Odredjivanje Putanje Leta Projektila

ODREĐIVANJE BALISTIČKE PUTANJE ŽIROSKOPSKO STABILISANIH PROJEKTILA METODOM MODIFIKOVANE MATERIJALNE TAČKE PREDICTION THE BALLISTIC TRAJECTORY OF SPIN-STABILISED PRIJECTILES BY METHOD OF MODIFIED POINT MASS Zijo Pekić, dipl. maš. inž. Mašinski fakultet u Sarajevu, Odjeljenje za odbrambene tehnologije

Sabina Serdarević-Kadić, dipl. maš. inž Mašinski fakultet u Sarajevu, Odjeljenje za odbrambene tehnologije

Ključne riječi: spoljna balistika, žirostabilisani projektili, putanja projektila, matemati čki model

SAŽETAK U radu je prikazan savremeni postupak prora č una una prostorne balistič ke ke putanje primjenljiv za  projektile koji stabilnost tokom leta ostvaruju žiroskopskim efektom. Analizirane su najuticajnije aerodinamič ke ke sile i momenti koji uti č u na putanju i izveden je sistem vektorskih jedna č ina ina kojim je determinisan matematič ki ki model kretanja projektila.  Projektovanjem vektorskog sistema na koordinatne ose geodetskog koordinatnog sistema dobijen je  sistem diferencijalnih jednač ina ina sa dodatnim algebarskim relacijama pogodan za programiranje. Tač nost nost modela ilustrovana je kroz primjer prora č una una putanje projektila 155 mm M549A1, č iji iji rezultati su upoređ eni eni sa eksperimentalnim podacima sa poligonskih ispitivanja.

SUMMARY  A modern computation procedure for ballistic trajectory prediction, applicable to spin-stabilized dynamically stable projectiles, is presented. The most influenceable aerodynamic forces and moments acting on a projectile have been analysed, and vector equations of motion, determining the mathematical model, have also been derived.  By projection of vector equations of motion on right-handed ground fixed orthogonale coordinate  system axes, the system of differential differ ential equations including additional algebraic relations, suitable for  programming have been obtained. A model accuracy is shown through an example of computed trajectory of 155 mm M549A1 projectile, whose results are compared to experimental data from firing range testing.

1. UVOD Osnovni zadatak spoljne balistike je da se za projektil poznatih karakteristika, od jednog odre đenog trenutka, sa dovoljnom ta čnošću, odrede karakteristike putanje do padne ili druge zadane ta čke. Ovaj

2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.

 problem se često naziva i direktan zadatak spoljne balistike za čije rješavanje je potrebno odrediti sile koje djeluju na projektil, napisati diferencijalne jedna čine kretanja, a zatim, rješavaju ći sistem diferencijalnih jednačina, odrediti karakteristike kretanja: koordinate težišta tokom leta projektila. Projektil kao osnosimetrično kruto tijelo ima težnju da postavi uzdužnu osu simetrije u pravcu brzine, ostvarujući najmanji otpor kretanju kroz vazduh. Sposobnost projektila da u toku leta održi ugao između vektora brzine i ose projektila u dovoljno uskim granicama predstavlja dinami čku stabilnost  projektila. Stabilnost projektila oblika rotacionog tijela može se ostvariti obrtanjem projektila oko njegove ose velikom ugaonom brzinom, tj. žiroskopskim efektom. Dovoljna ugaona brzina obezbjeđuje se preko vode ćeg prstena koji se urezuje u zavojne žljebove cijevi oru đa. Upotrebljivost bilo kojeg matemati čkog modela definisana je njegovom sposobnoš ću da obezbijedi što  približnije poklapanje sa eksperimentalnim rezultatima u okviru što šireg dijapazona uslova upotrebe. Cilj ovog rada je da prikaže matemati čki model za simulaciju putanje artiljerijskih žirostabilisanih  projektila koji u sebi sintetizira prednosti Euler-ovog modela i modela putanje sa šest stepeni slobode, kao što su jednostavnost, velika prora čunska brzina i visoka ta čnost.

2. OSNOVNE JEDNA ČINE KRETANJA PROJEKTILA Ako je poznat sistem spoljašnjih sila koje utiču na kretanje projektila, vektorska jedna čina kretanja njegovog centra mase data je u obliku : r

r m&r & =

gdje su :

m

d V  dt 

n

r

= ∑ F i  

(2.1)

i =1

m - masa projektila r

V  r

- vektor apsolutne brzine centra masa projektila

 F i - i-ta spoljašnja sila Rješenje vektorske jednačine (2.1) svodi se na njenu transformaciju u sistem skalarnih jedna čina, odnosno projektovanje na ose unaprijed odabranog koordinatnog siste ma. U balističkim analizama obi čno se razmatra kretanje projektila u odnosu na koordinatni sistem vezan r

za Zemlju. Pošto se Zemlja okre će, onda brzina centra mase projektila V    u odnosu na Zemlju  predstavlja brzinu u odnosu na pokretni koordinatni sistem. Izračunavanje maksimalnih vrijednosti prenosnog i Koriolisovog ubrzanja za ekstremne slu čajeve koji se mogu pojaviti pri letu brzorotiraju ćih artiljerijskih projektila pokazuju da prakti čno u svim slučajevima leta takvih projektila nije neophodno uzimati u obzir uticaj inercijalnih sila. Shodno tome, r

možemo usvojiti da su a p

r

r

= a cor  = 0 , tj. usvajamo pretpostavku da je Zemlja nepokretna, a brzina V 

u odnosu na Zemlju je apsolutna brzina. Uz prethodne pretpostavke vektorska jedna čina kretanja centra mase projektila svodi se na: r

m

d v

dt 

n

r

r

r

= ∑ F i =  R + m g  

(2.2)

i =1

Analiziraćemo sada kretanje projektila kao krutog tijela u datom koordinatnom sistemu. Pošto je r artiljerijski projektil tijelo rotacionog oblika, dodijelimo osi rotacione simetrije jedini čni vektor  x 0 , sa izabranim pozitivnim smjerom usmjerenim od centra masa ka vrhu projektila. Ukupni moment koli čine kretanja projektila se može izraziti kao suma dva vektora u koordinatnom sistemu vezanom za Zemlju : r • momenta količine kretanja oko vektora  x 0 r

• momenta količine kretanja oko ose koja je normalna na vektor  x 0 . r

Moment količine kretanja oko vektora  x 0 ima intenzitet  I  x p , gdje je  I x moment inercije projektila r

r

oko  x 0 , a vektorski predstavljen ovaj moment je  I  x p x0 .

2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.

r

r

Ukupna ugaona brzina projektila oko ose normalne na  x0  je data vektorom

r

r

Ω = ( x0 × x& 0 ) .

Pošto tijelo projektila ima rotacionu simetriju, svaka osa koja prolazi kroz centar masa, a normalna je r na  x 0 , je glavna osa inercije. Ako je moment inercije projektila oko neke popre čne ose koja prolazi r

kroz centar mase ozna čen sa  I  y , ukupni moment koli čine kretanja oko te ose normalne na  x0 biće

(

r

r × x&

 predstavljen vektorom  I  y  x 0

r

0

)  . Sada se ukupni moment koli čine kretanja projektila  K   može

 predstaviti u obliku vektorskog zbira prethodnih komponenata : r

Ako sa

∑

r

(r

r

)

 K  =  I  x p ⋅ x 0 + I  y ⋅  x 0 × x& 0  

r

(2.3)

 M  označimo sumu spoljnih momenata koji djeluju na projektil, onda će osnovna jednačina

kretanja projektila oko centra mase glasiti: r

d   K  dt 

=  I  x

d  p dt 

r

⋅ x 0

r + I   p ⋅ x&  x

r

0

+ I  y ( x 0

r × x&&

0

r

) = ∑ M  

(2.4)

Sada je neophodno definisati aerodinami č ke sile i momente koji determinišu model kretanja  projektila.

3. AERODINAMIČKE SILE I MOMENTI r

r

Ukupna aerodinami čka sila  R  i moment  nastaju kao rezultat međusobnog djelovanja atmosferske sredine i projektila koji se kre će kroz nju. Veli čina, pravac i položaj napadne ta čke ukupne aerodinamičke sile (centar pritiska) zavisi od oblika, dimenzija projektila, orijentacije u odnosu na struju vazduha i karakteristika vazdušne struje - gustine, brzine, stepena stišljivosti, itd. r

U ovoj analizi usvo jićemo da se ukupna aerodinami čka sila  R   sastoji od dvije dominantne r

r

komponente, otpora  D  i uzgona  L , zanemarujući Magnusovu silu (koja je po intenzitetu preko 100  puta manja od uzgona) i ostale sekundarne sile nestacionarnog karaktera. Ukupna aerodinamič ka sila je zbir vektora: r

r

r

 R =  D + L

 Aerodinamič ke sile i momenti koje ćemo definisati u ovom modelu prikazani su na sl. 1.

Sl.1 Aerodinamič ke sile i momenti 2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.

2

Otpor -

Intenzitet sile otpora predstavljen je u klasi čnoj spoljnoj balistici u obliku  ρ 

π d 

8

⋅ C  D ⋅ V r 2 ,

gdje su:  ρ  - gustina vazduha, d - kalibar, V r  - brzina centra masa projektila u odnosu na vazduh i r

C  D - bezdimenzionalni koeficijent otpora. Ako vektor V r    predstavlja brzinu u odnosu na vazduh, r

onda je smjer otpora

− V r  .

Slika 1. ilustruje primjer projektila na koji djeluju aerodinami čke sile, gdje je smjer jediničnog vektora r

r

r

r

 x0  orijentisan duž ose simetrije, a brzina je predstavljena sa V r  . Ugao između V r  i  x0   označen je sa σ   i

uobičajeno se naziva nutacioni ugao.  Nutacioni ugao povećava otpor projektila zbog pojave indukovanog otpora koji raste sa njegovim kvadratom. Koeficijent indukovanog otpora ozna čava se sa C  Dσ  2 , a povećanje koeficijenta otpora koje se javlja usljed nesimetričnog opstrujavanja je C  Dσ  2 ⋅ σ  . Efektivni koeficijent otpora je : 2

C  D = C  D 0 + C  Dσ  2 ⋅ σ  2

 

(3.1)

Sila otpora vazduha predstavljena vektorski na bazi gornjih definicija je: r

 D = −

2

r

 ρπ d 

⋅ (C  D 0 + C  Dσ  2 ⋅ σ  2 )⋅ V r  ⋅ V r   

(3.2) 8 Uzgon - Aerodinamički uzgon javlja se usljed nesimetri čnog opstrujavanja vazduha oko projektila koji leti pod napadnim uglom. Intenzitet sile uzgona dat je u obliku :

 L =  ρ 

2

π d 

C  Lσ  ⋅ V r 2 ⋅ sin σ   

8

(3.3)

gdje je: C  Lσ  - bezdimenzionalni gradijent koeficijenta uzgona. Uzgon djeluje u ravni nutacionog ugla i normalan je na smjer kretanja projektila. r

(

Ako razmotrimo vektor V r  ×  x 0 r

r

r

× V r  )  vidimo da ovaj vektor ima intenzitet V r 2 ⋅ sin σ   i normalan je

r

r

na V r  , a leži u ravni koja sadrži V r  i  x0 . Pomoću njega možemo predstaviti vektor uzgona u obliku : r

 L

=  ρ 

r

2

π d 

C  Lσ 

8

r ⋅ [V  × ( x r 

r

0

× V r  )] 

(3.4) r

r

Ako se vektor ukupne aerodinami čke sile projektuje paralelno i normalno na  x0   umjesto na V r  , dobićemo komponente koje nazivamo aksijalna i normalna sila. Normalna sila je komponenta ukupne aerodinamičke sile koja proizvodi moment prevrtanja. Destabilišući statički aerodinamički moment - Ako pravac dejstva aerodinami čke normalne sile ne  prolazi kroz centar mase, što je redovna pojava, kod rotacionih tijela se javlja aerodinami čki moment  prevrtanja. Intenzitet ovog momenta, koji je rezultat dejstva normalne sile na projektil, dat je u obliku:

 M a =  ρ 

3

π d 

8

⋅ C m ⋅ V r 2 ⋅ sin σ   

(3.5)

σ 

gdje je C m σ  - bezdimenzionalni gradijent koeficijenta aerodinami čkog destabilizirajućeg momenta. Vektor momenta prevrtanja je normalan na ravan nutacionog ugla (ravan opstrujavanja), odnosno r

r

(

r

r

)

ravan koju definišu vektori V r  i  x0 , a njegov smjer je odre đen vektorom V r  × x 0   koji je po intenzitetu jednak V r  ⋅ sin σ  . Sada moment prevrtanja u vektorskom obliku možemo predstaviti kao : r

 M a =  ρ 

3

π d 

8

r

r

⋅ C m ⋅ V r  ⋅ (V r  × x0 )   σ 

(3.6)

Uzdužni prigušni moment -

Uzdužni prigušni moment je moment koji se javlja kao rezultat viskoznog trenja vazduha oko površine rotirajućeg projektila i ima tendenciju da zaustavi aksijalnu rotaciju. Intenzitet ovog momenta definisan je kao:

2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.

4

 ρπ d 

 M  x =

16

⋅ C lp ⋅ p ⋅ V r   

(3.7)

gdje je C lp - bezdimenzionalni gradijent koeficijenta prigušnog uzdužnog momenta za referentnu ugaonu brzinu  p

*

=

određen sa vektorom

 pd  2V r 

  . Pošto se ovaj moment suprotstavlja aksijalnoj rotaciji, njegov smjer je

r

− x0 . Vektorski predstavljen ovaj moment je: r

 M  x = −

4

ρπ d 

16

r

⋅ C lp ⋅ p ⋅ V r  ⋅ x0  

(3.8)

4. ODREĐIVANJE NUTACIONOG UGLA DINAMI ČKE RAVNOTEŽE Za određivanje aerodinamičkih sila i momenata u vektorskoj formi, neophodno je uvesti vektore koji u  potpunosti opisuju kretanje projektila. Pravac i smjer kretanja određen je jediničnim vektorom r

 I  =

r

V r  V r 

r

, koji polazi iz centra mase u smjeru vektora relativne brzine u odnosu na vazduh V r  . r

Orijentacija projektila definisana je jediničnim vektorom  x0  duž njegove ose, usmjerenim ka vrhu. Da bi se dobila odgovarajuća orijentacija za ovu veli činu, uvodi se slijedeći vektor: r σ d 

r

r

r

r

r

=  I  × ( x 0 × I ) =  x0 − cos σ  ⋅ I    r

r

r

r

(4.1)

Očigledno je da iz uslova ortogonalnosti slijedi σ d  ⋅ I  = 0  (tj. σ  d ⊥ I  ). r

&   zanemarljiva, što podrazumijeva da Pretpostavljamo da je brzina promjene nutacionog ugla σ  &  ima veoma male vrijednosti. intenzitet σ  Uz ovu pretpostavku diferenciranjem relacije (4.1) dobijamo slijedeću vezu: r

r

 x& 0 = cos σ  ⋅ I   

(4.2)

Za određivanje nutacionog ugla dinamičke ravnoteže koristimo jednačinu kretanja (2.4). Obzirom da  je poprečna ugaona brzina zanemarljiva u odnosu na aksijalnu, što i mplicira i zanemarivanje poprečne komponente momenta količine kretanja, to se ukupni moment količine kretanja može približno  predstaviti kao : r

r

 K  =  I  x p ⋅ x 0  

(4.3)

Jednačina (2.4) u datim uslovima sada glasi: r

d   K  dt 

=  I  x

dp dt 

r

r

r

⋅ x 0 + I  x p ⋅ x& 0 = M a  

(4.4)

Blaga promjena rotacije projektila duž putanje, koja je rezultat djelovanja prigušnog momenta  M  x , ima za posljedicu to da je prva komponenta brzine promjene momenta količine kretanja zanemarljiva u odnosu na drugu, tako da je sada: r

d   K  dt 

r

r

≈  I  x p x& 0 = M a  

(4.5)

Prethodna pojednostavljenja izvršena su uz pretpostavku da važe slijedeći uslovi: • Projektil je rotaciono tijelo kojem se geometrijska osa poklapa sa dinamičkom osom inercije; • Projektil je dinamički stabilan (S>1); • Početni nutacioni ugao je mali i nema nikakvog značajnijeg uticaja na putanju. Jednačina (4.5) sada glasi: r  I   p ⋅ x&  x

0

=

3

 ρπ d 

8

(

r

r

C m σ  ⋅ V r  ⋅ V r  × x 0

)

Uvrštavanjem veza (4.1) i (4.2) slijedi:

2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.

r &

3

 ρπ d 

 I  x p ⋅ cos σ  ⋅ I  = r

Pošto je V r  ×

r σ  d 

(

r

+ cos σ  ⋅ I )

8

r

r =  I  × σ d  ,

r

8 I  x p ⋅ cos σ 

−

3

2

 ρπ d  C m σ V r  r r r r σ d ⊥ I  ⇒ σ  d  ⋅ I  = 0

(

r σ d 

(σ r

r

d  + cos σ  ⋅ I )]

sada se vektorska jednačina transformiše u oblik :

r r σ d  × I  =

Koristeći osobinu skalarnog proizvoda

[

C mσ  ⋅ V r  ⋅ V r  ×

r &

⋅ I 

), rješenje vektorske jednačine je:

=−

8 I  x p ⋅ cos σ    r r&   ⋅  V r  × V r     3 4    ρπ d  C m σ V r   

(4.6)

Vektor relativne brzine u odnosu na vazduh određen je relacijom: r

r

r

V r  = V  − W    a relativno ubrzanje relacijom: r

r &

r &

(4.7)

r &

V r  = V  − W   

r &

(4.8)

gdje su: W ,W  - vektor brzine i ubrzanja vjetra. Iako je u realnim uslovima leta vjetar redovna pojava, njegov intenzitet i smjer zavise od trenutnog stanja u atmosferi. Rijetko se dešava da on brzo mijenja intenzitet u toku leta projektila, tako da r &

r &

r &

= V  . Uz prethodnu pretpostavku, te uvodeći aproksimaciju cos σ  ≈ 1 , relacija (3.7) se svodi na: možemo pretpostaviti da je uticaj W   beznačajan, tj. da je Vr  r σ d 

=−

r

8 I  x p

r

& ⋅    V r  × V r     3 4    ρπ d  C m σ V r   

(4.9) r

Osnovni cilj izvođenja izraza za približno određivanje nutacionog ugla dinamičke ravnoteže σ  d  je formiranje matemati čkog modela uključujući uticaj ovog ugla na prostorni oblik trajektorije projektila.

5. FORMIRANJE KONA ČNOG SISTEMA JEDNA ČINA Sistem jednačina koji opisuje kretanje projektila se sastoji od: • Jednačine kretanja centra masa projektila (2.2), koja kada se uvrste izrazi za sile glasi: r

m

d V 

=−

2

 ρπ d 

⋅ (C  D 0 + C  Dσ  2 ⋅

2 σ d 

dt  8 • Procjene nutacionog ugla dinamičke ravnoteže: r 8 I  x p σ d 

=−

r

)V  ⋅ V  + r 

r 

r

2

 ρπ d 

8

r

r

C  Lσ  ⋅ V r 2 ⋅ σ d  + m g  

(5.1)

r

& ⋅    V r  × V r   3 4    ρπ d  C m σ V r   

• Relativne brzine projektila u odnosu na vazduh: r r r V r  = V  − W  • Položaja projektila u koordinatnom sistemu vezanom za Zemlju : r r & =v   r  • Jednačine uzdužne rotacije projektila koja glasi: 4 r ρπ d  dp r  I  x ⋅ x0 = − ⋅ C lp ⋅ p ⋅ V r  ⋅ x0   dt  16

(5.2)

(5.3)

U geodetskom koordinatnom sistemu vektor položaja projektila u prostoru (radijus vektor), vektor apsolutne brzine i ubrzanja su dati kao: r

r

r

r

r  = xi +  y j + z k  r

r

r

r

V  = V  x i + V  y j + V  z k 

2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.

r

d V  dt  a vektor brzine vjetra:

r &i = V   x

r

r r & & + V   j + V  k   y

 z 

r

r

W  = W  x i + W  z k  Komponenta W  y  ravna je nuli, jer se pretpostavlja da nema vertikalnih strujanja u atmosferi. Konačno možemo oformiti kompletan sistem skalarnih jedna čina projektovanjem vektorskih jedna čina na ose geodetskog koordinatnog sistema:

  8 I  x p 2   & − (V  − W  )V  & ]  [V  ⋅ V  ⋅ ⋅ ⋅ − C  V   x r   x  x  L r    z   z   z   y 3 4   y 8m 8m    ρπ d  C m V r    2 2     8 I  x p  ρπ d   ρπ d  2 & ⋅ ⋅ (C  D 0 + C  D ⋅ σ d  ) ⋅ V r  ⋅ V  y + ⋅ C  L ⋅ V r 2 ⋅  − V  y = − 3 4  8m 8m  ρπ  d  C  V  m r      & − (V  − W  )V  & ] − g  ⋅ [(V  z  − W  z  )V   x  x  x  z  & V 

=−

2

 ρπ d 

⋅ (C  D 0 + C  D ⋅ 2

σ 

2 σ d 

) ⋅ V  ⋅ (V  − W  ) +

2

 ρπ d 

σ 

σ 

σ 

2

σ 

σ 

2

& V 

 z 

=−

Vr =

 ρπ d 

8m

(V

⋅ (C  D 0 + C  D ⋅ σ 

) ⋅ V  (V  − W  ) + r 

 z 

 z 

    8 I  x p & − V  ⋅ V  & ] [(V  x − W  x )V  ⋅ C  L ⋅ V r 2 ⋅  −  y  y  x 3 4  8m    ρπ d  C m V r    2

 ρπ d 

σ 

σ 

2

x

2

2 σ d 

2

− Wx ) + V y2 + (V z − Wz )    

V = V x2 + V y2 + V z 2

(5.4)

 

 

& − (V  − W  ) ⋅ V  & ] + [(V  − W  ) ⋅ V  & − (V  − W  ) ⋅ V  & ] +     [V  y ⋅ V   z   z   z   y  z   z   x  x  x  z  8 I  x p  ⋅ σ d  =  − 3 4   ρπ d  C  V   2 & − V  ⋅ V  & ] m σ  r      + [(V  x − W  x ) ⋅ V   y  y  x 2

2

& = V   X   x & = V  Y   y & = V   Z   z 

 p& = −C lp

4

 ρπ d 

16 I  x

⋅ V r  ⋅ p

Sistem diferencijalnih jednačina koji opisuje kretanje projektila nije mogu će integrirati u opštem obliku izraženom kroz kombinaciju elementarnih funkcija. Razlog leži u tome što na desnim stranama diferencijalnih jednačina egzistiraju komponente aerodinami čkih sila, koje su složene nelinearne funkcije zavisne od više promjenjivih, a obi čno su zadate grafi čki ili tablično. Partikularno rješenje sistema diferencijalnih jedna čina, što predstavlja jednu putanju projektila, dobija se numeričkim integrisanjem metodom Runge-Kuta.

6. POREĐENJE EKSPERIMENTALNIH I TEORETSKIH REZULTATA Da bismo testirali tačnost metode modifikovane materijalne ta čke za odre đivanje putanje projektila uporedićemo rezultate dobivene tom metodom sa eksperimentalnim rezultatima, za aktivno-reaktivni artiljerijski projektil 155 mm M549A1. Kao eksperimentalni rezultati koriste se podaci dobiveni ispaljivanjem grupe od 5 projektila 155 mm M549A1, s punjenjem XM201B2 (domet, skretanje udesno i po četna brzina). Projektili su ispaljeni sa isključenim raketnim motorom, a opit je izveden na poligonu Tonopah Test Range u Nevadi, tokom oktobra 1977. Svi projektili su ispaljeni iz cijevi topa M185 sa gasnom ko čnicom. Elevacija topa je 45° na prosje čnoj nadmorskoj visini poligona od 1630.4 m. Pošto nema podataka o vjetru, za analizu će se kao referentne vrijednost koristiti srednji domet i srednje skretanje popravljenih vrijednosti za tabli čnu početnu brzinu V0 = 610 m s . Srednji domet sveden na tabli čnu početnu brzinu je 17701.6 m, standardna devijacija je 89.52 m a skretanje udesno je 380.4 m.

2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.

Sl.2 Projektil 155 mm M549A1 (mjere izražene u kalibrima)

Aerodinamički koeficijenti, neophodni za prora čun putanje, dobijeni prora čunom poluempirijskim metodama za potreban dijapazon promjene Mach-ovog broja, prikazani su na slikama od 3 do 7. 4

0,40    2

0,35    0    D

   D

3,5

   C   a 3   r   o   p    t   o 2,5   g   o   n   v    i    t 2    k   u    d   n    i 1,5    t   n   e    j    i   c    i 1    f   e   o    K 0,5

0,30

   C   a   r   o 0,25   p    t   o    t 0,20   n   e    j    i   c    i    f   e 0,15   o    K 0,10 0,05

0

0,00 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

M

0

2,5

Sl.3 Koeficijent otpora pri nultom napadnim uglu

0,5

1

1,5

2

M

2,5

Sl.4 Koeficijent induktivnog otpora 6

2,5

  a    j   n   a    t 5   r   v   e   r   p   a    t 4   n   e   m   o   m   m   a    C3    t   n   e    j    i   c    i    f   e 2   o    k    t   n   e    j    i 1    d   a   r    G

   L

   C   a 2,0   n   o   g   z   u   a    t   n 1,5   e    j    i   c    i    f   e   o    k    t 1,0   n   e    j    i    d   a   r    G 0,5

0

0,0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

M

2,5

Sl.4 Gradijent koeficijenta uzgona

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

M

2,5

Sl.5 Gradijent koeficijenta momenta prevrtanja

0,045

  g 0,040   o   n    ž   u    d 0,035   z   u   g   o 0,030   n   p    š    l   u   g    C      i   r   a 0,025   p    t   n   a   e    t   n 0,020   e   m   o    j    i   c   m    i    f 0,015   e   o    k    t   n 0,010   e    j    i    d   a 0,005   r    G 0,000 0

0,5

1

1,5

2

M

2,5

Sl.6 Gradijent koeficijenta prigušnog uzdužnog momenta

Metodom modifikovane materijalne ta čke, za tabličnu početnu brzinu V0 = 610 m  s   i standardnu atmosferu ICAO, dobijen je domet 17529.5 m i skretanje 359.4 m. Upoređujući dobivene rezultate sa eksperimentalnim može se ustanoviti da je greška manja od 1%, što  predstavlja zadovoljavaju ću ta čnost modela (odstupanje u dometu je manje od 1%, a kod skretanja je ispod 0.75%).

2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.

7. ZAKLJUČAK  Model balističke putanje artiljerijskih brzorotiraju ćih projektila izložen u ovom radu omogu ćava veoma brzo odre đivanje svih relevantnih parametara trajektorije sa visokom ta čnošću. Prihvatljiv broj koeficijenata koji definišu aerodinamiku projektila, čini ovaj model pogodnim kako za fazu preliminarnog projektovanja tako i za izradu tablica ga đanja. Poređenjem modela modifikovane materijalne ta čke sa Euler-ovim modelom i modelom putanje sa šest stepeni slobode kao najsloženijim, postiže se prora čunska tačnost koja je bliska modelu šest stepeni slobode, uz približno dvostruko više prora čunskog vremena u odnosu na Euler-ov model materijalne tačke, dok proračun po modelu šest stepeni slobode zahtijeva čak 100 do 1000 puta više  proračunskog vremena, za isti korak integracije. Poređenje dobijenih teoretskih i eksperimentalnih rezultata najbolje ilustruje ta čnost metode, pri upotrebi tokom faze projektovanja novog projektila. Pri izradi tablica gađanja, u cilju usklađivanja proračunskih i izmjerenih vrijednosti dometa i skretanja, u jednačine modela se uvode dodatni koeficijenti fitovanja, kojima se neutrališe neizbježno odstupanje kao posljedica nesavršenosti metoda predvi đanja aerodinamočkih koeficijenata.

8. LITERATURA 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M. Gajić, i J. Viličić.: Balistika, Vojnoizdava čki zavod, Beograd 1978. S. Janković: Aerodinamika projektila, Mašinski fakultet u Beogradu 1979. S. Janković: Mehanika leta projektila, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb 1998. S. Janković: Spoljna balistika, Vojnoizdava čki zavod, Beograd 1977. R. F. Lieske i R. L . McCoy: Equations of Motion of a Rigid Projectile, BRL Report No. 1244, 1964. R. L . McCoy: "MC DRAG"- A Computer Program for Estimating the Drag Coefficientes of Projectil, Ballistic research laboratory, 1981. E. J. McShane, J. L. Kelley i F. Reno: Exterior Ballistics, University of Denver Press, 1953. F. G. Moore: Body Alone Aerodynamics of Guided and Unguided Projectiles at Subsonic, Transonic and Supersonic Mach Numbers, Naval weapons laboratory, Dahlgren, Virginia, 1973. Z. Pekić: Model za simulaciju putanja žirostabilisanih artiljerijskih projektila, UNIS Institut, Sarajevo, 1986.

2. Međunarodni skup, Revitalizacija i modernizacija proizvodnje RIM ’99, str. 527-535, ISBN 9958-624-06-0, Bihać, oktobar 1999.