ENTRENAMIEN ENTRENAMIENTO TO OL´ IMPICO INSTITUTO NACIONAL 2010 ´ ´ ´ DE PROBLEMAS TECNICA ECN ICAS S BASICAS DE RESOLUCI RESOLUCION LISTA LISTA 1 ´ CRISTOBAL PARRAGUEZ PARRAGUEZ CRUZAT CRUZAT
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1. Problemas Prob Proble lema ma 1. 1. (*) (*) (CMA (CMAT 2003 Primer Nivel Individual Individual P1) Se escriben los n´umeros umeros del 1 al 100 como a continuaci´on: 1 2 3 4 ... 98 99 100 a) Es a) Es posible intercalar los s´ımbolos + o entre ellos de manera que el resultado de la operaci´on on sea 0? C´omo? omo? b) Es b) Es posible hacer lo mismo de manera que el resultado sea 1? Por qu´e? e? c) Intente c) Intente generalizar lo anterior ya no solo considerando la secuencia de 1 a 100, sino que de 1 a n . Explique Explique que condici´ condicion o´n debe existir sobre n para que lo pedido en a) en a) sea posible.
−
Problema 2. (Problema standard, intentar usar Teorema Chino del Resto) Cu´al al es el mayor n´ umero menor que 1500 que deja resto 1 cuando es divido por 5, 6 y 7? umero Problema 3. (CMAT 2003 Primer Nivel Individual P2) El promedio de 5 n´umeros umeros es 40. Al eliminar dos de ellos el nuevo promedio es 36. Cu´al al es el promedio de los dos n´ umeros umeros eliminados? Problema Problema 4. (CMAT (CMAT 2003 Segundo Segundo Nivel Individual Individual P2) Encuentre el menor natural n talque 15n se escriba s´olo olo con d´ıgitos 8 y 0. Problema 5. (CMAT 2003 Tercer Nivel Individual P1) Se sabe que el n´umero umero 1 + 2000 2001 2002 2003 es entero, determine su valor.
√
·
·
·
Problema 6. (CMAT 2003 Cuartao Nivel Individual P1) Encuentre los valores de x , y , z que verifican las siguientes igualdades: y x z = 51 = 17 = x+xyz 10 y +z Problema 7. (*) (CMAT (*) (CMAT 2003 Cuarto Nivel Individual P1) Considere los n´ umeros umeros x1 , x2 ,...,x n que pueden tomar el valor 1 ´o 1. Demuestre que si: x1 x2 x3 x4 + x2 x3 x4 x5 + x3 x4 x5 x6 + ... + xn x1 x2 x3 = 0 entonces n es divisible por 4.
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Problema Problema 8. (CMAT (CMAT 2003 Primer Nivel Individual Individual P1) En un colegio hay n estudiant estudiantes. es. Se sabe que n es capic´ua. ua. Adem´ Adem´ as, si los alumnos se forman en filas as, 1
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de a 3, entonces en la ´ultima ultima fila quedan R alumnos alumnos.. Si se forman forman en filas filas de a 4, quedan 3 alumnos en la ´ultima ultima fila. Finalment Finalmente, e, si se forman en filas de a 5, quedan quedan 5 en la ultima u ´ ltima fila. Determine el valor de n . Problema Problema 9. (CMAT 2003 Primer Nivel Individual P2) Considere Consi dere los c´ırculos ırculo s A,B,C,D , que no se intersecan. En el c´ırculo A hay 6 puntos, en el c´ırculo B hay 12 puntos, en el c´ırculo C hay 18 puntos y en el c´ırculo D hay 24 puntos. Cuntos Cuntos cuadril´ ateros ateros se pueden dibujar uniendo un punto de cada c´ırculo? ırculo? Problema 10. (CMAT 2003 Primer Nivel Individual P1) Considere un cuadrado de lado c, se trazan trazan sus diagon diagonale aless determ determina inado do 4 ´areas areas iguales, considere considere una cualquiera y den´otela otela como A1 . En algn lado construy construyaa un triangul trianguloo rect´ rect´ angulo angulo exterior de hipotenusa c , denote su ´area area como A 2. Demuestre que A 1 A 2 .
≥
Probl Problem ema a 11. (*) (*) (CMAT (CMAT 2003 Terce ercerr Nivel Nivel Individual Individual P1) Sea f : x2 talque f (x) = . Si n 1 + x2 f
+
f
+ f
1 11 2
1 n
+
∈ Z
R
→
R
, calcule: calcule:
+
f
+
f
+ f
2 12 2
2 n
+ ... + f + ... + f .. . + ... + f
n
1 n
2
+ +
n n
Problema 12. (CMAT 2003 Cuarto Nivel Individual P1) Una persona gana la loter´ıa ıa con un boleto b oleto cuyo n´ n umero u ´ mero se escribe de la forma abcabc, en representaci´on on decimal, donde a,b, so n d´ıgit ıg itos os,, a = 0. Pruebe que el n´umero umero premiado premiado es divisi a,b, c son ble por trece.
Problema Problema 13. (*) (CMAT (*) (CMAT 2004 Primer Nivel Individual P1) Determine el valor de: 1 1 + 1 2 + 3+ 1 + 1+ 1 1 1 4+
1
...+
1 100
3+
1
...+
1 100
Problema Problema 14. (CMAT (CMAT 2004 Segundo Segundo Nivel Individual Individual P1) Demuestr Demuestree que el di´ ametro de la circunferencia inscrita en un tri´angulo ametro angulo rect´angulo angulo es igual a la diferencia entre la suma de los catetos y la hipotenusa. Problema 15. (CMAT 2004 Segundo Nivel Individual P2) Determine si la ecuaci´on: on: 5 3 x + 2004x + x + 1 = 0 tiene alguna soluci´on on entera. Problema Problema 16. (*) (CMAT (*) (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P1) Encontrar el mayor n´ umero umero natural N de modo que cumpla las siguientes condiciones: a) [ a) [ N ] tiene sus 3 tres cifras iguales. b) Existe b) Existe p N talque [ N ] = 1 + 2 + ... + p. 3 Nota: La expresion [q ] se refiere a la parte entera del n´ umero q .
∈
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Prob Proble lema ma 17. 17. (*) (*) (CMAT (CMAT 2004 Primer Nivel Individual Individual P1) Consid´ Con sid´erese eres e el conjunto S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y sea D (S ) cualquier colecci´on on de n´ umeros umeros que se obtiene usando una y solo una vez cada elemento de S (por ejemplo D(S ) = 103, 456, 7, 2, 98 ). Sea F (D(S )) )) la suma de los elementos de D (S ), ), en el ejemplo seria 103 + 456 + 7 + 2 + 98 = 666. Es posible F (D(S )) )) = 100?
{
{
}
}
Problema Problema 18. (CMAT (CMAT 2004 Segundo Segundo Nivel Individua Individuall P2) Consideremos Consideremos dos circunferencias C 1 y C 2 , que se cortan en A y B . Se trazan los di´ametros ametros BC B C y BD B D en C 1 y C 2 respectivamente. Demuestre que A, C y D est´an an sobre una misma recta. Problema Problema 19. (CMAT 2004 Primer Nivel Individual P1) Puede llenarse exactamente (sin que sobre agua) un dep´osito de agua de 57 litros, litros, transport´ transport´ andola andola con dos baldes, uno de 6 litros y otro de 9 litro? Problema Problema 20. (CMAT (CMAT 2004 Primer Nivel Individual Individual P2) Dado un cuadrado cuadrado ABCD , sea E un punto cualquiera de B C , pero distinto de B y de C . La recta L es perpendicular perpendicular a la recta DE y pasa por B . Prolongamos DC hacia C de manera que corte a L en G . Determine ∠DGE . Problema Problema 21. (CMAT (CMAT 2004 Terce Tercerr Nivel Individual Individual P1) Encuentre todos los valores enteros positivos de n tales que el numero 3nn+89 sea entero. +2 Problema 22 (*) (CMAT (*) (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P2) Se coloca cada uno de los d´ıgitos de 1, 2, ..., ..., 9 en las 9 casillas de un cuadrado de 3x3, de forma arbitraria. arbitraria. Cada fila y cada columna determina determina un n´umero umero de 3 cifras (le´ (le´ıdos de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Llamaremos S a la suma de los 6 n´umeros umeros anteriores. Pueden colocarse los nueve d´ıgitos ıgitos de manera que S sea igual a 2004?
{
}
Probl Problem ema a 23. 23. (*) (*) (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P1) En el ao 1594, un grupo de piratas escondi´o un cuantio cuantioso so tesoro tesoro en una playa playa.. El jefe hall´ o en esta playa 3 palmeras, que denotaremos A, o enterrar el tesoro seg´un un este A, B , C ; e ide´ plan: ”Desde la palmera A, trazamos un segmento perpendicular y de igual medida que esta, esta, de forma an´ aloga, hacemos lo mismo con B , AC , siendo M el extremo de ´ y denotamos por N el extremo extremo de la perp perpendic endicular ular corr corresp espondie ondiente. nte. Finalmente, Finalmente, enterramos el tesoro en el punto medio del trazo M N .” Aos despu´ despu´es, es, unos buscadores buscadores de tesoros tesoros trataron trataron de desenterra desenterrarr el tesoro. tesoro. Desafortunadamente, la palmera C hab´ıa ıa desaparecido y no quedaban rastros de ella. Podra usted hallar el tesoro s´olo olo sabiendo la ubicacin de las palmeras A y B , adems del m’etodo empleado para enterrarlo?C´omo omo lo har´ıa?. ıa?. Problema 24. (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P1) Sea ABCD un trapecio, con AB CD . Trazamo razamoss las diagona diagonales les AC y BD , y luego luego trazamos trazamos una recta paralela paralela a AB , la cual llamaremos L. Si AB = a y C D = b , demuestre que:
||
L =
1 a
2 +1 b
Problema Problema 25. (*) (CMAT (*) (CMAT 2004 Cuarto Nivel Individual P1) Se tiene un tablero cuadriculado de n x n casilla casillas. s. En cada casilla casilla se coloca solo un 1, solo solo un 1, o
−
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solo un 0. Enseguida Enseguida se define f i como la fila i, ci como la columna i y d1 , d2 las diagonales, por otro lado se define S (f i ) ,S (ci ) ,S (di ) como la suma de los n´umeros umeros que componen cada fila, cada columna y cada diagonal respectivamente. Demuestre que entre todos los valores de S (f i ) ,S (ci ) ,S (di ) hay dos iguales. Problema 26. (CMAT 2004 Segundo Nivel Individual P1) En una antigua cr´onica onica del CMAT puede leerse el siguiente texto: ”Hace dos aos, el n´ umero umero de alumno alumnoss inscri inscritos tos era un cuadrado cuadrado perfecto perfecto.. El ao pasado el n´ umero umero de alumnos aumento en 100,obteni´ endose endose un cuadrado perfecto aumenta aumentado do en una unidad. Este ao, el n´umero umero de de alumnos inscritos supero en 100 el ao anterior, y este total es nuevamente un cuadrado perfecto” Determine el n´umero umero de alumnos inscritos en el CMAT en cada uno de los tres anos.
