Números Racionales

 

Números Racionales Resumen teórico:

Es el conjunto formado por todos t odos los números enteros y todos los fraccionarios. Se lo designa designa con la letra “Q”, y se lo denomina conjunto de los “números racionales”. Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. f racción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números. Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.

Adición y sustracción: a b

%

c d 

&

e  f  

'

a .   g :b

 

%

  c .   g :d   g 

 

&

  e .   g :  f   f  

 g   '   mcm( mcm(b,d ,  f   f  )

Multiplicación y división: a  c  e a   c   f   a .   c .   f   . : ' . . ' b d   f   b d  e b .   d  .   e

Potenciación: c

c  a   a     =  c   b   b  

Radicación: c

a b

 

=

c

a

c

b 1

 

Propiedades:

  a  ⋅ b  1ª) 1ª )     c  

n

 

a

n

  = c

⋅b

c

n

n

d

  a       a        a        ⋅    =     b    b    b 

2ª )

c

d

c+ d

          a        a   a         b    ÷   b    =   b 

3ª )

c− d

 

 

c a

4ª )   b

c

  a   5ª )     b 

=

b

−c

 

=

a

  b       a 

+c

Expresiones decimales: Los racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos: • 

Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

• 

Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

• 

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

Pasaje de expresión decimal a fracción: Si la expresión decimal es finita, el numerador de la fracción es el número decimal sin la coma y el denominador, un “uno” y tantos ceros como cifras decimales tenga la expresión.

 

2

 

Si la expresión decimal es periódica, el numerador de la fracción es todo el número sin la coma, menos la parte no periódica; y el denominador es un número formado por tantos “nueves” como cifras decimales periódicas tenga el número y tantos “ceros” como cifras decimales no periódicas.

=

Operaciones combinadas: Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias operaciones aritméticas para resolver. Para obtener el resultado correcto deben seguirse las siguientes reglas: Primero se deben separar los términos y luego resolver cada uno de ellos. Se resuelven las operaciones encerradas entre paréntesis, corchetes y llaves en el siguiente orden: 1) Potenciación y radicación 2) Multiplicación y división 3) Suma y resta Se resuelven las sumas y las restas que separan los términos. Ecuaciones: Una ecuación es una igualdad con incógnitas. Resolver una ecuación, es encontrar el valor de la incógnita que puede estar representada por la letra x o por otra cualquiera. Pueden incluir sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y radicaciones. Siempre hay que empezar haciendo las multiplicaciones o las divisiones antes que las sumas o las restas. Los términos de la ecuación van siempre separados por los signos + ó -.

 

3

 

Ejercitación: 1) Resolver los siguientes cálculos combinados. 2

a) 

3

−

7 b)  

9

c)   −

d  )  )  

3 5

8

−

5 +

4

2

−

11

8 −

7

+

16

3 20

+

4

2 3

12

11

6 −

3 10

3

−

5

3

+

5

+

12

+  2 −

15

5−

e)  

7

+

2

13 6

+

19 12

19 24

11

3 −

=

23

+ − =− 2   1 6 9

9 10 −

−  2 +

−

15

8 3 4

7 12 +

−

+

9 4

3 8

5

−

4

−

11

6

= −

3 5 =

=   1

35 16

7 8

2) Resolver los siguientes cálculos combinados. a) 

b) 

c)  

5 6 2 3 5 3

−

8 4 5 8    63 6     8      2  ∗ −  + ÷  −  +  −  ÷ ∗ = 9   16  5   5    3  35 5 4 3    20  10 2     1  2 1 ÷ ∗  −  + ÷ = −  +   9   3 3   4  5 2 4

÷ −

2     1      1  3  ∗ −  6 ÷ (− 18) − ∗  −    =  −2   4  8 3   4 

÷ −

d  )  )  

    2  3    27      1      1   −    ÷ ∗  −    + 16∗  −    − 5 ÷  −    = 8   3  5   5     2    2 

e) 

3     3      3  7 1     7  2 6 ÷  − ∗  −  + ∗ ÷  −  − = −   2    16  2 3   5  3 4

3) Resolver los siguientes cálculos combinados.

  2   3     4  − 2 a)     ∗  −    3    9 

−

4 81 ∗ 7 16 32 3

b)

 

3

+

  5       2       2      4  5+ ∗ −     +  −    ∗  −    3   9     3    3 

1− −2

 

−

5 9 1 7

=

÷

1

  3       7 

2

  =

13 18

4

 

    c)   − 2 :  3 ÷  

1

−1

 3 

2

 

+

 1 0 ÷ 6   + 7 6 

d )

    1  e)  −    2 

−3

4

 

+ 3

∗

2

4

÷

2

    1      2  + −    ∗−  5   2    3  1

−3

  ∗

    29  7− 3  = 3   3  

+ −3 −

1 125

 

−

  7 −  3−1      3

  =

0

0

  7       3 

−

8÷ 8

−1

1

1

2∗ 52

−3

16

−

8

7

1

∗5

   5   2        2 

+

3  2

2 +

−2   1         = − 17   5   

125

4) Resolver las siguientes ecuaciones. a) 5

12

3 4

4 3

 

11 62  x   ' 8 5

 

 x   %

'

&

 b)

7 5

%

c)

7 d)

 x   %

15

11

'

4

8 1  x   & 5 4

81

34 5

&

5 23  x   ' 3 4

&

'

 

44 3  x 4

 

5  x 6

 

e)

7 & f)

8 5

 

 x   &

3 2

'

9 5

&

9 4

 x  

5

 

g)

3 4  x   & 7 5

2 29  x   & 3 5

'

 

h)

12 5   % 5 6  x

'

93 4   & 5 3  x

 

i)

3 5  x   & 8 6

'

9 9  x   & 7 5

'

7 4

2  x 3

%

 

 j)

9 9  x   & 10 2

 

5) Resolver las siguientes ecuaciones. a)

2 3

4 106  x   ' 5 15

&

&

2 • 5

15 3  x   & 4 2  

b)

8 5

8 4  x   & 3 5

&

:

7 3

3 7  x   & 2 10

'

  c)

12 5

%

8 3

%

4  x 9

•

3 2

'

14 3

&

16  x 15  

d)

17 16

%

7 3  x   & 4 2

:

3 2

'

35   &

3 5  x   & 2 4

•

5 4  

e) 7 4  x   & 3 5

:

4 45

&

28   '

963 20

&

7 4  x   % 3 7

:

5 42

 

f)

 

6

 

3 5

8 3  x   & 3 4

%

5 2

:

7 2  x   & 6 5

'

 

6) Resolver las siguientes ecuaciones. a) 3

1

8 9

3 • 4

&

1

&

24 13

&

1 4  x   % 3 9

 x   '

5 : 2

7 • 5

&

10 21

0

 

 b)

8 3

25  x   ' 22

%

14 7  x   & 3 4

:

7 2

7 6

&

 

c)

17 16

3 7  x   & 2 4

%

3 2

:

5 3  x   & 4 2

35   &

'

•

5 4

 

d) &

122 3

%

4 7

  x &

2 7

:

'

7 x   &

212 3

 

e)

3 8

%

3 5

%

5 7  x   & 2 6

•

8 3  x   & 3 4

:

7  x   % 9 3

:

3 4

'

5 2

'

27 7  x   % 8 12

 

7 2  x   & 6 5

 

f)

g) 33 40

%

&

5 9

'

43 5

&

963 20

&

2 7  x   % 15 12

•

15 2

 

h) 7 4  x   & 3 5

 

:

4 45

&

28   '

7 4  x   % 3 7

:

5 42

 

7