Ondas Mecánicas II 2017

 

 Jesús Jácome Jácome Mejía Docente  Ing. Industrial 

Física de Ondas y Modernas

 

¿Qué es una Onda? Es una transmisión de energía sin mover la materia. Es una perturbación que se propaga en un medio elástico poniendo a oscilar con respecto a su posición de equilibrio.

¿Cómo se clasif clasifican ican las las ondas?

Ondas mecánicas: las cuales necesitan un medio material para propagarse Ondas electromagnéticas: las cuales no necesitan un medio material para propagarse.

 

•

Mecánicas Requieren un medio material para propagarse.

• • • •

•

Electromagnéticas Se propagan en el vacío y en medios materiales.

•

Causan movimientos oscilatorios en el medio. Pueden ser longitudinales o transversales. La rapidez depende del medio de propagación. Ej: ondas en cuerdas, ondas sonoras.

•

•

En el avacío tienen igual 300 000 kmrapidez / s. Se originan a partir de campos eléctricos y magnéticos superpuestos. Ej: luz, radiaciones

 

Tipos de Ondas Ondas Transversales: La dirección en que vibran las moléculas del medio material es perpendicular a la dirección en que se propaga la onda.

Ondas Longitudinales: La dirección en que vibran las moléculas del medio material es igual a la dirección de propagación de la onda.

 

Características de las Ondas Elementos espaciales o de posición de una onda:

 Amplitud: Máxima elongación de la onda Desde su punto de equilibrio.

Amplitud de onda A mayor amplitud, mayor energía propagada.

Longitud de Onda Es la distancia que recorre la onda en un periodo

 

características de  Algunas características de una onda:  – La posición más alta con respecto a la posición de equilibrio se llama Monte.

 – La posición más baja con respecto a la posición de equilibrio se llama Valle. máximo alejam alejamiento iento de la onda con respecto respecto a la posición posición  – El máximo de equilibrio se llama Amplitud.

Monte  Amplitud

 Amplitud Valle

Posición de equilibrio

 

Elementos temporales de las ondas: Período: tiempo que emplea la onda en completar un ciclo

T= 1/ f 

Frecuencia: es el número de oscilaciones (vibraciones) que efectúa cualquier punto de la onda en un segundo.

f=1/T

 Velocidad  V elocidad de propagación de una onda. La velocidad de propagación de la onda es el producto de su longitud de onda on da por por su fr frec ecue uenc ncia ia::

v = λ f  L a pvreolo dielounhaacoend dn epm ee nd dieorácodm e olaesl caairrea,cste dd el sm iontern q3 u0 e se pcaigdaa.d S ea nu urívsetilc oa cs ida ereáde e3 y 350 m/s (dependiendo de la temperatura del aire).

 

FENÓMENOS ONDULATORIOS

REFLEXION

DIFRACCION

REFRACCION INTERFERENCIA 

 

Reflexión Ref lexión y Transmisión de Ondas Pulso incidente

Ref lexión de un pulso de onda Reflexión  viajera en el ex extremo tremo fijo de una cuerda alargada. El pulso reflejado se invierte, pero su forma permanece igual.

Puls Pu lso o refl reflej ejad ado o

 

Pulso incidente

Ref lexión de un pulso de onda Reflexión  viajera en el ext extremo remo libre de una cuerda alargada. El pulso reflejado no se invierte.

Pulso Pul so reflej reflejado ado

 

Un pulso viaja hacia la derecha en una cuerda ligera unida a una

Pulso incidente

creufelredjaa pyesapdaar. tePartdeeldelpu plusloso ssee tran transm smit itee a la cu cuer erda da má máss pe pesa sada da..

Pulso reflejado

Pulso transmitido

Pulso incidente

Un pulso viaja hacia la derecha en u a ualsounsae cuneardcauelrigdearap. ePsaad rtae udneildp ref leja y parte del pulso se tran transm smit itee a la cu cuer erda da má máss lig liger era. a. Puls Pu lso o ref refle leja jado do Puls Pulso o tra trans nsmi miti tido do

 

En conclusión:

C anddoo Buens pmuálssodedneso e lusno sm dvioieA dioxiB (ess de deci cirr, cuuand an onqduae vAi)a,jaeldpul pu e ein rteaeunnlam reefle flex óny.  v A  > vB (e

medio A

medio B

Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y v A  < vB (e (ess de deci cirr, cuan cuando do  A es más denso que B), el pulso no se invierte invierte en la reflexión. ref lexión.

 

Ondas viajeras Unidimensionales Una onda viajera se puede representar como una función  y =  f ( x). Al desp de spla laza zami mien entto má máxi ximo mo de dell puls pulso o se le llam llamaa amplitud. Si la forma del pulso de onda no cambia con el tiempo, podemos representar el desplazamiento y de la cuerda para todos los tiempos anteriores como:  –

 y = f ( x

vt)

Si el pulso se desplaza a la derecha

 y = f ( x + vt)

Si el pulso se desplaza a la izquierda.

Donde v es la velocidad de desplazamiento del pulso. A la función y se le llama ll ama  función de onda.

 

Rapidez de las Ondas en las Cuerdas

Se puede razonar que la rapidez de la onda disminuye, si la masa por unidad Long Lo ngit itud ud de la cue cuerda rda aume aument nta. a. 



La velocidad de ondas mecánicas lineales depende exclusivamente de las propiedades del medio por la cual viaja la onda

 

 Aquella cuy cuyo o desplazami desplazamiento ento y en fun fu nci ción ón de la pos osic iciión está dado por or::

 2     y   Asen   x       Cuando t = 0

La función func ión para todo t es:

  2   y   Asen     x  v t     

 

  2   y   Asen     x  v t      Rapidez de la Onda  x

v

v  t 

    

T 

Relación

 y la frecuencia angular w se se definen como: El número de onda angular k  y k 

2  

 

 y



 Asen(k x    t ) 

 

  2  

T 

 

Otras relaciones son:

 f  

  1 

v

  

v

  

 

k 

 f   

T  Si la l a fase inicial no es cero la onda senoidal se expresa por:

 y   Asen kx   t     

Ondas Senoidales ales en Cuer Cuerdas das Ondas Senoid Un método para para producir un tren de pulsos de onda senoidales en una cuerda continua.

 

La forma de la onda se puede expresar como:

 y



 Asen   (k x  



 

t )

El punto P se mueve solo en sentido sent ido vertical con una velocidad y una aceleración dada por:

Los valores máximos son:

v y

máx

a 

 y máx



  A

   2 A



 y



0

 

Energía transmitida transmitida por ondas senoid sen oidale aless en cuer cuerdas das

Se transfiere energía a la masa pues debe efectuarse trabajo al move mo verla rla hac hacia ia arr arriba iba Recordemos M.A:S  E 

  

1

 KA 2

2

 

 

 =    



(1)

 =

Si µ es la masa por unidad de long longitud itud de la cuerda, entonces el elemento de longitud Δx tiene una masa ∆ =

1

Dm

(∆)  



=

m D x 

Reemplazando en la expresión (1)

2  

La tasa a la cual ssee trasmite la energía a lo largo de la cuerda se conoce como: Potencia La potencia es

 

  , si dejamos mos que que ∆x se apro proxim xime a 0, la ecuaci uacion on qued queda: a:  

 =

1 2

 

 

    

Unidades

Nos queda:

=

1 2

 =   

La rapidez transferencal transferencia ia cuadrado de energíade delacualquier onda senoidal esde proporcional frecuencia angular y al cuadrado de la amplitud.

  

 

Ecuación Lineal de onda Esta ecuación brinda una descripción completa del movimiento ondulatorio y a partir de ella puede deducirse una expresión para la rapidez de onda. La fuerza resultante en la dirección y es:

 Fsen en  B  Fs  Fsen en    A    F  se  sen n  B  se sen n  A   F  y  Fs Para ángulos pequeños se cumple:

 F  y   F tan    B  tan  A  Pendientes del segmento de una cuerda en estos puntos

   y    y     F  y  F        x  B     x  A  

Ec. (1)

 

La 2a. Ley de Newton: Ec. (2)

Combinando la ec. (1) y (2) se obtiene:

Recordemos

De aquí obtenemos: m  

2

 y 2



 y

 x

 B   y

 F  t 

 x

 A

   = lim    + ∆ −   ∆  ∆→

D x

Por lo tanto 2

m    y 2  F  t   

2

   y 2  x

Ecuación Lineal de onda

 

 Ahora se demostra demostrara ra que la función de onda senoidal repre representa senta una solución para esta ecuación lineal de onda. 2

2

m  

 y    y 2 2  F  t     x

Partimos de la ecuación general de la l a onda senoidal

Ento En tonc nces es deri deriva vamo moss dos dos veces eces la expr expres esió ión n

 y



 Asen   (k x  



 

t )

Sust Su stit ituy uyen endo do esta estass expr expres esio ione ness en la ec ecua uaci ción ón li line neal al de on onda da:: −    −  −

 

    −  = −    − 

 

Despejamos



 

−    − 



 

  = −  − 

Utiliz Uti lizamo amoss la relaci relación ón

v

 



  =  

 

k 

Entonces: =

 

La ecuación lineal de onda suele escr es crib ibir irse se en la form formaa

2

2

  y  

2

t 

1   y



2

v  x

2

 

EJERC EJE RCICI ICIO O DE APLIC APLICAC ACION ION 1. La onda senoidal mostrada en la figura vi viaja aja en la dirección positiva positiva en x y tienen una frecuencia de 18 Hz, encuentre. a) La L a amplitud, b) la longitud de onda, c) el periodo y d) la rapidez de la onda

2. Det Determin rminee la vel eloc ociidad dad de la lass onda ondass trans ansvers ersal ales es en una cue uerrda somet ometid idaa a una ten ensi sió ón de 80 N. Si la cuerda tiene una longitud de 2 m y una masa de 5 gr. Encuentre la potencia requerida para generar estas ondas, si tales tienen una longitud de onda de 16 cm y un máximo de 4 cm

 

3. Un pescador en un bote anclado, observa que este flota efectuando 20 oscilaciones completa en 7 segundos se gundos y que se invierte 5 segundo para que la creta de la ola recorra los 18 m de su bote.¿ cuantas ondas completas existen en cualquier instante a lo largo de la longitud del bote?

4. Una onda senoidal sobre una cuerda se describe por medio de la relación: –

 Y=(0,20 m)sen (0,70x 60t) donde dond e x e y están en metros y t en segundos. Si la masa por unidad de longitud de esta cuerda es 12 gr/m, determine: a) Veloc elocid idad ad de la on onda da b) Longi Longitu tud d de de la la onda onda c) Frecuencia d) Poten otenci ciaa trans transmi miti tida da

 

5. Un sistema bloque-resorte osci cilla con una ampl ampliitud de 3,5 cm, si la constante del resor ortte es 250 N/m y la masa del bloque es 0,5 Kg. Determine: a) La energía mecánica del sistema b) La rapidez máxima del bloque c) La máxima aceleración