OGATA-Sistemas de Control en Tiempo Discreto-katsuhiko Ogata(2)
March 10, 2017 | Author: gillomate | Category: N/A
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SISTEMAS DECONTROL EN TIEMPO DISCRETO Segundo edicion Katsuhiko Ogata University of Minnesota TRADUCCION:
JOSE GUILLERMO ARANDA PEREZ Jefe del Area de Control Universidad La Salle
FRANCISCO RODRiGUEZ RAMiREZ Ingeniero Mecanico Electricista Facultad de Ingenierfa de la UNAM
GABRIEL SANCHEZ GARciA
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Ingeniero Mecanico Electricista UNAM REVISOR TECNICO:
JOSE GUILLERMO ARANDA PEREZ Ingeniero Mecanico Electricista Univet-sidad La Salle
6104968779
PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A. MEXICO· NUEVA YORK· BOGOTA· LONDRES • SYDNEY PARIS • MUNICH • TORONTO • NUEVA DELHI • TOKIO SINGAPUR • RIO DE JANEIRO • ZURICH
EDIaO~ D; ESPA..x ot ?RESIDE~TI DE LA DNISION L -\IT\""O A..'.fERICANA . DE SIMON & SCHUSTER DIRECTOR GENERAL: DIRECTOR DE EDICIONES: GERE:-"lE DNISION UNIVERSITARIA: GERENTE EDITORIAL: EDITOR: GERENTE DE EDICIONES: SUPERVISOR DE TRADUCCION: SUPERVISOR DE PRODUCCION:
RAYMUNDO CRUZADO GONZALEZ MOISES PEREZ ZAVALA ALBERTO SIERRA OCHOA ENRIQUE IVAN GARCIA HERNANDEZ JOSE TOMAS PEREZ BONILLA LUIS GERARDO CEDENO PLASCENCIA JULIAN ESCAMILLA LIQUIDANO TOAQUIN RAMOS SANTALLA ENRIQUE GARCIA CARMONA
EDICION EN INGLES·
Editorial/production supervision: Cover design: Karen Production coordinator:
Lynda Griffiths/TKM Productions Salzbach David Dickey/Bill Scazzero
OGATA: Sistemas de control en tiempo discreto 2a edicion Traducido del ingles de la obra: DISCRETE TIME CONTROL SYSTEMS All Rights Reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice Hall Inc. Todos los Derechos reservados. Traducci6n autorizada de la edici6n en ingles publicada por Prentice Hall/Inc. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmited in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying recording or by any information storage retrieval system, without permission in writing form the publisher. Prohibida la reproducci6n total 0 parcial de esta obra, por cualquier medio 6 metodo sin autorizaci6n por escrito del editor. Derechos reservados © 1996 respecto a la primera edici6n en espanol publicada por PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA SA Enrique Jacob 20, Col. El Conde 53500 Naucalpan de Juarez, Edo. De Mexico ISBN 968-880-539-4 Miembro de la Camara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Num, 1524
o
OCT
Original English Language Edition Published by Prentice Hall Inc. Copyright © MCMXCV all Rights Reserved ISBN 0-13-034281-5
PROGRAMAS EDUCATIVOS. SA CAll. CHABACANO No.65LOCAL A COL. ASTURIAS, DELEG. CUAUHTEMOC, D.F. C.P.0685O
2000
Impreso en Mexico/Printed in Mexico
o
1996
o
Cont enido
Prologo
ix
Capitulo 1 Introduccion a los sistemas de control en tiempo discreto 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5
1
INTRODUCCION, 1 SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL, 5 CUANTIFICACION Y ERRORES DE CUANTIFICACION, 8 SISTEMAS DE ADQUISICION, CONVERSION Y DISTRIBUCION DE DATOS, 11 COMENTARIOS FINA~ES, 20
Capitulo 2 La transformada z 2..1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7
23
INTRODUCCION, 23 LA TRANSFORMADA z, 24 TRANSFORMADA z DE FUNCIONES ELEMENTALES, 25 PROPIEDADES Y TEOREMAS IMPORTANTES DE LA TRANSFORMADA z, 31 LA TRANSFORMADA z INVERSA, 37 METODO DE LA TRANSFORMADA z PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES EN DIFERENClAS,52 COMENTARIOS FINALES, 54 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 55 PROBLEMAS, 70 v
vi
Contenido
Capitulo 3 Analisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
74
INTRODUCCION, 74 MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS Y RETENCION DE DATOS, 75 CALCULO DE LA TRANSFORMADA z MEDIANTE EL METODO DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCION, 83 RECONSTRUCCION DE SENALES ORIGINALES A PARTIR DE SENALES MUESTREADAS, 90 LA FUNCION DE TRANSFERENCIA PULSO, 98 REALIZACION DE CONTROLADORES DIGITALES Y FILTROS DIGITALES, 122 PROBLEMAS DE EJEMPLOS Y SOLUCIONES, 138 PROBLEMAS, 166
Capitulo 4 Diseiio de sistemas de control en tiempo discreto mediante metodos convencionales 173
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7
INTRODUCCION, 173 CORRESPONDENCIA ENTRE EL PLANO-5 Y EL PLANO-z, 174 ANALISIS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS EN LAZO CERRADO EN EL PLANO-z, 182 ANALISIS DE LAS RESPUESTAS TRANSITORIA YEN ESTADO PERMANENTE, 193 DISENO BASADO EN EL METODO DEL LUGAR GEOMETRICO EN LAS RAlCES, 204 DISENO BASADO EN EL METODO DE Y RESPUESTA EN FRECUENClA, 225 METODO DE DISENO ANALITICO, 242 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 257 PROBLEMAS, 288
Capitulo 5 Analisis en el espacio de estado
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
293
INTRODUCCION, 293 REPRESENTACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO, 297 SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO, 302 MATRIZ DE TRANSFERENCIA PULSO, 310 DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO EN TIEMPO CONTINUO, 312 ~NALISIS DE ESTABILIDAD DE L1APUNOV, 321 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 336 PROBLEMAS, 370
vii
Contenido
Capitulo 6 Ubicacion de polos y disefio de observadores
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7
377
INTRODUCCION, 377 CONTROLABILIDAD, 379 OBSERVABILIDAD, 388 TRANSFORMACIONES UTILES EN EL ANALISIS Y DISENO EN EL ESPACIO DE ESTADOS, 396 DISENO viA UBICACION DE POLOS, 402 OBSERVADORES DE ESTADO, 421 SISTEMAS DE SEGUIMIENTO, 460 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 474 PROBLEMAS, 510
Capitulo 7
..
Enfoque de ecuaciones polinomiales para el disefio de sistemas de control
7-1 7-2 7-3 7-4 7-5
INTRODUCCION,517 LA ECUACION DIOFANTINA, 518 EJEMPLO ILUSTRATIVO, 522 ENFOQUE DE ECUACIONES POLINOMIALES PARA EL DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL, 525 DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE EL ACOPLAMIENTO A UN MODELO, 532 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 540 PROBLEMAS, 562
Capitulo 8 Sistemas de control optimo cuadraticos
8-1 8-2 8-3 8-4
566
INTRODUCClON, 566 CONTROL OPTIMO CUADRATICO, 569 CONTROL OPTIMO CUADRATICO EN ESTADO ESTACIONARIO, 587 CONTROL OPTIMO CUADRATICO DE UN SISTEMA DE SEGUIMIENTO, 596 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 609 PROBLEMAS, 629
Apendice A Analisis vector y matrices
A-1 A-2 A-3
517
633
DEFINICIONES, 633 DETERMINANTES, 633 INVERSION DE MATRICES, 635
viii
Contenido
A-4 A-5 A-6 A-7 A-8
REGlAS DE OPERACIONES CON MATRICES, 637 VECTORES Y ANALISIS VECTORIAL, 643 VAlORES PROPIOS, VECTORES PROPIOS Y TRANSFORMACIONES DE SIMILITUD, 649 FORMAS CUADRATICAS, 659 PSEUDOINVERSAS, 663 PROBLEMAS DE EJEMPlO Y SOlUCIONES, 666
Apendice B Teoria de la transformada z B-1 B-2 B-3 B-4
681
INTRODUCCION, 681 TEOREMAS UTllES DE lA TRANSFORMADA z, 681 TRANSFORMACION INVERSA z Y El METODO DE lA INTEGRAL DE INVERSION, 686 METODO DE lA TRANSFORMADA z MODIFICADA, 691 PROBLEMAS DE EJEMPlO Y SOlUCIONES, 697
Apendice C Diseno por ubicacion de polos cuando la senal de control es un vector C-1 C-2 C-3
INTRODUCClON, 704 DISCUSION PREll MINAR, 704 DISENO POR UBICACION DE POlOS, 707 PROBLEMAS DE EJEMPlO Y SOlUCIONES, 718
Bibliografia
indice
735
730
704
Prefacio
En este libro se presenta un tratamiento entendible sobre el anal isis y disefio de sistemas de control en tiempo discreto. Ellibro se escribio para utilizarse como texto para los cursos sobre sistemas de control en tiempo discreto 0 de control digital que se imparten ya sea en el ultimo afio de licenciatura o en el primer ano de posgrado para estudiantes de ingenieria. En esta segunda edicion, parte del material de la primera edicion se ha omitido y se anadio material nuevo a 10 largo dellibro. La caracteristica mas significativa de esta edicion es el tratamiento amplio acerca del disefio mediante ubicacion de polos con observadores de orden reducido a traves del enfoque en el espacio de estados (vease el capitulo 6) y el enfoque de ecuaciones polinomiales (vease el capitulo 7). En este libro todo el material se presenta de manera que ellector pueda seguir facilmente todas las discusiones. Se incluye la informacion necesaria para entender los temas que se presentan (tal como la prueba de teoremas y los pasos que se siguen para la obtenci6n de las ecuaciones importantes relacionadas con el disefio de observadores y la ubicacion de pol os) con el fin de facilitar la comprension de estes. Los antecedentes teoricos para el disefto de sistemas de control se discuten en forma detallada. Una vez que se han entendido los aspectos te6ricos, ellector puede utilizar ventajosamente MATLAB para obtener las soluciones numericas que involucran varios tipos de operaciones con matrices y vectores. Se supone que el lector esta familiarizado con el material que se presenta en el libro del mismo autor Solving Control Engineering Problems with MATLAB (editado por Prentice-Hall) 0 su equivalente. Los requisitos para el lector son un curso introductorio de sistemas de control, un curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y estar familiarizado con MATLAB (si ellector no esta familiarizado con MATLAB, este se puede estudiar paralelamente). IX
x
Prefacia
Debido a que este libro esta escrito desde el punto de vista de ingenieria, la presentaci6n del material hace enfasis en los conceptos basicos y evita de una manera cuidadosa los desarrollos maternaticos complejos. Todo el texto se ha organizado con el fin de presentar la teoria de control en tiempo discreto en una forma gradual. EI libro esta organizado en ocho capitulos y tres apendices. Esta formado como sigue: en el capitulo 1 se da una introducci6n a los sistemas de control en tiempo discreto. El capitulo 2 presenta la teoria de la transformada z necesaria para el estudio de los sistemas de control en tiempo discreto. En el capitulo 3 se discute el analisis en el plano z de los sistemas en tiempo discreto, en el que se incluye el muestreo mediante impulsos, la retenci6n de datos, el teorema de muestreo, la funci6n de transferencia pulso y los filtros digitales. El capitulo 4 trata el disefio de sistemas de control en tiempo discreto mediante metodos convencionales. Este capitulo incluye el anal isis de estabilidad de sistemas en lazo cerrado en el plano z, el analisis de las respuestas transitoria yen estado estacionario y el disefio basado en el metodo dellugar geornetrico de las raices, el metodo de respuesta en frecuencia y el metoda analitico. EI capitulo 5 presenta el analisis en el espacio de estados, incluyendo la representaci6n de sistemas en tiempo discreto en dicho espacio, la matriz de transferencia pulso, un metodo de discretizaci6n y el analisis de estabilidad de Liapunov. En el capitulo 6 se discute el disefio por ubicaci6n de polos y el disefio de observadores. Este capitulo contiene discusiones sobre controlabilidad, observabilidad, ubicaci6n de polos, observadores de estados y sistemas de seguimiento. EI capitulo 7 trata el enfoque de ecuaciones polinomiales en el disefio de sistemas de control. En este capitulo primero se estudia la ecuaci6n Diofantina y entonces se presenta el enfoque de ecuaciones polinomiales para el disefio de sistemas de control. Por ultimo, se disefian sistemas de control mediante el acoplamiento a un modelo utilizando el enfoque de ecuaciones polinomiales. El capitulo 8 presenta el control 6ptimo cuadratico. Se estudian los problemas de control 6ptimo cuadratico tanto de dimensi6n finita como infinita. Este capitulo concluye con un problema de disefio basado en el control 6ptimo cuadratico resuelto con MATLAB. El apendice A presenta un resumen del analisis con matrices y vectores. En el apendice B se dan los teoremas utiles de la teoria de la transformada z que no se presentaron en el capitulo 2, el metodo de la integral de inversi6n y el metodo de la transformada z mod ificada. En el apendice C se discute el problema de disefio por ubicaci6n de polos cuando la senal de control es una cantidad vectorial. Los ejemplos se presentan en puntos estrategicos a 10 largo dellibro para que ellector tenga un mejor entendimiento de los temas que se discuten. Adernas se proporciona un buen numero de problemas resueltos (problemas A) al final de cada capitulo, excepto en el capitulo I. Estos problemas representan una parte integral del texto. Se sugiere que ellector los estudie cuidadosamente para obtener un entendimiento profundo de los temas discutidos. Ademas, se presentan muchos problemas propuestos (problemas B) para que se utilicen como tare a 0 problemas de examen. La mayoria del material que se presenta en este libro se ha probado en c1ases en el ultimo curso sobre sistemas de control a nivel licenciatura y el primero a nivel posgrado en la Universidad de Minnesota. Todo el material de este libro se puede cubrir en dos trimestres. En un curso de un semestre, el instructor tendra cierta tlexibilidad para seleccionar los temas a tratar. En un curso trimestral, es
xi
Prefacia
posible cubrir una buena parte de los primeros seis capitulos. Este libro tambien puede servir para ingenieros que deseen estudiar la teoria de control en tiempo discreto. Se debe dar reconocimiento a mis exalurnnos, quienes resolvieron todos los problemas resueltos (problemas A) y los problemas propuestos (problemas B) e hicieron un buen numero de comentarios constructivos acerca del material contenido en este libro. Katsuhiko Ogata
(
r Introduccion G los sistetnGs de control en tietnpo discreto
J- J INTRODUCCION En anos recientes se ha incrementado el uso de controladores digitales en sistemas de control. Los controladores digitales se utilizan para alcanzar el desernpefio 6ptimo -por ejemplo, en la forma de productividad maxima, beneficio maximo, costa minimo 0 la utilizaci6n minima de energia. Recientemente, la aplicaci6n de control por computadora ha hecho posible el movimiento "inteligente" en robots industriales, la optimizaci6n de economia de combustible en autom6viles y el refinamiento en la operaci6n de enseres y maquinas de uso domestico, tales como homos de microondas y maquinas de coser, entre otros. La capacidad en la tom a de decisiones y la flexibilidad en los programas de control son las mayores ventajas de los sistemas de control digital. La tendencia actual de controlar los sistemas dinamicos en forma digital en lugar de analogica, se debe principalmente a la disponibilidad de computadoras digitales de bajo costa y a las ventajas de trabajar con sefiales digitales en lugar de sefiales en tiempo continuo.
Tipos de seiiales. Una sefial en tiempo continuo es aquella que se define sobre un intervalo continuo de tiempo. La amplitud puede tener un intervalo continuo de valores 0 solamente un numero finito de valores distintos. El proceso de representar una variable por medio de un conjunto de valores distintos se denomina cuantificacion y los valores distintos resultantes se denominan va/ores cuantijicados. La variable cuantificada s610 cambia en un conjunto finito de valores distintos. Una seftal anal6gica es una sefial definida en un intervalo continuo de tiempo cuya amplitud puede adoptar un intervalo continuo de valores. La figura I-I a) muestra una serial anal6gica en tiempo continuo y la figura 1- J b) una serial cuantificada en tiempo continuo (cuantificada s610 en amplitud).
2
Introducci6n a los sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 1
x(t)
a)
0
x(t)
b)
0
x(t)
c)
0
I
I
x(t)
d)
0
Figura I-I a) Serial analogica en tiempo continuo; b) senal cuantificada en tiempo continuo; c) seflal de datos muestreados; d) seflal digital.
Observe que la sefial analogica es un caso especial de la sefial en tiempo continuo. En la practica, sin embargo, se emplea con frecuencia la terminologia "tiempo continuo" en lugar de "analogica", De esta forma, en la literatura, inc1uyendo este libra, los terminos "sefial en tiempo continuo" y "sefial analogica" se intercambian de manera frecuente, aunque estrictamente hablando no son del todo sinonimos. Una sefial en tiempo discreto es una sefial definida solo en valores discretos de tiempo (esto es, aquellos en los que la variable independiente testa cuantificada). En una sefial en tiempo discreto, si la amplitud puede adoptar valores en un intervalo continuo, entonces la serial se denomina seiial de datos muestreados. Una sefial de datos muestreados se puede generar muestreando una sefial analogica en valores discretos de tiempo. Esta es una sefial de pulsos modulada en amplitud. La figura I-I c) muestra una serial de datos muestreados. Una sefial digital es una sefial en tiempo discreto con amplitud cuantificada. Dicha sefial se puede representar mediante una secuencia de numeros, por ejemplo, en la forma de numeros binarios.
lntroduccion
Seccion 1-1
3
(En la practica, muchas sefiales digitales se obtienen mediante el muestreo de sefiales anal6gicas que despues se cuantifican; la cuantificaci6n es 10 que permite que estas senales anal6gicas sean leidas como palabras binarias finitas.) La figura I-I d) muestra una serial digital. Es claro que esta cuantificada tanto en amplitud como en tiempo. EI uso de un controlador digital requiere de la cuantificaci6n de las sefiales tanto en amplitud como en tiempo. EI terrnino "serial en tiempo discrete" es mas general que el termino "sefial digital" 0 que el terrnino "serial de datos muestreados", De hecho, una serial en tiempo discreto se puede referir ya sea a una sefial digital 0 a una serial de datos muestreados. En la practica, los terrninos "tiempo discrete" y "digital" a menudo se intercambian. Sin embargo, el terrnino "tiernpo discreto" se emplea en el estudio teorico, mientras que el termino "digital" se utiliza en conexi6n con las realizaciones de hardware 0 software. En ingenieria de control, el objeto control ado es una planta 0 proceso. Este podrfa ser una planta 0 proceso Fisico 0 un proceso no fisico como un proceso econ6mico. La mayoria de las plantas o procesos fisicos involucran sefiales en tiempo continuo; por 10 tanto, si los sistemas de control incluyen controladores digitales, se hace necesaria la conversi6n de sefiales (de anal6gico a digital y de digital a anaI6gico). Existen tecnicas estandar para realizar dichas conversiones de sefiales; las que se estudiaran en la secci6n 1-4. Hablando con cierta holgura, los terminos como sistemas de control en tiempo discreto, sistemas de control de datos muestreados y control digital implican el mismo tipo 0 tipos muy similares de sistemas de control. Hablando en forma precisa, por supuesto que hay diferencias en estos sistemas. Por ejernplo, en un sistema de control de datos muestreados existen tanto sefiales en tiempo continuo como en tiempo discreto; las sefiales en tiempo discreto estan moduladas en amplitud por una sefial de pulsos. Los sistemas de control digital pueden incluir tanto sefiales en tiempo continuo como en tiempo discreto; donde las sefiales en tiempo discreto estan codificadas en forma nurnerica. Los sistemas de control de datos muestreados y los digitales son sistemas de control en tiempo discreto. Muchos sistemas de control industrial incluyen sefiales en tiempo continuo, sefiales de datos muestreados y sefiales digitales. Por 10 tanto, en este libro se utiliza el termino "sistemas de control en tiempo discrete" para describir los sistemas de control que incluyen alguna de las formas de senates de datos muestreados (sefiales de pulsos moduladas en amplitud) y/o sefiales digitales (sefiales codificadas en forma nurnerica).
Sistemas que se tratan en este /ibro. Los sistemas de control en tiempo discreto que se consideran en este libro son en su mayoria lineales e invariables en el tiernpo, aunque ocasionalmente se incluyen en las discusiones sistemas no lineales y/o variantes en el tiernpo. Un sistema lineal es aquel en el que se satisface el principio de superposici6n. De esta manera, si Yt es la respuesta del sistema ala entrada x., y Y2 es la respuesta ala entrada x., entonces el sistema es lineal si y s610 si, para cualesquiera escalares ex y {3, la respuesta a la entrada ax t + {3x 2 es exYt + {3Y2' Un sistema lineal se puede describir mediante ecuaciones diferenciales 0 en diferencias lineales. Un sistema lineal e invariable en el tiempo es aquel en el que los coeficientes en la ecuaci6n diferencial 0 en diferencias no varian con el tiernpo, esto es, es aquel sistema cuyas propiedades no cambian con el tiempo. Sistemas de control en tiempo continuo yen tiempo discreto, Los sistemas de control en tiempo discreto son aquellos sistemas en los cuales una 0 mas de las variables pueden carnbiar solo en valores discretos de tiempo. Estos instantes, los que se denotaran mediante kT 0 t, (k = O. I. 2...
I
i
4
Introducci6n a los sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 1
pueden especificar los tiempos en los que se !leva a cabo alguna medicion de tipo fisico 0 los tiempos en los que se extraen los datos de la memoria de una computadora digital. El intervalo de tiempo entre estos dos instantes discretos se supone que es 10 suficientemente corto de modo que el dato para el tiempo entre estos se pueda aproximar mediante una interpolacion senci!la. Los sistemas de control en tiempo discreto difieren de los sistemas de control en tiempo continuo en que las sefiales para los primeros estan en la forma de datos muestreados 0 en la forma digital. Si en el sistema de control esta involucrada una computadora digital como un controlador, los datos muestreados se deben convertir a datos digitales. Los sistemas en tiempo continuo, cuyas sefiales son continuas en el tiernpo, se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales. Los sistemas en tiempo discreto, los cuales involucran sefiales de datos muestreados 0 sefiales digitales y posiblemente sefiales en tiempo continuo, tambien se pueden describir mediante ecuaciones en diferencias despues de la apropiada discretizacion de las sefiales en tiempo continuo.
Proceso de muestreo. El muestreo de sefiales en tiempo continuo reemplaza la sefial en tiempo continuo par una secuencia de valores en puntos discretos de tiempo. El proceso de muestreo se emplea siempre que un sistema de control involucra un controlador digital, puesto que son necesarias una operacion de muestreo y una de cuantificacion para ingresar datos a ese controlador. Tambien, se da un proceso de muestreo cuando las mediciones necesarias para control se obtienen en forma intermitente. Por ejemplo, en el sistema de seguimiento par radar, a medida que la antena del radar gira, la informacion ace rca del azimut y de la elevacion se obtiene una vez por cada vue Ita que da la antena. De este modo, la operacion de rastreo del radar produce un dato muestreado. En otro ejemplo, el proceso de muestreo se necesita cuando un controlador 0 computadora de gran tamafio se comparte en tiempo entre varias plantas con el fin de reducir los costos. En este caso se envia periodicamente una sefial de control para cada una de las plantas y de esta manera la senal se convierte en una de datos muestreados. El proceso de muestreo es seguido por un proceso de cuantificacion. En el proceso de cuantificacion, la amplitud analogica muestreada se reemplaza por una amplitud digital (representada mediante un nurnero binario). Entonces la sefial digital se procesa por medio de la computadora. La salida de la computadora es una sefial muestreada que se alimenta a un circuito de retencion. La salida del circuito de retencion es una serial en tiempo continuo que se alimenta al actuador. En la seccion 14 se presentaran los deta!les para dichos metodos de procesamiento de sefiales en el controlador digital. EI termino "discretizacion" en lugar de "muestreo" se utiliza con frecuencia en el anal isis de sistemas con entradas y salidas multiples, aunque ambos significan basicamente 10 mismo. Es importante observar que de manera ocasionalla operacion de muestreo 0 discretizacion es enteramente ficticia y se ha introducido solo para simplificar el anal isis de los sistemas de control que en realidad solo conti enen sefiales en tiempo continuo. De hecho, a menudo se utiliza un modelo en tiempo discreto apropiado para un sistema en tiempo continuo. Un ejemplo es la sirnulacion en una computadora digital de un sistema en tiempo continuo. Dicho sistema simulado en una computadora digital se puede analizar para obtener los parametres que optimizan un fndice de desernpefio dado. La mayor parte del material que se presenta en este libro trata con sistemas de control que se pueden modelar como sistemas en tiempo discreto, lineales e invariables en el tiempo. Es importante mencionar que muchos sistemas de control digital estan basados en tecnicas de disefio en tiempo continuo. Debido a que se ha acumulado una gran riqueza en 10 que a experiencia se refiere en el
Seccion 1-2
5
Sistemas de control digital
disefio de controladores en tiempo continuo, el conocimiento pleno de estas tecnicas es muy valioso en el disefio de sistemas de control en tiempo discreto.
1-2 SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL
En la figura 1-2 se muestra un diagrama de bloques de un sistema de control digital que presenta la configuraci6n del esquema de control basico, En el sistema se incluye el control realimentado y el prealimentado. En el disefio de dicho sistema de control, se debera observar que la "bondad" del sistema de control depende de circunstancias individuales. Se requiere elegir un indice de desernpefio apropiado para un caso dado y disefiar un controlador de modo que optimice el indice de desernpefio elegido.
Formas de las setiales en un sistema de control digital. La figura 1-3 muestra un diagrama de bloques de un sistema de control digital. Los elementos basicos del sistema se muestran mediante los bloques. La operaci6n del controlador se maneja por el reloj. En dicho sistema de control digital, en algunos puntos del sistema pasan sefiales de amplitud variable ya sea en tiempo continuo 0 en tiempo discreto, mientras que en otros pasan sefiales codificadas en forma numerica, como se muestra en la figura. La salida de la planta es una sefial en tiempo continuo. La sefial de error se convierte a forma digital mediante el circuito de muestreo y retenci6n y el convertidor anal6gico-digital. La conversi6n se hace en el tiempo de muestreo. La computadora digital procesa las secuencias de numeros Perturbaci6n o ruioo
i--·---------------l Salida
Entrada
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Filtro
RUido
Figura 1-2
Diagrama de bloques de un sistema de control digital.
6
Introducci6n
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los sistemas de control en tiempo discrete
Capitulo 1
00-00-0
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0
L.l-L
LL.L Computaoora
Cor-varuoor
-----Il::J-----Figura 1-3
Diagrama de bloques de un sistema de control digital que muestra las scnales en forma binaria
0
grafica.
por medio de un algoritmo y produce nuevas secuencias de numeros. En cada instante de muestreo se debe convertir un numero codificado (en general un numero binario que consiste en ocho 0 mas digitos binarios) en una sefial fisica de control, la cual normalmente es una sefial en tiempo continuo o anal6gica. EI convertidor digital-anal6gico y el circuito de retenci6n convierten la secuencia de numeros en c6digo numerico a una sefial continua por secciones. EI reloj en tiempo real de la computadora sincroniza los eventos. La salida del circuito de retencion, una sefial en tiempo continuo, se alimenta a la planta, ya sea de manera directa 0 a traves de un actuador, para controlar su dinamica, La operaci6n que transforma las sefiales en tiempo continuo en datos en tiempo discreto se denomina muestreo 0 discretizacion. La operaci6n inversa, que transforma datos en tiempo discreto en una sefial en tiempo continuo, se conoce como retencion de datos; esta realiza la reconstrucci6n de la sefial en tiempo continuo a partir de la secuencia de datos en tiempo discreto. Esto por 10 regular se logra al utilizar alguna de las muchas tecnicas de extrapolaci6n. En la mayoria de los casos esto se realiza manteniendo constante la serial entre los instantes de muestreo sucesivos. (Dichas tecnicas de extrapolaci6n se estudiaran en la secci6n 1-4.) EI circuito de muestreo y retenci6n (S/H, del ingles Sample-and-Hold) y el convertidor anal6gico-digital (AID) convierten la sefial en tiempo continuo en una secuencia de palabras binarias codificadas nurnericarnente. Dicho proceso de conversi6n AID se conoce como codificacion. La combinaci6n del circuito S/H y el convertidor anal6gico-digital se puede visualizar como un interruptor que cierra instantaneamente en cada intervalo de tiempo Ty genera una secuencia de numeros en c6digo numerico. La computadora digital procesa dichos numeros en c6digo numerico y genera una secuencia deseada de numeros en c6digo numerico. EI proceso de conversion digitalanalonico (01 A) se denomina decodificacion.
Definicion de terminos. Antes de estudiar los sistemas de control digital en detalle, se necesitan definir algunos de los terminos que aparecen en el diagrama de bloques de la figura 1-3. Muestreador y retenedor (.S/H). "Muestreador y retenedor" es un termino general que se utiliza para un amplificador de muestreo y retenci6n. Este termino describe un circuito que recibe como entrada una sefial anal6gica y mantiene dicha sefial en un valor con stante durante un tiempo especifico. Normalmente la sefial es electrica, pero son posibles otras formas de esta, tales como 6ptica 0 mecanica,
Seccion 1-2
Sistemas de control digital
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Convertidor anal6gico-digital (A/D). Un convertidor analogico-digital, tambien conocido como codificador, es un dispositivo que convierte una sefial analogica en una sefial digital, usualmente una sefial codificada numericamente, Dicho convertidor se necesita como una interfaz entre un componente analogico y uno digital. Con frecuencia un circuito de muestreo y retencion es una parte integral de un convertidor AID disponible comercialmente. La conversion de una sefial analogica en la sefial digital correspondiente (numero binario) es una aproxirnacion, ya que la sefial analogica puede adoptar un numero infinito de valores, mientras que la variedad de numeros diferentes que se pueden formar mediante un conjunto finito de digitos esta limitada. Este proceso de aproxirnacion se denomina cuantificaci6n. (En la seccion 1-3 se presenta mas informacion acerca de la cuantificacion.) Convertidor digital-anal6gico (D/A). Un convertidor digital-analogico, tambien denominado decodificador, es un dispositivo que convierte una sefial digital (datos codificados numericamente) en una sefial analogica. Dicho convertidor es necesario como una interfaz entre un componente digital y uno analogico. Planta 0 proceso. Una planta es cualquier objeto fisico a ser controlado. Como ejemplos se tienen un homo, un reactor quimico y un conjunto de partes de maquinaria que funcionan de manera conjunta para Ilevar a cabo una operacion particular, tal como un sistema de seguimiento 0 una nave espacial. En general, un proceso se define como una operacion progresiva 0 un desarrollo marcado mediante una serie de cambios graduales que suceden uno a otro de una manera relativamente fija y conducen hacia un resultado 0 fin determinado. En este libro se denomina proceso a cualquier operacion a ser control ada. Como ejemplos se pueden citar procesos quimicos, econornicos y biologicos, La parte mas dificil en el disefio de sistemas de control puede situarse en el modelado preciso de una planta 0 proceso fisico. Existen much os enfoques para obtener el modelo de una planta 0 proceso pero, aun asi, pueden existir dificultades, debido principalmente a la falta de precision en la dinamica del proceso y a la pobre definicion de parametres aleatorios en muchas plantas 0 procesos fisicos. Por tanto, en el disefio de un controlador digital, es necesario reconocer el hecho de que el modelo maternatico de una planta 0 proceso en muchos casos es solo una aproxirnacion del proceso fisico. Existen algunas excepciones en el modelado de sistemas electromecanicos y sistemas hidraulicomecanicos (hidromecanicos), puesto que estos se pueden modelar de manera precisa. Por ejemplo, el modelado de un sistema de un brazo manipulador (robot) se puede Ilevar a cabo con una gran precision. Transductor. Un transductor es un dispositivo que convierte una senal de entrada en una serial de salida de naturaleza diferente a la de entrada, tal como los dispositivos que convierten una sefial de presion en una salida de voltaje. En general, la sefial de salida depende de la historia de la entrada. Los transductores se pueden clasificar como transductores analogicos, transductores de datos muestreados 0 transductores digitales. Un transductor analogico es aquel en que las senales de entrada y salida son fu~ciones continuas del tiempo. Las magnitudes de estas sefiales pueden to mar cualquier valor dentro de las limitaciones fisicas del sistema. Un transductor de datos muestreados es aquel en el que las sefiales de entrada y salida se presentan en valores discretos de tiempo (normalmente periodicos), pero las magnitudes de las sefiales, como en el caso de los transductores analogicos, no estan cuantificadas. Un transductor digital es aquel en el que las sefiales de entrada y salida se presentan solo en valores discretos de tiempo y las magnitudes de las sefiales estan cuantificadas (esto es, solamente pueden adoptar ciertos valores discretos).
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lntroduccion a los sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 1
Tipos de operaciones de muestreo, Como se estableci6 antes, una sefial cuya variable independiente t es discreta se den om ina sefial en tiempo discreto. Una operaci6n de muestreo es basicamente la transformaci6n de una sefial en tiempo continuo en una en tiempo discreto. Existen diferentes tip os de operaciones de muestreo de importancia practica: 1.
2. 3.
4.
Muestreo periodico. En este caso, los instantes de muestreo estan espaciados de manera uniforme, 0 tk = kT (k = 0, I, 2, ...). EI muestreo peri6dico es el tipo mas convencional de las operaciones de muestreo. Muestreo de orden multiple. El patr6n de los tk se repite peri6dicamente; esto es, tk + r - tk es constante para todo k. Muestreo de tasa multiple. En un sistema de control que tiene lazos multiples, la mayor constante de tiempo involucrada en un lazo puede diferir en gran medida de las de los otros lazos. Por 10 tanto, puede ser aconsejable muestrear lentamente en un lazo que involucre una constante de tiempo grande, mientras que en un lazo que involucre constantes de tiempo pequefias la tasa de muestreo debe ser mas rapida. De esta manera, un sistema de control digital puede tener diferentes perfodos de muestreo en diferentes trayectorias de realimentaci6n 0 bien tasas de muestreo multiples. Muestreo aleatorio. En este caso, los instantes de muestreo son aleatorios, 0 tk es una variable aleatoria.
En este libro se tratara s610 el caso donde el muestreo es peri6dico.
1-3 CUANTIFICACION Y ERRORES DE CUANTIFICACION
Las principales funciones involucradas en la conversi6n anal6gico-digital son el muestreo, fa cuantificaci6n de la amplitud y la codificaci6n. Cuando el valor de cualquier muestra cae entre dos estados de salida adyacentes "permitidos", se debe leer como el estado de salida permitido mas cercano al valor real de la serial, EI proceso de representaci6n de una sefial continua 0 anal6gica mediante un numero fin ito de estados discretos se denomina cuantificacion de la amplitud. Esto es, "cuantificacion" significa la transformaci6n de una serial continua 0 anal6gica en un conjunto de estados discretos. (Observe que la cuantificaci6n se presenta cuando una cantidad fisica se representa en forma numerica.) El estado de salida de cualquier muestra cuantificada se describe entonces mediante un c6digo numerico, EI proceso de representar el valor de una muestra mediante un c6digo numerico (tal como el c6digo binario) se denomina codificacion. De este modo, la codificaci6n es el proceso de asignaci6n de una palabra 0 c6digo digital a cada uno de los estados discretos. EI perfodo de muestreo y los niveles de cuantificaci6n afectan el desempefio de los sistemas de control digital. De manera que estes se deben determinar cuidadosamente.
Cuantificacion. El sistema numerico estandar utilizado para el procesamiento de sefiales digitales es el sistema binario. En dte sistema nurnerico el grupo de c6digos consisten en n pulsos cada uno de los cuales indica ya sea "encendido" (1) 0 "apagado" (0). En el caso de la cuantificaci6n, los n pulsos "encendido-apagado" pueden representar 2" niveles de amplitud 0 estados de salida. El nivel de cuantificaci6n Q se define como el intervalo entre dos puntos adyacentes de decisi6n y esta dado mediante
Seccion 1-3
Cuontificocion y errores de cucntilicocion
9
Q = FSR 2" donde FSR es el intervalo a escala completa. Observe que el bit que esta mas a la izquierda del c6digo binario natural tiene el mayor peso (un medio de la escala completa) y se Ie conoce como el bit mas significativo (MSB). El bit que esta mas ala derecha tiene el menor peso (112" veces la escala completa) y se Ie conoce como el bit menos significativo (LSB). De esta manera,
LSB = FSR 2" EI bit menos significativo es el nivel de cuantificaci6n Q.
Error de cuantificacion, Puesto que el numero de bits en la palabra digital es fin ito, la conversi6n AID da como resultado una resoluci6n fin ita. Esto es, la salida digital puede solamente adoptar un numero finito de niveles, y por 10 tanto un numero anal6gico se debe redondear al nivel digital mas cercano. Por consiguiente, toda conversi6n AID involucra un error de cuantificaci6n. Dicho error de cuantificaci6n varia entre 0 y ±tQ. Este error depende de la fineza del nivel de cuantificaci6n y se puede hacer tan pequeno como se desee haciendo mas pequeno el nivel de cuantificaci6n (esto es, al incrementar el numero n de bits). En la practica, existe un maximo para el numero n de bits, y de este modo siempre existe algun error debido a la cuantificaci6n. La incertidumbre presente en el proceso de cuantificaci6n se conoce como ruido de cuantificacion. Para determinar el tamafio deseado del nivel de cuantificaci6n (0 numero de estados de salida) en un sistema de control digital dado, el ingeniero debe tener un buen entendimiento entre el tamafio del nivel de cuantificaci6n y el error resultante. La varianza del ruido de cuantificaci6n es una medida del error de cuantificacion, puesto que esta es proporcional a la potencia promedio asociada con el ruido. En la figura 1-4a) se muestra un diagrama de bloques de un cuantificador junto con sus caracteristicas entrada-salida. Para una entrada anal6gica x(t), la salida yet) toma s610 un numero finito de niveles, los cuales son multiples enteros del nivel de cuantificaci6n Q. En el anal isis nurnerico, el error resultante de despreciar los digitos remanentes se den om ina error de redondeo. Debido a que el proceso de cuantificaci6n es un proceso de aproximaci6n en el que la cantidad anal6gica se aproxima mediante un numero digital finito, el error de cuantificacion es un error de redondeo. Es claro que, mientras mas fino sea el nivel de cuantificacion, mas pequefio sera el error de redondeo. En la figura lAb) se muestra una entrada anaI6gicax(t) y la salida discretay(t), la cual esta en la forma de una funci6n escalonada. El error de cuantificaci6n e(t) es la diferencia entre la sefial de entrada y la salida cuantificada, 0
e(t)
=
x(t) - y(t)
I
Observe
q~~la magnitud del
error cuantificado es
o~
le(t)1 ~!Q
Para un nivel de cuantificaci6n pequefio Q, la naturaleza del error de cuantificaci6n es similar a la del ruido aleatorio. Y, en efecto, el proceso de cuantificaci6n actua como una fuente de ruido aleatorio. A continuaci6n se obtendra la varianza del ruido de cuantificaci6n. Dicha varianza se puede obtener en terrninos del nivel de cuantificaci6n Q.
10
Introducci6n a los sistemas de control en tiempo discrete
Capitulo 1
y
xUI
y(tl Cuantificador
x
a)
xltl y(tl
a b)
P1"I~ Q
a
2
Q
•e
2 c)
Figura 1-4 a) Diagrama de bloques de un euantifieador y sus caractcristicas entrada-salida; b) entrada anaI6gieax(t) y salida diseretay(t); c) distribuei6n de probabilidad Pte) del error de euantifieaei6n e(~
Suponga que el nivel de cuantificaci6n Q es pequefio y que tam bien el error de cuantificaci6n eel) se distribuye uniformemente entre -tQ y tQ y que este error actua como un ruido blanco. [Esto es de manera obvia una suposici6n un tanto aspera, Sin embargo, debido a que la sefial de error de cuantificaci6n eel) es de una amplitud pequefia, esta suposici6n pod ria ser aceptable como una aproximaci6n de primer orden.] La distribuci6n de probabilidad pee) de la sefial eel) puede graficarse
Seccion ]-4
11
Sistemas de cdquisicion. conversion y distribucion de datos
como se rnuestra en la figura 1-4c). El valor prornedio de e(t) es cero, del ruido de cuantificacion es
u2
=
E[e(t) - e(t)j2
1
J
Q
!2
0
e(t) = O. Entonces la varianza a:
Q2
ed{ = Q -Q!2 12
= -
De esta rnanera, si el nivel de cuantificacion Q es pequefio cornparado con la amplitud prornedio de la senal de entrada, entonces la varianza del ruido de cuantificacion es un doceavo del cuadrado del nivel de cuantificacion.
1-4 SISTEMAS DE ADQUISICION, CONVERSION Y DISTRIBUCION DE DATOS
Con el crecirniento rapido en el uso de computadoras digitales para ejecutar las acciones de un control digital, tanto los sistemas de adquisicion de datos como los de distribucion se han convertido en una parte importante de todo sistema de control. La conversion de sefiales que tiene lugar en el sistema de control digital involucra las siguientes operaciones: I. 2. 3. 4.
Multiplexacion y demultiplexacion Muestreo y retencion Conversion analogico-digital (cuantificacion y codificacion) Conversion digital-analogico (decodificacion)
En la figura I-Sa) se muestra el diagrama de bloques de un sistema de adquisicion de datos y en la figura 1-5b) se muestra un diagrarna de bloques de un sistema de distribucion de datos. En el sistema de adquisicion de datos, la entrada al sistema es una variable fisica tal como posicion, velocidad, aceleracion, temperatura 0 presion. Dichas variables fisicas primero se convierten en una sefial electrica (una sefial de voltaje 0 corriente) mediante un transductor apropiado. Una
t---~
Arcconcrao»
.1
bl
Figura 1-5 0) Diagrama de bloques de un sistema de adquisicion de datos: b) diagrama dc bloqucs de distribucion dc datos.
Ull
sistema de
cJglal
12
Introducci6n a los sistemas de control en tiernpo discreto
Capitulo 1
vez que la variable ffsica se convierte en una sefial de voltaje 0 corriente, el resto del proceso de adquisici6n de datos se hace por medios electr6nicos. En la figura I-Sa) el amplificador que sigue del transductor (frecuentemente un amplificador operacional) ejecuta una 0 mas de las siguientes funciones: amplificar el voltaje de salida del transductor: convertir la sefial de corriente en una de voltaje; 0 aislar la sefial. EI filtro paso-bajas que sigue al amplificador atenua las componentes de alta frecuencia de la senal, tales como sefiales de ruido. (Observe que los ruidos de tipo electr6nico son de naturaleza aleatoria y se pueden reducir mediante filtros paso-bajas. Sin embargo, dichos ruidos de tipo electronico, como la interferencia de la linea de alimentacion, general mente son peri6dicos y se pueden reducir por medio de filtros de muesca.) La salida del filtro paso-bajas es una sefial anal6gica. Esta sefial se alimenta a un multiplexor anal6gico. La salida del multiplexor se alimenta al circuito de muestreo y retencion, cuya salida, a su vez, se alimenta al convertidor anal6gico-digital. La salida del convertidor es la sefial en forma digital; esta se alimenta al controlador digital. EI proceso inverso al de adquisici6n de datos es el de distribuci6n de datos. Como se muestra en la figura I-Sb), un sistema de distribuci6n de datos consiste en registros, un demultiplexor, convertidores digital-anal6gico y circuitos de retenci6n. Este sistema convierte la sefial en forma digital (numeros binarios) en otra en forma anal6gica. La salida del convertidor 01A se alimenta al circuito de retenci6n. La salida del circuito de retenci6n se alimenta al actuador analogico, el cual, a su vez, control a directamente la planta que se esta considerando. A continuacion, se estudiara cada componente individual involucrado en el sistema de procesamiento de la sefial.
Multiplexor analogico, Un convertidor anal6gico-digital es el componente mas costoso en un sistema de adquisici6n de datos. EI multiplexor anal6gico es un dispositivo que lIeva a cabo la funci6n de com partir en tiempo un convertidor AID entre muchos canales anal6gicos. EI procesamiento de varios canales con un controlador digital es posible debido a que el ancho de cada uno de los pulsos que representa a la serial de entrada es muy angosto, de manera que el espacio vacio durante cada perfodo de muestreo se puede utilizar para otras seftales. Si se van a procesar muchas sefiales por un solo controlador digital, entonces estas sefiales de entrada se deben alimentar al controlador a traves de un multiplexor. En la figura 1-6 se muestra un diagrama de un multiplexor anal6gico. EI multiplexor anal6gico
hf------l~
AI muestreador
Figura 1-6 Diagrama csquernatico de un multiplexor anal6gico.
Seccion 1-4
Sistemas de cdquisicion, conversion y distribuclon de datos
13
es un interruptor multiple (nonnalmente un interruptor electr6nico) que conmuta secuencialmente entre muchos canales de entrada anal6gicos en alguna fonna preestablecida. EI numero de canales, en muchas instancias, es 4, 8 0 16. En un instante dado, s610 un interruptor esta en la posici6n de "encendido". Cuando el interruptor esta encendido en un canal de entrada dado, la sefial de entrada se conecta a la salida del multiplexor durante un tiempo especifico. Durante el tiempo de conexion, el circuito de muestreo y retenci6n muestrea a la sefial de voltaje (sefial anal6gica) y retiene su valor, mientras que el convertidor anal6gico-digital convierte el valor anal6gico en datos digitales (numeros binarios). Cada uno de los canales se lee en orden secuencial y los valores correspondientes se convierten en datos digitales en la misma secuencia.
Demultiplexor. El demultiplexor, el cual esta sincronizado con la sefial de muestreo de entrada, separa los datos digitales de la salida compuesta, del controlador digital en los canales originales. Cada uno de los canales esta conectado a un convertidor DI A para producir la sefial de salida anal6gica para ese canal. Circuitos de muestreo y retencion. Un muestreador en un sistema digital convierte una sefial anal6gica en un tren de pulsos de amplitud modulada. El circuito de retenci6n mantiene el valor del pulso de la sefial muestreada durante un tiempo especffico. EI muestreador y el retenedor son necesarios en el convertidor AID para producir un numero que represente de manera precisa la serial de entrada en el instante de muestreo. Existen de manera comercial circuitos de muestreo y retenci6n en una sola unidad, conocidos como muestreador y retenedor (S/H). Sin embargo, matematicamente, las operaciones de muestreo y la de retenci6n se modelan por separado (vease la secci6n 3-2). Es una practica comun utilizar un solo convertidor anal6gico-digital y multiplexar muchas entradas anal6gicas muestreadas en este. En la practica, la duraci6n del muestreo es muy corta comparada con el periodo de muestreo T. Cuando la duraci6n del muestreo es despreciable, el muestreador se puede considerar como un "muestreador ideal". Un muestreador ideal 10 habilita a uno para obtener un modelo matematico relativamente simple de un muestreador y retenedor. (Dicho modelo matematico se discutira con detalle en la secci6n 3-2.) En la figura 1-7 se muestra un diagrama simplificado para el muestreador y retenedor. El circuito S/H es un circuito anal6gico (simplemente un dispositivo de memoria de voltaje) en el que se adquiere una entrada de voltaje y entonces se almacena en un capacitor de alta calidad con caracteristicas de fuga y absorci6n dielectrica bajas. En la figura 1-7 el interruptor electr6nico se conecta al capacitor de retenci6n. EI amplificador operacional I es un amplificador de aislamiento de entrada con una impedancia de entrada alta. EI amplificador operacional 2 es el amplificador de salida; este aisla el voltaje en el capacitor de retenci6n. Existen dos modos de operaci6n para el circuito de muestreo y retencion: el modo de seguimiento y el de retenci6n. Cuando el interruptor esta cerrado (esto es, cuando la sefial de entrada esta conectada), el modo de operaci6n es el de seguimiento. La carga en el capacitor en el circuito sigue al voltaje de entrada. Cuando el interruptor esta abierto (Ia sefial de entrada esta desconectada), el modo de operaci6n es el de retencion y el voltaje del capacitor se mantiene con stante por un tiempo especifico. La figura 1-8 muestra los modos de seguimiento y de retenci6n. Observe que, de manera practica, la conmutaci6n del modo de seguimiento al de retenci6n no es instantaneo. Si se da el comando de retenci6n mientras el circuito esta en el modo de seguimiento. cntonces el circuito permanecera en el modo de seguimiento por un momenta antes de reaccionar ante
14
lntroduccion a los sistemas de control en tiernpo discreto
Am plificador 2
Amplificador 1
l_
Entrada
Salida
C
anal6gica
0_-
Capitulo 1
analoqica
--1-___
0
Muestreador
t
Comandode muestreo y retencion
Figura 1-7
Circuito de rnuestreo y retenci6n.
el comando de retenci6n. El intervalo de tiempo durante el cualla conmutaci6n tiene lugar (esto es, el intervalo de tiempo cuando la amplitud medida es incierta) se denomina tiempo de apertura. EI voltaje de salida durante el modo de retenci6n puede decrecer ligeramente. La calda del modo de retenci6n se puede reducir mediante el uso de un amplificador de aislamiento de salida con una impedancia de entrada alta. Dicho amplificador de aislamiento de salida debe tener una corriente de polarizaci6n muy baja. La operaci6n de muestreo y retenci6n esta controlada por un reloj.
Tipos de convertidores analogico-digltal (AID). Como se estableci6 en un principio, el proceso mediante el cual una serial anal6gica muestreada se cuantifica y se convierte en un numero binario es conocido como conversion analogico-digital. De esta manera, un convertidor AID trans-
Muestra a nivel
Senalde entrada
de retencJ6n
I I I •
i
Caida del modo de retenci6n
j Tiempode abertura
I I
Senalde salida
I I
se~~::to
-1
1..· - - - -
t
El comandode retenci6n se da aqui
r~tc::,~i: ----~7 Figura 1-8 retencion,
Modo de seguimicnto y modo de
15
Sistemas de cdquisicion. conversion y distribucion de datos
Seccion 1-4
forma una sefial analogica (par 10 general en la forma de voltaje 0 corriente) en una sefial digital 0 una palabra codificada numericamente. En la practica, la logica esta basada en digitos binarios compuestos por Os y Is, y la representacion tiene un numero fin ito de digitos. EI convertidor AID ejecuta las operaciones de muestreo y retencion, cuantificacion y codificacion. Observe que en el sistema digital un reloj genera un pulso cada periodo de muestreo T. El convertidor AID envia una serial digital (numero binario) al controlador digital cada vez que el pulse llega. Entre los circuitos AID disponibles, los siguientes tipos son los mas frecuentemente utilizados: I. 2. 3. 4.
Del Del Del Del
tipo tipo tipo tipo
de aproximaciones sucesivas de integracion contador paralelo
Cada uno de estos cuatro tipos tiene sus propias ventajas y desventajas. En cualquier aplicacion particular, la velocidad de conversion, precision, longitud de palabra y el costa son los principales facto res a considerar en la eleccion del tipo de convertidor AID. (Si se requiere de una mayor precision, por ejernplo, se debe incrementar el numero de bits en la sefial de salida.) Como se vera, el convertidor analogico-digital utiliza como parte de sus lazos de realimentacion convertidores digital-analogico. EI tipo mas sencillo de convertidor AID es el del tipo contador. Su principio basico es que se aplican los pulsos de reloj al contador digital de manera que el voltaje de salida del convertidor DIA (esto es, parte dellazo de realirnentacion del convertidor AID) aumente un bit menos significativo (LSB) cada vez, y el voltaje de salida se compara con el voltaje analogico de entrada una vez por cada pulso. Cuando el voltaje de salida ha alcanzado la magnitud del voltaje de entrada, los pulsos de reloj se detienen. EI voltaje de salida del contador es entonces la salida digital. EI convertidor AID del tipo de aproximaciones sucesivas es mucho mas rapido que el del tipo contador y es el utilizado con mayor frecuencia. En la figura 1-9 se muestra un diagrarna del convertidor AID del tipo de aproximaciones sucesivas.
Convertidor D/A
f1--
Reterencia analoqica
...
Entrada
anal6gica
+
Reglstrode aproxnnaciones sucesivas
Salida digital
---1
Reloj
I
Comparador
Figura 1-9
Diagrama csqucmatico de un convcrtidor AID dcl tipo dc aproximacioncs sucesivas.
16
Introducci6n a los sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 1
EI principio de operaci6n de este tipo de convertidor AID es el que sigue. EI registro de aproximaciones sucesivas (SAR) primero enciende el bit mas significativo (Ia mitad del maximo) y 10 compara con la entrada anal6gica. EI comparador decide ya sea dejar encendido este bit 0 apagarlo. Si el voltaje de entrada anal6gico es mayor, el bit mas significativo permanece encendido. EI siguiente paso es encender el bit 2 y entonces compararlo con los tres cuartos del maximo del voltaje anal6gico de entrada. Despues de que se completan las n comparaciones, la salida digital del registro de aproximaciones sucesivas indica todos aquellos bits que se mantienen encendidos y produce e I c6digo digital deseado. Asi, este tipo de convertidor AID fija un bit por cada cicIo de reloj, y de este modo s610 requiere de n ciclos de reloj para generar n bits, donde n es la resoluci6n del convertidor en bits. (El numero n de bits empleados determina la exactitud de conversi6n.) El tiempo requerido para la conversi6n es aproximadamente 2,useg 0 menos para una conversi6n de 12 bits. Errores en convertidores AID. Los convertidores anal6gico-digitales reales difieren de los convertidores ideales en que los primeros siempre tienen algunos errores, tales como errores de nivel, de linealidad y de ganancia; las caracteristicas de estos se muestran en la figura 1-10. Tambien, es importante observar que las caracteristicas entrada-salida cambian con el tiempo y con la temperatura. Por ultimo, se debe observar que los convertidores comerciales se especifican para tres rangos de temperatura: comercial (0 °C a 70°C), industrial (-25°C a 85°C) y militar (-55°C a 125°C). Convertidores digital-analoglco (D/A). A la salida del controJador digitalla sefial digital se debe convertir en una serial anal6gica mediante el proceso conocido como conversi6n digital-anaI6gica. Un convertidor D/A es un dispositivo que transforma una entrada digital (numeros binarios) en una salida anal6gica. La salida, en la mayoria de los casos, es una serial de voltaje. Para el rango completo de la entrada digital, existen 2" valores anal6gicos correspondientes diferentes, incluyendo el O. Para la conversi6n digital-anal6gica existe una correspondencia uno a uno entre la entrada digital y la salida anal6gica. En general se emplean dos metodos para la conversi6n digital-anaI6gica: el metodo que utiliza resistores ponderados y el otro que utiliza la red en escalera R-2R. EI primero es sencillo en la configuraci6n del circuito, pero su exactitud puede no ser muy buena. EI segundo es un poco mas complicado en configuracion, pero es mas exacto. En la figura 1-11 se muestra el diagrama de un convertidor DI A que emplea resistores ponderados. Los resistores de entrada del amplificador operacional tienen valores ponderados en forma binaria. Cuando el circuito 16gico recibe un 1 binario, el interruptor (en realidad una compuerta electr6nica) conecta el resistor al voltaje de referencia. Cuando el circuito 16gico recibe un 0 binario, el interruptor conecta el resistor a tierra. Los convertidores digital-anal6gicos empleados en la practica comun son gel tipo paralelo: todos los bits que intervienen se aplican simultaneamente de la entrada digital (numeros binarios). Asi el convertidor D/A genera el voltaje de salida anal6gico correspondiente al voltaje digital dado. Para el convertidor D/A que se muestra en la figura 1-11, si el nurnero binario es b)b 2b]b o, donde cada una de las b puede ser ya sea un 0 0 un 1, entonces la salida es
Se ccion 1-4
Sistemas de cdquisicion. conversion y distribucion de datos
17
111
a)
100
o0 0
--J
k:--L-_ _-,-l.
o
~ FS
FS
/'
111
/
/ / /
/
/ b)
~
100
Error de uneahdao
/ /
/ / / /
000
/' L....
o
:-'-
PS
---J
FS
111
c)
100
000
~
o
.1._
~ FS
__J
FS
Figura 1-10 Errores en convcrtidores ND: a) error de nivel; b) error de lincalidad: c) error de gananeia.
Notese que a medida que el numero de bits se incrementa el intervalo de valores de los resistores se hace mas grande y la exactitud se empobrece. . En la figura 1-12 se muestra un diagrama esquernatico de un convertidor 0/A de n-bits que utili~ un circuito en escalera R-2R. Observe que con excepcion del resistor de realirnentacion (el cual es 3R) todos los resistores involucrados son ya sea R 0 2R. Esto significa que se puede alcanzar un alto nivel de exactitud. EI voltaje de salida en este caso puede estar dado mediante
Reconstruccion de fa seiiul de entrada mediante circuitos de retencion. La operaci6n de muestreo produce una sefial de pulsos modulados en amplitud. La funci6n de la operacion de reten-
18
lntroduccion a los sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 1
8R
Figura I-II
Diagrama csqucmatico de un eonvertidor Df A que emplea resistores ponderados.
cion es reconstruir la serial analogica que ha sido transmitida como un tren de pulsos muestreados. Esto es, el prop6sito de la operaci6n de retenci6n es rellenar los espacios entre los periodos de muestreo y as! reconstruir en forma aproximada la serial anal6gica de entrada original. El circuito de retencion se disefia para extrapolar la sefial de salida entre puntos sucesivos de acuerdo con alguna manera preestablecida. La forma de onda de escalera de la salida que se muestra en la figura 1-13 es la forma mas sencilla para reconstruir la sefial de entrada original. El circuito de retenci6n que produce dicha forma de onda de escalera se conoce como retenedar de orden cera. Debido a su simplicidad, el retenedor de orden cero se emplea por 10 regular en sistemas de control digital. 3R
2R
R
R
2R
2R
2R
2R
R
2R
2R
b;
- V"'
0---....1--+---'-->,- _ - _ - _ - _
Figura 1-12
--J'--+--_ _.J.--+-_ _-'
Convertidor DfA de n-bits que usa un eireuito esealera R-2R.
Sistemas de odquisicion, conversion y distribucion de datos
Seccion 1-4
19
_ I""'" I--Llsalida /
/
r--
f--
(kT)Z-k]
=
z{~ x(kT)z-k - ~~ X(kT)Z-k]
=
z{
X(z) -
~~ X(kT)Z-k]
Para la secuencia de numeros x(k), la ecuaci6n (2-8) se puede escribir como sigue:
Z[x(k + n)]
=
z{
X(z) -
~~ X(k)Z-k]
A partir de esta ultima ecuaci6n, se obtiene
Z[x(k + 1)]
=
zX(z) - zx(O)
Z[x(k + 2)]
=
zZ[x(k + 1)] - zx(l)
(2-11) =
z2X(z) - Z2 X(0) - zx(l)
(2-12)
Propiedades y teoremas importantes de la transformada z
Seccion 2-4
33
De manera similar, Z[x(k
+ n)] = z" X(z) -
z" x(O) - zn-I x(1) - z":' x(2) - ... - zx(n - 1)
(2-13)
donde n es un entero positivo. Recuerde que la multiplicacion deX(z) por z tiene el efecto de avanzar la sefial x(kT) un paso (un periodo de muestreo) y que la multiplicacion de la transformada z X(z) por z -I tiene el efecto de retrasar la sefial x(kT) un paso (un periodo de muestreo). Ejemplo 2-3 Encuentre las transformadas z de una funcion escalon unitario que esta retrasada un periodo de muestreo y cuatro periodos de muestreo, respectivamente, como se muestra en las figuras 2-2a) y b). Mediante el teorema de corrimiento dado por la ecuacion (2-7), se tiene
Z[l(t - T)) =
z-
'
Z [l (t)] =
z-I 1-1
1 -z
=1
Z-1
-z
-I
Tarnbien.
Z[l(t - 4T)] =
z-
4
Z [1(t)] =
z-4--
1
1 -z
Z-4
-_1 = -1---1
-z
(Observe que z -1 representa el retardo de un periodo de muestreo T, sin tomar en cuenta el valor de T.)
Ejemplo 2-4 Obtenga la transformada z de k-I
f(a) =
.
0
000000000000000000000000000
0
0
0
0
00
0
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1 0
5
10
15
20
25
30
35
40
k Figura 2-5 Respuesta del sistema definido por la ecuacion (2-20) a la entrada delta de Kronecker.
46
La transformada z
Capitulo 2
Si se desea conectar los puntos consecutivos (abrir circulos, 0) mediante Ifneas rectas, se necesita modificar el comando de graficacion de (k, y, 0) en el de (k, y, '0', k, y, '-').
Enfoque de fa ecuacion en diferencias.
Al observar que la ecuaci6n (2-20) se puede escribir
como
(Z2 - 1.5327z + 0.6607)Y(z)
=
(0.4673z - 0.3393)X(z)
esta ecuaci6n se puede convertir en una ecuaci6n en diferencias como sigue:
y(k + 2) - 1.5327y(k + 1) + 0.6607y(k)
= 0.4673x(k + 1) -
0.3393x(k)
(2-21)
donde x(O) = I y x(k) = 0 para k =1= 0, Yy(k) = 0 para k < O. [x(k) es la entrada delta de Kronecker.] Los datos iniciales yeO) y y(l) se pueden determinar como sigue: mediante la sustitucion de k = -2 en la ecuaci6n (2-21), se encuentra que
yeO) - 1.5327y(-I) a partir de la cual se tiene
+ 0.6607y(-2) = 0.4673x(-I) - 0.3393x(-2) yeO)
=0
Despues, mediante la sustitucion de k = -I en la ecuacion (2-21), se obtiene
y(l) - 1.5327y(0)
+ 0.6607y( -1) = 0.4673x(0) - 0.3393x( -1)
a partir de la cual se tiene
y(l) = 0.4673 Encontrar la transformada z inversa de Y(z) se convierte ahora en el problema de resolver la siguiente ecuaci6n en diferencias paray(k):
y(k + 2) - 1.5327y(k + 1) + 0.6607y(k)
= 0.4673x(k + 1) -
0.3393x(k)
(2-22)
con los datos iniciales yeO) = 0, y(l) = 0.4673, x(O) = I, Yx(k) = 0 para k =1= O. La ecuacion (2-22) se puede resolver facilrnente a mano, 0 mediante el uso de BASIC, FORTRAN 0 algun otro lenguaje de programaci6n.
Metodo de expansion en fracciones parciales. EI metodo de expansion en fracciones parciales que se presenta aqui y que es identico al metodo de expansion en fracciones parciales que se utiliza en la transformada de Laplace, es muy empleado en problemas rutinarios que involucran transformadas z. EI metoda requiere que todos los terminos de la expansion en fracciones parciales se puedan reconocer facilmente en la tabla de pares de transformadas z. Para encontrar la transformada z inversa, si X(z) tiene uno 0 mas ceros en el origen (z = 0), entonces X(z)/z 0 X(z) se expande en la suma de terminos sencillos de primero 0 segundo orden mediante la expansion en fracciones parciales y se emplea una tabla de transformadas z para encontrar la funcion del tiempo correspondiente para cada uno de los terminos expandidos. Se debe observar que la unica raz6n de que se expanda X(z)/z en fracciones parciales es que cada uno de los terminos expandidos tenga una forma que se pueda encontrar facilmente a partir de las tab las de transformadas z de que se dispone comunmente,
.:-=:: :~
2-5
La transformada z inversa
47
Ej ernplo 2-13 Antes de estudiar el metodo de expansion en fracciones parciales se revisara eI teorema de corrimiento. Considere la siguiente X(z): Z-1
X(z) = 1
- az
1
Escribiendo zX(z) como Y(z), se obtiene
zX(z)
1
= Y(z) = 1 - az
1
Con referencia a la tabla 2-1, la transformada z inversa de Y(z) se puede obtener como sigue:
Z-l[y(Z)] Por 10 tanto, la transformada z inversa de X(z)
= y(k) = ak
= Z-I Y(z)
esta dada por
Z-l[X(Z)] = x(k) = y(k - 1) Puesto que se supone que y(k) es cera para toda k < 0, se tiene
x(k) = {Y(k - 1) = a" - t, 0,
k=I,2,3, ...
ksO
Considere X(z) como dada mediante
X( ) = boz m + blzm- I + .. , + bm-Iz + bm Z Zn+ al Znl+ . . . + an-IZ + an ' Para expandir X(z) en fracciones parciales, primero se factoriza el polinomio del denominador de _\{:) y se encuentran los polos deX(z):
X(z) = boz m + bl zm-I + ... + bm-I z + bm (z - PI)(Z - P2) ... (z - Pn) Luego se expandeX(z)/z en fracciones parciales, de manera que cada uno de los terminos sea reconocido facilmente en una tabla de transformadas z. Sin embargo, si se utiliza el teorema de corrimiento para tomar la transformadaz inversa, se debe expandir X(z) en fracciones parciales, en lugardeX(z)/z. La transformada z inversa de X(z) se obtiene como la suma de las transformadas z inversas de las fracciones parciales. Un procedimiento de uso muy comun para los casos donde todos los polos son diferentes y hay por 10 menos un cera en el origen (esto es, b; = 0) es dividir ambos miembros de X(z) entre z y entonces expandir X(z)/z en fracciones parciales. Una vez que X(z)/z se ha expandido, esta sera de la forma
X(z) an - = -al- + - a2 - + ... + -
z
z - PI
Z - P2
Z - Pn
EI coeficiente a, se puede determinar multiplicando ambos miembros de esta ultima ecuacion por z- P, Y haciendo que z = p.. Esto dara como resultado que todos los terminos del segundo miembro sean cera excepto el termino a.; en el cual el factor que esta multiplicando z - P, ha sido cancelado por el denominador. Por 10 tanto, se tiene
48
La transformada z
Capitulo 2
Observe que dicha forma para determinar Q, es valida s610 para polos simples. Si X(z)/z involucra un polo multiple, por ejemplo, un polo doble en z = PI Yno tiene mas pol os, entonces X(z)/z tendra la forma
X(Z) Z Los coeficientes
CI
=
+ _c_z_
CI
(z - PI)Z
z - PI
Y C z se determinan a partir de CI
= [(Z - PI)ZX(Z)] Z
Cz =
{~[(Z dz
Z~PI
- PI)ZX(Z)]} Z
Z=PI
Se debe observar que si X(z)/z involucra un polo triple en z = PI' entonces las fracciones parciales deben incluir un termino (z + PI)/(Z - PI)3. (Vease el problema A-2-8.) . Ejemplo 2-14 Dada la transfonnada z
(1 - e-aT)z
X(z) - ...,...-"'-----:----'---;::- (z - 1)(z - e a~
donde a es una constante y T es el periodo de muestreo, determine la transformada z inversa x(kT) utilizando el metodo de expansion en fracciones parciales. La expansion en fracciones parciales de X(z)/z se tiene que es X(z) =_1__
1
z - e aT
z - 1
z De este modo,
1
X(z) = - 1 -1
-z
-
1 1 -e -aTz 1
A partir de la tabla 2-1 se encuentra
Z-{1 _\-1]
z-t _e~aT
= 1
Z-1] = e-
akT
Por 10 tanto, la transfonnada z inversa de X(z) es
x(kT) = 1 - e- akT,
k = 0,1,2, ...
Ejemplo 2-15 Obtenga la transfonnada z inversa de
X
Zz
+z+2
(z) = (z - 1)(z2 -
Z
+ 1)
mediante el rnetodo de expansion en fracciones parciales. Se puede expandir X(z) en fracciones parciales como sigue:
X
(z) =
Z -
4z- 1 -3z- 1 + 2z- 2 + 1 = 1 - Z-1 + 1 - Z 1 + Z 2
-3z + 2
4
1+
Z2 -
Z
5,,::
C~
2-5
La transformada z inversa
49
Si obscrvamos que los dos polos involucrados en el termino cuadratico de esta ultima ecuaci6n son complejos conjugados, X(z) se rescribe como sigue:
4Z~'
(Z~I - 0.5Z- 2 ) 0.5z- 2 ~I -2 + 1 -Z +z -z ~1 + Z-2
X(z) = -1--~-1 -z - 3 1
3 -I 1 - 0.5z- 1 ~I 0.5zz 1 - Z-I + Z-2 + z 1 - Z 1 +' Z 2
1
-I
= 4z -1 --Z-I Puesto que
Z [e -akT cos wkT] =
Z[e- ak T senwkT] = al identificar e?" = I Ycos wT=
1 - e r" z-I cos wT
----=-----,----------,,...,,,------.,, 1 - 2e- a Tz- 1 coswT e-2aTz~2
+
e:" Z-I senwT
--;.-_-=----_---'--'.:.e:-_~_ cos wT Z-2
+ e""
2e- a T Z~I
1-
+en este caso, se tiene wT= TTI3 y sen wT= J3 12. Por 10 que se obtiene Z-I[ 1 - 0.5z~' ] 1-Z-I+Z-2
1k
=
kTT
cos 3
y
Z - I[
0.5Z-'
1 - z- 1 + z " 2
1 1k lett ] = Z-I[_1 (Y3!2)Z-'] senvr:3 1 - Z 1 + z 2 =';::;3 vj 3 c
De este modo, se tiene
x(k) = 4(1k -
l)
_
3(1k -
l)
cos (k - 1)TT + _1_ - I) sen (k - 1)TT 3 Y3 W 3
AI rescribir, obtenemos
x(k) = 4 - 3 cos ( 0,
(k-1)TT 1 (k-1)7T 3 + Y3 sen 3 '
k
= 1,2,3, ...
k~O
Los primeros valores de x(k) estan dados por
x(O) = 0
x(1) = 1 x(2) = 3
x(3) = 6 x(4) = 7 x(5)
=
5
Observe que la transformada z inversa de X(z) tambien se puede obtener como sigue:
X(z) = 4z- ' 1 _1Z-I
-
3
C_Z~~I+
Z
2) +
2Z-I_1-_-z-~....,.~_I+-Z--"""2
I'ucsto que
k
=
1,2,3, ...
k~O
50
La transfarmada z
Capitulo 2
y
,-I[ Z-I+ ]_
Z
Z
1
.
se tiene x(k) =
1_
Z
2
-
2 k k tt v'3(1 ) sen 3
r: k-tt 4 (k - l)rr 4 - 2v3 sen 3 + v'3 sen 3 '
k = 1,2,3" ..
0,
k:sO
I
Aunque esta solucion se podria ver diferente a la que se obtuvo en un principio, ambas solucioncs son correctas y dan los mismos valores para x(k).
Metodo de la integral de inversion. Esta es una tecnica util para la obtencion de la transformada z inversa. La integral de inversion de la transformada z X(z) est). dada por
1 = x(kT) = x(k) = -2 .1,. X(Z)Zk-l dz
Z-I[X(Z)]
TTJ Tc
(2-23)
don de C es un cireulo eon eentro en el origen del plano z tal que todos los polos de X(Z)z*-1 estan dentro de el. [Para obtener la ecuacion (2-23), vease el apendice B.] La ecuacion que da la transformadaz inversa en terminos de los residuos se puede obtener si se utiliza la teoria de la variable eompleja. Esta se puede obtener eomo sigue:
x(kT)
= x(k) =
K1
+ K 2 + ... + K;
m
=
L [residuo de X(d- I en el polo Z = ZI de X(Z)l-lj
(2-24)
i=1
donde K j , K2 , . • • Km denotan los residuos de X(z).I- 1 en los polos z., Z2' . . • , Zm' respeetivamente. (Para obtener esta ecuacion, vease el apendice B.) Al evaluar los residuos, observe que si el denominador de X(z).I- 1 eontiene un polo simple en z = z, entonees el residuo K eorrespondiente esta dado por
K = lim [(z - z;)X(z)zk-l]
(2-25)
Z-Zj
Si X(z).I- 1 eontiene un polo multiple
K
=
Zj
de orden q, entonees el residuo K esta dado por
1 dq - l I'rm [( _ 1)' d (q . z--.z/ z q-I Z
Zj
)qX() k-I] Z Z
(2-26)
Observe que los valores de k en las eeuaeiones (2-24), (2-25) Y (2-26) son enteros positivos. Si X(z) tiene un eero de orden r en el origen, entonces Afzjz"" en la ecuacion (2-24) involucrara un eero de orden r + k - 1 en el origen. Si r ~ 1, entonees r + k - 1 ~ 0 para k ~ 0, y no hay polo en z = 0 en X(z).I I • Sin embargo, si r:::; 0, entonees habra un polo en z = 0 para uno 0 mas valores positivos (no negativos) de k. En tal caso, es neeesaria la inversion por separado de la ecuacion (2-24) para eada valor de k. (Vease el problema A-2-9.) Debe observarse que el metodo de la integral de inversion, cuando se evalua por residuos, es una tecnica muy seneilla para obtener la transformada z inversa, siempre que X(z).I- I , no tenga polos en el origen, z = O. Sin embargo, si X(z).I- 1 tiene un polo simple 0 uno multiple en z = 0, el calculo se puede tornar tedioso y el metodo de expansion en fraeeiones pareiales podria ser mas seneillo de
:~:::"
2-5
La transformada z inversa
51
::.:~ar. Por otro lado, en ciertos problemas el enfoque de expansion en fracciones parciales puede ser - _:- laborioso. En esos casos es mas conveniente el metoda de la integral de inversion.
Ejernplo 2-16 Obtcngax(kT) cmpleando el rnetodo de la integral de inversion cuando X(z) esta dada por
_ z(l - e- aT) X(z) - (z - l)(z _ e- aT) Observe que
X(Z)Zk-l
=
(1 - e-aT)zk (z _ l)(z _ e- aT)
Para k = 0, 1,2, ... , X(Z)~-I tiene dos polos simples en z = la ecuacion (2-24), se tiene
x(k) = =
~l residua de (z 2 [
(1 _
Zl =
1 Y Z = Z2
=
e:", Por 10 tanto, a partir de
D(: _:
-aT) k ] aT) en el polo z = ZI
K1 + K2
donde
K 1 = [residuo en el polo simplez = I] . [ (1 - e-aT)Zk ] =hm (z -1)( Z - 1)( Z - e aT) = 1 z~1 K 2 = [residua en el polo simple z = e-a7]
. [ _ hm (z - eaT)
z~e-"T
(1 - e -aT)zk ] . (Z - l)(z - eaT)
=
_e- akT
Por 10 tanto,
k
= 0,1,2, ...
Ejemplo 2-17 Obtenga 1a transformada Z inversa de
empleando el rnetodo de la integral de inversion. Observe que
Para k = 0, 1,2, ... , X(Z).t'-1 tiene un polo simple en z = z 1= a partir de la ecuacion (2-24). se obtiene
x(k)
= =
±
,~l
[residuo de
K, + K 2
«" y un polo doble en:: =::2 =
)-::-(_+_l__a--';T"'-) en el polo Z = (z - 1 (z - e
ZI ]
1. Por 10 tanto.
52
La transformada z
Capitulo 2
donde
K1 == [residuo en el polo simple z == e-ar] k+l] e-a(k+ljT aT) == z~~aT [ (z - e(z _ l)~(Z _ eaT) == (1 - e aTf
K2
==
[residuo en el polo doble z == I]
==
1 d [ Zk+l] (2 - 1)! ~~ dz (z - 1f(z - 1f(z - eaT)
==
d ( Zk+l ) lim-aT z-1 dz z- e
. (k + l)zk(z - e- aT) - Zk+l ( Z - e aT)2 k e- aT
== lim z-e-I
1 - e aT
(1 - e aT)2
Por 10 tanto.
e- aTe- akT k x(kT) == K 1 + K2 == (1 _ e aT)2 + 1 _ e aT kT T(l - eaT) 2~ METODO DE LA TRANSFORMADA DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS
% PARA
e- aT(l - e- akT) (1 - e- aT)2 ,
k == 0,1,2, ...
LA SOLUCION
Las ecuaciones en diferencias se pueden solucionar facilrnente mediante el uso de una computadora digital, siempre que se proporcionen los valores numericos de todos los coeficientes y los parametres. Sin embargo, las expresiones en forma cerrada parax(k) no se pueden obtener a partir de la solucion por computadora, excepto para casos muy especiales. La utilidad del metodo de la transformada z es que permite obtener la expresi6n en forma cerrada parax(k). Considere un sistema en tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo caracterizado por la siguiente ecuacion en diferencias:
x(k) + acxt]: - 1) + ... + anx(k - n) =
bou(k) + b-ut]: - 1) + ... + bnu(k - n)
(2-27)
donde u(k) y x(k) son la entrada y salida del sistema, respectivamente, en la k-esima iteraci6n. Al describir dicha ecuaci6n en diferencias en el plano z, se toma la transformada z de cada uno de los terminos en la ecuaci6n. Definase
Z[x(k)]
=
X(z)
Entonces x(k + I), x(k + 2), x(k + 3), ... y x(k - 1), x(k - 2), x(k - 3), ... se pueden expresar en terminos de X(z) y de las condiciones iniciales. Sus transformadas z exactas se obtuvieron en la secci6n 2-4 y se resumieron en la tabla 2-3 por conveniencia. A continuaci6n se presentan dos problemas como ejemplo de la soluci6n de ecuaciones en diferencias mediante el metoda de la transformada z.
Metodo de
TABLA 2-3
10 tronsformodo zporo 10 soluci6n de ecuociones
53
en ecuociones
TRANSFORMADAS z DE x(k + m) Y x(k - m)
Transformadaz
Funci6ndiscreta x(k
+ 4)
x(k
+ 3)
x(k
+ 2)
x(k
+ 1)
Z4
X(z) Z3
Z4 x(O)
X(z) Z2
-
Z3 x(l)
Z3 x(O)
X(z) -
-
-
Z2 x(2)
Z2 x(l)
Z2 X (0)
- zx(3)
- zx(2)
- zx(l)
zX(z) - zx(O) X(z)
x(k)
X(z)
x(k - 1)
Z-l
x(k - 2)
Z-2 X(z)
x(k - 3)
z- 3X(z)
x(k - 4)
Z-4 X(z)
Ejemplo 2-18 Resuelva la siguiente ecuaci6n en diferencias empleando el rnetodo de la transformada z: x(k
+ 2) + 3x(k + 1) + 2x(k)
= 0,
x(l) = 1
x(O) = 0,
Observe primero que las transformadas z dex(k + 2), x(k + I) Yx(k) estan dadas, respectivamente, por
Z[x(k
+ 2)]
= Z2 X(z) - Z2 x(O) - zx(l)
Z[x(k
+ 1)]
=
zX(z) - zx(O)
= X(z)
Z[x(k)]
AI tomar las transformadas z de ambos miembros de la ecuaci6n en diferencias dada, se obtiene Z2
X(z) -
Z2 X (0)
- zx(l)
+ 3zX(z) - 3zx(0) + 2X(z) = 0
AI sustituir las condiciones iniciales y simplificar, se obtiene X(z)-
z Z2
_
1 = 1
Si se observa que
+
Z-l -
Z-l
=_z z + 1
z_ z
+2
1 1 + 2z- 1
Z-I[_I_] (-I)k 1+
z
+ 3z + 2 - (z + 1)(z + 2)
=
,
se tiene k = 0,1,2, ...
Ejemplo 2-19 Obtenga la soluci6n de la siguiente ecuaci6n en diferencias en terminos de x(O) y x( I): x(k
+ 2) + (a + b)x(k + 1) + abx(k)
donde a y b son constantes y k = 0, I, 2, ....
= 0
S4
La transformada z
Capitulo 2
La transformada z de esta ecuaci6n en diferencias esta dada por
[Z2 X(z) - Z2 X(O) - zx(I)] + (a + b)[zX(z) - zx(O)] + abX(z) = 0
o [Z2 + (a + b)z + ab]X(z) = [Z2 + (a + b)z]x(O) + zx(l) Al resolver esta ultima ecuaci6n paraX(z) se obtiene
X(z) _ [Z2 + (a + b)z ]x(O) + zx(l) Z2 + (a + b)z + ab Notese que las constantes a y b son los negativos de las dos raices de la ecuaci6n caracterfstica. Ahora se consideraran dos casos por separado: a) a by b) a = b. a) Para el caso donde a b, al expandir X(z)/z en fracciones parciales, se obtienc
*
X(z)
--=
z
*
bx(O) + x(l) 1 ax(O) + x(l) 1 --+ -b-a z+a a-b z+b'
a
~
b
a partir de 10 cual se obtiene
X(z) = bx(O) + x(l) 1 b - a 1 + az
1
ax(O) + x(l) 1 + -'-'----'--'- ----,.I a- b 1 + bz-
La transformada z inversa de X(z) da como resultado
x(
k)
=
k ax(O) + x(l) k bx(O) + X(I)( b-a -a) + a-b (-b),
a~b
donde k = 0, 1, 2, .... b) Para el caso don de a = b, la transformada z de X(z) se convierte en
X(z) _ (Z2 + 2az)x(O) + zx(l) Z2 + 2az + a2 zx(O) z[ax(O) + x(I)] =_ _ + -=-----:.----:._=-'-:...o
z +a
x(O)
--'---;- + 1 + az 1
(z + a)2
[ax(O) + x(I)]z-1 (1 + az 1)2
"----,---'---~.;;--
La transformada z inversa de X(z) da como resultado
x(k) = x(O)(-a)k + [ax(O) + x(I)]k(-a)k-l,
a= b
donde k = 0, I, 2, ....
2-7 COMENTARIOS FINALES En este capitulo se ha presentado la teoria basica del metodo de la transformada z. La transformada
z tiene el mismo prop6sito para sistemas en tiempo discreto, lineales e invariantes en el tiempo que la transformada de Laplace para sistemas en tiempo continuo, lineales e invariantes en el tiempo. EI metodo por computadora para el anal isis de datos en tiempo discreto da como resultado ecuaciones en diferencias. Con el metodo de la transformada z, las ecuaciones en diferencias lineales e invariantes en el tiempo se pueden transformar en ecuaciones algebraicas. Esto facilita el anal isis de la respuesta transitoria de los sistema de control digital. Tarnbien, el metodo de la transformada z
ss
Problemas de ejemplos y soluciones :c~ite
el uso de las tecnicas convencionales de analisis y diseflo disponibles para sistemas de :: -:~ol analogicos (en tiempo continuo), tales como la tecnica dellugar geometrico de las raices. El -=--~Jisis y diseflo mediante la respuesta en frecuencia se puede lIevar a cabo si se convierte el plano z ~- -e I plano w. Asimismo, la ecuacion caracteristica transformada en el dominio de z permite aplicar una :~..:-eba sencilla de estabilidad, tal como el criterio de estabilidad de Jury. Estos temas se estudiaran :::l detalle en los capitulos 3 y 4.
PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES Ejernplo A-2-J Obtenga la transforrnada r de G k , donde G es una matriz constante de n Solucion
x
n.
k
Por definicion, la transformada z de G es
Z[GkJ =
2: Gk Z-k k~O
=
(I - GZ-1)-1
= (zl
- G)-I z
r'
k
Observe que G se puede obtener tomando la transformada z inversa de (1- Gz-1 Esto es,
0
(zl - Gt l z,
Ejemplo A-2-2 Obtenga la transformada z de Ii? Solucion
Por definicion, la transformada z de Ii? es
Z[e]
=
2: e Z-k = Z-I + 4z- 2 + 9z- 3 + 16z- 4 + ... k~O
+ z-I)(1 + 3z- 1 + 6z- 2 + lOz- 3 + 15z- 4 + ... ) z-\1 + Z-I)
= z-I(1
(1 - Z-I)3 Aqui se ha empleado la expresion en forma cerrada (I - z-lt J para la serie infinita involucrada en el problema. (Vease el apendice B.) Ejemplo A-2-3 Obtenga la transformada z de ka H mediante dos metod os. Solucion Metoda I.
Por definicion, la transfonnada z de kak- I esta dada por
Z[kak-1J
=
2: ka k- I Z-k k~O
= Z-1 + Zaz + 3a2Z-3 + 4a3Z-4 + . = z-I(1 + 2az- 1 + 3a2Z-2 + 4a3Z-3 + ) '?
Z-I
56
La transformada z
Capitulo 2
Metoda 2. La expresi6n mediante la sumatoria para la transformadaz de ka::' tambien se puede escribir como sigue:
Z[ka k- I]
= i: kak- I Z-k = a-I i k=O
ka" Z-k
1 (z/a )-1 ~ [1 - (z/a)
=! i: k(~)-k a k-O
k~O
a
Z-I
Iy
(1 - az 1)2
Ejemplo A-2-4 Muestre que
Z[± X(h)] = 1 _1 _IX(Z)
z
h~O
Z[I,IX(h)] h-O
=
1
~-I_IX(Z) Z
y
L x(k)
(2-28)
= limX(z) z-l
k=O
Tambien muestre que k
Z [ 't:/(h) donde I
~
Solucion
~
i
]
= 1_
1 Z-I
[
X(z) - h~O X(h)Z-h i-I
]
(2-29)
k - J.
Defina k
L x(h),
y(k) =
k
= 0,1,2, ...
h~O
de modo que
y(O) = x(O) y(1) = x(O) + x(1) y(2) = x(O) + x(1) + x(2)
y(k) = x(O) + x(1) + x(2) + ... + x(k) Entonces, es claro que
y(k) - y(k - 1) = x(k) Si escribimos las transformadas z de x(k) y y(k) como X(z) y Y(z), respectivamente, y tomamos la transformada z de esta ultima ecuaci6n, se tiene
y(z) -
Z-I
y(z) = X(z)
Por 10 tanto,
1 y(z) = 1 _ Z-IX(Z) o
Capitula 2
Problemas de ejemplos y soluciones
57
ZLtX(h)] =Z[y(k)]
= Y(z) = 1 _\_IX(Z)
y
Al emplear el teorema del valor final, se encuentra que
limy(k) k----+x
= k_x lim
[±
X(h)]
h=O
= lim z_1
[(1 - z - I )_1- 1_IX(Z)] Z
o
L x(h)
=
h=O
L x(k)
= limX(z)
k=O
z-1
Despues, para probar la ecuacion (2-29), primero se define k
ji(k) = L x(h) = xCi) + x(i + 1) + ... + x(k) h=;
donde 1 :s; i :s; k - I. Defina tarnbien
X(z) = x(i)z-; + xCi + l)z-(i+l) + ... + X(k)Z-k + ... Entonces, al observar que
X(z) = Z[x(k)] = L X(k)Z-k = x(O) + x(l)z-1 + x(2)z-Z + ... k=O
se obtiene ;-1
X(z) = X(z) - L X(h)Z-h h-O
Puesto que
ji(k) - y(k - 1) = x(k),
k = i, i + 1, i + 2, ...
la transformada z de esta ultima ecuacion se convierte en
fez) - Z-1 fez) = X(z) [Observe que la transformada z de x(k), que empieza con k = i, es k
Z [ Lx(h)
]
1
_
_
1
X(z), no X(z).] Asi, [
i
r-
I
= Y-(z) = -_1 _IX(Z) = -_1 -I X(z) - L X(h)Z-h
h=,
Z
Z
]
h=O
Ejemplo A-2-5 Obtenga la transformada z de la curva x(t) que se muestra en la figura 2-6. Suponga que el periodo de muestreo T es 1 seg.
Solucien
A partir de la figura 2-6 se obtiene
x(O)
=0
x(l)
=
0.25
x(2) = 0.50
x(3) = 0.75 x(k)=I,
k=4,5,6, ...
58
La transformada z
Capitulo 2
x(t)
1.0
0.5
o
2
3
4
5
Figura 2-6 Curva x(t).
8
7
6
Entonces la transformada z de x(k) se puede dar mediante
X(z)
= 2: X(k)Z-k k-O
= 0.25z- 1 + 0.50z- 2 + 0.75z- 3 +
Z-I
+
Z-2
+
Z-3
+
Z-4
+
Z-5
+
Z-6
+ ...
Z-4
4(1 - z I) =
1 z-l(1 + Z-I + Z-2 + z-3)(1 - Z-I) (1 - z 1)2
4
1 z-I(1 - Z-4) (1 - Z-I)2
4
N6tese que la curva X(I) se puede escribir como X(I) = ~t -
Ht -
4)1(t - 4)
donde 1(I - 4) es la funci6n escal6n unitario que se presenta en 1= 4. Puesto que el periodo de muestreo es T = 1 seg, la transformada z de x(t) tarnbien se puede obtener como sigue:
X(z) =Z[x(t)] =Z[~t] -Z[Ht - 4)1(t - 4)] 1 Z-1 1 Z-4 Z-1
4 (1 -
z 1)2
4 (1 - Z If
1 z-l(1 - Z-4) = 4 (1 - Z-I)2 "Ejemplo A-2-6 Considere X(z), donde
X(z) = (z - 2)\z - 1) Obtenga la transformada z inversa de X(z). Solucion
Se expandira X(z)/z en fracciones parciales como sigue:
X(z)
--=
z
2z 2 + 1 9 = - -1- + -3(z - 2)2(Z - 1) (z - 2f z - 2 z - 1
Capitulo 2
Problemas de ejemplos y soluciones
59
Entonces
__ 1---,. + __ 3_ 1 - 2z I 1 - Z-I Las transformadas z inversas de los terminos individuales dan
k = 0,1,2, ... k=a,1,2, ...
y por tanto
k
= 0,1,2'00'
Ejemplo A-2-7 Obtenga la transformada z inversa de
X(z) Solucion
z+2 - 2)Z2
= (z
AI expandir X(z) en fracciones parciales. se obtiene
X(z)
=Z
1 _
lIz-I ~ = 1 _ 2z
2-
Z2 -
I -
Z-2 - Z-I
[Observe que en este ejemplo, X(z) involucra un polo doble en z = O. Por 10 que la expansion en fracciones parciales debe incluir los terrninos I/(z2) y liz.] Refiriendose a la tabla 2-1, se encuentra la transforrnada r inversa de cada uno de los terminos de esta ultima ecuacion, Esto es, '-I[
Z
Z-I
]
1 - 2z-
1
=
k l - ,
k=1,2,3, ... k:s;a
{I, = {I,
Z-I[Z-2] = Z-I[Z-I]
{20, 0,
0,
Por tanto, la transformada z inversa de /'t'(z) puede darse mediante
0x(k)
= 122k - 1
AI rescribir, sc tiene
1
a- a = 0, a- 1 = 0, 1 - a= 1 a- a ~ 2
k- l ,
-
a,
x(k)
l
= 1,
2k - 1 ,
k=a =1 k=2 k=3,4,5, ... k
k = 0,1 k = 2
k=3,4,5, ...
Para verificar este resultado, se pod ria aplicar el metoda de la division directa a estc problema. Notando quc
60
La transform ada z
X(z)
= (z
z+2 - 2)Z2
= Z-2 =
Capitulo 2
+ 4z- 3 + 8z- 4 + 16z- 5 + 32z- 6 + ...
Z-2 + (23- I)Z-3 + (24- I)Z-4 + (25- I)Z-5 + (26- 1)Z-6 + '"
se encuentra que x(k) =
Ejemplo A-2-8 Obtenga la transforrnada z inversa de
0, 1, 2k -
k = 0,1
1
k=2 k=3,4,5, ...
1,
= (1
X(z)
_ Z-I)3
Solucion La transforrnada z inversa de z-2/(1 - Z-I)3 no esta disponible en la mayoria de la tablas de transforrnadas z. Sin embargo, es posible escribir laX(z) dada como una suma de transforrnadas z que, por 10 regular, se encuentran en las tablas de transformadas z. Puesto que el denominador de X(z) es (1 - Z-I)3 Yla transforrnada z de k? es Z-I(1 + Z-I)/( 1 - Z-I)3, rescribase X(z) como
X(z)
Z-2 Z-I)3
= (1 _
=
z-l(l + Z-I) (1 - z 1)3
z-l(l + Z-I) (1 - Z 1)3
Z-I (1 - z 1)3
Z-1 - Z-2 + Z-2 (1 - z 1)3
o Z-2 _ z-l(l + Z-I) (1 - z 1)3 - (1 - z 1)3 a partir de 10 cual se obtiene la siguiente expansi6n en fracciones parciales:
Z-2
(l - Z 1)3
1 [Z-I(l + Z-I) Z-I] 1)3 - (1 - z I?
= 2 (1 - z
Las transforrnadas z de los dos terminos del segundo miembro de esta ultima ecuaci6n se pueden encontrar en la tabla 2-1. Asi,
1 ( ) _Z-I[ (1 _Z-2Z-I)3 ] -_ 2(k
x k -
2
)
_
1 (
k
- k - 2 k k - 1),
= 0,1,2, ...
Se debe observar que si laX(z) dada se expande en otras fracciones parciales, entonces la transformada z inversa no se podra obtener. Como un enfoque alternative, la transforrnada z inversa de X(z) podra obtenerse mediante el metodo de la integral de inversi6n. Primero, observe que k-I
X(z)z
Zk
= (z _ 1)3
Por 10 tanto, para k = 0, 1,2, ... , X(z)z k-I, tiene un polo triple en z = 1. Con referencia a la ecuaci6n (2-24), se tiene x(k)
= [ residuo de (z
Zk
- 1)
•
3
en el polo triple z v z.
]
:c -_ : :2
Problemas de ejernplos y soluciones
61
Z
_ 1 r d [( 3 Zk ] - (3 - I)! z~ dz z z - 1) (z - lr Z _ 1 I' d ( k) - 2'. z_l lmdZ Z Z
1
= "2k(k - 1),
k = 0,1,2, ...
Ejemplo A-2-9 Con el rnetodo de la integral de inversion, obtenga la transformada z inversa de
10 X(z) = (z - 1)(z - 2) Solucion
Observe que lOz k X(Z)Zk-1
= (z
1
- 1)(z - 2)
Para k = 0, notese que X(z)z k-I se convierte en 10
k-l
X ( z) z
=
(z _ 1)(z - 2)z '
k=O
Por 10 tanto, para k = 0, X(z)z k-I tiene tres polos simples, z = Zl = I, Z =::2 = 2 Y:: =::3 = O. Para k = 1.2. 3, ... : sin embargo, X(Z)~-I tiene solo dos polos simples, :: =::1 = 1 y:: =::2 = 2. Por 10 tanto. se debe considerar x(O) y x(k) (donde k = I, 2. 3.... ) por separado. Para k = O.
Para este caso, con referencia a la ecuacion (2-24), se tiene
x(O)
= =
~ [residUo de (z _ 1)~~ _ 2)z en el polo z K1
+ K, + K 3
donde
K1 = [residuo en el polo simple z = I]
=
~~[(Z - 1)(z _1)1(~ _ 2)Z] =-10
K z = [residuo en el polo simple z = 2]
=
~~[(Z - 2)(z _1)1(~ _ 2)Z] = 5
K 3 = [residuo en el polo simple z = 0]
= lim [z Z~O (z
10
- 1)(z - 2)z
]
=5
=
=1 ]
62
La transformada z
Capitulo 2
Por 10 tanto,
x(O) = K 1 + K 2 + K 3 = -10 + 5 + 5 = 0 Para k = 1, 2, 3, . . ..
Para este caso, la ecuaci6n (2-24) se convierte en
2[ . lOzk-1 x(k) = i~ reslduode(z -l)(z _ 2) enelpoloz=z,
]
= K 1 + K2 donde
K 1 = [residuo en el polo simple k
Z
= I]
1
lOZ ] = ~~ [ (z - 1) (z _ l)(z _ 2) =-10
K2 = [residuo en el polo simple Z = 2] =
~~ [(Z - 2) (z _1~;;:1_ 2)] = 1O(2k-
l )
Asi,
x(k) = K 1 + K 2 = -10 + 1O(2k- 1 ) = 1O(2k- 1 - 1), k = 1,2,3'00' Por 10 tanto, la transformada z inversa de la X(z) dada se puede escribir como x(k) = {
~O(2k-1 -
Una forma altern a para escribir x(k) para k
~
k=O
1),
k = 1,2,3, ....
0 es
x(k) = 5Bo(k) + 1O(2k- 1 - 1),
k = 0,1,2, ...
don de Do(k) es la funci6n delta de Kronecker y esta dada por
Bo(k) =
{I,
0,
para k= 0 para k"* 0
Ejemplo A-2-10 Obtenga la transformada z inversa de
X( ) = z(z + 2) z (z _ 1)2
(2-30)
empleando los cuatro metodos que se presentaron en la secci6n 2-5. Solucion Metoda 1: metoda de la division directa.
Primero se rescribe X(z) como un cociente de dos polinomios en
Z-I:
1+2z- 1 1+2z- 1 X(z) = (1 _ z 1)2 = 1 - 2z 1 + Z 2 Al dividir el numerador entre el denominador, se obtiene
X(z) = 1 + 4z- 1 + 7z- 2 + lOz- 3 + ... Por 10 tanto,
x(O) = 1
Problemas de ejernplos
y soluciones
63
xCI) = 4 x(2) = 7
x(3) = 10
.\/etodo 2: metoda computacional (enfoque de A/ATLAS).
Jr( ) z =
Z2 Z2 -
LaX(.:) se puede escribir como
+ 2z 2z + 1
Por 10 tanto. la transforrnada r inversa de X(.:) se puede obtener con MATLAB como sigue: Defina
2 0]
num = [1 den = [1
-2
1]
Si se desean los valores de x(k) para k = O. 1.2..... 30, entonces introduzca la entrada delta de Kronecker corno siguc:
u = [1
zeros(l,30)]
Luego introduzca el comando
x = filter(num,den,u) Vease el programa para MATLAB 2-3. [La pantalla mostrara la salidax(k) desde k = 0 hasta k = 30.] (Los calculos de MATLAB comienzan desde la columna 1 y terminan hasta la columna 31. en lugar de ernpe-
Prograrna para MATLAB 2·3 num=[l 20]; den = [1 -2 1); u = [1 zeros(1,30)); x = filter(num,den,u)
x= columns 1 through 12
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
43
46
49
52
55
58
61
64
67
70
7')
a2
a5
aa
'J]
Columns 13 through 24
37
40
Columns 25 through 31
76
64
La transformada z
Capitulo 2
°
zar en la columna y terrninar en la 30.) Los valores dex(k) dan la transforrnadaz inversa deX(z). Esto es,
x(O) = 1 x(1) = 4
x(2) = 7
x(30) = 91 Metoda 3: metoda de la expansion en fracciones parciales. parciales:
z(z + 2) 3z X(z) = (z _ 1)2 = 1 + (z _ 1)2 +
Se expande X(z) en las siguientes fracciones
3z- 1 Z-I 1 = 1 + (1 - z 1)2 + 1 - Z-I
1 Z -
Entonces, si advertimos que
k=O k = 1,2,3, ... k = 0,1,2, ...
k
=
1,2,3, ...
ksO obtenemos
x(O)
=
1
x(k) = 3k + 1,
k = 1,2,3, ...
que se pueden combinar en una ecuacion en la siguiente forma:
x(k)
= 3k +
1,
k
0,1,2, ...
=
Observe que si se expande X(z) en las siguientes fracciones parciales
4 3 4z- 1 3z- 2 X(z) = 1 + z _ 1 + (z _ 1)2 = 1 + 1 - Z-I + (1 - z 1)2 entonces la transformada z inversa de X(z) se convierte en
x(O) = 1
x(k) = 4 + 3(k - 1) = 3k + 1,
k = 1,2,3, ...
o
x(k) = 3k + 1,
k
= 0,1,2, ...
que es eJ mismo resultado que se obtuvo mediante la expansi6n de X(z) en otras fracciones parciales. [Recuerde que X(z) se puede expandir en diferentes fracciones parciales, pero el resultado final para la transforrnada z inversa es el mismo.] Metoda 4: metoda de la integral de inversion.
X( Z ) Z
Primero, observe que k-I
= (z + 2)Zk (z _ 1)2
Para k = 0, 1,2, ..., X(Z)~-I tiene un polo doble en z = I. Por 10 tanto, con referencia a la ecuaci6n (2-24),
---::I: - _ :
-
L
Problemas de ejemplos y soluciones
65
= L. reslduo de
x(k)
(z + 2)Zk (z _ 1)2 en el polo doble z
= 1]
....... ::' ..
1 . d [ 2 (z + 2)Zk] x(k) = (2 _ 1)!~~ dz (z - 1) (z _ 1)2
= lim z-l
d [(z + 2)Zk] dZ
= 3k + 1,
k = 0,1,2, ...
Ejemplo A-2-11 Resuelva la siguiente ecuacion en diferencias:
2x(k) - 2x(k - 1)
+ x(k - 2)
= u(k)
'::0nde x(k) = 0 para k < 0 y
k = 0,1,2, ...
U(k)={I, 0, Soluci6n
k kT] Se ernpleara la notacion x'(r) -;;:~",=s"'ntar la salida muestreada mediante impulsos. La serial rnuestreada x'(r), un tren de impulse : _",de representar mediante una sumatoria infinita x* (t) =
L x(kT)5(t -
kT)
k=O
• .r " (t) = x(O)5(t)
+ x(T)5(t - T) + ... + x(kT)5(t - kT) + ...
(3-1)
Se x-- - -:; un tren de impulsos unitarios como 8r (t), 0 5T(t) =
L 5(t -
kT)
k=O J:: j",1 muestreador es igual al producto de la sefial en tiempo continuo de entrada x(t) por el :¢i1pulsos unitarios 8At). En consecuencia, el muestreador se puede considerar como un _ _"- .':':2~ con la entrada x(t) como la sefial moduladora y el tren de impulsos 8/ (t) como la portadora, -.n!": se :-:1Uestra en la figura 3-2.
XO"'hlliL ..
I
o
_____-J/
_ ..
x(t)
)(151
X"ls)
Figura 3-1
Muestrcador mediante impulsos.
76
An61isisen el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
Portadora
x(r) Serial moduladora
Despues, considere la transfonnada de Laplace de la ecuaci6n (3-1)
X*(s)
= .;t[x*(t)] = x(O).;t[o(t)] + x(T).;t[o(t + x(2T).;t[o(t - 2T)] + ... = x(O) + x(T)e- TS+ x(2T)e- 2TS+ ...
- T)]
= L x(kT)e- kTs
(3-2)
k=O
N6tese que si se define
o 1 T
s = -lnz entonces la ecuaci6n (3-2) se convierte en
X*(s)1
s=(lIT) Inz
i
= k=O x(kT)z-k
(3-3)
El segundo miembro de la ecuaci6n (3-3) es exactamente el mismo que el segundo miembro de la ecuaci6n(2-1): es la transfonnadaz de la secuenciax(0),x(1),x(21), ... , generada a partir dex(t) en t = kT, donde k = 0, 1,2, .... Por tanto se puede escribir
x*(s)1 s=(lIT) Inz
= X(z)
y la ecuaci6n (3-3) se convierte en X*(s)IS=(lIT)lnZ
= X*(~ lnz) = X(z) = ~/(kT)Z-k
(3-41
Observe que la variable z es una variable compleja y T es el periodo de muestreo. [Se debe enfatizar que lanotaci6nX(z) no significaX(s) reemplazando s por z, sino que X'(s = T-1lnz).]
5e::i6n 3-2
Muestreo mediante impulsos
y retenci6n de datos
77
Resumen. Se resumirajustamente 10 que se acaba de establecer. Si la sefial en tiempo continuo () se muestrea mediante impulsos en forma periodica, la seftal muestreada se puede representar de manera matematica mediante ~-,
x*(t)
= 2: x(t)(j(t
- kT)
k=O
En el muestreador mediante impulsos se puede pensar que el interruptor se cierra instantaneamente cada periodo de muestreo Ty genera impulsos x(kT)o(t - kT). Dicho proceso de muestreo se conoce como muestreo mediante impulsos. EI muestreador mediante impulsos se presenta por conveniencia matematica; este es un muestreador ficticio que no existe en el mundo real. La transformada de Laplace de la senal muestreada mediante impulsos x*(t) ha mostrado ser la misma que la transformada z de la sefial x(t) si e'·' se define como z, 0 e" = z.
Circuitos para la retenclon de datos. En un muestreador convencional, un interruptor se cierra cada periodo de muestreo Tpara admitir una sefial de entrada. En la practica, la duracion del muestreo es muy corta en comparacion con la constante de tiempo mas significativa de la planta. Un muestreador convierte una sefial en tiempo continuo en un tren de pulsos que se presenta en los instantes de muestreo t> 0, T, 2T, ... , donde Tes el periodo de muestreo. (Observe que entre dos instantes de muestreo consecutivos el muestreador no transfiere informacion. Dos sefiales cuyos respectivos valores en los instantes de muestreo son iguales daran como resultado la misma senal muestreada.) La retencion de datos es un proceso de generacion de una sefial en tiempo continuo h(t) a partir de una secuencia en tiempo discreto x(k7). Un circuito de retencion convierte la sefial muestreada en una sefial en tiempo continuo, que reproduce aproximadamente la sefial aplicada al muestreador. La serial h(t) durante el intervalo de tiempo kT:5:t < (k + 1) T se puede aproximar mediante un polinomio en T como sigue: h(kT + T)
= an r"
+
an-I Tn-I
+ ... + al T +
donde 0:5: T < T. Observe que la sefial h(kT) debe ser igual ax(kT),
h(kT)
=
ao
(3-5)
0
x(kT)
Por tanto, la ecuacion (3-5) se puede escribir como sigue:
h(kT +
T)
= an r" +
an-I Tn-I
+ ... + al T + x(kT)
(3-6)
Si el circuito de retencion de datos es un extrapolador polinomial de n-esimo orden, se conoce como retenedor de n-esimo orden. De este modo, si n = 1, se denomina retenedor de primer orden. [EI retenedor de n-esimo orden emplea los n + I datos discretos anteriores x((k - n)7), x((k - n + I )T), ... , x( k7) para generar una sefial h(kT + T).] Debido a que un retenedor de alto orden utiliza las muestras anteriores para extrapolar una serial en tiempo continuo entre el instante de muestreo presente y el siguiente, la exactitud en la aproximacion de la sefial en tiempo continuo se mejora a medida que el numero de muestras anteriores utilizadas se incrementa. Sin embargo, esta mejoria en la exactitud se obtiene a costa de un tiempo de retraso mayor. En sistemas de control en lazo cerrado, cualquier tiempo de retardo adicional en el lazo decrementara la estabil idad del sistema y en algunos casos podria aun causar la inestabilidad del mismo. EI retenedor de datos mas sencillo se obtiene cuando n = 0 en la ecuacion (3-6), esto es, cuando
78
Anolisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
","~ k T ,...--------,
-------'/_---~ x(t)
x(kT)
Muestreador
Figura 3-3
Retenedorde ordencera
hIt)
Muestreador y retenedor de orden cera.
h(kT + 'T) = x(kT)
(3-7)
donde 0 ::; 'T < Ty k = 0, 1,2, .... La ecuacion (3-7) implica que el circuito retiene la amplitud de la muestra de un instante de muestreo al siguiente. Dicho retenedor de datos se conoce como retenedor de orden cera, 0 sujetador, 0 generador de la sefial de escalera. La salida del retenedor de orden cera es una funcion escalonada. En este libra, a menos de que se indique otra cosa, se supone que el circuito de retencion es de orden cera. Se vera posteriormente que la funcion de transferencia G, del retenedor de orden cero esta dada mediante
Retenedor de orden cero. En la figura 3-3 se muestra un muestreador y retenedor de orden cera. La sefial de entradax(t) se muestrea en instantes discretos y la serial muestreada se pasa a traves del retenedor de orden cera. EI circuito del retenedor de orden cero suaviza la sefial muestreada para producir la sefial h(t), la cual es constante desde el ultimo valor muestreado hasta que se puede disponer de la siguiente muestra. Esto es,
h(kT + t)
=
x(kT),
para 0 ::; t < T
(3-8)
Se obtendra un modelo matematico de la cornbinacion de un muestreador real y de un circuito de retencion de orden cera, como el que se muestra en la figura 3-4a). A partir del hecho de que la integral de una funcion impulso es una constante, se puede suponer que el retenedor de orden cero es un integrador, y la entrada al circuito de retencion de orden cero es un tren de impulsos. Entonces un modelo matematico para el muestreador real y el retenedor de orden cero se puede construir como se muestra en la figura 3-4b), donde GhO(s) es la funcion de transferencia del retenedor de orden cera y x' (t) es la sefial muestreada mediante impulsos de x(t).
~
h,(t)
T a)
~X'(t)
Figura 3-4
liT X'(s)
a) Muestreador real y retenedor de orden cera;
b) modele rnatematico que consiste en un muestreador b)
mediante impulsos y una funci6n de transferencia Owes).
::ecci6n 3-2
~a
79
Muestreo mediante impulsos y retenci6n de datos
Considere el muestreador y el retenedor de orden cero que se muestra en la figura 3-4a). Suponque la sefial x(t) es cera para t < O. Entonces la salida hj(t) esta relacionada con x(t) como sigue:
+ x(T)[l(t
h 1(t) = x(O)[l(t) - l(t - T)]
- T) - l(t - 2T)]
+ x(2T)[1(t - 2T) - l(t - 3T)] + ... =
L x(kT)[1(t
- kT) - l(t - (k
+ l)T)]
(3-9)
k~O
Puesto que ~[l(t
- kT)]
e- kTs
=-
S
la transformada de Laplace de la ecuaci6n (3-9) se convierte en x
~[hl(t)]
= Hj(s) = L
k~O
e-kTs _ e-(k+l)Ts x(kT)----
s
1 =
e
-
-Ts
S
cc
L x(kT)e- kTs
(3-10)
k=O
Despues, considere el modelo maternatico que se muestra en la figura 3-4b). La salida de este modelo debe ser la misma que la del retenedor de orden cera real, 0 ~[h2(t)] =
H2(s) = Hj(s)
De este modo,
(3-11) A partir de la figura 3-4b), se tiene
(3-12) Debido a que
X*(s) =
L x(kT)e- kTs k=O
la ecuaci6n (3-1 I) se puede escribir como
H 2(s) =
1-
e"
s
X*(s)
(3-13)
Al comparar las ecuaciones (3-12) y (3-13), se ve que la funci6n de transferencia del retenedor de orden cera esta dada por
Observe que, de forma matematica, el sistema que se muestra en la figura 3-4a) es equivalente al que se muestra en la figura 3-4b) desde el punto de vista de la relaci6n entrada-salida. Esto es, un rnuestreador real y retenedor de orden cera se puede reemplazar por un sistema en tiernpo continuo
80
Anolisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
matematicamente equivalente, que consiste de un muestreador mediante impulsos y una funci6n de transferencia (1 - e-lI)1s. Los dos procesos de muestreo se distinguiran (como se aprecia en la figura 3-4) por la manera en la que se dibujan los interruptores para el muestreo.
Funcion de transferencia de un retenedor de primer orden. Aunque los retenedores de primer orden no se utilizan en sistemas de control, vale la pena ver cual podria ser su funci6n de transferencia. Se mostrara que la funci6n de transferencia del retenedor de primer orden esta dada por
e
Gh,(s) =
-se-TJ Ts ; 1
(3-14)
Ahora se obtendra la ecuaci6n (3-14). Se ha establecido que la ecuaci6n (3-6) describe la salida de un circuito de retenci6n de n-esimo orden. Para el retenedor de primer orden, n = 1. Sustituyase n = 1 en la ecuaci6n (3-6). Entonces se tiene h(kT
+ T) = a, T + x(kT)
(3-15)
donde 0 ~ T < Ty k = 0, 1, 2, .... AI aplicar la condici6n que establece heCk - 1)T)
la constante
G,
= x((k - l)T)
se puede determinar como sigue: heCk - l)T)
= -a, T + x(kT) = x((k
- l)T)
o
a, =
x(kT) - x((k - 1)T)
T
Por tanto, la ecuaci6n (3-15) se convierte en h(kT
+ T) = x(kT) + x(kT)
-
X~(k
- l)T) T
(3-16)
donde 0 ~ T < T. EI proceso de extrapolaci6n del retenedor de primer orden esta basado en la ecuaci6n (3-16). La sefial de salida en tiempo continuo h(t) que se obtiene al utilizar el retenedor de primer orden es una senal lineal por secciones, como se muestra en la figura 3-5.
o x(t)
T
2T
3T
x(kT)
---......;/----.-1 Figura 3-5
-T
t
0
Retenedor de primer orden
Entrada y salida de un retenedor de primer orden.
T
2T 3T h(t)
C~:: :;n
3-2
Muestreo mediante impulses y retencion de datos
8.
Para obtener la funci6n de transferencia del circuito de retenci6n de primer orden, es convenien.e suponer una funci6n sencilla para X(/). Por ejemplo, una funci6n escal6n unitario, una funci6n ~;:,ulso unitario 0 una funci6n rampa unitaria sedan buenas elecciones para xu). Suponga que se elige una funci6n escal6n unitario como X(/). Entonces, para el muestreador real :- retenedor de primer orden que se muestra en la figura 3-6a), la salida h(/) del retenedor de primer : rden consiste en lineas rectas que son extrapolaciones de los dos valores muestreados precedentes. :"'a salida h(!) se muestra en el diagrama. La curva de salida h(/) se puede escribir como sigue: h(t)
( I)
= 1+T
l(t) -
1- T l(t --r
T) - l(t - T)
:"'.1 transformada de Laplace de esta ultima ecuaci6n es
H(s)
=
(l + _1_) __l_ Ts2
s
1 - es
Ts
Ts 2
e - rs _le-TS S
+ 1 - e- rs Ts 2 (3-17)
1= XlknluL o _________ t/
0
T
x(tl
2T
3T
h(t)
-T
t
0
Retenedorde primer orden
x(kT)
T
2T 3T
h(tl
a)
hIt)
1=
uu. ____---"t/ o
o
x(t)
T
2T
3T
-T
t
0
T
2T 3T
-.t
l)r
x·1t)
hit)
b)
Figura 3-6 a) Muestreador real en cascada con un retenedor de primero orden: b) modelo matematico que consiste en un muestreador mediante impulsos y G",(s). ," ,
-------
-----
....
~
82
Anolisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
En la figura 3-6b) se muestra un modelo matematico del muestreador real en cascada con el retenedor de primer orden que se observa en la figura 3-6a). EI modelo maternatico consiste en un muestreador mediante impulsos y Gh1(S), la funci6n de transferencia del retenedor de primer orden. La sefial de salida de este modelo es la misma que la salida del sistema real. Por tanto, la salida H(s) esta dada tambien por la ecuaci6n (3-17). La transformada de Laplace de la entradax'(r) al retenedor de primer orden Gh1(S) es
1
x
X*(s) =
L 1(kT)e-
k=O
k Ts
=
1- e
Ts
Por tanto, la funci6n de transferencia Gh1(S) del retenedor de primer orden esta dada por
G ( ) = H(s) = (1 _ -Ts)2 Ts + 1 hi S X*(s): e Ts2
='e _/-T'Y
TS
; 1
Observe que un muestreador real en combinaci6n con un retenedor de primer orden es equivalente a un muestreador mediante impulsos con una funcion de transferencia (1 - e-E?(Ts + 1)/(7.1'2). De manera similar, se pueden obtener las funciones de transferencia de retenedores de alto orden mediante el procedimiento presentado. Sin embargo, puesto que los circuitos de retenci6n de alto orden (n 2': 2) no son practicos desde el punta de vista del retraso (el cual puede causar la inestabilidad del sistema) y los efectos de ruido, no se obtendran sus funciones de transferencia. (EI retenedor de orden cero es el mas sencillo y el que se utiliza con mayor frecuencia en la practica.)
Resumen.
Se resumira 10 que se ha presentado hasta ahora acerca del muestreo mediante
impulsos. 1.
Un muestreador real toma peri6dicamente muestras de la sefial de entrada y produce una secuencia de pulsos como salida. Mientras que la duraci6n del muestreo (ancho del pulso) del muestreador real es muy pequefia (pero nunca llegara a ser cero), la suposici6n de que el ancho es cero, 10 cual implica que la secuencia de pulsos se convierta en una secuencia de impulsos cuyas magnitudes son iguales a la seftal en tiempo continuo en los instantes de muestreo, simplifica el analisis de los sistemas en tiempo discreto. Dicha suposici6n es valida si la duraci6n del muestreo es muy pequefia comparada con la constante de tiempo mas significativa del sistema y si un circuito de retenci6n se conecta a la salida del muestreador.
2.
Cuando e" se transforma en z, el concepto de muestreo mediante impulsos (el cual es un proceso puramente matematico) nos posibilita realizar el analisis de sistemas de control en tiempo discreto que involucran muestreadores y circuitos de retenci6n mediante el metodo de la transformada z. Esto significa que mediante el empleo de la variable compleja z se puede aplicar de manera directa las tecnicas desarrolladas para los metodos de la transformada de Laplace para el analisis de sistemas en tiempo discreto que incluyen la operaci6n de muestreo.
3.
Como se puntualiz6 al principio, una vez que el muestreador real y el retenedor de orden cero se han reemplazado de manera matematica por un muestreador mediante impulsos y la funci6n de transferencia (l - e-1')/s, el sistema se convierte en un sistema en tiempo continuo. Esto simplifica el analisis de los sistemas de control en tiempo discreto, puesto que se puede aplicar las tecnicas disponibles para sistemas de control en tiempo continuo.
:~:::n
~.
3-3
Colculo de la transformada z mediante el rnelodo de la integral
83
Se reitera que el muestreador mediante impulsos es un muestreador ficticio que se introduce s610 para prop6sitos de analisis maternatico, No es posible implantar fisicamente tal muestreador que genere impulsos.
cA.LCULO DE LA TRANSFORMADA Z MEDIANTE EL METODO DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCION
En esta secci6n se obtendra la transformada z de x(t) mediante el metodo de la integral de convoluci6n. Considere el muestreador mediante impulsos que se presenta en la figura 3-7. La salida del ' .nuestreador mediante impulsos es
x*(t)
2: x(t)i>(t -
=
kT)
=
x(t)
1-0
Si se observan que
2: i>(t -
kT)
(3-18)
1=0
~[i>(t
- kT)] = e- kTs
se tiene
~[i i>(t 1=0
kT)]
=
1 + e" + e ?" + e- 3Ts + ...
=
1
1- e
Ts
Puesto que
X*(s)
=
~[x*(t)] = ~[X(t) ~o i>(t -
kT)]
:L:=o
se ve que Xes) es la transformada de Laplace del producto de dos funciones, x(t) y 8 (t - k7). Observe que esto no es igual al producto de las dos transformadas de Laplace correspondientes. La transformada de Laplace del producto de dos funcionesf(t) y g (t) se puede dar mediante
~[f(t)g(t)] =
r o
f(t)g(t)e- Sl dt
1 = 2-rrj
f
C jOO
+
c-joo
F(p )G(s - p) dp
(3-19)
[Para obtener la ecuaci6n (3-19), vease e~roblema A-3-4.] Sustituyamosf(t) y g(t) por x(t) y L:=o 8 (t - k7), respectivamente. Entonces la transformada de Laplace deX(s), donde
X*(s)
x(t)
=
~[X(t) ~o 5(t -
kT)]
x'(t)
--------'/_-----
Figura 3-7
Muestreador mediante impulsos.
84
Anolisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
puede darse mediante
X*(s) =
~[X(t) ~o o(t - kT)] 1
= 27Tj
f
C jX + c-jx
1 X(p) 1 - e T(s-p) dp
(3-20)
donde la integracion se hace a 10 largo de la linea que corre desde c - jx hasta c + jx paralela al eje imaginario en el plano p y separa los polos deX(p) de los polos de 1/[1 - e-I\'-I'l]. La ecuacion (3-20) es la integral de convolucion. Es un hecho bien conocido que dicha integral se puede evaluar en terminos de los residuos forrnando un contomo cerrado que consiste en una linea desde c - jx hasta c + jx y un semicfrculo de radio infinito en el semiplano izquierdo 0 derecho, ya que la integral a 10 largo del semicfrculo que se anadio es una constante (ya sea cero 0 sJiferente de cera). Esto es, la ecuacion (3-20) se rescribe como sigue: ....i->
1 X* (s) = 27Tj
f
C jX + c-jx
1 X(p) 1 _ e-T(s-p) dp
J
=~1 X(p) d _ _ 1 X(p) d 27TJJ1- e-T(s-p) P 27Tj r 1 - e T(s p) P
(3-21)
donde res un semicfrculo de radio infinito en el semiplano izquierdo 0 derecho del plano p. Existen dos forrnas de evaluar esta integral (una es emplear un semicfrculo infinito en el semiplano izquierdo y la otra es emplear un semicfrculo infinito en el semiplano derecho); se describiran los resultados que se obtienen para los dos casos por separado. En el analisis que se presenta, se supone que los polos de Xes) estan en el semiplano izquierdo y que Xes) se puede expresar como el cociente de polinomios en s, 0
Xes) = q(s) pes) donde q(s) y pes) son polinomios en s. Tambien se supone que pes) es de mayor grado en s que q(s), 10 cual significa que lirnX(s) = 0 s~x
Evaluaclon de la integral de convolucion en el semiplano izquierdo. Se evalua la integral de convolucion dada por la ecuacion (3-21) utilizando un contomo cerrado en el semiplano izquierdo del plano p como se muestra en la figura 3-8. Empleando este contorno cerrado, la ecuacion (3-21) se puede evaluar como sigue: Si observamos que el denominador de Xes) es de mayor grado en s que el numerador, la integral a 10 largo de C se desvanece. Por lo tanto,
* _ 1 1 X(p) X (s) - 27TjJ 1 _ e-ns-p)dp La integral es igual a la suma de los residuos de X (p) en el contorno cerrado.
X*(s) =
2: [reSidue of 1 _X;~/cs
p) at pole of X(P)]
(3-22)
=-=-:: :-
3-3
Cclculo de la transformada z mediante el rnetodo de la integral
85
1m planop
x
x x
x x x Re
x x
x x
x x '---v-'
Figura 3-8 Contorno cerrado en eI semiplano izquierdo del plano p .
1
•:rcnga X(z) ernpleando la integral de convoluci6n en el semiplano izquierdo.
(3-25)
86
An61isis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
Observe que Xes) tiene un polo doble en s = 0 y un polo simple en s =-1. Par tanto, la ecuaci6n (3-23) se convierte en
X(z) =
=
IIIresidua de
J
z]
z]
1 . -d [ s 2 1 1 hm - - - + I·1m [(s + 1) --(2 - I)! s-+ods S2(S + 1) z - e" s~-I S2(S + 1) z - e"
.
-z[z - e" + (s + l)(-T)e T ' ) (s + l)\z - eTsr
1 z (-1)2 z - e T -z(z - 1 - T) z z2(T - 1 + e- T) + z(l - e" - Te- T) +-----:;0 (z - 1)2 Z- e T (z - 1)2(z - e T) (T - 1 + e-T)z-l + (1 - e- T - Te- T)z-2
=hm s-e-O
=
X(s)z 1 z _ eT' en un polo de Xes)
+----~
(1 - z 1)2(1 - e T z I) Evaluacion de la integral de convolucion en el semiplanoderecho, Ahora se va a evaluar la integral de convolucion dada por la ecuacion (3-21) en el semiplano derecho del plano p. Se elige el contomo cerrado que se muestra en la figura 3-9, el cual consiste en una linea desde c - jx hasta c + jX Y r R, la porcion de un semicfrculo de radio infinito en el semiplano derecho del plano p que esta situado a la derecha de esta linea. El contomo cerrado encierra a todos los polos de 1I[ I - e-/(,-p»), pero no encierra a ningun polo de X(P). Ahorax'(s) se puede escribir como
1m
x
Re
a
x
c
'--y---' Palosde X(p)
~ Palos de
Figura 3-9
1
1 - e- Tl '
-pi
Contorno ccrrado en el semiplano derecho del plano p.
:-=:: :-
3-3
Colculo de la transformada z mediante el rnstodo de la integral
87
* _ 1 jc+ Jx X(p) X (s) - -2' 1 _ -T(s-p)dp 7TJ c-JX e =
1 1 -2·f1 X(!!cs_p)dp - -2 1 X(!!cs p)dp 7TJ - e TTJ TR - e
.f.
(3-26)
En la evaluaci6n de las integrales del segundo miembra de la ecuaci6n (3-26), se necesita .r siderar dos casos por separado: un caso donde el denominador deX(s) es dos 0 mas grados mayor 0- , que el numerador, y otra caso donde el denominador de Xes) es s610 un grado en s mayor que el - _:Tlerador. Caso J: Xes) tiene un denominador dos 0 mas grados mayor en s que el numerador. Para este ~::so. puesto que Xes) posee por 10 menos dos pQlo_s_~!S que ceros, se tiene ~
limsX(s) = x(O+) = 0 s-+X
::ntonces la integral a 10 largo de Til es cero. De esta manera, en este caso
1 -2'
f.
7TJ
1
TR
-
X(p) T(s e
p)
dp
=
0
.ns) se puede obtener como sigue: 1
X*(s)
x
TL
=
Xes + jwsk)
(3-27)
k=-:IO
[Para obtener la ecuaci6n (3-27), vease el problema A-3-7.] Asi
T1 k~X Xes cc
X(z)
=
I
+ jwsk) s=(IIT) ln z
(3-28)
Observe que esta expresi6n de la transformada z es util para prabar el teorema de muestreo (vease la seccion 3-4). Sin embargo, es muy tedioso obtener expresiones de la transformada z de funciones de uso comun mediante este metodo. Caso 2: Xes) tiene un denominador un grado mayor en s que el numerador. Para este caso, lim sX(s) = x(O+) =1= 0 < oc y la integral a 10largo de Til no es cera. [EI valor distinto de cero esta asociado~con el valor inicial x(O+) de x(t).] Se puede mostrar que la contribuci6n de la integral a 10 largo de Til en la ecuaci6n (3-26) es -+x(O+). Esto es,
1 -2' 7TJ
f. TR
1
x(p)
e
-
1 -T(s-p)dp=--2 x (O+ )
Entonces el termino integral en el segundo miembro de la ecuaci6n (3-26) se convierte en
1
X*(s)
x
= Tk~X Xes
1 + jwsk) + zX(O+)
Ejemplo 3-2 Muestre que X(s) es periodica y su periodo es 27T/W" Refiriendose a la ecuacion (3-29),
1
X*(s) =
x
Th"!--x Xes + jwsh)
1
+ zX(O+)
(3-29)
88
Anrilisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
Por tanto,
X'es + jwsk)
~h~X xes + jwsk
=
+ jwsh) +
~x(o+)
Hagamos que k + h = m. Entonces esta ultima ecuaci6n se convierte en
X'es + jwsk)
=~
i
xes + jwsm) +
m=-x
~x(o+)
= X'es)
Por tanto, se tiene
X'es)
x'es ± jWsk),
=
k = 0,1,2, ...
De esta manera, x'es) es periodica, con periodo 27T!W,. Esto significa que, si la funci6n Xes) tiene un polo en s = Sl en el plano s, entonces x'es) tiene polos en s = Sl ± jw,.k (k = 0, 1,2, ... ).
Cdlculo de La transformada z defunciones que invoLucran eL termino (1- e-T')/s. Se considerani aqui que en la funci6nX(s) se incluye (I - e-Ts)!s. Suponga que la funci6n de transferencia G(s) sigue de un retenedor de orden cero. Entonces el producto de la funcion de transferencia del retenedor de orden cera y G(s) se convierte en
Xes)
1 - e- Ts G(s) s
=
En los siguientes pasos se obtendra la transforrnada z de dicha funcion Xes). Observe que Xes) se puede escribir como sigue:
(3-30) donde
Considere la funci6n
(3-31) Puesto que XI(s) es el producto de la transforrnada de Laplace de dos funciones, la transforrnada inversa de Laplace de la ecuacion (3-31) puede estar dada mediante la siguiente integral de convoluci6n:
x,(t)
=
r a
ga(t - T)g,(T) dr
donde
ga(t) = :;e-'[e- Ts] g,(t)
=
Asi,
x,(t) =
=
8(t - T)
:;e-l[G,(S)]
r a
8(t - T - T)g,(T) dr
= g,(t - T)
:~::
:- 3-3
Colculo de la transformada z mediante el metodo de la integral
89
::: - ::nto. si escribimos
.: . ::-.::.nsformada z de xl(t) resulta ser
Z[Xl(t») = Z[gl(t - T)) = Z-l G1(z)
=_- referencia a las ecuaciones (3-30) y (3-31), se tiene X(z)
=
Z[G1(s) - e-TsG1(s»)
=
Z[gl(t)] - Z[Xl(t)]
=
G1(Z}::---Z.::"1 G1(z)
= (1 - Z-I)G1(Z) X(z) = Z[X(s)) = (1 - Z-I)Z[ Gy)]
(3-32)
:)e este modo se ha mostrado que si X(s) incluye un factor (I - e- lI ) , entonces, al obtener la transfor~ada::; de Xes), el termino 1 - e- I , = I - Z-I se puede factorizar de modo queX(z) sea igual al producto ce ( I - ::;-1) Yla transformada z del terrnino remanente. De manera similar, si la funcion de transferencia G(s) sigue de un retenedor de primer orden .J_(s), donde
Gh1(S) = entonces la transformada z de la funcion
X(s) =
e
-se-T}TS; 1
e
-se-TsyTs; 1 G (s )
se puede obtener como sigue. Puesto que
mediante el mismo enfoque que se utilizo para obtener la ecuacion (3-32), se tiene
(3-33) La ecuacion (3-33) se puede emplear para obtener la transformada z de Ia funcion que incluye el circuito retenedor de primer orden. Ejemplo 3-3 Obtenga la transformada z de
Xes) = 1 - es
Ts
_I_
s+1
90
An61isis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
Con referenciaa la ecuaci6n(3-32),se tiene
J
Ts
X(z) =Z [
1 - e1 -s s +1
=
(1 - Z-I)Z[S(S
=
(1 -
-_
(
1-
(1 -
~ 1)J
Z-I)Z[~s Z
-I
)
(1 1 -
Z
_1_J s + 1 1 -
1
-
1)
e - TZ- I
e-T)z-I
1 - e- Tz- I 3-4 RECONSTRUCCION DE SENALES ORIGINALES A PARTIR DE SENALES MUESTREADAS
Teorema delmuestreo. Si la frecuencia de muestreo es suficientemente alta, comparada con la componente de mas alta frecuencia que se incluye en la serial en tiempo continuo, las caracteristicas de amplitud de la serial en tiempo continuo se pueden preservar en la envoIvente de la serial muestreada Para reconstruir la sefial original a partir de una serial muestreada, existe una frecuencia minima que la operaci6n de muestreo debe satisfacer. Dicha frecuencia minima se especifica en el teorema de muestreo. Se supondra que la senal en tiempo continuo x(t) tiene un espectro en frecuencia como el que se muestra en la figura 3-10. Esta seftal x(t) no contiene ninguna componente de frecuencia arriba de WI radianes por segundo. Teorema del muestreo. mayor que 2w j , 0
Si w" definida como 27TlT, don de T es el periodo de muestreo, es
donde W j es la componente de mas alta frecuencia presente en la sefial en tiempo continuo x(t). entonces la sefial x(t) se puede reconstruir completamente a partir de la sefial muestreada x*(t). EI teorema implica que si W.1 > 2w) entonces, a partir del conocimiento de la sefial muestreada, es te6ricamente po sible reconstruir con exactitud la serial en tiempo continuo original. A continuacion, se hara uso de un enfoque grafico intuitivo para explicar el teorema del muestreo. Para un enfoque anaIitico, vease el problema A-3-1 O. Para mostrar la validez del teorema del muestreo, se necesita encontrar el espectro en frecuencia I Xljw) I
-w,
o
w,
w
Figura 3-10
Un espectro en frecuencia.
:~::
:- 3-4
Reconstrucci6n de seiioles originoles a partir de seiioles muestreodos
91
:0:= .:: serial muestreada x*(t). La transformada de Laplace de x*(t) se obtuvo en la secci6n 3-3 y esta ~.:.:: cor las ecuaciones (3-27) 0 (3-29), dependiendo de que x(O+) = 0 0 no. Para obtener el espectro -:""' -"-::cuencia, se sustituyejwpor sen la ecuaci6n (3-27). [En el estudio del espectro en frecuencia, no ;..;0 -:::ccsitaestar interesado en el valor de x(O+).] De este modo, X*(jw) =
~k~X X(jw + jwsk)
= ...
+ ~X(j(w - ws)) + ~X(jw) + ~X(j(w + ws)) +
(3-34)
.:: ecuacion (3-34) da el espectro en frecuencia de la sefial muestreadax*(t). Se observa que el espectro ;;- frecuencia de una sefial muestreada mediante impulsos se reproduce un numero infinito de veces ': se atenua en un factor de liT. De esta manera, el p~ de modulaci6n mediante impulsos de una sdal en tiempo continuo produce una serie de bandas laterales. Puesto quex'es) es peri6dica con un :';;~iodo 21Tlw." como se muestra en el ejemplo 3-2, 0
= X*(s
X*(s)
± jwsk),
= 0,1,2, ...
k
s: una funci6nX(s) tiene un polo en s = Sj, entoncesx'(s) tiene un polo en s = Sj ± jW,k (k = 0, 1,2, ...). En las figuras 3-lla) y b) se muestran las graficas del espectro en frecuenciax'(jw) contra wpara I X'!iw) I w, >2w,
-2w,
-w,
o
w, 2
w,
w,
2w,
w,
3-
2
w
2
a)
I X'!iw) I
w, 2w), mientras que la figura 3-11 b) corresponde a w, < 2w!. Cada una de las graficas de IX(jw)1 contra co consiste en lX(jw)l/ Trepetido cada w, = 27T/Trad/s. En el espectro en frecuencia de IX(jw)lla componente lX(jw)I/Tse denomina componente primaria, y las otras componentes IXU( w ::!: w,k))I/T se denominan componentes complementarias. Si w, < 2w!, las componentes de IX(jw)1 no se traslaparan, y el espectro en frecuencia muestreado se repetira cada ca, rad/s. Si w, < 2w l , la forma original de IXUw)I no aparece mas en la grafica de IXUw)1 contra w debido a la superposici6n de los espectros. Por 10 tanto, se ve que la sefial en tiempo continuo x(t) se puede reconstruir a partir de la seflal muestreada mediante impulsos x '(t) a traves de filtrado si y s610 si w., > 2w!. Se debe observar que aunque el requisito de la frecuencia de muestreo minima se especifica en el teorema del muestreo como to;> 2w!, donde w! es la componente de mas alta frecuencia presente en la senal, algunas consideraciones practicas sobre la estabilidad del sistema en lazo cerrado y otras consideraciones de disefio pueden hacer necesario muestrear a ;rna frecuencia mucho mas alta que este valor minima te6rico. (Con frecuencia, w, se elige como lOw) 020w).) Filtro paso-bajas ideal. La amplitud del espectro en frecuencia de un filtro paso-bajas ideal G1 Uw) se muestra en la figura 3-12. La magnitud del filtro ideal es unitaria sobre el intervalo de frecuencias -+w,::; w::; +ws y es cero fuera de este intervalo de frecuencias. EI proceso de muestreo introduce un numero infinito de componentes complementarias (componentes de bandas laterales) ademas de la componente primaria. EI filtro ideal atenuara todas las componentes complementarias hasta cero y permitira s610el paso de la componente primaria, siempre que la w, sea dos veces mayor que la componente de mas alta frecuencia de la sefial en tiempo continuo. Dicho filtro ideal reconstruye la sefial en tiempo continuo representada por las muestras. En la figura 3-13 se muestran los espectros en frecuencia de las sefiales antes y despues del filtrado ideal. EI espectro en frecuencia a la salida del filtro ideal es l/Tveces el espectro en frecuencia de la sefial en tiempo continuo original x(t). Debido a que el filtro ideal tiene caracteristicas de magnitud constante para la regi6n de frecuencias -+w, ::; w::; +w" no hay distorsi6n en ninguna frecuencia dentro de este intervalo. Esto es, no hay corrimiento de fase en el espectro de frecuencia de un filtro ideal. (EI corrimiento de fase del filtro ideal es cero.) Se debe observar que si la frecuencia de muestreo es menor que el doble de la componente de mayor frecuencia de la serial en tiempo continuo original, entonces, debido a que los espectros en
1 w, 2
o
1 w, 2
Figura 3-12 bajas ideal.
Espectro de frecuencia en amplitud de un filtro paso-
:-::: :- 3-4
Reconstrucci6n de seiiales originales a partir de seiiales muestreadas
L
-w , 0 w,
Fillro ideal
~
GII/w)
Yls)
-w, 0 w,
w
---------/_-------~ X"ls) 6, XI~
F2ura 3-13
93
w
Espectro en frecuencia de las senales antes y despues del filtrado ideal.
-'--;;cuencia de la componente primaria y complementarias se traslapan, aun el filtro ideal no puede -;;construir la serial original en tiempo continuo. (En la practica, el espectro en frecuencia de la sefial en :;;mpo continuo en un sistema de control se puedeextender mas alia de ±+w" incluso euando las .:~plitudes a altas frecuencias son pequefias.)
El filtro paso-bajas ideal no es flsicamente realizable. Se encontrara la respuesta impulso eel filtro ideal. Se mostrara que para el filtro ideal se requiere una salida antes de que se aplique la entrada al filtro. Asi, este no es fisicamente realizable. Debido a que el espectro en frecuencia del filtro ideal esta dado por -~ws:5
w:5
~ws
en otro caso ..1 transformada
inversa de Fourier del espectro en frecuencia da como resultado
= -1
27T
=
f
W
, /2
e/wldw
-w,/2
_1_. (e(ll2l/w, 1 _
/w,t)
e-(ll2 l
27T Jt 1
Ws t
= 7Tt senT
o
-1. sen (Ws t/2)
gJ (t ) - T
ws t/2
(3-35)
La ecuacion (3-35) da la respuesta impulso unitario del filtro ideal. En la figura 3-14 se muestra una grafica de glt) contra t. Notese que la respuesta se extiende desde t = _C:JJ hasta t = DC. Esto implica que existe respuesta para t < 0 a un impulso unitario que se aplica en t = O. (Es decir, la respuesta en el tiempo empieza antes de que se aplique la entrada.) Esto no puede ser cierto en el mundo fisico. Por 10 tanto, dicho filtro no es fisicamente realizable. [Sin embargo en muchos sistemas de comunicaciones, es posible aproximar glt) mediante la adicion de un atraso de fase, 10 cual significa agregar un retraso al filtro. En sistemas de control realimentado, incrementar el atraso de fase no es deseable desde el
94
Anolisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Figura 3-14
Capitulo 3
Respuesta al impulso gAt) de un filtro ideal.
puna de vista de la estabilidad. Por 10 tanto, se evita agregar atrasosde fase para aproximar al filtro idealJ . Puesto que el filtro ideal es irrealizable y debido a que las sefiales en sistemas de control practices, en general tienen componentes de alta frecuencia que no estan limitados en banda de manera ideal, esto no es posible, en la practica, para reconstruir con exactitud la serial en tiempo continuo a partir de la sefial muestreada, no importa que frecuencia de muestreo se elija. (En otras palabras, desde el punto de vista practice, no es posible reconstruir con precisi6n la sefial en tiempo continuo en un sistema de control practice una vez que este se ha muestreado.)
Caracteristicas de respuesta en frecuencia de un retenedor de orden cero. transferencia de un retenedor de orden cero es GhO(s) =
1 - e:"
La funci6n de
(3-36)
s
Para comparar al retenedor de orden cera con el filtro ideal, se obtendran las caracteristicas de respuesta en frecuencia de la funci6n de transferencia del retenedor de orden cera. Mediante la sustituci6n de jw por sen la ecuaci6n (3-36), se obtiene
. 1 - e- Tjw GhO(jw) = - - . - jW
2e-(1/2)7jw(e(112) Tjw - e-(112)7jw) 2jw =
T sen (wT/2) e-(1I2)7jw wT/2
La amplitud del espectra en frecuencia de GhO(jw) es
IG hO (.jW)1
=
I
T sen(wT/2) wT/2
I
(3-37)
La magnitud se hace cero en la frecuencia igual ala frecuencia de muestreo y en multiples enteras de la frecuencia de muestreo. En la figura 3-l5a) se muestran las caracteristicas de respuesta en frecuencia del retenedor de orden cero. Como se puede observar a partir de la figura 3-15, existe un pica de ganancia no deseado
:..,.:: : -
~·4
Reconstrucci6n de sefiales originales a partir de sefiales muestreadas
95
:- .:.< rrecuencias de 3wJ2, 5wJ2, etcetera. N6tese que la magnitud es mas de 3 dB abajo de (0.637 =
+
.: .; ~ j
B) en la frecuencia co; Debido a que la magnitud decrece en forma gradual a medida que la se incrementa, las componentes complementarias se atenuan gradualmente hasta cera. : .;;:':'.} que las caracteristicas de magnitud del retenedor de orden cera no son constantes, si el .; ':;;-;a esta conectado a un muestreador y rete nedor de orden cero, se presenta distorsi6n en el :-,:-;;~:ro en frecuencia del sistema. Las caracteristicas de corrimiento de fase del retenedor de orden cera se pueden obtener como ; ,:_" Observe que sen (wTI2) adopta valores positivos y negativos a medida que co se incrementa de .:. __' . de w, a 2w" de 2w, a 3w" y asi sucesivamente. De este modo, la curva de fase [parte inferior de .:. .. ;ura 3-15a)] es discontinua en w = kio, = 27rkIT, donde k = 1,2,3, .... Dicha discontinuidad 0 . .:..-::-io de un valor positivo a uno negativo, 0 viceversa, se puede considerar como un corrimiento de '':''' w" excepto en los puntos donde w = ±w" w = ±2w" w = ±3 w" .... En la curva de fase existen discontinuidades de ± 180 0 en los puntos de frecuencia multiplos de w,. Excepto por estas discontinuidades en la fase, esta es lineal en w. En la figura 3-16 se muestra la comparaci6n del filtro ideal y el retenedor de orden cera. Con prop6sitos de comparaci6n, las magnitudes IG(jw)1 estan normalizadas. Se observa que el retenedor de orden cera es un filtro paso-bajas, aunque su funci6n no es muy buena. A menudo, el filtrado adicional de la sefial en bajas frecuencias antes del muestreo es necesario para remover de manera efectiva las componentes de frecuencia mayores que w,. La exactitud del retenedor de orden cero como un extrapolador depende de la frecuencia de muestreo w,. Esto es, la salida del retenedor se puede hacer tan cercana a la sefial en tiempo continuo original como sea posible haciendo que el periodo de muestreo T sea tan pequefio como la situaci6n practica 10 perm ita.
+
+
Doblamiento. EI fen6meno de traslape en el espectra en frecuencia se conoce como doblamiento. En la figura 3-17 se muestran las regiones donde se presenta error de doblamiento. La frecuencia w, se denominafrecuencia de doblamiento 0 frecuencia de Nyquist wN• Esto es,
+
I G(/w) I
-2w,
-W s
W$
2
Figura 3-16
0
Ws
Ws
2
Comparaci6n del filtro ideal y el retenedor de orden cero.
w
:-=:: :- 3-4
ReconstruccicSn de seiioles originoles a partir de seiioles muestreodos
I X*(jwl I
I I
I
I
I
I
I
Error de doblamiento
,....-',
\
\
\
I
,I .......-"
\
\
\ \
\
\ \ w
2
97
2
1
WN
= ZWs
Figura 3-17 Diagrama que muestra las regiones donde se presentan los errores de doblamiento.
7T
T-
------.
=:1 la practica, las sefiales en los sistemas de control tienen componentes de alta frecuencia, y casi < .ernpre existe algun efecto de doblamiento. Por ejemplo, en un sistema electromecanico alguna sefial cuede estar contaminada por ruido. EI espectro en frecuencia de la sefial, por tanto, puede incluir ~ ornponentes de baja frecuencia, asi como componentes de ruido de alta frecuencia (esto es, ruidos en -:',) a 400 Hz). Debido a que las frecuencias de muestreo mayores de 400 Hz no son practicas, la alta .recuencia se doblara y aparecera como una baja frecuencia. Recuerde que todas las sefiales con frecuencias mayores a W s aparecen como senales de frecuencias entre 0 y W,. De hecho, en ciertos ':350S, una sefial de frecuencia cero puede aparecer en la salida.
+
+
Traslape. En el espectro en frecuencia de una serial muestreada mediante impulsos x*(t), Jande co, < 2w\, como el mostrado en la figura 3-18, considere un punto de frecuencia arbitrario W 2 que cae en la region del traslape del espectro en frecuencia. El espectro en frecuencia en W = W2 incluye dos componentes !x(jw2)1y !x(j(ws - w2))1. La ultima componente viene del espectro en frecuencia centrado en w = W s • De este modo, el espectro en frecuencia de fa serial muestreada en w = W2 incluye
I X*(jwll
- ... I
/
""
...-,
"
\ \
\ \
Figura 3-18
Espectro cn trecuencia de una serial muestreada mediante impulsos x*(I}.
98
Ancilisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
componentes no solo en la frecuencia W z sino tambien en la frecuencia w, - Wz (en general, en ruo, ± W z, donde n es un entero). Cuando el espectro compuesto se filtra mediante un filtro paso-bajas, tal como un retenedor de orden cero, algunas armonicas de alta frecuencia estaran aun presentes en la salida. La componente de frecuencia en w = nco, ± W z (donde n es un entero) aparecera en la salida como si esta fuera una componente de frecuencia en to = ~. No es posible distinguir el espectro en frecuencia en w = W z de aquel en to = ru», ± W z. Como se muestra en la figura 3-18, el fenorneno de que la componente de frecuencia w, - W z(en general, ruo, ± Wz, donde n es un entero) se presente sobre la frecuencia W z cuando la serial x(t) se muestrea se denomina traslape. Esta frecuencia to, - W z (en general, nco, ± wz) se conoce como un alias de W z. Es importante recordar que las sefiales muestreadas son identicas si las dos frecuencias difieren por un multiplo entero de la frecuencia de muestreo w,. Si una sefial se muestrea a una frecuencia baja de modo que el teorema de muestreo no se satisfaga, entonces las altas frecuencias se "doblan hacia adentro" y aparecen como bajas frecuencias.-~ Para evitar el traslape, se debe ya sea elegir la frecuencia de muestreo 10 suficientemente alta (w, > 2w l , donde WI es la componente de mas alta frecuencia presente en la seftal) 0 utilizar un prefiltro antes del muestreador para darle forma al espectro en frecuencia de la sefial (de modo que el espectro en frecuencia para w> w, sea despreciable) antes de que la sefial sea muestreada.
+
Oscilaciones escondidas. Se debe observar que, si la sefial en tiempo continuo x(t) incluye una componente de frecuencia igual a n veces la frecuencia de muestreo w, (donde n es un entero), entonces la componente puede no aparecer en la sefial muestreada. Por ejemplo, si la sefial x(t) = Xl(t)
+ xz(t) = sen t +
sen3t
donde xl(t) = sen t y xit) = sen 3t, se muestrea en t = 0, 27f/3, 47f/3, ... (la frecuencia de muestreo w, es 3 rad/s), entonces la sefial muestreada no mostrara la componente de frecuencia con W = 3 rad/s, la frecuencia es igual a w,. (Vease la figura 3-19.) Aun cuando la sefial x(t) incluya una oscilacion con co = 3 rad/s [esto es, la componente x 2(t) = sen 3t], la senal muestreada no muestra esta oscilacion. Dicha oscilacion existente en x(t) entre los periodos de muestreo se denomina oscilacion escondida.
3-5 LA FUNCION DE TRANSFERENCIA PULSO
La funcion de transferencia para un sistema continuo relaciona las transformadas de Laplace de la salida en tiempo continuo con la correspondiente de la entrada en tiempo continuo, mientras que la funcion de transferencia pulso relaciona las transformadas z de la salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada. Antes de estudiar la funcion de transferencia pulso, es conveniente estudiar la sumatoria de convolucion.
Sumatoria de convotucion. Considere la respuesta de un sistema en tiempo continuo excitado por una seftal muestreada mediante impulsos (un tren de impulsos) como se muestra en la figura 3-20. Suponga que x(t) = 0 para t < O. La sefial muestreada mediante impulsos x*(t) es la entrada al sistema en tiempo continuo cuya funcion de transferencia es O(s). Se supone que la salida del sistema es una sefial en tiempo continuo yet). Si en la salida hay otro muestreador, sincronizado en fase con el
:.;-:: : - 3-5
99
La funcicSn de transferencia pulsa
sen t
OI'C-----~:__-----:lIC-----~:__---__,,;t:_....
sen3t
OI'----'\--+--+--+--4--+---\,..----jf-----'\--+--~-+___I-
sen t+ sen 3t
x(tl
xlk)
Ol-----'-----.------_----'-----y----.___ 3
6
k
Figura 3-19 Graficas de x,(t) = sen I, x,(t) = sen 31, y x(t) = sen 1 + sen 31. Senal muestreada x(k), donde la frecuencia de muestreo to, = 3 rad/s, no muestra oscilaci6n con la frecuencia w = 3 rad/s.
nuestreador de la entrada, y ambos ope ran con el mismo periodo de muestreo, entonces la salida es un ren de impulsos. Se supone que yet) = 0 para t < O. La transformada z de y(t) es
Y(z)
Z[y(t)]
xlt)
/
x*(t)
°T
.1
2: y(kT)z-k
(3-38)
k=O
y(t) G(5)
L/
,
y*(t) :
°T
Figura 3-20 Sistema de tiempo continuo G(s) excitado con una serial muestreada mediante impulsos.
100
Anclisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
En ausencia del muestreador a la salida, si se considera un muestreador ficticio en la salida (sincronizado en fase con el muestreador de entrada y opera al mismo perfodo de muestreo) y se observa la secuencia de valores que toma yet) solo en los instantes t = kT, entonces la transformada z de la salida y*(t) puede tambien estar dada por la ecuacion (3-38). Para el sistema en tiempo continuo, es bien conocido el hecho de que la salida del sistemay(t) esta relacionada con la entradax(t) por medio de la integral de convolucion, 0
yet)
=
f'g(t - T)X(T)dT
=
o
{X(t - T)g(T)dT 0
donde get) es la funcion de ponderacion del sistema 0 la funcion de respuesta impulso del sistema Para sistemas en tiempo discreto se tiene una sumatoria de-eenvolucicn, similar a la integral de convolucion. Debido a que cc
x*(t)
=
L x(t)8(t -
kT)
=
k~O
L x(kT)8(t -
kT)
k~O
es un tren de impulsos, la respuesta yet) del sistema deb ida a la entrada x*(t) es la suma de las respuestas impulso individuales. Por tanto,
yet)
=
g (t)X(O), g(t)x(O) + get - T)x(T), g(t)x(O) get - T)x(T) + get - 2T)x(2T),
O:5t k. Tambien, debido a que g(kT - hT) = 0 para h > k, se puede suponer que los valores de h en las ecuaciones
:-o:::n 3-5
La Iuncion de transferencia pulsa
101
~-~Q) Y (3-40) se pueden tomar desde 0 hasta x mas que desde 0 hasta k sin alterar el valor de la '_-'Horia. Por tanto, las ecuaciones (3-39) y (3-40) se pueden rescribir como sigue:
y(kT) =
L g(kT -
hT)x(hT)
(3-41)
- hT)g(hT)
(3-42)
h=O
= L x(kT h=O
Se debe observar que si G(s) es un cociente de polinomios en s)' si el grado del polinomio :,,] denominador excede s610 en I el grado del polinomio del dlii:8.minador, la salida yet) es : ;.coTiTinua:como se muestra en la figura 3-21 a). Cuandt)-y{t~es discontinua, las ecuaciones ~ --+ I) Y (3-42) daran los val ores inmediatamente posteriores a los instantes de muestreo, esto es ':'-). y(T+), ... ,y(kT+). Dichos valores no describen la curva real de la respuesta. Sin embargo, si el grado del polinomio del denominador excede al del numerador en 2 0 .....,.ls. la salida yet) es continua, como se muestra en la figura 3-21 b). Cuando yet) es continua, las ecuaciones (3-41) y (3-42) daran los valores en los instantes de muestreo. Los valores de y(k) en .:: .cho caso describen los valores de la curva real de la respuesta.
o
T
2T
3T
4T
5T
a)
,tl
o
T
2T
3T
b)
4T
5T
Figura 3-21 a) Grafica de la salida y(l) (respuesta al impulso) contra 1 cuando el grado del polinomio del denominador de G(s) es de grado mayor en I que el polinomio del nurnerador: b) grafica de la salida y(l) contra 1 cuando el grado del polinomio del denominador de G(s) es de grado mayor en 2 0 mas que cl polinomio del numerador.
102
Anclisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
Capitulo 3
Al analizar los sistemas de control en tiempo discreto es importante recordar que la respuesta del sistema a una sefial muestreada mediante impulsos puede no describir el correcto cornportamiento de la respuesta en el tiempo para el sistema real, a menos que la funci6n de transferencia G(s) de la parte del sistema en tiempo continuo tenga por 10 menos dos polos mas que ceros, de modo que lim sG(s) = O. .\'--)00
Funcion de transferencia pulso. y(kT) =
I
A partir de la ecuaci6n (3-41) se tiene
g(kT - hT)x(hT),
k=O,1,2, ...
h~O
don de g (kT - h7)
=
0 para h > k. Por 10 tanto, la transformada z de y(k7) se convierte en
Y(z) =
I
y(kT)z-k
k~O
=
I I
g(kT - hT)x(hT)z-k
k~O h~O
=
I I
g(mT)x(hT)z-Cm+h)
m~Oh~O
=
I
g(mT)z-m
m~U
=
donde m
=
I
X(hT)z-h
h~U
(3-43)
G(z)X(z)
k- hy
G(z) =
I
g(mT)z-m = transformadazdeg(t)
m~U
La ecuaci6n (3-43) relaciona la salida pulso Y(z) del sistema y la entrada pulsoX(z). Esto proporciona un medio para determinar la transformada z de la secuencia de salida para cualquier secuencia de entrada. Al dividir ambos miembros de la ecuaci6n (3-43) entreX(z) obtenemos
G( )
z
=
Y(z) X(z)
(3-44)
La G(z) dada por la ecuaci6n (3-44), el cociente entre la salida Y(z) y la entrada X(z), se denomina funcion de transferencia pulso del sistema en tiempo discreto. Esta es la transformada z de la secuencia de ponderaci6n. En la figura 3-22 se muestra un diagrama de bloques para una funci6n de transferencia pulso G(z), junto con la entrada X(z) y la salida Y(z). Como se ve de la ecuaci6n (3-43), la transformada z de la sefial de salida se puede obtener como el producto de la funci6n de transferencia pulso del sistema y la transfonnada z de la sefial de entrada. Observe que G(z) es tambien la transformada z de la respuesta del sistema a la entrada delta de Kronecker:
Xlz)
Y(z)
: ~:: :)n
3,5
103
La funci6n de transferencia pulsa
x(kT)
= 5o(kT) =
{I,0,
para k = 0 para k =1= 0
=';,:"ido a que la transformada r de la entrada delta de Kronecker es
X(z)
=
L X(kT)z-k = 1 k=O
:OO
Solucion Se evaluara la integral de convoluci6n dada por la ecuaci6n (3-86) mediante un contomo cerrado en el semiplano Izquierdo del plano p, como se muestra en la figura 3-52. Utilizando este contorno cerrado, la ecuaci6n (3-86) se puede escribir como
X* (s)
=
=
1 TTJ
2----:
i
oo
C
1
+/
. X(p) 1 _
C-/OO
e
2~11 X(!)s_Pldp TT JJ - e
T(s-p) dp
.J
1 - -2 1 X(!)s_p)dp TT J rc - e
(3-88)
rr,
don de el contomo cerrado consiste en una linea desde c - joo hasta c + joo y que, a su vez, consiste en un semicirculo de radio infinito y las lineas horizontales en j» y _joo, mismas que conectan la linea desde c _joo hasta c + joo con el semicirculo en el semiplano izquierdo del plano p. Se elige un valor de c tal que todos los polos de X(P) esten a la izquierda de la linea desde c - joo hasta c + joo y todos los polos de 1/[1 - e-7(s-P)] esten ala derecha de esta linea. EI contomo cerrado encierra a todos los polos deX(p), mientras que los polos de 1/[1 - e-T(s-p)] estan fuera del contomo cerrado. Debido a que se ha supuesto que el denominador deX(s) es de orden mayor en s que el numerador, la integral a 10 largo de T; (el semicirculo infinito en el semiplano Izquierdo mas las lineas horizontales en jooy_joo, las cuales conectan a la linea desdec- joo hastac +joo con el semicirculo) se desvanece. Por tanto,
* 1 1 X(p) X (s) = 2TTjJ 1 _ e T(s p)dp Esta integral es igual a la suma de los residuos deX(p) en el contomo cerrado. (Refierase al apendice 8 para el teorema del residuo.) Por tanto,
'" [ X ( 1P ) X*(s) = L.. residuode _ e-T(s-p) enelpolodeX(p) ]
(3-89)
:::apitulo 3
Problemas de ejemplo y saluciones
145 1m planop
x
x x x
x x Re
x x x
x x
x '----.,--J 1 Polosde 1 _ e-T1. -pi
Figura 3-52
Contorno cerrado en el semiplano izquierdo del plano p.
Al sustituir e" por z en la ecuacion (3-89), se tiene
X(z) =
~ [residuo . de
LJ
X(p)z en el polo de A(P) . ] z-e
--r.-p
AI cambiar la notacion de la variable compleja de pas, se obtiene
X(z) =
~[. residuo de
LJ
Suponga queX(s) tiene palos Sl' 52" KI correspondiente es
.. , Sm'
zX(s)z _ e Ts en el polo de Xes) ]
Si un polo en s =
. [ (s K, = lim S-5j
Si un polo en s
=
Sl
(3-90)
es un polo simple, entonces el residua
X(S)z]
Sj)---Ts Z - e
(3-91)
s, es un polo multiple de orden n, entonces el residua K, es
1 . d",-1 [ n X(S)z] K, = (n,. _ 1)'. S-S, lim as -1_",-1 (s - s,) '---=--r; Z e
(3-92)
Par tanto, si Xes) tiene un polo multiple Sl de orden n l , un polo multiple S2 de orden n-; ... , un polo multiple Sh de orden n.; Y palos simples Sh + I' Sh +2' . . • , Sm' entonces XC::) dada par la ecuacion (3-90) se puede escribir como
X(z) =
L [ residua de
X(s)z . ] z _ e Ts en el polo de /\(s)
146
Anolisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
_ hI.
- 2: (n,. _ 1),hm . s----""s,
i= 1
+
~
ni 1 [ ds n i - 1
d
lim [(S - Sj)
j=h+
1 S-Sj
n
Capitulo 3
X(S)Z]
(s - Si)'--=-r; z e
X~S)~s] e
(3-93)
Z
donde n, es el orden del polo multiple en s = s; Problema A-3-7 Refiriendose a la ecuacion (3-86), rescrita como
*
_ 1
X (s) - -2.
TTJ
fC+j~
X(p) . 1 _ e -T(s-p)dp
C-J~
muestre que al realizar esta integracion en el semiplano derecho del plano p, Xes) puede estar dada por
1
X*(s)
=
~
T 2:
Xes + jwsk)
(3-94)
k=-:x>
siempre y cuando el denominador de Xes) sea de grado dos 0 mayor en s que el grado del numerador. Muestre que si el denominador deX(s) es solo un grado mayor en s que el grado del numerador entonces
1
~
X*(s) = Tk~~ Xes + jwsk) +
1
2x (O+ )
(3-95)
Soluci6n Evaluese la integral de convolucion dada por la ecuacion (3-86) en el semiplano derecho del plano p. Elijase el contomo cerrado que se muestra en la figura 3-53, el cual consiste en una linea desde c - jX hasta c + jX Y R, la porcion de un semicirculo de radio infinito en el semiplano derecho del plano p que esta a la derecha de esta linea. El contomo cerrado encierra a todos los polos de 1/[1 _e- 1"(s - p )] , pero no encierra a ninguno de los polos de X(P). Ahora Y{s) se puede escribir como
r
X*(s)
=
1 fC+j~ X(p) -2. . 1 _ T(s TTJ C-J~ e
=_11,
X(p)
2TTjT 1 - e
T(s
p)
p)dp
d __1_{ X(p) P 2TTjJ rR1 - e T(s
p)
d P
(3-96)
r
Se investigara la integral a 10largo de R, la porcion del semicirculo infinito a la derecha de la linea desde c-jx hasta c +j'YO. Puesto que una infinidad de polos de 11[1 - e-n,-P)] estan sobre una linea paralela al ejejw, la evaluacion de la integral a 10largo de R no es tan sencilla como en el caso anterior, donde el contomo cerrado encierra un numero finito de polos deX(p) en el semiplano Izquierdo del plano p. En la mayoria de los sistemas de control reales, a medida que s tiende a ser mas grande, Xes) tiende a cero por 10menos tan rapido como lis. Por tanto, a continuacion se consideran dos casos, uno donde el denominador de X(s) es de dos grados 0 mas en s que el grado del numerador y otro donde el denominador de X(s) es de un grado mayor en s que el grado del numerador.
r
Caso 1: Xes) Posee por 10 menos dos polos mas que ceros. Con referencia a la teoria de la variable compleja, se puede mostrar que la integral a 10largo de rR es cero si el grado del denominador pes) de Xes) es mayor por 10menos en 2 que el grado del numerador q(s); esto es, si Xes) posee por 10menos dos polos mas que ceros, 10cual implica que
limsX(s)
= x(O+) = 0
::opitulo 3
Problemas de ejernplo y saluciones
147
1m
)(
o x
Re
c
1
Polos de ---':::,---,
1-
Figura 3-53
e-T(,-p)
Contorno cerrado en el semiplano derecho del plano p.
entonces la integral a 10 largo de f/l es cero. De este modo. en este caso
f
1 X(p) -2' 1 T(s p)dp = 0 TTl rR - e Por tanto. la ecuacion (3-96) se simplifica a
f
* 1 X(p) X (s) = 2TTj 1 _ e T(s_p)dp
(3-97)
La integral a 10 largo del contorno cerrado dada por la ecuacion (3-97) se puede obtener mediante la evaluacion de los residuos en el numero infinito de polos en p = s ± jt», k. De este modo. X*(s) =
-k~Jp->~i~'k {[p - (s + jwsk)]l_~(P~S Pi)]
EI signa menos al principio del segundo miembro de esta ultima ecuacion viene del hecho de que en la integracion a 10largo de un contorno, la trayectoria r R se toma en la direccion de las manecillas del reloj. At emplear la regia de L'Hopital, se obtiene X*(s) =
148
An61isis en el plano z de sistemas de control en tiempo discrete
Capitulo 3
N6tese que
se tiene
o
1
X*(s)
x
~ X(s + jwsk)
T
=
(3-98)
k~ - x
De este modo,
X(z)
1 Tk'!:x X(s x
=
+ jwsk) s~(l!T)lnz \
(3-99)
Observe que esta expresi6n de la transformada:: es util para probar el teorema de muestreo (vease la seccion 3-4). Sin embargo, es muy tedioso obtener las expresiones de la transformada:: de funciones comunmente encontradas mediante este rnetodo.
Caso 2: X(s) tiene un denominador de un grado mayor en s que el grado del numerador. Para cste caso. limH X sX(s) = x(O+) 0 < oc y la integral a 10 largo r/l no es cero. [EI valor distinto de cero esta asociado con el valor inicial x(O+) dex(t).] Se puede mostrar que la contribuci6n de la integral a 10 largo de r/l en la ecuaci6n (3-96) es -1x(O+). Esto es,
*
1 2rrj
J I"R1
x(p) -
e
T(s
p)dp
=
1
-2 x (O+)
Entonces el terrnino integral en el segundo miembro de la ecuaci6n (3-96) se convierte en
1 x 1 X*(s) = Tk~X X(s + jwsk) + 2x (O+ )
(3-100)
Problema A-3-8 Considere la funcion
x(t) = {
~~a1,
t t
2:
0
sX(s) = x(O+) = 1,0 que la funcion tiene un saIto discontinuo en t = O. Por tanto se debe utilizar la ecuacion (3-95). Con referencia a esta ccuacion, se tiene 1 1 x X*(s) = - ~ X(s + jw,k) + 2x(O+) T k~ 7
7.
"'", [X(s + jw,k) + X(s - jw,k)] + X(s) } + 2 1 ~ T k~1
= -1 {
:= coitulo 3
Problemas de ejemplo y soluciones
149
l[X( 2: S + jso,1k + a + s - jw1) + -1] - +-1 k +a s +a 2
=-
T
k-l
1[i:
= =
T
k-l
s
1] 1
2(s+a) (s + a? + (wsk)2 + S + a + 2"
l.-[ i: 27T
k-l
+~] + !
2(s + a)/ws (s + a)2
s +a
-W- +e
(3-101)
2
s
Con referencia a una formula disponible en las tablas matematicas,
2x
1
2: -+x2 + k2 X 00
k-l
1 + e -2rrx = 7T ~--:;-:= 1 - e 2rrx
y observando que
s
+a
27T-- = T(s Ws
+ a)
se puede rescribir la ecuacion (3-10 I) en la forma
• _ 7T 1 + e-T(s+a) X (s) - 27T 1 _ e T(s a)
11+
+
e-T(s+a)
2
1-
1
+ 2"
1-
e-T(s+a)
e-T(s+a)
2
2" 1 -
e
T(s+a)
1 o X(z) = 1
1 aT
- e
z
1
De este modo. se ha obtenido X(z) mediante la integral de convolucion en el semiplano derecho. [Este proceso para obtener la transformadaz es muy tedioso debido a que esta involucrada una serie infinita de Xes + jw, k). Este ejemplo se presenta solo con propositos de demostracion, Se deben utilizar otros rnetodos para obtener la transformada z.]
Problema A-3-9 Obtenga la transformada z de
s
X(s)
= (s + 1)2(s + 2)
empleando I) el rnetodo de la expansion en fracciones parciales y 2) el metodo de los residuos. Sotucinn I. Metoda de fa expansion enfracciones parciafes. Puesto que X(s) se puede expandir en la forma
150
An61isis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto
X(s)
=
2 1 s + 1 - (s + 1)2
Capitulo 3
2
+2
s
se tiene
X(z)
2C _e1 TZ-I) - (1 ~e:T~~I
=
Z-I - Te- T
2 - 2e- T (1 - e
z
T
Ir
2C _)2T Z-I)
1)2 -
2
Z-1
1- e
2T
I
z
2. Metoda de los residuos. Refiriendose a la ecuaci6n (3-93) y observando que X(s) tiene un polo doble en s = -I Y un polo simple en s = -2, se tiene
X(z)
1 (2 _
=
+ s~··2 lim 2z 2
-
d[
.
z]
S
2
1)!s~r~.\ds (s + 1) (s + 1)\s + 2) z _ e Ts
[(s + 2) (
S
+
1)~(s + 2) z _ze TS]
2ze- T - Tze- T (z - e- T ) 2
2 - 2e- TZ - 1 (1 - e
Te- TZ - 1
T
2z z - e- 2 T
z
2 1- e
1)2
2T
z
I
Problema A-3-10 Considere una senal en tiempo eontinuox(t) eon un espectro en frecuencia limitado cntrc-vco, Y WI' Esto es. X(jW) = 0,
para
W
2w I entonces la transformada de Fourier dex(t) se determina en forma (mica por x(kT), k = ... ,-2, -I, 0, 1,2, ... ,y la serial en tiempo continuo original x(t) puede estar dada por la suma de una serie infinita de muestras de valores ponderadosx(kT) como sigue: oc
x(t)
=
k~ ~ x(kT)
sen [ws(t - kT)/2]
ws(t - kT)/2
(Este es el teorema de muestreo de Shannon.) Solucion
La transformada de Fourier de x(t) esta dada por
X(jw)
=
r~ e -Jwl x(t) dt
Y la transformada inversa de Fourier esta dada por
Defina la versi6n muestreada de x (t) como x*(t). Entonces x*(t) puede estar dada por
x* (t)
= ...
=
+ x( - T)o(t + T) + x(O)o(t) + x(T)o(t - T) +
I k~
x(kT)o(t - kT) -'-
La transformada de Fourier de x*(t) es
X*(jw) =
J:
eiw1x*(t)dt =
r~ eJW1~~ x(kT)o(t -
kT)]dt
=:Jpitulo 3
Problemas de ejemplo y soluciones
151
k=-'Y;.
Asi, .\·Uw) esta dctcrrninada en forma (mica por x(k7). k = ...• -2. -I. O. 1,2, .... Refiriendose a la ecuaci6n (3-27). la transformada de Fourier de X*(/) puede estar dada por
X*(jw)
= Jk~X X(jw + jwsk)
Debido a que el espcctro en frecuencia de la senal en tiempo continuo original x(/) esta limitada entre -WI
Y WI' sc tiene XUW) = O.
Debido a que la frccuencia de muestreo
para w 0, es estable, si todas las condiciones siguientes se satisfacen:
la,,1 < ao
1. 2.
P(z)lz~]
3.
P(z)lz~-1
4.
>0 {>oparanpar < 0 para n impar
Ib"_II> Ibol Ic" - 21 > ICol
Ejemplo 4-3 Construya la tabla de estabilidad de Jury para la siguiente ecuacion caracteristica:
P(z) =
aoz
4
+
a1 Z3
+
a2z2
+
a3Z
+
a4
don de a o > O. Escriba las condiciones de estabilidad. A partir del caso general de la tabla de estabilidad de Jury dado en la tabla 4-1, puede construirse una tabla de estabilidad de Jury para el sistema de cuarto orden, tal y como se muestra en la tabla 4-2. La tabla ha sido modificada ligeramente en relacion con la forma estandar y resulta conveniente para los calculos de las b y de las c. EI determinante incluido en la parte intermedia de cada renglon da el valor de bode c escrito en el lado derecho del mismo renglon, Las condiciones de estabilidad son las siguientes: 1.
la41 < ao
2. P(I)=ao+a] +a2+a)+a4>0 3. P(-I) = a.,- a] + a 2 - a) + a4 > 0,
4. Ib)1 > Ibol Ic)l> ICol
n = 4 = par
Seccion 4-3 TABLA 4-2
Anolisis de estabilidad de sistemas en laza cerrado en el plano z
TABLA DE ESTABILIDAD DE JURY PARA EL SISTEMA DE CUARTO ORDEN
Renglon
ZO
z·
Zl
.> ::1
a. ao
I
·'1/
a.
..':
ao
.>:·'1/
I
a.
ao
2
1::= :'.1 /
/::1
b.
bo
I
"1/
3
b bo
4
5
=b.
=b 1
=c.
=Cl
/b.
b bo
::1/
C.
c,
I
= b.-
=b o
I 3
z·
z·
I
I
187
3
=Co
Co
Debe hacerse notar que el valor de c, (0 bien, tratandose de un sistema de orden n, el valor de q,) no es utilizado en la prueba de estabilidad y, por 10 tanto, el calculo de c, (0 q,) puede omitirse.
Ejemplo 4-4 Examine la estabilidad de la ecuacion caracteristica siguiente: P(z)
= z" -
1.2z 3 + 0.07z 2 + O.3z - 0.08 = 0
Note que, para esta ecuacion caracteristica
ao = at =
-1.2
a2 =
0.07
a, = 0.3 a.
=
-0.08
Es claro que la primera condicion la.1 < aose satisface. Examinemos la segunda condicion en relacion con la estabilidad:
P(l)
= 1 - 1.2 + 0.07 + 0.3 - 0.08 = 0.09> 0
188
Disefio de sistemas de control en tiempo discreto mediante rnetodos convencionales
Capitulo 4
La segunda condici6n tambien es satisfecha. La tercera condici6n de estabilidad se convierte en
P( -1) = 1 + 1.2 + 0.07 - 0.3 - 0.08 = 1.89 > 0,
n = 4 = par
Por 10 tanto, se satisface la tercera condici6n. Ahora construiremos la tabla de estabilidad de Jury. A partir del ejemplo 4'-3, calculamos los valores de b: b-; b, Y b.; y de C 2 y de Co· EI resultado aparece en la tabla 4-3. (Aunque en la tabla aparece el valor de C I, este no es necesario en la prueba de estabilidad y, por 10 tanto, no necesita ser calculado.) De esta tabla, obtenemos
Ib 3
1
=
=
Ibol
> 0.315 =
leoI
0.994> 0.204
Iezl = 0.946
Por 10 tanto, se satisfacen ambos elementos de la cuarta condici6n dados en el ejemplo 4-3. Una vez satisfechas todas las condiciones de estabilidad, la ecuacion caracterfstica dada es estable 0, 10 que es 10 mismo, todas las raices estan dentro del cfrculo unitario en el plano z. De hecho, la ecuaci6n caracteristica dada P(z) puede ser factorizada como sigue:
P(z) = (z - 0.8)(z + 0.5)(z - 0.5)(z - 0.4) Como era de esperarse, el resultado obtenido concuerda con el hecho de que todas las rafces estan en el interior del cfrculo unitario en el plano z, TABLA 4-3
TABLA DE ESTABILIDAD DE JURY PARA EL SISTEMA DEL EJEMPLO 4-4
Rengl6n
Zl
Zo
Z2
..
Z3
Z·
1-~·08 1-~·08
2 -1. 1
= b 3 = -0.994
= b 2 = 1.176
0.3
1-~·08
0,071
= b , = -0.0756
0,07 I
1-~·08
0.31
= b o = -0.204
-1.2
2
1-
0 994 . -0.204
1-
-0.
0.994
1-
4
0 994 . -0.204
5
0.946
1
= C2 = 0.946
-0.994 -0.
-0.204 3
204
07561
= c, = -1.184
1.176 1.176 1
= Co = 0.315
-0.0756 -1.184
0.315
An61isis de estabilidad de sistemas en laze cerrade en el plano z
189
Ejemplo 4-5 Examine la estabilidad de la ecuaci6n caracterfstica dada par P(z)
=
1.1z 2
Z3 -
O.lz
-
+ 0.2 =
a
Primero identificamos los coeficientes:
ao = aj = -1.1
a, = -0.1 a3
0.2
=
Las condiciones de estabilidad en la prueba de Jury para el sistema de tercer arden son las siguientes: 1. la3i < a o 2. P(I»O 3. P(-I) < 0, 4.. Ib 21 > Ibol
n = 3 = impar
La primera condicion, la,l < ao, claramente se satisface. Ahara examinemos la segunda condici6n de la prueba de estabilidad de Jury: P(l)
= 1 - 1.1 - 0.1 + 0.2 = a
Esto indica que por 10 menos una raiz esta en z = I. Por 10 tanto, como maximo el sistema es criticamente estable. Las pruebas siguientes deterrninaran si eI sistema es criticamente estable 0 es inestable. (Si la ecuaci6n caracteristica dada representa un sistema de control, la estabilidad critica no es deseable. Llegado a este punto puede detenerse la prueba de estabilidad.) La tercera condici6n de la prueba de Jury nos da P(-l)
= -1 - 1.1 + 0.1 + 0.2 = -1.8 < 0,
n = 3 = impar
La tercera condici6n se satisface. Ahora veamos la cuarta condici6n de la prueba de Jury. Calculos sencillos dan b, = -0.96 Y bo = -0.12. De ahi
Ib 2
1
>
Ibol
La cuarta condici6n de la prueba de Jury se satisface. Del analisis anterior concluimos que la ecuaci6n caracteristica dada tiene una raiz en el circulo unitario (z = I) Ylas otras dos ralces en el interior del circulo unitario en el plano z. Por 10 tanto, el sistema es criticamente estable. Ejemplo 4-6 Un sistema de control tiene la siguiente ecuaci6n caracteristica: P(z)
=
Z3 -
1.3z 2
-
0.08z
Determine fa estabilidad del sistema. Primero identificamos los coeficientes:
ao = 1 al =
-1.3
a2
-0.08
=
as = 0.24
+ 0.24 =
a
190
Disefio de sistemasde control en tiempo discreto mediante rnetodos convencionales
Es claro que se satisface la primera condicion de estabilidad, IG 3 1 < condicion segunda para estabilidad:
Go.
Capitulo 4
A continuacion, examinamos la
P(l) = 1 - 1.3 - 0.08 + 0.24 = -0.14 < 0 La prueba indica que la segunda condicion de estabilidad es violada. El sistema es, por 10 tanto, inestable. Podemos detener la prueba aquf.
Ejemplo 4-7 Consideremos el sistema de control con realirnentacion unitaria en tiempo discreto (con periodo de muestreo T= I segundo) cuya funcion de transferencia pulso en lazo abierto esta dada por
G(z) = K(0.3679z + 0.2642) (z - 0.3679)(z - 1) Determine el rango de valores de la ganancia K para estabilidad, mediante la prueba de estabilidad de Jury. La funcion de transferencia pulso en lazo cerrado se convierte en
C(z) R(z)
Z2
+
K(0.3679z + 0.2642) (0.3679K - 1.3679)z + 0.3679 + 0.2642K
Por 10 tanto, la ecuacion caracteristica para el sistema es
P(z) =
Z2
+ (0.3679K - 1.3679)z + 0.3679 + 0.2642K = 0
Dado que se trata de un sistema de segundo orden, las condiciones de estabilidad de Jury pueden escribirse como sigue: 1. 'IG 2 1 < Go 2. P(I) > 0 3. P(-I) > 0,
Go
n=2=par
Aplicaremos ahara la primera condicion de estabilidad. En vista de que = I, la primera condicion de estabilidad se convierte en
G2
= 0.3679 + 0.2642K Y
10.3679 + 0.2642KI < 1 es decir
2.3925> K > -5.1775
(4-6)
La segunda condici6n de estabilidad se convierte en
P(l) = 1 + (0.3679K - 1.3679) + 0.3679 + 0.2642K = 0.6321K > 0 10 que da
K>0 La tercera condicion de estabilidad da
P(-l) = 1 - (0.3679K - 1.3679) + 0.3679 + 0.2642K = 2.7358 - 0.1037K > 0 que resulta
26.382> K
(4-8)
Para estabilidad, la con stante de ganancia K debe satisfacer las desigualdades (4--6), (4-7) Y(4-8). Por 10 tanto, 2.3925> K > 0
Secci6n 4-3
Ana/isis de estabi/idad de sistemas en laza cerrado en el plano z
191
EI rango de la constante de ganancia K para estabilidad esta entre ay 2.3925. Si la ganancia K se define igual a 2.3925, entonces el sistema se convierte en criticamente estable (10 que significa que en la salida existiran oscilaciones sostenidas). La frecuencia de las oscilaciones sostenidas puede determinarse, si se escribe 2.3925 en lugar de K en la ecuaci6n caracteristica y se investiga la ecuaci6n resultante. Con K = 2.3925, la ecuaci6n caracteristica se convierte en Z2 -
0.4877z + 1 = 0
Las raices caracteristicas estan en z = 0.2439 ± jO.9698. Si observamos que el periodo de muestreo T= 1 segundo, de la ecuaci6n (4-2) tenemos W,
Wd
/ ,
21T /7
= 21T L...!- = 21T L...!- = tan
_10.9698 0.2439 = 1.3244 rad/seg
La frecuencia de las oscilaciones sostenidas es 1.3244 rad/seg.
Antilisis de estabilldad mediante fa transformacion bilineal y ef criterio de estabilldad de Routh. Otro metodo muy utilizado en el analisis de estabilidad de los sistemas de control en tiernpo discreto es el uso de la transformaci6n bilineal, junto con el criterio de estabilidad de Routh. EI metodo requiere de la transformaci6n del plano z a otro plano complejo, el plano w. Aquellos que esten familiarizados con el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz encontraran el rnetodo sencillo y sin rodeos. Sin embargo, la cantidad de calculo requerido es mucho mayor que en el criterio de estabilidad de Jury, La transforrnacion bilineal definida por
z
w+l w - 1
misma que, al ser resuelta en funcion de w, da
z +1 w=-z - 1 hace corresponder el interior del circulo unitario del plano z con el semiplano Izquierdo del plano w. Esto puede verse como sigue. Hagamos que la parte real de w sea a y la parte imaginaria w, de tal forma que
w
= u + jw
En vista de que el interior del circulo unitario en el plano z es
Izi
=
I w + 1 I = I u + ~w + 1 I < w - 1
cr + JW - 1
es decir
obtenemos
r
r+
(u + 1 + w 2 < (u - 1 10 que da
u a anadirse al sistema. 4. Afiada de 5° ~ 12° a 4> para compensar el corrimiento de la frecuencia de cruce de ganancia. Defina este 4> anadido como 4>m. Determine el factor de atenuaci6n a a partir dela ecuaci6n siguiente:
sen4>m
=
1- a 1+ a
5. Determine e]Yunto de frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado G,(jv) es igual a -20 loge I/ v' a ). Escoja esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a V m = I/(.,J;;;), ya esta frecuencia se presenta el corrimiento maximo de fase 4>m. 6. Determine las frecuencias de esquina del compensador de adelanto como sigue: I
Cero del compensador de adelanto:
v=-
Polo del compensador de adelanto:
v=aT
T
I
7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. De 10contrario. rep ita el proceso de diseno modificando la localizaci6n de los polos y de los ceros del compensador hasta que se obtenga un resultado satisfactorio. La funci6n primordial del compensador de adelanto es proporcionar atenuacion en el rango de altas frecuencias para un margen de fase suficiente para el sistema. Las caracteristicas del atraso de fase no ticnen consecuencias en la compensaci6n mediante atraso. COMPENSACION DE ATRASO
I. Suponga la forma siguiente para el cornpensador de atraso:
GD(w)
=
1 + TW KD 1 + f3 TW
(f3
> 1)
La funcion de transferencia en lazo abierto del sistema compensado puede escribirse como
GD(w)G(w)
=
1 + TW K n 1 f3 G(w)
+
TW
1 + TW G 1(w) 1 + f3TW
274
Diseiio
de sistemas de control en tiempo discreto mediante rnetodos convencionales
Capitulo 4
donde G1(w) = KnG(w). Determine la ganancia Kf) que satisfaga el requisito de la constante de error de velocidad estatica dada. 2. Si el sistema no compensado G1(w) no satisface las especificaciones referentes a los margenes de fase y de ganancia, entonces encuentre el punta de frecuencia donde el angulo de fase de la funcion de transferencia en lazo abierto sea igual a -180° mas el margen de fase requerido. EI margen de fase requerido es el margen de fase especificado mas 5° a 12°. (La adici6n de 5° a 12° compensa el atraso de fase del compensador de atraso.) Escoja esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. 3. A fin de evitar efectos perjudiciales de atraso de fase en raz6n del compensador de atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deberan estar localizados bastante mas abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por 10 tanto, escoja la frecuencia de esquina v = liT (correspondiente al cero del compensador de atraso de fase) una decena por debajo de la nueva frecuencia de cruce. 4. Determine la atenuaci6n necesaria para Ilevar la curva de magnitud hacia abajo hasta 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Notando que esta atenuaci6n es -20 log f3, determine d valor de f3. Entonces la otra frecuencia de esquina (que corresponde al polo del compensador de atraso) queda determinada a partir de v = I I( bt). Precaucion. Una vez disefiado el compensador de atraso en el plano w, Gn(w) debera transformarse el compensador de atraso en el plano z, Gf)(z). Note que el polo y el cero en el compensador de atraso el plano z estan muy cerca uno de otro. (Estan cerca del punta z = I.) Ya que los coeficientes del filtro deben realizar mediante palabras binarias que utilizan un numero limitado de bits, si el nurnero de empleado resulta insuficiente, las localizaciones de polos y ceros del filtro pueden no realizarse tal como se desea, y el compensador resultante podria no comportarse como se espera. Es importante que polo y el cero del compensador de atraso se presenten en un nurnero finito de puntos discretos asignab
Problema A-4-11 Disene un controlador digital para el sistema que se muestra en la figura 4-54. Uti lice el metoda diagrama Bode en el plano w. Las especificaciones de disefio consisten en que el margen de fase debe de 55°, el margen de ganancia por 10 menos de 10 dB, y la con stante de error de velocidad estatica de seg:'. El periodo de muestreo se especifica como 0.1 seg, es decir T= 0.1. Una vez disenado el control trace un diagrama del lugar geometrico de las raices. Localice los polos en lazo cerrado del diagrama encuentre el numero de muestras por cicio de la oscilacion senoidal amortiguada. Solucion
La transformada de z de la planta precedida por un reten de orden cero es G(z) =Z [
1 - es
Ts
1 s(s
+ 2)
]
= (1 - Z-I)Z[S2(S 1+ 2)] 1 + 0.9355z- 1
-I
=
0.004683z
(1 _ z 1)(1 _ 0.8187z I)
z + 0.9355 = (0.004683) (z - 1)(z - 0.8187) Transformemos G(z) en G(w) utilizando la transformaci6n bilineal siguiente:
z=
1 + (TwI2) 1 - (TwI2)
=
1 + 0.05w 1 - 0.05w
Capitulo 4
Problemas de ejemplo y soluciones
275
r (r)
e(t)
R(z)
C(z)
Figura 4-54
Sistemade control digital.
Al sustituir esta ultima ecuacion en G(z), obtenemos
0.004683(1 + 0.05w + 0.9355) 1 - 0.05w
G(w) =
1 + 0.05w _ 1)(1 + 0.05w _ 0.8187) ( 1 - 0.05w 1 - 0.05w 0.5(1 + 0.OO1666w)(1 - 0.05w) w(1
+
0.5016w)
EI diagrama Bode de G(jv) aparece en la figura 4-55. Escogeremos ahora la funci6n de transferencia del controlador en la forma
1 + rw
1+.!:!::
a w +b donde a = lit y b = lI(ar). La funcion de transferencia en lazo abierto es GD(w)
= KD1
+ arw
= KD-1
G ( ) ( )_ 1 + (wla) 0.5(1 + 0.OO1666w)(1 - 0.05w) D w G w - K D 1 + (wlb) w(1 + 0.5016w) La constante de error de velocidad estatica requerida de K; Es 5 seg- I . 0 de ahi, K; = lim [wGD(w)G(w)] = 0.5KD = 5 W~O
a partir de la cual determinamos que
K D = 10 Utilizando una tecnica de disefio convencional, se determina la funcion de transferencia del controlador digital como
GD(w) = 10
~ ( l + ~) +
1
12.5
Por 10 tanto, la funcion de transferencia en lazo abierto se convierte en
GD(W)G(W) = 10
( 1 + ~)
1.994 0.5(1 + 0.001666w)(1 - 0.05w)
1
w
+ 12.5
w(1
+ 0.5016w)
276
Disefio de sistemos de control en tiempo discrete mediante rnerodos convencionales 40
~ 20
~
dB
a
"" ~
_.... "
"'" ~~
--
0
r-,
Go (jvlGII~
Gllv) -180 0
-2700 0.1
~,
'"'1- __
-J...
-.;;-~
'"
"' ... 55 0
~
r-..... .h
j~h
Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, de forma que la inversa de 'l'(k, h) exista, entonces la inversa de 'l'(k, h), denotada como 'l'(h, k), esta dada como sigue:
'I1- I(k, h)
Resumen sobre 'l'(k, It).
= 'I1(h, k) =
[G(k - l)G(k - 2) ... G(h WI
=
G-I(h)G-1(h + 1)·· . G-1(k - 1)
Un resumen de la matriz de transicion de estado 'l'(k, h) da 10
siguiente:
1. 'l'(k, k) = I 2. 'l'(k, h) = G(k - I)G(k - 2) ... G(h), k> h 3. Si la inversa de 'l'(k, h) existe, entonces
'I1- I(k,h) = 'I1(h,k) 4. Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, entonces
'l'(k, i) = 'l'(k, j)'l'(j, i),
para cualquier i, j, k
Si G(k) es singular para cualquiera de los valores de k, entonces
'l'(k, i) = 'l'(k, j)'l'(j, i),
para k > j > i
5-4 MATRIZ DE FUNCION DE TRANSFERENCIA PULSO Un sistema en tiempo discreto de una entrada y una salida se puede representar 0 modelar mediante una funci6n de transferencia puIso. La extension del concepto de la funci6n de transferencia pulso a un sistema en tiempo discreto de varias entradas y varias salidas da la matriz de funci6n de transferencia pulso. En esta secci6n se estudiara la relacion entre la representacion en el espacio estado y la representacion mediante la matriz de funcion de transferencia pulso.
Matri; de funcion de transferencia pulso. La representacion en el espacio de estado de un sistema lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo de orden n, con r entradas y m salidas, se puede dar mediante
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
(5-58 )
y(k) = Cx(k) + Du(k)
(5-591
311
Matriz de Iuncion de transferencia pulso
e: r
: :- xl k) es un vector-n, u(k) es un vector-z y y(k) es un vector-m, G es una matriz de n x n, H es
il -
ztriz de n x r, C es una matriz de m x n y D es una matriz de m x r. Al tomar las transformadas 2S ecuaciones (5-58) y (5-59), se obtiene zX(z) - zx(O) = GX(z)
+ HU(z)
Y(z) = CX(z)
+ DU(z)
~'X;-.
e que la definicion de funcion de transferencia pulso exige la suposicion de condiciones .: 2:- S cero, aqui tambien suponemos que el estado inicial x(O) es cero. Entonces se obtiene X(z) Y(z)
= [C(zl
= (zl
- G)-I HU(z)
- Gt l H
+ D]U(z) = F(z)U(z)
= C(zl
+D
F(z)
- G)-I H
(5-60)
,.:- conoce como matriz de funcion de transferencia pulso. Se trata de una matriz de m x r. La .: .ie funcion de transferencia pulso F(z) caracteriza la dinarnica de entrada/salida del sistema de rrr-. :iscreto dado. =::::: vista de que la inversa de la matriz (zI - G) se puede escribir en la forma
adj (zl - G)
- 1 _ (
~z
zl - G )
-
Izl - GI
de funcion de transferencia pulso F(z) se puede dar mediante la ecuacion
_ C adj (zl - G)H D Izl- GI +
F (z )
-
.: -.:..-: .:jue los polos de F(z) son los ceros de IzI - G[ = O. Esto significa que la ecuacion caracterissistema en tiempo discreto esta dada por
IZI -
:s coeficientes
G;
GI = 0
dependen de los elementos de G.
Transformacion de slmilitud.
Se ha demostrado que para el sistema definido por
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) y(k)
= Cx(k) + Du(k)
z de funci6n de transferencia pulso es
F(z) a
~~cion 2
-I.
= C(zl-
GtlH + D
5-2 se mostro que varias representaciones en el espacio de estado distintas para un :2do estan interrelacionadas por una transformacion de similitud. AI definir un nuevo vector \ ~) utilizando una matriz de transformacion de similitud P, es decir
312
Ancilisis en el espacio de estado
x(k) donde P es una matriz no singular de n
x(k
x
= PX(k)
n, se tiene
+ 1) = Gx(k) + Hu(k)
(5-61)
= Cx(k) + Du(k)
(5-62)
y(k) donde G, H, C, D Y G,
Capitulo 5
iI, C, D, estan relacionadas, respectivamente, mediante P-IGP = G P-IH=H CP = C
D=D La matriz de funcion de transferencia pulso F(z) para el sistema definido por las ecuaciones (5-61.
y (5-62) es
F(z) = C(zI - Gfl H +
D
Observe que las matrices de funcion de transferencia pulso F(z) y F(z) son iguales, en vista de que
CP(zI - p- I GPfl p- I H + D = CP(zP - GP)-I H + D = C(zpp- I - GPP-Ifl H + D
F(z) = C(zI - Gfl H +
D=
= C(zI - GflH + D = F(z) Por tanto, la matriz de funcion de transferencia pulso es invariante bajo una transformacion de similitud. Es decir, no depende del vector estado determinado x(k) seleccionado para la representacioa del sistema. La ecuacion caracteristica IzI - GI = 0 tambien es invariante bajo una transformacion de si litud, ya que
IzI - GI = Ip-IllzI - Gilpi = IzI - p- I GPI = IzI - GI Por tanto, los val ores caracteristicos de G son invariantes bajo una transformacion de similitud. 5-5 DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO EN TlEMPO CONTINUO
En el control digital de plantas en tiempo continuo es necesario convertir ecuaciones en el espacio estado en tiempo continuo, en ecuaciones en el espacio de estado en tiempo discreto. Se p realizar dicha conversion si se introducen en los sistemas en tiempo continuo muestreadores y ' positivos de retencion ficticios. EI error introducido por la discretizacion se puede hacer despr . utilizando un periodo de muestreo suficientemente pequeno en comparacion con la constante tiempo mas significativa del sistema.
Repaso de la solucion de las ecuaciones de estado en tiempo continuo. la matriz exponencial e", La matriz exponencial se define como 1 2 2 1 k k ., A k t k
e" = I + At + - A t + ... + - A t + ... = 2!
k!
2.:-k!
k=O
~:: :~ 5-5
Discretizacion de las ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo
Debido a que la serie finita -e-::-:o para dar
d dt
- e"
=
I,;=oA
k
313
t" /k converge, la serie se puede diferenciar terrnino por
A3 t 2 Ak t k - 1 A + A2 t + - - + ... + + ... 2! (k - I)!
A2t2 2! A2 t 2
= A[I + At + - - + ... +
= [ I + At + - - + ... + 2!
Ak-1tk-1 ] + . .. = AeA/ (k - I)!
Ak - 1 tk-1 (k - I)!
]
+ . .. A = e" A
La matriz exponencial tiene la propiedad de que
E~~ '>C puede
probar como sigue: At
As
=
e e
=
" k k)( cc k k) (L~ LA s k=O k! k~O k!
£A (t + k
k=O :'~'1icular,
S)k
=
L Ak Lk cc
k~O
[
t i s kr-i ] i=oi!(k - i)!
= eA(t+s)
k!
si s = -t, entonces
At.
...r tanto, la inversa de e" es eEs importante apuntar que
Dado que siempre existe la inversa de siAB
e", e"
es no singular.
= BA
siAB =f. BA A continuacion se obtendra la solucion de la ecuacion de estado en tiempo continuo
x = Ax + Bu .Gce \
es el vector de estado (vector n),
U
(5-63)
es el vector de entrada (vector r), A es una matriz
-2IJte de n x n, y B es una matriz constante de n x r.
Si la ecuacion (5-63) se escribe en la forma
x(t) - Ax(t)
= Bu(t)
::r~"":1ultiplicamosambos lados de esta ultima ecuacion por e-At, obtenemos
d
:-:~grar
e-Alx(t) - Ax(t)] = - [e-A/x(t)] = e-A/Bu(t) dt la ecuacion anterior entre 0 y t, da
(5-64)
314
Ancilisis en el espacio de estado
Capitulo 5
La ecuacion (5-64) es la solucion de la ecuacion (5-63). Observe que la solucion de la ecuacion de estado que comienza en el estado inicial x(to) es
XC!)
eA(t-to) x(to) +
r
eA(t-T) Bu( T) dr to Discretizacion de las ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo. =
(5-65,
Ahora se presentara un procedimiento para la discretizacion de ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo. Se supone que el vector de entrada u(t) cambia solo en instantes de muestreo uniformemente espaciados. Observe que la operacion de muestreo aqui es ficticia. Se deducira una ecuacion de estado en tiempo discreto y una ecuacion de salida que den como resultado los valores exactos en t = kT, donde k = 0, I, 2, ... Considere la ecuacion de estado en tiempo continuo y la ecuacion de salida
x=
Ax + Bu
(5-661
y=Cx+Du
(5-67,
En el siguiente analisis, con el objeto de simplificar la presentacion, se utilizara la notacion kTy (kI)T en vez de k y k + I. La representacion en tiempo discreto de la ecuacion (5-66) tomara la forma
x((k + l)T)
=
G(T)x(kT) + H(T)u(kT)
(5-68)
Observe que las matrices G y H dependen del periodo de muestreo T. Una vez fijo el periodo de muestreo T, G y H son matrices constantes. Para determinar G(7) y H(7), se utiliza la ecuacion (5-64), solucion de la ecuacion (5-66). Se supone que la entrada u(t) es muestreada y alimentada a un retenedor de orden cero, de forma que todos los componentes de u(t) sean constantes en el intervalo entre dos instantes de muestreo consecutivos cualesquiera, es decir u(t) = u(k7),
para kT$. t < kT+ T
(5-69)
En vista de que
x((k + 1)T) = eA(k+l)T x (O) + eA(k+l)T
(k+l)T e-ATBu(T)dT
! 0
(5-70)
y
(5-71 ) al multiplicar la ecuacion (5-71) por e" y sustraerla de la ecuacion (5-70) nos da
x((k + l)T)
= eAT x(kT) + e A(k+l)T
(k+ l)T e-ATBu(T)dT kT
f
Dado que la ecuacion (5-69) u(t) = u(k7) para kT $. t < kT + T, se puede sustituir u( T) = u(k7) = constante en esta ultima ecuacion. [Observe que u(t) puede tomar un valor en t = kT + T, es decir, u(kT + 7), que puede ser distinto de u(k7). Este valor en u( T) con T = kT + T, que es ellimite superior de la integracion, no afecta el valor de la integral en esta ultima ecuacion, ya que el integrando no incluye funciones impulso.] Por 10 tanto podemos escribir
:~:: en 5-5
Discretizocion de las ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo
x«k + 1)T)
= eATx(kT) + eATfe-AtBU(kT)dt = eAT x(kT) + iTe AABu(kT) dA
:J: - .:~
H(T) I
0=1'- -
(5-72)
A = T - t. Si se definen
G(T) = eAT
I
315
=
(5-73)
(f eAA )B
(5-74)
ds:
~ ~s la ecuaci6n (5-72) se convierte en
I
x«k + l)T) = G(T)x(kT) + H(T)u(kT)
,
(5-75)
IGl.C ~' la ecuaci6n (5-68). Entonces, las ecuaciones (5-73) y (5-74) dan las matrices deseadas G(7) f\!, H -, Note que G(7) y H(7) dependen del perfodo de muestreo T. Con referencia ala ecuaci6n (5l ecuacion de salida se convierte en
•-
1 r.:::
y(kT)
= Cx(kT) + Du(kT)
(5-76)
as matrices C y D son matrices constantes y no dependen del perfodo de muestreo T. Si la matriz A es no singular, entonces H(7) dada por la ecuaci6n (5-74) se puede simplificar
C omentarios
::::". el enfoque del espacio de estado, observe que al suponer el vector de entrada net) constante dos instantes de muestreo consecutivos cualesquiera, la representaci6n en tiempo discre-: se puede obtener simplemente integrando la ecuaci6n de estado en tiempo continuo sobre _~ periodo de muestreo. La ecuaci6n de estado en tiempo discreto dada por la ecuaci6n (5-68) se conoce como equivalente con retenedor de orden cero de la ecuaci6n de estado en tiempo ~ :ltinuo dada por la ecuaci6n (5-66). .. ::: - general, para convertir la ecuaci6n de un sistema en tiempo continuo en una ecuaci6n de un .stema en tiempo discreto, es necesario algun tipo de aproximaci6n. Es importante apuntar .: _~ la ecuaci6n (5-75) no incluye ninguna aproximaci6n, siempre que el vector de entrada net) ~:: constante entre dos instantes de muestreo consecutivos cualesquiera, tal y como se supuso ~~ .a deducci6n. ~ =:-Serve que para T« I, G(7) 7 G(O) = e A O = I. Por tanto, con forme el perfodo de muestreo T ;.: ~ace muy pequeflo, G(7) se aproxima a la matriz de identidad. ~-.:re
":~
·'!dcre el sistema en tiempo continuo dado por
G
yes)
1
(s) = U(s) = s + a
316
An61isis en el espacia de estado
Capitula 5
Obtenga la representacion en el espacio de estado en tiempo continuo de este sistema. Luego discretice Ia ecuacion de estado y la ecuacion de salida y obtenga la representacion en el espacio de estado en tiernps discreto del sistema. Tarnbien obtenga la funcion de transferencia pulso del sistema mediante el emplee de la ecuaci6n (5-60). La representacion en el espacio de estado en tiempo continuo del sistema es simplemente
i
=
-ax + u
y
=
x
Ahora se discretiza Ia ecuacion de estado y la ecuacion de salida. Con referencia a las ecuaciones (5-73\ y (5-74), se tiene
G(T)
= e:"
H(T)
=
i
1
T e-aAdA
= -
-aT e
o a Por tanto, la version discretizada de las ecuaciones de este sistema es
x(k + 1) = e- aT x(k) +
1 - e- aT u(k) a
y(k) = x(k) Con referencia ala ecuacion (5-60), la funci6n de transferencia pulso para este sistema es
F(z) = C(zI - G)-I H
= (z
_II -
-aT
-
e
)
e- aT
a
(1 - e-aT)z-1 - e -aT z -I)
= a (1
Este resultado concuerda con Ia transformada z de G(s) cuando esta precedida por un muestreador y un retenedor de orden cera [es decir, en donde la serial u(t) se muestrea y alimenta a un retenedor de orden cera antes de que sea aplicada a G(s)]:
G(z)
= Z [ 1 - e-
Ts
S
(1 a(1 -
-1- ] S + a
= (1
1 ] - Z-I)Z [ _-,--_ s(s + a)
e-aT)z-1
er? Z-I)
Ejemplo 5-5 Obtenga las ecuaciones de estado y de salida en tiempo discrete y la funcion de transferencia pulso (cuando el periodo de muestreo T = I) del sistema en tiempo continuo siguiente:
G() s
yes)
1
= lJ(s) = s(s + 2)
mismo que se puede representar en el espacio de estado mediante las ecuaciones
U:] [~ -~][;:] + [~]u =
y = [1
oJ[;:]
La ecuacion de estado en tiempo discreto deseada tendra la forma
x((k + I)T) = G(T)x(kT) + H(T)u(kT)
Seccion 5·5
317
Discrefizocion de las ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo
donde las matrices G(1) y H(1) se obtienen a partir de las ecuaciones (5-73) y (5-74) como sigue:
G(T)
= eAT = [~ HI ;_;T-
H(T)
= (feAtdt)B =
Por tanto
ZT)]
{fU ;;,-Zt)]dt}[~] [H~;~:~~ 1)] HI
=
Z(
+ [~( T + e- 2 ° ~(1 e- e-ZT)][XI(kT)] xz(kT) HI - e:
)
2T
, [XI«k + 1)T}] = [1 x2«k + I)T)
-
2T
2
T)
1)] (kT) u
La ecuacion de salida se convierte en
y(kT) = [1 Ol[XI(kT}] xz(kT} Cuando el periodo de muestreo es de I segundo, es decir, T = I, la ecuacion de estado en tiempo discreto y la ecuacion de salida se convierten, respectivamente, en
1)] [1°
XI(k + = [ x2(k + 1)
0.4323][XI(k)] + [0.2838]U(k) 0.1353 x2(k) 0.4323
y
y(k) = [1 Ol[XI(k)] xz(k) La representacion en la funcion de transferencia pulso de este sistema se puede obtener a partir de la ecuaci6n (5-60), como sigue: F(z) = C(zI - G)-I H + D =
° °~
[1 Ol[z - 1
= [1 Ol[Z
-0.4323
z - 0.1353
]-1 [0.2838] +° 0.4323
1~:3~30'1353)][0'2838]
1 (z -
1
0.4323
z - 0.1353
0.2838z + 0.1485 (z - l)(z - 0.1353) 0.2838z- 1 + 0.1485z- 2 (1 - z 1)(1 - 0.1353z 1) Observe que se puede obtener fa misma funci6n de transferencia pulso si se toma la transformadaz de G(s) cuando esta precedida de un muestreador y un retenedor de orden cero. Al suponer T = I, se obtiene
G() Z[l - eTs z =' - s - s(s 1+ 2) ] = (1 - z -I)Z[ . S2(S 1+ 2)] =
(1 _ Z-I)Z[0.5 _ 0.25 + sZ
(
s
_1)[ (10.5z_ z I)Z 1
0.25] +2
s
0.25 0.25] 1 _ Z-I + 1 - 0.1353z 1 0.2838z- 1 + 0.1485z- 2 - (1 - z 1)(1 - 0.1353z I)
= 1- z
318
An61isisen el espacio de estado
Enfoque de MATLAB para fa discretizacion de ecuaciones de estado en tiempo contin MATLAB tiene un comando muy util para discretizar una ecuaci6n de estado en tiempo continuo
x=
Ax + Bu
y convertirla a x(k
+ 1)
=
Gx(k) + Hu(k)
EI comando MATLAB para discretizacion es
[G,Hj = c2d(A,B,T) donde T es el perfodo de muestreo del sistema en tiempo discreto. T se debera especificar en segun Si se requiere de buena precision en la obtencion de G y de H utiliceformat long. Si solam se necesitan cuatro decimales, utilice format short. Si no se incluye enunciado de formato en programa, MATLAB producira G y H en format short. Considere el ejemplo siguiente: si el sistema en tiempo continuo esta dado por
[;:] =
[-2~ -~][~:] + [n u
(5-
entonces, al considerar que el perfodo de muestreo es de 0.05 segundos, se obtienen G y H co sigue:
A
= [0
B
=
1;-25
-4];
[0;1];
[G,Hl
= c2d(A,B,O.05)
G= 0.9709 -1.1212
0.0448 0.7915
H= 0.0012 0.0448
Observe que la matriz de estado G y la matriz de entrada H de la ecuacion en el espacio estado de tiempo discreto x(k
+ 1) = Gx(k) + Hu(k)
dependen del perfodo de muestreo T. Por ejemplo, considere la discretizaci6n del sistema en tiem continuo dado por la ecuacion (5-77) con dos perfodos de muestreo distintos: T = 0.2 segundos y = I segundo. Como se ha visto en las salidas de MATLAB anteriores y en las que siguen, un conj to de matrices G y H difieren en funci6n de un perfodo de muestreo T diferente.
:e:: : c 5·5
Discretizocion de las ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo
A = [0 B
=
1;-25
-4];
A = [0
[0;1];
1;-25
319
-4];
B = [0;1];
[G,H] = c2d(A,B,0.2)
[G,H)
G=
G= 0.6401 -2.9017
= c2d(A,B,1)
-0.0761 0.7321
0.1161 0.1758
H=
-0.0293 0.0410
H= 0.0144 0.1161
0.0430 -0.0293
Como otro ejernplo, veamos el siguiente sistema:
x= A = [
20.~01 -0.4905
Ax + Bu
o1 a a
aa aOJ a 1' a a
B=
III ;.- :'-':'ner que eI periodo de muestreo T es de 0.5 segundos y sin III ' :0 _cnte ecuaci6n de estado en tiempo discreto: x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
.r.
.:~ 15
-1
[
OJ
O~5
especificar el formato, se obtiene
matrices G y H se pueden encontrar en la siguiente salida de computadora:
A = [0 1 0 20.601 0 0 0 0 0 -0.4905 0 0 B = [0;-1 ;0;0.5); [G,H] = c2d(A,B,0.05)
0 0 1 0];
G= 1.0259 1.0389 -0.0006 -0.0247
H= -0.0013 -0.0504 0.0006 0.0250
0.0504 1.0259 -0.0000 -0.0006
o o
o o
1.0000
0.0500 1.0000
o
320
Anclisis en el espacio de estado
Capftulo5
Respuesta en tiempo entre dos instantes de muestreo consecutivos. En un sistema en tiempo continuo muestreado, la salida es constante en el tiempo. Como se vio en los capitulos 3 y 4, la solucion mediante la transfonnada z de la ecuacion del sistema en tiempo discreto da la respuesta de la salida solo en los instantes de muestreo. En la practica, se puede desear detenninar la salida entre dos instantes de muestreo consecutivos. Existen algunos metodos para encontrar la respuesta (salida) entre dos instantes de muestreo consecutivos, como el metodo de la transfonnada de Laplace y el metoda de la transformada z modificada (vea el apendice B). Aqui se demostrara como se puede modificar facilmente el metodo en el espacio de estado para obtener la salida entre dos instantes de muestreo consecutivos cualesquiera. Considere el sistema en tiempo continuo invariante en el tiempo definido por
x=
Ax
+ Bu
y=Cx+Du Se supone que la entrada u se muestrea y alimenta a un retenedor de orden cero. Entonces u( r) = u(kn para kT$. -r «; kT+ T. Con referencia a la ecuacion (5-65), la solucion de la ecuacion de estado que comienza con el estado inicial x(to) es x(t)
=
eA(t-Io)
x(to)
+
r
eA(t-T)
Bu( r) dr
to
Para obtener la respuesta del sistema muestreado en t = kT + 6.T, donde 0 < 6.T < T, se hace que t = kT + 6.T, to = kTy u( r) = u(kn en la solucion x(t). Entonces,
x(kT
k T +J T
f +f
+ LiT) = e A J T x(kT) +
eA(kTHT-T)
Bu(kT) dr
kT JT
= e A J T x(kT)
o
e A A Bu(kT) dA
donde A = kT + 6.T - r. Se define
G(LiT)
= e AJ T
(5-78)
(5-79) Por tanto, se obtiene
x(kT
+ LiT) = G(LiT)x(kT) + H(LiT)u(kT)
(5-80)
La salida y(kT + 6.n se puede dar mediante
y(kT + LiT)
= Cx(kT + LiT) + Du(kT) = CG(LiT)x(kT) + [CH(LiT) + D]u(kT)
(5-81)
Por tanto, los valores de x(kT + 6.n y y(kT + 6.n entre dos instantes de muestreo consecutivos cualesquiera se pueden obtener si se calcula G(6.n y H(6.1) para varios valores de 6.T, donde 0 < 6.T < T, y se introducen dichos valores calculados en las ecuaciones (5-80) y (5-81). (Estos calculos se pueden programar facilmente en una computadora digital.)
:-=:: en 5-6
Anolisis de estabilidad de Liapunov
321
£Jemplo 5-6
Considere el sistema analizado en el ejemplo 5-5. Obtenga la ecuaci6n de estado en tiempo discreto as! como la ecuaci6n de salida en t = kT + 11T. Tambien obtenga las expresiones especificas correspondientes ala ecuacion de estado y la ecuacion de salida cuando T= I segundo y I1T= 0.5 segundos. En el ejemplo 5-5, se obtuvieron las matrices G(7) y H(7) como sigue:
Para obtener la ecuacion de estado y la ecuacion de salida en t = kT + I1T, donde 0 < I1T < T, primero se convierte G(7) en G(I17) y H(7) en H(I17), y luego se sustituye G(I17) y H(I17) en las ecuaciones (5-80) : (5-8 I), como sigue:
° ~(1
Xl(k T + ..1T)] = [1 [ xz(kT + ..1T)
e-z,j~
- e-Z,jT)][Xl(kT)] + [H..1T + - 1)]U(kT) e-ZH xz(kT) HI _ e-Z,jT)
y( k T + ..1T) = [1 0][1o
HI e-Z,jT - e-Z,jT)][XI(kT)] xz(kT)
1( [2 ~~1
+ [1 0]
e-Z,jT +_ e-Z;T)
1)] u(kT)
Para T= I Y I1T= 0.5 se obtiene la ecuacion de estado y la ecuaci6n de salida como sigue:
Xl(k + 0.5)] [ xz(k + 0.5)
°
= [1 0.3161][Xl(k)] + [0.0920]U(k)
y(k + 0.5) = [1
0.3679
0.3161J[
xz(k)
0.3161
;:~~j] + (0.0920)u(k)
SIS DE ESTABILIDAD DE LlAPUNOV
analisis de estabilidad de Liapunov juega un papel importante en el analisis de la estabilidad de .:., sistemas de control descritos por ecuaciones en el espacio de estado. Existen dos rnetodos de lr~i5is de estabilidad de Liapunov, lIamados primer metoda y segundo metoda; ambos se aplican :-~-:. determinar la estabilidad de los sistemas dinamicos descritos por ecuaciones diferenciales 0 en : .:.erencias ordinarias. EI primer metoda esta formado por procedimientos en los que se utilizan las -;,:--nas explicitas de las soluciones de las ecuaciones diferenciales 0 de las ecuaciones en diferencias :-.?:: el anal isis. Por otra parte, el segundo rnetodo no requiere de las soluciones de las ecuaciones : --;:renciales 0 en diferencias, por 10 que resulta mas uti! en la practica, Aunque existen muchos criterios de estabilidad poderosos para los sistemas de control, como ,,:.- el criterio de estabilidad de Jury y el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, estos estan -~7ingidos a sistemas lineales invariantes en el tiempo. Por otro lado, el segundo metodo de Liapunov
322
Ancilisis en el espacio de estado
CopituloS
no esta limitado a sistemas lineales invariantes en el tiempo: es aplicable tanto a sistemas lineales como no lineales, variantes e invariantes en el tiempo. En particular, el segundo metoda de Liapunov es indispensable para el analisis de estabilidad de sistemas no lineales en los que las soluciones exactas no son posibles. (Es importante sefialar, sin embargo, que a pesar de que el segundo metodo de Liapunov es aplicable a cualquier sistema no lineal, los resultados no son una tarea facil. Se necesita experiencia e imaginacion para lIevar a cabo el analisis de estabilidad en la mayoria de los sistemas no lineales.) EI segundo metodo de Liapunov tambien se conoce como metoda directo de Liapunov.
Segundo metoda de Liapunov. De la teoria de la mecanica clasica, se sabe que un sistema vibratorio es estable si su energia total se reduce continuamente, hasta aIcanzar un estado de equilibrio. EI segundo metoda de Liapunov se basa en una generalizacion de 10 anterior: si el sistema tiene un estado de equilibrio asintoticarnente estable, entonces la energia almacenada en el desplazada dentro del dominio de atraccion se decrementa al aumentar el tiempo, hasta que por ultimo adopta su valor minimo en el estado de equilibrio. Sin embargo, para sistemas puramente matematicos, no existe una forma simple de definir una "funcion de energia". Para veneer esta dificultad, Liapunov intradujo la funcion de Liapunov, una funcion ficticia de energia. Esta idea es mas general y mas utilizada que la de la energia, De hecho, cualquier funcion escalar que satisfaga las hipotesis de los teoremas de estabilidad de Liapunov (vea los teoremas 5-1 hasta 5-6) puede servir como funcion de Liapunov. Antes de que se analice mas prafundamente la funcion de Liapunov, es necesario explicar la definicion positiva de las funciones escalares. Definicion positiva de funciones escalares. Se dice que una funcion escalar Vex) es definida positiva en una region D. (que incJuye el origen del espacio de estado) si Vex) > 0 para todos los estados x no cero de la region D. y si V(O) == o. Se dice que una funcion variante en el tiempo Vex, t) es definida positiva en una region D. (que incluye el origen del espacio de estado) sf esta limitada por debajo por una funcion definida positiva invariante en el tiempo, es decir, si existe una funcion definida positiva Vex) tal que para toda t ~ to
vex, t) > Vex),
V(O, t) > 0,
para toda t ~ to
Definicion negativa de funciones escalares. si -Vex) es definida positiva.
Una funcion escalar Vex) es definida negativa
Semidefinicion positiva de funciones escalares. Una funcion escalar Vex) es semidejinida positiva si es positiva en todos los estados en la region D. excepto en el origen y en determinados estados donde es cera. Semidefinlcion negativa de funciones escalares. negativa si -Vex) es positiva semidefinida.
Una funcion escalar Vex) es semidefinida
Indeflnlclon de funciones escalares. Una funcion escalar Vex) es indefinida si en la region D. adopta tanto valores positivos como negativos, independientemente de 10 pequeiia que sea la region D..
323
Anolisis de estabilidad de Liapunov
5-7 este ejemplo se dan varias funciones escalares y sus c1asificaciones de acuerdo con las definiciones -'.--:t(A) es el polinomio mlnimo, a(A) debe ser identicamenn, cero, es decir
~,ene que,
l{!(A) = g(A)¢(A) debido a que ¢(A) = 0, se puede escribir ¢(A)I = (AI - A)C(A)
l{!(A)I
= g(A)¢(A)I = g(A)(AI
- A)C(A)
-,: obtiene B(A) = g(A)C(A) 'b,cne que el maximo cornun divisor de los n 2 elementos de B(A) es la unidad. Por tanto g(A) ~,~
=1
aqui que.
l{!(A) = ¢(A) ~ -:'onces, de esta ultima ecuacion y de la ecuacion (5-133), se obtiene
¢(A) =
IAI- AI d(A)
Hay que scnalar que el polinomio minimo ¢(A) de una matriz A de n orocedimiento siguiente:
x
n se pucde determinar por
I. Forme la adj(AI- A) y escriba los elementos de la adj(AI- A) como polinomios factorizados en A.
352
An61isis en el espacio de estodo
CapjrJ~
2. Determine d(A) como el maximo cornun divisor de todos los elementos de adj(AI- A). Selecci el coeficiente del terrnino de mayor grado en A de d(A) como I. Si no existe divisor con d(A) = 1. 3. EI polinomio minirno 4>(A) entonces esta dado como IAI - AI dividido entre d(A). Problema A-5-11 Si una matriz A de n x n tiene n valores propios distintos, entonces el polinomio minima de A es idei al polinomio caracteristico. Asimismo, si los diversos valores propios de A estan enlazados en una na de Jordan, el polinomio minimo y el polinomio caracteristico son identicos, Si, sin embargo.. diversos valores propios de A no estan enlazados en una cadena de Jordan, el polinomio minimo es grado menor que el polinomio caracteristico. Utilizando como ejemplo las matrices A y B que siguen, verifique los enunciados anteriores relaci6n con el polinornio minimo, cuando se relacionan varios valores propios.
2 1 A =
Solucion
0
B=
2
[o 3
2 0 0] [ 0 2 0 031
Primero considere la matriz A. EI polinomio caracteristico esta dado por A- 2
IAI - AI
=
I
-1 A-2
~
-3
04 1 = (A - 2)2(A - 1) A-I
Asi, los valores propios de A son 2. 2 Y I. Se puede demostrar que la forma can6nica Jordan de A es
[H ~] y los va!ores propios multiples estan enlazados en la cadena Jordan como se muestra. (Para obterxr forma can6nica Jordan de A, refierase al apendicc A.) Para determinar el polinomio rninimo, primero se obtiene adj(AI - A). Este esta dado por adj(AI - A)
=
(A - 2)(A - 1) 0
(A + 11) (A - 2)(A - 1)
4(A 0- 2)]
o
3(A - 2)
(A - 2?
[
Observe que no existe un divisor cornun de todos los elementos de adj(AI - A). Por tanto, di): I Entonces, el polinomio minimo 4>(A) es identico al polinomio caracteristico, es decir 4>(A)
=
IAI - AI = (A - 2)2(A - 1) = A3 - 5A2 + SA - 4 =
Un calculo sencillo prueba que
A3
-
5A 2 + SA - 41 = 0
pero A2
-
3A
+
21 of- 0
Por tanto, se ha demostrado que el polinomio minima y el polinomio caracteristico de esta matriz A los mismos.
5
.• :J
353
Problemas de ejemplo y soluciones
A continuacion. considere la matriz B. EI polinomio caracteristico esta dado par
IAI - BI
=
A- 2 0
I
o
0 A- 2 -3
0 0 A- 1
I
·.n calculo simple revela que la matriz B tiene tres vectores propios, y que la forma canonica Jordan de B esta dada par
[H ~] :\'r tanto, los val ores propios multiples no estan enlazados. Para obtener el polinomio minima, primero .~ calcula adj(AI - B): adj(AI - B)
= [
~~
(A - 2)(,\ - 1)
o
0
(A - 2)(A - 1) 3(A - 2)
o
10 cual es evidente que
d(A)=A-2 :0
or tanto.
q,(A) = . ~'.1
IAI - BI (A - 2)2(A - 1) 2 = = A - 3A + 2 d(A) A- 2
verificar, se calcula q,(B):
~(.) ~ . ' - 3. + 21 ~ [ : ~ ~] -3[~ ~ ~] + 2[~ ~ ~] = [~ ~ ~] 91
031
001
000
: ~r.l la matriz dada B, el grado del polinomio minimo es menor en I que el del polinomio caracteristico. ,10 se muestra aqui, si los val ores propios multiples de una matriz de n x n no estan enlazados en una . ~.::cna de Jordan. el polinomio minima es de grado men or que el polinomio caracteristico. r-e ma -\-5-12 ~ :·-~ucstre que :-r,>~ar como
mediante el uso del polinomio minima la inversa de una matriz no singular A se puede un polinomio A con coeticientes escalares, como sigue:
(5-134 ) _ -jc
(/1' (/, • . . . •
a; son los coeficientes del polinomio minima
.ego. obtenga la inversa de la rnatriz A siguiente:
-io -~] -3
0,
1
11
10 41 1 1-2 -1
10 >0 1 4 '
-21 -11 > 0
En vista de que todos los menores principales sucesivos de la matriz P son positivos, Vex) es definida positiva.
Problema A-5-18 Considere el sistema definido por:
x=f(x,t) Suponga que
f(0, t) = 0,
para todos t
Suponga que existe una funcion escalar Vex, t) que tiene primeras derivadas parciales continuas. Si Vex, t) satisface las condiciones:
1. Vex, t) es definida positiva. Esto es, V(O, t) = 0 y Vex, t) ~ a(/lx/l) > 0 para toda x*-O y para toda t, donde a es una funcion escalar no decreciente continua tal que a(O) = O. . 2. La derivada total V(x, t) es negativa para toda x*-O y para toda t, es decir V(x, t) ::; -')'(/lxID < 0 para toda x*-O y toda t, donde 'Yes una funcion escalar no decreciente continua tal que ')'(0) = O. 3. Existe una funcion escalar no decreciente continua 13 tal que 13(0) = 0 y para toda t, Vex, t)::; 13(/lx/l). 4. a(/lx/l) se aproxima al infinito conforme [x] aumenta en forma indefinida, es decir
eel/xII --7
00 ,
cuando
Ilx/i --7
00.
Entonces el origen del sistema, x = 0, es uniforme y asintoticamente estable global. (Este es el teorema de estabilidad principal de Liapunov.) Pruebe este teorema.
364
An61isis en el espocio de estodo
Soluci6n
Co pi
Para probar la estabilidad asintotica uniforme global, se necesita verificar 10 siguiente:
1. EI origen es uniformemente estable. 2. Cualquier solucion esta acotada en forma uniforme. 3. Todas las soluciones convergen al origen cuando t ---7 00 uniformemente en to Y IIxoll ::;; 8, do fijo, pero arbitrariamente grande. Es decir, dados dos numeros reales 8 > 0 y p > 0, existe numero real T(p, 8) tal que
Ilxoll
:$
8
10 que implica que para toda t ~ to + T(p, 8) donde cf>(t; x o, to) es la solucion de la ecuacion diferencial dada. En vista de que 13 es continuo y 13(0) = 0, se puede escoger una 8(e) > 0 tal que f3( 8) < 0:( e) para cual e> O. La figura 5-10 muestra las curvas o:(llxll) f3(llxlD y Vex, t). Al observar que
V( (t; Xo, to), t) - V(xo, to) =
I' v(
( T; Xo, to), T) dr < 0,
t > to
'0
si
IIx oll ::;; 8, siendo to arbitrario, se tiene o:(e) > 13(8);:0: V(xo,to);:O: V((t;xo,to),t);:o: o:(II(t;xo,to)ID
para todos t ~ to. Dado que
0:
es no decreciente y positivo, esto implica que
1I(t; Xo, to)11 < e,
for t ;:0: to, IIxoll -s 8
Por tanto, se ha demostrado que para cada numero real e> 0 existe un numero real 8> 0 tal que IlXol implica que lIcf>(t; x o, to)11 ::;; e para toda t ~ to. Asi, se ha probado la estabilidad uniforme. Ahora se probara que IIcf>(t; xo, to)ll---7 0 cuando t ---7 00 en forma uniforme en to Y Ilxoll ::;; 8. Se
13(0)
o
OlE)
Figura 5-10 Curvas a(lIxll), !3(llxll) y Vex, t)
II XII
-
=zctulo 5
365
Problemas de ejemplo y soluciones
cualquier 0 < Il < Ilxoll Yse encuentra una v(1l) > 0 tal que (3(v) < a(Il). Se denota e'(Il, 0) > 0 el minima de la funci6n continua no decreciente Y(llxll) en el conjunto compacto v(1l) ::;; Ilxll::;; e(o). Se define
f3(0) T(f.L,o) = e'(f.L, 0) > 0 Suponga que
IlcP(t: Xo, (0)11 ::;; v sobre el intervalo de tiempo 10 ::;; I::;; II =
o<
10
+ T. Entonces se tiene
a( v) s V(
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