NUMERIK ANALIZ-76-100

Bu bölümde, kitap boyunca kullamlacak olan temel matematik ile ilgili bazı tamm ve teoremler verilecektir. Bu tamm ve teoremler genelolarak nümerik analiz dersleri için çok önemlidir. Özellikle sürekli fonksiyonlar ile ilgili temel özellikler.

1.1

1.1. Önbilgiler

Önbilgiler

l.Tanım.Her

6>0

sayısınakarşılıkbir

8(&»0

sayısı,

0 Obir tamsayı ve ı= nın [a, b] kapalı

(a, b) açık aralığında türevlenebilir

Xo E [a,

b] olmak üzere her x

f(x)

x

= P',(x)

+RIl(x)

E

olduğunu kabul

[a, b] için (1.9)

Önbilgiler

7

. olacak şekilde x ile Xo arasında bir ,;(x) vardır. Burada, (1.10) ve

R (x) = fn+ı) (,;(x» (x-x (n+1)!

n

)n+ı

(1.11)

O

Formülleri ile verilir. Pn(x) ye n.mertebeden

Taylor polinomu

ve Rn(x)

ifadesine de kalan terim yada hata terimi denir.

2.Örnek. f(x)

= cosx,

fonksiyonunun

Xo

=O

noktasında ikinci ve üçüncü

bulunuz. Yaklaşık olarak oos(O.Ol) değerini

mertebeden Taylor polinomunu hesaplayınız.

çözüm.

f(x)

= cosx

fonksiyonu

JR- de sürekli olduğundan

n> O ıçın

Taylor Teoremini uygulayalım: n = ~ için

cos x = 1- .!..x2

2

+.!.. x

3

sin ç (x)

6

elde edilir. Burada ç(x), O ile x arasında birsayıdır. Polinomunda

Elde ettiğimiz Taylor

x = 0.01 yazarsak, cos(O.Ol) = 1-.!..(0.01)2 +.!..(O.Oli sinç(x).

2

6

= 0.99995 + (0.166) xıo-6 sin,;(x) elde edilir.

Birinci Bölüm

8

x ::..ı

1

Y

= pı (x) = 1- 2 x

2

Şekil 7. Burada 0< ç(x) < 0.01 dir. sinç(x) değer 1 olacağından, basamak

fonksiyonunun

i sinç(x) 1< 1 olarak

doğrulukla,

cos(O.OI)

alabileceği en büyük

alınırsa virgülden sonra altı ondalık

= 0.999950 bulunur.

Eğer

standart

trigonometrik tablo kullanılırsa, cos(O.OI) = 0.9999500004 olduğu görülür.

Şimdi de

n = 3 için Taylor polinomunu..cyazalım. Bu durumda, 1t

cosx

= l--x2

2

1

6

+_x4 cosç(x) 24 .

elde edilir. 0< ç(x) < 0.01 dir. Böylece yine n =2 için elde ettiğimiz Taylor polinomunu elde ederiz, fakat hata terimi, _1 X4COSç(X)I:s;-1 1

24

(0.01)4(1)~4.2xl0-ıo 24

~'Ck\\\\\\'C\\\ı. Bu \\eger 'laylor

pounomunôa

yerıne yazılırsa,

cos(O.Ol) 'in

gerçek değerine çok yakın bir değer elde edilir.

3.Örnek.

çözüm.

..J105 sayısının f(x)

= J;,

Teoremını uygulayalım.

X

yaklaşık değerini bulunuz.

= 105 ve

Xo

= 100

olarak alıp

n

=1

için Taylor

Önbilgiler

9

Buradan Taylor polinomu

Pı(x)

= f(xo)

+

ı c- (x-xo)

2",xo

olarak elde edilir, verilen değerler yerine yazılırsa, . Pı(lOS) = 10+

=10+-

~(LOS 2,,100

-100)

1 4

=10.25

olarak bulunur. Yapılan hata ise

şeklindedir. Burada

ç (x)

E

(ı 00, 105). Verilen değerler yerine yazılırsa,

Rı (105) = _

.

25 8~ç(X)3

elde edilir. Yaptığımız hatayı, (100,105) aralığında yapabileceğimiz en büyük hata olarak seçersek (çünkü

-25 8~ç(xY

=

ç (x)

E

(100,105) dir),

25 < 25 = 25 =_1_·=0.003 3 8~ç(X)3 8.Jı00 8x ıooo 320

olur. Böylece,

"'105:::::10.25 + 0.003 = 10.253 bulunur.

LO

Birinci Bölüm

4.Örnek.

(1.1y/5 sayısı, virgülden sonra dört ondalık basamak doğrulukla

hangi aralıkta bulunur.

f(x)=(1+xY(s,

çözüm.

x=O.1

ve xo =0 olarak alıp n=2

için Taylor

Teoremini uygulayalım.

dir. Buradan Taylor polinomu

P (x) = f(x 2

o

)+

1 5(1+xo)4Is

(x - x ) o

. 4 2!x25(1+xO)9IS

(x - x )

2

o

dir. Verilen değerler yerine yazılırsa,

!;((1.1Y;S) =1.000+_1_(0.1-0)5(1)

4 (0.1-0)2 =1.0208 2!x 25(1)

elde edilir. Yapılan hata,

Rı =~ f"'(ç(x))(X-xo)3 3! ~~ 36 (x-x Y - 3! 1251(1 +ç(X)Y4 o dir. Burada, .; (x),

O ile O.ı arasında bir sayıdır. Böylece, verilen değerler

yerine yazılırsa,

Rı =~ 36 3!1251(1+ç(X)Y4

(0.1-0)3 .

36 (0.1)3

=---

125

6

= 0.000048 bulunur. Buradan verilen (1.ly/5

sayısının yaklaşık değeri,

1.0208- 0.000048 < (1.1y/5 < 1.0208+ 0.000048

Önbilgiler

II

1.020752 < (1. ı)!15 < 1.020848 olarak elde edilir.

Taylor

Teoremindeki

kalanthata)

terimi

i(x)

fonksiyonunun

(n+ 1).

mertebeden türevin integrali cinsinden de ifade edilebilir.

n ~ Obir tamsayı ve

10.Teorem.

r: nin

(a, b) açık aralığında diferensiyellenebilir Xo

E

[a, b] olmak üzere her x

E

x

olduğunu kabul edelim. Bu takdirde

[a,b] için

= p,,(x) + Rn(x)

f(x) olacak şekilde

[a, b] kapalı aralığında sürekli ve

ile Xo arasında bir ~(x)

(1.12)

vardır.

Burada, (1.13)

ve Rn(x)=~

rx i