Ondas (Final)
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1.-Escr 1.-Es crib ibaa una una expr expres esió ión n que que defi defina na una una onda onda tran transv sver ersal sal que que se desp despla laza za a lo larg largo o de una una cuerda en la dirección +x, con una longitud de onda de 11.4 cm, una frecuencia de 385 Hz y una amplitud de 2.13 cm.
2.13 cm Sen0.175 Π 770 Π 2.13 2Π
y 2.13 x 2 Π 385 2.13 cm Sen 11.4 385 Hz t 11.4 cm y
rad cm
rad
x
s
t
2.-La ecuaci 2.-La ecuación ón de una onda transv transvers ersal al que se despla desplaza za por una cuerda cuerda muy larga larga está está dada dada por y 6.0 6.0 cm sin 2.0 rad m x 4.0 rad s t Calcule a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, frecuencia, d) la velocidad, velocidad, e) la dirección dirección de propagación de la onda y f) la velocidad transversal máxima de una partícula de la cuerda.
a) Amplitud de 6cm (se puede observar directamente en la ecuación) b) Π Sabemos que: Λ 2k Π , sustituyendo tenemos: Λ 2 Π2rad obtiene directamen directamente te de m 1 m; k se obtiene la ecuación. c) Sabemos que: f
Ω , 2Π
sustituyendo tenemos: f
4 Π rad s 2Π
2Hz; Ω se obtiene directamente de
la ecuación. d) Sabemos que: v f Λ 2 Hz 1 m 2 m s e) Va en el sentido sentido de x ; se deduce al observar el signo del segundo termino en el argumento de la ecuación de onda. f) La velo veloci cida dad d tran transe sevversa ersall est esta dada ada por por la prim rimera era der derivad ivadaa de la ecu ecuació ación n de onda onda con con
respecto al tiempo v y y
y t
Ω A Cos kx Ωt , por lo tanto sería:
0.24 Π Cos2 Π rad 4 Π rad AΩ 4 Π rad 0.06 0.24 Π
v y y 4 Π rad s 6 cm Cos 2 Π rad m x 4 Π rad s t v y y
v y , máx y,máx
m s
m x
s
m
s t
m s
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
2
vy,máx 0.24 Π "m s"
vy,máx 0.7539 0.753982 82 m s 3.-La 3.La ecuación de una onda transversal en una cuerda es: y 1.8 1.8 mm Sin 23.8 23.8 rad rad m x 317 317 rad rad s t La cuerda está bajo una tensión de 16.3 N. Determine su densidad lineal de masa.
Para Para determ determina inarr la densid densidad ad lineal lineal de masa masa Μ usamos: v
dada por v Ω k , de tal forma que Μ
F T T
Ω 2 k
2 F T T k
Ω2
F T T
Μ
Μ
F T T v 2
. La velo veloci cida dad d esta esta
.
Sustituimos F T T , Ω y k para obtener Μ:
"kgm" Μ 317 0.0918804 804 kgm Μ 0.0918 16.3 23.8
2
2
Μ 0.092 kg/m 92 g/m
4.-Un obse 4.-Un observ rvad ador or mide mide una una inte intens nsid idad ad de 1.13 1.13 W/m2 a una una dist distan anci ciaa desc descon onoc ocid idaa de una una fuente fuente de ondas ondas esféricas esféricas cuya salida de potencia potencia se ignora. ignora. El observador observador camina camina 5.30 m acercándose a la fuente, y mide una intensidad de 2.41 W/ m2 en este nuevo lugar. Calcule la salida de potencia de la fuente. Ls fórmula de la intensidad de onda es: P I 4 m 2 Pm I 4 Π r 2 Πr Para este problema tenemos: Pm I1 4 Π r 2 Pm I2 4 Π r 5.3 m 2 Donde I1 1.13 W m2, I2 2.41 W m2 y r es la distancia inicial a la que se encuentra el observador. Igualamos ambas ecuaciónes: I1 4 Π r 2 I2 4 Π r 5.3 m 2 Despejamos r de la ecuación: I1 5.3 m 2 10.6 28.09 r 5.3 m 2 1 1 r r 2 I r r
2
I1 I2
1
28.0910.6 r r 2
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1 I1 I2
3
r 2 10.6 r 28.09 0
Resolvemos la ecuación para obtener el valor de r:
1.13 10.6 r 28.09 0, r 1 r 10.6 2.41 r 3.14587, r 16.8119 2
Solve
Descart Descartamo amoss el primer primer valor valor ya que no es lógico lógico que al acerca acercarse rse el observ observado ador, r, la fuente fuente se encu encuen entr tree a una una dist distan anci ciaa mayo mayorr a la inic inicia ial. l. Usam Usamos os el segu segund ndo o valo valorr y lo sust sustit itui uimo moss en 2 Pm I1 4 Π r
Pm 1.13 4 Π 16.81194121414946 2 "W" Pm 4013.5 4013.51 1W 5.- Determine la amplitud de la onda resultante cuando se combinan dos ondas senoidales que tienen igual frecuencia y que se desplazan en la misma dirección, si su amplitud es de 3.20 cm y de 4.19 cm, y si su fase difiere en /2 rad. Al encontrarse mula: A
desfasadas
las
ondas
en
Π 2,
utilizaremos
la
siguiente
fór-
A21 A22 2 A1 A2 Cos Φ
A
3.2 4.19 2 3.2 4.19 CosΠ 2 "cm" 2
2
A 5.2722 5.2722 cm 6.-Una cuerda 6.-Una cuerda de naylon naylon de una guitar guitarra ra tiene tiene una densid densidad ad de masa lineal lineal de 7.16 7.16 g/m, g/m, y se halla halla bajo bajo una tensión tensión de 152 N. Los soportes soportes fijos están están separa separados dos por una distanci distanciaa de 89.4 89.4 cm. La cuerda cuerda vibra en el patrón patrón de onda onda estaci estaciona onaria ria que aparec aparecee en la figura figura.. Calcule Calcule a) la rapidez, rapidez, b) la longitud de onda y c) la frecuencia frecuencia de las ondas componente componentess cuya superposic superposición ión da origen a esta vibración.
a) La velocidad se encuentra dada por:
4
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F T T
v
Μ
v
152 3
7.16 10
"m s"
v 145.70 145.702 2m s b) Podemos observar en la imagen que la vibración de la cuerda concuerda con el tercer armónico, por lo tanto la longitud de onda esta dada por: Λ
2L 3
Λ
2 89.4 3
"cm".
59.6 cm Λ 59.6 c) Sabemos que:
v
Λ
f
145.702 0.596
"Hz"
f 244.46 244.466 6 Hz 7.-Las vibraciones 7.-Las vibraciones de un diapasón de 622 Hz generan generan ondas estacionarias estacionarias en una cuerda sujeta con con grap grapas as en ambo amboss extr extrem emos os.. La rapi rapide dezz de onda onda en la cuer cuerda da es 388 388 m/s. m/s. La onda onda esta esta-cionar cionaria ia tiene tiene cuatro cuatro ciclos ciclos y una amplitud amplitud de 1.90 1.90 mm. mm. a) ¿Qué ¿Qué longit longitud ud tiene tiene la cuerda cuerda?? b) Escriba una ecuación para obtener el desplazamiento de la cuerda en función de la posición y el tiempo. a) El número de armónico esta dado por dos veces el número de ciclos, en este caso son 4 ciclos por lo que corresponde al 8° armónico. La longitud de la cuerda esta dada por: Λ
Ln 2
Para obtener Λ usamos: Λ
v f
De esta forma tenemos que:
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5
v
L n 2 f
L 8
388. 2 622
"m"
L 2.4951 2.49518 8m b) La ecuación de la onda es del tipo y x x , t A Sen kx Ωt , donde k y Ω estan dadas por: k
2Π Λ
2 Π f
v
Ω 2 Π f
k
2 Π 622 388.
"rad m"
k 10.072 10.0725 5 rad m
622. "rad "rad s" Ω 2 Π 622.
3908.14 4 rad s Ω 3908.1 La ecuación para esta onda es:
1.9 mm Sen 10.072 10.0725 5 rad m x 3908.1 3908.14 4 rad s t y 1.9
8.-Unaa onda 8.-Un onda con con frec frecue uenc ncia ia de 493 493 Hz tien tienee una una rapi rapide dezz de 353 353 m/s. m/s. a) ¿A qué qué dist distan anci ciaa se encuentran encuentran dos puntos cuya fase difiere difiere en 55.00? 55.00? b) Encuentre Encuentre la diferencia diferencia de fase entre dos desplazamientos en el mismo punto, pero en momentos que difiere 1.12 ms. a) Sabemos que Λ esta dado por: Λ
v f
Podemo Podemoss usar usar una regla de tres tres para para establ establece ecerr una relación relación con la longit longitud ud de onda onda de esta esta forma: x
55 °
Λ
360 360 °
x
x
55 360
55 ° 360 360 °
353 493
Λ
100. "cm"
x 10.939 10.9393 3 cm b) Si conocemos conocemos el periodo T, podemos podemos saber el tiempo tiempo que tarda la onda en completar un ciclo.
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6
Podemos hacer una realación con una simple regla de tres, si recorre 2 Π rad en el tiempo tiempo que dura un ciclo (periodo T), entonces tenemos que: 2Π T
Φ 1.12103 s
1.12103 s
Φ 2Π
T
Donde T 1 , sustituimos numéricamente: Φ 2
1.12 103 1 493
"Π rad"
Φ 1.10432 Π rad
O lo podemos convertir a grados si lo multiplicamos por Φ 1.10432 Π
180 Π
180 180 ° Π
:
"°"
198.778 8° Φ 198.77 9.-Una función simple está dada por y(x) = x( - x) en 9.-Una en la reg región ión O < x < . Se desea desea que que esta esta función sea aproximada por una serie de funciones seno en la forma y(x) a1 sin x+a3 sin 3x+a5 sin 5x+ · · · .a) Con un programa programa de graficación, graficación, estime los valores de a1, a3 y a5 que ofrecen el mejor mejor ajuste ajuste visual visual.. b) Use un progra programa ma de matemá matemátic ticas as simból simbólica icass (Maple (Maple o Mathem Mathemati atica) ca) para evaluar las integrales
y
donde n y m son enteros, pero no iguales entre sí. c) Encuentre los valores exactos de los coeficientes an para n {1, 2, 3, 4, 5}, evaluando para ello
¿Por qué funciona este método? Compare sus respuestas con el proceso de inspeccin visual. a)
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7
25k Sin2 k 1 x, x, Π2 , 52Π , Π 5Π Π AxesLabel x, y, Ticks Range , , , Plot PlotRa Rang ngee 5 2 2 2
Plot x Π x ,
3
k 1
5
y
4
2
y2 x x
Π
Π
2
2
Π
3Π 2
3
k 1
5 5
2 k
x
Sin 2 k 1
2Π
5Π
x
2
2
y1 x x x Π x
4
Pode Podemo moss obse observ rvar ar que que an n
3
k 1
2 k 1) valdrá:
a1 a1 a3 a3 a5 a5
5 2 15 5 2 5 2 25 5 64 5 2 35 5 486
5 , 2 k 5
por lo tanto, para k 1, 2, 3 tenemos que an (donde
8
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b)
Sinn x x Π Sin2 n Π Π
In n
2
0
2
4n
Sinn x Cosm x x n nCosm Π Cosn Π mSinm Π Sinn Π Π
I0
0
0
m2 n2
c) a1
1 Π
2
a1 a2
x Π x Sinx x
x Π x Sin2 x x
x Π x Sin3 x x
x Π x Sin4 x x
Π
Sin 2 Π 4
0
8 Π
1 Π
2
Π
Sin 4 Π 8
0
a2 0 a3
1 Π
2
a3 a4
Π
Sin 6 Π 12
0
8 27 Π 1 Π
2
Π
Sin 8 Π 16
0
a4 0 a5
1 Π
2
a5
0 x Π x Sin5 x x Π
Sin 10 Π 20
8 125 Π
No tengo la menor idea de cual es la razón raz ón por la que este método funciona. Para Para comp compar arar ar con con el proc proces eso o de insp inspec ecci ción ón visu visual al,, obse observ rvam amos os la gráf gráfic icaa gene genera rada da con con los los
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10
ecuación de onda el resultado siempre tendrá que ser
1 v 2
.
a)
3 vt 6 vt 3 vt 2 6 vt
y x x , t x x vt 3 y x 2 y x 2
2
x x
x x
y t 2 y t 2
v x x
v 2 x x
Hacemos la división: 2 y x 2 2 y
t 2
6 x x vt 2 6 v x x vt
El resultado es b)
1 v 2
1 v 2
, por lo tanto esta función es una solución de la ecuación de onda.
x vt y x x , t Aeik x , donde A y k son constantes e i
1 .
y x vt A i k eik x x 2 y x vt A i 2 k 2 eik x x 2
y x vt A i k v eik x t 2 y x vt A i 2 k 2 v 2 eik x t 2
Hacemos la división: 2 y x 2 2 y t 2
A i 2 k 2 v 2 eik vt x vt A i 2 k 2 eik x x x
El resultado es c)
1 v 2
1 v 2
, por lo tanto esta función es una solución de la ecuación de onda.
y x x , t ln k x x vt ln k ln x x vt y x
1
x vt
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2 y x 2
11
1
vt
2
x x
y v x vt t 2 y v 2 t 2 x x vt
2
Hacemos la división: 2 y x 2 2 y t 2
1
vt vt 2
x x
2
v
x x
2
El resultado es
1 v 2
1 v 2
, por lo tanto esta función es una solución de la ecuación de onda.
11.-Una onda armónica 11.-Una armónica en una cuerda con una masa de 0.05 kg/m y una tensión de 80 N tiene una amplitud amplitud de 5 cm. Cada sección de la cuerda cuerda se mueve con movimient movimiento o armónico simple a una frecuencia de 10 Hz. Hallar la potencia propagada a lo largo de la cuerda. La potencia media para una onda que viaja en una cuerda es: 1
Pm 2 ΜΝΩ2 A2
Donde: F T T
Ν
Μ
Ω 2 Π
Sustituimos Ν y en la fórmula de la potencia media: 1
Pm 2 Μ
F T T
Μ
2 Π
2 A2
Sustituimos valores numéricos para obtener el resultado: Pm
1
0.05 2
80
2 Π 10 0.05 "W" 0.05 2
2
Pm 9.86 9.8696 96 W 12.-Unaa onda 12.-Un onda armó armóni nica ca con con una una frec frecue uenc ncia ia de 80 Hz y una una ampl amplit itud ud de 0.02 0.025 5 m se prop propag agaa hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s. (a) Escribir una expresión que sea adecuada para la función de onda de la misma. (b) Determinar la velocidad máxima de un punto de la cuerda. (c) Determinar la aceleración máxima de un punto de la cuerda. a) Sabemos que: Ω 2 Π y k
Ω v
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Encontramos Ω y lueg luego o enco encont ntra ramo moss k , para después sustituir en la función de onda A A Sen kx Ωt
502.655 5 rads Ω 502.65
Ω 2. Π 80 "rad s"
k
502.6548245743669 12
"rad m"
k 41.887 41.8879 9 rad m La función de onda es:
41.9 rad rad m x 502.7 502.7 rad s t y 0.025 m Sen 41.9
b) La velocidad de un punto de la cuerda esta dada por la primera derivada parcial de y con resped tao a t : y x x , t A Sen kx Ωt
y t
AΩ Coskx Ωt
La velo veloci cida dad d máxi máxima ma para para un punt punto o de esta esta onda onda se dará dará cuan cuando do Cos kx Ωt 1, de tal manera que: Νmáx AΩ
502.7 7 "m s" Νmáx 0.025 502.
12.5675 5m s Νmáx 12.567 c) La acel aceler erac ació ión n en un punt punto o de la cuer cuerda da esta esta dada dada por por la segu segund ndaa deri deriva vada da parc parcia iall de y con respecto de t : 2 y t 2
AΩ2 Sen kx Ωt
La acel aceler erac ació ión n máxi máxima ma para para un punt punto o de esta esta onda onda se dará dará cuan cuando do Sen Sen kx Ωt 1, de tal tal manera que: amáx AΩ2
amáx 0.025 502.7 2 "m s2"
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amáx 6317.6 6317.68 8 m s2 13.- En una cuerda cuerda real, real, una onda pierde pierde cierta cierta energía energía cuando cuando se propag propagaa a lo largo largo de ésta. ésta. Tal situación puede describirse por una función de onda cuya amplitud A(x) depende de x: y = A(x) sin(kxsin(kx-Ωt) = ( A0e-bx) sin(kx - Ωt) (a) ¿Cuál es la potenc potencia ia origin original al transp transport ortada ada por la onda onda en el origen? (b) ¿Cuál es la potencia transportada por la onda en el punto x, donde x > O? La potencia media esta dada por: 1
Pm 2 ΜΝΩ2 A2
a) x A0 ebx por lo tanto La amplitu amplitud d esta esta en funció función n de x , A x tanto hay que evalua evaluarla rla en x 0 para para poder usarla:
A 0 A0 eb 0 A0 1 A0
Sustituimos en la fórmula de la potencia media: 1
Pm 2 ΜΝΩ2 A2 ΜΝΩ2 A0 2
b) x , con x 0 volvemos a evaluar: Para una amplitud A x
x A x x A0 eb x A0 ebx
Sustituimos nuevamente en la fórmula de la potencia media:
1
Pm 2 ΜΝΩ2 A2 ΜΝΩ2 A A0 ebx
ΜΝΩ 2
2
A0 e2 bx
14.-El nivel acústico del ladrido de un perro es 50 dB. La intensidad de un concierto de rock es 14.-El 10000 10000 veces superior superior a la del ladrido ladrido de un perro. perro. ¿Cuál ¿Cuál es el nivel nivel acústi acústico co del concier concierto to de rock? El nivel de intensidad en decibelios (dB) se obtiene con la siguiente fórmula:
Β 10dB log10
I I0
Donde: I0 1012 W m2 El nivel de intensidad del ladrido del perro es 50dB, únicamete despejamos Iperro de la ecuación:
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14
50dB 10 dB log10 5 log10
Iperro
Iperro I0
I0
Iperro
105
I0
Iperro 105 I0
Evaluamos numéricamente:
Iperro 105 10.12 "W m2"
perro 1. 107 W m2
La inte intens nsid idad ad del del conc concie iert rto o de Rock Rock es 1000 10000 0 vece vecess supe superi rior or a la inte intens nsid idad ad del del ladri ladrido do del del perro, asi que:
Iconcierto 10000 1. 107 "W m2"
0.001 1 W m2 concierto 0.00 15.-Un artí 15.-Un artícu culo lo sobr sobree cont contam amin inac ació ión n acús acústi tica ca seña señala la que que el nive nivell de inte intens nsid idad ad sono sonora ra en grandes grandes ciudades ciudades ha estado aumentando aumentando en 1 dB anualmente. anualmente. (a) ¿A qué aumento porcentual porcentual de intensidad corresponde esto? ¿Parece razonable este incremento? (b) ¿Aproximadamente en cuántos años se duplicará la intensidad de sonido si se incrementa en 1 dB anualmente? a) Tenemos que: 1 dB 10dB log10 1 10
Iciudad I0
Iciudad 10 I0
log 1
10 10
Iciudad I0
Iciudad
10 10
I0
Evaluamos numéricamente: Iciudad
10
10. 1012 "W m2"
ciudad 1.25893 1012 W m2
Para obtener el porcentaje de aumento hacemos: Aumento
1.25893 1012 1012 12
10
IciudadI0 I0
100:
cada año" año" 100" cada
Aumento 25.893 cada cada año año No pare parece ce muy muy razo razona nabl ble, e, ya que que a prim primer eraa vist vistaa pare parece ce exag exager erad ado; o; sin sin emba embarg rgo, o, hay hay que que
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admiti admitirr que es dífici díficill ser concient concientee del cambio cambio de intens intensida idad d entre entre un año y otro, otro, por lo que quizás podría ser razonable ese incremento. b) Para que la ciudad doble su nivel de intensidad tenemos que:
Β 10dB log10
2Iciudad I0
Log10 Β 10. Log10
2 1012 1012
"dB"
3.0103 dB Β 3.0103 En aproximadamente 3 años la ciudad doblara su intensidad de sonido. 16.-Todas las personas que han acudido a un cocktail se encuentran 16.-Todas encuentran hablando hablando igual de ruidosaruidosamente. mente. Si sólo sólo estuvi estuviese ese hablando hablando una person persona, a, el nivel nivel de sonido sonido sería de 72 dB. Calcular Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personas hablan a la vez. Para obtener el nivel de intensidad de 38 personas hablando, primero hay que despejar el nivel de intensidad de una sola persona hablando y luego multiplicarlo por 38: I 72dB 10 dB log10 persona I 0
Como Como ya se han hecho hecho despej despejes es similar similares es anteri anteriorm orment ente, e, esta esta vez lo omitim omitimos, os, de tal forma forma que el resultado esta dado por: Ipersona 107.2 I0
Ipersona 107.2 1012 "W m2"
0.0000158489 9 W m2 persona 0.000015848 Multiplicamo Multiplicamoss el resultado por 38 para obtener el nivel de intensidad intensidad de 38 personas hablando hablando
a la vez y luego lo sustituimos en Β 10 dB log10
38 Ipersona I0
para obtenerlo en decibeles:
I38 38 0.00001584 0.0000158489 89 "W m2"
0.000602258 8 W m2 38 0.00060225
0.000602258 "dB" 10
Β38 10 Log10
12
87.7978 8 dB Β38 87.797 17.- De forma forma rutinari rutinariaa se utiliz utilizaa el efecto efecto Doppler Doppler para para medir medir la veloci velocidad dad del viento viento en una tormen tormenta. ta. Una estaci estación ón meteor meteoroló ológic gicaa utiliza utiliza un radar radar de 625 MHz de frecue frecuenci ncia. a. Las ondas ondas
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produc producida idass por el instru instrumen mento to se reflej reflejan an en las gotas de lluvia lluvia de una torment tormentaa situad situadaa a 50 km de la estación y cuando llegan de nuevo a la estación meteorológica su frecuencia es 325 Hz mayor. Suponiendo que el viento está directamente encarado hacia la antena del radar y que el instrumento instrumento únicamente únicamente mide el component componentee radial de la velocidad, velocidad, ¿a qué velocidad velocidad sopla el viento? Debido a que la velocidad del viento es mucho menor que las velocidad de las ondas electromag neticas del radar, c u, es conveniente usar la aproximación dada por la fórmula: foco
u c
Donde es la varicacion de la frecuancia debida al efecto Doppler. D oppler. Donde u u f ur .
u c
foco
Evalua Evaluamo moss numéri numéricam cament entee (el radar radar esta esta fijo, fijo, así que u representara la velocidad del emisor; las gotas de lluvia reflejan las ondas del radar, así que son el emisor): u 3 108
325 625 106
"m s"
u 156m s 18.-Una unidad de radar de la policía transmite microondas de frecuencia 3 × 10 10 Hz. La veloci18.-Una dad de estas ondas en el aire es 3.0 × 108 m/s. Supóngase que un coche se aleja de esta unidad de radar a una velocidad velocidad de 140 km/h. km/h. ¿Cuál es la diferencia de frecuencia frecuencia entre la señal transmitida y la señal recibida del coche? La fórmula del efecto Doppler es: recibida
Νureceptor Νuemisor
Si el emisor se mueve hacia el receptor, receptor, usamos el signo negativo negativo en el denominador; denominador; mientras que si el receptor se mueve hacia el emisor, usamos el signo positivo en el numerador. Para este problema nombremos 1 a la frecuencia que emite la unidad de radar, 2 a la frecuencia que recibe el coche y que luego refleja hacia la unidad de radar, y 3 a la frecuencia que el coche emite hacia el radar. Tenemos por lo tanto que: 2
Νu2 Ν
1
y
3
Νu2 Ν
2
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17
Para conocer 3 sustituimos 2 en la segunda ecuación: 3
Νu2 Ν
Νu2 Ν
Νu2 2 1 Ν
1
1
u2 2
Ν
1
1
Debido a que u2 2 v 2 , despreciam despreciamos os el termino termino
2 u2 v u2 2 v 2
u2 2 v 2
1
para poder conocer conocer una aproximaci aproximación ón de
; ahora tenemos que restar 3 a 1 . 2u 2u 1 3 1 1 v 2 1 v 2 1
2.
3 10 "Hz" 3 10
140
1000 3600 8
10
7777.78 8 Hz 7777.7 19.-La conductora de un coche que viaja a 100 km/h hacia un acantilado vertical hace sonar 19.-La brevement brevementee la bocina. bocina. Exactament Exactamentee un segundo después, después, ella escucha el eco y observa observa que su frec frecue uenc ncia ia es de 840 840 Hz. Hz. ¿A qué qué dist distan anci ciaa del del acan acanti tila lado do se enco encont ntra raba ba el coch cochee cuan cuando do la conductora hizo sonar la bocina y cuál es la frecuencia del sonido emitido? Usamos la fórmula del efecto Doppler, ya con los ajustes de signo hechos (+ en el numerador ya que el coche se acerca a la fuente del eco), para saber la frecuencia inicial emitido: 2
v u2 v u1
1 1
v u1 v u2
2
Sustituimos numéricamente convirtiendo a m s:
840 "Hz" 340 100 340. 100
1
1000 3600 1000 3600
713.112 2 Hz 1 713.11 La fórmula de la velocidad nos ayuda a obtener la distancia: v
d t
d Ν t
Pero Pero en este este caso la veloci velocidad dad estara estara dada dada por la veloci velocidad dad del coche coche mas la veloci velocidad dad de las ondas de sonido que emite; pero dado que para oir el eco el sonido tuvo que haber llegado al acantilado y luego regresado al coche, y mientras el eco rebotaba el coche avanzó una distancia, nos damos cuenta que el coche y la onda de sonido recorrierón 2 veces la distancia. Ajusta-
18
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
mos la fórmula y queda de esta manera: d
v coche v sonido
2
t
100 340 d "m" 1. "m" 1000 3600
2
d 183.88 183.889 9m 20.-En 20.En el instante t = 0, la forma de un pulso de onda en una cuerda viene dada por la función y(x,0) =
0.12 m3 2.00 m 2 x 2
en donde x está en metros. (a) Dibujar Dibujar y(x, 0) en función de x. Expresar la función de onda y(x, t) en un instante t cualquiera si (b) el pulso se está moviendo en el sentido positivo de las x con una velocidad de 10 m/s y (c) si se está moviendo en el sentido negativo de las x con una velocidad del mismo valor. a)
20.12 , x, 8, 8, Plot PlotRa Rang ngee .04, .04, AxesLa AxesLabel bel x, y x
Plot
2
2
y
0.04
0.02
5
x
5
0.02
0.04
b) La función de onda viajando en el sentido x es de la forma forma y x pero como no x , t f kx Ω , pero x Νt ; la velo consideramos a k, la función queda de la forma f x veloci cida dad d es de 10 m s, asi asi que que
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
19
tenemos que remplazar x por x Νt para tener la función de esta onda:
y x x , t
0.12 m3
2.00 Ν Νt m 2 x x
2
0.12 m3 2 2.00 m 2 x x 10 m s t
c) Para una onda viajando en el sentido de las x , la función de onda es del tipo y x x , t f x x Νt ; la función para esta onda es:
,
0.12 m3 2 2.00 m 2 x x 10 m s t
y x x t
21.-Lass olas 21.-La olas del del mar mar se muev mueven en haci haciaa la play playaa con con una una velo veloci cida dad d de 8.9 8.9 m/s m/s y con con una una sepa sepa-ración ración entre crestas de 15.0 m. Nos encontramo encontramoss en un pequeño bote anclado anclado junto a la costa. (a) ¿Cuál ¿Cuál es la frecue frecuenci nciaa de las olas olas del mar? (b) Se leva leva el ancla y nos movemo movemoss hacia hacia el mar con una velocidad de 15 m/s. ¿Qué frecuencia de olas se observará entonces? a) La ongitud de onda y la velocidad se relacionan con la siguiente fórmula para obtener la frecuen cia: v Λ
8.9 15
v
Λ
"Hz"
0.5933 0.593333 33 Hz
b) Usam Usamos os la fórm fórmul ulaa del del efec efecto to Dopp Dopple lerr para para saber saber la nuev nuevaa frec frecue uenc ncia ia reci recibi bida da;; toma tomamo moss el signo + en el numerador numerador ya que la lancha (receptor) (receptor) se acerca acerca a la fuente, tambien tambien tomamos la velocidad de la fuente como 0 ya que en realidad no esta en movimiento: 2
v u2 v u1
1
2
v u2 v
1
8.9 15 8.9
0.59333 "Hz"
1.59332 2 Hz 2 1.5933 22.-De forma 22.-De forma rutina rutinaria ria se envían envían rayos de luz láser láser hacia hacia la Luna Luna para para determ determina inarr la distan distancia cia Tierra-Luna Tierra-Luna.. Sin embargo, embargo, para determinar determinar la distancia distancia con la máxima máxima exactitud, exactitud, debe tenerse tenerse en cuen cuenta ta que que la velo veloci cida dad d de la luz luz en la atmó atmósfe sfera ra terr terres estr tree es el 99.9 99.997 97 por por cien ciento to de la
20
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
velocidad velocidad de la luz en el vacío. vacío. Suponiendo Suponiendo que la atmósfera atmósfera de la Tierra Tierra tiene un espesor espesor de 8 km, estimar qué cambio en la distancia supone la corrección. Sabemos que: d d Ν t t v Y como el tiempo tiempo total para llegar a la luna es igual tiempo tiempo que se viaja dentro dentro de la atmósfera atmósfera mas el tiempo fuera de la atmósfera (en el espacio), tenemos que: t total total t atmósfera atmósfera t espacio espacio
Supongamo Supongamoss que la distancia total es la que se viaja dentro dentro de la amósfera es d 1 (8km=8000m) y la distancia de la atmósfera a la Luna es la distancia total menos el grosor de la atmósfera. Asi que tenemos: t total total
d 1 catmósfera
d d 1 c
c catmósfera
d 1 d d 1
La fórmula de la distancia corregida quedará asi: d corregida corregida d
c catmósfera
dcorregida
d 1 d 1
3 108
0.99997 3 10 8000 8000 "m" 8
dcorregida 0.2400 0.240007 07 m Eso es aproximadamente 24 cm de corección. 23.-Examine detenidamente las dos fuentes puntuales S1 y S2 en la figura, que emiten ondas de 23.-Examine la mism mismaa frec frecue uenc ncia ia f y ampl amplit itud ud A. Comi Comien enza zan n con con la mism mismaa fase, fase, y esta esta relac relació ión n de fase fase se conserva conserva todo el tiempo. tiempo. Considere el punto punto P, donde donde r 1 es casi igual a r 2 . a) Demuestre Demuestre que la superposic superposición ión de estas dos ondas genera una, cuya amplitud amplitud y m varía con la posición posición P aproxiaproximadamente según y m =
2A r
cos 2k (r 1 r 2)
dond dondee r = ( r 1 +r 2 )/2. b) Demuestre después que la cancelación total ocurre cuando r 1-r 2 = (n + 1 )Λ; 2
donde n es un entero cualquiera, y que el reforzamiento total ocurre cuando r 1 - r 2 = nΛ.
Es una hipérbola hipérbola el lugar geométrico geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia respecto a dos
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
21
puntos puntos fijos es una constante; constante; los puntos fijos son los focos. Por eso, cada valor n da una línea hipe hiperb rból ólic icaa de inte interf rfer eren enci ciaa cons constr truc ucti tiva va.. La ampl amplit itud ud de las las onda ondass proc proced eden ente tess de S1 y S2 difieren, las cancelaciones son parciales en los puntos donde r 1 y r 2 no son aproximada aproximadament mentee iguales (cerca de las fuentes, por ejemplo).
a) Sumamos las funciones de dos ondas con igual amplitud:
ASenkr Ωt
y 1 ASen kr1 Ωt y 2
2
Cos kr Ωt kr Ωt Sen kr Ωt kr Ωt Cos Sen 2 Ωt
y m y 1 y 2 ASen kr1 Ωt ASen kr2 Ωt y m 2 A y m 2 A
1 2
1
1 2
k r 1
1 2
2
1 2
r 2
k r 1
1
2
r 2
Para t 0 s
Sen Cos Cos 1
1 2
y m 2 A Cos 2 k r 1 r 2 y m
2A
1 2
r 1r 2 2
b) Supongamos que:
1
r 1 r 2 n 2 Λ
k r 1
r 2
k r 1
2A r
r 2
1 2
k r 1 r 2
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
22
O lo que es lo mismo: n
impar. r 1 r 2 2 Λ, para n 1, 3, 5, 7 ... un número imp
Cos Λ
Sabemos que k 2 Π Λ; sustituimos: y m
2A r
1 2
n
k 2
2A r
Λ
Cos
Π Λ
n
2A
2
r
Π
Cos
n
2
Como n impar, ar, siempre tendremos un numero sem semientero de Π, lo que hace que
Π 0, por lo que la interferencia es destructiva y hay cancelación total.
Cos
n
2
Para el caso donde: r 1 r 2 n Λ
Donde n 1, 2, 3, 4 ... ... un núme número ro ente entero ro.. Tene Tenemo moss ento entonc nces es que: que: y m
2A r
Λ
entero,, tenemo tenemoss que Cos Π 1, por lo que la interf interfere erenci nciaa será será constr construct uctiva iva y entero Cos
1 2
k n
2A r
Cos n Π
Al ser ser n habrá un reforzamiento total.
n
24.-Cons 24.-Co nsid ider eree una una onda onda esta estaci cion onar aria ia,, que que es la suma suma de dos dos onda ondass que que sigu siguen en dire direcc ccio ione ness opuest opuestas, as, pero pero que son idénti idénticas cas en los demas demas aspect aspectos. os. Demues Demuestre tre que la energí energíaa cinéti cinética ca máxima de cada ciclo de la onda es 2 2 Μy 2mf Ν. La ecua ecuaci ción ón de la inte interf rfer eren enci ciaa de dos dos onda ondass que que viaj viajan an en dife difere rent ntee dira diracc cció ión n qued quedaa de la siguiente manera:
y x x , t 2 y m Cos Ω t Sen k x
La energía cinética máxima de cada ciclo esta dada por:
1 E c máx 2 m Νm 2
La velocidad la obtenemos al derivar la funcion de onda con respecto a t :
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
23
La velocidad máxima esta dada cuando SenΩ 1, de tal forma que: Ν 2 Ω Sen
Ν
y t
2 y m t
Cos Ω t Sen k x 2 y m ΩSen Ω t Sen k x t
y m
m
k x
Para obtener la energía cinética máxima sustituimos: dEc máx
1 2
dm Νm 2 y m2 Ω2 Sen2 k x dm
Donde: Μ
dm dx
dm Μdx
Sustituimos dm e integramos desde kx 0 hasta kx Π :
Π
E c máx 0 y m 2 Ω2 Μ Sen2 k x x x E c máx
y m 2 Ω2 Μ
2 k
2 Π2 Μym 2 Ν
25.-Puede haber interferencia en las ondas con distinta frecuencia. 25.-Puede (a) Demuestre que la resultante de las dos ondas
puede escribirse así
(b) ¿Qué es Ω’/k’? (c) Describa en términos cualitativos el movimiento de esta onda. a) La suma de esas dos ondas se resuelve resuelve con la siguiente identidad identidad trigonométri trigonométrica ca ya que tienen igual amplitud: Sen Θ 1 Sen Θ 2 2Cos
1 2
Θ Θ Sen Θ Θ 1
2
1 2
1
2
24
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
Sumamos las funciones de las dos ondas y obtenemos:
, 2 , 2
y x x , t y 1 y 2 y m Sen k 1 x Ω1 t y m Sen k 2 x Ω2 t 1
Ω Ω Sen Ω Ω 1
y x x t
y m Cos 2 k 1 x Ω1 t k 2 x Ω2 t Sen 2 k 1 x Ω1 t k 2 x Ω2 t
y x x t
y m Cos 2 k 1 k 2 x
1
1
2
t
1 2
k 1
k 2 x
1
2
t
Para poder llegar a la ecuación que indica el problema hay que considerar lo siguiente :
Ω Ω Ω
k k 1 k 2 x 1
2
k´x
Ω´t
Ω Ω t
b) Ω´
k´
k 1 k 2
2 1
t
x 2
2
Ω Ω 2 1
2
k 1 k 2
2
Ω1 Ω2 k 1 k 2
Ν´
Eso es equivalente a la velocidad de la onda resultante. c) La onda se mueve mueve hacia la derecha derecha y en su punto punto máximo tiene una amplitud amplitud igual al doble de la amplitud de sus ondas componentes; sin embargo las ondas componentes tienen frecuencias dife difere rent ntes es,, por por lo que que inte interf rfie iere ren n cons constr truc ucti tiva vame ment ntee y dest destru ruct ctiv ivam amen ente te a inte interv rval alos os de tiempo, lo que le da a la onda resultante una frecuencia de batido. 26.-Demuestre 26.Demuestre que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda
=
2 y x x , t x 2
x , t 1 2 y x v 2
t 2
(a) y(x, t) = Acos(kx + Ωt) (b) y(x, t) = Asin(kx - Ωt) (c) ¿En qué direcciones viajan estas ondas? ¿Cómo lo sabe? (d) Para la onda de la parte (b), escriba escriba las ecuaciones ecuaciones para la rapidez rapidez y la aceleración aceleración transversales de una partícula en el punto x.
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
25
Para demostrarlas hacemos: 2 y x 2 2 y
t 2
a)
1 v 2
AkSenkx Ωt Ak Coskx Ωt AΩSenkx Ωt AΩ Coskx Ωt
y x x , t ACos kx Ωt y x 2 y x 2
2
y t 2 y t 2
2
Hacemos la división: 2 y x 2 2 y
2
t 2
Ω
k 2
Ak Cos kxΩt AΩ2 Cos kxΩt
El resultado es b)
1 v 2
2
1 v 2
, por lo tanto esta función es una solución de la ecuación de onda.
y x x , t ASen kx Ωt
AΩCoskx Ωt AΩ Senkx Ωt
y AkCos kx Ωt x 2 y Ak2 Sen kx Ωt x 2 y t 2 y t 2
2
Hacemos la división: 2 y x 2 2 y t 2
Ω
Ak2 Sen kxΩt AΩ2 Sen kxΩt
k 2 2
1 v 2
c) La onda a) viaja hacia la izquierda y la onda b) viaja hacia la derecha. La dirección en la que viaja la onda esta dada por el signo del segundo termino del argumento de la función.
26
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
d) v y y
y t
ay
2 y t 2
AΩCos kx Ωt
AΩ2 Sen kx Ωt
27.-(a) 27.(a) Para una onda descrita por y(x, t) = Acos(kx - Ωt), grafique y, v y y y ay en función de x para t = 0. (b) (b) Cons Consid ider eree los los sigui siguien ente tess punt puntos os de la cuer cuerda da (i) (i) x = 0, (ii) (ii) x = /4k, /4k, (iii (iii)) x = /2k, /2k, (iv) (iv) x = 3/4k, (v) x = /k, (vi) x = 5/4k, (vii) (vii) x = 3/2k y (viii) x = 7 /4k. Para una partícula en cada uno de estos puntos en t = 0, indique con palabras si la partícula se está moviendo y en qué dirección, y si está acelerando, frenando o tiene una aceleración instantanea cero. a)
y x x , t ACos kx Ωt en Azul
v y y AΩSen kx Ωt en Rojo
ay AΩ2 Cos kx Ωt en Verde
Las gráficas de las funciones con A 1, k 1 y Ω 2
Plot Cos x , 2 Si S in x , 4 Cos x , x, 0,
5Π
Π , Ticks Range0, 3 Π, 2 4
4
2
2
4
b) (i) x 0
Π
Π
3Π
4
2
4
Π
5Π
3Π
7Π
4
2
4
2Π
9Π
5Π
4
2
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
27
La partícula está en un máximo no se mueve y tiene aceleración instantanea igual a cero. (ii) x Π 4 k La partícula se está moviendo hacia abajo y está acelerado. (iii) x Π 2 k La partícula se está moviendo hacia abajo (está en equilibrio justo ahora) y está acelerado. (iv) x 3 Π 4 k La partícula se está moviendo hacia abajo y está acelerado. (v) x Π k La partícula está en un mínimo no se mueve y tiene aceleración instantanea igual a cero. (vi) x 5 Π 4 k La partícula se está moviendo hacia arriba y está frenando. (vii) x 3 Π 2 k La partícula se está moviendo hacia arriba (está en equilibrio justo ahora) y está frenando. (viii) x 7 Π 4 k La partícula se está moviendo hacia arriba y está frenando.
28.-(a) Demuestre que la ecuación 28.-(a) y(x, t) = Acos[Ω( x v - t)] = Acos2f( x v - t) puede escribirse como y(x, t) = Acos[ 2Λ (x-vt)]
(b) Use y(x, t) para obtener una expresión para la velocidad transversal v y y de una partícula de la cuerda en la que viaja la onda. (c) Calcule la rapidez máxima de una partícula partícula de la cuerda. ¿En qué circunstanc circunstancias ias es igual a la rapidez de propagación v? ¿Menor que v? a) Para demostrar la ecuación usamos: Ω 2 Π k k
Ω v
2Π Λ
Hacemos las sustituciones y tenemos que:
28
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
ACos
y x x , t ACos 2 Π
x v
t
Ωx v
Ωt ACos kx Ωt
Factorizamos k y hacemos la sustitución:
y x x , t ACos kx Ωt ACos k x x Νt
ACos Νt 2Π Λ
x x
De esa forma se demuestra que se puede escribir de esa forma la ecuación. b) Hacemos la primera derivada parcial y con respecto a t :
x ,t y x t
Νy
kx Ωt AΩSenkx Ωt
ACos t
c) La rapidez máxima se da cuando Sen kx Ωt 1:
Νy máx AΩ
Cuando Cuando el producto producto de la amplitud amplitud y 2 Π es mayor que la longitud longitud de onda, la velocidad velocidad de una partícula partícula es mayor mayor que la velocidad de propagación propagación de la onda. Cuando Cuando la longitud longitud de onda es mayo mayorr que que el prod produc ucto to de la ampl amplit itud ud y 2 Π, la velo veloci cida dad d de una una part partíc ícul ulaa es meno menorr que que la rapidez de propagación. Si Λ 2 ΠA, la velocidad velocidad de la partícula partícula será iguala la rapidez rapidez de propapropagación de la onda. 29.-Una onda transversal 29.-Una transversal con amplitud de 0.300 cm, longitud longitud de onda de 12.0 cm y rapidez de 6.00 cm/s que viaja en una cuerda se representa con y(x, t) del ejercicio 28. (a) En t = 0 calcule calcule y a intervalos intervalos de 1.5 cm (es decir, decir, en x = 0, x = 1.5 cm, x = 3.0 cm, etc.) etc.) de x = 0 a x = 12 cm. Muestre los resultados en una gráfica. Ésta es la forma de la l a cuerda en t = 0. (b) Repita los cálculos cálculos para los mismos valores valores de x en t = 0.400 s y t = 0.800 s. Muestre gráficagráficamente la forma de la cuerda en esos instantes. ¿En qué dirección viaja la onda? a) La función de onda queda de la siguiente manera:
Νt
ACos
2Π Λ
x x
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
Con t 0 s
212Π x, x, 0, 4 Π, Axes AxesLa Labe bell "xcm", "ycm", GridLines 1.5, 1.5, Dash Dashed ed, 2 1.5, Dash Dashed ed, 3 1.5, Dash Dashed ed, 4 1.5, Dash Dashed ed, 5 1.5, Dash Dashed ed, 6 1.5, Dash Dashed ed, 7 1.5, Dash Dashed ed, 8 1.5, Dash Dashed ed, 0, Dash Dashed ed
Plot 0.3 Cos
y cm 0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
10
12
x cm
0.1
0.2
0.3
b) Para t 0.400 s
212Π x 6 0.4, x, 0, 4 Π, AxesLabel "xcm", "ycm", Grid GridLi Line ness 1.5, 1.5, Dash Dashed ed, 2 1.5, Dash Dashed ed, 3 1.5, Dash Dashed ed, 4 1.5, Dash Dashed ed, 5 1.5, Dash Dasheed, 6 1.5, Dash Dashed ed, 7 1.5, Dash Dashed ed, 8 1.5, Dash Dashed ed, 0, Dash Dashed ed
Plot 0.3 Cos
29
30
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
y cm 0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
10
12
x cm
0.1
0.2
0.3
Para t 0.800 s
212Π x 6 0.8, x, 0, 4 Π, AxesLabel "xcm", "ycm", Grid GridLi Line ness 1.5, 1.5, Dash Dashed ed, 2 1.5, Dash Dashed ed, 3 1.5, Dash Dashed ed, 4 1.5, Dash Dashed ed, 5 1.5, Dash Dasheed, 6 1.5, Dash Dashed ed, 7 1.5, Dash Dashed ed, 8 1.5, Dash Dashed ed, 0, Dash Dashed ed
Plot 0.3 Cos
y cm 0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
10
12
x cm
0.1
0.2
0.3
Se está moviendo hacia la drecha. 30.-La ecua 30.-La ecuaci ció ón y(x, y(x, t) = Acos Acos((kxkx-Ωt) para ara una onda nda seno senoid idal al pued uede hacer acerse se más gene genera rall incluy incluyend endo o un ángulo ángulo de fase Φ, dond dondee 0 Φ 2 (en radiane radianes) s) de modo modo que la funció función n de onda y(x, t) se convierte en y(x, t) = Acos(kx - Ωt + Φ) (a) Dibuje la onda en función de x en t = 0 para Φ = 0, Φ = /4, Φ = /2, Φ = 3/4 y Φ = 3/2. (b) Calcule la velocidad transversal v y y = y/t.
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
31
(c) En En t = 0, una una partíc partícula ula de de la cuerd cuerdaa que está está en en x = 0 tiene tiene un despl desplazam azamien iento to de de y = A/ 2 . ¿Basta esta información para determinar el valor de Φ? Si además además sabemos que una partíula en x = 0 se mueve hacia y = 0 en t = 0, ¿qué valor tiene Φ ? (d) Explique en una forma general qué debe saber acerca del comportamiento de la onda en un instante dado para determinar el valor de Φ. a) Las funciónes cortan de manera descendente el eje de las y en el siguiente orden:
ACos ACos ACos ACos x ACos x x x
Π
x x
Π
x x x x
4
2 3Π 2 3Π 4
4Π , Cosx Π2 , Cosx 34Π , Cosx 32Π , x, 0, 3 Π, Ticks Range0, 3 Π, Π4 , Axes AxesLa Labe bell x, y
Plot Cos x , Cos x
y
1.0
0.5
Π
Π
3Π
4
2
4
Π
5Π
3Π
7Π
4
2
4
0.5
1.0
b)
kx Ωt Φ Ν AΩSenkx Ωt Φ Νy y
c)
y t
ACos t
2Π
9Π
5Π
11 Π
4
2
4
x
3Π
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
32
Si, podemos hacer lo siguiente para obtener el ángulo de desfase: A
2
Cos Φ
Φ ArcCos
A
2
El valor del ángulo de desfase es:
12
Φ ArcCos Φ
Π
4
d) Su función de onda, su amplitud y el punto en el que corta el eje y . 31.- Un hilo de 50 cm de longitud longitud vibra vibra someti sometido do a una tensión tensión de 1.00 1.00 N. La figura figura muestra muestra cinc cinco o imág imágen enes es estr estrob obos oscó cópi pica cass suce sucesiv sivas as del del hilo hilo.. La lámp lámpar araa prod produc ucee 5000 5000 dest destel ello loss por por minuto y las observaciones revelan que el desplazamiento máximo se dio en los destellos 1 y 5, sin otros máximos intermedio intermedios. s. a) Calcule la longitud de onda, el periodo periodo y la frecuencia frecuencia de las ondas ondas que viajan por este este hilo. hilo. b) ¿En qué modo modo normal normal (armónic (armónico) o) está está vibran vibrando do el hilo? hilo? c) Calcu Calcule le la rapi rapide dezz de las las onda ondass viaj viajer eras as en el hilo hilo.. d) ¿Con ¿Con qué qué rapi rapide dezz se está está movi movien endo do el punto P cuando el hilo está en (i) la posición 1 y (ii) en la posición 3? e) Calcule la masa del hilo.
a) La longitud de onda se puede extraer visualmente: Λ 50cm
La frecuencia se obtiene de la siguiente manera:
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
5000 destello destelloss min
1 min min 60 s
5000.
1 ciclo ciclo 5 destello destelloss
"Hz"
60 5
16.666 16.6667 7 Hz
El periodo se obtiene con: T
1
T
60 5 5000.
"s"
T 0.06 0.06 s b) El modo armónico en el que vibra se obtiene visualmente, es el 2° armónico. c) La rapidez se extrae con: Ν Λ Ν
5000 60 5
0.5 0.5 "m s"
8.33333 3m s Ν 8.3333 d) La velocidad del punto P esta dada por:
Νy AΩCos Φ
(i) Cuando P esta en la posición 1, Νy vale:
Νy 0.15 2 Π
5000 60 5
Π2 "ms"
Cos
Νy 0.
(ii) Cuando P esta en la posición 3, Νy vale:
33
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
34
Νy 0.15 2 Π
5000
Cos Π "m s"
60 5
15.708 08 m s Νy 15.7
En esta psición P vale 15.7 m s, el signo únicamente indica la dirección en la que viaja. e) Tenemos que despejar Μ de la siguiente ecuación: F T T
Ν
Μ
F T T
Μ
Ν2
Recordamos que Μ m L
m L
; sustituimos Μ y despejamos m:
F T T
Ν2
mL
F T T
Ν2
m 0.5
1
0.5 5000 605
2
1000 "gr" "gr" 1000
m 7.2 7.2 gr 32.-Un oscilador vibra a 1250 Hz y produce una onda sonora que viaja a través de un gas ideal a 32.-Un 325 m/s, cuando la temperatur temperaturaa del gas es de 22.0 °C. Para cierto experimento experimento,, usted necesita necesita que el oscilador produzca un sonido con longitud de onda de 28.5 cm en ese gas. ¿Cuál debería ser la temperatura del gas para permitir que se alcance esa longitud de onda? La longitud de onda esta dada por: Λ
v
De tal forma que Λ1 y Λ2 se pueden obtener obtener de la siguiente siguiente manera:
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
RT1 Γ RT M
1
Λ1
Λ2
35
RT2 Γ RT M
1
Si despejamos la constante presente en ambas ecuaciones tenemos:
Λ1 T 1
Λ2 T 2
Γ R M
1
Γ R M
1
Igualamos ambas ecuaciones: Λ1 T 1
Λ2 T 2
Despejamos T 2 : T 2 T 1
T 2 T 1
Λ2 Λ1
Λ2 2 Λ1
T 2 T 1
Λ2 2 Λ1
T 1
Λ2 2 Ν1
Sustituimos numéricamente para obtener el resultado (convirtiendo la temperatura a Kelvins):
T2 273.15 22
0.285 1250 325
T2 354.63 354.638 8K Para convertir °C restamos 273.15 K:
T2 354.638 273.15 "°C"
2
"K"
36
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
T2 81.488 81.488 °C 33.-a) Demuestre que el cambio fraccional en la rapidez del sonido (dv/v) debido a un cambio 33.-a) muy pequeño en la temperatura dT está dado por dv/v = 21 dT/T . Sugerencia: Sugerencia: comience comience con la ecuación ΛRT M
v=
b) La rapidez del sonido en el aire a 20 °C es de 344 m/s. Utilice el resultado en el inciso a) para dete determ rmin inar ar el camb cambio io en la rapi rapide dezz del del soni sonido do que que corr corres espo pond ndee a un camb cambio io de 1.0 1.0 °C en la temperatura del aire. a) Para demostrarlo tenemos que derivar por dt: dΝ dT
dT12 dT
Γ R M
1 2
Γ R M
dT12
1 2 T
RT Γ RT M
Ν 2 T
Tenemos entonces que: dΝ dT
Ν 2 T
Reacomodamos y obtenemos: dΝ Ν
dT 2 T
1 2
dT T
b) Integrando obtenemos: Ν Ν
1 T 2 T
Despejamos Ν: Ν
Ν T 2 T
Suponemos que el cambio en la temperatura temperatura es de 1 °C 1 K ; resolvemos numéricamente:
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
344
37
1
20 273.15 "ms" 0.58673 3 ms Ν 0.5867 Ν
2
34.-a) Una onda longitudin 34.-a) longitudinal al que se propaga en un tubo lleno de agua tiene una intensidad intensidad de 3.00×106 W/m2 y su frecuenc frecuencia ia es de 3400 Hz. Calcule Calcule la amplit amplitud ud A y la longitud longitud de onda onda Λ para para esa onda. onda. La densid densidad ad del agua agua es de 1000 kg/m3 y su módulo módulo de volu volume men n es de 2.18 × 109 Pa. b) Si el tubo está lleno con aire a una presión presión de 1.00 × 105 Pa y la densidad densidad es de 1.20 kg/m3 , ¿qué amplitud A y longitud de onda Λ tendrá una onda longitudinal con la misma intensidad y frecuencia frecuencia que en el inciso a)? c) En qué fluido es mayor la amplitud, amplitud, ¿en agua o en aire? Calcule la razón entre ambas amplitudes. ¿Por qué no es 1.00 dicha razón? a) Conocemos la siguiente ecuación: 1
Ρ B Ω2 A2
I 2
Despejamos la amplitud y tenemos: 2I
A
ΡB Ω2
Sabemos que Ω 2 Π , hacemos la sustitución y resolvemos: 2 3 106
A
9
1000 2.18 10
2 Π 3400
A 9.43632 1011 m La longitud de onda esta dada por: Λ
Ν
Λ
B Ρ Ρ
2.18 109 1000 3400
0.43426 6m Λ 0.4342
"m"
2
"m"
38
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
b) Repe Repeti tim mos los los calc calcul ulo os ante anteri rior ores es pero ero ahor ahoraa con con los los datos atos para para el air aire B 1.42 105 y
1.2 kg m3 : Ρ 1.2 2 3 106
A
5
1.2 1.42 10
2 Π 3400
2
"m"
A 5.64351 109 m
1.42 105 1.2
Λ
3400
"m"
0.101175 75 m Λ 0.1011 c) En el aire es mayor la amplitud. Aaire Aagua Aaire Aagua
5.64351 109 9.43632 1011
59.8063
La amplitud en el aire es casi 60 veces mayor. La razón de que no sea 1 es que para una misma frecuencia, la amplitud necesaria en un medio mucho menos denso tiene que ser mayor para transmitir la misma cantidad de energía. 35.-La intens 35.-La intensida idad d debida debida a varias varias fuente fuentess de sonido sonido independ independien ientes tes es la suma suma de las intens intensiidades individuales. a) Cuando cuatro cuatrillizos lloran simultáneamente, ¿cuántos decibeles es mayor el nivel de intensidad intensidad de sonido que cuando cuando llora uno solo? b) Para aumentar aumentar el nivel de inte intens nsid idad ad de soni sonido do,, otra otra vez vez en el mism mismo o núme número ro de deci decibe bele less que que en a), a), ¿cuá ¿cuánt ntos os bebé bebéss llorones más se necesitan? a) El cambio en la intensidad se obtiene con:
Β 10. Log104 "dB"
Β 10 dB Log
4 Ibebe Ibebe
6.0206 dB Β 6.0206
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
39
b) Para volver a incrementar en esa misma cantidad el nivel de intensidad tenemos que multiplicar plicar por 4 el número número de bebes llorand llorando o a la vez; pero pero como como ya había 4 bebes bebes llorando llorando solamente se necesitarían 12 bebes mas. 36.-La frecuencia fundamental de un tubo abierto es de 594 Hz. a) ¿Qué longitud tiene este 36.-La tubo? Si se tapa uno de los extremos extremos del tubo, calcule calcule b) la longitud de onda y c) la frecuencia frecuencia de la nueva fundamental. Sabemos que para un tubo abierto: v
f 2 L
Y para un tubo cerrado: v
f 4 L
Sabemos que la velocidad del sonido es v 343 m s. a) Despejamos Despejamos L en la ecuacion ecuacion de frecuencia para un tubo abierto y sustituimos sustituimos los valores para obtener: v
v
f 2 L L 2
L
343.
"m"
2 594
L 0.2887 0.288721 21 m La longitud del tubo es de aproximadamente 29cm. b) Usamos la ecuación de la frecuencia para un tubo cerrado y la igualamos con Λv : v
Λ
v 4L
Λ 4L
Λ 4 0.2887 "m"
1.1548 48 m Λ 1.15 c) Podemos que la ecuación para la frecuencia fundamental en un tubo cerrado es la mitad que la frecuencia fundamental de un tubo abierto:
40
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
v
1
v
f 4 L 2 2 L
f
594 2
"Hz"
f 297 297 Hz 37.-Uste 37.-Us ted d sopl soplaa al ras ras de la boca boca de un tubo tubo de ensa ensayo yo vací vacío o y prod produc ucee la onda onda esta estaci cion onar aria ia fundamenta fundamentall de la columna de aire de su interior. interior. La rapidez rapidez del sonido sonido en aire es de 344 m/s y el tubo tubo actúa actúa como tubo cerrado. cerrado. a) Si la longit longitud ud de la column columnaa de aire es de 14.0 14.0 cm, ¿qué frecue frecuenci nciaa tiene tiene esta esta onda onda estaci estaciona onaria ria?? b) Determ Determine ine la frecue frecuenci nciaa de la onda onda estaci estaciona onaria ria fundamental en la columna de aire, si el tubo de ensayo se llena l lena hasta la mitad con agua. a) Sabemos que la frecuencia esta dada por:
v Λ
La longitud de onda para un tubo cerrado esta dada por: Λ
Ln 4
Donde n es el número de armónico, en este caso vale 1. Despejamos Λ y tenemos: Λ 4L
"cm" Λ 4 14 "cm" Λ 56cm
Ahora sustituimos Λ y resolvemos:
344 0.560
"Hz"
614.28 614.286 6 Hz
b) Al llenar el tubo hasta la mitad con agua, la longitud L se reduce a la mitad: L
14 2
"cm"
L 7 cm
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
41
Y como Λ 4 L tenemos que: "cm" Λ 4 7 "cm" Λ 28cm
La frecuencia esta dada por:
344 0.28
"Hz"
1228.5 1228.57 7 Hz
38.- Dos guitarri guitarrista stass intent intentan an tocar tocar la misma misma nota nota con longitu longitud d de onda onda de 6.50 6.50 cm al mismo mismo tiempo, pero uno de los instrumentos está ligeramente desafinado y, en vez de ello, toca una nota nota cuya cuya longit longitud ud de onda onda es de 6.52 cm. ¿Cuál es la frecue frecuenci nciaa del pulso que estos estos músicos músicos escuchan cuando tocan juntos? La frecuencia de batido esta dada por:
, las frecuencias se obtienen con:
batido 1 2
Tomando Ν 343 m s
v Λ
1
343 .065
"Hz"
5276.92 2 Hz 1 5276.9 2
343 0.0652
"Hz"
5260.74 4 Hz 2 5260.7 batido
5276.92 5260.74 "Hz"
batido 16.1 16.18 8 Hz
39.-a) Una 39.-a) Una fuen fuente te sono sonora ra que que prod produc ucee onda ondass de 1.00 1.00 kHz se muev muevee haci haciaa un rece recept ptor or esta esta-cionario a la mitad de la rapidez del sonido. ¿Qué frecuencia oirá el receptor? b) Suponga ahora que la fuente fuente está estaciona estacionaria ria y el receptor receptor se mueve mueve hacia ella a la mitad mitad de la rapide rapidezz del sonido. sonido. ¿Qué frecuencia frecuencia oye el receptor? receptor? Compare su respuesta respuesta con la del inciso a) y explique explique la diferencia con base en principios de la física.
42
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
a) Usam Usamos os la ecua ecuaci ción ón del del efec efecto to Dopp Dopple lerr con con las las adec adecua uaci cion ones es nece necesa sari rias as (den (denom omin inad ador or con con signo negativo ya que el emisor se mueve hacia el receptor, y el receptor es estático u2 0): 2
v v u1
1
2
343 343
343 2
1000 "Hz"
2000 Hz 2 2000 b) Adecuamos nuevamente la ecuación de l efecto Doppler: 2
v u2 v
1
2
343 343 2 343
1000 "Hz"
2 1500 1500 Hz
La frecuencia en el inciso b) es menor que la del inciso a). 40.-Unaa gran 40.-Un gran torm tormen enta ta eléc eléctr tric icaa se apro aproxi xima ma haci haciaa una una esta estaci ción ón mete meteor orol ológ ógic icaa a 45.0 45.0 mi/h mi/h (20.1 m/s). m/s). Si la estación envía un haz de radar con frecuencia frecuencia de 200.0 MHz hacia la tormenta, tormenta, ¿cuál será la diferencia de frecuencia, entre el haz emitido y el haz reflejado en la tormenta que regres regresaa a la estaci estación? ón? ¡Tenga ¡Tenga cuidad cuidado o de utiliza utilizarr sufici suficient entes es cifras cifras signif significa icativ tivas! as! (Suger (Sugerenc encia: ia: considere que la tormenta refleja la misma frecuencia que la que recibe.) Usamos Usamos la ecuación del efecto Doppler para la frecuencia frecuencia que llega a la tormenta (la del efecto efecto Doppler relativista): 2
cv cv
1
Como las ondas son reflejadas hacia la estación meteorológica, la ecución queda así: 3
cv cv
2
cv cv
cv cv
1
cv cv
1
La diferencia de frecuancias esta dada por: 3 1
cv cv
1 1
cv cv
1 1
2 v cv
1
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
2 20.1
43
200 106 "Hz"
8
3 10 20.1
26.8 Hz 26.8 41.-Un jet pasa 41.-Un pasa voland volando o a Mach Mach 1.70 1.70 y altitu altitud d constan constante te de 950 m. a) ¿Qué ángulo ángulo a tiene tiene el cono de la onda de choque? choque? b) ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo después de pasar el avión directamen directamente te arriba oímos el estampido sónico? Desprecie la variación de la rapidez del sonido con la altitud. a) El número de Mach esta dado por: Núme Número ro de Mach Mach
u v
Y el ángulo de Mach haya estado dado por: Sen Θ Para
v u
v u
Θ arcsen
v u
Número ro de Mach Mach Núme
1
, evaluamos numéricamente y tenemos:
1.71 "rad"
Θ ArcSin
0.628875 75 rad Θ 0.6288 Para convertir a grados multiplicamos por Θ 0.628875
180 Π
180 Π
:
"°"
36.0319 9° Θ 36.031 b) Tenemos que: Tan Θ
altitud v jet t
t
t
altitud v jet Tan Θ
950
1.7 343 Tan 36.031 36.0319 9°
"s"
t 2.2398 2.23981 1s 42.-a) Defienda esta afirmación: “En una onda sonora senoidal, la variación de presión dada por 42.-a) la ecuación p(x, t) = BkAsin(kx - Ωt)
44
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
es máxima donde el desplazamiento dado por la ecuación y(x, t) = Acos(kx - Ωt) es cero”. b) Para una onda sonora senoidal dada por la ecuación anterior con amplitud A = 10.0 desplazamiento y y la fluctuació fluctuación n de presión presión p Μm y longitud de onda Λ = 0.250 m, grafique el desplazamiento en función de x en t = 0. Muestre al menos dos longitudes de onda en sus gráficas. c) El desplaza miento miento y en una onda sonora sonora no senoid senoidal al se muest muestra ra en la figura figura como como función función de x en t = 0. Dibuje una gráfica gráfica que muestre la fluctuación fluctuación de presión p en esta onda en función de x en t = 0. Esta Esta onda onda sonora sonora tiene la misma misma amplitud amplitud de 10.0 10.0 Μm que que la onda onda del del inci inciso so b). b). ¿Tie ¿Tiene ne la misma amplitud amplitud de presión? ¿Por qué? d) ¿Se cumple necesariamente necesariamente la afirmación afirmación del inciso inciso a), si la onda no es senoidal? Explique su razonamiento.
a) El módulo de volumen B se define como:
dV
B p x x , t
V
Despejamos la función de la presión:
p x x , t B dV V
El cambio de volumen dV V esta dado por: dV V
y x x ,t x
x , t : Sustituimos el cambio de volumen en la ecuación para p x
p x x , t B
y x x ,t x
Resolvemos la derivada parcial:
p x x , t B
B
x ,t y x x
kx Ωt
ACos x
B k A Sen kx Ωt
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
45
Si observamos la función de onda y su función de onda de presión, podemos apreciar que estan desfasadas desfasadas en Π 2; ese desfas desfasee causa causa que cuando cuando en una de ellas hay un máximo máximo,, en la otra otra A 0 . haya un mínimo para para el interv intervalo alo A
b) [Función de onda y x x , t A Cos kx Ωt p x x , t B k A Sen kx Ωt en guinda]
en azul, Función de la presión de onda
Con la longitud de onda indicada en el problema. 2Π Consideramos k 2ΛΠ 0.25 , A 10 106 m, t 0. m 2Π 10 Cos Cos x , 0.25
2Π
2Π Π Π x , x, , , 0.25 0.25 60 6 Π Π PlotRange 260, 260, AxesLab AxesLabel el "xm", "y Μ , Μm", Ticks Range0, , 2 28 GridLines 0.0625 0.0625,, Dashed Dashed, 2 0.0625, Dash Dasheed, 3 0.0625, Dash Dashed ed, 4 0.0625, Dash Dasheed, 5 0.0625, Dash Dashed ed, 6 0.0625, Dash Dashed ed, 7 0.0625, Dash Dasheed, 8 0.0625, Dash Dashed ed, 0, Dash Dashed ed
Plot
10 Sin Sin
Μm y Μ
200
100
Π
Π
3Π
Π
28
14
28
7
xm
100
200
Podemo Podemoss apreci apreciar ar que la afirmac afirmación ión del inciso inciso a) se cumple cumple;; ya que cuando cuando en la gráfica gráfica de la funció función n hay un mínimo mínimo (0), (0), en la gráfica gráfica de la presió presión n hay un máximo máximo (±A). (±A). Esto Esto es debido debido al desfase de Π 2 que hay entre ambas funciones.
c) Sabemos que la función de la presión es:
46
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
p x x , t B
y x x ,t x
La primera derivada derivada de una función nos da la pendiente pendiente de esta; de de tal forma forma que cuando cuando la pendiente de la funcion mostrada en la figura es negativa, la presión tomara un valor positivo constante. constante. Cuando la función mostrada mostrada en la figura es positiva, positiva, la presión presión toma un valor negativo constante. Abajo se muestra un bosquejo de como se vería la función de la presión:
0.12 0.125, 5, Dashe Dashed d, 2 0.125, Dash Dashed ed, 3 0.125, Dash Dasheed, 4 0.125, Dash Dashed ed, 0, Dash Dashed ed, Ticks .125, .25, .375, .5,
Plot , x, 0, .55 , Plot PlotRa Rang ngee 1, Axes AxesLa Labe bell "x", "x", "p" "p" , Grid GridLi Line ness
p
0.125
0.25
0.375
0.5
x
x , t esta en un La presió presión n no tiene tiene la misma misma amplit amplitud ud que la onda onda origin original, al, porque porque cuando cuando y x x , t esta en un mínimo o en un máximo respectivamente. Además máximo máximo o en un mínimo , p x las ondas de la presión parecen tener siempre una amplitud mayor a la de la onda original.
d) Creo Creo que para ara una una onda nda perió eriódi dica ca la afir afirm mació ación n del inci inciso so a) se cum cumple, le, pero pero no por por eso eso descarto que haya algunas excepciones. 43.-Un tubo de órgano tiene dos armónicos sucesivos con frecuencias de 1372 y 1764 Hz. a) ¿El 43.-Un tubo está abierto o cerrado? Explique su respuesta. b) ¿De qué armónicos se trata? c) ¿Qué longitud tiene el tubo? Para un tubo abierto la frecuencia de los armónicos esta dada por: n n 1
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
47
con n 1, 2, 3, 4, 5 .. ... Para un tubo cerrado solo estan presentes los armónicos impares n n 1
con n 1, 3, 5, 7, 9 .. ... Restamos las ecuaciones de dos armónicos seguidos en un tubo abierto para obtener 1 :
1764 1372 "Hz"
n n1 n 1 n 1 1 1 1
1 392 392 Hz
Para Para obte obtene nerr el núme número ro de armó armóni nico co al que que pert perten enec ecee la frec frecue uenc ncia ia tene tenemo moss que que desp despee jarlo: n
n n 1 n
n
1
1372 392.
n 3.5 n
1764 392.
n 4.5 Como sabemos los armónicos solo pueden ser multiplos enteros del armónico fundamental, de tal forma que el tubo no es abierto.Ah abierto.Ahora ora probamos probamos con un tubo cerrado cerrado (armónico (armónicoss seguidos seguidos impares):
n n2 n 1 n 2 1 2 1
Dividimos la 1 que obtuvimos mas arriba para conocer la l a frecuencia fundamental :
392 2
"Hz"
196 196 Hz
48
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
Con esta nueva frecuencia fundamental obtenemos el número de armónico para las dos frecuen cias dadas: n
1372 196
n7 n
1764 196
n9 Al ser números enteros concluimos que se trata de un tubo cerrado. b) Se trata de los armónicos 7° y 9° c) Para un tubo cerrado tenemos que:
v
4L
L
L
v
4
343.
"m"
4 196
L 0.43 0.4375 75 m 44.-a) De 44.-a) Dete term rmin inee las prim primer eras as tres tres frec frecue uenc ncia iass de modo modo norm normal al para para un tubo tubo de long longit itud ud L cerrado cerrado en ambos extremos. Explique Explique su razonamien razonamiento. to. b) Use los resultados resultados del inciso a) para estimar las frecuencias de modo normal de una ducha. Explique la relación entre estas frecuencias y la observación observación de que al cantar en la ducha sonamos sonamos mejor, sobre todo si cantamos cantamos con ciertas frecuencias. a) La condición de onda estacionaria es: n n
v
2L
En este caso n 1, 2, 3 de de tal tal for forma ma que: que:
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
1
343 m s , 2 2L
, 3 3 343
343 m s L
49
ms 2L
b) Considerando una ducha con L 1.5 m las frecuencias serán: 1
343
"Hz"
2 1.5
114.333 3 Hz 1 114.33 2
343 1.5
"Hz"
228.667 7 Hz 2 228.66 3 3
343
2 1.5
"Hz"
343. Hz 3 343. Según Según Zemans Zemansky ky & Sears Sears décimo décimoseg segund undaa edició edición, n, esas esas frecue frecuenci ncias as estan estan normal normalmen mente te en el rango de los hombres, así que es más probable que los hombres canten mejor en la ducha. 45.-Un murciélago vuela hacia una pared, emitiendo un sonido constante cuya frecuencia es de 45.-Un 2.00 2.00 kHz. El murcié murciélag lago o escuch escuchaa su propio propio sonido sonido más el sonido sonido reflejado reflejado por la pared. pared. ¿Con qué rapidez deberá volar para escuchar una frecuencia del pulso de 10.0 Hz? Usamos Usamos la fórmula fórmula del efecto Doppler Doppler con las adecuacione adecuacioness necesarias necesarias [el murciélago murciélago (emisor) (emisor) viaja hacia la pared (receptor (receptor)) de tal forma que el signo del denominador denominador es (-); la velocidad velocidad de la pared es 0] para el primer momento (del murciélago a la pared): 2
v v um
1
Hacemos lo mismo, pero ahora para el momento en que el sonido regresa al murciélago (ahora los los pape papele less se invi invier erte ten n de tal tal form formaa que que el emis emisor or tien tienee velo veloci cida dad d 0 y el rece recept ptor or es el que que viaja hacia el emisor (signo + en el numerador): 3
v um v
2
Sustituimos 2 en la fórmula del efecto Doppler para la frecuencia que regresa al murciélago:
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
50
v um v
3
2
v um v
v v um
1
v um v um
1
La frecuencia de batido esta dada por:
batido 3 1 10Hz
Sustituimos el valor de 3 y despejamos la velocidad del murciélago um.
2 v um v um
1
2 um
1 1
v um v um v um
1
2 um v um
1
1
v um
v
v um v um
1
um 1
um
v um 2 um 1
v 2 um 1 um 2 1 um v
um 2 1
Sustituimo imos numéricam icameente para obtener la velocida idad del murciéla iélaggo sabiendo que 10 Hz y v 343 m s:
um
10. 343
2 2000 10
"m s"
um 0.8553 0.855362 62 m s 46.-Una onda sonora 46.-Una sonora de 2.00 2.00 MHz viaja por el abdom abdomen en de una mujer mujer embara embarazad zadaa y es reflerefle jada por la pared cardiaca del feto, que se mueve hacia el receptor de sonido al latir el corazón. El sonido sonido reflejado reflejado se mezcla mezcla con el transmitido transmitido,, detectándo detectándose se 85 pulsos por segundo. segundo. La rapidez dez del del soni sonido do en el teji tejido do corp corpor oral al es de 1500 1500 m/s. m/s. Calcu Calcule le la rapi rapide dezz de la pare pared d card cardia iaca ca fetal, en el instante en que se hace la medición. Usamos la fórmula del efecto Doppler con las adecuaciones necesarias: 2
v uc v
1
Hacemos lo mismo, pero ahora para el momento en que el sonido regresa al murciélago (ahora los los pape papele less se invi invier erte ten n de tal tal form formaa que que el emis emisor or tien tienee velo veloci cida dad d 0 y el rece recept ptor or es el que que viaja hacia el emisor (signo + en el numerador):
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
3
v v uc
51
2
Sustituimos 2 en la fórmula del efecto Doppler para la frecuencia que regresa al murciélago: 3
v uc v
v v uc
1
v uc v uc
1
Al igual que el problema anterior tenemos que:
batido 1 3 85Hz
Restamos y luego despejamos la velocidad de la pared del corazón: 1
v uc v uc
1
1 2 v 2 2 v v uc v uc
v uc v uc v uc
1
uc 1
v
uc 1
uc
uc
2 uc
1
v uc
uc
uc
1
1
v
uc 2 1
Sustituimos numéricamente considerando 85 Hz, Hz, v 1500 m s: uc
85 1500.
2 2 106 85
"m s"
uc 0.0318 0.0318757 757 m s
Multiplicamo Multiplicamoss por 100 cm m para obtener aproximadamente 3.19 cm s. 47.-a) 47.a) Demuestre que la ecuación c v c v
f R
f S
puede escribirse así:
f R f S 1
1
v 1 2 c
v 1 2 c
52
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
b) Use el teorema binomial para demostrar que, si v c, esto es aproximadamente igual a f R f S 1 v c c) Un avión avión de recono reconocim cimien iento to sin piloto piloto emite una señal señal de radio cuya frecue frecuenci nciaa es de 243 MHz. Está volando volando directamente directamente hacia un ingeniero ingeniero de pruebas pruebas que está en tierra. tierra. El ingeniero ingeniero detect detectaa pulsos pulsos entre la señal señal recibi recibida da y una señal local que también también tiene tiene una frecuenc frecuencia ia de 243 MHz. La frecuencia del pulso es de 46.0 Hz. Calcule la rapidez del avión. (Las ondas de radio viajan a la velocidad de la luz, c = 3.00 × 108 m/s.) a) Si dividimos por c la ecuación dada obtenemos: v
v
1 c
R
v
1 c
1 c
s
v
1 c
s s
1 1 v 1 2 c
v 1 2 c
b) El teorema binomial dice que si x 1:
1 1 x n
n x
De tal forma que si v c podemos aproximar de la siguiente forma:
1 1 v 1 2 c
v 2c
y también:
1
v 1 2 c
1
v 2c
De tal forma que: R s
1 1 v 1 2 c
v 1 2 c
s 1
1
v 2 2c
s
v c
c) La frecuencia que recibe el ingeniero esta dada por la aproximación: R s
1 v c
Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
53
Despejamos Ν: R s
cv c
s c s v c R s c c R s v
v c
s R s
Como podemos apreciar s R ; hacemos la sustitución y resolvemos numéricamente: Ν 3 108
46.0 243 106
"m s"
56.7901 1m s Ν 56.790 48.-La figura muestra la fluctuación de presión p de una onda sonora no senoidal en función de 48.-La x para t = 0. La onda viaja en la dirección +x. a) Dibuje una gráfica que muestre la fluctuación de presión p como función de t para x = 0. Muestre al menos dos ciclos de oscilación. b) Dibuje una gráf gráfic icaa que que mues muestr tree el desp despla laza zami mien ento to y en esta esta onda onda en func funció ión n de x en t = 0. En x = 0, el desplazamiento en t = 0 es cero. Muestre al menos dos longitudes de onda. c) Dibuje una gráfica que muestre el desplazamiento y en función de t para x = 0. Muestre al menos dos ciclos de oscila oscilació ción. n. d) Calcule Calcule la veloci velocidad dad y aceler aceleraci ación ón máxima máximass de un elemen elemento to del aire por el que viaja esta onda sonora. e) Describa cómo debe moverse el cono de un altavoz en función de t para producir la onda sonora de este problema.
a) Aquí una aproximación de como se podría ver la gráfica de la presión contra el tiempo:
Plot 0 , x, 0, 10 , Axes AxesLa Labe bell "t s ", "p Pa " , Ticks icks None
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Tarea-Fisica 03-Ondas.nb
p Pa
ts
b)
*Gráfica extraida de Zemansky & Sears décimosegunda edición. c)
Plot 2.8 Sin
255Π x, x, 0, 120, Axes AxesLa Labe bell "ts", "ym", Plot PlotRan Range ge 3
ym 3
2
1
20
40
60
1
2
3
d) La velocidad máxima esta dada por:
80
100
120
ts
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v y y
y x
v
55
pΝ B
Donde Ν es la velocidad del sonido, B 1.42 105 para para el caso del aire y la presión presión es la máxima que alcanza p 40 Pa. Pa. vmáx
40 343 1.42 105
"m s"
vmáx 0.0966 0.0966197 197 m s
Si multiplicamos multiplicamos por 100 obtenemos obtenemos una velocidad velocidad máxima aproximada aproximada de 9.66 cm s. La acelerac eració ión n máxi máxima ma esta esta dada dada por por la pend pendie ient ntee máxi máxima ma de la pres presió ión n divi dividi dida da por por la dens densid idad ad (1.2 (1.2 kg m3 para el aire); la pendiente máxima de la presión se obtiene de la gráfica (y x ): ):
amáx
80 0.1
666.667 7 ms 666.66
amáx
1.2
"m s2" 2
e) El cono del altavoz se deberá mover hacia adelante y hacia atrás con una aceleración constante.
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