Download Numeración, Cuatro Operaciones, Divisibilidad, Primos 01 PDF...
R. M. 0638 – 80 – ED – LIMA
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Ac A cademi a R aim imo ond ndii
… siempre los primeros
2
NUMERACIÓN BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Es la cantidad de unidades necesarias para formar una unidad de orden inmediato superior. Ejemplo: BASE UNIDADES 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 6 0, 1, 2, 3, 4, 5 2 0, 1 17 0, 1, 2, … , 16 (n) 0, 1, 2, … , (n–1)
PRINCIPIOS Q UUEE DEBE DE CUMPLIR UNA BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN 1.- La base es un número Entero Positivo mayor que UNO. 2.- La mayor cifra disponible en una base de un S.N. es la base menos uno. 3.- Para bases mayores que la decimal se utiliza los siguientes convencionalismos , respecto a la cifras: D ; … 10 A ; 11 B ; 12 C ; 13
380 : ....... .......
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS 1 00 00 (1) : . .. .. . .. . 2 4 3(7) : . .... . . . .
(12) 12)((12)8 12)8 (12) : .......
2111 21 11(2) : .... ...... ....
CD4 (15) : . .. .. . . . .
9 EB(14) : . .. .. . . . .
1321 13 21(3) : .... ...... ....
5 3 2(
5(51) 51)3 (103) : .... ...... ....
87((87 87 87))(87) : .... ...... ....
BEBE (16) : .. .... .... ....
8)
: . .. .. . . . .
NÚMEROS CAPICÚAS Son aquellos números que se leen igual de izquierda a derecha ó viceversa. 3443 ; 5005 ; 959 ; a ba ; abba ; abccba ; etc. ...
VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA.- La figura que representa. VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA.- El orden que ocupa dentro del número. Ejemplo: Analizaremos Analizaremos las cifras del número: 770843 0843 0 8 4
Valor Absoluto
3 70843 3
40 8 00
Valor Relativo
0 CAMBIOS DE BASE PARA UN NÚMERO ENTERO
5 B6 (11) : . .. .. . . . . 1 6 1 6 (16) : . .. .. . . . . 4 5 1(15 / 2) : .... . . . . . BACA(12) : . .... .... ....
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
I.-
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
3
Primer Caso: De base (n) a base (10) Método: Descomposición Polinómica: a b cd (n)
a n
3
bn
2
cn
1
d
Ejemplos : 2
4 5 1.- 3 4 2(5) 3 5 = 75 + 20 + 2 = 97
1
2
06 2.- 2 0 1(6) 2 6 = 72 + 0 + 1 = 73 2 0 1(6) 7 3
2
3 4 2(5) 9 7
II.- Segundo Caso : De base 10 a base (m) Método: Divisiones Sucesivas: Ejemplos : 1.- 56 (5) 2.- 230 56
1
(11) 23 0 1 1
5
1
1
11
5
1
2
10
5 6 2 1 1 5
20
11
9
1
230 1 19 9 10
19 A
11
11
III.- Tercer Caso : De base (n) a base (m) Método: Combinado por que se utiliza los dos métodos anteriores.
D. Polinómica
n
D. Sucesivas
10
m
Ejemplo: base ( 4 ) Cambiar de base 24 5 (6) a base Primero se cambia el número
Luego 101 Se cambia a base (4)
24 5 (6) a base 10 2 4 5 (6)
2
10 1 4
1
26 4 6 5
1
= 101
25 1
24 5 6 1 21 1 4 CAMBIOS DE BASE PARA NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD
I. Primer Caso: De base (n) a base (10) Método: Descomposición Polinómica.
4 6
4
2
1
Ac A cademi a R aim imo ond ndii
… siempre los primeros
4 0,abcd (n)
a
b
c
n n2
n
d
3
n
4
Ejemplo: Cambiar de base 0,302 (4) a base (10) 0,302 (4)
3
0
4 42
5 0 0,78
64
2 4
3
II. Segundo Caso: De base (10) a base (m) Ejemplo: 0,423 cambiar a base (6) 0
423
6
2
538
6
3
228
6
1
36 8
0, 4 2 23 3
0, 2 3 31 1
6
FÓRMULAS DE SUMATORIAS Para hallar la cantidad de términos de una serie n
úl últi timo mo primero primero Razón
Suma de “n” primeros
números naturales 1
Sn
n(n 1) 2
Suma de “n” términos de una serie cualquiera
S
primer prim er último n 2
PROBLEMITAS A.- Cambiar de base (n) a base (10) los siguientes números: 1. 1 2 3 (5) : ...............................
2. 3 4 5 (6) : ............................... 3. 4 B6 (12) : ............................. 4. 1 4 6 (8) : ............................... 5. AB5 (13) : ............................ 6. 1 0 1 0 1 1(2) : ......................... 7. 1 2 4 2 3 2(4) : ......................... B.Cambiar de base (10) a base (m) los siguientes números:
8.
220
(2 0) : .....................
9. 32 0 (3 2) : ..................... 10. 23 40 (1 3) : ................... 11. 4 70 (12) : ..................... 12. 12 30 (6) : ..................... 13. 8 64 (5) : ....................... 14. 8 90 (3) : ....................... C.- Cambiar de base (n) a base (m) los siguientes números: 15. 3 7 (9) (1 1) : ........................
16. 14 3(5) (4) : ....................... 17. 23 8 (11) (8) : ......................
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
5
18. 3 4 0 (6)
(4 ) : .......................
19. 2 3 8 (9)
(1 3) : ......................
20. 4 1 3 (7)
(2) : ........................
21. 3 4 8 (11)
(5) : ......................
3 4 0 (9)
a) 15 d) 10
33. Hallar Hallar
b) 14 e) 8 a
b
22. 0, 22 22 1(3) : ..............................
E.- Cambiar de base (10) a base (m) los siguientes números: 25. 0, 84 84 (12) : .......................... 38 (6) : ............................ 26. 00,, 38 27. 53 53 (4 ) : ............................
28. Llevar Llevar el menor de tres cifras diferentes en base 8 a base 6. a) 144 b) 148 c) 165 d) 220 e) 150 a
b c
30. Hallar Hallar
b c
a
b c
32. Hallar Hallar
b c
b
n
c) 6
si: 2 0 0 (5)
b) 4 e) 7 a
b
c
d
a b cd (n)
a) 5 d) 7
c) 8
n
si:
1 0 1(3)
b) 6 e) 4 a
b c
c) 3
si:
a b c (5)
a) 10 d) 7
b) 8 e) 3 si:
c 0 7 (8)
b) 8 e) 6
38. Hallar Hallar
a
a) 2 d) 6 39. Hallar Hallar
1 5 5 (7)
b
c) 4
si : a b c (4 )
c) 4
b) 9 e) 10 a
a
a) 5 d) 6
36. Hallar Hallar
1 1 3 1(6)
b) 4 e) 9
c) 11
39
6
a b c (5)
a) 8 d) 7
si:
si:
a bc
a) 6 d) 5 31. Hallar Hallar
n
3 a b (n)
37. Hallar Hallar
97
5
b) 8 e) 10 a
c) 3
si:
a bc
a) 15 d) 9
c
a) 7 d) 8
35. Hallar Hallar
1 0 0 3 (4)
b) 1 e) 11
2 b 4 c (n)
24. 0, 0 3 (6) : ................................
29. Hallar Hallar
a) 4 d) 8
34. Hallar Hallar b
23. 0,1 0 3 (4) : ..............................
c) 12
si: a b c (8)
D.- Cambiar de base (n) a base (10) los siguientes números:
a b c (13)
a
b c
b) 4 e) 8 si:
a b c (5)
c) 6 a) 7 d) 5
b 0 c (6)
b) 6 e) 9
si :
40. Hallar Hallar b a si:
c) 3
3 1a (4 )
c) 8
Ac A cademi a R aim imo ond ndii 13
13
a) 3 d) 6
ab 13
13
d) 2540
13
b) 4 e) 10
c) 8
41. Hallar Hallar b a si: 1 213
a) 2 d) 5
42. Hallar Hallar
14 15
b c 13
c) 6
si :
21
a) 10 d) 14
a b (6)
b) 4 e) 8 a
a bc 22
9
30
b) 12 e) 13
c) 11
43. Cuántos números hay en la serie: 6, 10, 14, ..., 206 a) 48 b) 60 c) 54 d) 51 e) 63 44. Cuántos Cuántos números hay en la serie: 12, 20, 28, ..., 524 a) 56 b) 63 c) 62 d) 70 e) 65 45. Cuántos Cuántos números de dos cifras existen. a) 99 d) 90
… siempre los primeros
6
b) 100 e) 89
c) 88
46. Cuántos Cuántos números de tres cifras existen en base 9. a) 570 b) 690 c) 648 d) 720 e) 348 47. Cuántos Cuántos números de cuatro cifras existen en base 4. a) 180 b) 192 c) 220 d) 340 e) 370 48. Cuántos Cuántos números capicúas de tres cifras existen en base 15. a) 210 b) 3150 c) 3470
e) 3700
49. Cuántos Cuántos números de tres cifras hay en base 7 de tal forma que no se escriban con la cifra 4. a) 170 b) 180 c) 190 d) 210 e) 195 50. Cuántos números de cuatro cifras hay en base 8 que no se escriban con las cifras 6 ni 3. a) 970 b) 840 c) 990 d) 970 e) 1080 51. Cuántos Cuántos números de tres cifras hay en base 4 que no se escriban con las cifras 2 ni 4. a) 20 b) 40 c) 28 d) 18 e) 4 52. Cuántos Cuántos números de tres cifras hay en base 5 que por lo menos tengan un 2 en su escritura. a) 60 b) 70 c) 38 d) 42 e) 52 53. Cuántos Cuántos números de tres cifras hay en base 9 que por lo menos tengan un 4 en su escritura. a) 178 b) 340 c) 220 d) 200 e) 190 54. Cuántas Cuántas cifras se han utilizado en hacer todos los números de 2 cifras. a) 190 b) 90 c) 180 d) 99 e) 199 55. Cuántas Cuántas cifras se han utilizado en hacer todos los números de 3 cifras en base 6. a) 180 b) 540 c) 560 d) 580 e) 590 56. Cuántas Cuántas cifras se han utilizado en hacer todos los números de 3 cifras en base 8 que no utilicen el cifra 0. a) 1029 b) 1002 c) 998 d) 999
e) 899
57. Cuántas Cuántas cifras se han utilizado en hacer todos los números de la forma :
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado a) 541
b ab(2a) 2 (16)
a) 56 d) 218
b) 224 e) 318
c) 314
a b a b 2 3 (15)
67. Para Para numerar las páginas de un libro a partir de la página 100 hasta la página final se deben utilizar 2764 cifras. ¿Cuántas hojas
a (2a)ab(4b) 2 (20)
b) 120 e) 140
e) 570
66. Para Para numerar las páginas de un libro se emplearon 153 cifras. ¿Cuántos tipos mas se necesitara si tuviera 40 páginas mas? a) 125 b) 132 c) 102 d) 162 e) 184
c) 140
59. Cuántas Cuántas cifras se han utilizado en hacer todos los números de la formas :
a) 20 d) 100
d) 562
65. Cuántas Cuántas páginas tiene un libro que utilizo 179 cifras en hacer su numeración. a) 90 b) 94 c) 92 d) 93 e) 96
todos los números de la formas :
b) 170 e) 190
c) 560
64. Cuántas Cuántas páginas tiene un libro que utilizo 2055 cifras en hacer su numeración. a) 721 b) 632 c) 722 d) 742 e) 642
58. Cuántas Cuántas cifras se han utilizado en hacer
a) 128 d) 220
b) 540
c) 180
completas tiene a) 520 b) 521 el libro? c) 502
d) 508
e) 512
60. Cuántas Cuántas cifras se han utilizado en hacer la numeración de un libro de 300 páginas. a) 201 b) 480 c) 591 d) 670 e) 792
68. Cuántos Cuántos números se emplearon para representar todas las sumas de la forma : a1 2 b cd a) 3240 b) 2420 c) 9640 d) 9120 e) 8100
61. Cuántas Cuántas cifras se han utilizado en hacer la numeración de un libro de 270 páginas. a) 590 b) 670 c) 700
69.- Cuántos números hay en la serie: 2 1(4 ), 2 1(5), 2 1(6), .. . , 2 1(100)
d) 702 790utilizado en hacer la 62. Cuántos Cuántos tipos se e)han numeración de un libro de 480 hojas. a) 1080 b) 2340 c) 2772 d) 2620 e) 1270
a) 84
b) 92
c) 95
e) 94
69. Hallar Hallar la suma de la siguiente serie : 1 1(3) , 1 1(4 ), 1 1(5),. . . , 1 1(5 0) a) 1240 b) 1350 c) 1320 d) 1250 e) 1220
63. Cuántas Cuántas páginas tiene un libro que utilizo 1512 cifras en hacer su numeración.
CUATRO OPERACIONES ADICIÓN O SUMA A
d) 97
B
S
A, B se llaman sumandos ; S se llama suma total
Ac A cademi a R aim imo ond ndii
Propiedades: Modulativa:
… siempre los primeros
8 El cero es el elemento neutro aditivo: A 0 A , A.
Asociativa: A (B C) (A B) C Conmutativa: A B B A
SUSTRACCIÓN O RESTA MINUENDO
SUST SUSTR RAENDO
DIFERENCIA CIA
Propiedades: El inverso Aditivo: El inverso aditivo de (X) es (–X) El inverso aditivo de 3 es –3 El inverso aditivo de ( –14) es 14 La suma de los términos de una sustracción es le doble del minuendo: M
S
D
2M
Si a un número de dos cifras se le resta el mismo número pero con las cifras en orden
inverso resulta: ab
ba
xy , donde x
y
9
Si a un número de tres cifras se le resta el mismo número pero con las cifras en orden
inverso resulta : a bc
cb a m n p , donde m
p
9 ;
n
9
Notasa: Las dos últimas propiedades NO cumplen para números capicúas. COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número es lo que le falta a éste para formar una unidad de orden inmediato superior. C.A.(7) C.A.(2) C.A.(75) C.A.(84) C.A.(695)
= 10 – 7 =3 = 10 – 2 =8 = 100 – 75 = 25 = 100 – 84 = 16 = 1000 – 695 = 305
C.A( .A(abcd) abcd)
1000 10000 0
abcd abcd
Método práctico.- Sirve para cualquier sistema de numeración : Se resta la primera cifra de la derecha de la base. El resto de las cifras se resta de la base menos uno. C.A.( .A.(462378569 462378569)) 537621431 C.A( .A(4526 45264 4 (7)) 2140 21403 3 (7) MULTIPLICACIÓN
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
9
Es una suma abreviada:
A
B
P
; A y B son factores y P es el producto.
Propiedades : Conmutativa: A B B A Asociativa: A (B C) (A B) C Distributiva: A (B (B C) A B A C
El
Modulativa:
UNO es el elemento A neutro multiplicativo: 1 A ; A.
Inverso Multiplicativo: 1/A es el inverso multiplicativo de A que cumple:
Ejemplo : El inverso 5 es
1 5
, por que
5
1 5
A
1 A
1.
=1
DIVISIÓN I. División exacta: Cuando el residuo es cero. D
D
d q
0
D = Dividendo d = divisor q = cociente
d q
II. División inexacta: II.1. División inex. Por defecto: D
r d
D
II.2. División inex. por exceso.
d
D
q
r
d q
e
rd
D
d
q
1
d q 1
re
Notasa: rd 0 r d
re si sid u o p o r d e fe cto ; re r
re
re sid u o p o r e xce so
d
d
re s siid u uo o mín iim mo resiiduo máx res máxiimo
1 div divisor
1
PROBLEMITAS
1. Cuántos números enteros hay entre los números N y N 1 . a) 2 b) 1 c) una infinidad d) no existe e) la mitad de uno 2. Cuántos números Reales hay entre los números N y N + 1.
a) 2 d) una infinidad
b) 1 c) (2N+1)/2 e) no existe
3. El producto de dos factores es igual a la unidad, si uno de los factores es 1/n; entonces el otro factor es: a) 2n b) 0 c) n
Ac A cademi a R aim imo ond ndii d) 1
e) –n
4. Hallar 2 5 (6) 4 4 (6) a) 69 b) 113 d) 112 e) 100
Hallar: 5. 2011 a) d) 2620
2 3 6 (7 )
5 4 3(7 )
c) 48
b) 1540 e) 2600
5 6 6 (7 )
c) 3620
6. Hallar 8 6 4 (12) 2 4 9 (12) a) 10116 d)
10B6
b)
… siempre los primeros
10
AB1
e)
A116
c) 248
7. Hallar 7 3 2(9) 5 4 6 (9) a) 286 b) 186 d) 196 e) 188 8. Hallar 64 23 0 (7) 6 34 44 (7) a) 293 b) 348 d) 453 e) 353
c) 175
b) 638
c) 846
d) 798
16. Hallar Hallar la cifra que está en el cuarto orden de sumar: 88888......888
888
c) 456
a) 1295 d) 1225
c) 1245
88
8
9999......999 9 99
c) 2243 a) 185 d) 102 c) 970
13. Hallar 2 5 (6) 2 3 (8) a) 323 b) 232 d) 694 e) 784
c) 348
8 5 s u m a n d o s
a) 8 b) 6 c) 5 d) 9 e) 7 17. Hallar Hallar la suma de las cifras del resultado de sumar: 99999...... 99999... ... 999
12. Hallar Hallar 2 8 (12) 3 6 (1 2) a) 980 b) 940 d) 960 e) 930
e) 625
15. Se Se compró un objeto que se vendió después por S/. 457, y se obtuvo una ganancia igual al doble del precio de compra más 37 soles. ¿Cuánto costo el objeto? a) 120 b) 110 c) 140 d) 180 e) 210
c) 131
11. Hallar Hallar 3 4 (5) 3 2(5) a) 2343 b) 2432 d) 2342 e) 2434
a) 470
8888......888
9. Hallar ACB(14 ) ABC (14 ) a) 13 b) 113 d) 12 e) D 10. Hallar Hallar 2 6 (7) 3 2(7) b) 1340 e) 1252
14. Se Se tiene un número de tres cifras ; la suma de ellos es 17 ; la cifra de las centenas es el duplo de la que ocupa el lugar de las decenas; si se suman 198 al número resulta el valor del número invertido, ¿cuál es el valor del número?
99
9
b) 332 e) 111
9 9 s u m a n d o s
c) 99
18. Dar Dar la cifra de cuarto orden del resultado de sumar todos los números que tienen once “sietes” y un “seis” en su escritura. a) 3 b) 1 c) 9 d) 2 e) 8
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
Hallar
19. Efectuar Efectuar la siguiente adición: 99
19 9
a) 21080 d) 19880
2 99
9 cifras
4 4 4 (5 )
a) 6 d) 2
...
4 4 . . . . . 4 4 (5)
b) 1 e) 3
c) 5
21. Si Si C.A. 1 2 3 4 (5) a b cd (5) hallar a) 7
a
b c
d
b) 6
d) 3
c) 4
e) 10
22. Si Si C.A. 2 3 4 (9) a b c (9) hallar a a) 15 d) 17 23. Hallar Hallar a
c d
b c
b
b) 16 e) 18 c ; sabiendo que
c) 14 ab
b a cd
y
.
a) 10 d) 6
b) 12 e) 4
c) 8
24. La La suma de todos los términos de una resta es 1380 y el sustraendo es 2/3 del minuendo. Hallar la diferencia : a) 470 b) 210 c) 320 d) 230 e) 340 25. La La suma de todos los términos de una resta es 920 y el sustraendo es 3/5 del minuendo. Hallar el complemento de la diferencia: a) 184 b) 168 c) 940 d) 586
26. Si Si
1a a ab b
e) 816 ca1
5 9c
b c:
b) 10 e) 16
c) 13
c) 20980
20. En En que cifra termina la siguiente suma en base cinco: 4 4 (5 )
a
a) 15 d) 14
1 99 9
b) 19980 e) 18980
4 (5 )
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
11
27. Restar Restar la suma de los complementos de los primeros cinco números significativos de la suma de los siguientes cuatro números : a) 15 b) –8 c) 5 d) 8 e) –5 28. Se Se tiene un número de cuatro cifras y otro de tres cifras. La diferencia entre sus complementos aritméticos es 5380 y la suma de los números es 4780. ¿Cuál es la suma de las cifras del número menor? a) 25 b) 13 c) 8 d) 12 e) 10 29. SSii a bc bc hallar a) 9 d) 12 30. SSii a bc bc hallar a) 8 d) 11
77
a
b
. . .0 18
;
c
b) 10 e) 15 23
. .. 005
a
b
c) 11
;
c
b) 12 e) 13
31. SSii a bc bcd 7 9 b cd 3 , hallar a b c d a) 12 b) 18 d) 11 e) 8
c) 10
c) 21
32. En En una reunión se cuentan tantos caballeros como tres veces el número de damas, después se retiran 8 parejas; el número de caballeros es igual a 5 veces el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían al inicialmente? a) 42 b) 45 c) 51 d) 48 e) 50
Ac A cademi a R aim imo ond ndii
… siempre los primeros
12 d) 30
33. El El cociente de dos números es 5 y su residuo es 4; hallar la suma de los números si su diferencia es 64. a) 81 b) 74 c) 68 d) 95 e) 94 34. El El cociente de dos números es 6 dejando un residuo mínimo. Hallar la diferencia de los números, si la suma de ellos es 99. a) 70 b) 29 c) 49 d) 71 e) 57 35. En En una división entera los residuos por defecto y por exceso son 18 y 2 respectivamente; la suma del dividendo , divisor y el cociente es 227. Hallar el dividendo. a) 170 b) 178 c) 198 d) 181 e) 118 36. En En una división inexacta el residuo por defecto y el residuo por exceso son iguales a 48, el cociente por defecto es 37 . Hallar el dividendo. a) 4500 b) 3600 c) 4000 d) 3700 e) 3000
e) 15
38. Encontrar Encontrar el mayor número de tres cifras tal que la suma de sus cifras de su complemento aritmético sea 12. Dar como respuesta la cifra central. a) d) 32
b) 46 e)
c) 7
39. Un Un propietario compra un prado, un terreno y una casa por 13500, búsquese el el precio de cada uno si el prado p rado cuesta 5 veces lo del terreno y la casa 4 veces el prado más 500 soles. ¿Cuánto cuesta el terreno? a) 1500 b) 2500 c) 500 d) 1300 e) 5500 40. Calcular Calcular a b c (9) cb a (9) , si: a
b
3 1(9) y b c
a) 322622 d) 311722
41. SSi:i:
38 (9)
b) 312442 e) 314122
a bc
cb a
bce
ecb
c) 34222
xy 2 y
3pz 3p z ,
Hallar: x y z p
37. En una división inexacta, el dividendo es mayor que 644, el divisor es 34 y el e l cociente es 18. Hallar el residuo por exceso. a) 1 b) 10 c) 18
a) 26 d) 34
b) 27 e) 31
c) 28
DIVISIBILIDAD Múltiplo.Divisor.-
Un número A es Múltiplo de un Número B , Cuando A contiene a B en una cantidad entera y exacta de veces. Es decir si divido A entre B el cociente debe de ser entero y No dejar residuo. Un número B es divisor de A , cuando esta contenido en A una cantidad entera y
exacta de veces. Ejemplos: 30 es múltiplo de 6, por que 30 contiene a 6 en cinco veces. 6 es divisor de 30, por que 6 esta contenido en 30 en cinco veces.
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
13
40 es múltiplo de 5, por que 40 contiene a 5 en ocho veces. 9 NO es múltiplo de 2, por que no lo contiene en una cantidad entera de veces.
Notación:
18 es múltiplo de 6; entonces su notación es: 18 = 6m ; m . o
18 =
6
Responde:
Conclusiones:
¿56 es múltiplo de 9?
...............
................ ................................. ................................. ............................ ............... ...
¿14 es múltiplo de 3?
...............
................ ................................. ................................. ............................ ............... ...
¿4 es divisor de 30?
...............
................ ................................. ............................... ............................ ................. ...
¿8 es múltiplo de 0 ? ............... ¿0 es múltiplo de 15?
................................. .................. ................................ ............................. ................
...............
................ ................................. ................................. ............................ ............... ...
¿0 es múltiplo de 0? ...............
................................. .................. ................................ ............................. ................
Operaciones con múltiplos: 1)
o
o
a
a
o
o
4)
a
2)
a
a
o
a
a a
o
o
K
o
; K
5)
K
a
o
3)
o
o
o
a
a a
o
a
; K
0
Divisibilidad aplicada al binomio de Newton Sirve para encontrar el residuo de divisiones de números grandes, para ello debes de saber que: K
(a
b) a b
(a
b b))
K
a b
K K
; Si K es par.
K
a b ; Si K es impar.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Divisibilidad por 2:
Un número es divisible o múltiplo de 2, si este número termina en cifra par.
Divisibilidad por 3:
Un número es divisible o múltiplo de 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
o
o
a b cd
Divisibilidad por 4:
3 , entonces debe de cumplir que a
b c
d
3
Un número es divisible o múltiplo de 4, si el número que forma las 2 últimas cifras del número es múltiplo de 4.
Ac A cademi a R aim imo ond ndii
… siempre los primeros
14 o
256824
Divisibilidad por 5:
4
o
; entonces debe de cumplir que
24
4
Un número es divisible o múltiplo de 5, si este número termina en cifra 0 ó 5.
o
a b cd
Divisibilidad por 8:
5
; entonces debe de de cumplir que
d
0 ó 5
Un número es divisible o múltiplo de 8, si el número que forma las 3 últimas cifras del número es múltiplo de 8.
o
5623048
Divisibilidad por 9:
8
o
; entonces debe de cumplir que
048
8
Un número es divisible o múltiplo de 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
o
a b cd
Divisibilidad por 11:
o
9 , entonces debe de cumplir que a
b c
d
9
Un número es múltiplo de 11, si la suma de sus cifras que están en lugar impar menos la suma de sus cifras que están en lugar par es un múltiplo de 11 (los lugares se cuentan de derecha a izquierda). o
1 1 ;
a bc bcd e
entonces debe de cumplir que: o
(e
Divisibilidad por 7:
b) 1 1
c a ) (d
(1,3,2) – (1,3,2) + (1,3,2): Un número es divisible o múltiplo de 7, si el producto de sus cifras por el ciclo (1,3,2 ) empezando de la derecha es múltiplo de 7. El primer ciclo es positivo luego es negativo y así intercalando.
o
a bcd e fg (g 1 f 3
Divisibilidad por 13:
e 2) (d (d 1
7
c3
o
b 2) (a 1) 7
1 – (3,4,1) + (3,4,1) – (3,4,1) + ... : Un número es divisible o múltiplo de 13 si: o
a bcd efg
13 o
1 g (f 3
Divisibilidad por 25:
e4
d 1 1)) (c (c 3
b4
a 1) 1 3
Un número es divisible o múltiplo de 25, si el número que forma las 2 últimas cifras del número es múltiplo de 25.
6128 61 2842 4250 50
o
25 ; entonces debe d dee cumplir que 5 0
PROBLEMITAS
o
25
1. Hallar "a",si: a) 1 d) 9 2. Hallar "a", si: a) 1 d) 6
o
2a 4 7
3
b) 3 e) 8
c) 6
o
a 513
3
b) 2 e) 7
c) 5
o
3. Hallar "a", si: 6 2a 3 3 a) 3 b) 2 d) 5 e) 8 4. Hallar "a", si: a) 8 d) 5
5. 8Hallar "a", si: a) d) 6
c) 4
11. Hallar Hallar "a", si: a) 1 d) 3 12. Hallar Hallar "a", si: a) 6 d) 3 13. Hallar Hallar "a", si: a) 9 d) 6
o
34 a 5
5
b) 0 e) todas
9
b) 7 e) 6
c) 4
15. Hallar Hallar "a", si:
o
25a 3
14. Hallar Hallar "a", si: a) 2 d) 3
c) 7
o
23a 4
7
b) 2 e) 4
c) 5
o
5 2a 2
7
b) 1 e) 3
c) 4
o
3a 6 2
o
7 2a 3
7
b) 0 e) 6
c) 4 o
5 6 4 3a
8
9
b) 2 e) 5
c) 7
a) 6 d) 4
b) 3 e) 5
c) 2 o
6. Hallar "a", si: a) 5 d) 7
o
54 a 3
9
b) 6 e) 3
c) 4
o
7. Hallar "a", si: 7 8 2 3 a a) 1 b) 3 d) 5 8. Hallar "a", si: a) 2 d) 8
4
c) 2
e) 7
16. Hallar Hallar "a", si: 3 4 5 a 2 8 a) 0 b) 3 d) 5 e) 4 17. Hallar Hallar "a", si: a) 2 d) 6
c) 2
o
76a 3 34 4
8
b) 3 e) ningún valor
c) 4
o
4 5 2a
4
b) 6 e) 3
c) 5
18. Hallar Hallar "a", si: a) 2 d) 7
o
6 a 3a 3a 5
11
b) 4 e) 8
c) 6
o
9. Hallar "a", si: 7 6 5 a 4 a) 4 b) 0 d) 5 e) 2
c) 8
o
10. Hallar Hallar "a", si: 2 4 a 5 a) 2 b) 3 d) 0 e) 6
c) 4
19. Hallar Hallar "a", si: a) 7 d) 9
o
5 3 a 47 47
11
b) 8 e) 5
20. Hallar Hallar "a", si: 2 4 6 a 6a 6a a) 3 b) 5 d) 8 e) 2
c) 6
o
11
c) 4
Ac A cademi a R aim imo ond ndii
21. Hallar Hallar "a", si: a) 8 d) 2
o
24 a 3
… siempre los primeros
16
13
b) 5 e) 0
c) 4
30. Hallar Hallar a) 8 d) 16
o
c) 4
o
23. Hallar Hallar "a", si: 2a 35 35 1 3 a) 6 b) 4 d) 3 e) 2 24. Hallar Hallar "a b " , si: 3a 55bb a) 8 b) 12 d) 10 e) 16 25. Hallar Hallar "a b " , si: 2a 33bb a) 2 b) 5 d) 15 e) 13 26. Hallar Hallar "a b " , si: a 34 34 b a) 4 b) 12 d) 11 e) 16
c) 5 o
15
c) 15
"a
b
c" ,
si: a 3 b c b) 15 e) 14
9
c) 11
o
22. Hallar "a", si: 2 3 4 a 1 3 a) 2 b) 0 d) 5 e) 6
o
"a
31.4Hallar a) d) 6
b"
2a 5 5b b4
, si:b) 7 e) 10
11
c) 0
32. El El número de la forma ab(4a)(4b) siempre es múltiplo de: a) 15 b) 10 c) 12 d) 13 e) 20 33. El El número de la forma (2a)(2b)ab siempre es múltiplo de: a) 14 b) 18 c) 21 d) 36 e) 67
o
12
c) 11
o
45
34. El El número de la forma a(3a)b(3b) siempre es múltiplo de: a) 10 b) 7 c) 11 d)
a0b
e) 15
c) 14
35. El El número de la forma (5a)a(5b)b siempre es múltiplo de: o
27. Hallar "a b " , si: menor número posible. a) 2 b) 4 d) 6 e) 5
5a 2 2b b
28. Hallar Hallar la mayor suma
"a
20
y es el c) 0
b ",
o
si: a 8 a b a) 15 d) 12
63
b) 14 e) 13
c) 10
a) 6 d) 18
b) 9 e) 12
c) 17
36. Si Si 60 personas que viajaban en el Titanic naufragan y se sabe que la onceava parte de los varones mueren y la novena parte de las mujeres sobreviven. Diga usted cuantas personas sobreviven. a) 16 b) 33 c) 12 d) 28 e) 35
o
29. Hallar "a b " , si: a b 3 b a a) 12 b) 8 d) 14 e) 16
25
c) 10
37. Si 80 personas que se encontraban paseando en una bicicleta de pronto se caen y entonces se ve que la onceava parte de las mujeres se pusieron a llorar y la quinta parte
B ole lettí n I I : A r i tméti ca de los varones las miran y ríen de ellas. ¿Cuántas mujeres no lloran? a) 50 b) 5 c) 25 d) 55 e) 35
38. En En una jaula habían mujeres y vacas en la cual se observa que azules la quinceava parte de las mujeres tenían ojos y la séptima parte de las vacas tenían ojos verdes. Diga usted cuantas vacas no tienen ojos verdes; si en total son 100. a) 10 b) 60 c) 70 d) 80 e) 30 39. Se Se estrelló un avión en la que viajaban 400 personas, felizmente todos murieron, en la que se ve que la quinta parte de las mujeres murieron con la boca abierta y novena parte de los varones murieron sonrientes. ¿Cuántas mujeres habían si son lo mayor posible y menor que 290? a) 270 b) 275 c) 265 d) 280 e) 285
40. Juanita va la mercado y compra manzanas y peras a 8 y 11 soles respectivamente, si gastó en total 245 soles. ¿Cuántas manzanas compró, si es la mayor cantidad posible? a) 7 b) 18 c) 24 d) 21
e) 30
41. María María va al mercado a comprar frutas entre naranjas y papayas si cuestan 5 y 7 soles respectivamente. ¿Cuántas naranjas compró si es la mayor cantidad posible; sabiendo que el gasto total es de 304 soles? a) 5 b) 7 c) 8 d) 4 e) 58 42. Si Si Pedro compra plátanos, limones y paltas a precios 3, 4 y 5 soles respectivamente, gastando en total 723 soles. Cuántos limones como máximo compró si la cantidad de paltas es el doble al de plátanos.
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
1 a) 240 d) 171
b) 281 e) 123
c) 57
43. Se Se dispone de 100 soles para comprar sellos de 1, 4 y 12 soles la unidad. Si compra en total 40 sellos; cual es la diferencia de la cantidad de sellos a) 28 de un sol conb)los 29de 12 soles. c) 25 d) 31 e) 23 44. Podría Podría ahorrar 20 soles diarios pero cada día de sol gasto 9 soles en helados y cada día de frío gasto 6 soles en café. Si ya tengo ahorrado 258 soles. ¿Cuántos días ahorre? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
45. Hallar Hallar el resto de dividir a) 1 b) 0 d) 4 e) 5
372
46. Hallar Hallar el resto de dividir a) 0 b) 1 d) 5 e) 8
406
47. Hallar Hallar el resto de dividir a) 2 b) 4 d) 3 e) 5
349
300
7
c) 2
406
9
c) 3
349
6
c) 1
50 503 3 48. Hallar Hallar el resto de dividir 5 0 3 8 a) 1 b) 6 c) 5 d) 7 e) 2
49. Hallar Hallar el resto de dividir a) 0 b) 1 d) 4 e) 3
323
31 3
300 50. Hallar Hallar el resto de dividir 3 0 0 a) 2 b) 4 d) 1 e) 6
4
c) 2
7
c) 5
Ac A cademi a R aim imo ond ndii
51. Hallar Hallar el resto de dividir a) 5 b) 7 d) 6 e) 1
305
17
9
c) 8
52. Hallar Hallar el resto por exceso de dividir 20 0 2 41 5 a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 53. Hallar Hallar el resto por exceso de dividir 2 65
300
a) 10 d) 8
a) 0 d) 1
b) 3 e) 2
b) 1 e) 7
c) 9
138
40 0
9
20 0
a) 0 d) 1
56. Hallar Hallar el resto de dividir
307
8
c) 0
2 43
c) 1
1 46
11 1
5
c) 4
2 43
120
7
c) 5
60. Hallar Hallar el resto de dividir: 128
a) 0 d) 5
5
12 0
b) 3 e) 2
12 8
30 0
6
59. Hallar Hallar el resto de dividir:
e) 3 300
200
b) 2 e) 3
a) 4 d) 6 114
104
58. Hallar Hallar el resto de dividir:
c) 4
55. Hallar Hallar el resto de dividir a) 3 b) 4 d) 2 e) 1
c) 4
57. Hallar Hallar el resto de dividir a) 2 b) 3 d) 0 e) 4
2 34
11
54. Hallar Hallar el resto de dividir a) 5 b) 0 d) 1
… siempre los primeros
18
34 4
b) 4 e) 3
140
6
c) 1
NÚMEROS PRIMOS Números primos absolutos.-
Son aquellos que tienen dos divisores: la unidad y el mismo número. 2
1
7
2
1
7
Números compuestos.- Son aquellos que tienen más de dos divisores. 10
6
1
2
3
6
1
2
Nota: El número 1 no es número primo, ni número compuesto.
5
10
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
19
Números primos entre sí (PESI ).-
Dos o más números son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplo: - Los divisores del 2 son 1 y 2; los divisores del 3 son 1 y 3, tienen como divisor común a la unidad. - ¿Los números 2 y 4 son pesi?: ............... ...................... ....... - ¿Los números 2, 3 y 6 son pesi?: ............... ...................... ....... Descomposición Canónica de un número o en sus factores primos 20
2
2
5
4
12
2
900
... ...... ...... ...... ...... ...
1254 125 4
5
2
3
2
40 0
2
25 40
... ...... ...... ...... ...... ...
. . . . . . . . . . .. . . .
. . . . . . .. . . . . . . .
64 8
Cantidad de divisores de un número (CD (N)) . N
CD N
a
Primero se descompone al número en sus factores primos.
b
1
1
Ejem.: Hallando la cantidad de divisores del número 20. 20
2
2
5
CD 2 0
2 1
1
1
Hallar la cantidad de divisores de los siguientes números: CD (500) =................ CD (3500) = ............... CD (420) = .............. ................ CD (90) = .............. 32
6
Suma de los divisores de un número (SD(N) ) . N
a
b
;
SD
N
Primero se descompone al número en sus factores primos.
a
1
1
a 1
Ejemplo: Hallando la suma de los divisores del número 20. 20
2
2
5
SD 20
2
2 1
1
2 1
5
11
1
5 1
SD 20 = 7 6 = 42
Hallar la suma de los divisores de los siguientes números: SD(500): ....................... SD(3500): .......................
b
1
1
b 1
Ac A cademi a R aim imo ond ndii
… siempre los primeros
20
SD(420): ....................... SD(90): .......................
Producto de los divisores de un número (PD(N)).CD(N)
Ejemplo: Hallando el producto de los divisores del número 20 PD(N)
P D(2 0 )=
20 20
6
N
3
20
Hallar el producto de los divisores de los números: PD(500): .................. PD(3500): .................. PD(420): .................. PD (90): ..................
Suma de las inversas de los divisores de un número(SID (N)) SID(N)
SD (N) N
Ejem: Hallando 20.. SID(20) 20) la4suma 2 / 20 de 2las ,1 inversas de los divisores de 20
Hallar la suma de las inversas de los divisores de los números: SID(500): .................. SID(3500):.................. SID(420): .................. PROBLEMITAS
1. Cuántos divisores tiene 1640. a) 16 b) 8 d) 25 e) 19 2. Cuántos divisores tiene 2639. a) 10 b) 8 d) 18 e) 40
c) 15
c) 12
3. Cuántos divisores tiene 3030. a) 20 b) 24 d) 12 e) 14
c) 16
4. Cuántos divisores tiene 4200. a) 25 b) 18 d) 48 e) 50
c) 40
5. Hallar la suma de los divisores del número 84.
a) 186 d) 224
b) 228 e) 226
c) 316
6. Hallar la suma de los divisores del número 140. a) 248 b) 324 c) 448 d) 436 e) 336 7. Hallar la suma de los divisores del número 512. a) 984 b) 934 c) 894 d) 1023 e) 923 8. Hallar la suma de los divisores del número 882. a) 187 b) 193 c) 2223 d) 247 e) 2323
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
9. Hallar el producto de los divisores del número 45. a)
45
6
b)
45
2
3
c)
45
4
8
d) 45 e) 4 5 10. Hallar Hallar el producto de los divisores del número 60. a)
60
d)
60
6
b)
60
4
e)
60
12 3
c)
60
8
11. Hallar Hallar el producto de los divisores del número 26. a)
26
d)
26
4 3
b)
26
e)
26
2 5
c)
26
8
12. Hallar Hallar la suma de las inversas de los divisores de 70. a) 1,7 d) 1,9
b) 1,8 e) 2,2
c) 2,05
14. Hallar Hallar la cantidad de los divisores de la cantidad de los divisores de 1240. b) 8 e) 5
c) 6
15. Hallar Hallar la cantidad de los divisores de la cantidad de los divisores de 295. a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 e) 2 16. Hallar Hallar la cantidad de los divisores de la suma de los divisores de 763. a) 18 b) 24 c) 20 d) 36
a) 38 b) 32 c) 43 d) 35 e) 30 18. Hallar Hallar la cantidad de los divisores del producto de de los divisores de 28. a) 28 b) 18 c) 30 d) 42 e) 44 Hallar la cantidad de los divisores del 19. Hallar producto de de los divisores de 44. a) 32 b) 28 c) 25 d) 20 e) 16
20. Hallar Hallar la suma de las inversas de los divisores de la suma de los divisores del número 72. a) 2,1 b) 1,9 c) 1,7 d) 1,5 e) 2,2 Cuántos divisores tiene el número: 21. Cuántos P
13. Hallar Hallar la suma de las inversas de los divisores de 100. a) 1,9 b) 2,3 c) 2,5 d) 2,2 e) 2,6
a) 16 d) 4
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
21
e) 48
17. Hallar Hallar la cantidad de los divisores de la suma de de los divisores de 924 924..
a) 100 d) 135
12 12
4
5
2
b) 85 e) 132
c) 98
22. Cuántos Cuántos divisores tiene el número: P
a) 50 d) 88
2
20
10
3
b) 70 e) 48
c) 66
23. Cuántos divisores tiene el número: 3 2 P 14 1 4 30 a) 116 b) 210 d) 216 e) 180
c) 190
24. Cuántos Cuántos divisores tiene el número: P
a) 118 d) 130
18
3
15
b) 110 e) 150
4
c) 220
n 25. Hallar Hallar "n" si el número M 20 , tiene 91 divisores. a) 5 b) 6 c) 2
Ac A cademi a R aim imo ond ndii d) 4
22
e) 8
26. Hallar Hallar "n" si el número tiene 625 divisores. a) 4 b) 6 d) 2 e) 3 : 27. Hallar “n” si el número n M
35 35
25
n
M
14 14
n
15
n
,
c) 5
1
tiene 48 divisores. a) 2 b) 3 d) 5 e) 6
c) 4
… siempre los primeros
34. Hallar Hallar "n", si M divisores múltiplos de 4. a) 3 b) 4 d) 6 e) 7
10
n 35. Hallar Hallar "n", si M 12 divisores múltiplos de 10. a) 4 b) 3 d) 2 e) 1
n
6
n
tiene 80 c) 5
1
5
n
tiene 120 c) 5
n n 1 36. Hallar Hallar “n”, si M 18 tiene 350 18 10 divisores múltiplos de 45. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
28. Hallar Hallar “n” si el número M 49
n 1
21
n
tiene 27 divisores. a) 3 b) 4 d) 1 e) 6
c) 2
37. Cuántos Cuántos divisores múltiplos de 4 pero no de 3 tiene el número 360. a) 6 b) 8 c) 10 d) 4 e) 12
29. Hallar Hallar “n” si el número M
10 10
n
tiene 105 divisores. a) 3 b) 4 d) 2 e) 5
15
n 2
c) 1
30. Cuántos Cuántos divisores múltiplos de 3 tiene el número 540. a) 20 b) 24 c) 16 d) 28 e) 18 31. Cuántos Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene el número 144. a) 6 b) 9 c) 10 d) 8 e) 12 32. Cuántos Cuántos divisores múltiplos de 14 tiene el número 784. a) 16 b) 10 c) 8 d) 5 e) 11 33. Cuántos Cuántos divisores múltiplos de 8 tiene el número 400. a) 8 b) 6 c) 4 d) 16 e) 12
38. Cuántos Cuántos divisores múltiplos de 5 pero no de 2 tiene el número 420. a) 6 b) 16 c) 8 d) 10 e) 4 n n 1 39. Hallar Hallar "n" si el número M 20 1 5 tiene 45 divisores múltiplos de 3 pero no de 5. a) 5 b) 6 c) 3 d) 4 e) 2
40. Cuántos Cuántos divisores pares tiene el número 260. a) 16 b) 30 c) 8 d) 26 e) 18 41. Cuántos Cuántos divisores impares tiene el número 660. a) 10 b) 8 c) 12 d) 16 e) 4
B ole lettí n I I : A r i tméti ca
42. Cual Cual es la diferencia de la cantidad de divisores pares e impares del número del número 700. a) 6 b) 8 c) 11 d) 12 e) 14 la diferencia la cantidad de 43. Cual espares divisores e imparesde del número del número 180. a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
44. Cuál Cuál es la suma de los divisores múltiplos de 4 que tiene el número 48. a) 118 b) 80 c) 112 d) 40 e) 12 45. Cuál Cuál es la suma de los divisores múltiplos de 5 que tiene el número 150. a) 180 b) 151 c) 170 d) 360 e) 420 46. Cuántos Cuántos divisores tiene a) 40 b) 80 d) 70 e) 60
P r of.: F ha harr y Pé Pérr ez R ado
23
7!
47. Cuántos Cuántos divisores tiene 10 ! a) 480 b) 360 d) 270 e) 180
c) 90
c) 430
48. Cuántos Cuántos divisores primos tiene el número 400. a) 4 b) 6 c) 2 d) 8 e) 10 49. Cuántos Cuántos divisores primos tiene el número 4200. a) 6 b) 4 c) 8 d) 7 e) 2
50. Cuántos Cuántos divisores primos tiene el número 4620. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 4 51. Cuántos Cuántos divisores compuestos tiene el número 460. a) 9 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 52. Cuántos Cuántos divisores compuestos tiene el número 2360. a) 10 b) 8 c) 12 d) 15 e) 13 53. Cuántos Cuántos divisores compuestos tiene el número 2860. a) 18 b) 17 c) 20 d) 19 e) 21 54. Cuántos Cuántos divisores compuestos tiene el número 3190. a) 10 b) 9 c) 8 d) 13 e) 11 55. Hallar Hallar "n" si el número divisores compuestos. a) 2 b) 3 d) 5
M
28
n
tiene 63 c) 4
e) 6
56. Hallar Hallar “n” si el número M 10
n 1
6
n
tiene 296 divisores compuestos. a) 8 b) 7 d) 2 e) 3
c) 4
57. Cuántas Cuántas veces se debe de multiplicar por 10 al número 9 para que el resultado tenga 143 divisores compuestos. a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
Ac A cademi a R aim imo ond ndii
24
58. Cuántas Cuántas veces se debe de multiplicar por 8 al número 25 para que el resultado tenga 72 divisores compuestos. a) 8 b) 9 c) 10 d) 6 e) 5 59. Cuántos Cuántos divisores múltiplos de 5 que sean de dos cifras tiene el número 180. a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9 60. Cuántos Cuántos divisores múltiplos de 4 que sean de tres cifras tiene el número 576. a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 9 2 61. ¿Cuántos ¿Cuántos rectángulos de 20 m lados
enteros se podrán formar? a) 2 b) 3 d) 5 e) 6
c) 4
2 62. ¿Cuántos ¿Cuántos triángulos rectángulos de 400 m se podrán formar de catetos (lados) enteros? a) 7 b) 9 c) 11 d) 8 e) 10
El que no sabe que no sabe, es un necio; apártate de él. El que sabe que no sabe, es sencillo; instrúyelo. El que no sabe que sabe, está dormido; despiértalo. El que sabe que sabe, es sabio; síguelo. Proverbio árabe
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… siempre los primeros
