Olimpiada Brasileira de Matematica

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2010

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Diretora editorial Silmara Sapiense Vespasiano Editora Rosa Maria Mangueira Assistente de produção Lilia Pires Preparadoras Juliana Valverde Lucila Barreiros Facchini Revisoras Alessandra Maria Rodrigues da Silva Cibely Aguiar de Souza Sala Fernanda Kupty Iara Rivera Soldera Solange Guerra Yara Affonso Coordenador de produção editorial Caio Leandro Rios Assistente de produção Ana Paula Iazzetto Editor de arte e projeto gráfico Carlos Augusto Asanuma Editoração eletrônica Diagramação Cláudia da Silva Nadir Fernandes Racheti Gerente de pré-impressão Reginaldo Soares Damasceno

APRESENTAÇÃO

Prezado professor, Este CD contém provas, gabaritos e resoluções das Olimpíadas Brasileiras de Matemática de 2000 a 2009, níveis 1 e 2, 1a. e 2a. fases, para você preparar avaliações, simulados ou questões extras. No propósito de aprimorar cada vez mais seu trabalho, é que oferecemos esta ferramenta, na certeza de que ela lhe será muito útil.

3

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009 PROVAS 7

Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC

8 Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 57 como soma de todos os pontos obtidos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

1 1 5 de um número é ,  quanto vale desse 8 5 8 número? 1 1 8 A) B) C) 1 D) E) 2 5 8 5

1 Se



2 Na figura, C é um ponA to do segmento BD tal que ACDE é um retângulo e ABCE é um paralelogramo de área 22 cm2. Qual é a área E de ABDE, em cm2? A) 28 B) 33 C) 36

Se a 5 240, b 5 320 e c 5 710, então: A) c , b , a D) b , c , a B) a , c , b E) c , a , b C) b , a , c

9 Usando palitos de fósforos, podemos construir um hexágono regular, formado por seis triângulos equiláteros unitários, como mostra a figura. Juntando mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro hexágono regular com o quádruplo da área, tam­ bém  formado por triângulos equiláteros unitários. Quantos palitos deverão ser acrescentados? A) 12 C) 30 E) 48 B) 24 D) 36

B

C

D

D) 42

E) 44

3 Numa festa, o número de pessoas que dançam é igual a 25% do número de pessoas que não dançam. Qual é a porcentagem do total de pessoas na festa que não dançam? A) 50% B) 60% C) 75% D) 80% E) 84% 4 De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas? A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 24

10 Cinco cartas iguais têm um lado branco e um lado preto. Elas se encontram em fila com a face branca para cima. Um movimento consiste em escolher um único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo, quantos movimentos são necessários para que as cartas fiquem como na figura ao lado? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Não é possível obter a configuração acima.

5 Eliana tem 27 cubos iguais em tamanho, mas 4 são brancos e os demais, pretos. Com esses 27 cubos, ela monta um cubo maior. No máximo, quantas faces inteiramente pretas ela poderá obter? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6 A figura ao lado é o mapa de A um bairro: os pontos A, B, C e D são as casas, e os segmentos B são as ruas. De quantas casas D é possível fazer um caminho que passa exatamente uma C vez por cada uma das ruas? É permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

11 Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Pe2 nha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha da barra, 5 1 Penha ganha e Sônia ganha 70 gramas, o peso 4 da barra, em gramas, é: A) 160 C) 240 E) 400 B) 200 D) 280

4

12 Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 corintianos, 14 flamenguistas e 10 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão em posições consecutivas, podemos concluir que: A) tal fila não existe. B) algum dos torcedores das extremidades da fila é gremista. C) algum dos torcedores das extremidades da fila é flamenguista. D) algum flamenguista é vizinho de um gremista. E) algum gremista é vizinho de dois corintianos.

16 O relógio de parede indica inicialmente meio-dia. 12

9

6

Os ponteiros das horas e dos minutos irão formar um ângulo de 90 graus pela primeira vez: A) entre 12h e 12h10min. B) entre 12h10min e 12h15min. C) entre 12h15min e 12h20min. D) entre 12h20min e 12h25min. E) após as 12h25min.

13 Na figura, P é um ponto da reta CD. A região cinza é comum ao retângulo ABCD e ao triângulo ADP. Se AB 5 5 cm, AD 5 8 cm e a área da região cinza é 3 da área do retângulo, quanto vale a distância PC? 4   A

B

M

Q

D



A) 1 cm B) 2 cm

C

C) 3 cm D) 4 cm

3

17 Eduardo escreveu todos os números de 1 a 2009 numa folha de papel. Com os amigos, combinou o seguinte: cada um deles poderia apagar quantos números quisesse e escrever, no fim da lista, o algarismo das unidades da soma dos números apagados. Por exemplo, se alguém apagasse os números 28,  3,  6, deveria escrever no fim da lista o número 7, pois 28 1 3 1 6 5 37. Após algum tempo, sobraram somente dois números. Se um deles era 2 000, qual dos números a seguir poderia ser o outro? A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 6

P

E) 5 cm

18 Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo? C) 364 cm2 E) 524 cm2 A) 144 cm2 B) 288 cm2 D) 442 cm2

14 Numa pesquisa sobre o grau de escolaridade, obtiveram-se os resultados expressos no gráfico abaixo:

19 O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão.



Que fração do total de entrevistados representa o total de pessoas que terminaram pelo menos o Ensino Fundamental? 5 1 11 3 16 A) B) C) D) E) 16 17 13 13 17

15 Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542, pois 1 , 2. Quantos números de três algarismos detonam 314? A) 120 C) 360 E) 600 B) 240 D) 480

Questões Estudantes

1

2

3

4

5

6

Arnaldo

0

1

1

1

1

0

Bernaldo

1

1

1

0

0

1

Cernaldo

0

1

1

1

1

0





5



Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m? A) 8 C) 10 E) 14 B) 9 D) 12

20 Alguns cubos foram empilhados formando um bloco. As figuras abaixo representam a vista da esquerda e da frente desse bloco.

vista da esquerda

4 Mariazinha deseja cobrir o tampo de uma mesa retangular de 88 cm por 95 cm colando quadrados de cartolina de lado 10 cm, a partir de um canto, como mostrado na figura. Ela cola os quadrados sem buracos nem superposições, até chegar às bordas opostas. Aí, em vez de cortar as folhas para não ultrapassar as bordas, ela as sobrepõe, formando regiões retangulares com duas folhas de espessura (região cinza) e uma pequena região retangular com quatro folhas de espessura (região preta). Qual é a área da região coberta por quatro folhas?

vista da frente

C)

D)

esquerda

B)

frente

frente

frente

esquerda

frente



E)

esquerda

A)

esquerda



esquerda

Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista?

frente

5 O número 200920092009... 2009 tem 2008 algarismos. Qual é a menor quantidade de algarismos que devem ser apagados, de modo que a soma dos algarismos que restarem seja 2008?

segunda FASE – parte A ••••••

6 Dizemos que dois ou mais números, com a mesma quantidade de algarismos, são membros da mesma família, quando todos possuem pelo menos um algarismo comum. Por exemplo, os números 72, 32, 25 e 22 pertencem à mesma família, pois todos possuem o algarismo 2, enquanto os números 123, 245 e 568 não pertencem à mesma família, pois não há um algarismo que apareça nesses três números. Qual é a maior quantidade de membros de uma família, cujos elementos têm três algarismos?

1 A figura abaixo mostra castelos de cartas de 1, 2 e 3 andares. Para montar esses castelos, foram usadas 2, 7 e 15 cartas, respectivamente. Quantas cartas serão necessárias para montar um castelo de 5 andares?

segunda FASE – parte B •••••• (1)

(2)

1 Carlinhos tem folhas iguais na forma de triângulos retângulos de lados 6 cm, 8 cm e 10 cm. Em cada triân­gulo, o ângulo assinalado opõe-se ao menor lado. Fazendo coincidir lados iguais desses triângulos sobre uma mesa, sem superpor as folhas, ele desenha o contorno de cada figura obtida (linha grossa), como nos exemplos abaixo. O perímetro de uma figura é o comprimento do seu contorno.

(3)

2 Numa classe do 6º.   ano, de cada 11 estudantes, 4 são meninas. Se há 15 meninos a mais que meninas, quantos alunos há na classe? 3 Num curso com duração de cinco dias, a frequên­cia dos alunos foi registrada na tabela abaixo: Dia de aula

1o dia

2o dia

3o dia

4o dia

5o dia

Quantidade de alunos presentes

271

296

325

380

168

fig. 1

fig. 2

a) Qual é a diferença entre os perímetros das figuras 1 e 2 do exemplo? b) Com figuras de três triângulos, qual é o maior perímetro que pode ser obtido?

Cada aluno faltou exatamente dois dias. No dia de menor frequência, de quantos por cento foi o total de faltas?

6

2 Esmeralda ia multiplicar um número A de três algarismos por outro número B de dois algarismos, mas na hora de multiplicar inverteu a ordem dos dígitos de B e obteve um resultado 2 034 unidades maior. a) Qual era o número A, se os dígitos de B eram consecutivos? b) Qual seria o número A, se os dígitos de B não fossem consecutivos?

A 5 A figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos A, B, C e D são as casas, e os segmentos B são as ruas. De quantas casas D é possível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? C É permitido passar mais de uma vez por uma mesma casa. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3 Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jogos por rodada, tem 8 participantes, cujas pontuações por jogo são as usuais: um ponto por vitória, meio ponto por empate e nenhum ponto por derrota. Cada par de jogadores se enfrenta exatamente uma vez. a) Ao término da terceira rodada, é possível que um grupo de jogadores esteja em primeiro lugar e o restante dos jogadores esteja em segundo lugar? Explique por meio de um exemplo. b) Ao término da terceira rodada, é possível que todos os jogadores tenham pontuações diferentes? Explique.

6 Os inteiros positivos m e n satisfazem 15m 5 20n. Então é possível afirmar, com certeza, que mn é múltiplo de: A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20 7 Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542, pois 1 , 2. Quantos números de três algarismos detonam 314? A) 120 C) 360 E) 600 B) 240 D) 480

Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC

8 Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Pe2 nha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha da barra, 5 1 Penha ganha e Sônia ganha 70 gramas, o peso 4 da barra, em gramas, é: A) 160 C) 240 E) 400 B) 200 D) 280

1 1 5 de um número é , quanto vale desse 8 5 8 número? 1 1 8 B) C) 1 D) E) 2 A) 8 5 5

9 Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 57 como soma de todos os pontos obtidos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

1 Se

2 Usando palitos de fósforos, podemos construir um hexágono regular, formado por seis triângulos equiláteros unitários, como mostra a figura. Juntando mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro hexágono regular com o quádruplo da área, tam­ bém formado por triângulos equiláteros unitários. Quantos palitos deverão ser acrescentados? A) 12 B) 24 C) 30 D) 36 E) 48

10 Na figura ao lado, a 5 18° e AB 5 AC 5 AD 5 AE. O valor do ângulo b é:

D) 20o E) 30o

b _

C

D

E

11 Cinco cartas iguais têm um lado branco e um lado preto. Elas se encontram em fila com a face branca para cima. Um movimento consiste em escolher um único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo, quantos movimentos são necessários para que as cartas fiquem como na figura ao lado? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Não é possível obter a configuração acima.

4 Se

ααα

B

3 De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila se marido e mulher devem sentar-se em cadeiras vizinhas? A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 24 1 1 5 4, o valor de é: x1 6 x1 5 4 2 1 1 A) B) C) D) 5 3 4 5

A) 18o B) 36o C) 15o

A

E) 1

7

12 Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular, CDFG é um quadrado e DFH é um triângulo equilátero. O valor do ângulo b é: H

16 Na figura abaixo, E é o ponto médio de AB, F é o ponto médio de AC e BR 5 RS 5 SC. Se a área do triângulo ABC é 252, qual é a A área do pentágono AERSF? A) 168 F E B) 189 C) 200 D) 210 E) 220 B R S

F

b

G D

E

C A



A) 30o B) 36o

17 Quantos pares ordenados (x,  y) de números reais 2 2 satisfazem a equação (x y2) 1(x  y  2) 5 0? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) infinitos

B

C) 39o D) 45o

18 O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 questões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Piraldo elaborou uma tabela como a seguinte para organizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão.

E) 60o

13 Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 corintianos, 14 flamenguistas e 10 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão em posições consecutivas, podemos concluir que: A) tal fila não existe. B) algum dos torcedores das extremidades da fila é gremista. C) algum dos torcedores das extremidades da fila é flamenguista. D) algum flamenguista é vizinho de um gremista. E) algum gremista é vizinho de dois corintianos.

A) 1 cm B) 2 cm

C) 3 cm D) 4 cm A

B

M

Q

D

C

1

2

3

4

5

6

Arnaldo

0

1

1

1

1

0

Bernaldo

1

1

1

0

0

1

Cernaldo

0

1

1

1

1

0



14 Na figura, P é um ponto da reta CD. A região cinza é comum ao retângulo ABCD e ao triângulo ADP. Se AB 5 5 cm, AD 5 8 cm e a área da região cinza 3 é da área do retângulo, quanto vale a distân4 cia PC?

Questões Estudantes





Piraldo constatou que cada estudante acertou exatamente 4 questões e que cada questão teve a mesma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14

19 Entre os inteiros positivos n14018, n51, 2, ..., 20092 , quantos são quadrados perfeitos? A) 1 945 C) 1 947 E) 1 949 B) 1 946 D) 1 948

E) 5 cm

20 Para cada número natural n, seja Sn a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo, S2 5 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 1 16 1 18 1 20. Quanto é S1 1 S2 1 S3 1  1 S10? A) 2 925 C) 3 125 E) 3 325 B) 3 025 D) 3 225 21 Em uma folha quadriculada em que cada quadrado tem lado 2 cm, são desenhados dois círculos como na figura abaixo. A distância mínima entre os dois círculos mede: A) 3 cm

P

15 A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 1 13 ou, ainda, por 7 1 11. Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam? A) 112 C) 92 E) 80 B) 100 D) 88

B)

10 cm

( 10 13) cm D) ( 10 2) cm E) ( 10 3) cm C)

8

22 Quantos números naturais de 1 a 100, inclusive, podem ser escritos na forma de potência ab, com a, b  IN e a,  b . 1? A) 10 C) 14 E) 18 B) 12 D) 16

3 Dizemos que dois ou mais números, com a mesma quantidade de algarismos, são membros da mesma família, quando todos possuem pelo menos um algarismo em comum. Por exemplo, os números 32, 25 e 22 pertencem à mesma família, enquanto 123, 245 e 568 não pertencem à mesma família, pois 123 e 568 não pertencem à mesma família. Qual é a maior quantidade de membros de uma família, cujos elementos têm três algarismos?

23 Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo? A) 144 cm2 C) 364 cm2 E) 524 cm2 2 2 B) 288 cm D) 442 cm

4 Determine a quantidade de inteiros de dois algarismos que são divisíveis pelos seus algarismos. 5 Na figura abaixo, ABCD e EFGH são quadrados de lado 48 cm. Sabendo que A é o ponto médio de EF e G é o ponto médio de DC, determine a área destacada em cm2. E

24 Os inteiros 0 , x , y , z , w , t são tais que w 5 z(x 1 y) e t 5 w(y 1 z). Sendo w 5 9, então t é igual a: A) 45 C) 63 E) 81 B) 54 D) 72

L

A

25 Alguns cubos foram empilhados formando um bloco. As figuras abaixo representam a vista da esquerda e da frente desse bloco.

B H

F K

vista da frente

vista da esquerda

D

C

G

Olhando o bloco de cima, qual das figuras a seguir não pode ser vista?

D)

esquerda

B)

frente

frente

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 Sejam m e n dois inteiros positivos primos entre si. O Teorema Chinês dos Restos afirma que, dados inteiros i e j, com 0 < i , m e 0 < j , n, existe exatamente um inteiro a, com 0 < a , m ? n, tal que o resto da divisão de a por m é igual a i e o resto da divisão de a por n é igual a j. Por exemplo, para m 5 3 e n 5 7, temos que 19 é o único número que deixa restos 1 e 5 quando dividido por 3 e 7, respectivamente. Assim, na tabela a seguir, cada número de 0 a 20 aparecerá exatamente uma vez.

frente

esquerda

frente



E)

esquerda

C)

esquerda

A)

esquerda



frente

segunda FASE – parte A ••••••

Restos por 7

1 Esmeralda tem uma garrafa com 9 litros de uma mistura que tem 50% de álcool e 50% de água. Ela quer colocar água na garrafa de tal forma que apenas 30% da mistura seja de álcool. Quantos litros de água ela irá colocar?

Restos por 3

0

1

2

3

4

5

6

0 1

2 Se a, b, c e d são, em alguma ordem, 1,  2,  3 e 4. Qual é o maior valor possível de

19

2

ab 1 bc 1 cd 1 da?

Qual a soma dos números das casas destacadas?

9

2 Observe:

baricentro G do triângulo ABC pertence ao segmento MN, determine o comprimento do segmento BG. Obs.: Baricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo.

(x  r)(x  s) 5 x2  (r 1 s) x 1 rs

Assim, substituindo x por r e por s, obtemos: r2 (r 1 s)r 1rs 5 0 a(rn12 (r 1 s)rn11 1rs ? rn ) 5 0 ⇒ s2 (r 1 s)s 1rs 5 0 b(sn12 (r 1 s)sn11 1rs ? sn ) 5 0

4 Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jogos por rodada, tem 8 participantes, cujas pontuações por jogo são as usuais: um ponto por vitória, meio ponto por empate e nenhum ponto por derrota. Cada par de jogadores se enfrenta exatamente uma vez. a) Ao término da terceira rodada, é possível que todos os jogadores tenham pontuações distintas? b) Se no final do campeonato todos os jogadores têm pontuações distintas, qual o menor número possível de pontos obtidos pelo primeiro colocado?

Somando as duas equações e sendo Sn 5 a ? rn 1b ? sn, verifica-se que: Sn12 5(r 1 s)Sn11 rsSn Dados S1 5 ar 1bs 51 , S2 5 ar2 1bs2 5 2 , S3 5 ar3 1bs3 5 5 e S4 5 ar 4 1bs4 5 6 , determine S5 5 ar5 1bs5 . 3 Seja N o ponto do lado AC do triângulo ABC tal que AN 5 2NC e M o ponto do lado AB tal que MN é perpendicular a AB. Sabendo que AC 5 12 cm e que o

10

XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2008 PROVAS 4 O quociente e o resto na divisão de 26 097 por 25 são, respectivamente: A) 1 043 e 22 C) 143 e 22 E) 144 e 3 B) 1 044 e 3 D) 1 044 e 22

Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC

5 Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista? A) 2 B) 6 C) 20 D) 41 E) 62

1 Com segmentos de 1 cm de comprimento podemos formar triângulos. Por exemplo, com nove desses segmentos podemos formar um triângulo equilátero de lado 3 cm. Com qual número de segmentos a seguir é impossível formar um triângulo? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6 Sobre uma mesa retangular de uma sala foram colocados quatro sólidos, mostrados no desenho. Uma câmera no teto da sala, bem acima da mesa, fotografou o conjunto. Qual dos esboços a seguir representa melhor essa fotografia?

2 Esmeralda compra cinco latas de azeite a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco latas de leite em pó a três reais e doze centavos cada e três caixas de iogurte com seis iogurtes cada caixa ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinquenta reais e quer saber quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa a solução para este problema? A) 50  5 3 ( 4, 70 1 3,12) 1 18 3 0, 80 B) 5 3 4, 70 1 5 3 3,12 1 3 3 6 3 0, 80  50 C)  [5 3 ( 4, 70 1 3,12) 1 3 3 6 3 0, 80] 1 50 D) 50  [5 3 ( 4, 70 1 3,12) 1 3 3 6 1 0, 80] E) 50  [5 3 ( 4, 70 1 3,12) 1 6 3 0, 80]



3 Uma pesquisa foi feita entre pessoas de ambos os sexos, em igual número, com a seguinte pergunta: Entre as cores azul, vermelho e amarelo, qual é a cor que você prefere? Cada pessoa apresentou a sua preferência por uma, e só uma, dessas cores. E o resultado da pesquisa aparece nos gráficos abaixo:





A)

D)



B)

E)



C)

7 Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho? A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

Podemos concluir que, em relação ao total de pessoas pesquisadas, a ordem de preferência das cores é: A) I, II, III B) I, III, II C) II, I, III D) II, III, I E) III, II, I

11

8 Uma urna contém 2 008 cartões. Cada cartão recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 2 008. Retiram-se dois cartões ao acaso e somam-se os números dos cartões. Quantos números ímpares diferentes podem ser obtidos dessa maneira? A) 1 004 C) 2 007 E) 4 016 B) 1 005 D) 2 008

16 Três amigos moram na mesma rua: um médico, um engenheiro e um professor. Seus nomes são: Arnaldo (A), Bernaldo (B) e Cernaldo (C). O médico é filho único e o mais novo dos três amigos. Cernaldo é mais velho que o engenheiro e é casado com a irmã de Arnaldo. Os nomes do médico, do engenheiro e do professor, nessa ordem, são: A) A, B, C C) B, A, C E) A, C, B B) C, A, B D) B, C, A

9 Juntando quatro trapézios iguais de bases 30  cm e 50 cm, como o da figura abaixo, podemos formar um quadrado de área 2 500 cm2, com um “buraco” quadrado no meio. Qual é a área de cada trapézio, em cm2? 30 cm 45o

A) 200

17 Dois cartões iguais têm a forma de um triângulo retângulo de lados 5 cm, 12 cm e 13 cm. Esmeralda juntou os dois cartões sobre uma folha de papel e, contornando as beiradas com um lápis, obteve uma figura como a abaixo, que está fora de escala. Qual é o perímetro dessa figura?

45o 50 cm

B) 250

C) 300

D) 350

E) 400

10 Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares? A) 20 B) 48 C) 100 D) 125 E) 225



2 11 Sabe-se que do conteúdo de uma garrafa en9 5 de um copo. Para encher 15 copos iguais a chem 6 esse, quantas garrafas deverão ser usadas? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

A) 28 cm B) 35 cm

C) 42 cm D) 43 cm

E) 60 cm

18 Qual é o maior número de algarismos que devem ser apagados do número de 1 000 algarismos 20082008…2008, de modo que a soma dos algarismos restantes seja 2 008? A) 130 B) 260 C) 510 D) 746 E) 1 020

12 Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado? A) 6 C) 8 E) 10 B) 7 D) 9 13 A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

19 Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

14 No desenho temos AE 5 BE 5 CE 5 CD. Além disso, a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor da α razão ? β

A)

3 5

B)

4 5

C) 1

D)

15 Na multiplicação ao lado, alguns algarismos, não necessariamente iguais, foram substituídos pelo sinal *. Qual é a soma dos valores desses algarismos? A) 17 C) 37 E) 57 B) 27 D) 47

5 4

E)



5 3

A) 16

B) 25

C) 30

D) 60

E) 120

20 Três carros com velocidades constantes cada um, na mesma estrada, passam no mesmo momento por Brasilópolis. Ao viajar 100 quilômetros, o carro A passa por Americanópolis, 20 quilômetros à frente do carro B e 50 quilômetros à frente do carro C. Quando o carro B passar por Americanópolis, quantos quilômetros estará à frente do carro C? A) 20 B) 25,5 C) 30 D) 35 E) 37,5

3

12

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

SEGUNDA FASE – parte B ••••••

1 Nicanor quer completar o Sudoku abaixo, de modo que em cada linha (fileira horizontal) e cada coluna (fileira vertical) apareçam todos os números de 1 a 6. Qual é a soma de todos os números que faltam para completar o Sudoku?

1 Zezinho tem 37 cartões quadrados de lado 6 cm e 21 cartões quadrados de lado 9 cm. Ele quer colar esses cartões lado a lado, sem sobrepô-los nem deixar buracos, formando quadrados maiores. a) Apresente, através de desenhos, duas maneiras diferentes de Zezinho construir um quadrado de lado 27 cm. b) Quantos cartões são necessários para construir o quadrado com a maior área possível?

2

1 5

4

2 6

6

2 Para construir o arranjo triangular de letras ao lado, que tem 2 008 linhas, obedeceu-se a uma certa regra. a) Quantas vezes a palavra OBM aparece completamente na maior coluna desse arranjo? b) Quantas vezes a letra O aparece no arranjo?

4 3

2

2 A partir das igualdades 32  12 5 8 5 8 ? 1, 52  32 5 16 5 8 ? 2, 72  52 5 24 5 8 ? 3,  e 2 0092  2 0072 5 8 ? N,

3 Em Ferius, os pontos do dominó vão de 0 a 7, ao contrário de um dominó comum, em que os pontos vão de 0 a 6. Uma peça do dominó de Ferius é chamada importante se a soma de seus pontos é par. Por exemplo, os seguintes dominós são importantes:

podemos escrever 2 0092  1 5 4 ? N ? (N 1 1) . Qual é o valor de N? 3 Certo banco brasileiro obteve um lucro de R$ 4,1082 bilhões ao final do primeiro semestre de 2008. Esse valor representa um aumento de 2,5% em relação ao resultado obtido no mesmo período do ano passado. Qual é a soma dos dígitos do número inteiro que representa, em reais, o lucro desse banco no primeiro semestre de 2007?

a) Quantas peças diferentes possui o dominó jogado em Ferius? b) Quantas dessas peças são importantes? c) Qual é a soma dos pontos de todas as peças importantes?

4 A piscina do clube que Esmeralda frequenta tem a forma de um hexágono (polígono com seis lados), com um ângulo interno de 270º, os demais ângulos de 90º e os quatro lados menores com 12 metros cada. Esmeralda costuma nadar pelo meio da piscina, a partir do ponto A, descrevendo o trajeto representado, na figura, pelo ângulo reto ABC, em que AB 5 BC. Certo dia, ela nadou por esse trajeto 4 vezes, isto é, foi e voltou 2 vezes. Quantos metros ela percorreu?

Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC 1 No desenho temos AE 5 BE 5 CE 5 CD. Além disso, a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor α da razão ? β

5 Com o dinheiro que Carlinhos tinha, poderia ter comprado 600 gramas de queijo ou 400 gramas de presunto. Usando esse dinheiro, ele resolveu comprar quantidades iguais de presunto e queijo. Quantos gramas de cada item ele comprou? 6 Quantos números inteiros maiores que zero e menores que 100 possuem algum divisor cuja soma dos dígitos seja 5?

13



A)

3 5

D)

5 4



B)

4 5

E)

5 3



C) 1

2 Quantos dos números abaixo são maiores que 10? 3

A) 1

3 11 , 4 7 , 5 5 , 6 3 , 7 2 B) 2 C) 3 D) 4

10 Os algarismos a, b e c são tais que os números de dois algarismos aa , bc e cb são números primos, 2 e aa 1bc 1 cb 5 aa . Se b < c , então bc é igual a: A) 19 B) 17 C) 37 D) 29 E) 59

E) 5

1212 é igual a: A) 66

B) 122

3



C) 212 ? 36 D) 612

E)

12

11 Em um triângulo ABC foi traçada a altura AH. Sejam M e N pontos sobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que HM é perpendicular a AB, e HN é perpendicular a AC. Achar MN, sabendo que o perímetro do triângulo órtico do triângulo ABC é igual a 10. Observação: o triângulo órtico de um triângulo é aquele cujos vértices são as interseções das alturas do triângulo com os respectivos lados. Pode-se demonstrar que o incentro (encontro das bissetrizes) do triângulo órtico é sempre igual ao ortocentro (encontro das alturas) do triângulo original. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

12

4 Uma grande empresa possui 84 funcionários, e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês, e 80% dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas? A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 5 Edmílson, Carlos e Eduardo ganharam um total de R$ 150,00 lavando carros. Eles ganharam quantidades diferentes de dinheiro. Como eles são muito amigos, decidiram dividir o dinheiro ganho em partes iguais. Para isso, Edmílson deu metade do que ganhou para dividir em partes iguais entre Carlos e Eduardo, porém, Carlos tinha muito dinheiro e, portanto, deu R$ 10,00 a cada um dos outros dois. Finalmente, para que cada um tivesse a mesma quantidade de dinheiro, Eduardo deu R$ 2,00 a Edmílson. Quanto Eduardo ganhou antes da divisão? A) R$ 76,00 C) R$ 23,00 E) R$ 100,00 B) R$ 51,00 D) R$ 50,00

12 Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 13 Seja P(n) a soma dos algarismos pares do número n. Por exemplo, P(1234) 5 2 1 4 5 6. Qual o valor de P(1) 1 P(2) 1 P(3) 1 ... 1 P(100)? A) 200 B) 360 C) 400 D) 900 E) 2 250 14 De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

6 Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove números. A média aritmética dos 5 maiores é 68, e a média aritmética dos 5 menores é 44. A soma de todos os números é: A) 560 B) 504 C) 112 D) 56 E) 70

15 Sejam a, b, c, d números inteiros tais que a < 2b, b < 3c , c < 4d. Se d < 40, o maior valor possível de a será: A) 960 B) 959 C) 951 D) 934 E) 927 16 A figura abaixo é um exemplo de um quadrado mágico de ordem 4. A soma dos 4 números em cada linha, coluna e diagonal é 34. Então dizemos que a soma mágica deste quadrado mágico é 34. Suponha que exista um quadrado mágico de ordem 7, formado pelos números inteiros de 1 a 49. Determine sua soma mágica. 16 3 2 13 A) 175 B) 2 450 5 10 11 8 C) 1225 9 6 7 12 D) 190 E) 100 4 15 14 1

7 Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado? A) 6 C) 8 E) 10 B) 7 D) 9 8 A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9 Cinco inteiros positivos, a, b, c, d, e, maiores que um, satisfazem as seguintes condições:

17 Observe que:

a (b 1 c 1 d 1 e) 5 128

32 1 42 5 52 , 32 1 42 1 122 5 132 , 32 1 42 1 122 1 842 5 852.

b (a 1 c 1 d 1 e) 5 155 c (a 1 b 1 d 1 e) 5 203 d (a 1 b 1 c 1 e) 5 243 e (a 1 b 1 c 1 d) 5 275

Qual o menor valor possível da soma x 1 y com x, y inteiros positivos tais que 32 1 42 1122 1 842 1 x2 5 y2 ? 2 2 2 2 3 1 4 112 1 84 1 x2 5 y2 ?

Quanto vale a soma a 1 b 1 c 1 d 1 e? A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49



14

A) 289

B) 250

C) 425

D) 795

E) 103

18 Um número de três algarismos é 629 vezes menor que a soma de todos os outros números de três algarismos. Este número é: A) 450 D) 471 B) 785 E) 525 C) 630

23 O grupo A da última Copa do Mundo de futebol terminou com os seguintes resultados:

19 Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?



A) 16 B) 25

C) 30 D) 60

D

A

E





B) A2 5 A11A3



C) A2 > A11A3

Camarões

4

Dinamarca

0

A) 17

B) 18

C) 19

24 D) 20

E) 21

25 Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em 3 3 3 3 3 5 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e outra azul? A) 6 B) 12 C) 14 D) 16 E) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis.

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

F



5

C

A3

Sendo A1, A2 e A3 as áreas das regiões destacadas na figura, podemos afirmar que: A) A2 5 2A1 5 2A3 D) A2 < A11A3

Brasil

AC

C

2

7

4

22 Na figura abaixo os pontos A, B, C são colineares, assim como os pontos D, E, F. As duas retas ABC e DEF são paralelas.

A1

Áustria

24 Abaixo temos um quadrado mágico multiplicativo, onde o produto dos números em cada linha, coluna e diagonal é o mesmo e igual ao número de quatro dígitos ABCD, onde cada letra representa um dígito, e cada casa contém um número inteiro. Se AC representa o número de dois dígitos no centro do quadrado, a soma A 1 B 1 C 1 D vale:

E) 120

21 Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho? A) 1 C) 4 E) 8 B) 2 D) 6

B

Número de Pontos

Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apenas 1 gol, cada um. Além disso, Brasil e Dinamarca marcaram apenas 1 gol, cada um, enquanto Áustria marcou 3 gols. Qual o resultado da partida Áustria 3 Dinamarca? Observação: no grupo, cada seleção joga com as demais exatamente uma vez e, em cada partida, o time vencedor ganha 3 pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de empate, cada time ganha 1 ponto. A) 1 3 0 B) 2 3 1 C) 2 3 0 D) 0 3 0 E) Nada se pode afirmar.

20 Em um triângulo ABC, A 5 20o e B 5 110o. Se I é o incentro (centro da circunferência inscrita), e O, o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) do triângulo ABC, qual a medida do ângulo IAO? A) 20o C) 30o E) 35o o B) 25 D) 40o

A

Equipe

1 Sejam x e y números reais positivos satisfazendo as 17 equações x2 1 y2 51 e x 4 1 y 4 5 . Calcule o valor 18 1 de . xy

E) A22 5 A1 ? A3

15

2 Um viajante, que se encontrava perdido na floresta, andou 1 metro para o Leste, 2 metros para o Norte, 3 para o Oeste, 4 para o Sul, 5 para o Leste, 6 para o Norte, ..., 2 006 metros para o Norte, 2 007 para o Oeste e 2 008 para o Sul. Calcule, em metros, o valor inteiro mais próximo da distância entre as posições inicial e final do viajante. 3 Os números a e b são as raízes da equação x2  x  1 5 0. Calcule 13 ? α5 1 5 ? β7 .

SEGUNDA FASE – parte B ••••••

1 Encontre todos os triângulos retângulos, de lados com medidas inteiras, nos quais a área tem valor numérico igual ao do perímetro. 2 No quadro negro são escritos os números 12, 22, 32, 42, ..., 2 0082. Pedro e Igor jogam um jogo onde eles apagam alternadamente um número por vez até sobrarem apenas dois números. Se a diferença entre estes dois números for múltiplo de 2 009, Igor vence. Caso contrário, quem vence é Pedro. Sabendo que Pedro é o primeiro a jogar, diga quem possui a estratégia vencedora. Justifique sua resposta.

4 Em um triângulo ABC, seja D um ponto sobre o lado BC tal que DB 5 14, DA 5 13 e DC 5 4. Sabendo que o círculo circunscrito ao triângulo ADB tem raio igual ao do círculo circunscrito ao triângulo ADC, calcule a área do triângulo ABC.

3 Seja ABC um triângulo acutângulo com BC 5 5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE 5 CF 5 4, calcule a área do triângulo ABC.

5 Dado um número natural N, multiplicamos todos os seus algarismos. Repetimos o processo com o número obtido até obtermos um número com um algarismo. Este número será chamado de primitivo de N. Por exemplo, como 3 ? 2 ? 7 5 42 e 4 ? 2 5 8, concluímos que o primitivo de 327 é 8. Calcule a soma dos algarismos do maior número natural com todos os algarismos diferentes cujo primitivo é ímpar.

4 Um país tem 8 cidades, A1, A2, ..., A6, B, C, ligadas por rodovias de mão dupla satisfazendo as seguintes condições: B e C são ambas ligadas às cidades A1, A2, ..., A6, mas não são ligadas uma à outra; A1, A2, ..., A6 são ligadas duas a duas. Calcule o número de ­maneiras distintas de viajar de carro de B a C, sem passar duas vezes por uma mesma cidade.

16

XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2007 PROVAS 6 Sílvia pensou que seu relógio estava atrasado 10 min e o acertou, mas na verdade o relógio estava adiantado 5 min. Cristina pensou que seu relógio estava adiantado 10 min e o acertou, mas na verdade o relógio estava atrasado 5 min. Logo depois, as duas se encontraram, quando o relógio de Sílvia marcava 10 horas. Neste momento, que horas o relógio de Cristina indicava? A) 9h30min C) 10 h E) 10h 15min B) 9h50min D) 10h5min 7 A fração a , onde a e b são inteiros positivos, repreb senta um número entre 0 e 1, na posição indicada no desenho abaixo. Qual é um possível valor para a soma a 1 b ?

Nível 1 (6o.  e 7o.  anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – PA – PI – RN – RS – SC 1 Observe as multiplicações a seguir:



101 3 11 5 1111 101 3 111 5 11 211 101 3 1111 5 112 211 101 3 11111 5 1122 211 …

0

Qual é a soma dos algarismos do número obtido  11 ? quando multiplicamos 101 pelo número 11111

1 a b

2007 algarismos 1



A) 1 001 B) 2 007 C) 2 009

D) 4 008 E) 4 014

2 Quantos números inteiros positivos de três algarismos têm a soma de seus algarismos igual a 4? Observação: lembre-se de que zeros à esquerda não devem ser contados como algarismos; por exemplo, o número 031 tem dois algarismos. A) 4 B) 6 C) 7 D) 10 E) 12

B) 2

C) 3

D) 4

E) 55

8 Em uma prova de olimpíada, 15% dos estudantes não resolveram nenhum problema, 25% resolveram pelo menos um problema, mas cometeram algum erro, e os restantes, 156 estudantes, resolveram todos os problemas corretamente. O número de estudantes que participaram da olimpíada foi: A) 200 B) 260 C) 93 D) 223 E) 300

3 Juntando dois retângulos iguais lado a lado, sem sobreposição, podemos formar dois tipos de figura: um quadrado de área igual a 144 cm2 ou um retângulo de largura diferente do comprimento. Qual é o perímetro deste último retângulo, em cm? A) 12 B) 24 C) 48 D) 60 E) 72 4 A figura ao lado é formada por dois quadrados de área 100 cm2 cada um, parcialmente sobrepostos, de modo que o perímetro da figura (linha mais grossa) é igual 50 cm. Qual é a área da região comum aos dois quadrados, em cm2 ? A) 20 B) 25 C) 30

A) 1

9 Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mulheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é: A) 5 : 1 B) 16 : 1 C) 12 : 1 D) 40 : 3 E) 13 : 1 10 Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x? AA

D) 40

G G F

x

E) 50

D

5 A soma de todos os números positivos ímpares até 2 007 menos a soma de todos os números positivos pares até 2 007 é igual a: A) 1 003 B) 1 004 C) 2 005 D) 2 006 E) 2 007

BB

17

A) 80o B) 90o

C) 100o D) 110o

C C EE

E) 120o

11 Uma loja de CDs realizará uma liquidação e, para isso, o gerente pediu para Anderlaine multiplicar todos os preços dos CDs por 0,68. Nessa liquidação, a loja está oferecendo um desconto de: A) 68% B) 6,8% C) 0,68% D) 3,2% E) 32%

17 Lina e Lana brincam da seguinte maneira: a primeira a jogar pensa em um número de 10 a 99 e diz apenas a soma dos algarismos do número; a segunda tem então que adivinhar esse número. Qual é o maior número de tentativas erradas que a segunda pessoa pode fazer? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

12 Esmeralda e Pérola estão numa fila. Faltam 7 pessoas para serem atendidas antes de Pérola, e há 6 pessoas depois de Esmeralda. Duas outras pessoas estão entre Esmeralda e Pérola. Dos números abaixo, qual pode ser o número de pessoas na fila? A) 9 B) 11 C) 13 D) 14 E) 15 13 Preenchemos as casas vazias da tabela ao lado com o produto dos nú­ meros que estão som­ breados na mesma linha e na mesma coluna da casa vazia a ser preenchida. Quantas dessas casas conterão números primos? A) 6 B) 7 C) 12

x 3

18 Anita imaginou que levaria 12 minutos para terminar a sua viagem, enquanto dirigia à velocidade constante de 80 km/h, numa certa rodovia. Para sua surpresa, levou 15 minutos. Com qual velocidade constante essa previsão teria se realizado? A) 90 km/h C) 100 km/h E) 120 km/h B) 95 km/h D) 110 km/h

1 2 3 5 7 11 13

1 2

19 O gráfico ao lado 70% mostra o percentual 60% de acertos numa pro- 50% va de 60 testes de seis 40% 30% candidatos  finalistas 20% de um concurso. Qual 10% foi o número médio A B C de questões erradas por esses candidatos nessa prova? A) 14 B) 24 C) 30 D) 32

3 5 7 11 13

D) 14

E) 26

D

E

F

14 O conteúdo de uma garrafa de refrigerantes enche três copos grandes iguais e mais meio copo E) 40 pequeno ou 5 desses copos pequenos iguais mais a metade de um daqueles grandes. Qual é a razão 20 Ao efetuar a soma 131 1 132 1 133 1  1 132 006 1 132 007 entre o volume de um copo pequeno e o de um 1 2 3 13 1 13 1 13 1  1 132 006 1 132 007 obtemos um número inteiro. Qual é o algagrande? rismo das unidades desse número? B) 3 C) 7 D) 5 E) 3 A) 2 A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 10 5 5 7 9 15 Um código de barras é formado por barras verticais pretas de três larguras diferentes. Duas barras pretas sempre são separadas por uma barra branca, também com três larguras diferentes. O código começa e termina com uma barra preta, como no exemplo abaixo.



SEGUNDA FASE – parte A •••••• 1 O número N 5 1010010100101... contém somente os algarismos 0 e 1, de modo que o número de algarismos 0 entre dois algarismos 1 é um ou dois, alternadamente. O número N tem exatamente 101 algarismos. Qual é a soma de todos os algarismos do número N? 2 Uma folha de papel tem 20 cm de comprimento por 15 cm de largura. Dobramos essa folha ao meio, paralelamente à sua largura. Em seguida, dobramos a folha retangular dupla, de modo que dois vértices opostos coincidam. Ao desdobrar a folha, as marcas da segunda dobra dividem a folha em duas partes, conforme mostrado na figura abaixo. Qual é a área da parte escura, em cm2?

Considere um código S, formado por uma barra preta fina, duas médias e uma grossa, separadas por barras brancas finas. Quantos códigos S diferentes podem ser assim formados? A) 4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 36

16 No quadriculado abaixo, cada quadradinho tem 1 cm2. Os segmentos inclinados ligam pontos médios dos lados dos quadradinhos ou um vértice ao centro de um quadradinho. Qual é a área ocupada pela sigla OBM, em cm2?

A) 28 B) 32 C) 33

D) 34 E) 35

18

3 Observe as igualdades a seguir:

2 Esmeralda comprou seis discos de ferro para usar num aparelho de ginástica. Esses discos têm massas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 quilogramas, respectivamente. Esmeralda pode combiná-los e obter outras massas, como, por exemplo: 1 disco de 2 kg 1 1 disco de 6 kg 5 8 kg. Qual a maior quantidade de massas diferentes que ela pode obter?

11 2 1 15 4 11 2 1 3 1 2 1 15 9 1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 5 16  1 1 2 1 3 1  1 2006 1 2007 1 2006 13 1 2 11 5 A Qual é o valor de

A ? 2232

3 Observe como o quadriculado abaixo é preenchido.

4 Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços restantes, na forma de um triângulo retângulo, foram feitos dois cortes, paralelos aos lados menores, pelos meios desses lados. Ao final sobrou um retângulo de perímetro 129 cm. O desenho abaixo indica a sequência de cortes.

3 3 3 3

Em centímetros, qual era o perímetro da folha antes do corte?

a) Qual é a soma dos elementos da diagonal 9? b) Qual é o resto da divisão por 100 da soma dos elementos da diagonal 2 007?



5 Um reservatório cúbico internamente tem 2 metros de lado e contém água até a sua metade. Foram colocados no reservatório 25 blocos retangulares de madeira, que não absorvem água, de dimensões 20 3 30 3 160 centímetros. Sabendo que 80% do volume de cada bloco permanece submerso na água, calcule, em centímetros, a altura atingida pela água, no reservatório.

Nível 2 (7o.   e 8o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – PA – PI – RN – RS – SC

6 A adição ao lado está incorreta. Entretanto, se substituirmos  so­ 1 mente um certo algarismo a, to­ da vez que ele aparece, por um certo algarismo b, a conta fica correta. Qual é o valor de ab ?

1 Observe as multiplicações a seguir: 101 3 11 5 1 111 101 3 111 5 11 211 101 3 1 111 5 112 211 101 3 11 111 5 1 122 211 …

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 A área do quadrado ABCD é 300 cm2. Na figura, M é ponto médio de CD, e o ponto F pertence à reta BC.

Qual é a soma dos algarismos do número obtido … 11 ? quando multiplicamos 101 pelo número 11111 2007 algarismos 1



A) 1 001 B) 2 007



a) Qual é a área do triângulo ABF? b) Qual é a área do triângulo ADF?



19

E) 4 014

a , onde a e b são inteiros positivos, repreb 0 senta um número entre 1 0 e 1, na posição indicaa da no desenho ao lado. b Qual é um possível valor para a soma a 1b ? A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

2 A fração

M

C) 2 009 D) 4 008

10 De quantas maneiras diferentes podemos escrever o número 2 007 como soma de dois ou mais números inteiros positivos e consecutivos? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3 Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x? G G AA

11 As equações do 2o grau 2 007x2 1 2 008x 11 5 0 e x2 1 2 008x 1 2 007 5 0 têm uma raiz comum. Qual é o valor do produto das duas raízes que não são comuns? A) 0 B) 1 C) 2 007 D) 2 008 E) 2 007

F F

xx D D C C EE

BB

12 Qual é o máximo valor que o número a(b 1 c) 2 b(a 1 c) A) 80o B) 90o C) 100o D) 110o E) 120o a(b 1 c) 2 b(a 1 c) pode assumir se a, b e c são inteiros satis fazendo 1  a  10, 1  b  10 e 1  c  10 ? 4 Em uma certa cidade, a razão entre o número de A) 80 B) 81 C) 84 D) 90 E) 100 homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mulheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de 13 A quantidade de inteiros x com três dígitos tais que adultos e crianças é: 6x e 7x possuem a mesma quantidade de dígitos é: A) 5 : 1 B) 16 : 1 C) 12 : 1 D) 40 : 3 E) 13 : 1 A) 767 B) 875 C) 876 D) 974 E) 975



14 A figura abaixo é formada por três quadrados de lado 1 e um retângulo que os contorna.

5 Em uma prova de olimpíada, 15% dos estudantes não resolveram nenhum problema, 25% resolveram pelo menos um problema, mas cometeram algum erro, e os restantes, 156 estudantes, resolveram todos os problemas corretamente. O número de estudantes que participaram da olimpíada foi: A) 200 B) 260 C) 93 D) 223 E) 300 6 Se N é o quadrado do quadrado de um número inN teiro e tem 12 como fator, o menor valor para é: 12 A) 3 B) 12 C) 36 D) 54 E) 108

A área do retângulo é:

16 A figura abaixo mostra um retângulo, um pentá­ gono, um triângulo e um círculo, com áreas respectivamente 121, 81, 49 e 25 centímetros quadrados. A diferença entre a área preta e a área cinza, em centímetros quadrados, é:

AA



B

B

A) 200

B) 10 5 C) 100

D) 6 2 E) 8

15 Se x é real positivo e 1 1 (x2 1 x)(x2 1 5x 1 6) = 1812, então o valor de x(x 1 3) é: A) 180 B) 150 C) 120 D) 182 E) 75

7 O jardim da casa de Maria é formado por cinco quadrados de igual área e tem a forma da figura abaixo. Se AB 5 10 m, então a área do jardim em metros quadrados é:



A) 3 2 B) 4 2 C) 6

100 500 D) E) 3 3

A) 25

B) 36

C) 49

D) 64

E) 81

17 As seguradoras de automóveis A e B cobram um valor anual (prêmio) mais um valor que o usuário deve pagar em caso de acidente (franquia). Jean quer fazer um seguro para seu automóvel e recebeu as seguintes propostas das seguradoras: Seguradora A: Prêmio anual de R$ 1500,00 e franquia de R$ 1400,00; Seguradora B: Prêmio anual de R$ 1700,00 e franquia de R$ 700,00. Para valer a pena Jean contratar a Seguradora A, ele não deve se acidentar com o carro por pelo menos N anos. O valor de N é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

8 Sejam a, b, c e k números reais diferentes de zero a b c satisfazendo as relações k 5 . 5 5 b 1 c c 1 a a 1b Qual é o número de possíveis valores que k pode assumir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 9 Doze pontos estão sobre um círculo. Quantos polígonos convexos podemos formar com vértices nesses 12 pontos? A) 4 017 B) 220 C) 4 095 D) 66 E) 3 572

20

18 O desenho abaixo mostra um dado comum cujas somas das pontuações em faces opostas é sempre igual a 7. Ele é colocado em uma mesa horizontal com a face “1” voltada para Leste. O dado é, então, movido quatro vezes.

RR

Q Q

S

PP

Norte Norte Leste Leste



Um movimento consiste em uma rotação de 90 o em relação a uma aresta. Depois do primeiro movimento a face em contato com a mesa passa a ser a “1”, depois a “2”, então a “3” e, finalmente, a face “5”. Para que sentido está voltada a face “1” após esta sequên­cia de movimentos? A) Oeste B) Leste C) Norte D) Sul E) Cima



Uma bola, inicialmente a 1 metro da caçapa P, é batida do lado SP em direção ao lado PQ, como mostra a figura. A quantos metros de P a bola acerta o lado PQ se a bola cai na caçapa S após duas batidas na borda da mesa? 6 2 3 A) 1 B) C) 3 D) E) 7 3 5 4

24 (Anulada) Considere todos os números abc de três algarismos, onde b = a2 1 c2 e a  0. A diferença entre o maior e o menor destes números é um número: A) Múltiplo de 3 B) Primo C) Com último algarismo igual a 7 D) Cuja soma dos algarismos é 10 E) Múltiplo de 7

19 Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1 a 100, onde prédios com numeração par se situam do lado direito da rua, e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade de andares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio. Assim, podemos afirmar que: A) A quantidade de prédios com mais de 10 andares é maior do lado direito da rua. B) A quantidade de prédios com menos de 5 andares é maior do lado direito da rua. C) Pelo menos metade dos prédios possui 10 ou mais andares. D) Em ambos os lados da rua há a mesma quanti­ dade de prédios com exatos 8 andares. E) Pelo menos 25% dos prédios possui menos de 5 andares.

25 (Anulada) Seja {an} uma sequência na qual cada termo é definido como o dobro da soma dos algarismos do termo anterior, mais uma unidade. Por exemplo, se an = 234, então an11 = 2(2 1 3 1 4) 1 1. Se, a1 = 1, o valor de a31 1 a32 1 a33 1 a34 1 a35 é igual a:

A) 44

B) 54

C) 64

D) 77

E) 84

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

20 Qual o menor perímetro inteiro possível de um triângulo que possui um dos lados com medida igual 5 3 ? a 2 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E)12

1 Ludmílson descobriu que o produto da idade que tinha há 55 anos atrás pela idade que terá daqui a 55 anos é igual ao cubo de um número primo. Qual é a idade atual de Ludmílson? 2 Sendo f(x) 5 100x 1 3, calcule o valor de f (10−8 ) 2 f (103 ) 2 f ( 21) . 10−8 2103

21 Determine em qual dos horários abaixo o ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio é o menor. A) 02h30 C) 05h40 E) 09h55 B) 06h20 D) 08h50

3 Na figura abaixo temos um pentágono regular, um quadrado e um triângulo equilátero, todos com a mesma medida de lado.

22 O máximo divisor comum entre os números 1 221, 2 332, 3 443, 4 554,........, 8 998 é: A) 3 B) 33 C) 37 D) 11 E) 101

Q Q

RR

23 Uma mesa de bilhar tem dimensões de 3 metros por 6 metros e tem caçapas nos seus quatro cantos P, Q, R e S. Quando uma bola bate na borda da mesa, sua trajetória forma um ângulo igual ao que a trajetória anterior formava.

C C EE

P B B

S T A D A Determine a medida, em graus, do ângulo QCE.

21

4 Um inteiro positivo K tem n algarismos e é igual a 2 608 ? n. Determine a soma dos algarismos de K.

dio do lado AC. Se AOI = 45o, quanto mede, em graus, o ângulo ACB?

5 Em 1949 o matemático indiano D. R. Kaprekar inventou um processo conhecido como Operação de Kaprekar. Primeiramente escolha um número de quatro dígitos (não todos iguais), em seguida escreva a diferença entre o maior e o menor número que podem ser formados a partir de uma permutação dos dígitos do número inicial. Repetindo o processo com cada número assim obtido, obtemos uma sequência. Por exemplo, se o primeiro número for 2 007, o segundo será 7 200 2 0027 5 5 7 173. O terceiro será 7 731 2 1 377 5 6 354. Começando com o número 1 998, qual será o 2 007-ésimo termo da sequência?

2 Sejam a e b as raízes da equação quadrática (x 2 2)(x 2 3) + (x ­­2 3)(x 1 1) + (x 1 1)(x 2 2) 5 0. Determine o valor de: 1 1 1 1 1 (a 11)(b11) (a 2 2)(b2 2) (a 2 3)(b2 3) 3 a) Determine a quantidade de divisores do nú ­mero  N = 235 2 23. b) Mostre que para todo número natural n, n5 2 n é múltiplo de 30. 4 Um quadrado 4 3 4 é dividido em 16 quadrados unitários. Cada um dos 25 vértices desses quadrados deve ser colorido de vermelho ou azul. Ache o número de colorações diferentes tais que cada quadrado unitário possua exatamente dois vértices vermelhos.

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto mé-

22

XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2006 PROVAS Nível 1 (5o. e 6o. anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: BA – ES – RS – RN – PA – PE – PI – SC

C) A soja é a cultura que mais precisa de nutrientes. D) O milho precisa do dobro do volume de água de que precisa a soja. E) A cana-de-açúcar é a que necessita do ambiente mais úmido para crescer. 3 Um time de futebol ganhou 8 jogos mais do que perdeu e empatou 3 jogos menos do que ganhou, em 31 partidas jogadas. Quantas partidas o time venceu? A) 11 B) 14 C) 15 D) 17 E) 23

1 Em um tanque há 4 000 bolinhas de pingue-pongue. Um menino começou a retirar as bolinhas, uma por uma, com velocidade constante, quando eram 10 h. Após 6 horas, havia no tanque 3 520 bolinhas. Se o menino continuasse no mesmo ritmo, quando o tanque ficaria com 2 000 bolinhas? A) às 11 h do dia seguinte B) às 23 h do mesmo dia C) às 4 h do dia seguinte D) às 7 h do dia seguinte E) às 9 h do dia seguinte

4 Efetuando as operações indicadas na expressão  22 007 1 22 005   2 006  3 2 006 1 22 004  2



obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

5 Quantos números de três algarismos ímpares distintos são divisíveis por 3? A) 18 B) 24 C) 28 D) 36 E) 48

2 O gráfico a seguir apresenta informações sobre o impacto causado por 4 tipos de monocultura ao solo. Para cada tipo de monocultura, o gráfico mostra a quantidade de água, em litros, e a de nutrientes (nitrogênio, fósforo e potássio), em quilogramas, consumidos por hectare para a produção de 1 kg de grãos de soja ou 1 kg de milho ou 1 kg de açúcar ou 1 kg de madeira de eucalipto. Sobre essas monoculturas, pode-se afirmar que:

6 Uma empresa de telefonia celular oferece planos mensais de 60 minutos a um custo mensal de R$ 52,00, ou seja, você pode falar durante 60 minutos no seu telefone celular e paga por isso exatamente R$ 52,00. Para o excedente, é cobrada uma tarifa de R$ 1,20 cada minuto. A mesma tarifa por minuto excedente é cobrada no plano de 100 minutos, oferecido a um custo mensal de R$ 87,00. Um usuário optou pelo plano de 60 minutos, e no primeiro mês ele falou durante 140 minutos. Se ele tivesse optado pelo plano de 100 minutos, quantos reais ele teria economizado? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

2 000 2000 1 500 1500 1 000 1000

7 Quantos triângulos isósceles têm como vértices os vértices do pentágono regular desenhado ao lado? A) 5 D) 20 B) 10 E) 25 C) 15

500 500

0

cana-de-açúcar açucar

soja água

milho

eucalipto

nutrientes

1 da massa de 3 nutrientes necessários de que a cana-de-açúcar precisa para se desenvolver. B) O eucalipto é a que mais seca e empobrece o solo,  causando desequilíbrio ambiental.

A) O eucalipto precisa de cerca de

8 Dos números a seguir, qual é o único que pode ser escrito como produto de quatro naturais consecutivos? A) 712 C) 1 026 E) 1 680 B) 548 D) 1 456

23

9 Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de 45 quilômetros de comprimento, na qual sempre se retorna ao ponto de partida se for percorrida num único sentido. Dois amigos partem de um mesmo ponto com velocidades constantes de 20 km por hora e 25 km por hora, respectivamente, em sentidos opostos. Quando se encontram pela primeira vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumenta para 25 km por hora, e o que estava a 25 km por hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo o amigo que chegar primeiro ao ponto de partida deverá esperar pelo outro? A) nada C) 12 min E) 18 min B) 10 min D) 15 min

14 Sara foi escrevendo nas casas de um tabuleiro 95 por 95 os múltiplos positivos de 4, em ordem crescente, conforme a figura a seguir.

10 Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares? A) 60 B) 90 C) 105 D) 180 E) 240

O número que Sara escreveu onde se encontra a letra U é: A) 35 192 C) 36 100 E) 36 108 B) 35 196 D) 36 104

4 760 764

16 748

20 744

→ ←

→ ←

→ ←

→ ←

... ... ... ...

376 388

380 384

→ ←

→ ←

U



15 O desenho à direita representa dois quadrados menores congruentes de lado 20 e O um quadrado maior. A B O vértice O é o único ponto comum aos dois quadrados menores e é o centro do quadrado maior. Os vértices A, O e B estão alinhados, e a área da região do quadrado maior não pintada é igual a 36% da área de toda a região pintada. Qual é a área do quadrado maior? A) 420 B) 496 C) 576 D) 640 E) 900

11 São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm de comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de largura. Uma 90° delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustrada acima. Qual é o perímetro dessa figura, em centímetros? A) 50 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120 12 Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de transporte diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião. Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a seguir é correta? A) Bento vai de carro, e Carlos vai de avião. B) Dário vai de trem, e André vai de carro. C) Tomás vai de trem, e Bento vai de avião. D) Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro. E) André vai de trem, e Alexandre vai de carro.

16 Um certo número inteiro positivo, quando dividido por 15, dá resto 7. Qual é a soma dos restos das divisões desse número por 3 e por 5? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 17 No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3 844. Quantos anos Neto completa em 2006? A) 55 B) 56 C) 60 D) 62 E) 108 18 A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?

13 Usando pastilhas de cerâmica preta na forma de quadradinhos foi composta uma decoração numa parede, mostrada parcialmente abaixo:



12 752

...

←

8 756

Quantas pastilhas foram empregadas em toda a decoração considerando-se que na última peça montada foram utilizadas 40 pastilhas? A) 60 B) 68 C) 81 D) 100 E) 121



24

A) 7,6

B) 8

C) 10,6

D) 12

E) 21,3

19 As permutações da palavra BRASIL foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de seis letras em um dicionário. A 361a palavra nessa lista é: A) BRISAL C) RASBIL E) LABIRS B) SIRBAL D) SABRIL

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 Jade escreveu todos os números de 3 algarismos em cartões amarelos, um por cartão, e escreveu todos os números de 4 algarismos em cartões azuis, um por cartão. Os cartões são todos do mesmo tamanho. a) Ao todo, quantos cartões foram utilizados? Lembre-se de que, por exemplo, 037 é um número de dois algarismos, bem como 0853 é um número de três algarismos. b) Todos os cartões são então colocados numa mesma urna e embaralhados. Depois Jade retira os cartões, um a um, sem olhar o que está pegando. Quantos cartões Jade deverá retirar para ter certeza de que há dois cartões azuis entre os retirados?

20 No planeta POT o número de horas por dia é igual ao número de dias por semana, que é igual ao número de semanas por mês, que é igual ao número de meses por ano. Sabendo que em POT há 4 096 horas por ano, quantas semanas há num mês? A) 8 B) 12 C) 64 D) 128

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

2 No quadriculado ao lado, cada quadradinho tem 1 cm2 de área. a) Qual é a área e o perímetro da figura formada pelos quadradinhos pintados de cinza? b) Pintando outros quadradi­ nhos, podemos aumentar a área dessa figura, sem mudar o seu perímetro. Qual é o valor máximo da área que podemos obter dessa maneira?

1 Qual é a soma dos algarismos do número 22 23 24 22 005 22 006 1 2 1 3 1 ... 1 2 004 1 2 005 ? 2 2 2 2 2 2 A massa de gordura de uma certa pessoa corresponde a 20% de sua massa total. Essa pessoa, pesando 100 kg, fez um regime e perdeu 40% de sua gordura, mantendo os demais índices. Quantos quilogramas ela pesava ao final do regime? 3 Quantos números de dois algarismos têm a soma desses algarismos igual a um quadrado perfeito? Lembre-se de que, por exemplo, 09 é um número de um algarismo.

3 Esmeralda inventou uma brincadeira. Digitou alguns algarismos na primeira linha de uma folha. Depois, na segunda linha, fez a descrição dos algarismos digitados da seguinte maneira: ela apresentou as quantidades de cada um dos que apareceram, em ordem crescente de algarismo. Por exemplo, após digitar 21035662112, ela digitou 103132131526, pois em 21035662112 existe um algarismo 0, três algarismos 1, três algarismos 2, um algarismo 3, um algarismo 5 e dois algarismos 6. a) Ela começou uma nova folha com 1. Fez, então, sua descrição, ou seja, digitou 11 na segunda linha. Depois, descreveu 11, ou seja, digitou 21 na terceira linha, e assim continuou. O que ela digitou na 10a linha da folha? b) Esmeralda gostou tanto de fazer isso que decidiu preencher várias folhas com essa brincadeira, começando com 01 na primeira linha da primeira folha. Quais são os dois primeiros algarismos da esquerda do que ela digitou na 2 006a linha?

4 Os números de 1 a 99 são escritos lado a lado: 123456789101112...9899. Então aplicamos a seguinte operação: apagamos os algarismos que aparecem nas posições pares, obtendo 13579012...89. Repetindo essa operação mais 4 vezes, quantos algarismos irão sobrar? 5 Com a parte destacada da folha retangular ao lado, pode-se montar um cubo. Se a área da folha é 300 cm2, qual é o volume desse cubo, em cm3? 6 Na tabela a seguir, escreva os números de 1 a 9 em cada coluna, de modo que a soma dos números escritos nas 9 linhas seja a mesma, igual a Y. Seja X a soma dos números de cada coluna. Calcule X 1 Y. Y Y Y Y Y Y Y Y Y X

X



Nível 2 (7o.  e 8o. anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1 Efetuando as operações  22 007 1 22 005   2 006  3 2 006 indicadas na expressão 1 22 004  2 ao lado, obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

X

25

2 São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm de comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de largura. Uma delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustrada abaixo. O perímetro dessa figura, em centímetros é:

8 Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

75° 30°

90°



A) 50

B) 60



C) 80

D) 100

E) 120



A 30° EE



A) 10º

B) 20º

C) 15º

E) 46º

A) 18

B) 14

C) 9

D) 20

E) 10

12 Um triângulo equilátero e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo e a área do hexágono é:

C C

D) 30º

D) 44º

11 Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de transporte diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião. Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a seguir é correta? A) Bento vai de carro, e Carlos vai de avião. B) Dário vai de trem, e André vai de carro. C) Tomás vai de trem, e Bento vai de avião. D) Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro. E) André vai de trem, e Alexandre vai de carro.

5 Na figura, AB 5 AC, AE 5 AD, e o ângulo BAD mede 30o. Então, o ângulo x mede:

D

A medida do ângulo x é: A) 39º B) 41º C) 43º

10 O número de quadrados que podem ser construídos com vértices nos pontos da figura abaixo é:

4 Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de 45 quilômetros de comprimento, na qual sempre se retorna ao ponto de partida se for percorrida num único sentido. Dois amigos partem de um mesmo ponto com velocidades constantes de 20 km por hora e 25 km por hora, respectivamente, em sentidos opostos. Quando se encontram pela primeira vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumenta para 25 km por hora, e o que estava a 25 km por hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo o amigo que chegar primeiro ao ponto de partida deverá esperar pelo outro? A) nada C) 12 min E) 18 min B) 10 min D) 15 min

B B

126°

9 Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opções abaixo, a expressão que não pode representar o número 24 é: A) ab3 C) a c b c E) a b b c ca B) a2b3 D) ab2c3

3 Se um número de dois dígitos é 5 vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por: A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

xx

x x

E) 5º



6 A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três números. A soma dos quadrados desses números é: A) 14 B) 15 C) 18 D) 24 E) 36

1 A)  2

B) 1

2 C)  3

3 D)  2

1 E)  3

13 O máximo divisor comum de todos os termos da sequência an 5 n3 2 n, n 5 1, 2, 3, ... é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 14 Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O número de irmãos de Samila, irmã de Samuel, é igual ao dobro do número de suas irmãs. O número de filhos (homens e mulheres) que possui o pai de Samuel e Samila é: A) 10 B) 13 C) 16 D) 17 E) 20

7 No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3 844. Em 2006 Neto fará: A) 55 anos C) 60 anos E) 108 anos B) 56 anos D) 62 anos

26

15 A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?

digitadas. Piraldo notou que após digitar cada nota a média calculada pela planilha era um número inteiro. Se as notas dos cinco estudantes são, em ordem crescente, 71, 76, 80, 82 e 91, a última nota que Piraldo digitou foi: A) 71 B) 76 C) 80 D) 82 E) 91 21 Simplificando a expressão: 21 3 ? 21 21 3 ? 21 21 21 3 ? 2 21 3 Obtemos:



A) 7,6

B) 8

C) 10,6

D) 12

E) 21,3

E) a 

1 1 1 e b e c 3 3 3

A) 0

y z 

x z

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

D D

a 1 b 5 c2  a 1 b 1 c 5 30 D) 25

D) 2 1 2

25 Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos equiláteros. Se F e G são os pontos médios de EA e AC, respectivamente, a BD é: razão FG

1 1 1 e b e c 3 3 3

C) 24

3

24 Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares? A) 60 B) 90 C) 105 D) 180 E) 240

1 1 1 e b1c e c1a 2 2 2

B) 23

B)



1 1 1 e b e c 2 2 2

A) 45



x y

18 O número de soluções inteiras e positivas do sistema abaixo é:



C) 1

  (x2 y2 z2 ) 31 3 1 31 3 1 31 3  é:

1 1 1 A) 0  a  b  e 0  b  c  e 0  c  a  2 2 2

D) a 

2

23 Sejam x, y, z números reais não nulos tais que x 1 y 1 z 5 0. O valor de

17 Sejam a, b e c números reais positivos cuja soma é 1. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, podemos concluir que:

C) a 1 b 

A)

22 Ludmilson percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a partir da página 2, foram usados 2 006 algarismos. O número de páginas do livro de Ludmilson é: A) 701 B) 702 C) 703 D) 704 E) 705

16 João escreveu todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 numa folha de papel e depois somou todos eles. O valor obtido foi: A) 2 314 B) 3 000 C) 1 401 D) 2 316 E) 1 716

B) a 

E) 2 1 3



A A

F F

E E

G G

E) 72

19 Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se o dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é: A) 72 B) 36 C) 35 D) 64 E) 56

B

1 A) 2 B) 1

20 O professor Piraldo aplicou uma prova para seus cinco alunos e, após corrigi-las, digitou as notas em uma planilha eletrônica que calcula automaticamente a média das notas à medida que elas são

C)

27

C C

D) 2



E) Depende das medidas dos lados de ABC.

3 2

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

Por exemplo, a partir da terna (1, 2, 3), obtemos a seguinte sequência:

(1, 2, 3) → (2, 2, 21) → (8, 21, 3) → (264, 12, 24) ...

1 Esmeralda posicionou todos os números naturais de 1 a 2 006 no seguinte arranjo em forma de pirâmide:



20 13 22

19 12

18 11

17 10

Se começarmos com (1, 1, 1) como a primeira terna ordenada de uma sequência, qual será a soma dos três termos da terna que ocupará a 2 006a posição nesta sequência?

21

5

7

14 23

6

3

8

15 24

2

1

4

9

SEGUNDA FASE – parte B ••••••

16 25

1 Na Rua do Gengibre, existem n casas numeradas de 1 a n (n  IN). As casas de numeração par ficam todas de um mesmo lado da rua, com as casas de numeração ímpar do lado oposto. O prefeito Ludmilson Amottarim resolveu derrubar alguma(s) casa(s) a fim de que as somas dos números das casas fossem iguais dos dois lados da rua. Para atingir o seu objetivo, qual é o número mínimo de casas que o prefeito deve derrubar se: a) a rua tem n 5 15 casas? b) a rua tem n 5 16 casas? c) a rua tem n 5 2 006 casas?

Em qual andar se encontrará o número 2 006? (Por exemplo: o número 1 está no primeiro andar, o 6, no segundo andar, e o 23, no terceiro). 2 A soma dos quadrados de três inteiros consecutivos é igual a 302. Qual é a soma desses números? 3 Seja ABC um triângulo retângulo em A. Considere M e N pontos sobre a hipotenusa BC tais que CN 5 NM 5 MB. Os pontos X e Y são tais que XA 5 AM e YA 5 AN. Determine a área do quadrilátero XYBC, sabendo que o triângulo ABC tem área 12 cm2.

2 No triângulo ABC isósceles abaixo, I é o encontro das bissetrizes, e H é o encontro das alturas. Sabe-se que HAI 5 HBC 5 a. Determine o ângulo a.

C

N

B B

M

A

B

X

II Y

H H A A

4 Um tabuleiro de xadrez 8 3 8 será decomposto em retângulos que satisfazem simultaneamente às seguintes propriedades: (i) cada retângulo possui um número inteiro de casas; (ii) os diversos retângulos possuem números de casas distintos entre si; (iii) cada retângulo possui a mesma quantidade de casas brancas e pretas. Qual é o maior número de retângulos que pode ter a decomposição do tabuleiro?

C C

3 Sejam a e b números reais distintos tais que a2 5 6b 1 1 5ab e b2 5 6a 1 5ab. a) Determine o valor de a 1 b. b) Determine o valor de ab. 4 Todos os inteiros de 1 a 2 006 são escritos num quadro. Então, cada um destes números é substituído pela soma de seus algarismos. Estas substituições são realizadas repetidas vezes até que tenhamos 2 006 números com 1 algarismo cada. Dos números que restaram no quadro, qual aparece mais vezes: o 1 ou o 2?

5 A partir de uma terna ordenada (a, b, c), obtemos uma sequência de ternas através de sucessivas transformações do tipo: (a, b, c) → (a2 ? b, a 2 b 1 c, b 2 c).

28

XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2005 PROVAS 7 Três anos atrás, a população de Pirajussaraí era igual à população que Tucupira tem hoje. De lá para cá, a população de Pirajussaraí não mudou, mas a população de Tucupira cresceu 50%. Atualmente, as duas cidades somam 9 000 habitantes. Há três anos, qual era a soma das duas populações? A) 3 600 B) 4 500 C) 5 000 D) 6 000 E) 7 500

Nível 1 (5o. e 6o. anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR– RS – RN – SC

8 Um agricultor esperava receber cerca de 100 mil reais pela venda de sua safra. Entretanto, a falta de chuva provocou uma perda da safra avaliada entre 1 1 e do total previsto. Qual dos valores a seguir 5 4 pode representar a perda do agricultor? A) R$ 21 987,53 D) R$ 51 987,53 B) R$ 34 900,00 E) R$ 60 000,00 C) R$ 44 999,99 9 Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas? A) 100 B) 150 C) 250 D) 300 E) 430

1 Sabendo-se que 9 174 532 3 13 5 119 268 916 po­ de-se concluir que é divisível por 13 o número: A) 119 268 903 D) 119 268 913 B) 119 268 907 E) 119 268 923 C) 119 268 911 2 Numa caixa havia 3 meias vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Professor Piraldo retirou 3 meias da caixa. Sabendo-se que nenhuma delas era preta, podemos afirmar sobre as 3 meias retiradas que: A) são da mesma cor. B) são vermelhas. C) uma é vermelha e duas são brancas. D) uma é branca e duas são vermelhas. E) pelo menos uma é vermelha.

10 Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um retângulo maior, conforme indicado na figura. Qual é a área deste retângulo maior?

3 Diamantino colocou em um recipiente três litros de água e um litro de suco composto de 20% de polpa e 80% de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do volume final é polpa? A) 5% B) 7% C) 8% D) 20% E) 60%

21 cm

4 Perguntado, Arnaldo diz que 1 bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corrigiu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre essas duas respostas? A) 1 000 D) 999 000 000 B) 999 000 E) 999 000 000 000 C) 1 000 000

A) 210 cm2 C) 430 cm2 E) 588 cm2 B) 280 cm2 D) 504 cm2 11 O relógio do professor Piraldo, embora preciso, é diferente, pois seus ponteiros se movem no sentido anti-horário. Se você olhar no espelho o relógio quando ele estiver marcando 2h23min, qual das seguintes imagens você verá?

5 Numa sequência, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores mais próximos. O segundo termo é igual a 1, e o quinto termo vale 2 005. Qual é o sexto termo? A) 3 002 B) 3 008 C) 3 010 D) 4 002 E) 5 004



6 Um galão de mel fornece energia suficiente para E uma abelha voar 7 milhões de quilômetros. QuanA) B) A) tas abelhas iguais a ela conseguiriam voar mil quilômetros se houvesse 10 galões de mel para serem compartilhados entre elas? E 000 A) 7 000 C) 700 000 E) 70 000 A) B) B) 70 000 D) 7 000 000 A)

29

E E



A) A)

E

E



B) B)

E B) C)

E E

E

C)

B)

E

E



EE

C)C)D)

D) C) D)

C) E

E E) D) E)

D)

D)

E

E E)

E E

E E)

E E)

E E)

E

12 Uma placa decorativa 1m consiste num quadrado 1m de 4 metros de lado, pin- 1m tada de forma simétrica com algumas faixas, 1m conforme indicações no 1m desenho ao lado. Qual é 1m a fração da área da placa que foi pintada? 6 3 1 1 A)  B)  C)  D)  13 8 2 3

16 Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, escolha alguns e coloque-os nos círculos brancos de tal forma que a soma dos números em dois círculos vizinhos seja sempre um quadrado perfeito. Atenção: o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é permitido colocar números repetidos; além disso, círculos separados pelo retângulo preto não são vizinhos. 2

7 E)  11

13 Películas de insulfilm são utilizadas em janelas de edifícios e vidros de veículos para reduzir a radiação solar. As películas são classificadas de acordo com seu grau de transparência, ou seja, com o percen­ tual da radiação solar que ela deixa passar. Colo­ cando-se uma película de 70% de transparência sobre um vidro com 90% de transparência, obtém-se uma redução de radiação solar igual a: A) 3% B) 37% C) 40% D) 63% E) 160%



A soma dos números colocados em todos os círculos brancos é: A) 36 B) 46 C) 47 D) 49 E) 55

17 Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?

14 Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?



?

x

75o°

A) 30o B) 40o C) 50o D) 60o E) 70o 15 Um serralheiro solda varetas 10 de metal para produzir peças 5 5 iguais que serão juntadas para 10 5 formar o painel abaixo. O dese10 nho ao lado apresenta as medidas, em centímetros, de uma dessas peças. O serralheiro usa exatamente 20 metros de vareta para fazer o seu trabalho.

B)



D) 10

E) 12

20 As nove casas de um tabuleiro 3 3 3  devem ser pintadas de forma que cada coluna, cada linha e cada uma das duas diagonais não tenham duas casas de mesma cor. Qual é o menor número de cores necessárias para isso? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

D)



C) 9

19 Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Qual dos desenhos abaixo representa o final do painel?

A)

B) 8

18 As 10 cadeiras de uma mesa circular foram numeradas com números consecutivos de dois algarismos, entre os quais há dois que são quadrados perfeitos. Carlos sentou-se na cadeira com o maior número, e Janaína, sua namorada, sentou-se na cadeira com o menor número. Qual é a soma dos números dessas duas cadeiras? A) 29 B) 36 C) 37 D) 41 E) 64

65°o





A) 7

1 O tanque do carro de Esmeralda, com capacidade de 60 litros, contém uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina ocupando metade de sua capacidade. Esmeralda pediu para colocar álcool no tanque até que a mistura ficasse com quantidades iguais de álcool e gasolina. Quantos litros de álcool devem ser colocados?

E)

C)

30

2 Na sequência de números 1, a, 2, b, c, d, ..., dizemos que o primeiro termo é 1, o segundo termo é a, o terceiro termo é 2, o quarto termo é b, e Iassim por I J diante. D Sabe-se que essa sequência tem 2005 termos e D que C cada termo, a partir do terceiro, é a média aritmética A A de todos os termos anteriores. Qual é o último ter- B mo dessa sequência? LK L 3 Natasha é supersticiosa e, ao numerar as 200 páginas de seu diário, começou do 1 mas pulou todos os números nos quais os algarismos 1 e 3 aparecem juntos, em qualquer ordem. Por exemplo, os números 31 e 137 não aparecem no diário, porém 103 aparece. Qual foi o número que Natasha escreveu na última página do seu diário?

H

H

J

MN

M

C B K

E

P

E

Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectivamente iguais a 3 cm e 9 cm. Calcule as áreas dos quadrados IJKL e MNOP. 2 Considere três números inteiros positivos consecutivos de três algarismos tais que o menor é múltiplo de 7,  o seguinte é múltiplo de 9, e o maior é múltiplo de 11. Escreva todas as sequências de números que satisfazem a essas propriedades. 3 Cada peça de um jogo de dominó possui duas casas numeradas. Considere as 6 peças formadas apenas pelos números 1, 2 e 3. A) De quantos modos é possível colocar todas estas peças alinhadas em sequência, de modo que o número da casa da direita de cada peça seja igual ao número da casa da esquerda da peça imediatamente à direita? A seguir, mostramos dois exemplos:

5 Lara tem cubos iguais e quer pintá-los de maneiras diferentes, utilizando as cores laranja ou azul para colorir cada uma de suas faces. Para que dois cubos não se confundam, não deve ser possível girar um deles de forma que fique idêntico ao outro. Por exemplo, há uma única maneira de pintar o cubo com uma face laranja e cinco azuis. Quantos cubos pintados de modos diferentes ela consegue obter?

B) Explique por que não é possível fazer o mesmo com todas as 10 peças formadas apenas pelos números 1, 2, 3 e 4.

6 Um carpinteiro fabrica caixas de madeira abertas na parte de cima, pregando duas placas retangulares de 600 cm2 cada uma, duas placas retangulares de 1 200  cm2 cada uma e uma placa retangular de 800 cm2, conforme representado no desenho. Qual é o volume, em litros, da caixa? Note que 1 litro 5 1 000 cm3.

Nível 2 (7o. e 8 o. anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR– RS – RN – SC 1 Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio “Compre um e leve outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual é: A) “Leve dois e pague um” B) “Leve três e pague um” C) “Leve três e pague dois” D) “Leve quatro e pague três” E) “Leve cinco e pague quatro”

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos diferentes, como mostram as figuras.

31

O

PO F

4 Juliana foi escrevendo os números inteiros positivos em quadrados de papelão, colados lado a lado por fitas adesivas representadas pelos retângulos escuros no desenho ao lado. Note que 1 cada fila de quadrados tem um quadra2 3 do a mais que a fila de cima. Ela escreveu 5 6 4 até o número 105 e parou. Quantos pe10 9 8 7 daços de fita adesiva ela usou?

N

G

F

G

2 Películas de insulfilm são utilizadas em janelas de edifícios e vidros de veículos para reduzir a radiação solar. As películas são classificadas de acordo com seu grau de transparência, ou seja, com o percen­ tual da radiação solar que ela deixa passar. Colocando-se uma película de 70% de transparência sobre um vidro com 90% de transparência, obtém-se uma redução de radiação solar igual a: A) 3% B) 37% C) 40% D) 63% E) 160% 3 Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um retângulo maior conforme indicado na figura. Qual é a área deste retângulo maior? A) 210 cm2 C) 430 cm2 B) 280 cm2 D) 504 cm2

9 Entre treze reais não nulos há mais números positivos do que negativos. Dentre os 13 3 12 5 78 pro2 dutos de dois dos treze números, 22 são negativos. Quantos números dentre os treze números dados são negativos? A) 2 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 10 O desenho ao lado 15 cm mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado nas bordas para for- 40 cm 40 cm mar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume da caixa em cm3? A) 1 500 B) 3 000 C) 4 500 D) 6 000

21 cm

E) 588 cm2

4 Perguntado, Arnaldo diz que 1 bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corrigiu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre essas duas respostas? A) 1 000 D) 999 000 000 B) 999 000 E) 999 000 000 000 C) 1 000 000

6 Platina é um metal muito raro, mais raro até do que ouro. Sua densidade é 21,45 g/cm3. Suponha que a produção mundial de platina foi de cerca de 110 toneladas em cada um dos últimos 50 anos e desprezível antes disso. Assinale a alternativa com o objeto cujo volume é mais próximo do volume de platina produzido no mundo em toda a história. A) uma caixa de sapatos B) uma piscina C) um edifício de dez andares D) o monte Pascoal E) a Lua

13 Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?

x

8 Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?

o



A) 30o

65° o

B) 40o

C) 50o

D) 60o

E) 70o

14 As letras O, B e M representam números inteiros. Se O 3 B 3 M 5 240, O 3 B 1 M 5 46 e O 1 B 3 M 5 64, quanto vale O 1 B 1 M?

?

D) 10

75°





C) 9

E) 12 000

12 Em certa cidade, acontece um fato interessante. Dez por cento dos baianos dizem que são paulistas, e dez por cento dos paulistas dizem que são baianos. Todos os outros paulistas e baianos assumem a sua verdadeira origem. Dentre os paulistas e baianos, 20% dizem que são paulistas. Que percentual os realmente paulistas representam dentre os paulistas e baianos? A) 12,5% B) 18% C) 20% D) 22% E) 22,5%

7 Numa sequência, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores mais próximos. O segundo termo é igual a 1, e o quinto termo vale 2 005. Qual é o sexto termo? A) 3 002 B) 3 008 C) 3 010 D) 4 002 E) 5 004

B) 8

20

11 Sendo a, b e c números reais, pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, é verdade que a 3 (b 1 c) 5 (a 3 b) 1 (a 3 c). A distributiva da adição em relação à multiplicação a 1 (b 3 c) 5 (a 1 b) 3 (a 1 c) não é sempre verdadeira, mas ocorre se, e somente se: 1 ou a 5 0 A) a 5 b 5 c 5 3 B) a 5 b 5 c C) A igualdade nunca ocorre D) a 1 b 1 c 5 1 ou a 5 0 E) a 5 b 5 c 5 0

5 Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas? A) 100 B) 150 C) 250 D) 300 E) 430

A) 7

20 cm cm



E) 12

32

A) 19

B) 20

C) 21

D) 24

E) 36

15 Um serralheiro solda varetas 10 de metal para produzir peças 5 iguais que serão juntadas 10 5 para formar o painel abaixo. 5 10 O desenho ao lado apresenta as medidas, em centímetros, de uma dessas peças. O serralheiro usa exatamente 20 metros de vareta para fazer o seu trabalho.



20 Um professor de Inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos brasileiros existem na classe? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 21 Um relógio, com ponteiros de horas, minutos e segundos, faz plim toda vez que um ponteiro ultrapassa outro no mostrador. O número de plins registrados em certo dia, no período entre as 12 horas e 1 segundo e as 23 horas, 59 minutos e 59 segundos é: A) 732 B) 1 438 C) 1 440 D) 1 446 E) 1 452

Qual dos desenhos abaixo representa o final do painel?

A)

B)



D)



22 Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM 5 LN, e a medida do ângulo PNL é a, a  60o, quanto mede o ângulo LRP?

E)

L

C) 16 Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

M

17 Quantos números entre 10 e 13 000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7 890 não é: A) 10 B) 13 C) 18 D) 22 E) 25

P



A) 3a 2 180o



B) 180o 2 2a

Q

R

N

C) 180o 2 a D) 90o 2 α 2

E) a

23 Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação:

18 Um piloto percorreu três trechos de um rali, de extensões 240 km, 300 km e 400 km, respectivamente. As velocidades médias nos três trechos foram 40 km/h, 75 km/h e 80 km/h, mas não necessariamente nessa ordem. Podemos garantir que o tempo total em horas gasto pelo piloto nos três trechos é: A) menor ou igual a 13 horas B) maior ou igual a 13 horas e menor ou igual a 16 horas C) maior ou igual a 14 horas e menor ou igual a 17 horas D) maior ou igual a 15 horas e menor ou igual a 18 horas E) maior ou igual a 18 horas 19 Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r, e os centros das circunferências que a tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as áreas cinza indicadas na figua ra. Então, a razão é igual a: b 3 2 1 B) C) 1 D) A) 2 3 2

α



x1



1 1 y  x y 51 2 2

Qual das alternativas apresenta um possível valor de y? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

24 Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, escolha alguns e coloque-os nos círculos brancos de tal forma que a soma dos números em dois círculos vizinhos seja sempre um quadrado perfeito. Atenção: o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é permitido colocar números repetidos; além disso, círculos separados pelo retângulo preto não são vizinhos.

b

2

E) 2



33

A soma dos números colocados em todos os círculos brancos é: A) 36 B) 46 C) 47 D) 49 E) 55

25 Um bloco de dimensões 1 3 2 3 3 é coloZ cado sobre um tabuleiY ro 8 3 8, como mostra a figura, com a face X, de dimensões 1 3 2, virada para baixo. Giramos o bloco em torno de uma de suas arestas de modo que a face Y fique virada para baixo. Em seguida, giramos novamente o bloco, mas desta vez de modo que a face Z fique virada para baixo. Giramos o bloco mais três vezes, fazendo com que as faces X, Y e Z fiquem viradas para baixo, nessa ordem. Quantos quadradinhos diferentes do tabuleiro estiveram em contato com o bloco? A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

4 Um terreno quadrangular foi dividido em quatro lotes menores por duas cercas retas unindo os pontos médios dos lados do terreno. As áreas de três dos lotes estão indicadas em metros quadrados no mapa a seguir.

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

5 Seja a um número inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a 1 1 é múltiplo de 7, a 1 2 é múltiplo de 9, e a 1 3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir.

250

200

Qual é a área do quarto lote, representado pela região escura no mapa?

1 Natasha é supersticiosa e, ao numerar as 200 páginas de seu diário, começou do 1 mas pulou todos os números nos quais os algarismos 1 e 3 aparecem juntos, em qualquer ordem. Por exemplo, os números 31 e 137 não aparecem no diário, porém 103 aparece. Qual foi o número que Natasha escreveu na última página do seu diário?

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 Gabriel resolveu uma prova de Matemática com questões de Álgebra, Geometria e Lógica. Após checar o resultado da prova, Gabriel observou que respondeu corretamente 50% das questões de Álgebra, 70% das questões de Geometria e 80% das questões de Lógica. Gabriel observou, também, que respondeu corretamente 62% das questões de Álgebra e Lógica e 74% das questões de Geometria e Lógica. Qual a porcentagem de questões corretas da prova de Gabriel?

2 Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos diferentes, como mostram as figuras abaixo. H J

I D A L

N

M

G

C B

E

K

O

P

210

2 O canto de um quadrado de cartolina foi cortado com uma tesoura. A soma dos comprimentos dos catetos do triângulo recortado é igual ao comprimento do lado do quadrado. Qual o valor da soma dos ângulos a e b marcados na figura abaixo?

F

Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectivamente iguais a 3 cm e 9 cm. Determine a medida do lado do quadrado IJKL. 3 Juliana foi escrevendo os números inteiros positivos em quadrados de papelão, colados lado a lado por fitas adesivas representadas pelos retângulos escuros no desenho abaixo. Note que cada fila de quadrados tem um quadrado a mais que a fila de cima. Ela escreveu até o número 105 e parou. Quantos pedaços de fita adesiva ela usou?

27°

β

1 α

2

3

4

5

6

7

8

9

3 (a) Fatore a expressão: x2  9xy 1 8y2. (b) Determine todos os pares de inteiros (x; y) tais que: 9xy  x2  8y2 5 2005.

10

34

4 Cada peça de um jogo de dominó possui duas casas numeradas. Considere as 6 peças formadas apenas pelos números 1, 2 e 3. A) De quantos modos é possível colocar todas estas peças alinhadas em sequência, de modo que o número da casa da direita de cada peça seja igual ao número da casa da esquerda da peça imediatamente à direita? A seguir, mostramos dois exemplos:

B) Explique por que não é possível fazer o mesmo com todas as 10 peças formadas apenas pelos números 1, 2, 3 e 4.

35

XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2004 PROVAS 9 O preço de uma corrida de táxi é igual a R$ 2,50 (“bandeirada”), mais R$ 0,10 a cada 100 metros rodados. Tenho apenas R$ 10,00 no bolso. Logo, tenho dinheiro para uma corrida de até: A) 2,5 km C) 7,5 km E) 12,5 km B) 5,0 km D) 10,0 km

Nível 1 (5o. e 6o. anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional AL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC João Pessoa ­– PB – S. B. do Campo – SP

Qual dos números a seguir é ímpar? A) 7 3 8 C) 9 3 36 E) 17 3 61 B) 37 2 23 D) 144 : 36

10 Um arquiteto apresenta ao seu cliente cinco plantas diferentes para o projeto de ajardinamento de um terreno retangular, onde as linhas cheias representam a cerca que deve ser construída para proteger as flores. As regiões claras são todas retangulares e o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em qual dos projetos o custo da construção da cerca será maior?

Quanto é 26 1 26 1 26 1 26 2 44?



1 Calcule o valor de 1997 1 2004 1 2996 1 4003. A) 10 000 C) 10 900 E) 13 000 B) 11000 D) 12 000 2 3

A) 0

B) 2

C) 4

4 20% de 40 é igual a: A) 5 B) 8 C) 10 5 Simplificando a fração

A) 2004

113 B) 355

D) 4

E) 4

D) 12

E) 20

2

A)

2004 + 2004 , obtemos: 2004 + 2004 + 2004 1 2 C) D) 2004 3

A)

2 E) 7



A)

6 Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31, no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus? A) 8 B) 13 C) 16 D) 26 E) 31

8 Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?

A)

7 18

B)

4 9

C)

1 3

D)

5 9



C)



E)

E)

A)

B)

B)

B)

A)

B)

B)

C)



C)

B)

D)

C)

C)

D)

D)

C)

D)

D)

E)

D)

E)

11 108 crianças da 5ª. e 6ª. séries vão fazer um passeio numa caverna. São formados grupos iguais com mais de 5, porém menos de 20 alunos. Com relação ao número de estudantes por grupo, de quantas formas diferentes eles podem ser feitos? A) 2 B) 8 C) 5 D) 4 E) 3 12 O desenho ao lado mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado? A) 12 B) 6 C) 10 D) 24 E) 120

7 Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma para ela? A) 11 B) 20 C) 21 D) 31 E) 41



A)

4

13 Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos; seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão para de trabalhar às 12h, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar? A) 12 h C) 13 h E) 14h30min B) 12h30min D) 13h30min

1 2

36

E)

E)

E

19 Ao somar cinco números consecutivos em sua calculadora, Esmeralda encontrou um número de 4 algarismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido, pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela sabe que ele não é zero. Este algarismo só pode ser: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 9

14 O algarismo das unidades do número 1 3 3 3 5 3 3 … 3 97 3 99 é: A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 15 Dois quadrados, cada um com área 25 cm2, são colocados lado a lado para formar um retângulo. Qual é o perímetro do retângulo? A) 30 cm B) 25 cm C) 50 cm D) 20 cm E) 15 cm

20 Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em uma caixa diferente: uma moeda, um grampo e uma borracha. Sabe-se que: • A caixa verde está à esquerda da caixa azul. • A moeda está à esquerda da borracha. • A caixa vermelha está à direita do grampo. • A borracha está à direita da caixa vermelha. Em que caixa está a moeda? A) Na caixa vermelha. B) Na caixa verde. C) Na caixa azul. E)E) D)D) informações E) fornecidas D)D) As são insuficientes para se dar uma resposta. E) As informações fornecidas são contraditórias.

16 Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida?

A)





D)

A) A)A)

B)

E) B) B)B)

C)

C) C)C)

E) E)

D) D)

C) C)



21 Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a seguinte afirmação: “Este feirante consegue pesar (com uma pesagem) n quilogramas de batatas”. Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos? A) 7 B) 10 C) 12 D)13 E)14

17 Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo de 1200 pessoas são mostrados no gráfico abaixo.

castanho 30%

preto 24%

22 O mapa abaixo mostra um conjunto residencial onde as casas, numeradas, são interligadas por 23 ruelas. O vendedor Zé Ruela, que mora na casa 8, planeja passar por todas as outras casas e retornar à sua, percorrendo o menor número possível de ruelas. Ele deixará de caminhar por quantas ruelas?

ruivo 16% loiro

1



Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro? A) 60 B) 320 C) 360 D) 400 E) 840

C)

6

B)B)A) E) C)

C)E) C) D)



B)

7

8

11

10

12

A) 15 B) 10 C) 13 D)12 E) 11 23 O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento D) igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo?

… … …

B)E) E) D)

D)



37 E)

4

9

B) D) C) D)



3

5

18 Um cubo pode ser construído a partir dos dois pedaços de papelão apresentados em uma das alternativas a seguir, bastando apenas dobrar nas linhas tracejadas e unir nas linhas A) contínuas. Esses dois A) B) pedaços são:

A)A)

2

A) 113

B) 123

C) 122

D) 132

E) 152

24 Observe a figura:

4 No desenho, os quadriláteros ABCD, EFAG e IAJH são retângulos e H é ponto médio de AE. Calcule a razão entre a área do retângulo ABCD e o triângulo AHI.

A Duas das figuras abaixo representam o objeto acima colocado em outras posições. II)

I)

J



G

III)



IV)

Elas são: A) I e II B) I e IV

C) II e IV

D) I e III

D

I

F

B

H E

C

5 Dizemos que um número natural é teimoso se, ao ser elevado a qualquer expoente inteiro positivo, termina com o mesmo algarismo. Por exemplo, 10 é teimoso, pois 102 ,103 ,104 ,..., são números que também terminam em zero. Quantos números naturais teimosos de três algarismos existem?

E) II e III

25 Entre 1986 e 1989, época em que vocês ainda não tinham nascido, a moeda do país era o cruzado (Cz$). Com a imensa inflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, finalmente, o real. A conversão entre o cruzado e o real é: 1 real 5 5 2 750 000 000 cruzados. Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse de receber seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se uma pilha de 100 notas novas tem 1,5 cm de altura, o salário em cruzados de João faria uma pilha de altura: A) 26,4 km D) 264 000 km B) 264 km E) 2 640 000 km C) 26 400 km

6 Qual é o maior número natural menor que 100 cuja soma dos divisores positivos é ímpar? 7 Esmeralda, de olhos vendados, retira cartões de uma urna contendo inicialmente 100 cartões numerados de 1 a 100, cada um com um número diferente. Qual é o número mínimo de cartões que Esmeralda deve retirar para ter certeza de que o número do cartão seja um múltiplo de 4? 8 De quantos modos podemos sombrear quatro casas do tabuleiro 4  4 abaixo, de modo que em cada linha e em cada coluna exista uma única casa sombreada?

SEGUNDA FASE – parte A •••••• 1 O número 1 000…02 tem 20 zeros. Qual é a soma dos algarismos do número que obtemos como quociente quando dividimos esse número por 3? 9 Juntando cubinhos de mesmo volume, mas feitos de materiais diferentes - cada cubo branco pesando 1 grama e cada cubo cinza pesando 2 gramas - formou-se um bloco retangular, conforme mostrado na figura abaixo. Qual é a massa, em gramas, desse bloco?

2 A soma de dois números primos a e b é 34 e a soma dos primos a e c é 33. Quanto vale a 1 b 1 c? 3 Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos:

1 a b * * * * * 1c c 0

b 3 *

×

1

Calcule a 1 b 1 c.

38

10 Na população de uma espécie rara de 1 000 aves da floresta amazônica, 98% tinham cauda de cor verde. Após uma misteriosa epidemia que matou parte das aves com cauda verde, esta porcentagem caiu para 95%. Quantas aves foram eliminadas com a epidemia?

Nível 2 (7o.   e  8o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• a 1.   Fase Olimpíada Regional AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PI 2 PA 2 PE 2 RN 2 RS 2 SC João Pessoa – PB – S. B. do Campo – SP

SEGUNDA FASE – parte B ••••••

1 Quanto é 26  26  26  26 2 44? A) 0 B) 2 C) 4 D) 42

1 No desenho abaixo, o triângulo ABC é retângulo e os lados do polígono (região escura) são paralelos ou coincidem com algum dos catetos do triângulo. 5

2 Se m e n são inteiros não negativos com m  n, definimos m  n como a soma dos inteiros entre m e n, incluindo m e n. Por exemplo, 5  8  5  6  7   8  26.

10

A



O valor numérico de 22 ∇ 26 é: 4∇6



A) 4

x

2 B

C

2 Esmeralda, a digitadora, construiu uma tabela com 100 linhas e 100 colunas, preenchendo uma casa com 1, se o número da linha da casa divide o número da coluna, e com 0, caso contrário. Assim, por exemplo, a casa da linha 2 e da coluna 4 foi preenchida com 1, porque 2 divide 4, e a casa na linha 3 e da coluna 7 foi preenchida com 0.

2

3

4

5

6

… 99

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

0

1

0

1

0

1

…

0

1

3

0

0

1

0

0

1

…

1

0

0

0

0

1

C) 8

D) 10

E) 12

1 real 5 2 750 000 000 cruzados Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se uma pilha de 100 notas novas tem 1,5 cm de altura, o salário em cruzados de João faria uma pilha de altura: A) 26,4 km D) 264 000 km B) 264 km E) 2 640 000 km C) 26 400 km

100

4 O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo?

4 100

B) 6

3 Entre 1986 e 1989, época em que vocês ainda não tinham nascido, a moeda do país era o cruzado (Cz$). Com a imensa inflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, finalmente, o real. A conversão entre o cruzado e o real é:

Calcule x de modo que a área do polígono seja igual à do triângulo.

1

E) 44

a) Qual a soma dos números escritos na linha 5? b) Qual a soma dos números da coluna 60?

… … …



3 a) É possível dividir o conjunto {12, 22,…,72} em dois grupos A e B, de modo que a soma dos elementos de A seja igual à soma dos elementos de B? Justifique. b) É possível dividir o conjunto {12, 22, 32, …, 92} em dois grupos C e D, de modo que a soma dos elementos de C seja igual à soma dos elementos de D? Justifique.



A) 113

B) 123

C) 122

D) 132

5 O algarismo das unidades do número 1 3 3 3 5 3 ... 3 97 3 99 é: A) 1 B) 3 C) 5 D) 7

39

E) 152

E) 9

6 Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida?

A)



B)



13 Na figura, quanto vale x? 5x

C)

3x

2x 6x 4x



C) C)

D)

A) A)A)

E) B)

B)B)

C) C)C)



A) 6°

B) 12°

C) 18°

D) 20°

E) 24°

14 Se 2(22x) 5 4x 1 64, então x é igual a: A) 2 2 B) 2 1 C) 1 D) 2

E) E)

D) D)

E) E)E)

D) D)D)

7 Há 1 002 balas de banana e 1 002 balas de maçã numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Seja p a probabilidade de as duas balas serem do mesmo sabor e seja q a probabilidade de as duas balas serem de sabores diferentes. Quanto vale a diferença entre p e q? 1 1 1 2 A) 0 B) C) D) E) 2003 1001 2004 2003

E) 3

15 Qual é o maior valor da soma dos algarismos da soma dos algarismos de um número de três algarismos? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 16 Um arquiteto apresenta a seu cliente cinco plantas diferentes para o projeto de ajardinamento de um terreno retangular, onde as linhas cheias representam a cerca que deve ser construída para proteger as flores. As regiões claras são todas retangulares e o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em qual dos projetos o custo da construção da cerca será maior?

8 O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo? 2 x2 C) 1 250 2 E) 2 500 2 x A) 625 2 x2 2 2 2 x2 x B) 625 2 D) 250 2 2 2 9 Ao somar cinco números consecutivos em sua calculadora, Esmeralda encontrou um número de 4 alA) garismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido, pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela sabe que ele não é zero. Este algarismo só pode ser: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 9







A)

A)

B)

B)

A)

B)

C)

C)

B)





D)

C)

E)

C)

D)

E)

D)

E)

D)

D) E) E) C) D) B) C) A) 2004 A) B) 10 Para quantos inteiros positivos m o número 2 17 Um ponto P pertence ao interior de um quadrado m −2 é um inteiro positivo? com 10 cm de lado. No máximo, quantos pontos da A) um D) quatro borda do quadrado podem estar a uma distância de B) dois E) mais do que quatro 6 cm do ponto P? C) três A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

11 Se x 1 y 5 8 e xy 5 15, qual é o valor de x2 1 6xy 1 y2? A) 64 B) 109 C) 120 D) 124 E) 154

18 Um cubo pode ser construído, a partir dos dois pedaços de papelão apresentados em uma das alternativas a seguir, bastando apenas dobrar nas linhas A) tracejadas e unir as linhas contínuas. Esses dois peA) B) daços são:

12 Dois espelhos formam um ângulo de 30o no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emitido paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto A, como mostra a figura. Depois de certa quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV têm 1 metro de comprimento, a distância percorrida pelo raio de luz, em metros, é: S

A)A)

C)

A

B)B)A) E)

A) 30°



A) 2



B) 2 1 3

B) D) C) D)



C) 1 1 2 1 3 D) 2 1 1 3

(

)C)

C)

B)E) E) D)

V

E) 5 3

C)E) C) D)

40 E)



E)

D)

B)

D)

E

19 No triângulo PQR, a altura PF divide o lado QR em dois segmentos de medidas QF 5 9 e RF 5 5. Se PR 5 13, qual é a medida de PQ? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

25 Esmeralda, a digitadora, tentou digitar um número de seis algarismos, mas os dois algarismos 1 não apareceram (a tecla devia estar com defeito). O que apareceu foi 2004. Quantos são os números de seis algarismos que ela pode ter tentado digitar? A) 4 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20

20 Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em uma caixa diferente: uma moeda, um grampo e uma borracha. Sabe-se que: • A caixa verde está à esquerda da caixa azul. • A moeda está à esquerda da borracha. • A caixa vermelha está à direita do grampo. • A borracha está à direita da caixa vermelha. Em que caixa está a moeda? A) Na caixa vermelha. B) Na caixa verde. C) Na caixa azul. D) As informações fornecidas são insuficientes para se dar uma resposta. E) As informações fornecidas são contraditórias.

SEGUNDA FASE – parte A •••••• 1 Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos:

1 a b b 3 * * * * * * 1c c 0 1

21 No desenho abaixo, o quadrilátero ABCD é um quadrado de lado 3 cm e os triângulos ABF e AED são ambos equiláteros. Qual é a área da região destacada? A

Calcule a 1 b 1 c. 2 De quantos modos podemos sombrear quatro ca­ sas do tabuleiro 4  4 abaixo, de modo que em cada linha e em cada coluna exista uma única casa sombreada?

E

B

F

×

D

C

A) 2 cm2 C) 3 cm2 E) 2,5 cm2 2 2 B) 1,5 cm D) 4,5 cm 22 Uma folha quadrada foi cortada em 42 quadrados menores, dos quais um tem área maior do que 1 cm2 e os demais têm área de 1 cm2. Qual é a medida do lado da folha? A) 6 cm B) 12 cm C) 21 cm D) 19 cm E) 20 cm

3 Qual é a soma dos algarismos do número 2004  2002  1998  1996 1 36 ? 4 No desenho abaixo, o triângulo ABC é retângulo e os lados do polígono (região escura) são paralelos ou coincidem com algum dos catetos do triângulo. Calcule x, de modo que a área do polígono seja igual à do triângulo.

23 Eu planejava fazer um curral quadrado, com uma certa área, usando uma certa quantidade de cerca de arame farpado. Descobri, porém, que tenho 10% a menos de cerca do que esperava. Por esta razão, a área cercada será: A) 5% menor D) 20% menor B) 10% menor E) 25% menor C) 19% menor 24 Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos; seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão para de trabalhar às 12h, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar vai parar? A) 12 h C) 13 h E) 14h30min B) 12h30min D) 13h30min

5

10

A x

2 B

C

5 Um polígono com 20 lados é chamado icoságono. Unindo-se três dos vértices de um icoságono regular obtemos triângulos. Quantos são triângulos retângulos?

41

3 Uma folha de papel retangular ABCD foi dobrada de modo que o vértice B foi levado no ponto B’ sobre o lado AD. A dobra é EF, com E sobre AB e F sobre CD. Sabe-se que AE 5 8, BE 5 17 e CF 5 3.

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 a) É possível dividir o conjunto {12, 22,…,72} em dois grupos A e B de modo que a soma dos elementos de A seja igual à soma dos elementos de B? Justifique. b) É possível dividir o conjunto {12, 22, 32,…,92} em dois grupos C e D de modo que a soma dos elementos de C seja igual à soma dos elementos de D? Justifique. 2 a) Simplifique a expressão

a) Calcule a medida do segmento AB’. b) Calcule a medida do lado AD.

b) Certa calculadora tem duas teclas especiais: A e B. A tecla A transforma o número x, que está no 1 visor, em . A tecla B transforma o número x, que x está no visor, em 1 2 x. Pedro tem um número no visor e aperta sucessivamente, de forma alternada, as duas teclas:

4 Um número de 4 algarismos a b c d é chamado de legal quando a soma dos números formados pelos dois primeiros e pelos dois últimos algarismos é igual ao número formado pelos algarismos centrais (ou seja, ab 1 cd 5 bc). Por exemplo, 2 307 é um número legal, pois 23 1 07 5 30. a) Qual é o menor número legal maior do que 2 307? b) Quantos são os números legais de 4 algarismos?

A, B, A, B, …. Após 1 000 operações, o visor mostrava o número 2 004. Que número Pedro tinha inicialmente no visor?

42

XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2003 PROVAS 5 Considere um número inteiro x e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado for 220, o valor de x é: A) um número primo. B) um número par. C) um número entre 40 e 50. D) um número múltiplo de 3. E) um número cuja soma dos algarismos é 9.

Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a. Fase Olimpíada Regional AL – BA – GO – PA – PB – PI – RS – RN – SC 1 Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram colados conforme a figura a seguir.



6 Escreva os números de 0 a 9 nos círculos ao lado, de forma que eles cresçam no sentido anti-horário. Em seguida, subtraia 1 dos números ímpares e some 1 aos números pares. Escolhendo três círculos consecutivos, qual é a maior soma que se pode obter? A) 19 B) 21 C) 23 D) 24 E) 25 7 O retângulo da figura a seguir está dividido em 7 quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a 1, a área do retângulo é igual a:

O menor número de cubinhos, iguais aos já utilizados, que devem ser agregados ao sólido formado pelos onze cubinhos para obtermos um cubo maciço é igual a: A) 48 B) 49 C) 52 D) 53 E) 56

2 Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família durante os 5 primeiros meses de 2003. Meses Janeiro Fevereiro Março Abril Maio



Consumo (m3) 12,5 13,8 13,7 11,4 12,1

O consumo mensal médio dessa família durante os 5 meses foi: C) 12,7 m3 E) 317,5 m3 A) 11,3 m3 3 3 B) 11,7 m D) 63,5 m



A) 42

B) 44

C) 45

D) 48

E) 49

3 Você possui muitos palitos com 6 cm e 7 cm de comprimento. Para fazer uma fila de palitos com comprimento total de 2 metros, o número mínimo de palitos que você precisa utilizar é: A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33

8 Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, … O 2 003o termo desta sequência é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4 Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado mágico a seguir, o valor de x é:

9 João disse para Maria: “Se eu lhe der um quarto do que tenho, você ficará com metade do que vai me sobrar”.  Maria acrescentou:  “E eu lhe daria 5 reais, se lhe desse a metade do que tenho”. Juntos, os dois possuem: A) 80 reais D) 120 reais B) 90 reais E) 130 reais C) 100 reais

1 14 x 26 13

A) 20 B) 22

C) 23 D) 25

E) 27

43

10 Uma escola precisa comprar mesas e cadeiras novas para seu refeitório, cada mesa com 4 cadeiras, que serão distribuídas nos 3 setores do refeitório. Em cada setor do refeitório cabem 8 fileiras de mesas e, em cada fileira, cabem 14 mesas. Quantas mesas e cadeiras deverão ser compradas? A) 112 mesas e 448 cadeiras B) 112 mesas e 1344 cadeiras C) 336 mesas e 448 cadeiras D) 336 mesas e 896 cadeiras E) 336 mesas e 1344 cadeiras

15 Um troféu formado por cinco recipientes cúbicos foi construído da seguinte maneira: sob o cubo de lado 10 cm foi soldado o cubo de lado 20 cm, sob este foi soldado o cubo de lado 30  cm, e assim por diante. Toda a superfície externa desse tro­féu de­ verá ser coberta com um certo tipo de revestimento. Quantos metros quadrados desse revestimento serão necessários? A) 1,5 B) 2,5 C) 2,7 D) 2,75 E) 3 16 Num certo aeroporto, Nelly caminhava calmamente à razão de um metro por segundo; ao tomar uma esteira rolante de 210 metros, Nelly continuou andando no mesmo passo e notou ter levado um minuto para chegar ao fim da esteira. Se Gugu ficar parado nesta esteira, quanto tempo levará para ser transportado? A) 1min20s B) 1min24s C) 1min30s D) 1min40s E) 2min

11 As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por coincidirem por rotação.



De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2 3 2 de branco ou preto de modo que não existam dois tabuleiros que coincidam por rotação? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

12 Numa festa típica, cada prato de arroz foi servido para duas pessoas; cada prato de maionese, para três pessoas; cada prato de carne servia quatro pessoas e, cada prato de doces dava exatamente para cinco pessoas. Foram utilizados 77 pratos e todas as pessoas se serviram de todos os pratos oferecidos. Quantas pessoas havia na festa? A) 20 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

17 Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro x, e duas teclas A e B. Quando se aperta a tecla A o número do visor é substituído por 2x 1 1. Quando se aperta a tecla B o número do visor é substituído por 3x 2 1. Se no visor está o número 5, apertando alguma sequência das teclas A e B, o maior número de dois algarismos que se pode obter é: A) 85 B) 87 C) 92 D) 95 E) 96

13 Na organização retangular de pontos da figura abaixo, a distância entre pontos vizinhos em uma mesma linha ou coluna é igual a 1 cm. C D



B

E A

18 A sequência “22” descreve a si mesma, pois ela é formada por exatamente dois 2. Analogamente, a se­ quência “31 12 33 15” descreve a si mesma, pois é formada por exatamente três 1, um 2, três 3 e um 5. Qual das seguintes sequências não descreve a si mesma? A) 21 32 23 16 D) 21 32 33 24 15 B) 31 12 33 18 E) 41 32 23 24 15 16 18 C) 31 22 33 17 19

A área do pentágono ABCDE, em cm2, é igual a: 21 A) 9 D) 2 19 B) E) 11 2 C) 10

19 Camila e Lara estão disputando o seguinte jogo num tabuleiro 4 3 4: Camila marca algumas casas do tabuleiro e informa à Lara o número de casas marcadas na vizinhança de cada casa do tabuleiro. Neste jogo, duas casas distintas são consideradas vizinhas se possuem um lado ou um canto (vértice) em comum. Lara deve descobrir quais 1 2 1 1 casas foram marcadas por Camila. Após marcar algu1 2 0 2 mas casas, Camila passou 3 3 2 1 para Lara o tabuleiro ao lado. 2 0 1 1 O número de casas marcadas foi: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

14 Um quadrado de área 1 foi cortado em cinco filas de 5 quadradinhos cada. Todos os quadradinhos são congruentes. Marcam-se os quadradinhos de uma linha qualquer, de uma diagonal qualquer e de uma coluna qualquer, e, em seguida, retiram-se os quadrados assinalados. A área coberta pelos quadradinhos restantes vale, no mínimo, 2 11 3 12 13 A) B) C) D) E) 5 25 5 25 25

44

20 Imagine uma pilha com cem milhões de folhas de papel sulfite, cada uma com 0,1 milímetro de espessura. Assinale a alternativa mais próxima da altura da pilha. A) a sua altura. B) o comprimento do maior animal do mundo, a baleia-azul, que é cerca de 29 metros. C) a altura do edifício mais alto do mundo, o Petronas Tower, que tem 88 andares. D) a altura do pico mais alto do mundo, o Monte Everest, que é 8 848 metros. E) a distância do planeta Terra à Lua, que é muito maior que todas as alternativas anteriores.

6 Anos bissextos são múltiplos de 4, exceto aqueles que são múltiplos de 100, mas não de 400. Quantos anos bissextos houve desde a Proclamação da República, em 1889, até hoje? 7 Em um dado comum a soma dos pontos sobre faces opostas é sempre 7. Beatriz construiu uma torre com 4 dados comuns iguais, colando as faces como mostrado na figura. Qual é o menor número de pontos que Beatriz pode obter somando todos os pontos das dezoito faces da superfície da torre?

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

8 Na multiplicação a seguir a, b, c e d são algarismos. 45 a3 3 3bcd

1 Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operação 10100 2 2003? 2 Quantos números inteiros maiores do que 20032 e menores do que 20042 são múltiplos de 100?

Calcule b 1 c 1 d. 9 A média de cinco inteiros positivos diferentes é 11. Determine o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros.

3 Quantos triângulos existem cujos lados estão sobre alguns dos segmentos traçados na figura abaixo?

10 Nove peças diferentes de dominó estão sobre uma mesa, parcialmente cobertas por um pedaço de papel. Os dominós se tocam de modo que 1 ponto é vizinho a 1 ponto, 2 pontos são vizinhos a 2 pontos, etc. Qual o total de pontos escondidos pelo papel?

4 Um estudante, com muito tempo livre e muita curiosidade, resolveu fazer o seguinte: a cada minuto, ao mudar o horário em seu relógio digital, marcava em seu caderno um X para cada algarismo 7 que aparecia no visor. Assim, se seu relógio mostrava 02:07 ele marcava X e quando seu relógio mostrou 07:17 ele marcou XX. Começou a fazer isso quando seu relógio mostrava 01:00 e parou quase doze horas depois, quando o relógio mostrava 12:59. Calcule a metade da quantidade de X que ele marcou em seu caderno.

5 A grande atração do OBM Parque é uma roda-gigante (a figura mostra uma roda-gigante similar, porém com um número menor de cabines). As cabines são numeradas com 1, 2, 3,…, no sentido horário. Quando a cabine 25 está na posição mais baixa da roda-gigante, a de número 8 está na posição mais alta. Quantas cabines tem a roda-gigante?

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 Quais números inteiros positivos menores que 120 podem ser escritos como soma de duas ou mais potências distintas de base 3 e expoente positivo? Por exemplo, 12 5 32 131 é um número desse tipo, mas 18 5 32 1 32 não é.

45

2 No desenho ao lado, o quadrado ABCD tem área de 64 cm2 e o quadrado FHIJ tem área de 36 cm2. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG.

5 Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado mágico a seguir, o valor de x é:

1

x

14

26

42

8 3

C) 45

D) 48

A) 7

B) 3

5

x

C) 5

6 D) 4

E) 6

8 Considere um número inteiro x e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de x é: A) um número primo. B) um número par. C) um número entre 40 e 50. D) um número múltiplo de 3. E) um número cuja soma dos algarismos é 9.

1 O retângulo da figura a seguir está dividido em 7 quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a 1, a área do retângulo é igual a:

B) 44

E) 27

7 Na figura, o número 8 foi obtido somando-se os dois números diretamente abaixo de sua casinha. Os outros números nas três linhas superiores são obtidos da mesma forma. Qual é o valor de x?

Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• a 1.   Fase Olimpíada Regional AL – BA – GO – PA – PB ­­– PI – RS – RN – SC

A) 42

C) 23 D) 25

6 Seja n 5 9 867. Se você calculasse n3 2 n2 você encontraria um número cujo algarismo das unidades é: A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

3 Considere o produto de todos os divisores positivos de um número inteiro positivo, diferentes desse número. Dizemos que o número é poderoso se o produto desses divisores for igual ao quadrado do número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois seus divisores positivos menores do que ele são 1, 2, 3, 4 e 6 e 1 2  3  4  6 5144 5122. Apresente todos os números poderosos menores do que 100.



A) 20 B) 22

13

9 Os números a, b, e c são naturais consecutivos em ordem crescente. Então, o valor de c2 − ab é igual a: A) 0 C) 2a 1 b E) 2b 1 c B) 1 D) 2a 1 c

E) 49

2 Você possui muitos palitos com 6 cm e 7 cm de comprimento. Para fazer uma fila de palitos com comprimento total de 2 metros, o número mínimo de palitos que você precisa utilizar é: A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33

10 Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, ... O 2 003o termo desta sequência é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3 A maior raiz da equação (x 2 37)2 2 169 5 0 é: A) 39 B) 43 C) 47 D) 50 E) 53

11 Considere as seguintes definições: • A média aritmética de dois números reais positivos é a metade da sua soma. • A média harmônica de dois números reais positivos é o inverso da média aritmética dos inversos desses números. A diferença entre a média aritmética e a média harmônica dos números 4 e 6 é: A) 0,1 C) 0,3 E) 0,5 B) 0,2 D) 0,4

4 Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro x, e duas teclas A e B. Quando se aperta a tecla A o número do visor é substituído por 2x 1 1. Quando se aperta a tecla B o número do visor é substituído por 3x 2 1. Se no visor está o número 5, apertando alguma sequência das teclas A e B, o maior número de dois algarismos que se pode obter é: A) 85 B) 87 C) 92 D) 95 E) 96

46

12 A sequência “22” descreve a si mesma, pois ela é formada por exatamente dois 2. Analogamente, a sequência “31 12 33 15” descreve a si mesma, pois é formada por exatamente três 1, um 2, três 3 e um 5. Qual das seguintes sequências não descreve a si mesma? A) 21 32 23 16 D) 21 32 33 24 15 B) 31 12 33 18 E) 41 32 23 24 15 16 18 C) 31 22 33 17 19

17 As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por coincidirem por rotação.

13 O dominó mais conhecido tem como maior peça o duplo 6. Neste dominó são empregadas 28 peças diferentes. Quantas peças tem o dominó cuja maior peça é o duplo 8?



De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2 3 2 de branco ou preto de modo que não existam dois tabuleiros que coincidam por rotação? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 22003  91001 22002  91001 é: 1 41001  32003 41001  32003 4 2 B) C) 1 D) E) 2 3 3

18 O valor da soma



A) 34

B) 36

C) 42

D) 55

1 3

19 Considere os números X = 2700 , Y =11200 e Z = 5300 . Assinale a alternativa correta: A) X , Z , Y D) Z , X , Y B) Y , X , Z E) Z , Y , X C) Y , Z , X

E) 45

14 Os quadrados dos números naturais maiores do que 2, subtraídos de seus sucessores, formam a sequência 5, 11, 19, ... . O primeiro elemento dessa sequência que não é um número primo é o: A) quarto D) nono B) décimo E) sétimo C) sexto

20 Beatriz, Isabele e Nicole estão disputando um jogo fazendo lançamentos sucessivos com uma moeda. Beatriz ganha se, em dois lançamentos consecutivos, o primeiro resultar cara e o segundo, coroa. Isabele ganha se forem obtidas duas coroas em dois lançamentos consecutivos, e Nicole ganha se forem obtidas duas caras em dois lançamentos consecutivos. Elas fazem os lançamentos até que uma das jogadoras seja vencedora. Qual(is) jogadora(s) possui(em) menos chances de ganhar o jogo? A) Beatriz D) Beatriz e Nicole B) Isabele E) As três têm a mesma chance. C) Nicole

15 Você está em um país estrangeiro, a LUCIÂNIA, e não conhece o idioma, o LUCIANÊS, mas sabe que as palavras “BAK” e “KAB” significam sim e não, porém não sabe qual é qual. Você encontra uma pessoa que entende português e pergunta: “KAB significa sim?” A pessoa responde “KAB”.   Pode-se deduzir que: A) KAB significa sim. B) KAB significa não. C) A pessoa que respondeu mentiu. D) A pessoa que respondeu disse a verdade. E) Não é possível determinar sem um dicionário LUCIANÊS-PORTUGUÊS.

21 Camila e Lara estão disputando o seguinte jogo num tabuleiro 4 3 4: Camila marca algumas casas do tabuleiro e informa à Lara o número de casas marcadas na vizinhança de cada casa do tabuleiro. Neste jogo, duas casas distintas são consideradas vizinhas se possuem um lado ou um canto (vértice) em comum. Lara deve descobrir quais casas foram marcadas por Camila. Após marcar algumas casas, Camila passou para Lara o seguinte tabuleiro:

16 Na organização retangular de pontos da figura abaixo, a distância entre pontos vizinhos em uma mesma linha ou coluna é igual a 1 cm. C D

B

E

A)

A

1

2

1

1

0

2

1

2

2

3

3

1

1

0

2

1

A área do pentágono ABCDE, em cm2, é igual a:

A) 9

B)

19 2

C) 10

D)

21 2

E) 11



47

O número de casas marcadas foi: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

E) 7

22 Divida os números 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 em dois grupos x e y com produtos A e B, respectivamente, de modo que A 2 B 5 1. A soma dos algarismos de A é: A) 10 B) 11 C) 13 D) 14 E) 15

2 Dados os números inteiros de 1 a 26, escolha 13 dentre eles de forma que: 1) O número 4 está entre os números escolhidos. 2) Nenhum número escolhido é divisor de outro número escolhido.

23 A figura a seguir mostra um quadrado ABCD e um triângulo equilátero BEF, ambos com lado de medida 1 cm. Os pon- D C tos A, B e E são coliF neares, assim como G os pontos A, G e F. A área do triângulo BFG é, em cm2: B E A

3 Uma folha retangular ABCD de área 1 000 cm2 foi dobrada ao meio e em seguida desdobrada (segmento MN); foi dobrada e desdobrada novamente (segmento MC) e, finalmente, dobrada e desdobrada segundo a diagonal BD. Calcule a área do pedaço de papel limitado pelos três vincos (região hachurada no desenho).



A)

1 4

B)

1 3

C)

3 4

D)

3 12

E)

3 10

24 Carlinhos pensa num número ímpar positivo menor do que 100. Pedrinho se dispõe a descobrir que número é esse fazendo a seguinte pergunta, quantas vezes forem necessárias: “O número que você pensou é maior, menor ou igual a x? ”. Note que x é um número que Pedrinho escolhe. Quantas perguntas desse tipo Pedrinho poderá ter que fazer até descobrir o número pensado por Carlinhos? A) 5 B) 7 C) 15 D) 25 E) 45

4 Considere o produto de todos os divisores positivos de um número inteiro positivo, diferentes desse número. Dizemos que o número é poderoso se o produto desses divisores for igual ao quadrado do número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois seus divisores positivos menores do que ele são 1, 2, 3, 4 e 6 e 1  2  3  4  6 5 144 5 122 . Apresente todos os números poderosos menores do que 100.

25 No triângulo ABC, AB 5 20, AC 5 21 e BC 5 29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD 5 8 e EC 5 9. A medida do ângulo DÂE, em graus, é igual a: A) 30 B) 40 C) 45 D) 60 E) 75

5 Seja  :  IR1*  

IR1* , uma função tal que

x y f ( x)f ( y) 2 f ( xy) 5 1 quaisquer que sejam os ­reais y x não nulos x e y. (a) Calcule f(1) (b) Encontre uma fórmula para f(x)

SEGUNDA FASE •••••• 1 No desenho abaixo, o quadrado ABCD tem área de 30 cm2 e o quadrado FHIJ tem área de 20 cm2. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG.

6 Dizemos que um número N de quatro algarismos é biquadrado quando é igual à soma dos quadrados de dois números: um é formado pelos dois primeiros algarismos de N, na ordem em que aparecem em N, e o outro, pelos dois últimos algarismos de N, também na ordem em que aparecem em N. Por exemplo, 1233 é biquadrado pois 1233 5 122 1 332. Encontre um outro número biquadrado. Observação: Lembre-se de que um número de quatro algarismos não pode começar com zero.

48

XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2002 PROVAS 5 Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questão? A) Quarenta e oito. D) Cinquenta e um. B) Quarenta e nove. E) Cinquenta e quatro. C) Cinquenta.

Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional BA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC (24 )8 1 A razão 8 2 é igual a: (4 ) 1 1 B) C) 1 A) 4 2

D) 2

6 Toda a produção mensal de latas de refrigerante de certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção; para a loja B, 2 foram vendidos da produção e para a loja C, fo5 ram vendidas 2 500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? A) 4 166 latas C) 20 000 latas E) 30 000 latas B) 10 000 latas D) 25 000 latas 7 Um quadrado de área 1 foi dividido em 4 retângulos congruentes, conforme indicado no desenho à esquerda. Em seguida, os quatro retângulos foram reagrupados de maneira a formar um quadrado, com um buraco quadrado no centro, conforme indica o desenho à direita.

E) 8

2 Num armazém foram empilhadas embalagens cúbicas conforme mostra a figura ao lado. Se cada caixa pesa 25  kg, quanto pesa toda a pilha? A) 300 kg D) 375 kg B) 325 kg E) 400 kg C) 350 kg 3 Na balança a seguir temos pesadas bolas de chumbo, todas iguais, e leves saquinhos de plástico, todos com a mesma quantidade de bolinhas, iguais às que estão fora dos mesmos. Quantas bolinhas há em cada saquinho?

a a



A) 1

a

a

a

a

a

B) 2

C) 3

D) 5



E) 6

B) 22

C) 21

D) 20

3 4

E) 1

2 1

A



A) 23

D)

8 A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu comprimento total é igual a:

4 Escreva os números inteiros de 1 a 9 nos nove quadradinhos, de forma que as somas dos quatro números em cada uma das pás da “hélice” sejam iguais e de maior valor possível. Esse valor é:



A área do buraco é igual a: 9 16 1 A) B) C) 16 25 2

B 1

2

A) 31

3

4

5

B) 88

6

7

8

C) 90

9

30 31

D) 97

E) 105

9 A diferença entre os quadrados de dois números inteiros positivos consecutivos é sempre: A) um número primo. B) um múltiplo de 3. C) igual à soma desses números. D) um número par. E) um quadrado perfeito.

E) 19

49

10 Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua casa até a escola. Certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que, se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste ponto? 9 9 2 1 2 A) B) C) D) E) 20 10 3 2 5



14 O produto de um milhão de números naturais, não necessariamente distintos, é igual a um milhão. Qual é o maior valor possível para a soma desses números? A) 1 000 000 D) 1 999 999 B) 1 250 002 E) 13 999 432 C) 1 501 999 15 Se você tiver uma mesa de bilhar retangular cuja 5 razão entre a largura e o comprimento seja e ba7 ter em uma bola que está em um canto, de modo que ela saia na direção da bissetriz do ângulo desse canto, quantas vezes ela baterá nos lados antes de bater em um dos cantos? A) 10 vezes C) 13 vezes E) 15 vezes B) 12 vezes D) 14 vezes

200 180

A

140

B

120

dez

nov

out

set

ago

100

jul

milhões de reais

11 O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo semestre de 2001.

160

cobra R$ 237,00, mais R$ 120,00 por ônibus utilizado. A escola deve preferir a empresa que utiliza ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças. O valor de N é: A) 28 B) 31 C) 32 D) 33 E) 36

16 Na malha quadriculada a seguir, todas as circunferências têm centro em M. Então, pode-se concluir que a área preta é:

Com base nesse gráfico, podemos afirmar que: A) houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da empresa B. B) no mês de julho, a diferença de faturamentos foi maior que nos demais meses. C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos. D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B. E) a diferença entre os faturamentos totais do semestre excedeu os 20 milhões de reais.

M

A) dois quintos da área do círculo maior. B) três sétimos da área do círculo maior. C) metade da área do círculo maior. D) quatro sétimos da área do círculo maior. E) três quintos da área do círculo maior.

12 Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de Janeiro num feriado prolongado. A viagem de ida e volta, de ônibus, custa R$ 80,00, mas Patrícia está querendo ir com seu carro, que faz, em média, 12 quilômetros com um litro de gasolina. O litro da gasolina custa, em média, R$ 1,60, e Patrícia calcula que terá de rodar cerca de 900 quilômetros com seu carro e pagar R$ 48,00 de pedágio. Ela irá de carro e para reduzir suas despesas chama duas amigas, que irão repartir com ela todos os gastos. Dessa forma, não levando em conta o desgaste do carro e outras despesas inesperadas, Patrícia irá: A) economizar R$ 20,00. B) gastar apenas R$ 2,00 a mais. C) economizar R$ 24,00. D) gastar o mesmo que se fosse de ônibus. E) gastar R$ 14,00 a mais.

17 As figuras a seguir são construídas com palitos pretos e brancos. Para construir as figuras, os palitos pretos foram colocados apenas nas bordas, e os brancos, apenas no interior. A figura de número n corresponde a um retângulo 3 por n. Continuando esse procedimento, quantos palitos brancos teremos na figura 2 002?

1

13 Uma escola vai organizar um passeio ao zoológico. Há duas opções de transporte. A primeira opção é alugar “vans”: cada van pode levar até 6 crianças e seu aluguel custa R$ 60,00. A segunda opção é contratar uma empresa para fazer o serviço: a empresa utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças e



50

A) 2 001 B) 4 004

2

3

C) 12 006 E) 10 010 D) 10 007

18 Um produtor de leite engarrafa diariamente toda a produção de leite de sua fazenda. Depois de tirado, o leite segue para um tanque de forma cilíndrica e então é engarrafado, conforme vemos na figura a seguir. Na tabela vemos a quantidade de garrafas que foram enchidas e o nível do leite dentro do tanque. Depois de quantas garrafas serem enchidas o tanque ficará vazio?



Quantidade de garrafas enchidas

0

200

400

600

Nível do tanque (cm)

210

170

130

90

A) 1 000

B) 1 050

C) 1 100

3 Dado um número, pode-se escrever o seu dobro ou suprimir o seu algarismo das unidades. Apresente uma sequência que começa com 2 002 e termina com 13, usando somente essas duas operações. 4 Três amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto e branco, respectivamente. Seus pares de sapa­to  apresentavam essas  mes­ mas três cores, mas somente Ana usava vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia eram brancos. Marisa usava sapatos azuis. ­Des­creva a cor do vestido de cada uma das moças. 5 No jogo pega-varetas, as varetas verdes valem 5 pontos cada uma, as azuis valem 10 pontos, as amarelas valem 15, as vermelhas, 20, e a preta, 50. Existem 5  varetas verdes, 5 azuis, 10 amarelas, 10  vermelhas e 1  preta. Carlinhos conseguiu fazer 40 pontos numa jogada. Levando em conta apenas a quantidade de varetas e suas cores, de quantas maneiras diferentes ele poderia ter conseguido essa pontuação, supondo que em cada caso fosse possível pegar as varetas necessárias?

D) 1 150 E) 1 200

19 Escrevendo todos os números inteiros de 100 a 999, quantas vezes escrevemos o algarismo 5? A) 250 B) 270 C) 271 D) 280 E) 292 20 Uma usina comprou 2 000 litros de leite puro e então retirou certo volume V desse leite para produção de iogurte e substituiu esse volume por água. Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V da mistura e novamente substituiu por água. Na mistura final existem 1 125 litros de leite. O volume V é: A) 500 litros C) 700 litros E) 900 litros B) 600 litros D) 800 litros

6 Nas casas de um tabuleiro 8 3 8 foram escritos números inteiros positivos de forma que a diferença entre números escritos em casas vizinhas (quadrados com um lado comum) é 1. Sabe-se que numa das casas está escrito 17 e, em outra, está escrito 3. Desenhe um tabuleiro 8 3 8, preencha-o segundo essas regras e calcule a soma dos números escritos nas duas diagonais do tabuleiro.

Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• a 1.   Fase Olimpíada Regional BA – ES – MG – PA – PB ­­– RJ – RS – SC

SEGUNDA FASE – parte A •••••• 1 O ano 2002 é palíndromo, ou seja, continua o mesmo se lido da direita para a esquerda. a) Depois de 2002, quais serão os próximos quatro anos palíndromos? b) O último ano palíndromo, 1991, era ímpar. Quando será o próximo ano palíndromo ímpar?

1 Um comerciante comprou dois carros por um total de R$ 27 000,00. Vendeu o primeiro com lucro de 10% e o segundo com prejuízo de 5%. No total ganhou R$ 750,00. Os preços de compra foram, respectivamente: A) R$ 10 000,00 e R$ 17 000,00 B) R$ 13 000,00 e R$ 14 000,00 C) R$ 14 000,00 e R$ 13 000,00 D) R$ 15 000,00 e R$ 12 000,00 E) R$ 18 000,00 e R$ 9 000,00

2 Um fazendeiro resolveu repartir sua fazenda para seus cinco filhos. O desenho abaixo (fora de escala) representa a fazenda e as partes dos herdeiros, BC que são da forma triangular, de modo que BD 5 , 4 AC DC AE 5 , DF 5 e EG 5 GC. O filho mais novo 3 2 recebeu o terreno representado pelo triângulo escuro, de 40 alqueires. Quantos alqueires tinha a propriedade original? A

2 Se você tiver uma mesa de bilhar retangular cuja ra-

E G

B

D

F

5 e bater 7 uma bola que está em um canto, de modo que ela saia na direção da bissetriz do ângulo desse canto, quantas vezes ela baterá nos lados antes de bater em um dos cantos? A) 10 vezes C) 13 vezes E) 15 vezes B) 12 vezes D) 14 vezes zão entre a largura e o comprimento seja



C

51

3 Dizer que uma tela de televisão tem 20 polegadas significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas. Quantas telas de televisão de 20 polegadas cabem numa de 60 polegadas? A) 9 B) 10 C) 18 D) 20 E) 30

9 Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de Janeiro num feriado prolongado. A viagem de ida e volta, de ônibus, custa R$ 80,00, mas Patrícia está querendo ir com seu carro, que faz, em média, 12 quilômetros com um litro de gasolina. O litro de gasolina custa, em média, R$1,60, e Patrícia calcula que terá de rodar cerca de 900 quilômetros com seu carro e pagar R$ 48,00 de pedágio. Ela irá de carro e para reduzir suas despesas chama duas amigas, que irão repartir com ela todos os gastos. Dessa forma, não levando em conta o desgaste do carro e outras despesas inesperadas Patrícia irá: A) economizar R$ 20,00. B) gastar apenas R$ 2,00 a mais. C) economizar R$ 24,00. D) gastar o mesmo que se fosse de ônibus. E) gastar R$ 14,00 a mais.

4 Uma usina comprou 2 000 litros de leite puro e então retirou certo volume V desse leite para produção de iogurte e substituiu este volume por água. Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V da mistura e substituiu novamente este volume por água. Na mistura final existem 1 125 litros de leite puro. O volume V é: A) 500 litros D) 800 litros B) 600 litros E) 900 litros C) 700 litros 5 Dois irmãos, Pedro e João, decidiram brincar de pega-pega. Como Pedro é mais velho, enquanto João dá 6 passos, Pedro dá apenas 5. No entanto, 2 passos de Pedro equivalem à distância que João percorre com 3 passos. Para começar a brincadeira, João dá 60 passos antes de Pedro começar a persegui-lo. Depois de quantos passos Pedro alcança João? A) 90 passos D) 180 passos B) 120 passos E) 200 passos C) 150 passos

10 Traçando segmentos, podemos dividir um quadrado em dois quadradinhos congruentes, quatro trapézios congruentes e dois triângulos congruentes, conforme indica o desenho abaixo, à esquerda. Eliminando algumas dessas partes, podemos montar o octógono representado à direita. Que fração da área do quadrado foi eliminada?

6 A diferença entre os quadrados de dois números inteiros consecutivos é sempre: A) um número primo. B) um múltiplo de 3. C) igual à soma desses números. D) um número par. E) um quadrado perfeito.



1 9

B)

2 9

C)

1 4

D)

1 3

E)

3 8

180 160

A

140

B

120

dez

nov

out

set

100

jul

casa até a escola. Certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que, se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste ponto? 2 9 1 2 9 B) C) D) E) A) 5 20 2 3 10

200

ago

milhões de reais

11 O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo semestre de 2001.

7 Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua



A)

Com base nesse gráfico, podemos afirmar que: A) houve um mês em que o faturamento da empresa A foi o dobro do faturamento da empresa B. B) no mês de julho, a diferença de faturamentos foi maior que nos demais meses. C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos. D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B. E) a diferença entre os faturamentos totais no semestre excedeu os 20 milhões de reais.

8 Escreva os números inteiros de 1 a 9 nos nove quadradinhos, de forma que as somas dos quatro números em cada uma das pás da “hélice” sejam iguais e de maior valor possível. Esse valor é:

12 O produto de um milhão de números naturais,



A) 23

B) 22

C) 21

D) 20



E) 19

52

não necessariamente distintos, é igual a um milhão. Qual é o maior valor possível para a soma desses números? A) 1 000 000 C) 1 501 999 E) 13 999 432 B) 1 250 002 D) 1 999 999

13 O lava-rápido “Lave Bem” faz uma promoção:

19 Escrevendo todos os números inteiros de 100 a 999, quantas vezes escrevemos o algarismo 5? A) 250 B) 270 C) 271 D) 280 E) 292

Lavagem simples R$5,00 Lavagem completa R$7,00

20 Se xy 5 2 e x2 1 y2 5 5, então

No dia da promoção, o faturamento do lava-rápido foi de R$ 176,00. Nesse dia, qual o menor número possível de clientes que foram atendidos? A) 23 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30







D)

3 4

E) 1

 5 80º e C  5 40o, 16 Dado um triângulo ABC, em que A a medida do ângulo agudo formado pelas bissetri e B é: zes dos ângulos A o o B) 60 C) 70o D) 80o E) 110o A) 40 17 Na malha quadriculada abaixo, há 6 quadrados de lado 30 cm. A área do triângulo ABC é:

A) 150 cm2 B) 100 cm2



25 4

C)

5 4

23 Vamos provar que 4 é maior que 4. Sejam a e b dois números tais que a . 4 e a 5 b. 1) Vamos subtrair 4 dos dois termos desta equação: a5b a245b24

C B



B)

22 Durante sua viagem ao país das Maravilhas, a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: “beba-me e fique 25% mais alta”. A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: “prove-me e fique 10% mais baixa”; logo após, tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: “beba-me e fique 10% mais alta”. Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito: “prove-me e fique 20% mais baixa”. Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela: A) ficou 1% mais baixa. B) ficou 1% mais alta. C) ficou 5% mais baixa. D) ficou 5% mais alta. E) ficou 10% mais alta.

15 Quantos números inteiros positivos menores que 900 são múltiplos de 7 e terminam em 7? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

A

5 2

21 Uma escola vai organizar um passeio ao zoológico. Há duas opções de transporte. A primeira opção é alugar “vans”: cada van pode levar até 6 crianças e seu aluguel custa R$ 60,00. A segunda opção é contratar uma empresa para fazer o serviço: a empresa utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças e cobra R$ 237,00 mais R$ 120,00 por ônibus utilizado. A escola deve preferir a empresa que utiliza ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças. O valor de N é: A) 28 B) 31 C) 32 D) 33 E) 36

14 Um quadrado de área 1 foi dividido em 4 retângulos congruentes, conforme indicado no desenho à esquerda. Em seguida, os quatro retângulos foram reagrupados de maneira a formar um quadrado, com um buraco quadrado no centro, conforme indica o desenho à direita.

A área do buraco é igual a: 1 9 16 A) B) C) 2 16 25

A)

x 2 y2 1 1 2 vale: y2 x 2 1 D) E) 1 2

C) 75 cm2 D) 50 cm2

2) Colocamos 21 em evidência no segundo membro da equação: a 2 4 5 21(2b 1 4) a 2 4 5 21(4 2 b)

E) 25 cm2

3) Elevamos ambos os termos da equação ao quadrado: (a 2 4)2 5 [21  ( 4 2 b)]2 (a 2 4)2 5 (21)2( 4 2 b)2

18 A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu comprimento total é igual a:

(a 2 4)2 5 1  ( 4 2 b)2 (a 2 4)2 5 ( 4 2 b)2 2

B

4) Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da equação:

E) 105

(a 2 4)2 5 ( 4 2 b)2 a24542b

1

A

1

A) 31

2

3

4

B) 88

5

6

7

8

C) 90

9

30 31

D) 97

53

2 Um grande painel na forma de um quarto de círculo foi composto com 4 cores, conforme indicado na figura ao lado, onde o segmento divide o setor em duas partes iguais e o arco interno é uma semicircunferência. Qual é a cor que cobre a maior área?

5) Como a 5 b, substituímos b por a: a24542a 6) Resolvemos a equação:



a24542a 2a 5 8 a54

az ul o c an br amarelo

3 Nas casas de um tabuleiro 8 3 8 foram escritos números inteiros positivos de forma que a diferença entre números escritos em casas vizinhas (quadrados com um lado comum) é 1. Sabe-se que numa das casas está escrito 17 e, em outra, está escrito 3. Calcule a soma dos números escritos nas duas diagonais do tabuleiro.

Como escolhemos a tal que a . 4, chegamos à inacreditável conclusão de que 4 . 4. Onde está o erro no argumento acima? A) Na passagem 2. D) Na passagem 5. B) Na passagem 3. E) Na passagem 6. C) Na passagem 4.

24 Qual é a quantidade total de letras de todas as

verde

4 O professor Pardal está estudando o comportamento familiar de uma espécie de pássaro. Os pontos A, B, C e D da figura a seguir representam a disposição de quatro ninhos desses pássaros. O professor construiu um posto de observação equidistante dos quatro ninhos. Todos os ninhos e o posto de observação estão em um mesmo nível de altura a partir do solo, a distância C de B a D é de 16 meB B ˆ 545o . Detros e BAD termine a distância que o posto guarda D AA de cada ninho.

respostas incorretas desta questão? A) Quarenta e oito. D) Cinquenta e um. B) Quarenta e nove. E) Cinquenta e quatro. C) Cinquenta.

25 O resto da divisão por 9 de 1111111111 2 22222 é: A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 8

SEGUNDA FASE •••••• 1 Geraldinho e Magrão saíram de suas casas no mesmo instante com a intenção de um visitar o outro, caminhando pelo mesmo percurso. Geraldinho ia pensando num problema de olimpíada, e Magrão ia refletindo sobre questões filosóficas e nem perceberam quando se cruzaram. Dez minutos depois, Geraldinho chegava à casa de Magrão, e meia hora mais tarde, Magrão chegava à casa de Geraldinho. Quanto tempo cada um deles andou?

5 O primeiro número de uma sequência é 7. O próximo é obtido da seguinte maneira: Calculamos o quadrado do número anterior 72 5 5 49 e a seguir efetuamos a soma de seus algarismos e adicionamos 1, isto é, o segundo número é 4 1 9 1 1 5 14. Repetimos este processo, obtendo 142 5 196, e o terceiro número da sequência é 1 1 9 1 6 1 1 5 17, e assim sucessivamente. Qual o 2002o elemento desta sequência? 6 O ano 2002 é palíndromo, ou seja, continua o mesmo se lido da direita para a esquerda. a) Depois de 2002, quais serão os próximos quatro anos palíndromos? b) O último ano palíndromo, 1991, era ímpar. Quando será o próximo ano palíndromo ímpar? c) O último ano palíndromo primo aconteceu há mais de 1 000 anos, em 929. Determine qual será o próximo ano palíndromo primo.

Observação: Cada um deles anda com velocidade constante.

54

XXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2001 PROVAS Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional AM – GO – PA – RJ – RS – SC

A) é igual 11. B) é igual a 4. C) é menor do que 3. D) é maior do que 4 e menor do que 11. E) é 3. 6 Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pera para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (Lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma). A) 15 litros. C) 75 litros. E) 30 litros. B) 45 litros. D) 80 litros.

1 Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares, e o menor só tem algarismos ímpares. O menor valor possível para a diferença entre eles é: A) 111 B) 49 C) 29 D) 69 E) 5 2 Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições?

7 O triângulo equilátero T à direita tem lado 1. Juntando triângulos congruentes a esse, podemos formar outros triângulos equiláteros maiores, conforme indicado no desenho abaixo.

Qual é o lado do triângulo equilátero formado por 49 dos triângulos T ? A) 7 B) 49 C) 13 D) 21 E) É impossível formar um triângulo equilátero com esse número de triângulos T.

A) 4

B) 14

C) 60

D) 120

8 Os números inteiros positivos de 1 a 1 000 são escritos, lado a lado, em ordem crescente, formando a sequência 123 456 789 101 112 131 415... 9 991 000. Nessa sequência, quantas vezes aparece o grupo “89” ? A) 98 C) 22 E) 21 B) 32 D) 89

E) 24

3 Joana escreve a sequência de números naturais 1, 6, 11, ..., em que cada número, com exceção do primeiro, é igual ao anterior mais cinco. Joana para quando encontra o primeiro número de três algarismos. Esse número é: A) 100 B) 104 C) 101 D) 103 E) 102

9 Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo.

4 Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5? A) 1 C) 2 E) mais de 4 B) 3 D) 4 5 No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1 000 000 000 001} cada elemento é um número formado por algarismos 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são números primos, e outros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos, podemos afirmar que:



55

Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo, o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos, no mínimo, ele levará para fazer essa corrente? A) 30 C) 40 E) 50 B) 35 D) 45

10 Escrevem-se os números naturais numa faixa decorativa, da seguinte maneira: 1

2

3

5

7

6

4

17 Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 sobram 2, e contando-se de 5 em 5 sobra 1. Sabendo-se que 15 alunos são meninas e que nessa classe o número de meninas é maior que o número de meninos, o número de meninos nessa classe é: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

8

18 São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc.). A soma de todos esses números é: A) 6 882 C) 4 668 E) 3 448 B) 5 994 D) 7 224

Assinale a figura correta:

A)

2 001

B)

2 001

2 000

D)

E)

2 001

2 000

2 001

2 000



2 000

C)

19 Cinco animais, A, B, C, D e E, são cães ou são lobos. Cães sempre contam a verdade, e lobos sempre mentem. A diz que B é um cão. B diz que C é um lobo. C diz que D é um lobo. D diz que B e E são animais de espécies diferentes. E diz que A é um cão. Quantos lobos há entre os cinco animais? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2 001

2 000

11 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas custa a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas é igual ao preço de: A) 3 melancias. D) 5 melancias. B) 4 melancias. E) 2 melancias. C) 6 melancias.

20 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos.

12 Qual é o último algarismo da soma de 70 números inteiros positivos consecutivos? A) 4 C) 7 E) Faltam dados. B) 0 D) 5 13 Em Tumbólia, um quilograma de moedas de 50 centavos equivale, em dinheiro, a dois quilogramas de moedas de 20 centavos. Sendo 8 gramas o peso de uma moeda de 20 centavos, uma moeda de 50 centavos pesará: A) 15 gramas. C) 12 gramas. E) 22 gramas. B) 10 gramas. D) 20 gramas. 14 As medidas dos lados de um retângulo são números inteiros distintos. O perímetro e a área do retângulo se exprimem pelo mesmo número. Determine esse número. A) 18 B) 12 C) 24 D) 9 E) 36



A regra para se construir esses mosaicos é a seguinte: inicialmente formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; e, em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos brancos, também cercado por azulejos pretos; e assim sucessivamente. Com 80 azulejos pretos, quantos azulejos brancos serão necessários para se fazer uma sequência de mosaicos como essa? A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 100

SEGUNDA FASE •••••• 1 O jogo de dominó é formado por 28 peças retangulares distintas, cada uma com duas partes, com cada parte contendo de 0 a 6 pontinhos. Por exemplo, veja três dessas peças:

15 O número N de três algarismos multiplicado por 7 deu como resultado um número que termina em 171. A soma dos algarismos de N é: A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 16 Em um tabuleiro retangular com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas. Podemos afirmar que: A) Todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas. B) Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas. C) Alguma coluna não tem casas ocupadas. D) Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas. E) Todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.

Qual é o número total de pontinhos de todas as peças?

56

2 As peças de um jogo chamado Tangram são cons­ truí­das cortando-se um quadrado em sete partes, como mostra o desenho: dois triângulos retângu­ los grandes, um triângulo retângulo médio, dois triângulos retângulos pequenos, um quadrado e um paralelogramo. Se a área do quadrado grande é 1, qual é a área do paralelogramo?

3 No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1 000 000 000 001} cada elemento é um número formado por algarismos 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são números primos, e outros são compostos. Sobre a quantidade de números compostos, podemos afirmar que: A) é igual 11. B) é igual a 4. C) é menor do que 3. D) é maior do que 4 e menor do que 11. E) é 3.

3 Carlinhos faz um furo numa folha de papel retangular. Dobra a folha ao meio e fura o papel dobrado; em seguida, dobra e fura novamente o papel dobrado. Ele pode repetir esse procedimento quantas vezes quiser, evitando furar onde já havia furos. Ao desdobrar a folha, ele conta o número total de furos feitos. No mínimo, quantas dobras deverá fazer para obter mais de 100 furos na folha?

4 Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de matéria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pera para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (Lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma). A) 15 litros. C) 75 litros. E) 30 litros. B) 45 litros. D) 80 litros.

4 Os pontos da rede quadriculada abaixo são numerados a partir do vértice inferior esquerdo seguindo o ca­ minho poligonal  suge­ rido no desenho. Considere o ponto correspondente ao número 13 13 2 001. Quais são os nú6 7 12 6 7 12 meros dos pontos si- 5 11 3 tuados imediatamente 4 8 3 8 11 abaixo e imediatamen­ te à esquerda dele? 1 2 9 10

5 Os números inteiros positivos de 1 a 1 000 são escritos, lado a lado, em ordem crescente, formando a sequência 123 456 789 101 112 131 415... 9 991 000. Nessa sequência, quantas vezes aparece o grupo “89”? A) 98 B) 32 C) 22 D) 89 E) 21 6 Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo.

5 Apresente todos os números inteiros positivos menores do que 1 000 que têm exatamente três divisores positivos. Por exemplo: o número 4 tem exatamente três divisores positivos: 1, 2 e 4. 6 Seja N o número inteiro positivo dado por N 5 12 1 1 22 1 32 1 42 1…1 (196 883)2. Qual é o algarismo das unidades de N?



Nível 2 (8 .   e 9 .   anos) PRIMEIRA FASE •••••• a 1.   Fase Olimpíada Regional AM – GO – PA – RJ – RS – SC o

Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo, o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos, no mínimo, ele levará para fazer essa corrente? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

o

7 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas custa a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas é igual ao preço de: A) 3 melancias. D) 5 melancias. B) 4 melancias. E) 2 melancias. C) 6 melancias.

1 Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5? A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) Mais de 4. 2 O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo ABC de 90o no sentido anti-horário ao redor A de C, conforme mostrado no desenho ao lado. Podemos afirmar que a é igual a: A) 75o C) 70o E) 55o o o B) 65 D) 45

8 Qual é o último algarismo da soma de 70 números inteiros positivos consecutivos? A) 4 D) 5 B) 0 E) Faltam dados. C) 7

B α D

60

C

9 As medidas dos lados de um retângulo são números inteiros distintos. O perímetro e a área do retângulo se exprimem pelo mesmo número. Determine esse número. A) 18 B) 12 C) 24 D) 9 E) 36

O

40

O

E

57

10 O número N de três algarismos multiplicado por 7 deu como resultado um número que termina em 171. A soma dos algarismos de N é: A) 10 C) 12 E) 14 B) 11 D) 13

18 São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411 etc.). A soma de todos esses números é: A) 6 882 C) 4 668 E) 3 448 B) 5 994 D) 7 224

11 Os pontos P1, P2, P3, … estão, nessa ordem, sobre uma circunferência e são tais que o arco que une cada ponto ao seguinte mede 35o. O menor valor de n . 1, tal que Pn coincide com P1 é: A) 37 C) 109 E) 361 B) 73 D) 141

19 Uma mesa retangular, cujos pés têm rodas, deve ser empurrada por um corredor de largura constante, que forma um ângulo reto.

b a

12 Em um tabuleiro retangular com 6 linhas e 9 colunas, 32 casas estão ocupadas. Podemos afirmar que: A) Todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas. B) Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas. C) Alguma coluna não tem casas ocupadas. D) Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas. E) Todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.

Se as dimensões da mesa são a e b (com 2a , b), qual deve ser a largura mínima do corredor para que a mesa possa ser empurrada através dele?

13 ABCDE é um pentágono regular, e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede: A) 38o C) 42o E) 46o o o B) 40 D) 44



A) a 1 b



B) (a 1b)

2 2



C) (a 1b)

2 4

D) (2a 1b)

2 4

E) (a 12b)

2 4

20 Somente uma das figuras a seguir representa a planificação de um cubo na qual está destacada a sua interseção com um plano. Qual? A) C) E)

14 Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 sobram 2, e contando-se de 5 em 5 sobra 1. Sabendo-se que 15 alunos são meninas e que nessa classe o número de meninas é maior que o número de meninos, o número de meninos nessa classe é: A) 7 C) 9 E) 11 B) 8 D) 10



B)

D)

15 Um círculo é dividido, por 2n 1 1 raios, em 2n 1 1 setores congruentes. Qual é o número máximo de regiões do círculo determinadas por estes raios e por uma reta? A) 3n C) 3n 1 2 E) 4n B) 3n 1 1 D) 3n 1 3





21 Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos dígitos são 2 001? A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

16 Paulo e Cezar têm algum dinheiro. Paulo dá a Ce1 zar R$ 5,00, e, em seguida, Cezar dá a Paulo do 3 que possui. Assim, ambos ficam com R$ 18,00. A diferença entre as quantias que cada um tinha inicialmente é: A) R$ 7,00 C) R$ 9,00 E) R$11,00 B) R$ 8,00 D) R$10,00

22 Papa-Léguas participou de uma corrida (com o Ligeirinho e o Flash), que consistia em dar 100 voltas em um circuito. Como sempre, o Coiote queria pegar o Papa-Léguas e colocou um monte de alpiste no meio da pista. É claro que o Coiote não conseguiu pegar o Papa-Léguas, mas ele fez com que a velocidade média dele na primeira volta fosse de apenas 200 km/h. Sabendo disso, a velocidade média do Papa-Léguas na corrida: A) não ultrapassa 200 km/h. B) não ultrapassa 250 km/h, mas pode ultrapassar 200 km/h. C) não ultrapassa 2 000 km/h, mas pode ultrapassar 250 km/h. D) não ultrapassa 20 000 km/h, mas pode ultrapassar os 2 000 km/h. E) pode ultrapassar 20 000 km/h.

17 Um fazendeiro tinha 24 vacas e ração para alimentá-las por 60 dias. Entretanto, 10 dias depois, ele comprou mais 6 vacas, e 10 dias depois dessa compra ele vendeu 20 vacas. Por mais quantos dias após essa última compra ele pode alimentar o gado com a ração restante? A) 50 C) 70 E) 90 B) 60 D) 80

58

23 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos.



3 Se a n-ésima OBM é realizada em um ano que é divisível por n, dizemos que esse ano é superolímpico. Por exemplo, o ano 2001, em que está sendo realizada a 23a OBM, é superolímpico, pois 2 001 5 87 ? 23 e é divisível por 23. Determine todos os anos superolímpicos, sabendo que a OBM nunca deixou de ser realizada desde sua primeira edição, em 1979, e supondo que continuará sendo realizada todo ano.

A regra para se construir esses mosaicos é a seguinte: inicialmente formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; e, em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos brancos, também cercado por azulejos pretos; e assim sucessivamente. Com 80 azulejos pretos, quantos azulejos brancos serão necessários para se fazer uma sequência de mosaicos como essa? A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 100

4 As medidas dos ângulos do triângulo ABC são tais que Aˆ , Bˆ , 90o , Cˆ . As bissetrizes externas dos ângulos Aˆ e Cˆ cortam os prolongamentos dos lados opostos BC e AB nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que AP 5 CQ 5 AC , determine os ângulos de ABC. 5 Dizemos que um conjunto A formado por 4 algarismos distintos e não nulos é intercambiável se podemos formar dois pares de números, cada um com 2 algarismos de A, de modo que o produto dos números de cada par seja o mesmo e que, em cada par, todos os dígitos de A sejam utilizados. Por exemplo, o conjunto {1; 2; 3; 6} é intercambiável, pois 21 ? 36 5 12 ? 63. Determine todos os conjuntos intercambiáveis.

24 Cinco animais, A, B, C, D e E, são cães ou são lobos. Cães sempre contam a verdade, e lobos sempre mentem. A diz que B é um cão. B diz que C é um lobo. C diz que D é um lobo. D diz que B e E são animais de espécies diferentes. E diz que A é um cão. Quantos lobos há entre os cinco animais? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 25 O hexágono ABCDEF é circunscritível. Se AB 5 1, BC 5 2, CD 5 3, DE 5 4 e EF 5 5, quanto mede FA? 15 A) 1 C) E) 9 8 B) 3 D) 6

C

2

6 O matemático excêntrico Jones, especialista em Teoria dos Nós, tem uma bota com 5 pares de furos pelos quais o cadarço deve passar. Para não se aborrecer, ele gosta de diversificar as maneiras de passar o cadarço pelos furos, obedecendo sempre às seguintes regras: • o cadarço deve formar um padrão simétrico em relação ao eixo vertical; • o cadarço deve passar exatamente uma vez por cada furo, sendo indiferente se ele o faz por cima ou por baixo; • o cadarço deve começar e terminar nos dois furos superiores e deve ligar diretamente (isto é, sem passar por outros furos) os dois furos inferiores.

B 1

3

A ?

D

F 4

E

5

SEGUNDA FASE •••••• 1 As peças de um jogo chamado Tangram são construídas cortando-se um quadrado em sete partes, como mostra o desenho: dois triângulos retângulos grandes, um triângulo retângulo médio, dois triângulos retângulos pequenos, um quadrado e um paralelogramo. Se a área do quadrado grande é 1, qual é a área do paralelogramo?

Representamos a seguir algumas possibilidades.

Qual é o número total de possibilidades que o matemático tem para amarrar seu cadarço, obedecendo às regras acima? Observação:  Maneiras como as exibidas a seguir devem ser consideradas iguais (isto é, deve ser levada em conta apenas a ordem na qual o cadarço passa pelos furos).

2 Os pontos da rede quadriculada abaixo são numerados a partir do vértice inferior esquerdo seguindo o caminho poligonal sugerido no desenho. Considere o ponto correspondente ao núme13 13 ro 2 001. Quais são os 12 66 5 77 12 números dos pontos si11 tuados imediatamente 4 33 88 11 abaixo e imediatamen1 2 9 10 te à esquerda dele?

59

XXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2000 PROVAS 7 O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10 5 5 1 5 e 10 5 7 1 3. De quantas maneiras po­ demos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos? A) 4 C) 2 E) Nenhuma. B) 1 D) 3

Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional BA – ES – GO – RJ – RN – SC – SP 1 Observe as multiplicações a seguir:

8 1 litro de álcool custa R$ 0,75. O carro de Henrique percorre 25 km com 3 litros de álcool. Quantos reais serão gastos em álcool para percorrer 600 km? A) 54 C) 50 E) 45 B) 72 D) 52

12 345 679 3 18 5 222 222 222 12 345 679 3 27 5 333 333 333 12 345 679 3 54 5 666 666 666



Para obter 999 999 999, devemos multiplicar 12 345 679 por: A) 29 B) 99 C) 72 D) 41 E) 81

9 Um certo número N de dois algarismos é o qua­ drado de um número natural. Invertendo-se a or­ dem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Podemos afirmar que a soma dos algarismos de N é: A) 7 C) 13 E) 11 B) 10 D) 9

2 Outro dia ganhei 250 reais, incluindo o pagamento de horas extras. O salário (sem horas extras) excede em 200 reais o que recebi pelas horas extras. Qual é o meu salário sem horas extras? A) 200 reais. C) 225 reais. E) 180 reais. B) 150 reais. D) 175 reais.

10 Juliano colou uma bandeirinha cinza em cada en­ grenagem, como mostra a figura abaixo.

3 Num relógio digital, que marca de 0:00 até 23:59, quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos os algarismos iguais? A) 10 B) 8 C) 6 D) 7 E) 9 4 A prefeitura de uma certa cidade fez uma campa­ nha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro, vazias, por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 5 Numa caixa havia várias bolas, sendo 5 azuis, 4 ama­ relas, 3 vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Renato reti­ rou 3 bolas da caixa. Sabendo que nenhuma delas era azul, nem amarela, nem preta, podemos afirmar, a respeito dessas 3 bolas, que: A) eram da mesma cor. B) eram vermelhas. C) uma era vermelha, e duas eram brancas. D) uma era branca, e duas eram vermelhas. E) pelo menos uma era vermelha.



As engrenagens são iguais, e quando a engrena­ gem da esquerda girou um pouco, a sua bandeiri­ nha ficou na posição indicada com a bandeirinha branca pontilhada. Nessa condição, podemos afir­ mar que a posição da bandeirinha na engrenagem da direita é: A) B) C) D) E)

11 Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado. Para que possam ser mais bem transportadas, essas caixas são colo­ cadas, da melhor maneira possível, em caixotes de madeira de 80 cm de largura por 120 cm de com­ primento por 60 cm de altura. O número de latas de palmito em cada caixote é: A) 576 C) 2 304 E) 144 B) 4 608 D) 720

6 Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da figura sombreada? A) 3 C) 5 E) 8 B) 4 D) 6

60

12 Há 18 anos, Hélio tinha precisamente três vezes a idade de seu filho. Agora, tem o dobro da idade des­ se filho. Quantos anos têm Hélio e seu filho? A) 72 anos e 36 anos. D) 50 anos e 25 anos. B) 36 anos e 18 anos. E) 38 anos e 19 anos. C) 40 anos e 20 anos.

18 Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas fo­ ram todas distintas, foram distribuídos em duas tur­ mas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na turma A, e os 30 seguintes, na turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado da turma A para a turma B. Com isso: A) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou. B) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou. C) As médias de ambas as turmas melhoraram. D) As médias de ambas as turmas pioraram. E) As médias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos.

13 Se os números naturais são colocados em colunas, como se mostra abaixo, debaixo de que letra apare­ cerá o número 2 000? A

B

1

C 2

9 10

E

11 20

A) F

B) B

G

I 5

6

12

13 16

21 C) C

H

4 7

17

19

F

3 8

18



D

15 ...

D) I

19 Escrevem-se, em ordem crescente, os números in­ teiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de 8 (ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16, ... . O 100o número escrito é: A) 406 B) 376 C) 392 D) 384 E) 400

14 ... E) A

20 A figura abaixo foi desenhada em cartolina e do­ brada de modo a formar um cubo.

14 O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma, num dos seus escritos, que todos os filhos do emir eram gê­ meos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. O número de filhos do emir é: A) 111 C) 51 E) 75 B) 48 D) 78

Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?

15 Quatro amigos vão visitar um museu, e um deles resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que quer saber qual deles entrou sem pagar. — Eu não fui, diz o Benjamim. — Foi o Carlos, diz o Mário. — Foi o Pedro, diz o Carlos. — O Mário não tem razão, diz o Pedro.



A) 



C) 



B) 



D) 



E) 

SEGUNDA FASE ••••••

Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do museu? A) Mário. B) Pedro. C) Benjamim. D) Carlos. E) não é possível saber, pois faltam dados.

1 De quantas maneiras diferentes podemos construir um paralelepípedo usando exatamente 24 blocos cúbicos de medidas 1 3 1 3 1? Obs.: Blocos de dimensões 2 3 3 3 4 e 2 3 4 3 3 devem ser considerados iguais. 2 O retângulo abaixo está dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1, e o quadrado B tem lado 9. Qual é o lado do quadrado I?

16 Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram, alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha, que, inicialmente, tem 1 000 palitos. Ganha o joga­ dor que tirar o último palito da pilha. Quantos pali­ tos o jogador que começa deve tirar na sua jogada inicial para assegurar sua vitória? A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

D

I

G C

17 Quantos números inteiros e positivos menores do que 1 000 000 existem cujos cubos terminam em 1? A) 1 000 C) 50 000 E) 500 000 B) 10 000 D) 100 000

B

61

F A

H E

3 Juliano colou uma bandeirinha cinza em cada en­ grenagem, como mostra a figura abaixo.

3 Pintamos de vermelho ou azul 100 pontos em uma reta. Se dois pontos vizinhos são vermelhos, pintamos o segmento que os une de vermelho. Se dois pontos vizinhos são azuis, pintamos o segmento de azul. Finalmente, se dois pontos vi­ zinhos têm cores distintas, pintamos o segmento de verde. Feito isso, existem exatamente 20 seg­ mentos verdes. O ponto na ponta esquerda é vermelho. É possível determinar com esses dados a cor do ponto da ponta direita? Em caso afirmativo, qual a cor desse ponto?

4 Desejamos escrever

os inteiros de 1 a 10 nas casas do dese­ nho ao lado, de tal forma que quais­quer quatro números alinhados aparecem em ordem crescente ou decrescente.



As engrenagens são iguais, e quando a engrena­ gem da esquerda girou um pouco, a sua bandeiri­ nha ficou na posição indicada com a bandeirinha branca pontilhada. Nessa condição, podemos afir­ mar que a posição da bandeirinha na engrenagem da direita é: A) B) C) D) E)

4 Quatro amigos vão visitar um museu, e um deles resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que quer saber qual deles entrou sem pagar. — Eu não fui, diz o Benjamim. — Foi o Carlos, diz o Mário. — Foi o Pedro, diz o Carlos. — O Mário não tem razão, diz o Pedro.

a) Mostre uma maneira de dispor os números res­ peitando essas condições. b) Quais números podem aparecer nas pontas da estrela? c) Quais números podem aparecer nas outras cinco posições?

Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do museu? A) Mário. B) Pedro. C) Benjamim. D) Carlos. E) não é possível saber, pois faltam dados.

5 Qual é o menor inteiro positivo que é o dobro de um cubo e o quíntuplo de um quadrado? 6 Qual é o maior inteiro positivo n tal que os restos das divisões de 154, 238 e 334 por n são iguais?

5 Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas fo­ ram todas distintas, foram distribuídos em duas tur­ mas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na turma A, e os 30 seguintes, na turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado da turma A para a turma B. Com isso: A) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou. B) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou. C) As médias de ambas as turmas melhoraram. D) As médias de ambas as turmas pioraram. E) As médias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos.

Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional BA – ES – GO – RJ – RN – SC – SP 1 Quantos números inteiros e positivos menores do que 1 000 000 existem cujos cubos terminam em 1? A) 1 000 D) 100 000 B) 10 000 E) 500 000 C) 50 000 2 Uma fábrica embala latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado, de modo que cada caixa contém 8 latas. Para poderem ser mais bem transportadas, essas caixas são colocadas, da melhor maneira possível, em caixotes de madeira de 80 cm de largura por 120 cm de comprimento por 60 cm de altura. O número de latas de palmito em cada caixote é: A) 576 C) 2 304 E) 144 B) 4 608 D) 720

6 No triângulo ABC representado abaixo, a medida ∧ ∧ do ângulo C é 60°, e a bissetriz do ângulo B forma 70° com a altura relativa ao vértice A. A medida do ∧ B ângulo A é: B AA A) 50° B) 30° C) 40° D) 80° E) 70° C C

62

15 Sejam a e b números reais positivos, tais que

7 Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da figura sombreada?



A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

a 11 : b 11 a A) é igual a 1 1. b a B) é igual a . b a C) é menor que . b a D) é maior que , mas menor que 1. b E) pode ser maior que 1.

Então

E) 8

8 Alberto, Beatriz e Carlos correm numa pista circular. Todos saem ao mesmo tempo e do mesmo lugar, cada um desenvolvendo velocidade constante. Al­ berto e Beatriz correm no mesmo sentido. Correndo no sentido oposto, Carlos encontra Alberto, pela pri­ meira vez, exatamente 90 segundos após o início da corrida e encontra Beatriz exatamente 15 segundos depois. Quantos segundos são necessários para que Alberto ultrapasse Beatriz pela primeira vez? A) 105 B) 630 C) 900 D) 1 050 E) Não pode ser determinado.

16 Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram, alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha, que, inicialmente, tem 1 000 palitos. Ganha o joga­ dor que tirar o último palito da pilha. Quantos pali­ tos o jogador que começa deve tirar na sua jogada inicial para assegurar sua vitória? A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

9 DEFG é um quadrado no exterior do pentágono re­ gular ABCDE. Quanto mede o ângulo EÂF? A) 9º B) 12º C) 15º D) 18º E) 21º

17 Quantos são os retângulos que têm os pontos A e B como vértices, e cujos vértices estão entre os pon­ tos de interseção das 9 retas horizontais com as 9 retas verticais da figura abaixo?

10 Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algaris­ mos? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

B

11 Escrevem-se, em ordem crescente, os números in­ teiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de 8 (ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16, …. O 100o número escrito é: A) 406 B) 376 C) 392 D) 384 E) 400

A

12 Uma caixa contém 900 cartões, numerados de 100 a 999. Retiram-se ao acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. Qual é a menor quantidade de cartões que devem ser re­ tirados da caixa para garantirmos que pelo menos três dessas somas sejam iguais? A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55

A)

9 10

C)

8 9

E)

C) 7 D) 2

E) 5

19 De Itacimirim a Salvador, pela Estrada do Coco, são 60 km. Às 11 horas, a 15 km de Salvador, dá-se um acidente que provoca um engarrafamento, que cresce à velocidade de 4 km/h, no sentido de Itacimirim. A que horas, aproximadamente, deve­ mos sair de Itacimirim para chegar a Salvador ao meio-dia, sabendo que viajamos a 60  km/h, ex­ ceto na zona de engarrafamento, onde a veloci­ dade é 6 km/h? A) 10h43min C) 10h48min E) 11h01min B) 10h17min D) 10h53min

14 15

15 11 D) 16 12

A) 3 B) 4

18 O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma, num dos seus escritos, que todos os filhos do emir eram gê­ meos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. O número de filhos do emir é: A) 111 C) 51 E) 75 B) 48 D) 78

13 Se x e y são números reais positivos, qual dos núme­ ros a seguir é o maior? A) xy D) x2 1 y(x 1 y) 2 2 B) x 1 y x 3 1 y3 C) (x 1 y)2 E) x1y 14 Na figura, as distâncias entre dois pontos horizon­ tais consecutivos e as distâncias entre dois pontos verticais consecutivos são iguais a 1. A região co­ mum ao triângulo e ao quadrado tem área:

a , 1. b

B)

63

20 Colocamos em ordem crescente os números escri­ tos nas casas brancas do tabuleiro a seguir (estamos mostrando apenas as suas quatro primeiras linhas). Assim, por exemplo, o nono número da nossa lista é 14. Qual é o 2 000o número da nossa lista?

4 O retângulo abaixo está dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1. Qual é o lado do quadrado I?

D

1

…

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

…

…

…

…

…

…

…

A) 3 931 B) 3 933

C) 3 935 D) 3 937

G C F

…

E) 3 939

B

1 Qual é o menor inteiro positivo que é o dobro de um cubo e o quíntuplo de um quadrado?

3 No retângulo ABCD, E é o ponto médio do lado BC, e F é o ponto médio do lado CD. A interseção de DE com FB é G. ∧ ∧ O ângulo EAF mede 20°. Quanto vale o ângulo EGB? C G E

A

H E

6 O campeonato Venusiano de futebol é disputa­ do por 10 times, em dois turnos. Em cada turno, cada equipe joga uma vez contra cada uma das outras. Suponha que o Vulcano FC vença todas as partidas do 1o turno. Caso não vença o 2o turno, o Vulcano FC jogará uma final contra o vencedor do 2o turno, na qual terá vantagem caso faça mais pontos que o adversário durante todo o campeo­ nato (vitória vale 3 pontos, empate vale 1 ponto, e derrota, 0 ponto). a) Determine o menor n tal que, se o Vulcano FC fizer exatamente n pontos no segundo turno, garantirá pelo menos a vantagem na final (inde­ pendente de contra quem e com que placares conquiste os n pontos). b) Determine o menor n tal que, se o Vulcano FC fizer pelo menos n pontos no segundo turno, garantirá pelo menos a vantagem na final (inde­ pendente de contra quem e com que placares conquiste os n pontos).

2 De quantas maneiras diferentes podemos construir um paralelepípedo usando exatamente 216 blocos cúbicos de medidas 1 3 1 3 1? Obs.: Blocos de dimensões 2 3 3 3 36 e 2 3 36 3 3 devem ser considerados iguais.

F

A

5 Listamos os inteiros de 1 a n. Dessa lista, apagamos o inteiro m. A média dos n 2 1 números restantes 134 .    Determine n e m. é 11

SEGUNDA FASE ••••••

D

I

B

64

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009 RESOLUÇÕES Nível 1 (6o. e 7o. anos)

5 Resposta: (D) Conseguiremos 4 faces totalmente pretas cortando o cubo como na figura abaixo e pintando da maneira a seguir.

PRIMEIRA FASE

•••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 MA 2 RS 2 RN 2 SP 2 SC 1 Resposta: (C) 1 Se um oitavo do número é , então esse número 5 vale 8 . Assim, 5 desse número é 5 ⋅ 8 = 1 . 8 5 8 5 2 Resposta: (B) B A

6 Resposta: (C) Possível caminho: BADBCD

C

AA E D B B

D

Como ACDE é um retângulo, então AE 5 CD e AE // CD. Como ABCE é um paralelogramo, AE 5 BC e AE // BC. Como AE 5 CD 5 BC e AE // BD, então as áreas dos triângulos ABC, ACE e CDE são iguais. Além disso, as áreas dos triângulos ABC e ACE são iguais a 11; logo, a área de ABDE é 33.

C C

É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver as situações abaixo:

3 Resposta: (D) Número de pessoas que dançam: x Número de pessoas que não dançam: y 25 y x5  y ⇒ x 5 ⇒ y 5 4x 100 4 Porcentagem do número de pessoas que não dançam: y 4x 4 80 5 5 5 5 80% x1y 5x 5 100

AA

B B

D

4 Resposta: (C) Seja C1 o casal 1 e C2 o casal 2. É fácil ver que podemos permutar os dois casais nos bancos, ou seja, teremos as seguintes configurações: C1C2 e C2C1 . Além disso, podemos trocar as posições do marido e da mulher em cada casal. Pelo princípio multiplicativo, temos: 2  2  2 5 8.

B B

D

C C

C C

AA

AA

B B

D

C C

65

AA

B B

D

C C

7 Resposta: (A) a 5 240 5 (24)10 5 1610,  b 5 320 5 (32)10 5 910 e c 5 710.   Logo: a . b . c.

A A

8 Resposta: (C) A soma máxima dos pontos é 6 3 10 5 60. Portanto, em no máximo três lançamentos, o número obtido não é o máximo. Assim, em pelo menos sete lançamentos o número obtido é o máximo 6.

B B

Q Q

M M

D D

C C

P Q P

Dessa forma, os triângulos ABQ e QCP são congruentes e PC 5 AB 5 5.

9 Resposta: (C) Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do hexágono, como na figura abaixo:

14 Resposta: (E) Temos um total de 10 1 30 1 20 1 50 1 20 1 40 5 170 pessoas entrevistadas. Destas, apenas 10 não terminaram o Ensino Fundamental. Logo, 170 2 10 5 160 têm pelo menos o Ensino Fundamental. A fração será 160 5 16 . 170 17 15 Resposta: (B) Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X 5 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y 5 2, 3, ..., 9 e Z 5 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro, ou seja, 6 × 8 × 5 = 240 . 16 Resposta: (C) Quinze minutos após o meio-dia, o ponteiro dos minutos terá se deslocado 90º, e o das horas terá se deslocado 7,5º. Assim, cinco minutos após 12h15min, o ponteiro dos minutos se deslocara 30º, e o das horas, menos que 7,5º. Portanto, eles irão formar um ângulo reto entre 12h15min e 12h30min. 17 Resposta: (D) Primeiramente observe que o algarismo das unidades da soma de todos os números nunca muda. Inicialmente o algarismo das unidades da soma de todos os números é 5. Pois, 1 1 2 1 3 1 ... 1 10 5 55. E a cada bloco de dez consecutivos a soma terá o dígito das unidades igual a 5. Se, dos dois números que sobraram, um era 2 000, o outro deve ser 5.

Assim, a quantidade de palitos adicionais, em preto na figura, é 30. 10 Resposta: (B) Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas, são necessários pelo menos dois movimentos. Por outro lado, com apenas dois movimentos, a segunda carta seria preta. Assim, a quantidade mínima é três, conforme o exemplo abaixo:

11 Resposta: (B) 2 1 13 1 5 5 4 20 da barra. Portanto, os 70 gramas de Sônia represen7 tam da barra. Dessa forma, o peso da barra será 20 20  70 5 200 . 200 gramas 7 Veja que Nelly e Penha pegam juntas

(

18 Resposta: (B) A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos, 24 ⋅ 12 que são dois triângulos de área = 144. Des2 sa forma, a área total é 288.

)

12 Resposta: (E) Como temos 24 torcedores (14 1 10 5 24) não corintianos, na fila deve existir, sempre entre dois torcedores corintianos, exatamente um torcedor de outra equipe. 13 Resposta: (E) Traçando uma paralela a DC por Q, temos que Área (ABQ) 5 Área (AQM). Logo, Q é ponto médio de BC.

66

19 Resposta: (D) Após completar a tabela, teremos quatro notas 1 em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos 18 3 4 = 72 notas 1 em toda a tabela. Se a quantidade de notas 1 é a mesma em cada coluna, e temos seis colunas, teremos 12 notas 1 por coluna 72 = 12 . 6

(

Analogamente, para acrescentarmos um quinto andar a um castelo de 4 andares, precisamos de 4 cartas para separar a base dos demais andares, e de 5 pares de cartas para a base, totalizando 14 cartas a mais (4 1 2  5 5 14). Assim, para montar um castelo de 5 andares, precisamos de 40 cartas (15 1 11 1 14 5 40). Observação: De fato, o acréscimo de um n-ésimo andar necessita de n 2 1 cartas para apoiar a base anterior e n pares de cartas para a nova base. Portanto, são acrescentadas n 2 1 1 2  n 5 3n 2 1 cartas por andar.

)

3 2

1

1

1



D)

1

esquerda

A)

esquerda

20 Resposta: (C) Considere a quantidade de cubos no quadradinho central da vista de cima apresentada na alternativa C. Esse é o único do meio da vista da frente e, portanto, deve ter 1 cubo; esse é também o único do meio da vista da esquerda e, portanto, deve ter 2 cubos, o que não é possível. Então, a vista de cima não pode ser a que está apresentada na alternativa C. As figuras a seguir indicam possíveis quantidades de cubos em cada quadradinho da vista de cima das demais alternativas.

E) 1

esquerda

esquerda

2 1

3 Resposta: (65) Se cada aluno compareceu exatamente três dias, o número total de alunos do curso é 2711 296 1 325 1 380 1168 1 440 5 5 480. A me3 3 nor frequência foi de 168 alunos, num total de 312 faltas (480 2 168 5 312). Portanto, o percentual de 312 faltas nesse dia foi 5 0, 65 5 65%. 480

2

1

1

frente

3 1

Resolvendo a equação, obtemos x 5 20.

3

frente

B)

2 Resposta: (55) Seja x a quantidade de meninas. Assim, a quanti­ dade de meninos é x 1 15, e a quantidade total de alunos será 2x 1 15. Fazendo a proporção, temos: 4 x = 2x � 15 11

3 2

frente

1 1

4 Resposta: (10) Na direção da medida 88 cm, Mariazinha irá usar 9 folhas e na direção da medida 95 cm, irá usar 10 folhas. Mariazinha começa colando as folhas sem sobreposição da esquerda para a direita e de cima para baixo (como na figura), e, ao chegar às bordas direita e inferior, desloca, respectivamente, 2 cm à esquerda e 5 cm para cima (as regiões em cinza representam as sobreposições de 2 folhas). A região retangular preta é a intersecção dessas duas faixas de sobreposição; logo, é coberta por 4 folhas. Sua área é de 10 cm2.

frente

segunda FASE – parte A •••••• 1 Resposta: (40) Para fazer um novo andar num castelo já construído, precisamos de três cartas para cada andar anterior mais duas para o topo. Assim, a partir do castelo de 3 andares, para fazer o de 4 andares, precisamos de mais 3 3 3 1 2 5 11  cartas, num total de 15 1 11 5 26 cartas. Portanto, para fazer o castelo de 5 an­­dares,  precisamos de 40 cartas (26 1 4 3 3 1 2 5 40). Solução alternativa: Para acrescentarmos um quarto andar a um castelo de 3 andares, precisamos de 3 cartas para separar a base dos demais andares, e de 4 pares de cartas para a base, totalizando 11 cartas a mais (3 1 2  4 5 11). Veja a figura a seguir:

5 Resposta: (392) No número existem 502 algarismos 2 e 502 algarismos 9. Para retirar a menor quantidade possível de algarismos, devemos tentar deixar a maior quantidade possível de algarismos 2. Porém, a soma de todos os algarismos 2 é 1 004. Ainda falta 1 004 para completar a soma 2 008. Como 1 004 5 9 3 111 1 5, devemos deixar pelo menos 111 algarismos 9. Porém, é impossível deixar exatamente 111 algarismos 9. Se deixarmos 112 algarismos 9, devemos deixar 500 algarismos 2. Portanto, deve-se retirar no mínimo 392 algarismos (2 1 390 5 392).

67

6 Resposta: (252) Como todos os membros de uma família devem possuir pelo menos um algarismo comum, a maior quantidade de membros de uma família cujos elementos têm três algarismos é igual ao número de elementos de qualquer conjunto formado por todos os números de três algarismos que possuem um determinado algarismo em sua representação decimal. O algarismo das centenas não pode ser zero. Vamos contar então todos os números que têm um determinado algarismo a, não nulo, pois há mais deles. Há 81 números (9 3 9 5 81) em que a aparece uma única vez, como algarismo das centenas. Há 72 números (8 3 9 5 72) em que a aparece uma única vez, como algarismo das dezenas (lembre-se: o das centenas não pode ser 0) e há 72 números em que a aparece uma única vez, como algarismo das unidades. Há 9 números com a na centena e na dezena, menos na unidade; 9 números com a na centena e na unidade, menos na dezena; 8 números com a na dezena e na unidade, menos na centena; e um único número formado inteiramente de a. A quantidade total de números em que figura o algarismo não nulo a é: 252 (81 1 72 1 72 1 9 1 9 1 8 1 1 5 252).

um dos triângulos. Isso é mostrado na figura ao lado cujo perímetro é 44 (10 1 10 1 10 1 1 8 1 6 5 44). Há outras com o mesmo perímetro. 2 Resposta: Seja A o número de três dígitos e B 5 10x 1 y o número de dois dígitos. Portanto, ao trocar a ordem dos dígitos de B, obtemos o número 10y 1 x. Montando a equação segundo as condições do problema, temos: A(10x 1 y) 2 A(10y 1 x) 5 9A(x 2 y) 5 2 034 Com isso: A( x 2 y) 5 226 5 2  113 Daí, se x e y são consecutivos, A 5 226, caso contrário, A 5 113. 3 Respostas: a) Sim, é possível. Podem existir, por exemplo, quatro jogadores com pontuação 2 e outros quatro com pontuação 1. Fazendo A, B, C, D o primeiro grupo, e E, F, G, H o segundo grupo, temos:

Solução alternativa:

1a Rodada

Para simplificar o raciocínio, vamos contar quantos números de três algarismos não contêm um algarismo a, não nulo, fixado. Assim, nessa situação, existem 8 escolhas para o algarismo das centenas (não pode ser 0 ou a), 9 escolhas para o algarismo das dezenas (não pode ser a), e 9 escolhas para os algarismos das unidades (não pode ser a). Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 648 números (8 ? 9 ? 9 5 648) que não possuem o algarismo a. Assim, como existem 900 números de 3 algarismos, há 252 números (900 2 648 5 252) que possuem o algarismo a ( a ≠ 0 ). Essa é a maior quantidade de membros que uma família pode ter.

A vence E B vence F C vence G D vence H 2a Rodada A empata com B E empata com F C empata com D G empata com H

Observação:

3a Rodada

Podemos verificar que a família formada por todos os números de três algarismos que possuem o zero tem 171 membros (900 2 9  9  9 5 171).

A empata com F B empata com E C empata com H D empata com G

segunda FASE – parte B ••••••

b) Após três rodadas, um jogador pode acumular no máximo 3 pontos. Como as pontuações são 1 múltiplos inteiros de , os possíveis valores de 2 pontuação após a terceira rodada são: 1 3 5 0, , 1, , 2, , 3 (7 resultados possíveis). 2 2 2 Como existem 8 jogadores e apenas 7 possibilidades, dois jogadores terão pontuações iguais.

1 Respostas: a) O perímetro da primeira figura é 36 (8 1 6 1 1 6 1 10 1 6 5 36), e o da segunda figura é 40 (10 1 8 1 6 1 8 1 8 5 40). Portanto, a dife­ rença é 4 (40 2 36 5 4). b) A figura de maior perímetro é obtida quando fazemos coincidir os dois menores lados de cada

68

Nível 2 (8o. e 9o. anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC

É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver as situações abaixo: AA

B B

D

C C

1 Resposta: (C) 1 Se um oitavo do número é , então esse número 5 5 8 vale .  Assim, desse número é 5 ⋅ 8 = 1 . 8 5 8 5

AA

B B

D

2 Resposta: (C) Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do hexágono, como na figura abaixo:

C C

AA

B B

D

C C

AA

3 Resposta: (C) Seja C1 o casal 1 e C2 o casal 2. É fácil ver que podemos permutar os dois casais nos bancos, ou seja, teremos as seguintes configurações: C1 C2 e C2 C1. Além disso, podemos trocar as posições do marido e da mulher em cada casal. Pelo princípio multiplicativo, temos:  2 . 2 . 2 5 8.

C C

6 Resposta: (C) 4 m 4 Como 15m 5 20n ⇔ 5 , e a fração é irredutí3 n 3 vel, m 5 4k e n 5 3k, k inteiro positivo. Assim, mn 5 5 12k2, que é múltiplo de 12. Tomando k 5 1, verificamos que as demais alternativas são incorretas.

4 Resposta: (D) 1 1 5 1 4 5 4 ⇔ x 155 ⇔ x 16 5 ⇔ 5 x 15 4 4 x 16 5

7 Resposta: (B) Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X 5 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y 5 2, 3, ..., 9 e Z 5 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro, ou seja, 6 3 8 3 5 5 240.

5 Resposta: (C) Possível caminho: BADBCD AA

8 Resposta: (B) 2 1 13 Veja que Nelly e Penha pegam juntas 1 5 5 4 20 da barra. Portanto, os 70 gramas de Sônia representam 7 da barra. Dessa forma, o peso da barra será 20 20 200 gramas  70 5 200 . 7

B B

D

B B

D

Assim, a quantidade de palitos adicionais, em preto na figura, é 30.

(

C C

69

)

9 Resposta: (C) A soma máxima dos pontos é 60 (6 3 10 5 60) e, portanto, em no máximo três lançamentos, o nú­ mero obtido não é o máximo. Assim, em pelo menos sete lançamentos o número obtido é o máximo 6.

15 Resposta: (B) Para obtermos a maior diferença possível, devemos tomar o maior e o menor primo cuja soma seja 126. Como 123 5 3  41, 1215112 , 119 5 7  17, 115 5 5  23, tal representação é 113 1 13, cuja diferença é 113 2 13 5 100.

10 Resposta: (A) A circunferência de centro A e raio AB contém os pontos C, D e E. Logo, a medida do ângulo inscrito  é igual à metade da medida do ângulo central EBC  , ou seja, β = 2α = α = 18°. EAC 2

16 Resposta: (A) 1 Temos BR 5 RS 5 SC 5 BC. Sabemos ainda que, 3 como E é ponto médio de AB, a altura do triângulo EBR com relação à base BR é igual à metade da al­ tura do triângulo ABC com relação à base BC. Con1 1 1 sequentemente, área (EBR) 5  área (ABC) 5 6 3 2 1 área (ABC). Analogamente, área (FSC) 5 área 6 2 (ABC) 5  252 5 168. 3

11 Resposta: (B) Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas, são necessários pelo menos dois movimentos. Por outro lado, com apenas dois movimentos, a segunda carta seria preta. Assim, a quantidade mínima é três, conforme o exemplo abaixo:

17 Resposta: (C) Para x e y reais:

{ x 2 y 22 5 0 { y 2 y 22 5 0 ⇔

2 2 2 2 (x 2 y2) 1 (x 2 y 22) 5 0 ⇔ x 2 y 5 0 ⇔ x25 y

12 Resposta: (C) As medidas dos ângulos internos de um triângulo equilátero, de um quadrado e de um pentágono regular são, respectivamente, 60º, 90º e (5 2 2)  180o 5 108o. 5  5 360o 2 ( 60o 1 90o 1 108o) 5 102o Assim:  m(HDE)

⇔

{

18 Resposta: (D) Após completar a tabela, teremos quatro notas 1 em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos 18 3 4 5 72 notas 1 em toda a tabela. Se a quantidade de notas 1 é a mesma em cada coluna, e temos seis colunas, teremos 12 notas 1 por 72 coluna 5 12 . 6

Temos ainda que o triângulo HDE é isósceles, com HD 5 DE e, portanto: 180° − 102° β + β + 102° = 180° ⇔ β = = 39° 2

(

13 Resposta: (E) Como temos 24 torcedores (14 1 10 5 24) não corintianos, na fila deve existir, sempre entre dois torcedores corintianos, exatamente um torcedor de outra equipe.

)

19 Resposta: (B) Inicialmente, podemos observar que: • Como 632 5 3 969  e 642 5 4 096, 632  4 018  642. • 2 0092 1 4 018  2 0092  2 009 1 1 2 0092 1 4 018  (2 009 1 1)2 • Logo, entre os inteiros positivos n 1 4 018, n 5 1, 2, ..., 2 0092,  encontramos os quadrados perfeitos  642, 652, ..., 2 0092,  isto é, 2 009 2 64 1151946  ao todo.

14 Resposta: (E) Traçando uma paralela a DC por Q, temos que Área(ABQ) 5 Área(AQM). Logo, Q é ponto médio de BC. A

( x 5 1 e y 521)  x 5 y2 ⇔  ou ( y 521 ou y 5 2)  ( x 5 4 e y 5 2)

B

20 Resposta: (B)

D

S1 5 1 1 2 1 3 1 ... 1 10 5 55

Q

M

C

S2 5 2 1 4 1 6 1 ... 1 20 5 2(1 1 2 1 3 1 ... 1 10) 5 2S1 S3 5 3 1 6 1 9 1 ... 1 30 5 3(11 2 1 3 1 ... 110) 5 3S1    S10 5101201301...1100510(112131...110)510S1

P Q

Logo, S1 1 S2 1 S3 1 ... 1 S10 5 S1 1 2S1 1 3S1 1 ... 110S1 5 (11 2 1 3 1 ... 1 Dessa forma, os triângulos ABQ e QCP são con2 gruentes e, com isso, PCS5 AB 5 5. S1 1 S2 1 3 1 ... 1 S10 5 S1 1 2S1 1 3S1 1 ... 1 10S1 5 (11 2 1 3 1 ... 1 10)S1 5 S1 3 S1 5 55 5 3 025

70

21 Resposta: (E) A distância mínima entre os dois círculos é determinada pelo segmento que une seus centros. Observando, então, a figura abaixo, concluímos que tal distância é igual a 32 112 2 2 215 10 2 3 cm.

(

2cm

1cm

SEGUNDA FASE - parte A ••••••

1 Resposta: (6) Inicialmente temos 4,5 litros de água e 4,5 litros de álcool. Colocados x litros de água, para termos 30% 30 (9 1 x) 5 4, 5 , de álcool na mistura, basta que 100 então x 5 6.

)

2 Resposta: (25) É fácil ver que: ab 1bc 1 cd 1 da 5b(a 1 c) 1 d(c 1 a) 5(a 1 c)(b 1 d) . Suponha sem perda de generalidade que a 5 1. Com isso, {a, c} 5 {1, 2},{1, 3} ou {1, 4} e consequentemente {b,  d} 5 {3,  4}, {2,  4} ou {2,  3}, respectivamente. Assim os possíveis valores do produto são 21, 24 e 25, e o máximo é 25.

1cm

3cm

22 Resposta: (B) Listando todas as potências menores ou iguais a 100: Quadrados: 22 , 32 ,..., 102 Cubos: 23 , 33 , 43 = 82 Demais potências: 24 5 42, 34 5 92, 25, 26 5 82 Portanto, 12 naturais podem ser escritos na forma indicada.

3 Resposta: (252) O algarismo das centenas não pode ser zero. Vamos contar então todos os números que têm um determinado algarismo x, não nulo, pois há mais deles. Há 81 números ( 9 3 9 5 81) em que x aparece uma única vez, como algarismo das centenas. Há 72 números ( 8 3 9 5 72 ) em que x aparece uma única vez, como algarismo das dezenas (lembre-se que o das centenas não pode ser 0). Há 72 números em que o x aparece uma única vez, como algarismo das unidades. Há 9 números com x na centena e na dezena, menos na unidade; 9 números com x na centena e na unidade, menos na dezena; 8 números com x na dezena e na unidade, menos na centena; e um único número formado inteiramente de x. A quantidade total de números em que figura o algarismo não nulo x é: 252 (81 1 72 1 72 1 9 1 9 1 8 1 1 5 252).

23 Resposta: (B) A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos, 24  12 5144. Desque são dois triângulos de área 2 sa forma, a área total é 288.

24 Resposta: (A) Considerando que x, y e z são inteiros positivos, da equação 9  z(x 1 y) chegamos às seguintes possibilidades: (z  3 e x  y  3) ou (z  1 e x  y  9) Porém, 0  x  yz e, portanto: z  3, y  2 e x  1. Assim: t  w(y  z)  9(2  3)  45.

4 Resposta: (14) Seja n =10A + B o número de dois dígitos. Se A divide n, então A divide B. Se A  5, então B  A, pois B não pode ser 0, e B  10  2A. Listemos as possibilidades: Se A 5 1, então AB pode ser 11, 12, 15. Se A 5 2, então AB pode ser 22, 24. Se A 5 3, então AB pode ser 33, 36. Se A 5 4, então AB pode ser 44, 48. Se A 5 5, então AB pode ser 55. Se A 5 6, então AB pode ser 66. Se A 5 7, então AB pode ser 77. Se A 5 8, então AB pode ser 88. Se A 5 9, então AB pode ser 99. Logo, o total de números é 14 (3 1 2 1 2 1 2 1 1 5 5 14).

3 2

1

1

1



D)

1

esquerda

A)

esquerda

25 Resposta: (C) Considere a quantidade de cubos no quadradinho central da vista de cima apresentada na alternativa C. Esse é o único do meio da vista da frente e, portanto, deve ter 1 cubo; esse é também o único do meio da vista da esquerda e, portanto, deve ter 2 cubos, o que não é possível. Então, a vista de cima não pode ser a que está apresentada na alternativa C. As figuras a seguir indicam possíveis quantidades de cubos em cada quadradinho da vista de cima das demais alternativas. 3 2

2

E) 1 frente

1

esquerda

esquerda

3 1

5 Resposta: (1 704) Sejam K a interseção dos lados AD e FG e L a inter­ seção dos lados AB e EH. Por simetria, veja que KD  5 KF e AK  KG. Considere FK  x. Dessa forma, AK  48  x. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo AFK, temos: 242 1 x2 5(48 2 x)2 , o que nos dá x 5 18.

1

frente

frente

B)

1

3 2

1 1 frente

71

Agora, veja que os triângulos AFK e ALE são semelhantes. Portanto: AE EL 5 FK AF Assim, EL 532. Para achar a área procurada, basta subtrair a área do quadrado EFGH das áreas dos triângulos AFK e AEL. Portanto, a área será 1 704.

Se BP é uma mediana do triângulo, então AP 5 CP 5 6 e PN 5 2. Como G é o baricentro do triângulo, então PG 1 PN 1 = e = . Assim, pela recíproca do teoreGB 2 NC 2 ma de Tales, GN é paralelo a BC e B 5 90o. Como o triângulo ABC é retângulo, então AP 5 CP 5 BP 5 6. Com isso, BG 5 4 e GP 5 2. 4 Resposta: a) Após três rodadas, um jogador pode acumular no máximo 3 pontos. Como as pontuações são múlti1 plos inteiros de , os possíveis valores de pontua2 ção após a terceira rodada são: 5 1 3 0, , 1, , 2, , 3 2 2 2 Como existem 8 jogadores e apenas 7 possibilidades, dois jogadores terão pontuações iguais.

E L B

A

H

F K D

C

G

b) Se k é a pontuação do primeiro colocado e todas as pontuações são distintas, a soma das pontuações dos oito jogadores será, no máximo:

SEGUNDA FASE - parte B ••••••

( 21) 1 (k 2 1) 1 (k 2 23) 1 (k 2 2) 1 (k 2 25) 1 7 1 (k 2 3) 1 (k 2 ) 5 8k 2 14 2 k1 k2

1 Resposta: (69) 0

1

2

3

4

5

6

0

0

15

9

3

18

12

6

1

7

1

16

10

4

19

13

2

14

8

2

17

11

5

20

Como foram disputados exatamente 28 pontos (4  7), temos: 8k 14 > 28 1 Logo, k � >5� 1 , pois as pontuações são múltiplos 2 1 inteiros k � 5de � .  Basta mostrarmos um exemplo onde 2 este valor é atingido. Na tabela abaixo, marcamos, na interseção da linha Ai com a coluna Aj, o número de pontos que Ai ganhou na partida disputada contra Aj.

A resposta é 69 (15 1 8 1 10 1 11 1 12 1 13 5 69). 2 Resposta:

S3 5(r 1 s)S2 2rsS1 5(r 1 s)  2 2rs 15 2r 1 2s 2rs 5 5

A1

X

1

1

1

Com isso, encontramos: r 1 s 5− 4 e rs5−13 . Daí,

A2

0

X

1

1

A7 1 1k � 15 � 2 1 1 1

S5 5(r 1 s)S4 2rsS3 5224 1 65 5 41

A3

0

0

X

1

1

1k � 15 �

A4

0

0

0

X

1

1

1

1 1 k � 45 � 1 2 2 1 4

A5

0

0

0

0

X

0

0

0

A6

0

0

0

0

1k � X5 �

1 2

5� 1 1 k�2

k �A57 �

1 2

0

0

0k � 15 �

1 2

X

1

1 2

0

0

0

5� 1 Xk�3

S4 5(r 1 s)S3 2rsS2 5(r 1 s)  5 2rs  2 5 5r 1 5s 2 2rs 5 6

3 Resposta:

B M

G

A

P

N

A8

C

72

A1

A2

A3

A4

1k � 15 �

A5

1

A6

A8

Total

0 k�5� 0

1 2

5

0 1 2

3 1 2

XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2008 RESOLUÇÕES 6 Resposta: (E) Olhando de cima, o cubo maior está em frente ao cubo menor. O esboço que representa melhor essa fotografia é o apresentado na alternativa E.

Nível 1 (6o. e 7o. anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – PI – – RN – RS – SC

7 Resposta: (B) De todos os alunos dessa classe, 60% (22 118) 5 0, 60  40 5 24 foram prestar traba60% lho comunitário. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolveram, restando assim o mínimo de 2 vagas (24  22 5 2 ) para as meninas.

1 Resposta: (A) Com 4 segmentos é impossível formar um triângulo, pois teríamos lados de medida 1, 1 e 2, o que impossibilita tal formação.

8 Resposta: (C) A soma de dois inteiros é ímpar quando um é par e o outro é ímpar (caso contrário, a soma é par). O 2 Resposta: (C) menor resultado que satisfaz as condições dadas é Ela compra 5 latas de azeite a R$ 4,70 a lata, 5 latas de 11 2 5 3, e o maior, 2007 1 2008 5 4015, e pode-se leite a R$ 3,12 cada e 3 caixas de iogurte com 6 iogurobter qualquer ímpar entre 3 e 4 015 com os nútes em cada caixa a R$ 0,80 por iogurte. O total gasto meros disponíveis nos cartões, ou seja, os números com esses itens é: 54, 70 1 53,12 1 360, 80 5 ímpares que podem ser obtidos estão no conjunto 5 5  ( 4, 70 1 3,12) 1 3  6  0, 80. Como ela paga {3, 5, 7, ..., 4015}. com uma nota de R$ 50,00, ela irá receber de troco No conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 4 015, 4 016 há 50 [5 ( 4, 70 1 3,12) 1 3  6  0, 80] 5[5 ( 4, 7013,12) 1 3 4 016 6  0,números, 80] 1 50 dentre os quais não nos interessa os 2 008 pares (4016 ÷ 2 5 2008) e o número 1. Logo, a 3,12) 1 3  6  0, 80] 5[5 ( 4, 7013,12) 1 3  6  0, 80] 1 50 . quantidade de números ímpares diferentes que pode ser obtida dessa maneira é 2007 (4016  2008 15 200 3 Resposta: (B) ou (D) ambas devem ser considera). 4016  2008 15 2007 das como resposta correta. Seja 2n o número de pessoas entrevistadas. A 9 Resposta: (E) quantidade de pessoas cuja preferência é pela Juntando os quatro trapézios, formamos um cor I é de 19% das mulheres e 50% dos homens, quadrado de área 2 500 cm2. Como o “buraco” ou seja,  0,19 ⋅ n 1 0, 50 ⋅ n 5 0, 69 ⋅ n ; pela cor II é quadrado no meio tem área 30  30 5 900  cm2, de  0, 33  n 1 0, 32  n 5 0, 65  n,   e pela cor III é a área de cada um dos 4 trapézios é 400 cm2 0, 48  n 1 0,18  n 5 0, 66  n. Nesse caso, a ordem de (2 500  900)  4 5 1600  4 5 400. preferência das cores é II, III, I. Observação: nessas situações, quando se fala em ordem, é usual colo 10 Resposta: (D) carmos em ordem crescente. Porém, serão consiSeja ABC um número par de três algarismos. Nesse deradas corretas as duas maneiras: crescente ou caso, há exatamente 5 possibilidades para o algadecrescente. rismo C: 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse número deve ter dois algarismos ímpares, os algarismos A e B deverão ser preenchidos com 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, há 5 possibilidades para cada um. Logo, 125 números (5  5  5 5 125) pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares.

4 Resposta: (A) Como 26 097 1 1043  25 5 22, o quociente procurado é 1 043 e o respectivo resto é 22. 5 Resposta: (C) Apareceram duas vezes na lista o nome das pessoas que tinham um número par e múltiplo de 3, que no intervalo dado é o conjunto {6, 12, 18, ..., 120} . Como 1  6 5 6, 2  6 5 12, 3  6 5 18, ..., 20  6 5 120 , há 20 números nesse conjunto.

11 Resposta: (C) Serão necessárias 4 garrafas 2 garrafas 2 6 15copos  9 515   garrafas 5 4 garrafas. 5 9 5   copos 6

73

12 Resposta: (E) Podem ser construídos 10 quadrados (6 111 3 510) com vértices nos pontos do reticulado, conforme mostra a sequência de desenhos a seguir.

Como os ângulos  e  são iguais, pois os lados de 12 cm são paralelos, o triângulo ABC é isósceles e, portanto, AB 5 BC e BD 5 AB. Consequente­ mente, BD 5 BC e, assim, BD 1 BC 5 AD 5 13 cm. Final­mente, o perímetro procurado é 42 cm (12 1 5 1 12 1 13 5 42).



18 Resposta: (D) A estratégia para apagar o maior número de algarismos é eliminar a maior quantidade possível de algarismos de menor valor. Vamos começar pelos 500 zeros (1 000 : 2 5 500) que aparecem no número. Restam agora 250 algarismos 2 e 250 algarismos 8, cuja soma é 2 500 (250  2  250   3 8 5 500  2 000 5 2 500) 250  2 1 250  8   5 500  2 000  2 500. Apagamos agora a maior quantidade de algarismos 2 e, como 2 500 2  2 2 008 5 492, podemos atingir nossa meta apagando 246 algarismos 2 ( 492  2 5 246) . Portanto, o maior número de algarismos que devem ser apagados é 746  (500 1 246 5746).

13 Resposta: (C) É verdade que 14 de junho de 2008 é um sábado. Logo, 14 de junho de 2009 será um domingo, em 2010 será uma segunda-feira, em 2011 será uma terça-feira, em 2012 (que é bissexto) será uma quintafeira, em 2013 será uma sexta-feira e, finalmente, em 2014 será um sábado. Portanto, a próxima vez que o dia 14 de junho cairá num sábado será daqui a 6 anos. 14 Resposta: (D) Como CE 5 CD, m(CÊD) 5 (180o  20o) : 2 5 80o. Logo, m(CÊB) 5 180o  80o 5 100o e, como BE 5 CE,  5 (180o  100o) : 2 5 40º. Além disso, m(BÊA)  m (CÊD)  80º e, como AE 5 BE,  5 (180o  80o) : 2 5 50o.  50o 5 Portanto, o valor da razão  é o 5 .  40 4

19 Resposta: (C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta. (C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e

15 Resposta: (C) Vemos a multiplicação de um número de três algarismos por um outro de dois algarismos terminado em 7, que pode ser, portanto, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87 ou 97. Desses 9 números, o único divisor de 6 157 é 47, o que nos dá 131 (6 157  47 5 131). Assim, a multiplicação é: 131 47 917 524 6157

isso pode ser feito de 6 maneiras

de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois, girando cada uma delas, obtemos as outras três. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 30 cartões diferentes (5  6  30). (D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por 2. Logo, Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

E a soma dos números substituídos pelo sinal * é 37 (1 1 3 1 1 1 4 1 9 1 1 1 7 1 5 1 2 1 4 5 37 ). 16 Resposta: (C) Como Cernaldo é casado com a irmã de Arnaldo e não é o mais novo, e o médico é filho único, Bernaldo é o médico. O médico é o mais novo dos três amigos e, como Cernaldo é mais velho que o engenheiro, Arnaldo é o engenheiro, e Cernaldo é o professor.

20 Resposta: (E) No trajeto de 100 km, como o carro A passa por Americanópolis 20 quilômetros à frente do carro B, o carro B já percorreu 80 km (100  20 5 80)  do trajeto e, de forma análoga, o carro C já percorreu 50 km (100  50 5 50) do mesmo trajeto. Perceba que, enquanto o carro B percorre 80 km, o carro C percorre 50 km, ou seja, enquanto o carro C percorre 1 km, o carro B percorre 1,6 km (80  50 5 1, 6). Assim, quando o carro B passar por Americanópolis, tendo percorrido os 20 km que lhe faltam, o carro C terá percorrido 12,5 km (20  1, 6 5 12, 5) e estará 37,5 km [100  (50  12,5)  37,5] atrás do carro B.

17 Resposta: (C) Os triângulos retângulos utilizados têm catetos 5 cm e 12 cm e hipotenusa 13 cm. Desse modo, temos: 12 B

5 A

α 12

β

(4  3 4 2 15 6),

D

C

74

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

Logo: AB 5 BC 5 12 1 6 5 18 metros e, portanto, Esmeralda nadou 144 metros [4  (18 118) 5 4  36 5144] .

1 Resposta: (91) A soma de todos os números do Sudoku completo é igual a 6 vezes a soma dos números em cada linha, ou seja, 126 [6  (1 1 2 1…1 6) 5 6  21 5 126] . A soma dos números que já estão escritos no Sudoku é 35. Logo, a soma dos números que faltam para completar o Sudoku é 91 126 2 35 5 91.

5 Resposta: (240) Supondo que Carlinhos tem Q reais, o preço do Q , e o preço do grama de grama de queijo é 600 Q presunto é . Seja m a quantidade, em gramas, 400 de queijo e de presunto que Carlinhos comprou.

2 Resposta: (1 004) Dessa forma: Temos: 20092 12 5 4  N (N11) ⇔ (2 009 1)(2 009 11) 5 4N(N11) ⇔ 2 008Q 2 010 5Q 4N(N11) ⇔  1 1  1 40 m 1m 5 Q ⇔ m 1 5 51⇔ m 5 2 009 1)(2 009 11) 5 4 N ( 2 00 8  2 010 5 4 N ( N 1 1) ⇔ 2 008 010 4 N ( N 1 1) 2N 11) 2 2⇔ 2009  1 5 4  N  ( N 1 1) ⇔ ( 2 009  1 )( 2 009 1 1 ) 5 4 N ( N 1 1) ⇔ 2 00 8  2 010 5 4 N ( N 1 1) ⇔ 600 400 600 400 1 1 40 ⇔  = ⇔ 1004 1005 5 N(N11) ⇔ N 51004   1 2 2 2(N 2 2 008 2 010 4 N 1 1) 600 400 ⇔ 1004 1005 5 N(N⇔ 11) ⇔ N 51004= ⇔ 1004 051)5⇔ N(N11) ⇔ N 51004 ) ⇔ (2 009 1)(2 009 11) 5 4N(N11) ⇔ 2 00Q8  2 010 5 4N10 (N1 1 400  600 240 000 2 2 2  2 1 m  Q 5 Q ⇔ m 1 1 1 51⇔ m 5 m  5 5 5 240 11) 400 1 1 400 1 600 1000  600 400  ⇔ 1004 1005 5 N(N11) ⇔ N 51004 600 1 2 600 400 Soluções alternativas: 1a solução Portanto, ele comprou 240 gramas de cada item. Cada linha pode ser associada a um número ímpar e a um múltiplo de 8 da seguinte forma: na linha 1, temos 6 Resposta: (34) o quadrado de 15 2 11 (no lado esquerdo da igualSão os múltiplos de 5, que nesse intervalo são 19; os dade) e 8 vezes 1 (no lado direito da igualdade); na limúltiplos de 14, que são 6 (pois o 70 já foi contado); nha 2, temos o quadrado de 3 5 2  2 1 e 8 vezes 2; na os múltiplos de 23, que são 4; os múltiplos de 32, linha 3, temos o quadrado de 5 5 2  3 1 e 8 vezes 3; e que são 3 e, finalmente, os múltiplos de 41, que são 2. assim sucessivamente, até chegarmos à linha N, onde Note que o único múltiplo de 50 no intervalo, que é o temos o quadrado de 2007 5 2N 1e 8 vezes N. próprio 50, já foi contado nos múltiplos de 5. Portanto, Assim: 2N15 2 007 ⇔ 2N 5 2 008 ⇔ N 51004 ao todo são 34 números (19 1 6 1 4 1 3 1 2 5 34). 2a solução Cada linha pode ser associada a um múltiplo de 8 da seguinte forma: na linha 1, temos 8 vezes 1 SEGUNDA FASE – parte B (no lado direito da igualdade); na linha 2, temos •••••• 8 vezes 2; na linha 3, temos 8 vezes 3; e assim su 1 Respostas: cessivamente, até chegarmos à última linha, onde a) Os desenhos mostram as duas formas de constemos 2 0092  2 0072 5 8  N, que é a linha trução dos quadrados. Elas são as únicas possíveis. 2 009  1 De fato, sendo x o número de quadrados de lado 5 1004, ou seja, N 5 1 004. 2 6 cm e y o número de quadrados de lado 9 cm usados para construir um lado de 27 cm, temos: 3a solução Temos: 9  2x 6x 1 9y 5 27 ⇔ 2x 1 3y 5 9 ⇔ y 5 3 2 0092  2 0072 5 8  N ⇔ (2 009  2 007)(2 009 1 2 007) 5 8  N ⇔ 2  4 016 5 8  N ⇔ N 51004 Como x e y são inteiros não negativos, podemos 92  2 0072 5 8  N ⇔ (2 009  2 007)(2 009 1 2 007) 5 8  N ⇔ 2  4 016 5 8  N substituir ⇔ N 51004 x apenas por 0, 1, 2, 3 ou 4. As únicas soluções para essa situação são x 5 0 e y 5 3 ou x 5 3 e 09 1 2 007) 5 8  N ⇔ 2  4 016 5 8  N ⇔ N 51004 y 5 1, representadas nos desenhos. 3 Resposta: (12) Seja x o lucro desse banco no primeiro semestre de 2007, em bilhões de reais. Logo: x  2,5%  x   4,1082 x 1 0,025x  4,1082 1,025x  4,1082 x  4,008 bilhões de reais, ou seja, o lucro foi de R$ 4 008 000 000,00, cuja soma dos dígitos é 12. 4 Resposta: (144) A partir das informações dadas, concluímos que na figura ID 5 DE 5 EF 5 FG 512 metros e que A é o ponto médio de ID, ou seja, AD 5 6 metros e, da mesma forma, FC 5 6 metros.

I

D

E

F

b) Repetindo mais 3 vezes a segunda construção acima, obtemos um quadrado de lado 54 cm, com a utilização de 36 cartões de lado 6 cm e 20 cartões de lado 9 cm, sobrando apenas 1 cartão de lado 6 cm e 1 cartão de lado 9 cm. Esse quadrado é o

G

75

Nível 2 (8o. e 9o. anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC

maior que se pode construir, usando o maior número de cartões, 56 cartões. De fato, como os quadrados construídos com os cartões devem ter lados com medidas inteiras, concluímos que o quadrado maior do que o construído deveria ter lado de 60 cm, pelo menos, já que o cartão menor tem lado 6 cm. Como 602  542 5 684 cm2 é maior do que 62  92  117 cm2, que é a soma das áreas dos quadrados que sobraram, concluímos que realmente o quadrado de lado 54 cm é o maior que se pode construir usando o maior número de cartões.

1 Resposta: (D) Como EDC é isósceles, CDE  CDE  80º. Como BEC é isósceles, CDE  BCE  . Usando ângulo externo,   40º. Como ABE também é isósceles, BAE  . Finalmente, usando mais uma vez ângulo externo, podemos concluir que   50º.

2 Respostas: a) A maior coluna tem 2 008 letras e OBM é um bloco de 3 letras. Como 2 008  669  3  1, o número de vezes em que a palavra OBM aparece completamente na maior coluna é 669. 2 Resposta: (C) Os quadrados dos números são, respectivamente: b) Da esquerda para a direita, fazendo a contagem 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e ao longo das flechas, a primeira passa por 2008 o último são menores que o quadrado de 10, que letras O. Como a segunda inicia 3 linhas abaixo, é 100. Assim, os três números do meio são maiores ela passa por 2 005 letras O que 10. (2 008  3  2 005). Nesse padrão, a próxima passará por 3 Resposta: (C) 2 002 letras O, a seguinte, por 1 999, e assim até a última fle1212 5126 5(22  3)6 5 212  36 cha, que passará por 1. 4 Resposta: (D) Portanto, o número de vezes Seja P o número de funcionários que falam Portuque a letra O aparece no arguês e I o número de funcionários que falam Inglês. ranjo é: (2 008 11) 670 É fácil ver que: 5673 015 2 008 1 2 005 1 2 002 11999 1  11 5 20 20 2 P1  I 5 I ⇒ P 5 4I (2 008 11) 670 100 100 15 2 002 11999 1  1 5673 015 2 20  I 5 84 ⇒ I 5 20. Com Além disso, 4I 1 I  100 3 Respostas: isso, o número de funcionários que falam as duas  8 7   20  5 28 com quantidades dife 4I 5 16 . a) Há 28 peças  línguas é 16   2  100   rentes de pontos em cada lado e 8 com quan 5 Resposta: (C) tidades iguais, ou seja, o dominó de Ferius tem 36 peças diferentes (28 1 8 5 36). x x x 1 10 1 12 Edmílson x Outra solução: 2 2 2 O dominó comum possui 28 peças. Como exisx x x y 1 1 10 y 1 1 8 Eduardo y y 1 tem mais 8 novas peças que possuem alguma 4 4 4 casa marcando 7 pontos, o dominó de Ferius tem x x x z 1  20 z 1  20 Carlos z z 1 36 peças diferentes (28 1 8 5 36). 4 4 4 b) Como a soma de um par e um ímpar é ímpar, e A quantidade final de cada é R$ 50,00, então há 4 quantidades ímpares de pontos (1, 3, 5, 7) e 4 x quantidades pares de pontos (0, 2, 4, 6), há 16 pe1 12 5 50, logo, x  76. Com isso, Eduardo tinha 2 ças (4  4  16) que não são importantes. Logo, inicialmente R$ 23,00. existem 20 peças (36  16  20) importantes.

c) Cada quantidade de pontos aparece exatamen 6 Resposta: (B) te 9 vezes. Assim, a soma dos pontos de todas Sejam a, b, c, d, e, f, g, h, i os números ordenados assim: as peças é 252 9 (1  2  3 ...  7)  252. abcdefghi A soma dos pontos de todas as peças que não são importantes é 112 4(1  2  3  ...  7)   Então, 5 112, pois cada quantidade de pontos aparece a 1b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1h 1i exatamente 4 vezes em peças que não são ime5 ⇒ 9e 5 a 1b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1h 9 portantes. Assim, a soma pedida é 140 (252   a 1b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1h 1i e5 ⇒ 9e 5 a 1b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1h 1i. 2 112  140). 9

76

Além disso, a 1b 1 c 1 d 1 e 5 68 ⇒ a 1b 1 c 1 d 1 e 5 340, 5 e também temos a seguinte equação: e 1 f 1 g 1h 1i 5 44 ⇒ 5 ⇒ e 1 f 1 g 1 h 1 i 5220 Portanto: 9e  e  560 desejada será 504.

e  56. E, assim, a soma

7 Resposta: (E) Quadradinhos de lado 1 existem 6, e quadradinho de lado 2 existe 1. Além disso, existem três outros inclinados de lado 2. Portanto, temos 10 quadrados. 8 Resposta: (C) 2009 – Domingo 2012 – Quinta (pois é ano bissexto) 2010 – Segunda 2013 – Sexta 2011 – Terça 2014 – Sábado

12 Resposta: (D) Sejam p, q números primos, então para que o número de divisores inteiros e positivos seja exatamente 15, os números precisam ser da seguinte forma: p14 e p2  q4. Assim, teremos as seguintes possibilidades: 22  34  324, 32  24  144 e 52  24  400.

9 Resposta: (D) Se a, b, c, d, e são cinco inteiros maiores que um, então a, b, c, d, e > 2, e com isso, a soma quaisquer de quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação b(a  c  d  e)  155  5  31, em que 5 e 31 são primos, temos: b  5 e a  c  d  e  31. Da mesma maneira, c(a  b  d  e)  203, então c  7 e a  b  d  e  29. Baseado nos resultados encontrados, concluímos que a  d  e  24, a   1 b  c  d  e)  36 e da equação a(b  c  d   1 e)  128, obtemos a(36  a)  128, ou seja, a  4 ou a  32. Porém, a  32 não poderá ser solução, pois, caso fosse, teríamos a  b  c  d  e > 40. Portanto, a  b  c  16 e a equação e(a  b  c   1 d)  275 será a mesma que e(16  d)  275, em que d  e  36  a  b  c  20. Como 275   5 11  25 e 16  d > 18, temos que e  11 e d   5 25  16  9. Observe que outra fatoração de 275  5  55 faria d  39, que é muito grande. Portanto, a  b  c  d  e  4  5  7  9  11  36.

13 Resposta: (C) Entre os números 1 e 100, o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4,  6 e 8. Portanto, a soma pedida é: 20  (2  4  6  8)  400 14 Resposta: (E) 1000  25y , em que 10 x e y são, respectivamente, as quantidades de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja um valor inteiro positivo, basta que y seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes. Temos 10x 1 25y 51000 ⇒ x 5

10 Resposta: (C) O único número primo de dois algarismos iguais é 11. Nesse caso, a  1. Usando agora a definição do sistema decimal: 11  10b  c  10c  b  121 b  c  10

15 Resposta: (E) Devemos encontrar o maior valor possível para a, então determinaremos os maiores valores para d, c e b. Tomando d  39, observa-se que c  156. Tomando c  155, observa-se que b  465. Tomando b 5 464, a deverá ser menor que 928, e, portanto, o maior valor possível de a será 927.

11(b  c)  110

Como os números citados são primos, temos que b e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso, 91 é múltiplo de 7. Portanto, os valores para b e c são, respectivamente, 3 e 7.

16 Resposta: (A) A soma de todos os números é: 49  50 1 1 2 1  1 49 5 5 1225 2 Como temos sete colunas com a mesma soma, o resultado da soma dos elementos de uma mesma 1225  5 175 . coluna é 175   7 

11 Resposta: (A) É fácil ver que os triângulos EQH e HPF são isósceles, logo EQ 5 QH 5 b e HP 5 PF 5 c. Seja QP 5 a. No triângulo EHF, temos que EF 5 2MN (MN é base média). Logo, MN 5 5.

77

17 Resposta: (A) Temos: y2  x2 5 852  52  172 Temos, então, quatro possibilidades:

Como ABC  110º, então AOC  140º e, com isso, OAC  20º. Por outro lado, IAC 10º. Portanto, IAO  30º.

{yy 1 xx 55 15  17 {yy 1 xx 55 175  17 2

21 Resposta: (B)

2

2

60  40 5 24 alunos. 100 Como temos 22 alunos, pelo menos 2 alunas participarão do trabalho.

Total de alunos: 40. Com isso,

{yy 1 xx 55 55  17 {yy 1 xx 55 175 2

2

2

22 Resposta: (B)

Resolvendo os sistemas, temos: x

3 612

720

204

132

y

3 613

725

221

157

A1

O menor valor da soma x  y é 289. 18 Resposta: (B) Vamos chamar esse número de x. A soma de todos os números de três algarismos é: 1 099  900 100 110111 999 5 5 494550 2 Assim, podemos montar a seguinte equação: 629x  49 4550  x x  785

D

P

A1

C Q A3

E

A3

F

Seja P o ponto de interseção dos segmentos DB e AE; e Q o ponto de interseção de CE e BF. Note que os triângulos ADE e BDE possuem a mesma altura e a mesma base, logo, possuem a mesma área. O mesmo ocorre com os triângulos BEF e CEF. Retirando as áreas comuns PDE e QEF, temos [ADP] 5 [PBE] e [BEQ] 5 [QCF]. Logo, A2 5 A1 1 A3. Observação: [XYZ] denota a área do triângulo XYZ.

19 Resposta: (C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta. (C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso 4  3  2  1  pode ser feito de 6 maneiras  5 6 , 4   de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois, ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir 30 cartões diferentes (5  6 5 30).

23 Resposta: (B) Como cada time joga três vezes, podemos concluir que: • Dinamarca perdeu todos os jogos. • Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro. • Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes. • Áustria ganhou dois jogos e empatou outro.

Assim, o Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para esse jogo é 1  0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 3 0 em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que Camarões venceu a Dinamarca por 1 3 0. Assim, o único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contra a Áustria. Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu Camarões e que Camarões levou apenas um gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1 3 0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria contra Dinamarca foi 2 3 1.

(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por 2. Logo, Soninha conseguirá 60 cartões diferentes. 20 Resposta: (C)

B I A

B

A

C

24 Resposta: (B) Como AC é um número de dois algarismos, então AC  10A  C. Com isso, 4  (10A  C)  24C, e daí C  2A. Temos agora um novo tabuleiro. Agora, 4x  24  6C, então x  36C. Com isso, o produto mágico será (6C)3. Fazendo C  2, o produto

O

78

será 1 728 e assim a soma será 18, mas se C  3, a (1  3) 1 (5  7)1...1(2005  2007) 5 (2) 1 (2) 1 ... 1 (2) 5  soma será 5 832, que também terá soma 18. Para 502 vezes  3) 1 7)1...1procu(2005  2007) 5 (2) 1 (2) 1 ... 1 (2) 5 1004 valores de C maiores ou(1iguais a 4,(5o número  502 vezes rado terá mais que 4 algarismos.

x

Analogamente, o deslocamento líquido na direção norte-sul foi de 1 004. Portanto, pelo teorema de Pitágoras, a distância entre as posições inicial e final

4

6C C

do viajante é 1004 2. Observe agora que, como

24

2  1, 414, temos 1004 2  1419, 656 . Para ter certeza se estamos usando uma aproximação boa o su-

25 Resposta: (E) Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 12 (19  7  12) cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.

ficiente, basta checar se 1419, 5  1004 2  1420 , quer dizer, se (1419, 5)2  10042  2  14202. Mas é fácil efetuar os cálculos e verificar que essas desigualdades realmente se verificam. Logo, a melhor aproximação pedida é 1 420 metros.

3 Resposta: Veja que �� � �1 e 3    2  (  1)  2   5 2  1 4    3  (2  1)  22   5 3  2 5    4  (3  2)  32  2 5 5  3 Analogamente: 7  4  3  (5  3)(  1)  52  8  3   13  8 Portanto: 135  57  13(5 1 3)  5(13  8)   65(  )  79  65  79  144 4 Resposta: Como os dois círculos circunscritos são iguais, segue do teorema do ângulo inscrito que ACB  ABC e, com isso, AB  AC.

Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Nesse caso, supondo que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou azul), neste caso há 16 (26  5  5  16) cubos com pelo menos uma face de cada cor.

A

B M

D C

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

Seja AM a altura relativa ao lado BC. Como ABC é isósceles de base BC, segue que AM também é mediana, e daí MC 5 9. Portanto, MD 5 5 e, pelo teorema de Pitágoras, AM 5 12. Finalmente, a área do 1 1 triângulo ABC é: (AM)(BC) 5 (12)(18) 5108 2 2

1 Resposta: 2 17 5 x 4 1 y 4 5 (x2 1 y2)  2( xy)2 5 1 2( xy)2 De 18 1 1 5 6. obtemos ( xy)2 5 , e daí 36 xy

5 Resposta: Para que o primitivo de um número seja ímpar, todos os seus algarismos precisam ser ímpares, pois o produto de um número par por um número qualquer é sempre um número par. Assim, só nos restam

2 Resposta: O deslocamento líquido do viajante na direção leste-oeste foi de:

79

2

3 Resposta:

os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 para construir o número pretendido. Por outro lado, como os algarismos precisam ser todos diferentes, o número terá, no máximo, 5 algarismos. Contudo, qualquer número com 5 algarismos ímpares e todos distintos tem primitivo 0. De fato, o produto dos números 1, 3, 5, 7 e 9 é 945 e seu primitivo é 0. O maior número com 4 algarismos ímpares e todos diferentes é 9 753, mas esse número tem primitivo 0. O número que o antecede e tem seus 4 algarismos ímpares e distintos é 9 751, e seu primitivo é 5. Portanto, a soma de seus algarismos é 22 (9 1 7 1 5 1 1 5 22).

A D

B

(

C

Seja D o pé da perpendicular baixada de F a AC. Pelo

SEGUNDA FASE – parte B ••••••

5

E

F

teorema de Pitágoras, segue que EC 5 BC2 BE2 5 52  42 5 3.

EC 5 BC2 BE2 5 52  42 5 3. Por outro lado, por semelhança de 1 1 Resposta: triângulos, temos: FD 5 BE 5 2 e AE 5 2DE. Por­2 Os catetos do triângulo medem a e b, e a hipotetanto: DC 5 CF2  FD2 5 42  22 5 2 3 , e daí: nusa mede c. Como a área e o perímetro são iguais, 1 1 DE 5 2 3  3, de maneira que AE 5 4 3  6. temos ab 5 a 1b 1 c, e daí c 5 ab  a b. Usando 2 2 Finalmente: o teorema de Pitágoras, segue que: 2 1 1 2 ] 5 1 (AE 1EC)BE 5 1 4 3  6 1 3  4 5 8 3  6 a2 1 b2 5 ab  a  b 5 a2 1 b2 1 2ab  a2b  b2a 1 a2b[ABC , 2 2 2 4

)

(

)

(

)

2

1 1 ab  a  b 5 a2 1 b2 1 2ab  a2b  b2a 1 a2b2 , 2 4

4 Resposta: Há duas escolhas envolvidas e que determinam a maneira de viajar de B a C: por quais dentre as cidades A1, ..., A6 devemos passar, e em que ordem. Digamos que escolhamos passar por exatamente k dentre as cidades A1, ..., A6 , com 1  k  6; o nú6 mero de modos de escolher as k cidades é   . Por k  outro lado, após escolhermos as k cidades, devemos escolher em que ordem vamos visitá-las, o que corresponde a k! possibilidades. Logo, o número de modos de viajar de B a C é:

ou ainda 8ab  4a2b  4b2a 1 a2b2 5 0. Dividindo por ab, obtemos (a  4)(b  4) 5 8, de maneira que a  4 divide 8. Portanto, os possíveis valores de a são 2, 3, 5, 6, 8 e 12. Determinando os valores de b e c, encontramos os triângulos de lados 5, 12, 13 ou 6, 8, 10.

2 Resposta: Note que (2 009  x)2  x2 5 2 009 (2 009  2x), um múltiplo de 2 009. Assim, sempre que Pedro apagar um número, x2 digamos, basta Igor apagar o número (2 009 2 x)2. Desse modo, no final restarão dois números cuja diferença é um múltiplo de 2 009.

6

 

6

1 956 � 1956 ∑k6 k! � ∑ (6 �6!k)! � 5!6! � 6!4! �... � 6! 0!

k �1

80

k �1

XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2007 RESOLUÇÕES 5 Resposta: (B) A soma de todos os números positivos ímpares até 2 007, menos a soma dos números positivos pares até 2 007, é 1 004 (1 2 2) 1 (3 2 4) 1 (5 2 6) 1 ... 1 (2 005 2 2 006) 1 2 007 5 21 003 1 2 007 5 1 004.

Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PA 2 PI 2 RN 2 RS 2 SC

6 Resposta: (A) Se Sílvia acertou o relógio, ela adiantou 10 min. Como já estava adiantado 5 min, o relógio ficou 15 min adiantado. Portanto, se marcava 10 h, eram na verdade 9h45min. Se Cristina acertou o relógio, ela atrasou 10 min. Como já estava atrasado 5 min, o relógio ficou 15 min atrasado. Como 9h45min foi o horário real do encontro, o relógio de Cristina indicava 9h30min.

1 Resposta: (E) 1 , No resultado da multiplicação de 101 por 1111     2 007 algarismos 1

o dígito 1 aparece 4 vezes, e o dígito 2 aparece 2 005 vezes (2 007 2 2 5 2 005). Portanto, a soma dos algarismos desse número é 4 014  1 3 4 1 2 3 2 005 5 4 1 4 010 5 4 014 .

7 Resposta: (E) a A soma a 1b é 1 se a 5 0 e b 5 1, ou seja, 50 , inb a 1 compatível com o desenho. A soma é 2 se 5 51, b 1 a 1 também incompatível. E a soma é 3 se 5 ou b 2 a 2 5 5 2 , ambos incompatíveis. b 1 a 1 1 Os casos em que a soma é 4 são: 5 , ou b 3 2 a 2 a 3 5 51 ou 5 5 3 , todos incompatíveis. b 2 b 1 Como todas as quatro primeiras alternativas são falsas, a alternativa E é a verdadeira. a 1 1 De fato, a soma é 5 nos casos: 5 , , ou b 4 2 a 2 1 a 3 5 . , ou 5 . 1, ou a 5 4 . 1, dos b 3 2 b 2 b 1 quais a possibilidade a 5 2 e b 5 3 dá a fração a 2 5  0, 67 . b 3

2 Resposta: (D) São dez: 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310 e 400. 3 Resposta: (D) Um quadrado com área 144 cm2 tem lado 12 cm, e se ele foi formado juntando-se dois retângulos iguais lado a lado, esses retângulos têm um lado igual ao lado do quadrado e o outro igual à metade do lado do quadrado, ou seja, seus lados medem 12 cm e 6 cm. Juntando-se agora esses dois retângulos, e formando um retângulo de largura diferente do comprimento, formamos um retângulo de lados 24 cm e 6 cm. O perímetro desse retângulo é 60 cm (24 1 6 1 24 1 1 6 5 60).

8 Resposta: (B) Os 156 estudantes que resolveram todos os problemas corretamente correspondem a 60% do total (100% 2 25% 2 15% 5 60%). Logo, o número total de estudantes é 260 156 ? 100 5 260. 60

4 Resposta: (E) 5 ? 10 A área do triângulo ADF é = 25 cm2, ou seja, 2 1 da área do quadrado. Como os triângulos ADF e 4 AEF são congruentes, a área da região comum aos dois quadrados é 50 cm2 (2 ⋅ 25 = 50). 10

B 10

10

10 E

9 Resposta: (D) Sejam H, M e C as quantidades de homens, muH lheres e crianças, respectivamente. Temos 5 M 2 M H H M 16 5 e 5 8. Logo, 5  .  5 . Logo, a 3 C C M C 3 razão entre o número de adultos e crianças é H M 16 40 H1M 5 1 581 5 . C C 3 3 C

A 10

5 C 5 F

5

5 D 10

81

10 Resposta: (E) Como o triângulo ABC é equilátero, o ângulo interno  mede 60°. Se DG é paralelo a AB , então o ângulo entre DG e AC é 60° ou 180° 2 60° 5 120°. Sendo x o maior ângulo entre esses dois segmentos, x 5 120°.

17 Resposta: (B) Dentre os números de 10 a 99, a soma dos algarismos mais frequente é 9 ou 10, ambas aparecendo 9 vezes cada. Logo, o maior número de tentativas erradas que a segunda pessoa pode fazer é 8 (9 2 1 5 8 ).

11 Resposta: (E) Ao multiplicar os preços por 0,68 5 68%, a loja oferece um desconto de 32% (100% 2 68% 5 32%).

18 Resposta: (C) 15 1 Viajando a 80 km/h por 15 minutos, ou seja, = 60 4 80 de hora, Anita percorreu = 20 km. Para conse4 guir percorrer esses 20 km em 12 minutos, ou seja, 12 1 = de hora, ela deveria trafegar a uma veloci­ 60 5 20  dade constante de 100 km/h  5 20 ? 5 5 100 . 1  5 

12 Resposta: (B) Se Pérola (P) estiver antes de Esmeralda (E), há (7 1 6 2 2 5 11) 11 pessoas na fila, como vemos no esquema a seguir: 7

6

5

4

3

2

1

1

2

E

P 3

4

5

6

19 Resposta: (D) O candidato A errou 48 questões (80% ? 60 5 48), o candidato B, 36 questões (60% ? 60 5 36), o candidato C, 30 questões (50% ? 60 5 30), o candidato D, 18 questões (30% ? 60 5 18), o candidato E, 24 questões (40% ? 60 5 24), e o candidato F, 36 questões (60% ? 60 5 36). Portanto, o número médio de questões erradas por esses candidatos foi 32: 48 1 36 1 30 1 18 1 24 1 36 192 5 5 32 6 6

Se Esmeralda (E) estiver antes de Pérola (P), há (7 1 6 1 2 1 2 5 17) 17 pessoas na fila, como vemos no esquema a seguir: 7

6

5

4

3

2

1

P

E 1

2

3

4

5

6

13 Resposta: (C) Dentre todos os produtos, são primos apenas os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, que aparecem 2 vezes cada. Portanto, 12 casas ( 6 × 2 = 12 ) conterão números primos.

20 Resposta: (E) Temos 131 = 13 , 132 = 169 , 133 5 2 197 e 134 5 28 561. A partir desse ciclo, 135 5131 ⋅ 134 5 371 293 , 136 5132 ⋅ 134 5 4 826 809 ,  137 5133 ⋅ 134 5 62 748 517 e 138 5134 ⋅ 134 5 815 730 721.  Veja que 135 , 136 , 137 e 138 terminam com o mesmo algarismo que, respectivamente, 131, 132, 133 e 134 . Desse modo, podemos formar grupos de 4 em 4, sabendo que o algarismo das unidades de cada um desses grupos é 3, 9, 7 e 1, respectivamente. Como 2007 5 501 ? 4 1 3, podemos formar 501 grupos com algarismo das unidades 3, 9, 7 e 1, restando apenas os números 132 005, 132 006 e 132 007 , que têm algarismo das unidades 3, 9 e 7, respectivamente. Portanto, o algarismo das unidades da soma é o algarismo das unidades de (3 1 9 17 11) ? 501 1 (3 1 9 17) 5 20 ? 501 1 19 5 5 10 020 1 19 5 10 039, ou seja, o algarismo 9.

14 Resposta: (D) Seja G o volume do copo grande e P, o do copo pequeno. Temos: 3G 1 0, 5P 5 5P 1 0, 5G     2, 5G 5 4, 5P     P 2, 5 5 5 5 G 4, 5 9 15 Resposta: (C) Para formar os códigos S serão usadas 1 barra preta fina, 2 médias e 1 grossa, que serão separadas por 3 barras brancas finas. Como as barras brancas são todas iguais, uma vez colocadas em seus lugares, o número de códigos é o número de maneiras de se distribuir as 4 barras pretas (1 1 2 1 1 5 4 ), ou seja, 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 . Como há 2 barras iguais, as médias, o número de diferentes códigos S que podem 24 ser formados é 12 5 12 . 2

(

)

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

16 Resposta: (D) 1 Resposta: (41) Para a letra “O” foram necessários 11,5 quadradi1 O número é formado por blocos iguais, de 5 alganhos 12 2 4 ? 5 11, 5 . Para a letra “B”, 12,5 qua8 rismos na forma “10 100”. Como o número tem 101 1 algarismos, concluímos que é formado por 20 desdradinhos 13 2 4 ? 5 12, 5 . E para a letra “M”, 8 ses blocos inteiros, mais o primeiro algarismo de 1 1 10 quadradi­nhos  12 2 2 ? 2 8 ? 5 10 . Logo, um bloco, que é 1. A soma dos algarismos de cada 2 8 2 a área ocupada pela sigla é 34 cm (11, 5 1 12, 5 1 10 5 34 bloco é 2 (1 1 0 1 1 1 0 1 0 5 2); portanto, a soma dos algarismos de N é 41 (20  2 1 1 5 41). 11, 5 1 12, 5 1 10 5 34).

(

(

)

(

)

)

82

2

Resposta: (150)

5 Resposta: (148) O volume de cada bloco de madeira é 0, 2 3 0, 3 3 1, 60 5 0, 2 3 0, 3 3 1, 60 5 0, 096 m3; o volume de cada bloco que fica submerso no líquido é 0, 80 3 0, 096 m3 . O volume de líquido deslocado pelos 25 blocos é igual a 25 3 0, 80 3 0, 096 5 1,92 m3 . Como o reservatório é um cubo de 2 m de lado, sua base é um quadrado de área 4 m2. Podemos pensar no líquido deslocado como se fosse um bloco cuja base é igual à base do reservatório, de altura h e volume acima.

O desenho abaixo à esquerda mostra como fica a folha após a primeira dobra. À direita, mostra como fica a folha após as duas dobras. A5C

Observamos que CE 5 EA e que CF 5 FA. Por uma propriedade da dobra, sabemos que o segmento FE é perpendicular ao segmento AC, e esses segmentos se cruzam em seus pontos médios. Portanto, os quatro triângulos que compõem o quadrilátero AECF são congruentes; são congruentes também os triângulos EBC e FDA. A dobra FE divide o retângulo ABCD em dois trapézios, EBCF e AEFD, de mesma área. Desdobrando inteiramente a folha, obtemos duas metades iguais. Portanto, a área do pentágono convexo BEFE’B’ é igual à área do pentágono não convexo AA’E’FE, ou seja, a área da parte escura é metade da área da folha, ou seja, igual a 150 cm2 15 3 20 5 150 . 2

(

1, 92 5 0,48 m 5 48 cm. 4 Como a altura inicial do líquido era 100 cm, a nova altura será 148 cm. Portanto: 4h 5 1,92

Resposta: (64)

6

À primeira inspeção, podemos admitir que os três algarismos à direita de todos os números estão corretos, isto é, estão corretamente escritos os algarismos 0, 1, 3, 4, 5, 6 e 8. Portanto, dentre os algarismos 2, 7 e 9, um deles está escrito incorretamente. O 9 está escrito corretamente, pois se o mudarmos, a soma com 2 não estará certa. Logo, 2 ou 7 está errado. Se o 7 estiver errado, então 2 estará correto, mas isso não é possível, pois a soma de 2 com 4 mais 1 não estaria certa. Logo, o 2 é que deve ser substituído; olhando novamente a soma de 2 com 4 mais 1 resultando 1 vemos que o resultado só dará certo se no lugar de 2 colocarmos 6. Fazendo a substituição, verificamos que o resto se encaixa. Teremos, então, ab 5 26 5 64 .

)

3

SEGUNDA FASE – parte B ••••••

Resposta: (81) Pelo padrão observado, as somas são iguais ao quadrado da parcela central (aquela cujo número de parcelas à esquerda é igual ao número de parcelas à direita). Portanto, A 5 2 0072 e, assim,

(

)

2

h5

1 Respostas:

(

)

2

A 2 0072 2 007 5 5 5 92 5 81. 2 223 2232 223

A 2 0072 2 007 5 5 5 92 5 81. 2 223 2232 223 4

Resposta: (258) O retângulo que sobra após os cortes tem lados iguais às metades dos lados da cartolina original, cujo perímetro, então, é o dobro do perímetro desse retângulo. Logo, o perímetro da cartolina antes do corte é 258 cm (129 3 2 5 258).

ˆ 5 m(A  MD) ˆ Temos m(F  MC) (ângulos opostos pelo ˆ ˆ , pois ABCD é quadravértice), m(A DM) 5 m(F CM)

83

2 Resposta: (E) a A soma a 1b é 1 se a 5 0 e b 5 1, ou seja, 50 , inb a 1 compatível com o desenho. A soma é 2 se 5 51, b 1 a 1 também incompatível. E a soma é 3 se 5 ou b 2 a 2 5 5 2 , ambos incompatíveis. b 1 a 1 1 Os casos em que a soma é 4 são: 5 , ou b 3 2 a 2 a 3 5 51 ou 5 5 3 , todos incompatíveis. b 2 b 1 Como todas as quatro primeiras alternativas são falsas, a alternativa E é a verdadeira. a 1 1 5 , , De fato, a soma é 5 nos casos: b 4 2 a 2 1 a 3 a 4 ou 5 . , ou 5 . 1, ou 5 . 1, dos b 3 2 b 2 b 1

do, logo, esses ângulos são retos, e MC 5 MD, pois M é ponto médio de CD. Logo, os triângulos AMD e FMC são congruentes. a) Vemos que a área ABF 5 área FMC 1 área ABCM. Como área FMC 5 área AMD, temos: área ABF 5 área AMD 1 área ABCM 5 área do quadrado ABCD 5 300 cm2. b) área ADF 5 área AMD 1 área DMF 5 área FMC 1 área DMF 5 área FCD. Como AD 5 FC, CD é lado comum e os ângulos C  ˆ ˆ eD   são retos, concluímos que os triângulos FCD e ADC são congruentes, logo, área FCD 5 área área ABCD ADC 5 . Portanto, a área do triân2 300 gulo ADF é igual a 150 cm2 5 150 . 2

(

2

)

Resposta: Dadas as massas de 1 a 6, podemos adicionar 1 a 6, 2 a 6 etc., até obter todos os pesos de 7 a 11; podemos adicionar 1 1 5 a 6, 2 1 5 a 6 etc., até obter todos os pesos de 12 a 15; podemos adicionar 1 1 4 1 5 a 6 etc., obtendo os pesos de 16 a 18; somando 1 1 3 1 1 4 1 5 a 6, obtemos 19; somando 2 1 3 1 4 1 5 a 6, obtemos 20 e, finalmente, somando 1 1 2 1 3 1 1 4 1 5 a 6, obtemos 21. Portanto, a quantidade de massas diferentes que Esmeralda pode obter é 21.

3

quais a possibilidade a 5 2 e b 5 3 dá a fração a 2 5  0, 67 . b 3 3 Resposta: (E) Como o triângulo ABC é equilátero, o ângulo interno  mede 60°. Se DG é paralelo a AB , então o ângulo entre DG e AC é 60° ou 180° 2 60° 5 120°. Sendo x o maior ângulo entre esses dois segmentos, x 5 120°.

Respostas: Pode-se concluir, examinando a tabela, que a soma dos elementos da diagonal n é igual a 2n 1 (n 2 2 1)k, em que k é o algarismo das unidades do número n. Por exemplo, na diagonal de número 4, a soma dos números é 2 ? 4 1 (4 2 1) ? 4 5 20. Na diagonal de número 10, a soma dos números é 2 ?10 1(10 21) ? 0 5 20 etc. a) Na diagonal de número 9, a soma dos elementos é 90 2 ? 9 1 (9 2 1) ? 9 5 90 . De outra forma, na diagonal 9 há 10 números 9; portanto, a soma é 90 (10 ? 9 5 90 ). b) Na diagonal 2007, a soma será 18 056 2 ? 2 007 1(2 007 21) ? 7 5 4 014 114 042 518 056. O resto da divisão desse número por 100 é 56.

4 Resposta: (D) Sejam H, M e C as quantidades de homens, muH lheres e crianças, respectivamente. Temos 5 M 2 M H H M 16 5 e 5 8. Logo, 5  .  5 . Logo, a 3 C C M C 3 razão entre o número de adultos e crianças é H M 16 40 H1M 5 1 581 5 . C C 3 3 C 5 Resposta: (B) Os 156 estudantes que resolveram todos os problemas corretamente correspondem a 60% do total (100% 2 25% 2 15% 5 60%). Logo, o número total de estudantes é 260 156 ? 100 5 260. 60

Nível 2 (7o.   e 8o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PA 2 PI 2 RN 2 RS 2 SC

6 Resposta: (E) Como N é o quadrado de um quadrado perfeito, N é uma quarta potência e, como possui o fator 12 5 22 3 3, N deve ser divisível por 24334 5 1 296. Logo, N é da forma 1 296k, em que k é inteiro posiN tivo. Portanto, 5 108k, e o menor valor possível 12 N para é 108. 12

1 Resposta: (E) No resultado da multiplicação de 101 por 1111    1 ,

7 Resposta: (C) A área do jardim é 5a2, em que a é o lado do qua­dra­do. Pelo teorema de Pitágoras, AB2 5 a2 1 1 (2a)2 5 5a2. Daí, 5a2 5 100, que é a área do jardim.

2 007 algarismos 1

o dígito 1 aparece 4 vezes, e o dígito 2 aparece 2 005 vezes (2 007 2 2 5 2 005). Portanto, a soma dos algarismos desse número é 4 014   1 3 4 1 2 3 2 005 5 4 1 4 010 5 4 014 .

84

13 Resposta: (C) Como 100 < x , 1 000, temos 600 < 6x , 6 000 e 700 < 7x , 7 000. Os números 6x e 7x podem ter ambos 3 algarismos ou ambos 4 algarismos. Para que ambos tenham 3 algarismos, devemos ter 7x , 1 000, ou seja, x , 142,8...; há 43 números nestas condições. Para que ambos tenham 4 algarismos, devemos ter 6x > 1 000, ou seja, x > 166,6...; há 833 números nestas condições. Logo, há 876 números satisfazendo as condições do problema.

Observação: também é possível resolver o problema sem usar o teorema de Pitágoras, formando o quadrado de lado AB e observando que sua área é equivalente à de 5 quadrados menores. 8 Resposta: (C) Tem-se a 5 k(b 1 c), b 5 k(c 1 a) e c 5 k(a 1 b). Logo, (a 1 b 1 c) 5 2k(a 1 b 1 c). Há dois casos: 1 (i) a 1 b 1 c 5 0; neste caso, k 5 (e a igualdade 2 ocorre se e só se a 5 b 5 c  0); (ii) a 1 b 1 c 5 0. a b c Neste caso, temos 5 5 5 (b 1 c) (c 1 a) (a 1 b) 1 5 21. Portanto, k pode assumir os valores ou 21. 2

14 Resposta: (C) Os triângulos isósceles junto à base têm área igual à do quadrado. Os dois junto aos vértices supe1 riores têm área igual a da área do quadrado. 4 Finalmente, o central no topo tem área igual à metade da área do quadrado. Logo, a área total é 1 1 6 3121 1 56 . 2 2

9 Resposta: (A) Um polígono convexo inscrito no círculo fica determinado quando seus vértices são escolhidos. Cada um dos 12 pontos pode ou não ser escolhido como vértice, dando um total de 4 096 escolhas (212). Mas, para determinar um polígono, precisamos escolher 3 ou mais vértices. Logo, do número acima deve 15 Resposta: (A) mos excluir os casos em que são escolhidos 0 ponto Note que: 2 2 2 2 11 (1 caso), 1 ponto (12 casos) ou 2 pontos 12 3 5 66 casos (.x 1 x)(x 1 5x 1 6) 5 x (x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 5 (x 1 3x)(x 1 11 (x2 1 x)(x2 1 5x 1 6) 5 x (x 1 1)(2x 1 2)(x 1 3) 5 (x2 1 3x)(x2 1 3x 1 2) . 12 3 5 66 casos . Portanto, o número de polígonos é 2 Seja y5 x2 1 3x . Então: 4 017 (4 096 2 1 2 12 2 66 5 4 017). 1 1 y(y 1 2) 5 1812 (y 1 1)2 5 1812   y 1 1 5 181 y 5 180 10 Resposta: (E) (m 1n)(n 2m 11) A soma dos números de m a n é . 16 Resposta: (D) 2 (m 1n)(m 2n 11) Sendo x, y e z as áreas das partes brancas, a área peOu seja, devemos ter 5 2007, cuja 2 di­da é:  (121 2 x) 1 (49 2 y 2 z) 2 (81 2 x 2 y) 2 decomposição em fatores primos é 3 3 3 3 223. 2 (25 2 z) 5 121 1 49 2 81 2 25 5 64 cm2. Da igualdade (m 1 n)(n 2 m 11) 5 2 3 3 3 3 3 223 (e observando que m 1 n > n 2 m 1 1), podemos 17 Resposta: (B) ter os seguintes casos: Se o primeiro acidente é sofrido no ano N 1 1, Jean a) m 1 n 5 223, n 2 m 11 5 18 (que resulta em gasta 1 500(N 1 1) 1 1 400 com a seguradora A e m 5 103 e n 5 120). 1 700(N 1 1) 1 700 com a seguradora B. Para que b) m 1 n 5 446, n 2 m 1 1 5 9 (que resulta em A seja mais favorável, devemos ter 1 500(N 1 1) 1 m 5 219 e n 5 227). 1 1 400 , 1 700(N 1 1) 1 700, ou seja, N . 2,5. c) m 1 n 5 669, n 2 m 1 1 5 6 (que resulta em Logo, Jean deve ficar pelo menos 3 anos sem sofrer m 5 332 e n 5 337). acidentes. d) m 1 n 5 1 338, n 2 m 1 1 5 3 (que resulta em m 5 668 e n 5 670). 18 Resposta: (A) e) m 1 n 5 2 007, n 2 m 1 1 5 2 (que resulta em A face 1 estará, no início, voltada para Leste e, a m 5 1 003 e n 5 1 004). seguir, voltada para baixo. Quando o 2 estiver paPortanto, 2 007 pode ser escrito de 5 modos como ra baixo, 1 estará a Oeste. Quando o 3 estiver para soma de dois ou mais números inteiros e consecubaixo, 1 continua a Oeste. Quando o 5 estiver pativos. ra baixo (face oposta ao 2), o 1 permanece a Oeste, e assim termina após os movimentos. 11 Resposta: (B)

(

(

)

(

)

)

Ambas as equações tem 1 como raiz. As outras raí1 zes são e 2 007, cujo produto é 1. 2007

19 Resposta: (B) A) Falsa (há 16 do lado direito e 20 do esquerdo). B) Verdadeira (há 9 do lado direito e 6 do es­ querdo). C) Falsa (há 45). D) Falsa (há 5 do lado direito e 4 do esquerdo). E) Falsa (há 15).

12 Resposta: (D) a(b 1 c) 2 b(a 1 c) 5 c(a 2 b), que é máximo quando c é máximo (ou seja, igual a 10) e b 2 a é máximo (ou seja, b 5 10 e a 5 1). Portanto, o produto máximo é 90 10 3 (10 2 1) 5 90.

85

20 Resposta: (B) A soma dos outros lados tem de ser maior que

• 09h55: o ponteiro maior está sobre o 11 e o me1 nor está de hora antes do 10. Logo, o ângulo é 12 32,5º: 1 11 3 30º 5 32, 5º 12

5 3 . Logo, o perímetro deve ser maior que 2

11

12

8 5 6

• 06h20: o ponteiro maior está sobre o 4 e o menor 1 está de hora depois do 6. Logo, o ângulo é 70º: 3

(2 1 31) 3 30º 570º

1



2

10 9

3 8

4 5

12

10

2

8

4

Outra solução:

P

R

Q

(11 61) 3 30º 5 35º

12

6 7

V R

1 PU 5 11 6 6

PU 5

6 7

25 (Anulada) Resposta: Os primeiros termos dessa sequência são: 1, 3, 7, 15, 13, 9, 19, 21, 7, 15, ..., de onde vemos que ela tem período 6 a partir do 3o termo. Assim, a31 5 a25 5 a19 5 5 a12 5 a7 5 19, a32 5 a8 5 21, a33 5 7, a34 5 15 e a35 5 13. A soma tem valor 75 (19 1 21 1 7 1 15 1 1 13 5 75). (Não há alternativa correta).

1 2

10 9

3 8

4 6

3 57 x 2 3     x 5

24 (Anulada) Resposta: Os únicos números com essa propriedade são: 110, 121, 152, 240, 251, 282 e 390. A diferença entre o maior e o menor é 280, que é múltiplo de 7 e, além disso, 2 1 8 1 0 5 10. (Há duas alternativas corretas).

1 de hora antes do 9. Logo, o ângulo é 35º: 6

7

33 2 11 772 5 5 xx     xx 33

5

• 08h50: o ponteiro maior está sobre o 10 e o menor

11

AP AP CR CR 5 5   BP BP RS RS

TP PU 5 TS SV

3

6

5

S T P S Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, ao refletir o retângulo inicial em relação ao lado PQ e em seguida refletindo em relação ao lado QR, obtemos um segmento TUV, de acordo com a figura acima. Logo, pela semelhança dos triângulos TPU e TSV, temos:

1

9

está

6

U

( 2 1 31) 3 30º 570º 7

3

6

• 05h40: o ponteiro maior está sobre o 8 e o menor 1 está de hora antes do 6. Logo, o ângulo é 70º: 3

11

4

23 Resposta: (B) Sejam B e C os pontos de batida da bola em PQ e QR, respectivamente, e A o ponto onde a bola está inicialmente. Como os ângulos das trajetórias de batida com a mesa são iguais, deveremos ter os triângulos APB, CQB e CRS semelhantes. Seja BP 5 x. Assim: AP CQ 1 CQ 3     5     CQ 5 21, 5 BP BQ x 32 x x

4

7

8

22 Resposta: (D) Sendo d o m.d.c. destes números, temos: d 5 2  332 2 1  221 5 1  111 5 11 3 101. Como 101 é primo, 101 não divide 1  221, e 11 divide todos os 8 números, então 11 é o m.d.c. procurado.

3

12

2

7

2

9

11

1

10

1

10

7

12

9

21 Resposta: (E) Para medir o ângulo entre os ponteiros, basta obter as posições dos dois ponteiros. Fazendo isso para cada um dos horários, e lembrando que o ângulo entre dois números consecutivos do relógio é 30º: • 02h30: o ponteiro maior está sobre o 6 e o menor está exatamente na metade entre o 2 e o 3. Logo, o ângulo entre eles será 105º ( 3, 5 3 30º 5 105º ). 11

)

(

5 3 5 8,66..., o que mostra que o menor perí­me­tro inteiro possível é 9.

5

86

2 Resposta: É fácil ver que ( x 2 2)( x 2 3) 1 ( x 2 3)( x 1 1) + ( x 1 1)( x 2 2) 5 3 ( x 2 2)( x 2 3) 1 ( x 2 3)( x 1 1) + ( x 1 1)( x 2 2) 5 3( x 2 )( x 2 ). Fazendo x 5 21, 2 e 3, nesta igualdade, temos: 1 Resposta: 4 Seja x a idade de Ludmílson. Logo: (11)(11) 5 4, (2 2)(2 2) 521, ( 2 3)( 2 3) 5 3 ( x 2 55)( x 1 55) 5p3 , em que p é primo. Temos, então, duas possibilidades: Com isso:

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

i)

{xx 215555551p

1 1 1 1 3 1 1 5 211 5 0 (11)(11) (2 2)(2 2) (2 3)(2 3) 4 4

3

Nesse caso, teríamos x 51 56 e p 5 111, 1absurdo, pois 1 1 3 111 não é primo. (11)(11) 1 (2 2)(2 2) 1 (2 3)(2 3) 5 4 211 4 5 0 x 2 55 5p ii) x 1 55 5p2 3 Resposta: Com isso, 110 5p2 2p 5p(p 21) 511?10 . Assim, tea) N 5 23 ? (234 2 1) 5 23 ? (232 1 1)(232 2 1) 5 23 ? (232 11)(23 11)((2 mos p511 e x566. Logo, a idade N 5 23 ? (234 de 2 1)Ludmílson 5 23 ? (232 é1 1)(232 2 1) 5 23 ? (232 11)(23 11)((23 21) 5 23 ? 530 ? 24 ? 22 5 66 anos. 525 ? 3 ? 5 ? 11 ? 23 ? 53. O número de divisores (positivos) de N é 192 (6  2  2  2  2  2 5192). 2 Resposta: b) N5n5 2n 5n(n2 11)(n 11)(n 21). 100 ? 1028 1 3 2 100 ? 103 2 3 Necessariamente, n ou n 1 1 é par. Logo, 2 di  2 100 ? (21) 2 3 5 28 3 10 2 10 vide N. Do mesmo modo, um dos números   n 2 1, n ou n 1 1 é múltiplo de 3. Logo 3 tam1028 2 103  5 100 28 1 5 1 5 97 100 97 197  bém divide N. Finalmente, se nenhum dos 3 10 2 103  números n 2 1, n ou n 1 1 é múltiplo de 5, en 3 Resposta: tão n é da forma 5k 1 2 ou 5k 1 3. No primeiro Note que os triângulos PTA, ABD, BCE, e PQC são tocaso, temos n2 115 25k 2 110k 1 5 e, no segundo, dos isósceles. Como STP 5 108°, PTA 5PAT 5 n2 115 25k 2 115k 110, ambos múltiplos de 5. 5 72°. Assim, temos: TPA 5 36° e BAD 5BDA 5 Portanto, um dos números n, n 21, n 11 ou n2 11 5 18°. Além disso, ABD 5 144° e CBE 5 66°. é múltiplo de 5. Como QPC 5 126°, temos QCP 5 27° e ECB 5 Assim, N é, simultaneamente, múltiplo dos núme5 57°. Logo, QCE 5 174°. ros 2, 3 e 5, primos entre si, o que prova que N é múltiplo de 30. 4 Resposta: Tente 1, 2, 3 ... e perceba que, somente com n 5 5, 4 Resposta: K terá 5 algarismos. Assim, K 5 2 608 ? 5 5 13 040. Vamos começar colorindo a primeira linha de vérCom isso, a soma dos algarismos de K é 8. tices. Cada coloração dessa linha é uma sequência de letras “A” e “V”, por exemplo, A V V A V. Observe que, uma vez colorida a primeira linha, se aparece 5 Resposta: rem duas letras consecutivas iguais, o restante dos A partir do sétimo termo, todos serão iguais a vértices do tabuleiro já estão determinados. De fato, 6 174. ao aparecer dois Vs consecutivos, os dois vértices imediatamente abaixo deles deverão ser coloridos com dois As, os que estão mais abaixo deverão ter SEGUNDA FASE – parte B dois Vs, e assim por diante. Isso completa a colora•••••• ção dessas duas colunas. Dessa forma, cada coluna 1 Resposta: vizinha também estará determinada, pois em cada B retângulo teremos três vértices previamente coloridos, o que obriga o quarto vértice a ter sua cor determinada. Então, para cada sequência de As e Vs na primeira linha que contém pelo menos duas I letras iguais consecutivas, há exatamente uma maneira de colorir o tabuleiro. Como há 25 2 2 5 30 de tais sequências, contamos 30 colorações possíveis.

{

A

D

C

A

Como ABC é um triângulo retângulo, então AO 5 5 BO 5 CO. Se ABI5AOI545o e BAI5OAI , então ABI  AOI (ALA). Com isso, AB 5 AO 5 BO, portanto, o triângulo ABO é equilátero. Assim: ACB530o

87

V A V A V

V A V A V

A

V

letra da terceira linha também há 2 possibilidades. Com este raciocínio, cada vez que escolhemos a primeira letra de uma linha, determinamos a coloração dessa linha. Logo, como há duas maneiras de escolher a primeira letra de cada linha, há 32 maneiras (25 5 32) de colorir o tabuleiro, neste segundo caso. Logo, o total de colorações é igual a 62 (30 1 32 5 62).

Falta analisar um segundo caso, em que não há duas letras consecutivas iguais na primeira linha. Há duas possibilidades de sequências: começando com A ou começando com V.

A

V

A

V

A

V

Observação: Veja que, no caso geral, para um quadrado n 3 n, o raciocínio é análogo. No primeiro caso, teremos 2n 1 1 2 2 colorações; no segundo caso, mais 2n 1 1. Logo, teremos 2 ? 2n 1 1 2 2 5 2n 1 2 2 2 colorações.

Para cada uma dessas sequências, há duas maneiras de escolher a primeira letra da segunda linha. Uma vez escolhida essa letra, a segunda linha inteira também estará determinada. Para a primeira

88

115 31

XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2006 RESOLUÇÕES Nível 1 (5o.   e 6o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: BA – ES – RS – RN – PA – PE – PI – SC 1

6 Resposta: (D) O usuário pagou 148 reais (52 1(140 2 60) ?1, 20 5148 Resposta: (A) 52 1(140 2 60) ?1, 20 5148); no plano de 100 minutos, teria pago Em 6h de trabalho foram retiradas 480 bolinhas 135 reais (87 1(140 2100) ?1, 20 5135), ou seja, teria (4 000 2 3 520 5 480), e como a velocidade de reeconomizado 13 reais (148 2 135 5 13). 480 5 80 por tirada é constante, saem 80 bolinhas 6 7 Resposta: (B) hora. Para que 2 000 bolinhas saiam do tanque são Sejam A, B, C, D e E os vértices do pentágono. Para 2 000 5 25 . Portanto,  o tanque necessárias 25 horas cada um desses vértices podemos contar dois tri80 ângulos isósceles cujos vértices coincidem com os ficou com 2 000 bolinhas às 11 h do dia seguinte. vértices do pentágono, e esse vértice é oposto à base, conforme desenho abaixo (por exemplo, Resposta: (A) o vértice A é oposto às respectivas bases dos triO eucalipto precisa de cerca de 600 kg de nutrientes ângulos isósceles ACD e ABE. Nota: um triângu1 por hectare, aproximadamente da massa de nulo isósceles tem dois lados congruentes, e o ter3 trientes necessários, mais ou menos 1 800 kg, para a ceiro lado é chamado base.) Como há 5 vértices, cana-de-açúcar se desenvolver. concluímos que existem 10 triângulos (5 3 2 510) nas condições dadas. Outra solução: três vértices Resposta: (B) do pentágono determinam sempre um triângulo Seja n o número de partidas que o time venceu. Enisósceles. Portanto, o número de triângulos isóscetão, perdeu n 2 8 e empatou n 2 3 jogos. Portanto, les é igual ao número de formas pelas quais podennn 11 1 nnn 22 2 881 81 1 nnn 22 2 335 35 5 31 31 31  3  3n3nn 22 2 11 11 11 55 5 31 31 31  3 3n3nn 55 5 42 42 42   nn n 55 5 14 14 14 mos escolher três vértices do pentágono, ou seja,   n 514, isto é, o time venceu 14 partidas. 53 4 33 10 510 . 6

(

(

2

3

3n 5 42

ro divisível por 3, um deve ter resto 0, um deve ter resto 1 e um deve ter resto 2; logo, eles podem ser escolhidos de 4 maneiras (2 3 2 315 4 ) diferentes e, para cada escolha podemos ordenar os algarismos de 6 maneiras (3 3 2 315 6 ) diferentes. Logo, a quantidade de números nas condições dadas é igual a 24 (4 3 6 5 24).

)

)

4 Resposta: (D) 22 005 (22 11)  22 007 1 22 005  3 2 006 5 2 3 2 006 5 4 012  2 006 2 004  3 2 006 5 2 004 2 2 (2 11) 2 12  22 005 (22 11) 3 2 006 5 2 3 2 006 5 4 012 . A soma dos algarismos do nú22 004 (22 11) mero 4 012 é 7. 5 Resposta: (B) Os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9. Para que o número seja divisível por 3, a soma dos seus 3 algarismos deve ser múltiplo de 3. Os conjuntos de três algarismos nessas condições são {1, 3, 5}, {3, 5, 7}, {5, 7, 9} e {1, 5, 9}. Com cada um desses conjuntos podemos formar seis números diferentes. Por exemplo, para o primeiro, temos os números 135, 153, 315, 351, 513 e 531. Portanto, há 24 números (4 3 6 5 24 ). Outra solução: o resto da divisão dos algarismos ímpares por 3 é igual a 0 (no caso de 3 e 9) ou 1 (no caso de 1 e 7) ou 2 (no caso do 5). Para que a soma de três desses algarismos diferentes dê um núme-

(

)

8 Resposta: (E) Entre quatro números naturais consecutivos há sempre um múltiplo de 3 e um múltiplo de 4. O produto desses quatro números é múltiplo de 3, logo a soma de seus algarismos é divisível por 3 e, além disso, é múltiplo de 4, isto é, seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. O único número nessas condições é 1 680 (5 3 6 3 7 3 8 51 680 ).

89

9 Resposta: (A) O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro encontro é igual ao intervalo de tempo entre o primeiro encontro e o segundo encontro, no ponto de partida. Isso acontece porque, ao se inverterem as velocidades, a situação seria a mesma se cada um deles retornasse ao ponto de partida pelo caminho que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles chegarão no mesmo instante, ou seja, o tempo que um irá esperar pelo outro será igual a 0.

16 Resposta: (B)

11 Resposta: (C) Traçando retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo que o de um quadrado de lado 20 cm, ou seja, 80 cm.

18 Resposta: (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa 3 quadradinhos 3 da área do Tanda malha e sua área é, portanto, 16 3 gram, ou seja, 12 cm2 ? 64 512 . 16

A 15p 17 7 5 5 5p 1 , con3 3 3 cluímos que o resto da divisão de A por 3 é igual ao resto da divisão de 7 por 3, ou seja, 1. De forma análoga, o resto da divisão de A por 5 é o mesmo que o da divisão de 7 por 5, ou seja, é igual a 2. A soma desses restos é igual a 3 (1 1 2 5 3).

Seja A515p 17 . Como

17 Resposta: (C) Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o 10 Resposta: (C) ano em que nasceu é 1994 2 x; de forma análoga, o As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, totaano em que sua avó nasceu é 1994 2 2x. Assim, telizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas homos ((1994 19942 2xx))1 1((1994 19942 222xx))5 53844 3844    3988 39882 233xx5 53844 3844 33xx5 51 ras, os minutos podem ser 00, 02, 04, 06, 08, ..., 40, 42,         . Portanto, Neto  com1994 1994 1994 2 2 2 x x x 1 1 1 1994 1994 1994 2 2 2 2 2 2 x x x 5 5 5 3844 3844 3844 3988 3988 3988 2 2 2 3 3 3 x x x 5 5 5 3844 3844 3844 3 3 3 x x x 5 5 5 144 144 144 x x x 5 5 5 48 48 48 ((( ))) ((( ))) ..., 48 etc., num total de 15 possibilidades (3 3 5 515). ­pleta em 2006 a idade de 60 anos (2006 21994) 1 48 51 Portanto, o número de vezes em que o relógio exi2006 21994) 1 48 512 1 48 5 60 . ( be apenas algarismos pares é 105 (7 315 5105).

(

12 Resposta: (D) Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos vão de trem. Carlos não acompanha Dário e não anda de avião; logo, é companheiro de Tomás, que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro. 13 Resposta: (E) Seja n o número de quadradinhos para formar um lado de uma peça. Então, são necessários 4 ? (n 2 2) 1 4 5 4n 2 8 1 4 5 4n 2 4 quadradinhos para formar a peça inteira. Na última peça da 2445 540 40 nn5 511 11. Note que, decoração temos 44nn2 para contar o número de quadradinhos utilizados, basta observar que cada peça da esquerda se encaixa na da direita. Se encaixarmos todas, teremos um quadrado completo de lado igual a 11 quadradinhos. Portanto, o número de pastilhas utilizadas foi 121 (112 5121).

)

19 Resposta: (E) A palavra BRASIL tem 6 letras diferentes. Fixando a primeira letra à esquerda, restam 5 letras. O número de palavras que se obtém permutando essas 5 letras é 120 (5 3 4 3 3 3 2 315120 ). Portanto, após fixar à esquerda as letras A, B e I, teremos listado 360 palavras (3 3120 5 360 ). Obedecendo à ordem alfabética, a próxima letra a ser fixada é L; escrevendo as demais letras em ordem alfabética, teremos a palavra LABIRS.

14 Resposta: (C) O tabuleiro contém 95 3 95 5 9 025 casas. Nas linhas ímpares, a sequência é crescente, e nas linhas pares, é decrescente. Portanto, na 95a linha, a última casa da direita apresenta o maior múltiplo de 4 no tabuleiro, ou seja, Sara escreveu na casa U o número 36 100 (9 025 3 4 5 36 100 ).

20 Resposta: (A) 15 Resposta: (C) Supondo que x seja o número de horas por dia, Como os quadrados pequenos dividem o maior em então x também é o número de dias por semaquatro quadriláteros congruentes, a área pintada é na, o número de semanas por mês e o número de igual à soma das áreas dos dois quadrados menomeses por ano. Logo, o número de horas por ano res, ou seja, 800. Como a área pintada do quadrado 44 é xx??xx??xx??xx5 5xx445 544096 096 xx445 5221212 xx445 5((2233)) xx5 522335 588 maior é igual à sua área não pintada, concluímos 4 4 4 12 4 3 3 x ? x ? x 5 xmaior 5 4 096 2 dax 5 (2 ) x 5 2 5 8. Portanto, o número de semanas por que a área dox ?quadrado é igualx a572% mês é 8. área total pintada, ou seja, 576 ( 0, 72 3 800 5 576 ).

90

SEGUNDA FASE – parte A ••••••

SEGUNDA FASE – parte B ••••••

1 Resposta: a) Há 900 números ( 999 2100 115 900) de três al2 2 2 2 2 1 2 1 3 1  1 2 004 1 2 005 5 2 1 2 1 2 1  1 2 1 2 5 2 005 ?garismos 2 5 4 010 escritos em cartões amarelos, e 9 000  2 2 2 2 2 2 005 parcelas iguais números (9 999 21000 115 9 000) de quatro al22 005 22 006 1  1 2 004 1 2 005 5 2 1 2 1 2 1  1 2 1 2 5 2 005 ? 2 5 4 010 . A soma garismos escritos em cartões azuis. Ao todo, foram  2 2 2 005 parcelas iguais utilizados 9 900 cartões (900 1 9 000 5 9 900 ). dos algarismos desse número é 5 ( 4 1 0 111 0 5 5). b) Como existe a possibilidade de serem retirados todos os cartões amarelos antes de aparecer algum azul, para Jade ter certeza de que há dois 2 Resposta: cartões azuis entre os retirados ela deverá retirar Como 20% da massa total dessa pessoa correspon902 cartões ( 900 1 2 5 902). dem à massa de gordura, ela tem 20% ? 100 5 20 kg de gordura. Ela perdeu 40% da sua gordura, ou seja, 2 Resposta: perdeu 40% ? 20 5 8 kg de gordura. Como ela manteve os demais índices, no final do regime ela pesaComo cada quadradinho tem 1 cm2 de área, o lado va 92 kg (100 2 8 5 92). de cada um mede 1 cm. 1 Resposta: 2

3

4

2 005

2 006

3 Resposta: A soma dos algarismos dos números de dois algarismos varia de 1 a 18. Dessas somas, as que são quadrados perfeitos são 1, 4, 9 e 16. Temos, então: • Soma 1: número 10 • Soma 4: números 13, 22, 31 e 40 • Soma 9: números 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 e 90 • Soma 16: números 79, 88 e 97 Portanto, nas condições propostas, há 17 números.

4 Resposta: A quantidade inicial de algarismos é 189 a) Há 20 quadradinhos pintados de cinza. Logo, (9 1 2 3 90 5189 ), dos quais 94 aparecem nas poa área da figura formada é 20 cm2 (20 ? 1 cm2 5 20 cm2 sições pares e 95 nas posições ímpares. Apagados 2 2 os algarismos que aparecem nas posições pares, 20 ? 1 cm 5 20 cm ) e como há 8 segmentos verticais à esquerda e 8 à direita além de 9 segmentos hosobram 95 algarismos; desses, 47 estão nas posirizontais pela parte de cima e 9 pela debaixo, o ções pares e 48 nas posições ímpares. Repetindo a perímetro, que é a soma das medidas de todos operação, restam 48 algarismos, sendo 24 algarisos lados, é 34 cm (2 ? 8 1 2 ? 9 516 118 5 34). mos em posições pares e 24 em posições ímpares. b) O quadriculado inteiro é um retângulo de lados Na terceira aplicação da operação restam 12 alga8 cm e 9 cm, e, portanto, de perímetro 34  cm rismos e, na quarta, sobram 6 algarismos. (2 ? 8 1 2 ? 9 516 118 5 34). Deste modo, o valor máximo da área que podemos obter é quando 5 Resposta: a figura for igual a todo o quadriculado e, assim, 2 Como a área da folha é 300 cm , cada quadrado a área será 72 cm2 (8 ? 9 5 72). 300 destacado tem área 25 cm2  5 25 e, portanto, 12 lado medindo 5 cm. Logo, o volume desse cubo é 3 Resposta: 125 cm3 (53 5125). a) Ela escreveu em cada uma das 9 primeiras linhas, na seguinte ordem, 1, 11, 21, 1 112, 3 112, 211 213, 312 213, 212 223 e 114 213. Logo, na 10a linha ela 6 Resposta: escreveu 31 121 314. A soma dos 27 números escritos 1 5 9 Y b) Esmeralda escreveu em cada uma das primeiras na tabela é igual a 3 vezes o X e a 2 6 7 Y linhas, na seguinte ordem, 01, 1 011, 1 031, 102 113, 9 vezes o Y. Como X é a soma dos 3 4 8 Y 10 311 213, 10 411 223, 1 031 221 314, 1 041 222 314, números de cada coluna, temos 4 9 2 Y 1 031 321 324, 1 031 223 314, 1 031 223 314, ..., e X 511 2 1 3 1 1 9 5 45. Por­tan­ 5 7 3 Y a per­ c ebeu que, a partir da 10 linha, o número to: 3 ? (11 2 1 3 1 1 9) 5 9 ? Y 3 ? 45 6 589 ? Y1 Y Y 515 1 031 223 314  começa a se repetir. 7 2 6 Y 1 3 1 1 9) 5 9 ? Y  3 ? 45 5 9 ? Y Y 515 . Portanto, os dois primeiros algarismos da es­ Logo, X 1 Y 5 45 115 5 60. O dese- 8 3 4 Y 9 1 5 Y querda do número que ela digitou na 2 006a linho ao lado mostra uma forma de X X X nha serão 1 e 0. escrever os números na tabela.

(

)

91



7 Resposta: (C) Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o ano em que nasceu é 1994 2 x; de forma análoga, o ano em que sua avó nasceu é 1994 2 2x. Assim, temos: (1 994 2 x) 1 (1 994 2 2x) 5 3 844   3 988 2 3x 5 3 844 1 Resposta: (D) 994 9942 2 2xx)x)1 1 1(1((11994 994 9942 2 2222xx)x)5 5 5333844 844 844 33 3988 988 9882 2 2333xxx5 5 5333844 844 844   3 33xxx5 5 5144 144 144   xxx5 5 548 48 48 (21005 ((11994 ) ) 2 (22 11)  22 007 1 22 005  Portanto, Neto completa em 2006 a idade de 3 2 006 5 2 3 2 006 5 4 012  2 006 2 004  3 2 006 5 2 004 2 60 anos   (2006 21994) 1 48 512 1 48 5 60 . 2 (2 11) 2 12 

Nível 2 (7o.   e 8o.   anos) PRIMEIRA FASE ••••••

22 005 (22 11) 3 2 006 5 2 3 2 006 5 4 012. A soma dos algarismos do nú22 004 (22 11) mero 4 012 é 7.

5 4b

2 Resposta: (C) Traçando retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo que o de um quadrado de lado 20 cm, ou seja, 80 cm.

3 Resposta: (C) 10 10aa1 1bb5 555((aa1 1bb)) a 5 4, b 5 5 54 5 6 3 9

8 Resposta: (A) Trace retas horizontais pelos vértices mais baixos dos três quadrados:

75º

90°

55aa5 544bb

30º

aa5 544,, bb5 555

54 545 5663 399

4 Resposta: (A) O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro encontro é igual ao intervalo de tempo entre o primeiro encontro e o segundo encontro, no ponto de partida. Isso acontece porque, ao se inverterem as velocidades, a situação seria a mesma se cada um deles retornasse ao ponto de partida pelo caminho que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles chegarão no mesmo instante, ou seja, o tempo que um irá esperar pelo outro será igual a 0.

xx

126º

Então, os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da esquerda são 60o e 30o, respectivamente; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado do meio são, respectivamente, 180o 2 126o 2 30o 5 24o e 90o 2 24o 5 66o; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da direita são, respectivamente, 180o 2 75o 2 66o 5 39o e 90o 2 39o 5 51o. Enfim, no triângulo retângulo com um dos ângulos igual a x, temos x 5 90o 2 51o 5 39o.

9 Resposta: (B) O número 24 5 23 3 3 tem somente dois divisores cubos perfeitos: 1 e 8. Assim, se é possível representar 24 na forma a2b3, então b 5 1 ou b 5 2 e, portanto, a2 5 24 ou a2 5 3, o que é impossível. Além disso, na alternativa A podemos tomar a 5 3 e b 5 2; na alternativa C, podemos tomar a 5 24 e b 5 c 5 1; na alternativa D, podemos tomar a 5 3, b 5 1 e c 5 2; e na alternativa E, podemos tomar a 5 2, b 5 3 e c 5 1.

5 Resposta: (C) A 30

10 Resposta: (D) E x

B

D

C

o o o o o o         ADE ADE ADE 11 x5 x5 3030 1 1ABD ABD ADE 5 5AED AED 55 3030 11 ABD ABD 22 x5 x5 x1 x1 ACD ACD x 5 x5 1515 o o  ADE ADE55 AED AED530 530 11 ABD ABD22xx55xx11 ACD ACD   xx5515 15

11)

oo

6 Resposta: (A) (veja as figuras acima) Sejam n 2 1, n e n 1 1 os três números inteiros conContagem: secutivos. Temos: 9 quadradinhos 1 3 1 2 2 2 2 3 2, mas cada um deles tem um ins((nn2 211))1 1nn1 1((nn1 111))5 5((nn2 211))??nn??((nn1 111))   33nn5 5nn((nn 2 211))  nn 2 2115 5334 quadrados nn22 5 544 nn252 52 22 2 2 2 2 crito, então o total é 4 3 2 5 8. 3n 5 n(n 21)  n 215 3    n 5 4     n 52 1 quadrado 3 3 3, mas com 2 quadrados inscritos, Portanto, os números são 1, 2 e 3, e a soma dos então o total é 3. quadrados dos três números consecutivos é 14 Total: 9 1 8 1 3 5 20 (12 1 22 1 32 514).

92

11 Resposta: (D) Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos vão de trem. Carlos não acompanha Dário e não anda de avião; logo, é companheiro de Tomás, que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro.

16 Resposta: (C) Vamos contar primeiro quantos números desse tipo existem: 2 com 1 dígito 22 com 2 dígitos 23 com 3 dígitos Cada número desejado pode ser pareado com outro trocando os dígitos 2 por 1 (e vice-versa). Por exemplo, 122 e 211. A soma dos números em cada par é algo do tipo: 33 ... 3. Assim, a soma total é:

12 Resposta: (C) a2 3 2 4 R5 5 , pois o lado do hexágono é me­ 3 6a2 3 16 tade do lado do triângulo. Existe uma maneira bem geométrica de resolver, basta observar a figura!

2 22 23 3 3 1 3 33 1 3 333 51 401 2 2 2 17 Resposta: (B) Pela desigualdade triangular, os números reais a, b e c são medidas dos lados de um triângulo se, e somente se:   1 1 1 c  cc  a1ab1a. 1. 2 b cb . c c  1212 c1. c. cc . c c   2 2 2      1 11     b.c1. 2 a  b1 bc1 ac . a   a   1212 a1. a. aa . a a    a a    c 1 a . b    12 b . b    2 2 2 c 1 c a 1 . a . b b 1 2 1 b 2 . b . b b       1 11 b b  b 2 2 2 18 Resposta: (C) Devemos ter c(c 1 1) 5 30, então c 5 5. Para a 1 b 5 25, temos 24 soluções diferentes para o par (a, b). Daí, a resposta correta seria 24.

13 Resposta: (E) Sabemos que n3 2n é divisível por 6 para todo n 51, 2, 3, ..., e esse é o máximo divisor comum porque 23 2 2 5 6.

19 Resposta: (B) 1o) Existem 9 3 8 números de dois dígitos distintos, exatamente metade deles é bonito, e a outra metade não é. Logo, existem 36 números boni8 tos 9 3 5 36 . 2 2o) Existem 8 números bonitos que terminam em 1, 7 que terminam em 2, ..., 1 que termina em 8. Logo, existem 36 números bonitos: 8 1 7 1 ... 1  1 1 5 36

14 Resposta: (C) Seja H o número de filhos homens e M o número de filhas mulheres. As afirmações são equivalentes a H 2 1 5 M 1 3 e H 5 2(M 2 1). Resolvendo o sis­ tema, temos: M 5 6 e H 5 10; logo, a quantidade de filhos é 16.

(

15 Resposta: (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região sombreada ocupa 3 quadradinhos da 3 malha e sua área é, portanto, da área do Tan16 3 gram, ou seja, 12 cm2  ? 64 5 12 . 16

(

)

20 Resposta: (C) A soma de todas as notas é 400 (71 1 76 1 80 1  1 82 1 91 5 400). A média de k números é inteira quando a soma dos k números é divisível por k. Assim, como 400 é divisível por 4, e a soma das quatro primeiras notas deve ser divisível por 4, o último número a ser digitado é múltiplo de 4, ou seja, é 76 ou 80. Se o último número é 76, a soma dos outros quatro números é 324 (400 2 76 5 324), que é múltiplo de 3. Seguindo um raciocínio análogo ao anterior, obtemos o penúltimo número a ser digitado, que é múltiplo de 3. Mas nenhum dos cinco números é múltiplo de 3. Absurdo. Logo, o último número é 80 (de fato, podem ocorrer as “ordens de digitação” 76, 82, 91, 71, 80 e 82, 76, 91, 71, 80).

)

93

21 Resposta: (C) Multiplicamos primeiro os dois últimos radicais:

2 Resposta: Podemos representar os três inteiros consecutivos por n 21, n e n 11 . Temos: (n 2 1)2 1 n2 1 (n 1 1)2 5  5 302   n2 2 2n 1 1 1 n2 1 n2 1 2n 1 1 5 302      3n2 1 2 5 302    3n2 5 300     n2 5 100       n 5 210  ou  n 5 10 Portanto, os três inteiros consecutivos são: 211, 210 e 29 ou 9, 10 e 11. Se admitirmos que estamos falando de inteiros positivos, a resposta é 30 (9 110 1115 30 ). Rigorosamente falando, a resposta deveria ser: se os inteiros são positivos, então sua soma é 30 e, se os inteiros são negativos, então sua soma é 230.

21 21 21 3 ? 22 21 21 3 Obtemos :

22 21 3

Agora, multiplicamos o fator encontrado pelo segundo fator da expressão: 22 21 3 ? 21 21 3 E obtemos: 2 2 3 Finalmente, multiplicamos esse resultado pelo primeiro fator da expressão:

3 Resposta: Observe que os triângulos AXY e ANM são congruentes, e YXA 5 AMN. Assim, XY  MN e como XY 5  5 MN 5 MC 5 NB, segue que os quadriláteros XYCM e XYNB são paralelogramos. Como A é ponto médio de XM e NY, temos:

22 3 ? 21 3 5 1 22 Resposta: (E) 2 a 9 2 8 números 2 8 algarismos 10 2 99 2 90 números 2 180 algarismos Ainda restam 1 818 algarismos e, portanto, ainda conseguimos formar 606 números de 3 algarismos. Assim, o livro de Ludmilson tem 705 páginas (9 1 90 1 606 5 705).

2  [AYC] 5 [BAX] 5   ? 12 5 8 3

23 Resposta: (D) Se x 1 y 1 z 50, então x3 1 y3 1 z3 5 3xyz . Por outro lado:  1 1 1  x3 1 y3 1 z3 3xyz 3 5 3 3 35 2 2 2  3 3 1 3 3 1 3 3 5 xz yz  x3y3z3 xyz xyz x y

8 Logo:  [XYCB] 5   ? 12 5 32 3

25 Resposta: (D)

Portanto:

DAB  GAF, LAL

N M A

B

X Y

4 Resposta: Cada retângulo da decomposição possui um número par de casas, pois possui a mesma quantidade de casas brancas e pretas. Veja que a maior quantidade de números pares distintos tais que a soma não supera 64 é: 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 5 56, pois 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 1 16 5 72, ou seja, a soma de 8 números pares distintos é sempre maior que 64. Portanto, a decomposição pode ter, no máximo, 7 retângulos. Veja abaixo uma decomposição com 7 retângulos.

24 Resposta: (C) As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, totalizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas horas, os minutos podem ser 00, 02, 04, 06, 08, ..., 40, 42, ..., 48 etc., num total de 15 possibilidades (3 3 5 5  5 15). Portanto, o número de vezes em que o relógio exibe apenas algarismos pares é 105 (7 315 5105).

 AG 1 5  AD 2   AF 1 5  AB 2  o  DAB 5 60 1GAB 5GAF

C

com razão de semelhança 2

BD 52 FG

SEGUNDA FASE – parte A •••••• 1 Resposta: Os números da coluna do meio podem ser dados por: 1 1 2 1 4 1 6 1 8 1...1 2n 5 n2 1 n 1 1. Dessa forma, o número do topo é: 442 1 44 1 1 5 1981. Como 1 981 está no 45o andar, e 2 006 2 1 981 5 25, 2 006 deve estar no 20o andar.

94

5 Resposta: Fazendo as primeiras transformações, obtemos a seguinte sequência: (1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 2, 21)  (0, 23, 3) (0, 6, 26)   ... Primeiramente, vemos que a partir da quarta terna, o primeiro vai ser sempre igual a 0 (zero). Então, a partir desta terna, as transformações são do tipo: (0, b, c) (0, 2b 1 c, b 2 c). Logo, a partir da quarta terna ordenada da sequência, a soma dos termos de todas as ternas será igual a 0       0 2 b 1 c 1 b 2 c 5 0. Logo, a soma dos três termos da terna que ocupará a 2 006a posição nesta sequência é igual a 0 (zero).

2 Resposta:

B

I

Q

H C M Como o triângulo é isósceles, concluímos que: CBM 5 ABM e ACB 5 90o 2 a Com isso, CAQ 5 a, pois AQ é uma altura. Como AI é bissetriz, então CAI 5 IAB 5 2a. Finalmente, no AMB: a 1 a 1 2a 1 a 5 90o a 5 18o A

SEGUNDA FASE – parte B ••••••

3 Resposta: a) Subtraindo as duas equações dadas, temos: a2 2b2 5 6(b 2 a), ou seja, (a 2b)(a 1b 1 6) 5 0. Como a  b , temos a 1b 526 . b) Da parte a, elevando ao quadrado, a2 1b2 1 2ab 5 36 2 a 1b2 1 2ab 5 36 . Mas, somando as equações dadas, temos: a2 1b2 5 6(a1b) 110ab 5236 110ab. Portanto: 236 1 2ab 110ab 5 36 , o que dá ab56.

1 Resposta: Vamos usar a notação: S par 5 soma de todas as casas de numeração par; S ímpar 5 soma de todas as casas de numeração ímpar. a) Para este caso, temos: S par 5 56 (2 1 4 1 6 1 8 1  1 10 1 12 1 14 5 56) e S ímpar 5 64 (1 1 3 1 5 1  1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 5 64). Como a diferença entre as somas é par, e S ímpar . S par, há a necessidade de retirar pelo menos duas casas do lado ímpar como, por exemplo, as casas de numeração 7 e 1. Aí, teremos S par 5 S ímpar 5 56. Assim, o prefeito deve derrubar pelo menos 2 casas. b) Para este caso, temos: S par 5 72 (2 1 4 1 6 1  1 8 1 10 1 12 1 14 116 5 72) e S ímpar 5 64 (1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 115 5 64). Como a diferença entre as somas é par, e S par . S ímpar, pode-se retirar apenas uma casa do lado par: a casa de numeração 8. Então, teremos S par 5 S ímpar 5 64. Assim, o prefeito deve derrubar 1 casa. c) Para este caso, temos: S par 5 2 1 4 1 6 1 8 1  1 10 1 ... 1 2 006 e S ímpar 5 1 1 3 1 5 1 ... 1  1 2005. Assim, temos S par 2 S ímpar 5 1 003 (2 2 1) 1 (4 2 3) 1 ... 1 (2 006 2 2 005) 5  5 1 003. Como 1 003 é ímpar, uma única casa não é suficiente, mas retirar as casas de numeração 1 006 e 3 basta para que S par 5 S ímpar. Assim, o número mínimo de casas que o prefeito deve derrubar é 2 casas.

4 Resposta: Quando trocamos um inteiro positivo pela soma de seus algarismos, não alteramos o resto da divisão por 9. Isso é explicado pela decomposição do inteiro na forma: abcd 5 1 000a 1 100b 1 10c 1 d 5 999a 1 99b 1  1 9c 1 a 1 b 1 c 1 d Daí,  temos: abcd 2 ( a 1 b 1 c 1 d ) 5 999a 1 99b 1 9c 5  5 9(111a 1 11b 1 c) Logo, abcd e a 1 b 1 c 1 d deixam o mesmo resto na divisão por 9. Como todos os números que restaram no quadro estão entre 0 e 9, inclusive, todos os números 1 restantes no quadro são originados a partir de números que deixam resto 1 na divisão por 9 (1, 10, 19, 28, 37, ..., 1 999). Da mesma forma, todos os números 2 restantes no quadro são originados a partir de números que deixam resto 2 na divisão por 9 (2, 11, 20, 29, 38, ..., 2 000). Comparando, vemos que cada um dos números 1 e 2 aparece 223 vezes no quadro. Portanto, ambos os números (1 e 2) aparecem o mesmo número de vezes.

95

XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2005 RESOLUÇÕES 6 Resposta: (B) O voo 7 000 000 de quilômetros de 1 abelha é equivalente ao voo de 1 000 quilômetros de 7 000 abelhas iguais a ela. Multiplicando por 10 o número de galões, podemos multiplicar por 10 o número de abelhas, ou seja, 70 000 abelhas.

Nível 1 (5o.   e 6o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR – RS – RN – SC 1

2

3

7 Resposta: (E) Seja p a população de Tucupira há três anos. Atualmente, Tucupira tem p 1 50% de p 5p 1 0, 5p 51, 5p, população igual à atual de Pirajussaraí. Temos: Resposta: (A) 1, 5p 11, 5p 5 9 000 ⇔ 3p 5 9 000 ⇔ p 5 3 000 Como 119 268 916 é divisível por 13, já que Há três anos, a soma das populações das duas ci9 174 532 313 5119 268 916 , podemos concluir dades era de 7 500 pessoas: 1, 5p 1 p 51, 5 3 3 000 1 3 000 5 4 500 que os números da forma 119 268 9161, 51p 1 x ,ppara 51, 5 3 3 000 1 3 000 5 4 500 1 3 000 57 500. x inteiro, são divisíveis por 13 se, e somente se, x é divisível por 13. 8 Resposta: (A) Dentre os números apresentados, o número 1 100 000 1 10 Como de 100 000 5 5 20 000 e de 100 000 5 119 268 916 1 (213) 5 119 268 903 é o único di5 5 4 visível por 13. 1 de 100 000 5 100 000 5 20 000 e 1 de 100 000 5 100 000 5 25 000, concluímos que a 5 5 4 4 perda da safra está avaliada entre R$  20 000,00 e Resposta: (E) R$ 25 000,00. Logo, um possível valor para a perda Quando são retiradas três meias, uma das seguintes é R$ 21 987,53. situações irá ocorrer: (i) as três meias são vermelhas, ou (ii) duas são vermelhas e uma é branca, ou (iii) 9 Resposta: (D) uma é vermelha e duas são brancas, já que não haEm 600 números inteiros consecutivos positivos, via meias pretas entre as retiradas. Portanto, pelo 600 há 200 múltiplos de 3 5 200 e 150 múltiplos menos uma meia é vermelha. 3 600 de 4 5150 ; entretanto, alguns desses núme4 Resposta: (A) ros aparecem duas vezes nessa contagem, pois são A mistura final tem 0,2 litro de polpa e 31 0,8 5 3,8 múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos litros de água. A porcentagem de polpa em relação 600 5 50 , de 12. Como há 50 desses múltiplos 0, 2 2 12 ao volume da mistura é 5% 5 5 0, 05 5 5% . concluímos que o número de páginas com defeito 4 40 é 300 (200 1 150 2 50 5 300). Resposta: (E) Arnaldo: 10 Resposta: (E) 1 bilhão 5 1000 000 31000 000 51000 000 000 000 . A partir da figura, vemos que o comprimento a dos retângulos menores é o dobro da sua largura b. TeProfessor Piraldo: mos, então: 1 bilhão 5 1 000 × 1 000 000 51 000 000 000 . a 1b 5b 1 2b 5 3b 5 21, ou seja, b 5 7 cm e a 514 cm. A diferença é 999 000 000 000 Portanto, o comprimento do retângulo maior é 1 000 000 000 000 21 000 000 000 5999 000 000 000. 4b 5 28 e sua área é 588 cm2 (213 28 5 588 ).

(

(

4

)

(

)

(

)

11 Resposta: (A) 5 Resposta: (B) Olhando o relógio do profesSeja x o primeiro termo. Como o segundo termo é 1, sor diretamente, vemos que o terceiro termo é x11, o quarto é 11 (x11) 5 x 1 2 . 2h23min, acorComo o quinto termo é 2 005: (x 11) 1 (x 1 2) 5 2x 1 3 5 2 005ele ⇔ 2marca x 5 2 002 ⇔ x 51de 001 do com a figura (1). Com a x 11) 1 (x 1 2) 5 2x 1 3 5 2 005 ⇔ 2x 5 2 002 ⇔ x 51 001 . reflexão no espelho, o relógio Logo, o sexto termo é 3 008 ?1 0011 5 5 3 008 (x 1 2) 1 (2x 1 3) 53x 1 553aparecerá como na figura (2). . x 1 2 1 2 x 1 3 5 3 x 1 5 5 3 ? 1 001 1 5 5 3 008 ( ) ( )

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(1)

)

(2)

12 Resposta: (C) Traçando paralelas aos lados, podemos dividir a placa em quadrados de 1 metro de lado, conforme indicado na figura. Então, a área pintada é igual a 12 metades desses quadrados, ou seja, ela equivale a 6 desses quadrados. Como a placa total tem 16 desses quadrados, concluímos que a fração da área 6 3 pintada em relação à área da placa é: 5 . 16 8

17 Resposta: (D) Na primeira balança, temos 3 triângulos 1 1 círculo 5 6 quadrados. Na segunda, vemos 2 triângulos 1 4 cír­culos 5 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo 1 2 círculos 5 4 quadrados. Logo, 4 triângulos 1 3 círculos 5 (3 triângulos 1 1 1 círculo) 1 (1 triângulo 1 2 círculos) 5 6 quadrados 1 4 quadrados 5 10 quadrados.

14 Resposta: (B) Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos internos medem 60º. No triângulo AGD: m(GÂD) 5180° 2 75° 2 60° 5 45° e ˆ ) 5180° 2 65° 2 60° 55 m(GDA 55° ˆ 5180° 2 45° 2 55° 5 80° e no triPortanto, m(AGD) ângulo CGH: x 1 80° 1 60° 5180° ⇔ x 5 40°

19 Resposta: (C) Como 365 dividido por 7 dá quociente 52 e resto 1, e 366 dividido por 7 dá o mesmo quociente e resto 2, em um ano, bissexto ou não, há no máximo 53 domingos. Um mês tem entre 28 5 4 ? 7 e 315 4 ? 7 1 3 dias, então todo mês tem 4 ou 5 domingos. Como 53 dividido por 12 dá quociente 4 e resto 5, há no máximo 5 meses com 5 domingos. Um exemplo de ano com cinco meses com cinco domingos é um ano iniciado no domingo.

18 Resposta: (D) Os inteiros de dois algarismos formam a sequência: 10, ..., 15, (16), 17, ..., 24, (25), ..., (36) ..., ( 49), . .. (64), ... (81), 82, ..., 9 10, ..., 15, (16), 17, ..., 24, (25), ..., (36) ..., ( 49), . .. (64), ... (81), 82, ..., 99 em que os números entre parênteses são quadrados perfeitos. O espaçamento entre esses quadrados é crescente: de 16 a 25 há 10 números, de 25 a 36 há 12 números, de 36 a 49 há 14 números etc. Portanto, o único conjunto de 10 números dessa sequência contendo dois quadrados perfeitos é 16, 17, ..., 25. Note que, se começarmos antes de 16, a sequência de dez números terminará antes do 25, e se começarmos depois do 13 Resposta: (B) 16, a sequência de dez números conterá somente A transparência é igual a 0,7 3 0,9 5 0,63. Logo, a reum quadrado perfeito. A soma dos extremos desse dução da radiação é 37% (1 2 0,63 5 0,37 5 37%). conjunto é 41 (16 1 25 5 41).

20 Resposta: (C) Observe que as cinco casas marcadas com * devem ter cores diferentes: *

* *

*

15 Resposta: (B) Para fazer uma peça, são necessários 45 centímetros (3 310 1 3 3 5 5 45) de arame. Como 20 metros 5 5 2 000 centímetros, e 2 000 dividido por 45 dá quociente 44 e resto 20, o serralheiro irá fazer 44 peças completas, ficando com uma sobra de 20 centímetros, o que lhe possibilitará fazer as duas primeiras partes de uma peça, na forma

*

Sendo 1, 2, 3, 4 e 5 cores distintas, uma possível coloração é: 2 4 5

4 1 2

3 2 4

.

SEGUNDA FASE 2 parte A ••••••

16 Resposta: (B) Nas condições dadas, a distribuição dos números pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos números escritos é 46.

1 Resposta: O tanque contém uma mistura de 30 litros, sendo 6 litros (0, 2 3 30 5 6) de álcool e 24 litros (30 2 6 5 5 24) de gasolina. Portanto, para que as quantidades de gasolina e álcool fiquem iguais, devem ser colocados no tanque 18 litros (24 2 6 5 18) de álcool.

97

2 Resposta: Como 2 é a média aritmética de 1 e a, podemos 11 a 5 2, logo 1 1 a 5 4 ⇔ a 5 3 ; por2 11 3 1 2 1 2 11 2 1 3 tanto, b 5 5 2; 5 2; c 5 4 3 11 3 1 2 1 2 1 2 d5 5 2. Esses exemplos suge5 rem que todos os termos, a partir do terceiro, são iguais a 2. De fato, quando introduzimos em uma sequência um termo igual à média de todos os termos da sequência, a média da nova sequência é a mesma que a da sequência anterior. Assim, o último termo da sequência dada é 2. escrever

a c b

(ab) ? (ac) ? (bc) 5 600 ? 1 200 ? 800 ⇔ ⇔ a2 ? b2 ? c2 5 2 ? 3 ? 102 ? 22 ? 3 ? 102 ? 23 ? 102 ⇔ ⇔ (abc) 5 26 ? 32 ? 106 ⇔ abc5 26 ? 32 ? 106 ⇔ 2

⇔ abc 523 ? 3 ? 103 5 24 ? 1 000 cm3 Como 1 litro é igual a 1 000 cm3, concluímos que o volume da caixa é 24 litros.

3 Resposta: Natasha pulou os números 13, 31, 113, 130, 131, 132, ..., 139, num total de 13 números. Portanto, na última página do seu diário escreveu o número 214 (200 1 1 13 1 1 5 214).

SEGUNDA FASE 2 parte B ••••••

1 Resposta: 4 Resposta: 1a maneira: O quadrado IJKL e o quadrado MNOP Olhando para o último número da fila n, vemos têm como lados as hipotenusas dos triângulos reque ele é a soma de todos os números de 1 a n. Por tângulos dados, logo, têm a mesma área s. Fazendo exemplo, na fila 4, o último número da fila é 10 (1 1 os dois quadrados coincidirem, concluímos que o 1 2 1 3 1 4 5 10). Note que, para obter a quantidobro da soma t das áreas dos quatro triângulos redade de números até certa fila, basta somar o nútângulos é a diferença entre as áreas dos quadrados mero da fila ao total de números que havia antes IJKL e EFGH, ou seja, 2t 5 92 2 32 ⇔ 2t 572 ⇔ t 5 36. dessa fila. Assim, temos, fila 5: 15, fila 6: 21, fila 7: 28, Assim, s 5 45 cm2 (9 1 36 5 81 2 36 5 45). fila 8: 36, fila 9: 45, fila 10: 55, fila 11: 66, fila 12: 78, fila 2a maneira: No quadrado IJKL, seja JC 5 x. Então 13: 91, fila 14: 105. IC 5 ID 1 DC 5 JC 1 DC 5 x 1 3. Então, no O número de fitas adesivas horizontais entre uma quadrado EFGH, temos HN 1 NG 5 x 1 3 1 x 5 9 ⇔ 2x 5 6 ⇔ x 5 3 fila n 2 1 e uma fila n é igual a n 2 1, e o número de HN 1 NG 5 x 1 3 1 x 5 9 ⇔ 2x 5 6 ⇔ x 5 3. Portanto, a área do quadrado IJKL, fitas adesivas verticais numa fila n é igual n 2 1. Porigual à soma das áreas dos quatro triângulos retanto, até a fila número 14, o número de fitas é 182: tângulos com a área do quadrado ABCD, vale 45: 13 ? 14 (11 2 1 ... 113) 1 (11 2 1 ... 113) 5 2 ? 2 5 182 3 ? (3 1 3) 4? 1 32 5 36 1 9 5 45, e a área do quadra2 5 Resposta: do MNOP, igual à diferença entre a área do quadraTodas as faces azuis: uma maneira. do EFGH e a soma das áreas dos quatro triângulos Cinco faces azuis e uma amarela: uma maneira. retângulos, vale 45 cm2: Quatro faces azuis e duas amarelas: duas maneiras 3 ? (3 1 3) 92 2 4 ? 5 812 36 5 45. (duas faces amarelas opostas ou duas faces amare2 las adjacentes). 2 Resposta: Três faces azuis e três faces amarelas: duas maneiras Seja n 5 abc múltiplo de 11; então n 2 1 deve ser (três azuis com um vértice comum 2 uma maneira múltiplo de 9 e n 2 2 deve ser múltiplo de 7. ou três azuis com uma aresta comum duas a duas Seja c  0: 2 uma maneira). Como abc é múltiplo de 11, podemos ter Duas faces azuis e quatro amarelas: duas maneiras. a 2 b 1 c 5 0 ou a 2 b 1 c 5 11. Como abc 2 1 Uma face azul e cinco amarelas: uma maneira. é múlti plo de 9, podemos ter a 1b 1 c 215 9 ou a1b 1 c 2151 Todas as faces amarelas: uma maneira. a 1 b 1 c 2 1 5 9 ou a 1 b 1 c 2 1 5 18. No caso de a 1 b 1 c 215 0, teríaPortanto, o número de maneiras diferentes de pinmos n 2 1 5 99 ⇔ n 5100, que não é múltiplo de 11. tar o cubo é 10. Assim, simultaneamente, somente podemos ter: 6 Resposta: a 1b 1 c 510 2b 510 b 55 Sejam a, b e c as medidas da caixa, conforme indica(i) ⇔ ⇔ a 1 c 5 b a 1 c 5 b a1 c 55 do no desenho a seguir. Segundo o enunciado, podemos escrever ab 5 600, ou ac 5 1 200 e bc 5 800. Sabemos que o volume da a 1b 1 c 519 2b 111519 b54 caixa é abc. Utilizando as propriedades das igualda(ii) ⇔ ⇔ a 1 c 5 b 1 11 a 1 c 5 b 1 11 a 1 c 515 des e de potências, podemos escrever:

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{

{

{

{

{

{

No caso (i), existem as seguintes possibilidades para n: 154, 253, 352, 451, que são múltiplos de 11; para n 2 1, temos os números 153, 252, 351, 450 e 549, que são múltiplos de 9. Para os números n 2 2, temos 152, 251, 350, 449 e 548, dos quais apenas 350 é múltiplo de 7. No caso (ii) existem as seguintes possibilidades para n: 649, 748, 847 e 946, que são múltiplos de 11; para n 2 1, temos os números 648, 747, 846 e 945, que são múltiplos de 9. Para os números n 2 2, temos 647, 746, 845 e 944, dos quais nenhum é múltiplo de 7. Seja c 5 0: Neste caso, n 2 1 tem os algarismos a, b, 21 e 9. Assim, a 1b 211 9 5 9 ou a 1b 211 9 518, ou seja: a 1b 51 ou a 1b 510. Como a2b 1 c 5 a2b 5 0 ou a 2b 1 c 5 a 2b 5 11, concluímos que a 5 b. Assim, a 5 b 5 5, o que fornece os números n 5 550, n 21 5 549 e n 2 2 5 548, que não é divisível por 7. Portanto, a única sequência de três números inteiros consecutivos nas condições dadas é 350, 351 e 352.

ao  lado. O número de vezes em que aparece o número 1 é ímpar, logo, a sequência deveria começar com 1 e terminar com outro número ou começar com outro número e terminar com 1. Nesse caso, os outros dois números deveriam aparecer um número par de vezes, pois não estariam na ponta, mas isso não ocorre: todos os quatro números aparecem um número ímpar de vezes.

Nível 2 (7o.   e 8o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AM 2 AL 2 BA 2 PA 2 PB 2 PI 2 PR2 RS 2 RN 2 SC 1 Resposta: (D) Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo, quem levar 4 unidades paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três.

3 Respostas: 1a maneira: a) Podemos representar uma sequência válida como uma sequência de pares ordenados. O primeiro exemplo é a sequência [(1, 1),(1, 2), (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1)] e, a partir dela, podemos criar outras sequências válidas movendo o par da esquerda para a direita (ou da direita para a esquerda). Assim, são válidas as sequências [(1, 2), (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1),(1, 1)], [(2, 2),(2, 3),(3, 3), (3, 1),(1, 1), (1, 2)] etc., num total de 6 sequências diferentes. Mudando a posição dos números dos pares ordenados, podemos criar outras 6 sequên­cias: [(2, 1), (1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2)], [(1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2), (2, 1)] etc. Portanto, de acordo com as regras dadas, há 12 modos de colocar as peças em sequência. 2a maneira: b) As pontas devem ter o mesmo número, pois eles aparecem um número par de vezes (se aparecer um número numa ponta e outro na outra, então há pelo menos dois números que aparecem um número ímpar de vezes, o que não ocorre). Alguma peça com dois números iguais deve aparecer em uma das pontas, pois do contrário teríamos três das quatro peças centrais com duas iguais, vizinhas, o que é impossível). Sendo assim, a sequência pode ser representada por XX-XY-YY-YZ-ZZ-ZX, em que temos três possibilidades para X, duas possibilidades para Y, e uma possibilidade para Z, num total de 6 possibilidades (3 ? 2 ? 1 5 6) para a sequência que começa com uma dupla. Se a sequência terminar com uma dupla, teremos novamente 6 possibilidades. Portanto, há 12 modos de colocar as seis peças em sequência. c) Para cada número, existem 4 peças. Por exemplo, as peças com o número 1 estão desenhadas

2 Resposta: (B) A transparência é igual a 0,63 (0,7 3 0,9 5 0,63). Logo, a redução da radiação é 37% (1 2 0,63 5 0,37 5 5 37%). 3 Resposta: (E) A partir da figura, vemos que o comprimento a dos retângulos menores é o dobro da sua largura b. Temos, então, que a 1b 5b 1 2b 5 3b 5 21, ou seja, b 57 cm e a 514 cm . Portanto, o comprimento do retângulo maior é 4b5 28 e sua área é 588 cm2 (213 28 5 588). 4 Resposta: (E) Arnaldo: 1 bilhão (1 000 000 31 000 000 51 000 000 000 000) Professor Piraldo: 1 bilhão (1 000 31 000 000 51 000 000 000 ) A diferença é 999 000 000 000 (1 000 000 000 000 21 000 000 000 5999 000 000 000 ) 5 Resposta: (D) Em 600 números inteiros consecutivos positivos, 600 há 200 múltiplos de 3 5 200 e 150 múltiplos 3 600 de 4 5150 ; entretanto, alguns desses núme4 ros aparecem duas vezes nessa contagem, pois são múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos 600 de 12. Como há 50 5 50 desses múltiplos, 12 concluímos que o número de páginas com defeito é 300 (200 1150 2 50 5 300 ).

(

(

)

(

99

)

)

6 Resposta: (B) 12 Resposta: (A) O volume de platina produzido na história é: Se P é a fração de Paulistas, entre os Paulistas e Baia1 0,1(1 2 P) 5 0,2. Logo, 0,8 P 5 0,1, 110 toneladas 1 000 000 g 1 cm3 1 m3 nos temos: 0,9P 50 anos ? ? ? ?  256 m3 3 seja, P 5 0,125 5 12,5%. 1 ano 1 tonelada 21,45 g 1 000 000 cmou 00 000 g 1 cm3 1 m3 ? ?  256 m3 , volume próximo ao de oneladaa 21,45 g 1 000 000 cm3 13 Resposta: (B) uma piscina, por exemplo, de 1,6 m de profundidaComo ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus de, com 16 metros de largura e 10 metros de comângulos internos medem 60o. No triângulo AGD: primento. m(GÂD) 5180° 275° 2 60° 5 45° e ˆ ) 5180° 2 65° 2 60° 5 55° m(GDA 7 Resposta: (B) ˆ )5180° 2 45° 2 55° 5 80° Portanto: m(AGD Seja x o primeiro termo. Como o segundo termo é 1, Triângulo CGH: x 1 80° 1 60° 5180° ⇔ x 5 40° o terceiro termo é x11, o quarto é 11(x 11) 5 x 1 2 . Como o quinto termo é 2005: ( x 11)1( x 12) 5 2x 13 5 2 005 ⇔ 2x 5 2 002 ⇔ x 51001 Logo, o sexto termo é: ( x 1 2) 1 (2x 1 3) 5 3x 1 5 5 3 ?1 0011 5 5 3 008 8 Resposta: (D) Na primeira balança temos 3 triângulos 1 1 círculo 5 5 6 quadrados. Na segunda, vemos 2 triângulos 1 1 4 círculos 5 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo 1 1 2 círculos 5 4 quadrados. Logo, 4 triângulos 1 3 círculos 5 (3 triângulos 1 1 1 círculo) 1 (1 triângulo 1 2 círculos) 5 6 quadrados 1 4 quadrados 5 10 quadrados.

14 Resposta: (B) Sabendo que:

20 cm

40 cm

10 cm

240 240 O 3 B 3 M 5 240 ⇔ O 3 B 5 ⇔ B 3M 5 9 Resposta: (A) M O 240 2 Sejam x e 13 2 x a quantidade de números negati⇔ O 3 B 1 M 5 46 ⇔ 1 M5 46 ⇔ M 2 46M 1 240 5 0 ⇔ M 5 6 M vos e positivos, respectivamente. 240 Assim, há x(13 2 x) pares⇔deOnúmeros com produto1 M5 46 ⇔ M2 2 46M 1 240 5 0 ⇔ M 5 6 ou M 5 40 3B 1M 5 46 ⇔ M negativo. 240 2 Logo, x(13 2 x) 5 22 ⇔ x 213x 1 22 5 0 ⇔ x 5 2 ou x 511O 1 B 3 M 5 64 ⇔ O 1 O 5 64 ⇔ O2 2 64O 1 240 5 0 ⇔ O 5 4 1 22 5 0 ⇔ x 5 2 ou x 511. 240 O 1 B 3 M 5 64 ⇔ O 1 5 64 ⇔ O2 2 64O 1 240 5 0 ⇔ O 5 4 ou O 5 60 Como há mais positivos que negativos, há 2 núme- O ros negativos. Sendo O, B e M inteiros, a única possibilidade é: 240 510 O 5 4, M 5 6 e B 5 10 Resposta: (B) 436 A caixa terá dimensões 20 cm 3 15 cm 3 10 cm. Assim: O 1 B 1 M 5 4 1 10 1 6 5 20. Logo, seu volume será igual a 3 000 cm2 (20 3 15 3 3 10 5 3 000). 15 Resposta: (B) Para fazer uma peça, são necessários 45 centímetros 15 cm (3 310 1 3 3 5 5 45 ) de arame. Como 20 metros 5 5 2 000 centímetros, e 2 000 dividido por 45 dá quociente 44 e resto 20, o serralheiro irá fazer 44 peças completas, ficando com uma sobra de 20 centímetros, que lhe possibilitarão fazer as duas primeiras partes de uma peça, na forma

11 Resposta: (D) Temos: a 1 (b 3 c) 5(a 1 b) 3 (a 1 c) ⇔ ⇔ a 1 bc 5 a2 1 ab 1 ac 1 bc ⇔ ⇔ a(a 1 b 1 c 21)5 0 ⇔ ⇔ a 5 0 ou a 1 b 1 c 51 Tomando a 5 1 e b 5 c 5 0, vemos que as demais alternativas estão incorretas.

.

16 Resposta: (C) Como 365 dividido por 7 dá quociente 52 e resto 1, e 366 dividido por 7 dá o mesmo quociente e resto 2, em um ano, bissexto ou não, há no máximo 53 domingos. Um mês tem entre 28 5 4 ? 7 e 315 4 ? 7 1 3 dias, então todo mês tem 4 ou 5 domingos. Como 53 dividido por 12 dá quociente 4 e resto 5, há no máximo 5 meses com 5 domingos. Um exemplo de ano com cinco meses com cinco domingos é um iniciado no domingo.

100

17 Resposta: (D) Os números em questão são 12, 23, 34, 45, …, 89 (8 números), 123, 234, 345, …, 789 (7 números), 1 234, 2 345, …, 6 789 (6 números) e, por fim, 12 345, num total de 22 números (8 1 7 1 6 1 1 5 22). 18 Alternativa anulada. Resposta: (C) e (D) O tempo de percurso é minimizado quando se trafega o maior trecho a velocidades maiores e o menor trecho a velocidades menores, e maximizado quando se trafega o maior trecho a velocidades menores e o menor trecho a velocidades maiores. Assim, o tempo total gasto pelo piloto nos três tre240 300 400 1 1 515 chos é no mínimo 15 horas 40 75 80 240 300 400 e no máximo 17 horas 1 1 517 . As80 75 40 sim, as respostas C e D estão corretas.

(

(

19 Resposta: (C) A área a é igual à área de um círculo de raio r, ou seja, 2r a5r2. A área b é igual à r área de um quarto de círa culo de raio 3r subtraída de duas vezes a área de um semicírculo de raio r e da área de um quarto de círculo de raio r.  Logo: 1 1 1 b 5 ? (3r)2 2 2 ? ? r2 2 ? r2 5r2. 4 2 4 a  r2 Portanto: 5 2 51 b r

)

)

das horas, ele está parado e o ponteiro dos minutos roda com velocidade angular 11w [*]. Como os dois começam juntos, e um ponteiro rodando a w completa uma volta no período, o ponteiro dos minutos completa 11 voltas nas 12 horas do problema. Logo há 11 plins gerados por encontros deste tipo. Segundos/Horas: A velocidade relativa é 720w 2 w 5 5 719w, logo há 719 plins. Segundos/Minutos: A velocidade relativa é 720w 2 2 12w 5 708w, logo há 708 plins. Logo, no total, há 1 438 plins (11 1 719 1 708 5 1 438). Descontando os três plins ocorridos às 0h, há, no total, 1 435 plins no período de 12h1s a 23h59min59s. 22 Alternativa anulada. Solução: (Esmeralda confundiu-se, digitando   60o onde deveria ser   60o. ) LL o

180o–2 2α2 180

b

M

α α P P

α R R

N N

Q Q

Como a reta PQ é tangente à circunferência, os ângulos LNP e LMN são congruentes, ou seja, m(LMN) 5 5 a. Sendo o triângulo LMN isósceles com LM 5 LN, os ângulos LNM e LMN são congruentes, e, portanto, m(MLN) 5 180o 2 m(LNM) 2 m(LMN) 5 180o 2 2a. O ângulo LNP é externo do triângulo LNR, logo, m(LNP) 5 m(NLR) 1 m(LRN), ou seja, a 5 180o 2 2a 1 1 m(LRP)     m(LRP) 5 3a 2 180o.

20 Resposta: (C) Suponha que haja alunos de 4 ou mais nacionalidades entre os 9 alunos da classe. Se escolhermos um aluno de cada nacionalidade, não haverá dois alunos de mesma nacionalidade, o que é um absurdo. Logo, há alunos de, no máximo, 3 nacionalidades. Da mesma forma, entre os 9 alunos não há 4 de mesma nacionalidade, pois, se houvesse, poderíamos formar um grupo de 5 alunos com mais de 3 alunos de mesma nacionalidade. Logo, há no máximo 3 alunos de cada nacionalidade. Como há 9 alunos, no máximo 3 nacionalidades e no máximo 3 alunos por nacionalidade, há exatamente 3 nacionalidades e 3 alunos de cada nacionalidade. Em particular, há 3 alunos brasileiros. 21 Alternativa anulada. Resposta: Vamos calcular o número de plins no intervalo (12h, 0h), e descontar os plins que ocorreram no último segundo depois. Seja w a velocidade angular do ponteiro das horas. Então as velocidades angulares dos ponteiros dos minutos e dos segundos são 12w e 720w. Vamos contar o número de plins entre cada par de ponteiros: Minutos/Horas: Do referencial do ponteiro

23 Resposta: (C) 1 1 y  x2 y e x é inteiro positivo, 2 2 1 1 x 1 y 2 x 2 y 51⇔ 2 2

Como x 1

2

 1 1  ⇔  x 1 y 2 x 2 y  51⇔ 2 2   ⇔x1

1 1 1 1 y 2 2 x 1 y x 2 y 1 x 2 y 51⇔ 2 2 2 2

1 ⇔ 2x 215 2 x2 2 y ⇔ 4 x2 2 4 x 115 4 x2 2 y ⇔ y 5 4 x21 4 A única alternativa que contém um número da forma 4x 2 1 é a alternativa C. 24 Resposta: (B) Nas condições dadas, a distribuição dos números pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos números escritos é 46.

101

8 6

25 Resposta: (B) Note que giramos o bloco 5 vezes. Indicaremos os quadradinhos em contato com o bloco após o i-ésimo giro com o número i. Os quadradinhos em contato com o bloco na sua posição inicial estão indicados com o número zero.

0 4

4 0/4 3

3

5

5 1/5 2

2

5

5 1/5 2

2

1

2

2

Contando, observamos que o bloco esteve em contato com 19 quadradinhos do tabuleiro.

SEGUNDA FASE – parte A •••••• 1 Resposta: Natasha pulou os números 13, 31, 113, 130, 131, 132, ..., 139, num total de 13 números. Portanto, na última página do seu diário escreveu o número 214 (200 1 1 13 1 1 5 214).

dade de números até certa fila, basta somar o número da fila ao total de números que havia antes dessa fila. Assim, temos, fila 5: 15, fila 6: 21, fila 7: 28, fila 8: 36, fila 9: 45, fila 10: 55, fila 11: 66, fila 12: 78, fila 13:  91, fila 14: 105. O número de fitas adesivas horizontais entre uma fila n 2 1 e uma fila n é igual a n 2 1 e o número de fitas adesivas verticais numa fila n é igual n 2 1. Portanto, até a fila número 14, o número de fitas é 182: 13 ? 14 (11 2 1 ... 113) 1 (11 2 1 ... 113) 5 2 ? 2 5182 4 Respostas: Primeira solução: Unindo os pontos médios de lados consecutivos do quadrilátero, obtemos segmentos paralelos às suas diagonais e iguais à metade delas. Portanto, o quadrilátero assim obtido é um paralelogramo. Os segmentos traçados dividem cada um dos quatro lotes em duas partes. Todas as 1 partes internas têm a mesma área s, igual a da 4 área do paralelogramo. Cada uma das partes exter1 nas tem área igual a do triângulo determinado 4 pela diagonal correspondente. Assim, a 1 c é igual à metade da área do quadrilátero, o mesmo ocorrendo com b 1 c. Daí, a 1 s 1 c 1 s 5 b 1 s 1 d 1 s. Portanto, a área S desconhecida satisfaz S 1 210 5 5 200 1 250, ou seja, S 5 240.

2 Resposta: Sejam x e y o maior e o menor catetos, respectivamente, do triângulo retângulo. Como o lado do quadrado ABCD mede 3 cm, temos x 2 y 5 3. Por outro lado, como o lado de EFGH mede 9 cm, temos x 1 y 5 9. Resolvendo o sistema, encontramos x 5 6 e y 5 3. Logo, o lado do quadrado IJKL, que é a hipotenusa do triângulo retângulo, mede 62 1 32 5 45 5 3 5 cm. Outra solução: O quadrado IJKL e o quadrado MNOP têm como lados as hipotenusas dos triângulos retângulos dados, logo têm a mesma área s. Fazendo os dois quadrados coincidirem, concluímos que o dobro da soma t das áreas dos quatro triângulos retângulos é a diferença entre as áreas dos quadrados IJKL e EFGH, ou seja, 2t 5 92 2 32 , o que fornece t 5 36. Assim, s 5 9 1 36 5 81 2 36 5 45 cm2 e o lado do quadrado IJKL é 45 5 3 5 cm. [A resposta não é um número inteiro. Todos os alunos devem receber 4 pontos]. 3 Resposta: Olhando para o último número da fila n, vemos que ele é a soma de todos os números de 1 a n: por exemplo, na fila 4, o último número da fila é 1 1 2 1 3 1 4 5 10. Note que para obter a quanti-

102

b a

s

s 200

d

s

s

250

210

c

Segunda solução: Ligando o ponto de interseção das retas que representam as duas cercas aos vértices, obtemos: BB M M AA

O O O

Q Q

D D

P P

N N

CC

Observemos que, como AQ 5 QD e as alturas de OAQ e OQD que passam por O são iguais, as áreas de OAQ e OQD são iguais. Analogamente, as áreas de OAM e OMB; OBN e ONC; OCP e OPD são iguais. Logo, área OAQ 1 área OAM 1 1 área OCP 1 área ONC 5 área OQD 1 área OMB 1 área AMOQ 1 1 área OPD 1 área OBN 1 área CNOP 5 área DPOQ 1 área BMON área AMOQ 5 200 1 250 2 210 5 240.

5 Resposta: 3 Resposta: Como a 1 3 é múltiplo de 11,a 1 3 5 11b,b  .Sendo a) x2 2 9xy 1 8y2 5 x2 2 xy 2 8xy 1 8y2 5 x(x 2 y) 2 a múltiplo de 5, a 210b 5b 2 3 também é, de modo 2 8y (x 2 y) 5 (x 2 8y)(x ­2 y). Alternativamente, as raízes da equação do 2o grau que b 2 3 5 5c ⇔ b 5 5c 1 3 ⇔ a 511(5c 1 3) 2 3 5 55c 1 30, c ∈  +2 2 2 x 2 9xy 1 8y , de incógnita x, são y e 8y. Logo, ⇔ a 511(5c 1 3) 2 3 5 55c 1 30, c ∈ +2 . O número a 1 2 é múltiplo de 9, x2 2 9xy 1 8y2 fatora em (x 2 8y)(x ­2 y). assim como a 1 2 2 54c 2 36 5 c 2 4. Portanto, c 2 4 5 9d ⇔ c 5 9d 1 4 ⇔ a 5 55(9d 1 4) 1 30 5 495d 1 250 ∈. b) A, dequação a ser resolvida é (x 2 y)(8y 2 x) 5 a 5 55(9d 1 4) 1 30 5 495d 1 250, d ∈. Por fim, sendo a 1 1 múltiplo 5 2005 (*) de 7, então a 1 1 2 497d 2 245 5 a 1 1 2 7 (71d 1 Observemos que a fatoração em primos de 2005 1 35) 5 22d 1 6 5 22(d 2 3) também é, ou seja, é 5 ? 401. d 2 3 5 7k ⇔ d 57k 1 3, k ∈ e a 5 495(7k 1 3) 1 250 5 3 465Além t 11 735 disso, a soma dos fatores x 2 y e 8y 2 x é a 5 495(7k 1 3) 1 250 5 3 465t 11 735. Logo, o menor valor de a é 7y, que é múltiplo de 7. A soma dos fatores é 1 735. 406, sendo que somente 406 é múltiplo de 7. Assim:  x 2 y 5 5 e 8y 2 x 5 401  x 5 63 e y 5 58 SEGUNDA FASE – parte B   ou ou   •••••• x 2 y 5 401 e 8 y 2 x 5 5 x 5 459 e y 5 58   (*) ou ⇔ ou  x 2 y 5 25 e 8y 2 x 52 401  x 5 263 e y 5258 1 Resposta:   Vamos representar por A, G e L a quantidade de ou ou   questões de Álgebra, Geometria e Lógica da prova,  x 2 y 52401 e 8y 2 x 525  x 52459 e y 5258 e por a, g e l as questões respondidas acertadamenAs soluções são, portanto: (63; 58), (459; 58), (263; te em cada uma dessas áreas. As condições do pro258) e (2459; 258). blema fornecem as seguintes equações: Outra solução: a g  a1  g1 5 0,5; 5 0,7; 5 0,8; 5 0,62; 5 0,74 Observando a equação dada como uma equação A G L A 1L G1 L do segundo grau em x, obtemos: Substituindo as relações expressas pelas três prix2 2 9yx 1 8y2 1 2 005 5 0 (*), cujo discriminante é: meiras equações nas outras duas, obtemos: D 5 (9y)2 2 4(8y2 1 2 005) 5 49y2 2 8 020 0, 5A 1 0, 8L 3L Para que (*) admita soluções inteiras, seu discrimi5 0,62 ⇒ 0,12A 5 0,18L ⇒ A 5 A 1L 2 nante deve ser um quadrado perfeito. Portanto: 49y2 2 8 020 5 m2   (7y 2 m)(7y 1 m) 5 8 020 5 5 22 ? 5 ? 401 (**)

0, 7G 1 0, 8L 3L 5 0, 74 ⇒ 0, 04G 5 0, 06L ⇒ G 5 G1L 2 A porcentagem de questões acertadas é 65%: a 1 g 1  0, 5A 1 0, 7G 1 0, 8L 5 5 A1G1L A1G1L 3 3 0, 5 ? L 1 0, 7 ? L 1 0, 8L 2, 6 2 2 5 5 5 0, 65 5 65% 4 3 3 L 1 L 1L 2 2 2 Resposta: Vamos denotar por A, B, C e D os vértices do quadrado e por MN o corte efetuado. Como CM 1 CN 5 5 BC 5 CD, resulta que BM 5 CN e DN 5 MC. Em consequência, os triângulos ADN e DCM são congruentes, o mesmo ocorrendo com ABM e BCN (em cada caso, os triângulos são retângulos e possuem catetos iguais). Logo, DÂN 5 CDM 5 a e BÂM 5 CBN 5 5 . Assim, a 1  1 27o 5 90o e a 1  5 63o. A

B

x

27

o



β

Se y 5 258, as soluções em x de (*) são:

M

9y 1m 9 ? ( 258) 1 396 5 5263 2 2 9y 2m 9 ? ( 258) 2 396 5 52459 e 2 2 Logo, as soluções são: (63; 58), (459; 58), (263; 258) e (2459; 258)

α D

N

Podemos supor, sem perda de generalidade, que m > 0, pois se (m; y) é solução de (**), então (2m; y) também é.Observando também que 7y 2 m e 7y 1 m têm a mesma paridade e y 2 m < 7y 1 m, então podemos dividir o problema em 4 casos: • 7y 2 m 5 2 e 7y 1 m 5 4 010    2 006 m 5 2004 e y 5 , impossível; 7 • 7y 2 m 5 10 e 7y 1 m 5 802    m 5 396 e y 5 58; • 7y 2 m 5 2802 e 7y 1 m 5 210    m 5 396 e y 5 258; • 7y 2 m 5 24 010 e 7y 1 m 5 22    2 006 m 5 2 004 e y 5 2 , impossível. 7 Se y 5 58, as soluções em x de (*) são: 9y 1m 9 ? 58 1 396 5 5 459 e 2 2 9y 2m 9 ? 58 2 396 5 5 63 2 2

C

103

4 Respostas: 1a maneira: a) Podemos representar uma sequência válida como uma sequência de pares ordenados. O primeiro exemplo é a sequência [(1, 1),(1, 2), (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1)] e, a partir dela, podemos criar outras sequências válidas movendo o par da esquerda para a direita (ou da direita para a esquerda). Assim, são válidas as sequências [(1, 2), (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1),(1, 1)], [(2, 2),(2, 3),(3, 3), (3, 1),(1, 1), (1, 2)] etc. num total de 6 sequências diferentes. Mudando a posição dos números dos pares ordenados, podemos criar outras 6 se­ quências: [(2, 1), (1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2)], [(1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2), (2, 1)] etc. Portanto, de acordo com as regras dadas, há 12 modos de colocar as peças em sequência. 2a maneira: a) As pontas devem ter o mesmo número, pois eles aparecem um número par de vezes (se aparecer um número numa ponta e outro na outra, então há pelo menos dois números que aparecem um número ímpar de vezes, o que não ocorre). Alguma peça com dois números iguais deve aparecer em uma das pontas, pois do contrário teríamos três das quatro peças centrais com duas iguais,

104

vizinhas, o que é impossível). Sendo assim, a sequência pode ser representada por XX-XY-YY-YZ-ZZ-ZX, com três possibilidades para X, duas possibilidades para Y,  e uma possibilidade para Z, num total de 6 possibilidades (3 ? 2 ? 1 5 6) para a sequência que começa com uma dupla. Se a sequência terminar com uma dupla, teremos novamente 6 possibilidades. Portanto, há 12 modos de colocar as seis peças em sequência. b) Para cada número, existem 4 peças. Por exemplo, as peças com o número 1 estão desenhadas abaixo. O número de vezes em que aparece o número 1 é ímpar, logo a sequência deveria começar com 1 e terminar com outro número ou começar com outro número e terminar com 1. Nesse caso, os outros dois números deveriam aparecer um número par de vezes, pois não estariam na ponta, mas isso não ocorre: todos os quatro números aparecem um número ímpar de vezes.

XXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2004 RESOLUÇÕES 10 Resposta: (C) Nas figuras, basta ver se nos retângulos menores a linha tracejada é metade do perí­ metro. Isso não ocorre na fi­ gura onde a linha tracejada é menor que a metade.

Nível 1 (5o.   e 6o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional AL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC João Pessoa – PB – S. B. do Campo – SP 1 Resposta: (B) 1 997 1 2 004 1 2 996 1 4 003 5 (1 997 1 4 003) 1 1 (2 004 1 2 996) 5 6 000 1 5 000 5 11 000

11 Resposta: (D) Os divisores de 108 também são os quocientes da divisão de 108 por eles: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54 e 108. Temos:

2 Resposta: (E) 17 3 61 é produto de dois ímpares; logo, é ímpar. Os demais 108resultados 108são números 108 pares. 108 108 5 54; 5 36; 5 27; 518; 512; 2 3 4 6 9 3 Resposta: (A) 26 1 26 1 26 1 26 2 44 5 4 3 26 2 44 5 4 3 43 2 44 5 5 44 2 44 5 0

5 Resposta: (D) 2 004 1 2 004 2 ? 2 004 2 5 5 2 004 1 2 004 1 2 004 3 ? 2 004 3

O número de estudantes por grupo pode ser, en­ tão, 6, 9, 12 ou 18.

B

6 Resposta: (B) 57 1 31 5 88 alunos; 88 ; 2 5 44 alunos para cada ônibus. Devem passar do primeiro para o segundo ônibus 13 alunos (57 2 44 5 13). 7 Resposta: (A) 237 5 31 3 7 1 20. Como o resto é 20, faltam 11 unidades (31 2 20 5 11) para a divisão por 31 ser exata. De fato:  237 1 11 5 248 e 248  31  8. Logo, ela precisa conseguir 11 balas ou 42 ou 73 etc. No mínimo, 11.

A

D

E

C

13 Resposta: (D) O número de braceletes feitos pelo artesão é 72: 6 braceletes 18 braceletes 4 horas 3 5 4 horas 3 5 72 20 minutos hora 8 braceletes 16 braceletes 5 . 1 hora hora 2 Então, 72 braceletes 5 braceletes 72 5 16 3 ? t ⇔ t 5 h 5 4, 5 horas 16 hora 9 horas 1 4,5 horas 5 13 horas 30 minutos

O auxiliar produz

8 Resposta: Há 10 metades de quadrados e 3 quadrados intei­ 8 4 ros, ou seja, 8 quadrados sombreados: 5 . 18 9 9 Resposta: (C) 10,00 ­2 2,50 5 7,50

75 3 100 5 7 500 metros 5 7,5 km

108 108 108 108 108 5 9; 5 6; 5 4; 5 3; 52 12 18 27 36 54

12 Resposta: (B) O estado A pode ser pintado de 3 formas: verde, azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por exemplo, o estado B, temos duas possibilidades, e os demais estados têm suas cores determinadas (1 possibilidade). Logo, podemos colorir o mapa de 6 formas (3 3 2 5 6).

4 Resposta: (B) 20%  de  40 5 0,2 3 40 5 8

7, 50 750 5 5 75 0,10 10

108 108 108 108 108 108 108 5 9; 5 54; 5 36; 5 27; 518; 512; 18 2 3 4 6 9 12

14 Resposta: (C) 1 3 3 3 5 3 … 3 97 3 99 é múltiplo de 5 e é ím­ par; logo, termina em 5.

105

15 Resposta: (A) O lado de cada quadrado mede 5 cm. Temos:

5

5

5

5

5

Colocando dois pesos num prato e um peso no ou­ tro, temos: 10 2 (1 1 3) 5 6; (10 1 1) 2 3 5 8; (10 1 3) 2 1 5 12 Os valores de n são treze: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

5

Ou seja, o perímetro do retângulo formado é 30 cm (6 3 5 5 30). 16 Resposta: (B) Temos 252o 5180o 1 72o, sendo o ângulo central 760o 5 72o do pentágono igual a: 72o 5

A

252° O

B

B 72°

O A

180°

17 Resposta: (C) Do gráfico, a porcentagem de loiros é 30% 100% 2 (30% 1 24% 1 16%) 5 30%. Temos, então, 360 loiros 1 200 3 30% 5 5 1 200 3 0,3 5 360.

22 Resposta: (E) O percurso fechado ligando todas as 12 casas tem, no mínimo, 12 ruelas de ligação: 23 2 12 5 11. 23 Resposta: (B) Começando com 3 hexágonos para obter a con­ figuração abaixo, verificamos serem necessárias 16 varetas (18 2 2 5 16), pois uma vareta pertence a dois hexágonos em duas situações. Para formar uma nova “camada”, são necessárias 11 varetas (li­ nhas cheias no segundo desenho. Com 10 “cama­ das”, temos 30 hexágonos. Na última delas, devemos anexar 2 hexágonos, sen­ do necessárias mais 8 varetas, conforme desenho abaixo. Assim, o número total de varetas é 123 16 1 9 3 11 1 8 5 123.

18 Resposta: (E) Com as peças:

19 Resposta: (A) Cinco números consecutivos podem ser represen­ tados por a 2 2, a 2 1, a, a 1 1 e a 1 2 e sua soma é (a 2 2) 1 (a 2 1) 1 a 1 (a 1 1) 1 (a 1 2) 5 5a, ou seja, um múltiplo de 5, que só pode terminar em x 5 5, pois x  0. 20 Resposta: (A) As duas últimas informações podem ser reunidas no esquema abaixo:

24 Resposta: (C) Podemos representar esquematicamente a figura usando três segmentos perpendiculares dois a dois: Nesse esquema, o segmento menor (2) é perpendicular ao plano a contendo os ou­ tros dois segmentos. O ân­ gulo entre o segmento (3) e o segmento (4) é de 90° no sentido horário. Neste plano, esquematicamente, temos:

2 3 4

90° α



I)

III) 2

O grampo, a moeda e a borracha estão dentro de caixas; logo, a moeda está dentro da caixa ver­ melha.

4

α

α – 90°

3



21 Resposta: (D) Usando 1 peso, temos 3 possibilidades: 1, 3 e 10. Colocando dois pesos num único prato, temos as seguintes possibilidades: 1 1 3 5 4; 1 1 10 5 11; 3 1 10 5 13 Colocando três pesos num prato, pesamos: 1 1 3 1 10 5 14 Colocando um peso em cada prato, temos: 3 2 1 5 2; 10 2 1 5 9; 10 2 3 5 7

106

2

4

– 90°

II)

3

IV)

90°

2

4

α

3

3

2

α 90° 4

As figuras I e III não representam o objeto, pois o ângulo entre os segmentos (3) e (4) é de 90o no sen­ tido anti-horário, no plano a.

25 Resposta: (D) 1 real 5 275 3 107 cruzados 640  reais 5 640 3 275 3 107 5 176 3 1010 cruzados 5 5 176 3 1010 notas de 1 cz$ 1, 5 cm de altura x 5 ⇔ Mas 100 notas de 1cz$ 176 31010 notas de 1cz$ 1, 5 3176 31010 cm 5 264 3108 cm 5 102 5 264 3103 km 5 264 000 km ⇔ x5

SEGUNDA FASE – parte A •••••• 1 Resposta: O quociente da divisão de 102 por 3 é 34, de 1 002 por 3 é 334, de 10 002 por 3 é 3 334 etc. Assim, o quociente da divisão de 10...02, com vinte al­ garismos zero, por 3, é igual a 33... 34, com vinte algarismos três.  Logo, a soma dos algarismos do quociente é 64 20 3 3 1 4 5 64.

1 a 9, na casa das dezenas podemos escrever qual­ quer algarismo de 0 a 9 e na casa das unidades po­ demos escrever um dos quatro algarismos acima). 6 Resposta: A soma dos divisores é ímpar quando o número de divisores ímpares é ímpar. Isso acontece quando, por exemplo, o número tem somente um divisor pri­ mo ímpar de expoente par, na sua decomposição. Tomando os números menores do que 100, temos: 99 5 32 ? 11, que tem 6 divisores todos ímpares, cuja soma é par 98 5 2 ? 72 , que tem 6 divisores (1, 7, 49, 2, 14, 98), três pares e três ímpares, portanto de soma ímpar. 7 Resposta: De 1 a 100, existem 25 múltiplos de 4; logo, 75 car­ tões não contêm múltiplos de 4. No pior caso pos­ sível, Esmeralda tiraria todos esses cartões antes de sair algum cartão múltiplo de 4. Assim, para ter certeza de que o número tirado seja múltiplo de 4, Esmeralda deve retirar todos eles e mais um, ou seja, 76 cartões.

8 Resposta: Podemos começar pintando uma casa da primeira 2 Resposta: linha, depois uma da segunda linha, em seguida a 1b 5 34 e a 1 c 5 33; logo; b 2 c 51. Como b e c uma da terceira e, finalmente, uma da quarta. O são primos, concluímos que b 5 3 e c 5 2. Dessa número de possibilidades para primeira linha é 4, forma, a 5 34 2b 5 34 2 3 5 31, de onde vem: a 1b 1 c 5 311 2 1 3 5 36 para a segunda é 3 (pois uma das casas não pode a1b 1 c 5 311 2 1 3 5 36. ser pintada, já que a coluna com essa casa só pode ter essa casa pintada), para a terceira é 2, e para a 3 Resposta: quarta é 1. O número total de maneiras pelas quais b multiplicado por 3 dá um número terminado podemos pintar o tabuleiro é 24 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24. em 1; logo, b 5 7. Como 7 3 3 5 21, concluímos que a multiplicado por 3, mais 2, ao somar com 9, 9 Resposta: deve resultar um número terminado em 0, ou seja, Da frente para o fundo, a primeira, a terceira e a quinta camadas verticais têm 18 cubos brancos e 3a1 2 1 9 5 0, ou seja, a 5 3. Dessa forma, temos: 17 cubos cinza, a segunda e a quarta camadas têm a 5 3, b 5 7 e c 5 0, de onde vem a 1b 1 c 510. 17 cubos brancos e 18 cinza. Logo, o número total 137 de cubos brancos é 88 3 ? 18 1 2 ? 17 5 88, e o nú­ 3 73 mero total de cubos cinza é 87 3 ?17 1 2 ?18 5 87. 411 Portanto, a massa total do bloco, em gramas, é 9 5 9    262 1? 88 1 2 ? 87 5 262 . 10001 10 Resposta: Inicialmente, existiam 980 aves com a cauda verde 4 Resposta: e 20 das demais. Após a epidemia, essas 20 aves área retângulo ABCD 5 4 ? área retângulo AFEG correspondem a 5%, donde o total de aves agora é área retângulo AFEG 5 4 ? área retângulo AIHJ, logo: 20 3 20 5 400 (sendo 380 da cauda verde). Portan­ área retângulo ABCD 5 16 ? área retângulo AIHJ to, morreram 600 aves. Mas: área retângulo AIHJ 5 2 ? área triângulo AHI SEGUNDA FASE – parte B

••••••

Portanto: área retângulo ABCD 5 32 ? área triângulo AHI ⇔ ⇔ área retângulo ABCD 5 32 área triângulo AHI

1 Resposta: O polígono consiste na reunião de dois retân­ gulos: um deles tem largura 10 e altura 2, e o outro tem largura 5 e altura x12. O triângulo 5 Resposta: tem catetos de medidas 15 e x12. Como a área São teimosos apenas os números que terminam do polígono é igual à área do triângulo, temos: em 0, 1, 5 e 6. A quantidade de números teimosos 15( x 1 2) 10 ? 2 1 5( x 1 2) 5 ⇔ 40 110x 1 20 515x 1 30 ⇔ 5x 5 30 de 3 algarismos é 9  ?  10  ?  4  5  360 (na casa das cen­ 2 15( x 1 2) tenas podemos 10 ? 2 1escrever 5( x 1 2) 5qualquer algarismo ⇔ 40 110xde 1 20 515x 1 30 ⇔ 5x 5 30 ⇔ x 5 6 2

107

2 Resposta: a) Cada linha apresenta 1 nas colunas cujos núme­ ros são múltiplos do número da linha. Assim, a linha 5 tem 1 nas colunas 5, 10, 15 etc. Até 100, existem 20 múltiplos de 5; logo, a soma dos nú­ meros na linha 5 é igual a 20. b) Cada coluna apresenta 1 no cruzamento com as linhas cujos números são divisores do número da coluna. Assim, a soma dos números da coluna 60 é igual ao número de divisores de 60. Como 60 5 22 3 3 3 5 , concluímos que 60 tem 12 divi­ sores 3 ? 2 ? 2 5 12. Logo, a soma dos números da coluna 60 é 12.

4 Resposta: (B) Começando com 3 hexágonos para obter a con­ figuração abaixo, verificamos serem necessárias 16 varetas (18 2 2 5 16), pois uma vareta pertence a dois hexágonos em duas situações. Para formar uma nova “camada”, são necessárias 11 varetas (li­ nhas cheias no segundo desenho. Com 10 “cama­ das”, temos 30 hexágonos. Na última delas, devemos anexar 2 hexágonos, sen­ do necessárias mais 8 varetas, conforme desenho abaixo. Assim, o número total de varetas é 123 16 1 9 3 11 1 8 5 123.

3 Resposta: a) A soma total dos elementos é: 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 172 5 511 4 1 9 116 1 25 1 36 1 49 5140 Logo, cada um dos grupos deve conter elemen­ tos que somem 70. Examinando as parcelas, vemos que 49 1 1 1 1 4 1 16 5 70. Assim, podemos escrever, por exemplo: A 5 {12, 22, 42, 72} e B 5 {32, 52, 62} b) Como 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 72 1 82 1 92 5 5 140 1 64 1 81 5 285 é ímpar, é impossível dividir em dois grupos de mesma soma.

5 Resposta: (C) 1 3 3 3 5 3 … 3 97 3 99 é múltiplo de 5 e é ímpar; logo, termina em 5. 6 Resposta: (B) Temos 252o 5180o 1 72o, sendo o ângulo central do 760o 5 72o pentágono igual a: 72o 5

A Nível 2 (7 .   e 8 .   anos) PRIMEIRA FASE •••••• a 1.   Fase Olimpíada Regional o

O

AL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC João Pessoa – PB – S. B. do Campo – SP 1 Resposta: (A) A mistura final tem 0,2 litro de polpa e 3 1 0, 8 5 3,8 litros de água. A porcentagem de polpa em relação 0, 2 2 5 5 0, 05 5 5% . ao volume da mistura é 5% 4 40

(

)

2 Resposta: (C)

B

B 72°

O A

180°

7 Resposta: (C) Há 2 004 escolhas para a primeira bala e 2 003 para a segunda bala. Assim, podemos retirar duas balas de 2 004 ? 2 003 maneiras, considerando a ordem em que são retiradas. Podemos retirar duas balas de banana de 1002 ? 1001 maneiras e duas balas de maçã de 1002 ? 1001 maneiras. Logo: p5

22∇26 22 1 23 1 24 1 25 1 26 120 5 5 58 4∇6 41516 15 3 Resposta: (D) 1 real 5 275 3 107 cruzados 640 reais 5 640 3 275 3 107 5 176 3 1010 cruzados 5 5 176 3 1010 notas de 1 cz$ Mas

252°

o

1, 5 cm de altura x 5 ⇔ 100 notas de 1cz$ 176 31010 notas de 1cz$

2 ? 1 002 ? 1 001 1 001 5 2 004 ? 2 003 2 003

Podemos retirar uma bala de banana e uma bala de maçã, nessa ordem, de 1 002 ? 1 002 maneiras, e uma bala de maçã e uma bala de banana, nessa ordem, de 1 002 ? 1 002 maneiras. Logo: q5

2 ? 1 002 ? 1 002 1 002 5 2 004 ? 2 003 2 003

Logo, a diferença entre p e q é:

1, 5 3176 31010 cm 5 264 3108 cm 5 102 5 264 3103 km 5 264 000 km ⇔ x5

1 002 1 001 1 2 5 2 003 2 003 2 003

108

8 Resposta: (C) Sejam a e 50 2 a os lados do retângulo. A área pro­ curada é (50 2 a) ? a 5 50a 2 a2.

xx

5x

3x + 4x = 7x

aa

.

50 – 2a a 50

13 Resposta: (C)

4x

Pelo teorema de Pitágoras:

6x

180° – 7x

Temos: 8x 5180o 27x 1 5x ⇔ 10x 5180o ⇔ x 518o

x2 5(50 2 a)2 1 a2 ⇔ x2 5 2 500 2100a 1 2a2 ⇔ x2 ⇔ 50a51250 1 a2 2 2

14 Resposta: (E) 2(22x ) 5 4 x 1 64 ⇔ 2(22x ) 5 22x 1 64 ⇔ 22x 5 64 ⇔ ⇔ 2x 5 6 ⇔ x 5 3

Desse modo: 50a2 a2 51250 1 a2 2

6x + 2x = 8x 2x

3x

x2 x2 2 a2 51250 2 2 2

9 Resposta: (A) Cinco números consecutivos podem ser represen­ tados por a 2 2, a 2 1, a, a 1 1 e a 1 2 e sua soma é (a 2 2) 1 (a 2 1) 1 a 1 (a 1 1) 1 (a 1 2) 5 5a, ou seja, um múltiplo de 5, que só pode terminar em x 5 5, pois x  0.

15 Resposta: (D) A soma dos algarismos de um número de três alga­ rismos é menor ou igual a 27 e maior ou igual a 1. Logo, a soma da soma dos algarismos de um núme­ ro de três algarismos é a soma dos algarismos dos números 1, 2, 3, …, 27, cujo maior valor obtido é 10.

16 Resposta: (C) Nas figuras, basta ver se nos re­ 10 Resposta: (B) tângulos menores a linha trace­ Inicialmente, m2 2 2 deve ser positivo e divisor de jada é metade do perímetro. Isso 2 004. Os divisores de 2 004 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167 , 334 , 501 668,  1 002 ou 2 004 não ocorre na, figura onde a linha 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1 002 ou 2 004 . tracejada é menor que a metade. Para m inteiro positivo tal fato ocorre quando m 5 2 ou m 5 13. 17 Resposta: (E) Os pontos que estão a 6 cm de distância do ponto P 11 Resposta: (D) formam uma circunferência de centro P e raio 6 cm. ( x 1 y)2 5 82 ⇔ x2 1 2xy 1 y2 5 64 Uma circunferência corta uma reta em, no máximo, 2 pontos. Como o quadrado é formado por 4 seg­ Logo: mentos de reta, há no máximo 8 pontos da borda x2 1 6xy 1 y2 5 x2 1 2xy 1 y2 1 4 xy 5 64 1 4 ?15 5124 do quadrado a uma distância de 6 cm do ponto P. Tomando P como o centro do quadrado, temos um 12 Resposta: (B) exemplo de circunferência que corta o quadrado em 8 pontos. oo 30 A SS A 30 18 Resposta: (E) Com as peças: o 30o 30 C C 60 o 60 30o° 60oo 30 60 BB o

60oo 60

VV

19 Resposta: (C) O raio de luz percorre o trajeto S-A-B-C-B-A-S. Temos: AC 3 5 cos 30o   e AB 5 m SA51 m, AC 5 CV 50, 5 m , AB 3 BC 3 5 tg 30o ⇔ BC 5 m AC 6 Logo, a distância percorrida pelo raio de luz é:

Q

 3 3 2 (SA 1 AB 1BC) 5 211 1 52 1 3 m 3 6  

P

13

9

. . F

5

R

Pelo teorema de Pitágoras: PF2 1 52 5132 e PQ2 5122 1 92 ⇔ PQ 515

109

20 Resposta: (A) As duas últimas informações podem ser reunidas no esquema abaixo:

O grampo, a moeda e a borracha estão dentro de caixas; logo, a moeda está dentro da caixa vermelha. 21 Resposta: (D) AE 5 AF 5 AB 53 cm, m(FÂD)5 90° 2 60° 5 30°, m(FÂE) 5 30° 1 60° 5 90° Logo, FAE é retângulo em A e tem área: AE ? AF 3 ? 3 5 5 4, 5 cm2 2 2

a 5 3, b 5 7 e c 5 0, de onde vem a 1b 1 c 510 . 137 3 73 411 9 5 9    10001 2 Resposta: Podemos começar pintando uma casa da primeira linha, depois uma da segunda linha, em seguida uma da terceira e, finalmente, uma da quarta. O nú­ mero de possibilidades para primeira linha é 4, para a segunda é 3 (pois uma das casas não pode ser pin­ tada, já que a coluna com essa casa só pode ter essa casa pintada), para a terceira é 2, e para a quarta é 1. O número total de maneiras pelas quais pode­ mos pintar o tabuleiro é 24 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24.

3 Resposta: 22 Resposta: (C) 2004 3 2002 31998 31996 1 36 5 Inicialmente, sejam x o lado da folha e y o lado qua­ drado menor de lado maior que 1 cm. Como os de­ 5 (2000 1 4) 3 (2000 1 2) 3 (2000 2 2) 3 (2000 2 4) 1 36 5 mais 41 quadrados têm lado 1 cm, x e y são inteiros positivos. Assim: x2 5 y2 1 41 ? 1⇔ ( x 2 y)( x 1 y) 5 41⇔5x 2(2000 y 51 e1x41 41⇔ e y 520. 2x45 1 2) 3 (2000 2 2) 1 36 5 ) 3y 5 (2000 ) 321(2000 1 ? 1⇔ ( x 2 y)( x 1 y) 5 41⇔ x 2 y 51 e x 1 y 5 41⇔ x 5 21 e y 520. 5 (20002 2 42) 3 (20002 2 22) 1 36 5 Portanto, o lado da folha mede 21 cm. 23 Resposta: (C) Seja x o lado quadrado. Sua área é x2. Com 10% a me­ nos de cerca, o lado quadrado passará a ser 0,9x e terá área (0,9x)2 5 0,81x2, que é 0,19 5 19% menor.

5 20002 320002 222 320002 242 320002 142 322 136 5

24 Resposta: (D) O número de braceletes feitos pelo artesão é 72:

Portanto, a soma dos algarismos é 48 3 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 0 5 48

4 horas 3

6 braceletes 18 braceletes 5 4 horas 3 5 72 20 minutos hora

5 20004 2 20 3 20002 1100 5 5

(20002 210)

2

5 20002 210 5 3 999 990

4 Resposta: O polígono consiste na reunião de dois retângulos: um deles tem largura 10 e altura 2, e o outro tem lar­ gura 5 e altura x12. O triângulo tem catetos de me­ didas 15 e x12. Como a área do polígono é igual à área do triângulo, temos: 15( x 1 2) 10 ? 2 1 5( x 1 2) 5 ⇔ 2 ⇔ 40 110x 1 20 515x 1 30 ⇔ 5x 5 30 ⇔ x 5 6

8 braceletes 16 braceletes 5 . 1 hora hora 2 Então, 72 braceletes 5 braceletes 72 5 16 3 ? t ⇔ t 5 h 5 4, 5 horas hora 16 9 horas 1 4,5 horas 5 13 horas 30 minutos

O auxiliar produz

25 Resposta: (D) Com os dois algarismos 1 juntos, temos os núme­ ros: 112 004, 211 004, 201 104, 200 114 e 200 411. Com os dois algarismos 1 separados: 121 004, 120 104, 120 014, 120 041, 210 104, 210 014, 210 041, 201 014, 201 041 e 200 141. No total, são 15 números.

SEGUNDA FASE – parte A •••••• 1 Resposta: b multiplicado por 3 dá um número terminado em 1; logo, b 5 7. Como 7 3 3 5 21, concluímos que a multiplicado por 3, mais 2, ao somar com 9, deve resultar um número terminado em 0, ou seja, 3a1 2 1 9 5 0 , ou seja, a 5 3. Dessa forma, temos:

5 Resposta: O icoságono regular é ins­ C critível em uma circunferên­ cia. Sejam A e B dois vértices diametralmente opostos do AA BB icoságono. Qualquer ponto C da circunferência, distinto de A e de B, unido com A e B formará um triângulo retân­ gulo, conforme a figura. Para todo diâmetro cujas extremidades são dois vértices do icoságono, há 18 vértices que não são extremidades do referido diâmetro, possibilitando a formação de 18 triângulos retângulos. Como há 20 10 diâmetros 510 distintos, cujas extremida­ 2 des são dois vértices do icoságono, há 180 triângu­ los retângulos (18 310 5180 ).

110

(

)

3 Resposta: a) A partir da dobra da folha, podemos ver que B’E 5 BE 5 17, e como AE 5 8, aplicando o teore­ ma de Pitágoras, temos:

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 Resposta: a) A soma total dos elementos é: 12 1 22 + 32 1 42 1 52 1 62 172 5 5 11 4 1 9 116 1 25 1 36 1 49 5140



Logo, cada um dos grupos deve conter elemen­ tos que somem 70. Examinando as parcelas, vemos que 49 1 1 1 4 1 116 5 70. Assim, podemos escrever, por exemplo: A 5 {12, 22, 42, 72} e B 5 {32, 52, 62} b) Como 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 72 1 82 1 92 5 5 140 1 64 1 81 5 285 é ímpar, é impossível dividir em dois grupos de mesma soma. 2 Resposta: 1

a) 1 2 12

1 12

5 12

1

5 12 1 x

12

1 x 21 x

1

5 12 12

x x 21

AB’ 5 B’ E2 2 AE2 5 172 2 82 515

b) Temos: AB 5 AE 1 BE 5 8 117 5 25 5 CD e DF 5 CD 2 CF 5 25 2 3 5 22 Seja G a intersecção de B’C’ e CD. Como FC’ 5 FC e AB’ E  DGB’  C’GF, FG FC’ FG 3 51 5 ⇔ 5 ⇔ FG 5 . Logo: B’ E AE 17 8 8

DG 5 CD 2 CF 2FG 5 25 2 3 2

51 125 5 8 8

Temos, também: 5

x 21 1 5 12 5 11 x 2 15 x x 2 12 x 21 x 21

125 25 DB’ DG DB’ 5 ⇔ 5 8 ⇔ DB’ 5 15 3 AE AB’ 8 Finalmente: AD 5 AB’ 1 DB’ 515 1

25 70 5 3 3

4 Resposta: B→ 1 Como ab 1 cd 5 bc ⇔ 10a 1 b 110c 1 d 510b 1 c ⇔ 10a 1 d 5 9(b 2 12 x ab 1 cd 5 bc ⇔ 10a 1 b 110c 1 d 510b 1 c ⇔ 10a 1 d 5 9(b 2 c), ou seja, 10a 1 d é o número de 1 1 1 B→ 1 2 A→ B→ 1 2 dois algarismos ad e é um múltiplo de 9. 1 1 1 12 12 12 1 x 1 12 12 a) Mantendo a 5 2, temos d 5 7. Além disso, x x 10 ? 2 1 7 5 9(b 2 c) ⇔ b 2 c 5 3 . O menor valor 1 5 x, vemos que após aper­ Como 1 2 1 de b que podemos escolher, após 3, é 4, e nesse 12 1 caso, c 5 1. O número procurado é, então, 2 417. 12 x tar 6 vezes sucessivamente, de forma alterna­ b) Uma vez que escolhemos b 2 c , a e d estão da, as duas teclas A e B, o número que aparece determinados: a é o algarismo das dezenas de no visor da calculadora volta a ser igual ao que 9(b 2 c), e d, o das unidades. Além disso, aparecia inicialmente no visor. Uma vez que 9(b 2 c)  10 ⇔ b 2 c  2 . 1000 5166 3 6 1 4 , basta analisar apenas as 4 primeiras interações, ou seja: Se b 2 c 52, (b, c)  {(2, 0) ; (3, 1) ; (4, 2) ; ... ; (9, 0)} , 1 1 1 1 x A→ B→ 1 2 A→ B→ 1 2 5 2 004 um total de 8 possibilidades. Da mesma for­ x x 1 1 12 12 x x ma, vemos que se b 2 c 53, (b, c)  {(3, 0) ; (4, 1) ; (5, 2) ; ...; (9, 6)} 1 1 1 B→ 1 2 A→ B→ 1 2 5 2 004 (b, c)  {(3, 0) ; (4, 1) ; (5, 2) ; ...; (9, 6)}, há um total de 7 possibilidades. x 1 1 12 12 x x Para b 2 c 5 4, (b, c)  {(4, 0) ; (5, 1) ; (6, 2) ; ...; (9, 5)} , Assim, temos: 6 possibilidades; b 2 c 55, (b, c){(5, 0) ; (6, 1) ; (7, 2) ; ...; (9, 4)} 1 1 12 5 2 004 ⇔ 1 2 5 2 004 ⇔(b, c){(5, 0) ; (6, 1) ; (7, 2) ; ...; (9, 4)} , 5 possibilidades; b 2 c 56, (b, c){(6, 0) ; (7, 1) ; (8, 1 x 21 12 (b, c){(6, 0) ; (7, 1) ; (8, 2) ; (9, 3)} , 4 possibilidades; b 2 c 57, x x (b, c){(7, 0) ; (8, 1) ; (9, 2)}, 3 possibilidades; b 2 c 58, x x ⇔1 2 5 2 004 ⇔ 1 2 5 2 004 ⇔ (b, c){(8, 0) ; (9, 1)}, 2  possibilidades;   e,   finalmen­ x 21 x 21 b) x A→

1 B 1 → 1 2 A→ x x

1

te, para b 2 c 59, (b, c) 5(9, 0), 1 possibilidade.

x 2 12 x 21 5 2 004 ⇔ 5 2 004 ⇔ x 21 x 21 2 003 ⇔ 2 004 x 2 2 004 5 21⇔ x 5 2 004 ⇔

Há, portanto, um total de 36 números legais   8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 11 5 36

111

XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2003 RESOLUÇÕES 8 Resposta: (C) Uma parte da sequência, com 8 algarismos, repete-se: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2. Dividindo 2 003 por 8, obtemos 3 como resto, e deste modo o 2 003o termo corresponde ao terceiro elemento da parte da sequência que se repete, isto é, 3.

Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional AL – BA – GO – PA – PB – PI – RS – RN – SC

9 Resposta: (B) 1 Resposta: (D) Maria tem 10 reais. Se João tem x reais, então: O cubo a ser construído deverá ter aresta 4, totalix zando 64 cubinhos (4 3 4 3 4 5 64). Portanto, falta x x2 4 x 3x 3x x x agregar 53 cubinhos (64 2 11 5 53). 101 5 ⇔ 101 5 ⇔ 2 510 ⇔ 510 ⇔ x 5 8 4 2 4 8 8 4 8 x x2 4 ⇔ 101 x 5 3x ⇔ 3x 2 x 510 ⇔ x 510 ⇔ x 5 80 2 Resposta: (C) 101 x 5 8 4 8 O consumo mensal4médio2 é 12,7 m3 4 8 Os dois juntos têm 90 reais (10 1 80 5 90). 12, 5 113, 8 113, 7 111, 4 112,1 512, 7 5 10 Resposta: (E) 3 Resposta: (A) Devem ser compradas 336 mesas (8 3 14 3 3 5 336) A quantidade utilizada de palitos é mínima quane 1 344 cadeiras (4 3 336 5 1 344). do o número de palitos de 7 cm é máximo. Como 200  5  28 3 7 1 4 5 26 3 7 1 3 3 6, o número 11 Resposta: (C) mínimo de palitos é 29. Há 6 possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro. 4 Resposta: (E) Igualando a soma dos valores da diagonal e da coluna que se cruzam no quadrado com mesmo número, temos 26 1 14 5 x 1 13, isto é, x 5 27.

12 Resposta: (D) Seja n o número de pessoas na festa. Então foram n n n n usados 1 1 1 pratos, logo: 2 3 4 5 n n n n 30n 1 20n 115n 112n 77n 1 1 1 577 ⇔ 577 ⇔ 577 ⇔ n 2 3 4 5 60 60 6 Resposta: (C) n n n obtemos 30n 1inicialmente 20n 115n 112n 77n A partir de n qualquer 1 1 círculo, 1 577 ⇔ 577 ⇔ 577 ⇔ n 5 60 60 1 dos 60 a sequência20, 1,32, 3,44, 5,56, 7, 8, 9; subtraindo 5 Resposta: (A) Fazendo as operações inversas, temos 220 1 5 5 225; 225  3 5 75; 75 2 1 5 74; 74  2 5 37, que é um número primo.

ímpares e somando 1 aos pares, a sequência torna-se 1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8. A maior soma com 3 números consecutivos é 6 1 9 1 8 5 23.

13 Resposta: (B) O pentágono pode ser decomposto em triângulos e retângulos, conforme o desenho a seguir. A 3 1 3 1 2 1 3 1 3 3 7 Resposta: (C) área do pentágono é 22 1 1 1 1 5 4 1 1 111 2 2 2 2 2 2 Completando a figura com quadradinhos 3 1de lado 3 1 1,2 1 3 1 3 3 3 19 2 2 cm . 2 1 1 1 1 5 4 1 1 1 1 1 5 vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado 2 de2área 2 2 2 2 2 2 9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25. C Logo a área do retângulo é 45 3 1 9 1 2 3 4 1 1 25 5 45. D

B

E A

112

14 Resposta: (C) Marcando-se uma linha, uma coluna e uma diagonal que têm somente uma casinha em comum (como no desenho a seguir), o número de quadradinhos retirados é máximo, igual a 13. Restam 12 quadra12 . dos, correspondendo à área de 25

1

2

1

1

0

2

1

2

2

3

3

1

1

0

2

1

X

X

X

Como a casa do canto superior direito e sua vizinha à esquerda têm o número 1, as casas do canto superior direito e suas vizinhas à esquerda e abaixo não foram marcadas. O número na casa da quarta coluna e segunda linha indica que sua vizinha abaixo foi marcada. Por fim, o número no canto inferior direito mostra que a casa correspondente não foi marcada. 15 Resposta: (C) Juntando-se as partes das faces superiores dos cubos, obtemos uma face do cubo maior, de aresta 50 cm. A face inferior do cubo também é revestida. As quatro faces laterais dos cinco cubos deverão ser revestidas. A área total é igual a: 2  502 1 4(102 1 202 1 302 1 402 1 502 ) 5 5 27000 cm2 5 2, 7 m2

17 Resposta: (D) O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados que podem ser obtidos.

11

23 32

5 14

29 41

2

1

1

0

2

1

2

2

3

3

1

1

0

2

1

X

X X X

O número de casas marcadas é 4.

16 Resposta: (B) Ao andar sobre a esteira em movimento, Nelly anda 210 metros em 60 segundos. Portanto, a esteira anda 150 metros (210 2 60 5 150) a cada minuto. Para alguém parado na esteira, o tempo necessário para percorrer 210 metros será: 210 51, 4 minuto 5 1min24s 150

47

1

95

68 65

20 Resposta: (D) A altura da pilha é 100 000 000 3 0,1 5 5 10 000 000  mm  5  10 000  m. Considerando que um andar de um prédio tem cerca de 4 metros, a altura do Petronas Tower é cerca de 356 metros (4 3 88 5 356). A distância do planeta Terra à Lua é da ordem de milhares de quilômetros. Tendo isso em vista, a alternativa mais próxima à altura da pilha é a alternativa D. Observação: o Petronas Tower fica em Kuala Lumpur, capital da Malásia, e tem 452 metros de altura. A baleia azul, além de ser o maior animal do mundo, também é o mais barulhento (!). A distância da Terra à Lua é, em média, de aproximadamente 380 000 quilômetros.

95

SEGUNDA FASE – parte A

59

••••••

86 1 Resposta:

83

10100 2 2 003 51000 ...000 2 2 003 5 9 99...97 997 .   Dos  100 zeros

Nele, vemos que o maior é 95.

100 algarismos

cem algarismos do resultado, dois são o 7; portanto, o número de algarismos 9 no resultado é 98.

18 Resposta: (D) A sequência (D) não tem dois 4. 19 Resposta: (B) As casas vizinhas às casas com o número 0 não podem ser marcadas. Observando a casa da terceira linha e segunda coluna, concluímos que as três casas que sobraram foram marcadas:

2 Resposta: 2 0032 5 4 012 009 e 2 0042 5 4 016 016. Os  múltiplos de 100 são 4 012 100 5 40 121 3 100, 4 012 200  5  40 122 3 100, 4 012 300 5 40 123 3 3 100, ..., 4 016 000 5 40 160 3 100. O número de múltiplos de 100 é, então, 40 (40 160 2 40 120 5 40).

113

3 Resposta: Podemos contar o número de triângulos segundo o diagrama abaixo:

1 triângulo

3 triângulos

2 triângulos

3 triângulos

2 triângulos

3 triângulos

2 triângulos

9 Resposta: Sejam a, b, c, d e e os cinco números. Temos a 1b 1 c 1 d 1 e 511⇔ a 1 b 1 c 1 d 1 e 5 55. Um 5 desses números, digamos a, é o maior possível se, e somente se, a soma dos demais for a menor possível. Isso ocorre para b 1 c 1 d 1 e 511 2 1 3 1 4 510, de onde vem que a 5 45 (55 2 10 5 45).

1 triângulo

10 Resposta: Seja x o número de pontos que deve aparecer nas metades das peças do dominó conforme o desenho abaixo:

O número total de triângulos é 17 (1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 1 5 17).

x x x x

4 Resposta: Quando o numerador das horas mostrar 01, 02, ..., 12, o marcador dos minutos apresentará o algarismo 7 nas seguintes situações: 07, 17, 27, 37, 47 e 57, totalizando 72 exibições (12 3 6 5 72) no marcador de minutos. Ocorre que o algarismo 7 também aparece no marcador das horas nas situações 07:00, 07:01 etc., ou seja, devem ser contadas mais 60 exibições do 7. O número total de vezes em que aparece o 7 é 132 (72 1 60 5 132) e metade desse número é 66. 5 Resposta: Se as cabines de números 8 e 25 estão em pontos diametralmente opostos na circunferência, então de cada lado do diâmetro existem 16 cabines (25 2 8 2 1 5 16). Logo, o número total de cabines da roda-gigante é 34 (2 3 16 1 2 5 34). 6 Resposta: Os anos bissextos são 1 892, 1 896, 1 904, ..., 2 000 (note que 1900 não é bissexto, pois é múltiplo de 100, mas não é de 400; por outro lado, 2000 é bissexto, pois é múltiplo de 100 e de 400). De 1904 a 2000 2000 21904 115 24 115 25. há 25 múltiplos de 4 4 Portanto, o número de anos bissextos desde 1889 até agora é 27 (25 1 2 5 27). 7 Resposta: As faces laterais em cada dado compõem-se de dois pares de faces opostas, logo nelas a soma é sempre 14 7 1 7 5 14. Temos liberdade de escolher os números que vão ficar na face superior e na face inferior, pois há 4 dados na pilha. Para minimizar a soma, escolhemos o 1 para figurar nessas duas faces. Portanto,  a soma mínima é 58 (2 1 4 3 14 5 58). 8 Resposta: No produto 45 3 a3 5 3bcd, é imediato concluir que d 5 5, isto é, 45 3 a3 5 3bc5. Fazendo uma estimativa de a, vemos que as possibilidades são duas: 45 3 73 5 3 285 e 45 3 83 5 3 735, de onde se conclui que para a 5 7 temos b 5 2 e c 5 8, e para a 5 8 temos b 5 7 e c 5 3. Portanto, b 1 c 1 d 5 15 (2 1 8 1 5 5 7 1 3 1 5 5 15).

Temos x  0 (pois já foi usada a peça 0:3),  x 1 e x  4 (já foi usada a peça 4:1), x 2 (já foi usada a peça 2:1), x 5 (já foi usada a peça 5:1) e x  6 (já foi usada a peça 6:2). Portanto, x 5 3 (verifica-se que esse caso é possível) e a soma dos pontos é 22 [3 1 4 1 1 1 1 2 1 (4 3 3) 5 22].

SEGUNDA FASE – parte B •••••• 1 Resposta: Temos  31 5 3, 32 5 9, 33 5 27, 34 5 81, mas 35 5 243 (não serve). Assim, os números obtidos de acordo com as condições do problema são: 3 1 9 512, 3 1 27 5 30, 3 1 81 5 84, 9 1 27 5 36, 9 1 81 5 90, 27 1 81 5 108, 3 1 9 1 27 5 39, 3 1 9 1 81 5 93, 3 1 27 1 81 5 111, 9 1 27 1 81 5 117 Note que o número 3 1 9 1 27 1 81 5 120 não serve. 2 Respostas: Primeira solução: Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângulo BÊF é de 90°; se a medida do ângulo HÊF é x, ˆ e AÊB é 90° 2 x então a medida dos ângulos EFH ˆ é e, consequentemente, a medida do ângulo ABE x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever BE2 5 AB2 1 AE2, o que mostra que a área do quadrado BEFG é a soma das áreas dos quadrados ABCD e FHIJ, ou seja, 64 1 36 5 100 cm2.

114

Segunda solução: Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângulo BÊF é de 90°; se a medida do ângulo HÊF é ˆ e AÊB é 90° 2 x x, então a medida dos ângulos EFH ˆ é e, consequentemente, a medida do ângulo ABE

x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Como o quadrado ABCD tem área igual a 64 cm2, concluímos que seus lados medem 64 5 8 cm; o quadrado FHIJ tem área igual a 36 cm2, logo seus lados medem 6 cm. Temos, então, BA 5 EH 5 8 cm e FH 5 AE 5 6 cm. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escred(N) ) 2 1 , ou 2seja, ad(N ver BE2 5 AB2 1 AE2 5 82 1 62 5 área 100 N2 2 5N ⇔ 2 15 2 2 do quadrado BEFG é 100 cm .

Segunda solução: O produto de todos os divisores d(N)

positivos de um número inteiro N é igual a N 2 , em que d(N) é o número de divisores positivos de N. O produto de todos os divisores positivos exceto 1 d(N)

d(N) N2 21 eNé 5N 2 . N

d(N) d(N) d(N) 21 Temos, então, N 2 5 N2 ⇔ 2 15 2 ⇔ 53 ⇔ 2 2 d(N) 5 3 ⇔ d(N) 5 6 . Portanto, o produto ⇔ 2 dos divisores positivos diferentes de N é o quadrado de N se, e somente se, N tem 6 divisores positivos. Logo o número é da forma p5 ou p2  q , em que p e q são números primos positivos, distintos. Se o número é positivo menor do que 100, temos as 16 seguintes possibilidades:

Terceira solução (sem usar o teorema de Pitágoras): Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângulo BÊF é de 90°; se a medida do ângulo HÊF é x, então a medida ˆ e AÊB é 90° 2 x e, consequentedos ângulos EFH ˆ é x; como BE 5 EF mente, a medida do ângulo ABE (são lados do mesmo quadrado), então os triângu25 5 32 los mencionados são congruentes (pelo caso ALA 22  3 512 de congruência de triângulos). Como o quadrado 22  5 5 20 ABCD tem área igual a 64 cm2, concluímos que seus 22  7 5 28 lados medem 64 5 8 cm; o quadrado FHIJ tem 22  115 44 área igual a 36 cm2, logo seus lados medem 6 cm. 22  13 5 52 32  2 518 Portanto, BA 5 EH 5 8 cm e FH 5 AE 5 6 cm. 22  17 5 68 32  5 5 45 AB 1 FH 8 1 6 22  19 5 76 32  7 5 63 52  2 5 50 A área do trapézio ABFH é igual a  AH5 14 5 98 cm2 2 2 2 2 2 2 2  23 5 92 3  11 5 99 AB 1 FH 816     5  3 5 75   7  2 5 98  AH5 14 5 98 cm2 . Como o trapézio é compos2 2 to pelos triângulos ABE, EHF e BEF, e a área dos tri6 8 Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) 5 24 cm2 , ângulos congruentes ABE e EHF é 2 PRIMEIRA FASE concluímos que a área do triângulo BEF é 50 cm2 •••••• (98 2 2 3 24 5 50) e, consequentemente, a área do 2 a quadrado ABFH é o dobro, ou seja, 100 cm . 1.   Fase Olimpíada Regional 3 Resposta: Primeira solução: Os divisores positivos de um número inteiro N são d1, d2 , d3 , …, dk , tais que 15 d1  d2  d3  …  dk 5N e podemos observar que 1  N5 d2  dk 21 5 d3  dk 22 etc. Por exemplo, os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, de forma que 1 3 12 5 2 3 6 5 3 3 4. Note que ao excluir os divisores 1 e 12, restam 2, 3, 4 e 6, cujo produto é 2 3 3 3 4 3 6 5 (2 3 6) 3 (3 3 4) 5 12 3 12 5 122. Assim, concluímos que o produto dos divisores positivos de um inteiro, excluindo 1 e o próprio número, é igual ao quadrado do número se, e somente se, o número tem 6 divisores. Portanto, o número é da forma p5 ou p2  q, onde p e q são números primos positivos, distintos. Se o número é positivo menor do que 100, temos as 16 possibilidades seguintes: 25 5 32 22  3 512 22  5 5 20 22  7 5 28 22  115 44 22  13 5 52 22  17 5 68 22  19 5 76 22  23 5 92  

AL – BA – GO – PA – PB ­­– PI – RS – RN – SC 1 Resposta: (C) Completando a figura com quadradinhos de lado 1, vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado de área 9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25. Logo a área do retângulo é 45 3 1 9 1 2 3 4 1 1 25 5 45.

2 Resposta: (A) A quantidade utilizada de palitos é mínima quando o número de palitos de 7 cm é máximo. Como 200 5 28 3 7 1 4 5 26 3 7 1 3 3 6, o número mínimo de palitos é 29. 32  2 518 32  5 5 45 32  7 5 63 52  2 5 50 32  115 99   52  3 5 75        72  2 5 98

3 Resposta: (D) (x2 37)2 5132 x 2 37 513 ou x 2 37 5 213. Assim, x 5 50 ou x 5 24.

115

4 Resposta: (D) O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados que podem ser obtidos.

11

23 32

5 14

29

47 68 65 95 59 86

95

12 Resposta: (D) A sequência (D) não tem dois 4. 13 Resposta: (E) Existem 9 peças com duplos (0 2 0, 1 2 1, …, 8 2 8) 8 e 9 3 5 36 peças com números diferentes. 2 14 Resposta: (C) Os seis primeiros termos são: 32 2 4 5 5 (primo) 62 2 7 5 29 (primo) 2 4 2 5 5 11 (primo) 72 2 8 5 41 (primo) 2 5 2 6 5 19 (primo) e 82 2 9 5 55 5 5 3 11.

Outra solução: O n-ésimo termo da sequência é: 1 1 an 5 (n 1 2)2 2(n 1 3) 5 n2 1 3n 11 5 ( 4n2 112n 1 4) 5 ((2n 1 Nele, vemos que o maior é 95. 4 4 1 1 an 5 (n 1 2)2 2(n 1 3) 5 n2 1 3n 11 5 ( 4n2 112n 1 4) 5 ((2n 1 3)2 2 5) 4 4 5 Resposta: (E) Seja p um divisor primo de n2 1 3n 11. Igualando a soma dos valores da diagonal e da coluna que se cruzam no quadrado com mesmo núComo n2 1 3n 115n(n 11) 1 2n 11 é ímpar, p  2. 1 mero, temos 26 1 14 5 x 1 13, isto é, x 5 27. Assim, p ((2n 1 3)2 2 5) ⇔ (2n 1 3)2  5 (módulo p). 4 Portanto, 5 deve ser resíduo quadrático módulo p. 6 Resposta: (C) Logo, os menores valores de p são 5 e 11, de modo O algarismo final de n3 2 n2 é o mesmo algarismo que se an é composto an > 5 3 11. (Observe que an final de 73 2 72 5 294. não é um quadrado perfeito, pois (2n 1 2)2 , 4an , (2n 1 3)2 . 7 Resposta: (E) (2n 1 2)2 , 4an , (2n 1 3)2 ).. Como (n 1 2)2 2(n 1 3) 5 55 ⇔ n 5 6, o primeiro termo composto é o sexto. 42 Observação: Na verdade, utilizando a lei da reciprocidade quadrática, temos: 13 1 x 11 1 2x p2 1 5 2 1 p   5   5  p  p        5 (21) 2 2 ⇔   5   ⇔   51 ⇔ p  0,1 ou 4 ( p p 5 5         5 8 5 1 x xp1 6 2 1 52 1 p  p   5   5  p        5 (21) 2 2 ⇔   5   ⇔   51 ⇔ p  0,1 ou 4 (módulo 5). x 6 3  5  5p  5 p   5  Para saber o que é lei da reciprocidade quadrática e (13 1 x) 1 (11 1 2x) 5 42 x 5 6 p o símbolo   (que não é p dividido por q!), veja:  q 8 Resposta: (A) www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/ Fazendo as operações inversas, temos 220 1 5 5 225; node15.html e http://mathworld.wolfram.com/ 225 : 3 5 75; 75 2 1 5 74; 74 : 2 5 37, que é um núQuadraticReciprocityTheorem.html mero primo. 15 Resposta: (D) 9 Resposta: (E) Se KAB significa sim, a resposta correta à pergunta a 5 c 22, b 5 c 21 é sim, ou seja, KAB. Se KAB significa não, a resposta c2 2 ab 5 c2 2 (c 2 2)(c 2 1) 5 c2 2 (c2 23c 1 2) 5 correta à pergunta é não, ou seja, KAB. Assim, a pes5 3c 22 5 2(c 2 1) 1 c 5 2b 1 c soa diz a verdade nos dois casos, mas não podemos deduzir o significado verdadeiro da palavra KAB. 10 Resposta: (C) Uma parte da sequência, com 8 algarismos, repete 16 Resposta: (B) -se: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2. Dividindo 2 003 por 8, obtemos O pentágono pode ser decomposto em triângu3 como resto, e deste modo o 2 003o termo correslos e retângulos, conforme o desenho a seguir. ponde ao terceiro elemento da parte da sequência 3 1 3 1 2 1 3 1 3 3 A área do pentágono é 22 1 1 1 1 5 4 1 1 111 que se repete, isto é, 3. 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 1 3 1 3 3 3 19 cm2. 22 1 1 1 1 5 4 1 1 111 5 2 2 2 2 2 2 2 2 11 Resposta: (B) C

41

83

24 2 2 4 16 1 2 552 552 5 5 2 5 5 2 4, 8 5 0, 2 5 5 1 1 2 1 1 1 1 12 4 6 4 6 2

24 2 552 5 5 2 5 5 2 4, 8 5 0, 2 5 5 12

D

B

E A

116

17 Resposta: (C) Há 6 possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro.

18 Resposta: (C)

1

2

1

1

0

2

1

2

2

3

3

1

1

0

2

1

X

X X X

2002casas 22003  91001 22002  91001 22003  (32 )1001 22002  (32 )1001 22003Onúmero 32002 2de  32002marcadas 2 1 é 4. 1 1001 2003 5 2 1001 2003 1 2 1001 2003 5 2002 2003 1 2002 2003 5 1 51 1001 2003 4 3 4 3 (2 )  3 (2 )  3 2 3 2 3 3 3 22 Resposta: (C)  91001 22002  91001 22003  (32 )1001 22002  (32 )1001 22003  32002 22002  32002 2Como 1 5 1 1 5 1 5 1 5A 1 e B são consecutivos e AB 5 2 3 3 3 5 3  32003 41001  32003 (22 )1001  32003 (22 )1001  32003 22002  32003 22002  32003 33 73 3 11 3 13 3 17 5 (11 3 13) 3 (14 3 15) 3 17 é próximo de 122 3152 3 42 5 7202 , A e B são próxi)1001 22002  (32 )1001 22003  32002 22002  32002 2 1 1 5 1 5 1 5 1 mos de 720. 2003 (22 )1001  32003 22002  32003 22002  32003 3 3 Notando que 720 5 122 3 5 é próximo de 13 3 11 3 3 5, vemos que A 5 13 3 11 3 5 5 715 e B 5 2 3 3 3 19 Resposta: (C) 3 7 3 17 5 714. 2 3 7 2 100 3 100 7 100 11 , 5 , 2 (11 ) , (5 ) , (2 ) A soma dos algarismos de A é 7 1 1 1 5 5 13.

20 Resposta: (B) Vamos construir a árvore de possibilidades (Cara: c, Coroa: k)

23 Resposta: (D)

() k ⇒ Beatriz ganha (1/4) (41) (81) c ⇒ Nicole ganha (1/8) c 1 k ⇒ Beatriz ganha (1/8) ( 8) k ⇒ Isabele ganha (1/4) (41)

k

F

1 ⇒ Nicole ganha (1/4) 4

c

c

C

D

()

A

2

1

1

0

2

1

2

()

2

3

3

1

1

0

2

1

X

1

ABG  AMF

21 Resposta: (B) As casas vizinhas às casas com o número 0 não podem ser marcadas. Observando a casa da terceira linha e segunda coluna, concluímos que as três casas que sobraram foram marcadas: 1

2

x

Assim, as chances das jogadoras são as seguintes: 3 3 1 Beatriz , Nicole , e Isabele . 8 8 4

()

3

G

X

X

Como a casa do canto superior direito e sua vizinha à esquerda têm o número 1, as casas do canto superior direito e suas vizinhas à esquerda e abaixo não foram marcadas. O número na casa da quarta coluna e segunda linha indica que sua vizinha abaixo foi marcada. Por fim, o número no canto inferior direito mostra que a casa correspondente não foi marcada.

B 1/2 1

M

E

2

3 3 x 2 5 ⇒x5 . Então, a área do BFG é: 3 3 1 2 3 1 3 3 BG 3 BM 3 2 5 5 2 12 2 24 Resposta: (A) A estratégia é escolher o ímpar “no meio” de cada intervalo. Pedrinho pode começar com x 5 51, reduzindo as possibilidades a, no máximo, 25 ímpares (por exemplo, se a resposta for menor, o número será um ímpar entre 1 e 49, e nesse caso Pedrinho escolherá x 5 25). Continuando essa estratégia, Pedrinho reduzirá as possibilidades no próximo passo a, no máximo, 12 ímpares, depois a 6 ímpares, depois a 3 ímpares, e finalmente a 1 ímpar, acertando o número com, no máximo, 5 perguntas. 25 Resposta: (C) Os triângulos ABE e ACD são isósceles de bases AE e AD, respectivamente, pois AB 5 BE 5 20 e AC 5 CD 5 21. Se 2b e 2 são as medidas dos ângulos internos B e C do triângulo ABC, temos: BÊA 5 ˆ 5 CÂD 5 90° 2 . 5 BÂE 5 90° 2 b e CDA Logo: DÂE 5 180° 2 (90° 2 b) 2 (90° 2 ) 5 b 1 . Como 202 1 212 5 292, pela recíproca do teorema ˆ é reto. Logo, 90° 1 2b 1 de Pitágoras, o ângulo BAC ˆ 12 5 180° b 1  5 45°. Portanto, o ângulo DAE mede 45°.

117

(AB 1 FH)  AH 5 A área do trapézio ABFH é igual a: 2

SEGUNDA FASE ••••••

(

)

2

30 1 20 (AB 1 FH)  AH 5 5 25 1 20  30 1 Respostas:  Primeira solução: 2 2 Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, Como o trapézio é composto pelos triângulos ABE, ˆ é 90°; se respectivamente; a medida do ângulo BEF EHF e BEF, e a área dos triângulos congruentes ABE e ˆ a medida do ângulo HEF é x, então a medida dos ˆ ˆ ângulos EFH e AEB é 90° 2 x e, consequentemen20  30 EHF é , concluímos que a área do triânguˆ é x; como BE 5 EF (são te, a medida do ângulo ABE 2 lados do mesmo quadrado), então os triângulos 20  30 5 25 cm2 lo BEF é: 50 1 20  30 5 2  mencionados são congruentes (pelo caso ALA de 2 congruência de triângulos). 2 Primeira solução: G Todo número inteiro positivo n pode ser escrito na forma 2a  b, a  0, b  0 e b ímpar (chamamos b de C B parte ímpar de n). Considere dois números com a mesma parte ímpar: n1 5 2a1  b e n2 5 2a2  b. SuponF J do, sem perda da generalidade, que a1 , a2 , então temos que n1 é divisor de n2 . Assim, como de 1 a 26 temos 13 partes ímpares possíveis, a saber: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, D I H A E 23 e 25, cada um dos números deve ter uma parte ímpar diferente. Considerando que 1 divide todos os números inteiros, o número com parte ímpar 1 é Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escre2 2 2 o que deve ter maior a. ver BE 5 AB 1 AE , o que mostra que a área do Porém, 4 5 22  1 está entre os números escolhidos; quadrado BEFG é a soma das áreas dos quadrados logo, para os demais números escolhidos, devemos ABCD e FHIJ, ou seja, 30 1 20 5 50 cm2. ter a 5 0 ou a 5 1. E podemos determinar todas as escolhas possíveis: Segunda solução: Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, ˆ é 90°; respectivamente; a medida do ângulo BEF ˆ se a medida do ângulo HEF é x, então a medida dos ˆ e AEB ˆ é 90° 2 x e, consequentemenângulos EFH ˆ é x; como BE 5 EF (são te, a medida do ângulo ABE lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Como o quadrado ABCD tem área igual a 30 cm2, concluímos que seus lados medem 30 cm ; o quadrado FHIJ tem área igual a 20 cm2, logo seus lados medem 20 cm. Temos então, BA 5 EH 5 30 cm e FH 5 AE 5 20 cm. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever BE2 5 AB2 1 AE2 , ou seja, a área do quadrado BEFG é 50 cm2. Terceira solução (sem usar o teorema de Pitágoras): Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do ânguˆ é 90°; se a medida do ângulo HEF ˆ é x, enlo BEF ˆ ˆ tão a medida dos ângulos EFH e AEB é 90° 2 x ˆ e, consequentemente, a medida do ângulo ABE é x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Como o quadrado ABCD tem área igual a 30 cm2, concluímos que seus lados medem 30 cm; o quadrado FHIJ tem área igual a 20 cm2, logo seus lados medem 20 cm. Temos, então: BA 5 5 EH 5 30 cm e FH 5 AE 5 20 cm.

118

• 3 é divisor de 9; 15 e 21. Logo, 2  3 5 6, 9, 15 e 21 devem estar na nossa escolha. • 5 é divisor de 15 e 25. Logo, 2  5 510 e 25 devem estar na nossa escolha. • 7 é divisor de 21. Logo, 2  7 514 deve estar na nossa escolha. • Com parte ímpar 11 podemos escolher 11 ou 22, e com parte ímpar 13, 13 ou 26. As demais escolhas são 17, 19 e 23. Portanto, as escolhas possíveis são (ordenadas segundo a parte ímpar): 4; 6; 10; 14; 9; 11 ou 22; 13 ou 26; 15; 17; 19; 21; 23; 25. Segunda solução: Se houvesse apenas a condição 2, poderíamos escolher os números 14, 15, 16, …, 26. Porém, temos de escolher o 4, o que nos impede de escolher os números 16, 20 e 24. Olhando os números restantes que não são divisores dos múltiplos de 4 (ou seja, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11), observamos que o número 10 pode ser adicionado às nossas escolhas e nenhum mais. Ficamos, então, com 12 números: 4, 10, 14, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 25 e 26. Devemos tirar um deles, pelo menos, para acrescentar dois. A retirada do 18 permite que acrescentemos o 6 e o 9, completando nossa solução: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25 e 26 (de fato, podemos colocar 11 no lugar de 22 ou 13 no lugar do 26).

(

)

2

30 1 20 2

3 Primeira solução: Vamos usar a notação [X] para denotar a área do polígono X.

A

M E

4 Resposta: Primeira solução: Os divisores positivos de um número inteiro N são d1, d2 , d3 , …, dk , tais que 15 d1  d2  d3  …  dk 5N e podemos observar que 1  N 5 d2  dk 21 5 d3  dk 22 etc. Por exemplo, os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, de forma que 1 3 12 5 2 3 6 5 3 3 4. Note que ao excluir os divisores 1 e 12, restam 2, 3, 4 e 6, cujo produto é 2 3 3 3 4 3 6 5 (2 3 6) 3 (3 3 4) 5 12 3 12 5 122. Assim, concluímos que o produto dos divisores positivos de um inteiro, excluindo 1 e o próprio número, é igual ao quadrado do número se, e somente se, o número tem 6 divisores. Portanto, o número é da forma p5 ou p2  q, onde p e q são números primos positivos, distintos. Se o número é positivo menor do que 100, temos as 16 possibilidades seguintes:

B F

P D

N

C

Sejam E e F os pontos de interseção como mostrados na figura. Sejam AB 5 2a e BC 5 2b. Então AM 5 MB 5 DN 5 NC 5 a e ME 5 EN 5 b. Trace AN e seja P o ponto de interseção dos segmentos AN e BD. Os segmentos AN e MC são paralelos (pois AM 5 NC e AM || NC). Como M é ponto médio de AB e MF || AP, temos que F é o ponto médio do segmento PB. Analogamente, P é o ponto médio do segmento DF. Segue então que DP 5 PF 5 FB. Por simetria, verificamos que PE 5 EF e então EF 1 5 . Portanto, podemos escrever: FB 2 [MEF] 1 5 [MBF] 2 1 Por outro lado, [MBE] 5 , [ABD] 5125, 4 125 250 1 2 [MEF] 5 125 5 cm2 e [MBF] 5 125 5 cm2 . 3 3 3 3

A

P D

, obtemos: 125 3[MEF] 5125 ⇒ [MEF] 5 3 1

de

2

32  2 518 32  5 5 45 52  2 5 50 32  7 5 63 32  115 99   52  3 5 75   72  2 5 98

Segunda solução: O produto de todos os divisores d(N)

positivos de um número inteiro N é igual a N 2 , em que d(N) é o número de divisores positivos de N. O produto de todos os divisores positivos exceto 1 e d(N)

d(N) N2 21 5N 2 . N d(N) M B d(N) d(N) 21 215 2 ⇔ 5 3 ⇔ d(N) 5 6 Temos, então, N 2 5N2 ⇔ 2 2 d(N) d(N d(N ) ) 21 N 2 5N2 ⇔ 215 2 ⇔ 5 3 ⇔ d(N) 5 6. Portanto, o produto dos divisores 2 2 positivos diferentes de N é o quadrado de N se, e E F so­mente se, N tem 6 divisores positivos. Logo o número é da forma p5 ou p2  q , em que p e q são números pri­mos positivos, distintos. Se o número é positivo menor do que 100, temos as 16 seguintes N C possibilidades:

Segunda solução: Observe que ME || BC e MB || DC. Assim, temos as semelhanças de triângulo: • MEF BCF (na razão de 1 : 2) • MBF CFD (na razão de 1 : 2) Lembrando que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, temos: [BCF] 5 4[MEF] e [CDF] 5 4[MBF]. Também, [BCD] 5500 (metade da área do retângulo) e área do [MCB] 5250 (metade da área do retângulo MNCB, que é a metade da área do retângulo). Portanto: [CFD] 1 [BCF] 5 [BCD] 5 500 ⇒ ⇒ 4[MBF] 1 4[MEF] 5 500 ⇒ [MBF] 1 [MEF] 5125 1 e [MBF] 1 [BCF] 5 [MCB] 5 250 ⇒        2 ⇒ [MBF] 1 4[MEF] 5 250 Subtraindo

25 5 32 22  3 512 22  5 5 20 22  7 5 28 22  115 44 22  13 5 52 22  17 5 68 22  19 5 76 22  23 = 92  

Né

25 5 32 22  3 512 22  5 5 20 22  7 5 28 22  115 44 22  13 5 52 22  17 5 68 22  19 5 76 22  23 5 92

    

32  2 518 32  5 5 45 32  7 5 63 32  115 99

   

52  2 5 50 52  3 5 75

   

72  2 5 98

5 Resposta: (a) Fazendo x 5 y 5 1, obtemos [f (1)]2 2 f (1) 5 2.   Resolvendo a equação, obtemos f(1) 5 2 ou f(1) 5 5 2 1. Este último valor não serve, pois o contradomínio da função é o conjunto dos números reais estritamente positivos. Portanto, f(1) 5 2. (b) Fazendo y 5 1 na identidade do problema ob1 temos f ( x)f (1) 2 f ( x) 5 x 1 . x Substituindo o valor de f(1), obtemos a fórmula 1 para f(x): f ( x)5 x 1 x

119

resolver o problema é determinar todas as soluções 6 Resposta: inteiras (m, n) de m2 1 n2 5 10 001, com m par e Vamos separar o número de quatro dígitos em n ímpar. Se dois números podem ser escritos como duas partes: os dois primeiros dígitos, da esquerda soma de dois quadrados, então o produto dos mespara a direita, formam o número x e os dois restanmos também pode, pois, escrevendo p 5 r2 1 s2 e tes formam o número y. 2 2 q 5 t2 1 u2, temos: Então a propriedade significa que 100x 1 y 5 x 1 y . Essa igualdade pode ser considerada uma equação pq 5 (r2 1 s2 )( t2 1 u2 ) 5 (rt 1 ts)2 1 (ru 2 st)2 . do segundo grau em x: Observando que 10 001 5 73 3 137 5 (82 1 32 ) 3 (112 1 42 ), x2 2100x 1 y2 2 y 5 0 . 3 2 2 2 2 2 Resolvendo, encontramos: 10 001 5 73 3 137 5 (82 1 32 ) 3 (112 1 42 ), obtemos: (8 1 3 ) 3 (11 1 4 ) 5 (8 3111 3 3 4) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x 5 50  2 500 2 ( y2 2 y)   4 (8 1 3 ) 3 (11 1 4 ) 5 (8 3111 3 3 4) 1 (8 3 4 2 3 311) 5100 11

Com o exemplo do enunciado, y 5 33 resulta em (82 1 32 ) 3 ( 42 1112 ) 5 (8 3 4 1113 3)2 1 (8 3112 3 3 4)2 5 652 1 7 x 5 12 com o (sinal (2) na expressão: 82 1 32 ) 3 ( 42 1112 ) 5 (8 3 4 1113 3)2 1 (8 3112 3 3 4)2 5 652 1 762 x 5 50 2 1444 5 50 2 38 512 Naturalmente, outra solução aparece quando colocamos o sinal (1) na mesma expressão: x1 5 50 1 1444 5 50 1 38 5 88 Então, outro número com a mesma propriedade é 8 833 5 882 1 332. Comentários: A equação x2 2100x 1 y2 2 y 5 0 é equivalente a (2x 2100)2 1 (2y 21)2 510 001. Outra maneira de

120

É possível mostrar que todas as maneiras de escrever 10 001 como soma de dois quadrados são as do tipo (m, n) 5 (100, 1) ou (m, n) 5 (65, 76) e suas permutações. A primeira solução nos dá 2x 2 100 5 100, re­ sultado em x 5 0 ou x 5 100, que não servem para o problema. A segunda solução resulta em 2y 2 1 5 65 e 2x 2 100 5 76, de onde obtemos (x, y) 5 (88, 33) ou (x, y) 5 (12, 33).

XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2002 RESOLUÇÕES 8 Resposta: (D) A linha é composta da repetição da figura ao lado, cujo comprimento é 9. Cada figura inicia num ponto representado por um múltiplo de 3 no eixo horizontal: 0, 3, 6, ..., 30. A 11a figura, incompleta, tem comprimento 7. Portanto, o comprimento da linha poligonal é igual a 97 (10 3 9 1 7 5 97 ).

Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional BA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC 1 Resposta: (C)

(24)8 5 232 5 232 5 232 51 (48)2 416 (22)16 232

2 Resposta: (C) Examinando o desenho, vemos que há um total de 14 caixas na pilha. Portanto, a pilha pesa 350 kg (25 314 5 350 ). 3 Resposta: (B) Observando a balança, vemos que 3 saquinhos (diferença do número de saquinhos entre os dois pratos) pesam o mesmo que 6 bolinhas (diferença do número de bolinhas entre os dois pratos). Logo, cada saquinho tem 2 bolinhas. 4 Resposta: (B) A soma dos números de 1 a 9 é 45. Ao colocar 1 no meio, podemos escrever numa das “pás” 22 5 9 1 1 6 1 5 1 2 e na outra 22 5 8 1 7 1 4 1 3. Essa não é a única possibilidade, mas isso não muda o fato de que a maior soma possível em cada pá é igual a 22. 5 Resposta: (D) O total de letras nas cinco respostas é 63, sendo 13 nas respostas das alternativas A e B, 9 na resposta da alternativa C, 12 na resposta da alternativa D e 16 na resposta da alternativa E. Como 63 2 13 5 5 50, 63 2 9 5 54, 63 2 12 5 51 e 63 2 16 5 47, a única alternativa correta é a D. 6 Resposta: (D) 1 Para a loja C foi vendido da produção 10 1 2 9 1   12  1  512 5 , no total de 2 500 uni 2 5 10 10 dades. Portanto, a produção total da fábrica foi de 25 000 latas (10 3 2500 5 25000 ). 7 Resposta: (B) 1 Cada retângulo tem comprimento 1 e largura ; 4 portanto, o buraco quadrado tem lado de medida 2 1 3 3 9 igual a 12 5 e sua área é   5 .  4 4 4 16

9 Resposta: (C) Dois inteiros consecutivos positivos podem ser representados por n e n11, sendo n 1, e a diferença entre seus quadrados é igual a: (n 11)2 2n2 5 n2 1 2n 112n2 5 2n 11 5 (n 11) 1n, resultado igual à soma desses números. 10 Resposta: (B) O tempo necessário para voltar para casa e depois fazer todo o percurso até a escola foi de 18  minutos (pois ia chegar 8 minutos adiantado, mas acabou chegando 10 minutos atrasado), tempo correspondente à distância a mais que percorreu, exatamente o dobro da distância entre o ponto de retorno e sua casa. Portanto, levou 9 minutos para ir de sua casa até o ponto de retorno, o que 9 corresponde a da distância de sua casa até a 20 escola. 11 Resposta: (D) - A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico fica claro que em nenhum dos meses o faturamento de A é o dobro do faturamento de B. - A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença de faturamento entre as duas empresas foi mais de 80 milhões, maior do que a diferença em julho, que foi de 60 milhões. - A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que teve a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos (100 milhões entre os meses de agosto e setembro). - A alternativa D é correta, pois no semestre o faturamento de B foi de 860 milhões, e o faturamento de A foi maior que 860 milhões e menor que 880 milhões. - A alternativa E é falsa, pois a diferença de fatu­ ramento no semestre foi menor que 20 milhões.

121

12 Resposta: (C)

(

)

900 O custo de combustível é 120 reais 31, 60 5120 . 12 Com o pedágio, o custo da viagem é 168 reais (120  1  48  5  168). Cada um dos três viajantes irá 168 pagar 56 reais 5 56 . Nesse caso, Patrícia irá 3 economizar 24 reais (80  2  56  5  24).

(

)

13 Resposta: (B) Observemos que um ônibus tem a mesma capa48 cidade que   5  8 “vans”. Para colocar crianças 6 que caberiam em k 1 1 ônibus, precisaríamos de pelo menos 8k “vans”. O gasto com ônibus seria 237 1 120(k 1 1) 5 120k 1 357 e o gasto com “vans” seria pelo menos 60 ? 8k 5 480k, que é maior que o preço do ônibus para k maior ou igual a 1, isto é, quando precisarmos de 2 ou mais ônibus. Se utilizarmos um ônibus, pagaremos 357 reais (237 1 120 5 357) para levar até 48 crianças. Co­ mo  357 reais são suficientes para pagar 5 “vans”, mas não 6, é mais vantajoso utilizar ônibus se ­forem necessárias pelo menos 6 “vans”, o que acontece quando levamos pelo menos 31 crianças (5 ? 6 1 1 5 31). Logo, N 5 31. 14 Resposta: (D) Supondo que haja dois números a e b maiores do que 1, entre os fatores do produto, podemos sempre substituir esses fatores por ab e 1, já que ab 1 1  . a 1 b (ao fazer isso, estamos aumentando o valor da soma). Dessa forma, chegamos ao produto 1 ? 1 ? 1 ? ... ? ? 1 ? 1 000 000, com 999 999 fatores iguais a 1 e um fator igual a 1 000 000, cuja soma é 1 999 999. 15 Resposta: (A) Ao dividir a mesa em um tabuleiro 5 3 7, temos a seguinte figura, com a trajetória da bola:

16 Resposta: (C) A figura é determinada por um conjunto de circunferências concêntricas, com um eixo de simetria vertical (simetria de contornos), passando pelo centro dessas circunferências. Cada região em negro tem uma região simétrica, em branco. Logo, a área negra é igual à área branca, ou seja, é igual à metade da área do círculo maior. 17 Resposta: (D) Na figura 1, temos 2 palitos brancos; na figura 2, temos 7 palitos brancos; na figura 3, temos 12 palitos brancos etc. Isso mostra que a sequência de figuras é formada acrescentando sempre 5 palitos brancos à quantidade anterior. Assim, na figura de número 2 002, teremos 10 007 palitos brancos 2 1 (2 001) ? 5 5 10 007. 18 Resposta: (B) Pela tabela, vemos que, cada vez que são retirados 200 litros de leite, o nível do tanque baixa 40  cm; portanto, o nível baixa 1 cm, quando são 200 enchidas 5 garrafas 5 5 . Assim, o tanque fi40 cará vazio quando forem enchidas 1 050 garrafas ( 210 3 5 51050 ).

(

19 Resposta: (D) Nas unidades, do 105 ao 995, o algarismo 5 aparece 90 vezes, nas dezenas, do 150 ao 259, do 250 ao 259, …, do 950 ao 959, o algarismo 5 aparece 90  vezes e finalmente, nas centenas, do 500 ao 599, o algarismo 5 aparece 100 vezes, totalizando assim 280 vezes (90 1 90 1 100 5 280). 20 Resposta: (A) Seja W 5 2 000 2 V. Assim, após a primeira substituição, há certo volume W de leite e V de água. Na segunda substituição, retira-se um W WV ? V5 volume de leite. Assim, W1V 2 000 W2

W2

)

WV W(2 000 2 V ) W2 5 1125 ⇔ 5 1125 ⇔ 5 1125 2 000 2 000 2 000

WV W(2 000 2 V ) W2 5 1125 ⇔ 5 1125 ⇔ 5 1125 , e desse modo obtemos W 5 2 000 2 000 2 000 5 1 500 litros e V 5 500 litros.

Partida

Observando a figura, nota-se que a bola bate na tabela 10 vezes antes de bater novamente em um canto. Observação: pode-se demonstrar que se a razão entre a largura e o comprimento é a fração irredutível a  , a bola bate na tabela a 1 b 2 2 vezes nas tabeb las antes de bater novamente em um canto. A ideia para obter esse resultado é construir um quadrado de lado ab com retângulos a 3 b e contar o número de vezes que a diagonal do quadrado corta os lados dos retângulos.

SEGUNDA FASE •••••• 1 Resposta: a) Os palíndromos entre 2 000 e 3 000 são da forma 2aa2, em que a é um algarismo. Logo, os próximos quatro serão 2 112, 2 222, 2 332 e 2 442. b) Como o primeiro algarismo é igual ao último, um palíndromo ímpar maior que 2 002 deve começar e terminar por um número ímpar maior ou igual a 3. Logo, o próximo será 3 003.

122

2 Resposta: Seja S a área do triângulo ABC. S BC Se BD 5 ,   então (ABD) 5 . 4 4

6 Resposta: Como a diferença entre o 17 e o 3 é 14, esses números devem estar em posições afastadas de 14 casas, contadas na horizontal ou vertical. Portanto, 17 e 3 devem ocupar as extremidades de uma das diagonais do tabuleiro. A partir disso, o preenchimento das diagonais é feito de maneira única. E uma maneira de se preencher o tabuleiro é a seguinte:

S 3S AC (ADC) S 2 4 S Se AE 5 ,  então (AED) 5 5 5 4 5 3 4 3 3 3 DC (DEC) Se DF 5 ,  então: (DEF) 5 5 2 2 (EFC) Se EG 5 EC, então (GFC) 5 5 2 Como (GFC) 5 40, temos:

 S S S 2 1   4 4 S 5 2 4

17 16 15 14 13 12 11 10

 3S S 2   4 S 5 2 8

S 5 40 ⇔ S 5 320 alqueires 8

3 Resposta: Uma possível solução é: 2 002, 200, 20, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 51, 102, 204, 408, 816, 1 632, 163, 326, 652, 1 304, 130, 13. 4 Resposta: Como os sapatos de Marisa eram azuis, e nem o vestido nem os sapatos de Júlia eram brancos, conclui-se que os sapatos de Júlia eram pretos; portanto, os sapatos de Ana eram brancos. O vestido de Ana era branco, pois era a única que usava vestido e sapatos da mesma cor; consequentemente, o vestido de Júlia era azul e o de Marisa era preto. 5 Resposta: A soma dos pontos é 40. Segundo as regras do jogo, as possibilidades são:

20

20

20 + 20

(1)

15 – 5 10 10 5–5

20 + 15 + 5

(2)

20 + 10 + 10

(3)

5–5–5–5

20 + 5 + 5 + 5 + 5 (5)

15

15

10 5

15 14 13 12 11 10 9 8

14 13 12 11 10 9 8 7

13 12 11 10 9 8 7 6

12 11 10 9 8 7 6 5

11 10 9 8 7 6 5 4

10 9 8 7 6 5 4 3

A soma dos números escritos nas diagonais é 160 8 3 10 1 (3 1 5 1 ... 1 17) 5 160.

Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• a 1.   Fase Olimpíada Regional BA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC 1 Resposta: (C) Sejam 27 000 2 x e x os preços de compra do primeiro e do segundo carros, respectivamente. Temos 1,1 (27 000 2 x) 1 0,95x 5 27 000 1 750 0,15x 5 1 950 x 5 13 000 27 000 2 x 5 14 000 2 Resposta: (A) Ao dividir a mesa em um tabuleiro 5 3 7, temos a seguinte figura, com a trajetória da bola:

20 + 10 + 5 + 5 (4)

10 5–5

15 + 15 + 10 (6) 15 + 15 + 5 + 5 (7)

10

15 + 10 + 10 + 5 (8)

5

Partida

(9) 15 + 10 + 5 + 5 + 5 (9)

5–5

5–5–5–5–5

15 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 (10)

10 10

16 15 14 13 12 11 10 9

10 5–5–5–5

5–5

10 + 10 + 10 + 10 (11) 10 + 10 + 10 + 5 + 5 (12) 10 + 10 + 5 + 5 + 5 + 5 (13)

Nãodá,dá, pois apenas 5 varetas verdes. 10 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5  não pois háhá apenas 5 varetas verdes.

123

Observando a figura, nota-se que a bola bate na tabela 10 vezes antes de bater novamente em um canto. Observação: pode-se demonstrar que a razão entre a a largura e o comprimento é a fração irredutível , b a bola bate na tabela a 1 b 2 2 vezes nas tabelas antes de bater novamente em um canto. A ideia para obter esse resultado é construir um quadrado de lado ab com retângulos a 3 b e contar o número de vezes que a diagonal do quadrado corta os lados dos retângulos.

3 Resposta: (A) As telas são retângulos semelhantes, e a razão de 20 1 semelhança é 5 . Logo, a razão entre as áreas 60 3 2 1  1 é   5 . Portanto, cabem 9 telas de 20 polega 3 9 das em uma de 60 polegadas.

10 Resposta: (B) Como os quadrados, trapézios e triângulos são congruentes entre si, devemos ter o lado do quadrado igual à altura do trapézio, igual a cada cateto do triângulo, igual à terça parte do lado do quadrado maior. Foram eliminados dois triângulos e um quadrado, cuja soma das áreas equivale à área de dois quadrados de lado igual à terça parte 2 1 2 do original, ou seja, 2 3   5 da área do qua 3 9 drado original.

4 Resposta: (A) Seja W 5 2 000 2 V. Assim, após a primeira substituição, há certo volume W de leite e V de água. Na segunda substituição, retira-se um W WV ? V5 volume de leite. Assim, 11 Resposta: (D) W1V 2 000 WV W(2 000 2 V ) W2 - A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico W2 5 1125 ⇔ 5 1125 ⇔ 5 1125 2 000 2 000 2 000 fica claro que em nenhum dos meses o fatura000 2 V ) W2 mento de A é o dobro do faturamento de B. 5 1125 ⇔ 5 1125 , e desse modo obtemos 2 000 2 000 - A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença W 5 1 500 litros e  V 5 500 litros. de faturamento entre as duas empresas foi mais de 80 milhões, maior do que a diferença em julho, 5 Resposta: (E) que foi de 60 milhões. Os 60 passos que João tem de vantagem equiva- A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que 2 lem a 40 passos de Pedro 3 60 5 40 . Quando teve a maior queda de faturamento entre dois 3 João dá 6 passos, percorre uma distância equivameses consecutivos (100 milhões entre os meses lente a 4 passos de Pedro. Assim, a cada 5 passos, de agosto e setembro). Pedro aproxima-se de João o equivalente a 1 pas- A alternativa D é correta, pois no semestre o fatuso, alcançando-o após 200 passos (40 3 5 5 200). ramento de B foi de 860 milhões, e o faturamento de A foi maior que 860 milhões e menor que 6 Resposta: (C) 880 milhões. Dois inteiros consecutivos positivos podem ser re- A alternativa E é falsa, pois a diferença de fatu­ presentados por n e n11, sendo n 1, e a diferenramento no semestre foi menor que 20 milhões. ça entre seus quadrados é igual a:

(

)

(n 11)2 2n2 5 n2 1 2n 112n2 5 2n 11 5 (n 11) 1n, resultado igual à soma desses números. 7 Resposta: (B) O tempo necessário para voltar para casa e depois fazer todo o percurso até a escola foi de 18  minutos (pois ia chegar 8 minutos adiantado, mas acabou chegando 10 minutos atrasado), tempo correspondente à distância a mais que percorreu, exatamente o dobro da distância entre o ponto de retorno e sua casa. Portanto, levou 9 minutos para ir de sua casa até o ponto de retorno, o que corres9 da distância de sua casa até a escola. ponde a 20 8 Resposta: (B) A soma dos números de 1 a 9 é 45. Ao colocar 1 no meio, podemos escrever numa das “pás” 22 5 9 1 1 6 1 5 1 2 e na outra 22 5 8 1 7 1 4 1 3. Essa não é a única possibilidade, mas isso não muda o fato de que a maior soma possível em cada pá é igual a 22. 9 Resposta: (C) 900 O custo de combustível é 120 reais 31, 60 5120 . 12 Com o pedágio, o custo da viagem é 168 reais (120 1 48 5 168). Cada um dos três viajantes irá pa168 5 56 . Nesse caso, Patrícia irá ecogar 56 reais 3 nomizar 24 reais (80 2 56 5 24).

(

(

)

12 Resposta: (D) Supondo que haja dois números a e b maiores do que 1, entre os fatores do produto, podemos sempre substituir esses fatores por ab e 1, já que ab 1 1 . . a 1 b (ao fazer isso, estamos aumentando o valor da soma). Dessa forma, chegamos ao produto 1 ? 1 ? 1 ? ... ? ? 1 ? 1 000 000, com 999 999 fatores iguais a 1 e um fator igual a 1 000 000, cuja soma é 1 999 999. 13 Resposta: (C) Como a lavagem completa é mais cara, o menor número de clientes ocorre quando o número c de lavagens completas for máximo. Como 176 5 7 3 3 25 1 1, então c < 25. Além disso, 176 ­2 7c deve ser múltiplo de 5; portanto, c deve terminar em 3 ou em 8. Logo, o valor máximo de c é 23, em cujo caso 176 2 23 3 7 o número de lavagens simples é 3 53 . 5 O menor número possível de clientes é 26 (23 1 1 3 5 26).

(

)

14 Resposta: (B)

)

124

1 ; 4 portanto, o buraco quadrado tem lado de medida 2 1 3 3 9 igual a 12 5 e sua área é   5 .  4  16 4 4 Cada retângulo tem comprimento 1 e largura

15 Resposta: (D) Um número inteiro positivo menor que 900 e que termina em 7 é da forma 10x 1 7, em que x é um inteiro e 0 < x < 89. Além disso, 10x 1 7 é múltiplo de 7 se, e somente se, 10x é múltiplo de 7. Como mdc (10, 7) 5 1, isso equivale a dizer que x é múltiplo de 7. Como há 13 múltiplos de 7 de 0 a 89 (0, 7, 14,…, 12 3 7 5 84), há 13 inteiros positivos menores que 900, múltiplos de 7 e que terminam em 7. 16 Resposta: ( C) Bˆ 5180o 2 Aˆ 2 Cˆ 5180o 2 80° 2 40o 5 60o A 40o

X

30o

B Seja X o ponto de encontro entre as bissetrizes de Aˆ e Bˆ . O ângulo pedido é ângulo externo do triânˆ 1 XBA ˆ 5 30o 1 40o 570o . gulo XAB; logo, vale XAB 17 Resposta: (C) DHC  DEF ⇒

HC DH 1 5 5 ⇒ HC 5 45 cm EF DE 2

G

21 Resposta: (B) Observemos que um ônibus tem a mesma capaci48 dade que 5 8 “vans”. Para colocar crianças que 6 caberiam em k 1 1 ônibus, precisaríamos de pelo menos 8k “vans”. O gasto com ônibus seria 237 1 1 120(k 1 1) 5 120k 1 357 e o gasto com “vans” seria pelo menos 60 ? 8k 5 480k, que é maior que o preço do ônibus para k maior ou igual a 1, isto é, quando precisarmos de 2 ou mais ônibus. Se utilizarmos um ônibus, pagaremos 357 reais (237 1 120 5 357) para levar até 48 crianças. Como 357 reais são suficientes para pagar 5 “vans”, mas não 6, é mais vantajoso utilizar ônibus se forem necessárias pelo menos 6 “vans”, o que acontece quando levamos pelo menos 31 crianças (5 ? 6 1 1 5 5 31). Logo, N 5 31. 22 Resposta: (A) Sendo h a altura inicial de Alice, sua altura final será 0,99h (1,25 3 0,9 3 1,1 3 0,8h 5 0,99h). Ou seja, ela ficou 1% mais baixa. 23 Resposta: (C ) Como a  4 e a 5 b, b  4. Logo 4 2 b , 0. Assim, na passagem 4, o correto seria:

F

BC 5 15 cm

C

A

B D

H

(a 2 4)2 5 ( 4 2b)2

E

a 2 4 5 4 2b

a 2 4 5b 2 4

24 Resposta: (D) O total de letras nas cinco respostas é 63, sendo 13 nas respostas das alternativas A e B, 9 na resposta da alternativa C, 12 na resposta da alternativa D e 16 na resposta da alternativa E. Como 63 2 13 5 50, 63 2 9 5 54, 63 2 12 5 51 e 63 2 16 5 47, a única alternativa correta é a D.

AB DE 2 25 Resposta: (D) 5 5 ⇒ AB 510 cm BC EF 3 10 5 1010 2 2 3 1111111111222 222 5 10 212 2 3(10 21) 5 10 3 15 9 9 9 575 cm2 Logo, área ABC5 2 10 5 1010 2 2 3 105 1 1 105 2 1 1111111111222 222 5 10 212 2 3(10 21) 5 5 5 33 333 . Para 9 3 9 9 18 Resposta: (D) calcular o resto da divisão por 9, basta somar os A linha é composta da repetição al­ garismos: 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 15, 1 1 5 5 6. da figura ao lado, cujo compriO resto é 6. mento é 9. Cada figura inicia num ponto representado por SEGUNDA FASE um múltiplo de 3 no eixo horizontal: 0, 3, 6, ..., 30. A 11a figura, incompleta, tem •••••• comprimento 7. Portanto, o comprimento da linha 1 Resposta: poligonal é igual a 97 (10 3 9 1 7 5 97 ). Seja t  0 o tempo, em minutos, decorrido desde a saída de Geraldinho e Magrão até o instante do 19 Resposta: (D) encontro. Nas unidades, do 105 ao 995, o algarismo 5 apaSejam g e m as distâncias entre o ponto de encontro rece 90 vezes, nas dezenas, do 150 ao 259, do 250 e as casas de Geraldinho e Magrão, respectivamenao 259, ..., do 950 ao 959, o algarismo 5 aparece te. Como Geraldinho percorre a distância g em t mi90 vezes e, finalmente, nas centenas, do 500 ao g t nutos e a distância m em 10 minutos, temos: 5 . 599, o algarismo 5 aparece 100 vezes, totalizando m 10 assim 280 vezes (90 1 90 1 100 5 280). t 40 g 40 5 ⇔ t2 5 400 ⇔ Analogamente, . Logo: 5 t 10 m t 20 Resposta: (B) t 40 5 ⇔ t2 5 400 ⇔ t 5 20 , pois t  0. Logo, Geraldi2 t 10 x 2 y2 x 4 1 y 4 1 2x2 y2 (x2 1 y2) 25 nho andou 30 minutos (10 1 20 5 30), e Magrão 1 12 5 5 5 4 y2 x 2 x 2 y2 ( xy)2 andou 60 minutos (40 1 20 5 60). ABC  DEF ⇒

125

2 Resposta:

4 Resposta: Observar que o posto do observador coincide com o centro do círculo circunscrito. No círculo circunscrito ao quadrilátero ABCD, temos: ˆ 5 90°. BCD 5 2 ? BAD Como BD 516, sendo O o centro do círculo circunsˆ 590° e BO 5 OD 5r , 162 5r2 1 r2 crito, temos BOD

w z

verde

x

azul co an br

y

pelo teorema de Pitágoras, logo r5 128 5 8 2 . Assim, a distância do posto (que deve ficar em O) aos ninhos é de 8 2 metros.

amarelo

Sejam x, y, z e w as áreas das regiões branca, amarela, azul e verde, respectivamente. π R2 Seja R o raio do semicírculo. Temos: x 1 y 5 2 1 π R2 e y 1 z 5 x 1 w 5 π(2R)2 5 . 8 2 Assim, x 1 y 5 y 1 z 5 x 1 w, logo: x 5 z e y 5 w. Como x é a área de um segmento circular de π R2 R2  π 2 2  2 ângulo 90° e raio R, x 5 2 5 R e 4 2  4   π 1 2 2 y 5 R .  4  Assim: x 5 z  y 5 w. 3 Resposta: Como a diferença entre o 17 e o 3 é 14, esses números devem estar em posições afastadas de 14 casas, contadas na horizontal ou vertical. Portanto, 17 e 3 devem ocupar as extremidades de uma das diagonais do tabuleiro. A partir disso, o preenchimento das diagonais é feito de maneira única. E uma maneira de se preencher o tabuleiro é a seguinte: 17

16

15

14

13

12

11

10

16

15

14

13

12

11

10

9

15

14

13

12

11

10

9

8

14

13

12

11

10

9

8

7

13

12

11

10

9

8

7

6

12

11

10

9

8

7

6

5

11

10

9

8

7

6

5

4

10

9

8

7

6

5

4

3

5 Resposta: Os primeiros números da sequência são (7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5...) de onde vemos que, exceto pelos 4 primeiros termos, a sequência é periódica com período 3. Como 2 002 deixa resto 1 quando dividido por 3, o número procurado coincide com aquele que ocupa o 7o lugar na sequência, a saber, 11. Observação: Para qualquer termo inicial, a sequência construída de acordo com o método descrito no enunciado do problema será eventualmente periódica, (isto é teremos an 1 k 5 ak para todo k > m, para certos valores positivos de m e n). 6 Resposta: a) Os palíndromos entre 2 000 e 3 000 são da forma 2aa2, em que a é um algarismo. Logo, os próximos quatro serão 2 112, 2 222, 2 332 e 2 442. b) Como o primeiro algarismo é igual ao último, um palíndromo ímpar maior que 2 002 deve começar e terminar por um número ímpar maior ou igual a 3. Logo, o próximo será 3 003. c) Um palíndromo de quatro algarismos é da forma abba 5 a 1 10b 1 100b 1 1 000a 5 1 001a 1 1 110b, que é múltiplo de 11, já que 110 e 1 001 são múltiplos de 11. Logo, o próximo ano palíndromo primo tem, no mínimo, 5 algarismos. Os menores palíndromos de 5 algarismos são 10 001, que é múltiplo de 73 e 10 101, que é múltiplo de 3. O próximo é 10 201 5 1012, divisível por 101. O seguinte, 10 301, é primo, pois não é divisível por qualquer primo menor que 10 301 , 102 .

A soma dos números escritos nas diagonais é 160 8 3 10 1 (3 1 5 1  . . .  1 17) 5 160.

126

XXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2001 RESOLUÇÕES Nível 1 (6o.   e 7o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional AM – GO – PA – RJ – RS – SC 1 Resposta: (E) Para que a diferença entre esses dois números naturais seja a menor possível, os algarismos das centenas desses números devem diferir em uma unidade. Além disso, os algarismos da dezena e unidade devem ser os menores possíveis, ou seja, 02, para o número formado apenas por algarismos pares; já para o número formado apenas por algarismos ímpares, devem ser os maiores possíveis, ou seja, 97. Assim, o menor valor possível para a diferença entre esses números ocorre quando os números são 402 e 397 ou 602 e 597, e, portanto, é 5. 2 Resposta: (D) Basta escolher um ponto de cada circunferência. Isso pode ser feito de 4 3 3 3 2 3 5 5120 ; 120 maneiras diferentes (no enunciado subentende-se que dos quatro pontos escolhidos de cada vez, não haja três alinhados). 3 Resposta: (C) Os números da sequência, quando divididos por 5, deixam resto igual a 1. O menor número de três algarismos nessas condições é o 101. 4 Resposta: (B) Como os números têm de ser compostos e ter dois algarismos, eles devem ser múltiplos de 7, mas não múltiplos de 2, de 3 nem de 5. Assim, só podem ser: 7 37 5 49 , 7 311577 e 7 313 5 91. Portanto, três números respeitam a condição enunciada. 5 Resposta: (D) O conjunto dado tem 11 números. Os números com quantidade par de zeros são divisíveis por 11. Por exemplo, 1 001 é igual a 91311 (na verdade, basta aplicar o critério de divisibilidade por 11). Há 5 números nessas condições; além disso, o número 101 é primo; logo, a quantidade de números compostos é maior do que 4 e menor do que 11 (na verdade, 101 é primo, e os dez outros números são compostos).

6 Resposta: (C) Inicialmente, há 90  kg de água e 10  kg de matéria sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto em que esses 10 kg representem 100%  2  60%  5  5  40% da massa total, ou seja, até que a massa 10 10 5 5 25; 25  kg. Logo, total seja igual a 40% 0, 4 90  2  (25  2  10)  5  75; 75 litros de água serão evaporados. 7 Resposta: (A) Para formar um triângulo de lado 2, são necessários 4 T; para formar um triângulo de lado 3, são necessários 9 T etc. Pode-se provar que, para formar um triângulo de lado n, são necessários n2 triângulos T. Logo, o triângulo formado por 49 triângulos T tem lado 7. 8 Resposta: (B) Na sequência, aparecem os números de um algarismo (8,9); os números de dois algarismos (uma vez o 89 e o agrupamento 98,99); os números de três algarismos que terminam com 89 (189, 289, ..., 989, num total de 9 números); os números que começam com 89, 890, 891, ..., 899 (num total de 10 números); e os agrupamentos 908, 909; 918, 919; ...; 998,999 (num total de 10 números). Portanto, o grupo “89” aparece 1 1 2 1 9 1 10 1 10 5 32; 32 vezes. 9 Resposta: (B) Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro pode emendar 4 cadeias de 3 elos e formar um pedaço de 15 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços de 15 elos. Abrindo mais um elo de um desses pedaços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente de 30 elos. Levará, portanto, 7 3 5 5 35; 35 minutos para fazer a corrente. Para verificar que não é possível fazer a corrente em menos tempo, basta observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos 8 pedaços formados por 1, 2 ou 3 elos fechados e que necessitam de pelo menos 7 elos abertos para serem ligados. 10 Resposta: (D) Observando os números nos cantos, percebemos que aparecem assim:

127

e od

l ltip m ú is 1 ma

e lo d

ltip mú is 2 ma

4

4

4 de lo ltip ú m is 1 ma

4 de lo ltip ú m is 3 ma

ltip mú

lo

4 de

Como 2 000 é múltiplo de 4, a resposta correta é: 2001

2000

11 Resposta: (A) 1 Se 6 bananas 5 melancia, então 24 bananas 5  2 5 2 melancias 5 9 laranjas 1 6 bananas. Portanto, 18 bananas 5 9 laranjas; ou seja, 2 bananas 5 1 laranja. Assim, 12 laranjas 1 12 bananas 5 24 bananas 1 12 bananas 5 36 bananas 5 3 melancias. 12 Resposta: (D) Para cada 10 inteiros consecutivos aparecem todos os algarismos (0, 1, 2, …, 9) como último algarismo. Como a soma de todos os algarismos dá 45, que termina em 5, e 7 3 5 5 35, que também termina em 5, a soma de 70 números inteiros positivos consecutivos sempre termina em 5. 13 Resposta: (B) 2 quilogramas de moedas de 20 centavos corres2 000 pondem a 5 250 ; 250 moedas de 20 centavos, 8 que valem o mesmo que 100 moedas de 50  centavos. Assim, 100 moedas de 50 centavos pesam 1 quilograma; logo, cada moeda pesa 10 gramas. 14 Resposta: (A) 1 1

a

a

1

b – 2b

22

1

1

1

a–2

a22 1

1

Trace retas paralelas aos lados a uma distância 1. O perímetro é igual em valor numérico à soma das áreas dos quatro retângulos finos junto aos lados. Como essa soma é igual à área total do retângulo, vemos que a área do pequeno retângulo central é igual à soma das áreas dos quatro quadrados nos cantos. Assim, (a 2 2) (b 2 2) 5 4 . Como a  b, temos: a 2 2 5 4, b 2 2 5 1 ou a 2 2 5 1, b 2 2 5 4. 15 Resposta: (C) 453 3 7 5 3 171 16 Resposta: (D) Se cada linha tiver 5 casas ocupadas, teremos apenas 30 casas ocupadas. Logo, alguma linha tem 6 ou mais casas ocupadas. 17 Resposta: (E) O número total de alunos da turma é menor que 30, é par, maior que 15 e deixa resto 1, quando dividido por 5. Logo, é 26. Portanto, temos 11 meninos na classe.

18 Resposta: (A) Os números escritos são da forma a11, 1a1 ou 11a, em que a é um dos nove algarismos restantes. Para um dado a, a soma dos três números acima é aaa 1  1 222 5 111 3 (a12). Logo, a sua soma para todos os nove valores possíveis de a é: S 5 111 [(0 1 2 1 3 1  1 … 1 9) 1 (9 3 2)] 5 111 3 (44 1 18) 5 6 882. 19 Resposta: (D) Se A é cão, B é cão, C é lobo, D é cão, E é lobo, o que é absurdo, pois E diria que A é um lobo. Assim, A é lobo, B é lobo, C é cão, D é lobo e E é lobo, e, portanto, há quatro lobos no grupo de animais. 20 Resposta: (A) No primeiro mosaico, temos 3 1 3 1 1 1 1 5 8; 8 azulejos pretos; no segundo, temos 4 1 4 1 2 1  1 2 5 12; no terceiro, temos 5 1 5 1 3 1 3 5 16. Não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como 8 1 12 1  1 16 1 20 1 24 5 80, é possível construir exatamente 5 mosaicos. Assim, serão necessários 12 1 22 1  1 32 1 42 1 52 5 1 1 4 1 9 1 16 1 25 5 55; 55 azulejos brancos.

SEGUNDA FASE •••••• 1 Resposta: A quantidade de pontinhos nas peças varia de 0 a 12; há 1 peça com 0 pontinho, 1 peça com 1 pon­ tinho, 2 com 2 pontinhos, 2 com 3 pontinhos, 3 com 4 pontinhos, 3 com 5 pontinhos, 4 com 6 pontinhos, 3 com 7 pontinhos, 3 com 8 pontinhos, 2 com 9 pontinhos, 2 com 10 pontinhos, 1 com 11 pontinhos, 1 com 12 pontinhos. O número total de pontinhos é: 1 ? 0 1 1 ? 1 1 2 ? 2 1 2 ? 3 1 3 ? 4 1 3 ? 5 1 4 ? 6 1  1 3 ? 7 1 3 ? 8 1 2 ? 9 1 2 ? 10 1 1 ? 11 1 1 ? 12 5 168 Outra solução: Cada tipo de pontuação aparece 8 vezes dentre as 28 peças do dominó. Portanto, o número total de pontos é: 8 ? (0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6) 5 168 Outra solução: Listar todas as possibilidades e somar tudo. 2 Resposta: Traçando a menor diagonal do paralelogramo, observamos que metade dele equivale a um triângulo 1 da área do triretângulo pequeno, cuja área é 4 1 da ângulo retângulo grande, que, por sua vez, é 4 área do quadrado. Logo, a área do paralelogramo é 1 1 5 . igual a 2 3 16 8

128

Outra solução: 1 Cada triângulo retângulo grande tem área . Dois 4 triângulos médios formam um triângulo grande;

logo, o triângulo médio tem área

1 . Dois triângulos 8

cia que o ponto 2 001 está de 2 025. Logo, o número correspondente é: 1 850 1 (2 025 2 2 001) 5 1 850 1 24 5 1 874.

retângulos pequenos formam um triângulo médio; 1 logo, cada um tem área . O quadrado equivale a 16 1 dois triângulos pequenos; logo, sua área é igual a . 8 Portanto, a soma das áreas de todas as peças, exceto 1 1 1 1 7 o paralelogramo, é 2 3 1 1 1 2 3 5 . 4 8 8 16 8 1 Assim, resta área para o paralelogramo. 8 3 Resposta: Ao furar após a primeira dobra, Carlinhos faz 2 furos; após a segunda dobra, faz 4 furos; após a terceira dobra, faz 8 furos e assim por diante. Dessa maneira, ao desdobrar a folha, ele irá contar 1 1 2 1 4 1 8 1  1 ... furos. Notando que: 1 1 2 5 22 2 1 (Após a primeira dobra.) 1 1 2 1 4 5 23 2 1 (Após a segunda dobra.) 1 1 2 1 4 1 8 5 24 2 1 (Após a terceira dobra.) etc. E observando que 26 2 1 , 100 , 27 2 1, concluímos que o número de furos na folha passará a ser maior do que 100 a partir da sexta dobra. Outra solução: (por tentativas) Ao furar após a primeira dobra, Carlinhos faz 2 furos; após a segunda dobra, faz 4 furos; após a terceira dobra, faz 8 furos etc. Assim, ao desdobrar a folha, ele irá contar 1 1 2 1 4 1 8 1 ... furos. Tem-se: 1 1 2 5 3; 3 furos (Após a primeira dobra.) 1 1 2 1 4 5 7; 7 furos (Após a segunda dobra.) 1 1 2 1 4 1 8 5 15; 15 furos (Após a terceira dobra.) 1 1 2 1 4 1 8 1 16 5 31; 31 furos (Após a quarta dobra.) 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 5 63; 63 furos (Após a quinta dobra.) 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 5 127; 127 furos (Após a sexta dobra.) 4 Resposta: Os pontos correspondentes aos quadrados perfeitos pares e ímpares estão sobre os lados vertical e horizontal do quadriculado, respectivamente. Os quadrados perfeitos mais próximos de 2 001 são 1 936 5 442 e 2 025 5 452. Como 2 001 está mais próximo de 2 025, o ponto correspondente está no segmento vertical descendente, que termina em 2 025. Logo, o ponto imediatamente abaixo dele corresponde ao número 2 002. Para achar o número do ponto imediatamente à esquerda, consideramos o quadrado perfeito ímpar anterior, que é 432 5 1 849. O ponto desejado está no segmento ascendente que começa em 1 850 e situado à mesma distân-

1874 24

2001 24

1849 1850 2025 5 Resposta: Se o número tiver exatamente dois fatores primos diferentes, ele vai ter 4 divisores positivos: 1, esses dois primos e o produto deles. Se o número for primo, ele vai ter apenas dois divisores: 1 e ele próprio. Se o número for uma potência de primo com expoente maior que 2, ele vai ter pelo menos 4 divisores: 1, o tal primo, o quadrado e o cubo desse primo. Assim, a única possibilidade de que o número tenha exatamente 3 divisores é que ele seja um quadrado de um número primo. Logo, os números procurados são: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841 e 961. Solução mais formal: Sabemos que todos os números inteiros maiores do que 1 admitem pelo menos um divisor (ou fator) primo. Dessa forma: • se n tem dois divisores primos (p e q), então 1, p, q e pq são divisores de n; logo, n tem mais que três divisores; • se n é primo, então tem somente dois divisores: 1 e n; • se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps; então, 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Assim, para que n tenha três divisores, s deverá ser igual a 2, isto é, n 5 p2. Portanto, os inteiros positivos menores que 1 000 com três divisores positivos são: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841 e 961. 6 Resposta: Os algarismos das unidades dos quadrados dos números de 1 a 10 são, respectivamente, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0. Ora, a soma dos números formados por esses algarismos é 45. Portanto, a soma 12 1 22 1 32 1 42 1  1 …1 102 tem como algarismo das unidades o número 5. De 11 a 20, os algarismos das unidades dos números se repetem na mesma ordem; portanto, o algarismo das unidades da soma de seus quadrados também é 5. Consequentemente, a soma dos quadrados dos números de 1 a 20 tem 0 como algarismo das unidades. Logo, a soma 12 1 22 1 32 1 42 1 ... 1 n2 tem zero como algarismo das unidades, se N é múltiplo de 20. Como N 5 12 1 22 1 32 1 42 1 ... 1 196 8832 5 12 1 22 1 32 1 42 1  1 … 1 196 8802 1 196 8812 1 196 8822 1 196 8832, concluímos que o algarismo das unidades de N é o mesmo do número 0 1 1 1 4 1 9 5 14, ou seja, 4.

129

Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• a 1.   Fase Olimpíada Regional AM – GO – PA – RJ – RS – SC

8 pedaços formados por 1, 2 ou 3 elos fechados e que necessitam de pelo menos 7 elos abertos para serem ligados.

1 Resposta: (B) Como os números têm de ser compostos e ter dois algarismos, eles devem ser múltiplos de 7, mas não múltiplos de 2, de 3 nem de 5. Assim, só podem ser: 7 37 5 49 , 7 311577 e 7 313 5 91 . Portanto, três números respeitam a condição enunciada.

7 Resposta: (A) 1 Se 6 bananas 5 melancia, então 24 bananas 5  2 5 2 melancias 5 9 laranjas 1 6 bananas. Portanto, 18 bananas 5 9 laranjas; ou seja, 2 bananas 5 1 laranja. Assim, 12 laranjas 1 12 bananas 5 24 bananas 1 12 bananas 5 36 bananas 5 3 melancias.

8 Resposta: (D) Para cada 10 inteiros consecutivos aparecem todos os algarismos (0, 1, 2, …, 9) como último algarismo. 2 Resposta: (E) Como a soma de todos os algarismos dá 45, que terˆ ˆ 5m BDC ˆ 5mina em 5, e 7 3 5 5 35, que também termina em BC 5 DC. Como m BCD 5 90°, temos m DBC 5, a soma de 70 números inteiros positivos consecuˆ 5m BDC ˆ 5 45°. Mas m BCA ˆ 5m DCE ˆ 5 80°. Portanm DBC tivos sempre termina em 5. to, a 5 180° 2 (45° 1 80°) 5 55°.

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

3 Resposta: (D) O conjunto dado tem 11 números. Os números com quantidade par de zeros são divisíveis por 11. Por exemplo, 1 001 é igual a 91311 (na verdade, basta aplicar o critério de divisibilidade por 11). Há 5 números nessas condições; além disso, o número 101 é primo; logo, a quantidade de números compostos é maior do que 4 e menor do que 11 (na verdade, 101 é primo, e os dez outros números são compostos).

9 Resposta: (A) 1 1

a

a

5 Resposta: (B) Na sequência, aparecem os números de um algarismo (8,9); os números de dois algarismos (uma vez o 89 e o agrupamento 98,99); os números de três algarismos que terminam com 89 (189, 289, ..., 989, num total de 9 números); os números que começam com 89, 890, 891, ..., 899 (num total de 10 números); e os agrupamentos 908, 909; 918, 919; ...; 998,999 (num total de 10 números). Portanto, o grupo “89” aparece 1 1 2 1 9 1 10 1 10 5 32; 32 vezes. 6 Resposta: (B) Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro pode emendar 4 cadeias de 3 elos e formar um pedaço de 15 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços de 15 elos. Abrindo mais um elo de um desses pedaços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente de 30 elos. Levará, portanto, 7 3 5 5 35; 35 minutos para fazer a corrente. Para verificar que não é possível fazer a corrente em menos tempo, basta observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos

b – 2b

22

1

1

1

a–2

a22 1

4 Resposta: (C) Inicialmente, há 90 kg de água e 10 kg de matéria sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto em que esses 10 kg representem 100% 2 60% 5  5 40% da massa total, ou seja, até que a mas10 10 sa total seja igual a 5 5 25; 25 kg. Logo, 40% 0, 4 90 2 (25 2 10) 5 75; 75 litros de água serão evaporados.

1

1

Trace retas paralelas aos lados a uma distância 1. O perímetro é igual em valor numérico à soma das áreas dos quatro retângulos finos junto aos lados. Como essa soma é igual à área total do retângulo, vemos que a área do pequeno retângulo central é igual à soma das áreas dos quatro quadrados nos cantos. Assim, (a 2 2) (b 2 2) 5 4 . Como a  b, temos: a 2 2 5 4, b 2 2 5 1 ou a 2 2 5 1, b 2 2 5 4. 10 Resposta: (C) 453 3 7 5 3 171 11 Resposta: (B) Seja x o número de arcos percorridos e y o número de voltas dadas. P1Pr 5 35x 5 360y 7x 5 72y x 5 72 Logo, n 5 73. 12 Resposta: (D) Se cada linha tiver 5 casas ocupadas, teremos apenas 30 casas ocupadas. Logo, alguma linha tem 6 ou mais casas ocupadas. 13 Resposta: (C)

130

ˆ 5BCD ˆ 5 180(5 2 2) 5108° ABC 5 ˆ 5 60°, FBC ˆ 5 48°, BCF ˆ 5 180 2 48 5 66° ABF 2 ˆ 5 108° 2 66° 5 42°. Logo: FCD

14 Resposta: (E) O número total de alunos da turma é menor que 30, é par, maior que 15 e deixa resto 1, quando dividido por 5. Logo, é 26. Portanto, temos 11 meninos na classe.

2 e, portanto, 2 menor que b. Logo, a largura mínima do corredor 2a , b, esse valor é menor que b

deve ser igual a (2a 1b)

15 Resposta: (D) Uma reta determina o número máximo de regiões no círculo quando corta o número máximo de setores (ou seja, o maior número possível de raios). A figura mostra uma reta que corta n 1 1 raios, ou seja, n 1 2 setores, determinando assim n 1 2 novas regiões, para um total de 3n 1 3 regiões. Esse número é máximo, já que as extremidades dos raios extremos cortados por uma reta estão sempre em um mesmo semiplano determinado pela paralela à reta passando pelo centro do círculo. 3 3

aa

b b2 2

aa

2 2

bb 2 22 2

45°

20 Resposta: (B) O plano que secciona o cubo no item B é aquele que contém os segmentos que ligam os pontos médios de arestas paralelas não coincidentes de duas faces adjacentes. Pode-se verificar que as demais planificações não contêm representações de interseções de planos com o cubo.

22 n 11 n+1 n 11

16 Resposta: (B) Paulo tem x reais e Cezar tem y reais. 1 2 x 2 5 1 (y 1 5) 518, (y 15)518 3 3 Logo, x 5 14 e y 5 22. y2x58 17 Resposta: (E) Tomemos como unidade a quantidade de ração que 1 vaca come em 1 dia: 10 ? 24 110 ? 30 1n ?10 5 24 ? 60 ⇒ n 5 90 18 Resposta: (A) Os números escritos são da forma a11, 1a1 ou 11a, em que a é um dos nove algarismos restantes. Para um dado a, a soma dos três números acima é aaa 1  1 222 5 111 3 (a12). Logo, a sua soma para todos os nove valores possíveis de a é: S 5 111 [(0 1 2 1 3 1  1 … 1 9) 1 (9 3 2)] 5 111 3 (44 1 18) 5 6 882. 19 Resposta: (D) A mesa pode ser empurrada pelo corredor de dois modos: utilizando apenas movimentos de translação ou girando-a em torno do ponto de encontro dos dois corredores. No primeiro caso, é preciso um corredor de largura igual à maior dimensão da mesa (ou seja b). No segundo caso, a posição crítica ocorre quando a mesa está igualmente inclinada em relação aos dois corredores (isto é, faz um ângulo de 45° com a horizontal). Neste caso, a largura mínima deve ser igual a a

2 . 4

2 b 2 2 . Como 1 5(2a 1b) 2 2 2 4

21 Resposta: (B) Seja n2 o quadrado perfeito. Como ele termina com 2 001, temos n20 5 10 000m 1 2 001 n20 2 1 5  4 3 5 2 000 (5m 1 1)   (n 2 1)(n 1 1) 5 2 5 (5m 1 1). Como mdc(n 2 1; n 1 1) 5 mdc(n 1 1; n 1 1 2  2 (n 2 1)) 5 mdc(n 1 1; 2) 5 2 (pois n é ímpar), n 2 1 ou n 1 1 é divisível por 53 5 125. Assim, n 5 125t 1 1 ou n 5 125t 2 1, em que t é inteiro positivo. Como n é ímpar, t é par; logo, o menor valor possível para t é 2. Para n 5 125 ? 2 2 1 5 249, temos n2 5 62 001, que termina em 2 001. Logo, o menor quadrado perfeito cujos últimos quatro dígitos são 2 001 é 2492 5 62 001, que tem 5 dígitos. 22 Resposta: (D) Seja S a extensão do circuito, t . 0 o tempo gasto pelo Papa-Léguas para dar a primeira volta e t´ . 0 o tempo gasto para dar as outras 99 voltas. Temos S 5200, e a velocidade média do Papa-Léguas na t 100S 20 000t 5 , 20 000 . Por outro lado, corrida é t 1 t´ t 1 t´ como nada sabemos sobre o valor de t’, se t' , 9t , 100S teremos . 2 000. Assim, a opção correta é D. t 1 t' 23 Resposta: (A) No primeiro mosaico, temos 3 1 3 1 1 1 1 5 8; 8 azulejos pretos; no segundo, temos 4 1 4 1 2 1  1 2 5 12; no terceiro, temos 5 1 5 1 3 1 3 5 16. Não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como 8 1 12 1  1 16 1 20 1 24 5 80, é possível construir exatamente 5 mosaicos. Assim, serão necessários 12 1 22 1  1 32 1 42 1 52 5 1 1 4 1 9 1 16 1 25 5 55; 55 azulejos brancos.

131

24 Resposta: (D) Se A é cão, B é cão, C é lobo, D é cão, E é lobo, o que é absurdo, pois E diria que A é um lobo. Assim, A é lobo, B é lobo, C é cão, D é lobo e E é lobo, e, portanto, há quatro lobos no grupo de animais.

cendente que começa em 1 850 e situado à mesma distância que o ponto 2 001 está de 2 025. Logo, o número correspondente é: 1 850 1 (2 025 2 2 001) 5 1 850 1 24 5 1 874.

25 Resposta: (B) Sejam M, N, O, P, Q e R os pontos de tangência dos lados AB, BC, CD, DE, EF e FA na circunferência inscrita, respectivamente, e seja x 5 AM. Temos: AR 5 AM 5 x, MB 5 1 2 x, BN 5 MB 5 1 2 x, NC 5 2 2 (1 2 x) 5 1 1 x, CO 5 NC 5 1 1 x, OD 5 3 2 (1 1 x) 5 2 2 x, DP 5 OD 5 2 2 x, PE 5 4 2 (2 2 x) 5 2 1 x, EQ 5 PE 5 2 1 x, QF 5 5 2 (2 1 x) 5 3 2 x e FR 5 QF 5 3 2 x.  Logo, FA 5 FR 1 AR 5 3 2 x 1 x 5 3.

SEGUNDA FASE •••••• 1 Resposta: Traçando a menor diagonal do paralelogramo, observamos que metade dele equivale a um triângulo 1 retângulo pequeno, cuja área é da área do tri4 1 ângulo retângulo grande, que, por sua vez, é da 4 área do quadrado. Logo, a área do paralelogramo é 1 1 5 . igual a 2 3 16 8

1874 24

2001 24

1849 1850 2025 3 Resposta: Observando que no ano n é realizada a (n 2 1978)-ésima OBM, temos que o ano n é superolímpico se, e somente se, n 2 1978 divide n. Assim, n 2 1978 divide n 2 (n 2 1978) 5 1978. Como os divisores positivos de 1978 são 1, 2, 23, 43, 46, 86, 989 e 1978, os anos superolímpicos são 1979, 1980, 2001, 2021, 2024, 2064, 2967 e 3956. 4 Resposta: Os triângulos ACQ e PAC são isósceles. No triângulo ACQ, temos: ˆ 5 Aˆ ˆ 5 A QC CAQ

Outra solução: 1 . Dois 4 triângulos médios formam um triângulo grande; 1 logo, o triângulo médio tem área . Dois triângulos 8 retângulos pequenos formam um triângulo médio; 1 logo, cada um tem área . O quadrado equivale a 16 1 dois triângulos pequenos; logo, sua área é igual a . 8 Portanto, a soma das áreas de todas as peças, exceto 1 1 1 1 7 o paralelogramo, é 2 3 1 1 1 2 3 5 . 4 8 8 16 8 1 Assim, resta área para o paralelogramo. 8 Cada triângulo retângulo grande tem área

2 Resposta: Os pontos correspondentes aos quadrados perfeitos pares e ímpares estão sobre os lados vertical e horizontal do quadriculado, respectivamente. Os quadrados perfeitos mais próximos de 2 001 são 1 936 5 442 e 2 025 5 452. Como 2 001 está mais próximo de 2 025, o ponto correspondente está no segmento vertical descendente, que termina em 2 025. Logo, o ponto imediatamente abaixo dele corresponde ao número 2 002. Para achar o número do ponto imediatamente à esquerda, consideramos o quadrado perfeito ímpar anterior, que é 432 5 5 1 849. O ponto desejado está no segmento as-

132

ˆ ˆ  ˆ 5 Cˆ 1  180°2 C 5 90° 1 C ACQ 2   2  Cˆ  Logo, 2Aˆ 1  90°1  5 180° 2 

(1)

No triângulo PAC, temos: ˆ  ˆ 5  180°2 A C AP 2   ˆ 5 APC ˆ 5 180° 2 Cˆ ACP  180°2 Aˆ  Logo,  1 2(180° 2 Cˆ ) 5 180° 2   Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2), obtemos Aˆ 5 12° e Cˆ 5 132°; daí, Bˆ 5 180° 2 12° 2 132° 5 36°. B 90  +

 A

180  − Aˆ 2

180  − Cˆ

P

Cˆ 2

C

(2)

Q

5 Resposta: Seja A 5 {x; y; t; z} um conjunto intercambiável. Então podemos supor, sem perda de generalidade, que: (10x 1 y)(10t 1 z) 5 (10y 1 x)(10z 1 t)

Para x 5 2, temos 20x 2 1 5 39 e, portanto, 13 divide z 2 x ou t 2 y, absurdo. Para x 5 3, temos que 20x 2 1 5 59 divide z 2 x ou t 2 y, absurdo.

xt 5 yz  (1)

Para x 5 4, temos que 20x 2 1 5 79 divide z 2 x ou t 2 y, absurdo.

Por (1), temos que 5 e 7 não podem aparecer em A. Se o maior dos elementos de A fosse menor ou igual a 4, teríamos A 5 {1; 2; 3; 4}, que não é intercam­biável. Logo, A possui pelo menos um dos dígitos 6, 8 ou 9. Se o maior elemento de A é 9, temos por (1) que 3 e 6 também pertencem a A. Nesse caso temos o conjunto intercambiável A 5 {2; 3; 6; 9}. Se o maior elemento de A é 8, temos que 4 e outro algarismo par estão em A. Assim, temos A 5 {1; 2; 4; 8} ou A 5 {3; 4; 6; 8}. Se o maior elemento de A é 6, temos que 3 e outro algarismo par estão em A. Dessa forma, A 5 {1; 2; 3; 6} ou A 5 {2; 3; 4; 6}. Assim, temos no total 5 conjuntos intercambiáveis: {2; 3; 6; 9}, {1; 2; 4; 8}, {3; 4; 6; 8}, {1; 2; 3; 6} e {2; 3; 4; 6}.

Se 5 divide z 2 t, temos z 2 t 5 5 ou z 2 t 5 25. Se z 2 t 5 5, temos: (*)   100x 2 y 5 2(t 1 5 2 x)(t 2 y) Como |(t 1 5 2 x)(t 2 y)| < 8 ? 8 5 64, temos 100x 2 y < 128. Logo, x 5 1. Temos, então, 100 2  2 y 5 2(t 1 4)(t 2 y). Temos também que y é par. Para y 5 2, temos 98 5 2(t 1 4)(t 2 2), que não tem solução inteira em t; para y 5 4, temos 96 5  5 2(t 1 4)(t 2 4), que também não tem solução inteira em t; para y 5 6, temos 94 5 2(t 1 4) (t 2 6); e para y 5 8, temos 92 5 2(t 1 4)(t 2 8). Em todos os casos, não há soluções inteiras em t.

Solução complementar: Seja A 5 {x; y; z; t} um conjunto intercambiável. Podemos supor que um dos pares de números é 10x 1 y e 10z 1 t. Observemos que, em cada par, podemos construir um conjunto D com os algarismos correspondentes às dezenas e outro conjunto U com os algarismos correspondentes às unidades. No par de números 10x 1 y e 10z 1 t, temos D 5 {x; z} e U 5 {y; t}. Para o outro par de números, sejam D’ e U’ os conjuntos correspondentes às dezenas e unidades, respectivamente, temos os seguintes casos:

Se z 2 t 5 25, temos: (*)   100x 2 y 5 22(t 2 5 2 x)(t 2 y) Usando um argumento análogo ao anterior, temos que x 5 1, e y é par. Substituindo x 5 1 e y 5 2, 4, 6 e 8 na equação acima, vemos que não há soluções inteiras em t. iii) Os casos D’ 5 {x; y} e U’ 5 {z; t}, D’ 5 {z; y} e U’ 5 {x; t} e D’ 5 {z; t} e U’ 5 {x; y} podem ser analisados de forma análoga aos anteriores. iv) D’ 5 U 5 {y; t} e U’ 5 D 5 {x; z}. Novamente, há duas possibilidades: • 10y 1 z e 10t 1 x. Temos: (10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10y 1 z)(10t 1 x)     99(xz 2 yt) 5 10(z 2 x)(t 2 y)

i) D’ 5 D 5 {x; z} e U ’ 5 U 5 {y; t}. A única possibilidade é 10x 1 t e 10z 1 y. Temos então: (10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 t)(10z 1 y)     (y 2 t)(z 2 x) 5 0   y 5 t ou z 5 x, absurdo. ii) D’ 5 {x; t} e U’ 5 {z; y}. Temos duas possibilidades: • 10x 1 y e 10t 1 z. Temos: (10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 y)(10t 1 z)     t 5 z, absurdo. • 10x 1 z e 10t 1 y. Temos: (10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 z)(10t 1 y) (100x 2 y)(z 2 t) 5 10(z 2 x)(t 2 y)(*) Sendo o maior valor de |(z 2 x)(t 2 y)| igual a 49, temos que |(100x 2 y)(z 2 t)| < 490 100x 2 y 2 são b 5 2 e c 5 6; b 5 3 e c 5 4. Assim, há 6 maneiras de construirmos o paralelepípedo.

136

6

1

4

5

7

3

10

1

4 3

8

10 8

6

5 2

7

9

2

9

1) 1 e 2 ocupam pontas vizinhas. É fácil ver que colocando o 2 no meio ou em uma ponta “oposta” a 1 o problema não tem solução. 2) 9 e 10 ocupam pontas vizinhas. Pelo mesmo raciocínio anterior. 3) Uma vez que 1 e 2 estão colocados, o 3 está no meio, entre o 1 e o 2. Observe que colocar o 3 em qualquer outra posição leva a um absurdo. 4) Uma vez que 1, 2 e 3 estão colocados, fica claro que o 4 é vizinho ao 3. 5) Se 1, 2, 3 e 4 já estão colocados, 5 pode estar no meio ou em uma ponta, e o mesmo ocorre com o 6 (ver figuras). Quando um deles está numa ponta, o outro está no meio. 6) O 7 está no meio. a) Ver figuras. b) 1, 2, 9 e 10 obrigatórios, mais 5 ou 6. c) 3, 4, 7, 8 obrigatórios, mais 5 ou 6. Resposta: Decomponha N em primos 5 2a2 3a3 ... Dobro de um cubo quer dizer que todos os ai são múltiplos de 3, exceto a2, que deixa resto 1 na divisão por c56 . 3. Quíntuplo de um quadrado quer dizer que todos são pares, exceto a5. Os menores expoentes possíveis são, então, a2 5 4; a5 5 3 e os outros a3 5 a7 5 ... 5 0. Logo, N 5 24 ? 53 5 2 000.

6 Resposta: Dois números deixam o mesmo resto quando divididos por n se, e só se, sua diferença é múltipla de n. Logo, as diferenças 238 2 154 5 84 e 334 2 238 5 5 96 são ambas múltiplas de n. Como n é o maior possível, concluímos que n deve ser o maior divisor comum de 84 e 96, que é 12.

Nível 2 (8o.   e 9o.   anos) PRIMEIRA FASE •••••• 1a.   Fase Olimpíada Regional BA - ES - GO - RJ - RN - SC - SP

7 Resposta: (D) Os três triângulos sombreados têm altura igual à altura do retângulo. Como a soma de suas bases é igual à base do retângulo, a soma de suas áreas é igual à metade da área do retângulo. Por outro lado, pode-se observar que as partes sombreadas e não sombreadas podem ser subdivididas de tal modo que a cada parte sombreada corresponda exatamente uma parte congruente não sombreada, como mostra a figura abaixo. Logo, a área sombreada corresponde à metade da área do retângulo. A

1 Resposta: (D) Para que o cubo de um número termine em 1, o número deve terminar em 1 (note que ele não pode ser par e que 33 5 27, 53 5125, 73 5 343 e 93 5729 ). Assim, os números menores que 1 000 000 que têm 1000 000 5100 000 . cubos terminados em 1 são 10

C

B A

B

C C

C

8 Resposta: (B) Sejam vA, vB e vC as velocidades de Alberto, Beatriz e Carlos, respectivamente, e seja d o comprimento da pista. O tempo necessário para que Alberto ald 2 Resposta: (A) cance Beatriz é: t 5 . Por outro lado, temos v A 2 vB 60 80 120 ? ? 572 Em cada caixote de madeira cabem d d d 20 20 20 590 e 5105 . Assim, v A 1 v C 5 , 5 72; caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado. 90 vA 1 vC vB 1 v C Logo, em cada caixote cabem 72 3 8 5 576 ; 576 lad d d d vB 1 v C 5 5 e, portanto, v A 2 vB 5 2 . tas de palmito. 105 90 105 630 d 3 Resposta: (A) Logo, o tempo pedido é t 5 5 630; d Considerando que a engrenagem da esquerda gi­ 630 rou um certo ângulo x em um sentido (horário ou 630 se­gundos. anti-horário), a engrenagem da direita girou o mesmo ângulo x no sentido oposto, e, portanto, a 9 Resposta: (A) G bandei­rinha ficou na posição mostrada na alternativa A.

4 Resposta: (B) Mário e Carlos não podem ter, ambos, dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. Se Mário não falou a verdade, então o que Carlos disse é verdadeiro, o que Pedro disse é verdadeiro, e o que Benjamim disse é verdadeiro. Disso se conclui que Pedro entrou sem pagar (Se Mário disse a verdade, Carlos não disse, e Pedro disse, o que é contraditório). 5 Resposta: (C) Como o aluno que saiu da turma A é o que tinha a menor nota, a média das notas dessa turma aumentou; como, todavia, esse aluno tem nota maior que a de qualquer outro aluno da turma B, temos que a média da turma B aumentou. 6 Resposta: (D)

B

Temos ˆ 5HBJ ˆ 5 90° 270° 5 20°. ABJ Logo, ˆ 180° 2(60° 1 40°) 5 80°. A5

A

J I

70° H

60° C

F

D

C

E

B

A

Lembrando de que o ângulo interno de um pentá(5 2 2)180o gono regular é igual a 5 108o, temos 5 que AÊF 5 360o 2 108o 2 90o 5 162o. Como o triângulo AEF é isósceles, com AE 5 EF, temos 180o 2162o EÂF 5 5 9o. 2 10 Resposta: (B) Seja (ab)10 um inteiro de dois algarismos. Devemos ter: 10a 1 b 5 2ab     (2a 2 1)(b 25) 5 5 Como a e b são inteiros, com a . 0 e 0 < b < 9, temos que 2a 2 1 . 0. Assim: 2a 2 1 5 5 e b 2 5 5 1     a 5 3 e b 5 6 Logo, o único inteiro satisfazendo as condições do enunciado é 36.

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11 Resposta: (E) O mínimo múltiplo comum de 7 e 8 é 56. Entre dois múltiplos consecutivos de 56, há sete múltiplos de 7 e seis múltiplos de 8. Assim, os múltiplos de 56 são os elementos de ordem 14, 28, 42, … da sequência. Portanto, o 98o elemento da sequência é igual a 56 3 7 5 392, e o 100o é 392 1 8 5 400. 12 Resposta: (C) Existem 27 possíveis resultados para a soma dos algarismos (1 a 27). As somas 1 e 27 só podem ser obtidas de um modo cada (100 e 999, respectivamente). Assim, no caso mais desfavorável, retiraríamos 27 cartões 1 25 cartões, e uma das somas aparecerá pela terceira vez no próximo cartão. Portanto, precisamos de, no mínimo, 53 cartões. 13 Resposta: (C) x 3 1 y3 . AsTemos ( x 2 y)2 > 0 ⇔ xy < x2 2 xy 1 y2 5 x1y sim, como xy . 0, temos: x 3 1 y3 xy < 5 x2 2 xy 1 y2 , x2 1 y2 , x2 1 xy 1 y2 5 x1y 2 5 x2 1 y (x 1 y) , x2 1 2xy 1 y2 5(x 1 y) 14 Resposta: (D) G F C

B D

Temos que ACE  FGE

A

E

3 AC 1 5     AC 5 . 2 3 2

3 1 215 .  Temos também que 2 2 1 1 BD 2 BCD  ACE     BD 5 . Logo, a 5 3 3 1 2 1 1 1 1 área do triângulo BCD é: ? ? 5 . Portanto, 2 2 3 12 1 11 a área desejada é: 1 2 5 . 12 12 Logo, BC 5

15 Resposta: (D) a Como a, b > 0, temos ,1     a , b. Portanto, como b a 11 a , b    a 1 1 , b 1 1     ,1 e a , b     a 1 b 11 a a 11 a 11 1 ab < b 1 ab     , , temos que é b b 11 b 11 a maior que , mas menor que 1. b 16 Resposta: (D) Uma estratégia que o jogador que começa pode adotar é tirar 6 2 k palitos, se o outro jogador tirou k palitos na jogada anterior. Como o resto da divisão de 1 000 por 6 é 4, temos que o jogador que começa deve tirar no começo 4 palitos para garantir a vitória (nas outras jogadas, basta seguir a estratégia anterior).

17 Resposta: (E) O segmento AB pode ser um dos lados do retângulo. Há 4 retângulos que podem ser construídos com essa propriedade. Se o segmento AB for uma diagonal do retângulo, podemos construir apenas um retângulo, totalizando 5 possibilidades. 18 Resposta: (C) Número de gêmeos 5 número de trigêmeos 5 número de quadrigêmeos 5 n; logo, n é um múltiplo positivo de 12. Mas 39 2 2n . 0 ; logo, n512. Consequentemente, o número de filhos é 12 1 39 5 51. 19 Resposta: (A) Seja t o número de horas que devemos sair antes das 11 h para chegar a Salvador ao meio-dia e T o tempo passado, em horas, até entrarmos no congestionamento. Assim, antes de chegar ao congestionamento andamos 60(t 1 T) km. Em seguida, devemos passar por um congestionamento de extensão 4T para depois de 15 km chegarmos a Salvador. Assim: 60(t 1 T) 1 4T 1 15 5 60   60t 1 64T 5 45. Portanto, passamos t 1 T horas antes do congestio4 T 2T 5 horas no congesnamento, demoramos 6 3 15 1 tionamento e passamos mais 5 de hora até 60 4 chegarmos a Salvador. Devemos ter 1 1 t 5 t 1 T 1 9 2T 1 1       T 5 h. 1 20 3 4 9 Logo, 60t 5 45 2 64 ? 5 0,27; t 5 0,27 h 5 16,2  min. 20 Portanto, devemos sair aproximadamente às 10h43min. 20 Resposta: (D) Nas n primeiras linhas, temos 1 1 3 1 5 1 … 1 1 (2n 2 1) 5 n2 números, dos quais 1 1 2 1 3 1 n(n 11) 1 … 1 n 5 estão em casas brancas. Como 2 62 ? 63 63 ? 64 , 2 000 < , temos que o 2 000o núme2 2 62 ? 63 ro está na 63a linha. Como 5 1 953, concluí2 mos que o número procurado é o [2(2 000 2 1953) 2 2 1]o 5 93o número desta linha. Enfim, como o último termo da 62a linha é 622 5 3 844, temos que o número procurado é 3 844 1 93 5 3 937.

SEGUNDA FASE •••••• 1 Resposta: Decomponha N em primos 5 2a2 3a3 ... Dobro de um cubo quer dizer que todos os ai são múltiplos de 3, exceto a2, que deixa resto 1 na divisão por 3. Quíntuplo de um quadrado quer dizer que todos são pares, exceto a5. Os menores expoentes possíveis são então a2 5 4; a5 5 3 e os outros, a3 5 a7 5 ... 5 0. Assim, N 5 24 ? 53 5 2 000.

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2 Resposta: Sejam a < b < c as medidas do paralelepípedo. Temos, então, que a, b e c são inteiros positivos e abc 5 216. Como a ? b ? c > a ? a ? a ⇔ a < 6 e a| 216, temos a 5 1, a 5 2, a 5 3, a 5 4 ou a 5 6. Se a51, temos b ? c 5216. As possibilidades nesse caso são:  b 5 1 e c 5 216; b 5 2 e c 5 108; b 5 3 e c 5 72; b 5 4 e c 5 54; b 5 6 e c 5 36; b 5 8 e c 5 27; b 5 9 e c 5 24; b 5 12 e c 5 18. Se a52, temos b ? c 5108, com b>2. Temos então as possibilidades: b 5 2 e c 5 54; b 5 3 e c 5 36; b 5 4 e c 5 27; b 5 6 e c 5 18; b 5 9 e c 5 12. Se a53, temos b ? c 572, com b>3. Temos então as possibilidades:  b 5 3 e c 5 24; b 5 4 e c 5 18; b 5 6 e c 5 12; b 5 8 e c 5 9. Se a53, temos b ? c 572, com b>3. Temos então as possibilidades:  b 5 3 e c 5 24; b 5 4 e c 5 18; b 5 6 e c 5 12; b 5 8 e c 5 9. Se a54, temos b ? c 554, com b > 4. Nesse caso, temos uma só solução, que é b 5 6 e c 5 9. Se a56, a única solução é b 5 c 56. Temos, assim, 19 maneiras de construir o paralelepípedo. Observação: Pode-se verificar que o número de so d(n)  , luções de b ? c 5 r, com b < c naturais, é   2  em que [x] denota o menor número inteiro maior ou igual a x e d(n) é o número de divisores de n. d(216) Assim, b ? c 5 216 tem   5 8 soluções;  2   d(108)  b ? c 5 108 com b > 2 tem  215 5 solu 2  ções (descontamos aqui a solução b 5 1 e c 5108);  d(72)  b ? c 5 72 com b > 3 tem  2 2 5 4 solu 2  ções (eliminamos b 5 5 e c 5 72 e b 5 2 e c 5 36);  d(54)  2 3 51 solução b ? c 5 54 com b > 4 tem   2  (eliminamos b 5 1, b 5 2 e b 5 3) e b ? c 5 36,  d(36)  2 4 51 solução (elimina-se com b > 6, tem   2  b 5 1, 2 ,3 ou 4).

3 Resposta: D

y

F

C G

θ

x A

20o

y

ˆ 5FBC ˆ 5x 1) FAD ˆ ˆ 5y 2) EAB 5EDC ˆ 5 90o 2 y 51 x DEC 90o 2( x 1 y) 5 ⇒ 5 20o

E

x 1 y 5 70o

x B

4 Resposta: Seja x o lado de B. O lado de C 5 x 2 1, D 5 x 1 5, E 5 x 2 1, F 5 x 2 2, G 5 4, H 5 2x 2 3, I 5 x 1 9 (5 D 1 G), mas também é 3x 2 9 (5 F 1 H 2 G). Assim, x 1 9 5 3x 2 9 e x 5 9. Donde, o lado de I é 18.

D

I

G C F

B

A

H E

5 Resposta: n11 . A média aritmética dos inteiros de 1 a n é   2  Quando se apaga um desses números, a menor mén dia possível é a dos números de 1 a (n21), que é , 2 n e a maior é a dos números de 2 a n, que é 11. 2 n 2 n Logo, deve-se ter ,12 , 11, o que fornece 2 11 2 4 4 e, portanto, n é igual a 23 ou 24. 22 < n < 24 11 11 Mas a média dos números restantes é uma fração de denominador 11. Logo, a quantidade de números que restam no quadro deve ser multiplicada por 11. Portanto, n só pode ser igual a 23. Finalmente, a soma dos números que restam é 2 22 3 12 ? 5 268. 11 A soma dos números de 1 a 23 é 23 3 12 5 276. Logo, o número apagado foi m 5 276 2 268 5 8. 6 Resposta: No pior caso, o 2o colocado do 1o turno faz 24 pontos no 1o turno. Se o Vulcano FC fizer 23 pontos no 2o turno, ele ganhará 7 jogos e empatará 2, e o 2o colocado no 1o turno chegará a um máximo de 25 pontos (pois no máximo empatará com o Vulcano FC) no 2o turno. Assim, o Vulcano FC terá vantagem na decisão, nesse caso. Note que se o Vulcano FC fizer 24 pontos no 2o turno, perdendo para o 2o colocado do 1o turno, este pode fazer 27 pontos no 2o turno e ganhar a vantagem para a decisão. Se o Vulcano FC fizer 22 pontos ou menos, e o Klingon FC tiver feito 24 pontos no 1o turno, poderá fazer 27 pontos no 2o turno, somando 51 pontos, mais que os 49 (ou menos) pontos do Vulcano FC. Assim, a resposta da segunda pergunta é n 5 25, enquanto a resposta da 1a pergunta é n 5 23.

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