. Quelques hypothèses raisonnables nous permettront de le simplifier. 1.2.2. Hypothèse thermodynamique 1.2.2.1. Mouvements isentropiques L’expérience montre que la propagation des ondes sonores est généralement caractérisée par un faible amortissement au sein du fluide où elle se propage. Nous négligerons donc les phénomènes dissipatifs (conduction thermique, viscosité), ce qui revient à postuler le caractère isentropique de l’écoulement. Cette hypothèse thermodynamique « raisonnable » peut remplacer la troisième équation. Éliminant la température à l’aide de cette hypothèse, nous pourrons exprimer la masse volumique du fluide en fonction de sa pression. Soit 0 , P0 et T0 les caractéristiques du fluide au repos. La présence d’ondes, correspondant à de faibles variations relatives de ces grandeurs, nous permet de noter : •

=

–

0

la variation de masse volumique du fluide (

0)

;

• p = P – P 0 la variation de sa pression, encore appelée surpression acoustique ( p

P0 ) .

Utilisant le coefficient de compressibilité isentropique : S

1 V 1 1 – = – ---- ⎛ --------⎞ = --- ⎛ -------⎞ ≈ ----- --------------0- , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ V P S P S 0 P – P0

nous écrirons à l’ordre 1 : =

0 S

p.

1.2.2.2. Discussion de l’hypothèse d’adiabaticité dans le cas des gaz Newton a, le premier, proposé une expression de la vitesse du son dans l’air. Il a toutefois exprimé les variations de pression en considérant que le produit PV d’une particule de fluide reste constant au cours de son mouvement. Cette hypothèse correspond à des mouvements isothermes du gaz. Avec cette 1 – hypothèse : T ≈ ----- --------------0- . Utiliser la compressibilité isotherme T au lieu 0 P – P0 de la compressibilité isentropique S ne conduit malheureusement pas à une valeur de la vitesse du son en accord avec l’expérience. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Laplace a rectifié cet écart numérique en postulant que les petits mouvements du fluide sont adiabatiques « car » rapides (les échanges thermiques n’ayant alors « pas le temps » de se produire) : l’utilisation de S permet d’obtenir la valeur correcte de la vitesse du son. Cette hypothèse d’adiabaticité des mouvements est acceptable si l’influence de la diffusion thermique dans le gaz est négligeable. Dans le cadre du modèle du fluide parfait (de viscosité nulle), les seuls échanges énergétiques ont lieu par diffusion thermique. La grandeur caractérisant ce phénomène est le coefficient de Fourier K (cf. H. Prépa, Thermodynamique, 2de année). L’équation de la chaleur s’écrit : 2T K 2T T ------- = ------ --------2- = a --------2c x t x avec masse volumique et c capacité calorifique massique, le coefficient de K diffusion a = ------ s’exprime en m2 . s –1. c

94

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Par un raisonnement dimensionnel sur ce coefficient il est possible de quantifier l’hypothèse d’adiabaticité d’une onde sonore. L’ordre de grandeur du temps caractérisant les transferts thermiques sur une l2 distance égale à la longueur d’onde l est ----- . a Pour que l’évolution soit adiabatique, il suffit que ce temps soit très supérieur l2 T. à la période T de l’onde soit ----a 2 c l a ----- ou v ----S- ; pour l’air dans Introduisons la vitesse du son c S = --- , l T cS a les conditions usuelles, a ª 2 · 10 –5 m2 · s –1 et cS ª 340 m · s–1, d’où les 6 . 10 –8 m , ou v 6 . 10 9 Hz . conditions l Cette hypothèse est encore largement valable pour les ondes ultrasonores créées par les émetteurs piézoélectriques (v 10 MHz) utilisés en échographie. a La théorie cinétique des gaz permet de montrer que le rapport ----- est voisin du cS libre parcours moyen d’une molécule , c’est-à-dire la distance moyenne entre c ----S- . deux chocs. La condition d’adiabaticité devient alors l ou v Dans le cadre de la modélisation d’un gaz par un milieu continu, les longueurs caractéristiques des phénomènes étudiés doivent être grandes devant le libre parcours moyen. L’hypothèse l est donc incluse dans la modélisation par un fluide continu. Pour des longueurs d’onde plus faible l , la propagation d’une onde sonore dans ce milieu sera modélisée autrement. L’hypothèse d’adiabaticité formulée par Laplace est donc correcte pour un milieu continu. Cependant ce n’est pas parce que le phénomène est « rapide » mais parce que la longueur d’onde est grande devant le libre parcours moyen des particules. La propagation du son dans un fluide peut être étudiée en considérant que le fluide effectue de petits mouvements isentropiques. 1.2.3. Linéarisation des équations © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Les modifications de l’état du fluide causées par l’onde sonore sont de petites perturbations. Nous traiterons les équations du problème dans le cadre d’une approximation linéaire, appelée approximation acoustique. C’est ce que nous avons fait pour relier et p dans le cadre de l’hypothèse d’adiabaticité. 1.2.3.1. Équation de conservation de la masse L’équation de conservation de la masse s’écrit : 0 = ------ + div ( v ) = ------- + t t

0 div ( v

)+

div ( v ) + v . grad ,

soit, en se limitant aux termes d’ordre 1 : ------- + t Nous pouvons négliger à .

0

div ( v ) = 0 .

div ( v ) devant

0 div ( v

) , car

est petit par rapport

95

Ondes

devant ------- est moins évident car ici ce sont les t dérivées partielles de qui interviennent. Cependant, lors de la linéarisation d’équations faisant intervenir des dérivées, il est classique de ne garder que les termes d’ordre 1 de la fonction ainsi que de ses dérivées, l’approximation étant justifiée a posteriori. Le fait de négliger v . grad

Dans le cas présent, une analyse plus précise de l’approximation peut être réalisée sur une onde sonore monochromatique de période T et de longueur d’onde l = cS T. Dans ces conditions le terme : c • ------- est de l’ordre de ---- = ---------S- ; t T l v 0 - ; • 0 div ( v ) de l’ordre de ------l v • div ( v ) de l’ordre de ------ ; l v • v . grad de l’ordre de ------ . l L’approximation « du premier ordre » ou linéarisation nécessite donc, a c S . Ces deux hypothèses sont en priori, deux hypothèses 0 et v fait équivalentes comme nous le verrons au § 1.4.3. L’élongation d’une tranche de fluide est de l’ordre de grandeur de v T. La condition v l : l’amplitude des oscillations du fluide c S s’écrit aussi est petite devant la longueur d’onde. L’approximation acoustique est une approximation de grande longueur d’onde. 1.2.3.2. Équation du mouvement L’influence de la viscosité du fluide étant négligeable dans le cadre de notre étude, l’équation du mouvement se réduit à l’équation d’Euler : ⎛ -----v- + ( v . grad )v ⎞ = – grad P + f . V ⎝ t ⎠ © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

La force volumique statique (par exemple, f V = g ) est compensée par le gradient de la pression statique P0. L’influence de ses variations (par exemple g ) est en pratique négligeable par rapport au gradient de la surpression p. L’équation du mouvement s’écrit donc, après linéarisation : 0

v ------ = – grad p . t

Les équations linéarisées décrivant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores (l’évolution est donc isentropique) sont : -------- + t 0

96

0 div ( v

) = 0

v ------- = – grad p t = 0 Sp

(conservation de la masse) (équation du mouvement) (isentropie)

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) 1.2.4. Équations couplées Éliminant la variable dessous.

, nous obtenons le système d’équations couplées ci-

La propagation d’ondes sonores dans un fluide est régie par le système d’équations couplées : 1 p ------- = – ------ div(v ) t S

.

1 v ------- = – ----- grad p t 0 Dans le cas d’une propagation d’ondes sonores planes dans la direction de l’axe (Ox), par exemple, le gradient de pression et la vitesse sont parallèles à e x : p grad p = ------ e x et v = v ( x, t )e x . x Le système d’équations couplées prend alors la forme simplifiée : 1 v p ------ = – ----- -----t S x. 1 p v ----- = – ----- -----t 0 x Remarque Il est préférable d’éliminer m pour trouver des équations en p et v car n’intervient jamais dans les conditions aux limites utilisées par la suite. Des équations couplés en et p comme en et v sont possibles mais sans intérêt pratique.

1

Propagation d’une onde sonore plane Approche lagrangienne Nous nous proposons de retrouver les équations précédentes à l’aide d’une description lagrangienne de la propagation d’ondes sonores planes dans une conduite de section S constante. Le déplacement, à l’instant t, d’une particule de fluide d’abscisse x lorsque le fluide est au repos est noté ( x, t ) (doc. 4). La surpression et la masse volumique de cette tranche sont p ( x, t ) et ( x, t ). Notons bien que la coordonnée x joue ici le rôle d’indice servant à étiqueter la particule de fluide étudiée. x est la position de la particule lorsque le fluide est au repos, alors que sa position à l’instant t correspond à x + ( x, t ). En particulier, la masse volumique ( x, t ) désigne, à l’instant t, la masse volumique de la particule suivie dans son

mouvement, dont l’abscisse à la date t est x + ( x, t ) , et non pas x. La même remarque s’applique à p ( x, t ) . Les notations utilisées ici correspondent à un formalisme lagrangien.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Application

position de la tranche de fluide au repos

S x’

ξ (x, t) x

ξ (x + dx, t) x + dx

x

position de la tranche de fluide en mouvement

Doc. 4. Tranche de fluide en mouvement dans la conduite.

97

Ondes

Nous ferons comme précédemment l’approximation de grandes longueurs d’onde, en supposant ⎛ soit ------ ≈ --1⎞ , ⎝ ⎠ x ce qui nous permettra quel-ques simplifications par approximation linéaire. 1) Évaluer la variation de masse volumique d’une tranche élémentaire de fluide, de section S et d’épaisseur dx au repos. 2) Établir l’équation du mouvement de cette même tranche de fluide. 3) En déduire les deux équations couplées liant p et la vitesse v = ------ . t 1) La masse de fluide considérée est :

dm = 0 S dx . Le volume de cet élément est, à l’instant t : d

= S [ dx + ( x + dx, t ) – ( x, t ) ] ≈S

dx ⎛ 1 + -------⎞ . ⎝ x⎠

Sa masse volumique est donc : dm 0 = ------- = --------------≈ d 1 + -----x

0

⎛ 1 – -------⎞ , ⎝ x⎠

d’où :

3) Utilisant la relation

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

L’équation du mouvement s’écrit alors : ( ) p grad ⎛ ------------⎞ = – grad ----- , ⎝ t ⎠ 0 donc

98

p = –

0

-------- + f ( t ) . t

-----x

(1)

=

0 S

(2)

p et la vitesse

v = ------ , les équations (1) et (2) nous redonnent le t système d’équations couplées déjà établi, réduit ici à la propagation unidimensionnelle : v p 0 ----- = – -----t x et p v S ------ = – ------ . t x

rot ( v ) = 〈 rot ( v )〉 t = 0 .

.

0

2

Le rotationnel de la vitesse est ainsi indépendant du temps, donc égal à sa moyenne temporelle. Pour des mouvements vibratoires, celle-ci est nulle :

v = grad

= –

dm -------2- = S [ p ( x, t ) – p ( x + dx, t ) ] t ⎛ p⎞ ≈ – S ------ dx , ⎝ x⎠ soit, finalement : 2 p - = – -----0 ------x t2

----- ( rot v ) = 0 . t

Nous en déduisons l’existence d’un potentiel des vitesses

0

dm = 0 S dx suivi dans son mouvement, est soumise à la pression P 0 + p ( x, t ) en amont, et à la pression P 0 + p ( x + dx, t ) en aval. L’équation de son mouvement est donc :

Le rotationnel d’un gradient étant nul, la deuxième équation couplée, v 0 ------ = – grad p , nous assure que : t soit

–

2) Cette tranche de fluide, système fermé de masse

1.2.5. Écoulement potentiel

v rot ------ = 0 , t

=

:

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Le potentiel des vitesses est défini à une fonction ne dépendant que du temps près (choix de jauge). Nous pouvons le choisir, sans modifier l’expression de la vitesse, de façon à avoir : p = –

0

-------- . t

1.3. Équation de propagation 1.3.1. Équation de d’Alembert Reportant les expressions de la surpression et de la vitesse du fluide dans l’équation de conservation de la masse, nous obtenons : 0 = div ( v ) + où

S

p ------- = div ( grad ) – t

2

0 S

--------- = t2

–

2

0 S

---------, t2

est l’opérateur laplacien (cf. Annexe).

Par dérivation spatiale ou temporelle de l’équation de propagation du potentiel, nous pouvons vérifier que les champs de vitesse et de surpression satisfont à la même équation de propagation. La propagation des ondes sonores dans un fluide est décrite par l’équation de propagation (tridimensionnelle) de d’Alembert, vérifiée par le potentiel des vitesses et les champs de vitesse et de surpression : ∗ 1 2v v – ----2- ---------2 = 0 ; cs t

1 2 - = 0 ; – ----2- ---------t2 cs avec v = grad

1 2p p – ----2- ---------= 0 cs t 2

* Δv est le laplacien vectoriel de la vitesse (cf. Annexe). Δ et Δp sont les laplaciens scalaires de et p.

.

La vitesse caractéristique de la propagation du son s’exprime en fonction des caractéristiques du fluide par : P⎞ . ⎛ ------⎝ ⎠S

1 c s = ---------------- = 0

S

1.3.2. Vitesse du son 1.3.2.1. Dans les gaz

P ----- = cte , donc

S

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Nous pouvons évaluer la vitesse de propagation du son dans un gaz en l’assimilant en première approximation à un gaz parfait de coefficient caractéristique . Pour une évolution isentropique, nous aurons : 1 = --------- . P0

La vitesse du son dans un gaz est alors : 1 c s = ---------------- = 0

S

P ---------0- = 0

RT --------------0 . M

Pour l’air ( M = 29 g . mol – 1 ) assimilé à un gaz parfait diatomique ⎛ =7 ---⎞ , nous obtenons c s = 331 m . s – 1 à T 0 = 273 K (0 °C). Cette ⎝ 5⎠ valeur est en accord avec l’expérience. La vitesse du son croît comme la racine carrée de la température du gaz. Ainsi, le son se propage plus rapidement dans l’air à T 0 = 298 K (25 °C) : c s = 346 m . s – 1 .

99

Ondes

La vitesse du son décroît comme la racine carrée de la masse molaire du gaz où il se propage. Pour le dihydrogène ( M = 2 g . mol – 1) , la vitesse du son à 273 K est bien supérieure à sa valeur dans l’air : c s = 1 260 m . s – 1 . Fait remarquable, l’expression que nous avons obtenue pour la vitesse du son ne fait pas apparaître la pression du gaz. En fait, ceci n’est vérifié que pour des pressions comparables à la pression atmosphérique. • Lorsque la pression augmente, l’approximation du gaz parfait est à remettre en cause. Le comportement du gaz se rapproche de celui d’un liquide (doc. 5), et la vitesse du son croît. • Aux faibles pressions, le son ne se propage plus : ce n’est pas l’approximation du gaz parfait qui est alors à remettre en cause, mais celle du milieu continu utilisé par les équations de la mécanique des fluides (cf. § 1.2.2.2.). 1.3.2.2. Dans les liquides Nous pouvons comparer la vitesse du son dans un liquide et la vitesse du son dans un gaz en écrivant : c s (liq) ------------- = c s (gaz)

0 (gaz) -------------0 (liq)

S (gaz) . --------------S (liq)

La densité d’un liquide est environ mille fois supérieure à celle d’un gaz, dans des conditions usuelles de température et de pression. Sa compressibilité est en revanche beaucoup plus faible que celle d’un gaz : gaz ≈

1 ------ ≈ 10 – 5 Pa –1 P0

liquide ≈ 10

– 10

Pa – 1 .

La vitesse du son est donc généralement plus importante dans les liquides que dans les gaz (doc. 5). 1.3.2.3. Dans les solides Le cas des solides n’entre pas dans le cadre de l’étude que nous avons menée ici. Le modèle de la chaîne d’atomes couplés par des ressorts rend assez bien compte de la propagation du son dans un solide isotrope. Les longueurs d’onde étant très supérieures aux distances interatomiques, l’approximation des grandes longueurs d’onde (cf. chapitre 1, § 3.2.5) est applicable, et nous pouvons écrire la vitesse du son dans un solide : © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

cs =

E --- où E est le module de Young. P

Le document 5 nous montre que la vitesse du son dans un solide est souvent encore plus élevée que dans les liquides.

1.4. Propagation d’ondes sonores planes 1.4.1. Forme des solutions ondes planes Par définition d’une onde plane, la grandeur obéissant à l’équation de propagation n’est fonction que d’une coordonnée cartésienne et du temps. Nous choisissons x pour cette coordonnée cartésienne et l’équation de propagation se réduit alors à l’équation de d’Alembert unidimensionnelle déjà vue dans les trois chapitres précédents, soit pour la grandeur : 2 1 2 --------2- – ----2- --------2- = 0 . cs t x

100

milieu

vitesse du son (m . s– 1)

gaz dioxygène

317

air

331

diazote

339

dihydrogène

1 270

liquides eau

1 500

mercure

1 450

solides plomb

1 230

cuivre

3 750

fer

5 130

granit

6 000

Doc. 5. Vitesse du son dans quelques milieux matériels.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Nous connaissons la forme générale des solutions : x x ( x, t ) = F ⎛ t – -----⎞ + G ⎛ t + -----⎞ . ⎝ cs ⎠ ⎝ cs ⎠ F G x x Notant f ⎛ t – -----⎞ = – ------- et g ⎛ t + -----⎞ = ------- , nous obtenons les champs ⎝ cs ⎠ ⎝ cs ⎠ x x de vitesse et de pression d’une onde plane : x x v ( x, t ) = ------- e x = ⎛ f ⎛ t – -----⎞ + g ⎛ t + -----⎞ ⎞ e x ⎝ ⎝ cs ⎠ ⎝ cs ⎠ ⎠ x p ( x, t ) = –

0

------- = t

0 cs

x⎞ x ⎛ f ⎛ t – ---- – g ⎛ t + -----⎞ ⎞ ⎝ ⎝ cs ⎠ ⎝ cs ⎠ ⎠

Notons que le vecteur vitesse et le déplacement du fluide sont parallèles à la direction de propagation de l’onde plane. L’onde sonore est longitudinale. 1.4.2. Ondes planes progressives monochromatiques Les ondes planes progressives monochromatiques (ou harmonique) constituent des cas particuliers d’ondes planes progressives. Considérons une onde et de vecteur d’onde plane progressive monochromatique, de pulsation k = ke x , dont le potentiel est, en notation complexe : =

0e

j ( t – kx )

.

Les champs de vitesse et de surpression sont alors : v = grad

= – jk

0e

j ( t – kx ) e

x

------- = – j 0 0 e j ( t – kx ) t Plus généralement, la direction particulière de propagation de l’onde est indiquée par son vecteur d’onde, d’orientation quelconque, et son potentiel des vitesses s’écrit : p = –

0

soit :

v = grad p = –

L’équation de propagation : 0 =

0

0e

j( t – k . r )

= –jk

0e

------- = – j t

,

j( t – k . r )

0

0

e j(

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

=

t–k . r)

2 1 2 - = ⎛ – k 2 + -------⎞ – ----2- --------2 2 ⎝ cs t cs ⎠ 2

impose la relation de dispersion k 2 = -----2- . cs 1.4.3. Impédance acoustique En électrocinétique, une impédance est égale au rapport de l’amplitude comv plexe d’une tension v sur celle d’une intensité i : Z = - . i Par analogie, nous pouvons définir une impédance pour une onde sonore plane monochromatique se propageant dans un tuyau de section S comme le rapport

101

Ondes

de l’amplitude d’une force p S sur l’amplitude du débit volumique corresponp pS dant v S : Z = ------ = --- . v vS Dans le cas d’une onde plane progressive harmonique se propageant selon les x croissants, la pression p et la vitesse v sont proportionnelles : v = – j ----cs

0e

j ( t – kx ) e

x

= ve x et p = – j

p Z = --- = Z C = v

soit :

0 cs

1 = ----------- = χS cS

0

0

e j(

t – kx )

-----0 . χS

Cette impédance Z C est réelle et indépendante de x et de w. Dans le cas d’une onde plane progressive monochromatique se propageant selon les x décroissants, = 0 e j ( t + kx ) d’où : v = j ----cs

0e

j ( t + kx ) e

x

et p = – j

0

0

e j(

t + kx )

soit donc p = – Z C v .

Ainsi, pour une onde plane progressive se propageant : p • selon les x croissants : --- = Z C = 0 c s ; v p • selon les x décroissants : --- = – Z C = – 0 c s . v ZC est l’impédance acoustique, grandeur réelle indépendante de x et P 1 Z C = 0 c s = ----------- = -----0- . : χS cS χS Une onde de type « f » non monochromatique peut être considérée grâce à l’analyse de Fourier comme la superposition d’ondes planes progressives monochromatiques selon les x croissants. Il est donc possible de définir une impédance acoustique relative à cette onde égale à ZC. Ce résultat peut être retrouvé directement à l’aide des expressions de p et de v obtenues au § 1.4.1. Remarques • Pour une onde de type « f », p = Z C v = 0 cS v. En utilisant la relation entre la variation de masse volumique et la surpression = 0 S p, nous en dédui© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

v sons que ----- = ----- . Nous vérifions ainsi que les inégalités c S 0

0

et

v c S sont bien équivalentes et relèvent de la même approximation comme nous l’avons admis au § 1.2.3. • Nous pouvons faire une analogie entre les ondes sonores à une dimension et les ondes le long d’un câble coaxial (cf. chapitre 3) : – vitesse ¤ intensité, – surpression ¤ tension. Les équations reliant ces grandeurs conduisent à 0 ¤ , S ¤ . 1 L’expression de la vitesse de propagation de l’onde sonore c S = ---------------- se 0 χS 1 retrouve par analogie avec c = ------------ et celle de l’impédance acoustique ΛΓ

102

L’impédance caractéristique d’une onde sonore plane progressive est souvent notée : Z C = r0 cS

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

ZC =

-----0 se retrouve par analogie avec celle de l’impédance d’une ligne χS

Λ ---- . Γ • Dans le cas de tuyaux de section variable, l’introduction d’une autre définition p de l’impédance acoustique Z = ------ faisant intervenir la section du tuyau est Sv ZC =

souvent préférable : les relations de continuité seront plus faciles à écrire.

2

A s p e c t én e rg é ti q u e

2.1. Énergie volumique d’une onde sonore Dans le cas de la propagation d’une onde sur une corde (cf. chapitre 3, exercice 6), nous avions mis en évidence deux termes énergétiques : une énergie cinétique et une énergie potentielle linéiques. Faisons de même pour une onde sonore. 2.1.1. Densité volumique d’énergie cinétique L’énergie cinétique volumique associée au mouvement (macroscopique) du 1 fluide est e K = --- v 2 . L’onde sonore étant une perturbation faible du milieu, 2 1 nous écrirons cette expression à l’ordre 2 : e K = --- 0 v 2 . 2 2.1.2. Densité volumique d’énergie potentielle Le déplacement du fluide s’accompagne d’une petite variation de sa masse volumique sous l’effet de la surpression. Le travail reçu, analogue à l’énergie potentielle élastique accumulée par un ressort dont la longueur a varié par rapport à sa valeur au repos, pourra être restitué sous forme d’énergie cinétique.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Nous avons défini une densité linéique d’énergie dans un câble coaxial 1 1 e = --- Λi 2 + --- Γ v 2 . En poursuivant l’analogie du § 1.4.3 vitesse ¤ intensité , 2 2 surpression ¤ tension, 0 ¤ , S ¤ , nous pouvons définir la grandeur 1 1 e S = --- 0 v 2 + --- χ S p 2 homogène à une densité volumique d’énergie. 2 2 L’interprétation du premier terme est simple, c’est l’énergie cinétique volumi1 que du fluide e K = --- 0 v 2 . 2 Le deuxième terme est plus délicat à interpréter (cf. § 2.4.). Nous admettrons qu’il correspond au surcroît d’énergie interne dû à la compressibilité du fluide. 1 Nous dirons que le terme e P = --- χ S p 2 correspond à l’énergie potentielle 2 volumique associée à l’onde sonore. La densité volumique d’énergie d’une onde sonore est eS = eK + eP où 1 1 e K = --- 0 v 2 et e P = --- χ S p 2 sont respectivement les énergies cinéti2 2 que et potentielle volumiques associées à l’onde. Elles s’expriment en J . m–3.

103

Ondes

2.2. Vecteur densité de courant d’énergie Lors de l’étude du câble coaxial, nous avons aussi défini une puissance transférée : (x, t) = v(x, t) i(x, t).

dF = P dS

En utilisant de nouveau l’analogie vitesse ⇔ intensité, surpression ⇔ tension, nous pouvons définir le vecteur P = pv homogène à une puissance surfacique. Interprétons ce terme : Considérons un volume V de fluide délimité par une surface fixe (doc. 6) et calculons la puissance des forces de pression qu’exerce le fluide intérieur sur les particules sortant au niveau de . La force exercée par le volume V sur les particules sortant par un élément de surface dS est : dF = P dS = ( P 0 + p ) dS , la vitesse du fluide en ce point est v , d’où : =

Σ

Pv . dS =

Σ

( P 0 + p )v . dS .

La valeur moyenne temporelle de la première intégrale : Σ

P 0 v . dS = P 0

Σ

v . dS

est nulle, car lors de la propagation d’une onde sonore, il n’y a pas de propagation de matière : ce n’est donc pas ce terme qui est responsable de la puissance cédée aux particules. En conclusion : =

Σ

pv . dS .

La puissance cédée par le volume V aux particules qui en sortent est égale au flux sortant du vecteur Π = pv .

P = pv est le vecteur densité de puissance ou densité de courant d’énergie de l’onde sonore . Il s’exprime en W . m–2.

2.3. Bilan énergétique © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

En dérivant eS par rapport au temps, nous obtenons : e -------S- = t

0v

v . ------ + t

p = – v . grad p – p divv = – div ( pv ) t

S p ------

à l’aide des équations couplées du § 1.2.4.

e Donnons une interprétation énergétique du résultat -------S- + div Π = 0 . t Considérons l’énergie surface

fixe (doc. 6) :

d s’écrit ---------S- = dt

eS

∫ V∫ ∫ -------t- d

d ---------S- = – divΠ d dt V Ostrogradski.

∫∫∫

104

S

contenue dans un volume V de fluide délimité par la S

=

∫ V∫ ∫ eS d

car la surface = –

Σ

Π . dS

. Sa variation par unité de temps est fixe. d’après le théorème de Green-

volume V de surface

v

Doc. 6. Force exercée sur les particules sortant du volume V.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Théorème de Green-Ostrogradski

Le flux sortant du vecteur Π = pv à travers la surface est égal à la puissance sonore traversant la surface (c’est-à-dire la puissance fournie aux particules sortant de ce volume). Cette puissance apparaît donc comme la diminution algébrique de l’énergie sonore S contenue dans le volume V par unité de temps.

Le flux sortant d’un champ G (ne présentant pas de discontinuité sur une surface fermée ou non située à l’intérieur du volume V) à travers une surface fermée est égal à l’intégrale, sur le volume V limité par cette surface , de sa divergence :

e L’équation -------S- + div Π = 0 traduit donc localement le bilan énergétique : t variation de l’énergie sonore = énergie fournie au niveau dans le volume V de la surface .

G ( Q ) . N ( Q ) dS surface ∑ fermée

Ceci est analogue avec l’équation de conservation de la charge --------e + div j = 0 où e est la densité volumique de charge et j le vecteur t densité volumique de courant (de charges).

=

∫∫∫ divM ( G ( M ) ) d

M.

volume V

Remarque Ce bilan n’est valable que parce que nous avons implicitement supposé qu’il n’y avait ni source sonore ni absorption d’énergie en sein du fluide dans le volume V.

N (Q) Q

volume V

surface

Le bilan énergétique local associé à une onde sonore s’écrit : e --------S- + div P = 0 t 1 1 2 2 où e S = --- 0 v + --- S p est la densité volumique d’énergie sonore et 2 2

Π = pv est le vecteur densité de puissance ou densité de courant d’énergie de l’onde sonore.

2

Bilan local d’énergie pour une onde plane Exprimer, pour une onde plane se propageant parallèlement à l’axe (Ox), les densités d’énergie cinétique, potentielle et sonore, et le vecteur densité d’énergie. Vérifier le bilan énergétique local. Que deviennent ces expressions dans le cas d’une onde plane progressive suivant les x croissants ou décroissants ? Conclure.

Nous pouvons exprimer : • la densité volumique d’énergie cinétique :

Pour une onde plane se propageant parallèlement à l’axe (Ox), nous savons que la vitesse et la surpression sont de la forme : x x v ( x, t ) = ⎛ f ⎛ t – -----⎞ + g ⎛ t + -----⎞ ⎞ e x ⎝ ⎝ c S⎠ ⎝ c S⎠ ⎠

• la densité volumique d’énergie sonore :

et

p ( x, t ) =

x⎞ x ⎛ f ⎛ t – ---- – g ⎛ t + -----⎞ ⎞ e x . ⎝ c S⎠ ⎝ c S⎠ ⎠

0 cS ⎝

1 e K = --2

0v

2

1 = --2

0(

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Application

f 2 + 2 fg + g 2 ) ;

• la densité volumique d’énergie potentielle : 1 e p = --2

S

1 p 2 = --2

0(

f 2 – 2 fg + g 2 ) car

eS = eK + eP =

0(

2 0 S cS =

1;

f 2 + g2 ) ;

• le vecteur densité surfacique de puissance :

Π = pv = e -------S- = 2 t

0 cS ( 0(

f 2 – g 2 )e x .

ff ′ + gg′ )

105

Ondes

div Π = 2

et

• Dans le cas d’une onde plane de type « g », 1 e K = e P = --- 0 g 2 , e S = – 0 g 2 2

⎛ f -----f- – g -----g-⎞ . x x⎠

0 cS ⎝

1 1 f g Or ------ = – ----- f ′ et ------ = ----- g′ d’où : cS cS x x

et Π = –

f 2 e x = eS cS e x .

2.4. Compléments : aspect thermodynamique L’étude de l’énergie interne du fluide permet d’interpréter l’énergie potentielle et le vecteur densité de courant. Soit um l’énergie interne massique du fluide. La surpression étant faible et l’évolution isentropique, il est possible d’exprimer l’énergie interne volumique u v = u m sous la forme du développement au deuxième ordre en : 2( u ) ( u m )⎞ 1 m ⎞ u v = u v0 + ⎛ ----------------. + --- 2 ⎛ ------------------2 ⎠ ⎝ ⎠ S, ( = 0 ) 2 ⎝ S, ( = 0 ) P Comme dU = T dS – P dV (identité thermodynamique), du m = T ds + -----2- d . u m⎞ P Par identification ⎛ --------= ----2- soit : ⎝ ⎠S 2( u ) ( u m )⎞ 1 P 1 m ⎞ ⎛ ----------------- = u m + --P- et ⎛ ------------------- = --- ⎛ -------⎞ = -----------. 2 ⎠ 2χ ⎝ ⎠S ⎝ ⎠S ⎝ S S

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

2 P Nous en déduisons u v = u v0 + ⎛ u m0 + -----0-⎞ + --------------2 . ⎝ ⎠ 0 2χ S 0 P Le terme ⎛ u m + -----0-⎞ = h m0 représente la variation d’enthalpie de l’unité de ⎝ ⎠ 0 volume due à la variation de masse volumique. Comme la masse totale de fluide est constante, l’intégrale sur tout le volume du fluide d est nulle et

∫

∫

h m0 d aussi.

La variation totale d’énergie interne du fluide liée à l’existence d’une onde sonore s’écrit donc : 1 2 1 --------- -----2- d = --- χ S p 2 d car = 0 χS p . p = 2 2χ S

∫

0

∫

Il est donc possible d’associer à l’onde acoustique une énergie potentielle 1 volumique e p = --- χ S p 2 . 2

106

x

= – eS cS e x .

Π = ± e S c S e x s’interprète de la façon suivante : l’énergie se propage à la vitesse cS selon la direction de propagation de l’onde. Nous remarquons de plus que l’énergie eS ou le vecteur densité de puissance d’une onde non progressive est la somme des énergies ou des vecteurs densité de puissance de ses composantes « f » et « g ».

Le bilan énergétique local est donc bien vérifié. • Dans le cas d’une onde plane de type « f », 1 e K = e P = --- 0 f 2 , e S = 0 f 2 2 0 cS

2e

• Pour une onde plane progressive, l’énergie cinétique est égale à l’énergie potentielle. La relation

e div Π = – 2 0 ( ff ′ + gg′ ) = – -------S- . t

et Π =

0 cS g

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) L’utilisation de l’équation d’Euler pour l’évolution isentropique d’un fluide conduit, après quelques calculs que nous ne développerons pas, à l’équation : v2 v2 ----- ⎛ ------- + u v⎞ + div ⎛ ⎛ ---- + u v + P⎞ v ⎞ = 0 . ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠ t⎝ 2 En ne se contentant que des termes du premier et du second ordre dans v2 R = ⎛ ---- + u v + P⎞ v : R = ( u v0 + P 0 ) v + p v = 0 h m0 v + p v . ⎝ 2 ⎠ Le premier terme correspond au courant d’enthalpie dont nous n’avons pas tenu compte dans l’énergie sonore (valeur moyenne temporelle nulle). Le second terme correspond au vecteur Π = pv . Nous retrouvons ainsi, après élimination des termes négligés, le résultat e -------S- + div Π = 0 . t

3

Énergie d’une onde sonore sphérique divergente 1) Le laplacien en coordonnées sphériques d’une 1 2(r f ) -. fonction f (r, , ) = f (r) est Δ f = --- ---------------r r2 En déduire la forme du potentiel des vitesses d’une onde sonore sphérique divergente puis le champ des vitesses et des pressions correspondants. 2) Calculer le flux du vecteur densité de puissance à travers une sphère de rayon r à l’instant t. 3) L’onde est maintenant supposée sinusoïdale du temps de pulsation . Quelle est la puissance moyenne dans le temps qui traverse la sphère de rayon r ? 1 Conclure sur le sens physique du terme --- de la r solution en ondes sphériques de l’équation tridimensionnelle de d’Alembert. vérifie l’équation de d’Alembert tridimension1 2 nelle Δ – ----2- --------2- = 0 , soit pour une onde sphéricS t que (r) : 2(r ) 1 2(r ) - = 0 ---------------- – ----2- ---------------2 t2 r c

Le premier terme correspond à une onde divergente (propagation selon les r croissants), le second à une onde convergente (propagation selon les r décroissants).

D’où

et

f f′ r 2 ⎝ r cS ⎠ une sphère de rayon r est :

2) P = pv = -----0- f ′ ⎛ --- + ----- ⎞ e r et son flux à travers

=

1)

S

(cf. chapitre 2, Application 1). Les solutions sont du type : r r f ⎛ t – -----⎞ g ⎛⎝ t + -----⎞⎠ ⎝ c S⎠ cS ( r, t ) = ---------------------- + ---------------------- . r r

r f ⎛ t – -----⎞ ⎝ c S⎠ ( r, t ) = ---------------------- , r f f′ v = grad = ⎛ – ----2 – --------⎞ e r ⎝ r rc S⎠ f′ p = – 0 ------- = – 0 ---- . t r

Σ

= 4π

soit

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Application

f f′ pv . dS = -----20- f ′ ⎛ --- + ----- ⎞ 4πr 2 ⎝ r cS ⎠ r 0

f f′ f ′ ⎛ --- + ----- ⎞ . ⎝ r cS ⎠

r r 3) f ⎛ t – -----⎞ = A cos ⎛ ⎛ t – -----⎞ ⎞ d’où : ⎝

c S⎠

= 4π

0A

⎝ ⎝

c S⎠ ⎠

r ⎞⎞ r ⎛ t – ---- cos ⎛ ⎛ t – -----⎞ ⎞ ⎝ ⎝ c S⎠ ⎠ ⎝ ⎝ c S⎠ ⎠

2 ⎛ – ---- sin ⎛

⎝ r

2 r + ------ sin2 ⎛ ⎛ t – -----⎞ ⎞ ⎞ . ⎝ ⎝ c S⎠ ⎠ ⎠ cS

107

Ondes

2 0 2 2 -A . 〈 〉 = ------------------cS

1 radialement en se conservant. C’est le terme en ----2 r dans le vecteur densité de courant et donc le terme 1 en --- dans qui assure cette conservation. r

Ce résultat est bien sûr indépendant du temps mais surtout de r. Il montre ainsi que l’énergie se propage

Ce résultat s’étend à des fonctions non sinusoïdales par l’analyse de Fourier.

1 Comme 〈 sin x cos x〉 = 0 et 〈 sin2 x〉 = --- : 2

2.5. Intensité sonore 2.5.1. Intensité sonore Considérons une onde plane progressive de type « f », c’est-à-dire se propageant parallèlement à l’axe (Ox) dans le sens des x croissants. L’intensité sonore de cette onde, notée I, est par définition la valeur de la puissance moyenne transférée par l’onde sonore à travers une surface unité perpendiculaire à sa direction de propagation. C’est aussi le flux moyen du vecteur P à travers cette surface, soit : I = 〈 pv〉 =

0 cs 〈 v

2〉

=

0 cs 〈

f

2

x⎞ ⎛ t – ---- 〉. ⎝ cs ⎠

2.5.2. Niveau sonore Le domaine de fréquences accessibles à une oreille humaine s’étend environ de 20 Hz à 20 kHz (cf. encadré). La gamme des intensités sonores accessibles est très large. Le seuil d’audition correspond à une intensité sonore (pour une oreille moyenne à environ 1 500 Hz) I 0 = 10 –12 W . m – 2 ; le seuil de douleur se situe à 1 W . m – 2 . Il est donc intéressant d’utiliser une échelle logarithmique pour repérer les intensités sonores. Le niveau sonore est défini I en décibels par L = 10 log ---avec I 0 = 10 –12 W . m – 2 . I0 Le seuil auditif de l’oreille dépend aussi de la fréquence (doc. 7a), le niveau sonore maximum étant de 130 dB à 1 500 Hz environ. 2.5.2.1. Quelques ordres de grandeur © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Étudions quelques ordres de grandeur : soit un niveau sonore très élevé, L = 120 dB dû à une onde plane sinusoïdale de fréquence = 1 000 Hz. Nous écrivons donc au point M : v = v0 cos t et p = p0 cos t = Son intensité sonore I est égale à 1 W . m – 2 . Sachant que : 1 1 I = 〈 pv〉 = --- p 0 v 0 = --2 2

0 cS v 0 cos

Quelques niveaux sonores Pièce silencieuse : 30 dB Lave-vaisselle silencieux : 50 dB Rue animée : 75 dB Bébé qui pleure : 80 dB Scooter (en accélération) : 90 dB Cantine scolaire : 100 dB Balladeur à fond : 105 dB Scooter sans pot en accélération : 115 dB Avion : 120 dB Chantier de marteaux piqueurs : 130 dB Boîte de nuit : 130 dB Fusée : 180 dB

t.

2 1 p0 2 ----------, c v = 0 s 0 2 0 cs

dB 130 seuil d’audition maximum

nous obtenons (avec c s = 337 m . s – 1 et 0 = 1,28 kg . m – 3 ) : v 0 = 6 ,9 . 10 – 2 m . s –1 cs . p 0 = 29 Pa P0 . En introduisant le déplacement d’une tranche de fluide (cf. Application 1) v = ------ conduit à v 0 = 2 dt de fluide), ce qui donne

108

0 0

(

= 11

0

amplitude du déplacement d’une tranche m

c l = ----s = 33 ,1 cm .

seuil d’audition minimum 0

125

1 000

2 000

Hz 16 000

Doc. 7a. Seuils d’audition en fonc-

tion de la fréquence.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) De même, nous avons

0 0

=

0

s

p p 0 = ----20- , soit : cs

= 2 ,7 . 10 – 4 kg . m – 3

0

amplitude de la surpression – 2 I (W . m ) (Pa) intensité sonore

.

L’oreille est un détecteur résonant.

seuil d’audition

10 – 12

3 . 10 – 5

intensité forte

10 – 4

0,3

Étudions ce qui se passe pour diverses valeurs de N.

seuil de douleur

1

30

Que se passe-t-il si nous sommes en présence d’un nombre N de scooters en accélération ?

Doc. 7b. L’oreille est sensible à de

Le document 7b indique les domaines d’intensité sonore, d’amplitude de surpression variant, dans le domaine audible, entre les seuils d’audition et de douleur pour une oreille moyenne percevant des sons se propageant dans l’air. 2.5.2.2. Niveau sonore en présence de plusieurs sources

Les « sources » étant non cohérentes (les bruits émis par les divers scooters ne sont pas en phase ; cf. H-Prépa, Optique ondulatoire, 2de année), l’intensité sonore émise par N scooters est égale à N fois l’intensité sonore d’un scooter : IN = N I1 .

très faibles variations de pression.

I I Soit L N = 10 log ----N- = 10 log ---1- + 10 log N = 90 dB + 10 log N . I0 I0 Ainsi, nous avons : L 2 = 90 + 10 log 2 = 93 dB ; L 4 = 90 + 10 log 4 = 96 dB ; L 8 = 90 + 10 log 8 = 99 dB ; ... L 30 = 90 + 15 = 105 dB : le niveau sonore d’un balladeur « à fond » est comparable à celui de 30 scooters normaux ! L 300 = 90 + 25 = 115 dB : le niveau sonore d’un scooter sans pot est égal à celui de 300 scooters normaux ! L 10 4 = 90 + 40 = 130 dB : le niveau sonore existant dans une boîte de nuit correspond à celui de 10 000 scooters en accélération !

Intéressons-nous à des ondes planes se propageant dans des conduites de section constante.

3.1. Conditions aux limites Considérons la réflexion d’une onde plane à l’interface de séparation de deux fluides. Nous nous limiterons au cas de l’incidence normale, l’onde incidente se propageant perpendiculairement à la surface plane séparant le milieu 1 (masse volumique 1 et vitesse de propagation c1) et le milieu 2 (masse volumique 2 et vitesse de propagation c2 ) (doc. 8). L’onde incidente

x f 1 ⎛ t – ----⎞ ⎝ c 1⎠

1 ( ρ1, c1) onde réfléchie

onde transmise onde incidente

donne naissance à une onde réfléchie

x x g 1 ⎛ t + ----⎞ et à une onde transmise f 2 ⎛ t – -----⎞ , qui peuvent être déterminées ⎝ c 1⎠ ⎝ c2 ⎠

en précisant les conditions aux limites vérifiées par les vitesses et les surpressions de ces ondes à l’interface.

2 ( ρ2, c2)

x′

x0

x

Doc. 8. Réflexion et transmission, sous incidence normale, d’une onde sonore à l’interface séparant deux milieux.

109

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

3

R é fl exi o n e t tra n sm i ssi on des o n d e s son ore s

Ondes

Posons donc (en notant Z c1 = 1 c 1 et Z c2 = 2 c 2 ) les impédances caractéristiques des deux milieux : ⎧ x x ⎪ v 1 ( x, t ) = f 1 ( x, t ) + g 1 ( x, t ) = f 1 ⎛⎝ t – ----⎞⎠ + g 1 ⎛⎝ t + ----⎞⎠ c c ⎪ 1 1 ⎨ x⎞ x⎞ ⎪ p ( x, t ) = Z [ f ( x, t ) – g ( x, t ) ] = Z ⎛ ⎛ c1 1 1 c 1 f 1 ⎝ t – ----⎠ – g 1 ⎝ t + ----⎠ ; ⎪ 1 c1 c1 ⎩ ⎧ x ⎪ v 2 ( x, t ) = f 2 ( x, t ) = f 2 ⎛⎝ t – -----⎞⎠ c ⎪ 2 ⎨ x⎞ ⎪ p ( x, t ) = Z f ( x, t ) = Z f ⎛ t – ---- . c2 2 c2 2 ⎝ ⎪ 2 c2 ⎠ ⎩ 3.1.1. Continuité de la vitesse

1 ( ρ1, c1)

Par définition de l’interface, les déplacements, donc les vitesses, des fluides perpendiculaires à celui-ci sont identiques (doc. 9) : v 1 x ( x 0 , t ) = v 2 x ( x 0 , t ), soit f 1 ( x 0 , t ) + g 1 ( x 0 , t ) = f 2 ( x 0 , t ) . Remarques • Cette égalité ne devrait pas être écrite a priori en x = x 0 puisque l’interface se déplace. Nous savons cependant que ces déplacements sont extrêmement faibles devant la longueur d’onde, qui caractérise les variations des fonctions f et g. L’égalité précédente reste par conséquent convenable. • Dans le cas d’ondes planes sonores se propageant dans des conduites de sections variables, nous verrons dans l’application 5 que les phénomènes de réflexion et de transmission se traitent alors en utilisant la continuité du débit volumique, ce qui fait intervenir à la fois la vitesse du fluide et la section de la conduite.

vitesse d’une particule de fluide du milieu 1 x′ x0

piston de masse M 1 ( ρ1, c1)

2 ( ρ2, c2)

force p1(x0, t) S

force p2(x0, t) S

Considérons un piston de masse M, de section S et d’épaisseur négligeable, au niveau de l’interface (doc. 10). Soumis aux forces de surpression p1 et p2 , son mouvement est décrit par l’équation a ( t ) étant son accélération :

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

L’accélération du piston est celle du fluide au niveau de l’interface, elle reste finie. Lorsque la masse M du piston tend vers zéro, le produit M a(t) tend vers zéro et conduit à la continuité des surpressions : p 1 ( x 0 , t ) = p 2 ( x 0 , t ) , soit Z c1 [ f 1 ( x 0 , t ) – g 1 ( x 0 , t ) ] = Z c2 f 2 ( x 0 , t ) .

3.2. Coefficients de réflexion et de transmission des ondes sonores 3.2.1. Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude Le coefficient de réflexion (transmission) est le rapport entre l’amplitude de l’onde réfléchie (transmise) et l’amplitude de l’onde incidente au niveau de l’interface. Les conditions aux limites étant traduites par : f 1 ( x0 , t ) + g1 ( x0 , t ) = f 2 ( x0 , t ) et

110

Z c1 [ f 1 ( x 0 , t ) – g 1 ( x 0 , t ) ] = Z c2 f 2 ( x 0 , t ) ,

x

Doc. 9. Dans le cas de conduite de section constante, les vitesses de particules de fluide des milieux 1 et 2 sont identiques au voisinage immédiat du plan x = x 0 , donc en x0 .

3.1.2. Continuité de la pression

Ma ( t ) = S [ p 1 ( x 0 , t ) – p 2 ( x 0 , t ) ] .

2 ( ρ2, c2) vitesse d’une particule de fluide du milieu 2

x′

x0

x

Doc. 10. Le piston de masse M est soumis aux forces de pression dont la résultante est : [ p1 ( x 0 , t ) – p 2 ( x 0 , t ) ] Se x .

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) nous en déduisons les coefficients de réflexion en vitesse r 12 ( v ) et en surpression r 12 ( p ) : r 12 ( v )

x g 1 ⎛ t + ----0-⎞ ⎝ c 1⎠ Z c1 – Z c2 1 c1 – 2 c2 = ------------------------ = -------------------- = – r 12 ( p ) - = ---------------------------x Z c1 + Z c2 1 c1 + 2 c2 f 1 ⎛ t – ----0-⎞ ⎝ c 1⎠

et ceux de transmission

12 ( v )

et

12 ( v )

et

12 ( p )

:

Dans le chapitre 3 les coefficients de réflexion et transmission en amplitude ont été définis pour des ondes planes progressives harmoniques et pouvaient être complexes. Ici, on est dans le cas simple où r et t sont réels et indépendants de la fréquence de l’onde monochromatique.

x f 2 ⎛ t – ----0-⎞ ⎝ c 2⎠ 2Z c1 2 1 c1 = ------------------------ = -------------------- = ---------------------------c x Z + Z 1 1 + 2 c2 c1 c2 f 1 ⎛ t – ----0-⎞ ⎝ c 2⎠ 12 ( p )

2Z c2 2 2 c2 . - = ---------------------------= -------------------Z c1 + Z c2 1 c1 + 2 c2

3.2.2. Coefficients de réflexion et de transmission énergétiques Le coefficient de réflexion énergétique R est le rapport (en valeur absolue) entre la puissance réfléchie et la puissance incidente à l’interface. Le coefficient de transmission énergétique T est le rapport (en valeur absolue) entre la puissance transmise et la puissance incidente à l’interface : r . ex Sr R = --------------------i . ex Si

t . ex St T = --------------------i . ex Si

et 2

avec :

P i = Z c1 f 1 ( x 0 , t )e x , 2

P r = – Z c1 g 1 ( x 0 , t )e x

et

t

2

= Z c2 f 2 ( x 0 , t )e x .

Nous obtenons ainsi (dans le cas choisi, S i = S r = S t ) : 2

T =

12 ( v ) 12 ( p )

.

4Z c1 Z c2 4 1 c1 2 c2 = --------------------------- = ------------------------------------ = 1–R 2 ( Z c1 + Z c2 ) ( 1 c1 + 2 c2 ) 2

Considérons, par exemple, une interface liquide-gaz. Le liquide est nettement plus dense que le gaz et la vitesse du son y est supérieure (cf. § 1. 3.). Nous obtiendrons alors R ≈ 1 et T 1 . La transmission des ondes sonores entre un liquide et un gaz est fort peu efficace. Par exemple, un plongeur entendra distinctement le bruit d’une hélice de hors-bord tournant dans l’eau, mais beaucoup plus difficilement une personne placée sur la berge (doc. 11). Nous pouvons étendre ce résultat à la réflexion quasi totale dans le cas d’une interface solide-gaz. Lorsque la géométrie du réflecteur solide s’y prête, nous obtenons alors un phénomène d’écho. La réflexion pourra être en revanche fortement atténuée par l’utilisation d’un « solide » très mou et très léger : liège, mousse. Plus généralement, l’obtention d’une bonne isolation phonique est obtenue par juxtaposition d’un matériau lourd et dur : béton…, avec un matériau léger et mou : liège, polymères expansés (l’air est piégé au sein de ces matériaux).

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

2 ⎛ Z c1 – Z c2⎞ 1 c1 – 2 c2 ⎞ -⎟ = ⎛ ----------------------------R = r 12 ( v ) r 12 ( p ) = ⎜ -------------------⎝ 1 c1 + 2 c2 ⎠ ⎝ Z c1 + Z c2⎠

Attention !

Doc. 11. Le plongeur entend mieux les turbulences dues à l’hélice du horsbord que le touriste sur la plage.

111

Ondes

4

a.

;

Nous pouvons réaliser quelques manipulations simples représentées sur le document 12 à l’aide d’un diapason métallique pour illustrer les conclusions que nous avons énoncées : – Le diapason, excité par un choc initial, est tout d’abord maintenu en l’air (doc. 12a). Il est délicat de percevoir le son qu’il émet même à proximité de la tête. La transmission des ondes sonores entre un solide et un gaz est peu efficace. – Si le diapason est placé contre la tempe (ce que fait un musicien), le son devient parfaitement audible (doc. 12b). La transmission est efficace dans le cas du contact solide, solide. La transmission des ondes sonore entre deux solides est efficace. – Si une plaque de polystyrène est placée entre le diapason et la tempe, le son redevient très faible (doc. 12c). Un certain nombre de matériaux (feutre, polystyrène…) absorbent les sons. – Si le diapason est placé dans un verre d’eau sur la tête, le son est aussi perceptible (doc. 12d). La transmission des ondes acoustiques entre un solide et un liquide est efficace.

c.

b.

d.

Doc. 12. Comment placer au diapason.

O n des s o n ore s stati on n a i re s

Nous avons déjà observé plusieurs facettes du phénomène d’ondes stationnaires au chapitre 2. Nous rappellerons ici quelques résultats en signalant, si nécessaire, quelques particularités correspondant au cas des ondes sonores.

4.1. Formation d’ondes stationnaires par réflexion d’une onde plane progressive monochromatique Nous savons que la réflexion d’une onde plane progressive monochromatique sur une terminaison parfaite conduit à la formation d’ondes stationnaires dont l les nœuds et les ventres, alternés, sont distants de --- (deux nœuds, ou deux 4 l⎞ ventres, successifs étant distants de --- . 2⎠ En pratique, pour obtenir une propagation rectiligne d’ondes sonores (quasi) planes, nous serons généralement amenés à les confiner à l’intérieur d’une conduite, que nous choisirons de section constante pour simplifier notre étude. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Les impédances acoustiques terminales Z parfaites que nous pourrons aisément réaliser correspondent à (cf. Application 4) : • Z = 0 : tuyau dont l’extrémité est ouverte à l’air libre (nœud de surpression) ; • Z = + ∞ : tuyau dont l’extrémité est fermée (nœud de débit). Les ondes stationnaires formées dans ces conduites sont schématisées sur le document 13 où l’on a tracé v(x, t) à un instant fixé.

4.2. Modes propres d’une cavité Nous savons aussi que les ondes stationnaires peuvent intervenir lors de l’étude des vibrations d’un système possédant deux conditions aux limites. Nous avons vu au chapitre 2 que les oscillations libres d’une corde vibrante, de longueur L, fixée à ses deux extrémités, peuvent se décomposer en une série d’harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence c = ------ du mode fondamental d’oscillation. 2L

112

a)

b)

Doc. 13. Réflexion d’une O.P.P.M au bout d’une conduite, nœuds et ventres de débit. a. Extrémité ouverte (Z = 0). b. Extrémité fermée (Z = +∞).

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Dans le cas de tuyau de section constante, nous pouvons envisager plusieurs cas. 4.2.1. Deux extrémités de même type 4.2.1.1. Extrémités du tuyau bouchées (parois fixes) Ce cas est l’analogue de la corde vibrante maintenue fixe à chacun de ses l bouts. Les nœuds de débit sont distants deux à deux de --- , et il y en a un à cha2 l c que extrémité de la conduite de longueur L, donc L = n --- = n ------ est la con2 2 dition de quantification imposée par les conditions aux limites. Les oscillations libres du gaz dans la conduite se décomposent en une série d’harmoniques de fréquences : 1

c = ------ , 2L

2

= 2

1 , ...,

n

= n

1

L = 3λ 2

, ...

4.2.1.2. Extrémités du tuyau libres Il suffit d’intervertir les nœuds (et les ventres) de pression et de débit par rapport au cas précédent, ce qui ne modifie pas la condition de quantification de la fréquence.

L =λ

Nous constatons que les modes propres d’oscillations d’un tuyau possédant deux extrémités semblables correspondent aux fréquences multiples entières c du fondamental dont la fréquence est égale à ------ (doc. 14). 2L 4.2.2. Deux extrémités de natures complémentaires

L=λ 2

Autrement dit, une extrémité du tuyau est libre, l’autre fermée. Les nœuds et ventres de débit (ou de surpression) sont distants deux à deux de l --- . Il y a un ventre à une extrémité, un nœud à l’autre. La condition de quan4 tification devient donc : l l 1 c L = n --- – --- = ⎛ n – ---⎞ ------ . ⎝ 2 4 2⎠ 2

L

Doc. 14. Nœuds et ventres de débit des harmoniques 1, 2 et 3 d’un tuyau ouvert.

Les harmoniques présents dans la série de Fourier des oscillations libres du gaz auront pour fréquences : c = ------ , 4L

2′

= 3 1′ , 3′ = 5 1′ , ..., n′ = ( 2n – 1 ) 1′ , ...

Nous observons donc que les modes propres d’oscillations du tuyau possédant deux extrémités de natures complémentaires correspondent aux fréquences c multiples impaires du fondamental dont la fréquence est égale à ------ (doc. 15). 4L

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

1′

L = 5λ 4

L = 3λ 4

4.3. Cavités résonantes Nous savons qu’un système entre en résonance lorsqu’il est excité à une fréquence proche de l’une de ses fréquences propres. Nous l’avons constaté au chapitre 1 en observant la réponse d’un ensemble de masses couplées par des ressorts, et au chapitre 2 en interprétant les résonances de la corde de Melde. Soumis à une excitation quelconque (spectre continu et large par exemple), un système résonant joue le rôle d’un filtre sélectionnant les fréquences proches de ses fréquences propres. Un tuyau peut ainsi servir de filtre résonant : nous entendons le tuyau émettre un son dont l’analyse spectrale fait apparaître les fréquences propres de ce résonateur.

L=λ 4

L

caisse de résonance du diapason

Doc. 15. Nœuds et ventres de débit des harmoniques 1, 3 et 5 d’un tuyau semifermé.

113

Ondes

4.3.1. Expérience : le tube de Kundt Il est possible de « visualiser » les ondes stationnaires sonores dans un tuyau (souvent réalisé en verre, donc transparent) de section constante appelé « tube de Kundt ». L’air contenu dans ce tuyau de section constante est excité à la fréquence grâce à un haut-parleur placé à une de ses extrémités et nous cherchons à détecter la mise en résonance de l’air (doc. 16).

a) haut-parleur tube de KUNDT eau

paroi fixe

4.3.1.1. Étude qualitative Il est possible de placer une mince couche d’eau (5 mm environ) au fond du tube (section circulaire de diamètre 8 cm environ) placé horizontalement. Partant de = 0, augmentons la fréquence. • À l’oreille, nous percevons des maxima d’intensité émis par le tuyau ; ces maxima correspondent aux mises en résonance successives de l’air contenu dans ce tuyau. • Localement, le niveau de l’eau varie lorsque nous approchons de la résonance. Lors des deux premières résonances, le niveau de l’eau est très perturbé jusqu’à éclabousser localement l’ensemble de la paroi (doc. 16b). Les endroits où le niveau de l’eau est très perturbé correspondent aux ventres de vibration de la vitesse. 4.3.1.2. Étude quantitative • Matériel Un microphone (doc. 17) permet l’étude quantitative de l’état vibratoire de la cavité. Ce microphone peut être sensible soit à la vitesse, soit à la surpression. Ses dimensions sont petites afin de ne pas perturber l’état vibratoire de la cavité. • Mode opératoire Pour une position donnée du microphone, il faut obtenir un maximum de signal en faisant varier la fréquence. Si ce maximum ne peut être obtenu, il se peut que le micro soit placé sur un nœud.

b) émission à la fréquence v à la résonance, la surface de l’eau est très perturbée : l’agitation est telle que cette eau est projetée sur les parois du tube

λ 4

λ 2

Doc. 16. Tube de Kundt. a. Au repos. b. En résonance.

fréquence v du G.B.F. G.B.F. © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Y1

Y2

tube de Kundt

microphone qu’il est possible de déplacer

Doc. 17a. Tube de Kundt. Ici l’excitation de l’air dans le tube est provo-

quée par le frottement d’un chiffon sur une tige reliée au bouchon à droite de la photographie. La poudre de lycopode reste en tas aux nœuds d’élongation distants de 3,5 cm. la longueur d’onde sonore est de 7 cm environ soit une fréquence d’environ 5 kHz mesurable à l’aide d’un microphone et d’un oscilloscope à mémoire. On peut remarquer des stries correspondant à d’autres fréquences plus élevées de résonance du tube.

114

haut-parleur

Doc. 17b. Tube de Kundt : mesure de la vitesse du son dans l’air.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Lorsque le maximum du signal est atteint, nous sommes en présence du phénomène de résonance : il existe donc des ondes stationnaires dans le tube de Kundt. En déplaçant le microphone, nous visualisons des ventres et des nœuds de vibration quasiment nuls, si la résonance est parfaite. l La distance séparant deux ventres (ou deux nœuds) consécutifs est égale à --- . 2 • Mesure La distance d séparant ( n + 1 ) nœuds consécutifs (il est plus facile de repérer des minima presque nuls, plutôt que des maxima) nous permet d d’obtenir la longueur d’onde l = 2 --- . n Connaissant la fréquence , la vitesse de propagation du son dans l’air est l telle que c = --- . Cette mesure peut être faite avec des ultrasons ; la vitesse du son garde toujours la même valeur (cf. § 1.2.2.).

Application 4

« La »

Doc. 18.

La caisse de résonance est un parallélépipède creux, dont la plus grande dimension est 19,5 cm ; l’un des bouts étant fermé, l’autre ouvert.

Comment expliquer le choix de cette dimension ? Une extrémité de la caisse est bouchée, l’autre libre. Le mode fondamental d’oscillation d’ondes sonores planes se propageant dans la direction des arêtes de plus grande dimension a une fréquence égale à : 1′

c = -----s- . 4L

Pour c s = 340 m . s – 1 (vitesse du son dans l’air atmosphérique à 20 °C) et L = 19 ,5 cm, nous obtenons 1′ = 436 Hz, très proche de la fréquence du son émis, dont la fréquence est imposée par les vibrations du diapason. La caisse du diapason est bien une caisse de résonance.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Longueur de la caisse de résonance d’un diapason L’analyse harmonique du son émis par un diapason posé sur sa caisse de résonance (doc. 15 et 18) contient essentiellement un harmonique de fréquence = 440 Hz (la note est un la).

L’état de vibration de l’air dans la caisse a l’allure donnée sur le document 18, pour le premier harmonique : l L = --- . 4

4.3.2. Application aux instruments à vent Nous pouvons utiliser les résultats précédents pour expliquer de manière sommaire le fonctionnement des instruments de musique dits « à vent ».

115

Ondes

Le musicien qui souffle dans son instrument provoque des vibrations à l’une des extrémités du tube de résonance de son instrument. Diverses techniques permettent d’obtenir au bout du tube un vibreur qui va entretenir les oscillations propres de la colonne gazeuse contenue dans le corps de l’instrument. • Pour des instruments à embouchure de flûte, l’écoulement turbulent de l’air de part et d’autre du biseau (doc. 19) provoque le décollement périodique de tourbillons d’air, produisant des vibrations excitatrices filtrées par la cavité résonante (tube de l’instrument). L’ouverture au niveau du biseau étant assez importante, cette extrémité du tube de l’instrument se comporte approximativement comme une extrémité libre. • D’autres instruments possèdent une anche (hautbois, clarinette, ...) que le souffle de l’instrumentiste fait vibrer. Dans d’autres encore (clairon, cor, ...), ce sont les lèvres du musicien qui sont mises en vibration. L’extrémité excitatrice est alors assimilée à une extrémité fermée. L’autre extrémité des instruments à vent est généralement ouverte, nous l’assimilerons donc à une extrémité libre. Dans ces conditions, le son émis par les instruments à embouchure de flûte comporte les fréquences : c 1 = ------ , 2 = 2 1 , 3 = 1 , …, n = n 1 , …, 2L alors qu’un instrument à anche ne produira que des harmoniques impairs : c 1′ = ------ , 2′ = 3 1′ , 3′ = 5 1′ , …, n′ = ( 2n – 1 ) 1′ … 4L Les timbres (répartitions des harmoniques) de ces deux types d’instruments seront donc très différents. Remarque : Ils dépendent aussi de nombreux autres paramètres, que notre étude élémentaire (ondes planes, section constante, modélisation des extrémités, ...) est loin d’englober.

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

Constatons que la note fondamentale est d’autant plus grave (fréquence faible) que la longueur L est importante.

116

partie vibrante (biseau)

Doc. 19. Instrument à embouchure de flûte.

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

CQFR ● PROPAGATION DES ONDES SONORES Les ondes sonores sont de petites vibrations du milieu dans lequel elles se propagent à la vitesse cs . La propagation du son dans un fluide peut être étudiée en considérant que le fluide effectue de petits mouvements isentropiques. ●

ÉQUATIONS COUPLÉES. ÉQUATION DE PROPAGATION

Les équations linéarisées décrivant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores (l’évolution est donc isentropique) sont : ------- + t 0

0

div ( v ) = 0

(conservation de la masse)

v ------ = – grad p t

(équation du mouvement)

=

(isentropie)

0 S

p

La propagation d’ondes sonores dans un fluide est régie par le système d’équations couplées liant la vitesse et la surpression du fluide : 1 p ------ = – ----- div ( v ) t S 1 v ------ = – ----- grad p t 0 La propagation des ondes sonores dans un fluide est décrite par l’équation de propagation tridimensionnelle) de d’Alembert, vérifiée par le potentiel des vitesses et les champs de vitesse et de surpression : 1 2 – ----2- --------2- = 0 ; cs t

1 2v v – ----2- --------2- = 0 ; cs t

1 2p p – ----2- --------2- = 0 . cs t

La vitesse caractéristique de la propagation du son s’exprime en fonction des caractéristiques du fluide par : 1 c s = --------------- = 0 S

STRUCTURE DE L’ONDE SONORE PLANE

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

●

P⎞ ⎛ ------- . ⎝ ⎠S

• L’onde sonore est longitudinale, c’est-à-dire que la vitesse et le déplacement sont parallèles à la direction de propagation. p • L’impédance acoustique d’une onde plane monochromatique (ou harmonique) est définie par Z = --v où p et v sont les amplitudes complexes de la surpression et de la vitesse. Une onde sonore plane monochromatique progressive selon les x croissants s’écrit sous la forme : p v = – jk 0 e j ( t – kx ) e x et p = – j 0 0 e j ( t – kx ) avec k = ----- , et --- = Z C . cS v Pour une même onde selon les x décroissants : p --- = – Z C . v

117

Ondes

CQFR L’impédance acoustique de cette onde vaut : ZC =

0 cS

1 = ----------- = S cS

-----0 . S

L’impédance caractéristique Z C étant réelle et indépendante de plane porgressive selon des x croissants : = Z C v . ●

, on aura de même pour une onde

TRANSFERT ÉNERGÉTIQUE ASSOCIÉ À UNE ONDE SONORE

1 1 La densité volumique d’énergie d’une onde sonore est e s = e K + e P , où e K = --- 0 v 2 et e P = --2 2 sont respectivement les énergies cinétique et potentielle volumiques associées à l’onde.

Sp

2

Le bilan énergétique local, associé à une onde sonore, s’écrit : e div ( Π ) + --------s = 0 , t où le vecteur densité de courant énergétique est Π = pv . ●

RÉFLEXION ET TRANSMISSION D’ONDES SONORES

Lors d’un changement de milieu de propagation, une onde sonore incidente donne naissance à une onde transmise et à une onde réfléchie. Celles-ci peuvent être déterminées en traduisant les conditions aux limites à l’interface des deux milieux : continuité de la surpression acoustique, continuité de la vitesse normale à l’interface (ou du débit volumique dans le cas de conduites de sections différentes). ●

ONDES SONORES STATIONNAIRES

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

La réflexion d’une onde sonore se propageant dans une conduite limitée par une terminaison parfaite provoque la formation d’une onde stationnaire. Si la conduite possède deux extrémités parfaites, elle se comporte comme une cavité résonante à l’intérieur de laquelle les modes propres de vibration du fluide sont les seules ondes sonores compatibles avec les deux conditions aux limites correspondantes. Cette particularité est à la base de la conception des instruments de musique à vent.

118

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Contrôle rapide Avez-vous retenu l’essentiel ? ✔ Quelles sont les différentes fonctions de la position et du temps qui interviennent dans la propagation des ondes sonores ? ✔ Quelle est l’hypothèse thermodynamique faite pour établir l’équation de propagation du son ? ✔ Quelle équation de propagation trouve-t-on pour la surpression ? ✔ Qu’est-ce que l’impédance acoustique ? ∂e ✔ Pour quelle raison physique le bilan d’énergie local est-il div Π + s = 0 ? ∂t ✔ Quelles sont les deux conditions aux limites à l’interface de séparation de deux fluides ? ✔ Quelles sont les relations possibles entre longueur d’un tuyau (L) et longueur d’onde (l) d’une onde stationnaire plane à l’intérieur, suivant que les extrémités sont toutes deux ouvertes, toutes deux fermées, l’une ouverte, l’autre fermée ?

Du tac au tac (Vrai ou faux) ❑ a. de petits mouvements ❑ b. des mouvements isentropiques ❑ b. des mouvements isothermes. 2. Les ondes sonores peuvent être : ❑ a. planes ❑ b. sphériques ❑ c. autres

1 ❑ b. --2

0v

1 ❑ c. --2

0(v

2

1 + --2

Sp

2

+ p )2 .

5. Le vecteur densité de courant énergétique P et la densité volumique d’énergie es sont liés ∂e par div + -------s car : ∂t ❑ a. les ondes sont planes

❑ d. longitudinales

❑ b. les ondes sont stationnaires

❑ e. transversales.

❑ c. l’énergie se conserve.

3. Le vecteur densité de courant énergétique est : ❑ a. Π = pv ❑ b. Π =

v

❑ c. Π =

v .

Sv

2

1 + --2

6. Les coefficients de réflexion en vitesse et en surpression sont : ❑ a. égaux ❑ b. opposés. 7. Les coefficients de transmission en vitesse et en surpression sont :

4. La densité volumique d’énergie sonore es est : 1 ❑ a. --2

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

1. Dans les ondes sonores, le fluide effectue :

0

p2

❑ a. égaux ❑ b. opposés. Solution, page 124.

119

Exercice commenté Mesure des débits sanguins par effet Doppler ÉNONCÉ

L’échographie est une méthode pouvant donner des images des organes internes du corps humain. Une céramique joue un rôle de transducteur, transformant une excitation électrique en une onde acoustique ultrasonore (les ultrasons sont émis par trains d’ondes successifs de courte durée). Le transducteur sert aussi de détecteur et détecte les échos (ondes réfléchies sur les différents organes). Cette méthode permet également la mesure des débits sanguins par effet Doppler.

source d

α objet réfléchissant

v

Le transducteur fixe émet une onde acoustique ultrasonore, monochromatique de fréquence v 0 , qui se réfléchit sur un objet mobile dont la vitesse est v . Pendant une période de l’onde, la distance parcourue par l’objet est très inférieure à la distance d entre la source et c , vitesse du son dans le milieu. l’objet, et v 1) Quel est, dans le référentiel lié à l’objet, l’intervalle de temps séparant la réception de deux maxima successifs de l’onde en fonction de v 0 , v, c et l’angle a entre le faisceau émis par la source et la vitesse v ? 2) Les globules rouges dans l’aorte ont une vitesse d’environ 30 cm . s–1. On utilise une onde de fréquence v 0 = 3 MHz. Les approximations sont-elles légitimes ? 3) L’onde est réémise sans changement de fréquence dans le référentiel de l’objet mobile. Quel est l’intervalle de temps séparant la réception par le transducteur de deux maxima successifs de l’onde ? Quelle est la relation entre v 0 et v r fréquence de l’onde réfléchie détectée par le transducteur ? 4) Pour détecter certaines anomalies, on souhaite pouvoir mesurer le débit sanguin à travers une artère. L’observation par échographie avec un faisceau focalisé faisant un angle avec l’artère, émis sous forme d’impulsions, donne, en fonction du temps, le signal représenté sur le schéma ci-dessous. α

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

parois du vaisseau

amplitude au niveau du transducteur

t

v

faisceau d’ultrasons

réception

émission

a) Comment interpréter, d’une part les deux signaux de grande amplitude, et d’autre part le signal intermédiaire ? b) Les renseignements sont-ils suffisants pour déterminer le débit sanguin ? 5) Dans le cas de l’aorte, v = 30 cm . s–1 et on choisit

= 10° .

La vitesse moyenne de propagation du son dans les tissus biologiques est de 1 500 m . s–1. Quelle variation relative de fréquence peut-on attendre ?

120

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

CONSEILS

SOLUTION

Préciser soigneusement les dates d’émission et de réception de l’onde.

1) L’onde émise à l’instant t 01 par la source S est d reçue par le mobile à l’instant t 1 = t 01 + --- (le c mobile se trouvant en A tel que SA = d ). L’onde émise

à

l’instant

t 02 = t 01 + T 0

⎛avec ⎝

S d d’

H

α 1⎞ v B T 0 = ---- est reçue par le mobile à l’instant A v0 ⎠ d′ t 2 = t 02 + ----- (le mobile se trouvant en B tel que SB = d ′ ). c Si l’on suppose AB = v ( t 02 – t 01 ) = v T 0 très inférieur à d ( v 0 ) , on a d – d ′ ≈ AH = v T 0 cos et on déduit la période T de l’onde dans le référentiel lié à l’objet :

v d′–d T = t 2 – t 1 = ( t 02 – t 01 ) + --------------- ≈ T 0 ⎛ 1 – -- cos ⎞ . ⎝ ⎠ c c

3) Dans le référentiel lié à l’objet, celui-ci réfléchit une onde de période T vers le transducteur qui se déplace à la vitesse – v . Un calcul analogue au précédent conduit à la période Tr mesurée par le v v transducteur : T r = T ⎛ 1 – -- cos ⎞ , d’où on déduit T r = T 0 ⎛ 1 – 2 -- cos ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c c v et v r = v 0 ⎛ 1 + 2 -- cos ⎞ . ⎝ ⎠ c 4) a) À la réception, le signal de faible amplitude a été réfléchi par les globules rouges alors que les signaux de forte amplitude ont été réfléchis par les parois de l’artère. b) La mesure de la différence relative de fréquences vr – v0 v -------------- = 2 -- cos entre le signal émis et le signal c v0 reçu de faible amplitude permet de calculer la vitesse des globules rouges. La mesure de la différence de temps entre les deux origines des deux signaux de grande amplitude reçus par le transducteur nous permet de déterminer le diamètre de l’artère :

S

α

–v d’

d

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

L’effet Doppler apparaît sous la forme d’une différence entre la fréquence d’une onde (sonore, électromagnétique) émise par un émetteur et celle reçue par un récepteur en mouvement par rapport à l’émetteur. Cet effet se manifeste ainsi lors du passage d’une automobile devant un piéton : le son perçu par le piéton est plus aïgu lorsque le véhicule se rapproche du piéton (fréquence plus élevée) ; il est plus grave lorsqu’il s’en éloigne (fréquence plus faible). De la même façon, un radar de gendarmerie utilise l’effet Doppler pour contrôler la vitesse des automobiles qui se trouvent dans son rayon d’action.

v 2) On peut vérifier que v T 0 = ---- = 10 – 7 m, soit 0,1 m est très inférieur à v0 d (de l’ordre de quelques mm au moins).

B

α D

D Δt = ------------------ . 2 c sin πD 2 On peut ainsi en déduire le débit sanguin (débit volumique) : v ---------- . 4 vr – v0 – 5 5) A.N. : --------------- = 6,9 . 10 . v0

121

Exercices Dans cette approximation, quelle est la vitesse de phase

Le vent porte le son On considère un écoulement d’air à vitesse constante u 0 (dans la direction et le sens de l’axe (Ox) ; u 0 0 ), la même en tout point. Dans cet écoulement se propage une onde sonore plane progressive dans la direction de l’axe (Ox). 1) En reprenant les notations du cours (§ 1.2), trouver l’équation de propagation de la surpression acoustique p ( x, t ) , dans le cadre de l’approximation acoustique. 2) Une O.P.P.M. se propage dans l’écoulement. En notation complexe, p s’écrit p = p 0 e j ( t – kx ) . Trouver la relation de dispersion entre k et et interpréter le résultat obtenu. Que doit-on entendre par l’expression « le vent porte le son » ?

Influence du milieu sur la propagation d’une onde sonore La définition d’un coefficient de compressibilité isentropique s sous forme d’une constante suppose que les variations de la masse volumique sont en phase avec les variations p de la pression. En réalité, la réponse du milieu à une variation de pression n’est pas instantanée et elle peut être modélisée par l’équation d’évolution liant les variations de à celles de p : 1 p = ----------- ⎛ + ------- ⎞ , χs 0 ⎝ t⎠

© Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit.

3) En cherchant une solution sous la forme d’une et de vecteur d’onde k = k e x , t – kx ) ,

déterminer

la relation liant et k. Montrer que cette relation conduit à une propagation de l’onde qui est atténuée exponentiellement et calculer le coefficient d’atténuation. On fera l’hypothèse que = 1 et on se limitera dans les calculs aux termes d’ordre 1 en .

122

Un tuyau cylindrique très long d’axe ( x′Ox ) et de section constante S contient de l’air dans des conditions de température et de pression ordinaires. Dans ces conditions, la célérité c des ondes acoustiques dans l’air et la masse volumique 0 de l’air valent respectivement c = 340 m . s–1 et 0 = 1,29 kg . m–3. En x = 0 est placé un plateau très mince (une membrane, une vitre en verre, une paroi en béton, ...), de masse surfacique uniforme , susceptible de vibrer sous l’effet des ondes acoustiques qui peuvent s’établir dans le tuyau. Une onde plane progressive sinusoïdale, de pulsation , se propage dans la région (1) dans le sens positif vers le plateau. Arrivée sur le plateau, elle donne naissance à une onde réfléchie dans la région (1) et une onde transmise dans la région (2). Sous l’effet de ces différentes ondes, le plateau acquiert un mouvement sinusoïdal forcé de translation selon ( x′x ) , soit ( 0, t ) = a 0 cos t .

(1) onde incidente

(2) x

O onde réfléchie

3p 2p 2p 1 --------2- – ------------ ⎛ --------2- + --------------2 ⎞ = 0 . cs 0 ⎝ x t x ⎠ t

soit en notation complexe p = p 0 e j (

Transmission par une paroi

x’

où est un temps de relaxation. 1) En considérant que l’on impose brutalement à un milieu initialement au repos une surpression constante p 0 , montrer que l’équation précédente traduit effectivement une réponse retardée du milieu à cette excitation. 2) Montrer qu’en tenant compte du retard de la réponse du milieu, l’équation de propagation de la surpression p obtenue dans le cours prend ici la forme :

O.P.P.M. de pulsation

---- ou ---------------- des ondes acoustiques dans le milieu ? k e(k )

onde transmise

1) En écrivant les conditions de passage pour l’onde acoustique globale en x = 0 , déterminer les amplitudes complexes a t de l’onde transmise et a r de l’onde réfléchie en x = 0 en fonction de l’amplitude complexe a i de l’onde incidente en x = 0 , de et des différentes constantes introduites précédemment. 2) La membrane joue le rôle de filtre de fréquences. Quelle est la nature de ce filtre et quelle est sa pulsation de coupure 0 à – 3 dB ? Étudier les particularités des différentes ondes présentes lorsque est à l’intérieur de la bande passante, et au contraire lorsque est très éloignée de la bande passante. 3) Exprimer la longueur d’onde de coupure λ 0 en fonction de 0 , de l’épaisseur d et de la masse volumique du plateau d . Le plateau est en béton ( d = 2 300 kg · m–3). Calculer l’épaisseur d pour obtenir un affaiblissement de 50 dB à

4. Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC-PSI)

Réflexion et transmission des ondes sonores au niveau du raccordement de deux conduites

300 Hz. En déduire les valeurs de la fréquence de coupure f 0 et de λ 0 . Quels sont en décibels les affaiblissements à 100 Hz et à 500 Hz ? Conclure sur l’atténuation du son entre deux logements voisins, pour un son grave ou un son aigu. Préciser dans quelle mesure on peut utiliser ici le modèle de masse surfacique pour le plateau.

Le résonateur de Helmholtz

Un résonateur est une cavité qui, excitée par le son d’un instrument de musique, permet de renforcer un des harmoniques composant le son. Le résonateur de Helmholtz est constitué par une cavité sphérique de volume V 0 , ouverte sur l’extérieur par un tube très court de longueur d, de section s, contenant de l’air (assimilable à un gaz parfait) de masse volumique 0 ,à la pression atmosphérique P 0 . Le volume V 0 est supposé très grand devant le volume du tube.

2) Montrer que l’on a continuité du débit volumique au niveau du raccordement : D V1 ( x 0, t ) = S 1 v 1 ( x 1, t ) = D V2 ( x 0, t ) = S 2 v 2 ( x 0, t ) . Donnée : L’impédance acoustique d’une conduite de sec0 cs . tion S est définie par le rapport Z = ---------S 3) Établir les expressions des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude (pour le débit volumique et la surpression) en fonction des impédances acoustiques des conduites raccordées. 4) En déduire les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques.

d V0

1) Montrer que l’on a continuité de la pression en x = x0 : p 1 ( x 0, t ) = p 2 ( x 0, t ) .

section s

Une onde sonore se propageant au voisinage de l’ouverture met en vibration l’air de la cavité en imposant une pression extérieure P e = P 0 + p 0 cos t . On suppose que la longueur d’onde de l’onde sonore est assez grande devant les dimensions du résonateur pour qu’à chaque instant, la pression soit considérée comme uniforme dans la cavité ; cette pression vaut alors P = P 0 + y ( t ) . Les vibrations de l’air dans la cavité sont supposées adiac batiques et réversibles ; on donne = ----p . cv 1) Écrire l’équation différentielle vérifiée par la surpression y ( t ) . 2) Chercher pour y ( t ) une solution harmonique à la pulsation et montrer que son amplitude y 0 devient très grande pour une valeur 0 de la pulsation . 3) Calculer la fréquence propre f 0 = ------0- d’un résonateur 2 de Helmholtz constitué d’une sphère de rayon 7 cm, et d’un tube cylindrique de longueur d = 1 cm et de rayon r = 1 cm. La vitesse du son dans l’air, dans les conditions de l’expérience, est égale à c s = 346 m . s–1.

5) Simplifier les expressions obtenues lorsque les conduites contiennent le même fluide, et ne différent que par leurs sections. Commenter les cas limites S 2 = ∞ et S 2 = 0 en précisant leurs analogues électriques. a)

L