Ondas Viajeras

ONDAS VIAJERAS 201 3

Tabla de contenido Tabla de contenido.................................................................................. 1 1.- INTRODUCCIÓN. ................................................................................ 2 2.- QUE ES UNA ONDA............................................................................. 2 3.- ELEMENTOS DE UNA ONDA................................................................2 4.- CARACTERÍSTICAS.............................................................................. 3 5.1.- Reflexión...................................................................................... 4 5.2.- Refracción.................................................................................... 6 5.3.- Interferencia Y Difracción ...........................................................8 5.4.- Características De Una Onda ....................................................10 5.4.1. Amplitud De Onda.................................................................10 5.4.2. Monte O Cresta (C) Y Valle (V).............................................11 5.4.3. Longitud De Onda (Λ) .........................................................11 5.4.4. Periodo. (T) ..........................................................................12 5.4.5. Frecuencia. (f) ......................................................................13 5.4.6. Velocidad de propagación. (v) .............................................13 6.- DEFINICIÓN DE UNA ONDA VIAJERA.................................................14 6.1.- Teoría De Las Ondas Viajeras....................................................16 6.2.- Deducción De La Ecuación Diferencial De Onda........................20 6.3.- Energía, Potencia E Intensidad De Una Onda Intensidad Mecánica Y Sonora............................................................................. 21 6.4.- Ondas Transversales Y Longitudinales.......................................24 6.5.- Superposición De Ondas............................................................27 7.- CONCLUSIONES................................................................................ 38

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ONDAS VIAJERAS 201 3 1.- INTRODUCCIÓN.  Una onda es una perturbación que viaja a través del espacio y del tiempo, con transporte de energía.  Las ondas viajan y el movimiento ondulatorio transporta energía de un punto a otro, usualmente sin desplazamiento permanente de las partículas del medio y, en muchas ocasiones, sin desplazamiento de masa.  Las ondas se describen mediante la función de onda, cuya ecuación matemática depende de la onda y del medio

2.- QUE ES UNA ONDA Es una perturbación que se propaga, que transporta energía y cantidad de movimiento, pero no transporta masa. Clasificación de las ondas en función del medio de propagación de la onda:  Ondas mecánicas (cuerdas, barras, sonido, fluidos)  Ondas electromagnéticas (radio y TV, micro-ondas, rayos X etc) 3.- ELEMENTOS DE UNA ONDA • •

Cresta: La cresta es el punto de máxima elongación o máxima amplitud de la onda; es decir, el punto de la onda más separado de su posición de reposo. Período(T): El periodo es el tiempo que tarda la onda en ir de un punto de máxima amplitud al siguiente.

•

Amplitud(A): La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda. Nótese que pueden existir ondas cuya amplitud sea variable, es decir, crezca o decrezca con el paso del tiempo.

•

Frecuencia(f): Número de veces que es repetida dicha vibración por unidad de tiempo. En otras palabras, es una simple repetición de valores por un período determinado. T = 1/f

•

Valle: Es el punto más bajo de una onda.

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Longitud de onda(λ): Es la distancia que hay entre el mismo punto de dos ondulaciones consecutivas, o la distancia entre dos crestas consecutivas. Nodo: es el punto donde la onda cruza la línea de equilibrio. Elongación(x): es la distancia que hay, en forma perpendicular, entre un punto de la onda y la línea de equilibrio. Ciclo: es una oscilación, o viaje completo de ida y vuelta. Velocidad de propagación(v): es la velocidad a la que se propaga el movimiento ondulatorio. Su valor es el cociente de la longitud de onda y su período. v = λ/T

4.- CARACTERÍSTICAS

A= En aguas profundas. B = En aguas superficiales. El movimiento elíptico de una partícula superficial se vuelve suave con la baja intensidad. 1= Progresión de la onda 2 = Monte 3 = Valle

Las ondas periódicas están caracterizadas por crestas o montes y valles, y usualmente es categorizada como longitudinal o transversal. Una onda transversal es aquella con las vibraciones perpendiculares a la dirección de propagación de la onda; ejemplos incluyen ondas en una cuerda y ondas electromagnéticas. Onda longitudinal es aquella con vibraciones paralelas en la dirección de la propagación de las ondas; ejemplos incluyen ondas sonoras. TECNICAS DE ALTA TENSION

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ONDAS VIAJERAS 201 3 Cuando un objeto corte hacia arriba y abajo en una onda en un estanque, experimenta una trayectoria orbital porque las ondas no son simples ondas transversales sinusoidales. Ondas en la superficie de una cuba son realmente una combinación de ondas transversales y longitudinales; por lo tanto, los puntos en la superficie siguen caminos orbitales. Todas las ondas tienen un comportamiento común bajo un número de situaciones estándar. Todas las ondas pueden experimentar las siguientes: • •

Difracción - Ocurre cuando una onda al topar con el borde de un obstáculo deja de ir en línea recta para rodearlo. Efecto Doppler - Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas y el receptor de las mismas.

•

Interferencia - Ocurre cuando dos ondas se combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio.

•

Reflexión - Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección.

•

Refracción - Ocurre cuando una onda cambia de dirección al entrar en un nuevo medio en el que viaja a distinta velocidad.

•

Onda de choque - Ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.

5.- PROPIEDADES DE LAS ONDAS

5.1.- Reflexión

La reflexión de una onda es el rebote que experimenta cuando llega a un obstáculo grande, como una pared. Aunque el obstáculo absorba parte de la energía recibida (incluso vibrando si entra en resonancia) se produce también reflexión en la que se transmite de vuelta parte de la energía a las partículas del medio incidente.

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En la figura adjunta se representa un frente de ondas plano llegando a una superficie horizontal con un cierto ángulo i de incidencia (se mide con respecto a la dirección normal, N) De acuerdo con el principio de Huygens, cuando el frente de ondas empieza a "tocar" la superficie, el punto A se convierte en un nuevo foco que emite ondas secundarias y según transcurre el tiempo y el frente AB va incidiendo, repiten este comportamiento todos los puntos de la superficie comprendidos entre A y C. El frente de ondas reflejado, DC, es el envolvente de las ondas secundarias que se han ido emitiendo durante un tiempo igual al periodo desde el tramo AC de la pared.

El video adjunto fue filmado por estudiantes en el laboratorio, usando la cubeta de ondas. Con una regla generaron un frente de ondas plano para observar su reflexión sobre una superficie plana. Como se ve la pérdida de energía que tiene lugar en el rebote es considerable. No obstante se aprecia bastante bien la igualdad entre el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión.

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Aplicando leyes de geometría elemental al proceso, se llega a la conclusión de que el ángulo de incidencia i es igual al ángulo de reflexión r (ley de la reflexión) Puedes consultar la deducción de esta ley en el documento vinculado.

5.2.- Refracción

La refracción de una onda consiste en el cambio de dirección que experimenta cuando pasa de un medio a otro distinto. Este cambio de dirección se produce como consecuencia de la diferente velocidad de propagación que tiene la onda en ambos medios.

En la figura adjunta se representa la refracción de una onda plana desde un medio 1 a otro medio 2, suponiendo que la velocidad de propagación es menor en el segundo medio que en el primero. A medida que el frente de ondas AB

va

incidiendo

en

la

superficie

de

separación, los puntos AC de esa superficie se convierten en focos secundarios y transmiten la vibración hacia el segundo medio. Debido a que la velocidad en el segundo medio es menor, la envolvente

de las

ondas

secundarias

transmitidas conforma un frente de ondas EC, en el que el punto E está más próximo a la superficie de separación que el B. En consecuencia, al pasar al segundo medio los rayos se desvían acercándose a la dirección TECNICAS DE ALTA TENSION

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ONDAS VIAJERAS 201 3 normal N. Mediante

un

razonamiento

similar

se

comprueba que la desviación de la dirección de propagación tiene lugar en sentido contrario cuando la onda viaja de un medio donde su velocidad de propagación es menor a otro en el que es mayor.

Para describir formalmente la refracción de ondas luminosas (no mecánicas) se define el índice de refracción de un medio, n, indicando el número de veces que la velocidad de la luz es mayor en el vacío que en ese medio. Es decir, el índice de refracción es igual a 1 en el vacío (donde la luz tiene su máxima velocidad,300000 Km/s) y mayor que la unidad en cualquier otro medio. En el documento vinculado se deduce la ley de la refracción, expresada en función del índice de refracción (ley de Snell). Normalmente la reflexión y la refracción se producen de forma simultánea. Cuando incide una onda sobre la superficie de separación entre dos medios, los puntos de esa superficie actúan como focos secundarios, que transmite la vibración en todas las direcciones y forman frentes de onda reflejados y refractados. La energía y la intensidad de la onda incidente se reparte entre ambos procesos (reflexión y refracción) en una determinada proporción.

El dibujo animado adjunto muestra el rayo luminoso reflejado y el rayo luminoso refractado cuando incide luz procedente de un medio material (n=1.5) hacia el vacío (n=1.0) Obsérvese que a partir de un cierto valor del ángulo de incidencia no se produce refracción y toda la energía de la onda se traslada al frente de ondas reflejado. Este TECNICAS DE ALTA TENSION

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fenómeno se llama reflexión total y se explica teniendo en cuenta que, en este caso, el ángulo de incidencia es menor que ángulo el de refracción. Al aumentar el primero lo hace también el segundo hasta el límite de 90º, por encima del cuál evidentemente no se produce la refracción.

5.3.- Interferencia Y Difracción •

Los fenómenos que distinguen las ondas de las partículas son los de interferencia y de difracción. La interferencia es la combinación por suposición de dos o más frentes de onda que se encuentran en un punto del espacio. La difracción es la desviación que sufren las ondas alrededor de los bordes que se produce cuando un frente de onda (ya sea sonora, material o electromagnética) es obstruido por algún obstáculo. No hay una distinción física significativa entre interferencia y difracción.

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•

•

El esquema de la onda resultante puede calcularse considerando cada punto del frente de la onda original como una fuente puntual de acuerdo con el principio de Huygens y calculando el diagrama de interferencia que resulta de considerar todas las fuentes. El principio de Huygens dice que cada punto en el frente de una onda sirve de fuente de onda esféricas secundarias tales que la forma del frente de onda primario un instante de tiempo más tarde es la envolvente de esas ondas secundarias. Además estas ondas secundarias avanzan en cada punto del espacio con una rapidez y frecuencia igual a la de la onda primaria. El principio de Huygens no puede explicar el proceso de difracción. Las ondas de sonido se «doblan» fácilmente alrededor de objetos grandes como los postes de teléfono y los árboles, los cuales por el contrario forman sombras muy definidas cuando se iluminan con luz. Sin embargo, el principio de Huygens es independiente de cualquier consideración de longitud de onda y predecirá las mismas configuraciones de onda en ambas

situaciones. •

•

Esta dificultad fue resuelta por Fresnel con su adición del concepto de interferencia. El principio de Huygens-Fresnel establece que cada punto sin obstrucción de un frente de onda, en un instante de tiempo dado, sirve como una fuente de ondas secundarias esféricas (de la misma frecuencia de la onda primaria). La amplitud del campo óptico en cualquier punto adelante es la superposición de todas estas ondas considerando sus amplitudes y fases relativas. Cuando se combinan dos ondas armónicas procedentes de dos focos de la misma frecuencia y longitud pero de diferente fase, la onda resultante es una onda armónica cuya amplitud depende de la diferencia de fase. Si la diferencia de fase es cero o un número entero de veces 360º (2p radianes) las ondas están en fase y la interferencia es constructiva. La amplitud resultante es igual a la suma de amplitudes individuales y la intensidad (que es proporcional al cuadrado de la amplitud) es máxima. . Si la diferencia de fase es 180º (p radianes) o un número entero impar de veces 180º (p radianes) las ondas están desfasadas y la interferencia es destructiva. En este caso la amplitud resultante es igual a la diferencia entre las amplitudes individuales y la intensidad es un mínimo. Si las amplitudes individuales son iguales, la intensidad máxima es cuatro veces la intensidad de cada uno de los focos y la intensidad mínima es cero. En general, una diferencia de trayectos de Dr contribuye a una diferencia de fase d dada por:

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•

•

Otra causa de diferencias de fase es el cambio de fase en 180º (p radianes) que sufre una onda cuando se refleja en una superficie límite determinada en cuyo material la velocidad de la onda es menor. Por ejemplo, Cuando la luz que se propaga en aire incide sobre la superficie de un medio en el que la luz se desplaza más lentamente, como un vidrio o el agua, existe un cambio de fase de 180º en la luz reflejada. La interferencia de ondas procedentes de dos focos no se observa a no ser que los focos sean coherentes, es decir, la diferencia de fase entre las ondas procedentes de los focos debe ser constante con el tiempo. Esto no es habitual porque normalmente un haz de luz es el resultado de millones de átomos que irradian independientemente. Habitualmente en óptica se consigue la coherencia dividiendo, en dos o más haces, el haz de luz procedente un foco. Los láseres son hoy en día la fuente más importante en el laboratorio de luz coherente en el laboratorio.

5.4.- Características De Una Onda Las principales características de una onda que permiten distinguir una onda de otra son:

5.4.1. Amplitud De Onda En una onda transversal, corresponde a la distancia máxima que se puede separar una partícula del medio que oscila, medida en forma perpendicular a la línea que representa la posición de equilibrio del medio. Se mide en unidades de longitud, preferentemente el metro (m).

Importante: La amplitud de una onda representa la energía que transporta una onda. La energía y la amplitud, en este caso, son cantidades directamente proporcionales. TECNICAS DE ALTA TENSION

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5.4.2. Monte O Cresta (C) Y Valle (V) El monte o cresta, es el punto que está más alejado de la posición de equilibrio del medio donde se propaga una onda. Suele representarse con esa nominación al punto que se dibuja en la parte de arriba de la onda. El valle también es el punto más alejado de la posición de equilibrio de una onda, pero en el lado opuesto al lugar donde se ubican los montes o crestas.

En una onda longitudinal el monte o cresta recibe el nombre de zona de compresión y el valle se denomina rarefracción.

5.4.3. Longitud De Onda (Λ) Corresponde a la distancia, en línea recta, entre dos puntos de una onda que tienen la misma posición relativa. Esto ocurre, por ejemplo, entre dos crestas

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ONDAS VIAJERAS 201 3 sucesivas, o también entre dos valles sucesivos. Se mide en unidades de longitud, preferentemente el metro (m).

En una onda longitudinal, la longitud de onda corresponde a la distancia, en línea recta, entre dos zonas de compresión consecutivas o dos zonas de rarefracción consecutivas.

5.4.4. Periodo. (T) Corresponde al tiempo que tarda un punto, del medio donde se propaga la onda, en completar una oscilación. Se mide en unidades de tiempo, preferentemente el segundo (s). También corresponde al tiempo que tarda una onda en propagarse una distancia equivalente a una longitud de onda.

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5.4.5. Frecuencia. (f) La frecuencia corresponde a la cantidad de oscilaciones que ocurren en una unidad de tiempo. Si la unidad de tiempo es el segundo (s), la frecuencia se mide en Hertz, que se abrevia Hz. Entre periodo y frecuencia hay una relación matemática, y es:

De la relación se entiende que 1Hz= 1/s La frecuencia y el periodo, son magnitudes inversamente proporcionales.

5.4.6. Velocidad de propagación. (v) Representa la distancia que recorre una onda en cada unidad de tiempo, se determina con la relación:

Y, como f=1/T, la velocidad también se puede determinar con la relación:

Y, si se conoce la distancia, d, que se propaga una onda y el tiempo, t, que tarda en hacerlo, también se puede determinar la velocidad de propagación de ella con la relación:

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6.- DEFINICIÓN DE UNA ONDA VIAJERA

Una onda viajera es una onda que tiene un perfil que se mueve con el tiempo a través del medio. Por ejemplo, una ola en el mar, antes de romper en la costa, es una onda viajera. El perfil es una "montañita" que avanza constantemente a través del mar. Una onda estacionaria ocurre cuando el medio es reducido (por ejemplo una cuerda de guitarra es un medio reducido donde puede haber una onda mecánica al pulsar la cuerda). En estos medios, es posible establecer una oscilación que no avanza ni retrocede. Si bien el fenómeno de las ondas es mucho más complejo y rico que la descripción simplificada que vamos a mostrar a continuación, ´esta nos permitirá abordar el tema en cuestión desde una perspectiva sencilla en la que se mostrarán algunos de los aspectos más representativos de este fenómeno. Estamos interesados en describir matemáticamente una situación que se produce en muchos campos de la Física, y que expondremos de la siguiente forma simplificada: en un punto del espacio, que llamaremos foco o fuente, se produce una perturbación, correspondiente a un cambio en el tiempo en el valor de una magnitud física, tal como la presión, la densidad, el campo eléctrico, etc.., y dicha perturbación se propaga a otros puntos del espacio en los que se reproduce de forma análoga a como se hizo en el punto inicial, dando lugar al movimiento ondulatorio. 1. Supondremos que la perturbación se propaga en una dirección. Si llamamos OX a la dirección de propagación, la magnitud física estará representada por Una función de x y t. Si la magnitud que se propaga es escalar, estará representada por una función g(x, t); si es un vector, la representaremos por _g(x, t) = g(x, t) _u, donde _u es un vector unitario. En el primer caso la onda se denomina escalar, y en el segundo, vectorial. Por ejemplo, en el caso de las Ondas sonoras, y bajo ciertas aproximaciones, la presión (magnitud escalar) TECNICAS DE ALTA TENSION

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ONDAS VIAJERAS 201 3 Se propaga de un punto a otro, así como la densidad del aire (magnitud escalar). Por otro lado, el desplazamiento de los centros de masas de elementos de volumen conteniendo un numero de partículas del orden del numero de Avogadro, respecto a sus posiciones de equilibrio, se representa mediante una Onda vectorial. En el caso de las ondas electromagnéticas, las magnitudes que Se propagan son vectores (campos eléctrico y magnético). 2. El valor que tenga g en un punto e instante concretos se trasladara en el eje OX con celeridad constante, que denominaremos velocidad de propagación, y que representaremos por la letra v. A las ondas que tengan esta propiedad las denominaremos ondas viajeras. A continuación vamos a averiguar qué tipo de dependencia debe tener g con x y t para que dicha función represente una onda viajera. Consideremos un punto x1, donde el valor de la función en el instante t1 es g(x1, t1). Como g se propaga con velocidad constante, g(x1, t1) debe ser igual al valor que tomar ‘a g en un instante t > t1 en la posición x = x1 + v (t − t1) (suponiendo que la onda viaja en el sentido positivo). Por tanto,

Consideraremos las simplificaciones siguientes: Una onda es una perturbación que se propaga desde el punto en que se produjo hacia el medio que rodea ese punto. Las ondas materiales (todas menos las electromagnéticas) requieren un medio elástico para propagarse. El medio elástico se deforma y se recupera vibrando al paso de la onda.

La perturbación comunica una agitación a la primera partícula del medio en que impacta -este es el foco de las ondas- y en esa partícula se inicia la onda. La perturbación se transmite en todas las direcciones por las que se extiende el medio que rodea al foco con una velocidad constante en todas las direcciones, siempre que el medio sea isótropo (de iguales características físicoquímicas en todas las direcciones). Todas las partículas del medio son alcanzadas con un cierto retraso respecto a la primera y se ponen a vibrar: recuerda la ola de los espectadores en un estadio de TECNICAS DE ALTA TENSION

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ONDAS VIAJERAS 201 3 fútbol. La forma de la onda es la foto de la perturbación propagándose, la instantánea que congela las posiciones de todas las partículas en ese instante. Curiosamente, la representación de las distancias de separación de la posición de equilibrio de las partículas al vibrar frente al tiempo dan una función matemática seno que, una vez representada en el papel, tiene forma de onda. Podemos predecir la posición que ocuparán dichas partículas más tarde, aplicando esta función matemática. El movimiento de cada partícula respecto a la posición de equilibrio en que estaba antes de llegarle la perturbación es un movimiento vibratorio armónico simple. Una onda transporta energía y cantidad de movimiento pero no transporta materia: las partículas vibran alrededor de la posición de equilibrio pero no viajan con la perturbación.

6.1.- Teoría De Las Ondas Viajeras En una línea de transmisión el cambio de estructura geométrica y medio produce una variación en las relaciones que gobiernan el viaje de la energía de la onda electromagnética. Cuantitativamente estas variaciones se traducen en un cambio de la impedancia característica PC que es una relación entre las características geométricas del medio, inductancia “L” y capacidad “C” de la línea. Cualquier variación geométrica significa cambio en las ondas viajeras, en las formas de la corriente y voltaje, acentuando unas y deprimiendo otras. Las ecuaciones que gobiernan las ondas que se transmiten y se reflejan se explican a continuación. En una línea de transmisión el cambio de medio desde la impedancia característica Zc a la impedancia de carga Z1, observada por una onda viajera, produce una onda reflejada VR y una onda transmitida VT que es así:

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De acuerdo con lo anterior se observan tres casos típicos que son: a. Circuito abierto (ZL = _): en este caso la tensión se refleja totalmente y en la carga se presenta el doble de la tensión incidente. b. Corto circuito (ZL = 0): aquí se presenta una reflexión total sin inversión de polaridad y en la carga no se presenta tensión. c. Impedancia de acople (ZL = Zc): este caso no presenta reflexiones ni la tensión se transmite totalmente a la carga.

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Como t1 puede ser cualquier instante de referencia, vemos que g(x,t) debe ser una función de x − vt. Otra forma de verlo es la siguiente: consideremos dos sistemas de referencia, S y_, de forma que S_ se traslada respecto a S con velocidad constante v_ı (v > 0). Para simplificar, supondremos que en t = 0 ambos sistemas coinciden, de forma que la distancia entre sus orígenes, O y O_, es vt. Consideremos a continuación una curva C ligada a S_ y caracterizada por la relación g_ = f (x_), la cual se desplaza, por tanto, con velocidad v_ı respecto a S (ver figura 7.1). El movimiento de C respecto a S corresponde a la propagación sobre OX de una onda viajera con velocidad v. Para caracterizar la posición de los puntos de C respecto a S mediante una función g(x,t), la cual describirá el movimiento ondulatorio, sólo tenemos que tener en cuenta que al ser _r = _r _ + vt_ı, entonces g_ = g, y x_ = x − vt, de forma que

A partir de (7.2) vemos que g = f(x − vt) describe a una curva que se mueve en el eje OX positivo con velocidad constante. Si v va a representar siempre la celeridad, es decir v > 0, entonces en el caso de que la curva se moviese en el sentido negativo de OX, la onda viajera vendrá descrita por una función

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ONDAS VIAJERAS 201 3 Otra forma de describirla es mediante una función que dependa de t − x/v:

Dado que v es una constante. Esto puede verse también teniendo en cuenta que el valor de g en una posición dada es una función del tiempo. Por ejemplo, considerando por simplicidad el origen (x = 0), tenemos g(x = 0, t) = F(t). Como C se propaga con velocidad constante, el valor que tomar ‘a g en x y t, será igual al que tomo en el origen en el instante t − x/v. Por tanto

o g(x,t) = F(t+x/v) en el caso de que C se desplace en el sentido negativo de OX. En conclusión, g(x, t) = f(x } vt) = F(t } x/v) son funciones que representan ondas viajeras en el eje OX, propagándose en el sentido positivo (signo negativo), o en el sentido negativo (signo positivo). Por ejemplo, la función.

Es una onda viajera que se desplaza en el sentido positivo. En la figura (7.2) hemos representado g(x, t), en función de x, para distintos valores de t. TECNICAS DE ALTA TENSION

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6.2.- Deducción De La Ecuación Diferencial De Onda. Consideremos una cuerda uniforme muy larga de densidad lineal de masa μ, sometida a una tensión T. Supongamos que por ella se propaga una onda viajera que solo le produce pequeños apartamientos del equilibrio. Representamos la forma de la cuerda mediante la función y(x,t) donde se admite que la misma varía con el tiempo. Sea ∆m la masa de un elemento testigo perteneciente a la cuerda (Ver figura1). Situado entre las posiciones x y x + ∆x. Entonces tenemos que ∆m = μ∆x.

La fuerza que los elementos vecinos ejercen sobre el elemento testigo tendrá modulo T y dirección tangente a la cuerda en x y en x + ∆x. Aplicando la segunda ley de Newton tenemos

Donde µ(x) y µ(x+∆x) representan los ángulos que forman las tangentes a la cuerda en los extremos del elemento testigo. Por su parte, ay(x, t) es la componente de la aceleración en dirección perpendicular a la cuerda. La condición de pequeños desplazamientos puede restringirse a ‘un más imponiendo que los ángulos µ también sean muy pequeños. Con esto tenemos que:

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Por otra parte recordemos que, en un instante, dy/da representa la tangente del Angulo que forma la recta tangente a la curva con el eje positivo de las x. Esto es:

6.3.- Energía, Potencia E Intensidad De Una Onda Intensidad Mecánica Y Sonora Todas las ondas transportan energía. Un modo más sencillo de verlo es con una onda mecánica cualquiera: como la perturbación, o el apartamiento, o como quieras llamarlo, es un movimiento... y el movimiento es energía cinética... luego la onda no sólo propaga un movimiento, con él, propaga energía. Del mismo modo en que se define potencia (Pot) en el resto de los capítulos de la física, se define en ONDAS:

Pot = E / Δt La potencia es el cociente entre la energía transportada (emitida o recibida) y el intervalo de tiempo considerado. Y las unidades son las usuales.

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ONDAS VIAJERAS 201 3 Tal vez más novedoso es el concepto de intensidad (I). Resulta que la propagación de una onda puede ocurrir en una dirección lineal, en una superficie, o en un volumen. En cada caso, la energía de la perturbación emitida se recibe en muchas posiciones diferentes y no siempre se recibe la misma cantidad de energía, ya que hay que repartirla democráticamente entre todas las posiciones receptoras. Van ejemplos: Si la onda viaja por un espacio de sección constante (por ejemplo: un elástico cuyas espiras son todas iguales), la intensidad de la onda también permanece constante. I ~ Pot Lo cual es muy razonable ya que toda la energía que recibe cada espira se la entrega pura y exclusivamente a la espira vecina, sin importar cuán lejos está la espira que consideres. Medítalo.

Ondas lineales

Si la onda viaja por una superficie (por ejemplo ondas en el agua), cuanto más alejado se halle una posición del foco emisor, menor será la intensidad de la onda en esa posición. La intensidad es inversamente proporcional a la distancia -o radio-, r, a la primera potencia. I ~ Pot / r Lo cual es muy razonable, ya que el reparto de la energía debe hacerse democráticamente entre posiciones equidistantes sobre la superficie de propagación, o sea, circunferencias... que crecen con el radio. Medítalo.

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Si la onda viaja por espacio tridimensional (por ejemplo la luz de una estrella), cuanto más alejado se halle una posición del foco emisor, menor será la intensidad de la onda en esa posición. La intensidad es inversamente proporcional a la distancia -o radio-, r, a la segunda potencia. I ~ Pot / r² Lo cual es muy razonable, ya que el reparto de la energía debe hacerse democráticamente entre posiciones equidistantes sobre el volumen de propagación, o sea, esferas... que crecen con el radio al cuadrado. Medítalo.

Ondas esféricas

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ONDAS VIAJERAS 201 3 Se define intensidad, I, como el cociente entre la cantidad de energía que atraviesa un área, S, en un intervalo. O, si queréis, como el cociente entre la potencia ondulatoria y el área atravesada por la onda. I = E / S . Δt = Pot / S Para una onda material se demuestra que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia. I ~ A² . f² De modo que si, por ejemplo, cierta transformación disminuye la amplitud de una onda 4 veces, su intensidad disminuirá 16 veces. En las ondas sonoras, la amplitud estaría dada por el promedio de la longitud de las vibraciones de las moléculas de aire... o sea... una medida microscópica muy difícil de establecer, y demasiado incómodo. Es preferible establecer la amplitud de las ondas sonoras como una medida de la variación de presión (ΔPr) que se produce en el medio (una medida macroscópica). I ~ ΔPr² Si pretendemos una ecuación tenemos que agregar una constante de proporcionalidad. En este caso la constante dependerá de la velocidad del sonido en el medio, v, la densidad del medio, δ, y un factor numérico, 2, que proviene de haber integrado todo el trabajo requerido durante la variación de presión hasta una presión máxima Pr... y queda así: I = Pr²/2δv

6.4.- Ondas Transversales Y Longitudinales Las ondas vectoriales se clasifican, según la dirección de su, en longitudinales, transversales, y mixtas: Ondas longitudinales. Son aquellas en las que _u es paralelo a la dirección de propagación, es decir g(x, t) = f(x − vt)_ı. (7.5) •

Por ejemplo, en un tubo muy fino en el que se propagan ondas sonoras (ver figura (7.3)), el desplazamiento es paralelo a la direccion de propagacion. TECNICAS DE ALTA TENSION

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•

Ondas transversales. Son aquellas en las que _u es perpendicular a la dirección de propagación. El ejemplo mas representativo de una onda transversal es e de las ondas electromagnéticas, en las que los campos eléctrico y magnético oscilan en direcciones perpendiculares a la dirección de propagación. Ondas mixtas. También hay ondas que se representan por un vector con una componente transversal y otra longitudinal; por ejemplo, en las ondas que se propagan en la superficie del agua el desplazamiento de las partículas puede descomponerse en una componente paralela a la propagación de la onda, y otra perpendicular a la misma.

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6.5.- Superposición De Ondas

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ONDAS VIAJERAS 201 3 La forma de onda resultante de la superposición de ondas se obtiene sumando algebraicamente cada una de las ondas senoidales que componen ese movimiento complejo. Si superponemos ondas senoidales de igual frecuencia, aunque con eventuales distintas amplitudes y/o fases, obtendremos otra onda senoidal con la misma frecuencia, pero con distinta amplitud y fase. Eventualmente esas ondas pueden cancelarse, por ejemplo si tuvieran igual amplitud pero una diferencia de fase de 180º. En algunos campos de la acústica puede resultar también interesante el caso de la superposición de ondas senoidales que se desarrollan sobre ejes perpendiculares. No estudiaremos aquí esos casos. De particular interés resulta el caso de superposición de ondas senoidales de distinta frecuencia y eventual distinta amplitud y fase (por constituir el caso descrito por Fourier para la descomposición de los movimientos complejos). Si bien la descomposición de todo movimiento complejo en una superposición de distintas proporciones de movimientos armónicos simples es estrictamente cierta para el caso de movimientos complejos periódicos, determinadas aproximaciones matemáticas nos permiten descomponer también todo movimiento no periódico en un conjunto de movimientos simples. Si superponemos parciales no armónicos obtendremos una forma de onda no periódica, como la mostrada en la Figura 01.

FIGURA 01: Onda compleja no periódica

La superposición de ondas senoidales cuyas frecuencias guarden una relación sencilla de números enteros (es decir, armónicos) resultará en un movimiento TECNICAS DE ALTA TENSION

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ONDAS VIAJERAS 201 3 complejo periódico. Las próximas figuras muestran la resultante de la superposición de distintos armónicos de una serie.

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ONDAS VIAJERAS 201 3 La Figura 02 muestra la resultante de superponer el segundo y el tercer armónico de una seria, es decir dos sonidos separados por un intervalo de quinta.

FIGURA 02: Resultante de la superposición del segundo y tercer armónico

La Figura 03 muestra la resultante de la superposición del cuarto y quinto armónico de una serie, es decir sonidos separados por un intervalo de tercera mayor.

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FIGURA 03: Resultante de la superposición del cuarto y quinto armónico La siguiente figura ilustra la resultante de la superposición de sonidos separados por un intervalo de octava, es decir el primer y segundo armónico de la serie.

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FIGURA 04: Resultante de la superposición del primer y segundo armónico

FIGURA 05: Resultante de la superposición del primer y segundo armónico pero con diferentes amplitudes y ángulos de fase Nótese que la forma de onda resultante en todos estos casos varía en función de la amplitud y la fase de cada una de las ondas senoidales que superponemos. La TECNICAS DE ALTA TENSION

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ONDAS VIAJERAS 201 3 Figura 05 muestra las resultantes de superponer octavas con distintas amplitudes y fases. Es notoria la diferencia de las formas de ondas resultantes. Las Figuras 06 y 07 muestran cómo varía la resultante en función de variaciones en el ángulo de fase de las componentes del movimiento complejo. La única diferencia entre ambas figuras es el ángulo de fase del segundo y tercer armónicos. Mientras que en la Figura 06 todas las componentes tienen igual ángulo de fase, en la Figura 07 el segundo armónico tiene una diferencia de fase de 90º con respecto a la fundamental, mientras que la diferencia de fase del tercer armónico con la fundamental es de 180º. La forma de onda resultante de esencialmente distinta en uno y otro caso. Lo curioso es que en este caso nuestro sistema auditivo será incapaz de distinguir diferencia alguna entre ambos sonidos correspondientes a cada una de las resultantes. Por más que las formas de onda son radicalmente distintas, para nosotros el sonido será exactamente el mismo.

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FIGURA 06: Suma de los tres primeros armónicos con igual fase

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ONDAS VIAJERAS 201 3 FIGURA 07: Suma de los tres primeros armónicos con distintas fases

7.- CONCLUSIONES  Otro concepto que fue de vital importancia en este estudio, es el de ondas viajeras, el cual puede ser fácilmente generalizado a redes de más dimensiones. La idea de una onda se originó del hecho de que uno puede representar las componentes de los modos normales (eigenvectores) como funciones trigonométricas, (senos y cosenos) de la posición de cada partícula a lo largo de la longitud de la cadena en vibración y al mismo tiempo la variación temporal del desplazamiento de cada partícula es expresado en términos de exponenciales complejas.  Por otra parte un método que fue bastante utilizado en el desarrollo de los modos normales, fue el método de matriz de transferencia, introducido en el libro de Brillouin y explotado sistemáticamente por Matsuda y su escuela. Este método es idealmente conveniente para la descripción en vibraciones de redes. La matriz de transferencia naturalmente que surge, como se vió en el transcurso del trabajo, de expresar el polinomio característico de la matriz de coeficientes, en las ecuaciones de movimiento de la red en forma recursiva también mencionamos que para el caso de interacciones a primeros vecinos la matriz de coeficientes resultaba tridiagonal, para el caso que tratamos resultó, pentadiagonal cuando ellas se extienden a terceros vecinos y así sucesivamente.  Algunos resultados importantes que se obtuvieron y que no se mencionaron en el resumen anterior son. El hecho de que los modos normales dependen de la suma de ondas viajeras, cuando hay interacciones entre las partículas, para el caso concreto que estamos analizando los modos normales dependerán de 4 ondas viajeras. De la misma forma se encontró que hay una máxima degeneración límite `` '' presente, en la presencia de interacciones a vecinos, por lo que respecta a este punto únicamente se da la demostración para el caso de segundos vecinos en este estudio, aún cuando se cuenta con la demostración para primeros y terceros vecinos.

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8.- BIBLIOGRAFÍA  http://www.google.com.pe/url?sa=t&rct=j&q=ondas%20viajeras %20&source=web&cd=7&cad=rja&ved=0CE8QFjAG&url=http%3A %2F%2Fwww.uclm.es%2Fprofesorado  http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiv a/Ondasbachillerato/ondasCaract/ondas-Caract_indice.htm  http://www.anarkasis.net/pitagoras/545_carateristica_onda_estacionaria  http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/ONDAS/Ap_ond_06.html  http://www.docentes.utonet.edu.bo/rherrerav/wpcontent/uploads/Ondas_Viajeras_AT.pdf  http://www.esi2.us.es/DFA/FISICATELECO/archivos/curso0405/apuntes/ Cap07.pdf  http://www.fisvir.com/index.php? option=com_content&view=article&id=71:ondviaunidimensional&catid= 28:capitulo-2-ondas-mecanicas&Itemid=44  http://fisicaquimica.iespedrojimenezmontoya.es/Duda_resu_2/Cuestion_on das_3.pdf  http://www.uibcongres.org/imgdb/archivo_dpo10695.pdf  http://www.sabelotodo.org/ondas/onda.html  http://www.ejournal.unam.mx/cns/no36/CNS03609.pdf  http://www.gammainsulators.com/pdf/boletines/tecnicos/boletin20.pdf  http://www.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/transel/Apuntes/tema-3.pdf  http://download.rincondelvago.com/lineas-de-transmision_ondas

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ONDAS VIAJERAS 201 3  http://www.fglongatt.org/Archivos/Archivos/AT/Anexo1.1HV-2007.pdf  http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_MTG/PresentacionGuias-de-Onda.pdf  http://fisica1m.blogspot.com/2009/05/clasificacion-de-las-ondas.html  http://iesdiegovelazquez.org/fquimica/Simulaciones/super1/superindex.htm l  http://fcaglp.unlp.edu.ar/~adevito/APEND_02.pdf  http://www.ehu.es/acustica/bachillerato/suones/suones.html  http://www.angelfire.com/empire/seigfrid/Caracteristicasdelasondas.html  http://www.hverdugo.cl/conceptos/conceptos/caracteristicas_de_las_onda s.pdf

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