Onda

 

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO

FISICA II ONDAS INTEGRANTES -MORALES LUCIANO WATSON -MORALES VICOS -CARBAJAL MAGUIÑA -LIÑAN BUIZA -TADEO LOPEZ -FRANCISCO EV EVARISTO ARISTO -GONZALES VARGAS -SHUAN PALLACA

SILVA MAQUÍN  

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (MAS) El co sid sindera erlaa scomo co mov imi ent ten idsoe almupro preovye yect ar ovi mie circ ifpoarme rm sob uno susMdA iáSmesetros rocon s.nE igmo uienetle mo fig figvuim ra,ien el topuonbtte o nPido e actar veluoncim daov d iami ngeunlto ar ci corcu nusltar antuen, ifo sanedso o balrecaun boo ddee tiem ti empo poss ig igua uale less por por posi posici cion ones es P1, P2, P3, ... Al pr proy oyec ecta tarr esta estass posi posici cion ones es sobr sobree el diám diámet etro ro hori horizo zont ntal al,, se obti obtien enen en lo loss pu punt ntos os H1, H2, H3, ..., ..., qu quee det eter ermi mina nann las las posi posici cion ones es de la proy proyec ecci ción ón de dell punt punto, o, al de desp spla laza zars rsee ésta ésta sobr sobree el di diám ámet etro ro.. Es Este te pu punt ntoo pr proy oyec ecci ción ón se muev muevee recorr rec orrien iendo do esp espaci acios os dif difere erente ntess H1, H2, H3, ... ...,, en ti tiem empo poss ig igua uale les, s, au aume ment ntan ando do o di dism smin inuy uyen endo do en fo form rmaa es espe peci cial al..

P4

P3

P2 P1

P5

=

cte

P H5

H4

H3

H2

H1

 

OSCILACIÓN. - Camino recorrido entre dos pasos sucesivos por un mismo punto y en el mismo sentido PERIODO. -Tiempo invertido por el punto P, en dar una oscilació oscil aciónn comp completa leta..

FRECUENCIA. - Número  Número de oscilaciones oscilaciones comple completas tas realizadas en le unidad de tiempo. ELONGACION DE UN PUNTO. - Distancia desde el punto a la posición inicial. AMP AM PLI LIT TUD UD.. - Máxima elongación del punto. En la figura correspon corres ponde de al rad radio. io. La ve velo loci cida dadd angu angula lar  r   , del punto cuya proyección origina el movi mo vimi mien ento to armó armóni nico co,, reci recibe be el nomb nombre re de PU PULS LSAC ACIÓ IÓN. N.

 

RELACIONES ENTRE PULSACIÓN, PERIODO Y FRECUENCIA a) Relac Relación ión eentre ntre perio periodo do (T (T)) y la p pulsa ulsación ción ( ) Si el punto P tarda T en recorrer 2 y tarda “t” en recorrer t, según esto tendremos:

   



2   T 

Si el punto P, P, tarda T segundos en dar una vuelta, tarda 1 segundo en dar “f” vueltas. Por tanto:

T=

1

 f 

 

 

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

P2 A

A

O

 = cte

1

2    t

x

H

B



P1 P

x = A sseen  1. x = A sen(180-(wt+ϕ) x = A sen (t + ) (1) x = A cos (t + ) (2) Que determina el mismo tipo de movimiento, aunque desfasado 900 con la expresión (1).

 

Velocidad y aceleración del MAS

   x  1   A    2

v2 = A22

Al derivar la ecuación (1) se obtiene: v = A  cos ( t +  ) (3) Derivando (3), se obtiene: a = -A 2 sen (t +  )

v2 = A22  A  x    A  2

(4)

2 

v = A cos(t + ) v2 = A2 2 cos2 ( t +  )

a = -2x

En la expre expresión sión (1) sen (t + ) =  x

2 2

Cos2 (t + ) =

  A 1 – sen2 (t

+ ) (c)

Reemplazando (b) y (c), en (a):

2

v =   A     x A = -A2 sen(t + ); x = A sen(t + )

(a)

Además, tenemos:

2

2

sen2A+c o s2A = 1

Sen2 (t +  ) =

2

 x  A

(6)

 

, x, v, a; utilizando la frecuencia “f”:

Las fórmulas de la fuerza recuperadora (FR  = -kx -kx = m maa); la constante elástica “k”, la frecuencia “f” y el

En la figura anterior tenemos:

 periodo “T”; se pueden escribir así:

 

=

  1

1 = t

 

(d)

t 

Para una vuelta:   1    2  

=

t

T 



FF= m.a m(-4 -42 f 2x) R  = -kx = m( Por consiguiente: k = 42f 2m

En (d):  = 2 f t

2

   f 

1

f =

2  

T = 2 Las expresiones (1), (2), (3), (4), (5), y (6): (1) x = A sen (2 f t + ) 2) x = A cos(2 f t +) (5) v =  2 f  A  x (4) (4) a = - 4 2f 2 sen(2 f t + ) (6) a = -42 f 2 x 2

2

k 

1

m  

m k 

 

Ejercicios resueltos Ejercicio 1 Una partícula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene en el instante inicial su ma´xima ´xima velocidad velocidad que es de 20 cm/s. cm/s. Determina Determina las constante constantess del mo- vimiento vimiento (amplitud, (amplitud, fase inicial, inicial, pulsacio ´n, f recuencia peaceleracio riodo) y ´n escribe escri expresiones e xpresiones de la elongaci´on, velocidad vel ocidad y acelera aia celeracio cio´n.entre Calcula la la elongaci´ on,frecuencia velocidadyyperiodo) enbeellasinstante diferencia de fase este t   = 1,75   π   s. ¿Cual es la diferenc instante y el instante inicial?

 

Solu So lucio cio´n 1 La amplitud es igual a la mitad del segmento recorrido:  A  = 5·10−2 m. Las expresiones generales de la elongaci´ elonga ci´on y de la velocidad velo cidad son: x = A · sin(ω · t + ϕ0);

v = dt  = A · ω · cos(ω · t + ϕ0)

Como en el instante inicial la velocidad es máxima, se tiene que la fase inicial es: cos(ω · 0 + ϕ0) = 1 ⇒ ϕ0 = 0 rad

Del valor de la máxima velocidad se deducen el resto de las constantes del movimi movimiento. ento.

= A · ω = 0,20 m/s  ⇒  ω = vma´ x  = 0,20 = 4 rad/s  A   0,05 Las expresiones expresion es de la elongaci´on, velocidad y aceleració aceler ación y sus valores en el instante indicad indicado, o, t = 1,75  d x · π s, son: · · ·π − · · ⇒  t   v

 

v = dt   =2 cos (4 t) v = 0,2 cos (4 1,75 ) = 0,2 m/s a= = −0,8 · sin (4 · t) ⇒ at  = −0,8 · sin(4 · 1,75 · π) = 0 m/s dt = A · sin (ω · t + ϕ0) = 0,05 · sin (4 · t) ⇒ xt  = 0,05 · sin La diferencia de fase entre el

instante inicial y el t = 1,75 · π s es: ∆ϕ = ϕt  − ϕ = ω · 1,75 · π − 0 = 4 · 1,75 · π = 7 · π rad = (3 · 2 · π + π) rad por lo que los dos 0 instantes insta ntes est´an est´an en oposicio´ oposicio´n n de fase. fase.

 

Ejercicio 2 Deduce la expresi´on que que rel elac aciion ona a la velocidad velocida d y la elongaci´on de una part´ıcul ıcula a animada con un movimiento armo´nico ´nic o simple. simpl e.

Solución 2 Las expresiones generales de la elongaci´on y de la velocidad son: x = A sin (ωt + ϕ0) v = A.ω. cos(ωt + ϕ0)

Multi Mul tiene: tipl plica icand ndo o la l a primer primera a expre expresi si´ ´on por ω y elev elevan ando do al cuad cuadra rado do ambas ambas expres expresion iones es se

El signo doble se debe a que la trayectoria se puede recorrer en ambos sentidos en una misma posición. El signo doble se debe a que la trayectoria se puede recorrer en ambos sentidos en una misma posición. Sumando y operando: x2ω2 = A2ω2 sin2(ωt + ϕ0) v2 = A2ω2 cos2(ωt + ϕ0)

.

v

 

2

   ω (A  − x ) ⇒  v   ± ω (A2  − x2) =

2

2

2

=

 

Ejerci Eje rcicio cio 3

Una  partıcula  partıcula de  de 10−3 kg de masa recorre un segmento de 5 cm de longitud en 1 s, con movimiento vibratorio vibrato rio ar armo mo´nico simple. La p part´ art´ıcul ıcula a en el instan instante te inicial est´a situada en la posición central del recorrido y se dirige hacia elongacion elongaciones es po possitivas. a)   Calcula su energ´ıa cin´etica en eell iinstante nstante 2,75 s. primer er ins instante tante en que coinciden lo loss v valores alores de la energ´ıa cin´ ci n´etica y d dee la  b)   ¿Cua´l es el prim energ´ıa energ´ ıa potencial? c)   Representa gráficamente la velo velocidad cidad de la l a part´ıcul ıcula a frente al tiempo transcurrido.

 

Ejercicio 4 Un resort resortee se alarga alarga 4 cm cuando cuando se cuelga de ´el un objeto de 20 kg de masa. A continuació continuación, se estira el resorte resor te 3 cm más y se le deja que oscile libremente libremente.. Determina Determina el periodo y la pulsació pulsación del movimien movimiento. to. Calcula Calc ula los va valores lores de la elongaci´ elongaci´on, velocidad, velocidad, aceleraci aceleració ón y dureza dureza el´astica astica a los 2,1 s de in inic icia iado do el movimiento. movimi ento. ¿Cua´l es la diferencia de fase entre este instante y el instante inicial?

 

• 1. Un bloque pequeño ejecuta un movimiento armónico simple en un

plano horizontal con una amplitud de 0.1m. En un punto situado a 0.06 m de distancia de la posición de equilibrio, la velocidad es de 0.24 m/s. • a) ¿Cuál es el período? • b) ¿Cuál es el desplazamien desplazamiento to cuando la veloc velocidad idad es ± 0.12 m/s. m/s.

 

• A = 0.1 m • X = 0.06 m • V = 0.24 m. s-1 • a) • v =    A  x 

(0.1 m)  (0 (0.0 .06 6 m) • 0.24 m.s-1 =    (0.1 •    = 3 s-1 • T = 2π / ω • T = 2π /3 s-1 • T = 2,094 s • • b) • v =    A  x 

(0.1 m)  (x (x)) • 0.12 m.s-1 = 3 s-1 (0.1 • 0.04m = (0.1 (0.1 m)  (x (x)) • X = 0.092m

 

PÉNDULO SIMPLE El péndulo simple está formado por una masa “m”, “m”, suspendida de un punto fijo “O” por medio de un hilo inextensible de masa despreciable y longitud “l”, que oscila alrededor de otro punto fijo en el mismo vertical que “O”. “O”.

Se tr trat ataa de un si sist stem emaa qu quee tr tran ansf sfor orma ma la en ener ergí gíaa po pote tenc ncia iall (rel (relat ativ ivaa a su al altu tura ra ve vert rtic ical al)) en en ener ergí gíaa ci ciné néti tica ca (rel (relat ativ ivaa a su vel eloc ocid idaad) y vic vicev ever ersa sa,, de debi bido do a la ac acci ción ón de la fuer fuerza za gr graavi vittato tori riaa “mg” que ejerce la Tie Tierr rraa sobre la masa m (más (más conc concre reta tame ment nte, e, a la co compo mponen nente te de es esta ta fuerz fuerzaa perpen perpendic dicul ular ar al hilo, hilo, ta tamb mbién ién llllam amad adaa “restauradora” porque se di diri rige ge ha haci ciaa la po posi sici ción ón de equi equililibr brio io del del pénd péndul ulo; o; la ot otrra co comp mpon onen ente te,, en la di dire recc cció ión n de dell hi hilo lo,, ti tien enee igua iguall módu módulo lo pe perro con se sent ntid ido o op opue uessto a la te tens nsió ión n que que el hilo hilo prod produc ucee so sobr bree la masa masa,, po porr lo qu quee no in inttervi ervien enee en el movi movim mie ient nto o del péndulo péndulo). ).

 

El movimi movimient ento o oscila oscilator torio io result resultant antee queda queda caract caracteriz erizado ado por los sig siguien uientes tes paráme parámetro tros: s: Oscilació ión n compl pleeta o ciclo: es el des despl plaazamient ento de la esfera des desde uno uno de sus extremos más ale lejjados de la posició ión n de equil quiliibr briio has hasta su punt unto simé imétrico (pasando ndo por la posi posicció ión n de equil quilib ibri rio o) y de dessde este punt unto de nuev uevo ha hassta la po posi sicción inicial inic ial,, es decir decir,, dos oscila oscilacio ciones nes sencilla sencillas. s. Per erio iodo do:: es el ti tiem empo po empl emplea eado do por por la es esffer eraa en real realiz izar ar un ci cicl clo o u os osci cila laci ción ón co comp mple leta ta.. Frec Frecue uenc ncia ia:: es el nú núme mero ro de ci cicl clos os re real aliz izad ados os en la unid unidad ad de ti tiem empo po.. Ampl Am plit itud ud:: es el máxi ximo mo valor lor de la el elon onggac ació ión n o dis distanc ancia ha hast staa el pu punt nto o de eq equi uili libr brio io,, qu quee de depe pend ndee de dell ángul ngulo oα en entr tree la vert vertic ical al y el hi hilo lo.. sin  ≅ ), el movi Pa Para ra pequeñ pequeñas as ampli amplitu tudes des (sin movimi mien ento to os osci cila lato tori rio o de dell pé pénd ndul ulo o es ar armó móni nicco si simp mple le,, y el pe peri riod odo o de os osci cila laci ción ón T vi vien enee dado dado po porr la fór órmu mula la::

 

Es de deci cirr, el tiem tiempo po de os osci cila laci ción ón no de depe pend ndee ni de la masa masa “m” ni (p (par araa ampl amplit itud udes es pe pequ queñ eñas as)) de la ampl amplit itud ud in inic icia ial, l, po porr lo que que pu pued edee calc calcul ular arse se g a pa part rtir ir de medi medida dass de ti tiem empo poss (“T”) y longitu longitudes des (“l”):

El valor de g disminuye con la profundidad (hacia el interior de la Tierra) y con la altura (hacia el espacio exterior) toma tomand ndo o su va valo lorr máxi máximo mo para para un ra radi dio o igua iguall al te terr rres estr tre. e. En la supe superf rfic icie ie te terr rres estr tre, e, g va varí ríaa con la la lati titu tud d (l (laa ti tier erra ra no es esf esfér éric icaa, si sino no qu quee po pose seee un unaa forma rma más ir irrregul egulaar de deno nom mina inada geoi geoide de): ): el val alor or de g es meno menorr en el ec ecua uado dorr qu quee en lo loss polos (Ge = 9.78049 m/s2; Gp = 9.83221 m/s2). También g varía con la altitud respecto al nivel del mar y con las anom anomal alía íass de densi densida dad d de la co cort rtez ezaa te terr rres estr tre. e.

 

La fuer fuerza za ce cent ntrí rífu fuga ga tamb tambié ién n va varí ríaa el módu módulo lo y la di dire recc cció ión n de la acel aceler erac ació ión n de la gra grave veda dad d a di dist stin inta tass la lati titu tude dess (e (ess máxi máxima ma en el ec ecua uado dorr, donde donde ω2 R ≅ 0. 0.03 03 m/s m/s2). El péndulo simple, además de servir para calcular el valor de g con una considerable precisión, tiene muchas otras ap apli liccacion ciones es.. Se util utiliz izaa gene generralm lmen entte en la fabric bricac ació ión n de relo reloje jess pa parra la medic edició ión n de dell ti tiem empo po.. Per ero o tambié mbién n si sirv rve, e, pu pues esto to qu quee un pé pénd ndul ulo o os osci cila la en un pl plan ano o fi fijo jo,, co como mo prue prueba ba ef efec ecti tiva va de la ro rota taci ción ón de la Tier Tierra ra,, au aunq nque ue es estu tuvi vier eraa si siem empr pree cu cubi bier erta ta de nubes: En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris (latitud≅49°) 49°).. Un rec ecip ipie ient ntee qu quee conten ntenía ía are rena na est estaba suje sujetto al extr xtremo emo li libr bre; e; el hi hilo lo de ar aren enaa qu quee caía de dell cubo cubo mi mien entr tras as os osci cila laba ba el pénd péndul ulo o se seña ñala laba ba la tr traayect yector oria ia:: demo demost stró ró ex expe peri rime ment ntal alme ment ntee qu quee el pl plan ano o de os osci cila laci ción ón de dell pé pénd ndul ulo o gir giraba aba 11º 11º 15’ cada cada ho hora ra,, y po porr tant tanto o qu quee la Ti Tier errra ro rota taba ba..

 

ejercicios 1.Ca 1.Calc lcul ulee la long longit itud ud de un pé pénd ndul uloo simp simple le cu cuyo yo pe perí ríod odoo sobr sobree la tier tierra ra es (PI) (PI) se segu gund ndos os.. SOLUCION:

 

 =   = 9.8



  =? =? ? ?

 = 2

 

   = (2 ) 

  = 4 

  

  = 4  () 9.8 =

  

4 

 = .   

 

2. Un péndulo simple tiene una longitud de 0.50 m, y oscila con un periodo de 1 s, se procede a cambiar 2.0 m, calc calcul ular ar el valo valorr de la frec frecue uenc ncia ia del del pénd péndul uloo al alar arga gado do.. SOLUCION:

 

DATOS:

1   = 50    = 1 

   =

SI:   = 2   =  =?? ? ?

  =

 = 2 

=

    

=

=

 

2     

= 1 

 

1

0.5

1

2

  = .  

 

3. Se de dese seaa que un péndu éndulo lo sim simple le,, osc oscile co conn una frec frecuuenci ciaa de 0.2 0.25 Hz Hz,, en dos lu luggares ares,, un unoo en Bogo gottá cuya magn magnit itud ud de la ac acel eler erac ació iónn de la grav graved edad ad es de 9. 9.79 7955 m/ m/ss2 y otro en Ecu cuaador donde la mag agnnit ituud de la ace cele lera racció iónn de la grav raved edaad es de 9.7 .780 80 2 m/s , en enco cont ntra rarr la dife difere renc ncia ia de long longit itud ud de los los pénd péndul ulos os.. DATOS: ∆ =???   = 0.25  

     = 9.795 9.795 / /       = 9.780 9.780 /

 = 2

(

 2

) =

   

 = 9.8/ 

 

SOLUCION:  = (

 2

)

4   = 9.795( ) 2   = 3.9698   = 9.780(

4

)

2   = 3.9637

∆ =      = .     = . .  ∗ −  = . .   

 

4. Un péndulo simple está formado por una cuerda de 6.2 m y una masa puntual de 2kg que separamos 5 grados de la vertic ver tical al y dej dejamo amoss osc oscila ilarr librem librement ente. e. Calcular: a) El eriiod er odoo ydelalaamp mpl litud itudydae fuerza las oscil scresultante ilaaci cioones. es. sobre el cuerpo cuando la elongación es máxima.  b) La ptensión cuerda DATO DA TO:: g=9 g=9,8 ,8 m/s2    = 2    = 6.2  = 

a)    = 2

   

,

5°

 = 2

  . .

  = 5

¿A? = Es el arco, de longitud, según la figura Arco= ángulo por radio ---ángulo en radianes. 5   =   6. 6.2 180

= . 

 

Esqu Esquem emas as de fu fuer erza zass so sobr bree el cu cuer erpo po.. TY y PY se eq equi uili libr bran an PY =T   =  =   =    = 2 9.8 co coss 5  =   = 19.525

PY no se equilibra, cuando la elongación es máxima  = 5°   =  =     = 2 9.8 5°   = 1.708

 

5. Un Unaa niña niña de 20kg 20kg se bala balanc ncea ea co conn un unaa am ampl plit itud ud de 30 cm en un co colu lump mpio io,, cu cuya yass cu cuer erda dass mi mide denn 3m 3m.. ca calc lcul ular ar:: a) El tiem iempo que tarda arda en ha hace cerr un unaa osc sciila laci cióón. La energía cinética de la niña y su velocidad máxima. SOLUCION DATOS: m =20kg Amplitud = A =30 cm = 0.3 m L = 3m

á =

   

 = 0.3  = 0. 0.1 1   3 180  = 0.1   = 5.7°

 

a) el periodo de un péndulo simpe, tiempo que tarda en hacer una oscilación, viene dado por   = 2

   

,

 = 2

  . .

  = 3.48

a) La velocidad de la niña es máxima cuando pasa por la posición de equilibrio. En dicha posición toda la energía mecáni mec ánica ca es ene energ rgía ía cin cinéti ética, ca, no hay ene energ rgía ía pot potenc encial ial gra gravit vitato atoria ria.. La ener energí gíaa me mecá cáni nica ca de dich dichoo movi movimi mien ento to es es,,  

 =  

4   =  =     1 4  2   

 = 2       =   2 (20)(0.3)  = 3.48

  =  = .  

 

La velocidad de un cuerpo con esta energía cinética es, 1    =

=



2 

2   = 

2(2.93) 20

 = 0.54/ 0.54/

 

ONDAS MECÁNICAS: Definición: Fenómeno físico que consiste en la propagación de una perturbación mediante oscilaciones debido a las ondas en dos tipos: transversal y longitudin longitudinal. al. Onda transversal:

Es cuando las partículas oscilan en forma perpendicular a la propagación de la onda.

Note que mientras la partícula oscila verticalmente, la onda se propaga horizontalmente. Hay que tener presente que las ondas transversales solo se pueden generar en medios sólidos(por la fuerte interacción que hay entre las partículas del medio) y en la superficie de los líquidos (debido a la tensión superficial que crea una especie de capa sólida en su superficie). Sin embargo, en un medio gaseoso no es posible generar ondas transversales.

 

Onda longitudinal: Es aquella onda donde las partículas del medio oscilan en forma paralela a la propagación de la onda. Consta de una sucesión de contracciones y dilataciones del medio.

La onda longitudinal se puede generar en cualquier medio, ya sea sólido, líquido o gaseoso. Algunas ondas no son ni puramente transversales ni puramente longitudinales, longitudinales, como es el caso de las ondas que se aprecian en la superficie del agua, ya que las partículas se mueven hacia abajo y hacia arriba, pero también hacia adelante y hacia atrás, de tal manera que la trayectoria final es una elipse.

 

Velocidad de una onda: La velocidad de una onda depende exclusivamente de las propiedades del medio y suele ser uniforme cuando el medio es homogéneo (la densidad o presión no cambian). Se expresa así:

=   →=

1 

Donde V: velocidad ; :longitud de onda , f: frecuencia Velocidad de una onda en una cuerda: En una cuerda, la velocidad de una onda depende de su tensión y densidad lineal. La velocidad aumenta con la tensión, pero disminuye cuando la cuerda se hace más densa; es decir, en dos cuerdas sometidas a la misma tensión, tendrá mayor velocidad quien tenga menos densidad lineal (la cuerda más ligera es más veloz).

 

La ecuación de su velocidad está dada por: =

 

Donde T: tensión ; : densidad lineal, es decir, la masa por unidad de longitud de la cuerda =

Unidad: Τ

    

 

EJERCICIOS DE ONDAS Ejercicio 1 La ecuación de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es:  ,  = 0. 0.05 05co cos2 s2  (4 (4  2)

Determ Dete rmin inaa las las magn magnit itud udes es ca cara ract cter erís ísti tica cass de la on onda da (a (amp mplilitu tud, d, fr frec ecue uenc ncia ia an angu gula larr, núme número ro de on onda da,, lo long ngit itud ud de on onda da,, frecue fre cuencia ncia,, periodo periodo,, veloci velocidad dad de propag propagaci ación) ón) 1.

Deduce Dedu ce las las expr expres esio ione ness gene genera rale less de la ve velo loci cida dad d y acel aceler erac ació ión n tr tran ansv sver ersa sall de un el elem emen ento to de la cu cuer erda da y su suss va valo lore ress máximos.

2.

Deter Det ermi mina na los los valor alores es de la el elo onga ngaci ción ón,, ve velo loccidad idad y acele celerració ción de un pu punt nto o si situ tuad ado o a 1 m de dell ori rige gen n en el in insstan antte = t  3s

 

1.

Operando en la expresión de la onda:   ,  = 0,0 sió ón gener eraal: 0,05 5 co cos( s(8 8   4 ) y comparando con la expresi  ,  =  co cos( s(     ) se ti tien enee que: que: Amplitud:  = 0,05 0,05 m; rad/ d/m m; Frecuencia angular: Frecuencia angular:  = 8 rad/s; núm númer ero o de onda onda::  = 4 ra Longitud de onda: m; frecuencia: =

2 2  = 0. 0.5   = 4 

Aceler Ace leraci ación ón de vibraci vibración: ón: A=dv=− 3 ,2π cos2π (4t −

amax ´ = 3 ,2π m/s dt 

Velocidad de propagación:

1.

Velocidad de vibración:

m/s ⇒ v max ´ = 0 ,4π m/s dt 

2 x ) m/s

 

⇒

 

1.

Para ara calc calcul ular ar la el elon onggac ació ión, n, velo veloci cida dad d y acel aceler erac ació ión n de dell pu punt nto o co cons nsid ider erad ado o en el in inst stan ante te in indi dica cado do,, basta bas ta sustit sustituir uir sus valore valoress en las ecuacio ecuaciones nes genera generales les corres correspon pondien dientes tes..  y ( x   x = 1 ,t = 3 ) = 0 ,05 cos2 cos2π (4 · 3 − 2 · 1 ) = 0 ,05 m

El pu punt nto o se en encu cuen entr traa en su máxi máxima ma se sepa para raci ción ón cent centrral y ha haci ciaa la pa part rtee po posi siti tiva va.. v ( x   x = 1 ,t = 3 ) = −0 ,4π sin2π (4 · 3 − 2 · 1) = 0 m/s

 x = 1 ,t  = 3 ) = El punt unto esta´ en un extremo de la vibra bració ión n y por por el elllo su velo loccid idaad es igua uall a cer ero o. a( x  −3 ,2π 2 cos2π (4 · 3 − 2 · 1) = −3 ,2π 2 m/s2

Al estar el punto en el extremo positivo de la vibración, la aceleración es máxima y de sentido nega negati tivo vo,, se dirig dirigee haci haciaa el centr centro o de la os osci cila laci ción ón..

 

Ejercicio 2 Una onda transversal de 1 cm de amplitud y 100 Hz de frecuencia se propaga a lo largo del eje de abscisas con una ve velo loccida idad de 20 m/s. m/s. Es Escr crib ibee la ex expr pres esió ión n de la elon elonggació ción, ve velo loccid idad ad y ac acel eler erac ació ión n de un unaa pa part rtíc ícul ulaa si situ tuaada a 10 cm de dell fo foco co.. ¿En qué insta instant ntee alca alcanz nzaa esa partí partícu cula la lo loss va valo lore ress máxi máximo moss de la lass expr expres esio iones nes ante anterio riore res? s? Con Con los los dato datoss del del ej ejer erci cici cio o se dete determ rmina inan n la lass magni magnitu tudes des que ca cara ract cteri eriza zan n a la onda. onda. Ampl Amplitu itud: d:  A frec ecuen uenci cia: a: ν A = 0 ,01 m; fr = 100 Hz; per erio iod do: T  = 0 ,01 s; longitud de onda:  λ = 0 ,2 m; fr frec ecue uenc ncia ia an angu gula lar: r: 20 200 0π  rad ad//s; nú núm mero ero de on onda da:: k  = 10π  rad/m. Co Cons nsid ider eran ando do qu quee en el inst instaante nte inic inicia iall el foco oco vi vibr braa con su máxi máxima ma ampl amplit itud ud,, se ti tien enee qu quee la expr xpres esió ión n gene generral de la onda onda es es:: (100t − 5 x ) m  y ( x,t   x,t ) = A cos(ω t − k x ) = 10−2 cos(200π t − 10π x ) = 10−2 cos 2π (100 El tiempo que transcurre hasta que le llega la perturbación a la posición x = 0 ,1 m es:

a)La expresión de la elongación se determina sustituyendo la posición en la ecuación De la onda. (100t − 5 · 0 ,1 ) = 1 0−2 cos 2π (100 (100t − 0 ,5) s qu quee al alccanz nzaa su máximo ximo valo lorr si si::  y (  x  x = 0 ,1 ,t ) = 1 0−2 cos 2π (100 cos 2π (100 (100t − 0 ,5) = 1 ⇒ 2π (100 (100t − 0 ,5) = 0 rad

Lo qu quee oc ocur urre re en el in inst stan ante te:: t = 5 · 10−3 s  

Ti Tiem empo po qu quee coinc oincid idee con lo qu quee tar arda da en ll lleg egaar al punt punto o la pe pert rtur urba baci ció ón pr proc oced eden ente te de dell foc oco o, ya que que como omo el foco po pose seee su máxi má xima ma elon elonggació ación n en el in inst stan ante te in inic icia ial, l, es esta ta mi mism smaa el elon onggac ació ión n la ad adqu quie iere re el pu punt nto o co cons nsid ider erad ado o en el mi mism smo o in inst stan ante te en qu quee le lleg llegue ue la on onda da.. b) La ve velo loci cida dad d de vibra vibraci ción ón se obtie obtiene ne aplic aplican ando do la defin definic ició ión n de ve velo loci cida dad: d:

Quee alca Qu alcanz nzaa su máxi máximo mo va valo lorr si: si:

Quee su Qu suce cede de en el inst instan ante te:: t = 1 ,25 · 10−2 s Este tiempo transcurrido es la suma de los 5·10−3 s que tarda en llegar la perturbación al punto −3

cons nsiider derado y comenzar a vibr braar con la máxima ampl pliitud, ud, más los los 7 ,5·10 s, 3T/ 4, que emplea en lllleg egar ar al ce cent ntro ro de la os osci cila laci ción ón di diri rigi gién éndo dose se haci haciaa el elon onga gaci cion ones es po posi siti tiva vas, s, qu quee es do dond ndee su ve velo loci cida dad d es máxim máxima. a.

 

 jerci  je rcicio cio Un oscilador vibr braa con una frecu ecuenc encia de 500 Hz y gener nera onda ndas que que se pr pro opagan con una velo loccidad dad de 350 m/s. Halla: 2.

La sepa separa raci ción ón de do doss pu punt ntos os co cons nsec ecut utiv ivos os qu quee vi vibr bren en co con n una una dif difer eren enci ciaa de fa fase se de 60◦. El inte interv rval alo o de tiem tiempo po que que tran transc scur urre re en entr tree do doss es esta tado doss de vi vibr brac ació ión n co cons nsec ecut utiv ivos os de un pu punt nto o con un unaa di differ eren enci ciaa de fase de 180◦.

3.

Dif Difer eren enci ciaa de fase ase en un inst instan ante te cual cualqu quie iera ra en entr tree do doss pu punt ntos os se sepa para rado doss po porr un unaa di dist stan anci ciaa de  , 3,15 m.

1.

Soluc Sol ución ión  

El pe peri riod odo o y la long longit itud ud de ond ndaa so son: n: =   = 1.

   

 

  





 = 2 × 10− ; =   =

Un de desf sfas asee de 60◦ co corre rrespo sponde nde a:∆ = 60° =

 ×

  = 0. 7m

 

  =   .   Doss punto Do puntoss se sepa para rado doss por por una dista distanc ncia ia λ = 0 ,7 m es está tán n de desf sfas asad ados os 2π ra rad. d. Po Porr ta tant nto: o:  × 0.7 ∆ =   = 0.11 0.117 7 6

2. Una Una dif difer eren enccia de fase de 180 180◦ es equiv equival alen ente te a π ra rad d y lo loss in inst stan ante tess es está tán n en op opos osic ició ión n de fa fase se.. Doss insta Do instant ntes es separ separad ados os por por un ti tiem empo po T = 2 · 10−3 s es está tán n desfa desfasa sado doss 2π ra rad. d. Por Por ta tant nto: o:

∆ = 

 

 = 

×

  = 10− .





Quee es un tiem Qu tiempo po igua iguall a la mit itad ad de dell pe peri rio odo do..  

3. Dos Dos punto puntoss se sepa para rado doss por por una dista distanc ncia ia λ = 0 ,7 m es está tán n de desf sfas asad ados os 2π ra rad. d. Po Porr ta tant nto: o:

∆ = 2

∆

.



.

  = 2

  = 24,5 = 4 × 2 ×  + 

 = .

Lo Loss dos dos punt puntos os es está tán n en op opos osic ició ión n de fas ase. e. A la misma conclusión se llega expresando la distancia en función de la longitud de onda.∆ ∆ = 3.15 =  

quee es un múlt múltip iplo lo im impa parr de se semi milo long ngit itud udes es de on onda da.. 4.5 × 0.7 = , qu 

 

4. La ecuación de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por por una cuerda es: y (x, t) = 0,05 cos 2 π (4 t − 2 x) • número Determina de las onda, magnitudes longitud de características onda, frecuencia, de la onda periodo, (amplitud, velocidad velocida frecuencia d de propagación) propagació angular, n) • Deduce las expresiones generales de la velocidad y aceleración transversal de un

elemento de la cuerda y sus valores máximos.

Solución:

1. operando en la expresión expresión de la onda onda :  ,  = 0.05 cos 8 8  4 y comparando con la expresión general:  =  cos os( (   )) se tiene que: AMPLITUD:   = 0,05  FRECUENCIA ANGULAR:  = 8

 

 

NUMERO DE ONDAS:  = 4

 



LONGITUD DE ONDA:  = 2  =0,5 FRECUENCIA:  =

  

= 4 Hz

 

PERIODO:  =  = 0,25 0,25  

VELOCIDAD DE PROPAGACION:  =  = Velocidad de vibración: =

  

 

 = 2

 

= 0, 0,4 4 sin sin 2 4  2

 

  … … … á  = 0,4

 



Aceleración de vibración: =

 

= 3,2  cos cos 2 4  2

 

… … … … á  = 3,2 

  

 

5. Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si la perturbación se propaga con una velocidad de 0,5 m/s, escribe la expresión que representa el movimiento por la cuerda. • SOLUCION: -La frecuencia angular es:  = 2 = 4

 

  

-El número de onda es:  = expresión pedida es:

 =

2 π v/ν = (2 π /0,5)/2 = 8 π −

 =  cos    = 0,03 cos 4  8 •    = 0, 0,0 03 cos 4( 4(  2) 2)

-La