Numeros Complejos

 

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DEFINICION DE NUMEROS IMAGINARIOS imaginarios ios son aquellos aquellos de acuerdo Los números imaginar a la lógica convencional, convencional, no pueden existir. Sin

embargo, pueden ser el resultado de operaciones matemáticas comunes. La forma

clásica de obtener obtener un número imaginario/comp imaginario/complejo lejo es al obtener la raíz cuadrad cuadradaa de un número negativo.

 

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COMO SE NOMBRAN LOS NÚMEROS IMAGINARIOS Su símbolo común y frecuente es el del número imaginario imaginario II sie siend ndoo la inic inicia iall de “imaginari “imaginario” o” y casi siempre va acompañado de yunexpresar número de realforma para particular denotar sus distintas propiedades de números imaginarios la suma de un número real y de un número imaginario.

 

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OPERACIONES Y PROPIEDADES DE

NÚMEROS IMAGINARIOS

 

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Suma: La su suma ma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos números imaginarios, el

resultado también será un número imaginario. Para hacer operaciones con números imaginarios, en este caso la suma, seguimos las reglas básicas de la matemática agrupando los números reales y los números imaginarios respectivamente . (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i Como ejemplo tenemos: (5+3i)+(2+6i) = (5+2)+(3i+6i) = 7+9i Resta

la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero. Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier número, el resultado será el mismo número .

Para realizar la sustracción, también se deben agrupar los números imaginarios y reales. Por ejemplo: (5-2i)-(2+6i) = (5-2)+(-2i-6i) = 3-8i

 

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Multiplicación Para la multiplicación debemos multiplicar cada término del primer factor por los del segundo. (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi² = ( ac-bd)+(ad+bc)i bd por la propieda propiedadd de los números imaginarios en la Podemos cual i² es observar igual a -1.que el elemento bdi² se convierte en – Como ejemplo tenemos:(3+2i)(6+7i) = 18+21i+12i+14i² = (18 -14)+(21+12)i = 4+33i

División En los números imaginarios, la división es más complicada pues se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

 

NUMEROS COMPLEJOS

 

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DEFINICION DE NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos complejos son aquellos que forman un grupo de dígitos que resultan resultan de la adición que se realiza entre un número real y un número imaginario. Es importante

saber que el número real es el número que que puede ser expresado expresado por medio de un número entero, por ejemplo, 5, 28, 21; y el número imaginario es el número cuyo cuad cuadrad radoo se presenta en forma negativa. Son representados por dos números que se colocan entre paréntesis (x y y).

 

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REPRESENTACION GRAFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de

los números complejos). Esto se debe a que un número complejo en forma binómica queda determinado por un par de números reales: su parte real, y su parte imaginaria, . De esta manera, el par representa las coordenadas de un punto

del plano. Podemos destacar que esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.

podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos, donde al eje X, lo llamaremos eje real, y al eje Y, eje imaginario.

 

COMO SE NOMBRAN LOS NÚMEROS COMPLEJOS conjunto de los números Complejos y se denota por la letra C .

Al número a se le llama parte real del complejo y al número bi se le llama parte imaginaria del complejo. Un número real puede ser

escrito como un número complejo de la forma a + 0i = a, por lo tanto todo número real es un número complejo. Luego R C c. y todo número imaginario imaginario puro puede ser escrito como un número

complejo complej de la formacontiene 0 + bi =abi. lo tanto, tanto, el conjunto conjuntopuros. de los los númeroso complejos losPor números imaginarios

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ORDEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS En el cuerpo de los números reales podemos definir la relación de orden que todos conocemos: menor o igual que menor o igual.

que cumple que es un orden total, es decir, dados cualesquiera dos números reales x, y se tiene que x es menor o igual que y o que y es menor o igual que x.

 

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OPERACIONES EN

NÚMEROS COMPLEJOS

 

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SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS La suma o adición de números complejos dados en forma binómica La suma de dos números complejos es otro número complejo con parte real, la suma de las partes reales y la parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. Formula:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Ejemplo Sumar (4+5i) y (4+6i)

Solución

(4+5i)+(4+6i)=(4+4)+(5+6)i =8+11i

 

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El elemento neutro de la suma y el opuesto o inverso aditivo El elemento neutro de la suma en números complejos es 0+0i, abreviado por 0 . Efectivamente, (a+bi)+(0+0i)=a+bi El opuesto o inverso aditivo de un número complejo a+ a+bi bi es −(a+bi)=−a−bi El opuesto de

4−3i es −4+3i. Verifica que su suma es igual a 0.

 

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La resta de números complejos Formalmentee la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el opuesto de z2 Puedes ver los Formalment detalles para verificar que:

(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i

La diferencia de dos números complejos es otro número complejo tal que su

p rte re l es l diferenci de l s p rtes re les y l p rte im gin ri es l diferenci diferenci diferenci de l s p rtes im gin ri s .

Ejemplo (3−2i)−(4+6i). ). Realice la resta (3−2i)−(4+6i

Solución (3−2i)−(4+6i)==(3−4)+(−2−6)i−1−8i

 

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Sumas y restas combinadas

Con este método podemos efectuar rápidamente sumas y restas combinadas entre números complejos, reduciéndola a su forma binómica, Ejemplo Expresar en forma binómica o estándar (4+i)−(3−2i)+(7−3i) Suma y resta de números complejos dados en su forma polar No hay una forma para sumar o restar de manera abreviada números en su forma polar. Una alternativa para

operar es pasarlos a su forma binómica, sumarlos o restarlos y si se requiere, pasar el resultado a la forma polar.

Ejemplo Encuentre z1+z2 . Exprese el resultado en forma polar.

z1=630ºz2=2−30º

 

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Multiplicar número complejos en forma binómica Formalmente presentamos la definición de la multiplicación de dos números complejos. (a+bi) (c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i Ejemplo Usar la fórmula para calcular el producto: (2+3i) (4+5i). Solución: Primero se identifica las letras, let ras, a=2,b=3,c=4 y d=5 Aplicamos la fórmula y realizamos realiz amos las cuentas.

 

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Multiplicación en forma Polar La multiplicación de dos números complejos dados en su forma polar resulta más sencilla.

Sean dos números complejos z1=pα y z2=qβ, donde p y q son los módulos m ódulos y α y β los argumentos

respectivos. Usando las identidades del seno y coseno de sumas podemos demostrar pα qβ=(p q)α+β Esto es, el producto de dos números complejos es un número complejo tal que su módulo es el product productoo de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos.

Ejemplo Encuentre el producto z1 z2 . Exprese el resultado en forma polar z1=460ºz2=575º Se estila anotar el argumento θ entre 0 y 360º , (0,2 π)

Recuerde que podemos pasar de la forma polar a la binómica usando la expansión trigónometrica : z=rθ=r(cos(θ)+sen(θ)i)

Ejercicios Encuentre el producto, z1 z2, en su forma polar

a)z1=4030º y z2=2010ºc)z1=(13)30 y z2=3−45ºb) z1=160º y z2=3– √45ºd) z1=2−50º y z2=460º

 

DIVISIÓN

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Se define la división de dos números complejos a través de la multiplicación por el inverso. Sean z1 y z2, con z2≠0, z1÷z2=z1 1z2

Abajo mostramos cómo calcular (2+i)÷(1+3i) con el método del inverso,El procedimiento más usado para dividir números complejos es el que emplea el conjugado del denominador.

La división usando el conjugado El cociente lo solemos escribir usando la notación de fracción z1/z2 Con esta forma recordamos la división, realizándola manera similar a ladeshacernos racionalización del denominador, numerador y denominador por la conjugada deldedenominador, para de números complejosmultiplicando en el denominador . Es frecuente expresar el cociente en su forma binomial, a+bi a+bi,, para eso se separan las fracciones.

Ejemplo Expresar el cociente en la forma binómica (estándar). 5+2i−2+3i

 

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División entre imaginarios puros La idea de multiplicar y dividir entre el conjugado del denominador es provocar un número real en el denominador.

En el caso de tener como divisor un imaginario puro podemos multiplicar y dividir por −i, obteniendo entonces expresiones más sencillas que las producidas por el conjugado del denominador. Ejemplo División multiplicando y dividiendo por −i Expresar el cociente en la forma binómica (estándar). 1−5i2i División en forma polar Podemos dividir rápidamente dos números complejos dados en su forma polar, z1=p α entre z2=qβ, donde p y q son los módulos y α y β los argumentos respectivos, donde q≠0. Usando las identidades del seno y coseno de las diferencias podemos demostrar pαqβ=(pq)α−β Esto es, el cociente es un número complejo con módulo el cociente de los módulos y argumento la diferencia de los argumentos Ejemplo Exprese el cociente z1/z2 en su forma polar. z1=6120ºz2=275º

 

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Propiedades de las operaciones de los números de complejos

 

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Propiedad transitiva Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3 Propiedades de la suma

Se define la suma de dos números complejos z1= a+ a+bi bi y z2=c+d z2=c+dii com comoo (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos probar que se cumplen las siguientes . Propiedad de cierre o cerradura para la suma Para z1,z2  C se tiene que z1+z2  C

 

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Propiedad conmutativa Para cualesquiera z1,z2  C se cumple que z1+z2=z2+z1 Propiedad asociativa Para cualesquiera z1,z2,z3  C se cumple que (z1+z2)+z3=z1+(z2 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) +z3)

Existencia del elemento neutro para la suma 0+0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma. Existencia del inverso aditivo u opuesto

Todo número complejo z tiene un único inverso aditivo, denotado por −z.

 

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Propiedades de la multiplicación Se define el producto de dos números complejos z1= a+ a+bi bi y z2 z2=c =c+d +dii co como mo (a (a+b +bi) i) (c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos demostrar que se cumplen las siguientes. Las pruebas son similares a las de la suma.

Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación Para z1,z2  C se tiene que z1 z2  C Propiedad conmutativa Para cualesquiera z1,z2  C se cumple que z1 z2=z2 z1

 

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Propiedad asociativa Para cualesquiera z1,z2,z3  C se cumple que (z1 z2) z3=z1 (z2 z3)

Existencia del elemento neutro para la multiplicación 1+0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación. multiplicación. Existencia del inverso multiplicativo o recíproc recíprocoo Todo número complejo z, dintinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por z−1. Propiedad distributiva Para cualesquiera z1,z2,z3  C se cumple que z1 (z2+z3) = z1 z2+z1 z3

 

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CONJUGADO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

 

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Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas. Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conju conjugad gadoo es a - bi .Da .Dado do un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del

mismo una línea horizontal horizontal.. Así se escribirá:

 

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Propiedades de los conjugados

· Primera propiedad El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración: En efe efect ctoo si z = a + bi se tie tiene ne que = a - bi , de de dond donde, e, = a + bi bi = z Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados. Esto se expresa escribiendo que demostración: Esto se expresa escribiendo que Tomandoo z = a + bi Tomand bi y z = c + di di , se se tiene: tiene: z= a + bi y = c - di , con con lo que z+ z = (a + bi bi ) + (c - di ) = (a + c) c) + (-b - d)i Por otra parte:

y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

 

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Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números Demostración Si z = a + bi y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i bc)i , cuyo cuyo con conjug jugad adoo es es z. z..z .z= = (ac (ac - bd) - (ad + bc)i . Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que z·z = (a (a - bi )( c - di ) = ( ac ac - bd ) + ( -ad -ad - bc bc)) i .El resultado es igual al anterior. Cuarta propiedad Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales. Demostración:Sea un complejo complejo a + bi que coincida coincida con su conjugado. conjugado. Esto equivale a que a + bi = a – bi Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real .

· Quinta propiedad La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales . Demostración: (a + bi bi ) + (a - bi ) = 2a 2a

(a + bi bi ) (a (a - bi ) = a2 - (b (bii )2 = a2 a2 + b2 b2  

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VALOR ABSOLUTO

 

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También llamado módulo de un número complejo. El módulo de un número complejo z = x + yi, denotado como |z|, se define como (x2+y2)1/2. Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo . Por ejemplo, el valor absoluto de 3 + 4 i es (32 + 42)1/2 = 5.

 

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EL MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO EN FORMA CARTESIANA

Un número complejo en forma cartesiana o binómica es del tipo z = a + bi

y calculamos su módulo mediante la siguiente fórmula : |z| = √(a2 + b2)

 

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CALCULAR EL MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO EN FORMA F ORMA POLAR Si tenemos el número complejo complejo en forma polar , el módulo ya está implícito

en su expresión y no tenemos que hacer ningún cálculo. Un número complejo en forma polar es de la forma z = r α, siendo r el valor del módulo y α el argumento. Por ejemplo, si nos dan el número complejo 3120º, el módulo es 3.

 

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Propiedades Propiedad es del módulo de un número complejo 1.La multiplicación de un número complejo por su conjugado nos da como resultado el módulo del número complejo elevado al cuadrado. 2.El módulo de un número complejo siempre es mayor o igual a cero, por lo tanto, nunca puede ser negativo. Será

mayor que cero si elasí: número es diferente de cero y será cero solo cuando el número sea cero. Esto queda expresado matemáticamente |z| = 0 si, y sólo si, z = 0. 3.El módulo de un número complejo es igual al módulo del conjugado del número complejo. Es decir: |z| = |z’| 4.El módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de los módulos de los números complejos de

forma individual, algo que matemáticamente se expresa así: |z1z2| = |z1| |z2|

 

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5.La propiedad anterior también se aplica a la división, es decir, el módulo del cociente de 2 números complejos es

igual al cociente de los módulos de los números complejos. |z1 / z2| = |z1| / |z2|

6.La parte real y la parte imaginaria de un número complejo es menor o igual al módulo del número complejo. |Re(z)| ≤ |z| |Im(z)| ≤ |z|

7. La desigualdad triangular nos dice que el módulo de la suma de dos números complejos es menor o igual a la suma de los módulos de los números complejos. Esto también sucede con la resta . |z1 + z2| ≤ |z1| – |z2| |z1 – z2| ≤ |z1| – |z2|

 

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Forma polar y exponencial de un número complejo Se puede representar un número complejo cualquiera (z = a + bi ) en forma polar, dando su módulo y su argumento. Esta forma también se llama forma trigonométrica. El módulo de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa.

El argumento de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.

 

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GRACIAS POR SU ATENCION