Números de Fibonacci - N. N. PDF

 

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LECCIONES POPULARES DE MATEMATICAS

N, N. VOR033IOV

NUMEROS DE FIBONACCI

 T  Tra ra d u ci cid d o de dell ruso por Ca Carlos rlos Ve Vega ga , catedrático de Matomáticas Suporiores candidato a doctor cu cioncina físico-matemáticas

EDITORIAL MIR   MOSCU

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IMPRESO EN LA URSS, 

1974

H a iichhhckom   n,iMKe

© Traducción al es españo pañol, l, Editorial M ir, 1974

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INDICE Introducción 7 § 1. Propiedades elementales do los números de Fibona Fib onacci cci 10 §relacionadas 2. Propiedades números Fibonacci conde la los T eorí eo ría a do los de número núm eross 34 § 3. Números de Fibon F ibonacci acci  y las fracciones fraccio nes continuas 65 § 4. Números do Fibonacci  y la Geometría Geom etría 79 § 5. Números de Fibonacci Fibo nacci y la Teorí Te oría a de búsqueda 87

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INTRODUCCION

1. En la antigüeda antig üedad d hubo mucho muchoss grandes matemá mat emáticos. ticos. Numerosos logros de la ciencia matemática antigua admiran hoy todavía por la penetración do sus autores y toda perso na culta Conoco los nombres de Elididos, Arqnímcdcs y Horón. Sucedió una época muy distinta para las Matemáticas  y, hasta V i e t a que v i v i ó en el si sigl glo o X V I y matemá mat emátic ticos os más más próximos a nuestros tiempos, en el curso escolar no se men ciona ningún ningún matemático matem ático grande. No es casual, casual, claro est está. á. Las Matemáticas se desarrollaron en esa época con suma lentitud y no dieron científicos de talla. Por eso, tiene aun mayor interés para nosotros la obra «Liber abacci» (Libro del ábaco) escrita por el famoso mate mático mát ico italian itali ano o Leonardo de Pisa conocido más más por su apo do Fibonacci (abreviatura (abrevia tura de filius filiu s Bonacci, o sea sea, hijo de Bonacci). Este libro, escrito en 1202, llegó a nosotros on su segunda variante que data del año 1228. «Liber abacci», voluminoso tratado que contiene casi to dos los conocimientos algebraicos y aritméticos de aquel tiempo, desempeñó un papel notable en el desarrollo de las Matemáticas Matem áticas en Europa Occiden Occ idental tal durant durantee varios siglos. En particular, precisamente a través de esto libro conocieron los europeos las cifras hindúes («arábigas»). El material de «Liber abacci» se explica por numerosos problemas que constituyen una parte considerable de la obra. Consideremos Considere mos uno de ellos, ell os, el e l que aparece en las páginas 123 12 3 y 124 d e l manus man uscri crito to de 1228 1228.. «¿Cuántas parejas de conejos nacen, en el transcurso de un año, de una pareja inicial?» «Alguien metió una pareja de conejos en un lugar, total-

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a mentó cercado de muros para cono co noce cerr cuántas cuánta s parejas de conejos nacerían en el curso de un año si la naturaleza de los conejos es tal que cada pareja produce otra pareja al cabo de un mes y las conejas pueden parir a los dos meses de haber nacido. nacid o. Puesto Pues to que que la p prime rimera ra pareja da descendencia el primer mos, Pareja multipliqúese por dos y resultan ya 1 pare painicial reja ja 2 parejas; de ellas, ellas , una pareja, pareja , la Primer mes primera, produce también al mes 2 parejas siguicnt sigu icnto o de modo que en e l segundo Segundo mes mes resultan 3 parejas; de de ella el las, s, al 3 parejas mes siguiente dos parejas darán des  T  Tee rc e r mes 5 parejas cendencia de modo que que en el tercer Cuarto mes mes nacerán nacerán dos parojas parojas más más y el nú 8 parejas mero do do parojas llega lle gará rá a 5; do do ollas, ollas , Quinto mes eso mismo mes darán descendencia tres 13 pare par e jas parejas y al cuarto mes el número de Sexto mes parejas llegará a 8; de ellas, cinco 21 parejas parejas producirán otras cinco que Séptimo mes sumadas a las ocho darán al quinto 34 parejas mes 13 parejas; de ellas, cinco parejas Octavo mes 55 parejas nacidas ese me mess no darán descenden cia, pero las ocho restantes sí, de modo Noveno mes -84 parejas que al sexto mes resultarán 21 parejas; Décimo mes sumadas a las troce nacidas en el sép 144 parejas timo mes, darán 34 parejas; sumadas Undécimo mes a las 21 nacidas nacid as en el e l octav oct avo o mesr mes r 233 parejas darán 55 parojas; sumadas a las 34 Duodécim Du odécim o mo moss nacidas en el noveno mes, darán 89 pa 377 parojas rejas; sumadas a las 55 que nacen en el décimo dé cimo mes, mes, darán 144 144 parejas; su madas otra vez a las 89 que nacen en el undécimo mes, darán 233 23 3 parejas; sumadas sumadas otra ot ra vez ve z a las 144 parejas pareja s nacidas nac idas en el último mes, darán 377 parejas; esta cantidad de parejas produce la pareja inicial en el lugar dado al cabo de un año. A l margen puede puede verse verse cómo lo hacemos hacemos:: sum sumamo amoss el primer prim er número y el segundo, segundo, o sea, 1 y 2; e l segundo segundo y e l tercero; el tercero y el cuarto; cuarto; el cuarto cuarto y el quinto quin to y así suce sucesi si vam ente en te hasta suma sumarr el e l décimo y el undécim undécimo, o, ó sea, 144  y 233. 233. Obten Ob tenem emos os el número t o ta l de las parojas paroj as mencio men cio nadas, o soa, 377 377.. Y así se se puede hacer en el-m el -mismo ismo orde ordennhasta has ta un númer número o in fin ito de meses.» meses.» ' -i i

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9

2 . Tasemos aliora do los conejos a los números números y conside con side remos la sucesión numérica tíj, u2, . .

un,  . . .,

( 1)

en la que todo término es igual a la suma de los dos anterio res,, es decir, para todo res tod o re > 2 se tiene Un = !¿n !¿n-I -I ~f- u )t_z-  

(2 (2))

Sucesiones de este tipo, donde todo término se determina en función de los anteriores, aparecen frecuentemente en las Matemáticas y se denominan sucesiones recurrentes.  El pro ceso que consisto en el cálculo sucesivo de sus elementos se denomina  pro  proceso ceso recurrente   y la igualdad (2) se llama ecutt'   ción recurrente.  El lector hallará los elementos de la teoría general de sucesiones rocurrontcs en el libro do A. I. Mnvkushévicli («Sucesiones recurrentes», Editorial Mir, 4974). Observemos, ante todo, que la relación (2) no permite por sí sola calcular los términos de la sucesión (1). Se pueden encontrar infinitas sucesiones numéricas diferentes que sa tisfagan esta condición, por ejemplo, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, . . 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, . . ., - 1 , - 5 , - 6 , - 1 1 , -1 -1 7 , . . etc. Es decir, para determinar unívocamente la sucesión (1) no basta obviamente con la condición (2) y es preciso señalar algunas condiciones adicionales. Por ejemplo, podemos indicar los valores de unos cuantos primeros términos de la sucesión (1). ¿Cuántos primeros términos do la sucesión (1) hay que definir para calcular, empleando sólo la condición (2), todos los demás términos? Señalemos prim primeram eramente ente que la rela re lació ción n (2) (2 ) 110 perm permite ite obtener cualquier término de la sucesión (1) porque no todo término de( de( 1) tiene dos precedent precedentes; es; por ejemplo, ejem plo,dolante dolante del primer término no figura ninguno y al segundole segundo le prece do sólo uno. Por eso, para determinar la sucesión (1) debe mos señalar, además de la condición (2), sus dos primeros términos. Obviamente, esto basta ya para poder encontrar cual quier término de la sucesi sucesión ón (1). En efecto, podemos podemos cal ca l cular eíj sumando los valores escogidos para u1  y rea, podemos

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calcular w4 sumando u%  y e l v a l o r ob ten te n ido id o para pa ra u 3,  podemos calcu lcular lar uB sumando sumando los valores valore s obtenidos obten idos para u 3 y ut ,  etc, y «en el mismo orden hasla un número infinito» de tér minos. Pasando así de dos términos consecutivos de la suce sión al térm ino que les les sigue inmedia inme diatam tam ente, en te, podemos lle ll e  gar hasta el término de cualquier índice fijado do antemano  y calc ca lcul ular arlo lo.. 3. Consideremos ahor ahora a un caso caso de especial espe cial impo im portan rtan cia cia:: la sucesión (1) cuando se toma u,  = 1 y u 2   — 1. La condi ción (2), como hemos señalado, nos brinda la posibilidad de calcular uno tras otro todos los términos de esta sucesión. Es fácil comprobar que los trece primeros términos serán los números 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 5 5, 89, 144, 233 y 377 con los quo quo hemos hemos tropeza trop ezado do en el problom prob loma a d do o los conejos. En memoria del autor de este problema, la sucesión (1) con Uj = = 1 se llama sucesión de Fibonacci   y sus términos se denominan números de Fibonacci. Los números do Fibonacci poseen una serie do propieda dess interesantes de interesan tes c importantes importan tes a las que está dedic dedicado ado nuestro nuestro libro. §1 PROPIEDADES ELEMENTALES DE LOS NUMEROS DE FIBONACCI

1. Calculem Calculemos, os, para empezar, la suma suma de los n   primeros números de Fibonacci. En concreto, demostremos que t¿2+ . . • + Ui  4Efectivamente, tenemos

= W«+ «+2 2— 1 •

(!• !)

u¡ — u u3 3— u 2 2,,  u ¿ =   u4 — u 3, U n -l    = U/ i+ l    

Ha   = ^n ^n+2 +2

Upif 

W'fi 'fi+l*

Sumando miembro por miembro estas igualdades, encontra mos W1+ U 2 + . . . + w„ = un+2 — u t    y sólo só lo queda que da rec re c ord or d a r que u t =    1*

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•

 

2. Para Par a la suma suma de los números números de Fibona Fib onacci cci de índices índic es impares se tiene U2n  n - 1 — U2n.  * * I + l * 3 - p U.h 4 * . . . - p U2

(1 -2)

Para demostrar este resultado tomemos ==ii2,

u3  — u4— u2 u2,, k5 = w6— u4, 1*2re-1 re-1— — **2 **2rt

**2n**2n-2-

Sumando miembro por miembro estas igualdades, obtenemos la buscada, 3. Para la suma de los números de Fibonacci de índices pares, se tiene * * 2 “ P U4 +

■ ■ ■ 4 " ** 2 i t =

** 2 « - t - l — 1 -

(1 -3 )

Según el punto 1, 1*1 “P 1*2 1*2 + **3 **3 * P ■ - ■ "P **2re — **2r **2re+ e+2— 2— 1 i 

restando de esta'igualdad miembro por miembro la igualdad ( 1.2), 1.2), obtenemos U z  - | - 1* 4 - p - • . - j - I *2 *2 n — I *2 *2 n + 2 — 1 — *h ' i ~    * *z *z n -i -i l — 1

como queríamos demostrar. Restando, además, miembro por miembro (1.3) de (1.2), encontramos **l — u2   4** lh  — **  4 **i “P ■■■"P **zn-l— ** **2n = — I*2n-1 "P 1■ (1 10 10

1 5 1

1 (» 13 20 15 6 Se acostumbra numerar las filas fil as del del triáng triá ngulo ulo de Pascal ejnpozamlo por arriba y acoplando que la fila fil a superior com puesta por nn sólo uno es la fila cero. Do lo anterior resalla que los términos extremos de cada ana de las filas del triángulo de Pascal son iguales a uno y que todos los demás se obtienen sumando los dos términos respectivos de la fila(1.11) anterior. 13. La fórmula permito obtener de inmediato dos importantes relaciones que vinculan los coeficientes binomi ales correspon corr espondientes dientes a una una misma tila del triángu triá ngulo lo de Pascal.  Toma  To mand ndo o x   = 1 en (1.11 (1.11), ), encontramos encontramos l" ^ t l + a - \- C U - ...- rC " .

Por otro lado, tomando x   = — 1, obten obtenemo emoss o = d _ a + c a + . . . + ( - i ) ,,c s . 14. Demostremos empleando la inducción según n   que

C'.

(1 1.. 2 21 1)

Demostraremos esta desigualdad por inducción. Para n   = 1 ssee convierto en

a ^ a3 — t

ue es, en efecto, lo que ocurre (precisamente con el signo de igual ad). Siendo n   = 2, la desigual desigualdad dad (1.21) significa que

3

« ’ < ( « * - 1>*.

( 1.22)

Esto se puededemostrar puededemostrar realizando c! cálculo directo. directo.Pero Pero también podemos recu recurrir rrir al rresulta esultado do encontrad encontrado o on el punto 17 17:: tenemos a J = 3 a + 2, (a4 -

1)* = (3a - f 1)a = 9a 1 -j- Oa Oa +

l = 15a 15a + 10

 y  y,, por eso, la de desig sigua uald ldad ad ( i . 22) s ig ign n ific if ica a quo 2 y que (1.21) eess válid a; demost demostre re mos quo a 2(>i-L|)3-! ^

2

(a?.n  1  1  _

ij . i+ i

Para ello basta probar quo al aumentar n   en uno, el segundo miembro de (1-21) crece con mayor rapidez quo el primero. Pero es obvio que

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28 el prim or m miem iem br o crec crecee 011 a 411+2 ve veces ces.. E stim st im em os e l cr crec ec im ien to del segundo miembro.  Tene  Te nem m os

( tta n + i > _ ( «* « _ ! )« -Ia

r [

a z n _ i 

J *

La última fracción es mayor quo as ya quo

a2_l •— ■a*2 = a 2n _ i

a2 n + 2 „l_ a2 2n n + 2 _ j_ a 2 a 2 "  —

1

— 

a 2— 1 a 2 n __ l

a 2n-2_|_a 2 n- 4 _f_., . . j . a 2 _|_ _|_ll

> ' a 2n_1

Por consiguiente,

r a 2in+* 2in+*>> — 1  |

a2 n _l

1 

, | > ( a +

\n

a 2 n -l

)

,

- a

a 2”-2 

+ n a 2 n - l

, + • • • ’ 

donde los puntos susponsivos corresponden a sumandos positivos. Puosto que n   > 2,   la última suma es mayor que a 2n   -f- 1. Por eso,

> [ « 2( 2(" +, +,) - 1J a 4n+ 4n+2 2

 y qu ed eda a do dom m os ostr trad ad o e l te teor orem em a.

22. Consideremos Considere mos una clase más de sucesiones sucesiones basadas basadas en los números de Fibonacci. Sea x   un número arbitrario. Calculemos la suma

sn (x)   — u {x   H- u2xz   +

. . . + Un^- 

Para   ello apliquemos, ante todo, la fórmula de Binet: , . S. ( i ) ’  

a -P . a 2 — p 2  7 = -iq  rr— 1/5 1/ b   -------------

= _ L _ 1/5

y

1

'

-I

.

a»-p» 7=---- x n =  V5

---------

( a x + a 2r 2 + . . . + anxn)  —   — 

(P x + P2* 2 + . . . + P " * n) n) .

( i -23)

En tre parénte par éntesis sis aparecen las sumas sumas de dos progresiones geométricas de razones a x   y px. La L a fórmula fórm ula que que so emplea para calcular la suma do una progresión geométrica es apli cable sólo si la razón es diferente del uno. Si la razón es igual al uno, todos los términos de la progresión coinciden  y la suma se c alcu al cula la fác fá c ilm il m e n te te,,

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Por eso, consideremos primero el caso a z ^ 1  y frr ^    1, 1

o sea x ¥ = — =    —6 y x  

II

-p = —a. —a .

Sumando Sumando entonces entonces

las progresiones geométricas que figuran en (1.23), obtenemos . . 1 +2— pn-tl^nH_j_  _j_  a P * 1— ( a + P ) i + 1

't

Reco Re corrdand dando o que a(5 = — 1, cc - f f) f) = 1 y a — f) f) = l/5, tenemos

,  s

1

1 V 5' — ( a " — Pn) z n+Z— ( a ” + l — 0 " + i ) * » + l

5 n W ~ y z   

t- i-ií

 y d e fin fi n itiv it iva a m en te i'-24» En particular, tomando x   = 1, encontra encontramos mos S„ ( 1 ) = U i +

U2 +

. . . +

Un =

— ----  “! !_ ('“ n+1 = U n + 2 —   1

lo que concuerda con lo dicho en el punto 1. Si x   = — 1, tene tenemo moss sn  ( — 1) = U, — U 2  -{- . . . - { - ( — 1)" _1 U„ =  - - i - M

-

( - ■♦' „ ( _ i r »

(véase la fórmula (1.6)). Consideremos ahora los casos casos «especi «esp eciale ales». s». Sea Se a a: a: = — = — 0. Entonces todo término térm ino de la primera primera progresión de (1.23) es igual a uno y la suma do esta pro gresión es n.  Po r otro lado, lad o, la segunda segunda progresión es de ra zón — p8. p8.

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 __________ __________ __________ ______  _   ___________  ______ __________ __________ ______  _ 30 _____ Es decir, 5,1

(T ) = l k

l" “

(P 2 ~ p J + ‘

< ly v t> L

 _

y

1

' + (“

í 'h 'h P 2

f.,

i*'2

5 - f"—

l ) " _1

n i =

-i J "

, / \\n  fl2>*

p

=

Observando qno l/s l + p2* = •2)  +I A p _= 2O+! í - l/  y qno fp i+p* -

h -p 3— 1/& 2  + \ ) ~   r>— y 5 "

5— y i

(5 + y 5) io—2 ys> ( s - y 5) ( s + y s ) “ 20 (3 - V 5 )

obtenemos en definitiva *- ( ^ ) = T T ~

5 I1 ~ 5 + ( - 1>” P2n ' 5 y 2 ~

•



Sea, finalm fin alm ente en te,, a. = -jp. Entonces, Enton ces, en (1.23) es igu igual al a uno la razón de la segunda progresión, mientras que la ra zón de la primera es — a 2.  Tenemos, pues, % , ( ± ) = _ - i^ i( a 2- a ', +

. . . + ( — i ) ” ” 1 a 2” ) -

»1

 y de la misma forma form a encontr enc ontramo amoss ,

( i \ 

\ P /“

1

f

« * - ( - ! ) ■ » a » » *»

y?> 1-

1+a2

 _ _ 1 V 5 L 

obleriiondo, en definitiva, -•>

•

< •-»>

23. Analicem os el comportamiento de sn   (a;) cuando x   se fija y n   crece indefinidamente.

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Pasando on la igualdad (1.23) al límilc según n , obte nemos l l m s „ ( x ) =.- l í m - y r -   [ ( a x + a 2x 2 + n-»co n-»oo y   5

. . . + a " x n) —

- ( p , r - | - p V + . .. . . - | - | V V ’)| = 1 / 5 1í m V = — (a (ax x

a2. a2.r2-I- . . . + a"x")' — 

 _ - L l ü n ( P r + p V + . . . + p V ) . [/o

n-»oo

Aquí en ambos límites nos encontramos con las sumas de dos progresiones geométricas. Por eso, los propios límites repre sentan las sumas de las progresiones geométricas infinitas correspondientes. Pero es sabido que se puede bailar déla suma de una progresión geométrica infinita si, y sólo si, el valo va lorr ahsoluto de la razón es menor que el uno. uno. Las razones razones de nuestras progresiones son ax   y p.t. .t. Puesto qqp ¡ a |> > ,| Pel resulta que queto| ax 1 implica |Px de cir cir, e l|. cumplimien cum plimiento de \< la   desigualdad |ccx|< | < 1.1 Es garan tiza la existencia de ambos límites que en esto momento nos ocupan. Por consiguiente, el límilc lím s„ (x)

(1 .27)

?(-fon 1

.

#

existe si [ x| ■ < —  . Indiquemos esto limite por s   (x). Para calcularlo podemos recurrir a la fórmula (1.24). Observemos con este fin que, como hornos explicado en el punto 20, . a'* a'*

W" < y r + l -

Por eso, lím w „ x n t , < l í m n-*oo

. ,

n-*oo   '

1 ) * w+z

y  

*

= - V

l í m ( a x) x ) " + lím x " +z +z.

y rO -   n- >» v

'

T

n-oo

Puesto que Puesto que |ax |ax |< 1, resulta resulta que que |x |< 1 de modo modo que que ambos límites son iguales a cero. Por la misma razón tenemos l í m U n + i x ""'' 1 = 0 . n-*oo

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32

Es decir, pasando en la fórmula (1.24) al límite cuando n   crece indefinidamente, encontramos s ( x) = lím sn (x)  =  = l n~«*>

n-»oo

—  5  5—

i

r

a

=

i-X —xl 

 —(x — lím lí m Hnxn+ xn+a— lím lí m un+1xntl) = — - — s .

----

n->™ !-* ■ > -* * n r o o   En forma desarrollada este resultado puede ser represen

tado así Uix -) -)-- w^x3-( -(-- • • • + unxn-junxn-j- . . .

= j

x _ x2 • (1-28)

Dando a la variable x   unos u otros valores, obtendremos diferentes fórmulas concretas. Por ojcmplo, tomando x =  = —   , encontramos que  J Í L _ l - Ü Í _ l 4 . Ü 2. J . _ 2 + -22 ' ' ’ ‘ + 2" ' ' “

2

24. L a fórmula fórm ula (1.28) (1.28 ) se puede obtene obt enerr basándos basándosee en otros razonamientos. Consideremos la expresión u,x u, x - f u¿r2 u¿r2 +

. . . - f unxn   +

...

= s  (x)

(1.29) (1.29)

^sin ^s in olvida r que tiene senti sentido do sólo sólo para |37 |371< ~ ) y multi pliquemos ambos miembros por x   y por x 2: utx2 ut x2 - f u2x3  -f- . . . + un unxrt+1 +

. . . = xs  (x),   (x), (1.30)

UtX3  + U2X*4X* 4- . . . + tí„X,U2-) tí„X,U2-)--

. . . = X2S ( x ) . (1 (1.3 .31) 1)

Restand o de la igualdad (1.29) ambas Restando ambas igualdad igua ldades es (1.30) y (1.31) y reduciendo los términos semejantes, semejan tes, obtenemos

u¡xx + ( u2-~Ui) u¡ u2-~Ui) xz xz + ( u 3— U i~ U i)  x3  x3 + + ( » * — »3 — h h2 2) x 4 +

. . . + ( u „ — u „ _ i —  U n. 2 2)) x n +     . . . =

= ( 1— 1 — x — x 2) s (x (x ) . Es obvio que en el primer miembro resultan iguales a cero todas las expresiones comprendidas en los paréntesis y, por eso, esta igualdad significa que

x   = (1 — x  —   — x2) s (x), de donde so desprende (1.28).

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33

25.Hasta 25.Has ta aquí hemos hemos aceptado que que el índice n   del nú mero deFibon deFibonacci acci u„ es un número número entero posi po sitiv tivo. o. Pero Pe ro la ecuación recurrente principal que determina los números de Fibonacci puede ser escrita así Wn-2 = U-n  — Mn.i n.i

(1. (1.32 32))

permitiendo expresar los números do Fibonacci de índices menores a través de los números de índices mayores.  Tom  To m an ando do en (1.32) (1.3 2) sucesi suc esivam vamen ente te n   = 2, 1, 0, — 1, . . ., podemos ver que « 0= 0,

u_i = 1,

w_2 = — 1,

h_3» 2,

en general, es fácil persuadirse (compruébese) de que ( - l ) " +,i/„.

(1.33)

Esta sencilla expresión permite reducir todos los proble mas relacionados con los números do Fibonacci de índice entero ent ero arbitra arb itrario rio a problem problemas as donde se se manejan números do Fibonacci corrientes (de índices naturales). Po r ejem plo, para para hallar la suma suma de los n  «primeros   «primeros hacia atrás» números de Fibonacci u -i -i + u _ j +

. . . + u _„

basta representarla, basándose en (1.33), así

u ¡ — u2  -{ -••• -•• • "P ( — 1) ” 1ll lln  n   y recordar recor dar la fórmu fór mula la ( 1. 6)

U-i  Ui  -)-)- tX_2+ • • • + U_n = ( — l ) " n

-f-f- 1 «= — U .n+ .n+j + 1.

Basándose en (1.32), todo razonamiento inductivo do t i p o «d «d e n y d e « - p l a n - | - 2» reforen te a los números de Fibonacci se puede realizar según el esquema «de n   y de n   — 1 a n   — 2». En particu part icular, lar, así así se se demuestr demuestra a sin d if ifi i cultad que la importante fórmula (1.8)

Un+m  —  — Un-fUm*!' es válida para todos los números enteros n   y m. 26. Las La s fórmulas principales para para « y p a " +a = a " + a n+1

y

p"+s p"+s = p,l + pn+1,

demostradas para los valores enteros positivos de n , son vá lidas para todo valor entero de n   (subsisten incluso para los 3 -0308

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 ______  ___ ______ ______ _______ _______ ______ ____  _  M  ____  ________ ________ ________ ________ ______  __  víi)ores fraccionarios do n,  pero no nos detendremos en ello). Do aquí es fácil deducir que la fórmula de Binet

an—  an — (h> w» = ■ 1 /5 tiene lugar para lodo valor entero de n. Observemos, para concluir, que el resultado del punto 17 también se puede demostrar (por inducción «hacia atrás») para los valores negativos del índice: c r !1--= «.na «.na +

(1.3 (1.34) 4)

Podemos expresar esla igualdad también así ( - i r pn pn- ( - ! ) " « » j M

- i ) " ««* .,

o sea, Además, podemos representar (1.34) en la forma a - ’1 ’ 1 -i ( _ I )" ) " - » Una 4 . ( —  l  l ) “ « n+it es decir, ( — 1)" v r "   — ií„t i — u„a   o, en otras palabras,  J S j U _ a „ ( _ i ) « a - »

*

(1.35)

§2 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS DE FIBONACCI HELACIONADAS CON LA TEORIA DE LOS NUMEROS

1, Consideremos ahora algunas propiedades de los nú meros de Fibonacci relacionadas con su divisibilidad.  Teor  Te orem em a. S i n ex divisible divi sible por p or ni, también un es divisible  div isible    po  p o r um. Demostración. Supongamos que n   es divisible por m, o   sea, que n   = mk.  Basaremos la demostración en la induc ción según k. Para k —   1 se tien tienee n — m  y   y es evidente que u n   divisible por u,„.  Supongamo Supon gamoss ahora que umJ¡ es div di v is isib ible le por um 

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 y consideremos consid eremos « m th+lv   Per Pe ro wni(fe+li i(fe+li = um/ um/H m    y, en virtud de (1.8), ^ mih f I; I; =

Es evid ev iden en te que um divi di vide de el e l prime p rimerr sumando sumando del segundo segundo miembro. El segundo sumando es múltiplo de umn, o sea, también es divisible por u m   según la hipótesis inductiva. Do aquí se desprende que la suma de estos sumandos, o sea, ttmn+ix es divisible por um.  Hemos Hemo s demostrado demostrado e l teorema teorema.. 2. Tomemo Tom emoss ahora un número m.  Si existe un número do Pibonacci w„ divisible por m,   habrá infin in finito itoss números números do Fibonacci con esta propiedad, por ejemplo, además de un,  los números u^, usn,  í¿4„, . . . Es interesante, por eso, conocer si, dado un número m,  existe al menos un aiúmero de Fibonacci divisiblo por Resulta que sí. Sea A el resto de de la divi di visió sión n de k   por m.  Consideremos la sucesión formada por los pares de restos de la división de los números de Fibonacci por m:

(ut,  üa),

(u (u2 2, u3) u3) ,

(u 3,  u4),

(íí„ (í í„ , ü n4.j> .j>, . . .

( 2.1 2. 1)

Ace ptando Acepta ndo que dos pares pares (a!, iq> y 1. Localicem Local icemos os en (2.1) un par (ñ/ (ñ/, hj+i> ( í > k)   igual al par (tik, (tik, ). Puesto Puesto que que = «j+ i —  — u¡ u¡,,  = uh+1 — uh,  ñ,+i ñ,+i = ñ h+ i   y ú ú¡¡ = üh üh,,  resulta que también tamb ién son iguales iguale s los restos de la div divisi isión ón de y de i por po r m, o sea, — ük~i-   De aquí so deduce que también ñ j,) = (ñ ( ñ j_lt j_ lt ñ/); pero pero en la suce sucesi sió ón ( 2.1 2.1)) el par (»3*_l( üh )   precede al par ( « * , lu lueg ego, o, (t¿ (t¿ft, ft, ü|t+1) no es ol  p  pri rim m e r   par repetido y como esto contradice nuestra hipótesis resulta que no puede ser k   > 1, o sea, sea, que que debe debe ser k —   1 . Po r consiguiente, (1, (1, 1 ) es es el prim p rimer er par que que se repite rep ite en la sucesión (2.1). Aceptemos que se repite en la í-ésima 3*

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possición (como po como hemos expl explic icad ado o debe ser l < í < m 24- 1)* { « , , ñí ñ í+1) = ( i , i )).. Eslo significa que u¡ y u(+1, divididos por m,  dan 1 como resto. De aquí a quí se desprende desprende que la difer dif eren encia cia de estos núme ros es divisible por m.  Pero « 1+1 — Ui  =  = u¿_  resultando así que el número resultando número de Fibonacci Fibon acci es divisi div isibl blee por m. Hemos demostrado de esta forma el teorema siguiente.  Teor  Te orem em a. Cu Cual alqu quier iera a que sea el número entero m, entre   loss tn lo tn2 2 —   1  pri  prime meros ros números de Fi Fibo bona nacc ccii habrá a l me meno nos  s   uno divisible por ni. Subrayemos que este teorema no dice nada acerca do qué   número do Fibonacci será divisible por ni. Sólo deja constancia de que el primer número de 'Fibonacci divisiblo por ni no debo ser muy grande. Más adelante volveremos a este problema. Puesto Pu esto que (1, 1 ) es el prim p rimer er par repe re peti tido do de la suce sión (2.1), resulta que la sucesión de restos se repite a par tir de ú t, o sea, que esta sucesión es periódica. Por ejemplo, s i tn   = ó, el e l período per íodo de la sucesi sucesión ón do restos os 1, 1, 2, 3, 1, 0.

(2 (2.2 .2))

En este caso la longitud dol período es igual a 6. Por consi guiente, si n   es Qk   + 1, 6fc + 2 ó Cle   + 5, el e l rost rosto o de la división de un   por ó es 1; si n   es G/c -¡- 3, o l rest re sto o es 2 y , si  es Gk   + 4, el resto os os 3. n  es de números gran interés el estudio odosea, la naturaleza tica3.doEslos do Fibonacci, el estudio aritmé do sus divisores. Demostremos que siendo n   un número compuesto distinto de 4, el número un   es compuesto. En efecto, para tales n   tenemos n   = HiHj, donde onde 1 < < < n   y 1 < n 2  < n   si siendo endo,, además, « [ > 2 ó ns > 2. Supongamos, para concretar, que nr >   2. Del teorema ante rior resulta entonces que un  es divisible por unl con la parti culari cul aridad dad do que que 1 < « nl < u„ y esto esto significa que que es un número compuesto. 4. Antes de continuar el estudio de los núm número eross de de Fib o nacci, veamos con el lector algunos resultados elementales de la Teoría de los números.

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Expliquemos primero el proceso de determinación del m áximo áxi mo común diviso div isorr de dos dos núm númer eros os a y b. Efectuemos la división entera de a  por   por b.  Sea g0elcocien te y sea r, el resto:

a ~ bq0    + rx, rx, d do onde O ^ r4< b. Fijóinosnos en que para a   < b   se tiene q0   = 0. Dividamos ahora b   por r t   determinando el cociente qí    y el resto r a: b   = r1ql   -f- ra, ra, dond dondee 0 ^ r2 < r ,.  Puesto que r j < b , debe sor q¡  0. D ivid iv idie ien n d o despué despuéss r¡ por r 2, en contraremos q 2 # 0 y r3 tales tales que que rx = qlrt   + r 3 y 0 ^ r 3 < r 2. Procedamos Procedamos de est estee modo modo mientras mientras se pue pueda prolongar el proceso. Este proceso, tarde o temprano, deberá interrumpirse ya que todos los enteros positivos ru   r2 r 2, r „ . . . son son dis distin tintos tos  y menores que í>; luego, lueg o, la cantid can tidad ad de estos estos números no pasa de ó y el proceso deberá concluir no más tarde del b-ésimo paso. Puede interrumpirse sólo si una de las divi siones resulta exacta, o sea, si el resto correspondiente resul ta igual a cero y no se puede dividir ya por él. El proceso descrito se conoce como el algoritmo de Eucli-   des.  Aplicándolo a los números a   y b, obtenemos la siguien te sucesión do igualdades a = bg 0 + r i ,

b = r , q { + r z, r i = r & + r 3, .....................

Dl-S—

r  n - t ? n -l- l +

 

(2-3) r ni

Ffi-1 “ t'nQn*  Consideremos el último término diferente de cero do la sucesión a,  b, r t, or2, or2, . . r„. r„ . H abla ab land ndo o en términos térm inos gene gen e rales, ésto será el resto rn) pero, en particular, también po drá ser el número b  (para   (para conseguir la uniformidad, podomos aceptar que que b = r„). Es evidente evide nte que que rn   divide rn_j. Tome mos ahora la penúltima igualdad (2.3). Ambos sumandos de su segundo miembro son divisibles por r„ de modo que r n   divido también r„_j. Podemos comprobar sucesivamente de la misma forma (jinducciónl) que r„ divide rn_9, rn_4, , . .  y* finalm fin almen ente te b   y a. Por lo tanto, r„ es un divisor común de

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a   y b.  Demostremos nhora que rn es el máximo común divi sor do a   y b.  Para ello basta probar qtio todo divisor común de a y b   divide también r n. Sea d   nn divisor común de a   y b.  De la primera igual dad (2.3) resulta que d   divide r v   La segunda igualdad (2,3) implica entonces que d   divide r 2.  Análogamente (¡induc ción!) se demuestra que d   divi di vid d e r 3, . . rn_j rn_j y , finalmen final men-i o T  . liemos demostrado, pues, que el algoritmo de Euclides aplicad ap licado o a los números números natural naturales es a y b   permito efectivamen te determinar el máximo común divisor de estos números. Indiquemos por (a, b)   el máximo común divisor de los núme ros a y b. Es evidente (pie a   es divis di visibl iblee por por & si, y sólo si, ( « , b) ~ b. A título de ejemplo, ejem plo, determ determine inemos mos (ut0,  u}8) }8) = = (6765 (6765,, CIO CIO):. ):. 6765 .= 610-í 1 + 55, 610 = 55=

55-11 -1- 5, 5 -1 1 -

Es decir, ( u lo l o : ¿H s) = 5 = u $.

No es casual que el máximo común divisor de dos núme ros de Fibonacci resulte do nuevo un número de Fibonacci. Más adelante demostraremos que siempre ocurre asi. 5. Un proceso análogo al algoritmo de Euclides suelo emplearse también en la Geometría al determinar la medida común de dos seg men tos conmensu conmensurable rables. s. En efecto , consideremo consideremoss dos segmentos: uno de longitud a   y otro de longitud b.  Restemos el segundo del primero tantas voces como sea posible (si b   > a,  es evidente que no podremos hacerlo ni una voz) e indiquemos por r, la longitud del resto. Es obvio que r, < b.  Restemos ahora del segmento de long itud b   ol segmento de longitud r-, tantas veces como sea posible pos ible c ind indiqu iquem em os por r 2 el resto que resulta. Procediendo de la misma forma, ubtcndremos una sucesión de segmentos cuyas longitudes disminuyen evidentemente. Como vemos, basta aquí la semejanza con ol algoritmo de Euclides es total.

Sin embargo, desde este momento se observa una diferencia impor tante entre el proceso geométrico descrito y ol algoritmo de Euclides: la sucesión sucesión ile restos que que so obti obtiene ene en el caso de los segmentos puede puede no interrumpirse interrumpirse prolongándose indef indefini inidamente damente este este proceso. Así sucederá, obviamente, si los segmentos iniciales son inconmensurables.

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Veamos algunas propiedades elementales del máximo común divisor de dos números. 6 . {a, be)   es divisible por (a, b) b)..  En electo, b  y,   y, por ende, también be   es divisiblo por (a, b);  está claro que a   es divi sible por {a,   fe). Según el punto 4, do aquí resulta que tam bién (a, be)   es divisible por (a (a,,  fe). 7. Se tiene ( ac , be) = (a,  fe) c. Demostración. Consi Consideremos deremos las igualdades igualda des (2.3) que describen el proceso do determinación de (a, fe). Multipli cando ambos miembros de cada una por c, obtendremos, como fácilmente se comprueba, un sistema do igualdades que corresponde al algoritmo de Euclidcs aplicado a los números ac   y be.  El último resto no nulo será en este caso r„, c o sea, (o, fe) c. 8. Si («, c)   = 1, ssee lieno (a, be)   — (a (a,,  fe). En efecto, según el punto f>, (a, be)   es divisor de (ab, be).  Poro { ab, ab,  fec) = (a, c ) ffee = 1 *fe = fe en del punto consiguiente, (ti, fec)debido dividoa fe. Por virtud otro lado, es Por divisiblo por a.  Luego, lo (a, be)  7, demostrado en el punto 4, (o, be be)  )   también divide (a, fe). Pero como, según el punto 6, también (a (a,,  fe) divide (a, be),  resulta (a, fe) = (a, be). Supongamos que be   es div divisib isible le p por or a,  es decir, que (a, be)   — a.  Si, además, se tiene (a, c)   = i ,   de lo anterior so deduce que (a (a,, fe) = a,  o sea, sea, que fe es d iv ivis isib ib le por a. Si  p   es un número primo, cualquier a   es divisible por  p   o es primo con  p  p..  Por eso, de lo anterior resulta: si el pro ducto de dos números es divisible por un primo  p , al menos uno de los factores es divisible por  p.   Empleando la induc ción, esta afirmación hace válida, evidentemente, para un número de factoressecualquiera. í). A títu lo de ejem plo — que servirá m más ás adelanto— consi consideremo deremoss uno de los criterios de divisibilidad de los coeficientes binomiales.  T  Teo eore rem m a . S i p es es pr im o y si k =£ í) y k p, resulta que   Cp es di  visible por p. Demostración. En oí punto 14 del § 1 liemos visto quo

e-h P

P ( P ~  11 • •• (P — * + P i - i  -' -fe '

Esta fracci fracción ón es un número entero y , por eso, eso, su su denom inador d iv id e el numerador. Pero lodos los factores del denominador son mcnoTes que  p ,  0 sea, no son divisibles por  p  p..   De aquí resulta que el producto de

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estos factores (o sea, ol denominador) tampoco es divisible, según liemos explicado, por  p   ya que  p   es primo. Es decir, el denominador es primo con p. El numerador o,s   el producto de dos números:  p   y (p —   1) . . . (p — k i ). ) .   Est Esto o product producto o es div isib isible le por el denominador denominador.. Como quiera quo el denominador es primo con p, el denominador divi de el segun segundo do fact factor or (p — 1) . . . (p — k   - f 1 1). ). Sea Sea (p — 1) . . , .. . (p — k   + 1) = í -1 -2 - . . . • k.  En Enton tonces ces se tticno icno c£ = tp   como queríamos demostrar.

10. Si c   es divisible por b,  se tiene (a, b)   = (a   -f* c, b). Demostración. Aplicando el algoritmo de Euclides a los números a   y b,  llegamos al sistema de igualdades (2.3). Apliquemos Apliqu emos este este algoritmo a lgoritmo a los n núm úmer eros os a + c   y b.  Por hipótesis, b   divide c,  o sea, sea, c = ctb;  el primer paso del algoritmo da

a   + c   = (g0  (g 0   + Cjl) b   -)- r,. En todos los demás pasos obtendremos sucesivamente la segunda, la torcera, etc. igualdades del sistema (2.3). El último resto diferente de cero continuará siendo r„ de modo que (a, b) — (a   + c, b). Conviene que el lector demuestre esto teorema basándose sólo en los resultados de los puntos 6, 7 y 8, es decir, sin recurrir al algoritmo de Euclides y al sistema (2.3). 11. Teorema. Los números consecutivos de Fibonacci son    primos  prim os entre entre sí. sí. Demostración. Demost ración. Supongamos, Supongamos, a despecho despecho de la afirmac afir mación ión,, quo un   y u/t+¡ tienen un un divisor comú común n d > 1. La L a diferen cia un+ un+ ! — un   es divisible, entonces, por d.  Pero como un+1 — un —   resulta que d   div divide ide también tamb ién un_j. Aná Aná  logamente se demuestra ([inducción!) que d   divide un_2,  u„_3, etc. y, finalmente, u¡.  Pe Pero ro Uj = 1 y no puede puede sor sor divisible por por d > l . He Hemo moss llegad llegado o a una cont contrad radicc icción ión;; queda demostrado el teorema. 12. Teorema. Tiene lugar la igualdad 

(lím , Uft) —  fym,  fym, u). Demostración. Supongamos, Supongamos, para concreta conc retar, r, q que ue m  >   > n. Apliquemos el algoritmo de Euclides a los números m   y re:

m = nqo + ri, 

donde 0< > i < n,

« = r,g,r,g,-jj-r2 r2,

donde 0< r 2 < r j ,

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4 f 

ri — rz rzq q z + r 3, 

donde 0 < r 3< r2, r2,

í ,¡- 2 = r i - ii?? i - i + r j , d o on nd do o O s ^ rr»» <

r (_ (_ i, i,

rr-i ==f„), >„), o sea, la diferencia

(< ( tendríamos 5k = ± 5 l  (mód   (mód  p )   y también

k   s ± í ((m m ó d  p )   pues pues {5, p ) = i . Pero esto esto no p pue uede de ssuce uceder der ya qu quee —p . Supongamos quo u„   es divisible por un número primo  p y   quo todos los números de Fibonacci menores que u„ no son divisibles por  p.  p .  En tal caso diremos (pie  p   es un divi divisor sor pro pio   de i/n. Por ejom pío,, 11 os un div iso r prop pío propio io do « 1(, 17 eess un divis divisor or p pro ropio pio de u9 u9,,  e le Es interesante que cualquier número de Fibonacci, a excepción do u.i, u¡, u„  y «iüj posee al monos un divisor propio. La demostración demostrac ión do est estee resultado req uiero ra razonam zonam ientos bas tante complejos y exig o quo le dediquemo dediquemoss el  Te  Testo sto del parágrafo. A la vez v ez encontrar encontraremos emos algun algunas as propiedades nuevas de divisibilidad do los números de Fibonacci. 27. Empecerno Empecernoss por algunas consideraciones generales. El importante resultado, al que se llegó en el punto 8, sobre la divisibilidad de un producto p o r un número primo permite demostrar el teorema llamado a voces «leorcma fundamental de la Aritmética».  Teor  Te orem em a. Todo número natural se descompone de un modo único en    product  prod uctoo de factores pri primo mos. s. Demostración. Subrayemos, ante todo, que la posibilidad do tal descomposición es un resultado muy sencillo que hemos encontrado  ya en ci punto pun to 5 del § 1 ap aplic lican ando do oí razo ra zona nam m ien to ind in d u ctiv ct ivo o di dire rect cto, o, Con el fin de demostrar ia unicidad de la descomposición conside remos dos posibles pos ibles descomposiciones descom posiciones do un n número úmero a  en   en factores primos:

P i/' i/'a a • • • Ph -    * = m » » • > '/{■ Aceptemos para puntualizar que k   < 1. E l seg segund undo o miembro de debe be sor divisible por  p\.  Es decir, como hemos explicado en el punto 8, i debo dividir al menos uno do los Tactores del segundo miembro, Supongamos, para concretar, qu quee

os div isib le por  p  p¡. ¡.   Puesto que el

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51 núm ero < número n --ii — “ « i ! / = ( , í n i n - llM Mi i - l ' f w wrr oon nKn n))

u í i J " l' l' •

 Tene  Te nemo mos, s, según la hi hipó pó te tesi siss in d u ct iv iva a, = » n _ i ( r a ó d « £ ). ). Por consiguiente, M(m+ i)n-t — u n ~ l   = u”' _ i wn~ l_ l_t"l,» t"l,»n nu,ín

un-\   (mód ií ^ ). (2.29) (2.29)

Pero en el punto punto 1 hemos hemos visto que « m„ es div isible por u„  de modo que

»«m »« m «n = 0 (mú (múd « * )  y ( 2.2 2.21 11) se co n vi viee rt e en U(m+Dn-1 - C - i 1 = 0

(m ó ód d «* ).

Hemos demostrado el paso inductivo y también el lema. V i .   Lema. « m n - « ü + i + 'C - l

«■ «■’ divisible )>or   iP .

(2, (2,30) 30)

Demostración. Apliquemos la inducción según m. Para m   = t el div iden do so so hace hace igual a cero cero y, por ende, ende, es divisible por nj. Supongamos que la afirmación (2.30) es válida y consideremos la expresión l u » + umnu n+i ~ ~  , f m n - lu ~~ ~un + l   H " “ n - / •

" < m + l )n )n — ‘ n i - /

 Ten  Te n em os, os , según la hi hipó pó te tesi siss indu in du ct ctiv iva, a, =

{mód mód n^) n^).

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Por consiguiente, U(m+Drt — ,l™Íl   4 * Hn - í   = ,1 m n - i u n " í " M Mn n+l ("h'pi

- < _ i) - < ¿ í + « n + í

i£ )

Ó “ (rn+lm -