Obtención de Ecuaciones Variacionales Para El Análisis Térmico de Reactores de Lecho Fijo

TALLER 1 Obtención De Ecuaciones Variacionales Para El Análisis Térmico De Reactores De Lecho Fijo Para el análisis, se parte de las ecuaciones del balance de masa y energía del reactor. Para un PBR, el balance de masa para el componente A, es:

d FA =r A (1) dW Ahora, el balance se deja en términos de presión parcial ( P A ) y longitud (z)

F A =C A∗v=

FA=

P A∗v F FRT ; Pv= RT ; v= RT M MP

( )

P A F RT P A F = RT MP MP

d F A=

F d PA MP

W = ρb Az dW =ρb Adz Gg F d PA d PA d F A MP MP ρ b = = =r A dW ρ b Adz dz

d P A MP ρb = r (2) dz Gg A El balance de energía en un PBR con intercambio de calor está dado por las siguientes ecuaciones: Balance de energía en el fluido reaccionante:

Ua ( T −T ) +( r A )( Δ H Rx ) ρb c dT = (3) dW Σ Fi CP i

Ua ( T c −T ) ρb A + ( r A )( Δ H Rx ) ρb A dT ρb = dz FCp a , es el área específica de transferencia de calor

a=

A¿ 4 = V tubo d t

4U ( T c −T ) + ( r A ) ( Δ H Rx ) ρb dt ( r A ) ( Δ H Rx ) ρb dT 4U = = T c −T ) + ( dz Gg Cp d t Gg Cp G g Cp

( r A ) ( Δ H Rx ) ρ b dT 4U = T c −T ) + ( 4) ( dz d t G g Cp G g Cp

Balance de energía en el fluido de intercambio:

Ua ( T −T c ) d T C ρb = (5) dW W c C pc Ua 4U T −T c ) ρb A ( ( T −T c ) A d T C ρb dt = = dz W c C pc W c C pc A, es el área transversal de todos los tubos.

A=

π d 2t t 4 n 2

πd 4U T −T c ) t t n ( Uπ d t t n ( T −T c ) dTC d 4 = t = dz W c C pc W c C pc

d T C Uπ d t t n ( T −T c ) = (6) dz W c C pc

Se tienen dos casos para la producción de anhídrido ftálico a partir de o-xileno. El caso 1 es la oxidación parcial de O-xileno para obtener anhídrido ftálico como producto único. El caso 2 considera, adicionalmente, las reacciones paralelas y consecutivas de formación de CO y CO 2. Para ambos casos, se supone que las reacciones son elementales, por lo tanto, se plantean las velocidades de reacción como una ley de potencias. Se hace uso de las ecuaciones (2) (4) y (6) para hacer el planteamiento de las ecuaciones diferenciales de los balances de energía y masa para cada caso. Las ecuaciones de balance, se dejan en términos de las variables

PA , T y T C .

CASO 1:

A k 1B →

r A =( k 1 + k 3 ) P A P ∞ k 1=exp ( b1−a1 /T )

Usando la ecuación (2) se remplaza la velocidad de reacción y la ecuación diferencial se deja en términos de la presión parcial de O-xileno (A), como sigue:

d P A MP ρb −MP ρb Poo a = r A= P A exp b1− 1 dz Gg Gg T

(

A 1=

)

MP ρb Poo Gg

d PA a =−A1 P A exp b1− 1 (7) dz T

(

)

Con la ecuación (4) se plantea el balance de energía del fluido reaccionante con la velocidad de reacción:

a ( r A ) ( Δ H 1 ) ρb −4 U (−Δ H 1 ) ρb P oo dT 4U = T c −T ) + = T −T C ) + P A exp b 1− 1 ( ( dz d t G g Cp G g Cp d t Gg Cp Gg Cp T

(

)

B 1=

( −Δ H 1 ) ρ b Poo G g Cp

; C 1=

4U d t Gg Cp

a dT =B1 P A exp b 1− 1 −C 1 ( T −T C ) (8) dz T

(

)

La ecuación (6) se usa para el balance de energía del fluido de intercambio de calor:

d T C Uπ d t t n ( T −T c ) = dz W c C pc

D 1=

Uπ dt t n W c C pc

dTC =D1 ( T −T c ) (9) dz CASO 2:

A k 1Bk 2C →

A k 3C →

r A =( k 1 + k 3 ) P A P ∞ r B =( k 1 P A −k 2 PB ) P∞ r C =( k 3 P A +k 2 PB ) P∞ k 1=exp ( b1−a1 /T ) k 2=exp ( b2−a2 /T ) k 3 =exp ( b3 −a3 /T )

→

En el segundo caso, para el planteamiento de las ecuaciones correspondientes, se hace lo mismo que para el caso 1; sólo que, en éste, por ser un sistema con múltiple reacción, se plantean dos balances de masa adicionales y el balance de energía del fluido reaccionante se ve afectado por las entalpías de reacción de las nuevas reacciones. La ecuación de balance de energía en el fluido de intercambio de valor no se ve afectada. Los balances de masa quedan:

d PA =−A1 P A ( k 1+k 3 ) (10) dz d PB =A 1 (k 1 P A−k 2 P B )(11) dz d PC = A1 (k 3 P A + k 2 P B )(12) dz El balance de energía de la reacción queda de la siguiente manera:

( r B ) (−Δ H 1 ) ρb ( r C )( −Δ H 3 ) ρb ( k 1 P A −k 2 P B ) P∞ (−Δ H 1 ) ρb ( k 3 P dT 4U 4U = T c −T ) + + = T c −T ) + + ( ( dz d t G g Cp Gg Cp Gg Cp dt G g Cp Gg Cp B 2=

P ∞ ( −Δ H 1) ρb P ∞ (−Δ H 3 ) ρb ; B3 = G g Cp Gg Cp

dT =B2 ( k 1 P A−k 2 P B ) + B3 ( k 3 P A +k 2 PB ) −C 1 ( T −T C ) (13) dz Como se mencionó anteriormente, el balance de energía en el intercambiador no cambia:

dTC =D1 ( T −T c ) (9) dz

ECUACIONES VARIACIONALES:

Con las ecuaciones diferenciales de los balances de energía y los balances de masa, se puede proceder a establecer las ecuaciones variacionales para la solución del reactor en contracorriente, que es el sistema en el cual se generan los valores de frontera. CASO 1: En el caso 1, se obtienen 3 ecuaciones con sus respectivos valores de frontera, 2 son de valores de puntos iniciales (i) y uno es de valores de puntos finales (j), ésta es el balance de energía en el fluido de intercambio de calor.

d PA a =−A1 P A exp b1− 1 ; i=1 dz T

(

)

a dT =B1 P A exp b 1− 1 −C 1 ( T −T C ) ; i=2 dz T

(

)

f i (14)

dTC =D1 ( T −T c ) ; j=3 dz

P A ( z 0 )=P A 0 i=1 T ( z 0 )=T 0 ; i=2 T C ( z L )=T CL ; j=3 Para solucionar el problema de valores de frontera, se inicializa la variable j:

T C ( z 0 )=T Cj ; j=3 Las ecuaciones variacionales se originan derivando parcialmente el sistema de ecuaciones diferenciales (14) con respecto a la variable inicializada Tc: Antes, se expresan las sensibilidades como:

S 1=

δ PA δ T Cj

S 2=

δT δ T Cj

S 3=

δTc δ T Cj

Ahora, las ecuaciones variacionales se pueden escribir como:

d Sij n δ f i =∑ S dz k=1 δ y k kj En este caso: n=3; i=1,2,3;

fi

es el sistema de ecuaciones (14) y

corresponde a las variables que se inicializan. Se procede al planteamiento de las ecuaciones variacionales:

i=1

dP dP dP (¿ ¿ A / dz) δ S3 δTC (¿¿ A /dz) δ S2 +¿ δT (¿ ¿ A /dz) δ S1 +¿ δ PA d S1 =¿ dz Resolviendo las derivadas parciales:

d S1 a A a a =−A 1 exp b 1− 1 S 1− 1 2 1 exp b 1− 1 S 2+ 0 S3 dz T T T

(

)

(

d S1 a P a =−A 1 exp b 1− 1 S1 + A 2 1 S2 (15) dz T T

(

i=2

)(

)

)

yk

d S2 δ(dT /dz) δ(dT /dz) δ (dT /dz) = S1 + S2 + S3 dz δ PA δT δTC

) (

) )

d S2 a B P a a =B1 exp b1 − 1 S1 + 1 2A 1 exp b1− 1 −C 1 S 2+ C1 S 3 dz T T T

(

(

d S2 a P a =B1 exp b1 − 1 S1 + A 2 1 S2 −C1 ( S 2−S 3)(16) dz T T

(

)(

)

i= j=3 d S3 δ (d T C / dz ) δ (d T C /dz ) δ (d T C / dz) = S 1+ S2 + S3 dz δPA δT δ TC

d S3 =0 S1 + D 1 S 2−D1 S3 dz d S3 =D1 ( S 2−S3 ) (17) dz

CASO 2: En el caso 2, se hace el mismo planteamiento que en el caso 1, sólo que esta vez se tienen más ecuaciones, 5 en total, de las cuales una tiene un valor de frontera de puntos finales (j). Se tiene: i=1,2,3,4; j=5 De acuerdo a esto, se obtienen las ecuaciones variacionales que se observan en seguida, con las sensibilidades respecto a la variable inicializada Tcj, como en el caso 1.

)( (

))

( (

))

d S1 a a P S a a P S =−A 1 exp b 1− 1 S1 + 1 A2 4 +exp (b3 − 3 ) S1 + 3 A2 4 (18) dz T T T T

(

)( (

))

( (

))

)( (

))

( (

))

)( (

)) (

)( (

))

d S2 a a P S a a P S = A1 exp b1− 1 S1 + 1 A2 4 −exp (b2− 2 ) S 2+ 2 B2 4 (19) dz T T T T

(

d S3 a a P S a a P S = A1 exp b3− 3 S 1+ 3 A2 4 +exp (b2− 2 ) S 2+ 2 B2 4 (20) dz T T T T

(

)( (

)) (

d S4 a a P S a a P S a a P S =B 2 exp b1− 1 S 1+ 1 A2 4 −exp b2 − 2 S2 + 2 B2 4 + B3 exp b3− 3 S 1+ 3 A2 4 +exp b dz T T T T T T

(

d S5 =D1 ( S 4−S5 )(22) dz

(

CONDICIONES DE FRONTERA Para la solución de los diagramas con flujo paralelo y en contracorriente se dan las siguientes condiciones de frontera en Z=0 CASO

CASO 2

S1=S2=0

S1=S2=S3=S4=0

S3=1

S5=1

Las anteriores condiciones pueden ser diferentes de acuerdo con el criterio que se use para el análisis de sensibilidad: CASO 1:  

CRITERIO DE SORIA Y HENNING PEREZ: S1=0 S2=1 S3=0 en Z=0 CRITERIO DE BORIO: T0 = TC0 S1=0 S2=S3 con S3=1 en Z=0 (en paralelo) , o S3=1 en Z=L (contracorriente)

CASO 2:  

CRITERIO DE SORIA Y HENNING PEREZ: S1=S2= S3=S5 y S4=1 en Z=0 CRITERIO DE BORIO: T0 = TC0 S1=S2=S3=0 con S4=S5=1 en Z=0 (en paralelo) , o S5=1 en Z=L (contracorriente) y con S3=S5 en Z=0

RESULTADOS Usando las ecuaciones diferenciales y variacionales obtenidas de los balances de masa y energía del reactor, se reproducen las figuras 1.1, 1.5 y 1.6.

650 640 630 620

Wc (kg/s) -20

610

Tco=To (K)

Wc (kg/s) -50

600

Wc (kg/s) -100

590

Infinito

580

Wc (kg/s) 100

570

Wc (kg/s) 25

560

Wc (kg/s) 15

550 550.00

600.00

650.00

700.00

TcL (K)

Figura 1.1 Curvas de Tco vs TcL para diferentes esquemas de enfriamiento P_A0=0.014 atm; Gg=4684 kg/hr m2; L=2 m 670.00

660.00

650.00

640.00

Paralelo

Temperatura de la mezcla (K) 630.00

Contracorriente Infinito

620.00

610.00

600.00

0

0.5

1

1.5

2

Longitud del reactor (m)

Figura 1.5 Perfiles de temperatura a condiciones de igual conversión y To=Tco; X=54%; P_A0=0.014 atm Gg=4684 kg/hr m2; Wc=50 kg/s; L=1.5m

12.00

10.00

8.00

6.00

Paralelo

Sensibilidad S2

COntracorriente

4.00

Infinito 2.00

0.00

0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6

-2.00

Longitud del reactor (m)

Figura 1.6 Perfiles axiales de la sensibilidad S2 para condiciones de la figura 1.5