Nuno M. M. Maia Introducao a Mecanica Analitica

COLECÇÃO•

ENSINO

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TECNOLOGIA

introdução à

dinâmica;.

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C OLECÇÃO• ENSINO DA CIÊNC IA E IDA TECN O L OGIA

T

T U LOS

P U BLICADOS

4 Feixes Hert zianos, Carlos Salema.

5 Introdução à Gestão Ambiental: a avaliação do ciclo de vida de produtos, Paulo Cadete Ferrâ.o.

6 Elementos da Teoria da Elasticidade E duardo .Romano de Arantes e Oliveira.

7 Int rodução à Programação em mathematica, José Carmo, A mflcar Berna.das, Cristina Semadas . F. Miguel Dioní.sw. Carlos Caleira.

8 Reconhecimento de Padrões: métodos estatísticos e neuronais, J o-r:qe S oJuador Aforqnes.

9 Geoestatíst ica para as Ciências da Terra e do Ambiente A ndlca.1" Soares. T

T U LO S

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P U B LICA R

Análise de Sistemas Lineares, Isabel R ibeiro.

Reactores Químicos, Francisco Lenw.5. José Ivladeim Lopes, F. Ramôa R ibeiro.

N U N O

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IST PRESS Institut o Supierior T écnico Av. Rovisco Pais, n" 1 1049-{)01 Lisboa Portuga l

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EDITORA: IST Press DIRECTOR: Jorge

C. G. Calad o

COLECÇÃO: Ensino da Ciência e Tecnologia COORDENADOR E DITORIAL: Eduardo Borges Pires AUTOR: Nuno l'vI. M . Maia TfTULO: Introdução à Dinâ mica Analítica

ISBN: 972-8±69-14-4 DEPÓSIT O LEGAL:

156591/00

PRODUÇÃO: Manuela TI.f orais DESIGN: Golpe de Estado - Prod uções Criat ivas , Lda. IMPRESSÃO/ AOABAMENTOS: Multi pont o S. A . T IRAGEM: 1000 exemplares COPYRIGHT@ SETEMBRO DE 2000 , INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

ESTE LIVRO TEM O APOIO DE:

Fumb.ção para a Ciêllda. e a Tecnologia M!NlSTÉRlO DA Of."!"CTA ll DA 'TECN'OlOGlA

A minha mulher, Maria José

V

CONTEÚDO

PREFÁCIO

l

1.1 1.2

1.3 1.4 2 2.1 2.2 2.2.1

2.2.2 2.2.:'l 2.2 A

,2.3 2.3.1 2.4 2.4.1

2.4.2 2.4.3 2.5

2.6 2.7 2.8 3

N OTA HISTÓRICA

Os Ant igos A Época de Galileu Newton e Alguns Contemporàneos Seus D' Alembert, Euler , Lagrange e Hamilton

3.3

:u.1 3.4 4 4. 1 4.1.1 4.1.2 4.2

1 3 ..J 5 9

CONCEITOS F UNDAMENTAIS

13

Introdução Princípios Fundamentais da Mecànica Vectorial P rincípio ela inércia de Galileu P rincípio do rnomenfom Princípio da acção e reacção Princípio da sobreposição Ttabalho Funções de est ado, P faffianos, difer enciais exactas e forças conservativa.s Trabalho e Energia Potencial Energia p otencial gravít ica Energia p otencial devida. a uma força gravitacional Energia potencial elástica Trabalho e Energia Cinética Princípio da Conservação da Energia. Graus ele Liberdade Problemas

15 15

15 16 16 16 17

22 23 25 26 27

30 33 ') t::

dt.)

PRlNC ÍPIO D OS TRABALHOS VIRTUAIS. PRJNCÍPIO DE D'ALEMBERT. PRINCÍPIO DE HAMILTON

3.1 3.2

ix

O P rincípio dos Tr abalhos Virtuais em Estática Princípio de D'Alembert. Extensão do Princípio elos T rabalhos Virt uais à Dinâmica Princípio de Hamilton Do princípio d os t rab alhos virtuais ao princípio de Hamilton Problemas

37 39

55

EQUAÇÕES DE LAG RANGE

59

Graus de Lib erdade, Constrangimentos e Coordenadas Generalizadas Ligações holónornas Ligações anolónomas Do P r incípio de Hamilton às Equações de Lagrange

61

63 67 68

4.2.1 -1.2.2 4.:3

de q,

5.5

6

75 9--1 10:3

Problemas

5 5.1 .5.2 5.:3 5.4 5.4.l

qe t

de

109

DE HAMILTON

11 111 11:3 llf; 116 116 118

Hamiltoniana da Hamiltoniana

Problemas PRINCÍPIO DE HAMILTON E NA ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS

6.1

121 12:3

6.2

Dinâmico

6.:3 127 1:37

6.4 BIBLIOGRAFIA

141

ÍNDICE

143

viii

PREF

CIO

A larga maioria dos livros sobre mecânica tendem a ser abarcando uu.u"'·'"'º''U'-' vasta de como cinemática e dinâmica de partículas e corpos introdução às das a dinâmica anaHtica costuma constituir apenas um ou dois capítulos. Em muito menor sobre dinâmica analítica. Normalmente são bastante e por conseguinte mais apropriados a cursos de pos-.12;raauaç.ao. O presente livro é exclusivamente dedicado à dinâmica analítica e fundamentalmente ao aluno de licenciatura. Procurou-se que fosse relativamente curto, com vários exemplos de aplicação e com uma explicação tão clara e simples quanto possível, quer do de vista matemático, quer do ponto de vista da interpretação física. Não se pretende que este livro cubra especificamente disciplina. Poderá, isso sim, apoiar várias disciplinas de vários cursos em que esta matéria seja abordada. Ocorrem-me as cadeiras de Física de todos os cursos de licenciatura em Engenharia, Matemática, Física, Química, por exemplo; ou outras mais específicas em Engenharia Mecânica e Civil como as clássicas "Mecânicas Aplicadas", "Vibrações", etc. Sobre a forma como está estruturado, há um capítulo de introdução histórica, seguido de um capítulo em que os conceitos fundamentais são abordados de forma sucinta, em jeito de revisão. Os Capítulos 3 a 5 dizem respeito aos princípios dos trabalhos virtuais, de D'Alembert, de Hamilton e às equações de Lagrange e de Hamilton, em sistemas discretos; a sua interpretação e aplicação é explicada, e alguns exemplos são apresentados. Finalmente, no Capítulo 6 é focada a aplicação da dinâmica analítica a sistemas contínuos. Gostaria de agradecer aos meus colegas Professores Miranda Guedes, Melão Barros e Relógio Ribeiro as valiosas trocas de impressões e discussões sobre alguns dos assuntos versados. São igualmente devidos agradecimentos aos Professores Júlio Montalvão e Silva, Cabrita Neves, Dias de Deus, Resina Rodrigues e António Urguei.ra pela revisão crítica do manuscrito, tendo contribuído decisivamente para a melhoria do texto em variados aspectos.

1 Normalmente

seja já clássica!

designa-se por clássica a mecânica não relativista, embora-de facto-a relativadade

PREFÁCIO

Queria igualmente exprimir o meu apreço pelo empenho dos colaboradores da IST Press, nomeadamente da Dr.ª Manuela Morais e Paula Barruncho, e onde destaco o entusiástico apoio do Prof. Eduardo Borges Pires e o cuidado minucioso do Engº Paulo Abreu no tratamento das figuras e no arranjo do texto. Ao António Faria elogio o harmonioso design da capa. Finalmente, o maior agradecimento vai para a minha mulher, por todos os sacrifícios que suport ou e que incansavelmente me apoiou ao longo dest e projecto. Nuno M. M. Maia Setembro de 2000

X

NOTA HISTÓRICA

NOTA HISTÓRICA

1.1

OS ANT IGOS

A Mecânica é a disciplina mais antiga da Física. Desde a Antiguidade que os sábios se interrogavam sobre os movimentos, nomeadamente os dos corpos celestes, bem como sobre o equilíbrio de forças. Coube aos filósofos, como Aristóteles (384-322 a. C.) o desenvolvimento do pensamento relacionado com a movimentação dos corpos, quer quando lançados, quer em queda livre. Avançaram-se os conceitos de movimentos nat urais e violentos. Naturais os que t inham a ver com a procura (natural) do estado de repouso; violentos quando ligados a acções externas, como o lançamento de uma pedra ao ar, embora aí houvesse também uma parte natural, correspondente ao período de queda. Naturais eram, ainda, os movimentos dos planetas. Aristót eles compreendeu a composição de forças e aproximou-se mesmo da noção de força centrífuga, mas praticamente não eram estabelecidas quaisquer leis; as deduções eram baseadas no raciocínio filosófico, a maioria das quais dando origem a julgamentos errados, que no ent anto ninguém ousava questionar e que prevaleceram durante séculos como correct amente formulados. Fazia a distinção entre o mundo celeste (constituído pelos ast ros) e o mundo "infralunar", que é o nosso, abaixo da Lua. Esta estabelecia a fronteira ent re os dois mundos, e o facto de ter "fases" era a prova da sua nào total perfeição. No mundo celeste, as coisas eram "incorruptíveis", eternamente iguais a si próprias. Os movimentos eram perfeitos, circulares e uniformes; o mundo "infralunar" era constituído por coisas mutáveis, "sujeitas à corrupção", onde apenas exist ia uma ordem imperfeita, por vezes caótica. Aristóteles acreditava que um corpo em movimento rectilíneo parava-não por causa do atrito - mas porque a "força motriz" se ia esgotando. Pensava-se que para existir um movimento rectilíneo uniforme era preciso haver uma força a actuar constantemente o corpo. Se a força cessasse, aquele parava. Colocava-se então a questão: como é que um corpo que cai pode acelerar? E a resposta era: porque em cada instante ele recebe uma nova impulsão, fornecida pelo ar que se precepita atrás dele. Isto é, o ar em vez de travar o movimento, acelerava-o. Consequentemente, no vazio, os corpos cairiam com velocidade uniforme! Julgava-se que existia uma relação directa entre força e velocidade. Aristóteles afirmava que um corpo n vezes mais pesado do que out ro caía n vezes mais depressa. Havia muitos outros erros e lacunas; por exemplo, não existia a mínima noção de pressão atmosférica e quando a água subia num tubo por aspiraçào dizia-se que era por "horror ao vazio". Não existia ainda a ideia correcta de massa, muito menos da distinção entre massa e peso. Por incrível que possa parecer, a larga maioria destas ideias manteve-se até ao século XVI. Progressivamente, outros conhecimentos foram trazidos pelos antigos gregos, principalmente no campo da matemát ica e, em particular, da geometria. Nomes famosos dessa

3

A ÉPOCA DE G

I,ILEU

época são os de Tales a. 580-509 a. e Euclides 1 . Todos os desenvolvimentos da mecânica tiveram por base a geometria de Euclides (ou EucliFoi preciso esperar mais de dois mil anos para ver surgir novas geometrias, . As dos gregos com particular destaque para a de Riemann na mecânica manifestaram-se mais no desenvolvimento da estática e da hidrostática, que vieram a ter um avanço significativo com a. . Para além da alavanca e no de contribuições noutras áreas, mecânicos. Era a estática -,.-.. ~-~-· seu tempo concebeu cerca de Contudo, a cinemática e a dinâmica tinham ainda um longo caminho a percorrer.

1.2

A ÉPOCA DE GALILEU

As especulações dos Antigos, e dos Gregos em particular, à estática. Foi com Galileu (1564-1642) que as leis da dinâmica começaram a ser convenientemente formuladas, podendo-se afirmar que é ele o fundador da dinâmica. Para além da mecânica, as contribuições de Galileu para a ciência foram inúmeras e particularmente importantes na óptica e na astronomia. Graças aos aperfeiçoamentos que conseguiu na construção de telescópios (que atingiam ampliações de trinta vezes), foi-lhe possível descobrir novos corpos celestes, nomeadamente satélites de Júpiter. Teve enormes problemas com a Inquisição, por defender a teoria de Copérnico (1473-1543), o que na época era considerado uma heresia. É curioso referir que, aproximadamente na mesma altura, Kepler (1571-1630)-na Alemanha-apresentava as suas leis, confirmando a teoria de Copérnico. Foi no entanto na mecânica que Galileu ficou mais famoso, começando por contestar as seculares e praticamente sagradas conjecturas de Aristóteles. Diz-se que, ao observar os lustres da catedral de Pisa, Galileu terá verificado que quer os grandes quer os mais pequenos (com o mesmo comprimento de suspensão) oscilavam com igual per:íodo. Compreendendo que na fase descendente a oscilação correspondia a uma queda, apercebeu-se de que corpos mais pesados ou menos pesados deveriam cair igualmente depressa, ou seja, que o peso não teria influência na velocidade de queda. Chegava também a esta conclusão raciocinando da seguinte forma: imaginando um corpo dividido em pequenas partes, estas cairiam todas ao mesmo tempo; logo, um corpo grande deveria cair tão depressa corno um pequeno. Realizou algumas experiências para confirmar as suas conjecturas, nomeadamente quando deixou cair da torre de Pisa pesos distintos. Realizou ainda experiências de queda de corpos ao longo de planos indinados, a fim de retardar o tempo de queda e assim facilitar a sua medição. 1 Desconhecem-se

as datas correcta.s de nascimento e morte de Euclides. Sabe-se que terá nascido por volta do ano 300 a. C. 2 A geometria de Riemann foi a adoptada por Einstein (1879-1955) no desenvolvimento da teoria da relatividade generalizada.

4

NOTA HISTÓRICA

Uma das maiores ucu."v'º"' de Galileu foi a introdução do conceito de Concluiu que uma força "''·"·'"'º'"°' a um corpo lhe causa uma de ve10c:m.aa1e, embora não seja necessário haver força para manter um movimento linear uniforme. É a lei de inércia de Galileu. Como se referiu, na expe1ne1uc1a ou, no mínimo, também Galileu se baseou muitas vezes mais no racíoc.íni.o do que na experiência para º"'"'"''"cu os seus resultados fundamentais. Na dificilmente seria possível concretizar urna que verificasse o raciocínio teórico por detrás da lei da inércia. A sua lei resultou simplesmente do seu pensamento: suponha-se um corpo que é "'"''"ª''°'v sobre uma superfície horizontal com uma determinada velocidade inicial. Ao fim de um determinado tempo, o movimento necessariamente cessará, devido ao atrito entre o corpo e a superfície. Se imaginarmos que o atrito diminui (por exemplo, oleando a superfície), então o corpo deslizará durante mais tempo. No limite, se conseguíssemos atrito nulo, o corpo manter-se-ia indefinidamente em movimento, que seria uniforme. Nenhuma experiência poderia conduzir à conclusão de que um corpo quando não está sujeito a qualquer força mantém o movimento uniforme.

1.3

NEWTON E ALGUNS CONTEMPORÂNEOS SEUS

Galileu supunha que todo o movimento se podia estudar em qualquer referencial, mas Newton (1643-1727) 3 compreendeu que isso não era verdade em dinâmica, passando a admitir um referencial (dito de inércia ou inercial) onde a lei da inércia seria válida. Esse referencial teria que estar em repouso ou em movimento uniforme em relação a um espaço fixo. A existência de um tal referencial implica que, se supusermos dois referenciais em movimento uniforme, um em relação ao outro, se um deles for de inércia, o outro também o será. Consequentemente, se a lei da inércia for válida num, também o será no outro. Esta é a teoria da relatividade clássica, que nos livros é muitas vezes atribuída a Galileu por uma questão de homenagem ao homem que compreendeu a importância da aceleração e "abriu o caminho" a Newton. Na verdade, a teoria da relatividade clássica é muito mais (se não totalmente) de Newton. Era no entanto necessário encontrar um referencial absolutamente fixo, um espaço de referência absoluto. Newton propôs esse referencial, como ele dizia, às estrelas fixas distantes. Se aquele então existirá urna infinidade de referenciais de inércia. 3 Normalmente,

a data de nascimento de Newton é dad.;: como 1642, exactamente o ano da morte de Galileu. Na verdade, Newton nasce no ano seguinte (de acordo com a actualização das datas de ambos para o actual calendário Gregoriano, que entrou em vigor em Outubro de 1582, mas só foi adoptado em Inglaterra no século

5

NEWTON E ALGUNS CONTEMP ORÂNEOS SEUS

Se um referencial tiver aceleração, como por exemplo um referencial associado a um veículo que está a acelerar, ou ligado a um carrossel a rodar, a lei da inércia deixa de ser válida e há que "compensá-la" com outras forças, como as centrífugas e de Coriolis (1792- 1843), embora se possa reduzir a expressão à mesma forma força igual à massa vezes a aceleração, pois o que se faz é alterar a expressão da aceleração, incluindo mais termos. Um referencial absolutamente fixo como o proposto por Newton provavelmente não existirá, pelo que temos que procurar uma alternativa suficientemente satisfatória. Um referencial excelente será um colocado no Sol. Outro, embora menos bom, será um ligado à Terra. Não sendo perfeito, uma vez que roda e se desloca não uniformemente, é aceitável para a maioria das aplicações em mecânica, sem ser necessário ter-se em conta as forças centrífugas ou de Coriolis, já que o movimento da Terra é lento e as acelerações normalmente desprezáveis face à aceleração da gravidade. Há casos, porém, em que se nota alguma influência da rotação da Terra, como por exemplo nas forças de erosão nas margens dos rios, dado que as massas em jogo são enormes. Um caso intermédio entre os referenciais da Terra e do Sol é o proposto por Kõnig (1712- 1757) com centro na Terra e eixos apontados para t rês estrelas fixas distantes. O desenvolvimento da mecânica pôde contar com a importante contribuição de Huygens (1629- 1695), contemporâneo de Hooke (1635- 1722), Newton e Leibnitz (1646-1716), nomeadamente na aplicação do pêndulo na regularização do movimento dos relógios, até então muito imprecisos. O mérito do seu invento foi muito reconhecido, embora a sua "paternidade" tenha sido algo disputada. A aplicação da mola em espiral nos relógios é também da sua autoria, embora a ideia original da utilização de uma mola de aço para regular o movimento já pertencesse a Hooke. Huygens publicou muitas obras, em vários domínios, incluindo a astronomia (em particular sobre os anéis de Saturno), a teoria dos choques, a mecânica de fluidos, a ópt ica, a teoria da luz e as matemáticas puras, nomeadamente na área da geomet ria. Inventou a curva cicloidal, que Jean Bernoulli (1667- 1748) mais tarde mostrou ser a curva braquistócrona, isto é, a curva de menor tempo de descida entre dois pontos. Jean Bernoulli propusera este problema, que foi resolvido independentemente por Leibnitz, Newton, L'Hôpital (1661- 1704) e ainda pelo seu irmão Jacques Bernoulli (1654-1705). Os irmãos Bernoulli tiveram Leibnitz como mestre e mantinham o hábito de disputar entre si a resolução de problemas difíceis. Huygens formulou ainda a teoria da força centrífuga e inventou o pêndulo baseado naquela força, que em vez de oscilar num plano, oscilava ao longo de uma superfície cónica. Também Hooke reivindicava esta descoberta, que levou à conclusão de que a Terra não era perfeitamente esférica.

6

NOTA HIST

R

A

Neste é interessante fazer uma referência às designações que foram sendo atribuídas às várias "''"''"""'"" físicas da mecânica. Galileu chamava momento ao clara do peso, uma vez que para ele nào existia a e Descartes chamava-lhe quantidade de movimento. esta última designação. viva ao produto da massa quadrado da por vµvu,,'to·rn Belanger propôs chamar viva a viva a , tendo ainda por impulsão o produto da força pelo tempo. Coriolis chamou trabalho ao produto da força pelo deslocamento. Para Huygens (e também Leibnitz) a verdadeira devia ser determinada em função do tendo sido o a medida da embora não usasse estas expressões. fazer a equivalência entre trabalho e 1

Enquanto GaHleu e Newton falam da força como entidade primordial, Huygens o trabalho, sendo a força o Hmite do trabalho em relação à variação do deslocamento. Newton utilizou quase exclusivamente os conceitos de força, massa e quantidade de movimento, enquanto Huygens usava o trabalho, a massa e a força viva. Newton, Huygens e Jean Bernoulli foram os primeiros a notar a distinção entre peso e massa, mas foi Newton quem definitivamente tornou claro o conceito de massa.

É curioso pensar como hoje todos estes conceitos e definições são claros para nós e no entanto levaram séculos até serem perfeitamente definidos. Para explicar a diferença entre peso e massa basta fazer notar que um mesmo corpo tem pesos diferentes na Terra e na Lua, devido à gravidade ser diferente, mas que para o pôr em movimento, empurrando-o para que adquira uma certa aceleração, é necessário aplicar a mesma força quer na Terra quer na Lua. Todos os físicos e matemáticos atrás referidos e tantos outros que será impossível citar nesta curta nota foram contribuindo nas mais diversas áreas para o avanço da mecânica, quer através da teoria quer das aplicações. No entanto, aqueles que marcaram de forma mais decisiva a mecânica clássica foram, sem dúvida, Arquimedes, Galileu, Newton, Huygens, D'Alembert (1717-1783), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813) e Hamilton (1805-1865). Voltemos a Newton, para referir mais em particular as suas valiosas contribuições. Newton deteve a cátedra de Matemática em Cambridge, no Trinity durante 30 anos. a abandonou, foi eleito presidente da Society London. Os seus trabalhos mais importantes são nas matemáticas, astronomia e apesar dos seus estudos abrangerem áreas tão diversificadas como a química, a electricidade, a l'.''"JlU'l'.H:t, a meteorologia e o magnetismo.

NEWTON E AJ~GUNS CONTEMPORÂNEOS SEUS

A sua obra mais conhecida é o livro Naturalis ,,~~u.~~·~~ em que o seu nome começa a ser célebre, espectral da luz embora as suas ideias neste nos trabalhos sobre a domínio tenham sofrido considerável por brilhantes Huygens e Mariotte A de uma mas que degenerou em a universal. Na verdade, os estudos dos movimentos e a ideia da existência de forças de entre os corpos celestes remontam mesmo aos Antigos, como nuia'"'ª"'vi. e Pitágoras. Mais e se o peso de um corpo a este assunto era muito também se deverá continuar se manifesta junto à superfície da Terra e numa a manifestar, embora com intensidade até à Lua; esta, sem a atracção sendo a Terra por fazê-la terrestre, "fugiria" segundo a tangente à sua "cair" constantemente. As "primeiras versões" da lei da gravitação universal começaram a surgir, mas não apenas devidas a Newton. Outros contemporâneos seus disputaram com ele e entre si a originalidade da descoberta invenção, como se de urna lei satisfatória para a atracção universal. Foi o caso de Wren (1632-1723), Hooke Society London decidiu e Halley (1656-1742). Depois de alguma polémica, a (com a anuência de Newton) que cada um deles as teria desenvolvido separadamente. No entanto, Newton era muito rigoroso, como é evidente no seu livro .. Todos os conceitos, etc., são claramente definidos e é aí que é tais como quantidade de movimento, demonstrada de forma rigorosa que a de atracção entre dois corpos é directamente proporcional às suas massas e inversamente ao quadrado da distância. A lei da gravitação universal ficou definitivamente associada a Newton, que mostra, ainda, que a segunda e a terceira leis de Kepler são consequência da sua lei. Algumas das investigações mais importantes de Newton e que aparecem nos Mathematica dizem respeito a:

-

método de cálculo da órbita de um cometa;

-

movimento de três corpos sujeitos à lei da

-

atracção das montanhas sobre o pêndulo;

-

influência da Lua nas rnarés;

-

teoria da refracção da luz;

rn:n.r:1.nuM Matemáticos da Filosofia Natural . .\la época, chamava-se Filosofia Natural à Física e era comum escrever as obras científicas em latim, língua de muito ampla divulgação e conhecimento. A língua inglesa tinha pouca expressão. 5 Anaxágoras viveu no século V a. e.

N

TA HI

T

R

CA.

-

determinação de uma fórmula para a velocidade do som no ar;

-

resistência sofrida por um corpo ao evoluir num tendo uma lei. Também Galileu já que a sua lei sobre a queda dos corpos só seria exacta no mas tanto ele como outros não formular uma lei.

No que nos diz mais directamente '°ºQ'"'°'t"' seu dizem respeito a:

-

enunciado preciso e

-

introdução do princípio da acção e reacção.

do

do

de

Com Newton, passou a haver um conhecimento muito mais exacto das relações entre movimentos e forças, isto é, da dinâmica. Na matemática, Newton ficou célebre pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal, provavelmente a maior invenção da matemática. É conhecida a disputa que manteve durante anos com Leibnitz, uma vez que ambos reclamavam a sua autoria. Na altura, a decisão foi favorável a Newton, mas ambos desenvolveram o assunto de forma independente. Na verdade, foi Leibnitz quem mais o desenvolveu. Curiosamente, já se encontram "vestígios" do cálculo infinitesimal com Arquimedes, Kepler, Fermat (1601-1665) e outros, ao tentarem estudar os limites de certas quantidades quando estas tendem para valores muito pequenos. Halley, a que já fizemos uma breve referência, foi um dos mais famosos contemporâneos de Newton, que chegou a astrónomo real de Greenwich. Publicou profusamente, com destaque para 78 artigos nas Philosophical Transactions the Royal Society London, a publicação científica mais importante da época, que teve início em 1665 e continua em publicação nos nossos dias. HaHey tornou-se particularmente famoso por ter calculado a órbita de 24 cometas. Como é sabido, existe um cometa com o seu nome.

L4

D'ALEMBERT, EULER, LAGRANGE E HAMILTON

D 'Alembert foi um dos dentistas mais proeminentes da França do século xvm, tendo mesmo chegado a ocupar o lugar de secretário da Academia Francesa. O seu trabalho mais importante foi o Traité de publicado em 1743, quando tinha apenas 26 anos. É nessa sua obra que ele trata o produto massa vezes aceleração como

9

D'AJ~EM

E

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NG

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MIJLT

N

uma força de inércia ( = e a passa a incluir no -a às outras aplicadas e de O somatório de todas essas forças, as "reais" ( apHcadas e de reacção) e as "fictícias" de inércia) dão a uma "força a zero para que um corpo efectiva" total que terá de ser Ao encarar as de inércia como -se afirmar que D'Alembert trata o Este conhecido por princípio dos trabalhos virtuais à dinâmica, das ligações, e suscitou os trabalhos futuros de Euler, e Hamilton, D 'Alembert, trabalhou na teoria de vide cordas, desenvolvendo a teoria das D'Alembert dedicou-se também a outros assuntos, uns puramente matemáticos, outros ainda nas áreas da hidrodinâmica e aerodinâmica, Aluno de Jean Bernoulli, Euler foi quem mais desenvolveu o cálculo variacional, embora os Bernoulli sejam muitas vezes considerados os seus inventores, devido ao famoso caso da curva braquistócrona, Euler foi o primeiro a propor um método geral para resolver problemas isoperimétricos, em que se procura uma função máxima ou mínima, No problema da curva braquistócrona procura-se a função em que o tempo de descida entre dois pontos seja mínimo; noutros casos pode procurar-se a distância mais curta entre dois pontos numa superfície ou a maior área envolvida por um certo perímetro, De entre várias trajectórias ou curvas possíveis, que diferem umas das outras mas que coincidem nas posições inicial e final, há urna que é a solução do problema, correspondendo à condição de estacionariedade de um funcional (função que define o problema, ela própria englobando todas as funções possíveis), Os problemas isoperimétricos propostos por vários físicos e matemáticos nos séculos xvn e xvm foram o motor do desenvolvimento do cálculo variacionaL Hoje em dia referimo-nos não a problemas isoperimétricos, mas sim a problemas de optimização, Euler foi o matemático mais "produtivo" de todos os tempos, contando-se mais de 800 livros e manuscritos, tanto em matemática pura como em obras escritas, entre aplicações a praticamente todos os domínios da Física, Trabalhou na Academia de Sampetersburgo de 1725 a 1741 e na Academia de Berlim de 1741 a 1766, tendo então regressado a Sampetersburgo onde ficou até à sua morte, Nesta última fase, já cego, ajudado pela sua fantástica memória, continuou a publicar, ditando as suas A importância da sua obra levava (17 49-1827) a referia-se a Euler como "o mestre de todos nós",

6 Filho

de Jean Bernoulli,

10

N

TA HIST

RICA

Lagrange foi professor de Matemática na Escola de Artilharia de Turim, aos 19 anos. De 1766 a 1786 viveu em Berlim e onde foi na École Normale Os seus trabalhos foram no cálculo de e na École analítica e aplicado à dinâiniciado por Euler, tendo-o desenvolvido de forma mica. Estudou também soluções de equações algébricas, teoria dos números e teoria das ª"''"''"º analíticas. A sua obra mais conhecida e mais completa é a magistral ~ .. ~~~~ em cem anos dos M athematica de Newton. A mecânica de Newton era puramente geométrica e os métodos a ela associados dizem-se sintéticos. os métodos se baseiam no cálculo, uma diz-se analítica (temos, por exemplo, a geometria analítica). Hoje em dia chama-se vectorial à mecânica newtoniana e analítica à mecânica lagrangiana. Lagrange foi o analista por excelência do século xvm. Na sua obra, a dinâmica é abordada exclusivamente através do cálculo, não contendo uma única figura, como ele ~v.r.~·r·~ faz questão de realçar, no seu prefácio. Como já foi referido, inspirou-se essencialmente nos trabalhos de Euler sobre cálculo variacional e no princípio de D'Alembert, que lhe foi fundamental. A dificuldade de aplicação do princípio de D'Alernbert reside no facto das coordenadas físicas escolhidas para definir o sistema não serem todas necessariamente independentes e, consequentemente, os deslocamentos virtuais a elas associados também o não serem. Ao desenvolver o conceito de coordenadas generalizadas, conseguiu uma formulação muito mais geral. Lagrange introduziu também factores multiplicadores (hoje ditos multiplicadores de Lagrange), que permitem calcular as forças de reacção num sistema ligado. Introduziu ainda a notação "ô" para designar a variação de uma quantidade, distinguindo-a da representação "d" que se refere a uma diferencial. Hamilton foi astrónomo real da Irlanda em 1827, com 21 anos, onde se manteve até à sua morte. Os seus trabalhos em Física são essencialmente na óptica e na dinâmica. Na matemática, ficou famoso pelo estudo dos quatemiões. Hamilton procurou deduzir aplicaria as equações da óptica e da dinâmica a partir de um princípio geral, ao o cálculo variacional, a fim de calcular a estacionariedade de uma acção. Na dinâmica, ____ •''"'' o princípio a que chega (princípio de Hamilton-ver Capítulo 4) é efectivamente geral e não apenas para uma classe de problemas. É baseado no cálculo da estacionariedade de um funcional em que intervêm a Lagrangiana do sistema e o trabalho das forças não-conservativas, podendo ser utilizado directamente para a obtenção das equações de equilíbrio dinâmico. De uma forma ainda mais geral, permite a dedução das equações de Lagrange. Naturalmente, os princípios equivalem-se entre si e, portanto, é possível deduzir o de Hamilton a partir do generalizado dos trabalhos virtuais de D'Alembert. São-lhe devidas ainda as equações que ficaram conhecidas como equações de Hamilton e que são formas canónicas das equações da dinâmica (ver Capítulo 5). Com essa formulação, conseguem-se 2N equações diferenciais de primeira ordem, em lugar das N equações diferenciais de segunda ordem de Lagrange. ,,,-----~"·-~·~'M•~-- ~,,

1

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D'

LE

BERT, EULER, L

R

NGE E HAMI

ON

da Dinâmica Analítica não se confinam à Mecânica Clássica. ao à Relatividade, à Mecânica Quântica, ,.,~ •.• ~,,u~·~ do correcto estabelecimento das energias correspondentes. Neste apenas a Mecânica Clássica é abordada. ~., .. ~~~~

12

CONCEITOS FUNDA

ENTAIS

CONCEITO

:;Ll

FUND

MENTAIS

INTRODUÇÃO

A mecânica clássica baseada nas leis de Newton é normalmente conhecida por mecânica intervenientes para o estabelecimento das vectorial, dado que as de estático e dinâmico são do tipo vectorial quantidade de Desta forma, torna-se necessário estabelecer relações cinemáticas e calcular forças de ligação entre os vários corpos que constituem os sistemas. A abordagem de uº'""'ª"·"'"' por outro lado, conduz à chamada mecânica analítica, com a de coordenadas au.,,o.c•uo e baseada nos conceitos de trabalho e Embora mais abstracta, torna-se mais apropriada para o estudo de sistemas mecânicos complexos, uma vez que estes são encarados sob um ponto de vista global, sem necessidade de os separar em vários componentes. Neste livro vamos apresentar uma introdução à dinâmica analítica, onde se mostram as suas vantagens no tratamento de sistemas com muitos graus de liberdade. É, porém, conveniente começar por rever alguns princípios, leis e teoremas fundamentais da mecânica vectorial.

2.2

PRINCÍPIOS VECTORIAL

FUNDAMENTAIS

DA

MECÂNICA

Os princípios fundamentais da mecânica vec'torial são: i) o princípio da inércia de Galileu, ii) o princípio do momentum, iii) o princípio da acção e reacção e iv) o princípio da sobreposição.

2.2.1

PRINCÍPIO DA INÉRCIA DE GALILEU

Este princípio diz que uma partícula, num referencial de inércia, não está a ser actuada por quaisquer forças exteriores, tende a conservar o seu estado de repouso ou de movimento uniforme rectilíneo. Matematicamente, F =O~ v = const., em que se chama a atenção para o facto da constante ser um vector, significando que se mantém não só o módulo, mas também a direcção e o sentido.

2.2.2

PRINCÍPIO DO

momentum

O princ1p10 do momentum, ou da quantidade de movimento (ou ainda, do momento linear), diz que uma força aplicada a uma partícula iguala a taxa de variação no tempo

15

TRABAL

O

isto é, F-~­

- dt -

Para m '-'V'"'"'ª"""' a fórmula passa a ser

dv dt

F=m~=ma

que é uma lei de Newton.

2.2.3

normalmente conhecida por 2ª lei

PRINCÍPIO DA

Diz este princípio que, se uma partícula i exercer uma sobre outra partícula j, , a partícula j exercerá sobre a partícula i uma de reacção Fji igual e oposta1 segundo a linha de acção comum, isto é,

(2.3) 2.2.4

PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO

Segundo este princípio, se existirem várias forças a actuar simultaneamente sobre uma partícula, esta mover-se-á corno se fosse actuada pela soma vectorial de todas essas forças: R=

2.3

(2.4)

TRABALHO

Se uma força F actuar sobre uma partícula, cuja posição no espaço é definida pelo vector :r, e se essa partícula tiver um deslocamento elementar d:r, diz-se que a força realizou trabalho, neste caso um trabalho elementar dW, tal que dW = F · d:r

(2.5)

em que · significa produto interno. dW é, em consequência, uma quantidade escalar e a barra significa que no caso geral se tratar de uma diferencial não-exacta. Cabe, em seguida, fazer-se um parêntesis e discutirem-se as noções de diferencial exacta, .~... ~,.,~, funções de estado e forças conservativas e não conservativas . 1 Note-se

que este princípio é válido tanto em repouso como em movimento.

CONCEIT

DE

S FUNDAMENTAIS

ESTADO,

DIFERENCIAIS

EXACTAS

E

FORÇAS

CONSERVATIVAS

Uma função de estado é uma função que permite definir o valor de urna determinada característica do em estado em que se vu~~'""' independentemente do tipo de que esse sistema sofra entre dois estados diferentes. A variação do valor dessa propriedade um gás que é final do sistema. Considere-se, por pressão para uma A variação de , qualquer que seja a forma como a compressão for conduzida. Se dP for uma v1u·rn,1;au elementar da pressão, a total de pressão entre os estados 1 e 2 será

Diz-se, nestas condições, que dP é uma diferencial exacta, e a propriedade pressão é, ela mesmo, uma função de estado. Suponha-se, em seguida, o caso de um cicHsta que pretende subir uma encosta, de uma cota y 1 para uma cota Y2. A cota genérica y é, uma vez mais, uma propriedade do sistema (considerando o ciclista como um sistema) e uma função de estado, dado que a variação Y2 - y1 não depende da forma como o ciclista evolui de 1 para 2.

Há, no entanto, em Física, necessidade de definir grandezas que, sendo funções de propriedades de um sistema, não são funções de estado. A grandeza trabalho será, em geral, uma dessas funções. No exemplo do ciclista, o trabalho que ele realiza ao subir de Y1 para y2 , embora mensurável, estará dependente do trajecto que ele escolher para efectuar a subida, da direcção e intensidade do vento que se fizer sentir, etc. Neste caso, o trabalho, embora função da propriedade y, não é uma função de estado. Se designarmos o trabalho elementar por dW, teremos: (2.7)

dW não é, pois, integrável e por isso se diz que não é uma diferencial exacta. Representa-se, então, tal como em por dW, Se a força F que actua uma partícula for dada por

F= o trabalho elementar dW definido em

+ será

+ 1 '7

(2.8)

TR

BALH

é da forma:

+

dU=

+···+

é sabido que, sendo U uma função das variáveis qi, q2 , ... , qn, a diferencial total dU é dada por

As expressões e (2.11) são semelhantes. Existe, uma diferença fundamental: na expressão os coeficientes das variações elementares das variáveis independentes são derivadas parciais, em isso pode não acontecer. Em consequência, dU tem uma primitiva imediata, que é a própria função U, enquanto- em geral não existirá nenhuma função cuja diferencial seja dU. dU é uma diferencial exacta, mas dU não o é. Portanto, o Pfa:ffiano (2.10) só será urna diferencial exacta, se

au

au

au

(2.12)

A1 = 8q1 , A2 = 8q2 , ... , An = 8qn

Em qualquer transformação finita entre os estados 1 e 2, a variação da propriedade U, t::.U, será independente do caminho percorrido e dada por

t::.U =

f

2 dU = U2 - Ui

(2.13)

Qualquer caminho que se escolha pode ser imaginado como decomposto em n subcaminhos (1, 2, ... i, ... n), em que no subcaminho i apenas varie qi, mantendo-se todas as outras variáveis constantes (noção de derivada parcial). Por exemplo (ver figura 2.1), seja U função apenas de duas variáveis, x e y, tal que U1 = U(x1, Y1) e U2 = U(x2, Y2). A evolução do sistema de A para D pode ser efectuada através de uma infinidade de caminhos. Consideremos dois desses possíveis caminhos: ABD e ACD. Segundo ABD, sejam ainda AB e BD dois subcaminhos. Ao longo de AB, y = const. = y 1 e ao longo de BD x = const. = x2. Então,

dy Segundo ACD, temos os dois subcaminhos AC e CD. Ao longo de AC, x e ao longo de CD y = const. = y2 . Logo,

+

18

dx

(2.14)

= const. = x 1

CONCEITOS FUNDAMENTA

y Y2

Y1 - - - -

X

1

FIGURA

Sendo dU uma diferencial exacta, os resultados de

e

serão iguais.

Seja, por dU = 5x 2 ydx + variação da grandeza U de A para D,

U

=

= f_dU = {_ (5x 2 ydx +

hBD

+

hB

2, Y1

= 3,

Y2

dx

+ 3xy 2

dx

+ 3xy2 dy)

=

4. A

+

=1x=2

dx

+ 1y=4

dy= 109

y=3

x=l

Seguindo o caminho AC e CD, temos:

U

= f_dU = f_ (5x 2 ydx + 3xy 2 dy) + {_ hcD hc ÍcD =

1=I (5x ydx + 3xy dy) + 2

3y2 dy

2

+

1::

2

20x 2 dx

(5x 2 ydx

+ 3xy 2 dy)

= 83.67

Como se pode observar, os resultados são diferentes, o que significa que dU = 5x 2 ydx + não é uma diferencial exacta. Por dU = + é uma diferencial exacta, cuja primitiva é U = 2.5x 2 y 2 + const. Sendo U apenas uma função de a três dimensões, dado tratar-se de uma

Temos também, que

au

au

dU= -dx+-dy 8x ây

19

(2.16)

H

BALHO

u

y

X

FIGURA 2.2

onde, obviamente, {)U j 8x é para y constante e 8U j 8y é para

X

constante.

Graficamente, dU pode ser visualizado tal corno de ilustra na figura 2.3.

dU

X

= dU' + dU"

(y = FIGURA

2.3

Seja agora: (2.17) Como é evidente, dU coincidirá com dU quando

Ax = 8U

8x

e

au 8y

Derivando estas expressões respectivamente em ordem a y e a x, obtém-se:

8Ax

8

a2 u

8y

8y

8y8x

8Ay ax

8 8x

8x8y

(2.18)

C

NCEITOS FUND

MENTAIS

,a derivada de U em a x e a y é e temos que a necessária e é que as derivadas cruzadas suficiente para que um Pfa:ffiano seja uma diferencial sejam

8Ay 8y

= 8x

A para n variáveis implicaria n - 1 ","'"~ no caso do sistema em que para cada um deles se tem que os

Uma alternativa e muito mais equações de Lagrange para a Lagrange ser deduzidas de um o vez relacionado com o princípio dos trabalhos virtuais em dinâmica. alternativa, bastante e geral, que falaremos nas princípio de Hamilton.

3.3

PRINCÍPIO DE HAMILTON

O princ1p10 de Hamilton é, o princ1p10 mais importante da Mecânica, embora não seja de todo mesmo evidente. Requer reflexão para que se possa o seu significado físico e mesmo o seu enunciado. Imaginemos uma partícula que é lançada 1 , com uma determinada velocidade inicial, da posição 1, no instante ti, atingindo a posição 2 no instante t 2 (ver figura 3. 5). Sabemos que a partícula seguirá uma única e bem determinada (a carregado). y

"'--~2(t,) Yl - - , 1 ( t 1 )

:

FIGURA

fim de facilitar a exposição, mas sem prejudicar a generalidade, supomos que todos os possíveis movimentos se desenrolam no plano vertical xy.

1A

47

PR

CÍPIO DE

:n

MILT

N

3.5 a

que serão descritos na qualquer uma das integral:

é, na mesma '"'"º'-'''"'v Em cada instante no

virtuais ser imaginada em cakulemos o

dt

l=

Concluir-se-á que, de todos os cálculos para as várias efectivamente descrita traço à mais pequeno para aquele integral.

aquele que corresponde é o que dá o resultado

O que o princípio de Hamilton diz é este resultado verdadeiramente extraordinário: a conclusão a que chegámos para o exemplo anterior é completamente geral, é sempre verdade. A trajectória verdadeira é aquela que minimiza o integral

A quantidade

integranda, T - V, chama-se a Lagrangiana e representa-se pela letra L. Generalizando para um sistema de partículas, o princípio de Hamílton pode ser enunciado da seguinte forma: De todo o conjunto de configurações admissíveis que um sistema pode assumir ao evoluir de uma configuração 1 no instante t 1 para uma configuração 2 no instante t2, aquela que satisfaz às condições de equilíbrio dinâmico em cada instante é a que torna estacionário (mínimo) o integral da Lagrangiana do sistema durante esse intervalo de tempo.

Matematicamente, a condição de equilíbrio dinâmico corresponde a

1 t2

(T - V)dt

=ô

L dt

=O

(3.33)

ti

em que ô representa a primeira variação de J. Não se trata de uma minimização clássica das várias funções associadas às várias trajectórias possíveis, expressas pelo integral J, à sua minimização corresponde também uma função, que é a trajectória de equilíbrio. I não é uma mas antes uma função de funções, que se designa por funcional. Estamos, pois, a cákulo da sua Este tipo de minimizar um funcional, o que passa cálculo insere-se num ramo autónomo da matemática, chamado cálculo de variações. Por este facto se diz que o prindpio de Hamilton é um '"'"'"'-·'ij-"'"

48

PRINC ÍP

PR N

I DE

DOS LH 'ALENIBERT.

S VIH.T IS. IN PIO D H

ILT

N

cinética que a integração no tempo dessa medida dinâmico. O de Hamilton ..,"'~'"ª-''"' dos trabalhos virtuais em ucu.iw~a, COJíl.tEimp!::tr o caso estático. nesse caso, T = O e não há que ter em conta a integração no que ôl =O se reduz simplesmente a ôV =O, corno antes vimos Convém aqui discutir um pouco mais a noção de virtual. Por é o significado de e no Para tornar este claro, considere-se apenas a evolução de y no tempo, como está ilustrado na figura em que se representa a "trajectória" 2 real de a traço grosso e uma "trajectória" virtual = + a fino. Enquanto representa a variação somente no instante t, representa a diferencial ao do intervalo de = y( t + e # elementar dt

y

dy

l

2

ôyJ

FIGURA

3.6

Em relação à velocidade, no instante t temos y(t) e em t + dt temos y(t + dt), enquanto no instante t. A variação elementar da velocidade na "trajectória" virtual temos que não terá nada a ver com dy, que será dada por em t será ôy(t) = i/' embora seja verdade que ô(dy/dt) = d/dt(ôy), como y(t + dt) - y(t). Portanto, ôy # se viu em (3.6). Como consequência, temos, por exemplo, que dT e ôT =

#

ôT. Se T =

dT=

Da mesma forma, dV # JV. Num sistema conservativo, como vimos na Secção dE = dT + dV = O, mas como ôE = ôT + dE # ôE e, ôE # O. 2 'Tuajectória

significando neste caso evolução no tempo.

49

M

NC PI

N

~"'L~,CL~

para um sistema conservativo expressa conduz a:

=Ü

Se ôE fosse o seria um absurdo!

o que

fJVU'-'.""'v" compreender Reflictamos um pouco mais no de •• "...... v·~··· mas suponhamos agora um pouco melhor o seu significado físico. Voltemos à figura que a gravítico . Representemos então num gráfico apenas as evoluções de x no tempo (figura 3.7). O intervalo de tempo do percurso é fixo, igual a t2 - ti, e o será a "trajectória" 3 e de que modo deve percurso, também, igual a x 2 -x 1 . variar a velocidade ao longo dessa "trajectória" por forma a que corresponda à menor acelerar muito no início e desacelerar energia gasta? Por exemplo, deverá a muito só no fim? X

x, --~2 XI

--Ir : -li'lGURA

Neste caso,

reduz-se a o!

= OI

:3. 7

óTdt =O. Corno T =

=

mxóxdt =o

significando aqui novamente evolução no tempo.

, oT = mxox e,

V R

N

Tendo em conta que J±

=

por .d x-

xóxdt

dt

coincidem em ti e

que todas as

Como óx é arbitrário, a única

de que

Neste caso, o princípio de Hamilton conduz à 1-1u:>1v1Je" 1 e 2. Nestas outra

que

=o

xóxdt

E se houver um campo seria T = +

=o

sempre nulo é que

x = O.

de velocidade segundo a o resultado é evidente. Qualquer

"""'fü'~º'

I.

Voltemos à 3.5. Nesse caso, a e a energia potencial V= mgy, donde:

cinética

ôT = mxôx +

óV= De

+

=Ü

Atendendo a

+ Como óx e

são

+ para que

x=O ii+g=O

=Ü

nulo terá que se verificar

PRIN

Í

IODE

donde se há uniformemente retardado:

y tem um movimento

X=

vt+

y=-

em que

e

1

+

+

são constantes a determinar a

Eliminando o tempo entre as expressões parábola.

das condições iniciais.

conclui-se que a trajectória real é uma

Como se em cada instante há um compromisso entre a energia cinética e a H-'"""'-"-"-""' de modo a que, ao fim do intervalo de em causa, a diferença entre as duas é mínima. Se a partícula for lançada com mui.ta velocidade inicial, atinge uma altura maior, mas também terá uma maior energia cinética inicialmente. Na posição máxima terá uma energia potencial máxima e uma energia cinética nula. No fim, terá novamente uma energia potencial menor e uma energia cinética maior, como é bem sabido. A energia total conserva-se (na trajectória real). O que acontece é que, para as mesmas condições iniciais, a trajectória só pode ser uma, tal que o equilíbrio exista em cada instante. Se a energia total se conserva em cada instante, é o princípio de Hamilton que traduz o equilíbrio ao longo de toda a trajectória, e o valor do integral I, para a trajectória real, é mínimo. É como se a partícula, em cada instante, tivesse que decidir qual seria a melhor trajectóri.a a seguir. É óbvio que não é assim que o processo se desenrola, antes a partícula "sente" em cada instante quais as forças a que está sujeita e segue o percurso que lhe permite manter-se em equfübrio. Neste sentido, é muito mais "físico" o equilíbrio de forças do que os prindpios energéticos. Estes são mais convenientes, mas não são, geralmente, tão intuitivos, situam-se antes num nível no que concerne ao entendimento mais imediato, embora ainda se consiga explorar o seu sigificado físico, como temos estado a tentar fazer.

3.3.1

Do

PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS AO PRINCÍPIO DE HAMILTON

Como atrás se referiu, o de Hamilton pode ser encarado como a integração no do princípio dos trabalhos virtuais em dinâmica. Apesar de ser um princípio que, por definição, não se é deduzir-se a sua expressão a do ,,.,, ..~.• ,,,,~ dos trabalhos virtuais. Vejamos como:

52

PRINCÍPIO PRINCÍ IO DI.