Óptica - Dino Otero - 1ed

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3 ÓPTI CA:LUZ+LUZ=¿ ?

SERI E:LO MEJ ORDELAFÍ SI CA

Di noOt e r o 2 0 1 1 Sa f eCr e a t i v e : Bue no sAi r e s , Ar g e nt i na [email protected]

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ÓPTI CA: LUZ+LUZ=¿ ?

Dino Otero 2011

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BIBLIOGRAFÍA Optica y Física Ondulatoria. Óptica geométrica y física Fenómenos de propagación. M. Bertin, J.P. Faroux, J. Renault, Ed Paraninfo, Madrid, 1990. Optics, Jenkins and White, McGraw-Hill Tokio, 1957. Óptica, Tomo I y II , G.S. Lándsberg, Ed Mir Moscú, 1983. Física General y Experimental, Tomo II, Ed Labor, Barcelona, 1953. Optics, B. Rossi, Addison-Wesley, Massachusettd, 1962. Optics, E. Hecht , Addison-Wesley.

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I NTRODUCCI ÓN Proponer otro texto de óptica puede parecer superfluo en el mejor de los casos. Sin embargo de acuerdo a mi experiencia dictando óptica en cursos de físicos e ingenieros ninguno de los textos que recomendaba como bibliografía me satisfacía enteramente. En algunos casos eran buenos pero algo vetustos, en otros nuevos pero muy acotados o demasiado completos. Me he llevado la sorpresa de estudiantes que tenían un buen curso de cuántica y un pobre curso de óptica física. La óptica física es una excelente oportunidad de comenzar a comprender los fenómenos cuánticos, pero esto está poco destacado en los libros de óptica. Así que esta será una buena oportunidad para que los lectores se introduzcan en la mecánica cuántica. Intentaré proponer un texto que sea cubra los requisitos mínimos de quienes requieren adquirir conocimientos de óptica pero que no necesariamente vayan a trabajar en ese tema. Se acepta implícitamente que cuando se habla de óptica nos referimos a los fenómenos relacionados con la luz visible. La luz visible es sólo una estrecha franja de la radiación electromagnética y en realidad puede estudiarse la óptica de un espectro mucho más amplio de las radiaciones electromagnéticas e incluso de partículas cargadas como electrones y iones. Si bien la radiación electromagnética está asociada a los conceptos de campo eléctrico y campo magnético, en ciertas interacciones con la materia, la radiación se manifiesta como partículas denominadas fotones. En el 1600 Newton y Huygens no se ponían de acuerdo si la luz se trataba de una onda o de una partícula. Actualmente sabemos que, en cierto sentido ambos tenían razón Este comportamiento se conoce como la manifestación de la dualidad onda-partícula. Aquí nos restringiremos al aspecto puramente electromagnético de la luz. La propagación de la luz no requiere de un medio material como, por ejemplo el sonido. Pero recién en 1887,

7 con la experiencia de interferencia de Michelson-Morley, se descartó la necesidad de un medio material para su propagación denominado entonces éter. Por entonces ya se conocía la velocidad de la luz para la cual, las mediciones actuales dan un valor de 299.792.458 m/seg. Einstein propuso, al formular su famosa teoría de la relatividad, que esa velocidad es el límite máximo que, un ente material o energético, puede alcanzar en la naturaleza. La descripción de los fenómenos físicos puede realizarse mediante dos conceptos. Por un lado, el concepto de partícula, algo concreto con límites bien definidos y que eventualmente puede “guardarse” en un cajón. Por otro, el concepto de campo, algo etéreo, muy poco localizado y muy difícil de guardar en un cajón. Las partículas son productoras de campos y los campos productores de partículas pero no es fácil tomar contacto con los campos. En particular el campo electromagnético se manifiesta en las audiciones de radio, TV y mediante los imanes pero no podemos verlo salvo, en el caso justamente de la luz. El rango de oscilaciones con que se propaga el campo electromagnético (lo que llamamos luz), da lugar a excitaciones electrónicas fácilmente detectables por… nuestros ojos. Esas excitaciones terminan convirtiéndose en una señal puramente eléctrica que informan al cerebro de los fenómenos lumínicos. Ese constituye nuestro mejor y más elaborado medio de comunicación con los fenómenos externos a nuestro ser.

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I . ÓPTI CA GEOMÉTRI CA 1 .PROPI EDADES GENERALESDELALUZ

Si

bien en algunas interacciones la luz puede comportarse como una partícula denominada fotón, carece de una propiedad importante de otras partículas: la masa. Posee sin embargo energía e impulso lineal. Por ejemplo el impulso de la luz solar es el responsable de la cola de los cometas. Esa cola consiste en gases que se generan al acercarse el cometa al Sol. Entonces los gases son empujados por la luz y apuntan hacia atrás de la dirección de movimiento cuando el cometa se acerca al Sol y hacia delante de la cabeza cuando se aleja del Sol. La energía puede expresarse en términos del valor medio cuadrático del campo electromagnético1,

r r En e r g í a= (ε / 2) < E2 > +( µ / 2) < H2 >

1

La justificación de esta formula puede encontrarse en un libro de electricidad y magnetismo.

(I.1.1)

9 Donde épsilon y mu son las constantes eléctricas y magnéticas que caracterizan el medio en el cual se propaga

r

r

la luz, E es el campo eléctrico, H es el campo magnético y donde está indicando un promedio temporal en un cierto punto del espacio. Se define el flujo de energía en un punto, para un rayo de luz,

Φ =

∆E ∆t

(I.1.2)

donde ∆E es la cantidad de energía que pasa por un cierto punto durante un intervalo de tiempo ∆t . A medida que nos alejamos de una fuente de luz, la intensidad disminuye. Para poner en términos matemáticos esta obviedad conviene introducir un concepto importante válido para la emisión de radiaciones en general, el ángulo sólido. La definición de ángulo sólido está totalmente asociado a la geometría euclidea, la geometría con la que convivimos todos los días. Consideremos un octante esférico como muestra la figura I.1.1:

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Figura I.1.1

ˆ es el versor normal al elemento de área dS, tal que Donde n

r r r ˆy r ˆ= d S= d S n (versor del radio vector). Se define el ángulo r

sólido como:

r ˆ d S.r d Ω = 2 r

(I.1.3)

ˆ y r ˆ son paralelos y la ecuación En el caso simple de la figura 1, n (I.1.3) se reduce a dO =dS/r2 y, como dS = rd?.rsen?df , se tiene que ˆ yr ˆ no son paralelos y forman por ejemplo un dO = sen?df d?. Si n cierto ángulo a entre ellos (figura 2), entonces la ecuación (I.1.3) queda, dO =cosadS´/r2. Pero cosadS´= dS, el diferencial de superficie esférica tomada desde el origen de donde se mide el ángulo sólido. En la medida que a crece el dS´ necesario para cubrir

11 un mismo dO crece como dS/cos a, tendiendo a 8 para a tendiendo a p/2.

Figura I.1.2 Teniendo ya este concepto conviene introducir la definición de intensidad luminosa:

J=

d Φ d2 E = d Ω d Ωd t

(I.1.4)

Si J no depende de ? ó f (simetría esférica, la fuente luminosa es esférica o puntual) entonces F = 4pJ (el factor sale de integrar el ángulo sólido justamente sobre 4p). También se define la iluminación como el flujo por unidad de área:

I= ˆ y si n

d Φ d Φ J = 2 = 2 d S rd Ω r

ˆ son paralelos. En el caso que formen un ángulo a, r

r S ˆ d d S.r d Ω = 2 = 2 cos α , entonces, r r

(I.1.5)

12

I=

d Φ d Φ Jcos α = 2 cos α = d S rd Ω r2

(I.1.6)

En ambos casos la iluminación cae como 1/r2. El factor cos a explica porqué el Sol calienta menos en invierno …

Figura I.1.3 Como se aprecia en la figura, el haz de luz (que por lo lejano que está sus rayos llegan prácticamente paralelos a la Tierra) debe cubrir una superficie menor en el hemisferio norte respecto del hemisferio sur que, en la figura aparece en invierno. Luego de seis meses el eje mantiene la orientación de la figura (por conservación de momento angular) pero la Tierra se encuentra del otro lado por lo que el invierno corresponderá al hemisferio norte:

13

Figura I.1.4 NOTAS: Integración del ángulo sólido: 2π

π

π

π

0

0

0

0

∫dΩ = ∫dϕ ∫senθdθ = ∫2πsenθdθ = 2π cosθ

= 4π

(I.1.7) El sentido de estos límites están ejemplificados en la figura I.1.5:

Figura I.1.5

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I . 2PRI NCI PI O DEHUYGENS

L

a óptica geométrica estudia el comportamiento de la luz analizando el camino principal en su trayectoria. Esta definición de la óptica geométrica es sutil pues deja entrever que la luz puede desplazarse de un punto a otro por varios caminos, existiendo uno que estamos denominando “camino principal”. En el vacío el camino principal entre dos puntos será una línea recta. Cuando existen medio translúcidos que dejan pasar la luz, el campo electromagnético del rayo luminoso interactúa con los átomos y moléculas de la substancia y se modifica la velocidad del rayo, disminuyéndola.

Figura I.2.1 Christian Huygens (1629-1695) tuvo la idea genial que la luz fuera un fenómeno ondulatorio y que en realidad lo que estamos denominando camino principal es en realidad la superposición de infinitas ondas que constructivamente generan ese camino. La idea central consiste en imaginar que, a medida que avanza un frente de luz cada punto de ese frente genera ondas secundarias cuya envolvente genera el nuevo frente en un tiempo posterior.

15

Figura I.2.2 En la figura I.2.2 se muestra como avanzaría según el principio de Huygens un f r e nt edeo ndapl a no . En esta propuesta no queda claro por qué no existe un frente de onda hacia atrás. Posteriormente Gustav Kirchhoff (1850) modifica tal que la intensidad vaya como cos(θ/2) tal que hacia atrás la intensidad es nula (ver figura I.2.3).

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Figura I.2.3

17

I . 3 .REFLECCI ÓNY REFRACCI ÓN:LEYESDE SNELL.

C

on el principio expuesto estamos en condiciones de deducir las leyes de reflexión y refracción de la luz. Estas leyes también pueden deducirse utilizando el principio “mecánico” de Fermat por el cual una partícula sigue el camino de menor energía. Pero el principio de Huygens es más poderoso y nos será útil para entender los fenómenos de interferencia y difracción. Supongamos un frente de onda plano2 que incide sobre un material transparente según un ángulo α. Supondremos que en el medio en el cual se mueve inicialmente el rayo, la luz avanza con velocidad v1 y que en el medio transparente la velocidad es v2. El nuevo frente de onda se desviará como se indica en la figura I.3.1. La construcción del nuevo frente de onda se realiza considerando que cada punto de la interfase entre los dos medio es un emisor de ondas secundarias con la velocidad v2.

2

Observar que para tener un frente de onda plano basta considerar el frente de onda de una fuente puntual que por simetría será esférico, a suficiente distancia de la fuente, tal que sea una buena aproximación considerar el plano tangente a la esfera del frente de onda en un ángulo sólido no demasiado grande.

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Figura I.3.1 Por hipótesis la propagación es perpendicular al frente de onda entonces abc y adc son triángulos rectángulos y por lo tanto el ángulo que forma el frente de onda con la interfase es el mismo que el ángulo que forma la dirección de propagación con la perpendicular a la interfase, tanto en el frente incidente como en el refractado. Para ir desde b hasta c la luz tarda t =

b c . En ese tiempo, en el medio v 1

transparente, la luz habrá ido desde a hasta d tal que

Entonces

t=

a d . v 2

v a d 2 . Pero b = c= a c s e n θ1 y a d= a c s e n θ2 y v b c 1

resulta,

v s e n θ2 n 2 = = n21 = 1 v s e n θ1 n2 1 I.3.1

19 La razón que los índices de refracción se definan como la inversa de la velocidad de la luz se origina en que se puede demostrar que son proporcionales al producto de las constantes dieléctrica y magnéticas. Como se señaló arriba se puede obtener este resultado utilizando el principio de Fermat de mínimo camino óptico, entendiendo por camino óptico la distancia recorrida por la luz multiplicadad por el índice de refracción en el medio: i =2

L= ∑ din i i =1

I.3.2 Donde di es la distancia recorrida en un medio de índice ni.

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I . 4TEORÍ APARAXI AL E

n los instrumentos ópticos se trabaja con ángulos sólidos muy pequeños y puede realizarse aproximaciones denominadas paraxiales, es decir muy cercanas a un eje definido por el centro del ángulo sólido. En general se considera simetría cilíndrica alrededor de dicho eje por lo que basta representar la trayectoria de la luz en un plano que pasa por dicho eje. Las líneas imaginarias que van, por ejemplo, desde una fuente de luz hasta el frente de onda se denominan rayos de luz. Normalmente se investiga la trayectoria de estos rayos de luz. La aproximación paraxial utiliza las aproximaciones a primer orden de las funciones trigonométricas. Veamos un ejemplo para determinar la bondad de las aproximaciones. Supongamos que aproximamos, senθ ≈ θ ≈ tgθ para θ = 14º = 0,25 radianes senθ = 0,24740 ∆ = 0,0026 tgθ = 0,25534 ∆ = 0,0079

I.4.1

ε = 1% ε = 3%

Figura I.4.1 Como se observa de la figura I.4.1el cono de ángulo sólido, que será en realidad de 28o, por la simetría alrededor del eje de propagación, es relativamente grande para una precisión de 1 a 3%. Para analizar el comportamiento de la trayectoria de la luz se asume que pueden definirse rayos de espesor infinitesimal perpendiculares al frente de avance de la luz. Se clasifican estos rayos en divergentes, convergentes y paralelos. El lugar desde salen los rayos se denomina fuente de luz u objeto (S) y el lugar al cual convergen imagen (I). Los rayos paralelos tienen la imagen y el objeto en infinito. Por convención la marcha de los rayos se asume de izquierda a derecha.

21 Tanto las fuentes como los objetos pueden ser virtuales. En la figura 4 se muestran ejemplos de fuente y objetos reales y virtuales. Sobre la interfase que separa ambos medios se utiliza las leyes de Snell para seguir la marcha de los rayos.

Figura I.4.2 Trabajaremos con sistemas ópticos ideales para los cuales se define que cada punto del “espacio objeto” tiene un solo punto en el “espacio imagen”. Aunque la luz es un fenómeno electromagnético ondulatorio se considera que la longitud de onda es despreciable y no existen fenómenos de difracción o interferencia.

22

I . 5SUPERFI CI ESESFÉRI CAS: DI OPTRAS,LENTESYESPEJ OS.

La marcha de los rayos la estudiaremos en sistemas ópticos centrados. Se definen estos sistemas a partir de un eje sobre el que está la fuente u objeto (no necesariamente puntual) y una sucesión de interfases planas (perpendiculares al eje) o esféricas (con el centro de la esfera sobre el eje). Se definen los focos de una interfase como el lugar donde convergen o divergen rayos que de un lado de la interfase son paralelos. En la figura 5 se aclara este concepto:

Figura I.5.1

23 Los puntos objeto imagen se denominan pares de puntos conjugados y los planos perpendiculares al eje óptico y que pasan por esos punto son los planos conjugados. Veamos ahora una convención de signos para el análisis de los sistemas ópticos centrados: Como ya dijimos se supone que la luz va de izquierda a derecha. En principio las distancias se miden desde el vértice de la interfase sobre el eje óptico,

Figura I.5.2 So+, distancia objeto positiva a la izquierda So-, distancia objeto a la derecha fo+, foco objeto positiva a la izquierda fo-, foco objeto negativa a la derecha R-, radio neg. si el centro está a la izquierda R+, pos. si el centro está a la derecha yo+, yi+, flecha de objeto e imagen hacia arriba yo-, yi-, flecha de objeto e imagen hacia abajo

FÓRMULADEGAUSS Sea un sistema ótico centrado como el de la figura I.5.3:

24

Figura I.5.3 Aplicamos sobre la interfase la ley de Snell para la difracción entre un medio con índice n y otro con índice n´ utilizando la aproximación paraxial,

s e n φ φ n′ ≈ = s e n φ ′ φ′ n

I.5.1

α + β +ψ = π (ángulos interiores de un triángulo), y φ +ψ = π , restando la segunda igualdad a la primera se tiene, a + β −φ = 0 , es decir φ = α + β . Además (π − β ) + φ′+ γ = π (ángulos interiores de un triángulo), luego φ′= β − γ , luego Como

volviendo a I.5.1 tenemos,

′( β − γ) n(α + β ) = n

I.5.2

reagrupando y usando las aproximaciones paraxiales,

t g α≈

h h h ≈α , t g β ≈ ≈β y t g γ ≈ , tenemos, ′ s R s

25 n h n′h (n′− n)h + = que eliminando h queda, ′ s s R n n′ (n′− n) + = I.5.3 ′ s s R conocida como fórmula de Gauss para una dioptria. Si ahora tendemos s´ a infinito obtenemos el foco objeto (los rayos de salida serán paralelos al eje),

f=

Rn n′− n

I.5.4

y para el foco imagen;

f′=

Rn′ n′− n

I.5.5

reemplando R se obtiene la fórmula de Gauss expresada en término de los focos,

n n n′ = + ′ f s s

y

n′ n n′ = + ′ f′ s s

I.5.6

Obsérvese la igualdad en las fórmulas por la reversibilidad del camino ótico, de acuerdo con las aproximaciones realizadas. Finalmente podemos obtener,

f n′= f′ n

I.5.7

LENTES Las lentes son construidas con dos interfases esféricas o una esférica y una plana. De acuerdo con el comportamiento de los rayos salientes se las clasifica en convergentes o divergentes. Cuando las lentes son gruesas presentan aberraciones que pueden corregirse con

26 una adecuada combinación. Estudiaremos ahora el caso más simple de las lentes delgadas. Para estas lentes se supone que el espesor es despreciable. Para fijar idea utilizaremos la distribución de la figura 8 aunque, el resultado es completamente general.

Figura I.5.4 Se suponen conocidos los focos de la lente. Un rayo que se emite paralelo al eje óptico desde la punta de la flecha objeto, pasará por el foco imagen f´. Un rayo que, emitido desde la punta de la flecha objeto, pase por el vértice de la lente no se desviará y al cortarse con el anterior determina la punta de la flecha imagen. Un rayo que salga desde la punta de la flecha objeto y pase por el foco objeto saldrá paralelo al eje óptico y arribará también a la punta de la flecha imagen. Entonces por triángulos semejantes se tiene,

′ y y+ y = y ′ s f′ sumando,

′ y ′ y+ y = ′ s f

′ y+ y ′ y y ′ y+ y + = + ′ s s f′ f

′→ ∞ , si s

s→ f, luego,

I.5.8

I.5.9

27 ′ y y ′ y+ y = + f f′ f

⇒

f = f´

I.5.10

entonces,

′ y+ y ′ y+ y ′ y+ y + = ⇒ ′ s s f

1 1 1 + = ′ s f s

I.5.11

La igualdad de los focos hace que la lente delgada se comporte isotrópicamente.

LENTESDELGADASENCONTACTO Para analizar este caso separaremos un poco las lentes en el diagrama:

Figura I.5.5 Para la primer lente la imagen se formaría en su foco f1. Esta imagen es un objeto virtual para la segunda lente, localizado en s´1 = f1 (recordar que en realidad las lentes están en contacto y se las considera de espesor despreciable). Aplicando la fórmula de lentes:

−

1 1 1 + = ′ f 1 2 s f 2

I.5.12

28 El signo menos es debido a que la imagen está del lado derecho de la lente 2. Pero s2´, el luegar donde la lente 2 forma la imagen es el foco del sistema compuesto por las dos lentes, s2 = f. Luego,

1 1 1 = + f f f 1 2

I.5.13

Se define la potencia de una lente como la inversa del foco medido −1

en metros ( d i o p t r a s= m son las unidades de potencia de lentes). Luego para un sistema compuesto por dos lentes la potencia viene dada por P = P1+P2

FORMULADELCONSTRUCTORDELENTES Deduciremos ahora la fórmula que permite construir una lente conociendo los índices de refracción (interno/externo) y el foco que se requiere. Aunque la lente la seguiremos considerando delgada, la dibujaremos un poco gruesa para poder seguir los rayos:

Figura I.5.6 Aplicando la fórmula de Gauss:

29

n n′ n′− n + = s s′ r 1

I.5.14

1

Donde s1´ es objeto virtual para la segunda superficie, entonces,

−

n′ n n− n′ + = ′ s ′ r 2 s 1

I.5.15

Los radios r1 y r2, se toman positivos y luego de acuerdo al caso serán negativos (superficies cóncavas respecto de la dirección de luz) o positivos (superficies convexas respecto de la dirección de la luz. En el ejemplo de la figura r2 < 0. Usando I.5.14 para reemplazar n´/s1´ en I.5.16 se tiene,

n n n′− n n′− n + − = ′ r s s r 2 1

I.5.16

Ordenando,

1 1 n′− n 1 1 + = ( − ) ′ s s n r r 1 2

I.5.17

Recordando la fórmula I.5.11 se tiene,

1 1 n′− n 1 1 = = ( − ) f f′ n r r 1 2

I.5.18

FÓRMULADENEWTON Midiendo la distancias desde los focos se puede definir x y x´, tal que, s=f+x entonces I.5.11 queda,

s = f + x´

I.5.19

30 1 1 1 + = ′ f f+ x f+ x

I.5.20

Sumando y pasando de miembro se tiene, 2f2 + fx´ +fx = f2 + fx + fx´ +xx´ y

f2 = xx´

I.5.21 I.5.22

AUMENTO TRANSVERSALYLONGI TUDI NAL Se define como,

MT =

′ y y

I.5.23

El signo de MT se relaciona con el signo de inversión de imagen.Por relación de triángulos semejantes (ver figura 8):

MT = −

′ s s

I.5.24

Si, como es el caso de la figura 8, se invierte la imagen. Usando la expresión de Newton podemos poner,

′ ′ ′f f+ x f f+ x f2 + x =− ( )=− = f+ x f f+ x f( f+ x ) ′+ x ′f ′ x x x =− =− f( f+ x ) f MT = −

I.5.25 Y de igual forma se puede obtener,

31 MT = −

f x

I.5.26

Donde los signos de x y f darán el signo de MT. En nuestro ejemplo con f y x positivos MT < 0. El aumento longitudinal se define como,

ML =

′ d x d x

I.5.27

Pues en general no se trabaja con objetos extensos en la dirección x. Derivando en la expresión de Newton,

′ d x f2 =− 2 d x x

⇒

′= x

f2 , x

f2 ML = − 2 = −MT2 x

I.5.28

Que nos permite relacionar ambos aumentos.

SI STEMAÓPTI CO CENTRADO Sea un conjunto de elementos ópticos, con simetría axial. Se definen los siguientes planos en la figura I.5.7:

Figura I.5.7 El rayo paralelo de un objeto en infinito cora al eje óptico en el foco imagen, así como el rayo que sale paralelo, formado una imagen en infinito se corta con el rayo de entrada en el foco objeto. El lugar

32 geométrico donde se cortan el rayo paralelo con el que pada en el foco imagen determina el plano principal imagen, H´(plano perpendicular al eje óptico que pasa por ese punto) y donde se cortan el rayo que sale paralelo con el rayo que pasó por el foco objeto determinan el plano principal objeto, H. Por los focos pasan los planos focales objeto e imagen respectivamente. Ahora el sistema complejo puede tratarse como una lente delgada a partir de H, H´. El concepto fundamental de sistema óptico centrado es que cada punto objeto tiene un punto imagen (sin aberraciones).

ESPEJ OS PLANOS, poseen la propiedad de inversión. ESFÉRI COS. Tienen la misma regla de signos que las lentes.

FÓRMULADELOSESPEJ OSESFÉRI COS Como ejemplo para la deducción usaremos un espejo cóncavo aunque, los resultados son válidos para los convexos.

Figura I.5.8

33 Donde R es el radio del espejo y el rayo incidente forma un ángulo igual al del rayo reflejado respecto del radio.

S C= s− R y

′, con la convención de signos R< 0, y entonces, CP= R− s

S C= s+ R Para

ángulos

′+ R) CP= −( s

y

pequeños

I.5.29

S A≈ s

consideraremos

y

′(Obviamente no es el caso del dibujo!). Por tener un PA≈ s ∆

ángulo igual y un lado común los triángulos semejantes, entonces se cumple que,

S C CP = S A PA

∆

S CA y CPA son

I.5.30

Reemplazando se obtiene,

′+ R s+ R s =− ′ s s

I.5.31

1 1 2 + =− ′ s s R

I.5.32

Reordenando,

′→ ∞ y Para evaluar los focos tendemos s→ ∞ y 1/f´ = -2/R, s 1/f = -2/R. Nuevamente los focos son iguales y se obtiene,

1 1 1 + = ′ f s s

I.5.33

PLANO FOCALDELENTEDELGADA

34

Figura I.5.9 Los rayos emitidos por la punta de la flecha forman un cierto ángulo a con el eje óptico y se cumple que,

y =t g α f

I.5.34

Es decir los rayos que salen de una cierta altura sobre el plano focal cumplen la condición I.5.34. Y viceversa los rayos que arriban paralelos formando un cierto ángulo a con el eje óptico, formarán una imagen que cumple,

′ f y= t g α

I.5.35

35

I . 5 . I NSTRUMENTOSÓPTI COS DI AFRAGMAS:Los diafragmas limitan la intensidad de luz pero permiten mejorar las condiciones paraxiales del instrumento óptico, pudiéndose jugar entre una mejor definición o una mayor luminosidad. En los instrumentos ópticos existen un diafragma de entrada y otro de salida. Los diafragmas determinan a su vez lo que se denomina pupila, en un caso de entrada y en el otro de salida. La pupila de entrada es la imagen del diafragma de entrada o de apertura vista desde el objeto. La pupila de salida es la imagen del diafragma de salida o de apertura de campo vista des la imagen.

Figura I.5.10 Determina la luz que emite el objeto (regula la iluminación)

36

Figura I.5.11 Determina el tamaño del objeto que, generado por las lentes convergentes previas, puede verse a la salida.

LUPA La visión humana va desde infinito hasta 25 cm (para personas adultas jóvenes). Los instrumentos ópticos aprovechan esta amplia gama de visión para aumentar el ángulo de visión normal del ojo.

37

Figura I.5.13 Utilizando una lupa:

Figura I.5.14 La lupa cuando el objeto se sitúa en su foco, pone la imagen en infinito, formando un ángulo a´con el eje óptico. Se define el aumento angular como la relación entre el ángulo de visión cercan y el ángulo de la imagen del objeto en infinito:

γ=

Como

t g α=

t g α′ t g α

I.5.36

y y yt g α ′= , tenemos para el aumento angular, 25 f

38 y f γ= y 25

γ=

25 f

I.5.37

Los aumento se miden en cuánto multiplica el ángulo que subtiende el objeto de visión cercana respecto de la imagen en infinito generada por la lupa. Debido a las aberraciones (deja de valer la aproximación paraxial) el aumento de una lupa no pasa de 2x o 3x (foco de 12 a 8 cm).

MI CROSCOPI O Es un sistema óptico centrado compuesto por dos o más lentes. Consta de un o b j e t i v oy de un o c u l a r . Este último puede ser simple o compuesto por más de una lente. El objetivo forma la imagen en el foco del ocular:

Figura I.5.15 Nuevamente definimos el aumento angular, ahora del microscopio, como

′ y ′25 f t g α′ y 2 M= = = y t g α yf 2 25

I.5.38

39 y´/y = mo se define como el aumento transversal del objetivo y

25 = λ0 es el aumento angular del ocular. Entonces el aumento f 2 angular del microscopio queda definido por,

M = m0γ0

I.5.39

Existen dos oculares típicos (por supuesto que en los microscopios de laboratorio son más complejos que lo expuesto aquí a los fines de reducir aberraciones).

OCULAR DE RAMSDEN ( POSI TI VO, TI PO LENTE) Consiste en dos lentes convexas con los focos relacionados por f21 = f22/3 . La primer lente hace retroceder la imagen del objeto hasta el foco de la segunda lente que es la que emite los rayos paralelos:

Figura I.5.16

40 OCULARDEHUYGENS( NEGATI VO)

Figura I.5.17 La relación de distancias focales entre la lente 1 y la lente 2 varía entre 3:1 a 15:1.

41

I IÓPTI CAFÍ SI CA I I . 1 .CAMPO ELECTROMAGNÉTI CO

A

partir de la ecuaciones de Maxwell se deducen las ecuaciones de las ondas del campo electromagnético

r r r2 r ∂E ∂2 E ∇ E= µσ + µε 2 ∂t ∂t r r r2 r ∂H ∂2 H ∇ H = σµ + µε 2 ∂t ∂t

(II.1.1)

Donde la primera parte de las ecuaciones es el término disipativo que normalmente puede despreciarse en el tratamiento de la óptica física (si bien en medios reflectantes resulta importante y debe realizarse una aproximación fenomenológica). Las ecuaciones quedan entonces:

r r2 r ∂2 E ∇ E= µε 2 ∂t (II.1.2)

42 r r2 r ∂2 H ∇ H = µε 2 ∂t Que tienen solución: rr r r r ik .r−i ωt E(r, t ) = E0 e rr r r r ik .r−i ωt H(r ,t ) = H0 e

y

(II.1.3)

r k es el vector de onda que es función de ε , µ y ω , y el rr r producto k .r proyecta la oscilación en la dirección de r. Los rr rr requisitos que ∇ E y ∇ B se anulen implica que, r r r r E0 .k= 0 y H0 .k= 0 r r además la relación entre el rotor de E y el campo H da la donde

condición,

r r r k∧ E0 = ωµH0

(II.1.4)

es decir los tres vectores son perpendiculares entre sí y la propagación es como se muestra en la figura II.1.1

Figura II.1.1

r r res elegido arbitrariamente podemos tomarlo en la dirección de k y entonces esa coordenada puede Como en principio

43 tratarse como un escalar. Tomando parte real en II.1.4, podemos escribir:

r r E( x ,t ) = E0 s e n(k x− ω t ) r r B( x ,t ) = B0 s e n(k x− ω t )

y

(II.1.5)

Las interacciones ópticas son fundamentalmente eléctricas (excitación eléctrica de los electrones de los átomos), por lo que podemos considerar sólo el campo eléctrico como la principal perturbación óptica. Así planteado k es simplemente el número de onda. Ahora podemos analizar el comportamiento del campo

r

eléctrico. Hasta ahora sabemos que E( x ,t ) es un vector perpendicular a la dirección x. Por el principio de superposición pueden elegirse dos soluciones que describan la evolución de

r E( x ,t ) y sumarlas, la suma también será una solución de la

ecuación de ondas. Las dos soluciones perpendiculares como muestra la figura II.1.2.

pueden

tomarse

Figura II.1.2 El argumento de la función sinusoidal se denomina fase de la onda y queda determinada a menos de una constante que depende (ϕ 0 ) de las condiciones iniciales: k x− ω t+ ϕ 0 . Las componentes del campo eléctrico pueden entonces ponerse como,

44

ˆ = Eoˆj E1i s e n(k x− ω t+ ϕ1 ) (II.1.6)

ˆs ˆ = Eok E2 i e n(k x− ω t+ ϕ 2 ) Estas son las ecuaciones paramétricas de una elipse, es decir el

r

vector E( x ,t ) gira en un plano perpendicular a la dirección de la trayectoria de la onda describiendo un elipse. Antes de demostrar esta propiedad analizaremos con más detalle el significado de la fase de la onda. Supongamos que observamos la perturbación óptica en un punto fijo sobre x, es decir x = xo. Observaremos la variación de t, que no permite definir el concepto de p e r í o d oT: tiempo en el cual la perturbación se repite.

Figura II.1.3 s e n(k x− ω t+ ϕ 0 ) sea s e n [kx− ω (t+ T) + ϕ0 ]se debe cumplir que,

Para

que

ω T= 2π

igual

a

(II.1.7)

La (2.6) relaciona la frecuencia con el período. Sea vla velocidad con se desplaza la perturbación óptica. Transcurrido un período T la distancia recorrida, que se denomina l o ng i t ud d eo nd a , será λ = Tv. Pero si acompañamos la onda el argumento no debe variar, es decir:

45 k x− ω t+ ϕ 0 = k( x+ λ) − ω (t+ T) + ϕ 0 k λ = ωT

luego, entonces

k=

(II.1.8)

ωT ω = . Escribiremos la perturbación óptica (sin λ v

especificar la componente vectorial) usando estas relaciones,

2π k T ω T Tϕ 0 E( x ,t ) = Eos e n(k x− ω t+ ϕ 0 ) = Eos e n ( x− t+ )= T 2π 2π 2π 2π x = Eos e n ( − t+ ϕ 0′) T v donde

ϕ 0′ es una nueva fase constante. Alternativamente también

podemos poner

2π x E( x ,t ) = Eos e n (t− + ϕ ) T v

(II.1.9)

pues un cambio de signo en el argumento es también un corrimiento arbitrario de fase. Cua nd ol al uza t r a v i e s aun me d i od i s p e r s i v o , d o nd es ep r o d uc el ar e f r a c c i ó n,l af r e c ue nc i anoc a mb i ap e r os i c a mb i al av e l o c i d a dyp o rl ot a nt ol al o ng i t udd eo nd a . En el formalismo de la mecánica cuántica esto significa que se conserva la energía pues la energía de la onda está dada en este formalismo por,

ω U = h = hω = h ν 2π

(II.1.10)

h absorbe el factor 2π o alternativamente se define una ω frecuencia “normalizada” por 2π : ν = . Conviene analizar 2π donde

46 más en detalle este concepto de onda electromagnética para evitar dudas cuando se estudian los fenómenos de interferencia/difracción. La luz se genera, generalmente, por excitación de los electrones en los átomos. El proceso consiste en excitar un electrón o inclusive eyectarlo del átomo, como indica la figura 24,

Figura II.1.4 El átomo recibe energía de alguna forma (por ejemplo chocando con otros átomos por calentamiento) y uno o más electrones son eyectados. Inmediatamente algún otro electrón externo al átomo ocupa el lugar vacante. Al hacerlo emite un fotón con energía bien definida U = h?. El fotón es una onda electromagnética y presenta como todas las partículas microscópicas la propiedad de manifestarse tanto como onda como partícula, según sea la interacción que realice. Una forma de compatibilizar la imagen de la onda con la de una partícula se muestra en la figura II.1.5;

Figura II.1.5 Esto es lo que conoce con el nombre de t r e nd eo nd a . El fotón se puede comportar como un tren de onda o como una partícula que localiza su energía en un punto. En realidad el tren de onda tiene una

47 localización espacial en tres dimensiones como se trata de mostrar en la figura II.1.6,

Figura II.1.7 Si este fuera el caso de un fotón con polarización lineal, las zonas grises podrían indicar el campo electromagnético saliente y las zonas claras el campo entrante. Las trayectorias (a) y (b) corresponden a las diferentes direcciones hacia donde se puede trasladar simultáneamente el fotón. Tendrá una cierta probabilidad de ir en la dirección (a) y otra cierta probabilidad de ir en la dirección (b). La probabilidad de ir en alguna de las direcciones comprendidas dentro del lóbulo será cercana a uno. Cuando se produce una localización por ejemplo en el efecto fotoeléctrico, toda la energía del fotón se concentra en un electrón eyectándolo del átomo. Esa concentración ser realiza totalmente al azar en algún punto de la burbuja de la figura. Resolviendo explícitamente la ecuación de ondas se demuestra que la velocidad de fase está dada por,

v=

1 µε

(II.1.11)

µ y ε con las constantes magnéticas y eléctricas que caracterizan al medio en el cual se propaga la luz. En el vacío donde se tiene µ0

48 y

ε0 , v es c, la velocidad de la luz, es decir la velocidad con que se

traslada un fotón o tren de onda.

49

I I . 2 .VECTORÓPTI CO Veamos ahora como la composición de las dos componentes de (II.1.6) generan paramétricamente una elipse. Por simplicidad consideremos que observamos la perturbación óptica en un punto del espacio y fijemos allí el origen de coordenadas, es decir x = 0. Escribiremos las componentes del campo eléctrico como,

x   Ey( x ,t ) = Ey0 cos ω (t− ) + ϕ y v   x   Ez( x ,t ) = Ez0 cos ω (t− ) + ϕ z v   Siempre es posible redefinir la fase tal que,

(II.2.1)

ϕ y = 0 y ϕ z= 0 .

Podemos ahora rescribir las ecuaciones de (II.2.1),

x  ′ Ey( x ,t ) = Ey0 cos ω (t− ) = Ey0 cos ω t v  (II.2.2)

x   Ez( x ,t ) = Ez0 cos ω (t− ) + ϕ z= v   ′+ ϕ z] Ez( x ,t ) = Ez0 [cos ω (t Con t´= t – x/v. En particular,

′+ ϕ z]= Ez0 cos ω t ′cos ϕ − Ez0 s ′s Ez( x ,t ) = Ez0 [cos ω t e n ωt e n ϕ (II.2.3)

50

Usando que de

′ cos ω t=

Ez( x ,t ),

Ez( x ,t ) = Ez0 dividiendo por

Ey( x ,t ) Ey0

, se lo reemplaza en la expresión

Ey( x ,t ) ′s cos ϕ − Ez0 s e n ωt e n ϕ Ey0

(II.2.4)

Ez0 ,

,t ) Ez( x ,t ) Ey( x ′s = cos ϕ − s e n ωt e n ϕ Ez0 Ey0

(II.2.5)

y elevando al cuadrado,

,t ) 2E( x ,t ) Ez( x ,t ) Ez ( x ,t ) Ey ( x + cos 2 ϕ − y cos ϕ = 2 2 Ey0 Ez0 Ez0 Ey0 2

2

′s ′) s =s e n2ω t e n2ϕ = (1 − cos 2 ω t e n2ϕ (II.2.6)

,t ) 2 Ey( x ,t ) Ez( x ,t ) Ez ( x ,t ) Ey ( x 2 + cos ϕ − cos ϕ = 2 2 Ey0 Ez0 Ez0 Ey0 2

2

 Ey2 ( x ,t ) 2 s = 1 − e nϕ 2   E y0   (II.2.7) pasando de miembro y utilizando que

s e n2ϕ + cos 2 ϕ = 1

51 ,t ) 2 Ey( x ,t ) Ez( x ,t ) Ez ( x ,t ) Ey ( x + − cos ϕ = s e n2ϕ 2 2 Ey0 Ez0 Ez0 Ey0 2

2

(II.2.8) Esta es la ecuación de una elipse no centrada. Veamos distintos casos según el valor que tome la fase ϕ .

Figura II.2.1 Figura II.2.1, caso (a) y (b): armar un cuadrado perfecto,

ϕ =n π , entonces en (II.2.8) se puede 2

Si

Ey0 Ez0 > 0

recta

Ey( x ,t )=

Ey0 Ez0

Ez( x ,t ) ,t ) Ey( x   =0, −  E  E z 0 y 0  

da la

Ez( x ,t ) (II.2.9)

correspondiente al caso (a).

52 2

E ( x ,t ) ,t ) Ey( x  =0, Y si Ey0 Ez0 < 0  z +  E  E z 0 y0   Ey Ey( x ,t ) = − 0 Ez( x ,t ) Ez0

da

la

recta

(II.2.10) correspondiente al caso (b).

2n+ 1 π, 2 2 2 ,t ) Ez ( x ,t ) Ey ( x + =1 2 2 Ez0 Ey0

El caso c) corresponde a

ϕ=

que es una elipse centrada con semiejes

(II.2.11)

Ey0 , Ez0 . En particular si

Ey0 = Ez0 , la elipse se convierte en un círculo. Los casos (a) y (b) se denominan luz linealmente polarizada, los casos b y c (este último corresponde a una elipse no centrada) se denomina luz elípticamente polarizada y si se cumple además la condición Ey0 = Ez0 , luz circularmente polarizada. Para los casos de luz elípticamente o circularmente polarizada es importante determinar el sentido de giro del vector eléctrico. Consideremos un vector como se muestra en la figura 28 donde la luz avanza hacia el espectador.

53

Figura II.2.2 El ángulo ? (t) de giro está dado por,

E( x ,t ) ψ (t )=a r c t g y = Ez( x ,t ) =a r c t g(

Ey0

c o z ω (t− x/ v ) ) Ez0 c o z ω (t− x/ v ) cos ϕ − s e ω (t− x/ v )s e n ϕ (II.2.12)

Para saber hacia donde gira debemos averiguar si al aumentar t el ángulo ψ crece o decrece. Para ello evaluaremos,

∂ψ ∂a r c t g(u)  2 ∂u S i g n o =S i g n o =S i g n o   2 ∂t ∂t 1 + u ∂t (II.2.13)

donde

u=

Ey0 c o z ω (t− x/ v ) Ez0 c o z ω (t− x/ v ) cos ϕ − s e ω (t− x/ v )s e n ϕ

54 2 es definido positivo por lo que basta averiguar 1 + u2 ∂u S i g n o . Para facilitar el cálculo conviene derivar 1/u, teniendo ∂t

El factor

en cuenta que, entonces,

∂ cos ϕ − s e n ϕt a g ω (t− x/ v )  S i g n o(−1) =  ∂t     ωs e n ϕ =S i g n o 2 i g n o( s e n ϕ) = S ) cos ω (t− x/ v (II.2.14) El sentido de giro se resume en la figura II.2.3.

Figura II.2.3

55

I I . 3 .PROPI EDADES ESPECI ALESDELAONDA SALTO DEFASEENLAREFLEXI ÓN

Veamos ahora otra importante propiedad de las ondas de fundamental importancia en la interferencia por reflexión. Para ello utilizaremos el concepto de reversibilidad de camino óptico, es decir que se pueden invertir la marcha de los rayos de luz manteniéndose inalterado el sistema como un todo. Esta reversibilidad está basada en la conservación de energía y no es válida cuando hay absorción o dispersión de luz. Consideremos un frente de onda plano que incide sobre una interfase que separa dos medios con distinto índice de refracción, como se muestra en la figura 30.

Figura II.3.1

56

Figura II.3.2 Sea

Ei= Ei0 cos ω (t+ x M /v 1)

v1>0, xM>0

(II.3.1)

la onda incidente, donde xM indica el camino en la dirección incidente. No es importante considerar el carácter vectorial de E, es decir los resultados son válidos cualquiera sea el estado de polarización del campo eléctrico. La onda se descompone en onda reflejada y onda refractada o transmitida,

Er = ρEiocos ω (t− x N/v 1)

v10

(II.3.2)

donde ρ es el coeficiente de reflexión y el signo negativa en v1 aparece pues la onda después de reflejarse se propaga en sentido contrario a la incidente. La onda transmitida será

Et= τEiocos ω (t− x P/ v 2)

v2>0, xP0, xP>0 (II.3.4) 1) es la inversión del rayo reflejado, el cual origina, como ya dijimos, un rayo reflejado

Er′′ = ρ 2 Eiocos ω (t− x M /v 1)

v10

(II.3.5)

v2>0, xQ0, xP0, xQ