Num-Ope 2
March 15, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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NÚMEROS Y OPERACIONES OPER ACIONES
DIVISIBILIDAD I P RI I 2 N U M -O P E 2
DESARROLLO DEL TEMA
Ejemplos: 24 8 •
Es la parte de la aritmética que estudia las condiciones que debe cumplir un número nú mero entero para ser dividido exactamente entre otros.
0
24 es divisible por 8 24 es múltiplo de 8.
I. DIV DIVISI ISIBI BILI LIDAD DAD DE NÚM NÚMER EROS OS Un número entero es divisible entre otro positivo
o
(módulo), cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero. A 0
Donde:
•
0 = 11o porque 0 = 11 (0) 20 = 1 porque 20 = 1 (20) o
7 = 7 porque 7 = 7 (1)
B
o
–4) –36 = 9 porque –36 = 9 ( –
K
A : número entero número o enter entero o posit positivo ivo (mó (módulo dulo)) B : númer K : núme númerro ent enter ero o
2. Si A no es múltip múltiplo lo de B (o no es divisible, divisible, q que ue es lo mismo), entonces por el teorema fundamental f undamental de la división entera. • Divi Divisi sión ón e ent nter era a po porr d defe efect cto: o:
II II.. MUL MULTIPL TIPLICI ICIDA DAD D DE NÚM NÚMEROS EROS Un número entero es múltiplo de otro positivo (módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero cualquiera.
•
A B K
Donde:
24 8 3
3
A
B
rd
K
A B K
o
rd A B rd
Divi Divisi sión ón en ente tera ra por por exc exces eso: o: o
A re
A : número entero número o enter entero o posit positivo ivo (mó (módulo dulo)) B : númer K : núme númerro ent enter ero o
B K 1
A B(K B(K 1) re A B re
IV. PRINCIPIOS DE LA DIVI DIVISIBILIDAD SIBILIDAD
Nota:
Podemos observar entonces que la multiplicidad es la expresión del teorema fundamental fund amental de la división por lo tanto la divisibilidad y la multiplicidad de números son conceptos equivalentes en el conjunto de los enteros, con la restricción hecha sobre el módulo.
1.
o
o
o
o
n n n n Ejemplo: 12 8 o
o
4 4
II III. I. NOT NOTACIÓ ACIÓN NYREPRESENT REPRESENTACI ACIÓN ÓNGENERAL 2.
o
o
o
20 40 o
o
4 4
o
n n n
1. A es es múltip múltiplo lo de B A B Ejemplo: 3 5 14 21
o
además:
B B K ; K Z
PRIMERA OPCIÓN REGULAR 2018-II
o
o
o
7 7 7
1
NÚMEROS Y OPERACIONES | 2
Exigimos más!
3.
o
DIVISIBILIDAD I
K . n n ; k
Z
Ejemplo 5 16 80 o
o
K 8 8
VI.PROPIEDADES
4. Dados Dados dos números números enteros enteros cuy cuyo o producto producto e ess divisible por un cierto módulo, si uno un o de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo. (Teorema (Teorema de Arquímedes Arquímedes). ).
o
1. Si: N a b
K
o
N 7
o Ejemplo: A 5 2 o o A mcm( mcm(5;7; 5;7; 8) 2 A 7 2 o o A 280 2 A 8 2
Ejemplos 34
o
N 3
o 2. Si: A p o o A q A mcm( mcm(p p , q , r) o A e o o Ejemplo: A 3o A mcm( mcm(3;8;12) 3;8;12) A 8 o o A 12 A 24 o 3. Si: A P r o o A Q r A mcm(P mcm(P , Q , R) r o A R r
o r n rK K o o n rK K : par n r o n rK K : impar
1. 12 3
Ejemplo: Si: N 21
V. APLI APLICAC CACIÓN IÓN AL B BINO INOMIO MIO DE NEW NEWTON TON
o
o
o
Si:
o n
o
N a N b
Ejemplos • Si:
•
28
o 2. 41 7 41 7 28 17 o o 3. 13 2 13 217 o
o
o
12 334
problemas RESUELTOS Problema 1
¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 9 pero no de 5? Nivel fácil
A. 80 B. 100 C. 60 D. 115 Resolución Planteamos un diagrama de conjuntos para una mejor interpretación.
PRIMERA PRIME RA OPCI OPCIÓN ÓN REGULAR 2018-II
En el conjunto donde se ubican los múltiplos de 9 se observa: x + 20 = 100 x = 80 Respuesta: A. 80
2
Problema 2 El número de alumnos de la academia está comprendido entre 400 y 900. Si salen de paseo en grupos de 5, de 6 ó de 8, siempre sobra un alumno. La academia está constituida por secciones que tiene la misma cantidad de alumnos, el número de secciones es igual al mismo número de alumnos por sección. Calcule cuántos alumnos tiene la academia e indique como respuesta la cifra de las decenas del número hallado.
A. 2 B. 3
Nivel intermedio
C. 4 D. 5
NÚMEROS Y OPERACIONES | 2
DIVISIBILIDAD I
Resolución Sea el número de alumnos: "N" 400 < N < 900 ... (a)
N
o 5 1 o 6o 1 8 1
Problema 3
•
Calcula el valor de 2a – b si el numeral
A pl p l ic ic an an d do o e l c rrii te te rrii o p o orr 9 tendríamos:
es múltiplo de 72. (b > 2) a1a8b4 es a1a8b4
o
a1a8b4
Nivel intermedio
o
N = 12 120 0 +1 ... (b) (b)
A. 2 B. 3
o
C. 4 D. 5
cifras: a + 1 + a + 8 + 6 + 4 = 9 o
Resolución
2a + 19 = 9 o
o
o
Además: El número de secciones es igual al número de alumnos, es decir si hay "x" secciones de "x" alumnos cada una el número de alumnos será: N = x2, es decir N es un cuadrado perfecto perfe cto evaluando (a) y (b). N = 120K + 1 = 841 = 29 2
Si es 72 entonces es 8 y 9 necesariamente entonces:
o
o
2a = 9 + 8 a = 9 + 4 a=4
o
Respuesta: C. 4
o
o
Aplic Aplicand ando o el cri crite teri rio o por por 8 tend tendrí ríamo amos: s: 8b4
o
2a + 9 + 1 = 9 2a = 9 – – 1
o 8 a1a8b4 o 9 •
9
2a – b = 2(4) – 6 = 2
8 b = 6 v b = 2 Respuesta: A. 2
como b > 2 b = 6
problemas de clase
NIVEL I
NIVEL II
1. Dadas Dadas ttres res ccifr ifras as signi signific ficati ativas vas a, b y c; la expresión:
5. Si 4 4N N se divide divide entr entre e1 11 1 el resi residuo duo es 8. ¿Cuál será el residuo de dividir N entre 11? A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
9. Ha Halla llarr el ma mayo yorr núme número ro posit positiv ivo o de 2 cifras tal que al dividirlo entre 9, da resto 5; al dividirlo entre 4 no deja residuo. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A. 7 C. 9 B . 12 D. 14
6. Calc lcu ular el 4to término múltiplo de 27 en la serie: 21, 42, 63, 84, ........... . A. 576 C. 675 B . 65 657 D. 7 75 56
10. ¿Cuánto ¿Cuántoss núme números ros comprend comprendidos idos entre 24 y 972, terminan en 4 y son múltiplos de 14? A. 12 C. 14 B . 13 D. 15
7.
11. Hallar el númer número o de valor valores es que puede tomar ab para que:
ab ac bc ba ca cb es
siempre divisible por: A. 5 C. 13 B. 9 D. 22 2. Lueg Luego od de eo op per erar ar:: o
o
o
o
(8 7) (8 3) (8 5) (8 3)
se obtiene: o
A. 8 2 o
B. 8 3
o
C. 8 4 o
D. 8 1
3. ¿Cuán ¿Cuánto toss númer números os de de 3 cif cifras ras n no o son múltiplos de 12? A. 75 C. 735 B. 9 90 00 D. 8 82 25 4. ¿Cuál ¿Cuál e ess el men menor or número número ent entero ero positivo por el cual hay que multiplicar a 1 210 para que sea múltiplo de 320? A. 2 B. 8 C. 16 D. 32
PRIMERA OPCIÓN REGULAR 2018-II
Si a all d div ivid idir ir 3 n núme úmero ross A, B y C entre 7, se obtienen como residuos 3 números impares y consecutivos, entonces, el residuo de d dividir ividir A x B x C entre 7, es: A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
8. Sab Sabiend iendo o qu que: o
o
ab 2ab 3ab ... 20ab 91 A. 6 B . 13 C. 14 D. 7
NIVEL III
2 4 24 2 4 . ..... 24 45 "n" su suma mand ndos os
El mínimo valor de "n" que cumple esta condición, es: A. 5 C. 15 B . 10 D. 20
3
12. En un co colegio legio hay 56 a alumno lumnoss y a todos les gusta el fútbol. De los hinchas de la "U", la tercera part parte e vive cerca al nuevo estadio y la séptima parte tiene ya su propio
NÚMEROS Y OPERACIONES | 2
Exigimos más!
DIVISIBILIDAD I
palco. De los hinchas de "Alianza", los 3/5 son menores de edad y la cuarta parte postularán a la Católica. La sexta parte de los hinchas de "Cristal" son abstemios. El resto de los alumnos son hinchas del "Boys",
13. A Pool le p preg reguntan untan unos alu alumnos mnos por la fecha de su cumpleaños y él responde: "Si el día d ía lo multiplican
pero son tan pocos que se cuentan con los dedos de una mano. ¿Cuántos hinchas tiene el "Boys"?
por 12 y el mes por 31, y suman ambos resultados, obtendrán 294". Si Pool nació en 19ab ,
PRIMERA PRIME RA OPCI OPCIÓN ÓN REGULAR 2018-II
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
4
donde a y b coinciden con el mes y
día
de
su
cumpleaños
respectivamente, ¿cuántos años tiene ahora? (septiembre del 2010) A. 40 años B . 41 añ añ os os C. 42 añ añ os os D. 43 año añoss
NÚMEROS Y OPERACIONES | 2
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